ATURAN RANTAI.docx

ATURAN RANTAI MAKALAH Diajukan Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Kalkulus Multivariabel Dosen Pengampu : Rahmi Yuliana, S.Pd., M.Pd.

Disusun Oleh : Kelompok 1

1. Agung Prabowo Utomo

2016.11.0859

2. Muli Aprida

2016.11.0856

PRODI PENDIDIKAN MATEMATIKA SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN (STKIP) PARIS BERANTAI KOTABARU 2017

i

Trusted by over 1 million members

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.





KATA PENGANTAR

Segala puji dan syukur kehadirat Allah SWT yang telah menolong hambahamba-Nya menyelesaikan tantangan yang dihadapi dengan penuh kemudahan, tanpa pertolongan-Nya mungkin kami tidak akan sanggup menyelesaikan makalah ini dengan tepat waktu. Tidak lupa kami haturkan sholawat serta salam kepada junjungan kita Nabi Muhammad SAW, beserta seluruh keluarga dan para sahabat. Kami juga mengucapkan terima kasih kepada Ibu Rahmi Yuliana, S.Pd. M.Pd. selaku dosen pengampu yang telah memberikan bimbingannya. Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas yang diberikan dalam mata kuliah Kalkulus Multivariabel dengan judul Aturan Rantai dan juga agar pembaca bisa lebih memahami lagi mengenai materi aturan rantai. Semoga makalah ini dapat memberikan manfaat yang besar, baik kepada diri kami pribadi maupun pada para pembacanya. Makalah ini tentunya memiliki kekurangan, yang kami harapkan kepada para pembaca ialah kritik dan saran yang bersifat membangun, demi kesempurnaan kedepannya. Terima kasih.

Kotabaru, September 2017





DAFTAR ISI

Halaman Halaman Sampul .................................................... .............................................................................................. ..........................................

i

Kata Pengantar ............................................. ....................................................

ii

Daftar Isi......................................................................... ..................................

iii

BAB I

BAB II

PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang................................ ..........................................

1

1.2 Rumusan Masalah .................................................... .................................................................... ................

1

1.3 Tujuan Pembahasan .................................................. ................

1

PEMBAHASAN 2.1 Definisi Aturan Rantai .............................................. ................

2

2.2 Aturan Rantai Untuk Fungsi Dua Variabel ..............................

3

2.3 Aturan Rantai Untuk Fungsi Tiga Variabel..............................

6

BAB III PENUTUP 3.1 Kesimpulan ...................................................... ............................................................................... .........................

7

3.2 Saran ........................................................ ......................................................................................... .................................

7

DaftarPustaka ............................................... ....................................................

8





BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Bayangkan jika anda harus mencari turunan dari:

 = 2   4  1 Pertama anda harus mengalikan 60 faktor kuadrat

2   4  1

dan

kemudian mendiferensiasikan polinomial berderajat 120 yang dihasilkan. Atau bagaimana dengan mencoba mencari turunan G  =

sin3.

Kita mungkin

dapat menggunakan identitas trigonometri untuk mereduksinya menjadi sesuatu yang bergantung pada sin x dan cos x dan kemudian menggunakan aturanaturannya. Ternyata terdapat cara yang lebih baik yaitu dengan menggunakan aturan rantai. Aturan rantai sedemikian pentingnya sehingga anda akan jarang mendiferensiasikan fungsi tanpa menggunakannya. 1.2 Rumusan Masalah

Rumusan masalah dari makalah ini yaitu:

- Bagaimana cara mengoperasikan turunan dengan menggunakan aturan rantai? - Bagaimana cara mengoperasikan turunan dari dua variabel dengan menggunakan aturan rantai?

- Bagaimana cara mengoperasikan turunan dari tiga variabel dengan menggunakan aturan rantai? 1.3 Tujuan Pembahasan





BAB II PEMBAHASAN 2.1 Definisi Aturan Rantai

Aturan rantai adalah aturan untuk mencari turunan fungsi komposisi. Misal

 = 2  1, amati bahwa F berupa fungsi komposisi. Aturan rantai untuk fungsi-fungsi komposisi satu variabel ialah sebagai berikut. Jika

 = ( ) dengan  dan  merupakan

fungsi yang terdefinisi dan

dapat diturunkan, maka dalam notasi Leibniz dapat ditulis:

   = ∙    Atau dalam notasi aksennya ialah:

  ∘    =  ()  Contoh:

 = 2   4  1 1, carilah  ! (   adalah diferensial dari  atau ′ dari .

1. Jika

Penyelesaian :

 sebagai  = 2   4  1

Kita pikirkan

pangkat ke- 60 suatu fungsi , yakni

fungsi sebelah luar f(x) =

2   4  1  

=  ( )

    

 =  dan

 dan fungsi sebelah dalam adalah  =  =





2. Jika y =



 

Carilah   −

Penyelesaian: Misal:  = 2   7

1 = −     =  ( ()  =  = 3 − (10  

=

=

− 

=

−    −

3. Jika 

∙ 10 

=   ,  , maka carilah ’ ’!

Penyelesaian:  ’ =           =    [ [ ]]  

=         4.

 5sin cos cos   5  1 1 

adalah….

Penyelesaian:

 cos   5  1  = sin sin   5  1 1 .     5  1 1 = sin sin   5  1 1 . 4    5  1 1 . 2 2  5 5 = 8  20   5  1 . sin   5  1 2.2 Aturan Rantai untuk Fungsi Dua Variabel







Versi Pertama jika

 = , ,  dengan  dan  adalah

fungsi , maka

 

masuk akal untuk menanyakan , dan seharusnya ada rumus untuknya. Teorema A | Aturan Rantai

Misalkan

, 

 =  dan  =  terdeferensiasikan

terdeferensiasikan di

( ,  ).

Maka

di

 dan

 =  , 

dideferensiasikan di  dan

     =       Contoh:

1. Misalkan 

=  , dengan  = 2 dan  =   . Carilah  ! 

Penyelesaian:

     =       = 4   2    3   = 8      3   = 82       2 2 3   = 88     16  3   = 64   48

misalkan

=

dapat





 = , ,  dengan  = , ,  dan  = ,. Maka masuk akal untuk menanyakan / dan / Versi Kedua Misalkan bahwa

Teorema B | Aturan Rantai

 = , ,  dan  = , ,  mempunyai turunan-turunan parsial pertama di ,  dan misalkan  = , ,  terdeferensiasikan di , , , . Maka  =  , , ,  mempunyai turunan-turunan Misalkan

parsial pertama yang diberikan oleh: 1.

     =      

2.

     =      

Contoh:

1. Jika

 = 3     dengan  = 2  7 dan  = 5.

nyatakan dalam bentuk s dan t! Penyelesaian:      =      

6 77  2 2 5 = 6 5 = 42 42 2  7 7  105 = 84  294  50 

Carilah

/,

dan





b)

 

    =     

=   1    1 =     1 1 =  + 2    1 2.3 Aturan Rantai untuk Fungsi Tiga Variabel

Jika 

=  ,  = , dan  =  fungsi yang diferensial di , dan  =

,, diferensial

di titik

( , , ), maka  = , , 

diferensial di , dan

       =          Contoh:

1. Jika

 =          ,

carilah

dengan

 = , =   ,

 ! 

Penyelesaian:  

     =         

= 2    2  1  22

dan

 =   2,





BAB III PENUTUP 3.1 Kesimpulan

Aturan rantai adalah aturan untuk mencari turunan fungsi komposisi. Aturan rantai ini efektif digunakan dalam mencari turunan yang mempunyai pangkat yang besar. Aturan rantai ini tidak hanya digunakan pada fungsi yang satu variabel saja, namun juga pada fungsi yang memiliki dua atau tiga variabel. 3.2 Saran

Aturan rantai ini sangat penting dipelajari untuk memudahkan setiap pembaca dalam mengerjakan suatu turunan fungsi yang memiliki pangkat yang besar. Oleh karena itu, kami menyarankan kepada para pembaca untuk lebih memahami materi aturan rantai ini. Kami juga berharap atas kritik dan sarannya agar dalam pembuatan makalah lainnya bisa lebih baik lagi.





DAFTAR PUSTAKA

Varberg, Dale, dkk. 2003. Kalkulus 2003. Kalkulus Edisi Edisi Kedelapan Kedelapan Jilid 1. Jakarta: Erlangga. Varberg, Dale, dkk. 2007. Kalkulus 2007. Kalkulus Edisi Edisi Kesembilan Jilid 2. Jakarta: Erlangga.

ATURAN RANTAI.docx

Recommend Documents