Analisis Matricial de Porticos

Matriz de Rigidez de Elemento Viga - Columna 2D, de Eje Recto y de Sección Constante Referida a GDL Orientados Según Ejes Locales

Ecuaciones diferenciales:

EA u ′ = N = − F1 EA u = − F1 x + C 0 v = v flexión + v corte ′ EI v ′flexión = M = F2 x − F3

EI v ′flexión = 12 F2 x 2 − F3 x + C1

⇒

′ = −V = − F2 GAs v corte   EI ′ EI v ′ = EI v ′flexión + v corte F2  = 12 F2 x 2 − F3 x +  C1 − GAs     EI EI v = 16 F2 x 3 − 12 F3 x 2 +  C1 − F2  x + C 2 GAs  

(

)

′ =θ − v ′ = v ′flexión + v corte

Nota relativa a los giros en los extremos: En las expresiones siguientes: φ =

Deformada

12 EI GAs L2

Condiciones de Borde

Columna 1

u (0) = 1 u ( L) = 0 v(0) = v( L) = 0 v ′(0) = v ′( L) = −

F2 GAs

Columna 2

u (0) = u ( L) = 0 v ′(0) = v ′( L) = −

F2 GAs

F1 = − F4 =

EA L

F2 = F5 = 0 F3 = F6 = 0

F2 = − F5 = F3 = F6 =

12 EI

(1 + φ ) L3 6 EI

(1 + φ ) L2

F1 = F4 = 0

v(0) = v( L) = 0 F v ′(0) = 1 − 2 GAs

Fuerzas en GDL

F1 = F4 = 0

v(0) = 1 v( L) = 0

u (0) = u ( L) = 0

Columna 3

F2 GAs

F v ′( L) = − 2 GAs

F2 = − F5 =

6 EI

(1 + φ ) L2

 4 + φ  EI  F3 =   1+φ  L

 2 − φ  EI  F6 =  1+φ  L

Columna 4

u (0) = 0 u ( L) = 1 v ′(0) = v ′( L) = −

F2 = F5 = 0

F2 GAs

F3 = F6 = 0

Columna 5

u (0) = u ( L) = 0

F1 = F4 = 0

v(0) = 0 v( L) = 1

F5 = − F2 =

F v ′(0) = v ′( L) = − 2 GAs

F3 = F6 = −

Columna 6

u (0) = u ( L) = 0

K (e)

φ=

EA L

0

0

0

12 EI (1 + φ ) L3

0

6 EI (1 + φ ) L2

6 EI (1 + φ ) L2  4 + φ  EI    1+φ  L

0

0

−

12 EI GAs L2

EA L 0 0

−

12 EI (1 + φ ) L3

6 EI (1 + φ ) L2

6 EI (1 + φ ) L2  2 − φ  EI    1+φ  L −

12 EI

(1 + φ ) L3 6 EI

(1 + φ ) L2

F1 = F4 = 0

v(0) = v( L) = 0 F F v ′(0) = − 2 v ′( L) = 1 − 2 GAs GAs

         =         

EA L

F4 = − F1 =

v(0) = v( L) = 0

−

F2 = − F5 =

(1 + φ ) L2

 2 − φ  EI  F3 =   1+φ  L

EA L

0

0

−

12 EI (1 + φ ) L3

0

−

6 EI (1 + φ ) L2

EA L

0

0

12 EI (1 + φ ) L3

0

6 EI

−

6 EI (1 + φ ) L2

 4 + φ  EI  F6 =   1+φ  L

    6 EI  (1 + φ ) L2    2 − φ  EI     1+φ  L    0   6 EI  − (1 + φ ) L2   4 + φ  EI      1+φ  L  0

Matriz de Flexibilidad de Elemento Viga - Columna 2D U=

∫

aij =

L

N2 dx + 2 EA

∂2 U = ∂ Fi ∂ F j

∫

∫ L

L

M2 dx + 2 EI

∂N   ∂ Fi

∫

 ∂N      ∂ Fj

L

V2 dx 2 GAs

 dx  +  EA 

∫

L

∂M   ∂ Fi

∂M      ∂ Fj

 dx  +  EI 

∫

L

 ∂V   ∂ Fi

M = F2 x − F3

∂M =x ∂ F2

⇒

∂M = −1 ∂ F3

V = F2

a 22 =

∂2 U ∂

F12

∂2 U ∂

F22

a 32 = a 23 = a 33 =

∂2 U ∂

F32

 L   EA  A= 0    0  

 L   EA  A= 0    0  

=

L EA

=

(4 + φ ) L3 L3 L + = 3 EI GAs 12 EI

φ=

 dx   GAs 

∂N = −1 ∂ F1

N = − F1

a11 =

  ∂V      ∂ Fj

∂V =1 ∂ F2

12 EI GAs L2

∂2 U L2 =− ∂ F2 ∂ F3 2 EI L EI

=

0

(4 + φ ) L3 12 EI −

L2 2 EI

0

(4 + φ ) L 12 EI

−

(2 − φ ) L 12 EI

   2  L  − 2 EI   L  EI  0

K = A −1

⇒

   (2 − φ ) L  − 12 EI  (4 + φ ) L  12 EI 

 EA   L  = 0    0  

0

⇒

K = A −1

    6 EI  (1 + φ ) L2    4 + φ  EI      1+φ  L 

0

0

12 EI

(1 + φ ) L3 6 EI

(1 + φ ) L2

 EA   L  = 0    0  

0  4 + φ  EI    1+φ  L  2 − φ  EI    1+φ  L

     2 − φ  EI     1+φ  L    4 + φ  EI      1+φ  L  0

EJES LOCALES Y EJES GLOBALES

Grados de Libertad de la Estructura

Grados de libertad del elemento orientados según ejes locales:

K ′ (e) u ′ (e) = f ′ (e)

Grados de libertad del elemento orientados según ejes globales:

Proyección de las componentes de desplazamiento y de fuerza:

u′ ( e ) = T u ( e ) f ′( e ) = T f ( e )

K ′ ( e ) u′ ( e ) = f ′ ( e )

⇒ K ′( e ) T u ( e ) = T f ( e )

⇒ TT K ′ ( e ) T u ( e ) = f ( e ) ⇓ K ( e ) = TT K ′ ( e ) T

ROTACIÓN DEL SISTEMA DE REFERENCIA

K ′( e ) u ′ ( e ) = f ′ ( e )

K ( e )u ( e ) = f ( e ) K ( e ) = TT K ′ ( e ) T u1′ = c x u1 + c y u 2 u 2′ = −c y u1 + c x u 2 u 3′ = u 3 u 4′ = c x u 4 + c y u 5 u 5′ = −c y u 4 + c x u 5 u 6′ = u 6

 u1′   c x u ′   − c  2  y u 3′   0  = u ′4   0 u 5′   0    u 6′   0

cy

0

0

0

cx 0

0 1

0 0

0 0

0

0

cx

cy

0

0 − cy

cx

0

0

0

0

0  u1   0 u 2  0 u 3    0 u 4   0 u 5    1 u 6 

u′( e ) = T u ( e ) F1′ = c x F1 + c y F2 F2′ = −c y F1 + c x F2 F3′ = F3 F4′ = c x F4 + c y F5 F5′ = −c y F4 + c x F5 F6′ = F6

 F1′  c x F ′   − c  2  y  F3′   0  =  F4′   0  F5′   0     F6′   0

cy cx 0 0 0 0

0

0

0

0 1

0 0

0 0

cx 0 − cy 0 0 0

f ′( e ) = T f ( e )

cy cx 0

0  F1   0  F2  0  F3    0  F4   0  F5    1  F6 

MATRIZ DE RIGIDEZ DE ELEMENTO VIGA-COLUMNA 2D CON REFERENCIA A GDL ORIENTADOS SEGÚN EJES LOCALES

K (e)

         =         

EA

0

0

12 EI

6 EI

(1 + φ )L3

(1 + φ )L2

6 EI

(1 + φ )L

 4 + φ  EI   1+φ  L

0

0

L 0 0 −

2

EA L 0 0

−

12 EI

(1 + φ )L3 6 EI

(1 + φ )L

2

−

EA

−

0

L 0

−

0

−

EA

6 EI

0

(1 + φ )L2 12 EI

0

 2 − φ  EI   1+φ  L

6 EI

0

L

(1 + φ )L2

12 EI

(1 + φ )L3

(1 + φ )L3 −

6 EI

(1 + φ )L2

    6 EI  2  (1 + φ )L   2 − φ  EI     1+φ  L   0   6 EI  −  (1 + φ )L2   4 + φ  EI     1+φ  L  0

MATRIZ DE RIGIDEZ DE ELEMENTO VIGA-COLUMNA 2D CON REFERENCIA A GDL ORIENTADOS SEGÚN EJES GLOBALES

K (e)

 EA 2 12 EI  cx + c2  L (1 + φ ) L3 y    EA − 12 EI  c c   L (1 + φ ) L3  x y  6 EI  − cy  ( 1 + φ ) L2 = 12 EI  EA 2 2  − L c x − (1 + φ ) L3 c y    12 EI EA  c c   3 − ( + 1 φ ) L  x y L    6 EI − cy  ( + 1 φ ) L2 

EA 2 12 EI cy + c2 L (1 + φ ) L3 x 6 EI

(1 + φ ) L2

cx

 12 EI EA    cxc y − 3 L  ( ) + L 1 φ  EA 2 12 EI − cy − c2 L (1 + φ ) L3 x 6 EI

(1 + φ ) L2

cx

( Simétrica )  4 + φ  EI    1+ φ  L 6 EI c (1 + φ ) L2 y −

6 EI c (1 + φ ) L2 x

 2 − φ  EI  1 + φ  L  

EA 2 12 EI cx + c2 L (1 + φ ) L3 y  EA 12 EI   c c − 3  x y  L (1 + φ ) L  6 EI c (1 + φ ) L2 y

EA 2 12 EI cy + c2 L (1 + φ ) L3 x −

6 EI

(1 + φ ) L2

cx

 4 + φ  EI  1 + φ  L  

                  

PÓRTICO A DOS AGUAS Unidades: t, m E = 2.1 x 107 t/m2 Luz Altura

15 m 6 m a 8.5 m

Vigas

I = 2 x 10-4 m4 A = 0.005 m2

Columnas

I = 1 x 10-4 m4 A = 0.01 m2

Matrices de rigidez de los elementos

K ( AB ) = K ( ED )

 116.67  0   − 350 =  − 116.67  0   − 350 

0 35000 0 0 − 35000 0

− 350 − 116.67 0 0 1400 350 350 116.67 0 0 700 350

0 − 35000 0 0 35000 0

K (BC )

 11964   3954  − 127.5 =  − 11964   − 3954  − 127.5 

3954 1420 382.5 − 3954 − 1420 382.5

− 127.5 − 11964 382.5 − 3954 2125 127.5 127.5 11964 3954 − 382.5 1062.5 127.5

− 3954 − 1420 − 382.5 3954 1420 − 382.5

− 127.5   382.5  1062.5   127.5   − 382.5  2125 

K (CD )

 11964   − 3954  127.5 =  − 11964   3954  127.5 

− 3954 1420 382.5 3954 − 1420 382.5

127.5 − 11964 382.5 3954 2125 − 127.5 11964 − 127.5 − 382.5 − 3954 1062.5 − 127.5

3954 − 1420 − 382.5 − 3954 1420 − 382.5

127.5   382.5  1062.5   − 127.5   − 382.5  2125 

Códigos de ensamble AB 0 0 0 1 2 3

BC 1 2 3 4 5 6

CD 4 5 6 7 8 9

ED 0 0 0 7 8 9

− 350   0 700   350   0 1400 

Matriz de rigidez de la estructura

 12080   3954  222.5   − 11964  K =  − 3954  − 127.5  0   0  0 

3954 36420 382.5 − 3954 − 1420 382.5 0 0 0

222.5 − 11964 382.5 − 3954 3525 127.5 127.5 23927 0 − 382.5 1062.5 255 0 − 11964 0 3954 0 127.5

− 3954 − 1420 − 382.5 0 2840 0 3954 − 1420 382.5

0 − 127.5 382.5 0 1062.5 0 255 − 11964 0 3954 4250 − 127.5 12080 − 127.5 − 382.5 − 3954 1062.5 222.5

Fuerzas aplicadas (t)

2 0   0   0   f =  − 5 0   0   0  0  Desplazamientos (m, rad)

 0.61080 x 10 -2   -4  - 0.62060 x 10   - 0.34891 x 10 -2    -1  0.13217 x 10    u =  - 0.22119 x 10 -1   0.76997 x 10 -3     0.20303 x 10 -1   -4  - 0.80798 x 10   0.39973 x 10 -3  Fuerzas en los elementos

f

( AB )

=K

( AB )

u

( AB )

 0.5086   2.1721     - 0.3046  =   - 0.5086   - 2.1721    - 2.7469

M AB = −0.31 M BA = −2.75 N AB = −2.17 V AB = −0.51

0 0 0 3954 − 1420 − 382.5 − 3954 36420 − 382.5

0  0 0  127.5   382.5  1062.5   222.5  − 382.5   3525 

f

f

f

( BC )

( CD )

( ED )

=K

=K

=K

( BC )

( CD )

( ED )

u

u

u

( BC )

( CD )

( ED )

 2.5086   2.1721     2.7469  =   - 2.5086  - 2.1721    7.2723   2.5086   - 2.8279    - 7.2723  =   - 2.5086  2.8279     - 7.6656   - 2.5086  2.8279     7.3858  =   2.5086   - 2.8279    7.6656 

M BC = 2.75 M CB = 7.27 N BC = −3.07 V BC = 1.27

M CD = −7.27 M DC = −7.66 N CD = −3.27 VCD = 1.89

M ED = 7.39 M DE = 7.66 N ED = −2.83 V ED = 2.51

PÓRTICO A DOS AGUAS con cargas uniformemente distribuidas

Fuerzas de empotramiento (t, m)

f 0( BC ) = f 0(CD )

0 0      wL 2   3.75       wL 2 12   4.6875  = =  0 0      wL 2   3.75      − wL 2 12 − 4.6875

f 0( AB ) = f 0( ED ) = 0

f =−

∑f

(e) 0

e

 0   − 3.75    − 4.6875    0    =  − 7.5   0     0     − 3.75   4.6875 

Desplazamientos (m, rad)

 -0.013721   -0.000214     -0.005044    0     u = -0.042419    0    0.013721     -0.000214   0.005044  Fuerzas en los elementos (t,m)

f

( AB )

=K

( AB )

u

( AB )

 3.366   7.500     − 8.333  =   − 3.366   − 7.500     − 11.863

M AB = −8.33 M BA = −11.86 N AB = −7.50 V AB = −3.36

f ( BC ) = f 0( BC ) + K ( BC ) u ( BC )

f (CD ) = f 0(CD ) + K (CD ) u (CD )

f

( ED )

=K

( ED ) ( ED )

u

 3.366  7.500    11.863 =  − 3.366  0    7.855

 3.366   0  − 7.855 =  − 3.366   7.500     11.863

− 3.366  7.500    8.333 =   3.366 − 7.500    11.863

M BC = 11.86 M CB = 7.85 N BC = −5.57 N CB = −3.19 V BC = 6.05 VCB = 1.06 M CD = −7.85 M DC = −11.86 N CD = −3.19 N DC = −5.57 VCD = 1.06 V DC = 6.05

M ED = 8.33 M DE = 11.86 N ED = −7.50 V ED = 3.36

HIPÓTESIS SIMPLIFICADORAS DEL ANÁLISIS TRADICIONAL Matriz de rigidez de elemento columna: c x = 0; c y = 1

K

( columna )

 12 EI   (1 + φ )h3   0   6 EI − 2  (1 + φ )h = 12 EI − ( 1 + φ )h3    0   6 EI  − ( 1 φ )h 2 + 

6 EI (1 + φ )h 2

−

0 EA h

12 EI (1 + φ )h3

0  4 + φ  EI    1+φ  h 6 EI (1 + φ )h 2

0 0 EA h

−

−

0

0 −

0 6 EI

0

(1 + φ )h 2 12 EI

0

(1 + φ )h3

0

0

 2 − φ  EI    1+φ  h

(1 + φ )h 2

EA h

EA h

6 EI

0

6 EI   (1 + φ )h 2    0   2 − φ  EI      1+φ  h   6 EI  2 (1 + φ )h    0   4 + φ  EI      1+φ  h  −

Ignorando deformaciones axiales y de corte:

K ( columna )

 12 EI  3  h  6 EI − 2  h =  − 12 EI  h3   − 6 EI   h2

−

6 EI h2

12 EI h3

−

4 EI h

6 EI h2

6 EI h2

12 EI h3

2 EI h

6 EI h2

6 EI   h2  2 EI   h   6 EI  h2   4 EI   h 

−

Matriz de rigidez de elemento viga: c x = 1; c y = 0

K ( viga )

         =         

EA L

−

0

0

12 EI

6 EI

 4 + φ  EI  1 + φ  L  

0

−

(1 + φ )L2

0

EA L

0

(1 + φ )L2

6 EI

0 12 EI

(1 + φ )L3

−

6 EI

(1 + φ )L2

 2 − φ  EI  1 + φ  L  

6 EI

0

(1 + φ )L2

0 0

Ignorando deformaciones de corte y suponiendo u1 = u 4

K ( viga )

 12 EI  3  L  6 EI   L2 =  − 12 EI  L3   6 EI   L2

6 EI 2

L 4 EI L −

6 EI

L2 2 EI L

−

12 EI

−

3

L 6 EI

L2 12 EI

−

L3 6 EI L2

12 EI

(1 + φ )L3

(1 + φ )L2

−

0 −

(1 + φ )L3

0

EA L 0

0

EA L

−

  L  2 EI   L  − 6 EI  − 2  L  4 EI   L  6 EI 2

6 EI

0 12 EI

(1 + φ )L3 −

6 EI

(1 + φ )L2

    6 EI  2 (1 + φ )L    2 − φ  EI   1 + φ  L      0   6 EI  − (1 + φ )L2   4 + φ  EI   1 + φ  L     0

PÓRTICO CON CARGA LATERAL

Matrices de rigidez de elementos típicos:

K

( viga )

 4 EI  = L  2 EI   L

K ( columna )

2 EI   L  4 EI   L 

 12 EI  3  h 6  − EI 2  = h 12 EI −  h3  6 EI − 2  h

−

6 EI 2

h 4 EI h 6 EI

−

h2 2 EI h

12 EI 3

h 6 EI

h2 12 EI h3 6 EI h2

6 EI   h2  2 EI  h  6 EI   h2  4 EI   h 

−

Elemento AB: EI = 2EI 0 h = 6 m

K ( AB )

 0.1111 − 0.3333 − 0.1111 − 0.3333    1.3333 0.3333 0.6667   − 0.3333 = EI 0  0.3333 0.1111 0.3333  − 0.1111    − 0.3333 0.6667 0.3333 1.3333  

Códigos de ensamble

0 0 1 2

Elemento BC. EI = 2 EI 0 L = 6 m

 1.3333 K (CD ) = EI 0   0.6667

0.6667   1.3333 

2 3

Elemento CD. EI = EI 0 h = 3 m

K (CD )

 0.4444 − 0.6667 − 0.4444 − 0.6667    1.3333 0.6667 0.6667   − 0.6667 = EI 0  − 0.4444 0.6667 0.4444 0.6667     − 0.6667 0.6667 0.6667 1.3333  

0 0 1 3

Matriz de rigidez de la estructura:

 0.55556  K = EI 0  0.33333  0.66667 

0.33333 2.66667 0.66667

0.66667   0.66667  2.66667 

Matriz de fuerzas de la estructura:

100    f =  0  0   Desplazamientos:

1 u= EI 0

 264.71    − 17.647 − 61.765  

Fuerzas, viga:

 1.3333 f ( BC ) = K ( BC ) u ( BC ) = EI 0   0.6667

0.6667  1  − 17.647  M BC   − 64.71   = =  1.3333  EI 0 − 61.765  M CB  − 94.12

V BC = (−64.71 − 94.12) / 6 = −26.47 Fuerzas, columna izquierda:

f ( AB ) = K ( AB ) u ( AB )

 0.1111 − 0.3333 − 0.1111 − 0.3333   1.3333 0.3333 0.6667  1  − 0.3333 = EI 0  − 0.1111 0.3333 0.1111 0.3333 EI 0    − 0.3333 0.6667 0.3333 1.3333 

 0   H A  − 23.51  0  M   76.47     AB   =   =  264.71   H B   23.53 − 17.647  M BA   64.71

N AB = −V BC = 26.47 Fuerzas, columna derecha:

 0.4444 − 0.6667 − 0.4444 − 0.6667    1.3333 0.6667 0.6667  1  − 0.6667 ( CD ) ( CD ) ( CD ) f u =K = EI 0  − 0.4444 0.6667 0.4444 0.6667  EI 0    − 0.6667 0.6667 0.6667 1.3333   N CD = V BC = −26.47

  H D  − 76.47   0  M   135.29  0    DC     = =  H 76 . 47 264 . 71    C   − 61.765  M CD   94.12

PÓRTICO CON CARGAS DISTRIBUIDAS

Matrices de rigidez de elementos típicos:

K ( viga )

 4 EI  L =  2 EI   L

K ( columna )

 4 EI  h =  2 EI   h

2 EI   L  4 EI   L  2 EI   h  4 EI   h 

Códigos de ensamble:

 2.6667 K ( AB ) = EI 0   1.3333

1.3333   2.6667 

0 1

 3.2000 K ( BC ) = EI 0   1.6000

1.6000   3.2000 

1 2

 1.0000 K ( BD ) = EI 0   0.5000

0.5000   1.0000 

0 1

Matriz de rigidez de la estructura:

 6.8667 K = EI 0   1.6000

1.6000   3.2000 

Fuerzas ficticias, viga AB:

 Pab L   53.333  f 0( AB ) =  =  − Pab L  − 53.333 Fuerzas ficticias, viga BC:

 wL2 12   62.5  f 0( BC ) =  =  2 − wL 12 − 62.5 Ensamble de fuerzas ficticias con signo cambiado:

f =−

∑f e

(e) 0

− 9.1667 =   62.5000 

Desplazamientos:

Ku=f

⇒

u=

1 − 6.6621   EI 0  22.862 

Fuerzas en GDL del elemento AB (viga izquierda):

 44.45  f ( AB ) = f 0( AB ) + K ( AB ) u ( AB ) =   − 71.10 V AB = P + ( M AB + M BA ) / L = 40 + (44.45 − 71.10) / 6 = 35.56 V BA = V AB − 2 P = 35.56 − 80 = −44.44 Fuerzas en GDL del elemento BC (viga derecha):

77.76 f ( BC ) = f 0( BC ) + K ( BC ) u ( BC ) =    0  V BC = wL / 2 + ( M BC + M CB ) / L = 75 + (77.76 + 0) / 5 = 90.55 VCB = V BC − wl = 90.55 − 150 = −59.45 Fuerzas en GDL del elemento DB (columna):

 − 3.33 f ( BD ) = f 0( BD ) + K ( BD ) u ( BD ) =   − 6.66 V BD = ( M BD + M DB ) / h = −2.50

PÓRTICO CON CARGAS DISTRIBUIDAS

Elemento AB: EI = 2EI 0 h = 6 m

K ( AB )

 0.1111 − 0.3333 − 0.1111 − 0.3333    1.3333 0.3333 0.6667   − 0.3333 = EI 0  − 0.1111 0.3333 0.1111 0.3333     − 0.3333 0.6667 0.3333 1.3333  

Elemento BC. EI = 2 EI 0 L = 6 m

 1.3333 K (CD ) = EI 0   0.6667

0.6667   1.3333 

Elemento CD. EI = EI 0 h = 3 m

K (CD )

 0.4444 − 0.6667 − 0.4444 − 0.6667    1.3333 0.6667 0.6667   − 0.6667 = EI 0  0.6667 0.4444 0.6667  − 0.4444    − 0.6667 0.6667 0.6667 1.3333  

Matriz de rigidez de la estructura:

 0.55556  K = EI 0  0.33333  0.66667 

0.33333 2.66667 0.66667

Fuerzas ficticias, columna izquierda:

f 0( AB )

 − P / 2  − 50  Ph / 8   75     =  = P − − / 2 50     − Ph / 8 − 75

0.66667   0.66667  2.66667 

Códigos de ensamble:

0 0 1 2

Fuerzas ficticias, viga:

Códigos de ensamble:

 wL2 12   90  f 0( BC ) =  =  2 − wL 12 − 90 Ensamble de fuerzas ficticias con signo cambiado:

f =−

∑ e

f 0( e )

 50   = − 15  90  

Desplazamientos:

Ku=f

 79.412 1   u= − 20.294 EI 0    18.971 Fuerzas en los GDL del elemento BC (viga):

 75.59  f ( BC ) = f 0( BC ) + K ( BC ) u ( BC ) =   − 78.24 V BC = wL / 2 + ( M BC + M CB ) / L = 90 + (75.59 − 78.24) / 6 = 89.56 VCB = V BC − wl = 89.56 − 180 = −90.44 Fuerzas en los GDL del elemento AB (columna izquierda):

f ( AB ) = f 0( AB ) + K ( AB ) u ( AB )

 − 52.06  87.94   =  − 47.94 − 75.59

N AB = −V BC = −89.56 Fuerzas en los GDL del elemento CD (columna derecha):

f (CD ) = f 0(CD ) + K (CD ) u (CD )

N CD = VCB = −90.44

− 47.94  65.59   =   47.94  78.24

2 3

VIGA CON TIRANTES Viga: EI=12 000 tm2 Tirantes: EA = 21 000 t

Matrices de rigidez de los elementos:

K ( AB ) = K ( BC )

K ( DB )

K ( BE )

 12 EI L3   6 EI L2 = 3  − 12 EI L  6 EI L2 

 c x2  EA  c x c y =  L  − c x2  − cxc y   c x2  EA  c x c y =  L  − c x2  − cxc y 

Códigos de ensamble:

6 EI L2 4 EI L − 6 EI L2 2 EI L

cxcy

− c x2

c 2y

− cxc y

− cxc y

c x2

− c 2y

cxc y

cxc y

− c x2

c 2y

− cxc y

− cxc y

c x2

− c y2

cxcy

− 12 EI L3 − 6 EI L2 12 EI L3 − 6 EI L2

4500 − 2250 4500  6 EI L2   2250    2 EI L   4500 12000 − 4500 6000  = − 6 EI L2   − 2250 − 4500 2250 − 4500  6000 − 4500 12000  4 EI L   4500

− c x c y   1856 − 1856 − 1856 1856     1856 − 1856  − c 2y   − 1856 1856 = 1856 − 1856  c x c y   − 1856 1856   c 2y   1856 − 1856 − 1856 1856  2016 − 2688 − 2016  − c x c y   2688    2 1512 − 2016 − 1512  − c y   2016 = 2016  c x c y   − 2688 − 2016 2688   1512  c y2   − 2016 − 1512 2016

GDL

AB

BC

DB

BE

1 2 3 4

0 0 1 2

1 2 0 0

0 0 0 1

0 1 0 0

Matriz de rigidez de la estructura:

0   7868  K =  24000   0

Fuerzas de empotramiento:

f 0( AB ) = f 0( BC )

 wL 2   12  wL2 12   8     = =   wL 2   12 − wL2 12 − 8

Matriz de fuerzas

f = f concentradas −

∑f e

(e) 0

− 10 − 24 − 34 = + =   0   0   0 

Desplazamientos:

− 0.0043212 u=  0   Fuerzas en los extremos de cada elemento:

f ( AB ) = f 0( AB ) + K ( AB ) u ( AB )

4500 − 2250 4500  0  12   2250  21.723  8   4500 12000 − 4500 6000   27.445 0        =  +   =    12   − 2250 − 4500 2250 − 4500 − .0043212  2.277  − 8  4500  11.445  6000 − 4500 12000  0

f ( BC ) = f 0( BC ) + K ( BC ) u ( BC )

4500 − 2250 4500 − .0043212  2.277   12   2250   − 11.445   8   4500 12000 − 4500 6000  0        = +  =   0   21.273   12   − 2250 − 4500 2250 − 4500   − 27.445 − 8  4500 6000 − 4500 12000  0

f ( DB ) = K ( DB ) u ( DB )

N ( DB ) =

EA (∆u ∆x + ∆v ∆y ) = 11.34 L2

f ( BE ) = K ( BE ) u ( BE )

N ( BE ) =

0  − 8.0208  1856 − 1856 − 1856 1856      8.0208  1856 − 1856  0  − 1856 1856    =  =  1856 − 1856  0 8 . 0208 − 1856 1856       1856 − 1856 − 1856 1856 − .0043212 − 8.0208     

2016 − 2688 − 2016  0  2688  − 8.7116    1512 − 2016 − 1512 − .0043212 − 6.5337  2016 =  =  2016  0 8.7116  − 2688 − 2016 2688      − 2016 − 1512 2016   6.5337  1512  0 

EA (∆u ∆x + ∆v ∆y ) = 10.89 L2

Matriz de Rigidez de Elemento Viga - Columna 3D Eje Recto y Sección Constante Referida a GDL Según Ejes Locales (Principales)

φy =

φz =

12 EI z GAsy L2 12 EI y GAsz L2

Columna 1

F1 = − F7 =

EA L

Columna 7

F7 = − F1 =

EA L

Columna 4

Fuerzas en GDL

F4 = − F10 =

GJ L

Columna 10

Torsión

Fuerza Axial

Deformada

F10 = − F4 =

GJ L

Columna 6 Columna 8 Columna 5 Columna 9 Columna 11

Flexión y Corte en el Plano X'Z'

Columna 3

Columna 12

Flexión y Corte en el Plano X'Y'

Columna 2

Deformada

Fuerzas en GDL

F2 = − F8 =

12 EI z

(1 + φ ) L

3

y

 4 + φy   F6 =   1+ φy     2 − φy   F12 =   1+ φy   

F8 = − F2 =

EI z L

(1 + φ ) L

3

6 EI z

(1 + φ ) L

(1 + φ z ) L  EI y   L

 2 −φz F11 =   1+ φz

 EI y   L

(1 + φ ) L

6 EI z

(1 + φ ) L

F5 = F11 = −

F3 = − F9 = −

12 EI y

(1 + φ z ) L

3

2

y

y

3

2

6 EI z

F6 = F12 = −

F2 = − F8 =

12 EI y

 4 +φz F5 =   1+φz

2

y

y

12 EI z

 2 −φz   F5 =   1+ φz   4 + φz   F11 =   1 + φz 

(1 + φ ) L

EI z L

 2 − φ y  EI z  F6 =   1+ φ y  L    4 + φ y  EI z  F12 =   1+ φy  L  

F9 = − F3 =

6 EI z

F2 = − F8 =

y

F3 = − F9 =

F6 = F12 =

F5 = F11 =

2

6 EI y

(1 + φ z ) L2

6 EI y

(1 + φ z ) L2

6 EI y

(1 + φ z ) L2

EI y L EI y L

F3 = − F9 = −

6 EI y

(1 + φ z ) L2

Matriz de Rigidez de Elemento Viga - Columna 3D de Eje Recto y Sección Constante, Referida a GDL Según Ejes Locales

Φy =

 EA   L  0     0    0   0     0 (e)  = K  − EA  L   0    0    0    0    0  

12 EI z

Φz =

2

GAsy L

GAsz L2

−

EA L

0

0

0

0

0

12 EI z

0

0

0

6 EI z

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

(1 + Φ y ) L3 0

12 EI y (1 + Φ z ) L3

0 0

0 −

6 EI y

− GJ L

(1 + Φ z ) L2

(1 + Φ y ) L2

6 EI y (1 + Φ z ) L2 0

0

 4 + Φz   1+ Φz

 EI y   L

6 EI z

(1 + Φ y ) L2

−

6 EI y (1 + Φ z ) L2 0

0

 2 − Φz   1+ Φz

0

0

6 EI y

−

GJ L

0

(1 + Φ z ) L2 0

0  EI y   L

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

 2 − Φ y  EI   z  1+ Φy  L  

0

−

 EI y   L

0

6 EI y

0

0

0

(1 + Φ z ) L3

−

0

0

0

0

12 EI z (1 + Φ y ) L3

0

GJ L

12 EI y

0

EA L

−

−

(1 + Φ y ) L2

0

0

0

6 EI z

0

0

0

0

0

0

(1 + Φ z ) L2

0

0

0

6 EI y

0

(1 + Φ y ) L3

0

0

0

12 EI z

 2 − Φ y  EI   z  1+ Φy  L  

0

(1 + Φ z ) L3

0

0

 4 + Φ y  EI   z  1+ Φ y  L  

12 EI y

0

0

0

−

0

0

0

0

0

 2 − Φz   1+ Φz

0

12 EI z (1 + Φ y ) L3

−

0

0

6 EI z

(1 + Φ y ) L2

−

12 EI y

6 EI z (1 + Φ y ) L2

−

−

6 EI z

(1 + Φ y ) L2

6 EI z

(1 + Φ y ) L2

(1 + Φ z ) L2

12 EI y (1 + Φ z ) L3 0 6 EI y (1 + Φ z ) L2 0

0 GJ L

−

6 EI y (1 + Φ z ) L2 0

0

 4 + Φz   1+ Φz

0

0

0

6 EI z (1 + Φ y ) L2 0 0

 EI y   L

0  4 + Φ y  EI   z  1+ Φy  L  

                                    

Matriz de Flexibilidad de Elemento Viga - Columna 3D Eje Recto y Sección Constante Referida a GDL Según Ejes Locales (Principales)

a ij =

U=

∂ 2U ∂ Fi ∂ F j

N2 dx + L 2 EA

∫

M x2 dx + L 2 GJ

∫

∫

L

M y2 2 EI y

dx +

M z2 dx + L 2 EI z

∫

∫

L

V y2 2 GAsy

dx +

N = − F1 M x = F4 M y = F3 x + F5 M z = − F2 x + F6 V y = F2 V z = F3

A ( e)

 L   EA   0    0 =   0   0    0  

0

(4 + φ ) L y

12 EI z 0

−

0

0

0

0

0

0

0

L2 2 EI y

L GJ

0

0

L EI y

0

0

3

(4 + φ z ) L3 12 EI y

0

0

0

L2 2 EI y

L2 2 EI z

0

   L2  −  2 EI z   0    0   0    L  EI z  0

V z2 dx L 2 GA sz

∫