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ANALISIS MATRICIAL DE ELEMENTOS TIPO PARRILLA

UNCP - FIC

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERU FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL

“ANALISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS TIPO PARRILLA” POR: COLQUEHUANCA CONDORI, Mirtha GORA FLORES, Deivy POMA ANCCASI, Edison

AREA DE ESTRUCTURAS Ing. SANTANA TAPIA, Ronald Asesor

HUANCAYO– PERÚ 2011

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Este manual está dedicado a todos los interesados en complementar sus conocimientos.

Al docente del área de estructuras por su apoyo en el desarrollo del presente texto

A Dios por hacer posible la edición de este texto.

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INTRODUCCIÓN

El análisis estructural tiene como fin primordial el obtener las magnitudes primordiales de las fuerzas internas y los desplazamientos de una estructura, la cual debe transmitir las fuerzas de un punto del espacio a otro, resistiendo su aplicación sin perder su estabilidad, siendo esta una característica importante de una estructura reticular.

Con la llegada de las computadoras se ha hecho necesario plantear métodos matriciales, con este fin se creó uno de los métodos más completos, el método de las rigideces o de los desplazamientos. En el presente informe se desarrolla la teoría y algunos ejercicios resueltos acerca de matriz de rigidez de elementos tipo parrilla, ilustrando su significado y aplicación en la forma más sencilla

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MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO TIPO PARRILLA Las parrillas son estructuras reticulares sometidas a cargas que actúan perpendicularmente a su plano. Ejemplos de ellas se encuentran en muchas estructuras industriales, en losas de entrepiso con viguetas en dos direcciones, en tableros de puentes y en culatas de bodegas y fabricas sometidas a la acción del viento. Los nudos se suponen rígidos y en consecuencia las acciones principales sobre sus miembros son torsión, flexión y corte.

Matriz de rigidez de un elemento prismático sometido a torsión y su aplicación al análisis de parrillas:

Cuando se tiene un elemento prismático sometido a torsión como en la figura que se muestra a continuación, se sabe que el giro producido por ella está dado por:

… (1) Donde: = Giro relativo entre los dos extremos, en radianes Mx= Momento torsor aplicado L= Longitud del elemento J= constante torsional G= Modulo cortante

Fig a. Elemento prismático sometido a torsión

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Si la sección es circular, maciza o hueca, la constante torsional es el momento polar de inercia. Para secciones rectangulares, en cambio, dicha constante se puede calcular con las formulas siguientes: ….. (2)

….. (3) Donde:

b y t son las dimensiones transversales del elemento y b mayor o igual a t.

Fig. (b) Representación esquemática de un elemento sometido a torsión

Si ahora se aplica la ecuación general:

al mismo elemento, referido al sistema de

ejes de la figura b y con los momentos y giros presentados esquemáticamente por vectores de doble flecha, se obtiene:

….. (4)

De la ecuación (1) se puede despejar el momento torsor: ….

(5)

Se demuestra fácilmente que en este caso dicha matriz vale: ….. (6) De manera que la ecuación general queda así:

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….. (7)

Si existieran cargas intermedias que producen torsión, es necesario añadir el vector correspondiente de fuerzas de empotramiento y aplicar la ecuación:

….. (8) Convirtiéndose en:

….. (9)

Las ecuaciones (7) y (9) son útiles en el análisis de parrillas.

ELEMENTO DE EMPARRILLADO PLANO

Se llama emparrillado plano a una estructura formada por vigas contenidas en un plano (el plano XY) pero que está sometida a fuerzas que actúan en la dirección Z. Además de estas fuerzas, también puede haber momentos aplicados en las direcciones X e Y. Por lo tanto el elemento que forma los emparrillados es el mismo elemento estructural que forma un pórtico plano, pero variando las cargas, que ahora son las complementarias de las que actúan sobre el pórtico (que son fuerzas según X, Y y momentos según Z). El sistema de ejes local de una barra de emparrillado tiene el eje X L dirigido según la dirección de la barra, desde el nudo I al J, y el eje YL perpendicular a ella y contenido en el plano XG YG, de tal forma que los ejes ZL y ZG son coincidentes en la figura. Al igual que en los pórticos planos, una vez definidos los nudos I y J queda perfectamente definido el sistema de ejes local al elemento, con el criterio anterior.

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MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO DE PARRILLA

Las parrillas son estructuras reticulares sometidas a cargas que actúan perpendicularmente a su plano. Ejemplo de ellas se encuentran en muchas estructuras industriales, en losas de entrepisos con viguetas en dos direcciones, en tableros de puentes, en culatas de bodegas y fabricas sometidas a la acción del viento. Los nudos se suponen rígidos y en consecuencia las acciones principales sobre los miembros son torsión, flexión y corte. En la deducción de la matriz de rigidez de sus miembros se utilizara el principio de superposición. En la siguiente figura se muestra una parrilla típica:

(b)

(a) (c)

a)

Esquema de una parrilla típica

b) Fuerzas que actúan sobre un elemento orientado en la dirección del eje X c)

Desplazamientos originados por el sistema de fuerzas mencionados en el eje X

Como podemos notar en este sistema las fuerzas axiales se despreciaran ya que los elementos están empotrados en ambos extremos y en cambio ahora tomaremos otro elemento de mucha mayor importancia para este tipo de estructuras que es el momento torsor debido a ciertas cargas. Veamos un diagrama de dicho elemento.

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GRAFICO DE GRADOS DE LIBERTAD:

Donde:

Desplazamientos:

1 – 4 Dirección x

giro

2 – 5 Dirección z

desplazamiento v

3 – 6 Dirección y

giro

Fuerzas:

1 – 4 Momento torsor 2 – 5 Cortante

N

3 – 6 Momento

En dicha figura el sistema de ejes globales se ha rotado 90°, en tal forma que la parrilla queda contenida en el plano horizontal X-Y y las cargas quedan actuando verticalmente en la dirección del eje Z. Esto permite el empleo de las matrices de transformación deducidas antes, como se verá más adelante. Deasarrollaremos la matriz general para las estructuras tipo parrillas la cual la aremos en los dos sentidos fundamentales en que van las estructuras (x & y). Dicha ecuación resulta entonces así: Si se realiza un análisis estatico lineal es suficiente considerar las fuerzas externas aplicadas iguales a las fuerzas de reacción elásticas de la estructura “

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”.Entonces:

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Donde: : Vector de fuerzas externas de la estructura. : Matriz de rigidez de la estructura. : Vector de desplazamiento de la estructura.

….. (10)

MATRIZ DE COORDENADA LOCALES

1. Matriz De Rigidez Para Elementos Orientados En La Dirección Del Eje X La matriz de rigidez se obtiene por el método de los desplazamientos unitarios, resolviendo los seis problemas siguientes:

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a) ESTADO 1: Se impone un valor unitario al giro de torsión del elemento. Los resultados se indican en las siguientes figuras, siendo G el módulo de elasticidad en cortadura y J la constante de rigidez a la torsión de la sección recta de la viga, de tal forma que el producto GJ sea la rigidez a torsión. Para secciones Circulares, J es el momento de inercia polar de la sección, y para otros tipos de sección se debe aplicar la teoría de la torsión correspondiente.

Demostración:

pero entonces por lo tanto: Ahora como solo hay torsión se entiende que las demás fuerzas aplicadas son igual a cero ya que no generan ningún tipo de cambio en la estructura. Entonces la primera columna será:

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ANALISIS MATRICIAL DE ELEMENTOS TIPO PARRILLA b) ESTADO 2:

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=1

Se impone un valor unitario al giro, como se muestra en la figura, en la que se representa el elemento en su plano X y Z. Este problema corresponde al elemento de viga plana en dos dimensiones.

Demostración:

pero ya que no hay giro en el sentido x, en otras palabras no hay torsión en ese eje. entonces por lo tanto: Ahora de la ecuación de Maney

Convención de signos: Todo efecto horario positivo Donde:

Aplicando Maney:

Entonces:

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Ahora:

Donde:

Entonces:

Por superposición de fuerzas:

Además

Por lo tanto la segunda columna quedaría:

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c) ESTADO 3: vzi=1 Se impone un desplazamiento unitario a viz. Este problema corresponde al elemento de viga plana en dos dimensiones.

-

Como podemos ver no se presenta giro en la dirección x por lo serán cero cono en la columna anterior por ende los casilleros 1 y 4 de la columna número 3 serán cero. Ahora aplicando Maney: Para i será:

donde Para j será:

Donde:

Por lo tanto los momentos en i y j será:

Por equilibrio de fuerzas:

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Por lo tanto la matriz resultante de la columna numero 3 sera:

d) ESTADO 4:

Pero Entonces Por lo tanto: Entonces la matriz resultante de la columna numero 4 sera:

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e) ESTADO 5:

pero

ya que no hay giro en el sentido x

entonces por lo tanto: Ahora por Maney:

Donde:

Entonces: por lo tanto: AREA DE ESTRUCTURAS

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Donde:

Entonces: por lo tanto

Por superposición de fuerzas:

Además

Por lo tanto la segunda columna quedaría:

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f) ESTADO 6 : vjz=1

Como podemos ver no se presenta giro en la dirección x por lo serán cero cono en la columna anterior por ende los casilleros 1 y 4 de la columna número 3 serán cero. Ahora aplicando Maney:

pero Para j será:

Donde:

Por lo tanto los momentos en i y j será:

Como salen negativos entonces en nuesrta convención de signos saldrán positivos por lo tanto:

Por equilibrio de fuerzas:

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Y

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sera:

Por lo tanto la matriz resultante de la columna numero 3 sera:

Ahora los momentos en sentido horario resultan positivos, contrario a lo que se tenia para elementos de pórticos. En cuanto al segundo caso, o sea la parte de torsión, la ecuación básica es la (9). Ampliando ahora las ecuaciones (9) y (10) para poderlas sumar, teniendo en cuenta en ambos casos los momentos de empotramiento que reemplazan las cargas intermedias, se obtiene la ecuación definitiva del elemento de parilla, referida a coordenadas locales, que se muestra a continuación. Es obvia que dicha ecuación es también valida en el sistema de coordenadas generales para aquellos elementos orientados en la dirección del eje X.

….(11)

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2. Matriz De Rigidez Para Elementos Orientados En La Dirección Del Eje Y:

Un caso frecuente es el de parrilla con miembros dispuestos perpendicularmente entre sí; ejemplo de ello son el sistema conocido como reticular celulado, algunas superestructuras de puentes y cierto tipo de cimentaciones. Para un elemento orientado en la dirección del eje "y", el significado físico de la matriz de rigidez y las figuras mostradas a continuación conducen a la ecuación de matriz de rigidez orientado al eje "y".

La demostración de las ecuaciones se realizaran como en el desarrollo de la matriz de rigidez orientada en el eje x por esta razón solo se pasaran a nombrarlas ya que el cálculo se dejara como ejercicio para el alumno.

a) ESTADO 1 :

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b) ESTADO 2:

c) ESTADO 3 : viz=1

d) ESTADO 4 :

xj=1

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ANALISIS MATRICIAL DE ELEMENTOS TIPO PARRILLA e) ESTADO 5 :

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yj=1

f) ESTADO 6: vjz=1

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Superponiendo todas las columnas obtenemos la matriz de rigidez con dirección en Y:

… (12)

Esta es la ecuación básica de un elemento de parrilla orientado en la dirección del eje y del sistema de coordenadas locales.

MATRIZ DE COORDENADA GENERALES

Se representa el caso general de un elemento de parrilla arbitrariamente orientado en el plano de la misma:

Comparando la figura visto en plano con la figura de un pórtico girado arbitrariamente, se ve que gracias a la rotación de ejes los dos casos son completamente análogas y, por consiguiente, la matriz de transformación

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resulta definida así:

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Hallando la matriz de transformación: En el extremo “i” del elemento estructural los vectores a rotar son los correspondientes a los grados de libertad 1 y 2 es decir “x” y “y”.

De la grafica: : Vectores sistema Coordenada Local : Vectores sistema Coordenada Global

De (1) y (2):

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Expresamos matricialmente:

Ahora aplicando el tercer grado de libertad: Resultaría una matriz

Para simplificar las formulas vamos a tomar como:

Y la matriz de transformación seria:

Y la matriz transpuesta seria:

Por consiguiente la matriz quedará como sigue: La rotación del sistema de ejes generales tubo por objeto lograr esta concordancia para beneficiarse de ella, en especial al resolver los problemas mediante computadora, pero naturalmente, podrían haberse dejado los mismos ejes y haber localizado la parrilla en los planos XY, XZ o YZ, según prefiriera el calculista.

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Recordando que la matriz de rigidez, referida a coordenadas generales se puede obtener mediante el triple producto:

Y reemplazando en esta fórmula las matrices definidas por las ecuaciones se llega a la siguiente ecuación general aplicada al elemento de parrilla arbitrariamente orientado en el plano de esta, con esta ecuación es posible resolver toda clase de ecuaciones planas; la utilización se explicara con los siguientes ejercicios.

Con la ecuación de matriz de rigidez orientado en la dirección "x" y con la matriz de rigidez orientado en la dirección "y", es posible analizar todo tipo de parrillas ortogonales presentados en estructuras de este tipo.

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Una vez demostrado todas las formulas presentes en el análisis matricial de estructuras tipo parrillas vamos a desarrollar un ejercicio de aplicación de cada uno de los casos tanto en eje local como el eje general usando las formulas demostradas en este texto.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

EJEMPLO 1: Resuelva matricialmente la estructura descrita a continuación:

Ambos elementos tienen una sección de 300mm x 400mm (b x h), el modulo de elasticidad vale 19KN/mm2 y la relación de Poisson 0.20.

SOLUCIÓN: Se numeran los nudos y se orientan los elementos de la siguiente manera:

Calculando las propiedades:

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Las propiedades auxiliares resultan así:

ELEMENTO

L

GJ/L

2EI/L

4EI/L

6EI/L2

12EI/L3

1_2

2.4

6410

25330

50670

31670

26390

1_3

3

5130

20270

40530

20270

13510

Las fuerzas de empotramiento son:

Al reemplazar en la ecuación (11), aplicable al elemento 1 -2 se obtiene:

Para el elemento 1 -3, se utiliza la ecuación (12):

Ensamblando las partes correspondientes al nudo libre, resulta:

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Resolviendo el sistema:

Las fuerzas internas se calculan reemplazando estos valores en ecuaciones individuales:

Verificando el equilibrio:

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DFC (KN)

DMF (KN.m)

TORSION (KN.m)

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ELÁSTICA

EJEMPLO 2: DE LA MATRIZ EN CUALQUIER DIRECCION Analice completamente la estructura de la figura, ambos elementos tienen una sección DE 300x350mm. E=19KN/mm2, G=7.5KN/mm2

SOLUCIÓN: Se enumeran los nudos y se escoge la orientación de los elementos:

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Calculando las propiedades:

Para el elemento 1-2:

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Fuerzas de empotramiento:

La transformación a coordenadas generales se puede hacer utilizando la ecuación (13), o directamente por trigonometría:

Las fuerzas en Z, por ser normales al plano, no sufren ningun cambio:

Quedando:

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Ensamblando los términos correspondientes al nudo libre:

Resolviendo el sistema se obtienen los desplazamientos desconocidos:

Para hallar las fuerzas internas y las reacciones se reemplazan estos valores en las ecuaciones individuales. Al hacerlo se obtiene:

Para convertir estos valores a coordenadas locales se emplea la ecuación (13):

Para el elemento 3 – 1:

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Verificando el equilibrio:

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CONCLUSIONES

Al observar que tipo de estructura se va analizar, el analista puede ver cuales son los esfuerzos predominantes en la estructura, con lo que se puede definir la cantidad de desplazamientos o grados de libertad que existen y con ello saber de antemano cuantas filas y columnas tendrá la matriz de rigidez fundamental en el método de rigidez. El método de rigidez básico no se adapta para el análisis de estructuras de gran envergadura para elaborarlo a mano, tanto en teoría como en aplicación; sin embargo el método directo de las rigideces es posible formularlo en términos de algoritmos sencillos, aplicables a la gran variedad de estructuras, requiriéndose para el mismo la disponibilidad de una computadora. Se concluye que una de las ventajas que presenta el planteamiento matricial, es que cualquier número de cargas se pueden considerar fácilmente, una vez calculada la matriz de rigidez. Con la llegada de las computadoras, el método de la rigidez se adapta mucho mejor que cualquier otro método de análisis al uso de la computadora, de ahí que sea el método mas usado en la actualidad.

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ANEXOS

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EJEMPLO APLICATIVO EN MATHCAD MANUAL DE USO DEL MATHCAD 14 1. PROCEOS DE INSTALACION:  Insertar archivo del software: MATHCAD 14  ABRIR ARCHIVO: Ir a archivo Setup y hacer clip para iniciar la instalación. Abrir el crack y ver las instrucciones de instancian, después para copiar el numero de serial y continúe la instalación.

 Una vez elegido donde instalar y terminado el proceso. Copiar los archivos del crack en la carpeta donde eligió instalar (archivos del programa) e copiar los archivos detallados en el crack.comoseve en la pantalla.

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2. EJEMPLO Nº1 3. INICIO DEL PROGRAMA:  Se activa un nuevo formato para inicio del ejemplo:

 Se procede a guardar el ejercicio en la carpeta deseada

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 Poner el cursor en la hoja y editar directo el nombre del ejemplo.

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 Dar el formato respectivo con editor de texto que está en la pantalla como se ve en la figura.  Se introduce los datos escribiendo la variable y evaluándola utilizando el comando “evaluation”, y de esta manera damos a conocer todas nuestras variables y sus respectivos valores

 Se procede a realizar los cálculos previos como son el valor de la constante torsional, la cual la evaluamos con la opción de “definition”

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 Es se realizara el ingreso de cada factor que interviene en la resolución del ejercicio  A continuación realizar los cálculos de los valores de momentos de empotramiento

 Para esto definimos cada momento por ejemplo Mfy=0, esto lo realizamos utilizando en la barra de herramienta el comando evaluation, y se escoge según la función deseada ya sea igualdad o definición.

 El mismo procedimiento será realizado en cada elemento.  A continuación procedemos los valores de la matriz de rigidez , vector de fuerza y vector de desplazamiento de cada elemento

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 Ingresamos el vector de fuerzas, para esto vamos a la barra de herramientas y seleccionamos “wiew” se desplegara una ventana seleccionamos toolbar y finalmente math

 Al realizar estas operaciones aparecerá la ventana del math que contiene la función de la matriz, seleccionamos esta y nos mostrara cuantas columnas y filas deseamos en nuestro caso para el vector de fuerzas es un matriz de 6x1

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 Procedemos a ingresar los valores de la matriz de rigidez para lo cual a esta la denominamos k esta estará definida con “:”, par luego introducir la función de la matriz de 6x6

 Para obtener el resultado evaluamos a la variable de la matriz de rigidez con la igualdad, al realizar esto nos muestra el valor de esta.

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 El mismos procedimiento se realizara para el elemento 1-3  Para obtener la ecuación que nos dará los valores de los giros y desplazamiento será necesario ensamblar respecto al nudo libre, para esto definimos cada elemento de la ecuación y así obtener este valor.

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 Primero ingresamos la matriz de fuerza utilizando los comandos ya mencionados, luego ensamblamos las matrices de rigidez de cada elemento para esto sumamos respecto al nudo 1

 Obtenidos los valores procedemos a reemplazarla en cada ecuación de los elementos y de esta manera obtener el vector de fuerzas de la estructura

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4. EJEMPLO Nº2 5. INICIO DEL PROGRAMA:  Se activa un nuevo formato para inicio del ejemplo:

 Se procede a guardar el ejercicio en la carpeta deseada

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 Poner el cursor en la hoja y editar directo el nombre del ejemplo.

 Dar el formato respectivo con editor de texto que está en la pantalla como se ve en la figura.  Se introduce los datos escribiendo la variable y evaluándola utilizando el comando “evaluation”, y de esta manera damos a conocer todas nuestras variables y sus respectivos valores

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 Se procede a realizar los cálculos previos como son el valor de la constante torsional, la cual la evaluamos con la opción de “definition” al igual que el primer ejemplo

 Es se realizara el ingreso de cada factor que interviene en la resolución del ejercicio  A continuación realizar los cálculos de los valores de momentos de empotramiento, para este caso lo evaluaremos en la parrilla arbitrariamente orientada

 Para esto definimos cada momento por ejemplo Mfy=0, esto lo realizamos utilizando en la barra de herramienta el comando evaluation, y se escoge según la función deseada ya sea igualdad o definición.

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 El mismo procedimiento será realizado en cada elemento.  A continuación procedemos los valores de la matriz de rigidez , vector de fuerza y vector de desplazamiento de cada elemento

 Ingresamos el vector de fuerzas, para esto vamos a la barra de herramientas y seleccionamos “wiew” se desplegara una ventana seleccionamos toolbar y finalmente math  Al realizar estas operaciones aparecerá la ventana del math que contiene la función de la matriz, seleccionamos esta y nos mostrara cuantas columnas y filas deseamos en nuestro caso para el vector de fuerzas es un matriz de 6x1

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 Procedemos a ingresar los valores de la matriz de rigidez para lo cual a esta la denominamos k esta estará definida con “:”, par luego introducir la función de la matriz de 6x6

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 Para obtener el resultado evaluamos a la variable de la matriz de rigidez con la igualdad, al realizar esto nos muestra el valor de esta.

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 El mismos procedimiento se realizara para el elemento 1-3  Para obtener la ecuación que nos dará los valores de los giros y desplazamiento será necesario ensamblar respecto al nudo libre, para esto definimos cada elemento de la ecuación y así obtener este valor.  Primero ingresamos la matriz de fuerza utilizando los comandos ya mencionados, luego ensamblamos las matrices de rigidez de cada elemento para esto sumamos respecto al nudo 1

 Obtenidos los valores procedemos a reemplazarla en cada ecuación de los elementos y de esta manera obtener el vector de fuerzas de la estructura

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 Para transformarla en coordenadas locales utilizamos la matriz de transformación.

 Y así obtendremos los valores del vector de fuerzas para cada elmento

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CUADRO COMPARATIVO EJEMPLO Nº1 SOLUCION MANUAL MATHCAD 14.76 14.76 16.31 16.3 -34.63 -34.61 -14.76 -14.76 126.85 126.78 84.63 84.61

-14.76 -16.31 -5.37 -91.31 16.31 65.37

-14.76 -16.3 -5.39 -91.4 16.3 65.39

SAP2000 14.84 16.25 -34.47 -14.84 126.49 84.47

-14.84 16.31 -5.53 -91.74 16.25 65.53

CUADRO COMPARATIVO EJEMPLO Nº2 SOLUCION MANUAL MATHCAD 24.22 24.3 47.62 47.74 1.97 2.06 -24.33 -24.3 191.76 191.94 98.03 97.94

-23.57 -200.02 121.97 23.57 -47.95 -1.97

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-23.62 -200.17 122.06 23.62 -48.08 -2.06

SAP2000 24.29 47.74 2.06 24.29 191.96 97.94

23.62 -200.16 122.06 23.62 48.08 -2.06

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BIBLIOGRAFIA AUTOR: JAIRO URIBE ESCAMILLA LIBRO: "ANALISIS DE ESTRUCTURAS" SEGUNDA EDICION

AUTOR: VICTOR CAROLHERNANDEZ MONZON LIBRO: "GUIA DE ESTUDIO DEL CURSO ANALISIS ESTRUCTURAL II"

AUTOR: JUAN TOMÁS CELIGÜETA LIBRO: " ANALISIS ESTRUCTURAL"

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