Descripción: Como se aplica el calculo diferencial e integral en la ingeniería civil
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Como se aplica el calculo diferencial e integral en la ingeniería civil
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Metodos de la psicologia diferenciaDescripción completa
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NORMAS
Trabajo de fin de asignatura (Ciencias Criminológicas)Descripción completa
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EXELENT.JAJAJ
NORMAS
1.
Si cua cuand ndo o la tem tempe pera ratu tura ra del del air airee es de de 20 ºC, ºC, se se enfr enfría ía una una sus susta tanc ncia ia des desde de 100 100 ºC hasta 60 ºC en 10 minutos, hallar la temperatura después de 40 minutos T 10 6 x 0 0 t 0 1 40 0 Tm = 20 dT
dT
(T − Tm) ⇒
= − K
dt
( T − Tm)
= −Kdt
dT
x
∫
40
= − K ∫
Aplicando integral: 60
dT
100
(T −Tm )
∫
dT
100
(T −20 )
∫
40
= − K ∫
dt
0
10
= − K ∫
dt
0
40
− 20 = − K (t ) ln 60 − 20 −ln 100 − 20 = − K (10 ) ln T
−
1
ln
10
60
10
100
0
1
dT
∫
100
1
ln
x − 20
40 ln
x − 20
x − 20
= − K ∫ 0
x − 20
1
ln
10
2
1 2
1
= ln
80
dt
1
= ln
80
ln
=
80
40
(T −Tm )
80
4
Calculando x: x
0
Reemplazando K
1
= K
2
0
100
10
60
dt
(T −20 ) x = − K (t ) ln T −20 ln x −20 −ln 100 −20 = − K ( 40 ) − 1 ln x −20 = K 100
16
x − 20
⇒
80
=
1 16
= 5 ⇒ x = 25º C
La temperatura es de 25 ºC 2. Sab Sab ien iendo do que que un un cue cuerp rpo o en el air airee a 10 10 ºC, ºC, se enf enfrí ríaa des desde de 200 200 ºC ºC a 100 100 ºC en 40 minutos, digase en cuanto tiempo se enfriara desde 100 ºC a 10 ºC en el aire a 25 ºC T
20 0 0
10 0 t 40 Con Tm1 = 10 dT
10 x dT
( T − Tm ) ⇒
= − K
dt
(T − Tm )
= −Kdt
Aplicando integral: 100
dT
200
(T −Tm )
∫
40
1
100
dT
200
(T −10 )
∫
= − K ∫ 0
dt
40
= − K ∫ 0
dt
−10 = − K (t ) ln 100 −10 − ln 200 −10 = − K ( 40 ) ln T
−
1 40
ln
100
40
200
0
9 19
= K
Con Tm2 = 25 10 dT 100 (T −Tm2 )
∫
10
dT
100
(T −Tm )
∫
40
x
1
10
dT
100
(T − 25)
∫
x
= − K ∫ dt
= − K ∫ dt 40
x
= − K ∫ dt 40
− 25 = − K (t x ) ln 10 − 25 − ln 100 − 25 = − K ( x − 40) 10
ln T
−
40
100
1
x − 40
ln
−
3 25
= K
Reemplazando K 1
x −40
ln
−
3 25
=
1 40
ln
9 19
⇒x =112.42
3.
Supóngase que la temperatura de una tasa de café es de 200 ºF inmediatamente que ha sido servida. Un minuto después se ha enfriado a 190 ºF en un cuarto a 70 ºF ¿Cuándo estará a 150 ºF; 120 ºF? T
20 0 t 0 Tm = 70 dT
19 0 1
15 0 t1
120 t2
(T − Tm) ⇒
= − K
dt
dT
( T − Tm)
= −Kdt
−ln
dT
200
(T −Tm )
∫
1
190
dT
200
(T −70)
∫
= − K ∫ dt
ln
0
1
= − K ∫ dt
t 1
0
−ln
12 13
190
1
200
0
200
(T −Tm )
∫ ∫
200
ln T
150
− 70
= − K ∫ dt
−
70
120
dT
200
(T −Tm )
t 2
120
dT
200
(T −70)
= − K ∫ dt 0
t 2
= − K ∫ 0
dt
120
2
0
200
2
0
−ln
= − K ∫ dt
5 13
= K (t ) 2
0
Reemplazando K
(t )
= − K
200
ln 150
1
−70 = − K (t t ) ln 120 −70 −ln 200 −70 = − K ( t )
Si la temperatura del aire es de 20 ºC y el cuero se enfría en 20 minutos desde 100 ºC hasta 60 ºC ¿Dentro de cuanto tiempo su temperatura descenderá hasta 30 ºC? T
10 0 0
t Tm dT
6 0 2 0
30 x
= 20
(T − Tm) ⇒
= − K
dt
dT
( T − Tm)
Aplicando integral: 60
dT
100
(T −Tm )
∫ ∫
20
60
dT
100
(T − 20 )
ln T
− 20
= − K ∫
dt
0
20
60 100
= − K ∫ 0
= − K (t
dt 20 0
)
= −Kdt
ln 60
−
1
−20 −ln 100 −20 = − K ( 20 ) 1
ln
20
= K
2
Calculando x: 30
dT
100
(T −Tm )
30
dT
∫ ∫
x
= − K ∫ dt 0
x
= − K ∫ dt
(T −20 ) ln T −20 = − K (t x ) ln 30 −20 −ln 100 −20 = − K ( x ) 100
0
30
0
100
− 1 ln 1 = K x
8
Reemplazando K 1
ln
x
1 8
1
=
ln
20
1 2
= 20(3) x = 60 min x
5.
Un cuerpo a una temperatura desconocida se coloca en un cuarto que se mantiene a una temperatura constante de 30 ºF. Si después de 10 minutos la temperatura del cuerpo es de 0 ºF y después de 20 minutos la temperatura del cuerpo es de 15 ºF, hallar la temperatura inicial desconocida del cuerpo T t Tm dT
x 0
0 1 0
15 20
= 30
( T − Tm) ⇒
= K
dt
dT
(T − Tm)
dT
15
=
Kdt
∫ (T − x
30 )
Aplicando integral: dT
20
= K ∫
∫ (T −Tm ) 0
dT
15
15
30 )
dt
10
−30 = K (t ) ln 15 −30 −ln 0 −30 = K (10 ) ln T
1 10
ln
1 2
15
20
0
10
dT
∫ (T −Tm) x
6.
ln
1
20
0
dt
ln
20 ln
−
= K ∫
20
15
−
x −30
= K
Reemplazando K
= K
Calculando x: 15
1 20
= K ∫
dt
0
20
∫ (T − 0
dt
10
0
−30 x = K (t ) ln 15 −30 −ln x −30 = K ( 20 ) ln T
15
20
= K ∫
x
−
−
15
x −30
15
x −30
15
x −30
=
1 10
ln
1 2
= ln 1
4
=1
4
= −30
Una barra metálica a una temperatura de 100 ºF se pone en un cuarto a una temperatura constante de 0º F. si después de 20 minutos la temperatura de la barrea es 50 ºF Hallar a) El tiempo que necesitará la barra para llegar a una temperatura de 25 ºF b) La temperatura de la barra después de 10 minutos
T
10 0 0
t
5 0 2 0
2 5 y
x 10
=0
Tm dT
dT
(T − Tm) ⇒
= − K
dt
− 1 ln 1 = K
( T − Tm)
= −Kdt
Aplicando integral: 50
∫
100
50
∫
100
ln T ln
1
y
4
−
100
ln
2
dT 100 T
100
25
1 4
7.
−
= − K (t y )
25
x
0
100
dt
=− K (t
10 0
)
ln
x
100
= K
Reemplazando K
0
ln T
1
10
0
y
100
ln
−
y
0
=− K (10)
100
= − K ∫ dt
= − K ∫ 0
x
x
ln
∫ (T −Tm) dT ∫ T = − K ∫ dt
2
= − K ∫ dt
100
= K
dT
1
10
∫
Calculando y: 25
ln
10
(T −Tm )
x
=− K ( 20 )
20
1
20
dT
x
∫
=− K t 0
1
=−
Calculando x:
dt
ln T
1
1
ln
y =40 min
20
100
2
0
0
dt
( )
50
1
20
∫
20
∫
4
Reemplazando K −
dT =− K (T −Tm ) dT =− K (T )
y
1 10
ln
x 100
=−
1 20
ln
1 2
= 70.71º F min
= − K ( y )
Un cuerpo a una temperatura de 50 ºF se pone en un horno cuya temperatura se mantiene a 150 ºF. si después de 10 minutos la temperatura del cuerpo es de 75 ºF, hallar el tiempo requerido por le cuerpo para llegar a una temperatura de 100 ºF. T
50
t
0
Tm dT
7 5 1 0
100 x
= 150
( T − Tm ) ⇒
= K
dt
dT
(T − Tm )
=
Kdt
Aplicando integral: dT
75
10
= K ∫
dt ∫ (T −Tm) dT ∫ (T − ) = K ∫ dt 50
0
75
10
150
50
0
−150 = K (t ) ln 75 −150 −ln 50 −150 = K (10 ) ln T
1 10
ln
3 4
75
10
50
0
= K
Calculando x: dT
100
∫
x
(T −Tm )
50
dT
100
∫
= K ∫ dt 0
x
= K ∫ dt
(T −150 ) ln T −150 = K (t x ) ln 100 −150 −ln 50 −150 = K ( x ) 50
0
100
0
50
1
ln
x
1 2
= K
Reemplazando K 1
ln
1
=
2
x
1
3
ln
10
4
x = 24.1
8.
Un tarro de crema inicialmente a 25 ºC, se va ha enfriar colocándolo en el pórtico donde la temperatura es de 0 ºC. suponga que la temperatura de la crema ha descendido a 15 ºC después de 20 minutos ¿Cuándo estará a 5 ºC? T
25
t
0
1 5 2 0
5 x
=0
Tm dT
Calculando x:
(T − Tm) ⇒
= − K
dt
dT
( T − Tm)
dT
5
= −Kdt
∫ (T −Tm ) dT ∫ T = − K ∫ dt 25
5
Aplicando integral: 15
20
25
20
20
15 20
3 4
−
9.
ln T 1
ln
5
5 25
=− K (t 0 ) x
=− K ( x )
0
ln T ln
0
0
15
0
x
25
= − K ∫ dt ∫ (T dT −Tm ) dT ∫ T = − K ∫ dt
x
= − K ∫ dt
1
= − K (t
20 0
)
= − K ( 20) ln
20
3 4
= K
−
1
x
ln
1 5
= K
Reemplazando K 1
x
ln
1 5
=
1 20
ln
3 4
= 20(3) x =111 .89 min x
Un tarro de crema inicialmente a 25 ºC, se va ha enfriar colocándolo en el pórtico donde la temperatura es de 0 ºC. suponga que la temperatura de la crema ha descendido a 15 ºC después de 20 minutos ¿Cuándo estará a 5 ºC? T t Tm
10 0 0 = 20
6 0 2 0
30 x
dT
(T − Tm) ⇒
= − K
dt
dT
( T − Tm)
= −Kdt
Calculando x: dT
60
∫
dT
60
∫
ln T
− 20
ln 60 1
ln
2 1
−
dt
0
100
= − K (t
20 0
)
20
2
−20
ln 30 20 0
)
1
ln
0
30 100
= − K (t x ) 0
− 20 −ln 100 −20 = − K (t x ) 0
= − K ( x )
8
= − K ( 20) 1
20
ln T
− 20 −ln 100 − 20 = − K (t
ln
x
25
dt
0
60
0
5
20
T − 20
100
= − K ∫ dt
100
= − K ∫
= − K ∫
x
∫ (T −Tm) dT ∫ T − = − K ∫ dt
20
(T − 20)
100
dT
30
Aplicando integral:
− 1 ln 1 = K 8
x
= K
Reemplazando K 1
ln
8
x x
1
=
1
ln
20
1 2
= 60 min
10.
Se calienta agua hasta el punto de ebullición. El agua se remueve luego del calor y se guarda en un cuarto el cual está a un temperatura de 60 ºC. después de 3 minutos la temperatura del agua es de 90 º C. a) Encuentre la temperatura del agua después de 6 minutos. b) ¿Cuándo la temperatura del agua será 75ºC? T
10 0 0
t Tm
9 0 3
x
75
6
y
= 60
dT
(T − Tm) ⇒
= − K
dt
dT
( T − Tm)
= −Kdt
Aplicando integral: 90
dT
100
(T −Tm )
∫ ∫
3
90
dT
100
(T − 60 )
= − K ∫ dt 0
3
= − K ∫ dt 0
− 60 = K (t ) ln 90 −60 −ln 100 −60 = K t ln T
3
90
3
100
0
3 0
ln T
= − K (3)
ln
− 1 ln 3 = K
−
ln
4
3
4
−60
x −60 40 1 6
ln
x 100
=− K (t 0 ) 6
=− K (6 )
x −60 40
= K
Calculando x: x
∫ ∫
100
x
100
dT
6
(T −Tm ) dT T −60
= − K ∫ dt 0
6
= − K ∫ dt 0
Reemplazando K
1
ln
x −60
6
x
=
40
1
−60 = − K (t y ) ln 75 −60 −ln 100 −60 = − K ( y )
3
ln
3
4
=82.5º C dT
100
(T −Tm )
∫ ∫ 11.
y
y
75
dT
100
T − 60
= − K ∫ dt
8
Reemplazando K
0
−
y
= − K ∫ dt 0
1
y
ln
3 8
=
1 3
3
ln
4
y =10 .23 min
La temperatura máxima que puede leerse en cierto termómetro es de 110 ºF. cuando el termómetro marca 36 ºF se coloca en un horno. Después de 1 y 2 minutos respectivamente marca 60 ºF y 82 ºF T
36
6 0 1
t
0 Tm =? dT
82 2
( T − Tm) ⇒
= K
dt
dT
( T − Tm)
=
Kdt
Calculando x: 82
dT
60
∫ (T −Tm ) 36
82
−Tm = K (t ) ln 60 −Tm − ln 36 −Tm = K (1) 60 −Tm = K ln 36 −Tm 1
36
0
2
0
−Tm = K (t ) ln 82 −Tm − ln 36 −Tm = K ( 2 ) 1 82 −Tm ln = K 2 36 −Tm ln T
0
60
dT
36
0
∫ T −Tm = K ∫ dt
ln T
0
∫ T −Tm = K ∫ dt
1
1
36
2
36
= K ∫ dt
dT
60
dT
∫ (T −Tm) = K ∫ dt
Aplicando integral:
12.
0
100
− 1 ln 3 = K
Calculando y: 75
75
ln T
82
2
36
0
Reemplazando K
−Tm = ln 60 −Tm 2 36 −Tm 36 −Tm Tm = 81º F 1
ln
82
Supongamos que la razón a que se enfría un cuerpo es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura del aire que lo rodea un cuerpo originalmente a 120 ºF e enfría hasta 100 ºF en 10 minutos en aire a 60 ºF. Encontrar una expresión del cuerpo en un instante cualquiera T
Un químico desea enfriar desde 80 ºC hasta 60 ºC una sentencia contenida en un matraz y que esta a 90 ºC. Se coloca a el dispositivo en un recipiente amplio por el que circula agua a 18 ºC y se observa que después de 2 minuntos la temperatura desciendo 10 ºC. halle el tiempo total de enfriamiento. T
80
7 0 2
t
0 Tm = 15 dT
60 x
(T − Tm) ⇒
= − K
dt
dT
( T − Tm)
= −Kdt
Aplicando integral: dT
70
∫ (T −Tm) 80
dT
70
2
2
−15 −ln 80 −15 =− K ( 2 )
11
1
( )
60
13
−
0
−15 100 =− K t 0
ln 70 ln
= − K ∫ dt
15
ln T
0
2
∫ T − 80
2
= − K ∫ dt
ln
=− K ( 2 ) 11 13
−
60
80
14.
15
1
60 80
( ) x
=− K t 0
−15 −ln 80 −15 =− K ( x ) =− K ( x ) 9
ln
x
13
= K
Reemplazando K
= − K ∫ dt
x
1
0
x
x
x
∫ (T −Tm) dT ∫ T − = − K ∫ dt 80
9 13
= K
dT
−15
ln 60 ln
Calculando x: 60
ln T
ln
9 13
= 1 ln 11 2
13
= 4.45 min
0
Se desea enfriar una solución contenida en un matraz y que esta a 90 ºC. Se coloca el dispositivo en un recipiente amplio por el que circula agua a 18 ºC y se
observa que después de 2 minutos la temperatura desciende 10 ºC. Halle el tiempo total de enfriamiento. T
90
1 0 2
t
0 Tm = 18 dT
0 x
(T − Tm) ⇒
= − K
dt
dT
( T − Tm)
= −Kdt
Calculando x: 10
dT (T −Tm )
∫ dT ∫ T − 90
10
∫ (T −Tm ) 90
2
= − K ∫ dt 0
0
−18 = − K (t ) ln 10 −18 −ln 90 −18 = − K ( 2 ) −
ln
−
1
1 9
ln
2
10
2
90
0
9
0
0
( ) x
ln 0
−18 −ln 90 −18 =− K ( x )
ln
− 1
1 4
ln
x
= K
= − K ∫ dt
−18
−
−
0
ln T
= − K ( 2 ) 1
x
= − K ∫ dt x
18
90
2
ln T
dT
0
∫ T −
= − K ∫ dt
18
90
dT
0
Aplicando integral:
90
=− K t 0
=− K ( x ) −
1 4
= K
Reemplazando K 1
ln
x
1 16
=
1
ln
2
1 81
x =1.26 min
15.
Un termómetro, que marca 75 ºF se lleva fuera donde la temperatura es de 20 ºF Cuatro minutos después el termómetro marca 30 ºF. Encontrar: a) La temperatura del termómetro 7 minutos después que este ha sido llevado al exterior. b) El tiempo que le toma al termómetro caer desde 75 ºF hasta mas o menos 1 2
Determinar el camino S recorrido por un cuerpo durante el tiempo t, si su velocidad es proporcional al trayecto, sabiendo que en 10 segundos el cuerpo recorre 100 metros y en 15 segundo 200 metros. x
S
T
t
dS
10 0 10
= KS ⇒
dt
200 15
dS
= Kdt
S
Aplicando integral: dS S
100
∫ S
ln ln
S
10
= K ∫ t
)
(10 −t )
ln
S
= K (15 − t )
200
(15 −t )
= K (10 −t )
1
ln
1
10
S
S
dt
= K (t t
100
100
S
= K
100
ln
200
∫
S
S
ln
dS
S
200
S
dt
15
= K t t
)
= K
Reemplazando K 1
(15 −t )
ln
S 200
S 200
(10 −t ) ln 10
15
= K ∫ t
S 200
Calculando 2do tramo:
17.
0
−20 = − K (t y ) ln 10 −20 −ln 75 −20 = − K ( y ) ln T
1
= −K ( 7 )
− 1 ln x −20 = K 7
y
75
Calculando x: x
0
−t
S 200
=
1
(10 −t )
ln
= (15 −t ) ln 15
S = 100
S 100
S 100
−t
t
S = 25.2
5
Una cierta sustancia radiactiva tiene un vida media de 38 horas. Encontrar que tanto tiempo tomal el 90% de la radioactividad para disiparse
