EJERCICIOS SOBRE RENTAS O ANUALIDADES 1.
1a tercera oferta era de S/ )0,48 al mes durante 3 años, sin en(anc-e* omando como "ase una tasa de interés del 0*. mensual converti"le cada mes, ¿Cuál de estas ofertas es al más venta&osa para el Sr* iméne!# Tasa:
¿Cuál es el valor presente de S/ 350 depositados en una cuenta al final de cada trimestre durante 4 años, si la tasa de interés es del 28 capitali!a"le en forma trimestral# Tasa: 28 I = =7 trimestral 4 Solución:
[
( 1 + 0.07 )16−1 s =350 16 0.07 ( 1+ 0.07 )
I =0.6 mensual
Solución:
]
a.
S =350,000
b.
( 1 + 0.006 )30−1 S =100000 + 10200 30 0.006 ( 1 + 0.006 )
S =379,276.71
$a%uel dese &u"ilarse en este año, ' cree %ue necesitará S/ 5,000 cada mes durante los si(uientes )5 años* Su "anc "a nco o le pa pa(a (a el 22 co comp mpue uest sto o me mens nsua ualm lmen ente te** ¿Cuánto dinero de"e tener depositado para poder retirar la cantidad especificada cada mes# Tasa:
I =
c.
S =5000
[
( 1 +0.01833 … )180−1 0.01833 …
[
( 1+ 0.006 )36−1 S =10498 36 0.006 ( 1 + 0.006 )
]
¿Cuánt ¿Cuá nto o se titien ene e %u %ue e de depo posi sita tarr ca cada da me mess en un una a inversin %ue (aan el ) , capitali!a"le mensualmente, para tener S/ 5,000 al final de 4 años# Tasa:
I =
S =6,903,915.75 3.
75000= R
S =8000 + 2866.66
[
( 1 +0.025 )30−1 30 0.025 ( 1+ 0.025 )
S = 8000 + 60000.23
S =68,000.03 l Sr* iméne! reci"i 3 ofertas para la compra de su propiedad, propi edad, u"icada en 1os Sauceas* 1a prime primerr consi consista sta en S/ 350,000 de contado* 1a se(unda consista en S/ )00,000 al contado ' S/ )0,200 al mes durante 30 meses*
[
19 =1.5833 … mensual 12
(1 +0.015833 …)48−1 0.015833 …
]
R=1,055.01
30 2.5 mensual =2.5 mensual 12
Solución:
4.
Solución:
+n distri"uidor de automviles ofreci a un cliente un coc-e nuevo mediante un pa(o inicial de S/ 8,000 ' 30 pa(os mensuales de S/ 2,8..*.. cada uno* Si se car(a una tasa de interés del 30 capitali!a"le mensualmente encuentre el valor de contrato del automvil* Tasa:
I =
]
S =338,988.28
22 1.833333333 mensual =1.833333333 mensual 12 .
Solución:
]
S =100000 + 279276.71
S =3,306.33 2.
[
!.
]
+na compaña necesitará reponer una má%uina dentro de . años, la cual, en ese momento tendrá un valor de dese de secc-o o de S/ ), ),00 000* 0* 6e ac acue uerd rdo o a lo loss es estu tudi dios os reali!ados, se espera %ue la má%uina cueste alrededor de S/ 20 20,,00 000 0 ' se de deci cide de es estta" a"le lece cerr un fo fond ndo o de amorti!acin para cu"rir el costo* Si se puede o"tener el 8 cap capita itali! li!a"l a"le e cad cada a sem semest estre, re, ¿Cu ¿Cuánt ánto o se tie tiene ne %ue depositar cada . meses para tener el dinero para reponer la má%uina al final de su vida 7til# Tasa: 8 I = = 4 semestral 2 Solución:
19000= R
[
(1 +0.04 )12−1 0.04
]
I =S −C
I =72000−2198.54
19000= R ( 15.02580546 )
I =53.033.30
R=1,264.40 ".
1a Sra* (uilar es la "eneficiaria de un se(uro de vida por .50 mil soles* lla esco(i no tomar la cantidad de contado, sino reci"ir un in(reso mensual fi&o durante los pr9imos )2 años* Si el dinero se encuentra invertido al 22 anual capitali!a"le cada mes, ¿:ué cantidad reci"irá cada mes la Sra* (uilar# Tasa:
I =
Solución:
650000= R
[
12*< ¿Cuántos depsitos mensuales de S* / )45 cada uno se de"en -acer para acumular un total de S*/ 34.4 si se (anan intereses del )*83 mensual capitali!a"le cada mes# =>?> $? S 6 A?$BS A=;>
22 =1.833333333 mensual 12
( 1 + 0.0183333 )144−1 0.018333
]
650000= R ( 691.7534167 )
3464 =145
(
3464 =145
(
S@ 34.4 $@)45 i@ )*83 @ 0*0 n@#
(1+ 0.0183 )n−1 0.0183
( 1.0183 )n−1 0.0183
)
)
R= 939.64 #.
+na familia compra un terreno %ue cuesta S/ 80,000* ;a(an un en(anc-e del )0 del precio de contado ' o"tiene una -ipoteca a 5 años para pa(ar el resto al 2 converti"le mensualmente* ¿Cuál es el valor de los pa(os mensuales# ¿ cuánto asciende el total de los intereses %ue pa(arán# Tasa: 27 I = =2.25 mensual 12 Solución:
[
( 1+ 0.0225 )60−1 72000= R 60 0.0225 ( 1 + 0.0225 ) 72000= R ( 32.74895285) R=2,198.54
C =
C =18,946.70
72000
( 1 + 0.0225 )60
]
23.88965517=
(
( 1.0183 )n−1 0.0183
1.43718069=( 1.0183 )
)
n
log ( 1.43718069 )=n log ( 1.0183 )
log ( 1.43718069 ) =n log ( 1.0183 ) n =19.9955333 n =19 meses y 29 dias 13.$ Se desea formar un monto de S* / )450*2. mediante depsitos cada dos meses vencidos de S* / 430*23 cada uno* Calcular cuántos depsitos se de"en -acer si se (anan intereses del )8*3 capitali!a"le cada "imestre* =>?> S 6 A?$BS
S@ )450*2. i@ )8*3/. @ 3*0
$? A=;>
$@ 430*23 n@#
17450.26= 430.23
(
40.56030495 =
(
(1+ 0.0305 )n−1 0.0305
n
( 1 + 0.0305 ) −1 0.0305
2.237089301=( 1.0305 )
)
log ( 1.243972446 ) =n log ( 1.01125 ) n =19.51427088 n =19 pagos quincenales
)
14.2.$ ¿Cuántos pa(os mensuales de S* / )05 cada uno de"emos reali!ar para amorti!ar una deuda por S* / 830 si se pa(an intereses al 2)*5 mensual capitali!a"le cada mes# CORRE%IR A&ITA
n
=>?> $? S 6 A?$BS A=;>
log ( 2.237089301 )=n log (1.0305)
log ( 2.237089301 ) =n log ( 1.0305 )
S@830 $@)05 i@2*)5@0*02)5 n@#
(
( 1 +0.0215 )n −1 830=105 n 0.0215 ( 1 +0.0215 )
)
n =26.79977199 1.169952381=( 1.0215 )
n
n =26 bimestres log ( 1.169952381 )=n log ( 1.0215 ) 14.1*< ¿Cuántos pa(os %uincenales de S* / 3)*5 de"erán -acerse para cancelar una deuda de S* / 8500, con el 2 de interés converti"le cada %uincena# =>?> $? S 6 A?$BS A=;>
21.6864396 =
S@ 8500 $@3)*5 i@ 2/24@ )*)25@0*0))25 n@ #
log (1.0215 )
n =7.378810164
(
(1 + 0.01125 )n−1
(
( 1.01125 )n−1
8500= 391.95
log ( 1.169952381 )
0.01125
0.01125
1.243972446=( 1.01125 )
)
)
=n
n =7 meses y 11 dias
1.$ omas se (an S* / 50,000 en la lotera* ;iensa depositar este dinero en una inversin "ancaria %ue le da el 24 cada mes e ir retirando S* / ).,000 mensuales, con el fin de vivir un tiempo sin tra"a&ar, -asta %ue el dinero se a(ote* ¿Cuántos retiros podrá efectuar# =>?> $? S 6 A?$BS A=;>
S@50,000 $@).,000 A@24/)2@2@0*02 n@#
n
log ( 1.243972446 )=n log (1.01125 )
950,000= 16,000
(
(1 + 0.02 )n−1 0.02
)
2.1875=( 1.02 )
(
n
)
(1 + 0.01 )180−1−1 S =3000 +1 180 −1 0.01 ( 1 + 0.01 )
log ( 2.1875 )=n log ( 1.02 ) S =3000 log ( 2.1875 ) =n log ( 1.02 )
)
S =3000 ( 84.15488201 ) n =39.52805492
n =39 meses y 15 dias 1!.$ +na persona arrienda una casa en S* / 50*000 pa(aderos por mes anticipado* Si tan pronto como reci"e el arriendo lo invierte en un fondo %ue le pa(a el 2 efectivo mensual* ¿Cuál será el monto de sus a-orros al final del año#
S =252464.65 1#.$ +na persona reci"e tres ofertas para la compra de su propiedad DaE S*/ )0*000 de contado ' S*/ 50*000 semestrales, durante 2 años ' medio DcE S*/ 20*000 por trimestre anticipado durante 3 años ' un pa(o de S*/ 250*000, al finali!ar el cuarto año* ¿:ué oferta de"es esco(er si al tasa de interés es del 8 anual#
is=( √ 1 + 0.08 −1 ) 100 S@# $@50,000 i@2@0*02 is=0.03923048454 n@)año @)2meses
=>?> $? S 6 A?$BS A=;>
S =50.000
(
4.936437599 +1 0.059364375
(
( 1 +0.02 )12−1−1 0.02
)(
1+ 0.02 )
VA =190000 + 50000
(
( 1 + 0.03923048454 )5−1 0.03923048454 ( 1 + 0.0392304845
VA =190000 + 223073.12
VA = 413073.12
S =50.000 ( 12.16871542 ) (1.02) it =( √ 1 + 0.08 −1 ) 100 4
S =620604.49
it =0.01942654691
(
)
( 1+ 0.01942645691 )11+ 1 VA =20000 + 250 11 0.01942654691 ( 1 + 0.01942654691 ) 1".$ Calcular el valor de Contado de una propiedad vendida a )5 años de pla!o, con pa(os de S*/ 3*000 mensuales por mes anticipado, si la tasa de interés es del )2 converti"le mensualmente* =>?> $? S 6 A?$BS A=;>
S@# $@3000 i@)2/)2@)@0*0) n@)5 años@ )80 meses
VA =216376.99 + 183757346 VA = 400134.45
1'.$ ¿Cuál es el valor presente de una renta de S* / 500 depositada a principio de cada mes, durante )5 años en una cuenta de a-orros %ue (ana el , converti"le mensualmente#
21.$ Sustituir una serie de pa(os de S* / 8*000 al final de cada año, por el e%uivalente en pa(os mensuales anticipados, con un interés del converti"le mensualmente* ?ota Supon(a %ue para la serie de pa(os aplica la misma tasa de interés*
F1>$ C+1 $? S 6 A?$BS A=;>
A@/)2@0*5@0*005
VA =500
VA =500
(
F@# $@500 A@/)2@0*5@0*005 n@ )5 años@ )80 meses
(
180 − 1
( 1 + 0.0075 ) +1 +1 180 −1 ( 1 + 0.075 )
4.809472226 3.80947226
+1
8000
(
( 1 + 0.09 )1−1
8000
(
1.09 −1 0.09
)
)
0.09
=>?> $? S 6 A?$BS A=;>
S@)80000 $@# A@.@0*0. n@5años
(
( 1+ 0.06 ) −1 +1 5−1 0.06 ( 1 + 0.06 )
(
0.26247696
R= 403125.9
)
5− 1
1800000 = 4.46510564 R
)
R ( 144.8409197 )
R=613.70
2(.$ ¿:ué suma de"e depositarse a principio de cada año, en un fondo %ue a"ona el . para proveer la sustitucin de los e%uipos de una compaña cu'o costo es de S*/2,000*000 ' con una vida 7til de 5años, si valor de salvamento se estima en el )0 del costo#
0.075748617
0.0075
88888.88=144.8409197 R
VA =1131.251772
1800000= R
= R
)=
VA =500 ( 2.262503543)
1800000= R
) (
( 1+ 0.0075 )12−1
+1
)
22.$ +n empleado consi(na S* / 300 al principio de cada mes en una cuenta de a-orros %ue pa(a el 8, converti"le mensualmente* ¿n cuánto tiempo lo(rara a-orrar S* / 30*000# =>?> $? S 6 A?$S A=;>
30.000=300
(
S@30*000 $@300 A@8/)2@0*.......@0*00..... n@#
( 1 +0.0066666 )n−1 0.0066666
)
n
1.6666666=( 1.00666666 )
log ( 1.666666 ) =n log ( 1.006666 )
n =76.8791371 n = 76 meses y 26 días 23.$ +n automvil se vende en S* / 22,000 pidiendo S*/ 5,000 de en(anc-e ' . pa(os de S*/2,000 al mes, as como un séptimo pa(o (lo"al final* Si la tasa de interés es del 28
capitali!a"le cada mes* ¿Cuál será el pa(o (lo"al final#
17000=2000
(
)
6
( 1 +0.023333 ) −1 x + 6 ( 1 +0.02333 )7 0.02333 ( 1.02333 )
17000=11077.92+
Solución: 10,000=1,447.42
[
( 1+ 0.1098 )n−1 0.1098
]
x ( 1 + 0.1098 )
log ( 1.683538609 ) =n log ( 1.1098 )
x 1.175221549
4.999988468 =n 5922.08=
5 semestres=n
x 1.175221549 x =6959.76
24.$ l 6r* Silva desea renunciar S*/ 30,000 con el propsito de reali!ar un via&e en compaña de su familia a 6isne' Gorld, dentro de un año ' medio* Con este fin invierte S* / ),4)*40 cada mes, empe!ando de inmediato, en una cuenta de a-orros %ue le pa(a una tasa de interés del )*.8 mensual* l da %ue fue a depositar el noveno pa(o, se le informo %ue la tasa de interés "a&o al )*)2 mensual* ¿:ué cantidad de"erá depositar cada mes, a partir de ese momento, con el fin de lo(rar acumular el monto deseado#
(
S =1417.40 ⌈
8
( 1 + 0.0168 ) −1 0.0168
)
2!.$ ¿Cuántos pa(os mensuales anticipados de S/ .50*20 cada uno, de"en -acerse para amorti!ar una deuda de S/ .,000 si -a' %ue pa(ar intereses al 22 capitali!a"le cada mes# Da)os: nDmensual anticipadoE @ # $ @ .50*20 S @ .000 i@ 22 iem Solución:
6,000= 650.20
+1417.40 ⌉ ( 1.00112 )9
[
( 1 +0.018 3^ )n −1
log ( 1.166132944 ) log ( 1.018 3^ )
S =14863.94
22 =1.8 3^ 12
0.018 3^
]
x ( 1+ 0.018 3^ )
=n
8.459873772 =n 15136.06= R
(
( 1 + 0.0112 )9−1 0.0112
)
−1 ( 1 +0.0112 )
16136.06= R ( 9.519351838 )
R=1590.0 2.$ ¿Cuántos depsitos semestrales anticipados de S/ ),44*42 cada uno, se de"en -acer para acumular un monto de S/ )0,000# 1a tasa de interés es del )0*8 semestral* Da)os: ?DsemestralE @ # $ @ )44*42 S @ )0,000 ies @ )0*8
8 meses =n 2".$ +na tienda de artculos electrnicos ofrece una videocámara, cu'o precio de contado es de S/ 4,85, en mensualidades anticipadas de S/ )8*40 cada una* ncuentre el n7mero de pa(os mensuales, si se car(a el 24*. de interés compuesto cada mes* Da)os: nDmensual anticipadoE @ # $ @ )8*40 S @ 4,85 i@ 24*. Solución:
4,785 =187.40
[
(1 +0.246 )n−1
log ( 6.041147681 ) log ( 1.246 )
0.246
]
x ( 1+ 0.246 )
[
(1 + 0.0225 )36−1 3 ' 450,000 = R 36 0.0225 ( 1 + 0.0225 ) 3 ' 450,000 = R 24.49466579
=n
8.17771631=¿
140 , 846.9921= R
8 meses =n 2#.$ l in(eniero +ri"e deposita S/ 450 a principios de cada mes en una cuenta de a-orros* Si la cuenta le pa(a un interés de 2)*2 capitali!a"le cada mes, ¿n cuánto tiempo lo(rará a-orrar S/ ,000# Da)os: nDmensual anticipadoE @ # $ @ 450 S @ ,000 21.2 i@ 2)*2 iem ^
12
=1.7 6
3(.$ $esuelva el pro"lema anterior si durante el periodo de (racia -a' servicios de intereses* Da)os: n@ 3. cuotas mensuales vencidas $ @# F @ 3H450,000 ;* I$CA @ ) año D)2 mesesE
i=
Solución:
Solución:
[
]
( 1 + 0.017 6^ )n−1 77,000= 450 x ( 1 + 0.017 ^6 ) 0.017 6^
[
log ( 1.017 6^ )
18.75476895
=n
27 =2 12
]
( 1 + 0.0225 )36−1 3 450,000= R x ( 1 + 0.0225 ) 36 0.0225 ( 1+ 0.0225 ) '
3 ' 450,000
log ( 3.970484405 )
]
= R
183,953.2126= R
78.73770177= n 79 meses =n 2'.$ Con el fin de construir un edificio, destinado a renta de oficinas, un inversionista o"tiene un préstamo de S/ 3, 450,000 %ue se va a li%uidar en 3. pa(os mensuales vencidos, después de un periodo de (racia de un año* >"ten(a el valor del pa(o mensual sa"iendo %ue la tasa de interés es de 2 capitali!a"le mensualmente* Da)os: n@ 3. cuotas mensuales vencidas $ @# F @ 3H450,000 ;* I$CA @ ) año i@ 2 iem Solución:
27 =2.25 12
31.$+na padre de familia, en el da en %ue su -i&a cumpla )5 años, %uiere sa"er %ue cantidad de dinero tiene %ue depositar en una cuenta %ue le pa(a intereses al )8*35 compuesto cada año, de tal forma %ue al -i&a reci"a cada año S/ )00,000 cuando cumpla 2), 22, 23,24 ' 25 años, respectivamente* Da)os: S@ 5 años J )00,000 S * ((+((( $ @# n Ddepsitos a partir de los )5 años -asta los 20 añosE @ . pa(os anuales i@ )8*35 Solución:
[[
500,000= R
(1 +0.1835 )6 −1 0.1835
]
]
x ( 1 + 0.1835 ) x ( 1 + 0.1
$ @)0,830 n @ )2 pa(os mensuales i@ 2*5
500000 = R 26.17602431
Solución: -i/0o:
19,101.45 = R 32.$ l precio de contado de una casa es de S/ 400,000* Se puede comprar a crédito, sin en(aanc-e, pa(ando S/ )8,000 cada fin de mes* Si se da un periodo de (racia de 3 meses ' la tasa de interés es del 2*8 mensual, calcular el n7mero de pa(os %ue de"en -acerse ' a&ustar la mensualidad a la parte entera del resultado*
St =10,830
S * 4((+((( $ @ )8,000 Dfin de mesE ;* (racia @ 3 meses i@ 2*8 Solución:
400,000 =18,000
[
Sp =10,830
(1 +0.028 )n−1
x ( 1+ 0.025 )
0.028
]
0.028
]
St − Sp =58528.8494 Sf =58528.8494 ( 1 + 0.025 )
4
Sf = 64604.89844
&uste de mensualidad n @ )8 meses K 3 meses Dperiodo de (raciaE n @ 2) meses
[
0.025
-o l)i/o:
18 meses =n
( 1 +0.028 )21− 1
[
( 1+ 0.025 )8−1
Sp =94612.1352
17.51924769=n
]
34*<+n documento estipula pa(os trimestrales de S/ 80,000 durante . años* Si este documento se cancela con un solo pa(o de E l principio o LE al final* 6eterminar F ' S suponiendo un interés del 32 C* Da)os:
400000 = R 28.06760315
n@ . años D24 trimestresE
14 251.30596 = R
i@ 32
33*<+na escuela compro 20 microcomputadoras el 2. de diciem"re ' se acuerda saldar la deuda mediante )2 pa(os mensuales de S/ )0*830, -aciendo el primer pa(o el 2. de &ulio del si(uiente año, si después de reali!ar el octavo pa(o se de&an de reali!ar los si(uientes tres, ¿:ué pa(o 7nico se de"erá -acer al vencer el 7ltimo pa(o pactado ori(inalmente para saldar completamente la deuda# 1a tasa de interés es de 30 compuesto en forma mensual*
S *,
]
St =153,140.9846
log ( 1.622222222 ) =n log ( 1.028 )
Da)os:
0.025
S0uno:
Da)os:
400,000 = R
[
( 1 +0.025 )12−1
$ @80,000 DtrimestralE iet
Solución: UN SOLO -A%O: E 1 ;$A?CA;A>
[
( 1 +0.08 )24−1 VA = 80,000 24 0.08 ( 1 + 0.08 ) VA = 842300.6627 LE*<1 MA?1
]
S =80,000
[
( 1 +0.08 )24 −1 0.08
]
-a"er efectuado el pa(o correspondiente a dic-o trimestre se plantea los si(uiente aE*< ¿Cuánto se tendra %ue pa(ar en ese momento para li%uidar su deuda# "E*< ¿Cuánto tendra %ue pa(arle al "anco en ese momento para %ue a futuro sus cuotas de pa(o trimestrales ascienden slo a S/ 4,000# cE*< ¿fecta %ue al calcular el valor de una deuda consideren una menor, por e&emplo* 6el ). #
'
S =5 341,180.737 3.$+na deuda de S/ 50,000 se va a cancelar mediante doce pa(os uniformes $ c/u* con una tasa del 2 efectivo para el periodo, -allar el valor de al cuota situando E la fec-a focal -o' ' LE la fec-a focal en doce meses* Da)os: 6+6@ 50,000 n@ )2 pa(os mensuales $ @# i@ 2 Solución: aE*
C1 N>O
[
( 1 + 0.02 )12−1 50,000= R 12 0.02 ( 1+ 0.02 )
A=;>
5 P>S
S MCAF ?+1
20
F1>$ C+1
)00000
=>?> $?
# #
]
[
( 1 + 0.04663513939 )20−1 100000= R 20 0.04663513939 (1 + 0.04663513939 )
R= 4727.979831 "E*C1 ? 6>C =SS
S = 4727.979831
[
(1 + 0.02 ) −1 12
0.02
]
Da)os: $@ 50,000 n@ )2 pa(os mensuales ?ACA;6>S S@# i@ 2 Solución:
S =50,000
[
12
(1 + 0.02 ) −1 0.02
]
( 1 + 0.02 )
S =684 016.5761 38E 1a empresa Falores S** contrae una deuda con el "anco por S/ )00,000 pa(aderos en 5 años trimestralmente a una tasa efectiva anual del 20 * l finali!ar el 2año, lue(o de
.*2@$?
¿Cuánto de"era de pa(ar para li%uidar mi deuda# F@
[
( 1 + 0.04663513939 )12−1 7796.92 12 0.04663513939 ( 1+ 0.04663513939 )
S =63412.08973
3.*< +na persona arrienda una casa en S/* 50,000 pa(aderos por mes anticipado* Si tan pronto como reci"e el arriendo lo invierte en un fondo %ue le pa(a el 2 efectivo mensual* ¿Cuál será el monto de sus a-orros al final del año#
]
]
F@043.*45
Cuanto de"era pa(ar para %ue mi cuotas sean 4000
[
( 1+ 0.04663513939)12−1 VA = 4000 12 0.04663513939 ( 1 + 0.04663513939 )
]
F@3.)35*52 F@3.)35*52< F@043.*45@ 34300*3 el monto apa(ar para %ue mis cuotas "a&en a 4000 3E ncontrar el monto de un con&unto de 4 pa(os trimestrales de S/ 5,000, si el interés es de 3. converti"le mensualmente* Calcular el valor actual* A=;> S MCAF ?+1
4 pa(os trimestrales
36 3. c/m @ 12 @ 0*03 men
F1>$ C+1
#
=>?> $?
# 5000
S = 4500
[
(1 +0.01639635681)48−1 0.01639635681
]
S@ 324.4)*3.
VA =5000
[
4
( 1 + 0.092727 ) −1 4 0.092727 ( 1 +0.092727 )
]
42* ¿:ué pa(o %uincenal es e%uivalente a uno trimestral de S/ 2,250, si el interés es del 22 capitali!a"le semestralmente# $ D%uincenalE @#
'.
F@).)02*))
$ DtrimestralE@ 2250
40E ncontrar el monto de un con&unto de )0 depsitos mensuales de S/ 2,500 si el interés %ue se (ana es de 30 converti"le semestralmente*
A=;> S MCAF ?+1
)0 depsitos mensuales
30 30 c/S @ 2
ADanualE@22
[
22 =11 2
es
]
ieq = √ ( 1 + 0.11 )−1 x 100 12
@ 0*)5
semestral F1>$ C+1
#
=>?> $?
# 2500
VA =2500
[
(1 +0.02356707312)10−1 0.02356707312
ieq=0.8734593824
]
Rq
F@2880*2 4)E ¿Cuál es el monto ' el valor actual de 24 pa(os "imestrales de S/ 4,500 si el interés es del 5 trimestral# A=;> S MCAF ?+1
24 "imestrales 5 t
F1>$ C+1
#
=>?> $?
# 4500
[
(1 + 0.01639635681)48 −1 VA = 4500 48 0.01639635681 ( 1 + 0.01639635681 ) F@ )482)*5
[
(1 +0.087 … )6−1
Rq=
0.087 …
]
=2250
2250 6.132554801
Rq=366.8
43E ¿:ué pa(o %uincenal es e%uivalente a uno trimestral de S/ 2,250, si el interés es del 22 capitali!a"le semestralmente#
]
A=;> S MCAF ?+1
) año )8 C/=
F1>$ C+1
550
=>?> $?
#
[
( 1 + 0.00747208398 )24−1 5750= R 24 0.00747208398 ( 1+ 0.00747208398 )
]
mensual* ¿Cuántos depsitos de"erá -acer#
A=;> S MCAF ?+1
# 2*5 mensual
F1>$ C+1 =>?> $?
# 8500 55*4
2.2*5@$
44E +n empleado ad%uiere un se(uro para su automvil a través de la pli!a (rupal de la empresa donde tra"a&a* Si el valor de contado del se(uro es de S/ 5,50, la pli!a es vi(ente por un año ' si aplica una tasa del )8 capitali!a"le mensualmente ¿Cuánto se le de"erá descontar %uincenalmente para cu"rir los pa(os# A=;> S MCAF ?+1
2 años )*25
F1>$ C+1
#
=>?> $?
))5000 #
115000 = R
[
( 1 + 0.03110457465)96−1 0.03110457465
]
45E¿+B tasa de interés efectiva anual tendran %ue -acerse )5 depsitos "imestrales de Q.00 para %ue arro&en un monto de )).00 al momento de -acer la 7ltimo#
11600 =600
[
( 1 +i )15−1 i
)5 "imestres # # )).00 .00
]
0.076890625
]
48E l Señor 1pe! tiene 2 empleos, en una (ana S/ ),80 %uincenales ' en el otro S/ 3,50 mensuales* ¿Cuál es el monto mensual de su sueldo (lo"al si reconsidera el interés del )2 anual con capitali!acin trimestral# A=;> S MCAF ?+1
) mes D)RE ' el se(undo )5dias )2 C/ @
S+16> )R
12 4
@0*03
)80 : 380 =
15
1870 ( 1 + 0.004938622031 )
−1= S )8*24@S) K 380 @
585*24 0*22240)588@ i
4.E Se depositan -o' S/ 32,000 ' se -acen 24 retiros trimestrales de S/ 2,000 comen!ando el trimestre si(uiente* ¿:ué tasa anual capitali!a"le semestralmente (an el depsito# A=;> S MCAF ?+1 F1>$ C+1 =>?> $?
[
*.8))32@n
)02*80@$
A=;> S MCAF ?+1 F1>$ C+1 =>?> $?
8500=595.74
( 1 + 0.076890625 )n−1
)5 "imestres # # )).00 .00
4E Si una persona dese ac umular Q 8,500 mediante depsitos trimestrales de S/ 55*4 en una cuenta %ue rinde 2*5
4E ;ara li%uidar una deuda %ue contrae el da de -o', =artn acuerda pa(ar )5 "onos mensuales vencidos de S/ 2,)40 ' un pa(o final de S/ 3,882*2), un mes después del 7ltimo a"ono de S/ 2,)40* Si el interés convenido fue del ) efectivo anual* ¿Cuál es el importe de al deuda# A=;> S MCAF ?+1
)5 mensuales ) efectivo anual
F1>$ C+1 =>?> $?
# # 2)40 ' al final 3882*2)
[
( 1 + 0.01460168705 )15−1 VA =2140 15 0.01460168705 ( 1+ 0.01460168705 )
]
R*32"!.2# 2. un empleado ofrecen li%uidarlo en la empresa donde tra"a&a mediante un pa(o efectivo de 5000 soles si en ve! de aceptar esto desea reci"ir 4000 mensuales v encidos ¿Cuántos pa(os de este valor de"e reci"ir si se consideran intereses de ).c/semestral#
1 + 0.01460168705
¿ ¿ ¿
K3882*28
R*32"!.2#(421
1!52*#
F@3))*8
[ ( 1 +0.08 )
50E ;ara pa(ar un préstamo de S/ 40,000 osé ' 1uis ofrece -acer a"onos %uincenales vencidos durante 2 años* ¿:ué cantidad de"e pa(ar cada )5 das si el interés %ue le co"ran es del 43 converti"le semestralmente#
0.166666… $
95000= 4000 A=;> S MCAF ?+1
[
−1 ]∗100 =1.29
( 1+ 0.0129 ) x −1 0.0129
]
2 años
43 43 C /S @ 2
F1>$ C+1 =>?> $?
6 *2(.#!42#414
@0*2)5
6*21 /0s0s
40000
3. ¿Cuál es el valor actual de25 pa(os semestrales anticipados de 2500 soles el interés 25 c/4 meses#
[
( 1+ 0.01636107324 )48−1 40000 = R 48 0.01636107324 (1 + 0.01636107324 )
[ ( 1 +0.0833333)
]
−1 ]∗100
1.5
*12."!'(#3 s0/0s)al/0n)0 7A*2((
[
)20*4)@$ 1. ¿:ué cantidad "imestral durante 2 años es e%uivalente a )0 pa(os "imestrales de 4500 cada uno si el interés es de2) c/semestralmente#
[( +
1 0.105 )
[( +
1 0.105 )
[
R∗
(1 + A ) ! !12−1 A
7A*2(''#.#3
]
−1 100=5.1189..!" A
]
( )−1 100=3.3841..!" # 1 3
]
7A*2(''#.#2'31
2152*1. SE&ESTRAL 1 2
( 1 +0.127569083 )24−1 +1 0.127569083 ( 1 +0.127569083 )
] [ =4500
(1 +# )10−1 #
]
4. ¿:ué depsito anticipado %uincenal se de"e -acer durante 5 "imestres para acumular 300, )5 das después de reali!ar el 7ltimo depsito, si el dinero produce 24c/mensualmente#
•
[( +
1 0.02 )
1 2
]
−1 ∗100 =0.995049 ..
•
3900= R
[
( 1 + 0.995049)20−1 0.995049
]
∗(1 + 0.995049 )
$@)5*45)84 •
[
]
i bimestral " √ ( 0.07 + 1 )− 1 ∗100 1.5
$@)5*4. . l señor (arnica al%uila una casa por 2800 mensuales anticipados* 1e %uiere proponer a su arrendador para pa(ar su arriendo por trimestre adelantad* Si se considera interés a 20 capitali!a"le semestralmente ¿de cuánto de"erá de ser la renta trimestral#
•
[( +
1 0.1 )
1 6
[
•
[
( 1+ 0.04613 … )11−1 VA = +1 11 0.04613 …∗( 1 + 0.04613 .. )
]
F@55*5.
]
−1 ∗100=1.60118677
•
S =2800
i@4*.)3845*
( 1 + 1.60118677 )−1 1.60118677
]
∗( 1 + 1.60118677 )
F@55*. #. ¿n cuánto tiempo una renta anticipada de 882* %uincenales produce un monto de )4000 al momento de -acer el 7ltimo pa(o si el interés es de )2*8 c/mensualmente# •
CA%$ &(S)A*"12.8 =1.067
S@2844*83323
[( +
1 0.1 )
•
1 2
]
−1 ∗100 =4.880884817
•
[( +
1
1 1.067 )
8534*4.8@$
[
C;* :+A?C?1 T
( 1 + 4.880884817 ) −1 4.880884817
]
2
]
−1 ∗100= 0.5514
•
∗(1 + 4.880884817 ) 14000=882.79
[
( 1 + 0.5514 ) n−1 0.5514
]
∗(1 + 1.5514 )
$@8)3*32.)2 ?@)5*)88)5).
$@8)3*33 !. l )5 de fe"rero se -ace el primero de un con&unto de depsitos "imestrales de 5* Si el dinero rinde )) c/mensualmente* ¿Cuál es el valor actual de los depsitos# •
[
]
c / b = ( 1+ 0.9166 ) −1 ∗100 =1.841736112 7A*''
2
¿
[
( 1+1.841736112 )−1 1.841736112
]
?@)5 %uincenas '. ¿Cuál es el monto ' el valor actual de 3pa(os de 8.80 con fec-as de de )5 de octu"re noviem"re ' diciem"re respectivamente, considerando %ue -o' es30 de a"ril ' la tasa de interés es del *. c/semestralmente#
[
1 6
S=
F@5.03*3)4)) n un año se tiene como valor actual 5.03*3)4))
". ¿Cuál es el valor al contado de un artculo %ue se vende mediante )2pa(os "imestrales anticipados de 335, si el interés es del 28capitali!a"le trimestralmente#
]
ℑ ( 1 + 0.048 ) −1 ∗100=0.784453941
[
(1 + 0.784453941 )3−1 0.784453941
]
[email protected]*8054
[
]
( 1+ 0.784453941 )3 −1 VAd = ∗( 1+ 0.784 3 0.784453941 ∗( 1+ 0.784453941 ) Fd@24558*252
!(. ¿:ué es una anualidad# S0 a8lica a 8obl0/as 9inanci0os 0n los u0 06is)0n un con;un)o 0 8aos iual0s a in)0
!.0;0/8lo 0 anualia i90ia
!1. ¿:ué es una anualidad anticipada# Cuano 0l 8ao s0 =ac0 al inicio 0l in)0
R
R
R
R
R
+na deuda de Q800*000 se va a cancelar mediante 20 pa(os trimestrales de Q$ cada uno* Si el primer pa(o se efect7a e9actamente al año de -a"erse prestado el dinero, calcular $ con una tasa del 3. C*
>????????>????????>????????>??. . .???>????????> >
1
2
3
n$1
Inicio
n 9in SOLUCIHN Se o"serva %ue el primer pa(o está en el periodo 4 %ue
!3. 6e un e&emplo de anualidad vencida
corresponde al fnal del primer año* 1a anualidad de"e
Una 80sona s0 =a 8o8u0s)o 08osi)a @ 32( /0nsual/0n)0 uan)0 2 aos 0n una cu0n)a bancaia u0 8aa 0l 1# anual 0 in)0s 1. /0nsual. CuFl s0F la can)ia acu/ulaa al 9inal 0 los os aos consi0ano u0 0l banco ca8i)aliGa /0nsual/0n)0 los in)00s0s,
[
S =320∗
(1 + 0.015 )24−1 0.015
]
S*'.1!2."3 !4. Nacer el cálculo del e&emplo 4*), pero suponiendo %ue los pa(os se -acen al principio* 6atos $ @ 320, i @ )8 D)*5 mensualE, n @ 24 DmesesE, Sa / n @ ¿#
comen!ar en el punto 3 ' terminar en el punto 23, además, su valor presente de"erá trasladarse al punto 0 donde se -a puesto la fec-a focal* 1a ecuacin de valor será 800*000 @ $ D) < D)K0*E<20/0*0ED)*0E <3 $ @ Q))3*42,. !!. encuentre el monto de un con&unto de )4 pa(os vencidos inmediatos de S/)8). cada 2 meses si el interés es del 2) anual converti"le semestralmente# n@)4 r@)8). &@).*.
16.6 12
=0.013833 …
Anterés mensual a "imestral
( 1 + 0.013833 … )2
U )00@0*028
R
14
(1 + 0.0278 … ) −1
s =1816 ⌈
0.0278
⌉
[
(1 + 0.0664 …)1−1 0.664 …
]
(1 + 0.664 …)=100
S@30582*2
$D)*0..4E@)00
.* ¿Cuál es el valor anual Dal principio de cada añoE de pa(os %uincenales anticipados de S/ 5000 si el interés es del 2) anual converti"le semestralmente#
$@3*
21 @ 2 . meses
=0.105
[
( 1 +0.0107 )1−1 0.0107
.*¿Cuánto se necesita a-orrar cada fin de año en una cuenta %ue pa(a *55 capitali!a"le mensualmente para acumular S/ 50000 al momento de reali!ar el 5 deposito# $@#
¿
i@*55
)2 %uincenas
n@5 dep* Anterés semestral a %uincenal i@
s@50000
√ 1 + 0.105 −1
12
50000= R i@0*8355 r@5000
[
(1 +9.55 ) 5−1 9.55
]
50000@$D.*050.E
n@)2
[email protected]*5
[
(1+ 0.835 …)23−1 VA =5000 +1 23 0.835 … ( 1 + 0.835 … )
]
0* Se -icieron depsitos trimestrales de S/ ))50 vencidos al . capitali!a"le mensualmente* ¿Cuántos depsitos se -icieron si un mes después de reali!ado el 7ltimo se tena un monto de S/ )508*2#
F@)0230*8
$@))50
.8* ¿:ué pa(o trimestral anticipado es e%uivalente a pa(os %uincenales vencidos de S/)00 si el interés es del 2. capitali!a"le mensualmente# $
¿
%uincenales vencidos
Interés mensual 26 =0.216 … j= 12
i ¿( √ 1 + 0.216 … −1)
=0.005
Anterés mensual a trimestral
i ¿ ( 1 + 0.005 )
Interes trimestral
( 1 +0.216 … )
3
)508*2@
[ { 1150
2
n@3*
i=0.0107…
3
i@)*0)50
i= interés mensual a quincenal
6 @ 12
$@)00
rimestral anticipado
S@)508*2
(1 + 1.0150 …)n−1 1.0150 …
}]
∗(1+ 0.005)1
)*ncuentre el monto ' el valor actual de )2 pa(os "imestrales de S/ )00 a 3 capitali!a"le mensualmente si el primero de ellos se -ace -o '* n@)2 $@)00
F
[
]
( 1+ 0.0124 … )19.5−1 ¿ 1850 (1 + 0.0124 … )−4.5 19.5 0.0124 … (1 + 0.0124 … ) F@30)4)*40
3 @ 12 =0.25
3* una empresa de"e S/ 25000 de impuesto* ;ara pa(ar se -a concedido un pla!o de (racia de . meses sini intereses ' puede pa(ar mediante . pa(os mensuales reali!ando el primero de ellos dentro de . meses* Si el interés %ue se le car(a en el se(undo semestre es del 50 capitali!a"le %uincenalmente ¿de %ue cantidad de"en ser los pa(os mensuales#
Anterés mensual a "imestral
i=( 1 + 0.25 )
2
−1
50 @ 24 quincenas =2.0833 …
i @0*500.25
-allamos el monto
s =100
{
( 1 + 0.50 … )11−1 0.50 …
}
Anterés %uincenal a mensual
( 1 +0.50 … )
S@))33*.0
}
2
i@4*2)00*
Nallamos el F
F
{
i= ( 1+ 0.0208 … ) −1 ∗100
{
( 1 + 0.50 … )11−1 ¿ 100 +1 11 0.50 … ∗( 1 + 0.50 … )
}
[
( 1+ 4.2100 … )12−1 25000= R 12 4.2100 … ∗(1 + 4.2100 … )
]
$@2..*3 F@)).*.. 2* un estudiante se le asi(na una "eca %ue le otor(a S/ )850 mensuales ' %ue comen!ara a reci"ir dentro de 4 meses ' medio* Calcule el valor actual de al "eca el interés es del )5 capitali!a"le "imestralmente ' la "eca tiene una duracin de 2 años* $@)850 n@)*5
15 6
5* +n estudiante necesita disponer de S/ )50000 dentro de . meses para pa(ar su matricula* +na corporacin le ofrece el 2 mensual para sus a-orros ¿cuanto de"erá a-orrar mensualmente# +tili!e la tasa del )0* S@)50000
m@4*5
i@
4* una compaña espera pa(ar S/ 2*50 cada . meses, indefinidamente, como dividendo so"re sus acciones preferenciales* Suponiendo un rendimiento del . converti"le semestralmente* ¿Cuánto se de"eran pa(ar por cada accin#
?@. meses A@2
=0.025
$@#
Anterés "imestral a mensual
i =√ 1+ 0.025−1 2
i@0*0)24
150000= R
[
(1 + 2 )6 2
]
[email protected]*)
.*una persona %uiere cosntruir un fondo para otor(ar un premio annual de 2000000 en forma indefinida* ;ara ello deposita -o' la suma de S/ 500000 en una corporacion %ue reconoce el 28 anual* VCuánto tiempo de"ra de&ar en depositoel dinero antes de empe!ar a retirar la suma de S/ 2000000indefinidamente# S@5000000 A@28 $@2000000
5000000=
[
( 1 +28 ) n−1 28 n
@5*33
]
