Brands Math

เซต เซตจํากัด คือ เซตที่สามารถระบุจํานวนสมาชิกได เซตอนันต คือ เซตที่มีจํานวนสมาชิกมากมาย เซตวาง คือ เซตที่ไมมีสมาชิก หรือมีจํานวนสมาชิกเปนศูนย เขียนแทนดวย φ หรือ { } ตัวอยางที่ 1 ให A เปนเซตจํากัด และ B เปนเซตอนันต ขอความใดตอไปนี้เปนเท็จ 1) มีเซตจํากัดที่เปนสับเซตของ A 2) มีเซตจํากัดที่เปนสับเซตของ B *3) มีเซตอนันตที่เปนสับเซตของ A 4) มีเซตอนันตที่เปนสับเซตของ B

จํานวนสมาชิกของเซตจํากัด ให n(A) แทนจํานวนสมาชิกของเซต A 1. n(U) = n(A) + n(A′) 2. n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A I B) 3. n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A I B) - n(A I C) - n(B I C) + n(A I B I C) 4. n(A - B) = n(A) - n(A I B)

คณิตศาสตร (2)_______________________________

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

ตัวอยางที่ 2 ถากําหนดจํานวนสมาชิกของเซตตางๆ ตามตารางตอไปนี้ เซต จํานวนสมาชิก

AUB 25

AUC 27

BUC 26

AUBUC 30

แลวจํานวนสมาชิกของ (A I B) U C เทากับขอใดตอไปนี้ *1) 23 2) 24 3) 25

AIBIC 7 4) 26

ตัวอยางที่ 3 นักเรียนกลุมหนึ่งจํานวน 46 คน แตละคนมีเสื้อสีเหลืองหรือเสื้อสีฟาอยางนอยสีละหนึ่งตัว ถา นักเรียน 39 คนมีเสื้อสีเหลือง และ 19 คนมีเสื้อสีฟา แลวนักเรียนกลุมนี้ที่มีทั้งเสื้อสีเหลืองและเสื้อ สีฟามีจํานวนเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 9 2) 10 3) 11 *4) 12

ตัวอยางที่ 4 นักเรียนกลุมหนึ่งจํานวน 50 คน มี 32 คน ไมชอบเลนกีฬาและไมชอบฟงเพลง ถามี 6 คน ชอบฟง เพลงแตไมชอบเลนกีฬา และมี 1 คน ชอบเลนกีฬาแตไมชอบฟงเพลง แลวนักเรียนในกลุมนี้ที่ชอบ เลนกีฬาและชอบฟงเพลงมีจํานวนเทากับขอใดตอไปนี้ *1) 11 คน 2) 12 คน 3) 17 คน 4) 18 คน

ตัวอยางที่ 5 กําหนดให A และ B เปนเซต ซึ่ง n(A U B) = 88 และ n[(A - B) U (B - A)] = 76 ถา n(A) = 45 แลว n(B) เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 45 2) 48 3) 53 *4) 55


_______________________________ คณิตศาสตร (3)

ตัวอยางที่ 6 ในการสอบถามพอบานจํานวน 300 คน พบวามีคนที่ไมดื่มทั้งชาและกาแฟ 100 คน มีคนที่ดื่มชา 100 คน และมีคนที่ดื่มกาแฟ 150 คน พอบานที่ดื่มทั้งชาและกาแฟมีจํานวนเทาใด (ตอบ 50 คน)

สับเซต บทนิยาม เซต A เปนสับเซตของเซต B ก็ตอเมื่อสมาชิกทุกตัวของเซต A เปนสมาชิกของเซต B และ เขียนเปนสัญลักษณ คือ A ⊂ B ตัวอยางที่ 7 ให A = {1, 2} และ B = {1, 2, 3, 4, 5} เนื่องจากสมาชิกของเซต A ทุกตัวเปนสมาชิกของ เซต B ดังนั้น A ⊂ B

เพาเวอรเซต บทนิยาม เพาเวอรเซตของเซต A คือ เซตที่มีสมาชิกเปนสับเซตทั้งหมดของเซต A เขียนแทนดวย P(A) ตัวอยางที่ 8 ให A = {1, 2, 3} จะไดสับเซตทั้งหมดของ A ไดแก φ, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} P(A) = {φ, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}

สมบัติของสับเซตและเพาเวอรเซต 1. φ เปนสับเซตของเซตทุกเซต 2. φ เปนสมาชิกของเพาเวอรเซตเสมอ 3. A ⊂ A 4. A ∈ P(A) 5. ถา A ⊂ B แลว P(A) ⊂ P(B) 6. จํานวนสับเซตของเซต A ทั้งหมดเทากับ 2n(A) 7. จํานวนสมาชิกของ P(A) ทั้งหมดเทากับ 2n(A)

คณิตศาสตร (4)_______________________________


การดําเนินการทางเซต 1. ยูเนียน เซต A ยูเนียนกับเซต B คือ เซตที่มีสมาชิกเปนสมาชิกของเซต A หรือเซต B เขียนแทนดวย AUB 2. อินเตอรเซกชัน เซต A อินเตอรเซกชันกับเซต B คือ เซตที่มีสมาชิกเปนสมาชิกของเซต A และเซต B เขียนแทนดวย A I B 3. ผลตาง ผลตางของ A และ B คือ เซตที่มีสมาชิกในเซต A แตไมเปนสมาชิกในเซต B เขียนแทนดวย A-B 4. คอมพลีเมนต ถา A เปนเซตเซตใดในเอกภพสัมพันธ U แลว คอมพลีเมนตของเซต A คือ เซตที่มี สมาชิกเปนสมาชิกของ U แตไมเปนสมาชิกของ A เขียนแทนดวย A′ ตัวอยางที่ 9 กําหนดให U A B จะได A U B AIB A-B B-A A′ และ B′

= = = = = = = = =

{1, 2, 3, ..., 10} {1, 2, 4, 8} {2, 4, 6, 10} {1, 2, 4, 6, 8, 10} {2, 4} {1, 8} {6, 10} {3, 5, 6, 7, 9, 10} {1, 3, 5, 7, 8, 9}

ตัวอยางที่ 10 ถา A - B = {2, 4, 6}, B - A = {0, 1, 3} และ A U B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} แลว A I B เปนสับเซตในขอใดตอไปนี้ 1) {0, 1, 4, 5, 6, 7} 2) {1, 2, 4, 5, 6, 8} *3) {0, 1, 3, 5, 7, 8} 4) {0, 2, 4, 5, 6, 8}


_______________________________ คณิตศาสตร (5)

การใหเหตุผล การใหเหตุผลทางคณิตศาสตรที่สําคัญมีอยู 2 วิธี ไดแก 1. การใหเหตุผลแบบอุปนัย (Inductive Reasoning) หมายถึง วิธีการสรุปผลในการคนหาความจริง จากการสังเกตหรือการทดลองหลายๆ ครั้งจากกรณี ยอยแลวนํามาสรุปเปนความรูแบบทั่วไป 2. การใหเหตุผลแบบนิรนัย (Deductive Reasoning) หมายถึง วิธีการสรุปขอเท็จจริงโดยการนําความรูพื้นฐาน ความเชื่อ ขอตกลง หรือบทนิยาม ซึ่งเปนสิ่ง ที่รูมากอนและยอมรับวาเปนจริง เพื่อหาเหตุผลนําไปสูขอสรุป ตัวอยางที่ 1 จงพิจารณาการใหเหตุผลตอไปนี้เปนการใหเหตุผลแบบอุปนัยหรือนิรนัย 1) เหตุ 1. นัทชอบทานไอศกรีม 2. แนทชอบทานไอศกรีม ผล เด็กทุกคนชอบทานไอศกรีม 2) เหตุ 1. เด็กทุกคนชอบทานไอศกรีม 2. แนทเปนเด็ก ผล แนทชอบทานไอศกรีม ตัวอยางที่ 2 จงหาคา a จากแบบรูปของจํานวนที่กําหนดให 1, 4, 9, 16, 25, a 2, 4, 8, 16, 32, a ความสมเหตุสมผล สวนประกอบของการใหเหตุผล การตรวจสอบความสมเหตุสมผลโดยแผนภาพเวนน-ออยเลอร 1. a เปนสมาชิกของ A 2. a ไมเปนสมาชิกของ A

คณิตศาสตร (6)_______________________________


3. สมาชิกทุกตัวของ A เปนสมาชิกของ B

4. ไมมีสมาชิกตัวใดใน A เปนสมาชิกของ B

5. สมาชิกบางตัวของ A เปนสมาชิกของ B

6. สมาชิกบางตัวของ A ไมเปนสมาชิกของ B

ตัวอยางที่ 3 กําหนดเหตุใหดังตอไปนี้ เหตุ ก. ทุกจังหวัดที่อยูไกลจากกรุงเทพมหานครเปนจังหวัดที่มีอากาศดี ข. เชียงใหมเปนจังหวัดที่มีอากาศไมดี ขอสรุปในขอใดตอไปนี้สมเหตุสมผล *1) เชียงใหมเปนจังหวัดที่อยูไมไกลจากกรุงเทพมหานคร 2) นราธิวาสเปนจังหวัดที่อยูไมไกลจากกรุงเทพมหานคร 3) เชียงใหมเปนจังหวัดที่อยูไกลจากกรุงเทพมหานคร 4) นราธิวาสเปนจังหวัดที่อยูไกลจากกรุงเทพมหานคร

ตัวอยางที่ 4 จงพิจารณาขอความตอไปนี้ 1. คนตีกอลฟทุกคนเปนคนสายตาดี 2. คนที่ตีกอลฟไดไกลกวา 300 หลา บางคน เปนคนสายตาดี 3. ธงชัยตีกอลฟเกงแตตีไดไมไกลกวา 300 หลา แผนภาพในขอใดตอไปนี้ มีความเปนไปไดที่จะสอดคลองกับขอความทั้งสามขางตน เมื่อจุดแทนธงชัย 1)

2)


*3)

4)

_______________________________ คณิตศาสตร (7)

ตัวอยางที่ 5 จากแบบรูปตอไปนี้

7 1 2 4

14 2 4 8

21 3 6 12

...

77 a b c

โดยการใหเหตุผลแบบอุปนัย 2a - b + c มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 11 2) 22 3) 33

*4) 44

ตัวอยางที่ 6 พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. นักกีฬาทุกคนมีสุขภาพดี ข. คนที่มีสุขภาพดีบางคนเปนคนดี ค. ภราดรเปนนักกีฬา และเปนคนดี แผนภาพในขอใดตอไปนี้ มีความเปนไปไดที่จะสอดคลองกับขอความทั้งสามขอขางตน เมื่อจุดแทนภราดร 1)

2)

3)

*4)

ตัวอยางที่ 7 เหตุ 1. ไมมีคนขยันคนใดเปนคนตกงาน 2. มีคนตกงานที่เปนคนใชเงินเกง 3. มีคนขยันที่ไมเปนคนใชเงินเกง ผล ในขอใดตอไปนี้ที่เปนการสรุปผลจากเหตุขางตนที่เปนไปอยางสมเหตุสมผล 1) มีคนขยันที่เปนคนใชเงินเกง *2) มีคนใชเงินเกงที่เปนคนตกงาน 3) มีคนใชเงินเกงที่เปนคนขยัน 4) มีคนตกงานที่เปนคนขยัน

คณิตศาสตร (8)_______________________________


ระบบจํานวนจริง แผนผังแสดงความสัมพันธของระบบจํานวน จํานวนเชิงซอน จํานวนจริง (R)

จํานวนจินตภาพ

จํานวนอตรรกยะ (Q′) จํานวนตรรกยะ (Q) จํานวนตรรกยะ (I′) ที่ไมใชจํานวนเต็ม

จํานวนเต็ม (I)

จํานวนเต็มลบ (I-) จํานวนเต็มบวก (I+) (จํานวนนับ) (N) จํานวนเต็มศูนย (I0)

จํานวนอตรรกยะ หมายถึง จํานวนที่ไมสามารถเขียนใหอยูในรูปเศษสวนของจํานวนเต็ม หรือทศนิยม ซ้ําได เชน 2 , 5 , - 3 , π, 2.17254... เปนตน จํานวนตรรกยะ หมายถึง จํานวนที่สามารถเขียนในรูปเศษสวนของจํานวนเต็มได ตัวอยางที่ 1 พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. มีจํานวนตรรกยะที่นอยที่สุดที่มากกวา 0 ข. มีจํานวนอตรรกยะที่นอยที่สุดที่มากกวา 0 ขอสรุปใดตอไปนี้ถูกตอง 1) ก. ถูก และ ข. ผิด 2) ก. และ ข. ถูก 3) ก. ผิด และ ข. ถูก *4) ก. และ ข. ผิด ตัวอยางที่ 2 กําหนดใหคาประมาณที่ถูกตองถึงทศนิยมตําแหนงที่ 3 ของ 3 และ 5 คือ 1.732 และ 2.236 ตามลําดับ พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. 2.235 + 1.731 ≤ 5 + 3 ≤ 2.237 + 1.733 ข. 2.235 - 1.731 ≤ 5 - 3 ≤ 2.237 - 1.733 ขอสรุปใดตอไปนี้ถูกตอง *1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด


_______________________________ คณิตศาสตร (9)

สมบัติของจํานวนจริง 1. สมบัติการเทากันของจํานวนจริง กําหนดให a, b, c ∈ R 1) สมบัติการสะทอน a=a 2) สมบัติการสมมาตร ถา a = b แลว b = a 3) สมบัติการถายทอด ถา a = b และ b = c แลว a = c 4) สมบัติการบวกดวยจํานวนที่เทากัน ถา a = b แลว a + c = b + c 5) สมบัติการคูณดวยจํานวนที่เทากัน ถา a = b แลว a + c = b + c 2. สมบัติของจํานวนจริงเกี่ยวกับพีชคณิต กําหนดให a, b, c ∈ R สมบัติ สมบัติปด สมบัติการสลับที่ สมบัติการเปลี่ยนกลุม สมบัติการมีเอกลักษณ สมบัติการมีอินเวอรส

สมบัติการแจกแจง

สมบัติของการบวก a+b∈R a+b=b+a a + (b + c) = (a + b) + c มี 0 เปนเอกลักษณการบวก ซึ่ง 0 + a = a = a + 0 สําหรับจํานวนจริง a มีจํานวนจริง -a ที่ (-a) + a = 0 = a + (-a) a(b + c) = ab + ac

ตัวอยางที่ 3 ให a และ b เปนจํานวนตรรกยะที่แตกตางกัน c และ d เปนจํานวนอตรรกยะที่แตกตางกัน พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. a - b เปนจํานวนตรรกยะ ข. c - d เปนจํานวนอตรรกยะ ขอสรุปใดตอไปนี้ถูกตอง 1) ก. และ ข. ถูก *2) ก. ถูก และ ข. ผิด คณิตศาสตร (10)______________________________

สมบัติของการคูณ a⋅b ∈ R a⋅b = b⋅a a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c มี 1 เปนเอกลักษณการคูณ ซึ่ง 1 ⋅ a = a = a ⋅ 1 สําหรับจํานวนจริง a ที่ a ≠ 0 จะมี a-1 ที่ a ⋅ a-1 = a-1 ⋅ a = 1

3) ก. ผิด และ ข. ถูก


4) ก. และ ข. ผิด

ตัวอยางที่ 4 พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. สมบัติการมีอินเวอรสการบวกของจํานวนจริง b ที่ b + a = 0 = a + b ข. สมบัติการมีอินเวอรสการคูณของจํานวนจริงกลาววา สําหรับจํานวนจริง a จะมีจํานวนจริง b ที่ ba = 1 = ab ขอสรุปใดตอไปนี้ถูกตอง 1) ก. และ ข. ถูก *2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด ทบทวนสูตร 1. กําลังสองสมบูรณ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 2. กําลังสามสมบูรณ (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3a2b - b3 3. ผลตางกําลังสอง a2 - b2 = (a - b)(a + b) 4. ผลตางกําลังสาม a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2) a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) จากสมการพหุนามกําลังสอง ax2 + bx + c = 0 เมื่อ a, b และ c เปนคาคงที่, a ≠ 0 b 2 - 4ac จะได x = -b ± 2a ถา b2 - 4ac > 0 แลว x จะมี 2 คําตอบ ถา b2 - 4ac = 0 แลว x จะมี 1 คําตอบ ถา b2 - 4ac < 0 แลว x จะไมมีคําตอบที่เปนจํานวนจริง


______________________________ คณิตศาสตร (11)

สมบัติของอสมการ ให a, b และ c เปนจํานวนจริง 1. สมบัติการถายทอด ถา a > b และ b > c แลว a > c 2. สมบัติการบวกดวยจํานวนจริงที่เทากัน ถา a > b แลว a + c > b + c 3. สมบัติการคูณดวยจํานวนที่เทากัน ถา a > b และ c > 0 แลว ac > bc ถา a > b และ c < 0 แลว ac < bc 4. ให a และ b เปนจํานวนจริง จาก a < x < b จะได a < x และ x < b ชวงของจํานวนจริง ให a และ b เปนจํานวนจริง และ a < b 1. (a, b) = {x|a < x < b} เสนจํานวน คือ a b 2. [a, b] = {x|a ≤ x ≤ b} เสนจํานวน คือ 3. (a, b] = {x|a < x ≤ b} เสนจํานวน คือ 4. [a, b) = {x|a ≤ x < b} เสนจํานวน คือ 5. (-∞, a) = {x|x < a} เสนจํานวน คือ 6. [a, ∞) = {x|x ≥ a} เสนจํานวน คือ

a

b

a

b

a

b a

a

ตัวอยางที่ 5 ตองการลอมรั้วรอบที่ดินรูปสี่เหลี่ยมผืนผาซึ่งมีพื้นที่ 65 ตารางวา โดยดานยาวของที่ดินยาวกวาสองเทาของ ดานกวางอยู 3 วา จะตองใชรั้วที่มีความยาวเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 30 วา *2) 36 วา 3) 42 วา 4) 48 วา

คณิตศาสตร (12)______________________________


ตัวอยางที่ 6 เมื่อเขียนกราฟของ y = ax2 + bx + c โดยที่ a ≠ 0 เพื่อหาคําตอบของสมการ ax2 + bx + c = 0 กราฟในขอใดตอไปนี้แสดงวาสมการไมมีคําตอบที่เปนจํานวนจริง y

y

5

1)

-5

5

0

5

x

2)

-5

-5

0

y

5

-5

x

-5 y

3)

5

0

5 5

x

-5

*4)

-5

0

5

x

-5

ตัวอยางที่ 7 แมคานําเมล็ดมะมวงหิมพานต 1 กิโลกรัม ถั่วลิสง 3 กิโลกรัม และเมล็ดฟกทอง 4 กิโลกรัม มาผสมกัน แลวแบงใสถุง ถุงละ 100 กรัม ถาแมคาซื้อเมล็ดมะมวงหิมพานต ถั่วลิสง และเมล็ดฟกทองมาในราคา กิโลกรัมละ 250 บาท 50 บาท และ 100 บาท ตามลําดับ แลวแมคาจะตองขายเมล็ดพืชผสมถุงละ 100 กรัมนี้ ในราคาเทากับขอใดตอไปนี้จึงจะไดกําไร 20% เมื่อขายหมด 1) 10 บาท *2) 12 บาท 3) 14 บาท 4) 16 บาท


______________________________ คณิตศาสตร (13)

ตัวอยางที่ 8 เซตคําตอบของอสมการ -1 ≤ 1) [ 2 - 1, 1]

2+

x

1- 2 2) [ 2 - 1, 2]

≤1

คือเซตในขอใดตอไปนี้

*3) [3 - 2 2 , 1]

คาสัมบูรณ บทนิยาม ให a เปนจํานวนจริง  a เมื่อ a ≥ 0 |a| =  -a เมื่อ a < 0 ทฤษฎีบทเกี่ยวกับคาสัมบูรณ 1. |x| = a ก็ตอเมื่อ x = a หรือ x = -a 2. ให a เปนจํานวนจริงบวก |x| < a ก็ตอเมื่อ -a < x < a |x| ≤ a ก็ตอเมื่อ -a ≤ x ≤ a |x| > a ก็ตอเมื่อ x < -a หรือ x > a |x| ≥ a ก็ตอเมื่อ x ≤ -a หรือ x ≥ a ตัวอยางที่ 9 พิจารณาสมการ |x - 7| = 6 ขอสรุปใดตอไปนี้เปนเท็จ 1) คําตอบหนึ่งของสมการมีคาระหวาง 10 และ 15 2) ผลบวกของคําตอบทั้งหมดของสมการมีคาเทากับ 14 *3) สมการนี้มีคําตอบมากกวา 2 คําตอบ 4) ในบรรดาคําตอบทั้งหมดของสมการ คําตอบที่มีคานอยที่สุดมีคานอยกวา 3

คณิตศาสตร (14)______________________________


4) [3 - 2 2 , 2]

ตัวอยางที่ 10 จํานวนสมาชิกของเซต

    

xx

 =    





2 2  a + |1a| - |a|- 1a   เมื่อ a เปนจํานวนจริงซึ่งไมเทากับ 0    

เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 1 3) 3



*2) 2 4) มากกวาหรือเทากับ 4

ตัวอยางที่ 11 ผลบวกของคําตอบทุกคําตอบของสมการ x3 - 2x = |x| เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 0 2) 3 *3) 3 - 1




4)

3 +1

______________________________ คณิตศาสตร (15)

ความสัมพันธและฟงกชัน ผลคูณคารทีเชียน กําหนดให A และ B เปนเซตใดๆ ผลคูณคารทีเชียนของ A และ B คือ A × B = {(a, b)|a ∈ A และ b ∈ B} เชน ให A = {1, 2} และ B = {a, b, c} จะได A × B = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)} B × A = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)} สมบัติของผลคูณคารทีเชียน ให A, B และ C เปนเซตใดๆ 1. A × φ = φ × A = φ 2. A × B ≠ B × A 3. n(A × B) = n(A) × n(B) 4. A × (B U C) = (A × B) U (A × C) (B U C) × A = (B × A) U (C × A) 5. A × (B I C) = (A × B) I (A × C) (B I C) × A = (B × A) I (C × A) ตัวอยางที่ 1 กําหนดให A = {1, 2} และ B = {a, b} คูอันดับในขอใดตอไปนี้เปนสมาชิกของผลคูณคารทีเชียน A × B *1) (2, b) 2) (b, a) 3) (a, 1) 4) (1, 2)

ความสัมพันธ คือ เซตของคูอันดับที่เกี่ยวของกันตามเงื่อนไขที่กําหนดและเปนสับเซตของผลคูณคารทีเชียน กําหนดให A และ B เปนเซตใดๆ r เปนความสัมพันธจาก A ไป B เขียนแทนดวย r ⊂ A × B r เปนความสัมพันธใน A เขียนแทนดวย r ⊂ A × A *จํานวนความสัมพันธทั้งหมดจาก A ไป B เทากับ 2n(A)×n(B)

คณิตศาสตร (16)______________________________


ตัวอยางที่ 2

กําหนดให A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} B = {1, 2, 3, ... , 11, 12}   S = (a, b) ∈ A × B b = 2a + a2  



จํานวนสมาชิกของเซต S เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 1 *2) 2

3) 3

4) 4

ตัวอยางที่ 3 ถา A = {1, 2, 3, 4} และ r = {(m, n) ∈ A × A | m ≤ n} แลวจํานวนสมาชิกในความสัมพันธ r เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 8 *2) 10 3) 12 4) 16

โดเมนของ r เขียนแทนดวย Dr คือ เซตของสมาชิกตัวหนาของคูอันดับทั้งหมดใน r สัญลักษณ คือ Dr = {x|(x, y) ∈ r} เรนจของ r เขียนแทนดวย Rr คือ เซตของสมาชิกตัวหลังของคูอันดับทั้งหมดใน r สัญลักษณ คือ Rr = {y|(x, y) ∈ r} เชน จาก r = {(-2, 4), (-1, 1), (1, 1)} จะได Dr = {-2, -1, 1} และ Rr = {1, 4} การหาโดเมนและเรนจของความสมพันธของ r ⊂ R × R 1. โดเมน หาโดยจัดรูปสมการเปน y ในรูปของ x และพิจารณาวา x สามารถเปนจํานวนจริงใดไดบาง ที่สามารถหาคา y ที่เปนจํานวนจริงได 2. เรนจ หาโดยจัดรูปสมการเปน x ในรูปของ y และพิจารณาวา y สามารถเปนจํานวนจริงใดไดบาง ฟงกชัน คือ ความสัมพันธที่คูอันดับทุกๆ ตัวในความสัมพันธ ถาสมาชิกตัวหนาของคูอันดับสองคูเทากัน แลวสมาชิกตัวหลังของทั้งสองคูอันดับตองเทากันดวย นั่นคือ r เปนฟงกชันก็ตอเมื่อ ถา (x, y) ∈ r และ (x, z) ∈ r แลว y = z r ไมเปนฟงกชันก็ตอเมื่อ มี (x, y) ∈ r และ (x, z) ∈ r ซึ่ง y ≠ z


______________________________ คณิตศาสตร (17)

การตรวจสอบฟงกชัน 1. กรณี r เขียนแบบแจกแจงสมาชิก ถามีสมาชิกตัวหนาของคูอันดับ ซึ่งเปนสมาชิกใน r จับคูกับสมาชิกตัวหลังของคูอันดับมากกวา 1 ตัว ขึ้นไป r ไมเปนฟงกชัน เชน r1 = {(a, 1), (b, 2), (b, 3), (c, 4)} จะได r1 ไมเปนฟงกชัน เพราะ b จับคูกับ 2 และ 3 r2 = {(p, 2), (q, 4), (r, 6)} จะได r2 เปนฟงกชัน เพราะสมาชิกตัวหนาของคูอันดับทุกตัวจับคูกับสมาชิกตัวหลังเพียงตัวเดียว เทานั้น 2. กรณี r วาดเปนรูปกราฟ ใหลากเสนตรงตั้งฉากกับแกน x ถามีกรณีที่เสนตรงที่ลากตั้งฉากกับแกน x ตัดกับกราฟของ r เกินเกิน 1 จุดขึ้นไป r ไมเปนฟงกชัน y r1 เชน เนื่องจากมีกรณีที่เสนตรงที่ตั้งฉากกับแกน x ตัดกับกราฟ r เกิน 1 จุด ดังนั้น r1 ไมเปนฟงกชัน x

y

x

เนื่องจากไมมีกรณีที่เสนตรงที่ตั้งฉากกับแกน x ตัดกับกราฟ r เกิน 1 จุด ดังนั้น r2 เปนฟงกชัน

r2

+ 2x2 - 1 ตัวอยางที่ 4 จํานวนในขอใดตอไปนี้เปนสมาชิกของโดเมนของฟงกชัน f = (x, y)|y = 2 x x + 3x + 2 x - 1 1) -2 2) -1 *3) 0 4) 1

คณิตศาสตร (18)______________________________


ตัวอยางที่ 5 ให A = {1, 99} ความสัมพันธใน A ในขอใดไมเปนฟงกชัน 1) เทากับ 2) ไมเทากับ *3) หารลงตัว

4) หารไมลงตัว

ตัวอยางที่ 6 จากความสัมพันธ r ที่แสดงดวยกราฟดังรูป y 3 2 1

-3 -2 -1 0 -1 -2 -3

1 2 3

x

ขอใดตอไปนี้ถูกตอง 1) r เปนฟงกชันเพราะ (1, 1), (2, 2) และ (3, 3) อยูในแนวเสนตรงเดียวกัน 2) r เปนฟงกชันเพราะมีจํานวนจุดเปนจํานวนจํากัด *3) r ไมเปนฟงกชันเพราะมีจุด (3, 3) และ (3, -1) อยูบนกราฟ 4) r ไมเปนฟงกชันเพราะมีจุด (1, 1) และ (-1, 1) อยูบนกราฟ ฟงกชันประเภทตางๆ ฟงกชันเชิงเสน (Linear Function) คือ ฟงกชันที่อยูในรูป f(x) = ax + b เมื่อ a, b ∈ R ฟงกชันคงที่ (Constant Function) คือ ฟงกชันเชิงเสนที่มี a = 0 กราฟของฟงกชันจะเปนเสนตรง ขนานกับแกน X ฟงกชันกําลังสอง (Quadratic Function) คือ ฟงกชันที่อยูในรูป f(x) = ax2 + bx + c เมื่อ a, b, c ∈ R และ a ≠ 0 ถา a > 0 กราฟหงาย มีจุดวกกลับเปนจุดต่ําสุดของฟงกชัน และถา a < 0 กราฟคว่ํา มีจุดวกกลับเปน จุดสูงสุดของฟงกชัน  b  -b   , f  2a   หรือ ถารูปทั่วไปของสมการ คือ f(x) = ax2 + bx + c เมื่อ a, b, c ∈ R จุดวกกลับอยูที่  -2a 

   

b, -2a



4ac - b2 

4a  ถารูปทั่วไปของสมการ คือ f(x) = a(x - h)2 + k เมื่อ a, k ∈ R และ a ≠ 0 จุดวกกลับอยูที่ (h, k) โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

______________________________ คณิตศาสตร (19)

การแกสมการโดยใชกราฟ 1. ในกรณีที่กราฟไมตัดแกน x จะไมมีคําตอบของสมการที่เปนจํานวนจริง 2. กราฟของ y = a(x + c)2 เมื่อ c > 0 จะตัดแกน x ที่จุด (-c, 0) สมการมีคําตอบเดียว คือ x = -c กราฟของ y = a(x - c)2 เมื่อ c > 0 จะตัดแกน x ที่จุด (c, 0) สมการมีคําตอบเดียว คือ x = c 2 3. นอกเหนือจากนี้กราฟตัดแกน x สองจุด โดยพิจารณาจากการแกสมการ หรือสูตร x = -b ± b2a - 4ac ฟงกชันเอกซโพเนนเชียล (Exponential Function) คือ ฟงกชันที่อยูในรูป y = ax เมื่อ a > 0 และ a ≠ 1 ฟงกชันคาสัมบูรณ (Absolute Value Function) คือ ฟงกชันที่อยูในรูป y = |x - a| + c เมื่อ a, c ∈ R ฟงกชันขั้นบันได (Step Function) คือ ฟงกชันที่มีโดเมนเปนสับเซตของ R และมีคาฟงกชันคงตัวเปน ชวงๆ มากกวาสองชวง กราฟของฟงกชันจะมีรูปคลายบันได ตัวอยางที่ 7 คาของ a ที่ทําใหกราฟของฟงกชัน y = a(2x) ผานจุด (3, 16) คือขอใดตอไปนี้ *1) 2 2) 3 3) 4 4) 5

ตัวอยางที่ 8 ทุก x ในชวงใดตอไปนี้ที่กราฟของสมการ y = -4x2 - 5x + 6 อยูเหนือแกน x 2)  - 52 , - 32  3)  14 , 67  4)  12 , 32  *1)  - 23 , - 13 

ตัวอยางที่ 9 กําหนดให a และ b เปนจํานวนจริงบวก ถากราฟของฟงกชัน y1 = 1 + ax และ y2 = 1 + bx มี ลักษณะดังแสดงในภาพตอไปนี้ y y1 = 1 + a x x y2 = 1 + b

2 1 0 ขอใดตอไปนี้เปนจริง 1) 1 < a < b

2) a < 1 < b

คณิตศาสตร (20)______________________________

x *3) b < 1 < a


4) b < a < 1

ตัวอยางที่ 10 ถาเสนตรง x = 3 เปนเสนสมมาตรของกราฟของฟงกชัน f(x) = -x2 + (k + 5)x + (k2 - 10) เมื่อ k เปนจํานวนจริง แลว f มีคาสูงสุดเทากับขอใดตอไปนี้ 1) -4 *2) 0 3) 6 4) 14

ตัวอยางที่ 11 กําหนดให f(x) = x2 - 2x - 15 ขอใดตอไปนี้ผิด 1) f(x) ≥ -17 ทุกจํานวนจริง x 2) f(-3 - 2 - 3 ) > 0 3) f(1 + 3 + 5 ) = f(1 - 3 - 5 ) *4) f(-1 + 3 + 5 ) > f(-1 - 3 - 5 )


______________________________ คณิตศาสตร (21)

เลขยกกําลัง สมบัติของเลขยกกําลัง ให a และ b เปนจํานวนจริงใดๆ โดยที่ m และ n เปนจํานวนเต็มบวก และ k เปนจํานวนเต็ม 1. am ⋅ an = am+n m 2. a n = am-n a 3. (am)n = amn 4. (am ⋅ bn)k = amk ⋅ bnk k

 mk 5. am  = a nk , b ≠ 0 bn  b 1 n 6. a = n , a ≠ 0 a 0 7. a = 1, a ≠ 0 เลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนจํานวนตรรกยะ บทนิยาม เมื่อ a เปนจํานวนจริงบวก และ n เปนจํานวนที่มากกวา 1 a1/n = n a บทนิยาม กําหนด a เปนจํานวนจริง m และ n เปนจํานวนเต็มที่มากกวา 1 ที่ ห.ร.ม ของ m และ n เทากับ 1 n a m = am/n สมการในรูปเลขยกกําลัง ให a และ b เปนจํานวนจริงบวกที่ไมเทากับ 1 และ m, n เปนจํานวนตรรกยะ จะไดวา 1. am = an ก็ตอเมื่อ m = n 2. am = bm ก็ตอเมื่อ m = 0 และ a, b ≠ 0    

 1/2  ตัวอยางที่ 1 คาของ (-2)2 +  8 + 2 2  เทากับขอใดตอไปนี้ 32   1) -1 2) 1 *3) 3

คณิตศาสตร (22)______________________________


4) 5

4

8  =  16  1/ x แลว x มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ ตัวอยางที่ 2 ถา 125   625   *2) 23 3) 32 1) 34    

ตัวอยางที่ 3 ขอใดตอไปนี้ผิด 1) (24)30 < 220 ⋅ 330 ⋅ 440 *3) 220 ⋅ 340 ⋅ 430 < (24)30

4) 34

2) (24)30 < 230 ⋅ 320 ⋅ 440 4) 230 ⋅ 340 ⋅ 420 < (24)30

ตัวอยางที่ 4 ( 18 + 2 3 - 125 - 3 4 4 ) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ *1) -10 2) 10 3) 2 5 - 5 2 4) 5 2 - 2 5

    

2

5 - 2  มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ ตัวอยางที่ 5 15  6 3 7 2) 10 *1) 10


3)

5 -2

4)

6 -2

______________________________ คณิตศาสตร (23)

อสมการในรูปเลขยกกําลัง ให a เปนจํานวนจริงบวกที่ไมเทากับ 1 และ m, n เปนจํานวนตรรกยะ จะไดวา 1. am < an และ a > 1 จะไดวา m < n 2. am < an และ 0 < a < 1 จะไดวา m > n

1 คือเซตในขอใดตอไปนี้ ตัวอยางที่ 6 เซตคําตอบของอสมการ 4(2x2-4x-5) ≤ 32 1) - 52 , 52  2) - 52 , 1 3) - 12 , 1

*4) - 12 , 52 

ตัวอยางที่ 7 ถา 8x - 8(x+1) + 8(x+2) = 228 แลว x มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ *2) 23 3) 34 1) 13

4) 53

3x ตัวอยางที่ 8 ถา  3 + 38  = 16 81 แลว x มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 2) - 92 3) - 91 *1) - 94

4) 91

ตัวอยางที่ 9 ขอใดตอไปนีผ้ ิด 1) 0.9 + 10 < 0.9 + 10 3) ( 0.9 )( 3 1.1 ) < ( 1.1 )( 3 0.9 )

คณิตศาสตร (24)______________________________

*2) ( 0.9 )( 4 0.9 ) < 0.9 4) 300 125 < 200 100


ตัวอยางที่ 10 ถา 4a =

2 และ 16-b = 14 แลว a + b มีคาเทากับเทาใด (ตอบ 0.75)

ตัวอยางที่ 11 คาของ x ที่สอดคลองกับสมการ

1) 2

2) 3

2

(x2)

(4x) = 2 4 เทากับขอใดตอไปนี้ 4 *3) 4

4) 5

ตัวอยางที่ 12 อสมการในขอใดตอไปนี้เปนจริง 1) 21000 < 3600 < 10300 *3) 3600 < 10300 < 21000

2) 3600 < 21000 < 10300 4) 10300 < 21000 < 3600

5 6 ตัวอยางที่ 13 3 -32 + 2 3/2 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 27 (64) 2) - 56 *1) - 13 24

3) 32

ตัวอยางที่ 14 ( 2 + 1) 60

8 +

18 + 32 )2 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 2) 60 2 3) 100 2


4) 19 24

*4) 200

______________________________ คณิตศาสตร (25)

อัตราสวนตรีโกณมิติ ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ถา ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งมี ACˆ B เปนมุมฉาก c แทนความยาวของดานตรงขามมุมฉาก a และ b แทนความยาวของดานประกอบมุมฉากจะไดความสัมพันธระหวางความยาวของดานทั้งสามของรูป สามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ดังนี้ B

A

c

a

b

C

c2 = a2 + b2

อัตราสวนตรีโกณมิติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก บทนิยาม กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

ความยาวของดานตรงขามมุม A ความยาวของดานตรงขามมุมฉาก a โคไซน (cosine) ของมุม A = cos A = ความยาวของดานประชิดมุม A ความยาวของดานตรงขามมุมฉาก C แทนเจนต (tangent) ของมุม A = tan A = ความยาวของดานตรงขามมุม A ความยาวของดานประชิดมุม A B

c A

b

ไซน (sine) ของมุม A = sin A =

sin A = ac , cos A = bc , tan A = ab และยังมีอัตราสวนอื่นๆ อีก คือ 1. csc A = sin1 A , sec A = cos1 A , cot A = tan1 A sin A , cot A = cos A 2. tan A = cos A sin A 2 2 3. sin A + cos A = 1 4. tan2 A + 1 = sec2 A 5. 1 + cot2 A = csc2 A

คณิตศาสตร (26)______________________________


ความสัมพันธระหวางมุม A กับมุม 90° - A ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก C

A

B

sin A = cos (90° - A), csc A = sec (90° - A) cos A = sin (90° - A), sec A = csc (90° - A) tan A = cot (90° - A), cot A = tan (90° - A) อัตราสวนตรีโกณมิติของมุม 30°, 45° และ 60° มุม

sin 1 2 2 2 3 2

30° 45° 60°

cos 3 2 2 2 1 2

tan 1 3 1 3

csc

2 2 = 2 2 2 3

การเปรียบเทียบมาตรการวัดมุมระบบอังกฤษและระบบเรเดียน 360° = 2π เรเดียน 180° = π เรเดียน

60° = π3 เรเดียน ตัวอยางที่ 1 A

21°

45° = π4 เรเดียน

sec 2 3 2 = 2 2 2

cot 3

1 1 3

90° = π2 เรเดียน 30° = π6 เรเดียน

จากรูป ขอใดตอไปนี้ถูกตอง C *1) sin 21° = cos 69° 2) sin 21° = cos 21° B 3) cos 21° = tan 21° 4) tan 21° = cos 69°


______________________________ คณิตศาสตร (27)

ตัวอยางที่ 2 ขอใดตอไปนีถ้ ูกตอง *1) sin 30° < sin 45° 3) tan 45° < cot 45°

2) cos 30° < cos 45° 4) tan 60° < cot 60°

ตัวอยางที่ 3 กําหนดใหตาราง A ตาราง B และตาราง C เปนตารางหาอัตราสวนตรีโกณมิติของมุมขนาดตางๆ ดังนี้ ตาราง A θ sin θ 40° 0.643 41° 0.656 42° 0.669

ตาราง B θ cos θ 40° 0.766 41° 0.755 42° 0.743

ตาราง C θ tan θ 40° 0.839 41° 0.869 42° 0.900

ถารูปสามเหลี่ยม ABC มีมุม B เปนมุมฉาก มุม C มีขนาด 41° และสวนสูง BX ยาว 1 หนวย แลว ความยาวของสวนของเสนตรง AX เปนดังขอใดตอไปนี้ B 1) ปรากฏอยูในตาราง A 2) ปรากฏอยูในตาราง B *3) ปรากฏอยูในตาราง C 4) ไมปรากฏอยูในตาราง A, B และ C A C X

ตัวอยางที่ 4 ถารูปสามเหลี่ยมดานเทารูปหนึ่งมีความสูง 1 หนวย แลวดานของรูปสามเหลี่ยมรูปนี้ยาวเทากับ ขอใดตอไปนี้ 1) 23 หนวย *2) 2 3 3 หนวย 3) 34 หนวย 4) 32 หนวย

คณิตศาสตร (28)______________________________


ตัวอยางที่ 5 กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมที่มีมุม C เปนมุมฉาก และ cos B = 23 ถาดาน BC ยาว 1 หนวย แลว พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ABC เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 55 ตารางหนวย *2) 45 ตารางหนวย 3) 35 ตารางหนวย 4) 25 ตารางหนวย

ตัวอยางที่ 6 กําหนดให ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมผืนผาซึ่งมีพื้นที่เทากับ 12 หนวย และ tan ABˆ D = 13 ถา AE ตั้งฉากกับ BD ที่จุด E แลว AE ยาวเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 310 หนวย 2) 2 510 หนวย *4) 3 510 หนวย 3) 210 หนวย


พิจารณารูปสามเหลี่ยมตอไปนี้ โดยที่ CFˆE , CAˆ B , AEˆ B และ EDˆ B ตางเปนมุมฉาก ขอใดตอไปนีผ้ ิด 1) sin ( 1ˆ ) = sin ( 5ˆ ) 2) cos ( 3ˆ ) = cos ( 5ˆ ) *3) sin ( 2ˆ ) = cos ( ˆ4 ) 4) cos ( 2ˆ ) = sin ( 3ˆ )

C

F A

1 E 2 3 4 D

5 B


______________________________ คณิตศาสตร (29)

ลําดับและอนุกรม ลําดับ (Sequences) บทนิยาม ลําดับ คือ ฟงกชันที่มีโดเมนเปนเซตของจํานวนเต็มบวก n ตัวแรก หรือโดเมนเปนเซต ของจํานวนเต็มบวก ลําดับที่มีโดเมนเปนเซตของจํานวนเต็มบวก n ตัวแรกเรียกวา ลําดับจํากัด (Finite Sequences) ลําดับที่มีโดเมนเปนเซตของจํานวนเต็มบวก เรียกวา ลําดับอนันต (Infinite Sequences) ลําดับเลขคณิต (Arithmetic Sequences) บทนิยาม ลําดับเลขคณิต คือ ลําดับที่ผลตางซึ่งไดจากพจนที่ n + 1 ลบดวยพจนที่ n มีคาคงตัว คาคงตัวนี้เรียกวา ผลตางรวม (Common difference)

1. เมื่อกําหนดใหพจนแรกของลําดับเลขคณิต คือ a1 และผลตางรวม คือ d โดยที่ d = an+1 - an พจนที่ n ของลําดับนี้คือ an = a1 + (n - 1)d 2. ลําดับเลขคณิต n พจนแรก คือ a, a + d, a + 2d, ..., a + (n - 1)d ตัวอยางที่ 1 ลําดับเลขคณิตในขอใดตอไปนี้มีบางพจนเทากับ 40 1) an = 1 - 2n 2) an = 1 + 2n *3) an = 2 - 2n

4) an = 2 + 2n

1 , - 1 , - 1 , ... เทากับขอใดตอไปนี้ ตัวอยางที่ 2 พจนที่ 31 ของลําดับเลขคณิต - 20 30 60 5 13 9 7 1) 12 2) 30 *3) 20 4) 15

ตัวอยางที่ 3 ถา a1, a2, a3, ... เปนลําดับเลขคณิต ซึ่ง a30 - a10 = 30 แลว ผลตางรวมของลําดับเลขคณิตนี้ มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 1.25 *2) 1.5 3) 1.75 4) 2.0

คณิตศาสตร (30)______________________________


ลําดับเรขาคณิต (Geometric Sequences) บทนิยาม ลําดับเรขาคณิต คือ ลําดับที่อัตราสวนของพจนที่ n + 1 ตอพจนที่ n เปนคาคงตัว คาคงตัวนี้เรียกวา อัตราสวนรวม (Common ration) a +1 1. เมื่อกําหนดพจนแรกของลําดับเรขาคณิตเปน a1 และอัตราสวนรวม คือ r โดยที่ r = na n n 1 พจนที่ n ของลําดับเรขาคณิตนี้ คือ an = a1 ⋅ r 2. ลําดับเรขาคณิต n พจนแรก คือ a, ar, ar2, ..., arn-1

ตัวอยางที่ 4 กําหนดให a1, a2, a3 เปนลําดับเรขาคณิต โดยที่ a1 = 2 และ a3 = 200 ถา a2 คือคาในขอใดขอหนึ่ง ตอไปนี้แลวขอดังกลาวคือขอใด *1) -20 2) -50 3) 60 4) 100

ตัวอยางที่ 5 กําหนดให a1, a2, a3, ... เปนลําดับเรขาคณิต พิจารณาลําดับสามลําดับตอไปนี้ ก. a1 + a3 , a2 + a4 , a3 + a5 , ... ข. a1a2 , a2a3 , a3a4 , ... 1 1 1 ค. a , a , a , ... 1

2

ขอใดตอไปนีถ้ ูก *1) ทั้งสามลําดับเปนลําดับเรขาคณิต 3) มีสองลําดับไมเปนลําดับเรขาคณิต

3

1 , 1 , ตัวอยางที่ 6 พจนที่ 16 ของลําดับเรขาคณิต 625 125 5 1) 25 5 *3) 125 5


2) มีหนึ่งลําดับไมเปนลําดับเรขาคณิต 4) ทัง้ สามลําดับไมเปนลําดับเรขาคณิต

1 125 , ... เทากับขอใดตอไปนี้ 2) 125 4) 625

______________________________ คณิตศาสตร (31)

ตัวอยางที่ 7 ลําดับในขอใดตอไปนี้ เปนลําดับเรขาคณิต *1) an = 2n ⋅ 32n 2) an = 2n + 4n

3) an = 3n2

4) an = (2n)n

อนุกรมเลขคณิต (Arinmetic Series)

เมื่อ a1, a2, a3, ..., an เปนลําดับเลขคณิต จะไดวา a1 + a2 + a3 + ... + an เปนอนุกรมเลขคณิต ให Sn แทนผลบวก n พจนแรกของอนุกรม คือ S1 = a1 S2 = a1 + a2 S3 = a1 + a2 + a3 M

M

Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an ผลบวก n พจนแรกของอนุกรมเลขคณิต Sn = n2 [2a1 + (n - 1)d] หรือ Sn = n2 [a1 + an] ตัวอยางที่ 8 คาของ 1 + 6 + 11 + 16 + ... + 101 เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 970 2) 1020 3) 1050

*4) 1071

ตัวอยางที่ 9 ถา a1, a2, a3, ... เปนลําดับเลขคณิต ซึ่ง a2 + a3 + ... + a9 = 100 แลว S10 = a1 + a2 + ... + a10 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 120 *2) 125 3) 130

4) 135

คณิตศาสตร (32)______________________________


ตัวอยางที่ 10 กําหนดให S = {101, 102, 103, ... , 999} ถา a เทากับผลบวกของจํานวนคี่ทั้งหมดใน S และ b เทากับผลบวกของจํานวนคูทั้งหมดใน S แลว b - a มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ *1) -550 2) -500 3) -450 4) 450

อนุกรมเรขาคณิต (Geometrics Series)

เมื่อ a1, a2, a3, ..., an เปนลําดับแรขาคณิต จะไดวา a1 + a2 + a3 + ... + an เปนอนุกรมเรขาคณิต ผลบวก n พจนแรกของอนุกรมเรขาคณิต a (1 - r n ) Sn = 1 1 - r เมื่อ r ≠ 1 ตัวอยางที่ 11 ขอใดตอไปนี้เปนอนุกรมเรขาคณิตที่มี 100 พจน 1) 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) + ... + 199 1 2) 1 + 13 + 51 + ... + (2n1- 1) + ... + 199

3) 1 + 2 + 4 + ... + (2n-1) + ... + 2199 1 + 1 + ... + 1 + ... + 1 *4) 51 + 125 3125 5 2n-1 5199

ตัวอยางที่ 12 ผลบวกของอนุกรมเรขาคณิต 1 - 2 + 4 - 8 + ... + 256 เทากับขอใดตอไปนี้ 1) -171 2) -85 3) 85 *4) 171

ตัวอยางที่ 13 กําหนดให Sn เปนผลบวก n พจนแรกของอนุกรมเรขาคณิต ซึ่งมีอัตราสวนรวมเทากับ 2 ถา S10 - S8 = 32 แลวพจนที่ 9 ของอนุกรมนี้เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 16 2) 20 3) 26 *4) 32 3 3 3 3


______________________________ คณิตศาสตร (33)

ความนาจะเปน กฎเกณฑเบื้องตนเกี่ยวกับการนับ 1. กฎการบวก ถาการทํางานอยางหนึ่งแบงออกเปน k กรณี โดยที่กรณีที่ 1 มีจํานวน n1 วิธี กรณีที่ 2 มีจํานวน n2 วิธี กรณีที่ 3 มีจํานวน n3 วิธี M

M

กรณีที่ k มีจํานวน nk วิธี ดังนั้น จํานวนวิธีในการทํางานทั้งหมดจะเทากับ n1 + n2 + n3 + ... + nk วิธี 2. กฎการคูณ ถาการทํางานอยางหนึ่งแบงออกเปน k ขั้นตอน โดยที่ขั้นตอนที่ 1 มีจํานวน n1 วิธี ขั้นตอนที่ 2 มีจํานวน n2 วิธี ขั้นตอนที่ 3 มีจํานวน n3 วิธี M

M

ขั้นตอนที่ k มีจํานวน nk วิธี ดังนั้น จํานวนวิธีในการทํางานทั้งหมดจะเทากับ n1 × n2 × n3 × ... × nk วิธี แฟกทอเรียล นิยาม กําหนดให n เปนจํานวนเต็มที่มีคามากกวาหรือเทากับ 0 ขึ้นไป n! = n × (n - 1) × (n - 2) × (n - 3) × ... × 3 × 2 × 1 เชน 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 8! = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 * 0! = 1 ตัวอยางที่ 1 ในการคัดเลือกคณะกรรมการหมูบานซึ่งประกอบดวยประธานฝายชาย 1 คน ประธานฝายหญิง 1 คน กรรมการฝายชาย 1 คน และกรรมการฝายหญิง 1 คน จากผูสมัครชาย 4 คน และหญิง 8 คน มีวิธีการเลือกคณะกรรมการไดกี่วิธี 1) 168 วิธี 2) 324 วิธี *3) 672 วิธี 4) 1344 วิธี

คณิตศาสตร (34)______________________________


ตัวอยางที่ 2 มาลีตองการเดินทางจากเมือง A ไปยังเมือง C โดยตองเดินทางผานไปยังเมือง B กอน จากเมือง A ไปเมือง B มาลีสามารถเลือกเดินทางโดยรถยนต รถไฟ หรือเครื่องบินได แตจากเมือง B ไป เมือง C สามารถเดินทางไปทางเรือ รถยนต รถไฟ หรือเครื่องบิน ขอใดตอไปนี้คือจํานวนวิธีใน การเดินทางจากเมือง A ไปยังเมือง C ที่จะตองเดินทางโดยรถไฟเปนจํานวน 1 ครั้ง *1) 5 2) 6 3) 8 4) 9

ตัวอยางที่ 3 ครอบครัวหนึ่งมีพี่นอง 6 คน เปนชาย 2 คน หญิง 4 คน จํานวนวิธีที่จะจัดใหคนทั้ง 6 คนยืนเรียงกัน เพื่อถายรูป โดยใหชาย 2 คนยืนอยูริมสองขางเสมอเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 12 วิธี 2) 24 วิธี 3) 36 วิธี *4) 48 วิธี

การทดลองสุม คือ การทดลองใดๆ ซึ่งทราบวาผลลัพธอาจจะเปนอะไรไดบาง แตไมสามารถทํานายผล ลวงหนาได ความนาจะเปน คือ อัตราสวนระหวางจํานวนสมาชิกของเหตุการณที่สนใจกับจํานวนสมาชิกของแซมเปลสเปซ เขียนแทนดวย P(E) ความนาจะเปนของเหตุการณ E คือ P(E) = n(E) n(S) โดยที่ n(E) คือ จํานวนของเหตุการณที่สนใจ n(S) คือ จํานวนเหตุการณที่เปนไปไดทั้งหมด สมบัติของความนาจะเปน 1. 0 ≤ P(E) ≤ 1 2. P(φ) = 0, P(S) = 1 3. P(E1 U E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1 I E2) 4. P(E1 U E2 U E3) = P(E1) + P(E2) + P(E3) - P(E1 I E2) - P(E1 I E3) - P(E2 I E3) + P(E1 I E2 I E3) 5. P(E) = 1 - P(E′) เมื่อ P(E′) แทนความนาจะเปนของเหตุการณที่ไมตองการ


______________________________ คณิตศาสตร (35)

ตัวอยางที่ 4 พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. การทดลองสุมเปนการทดลองที่ทราบวาผลลัพธอาจเปนอะไรไดบาง ข. แตละผลลัพธของการทดลองสุมมีโอกาสเกิดขึ้นเทาๆ กัน ขอสรุปใดตอไปนี้ถูกตอง 1) ก. และ ข. ถูก *2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก


ตัวอยางที่ 5 โรงเรียนแหงหนึ่งมีรถโรงเรียน 3 คัน นักเรียน 9 คน กําลังเดินไปขึ้นรถโรงเรียนโดยสุม ความ นาจะเปนที่ไมมีนักเรียนคนใดขึ้นรถคันแรกเทากับขอใดตอไปนี้ 9 9 3 3 1)  13  *2)  23  3)  91  4)  92 

ตัวอยางที่ 6 โรงแรมแหงหนึ่งมีหองวางชั้นที่หนึ่ง 15 หอง ชั้นที่สอง 10 หอง ชั้นที่สาม 25 หอง ถาครูสมใจ ตองการเขาพักในโรงแรมแหงนี้โดยวิธีสุมแลว ความนาจะเปนที่ครูสมใจจะไดเขาพักหองชั้นที่สอง ของโรงแรมเทากับขอใดตอไปนี้ 1 3 1) 10 *2) 51 3) 10 4) 12

ตัวอยางที่ 7 ในการหยิบบัตรสามใบ โดยหยิบทีละใบจากบัตรสี่ใบ ซึ่งมีหมายเลข 0, 1, 2 และ 3 กํากับ ความ นาจะเปนที่จะไดผลรวมของตัวเลขบนบัตรสองใบแรกนอยกวาตัวเลขบนบัตรใบที่สามเทากับขอใด *1) 14 2) 34 3) 12 4) 23

คณิตศาสตร (36)______________________________


ตัวอยางที่ 8 กลอง 12 ใบ มีหมายเลขกํากับเปนเลข 1, 2, ... , 12 และกลองแตละใบบรรจุลูกบอล 4 ลูก เปน ลูกบอลสีดํา สีแดง สีขาว และสีเขียว ถาสุมหยิบลูกบอลจากกลองแตละใบ ใบละ 1 ลูก แลว ความนาจะเปนที่จะหยิบไดลูกบอลสีแดงจากกลองหมายเลขคี่ และไดลูกบอลสีดําจากกลอง หมายเลขคูเทากับขอใดตอไปนี้  1  12  1  12  1 4 1  2       1)  12 * 2) 3) 4)   4 2  12 

ตัวอยางที่ 9 กําหนดให A = {1, 2, 3} B = {5, 6, ... , 14} และ r = {(m, n) | m ∈ A และ n ∈ B} ถาสุมหยิบคูอันดับ 1 คู จากความสัมพันธ r แลวความนาจะเปนที่จะไดคูอันดับ (m, n) ซึ่ง 5 หาร n แลวเหลือเศษ 3 เทากับขอใดตอไปนี้ 1 1 1) 15 2) 10 *3) 51 4) 53

ตัวอยางที่ 10 ชางไฟคนหนึ่งสุมหยิบบันได 1 อันจากบันได 9 อัน ซึ่งมีความยาว 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 และ 12 ฟุต แลวนํามาพาดกับกําแพง โดยใหปลายขางหนึ่งหางจากกําแพง 3 ฟุต ความนาจะเปนที่ บันไดจะทํามุมกับพื้นราบนอยกวา 60° มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 91 *2) 92 3) 93 4) 94


______________________________ คณิตศาสตร (37)

ตัวอยางที่ 11 ถาสุมตัวเลขหนึ่งตัวจากขอมูลชุดใดๆ ซึ่งประกอบดวยตัวเลข 101 ตัว แลวขอใดตอไปนี้ถูก *1) ความนาจะเปนที่ตัวเลขที่สุมไดมีคานอยกวาคามัธยฐาน < 12 2) ความนาจะเปนที่ตัวเลขที่สุมไดมีคานอยกวาคาเฉลี่ยเลขคณิต < 12 3) ความนาจะเปนที่ตัวเลขที่สุมไดมีคานอยกวาคามัธยฐาน > 12 4) ความนาจะเปนที่ตัวเลขที่สุมไดมีคานอยกวาคาเฉลี่ยเลขคณิต > 12

คณิตศาสตร (38)______________________________


สถิติ สถิติเชิงพรรณนา (Descriptive) คือ การวิเคราะหขั้นตนที่มุงวิเคราะห เพื่ออธิบายลักษณะกวางๆ ของ ขอมูลชุดนั้น เชน การวัดคาแนวโนมเขาสูสวนกลาง คาวัดการกระจาย การแจกแจงความถี่ของขอมูล และการ นําเสนอผลสรุปดวย ตาราง แผนภูมิแทง เพื่ออธิบายขอมูลชุดนั้น สถิติเชิงอนุมาน (Inferential Statistice) คือ การวิเคราะหขอมูลที่เก็บรวบรวมไดจากตัวอยางเพื่อ อางอิงไปถึงขอมูลทั้งหมด องคประกอบของสถิติ 1. การเก็บรวบรวมขอมูล เชน การสอบถาม การสังเกต การทดลอง เปนตน 2. การวิเคราะหขอมูล โดยขอมูลที่นํามาวิเคราะหเพียงสวนหนึ่ง เรียกวา กลุมตัวอยางและขอมูลที่เลือก มาจากขอมูลทั้งหมด เรียกวา ประชากร 3. การนําเสนอขอสรุป ขอมูล คือ ขอความจริงหรือสิ่งที่บงบอกถึงสภาพ สถานการณหรือปรากฏการณ โดยที่ขอมูลอาจเปน ตัวเลขหรือขอความก็ได สารสนเทศหรือขาวสาร คือ ขอมูลที่ผานการวิเคราะหเบื้องตนหรือขั้นสูงแลว ประเภทของขอมูล 1. แบงตามวิธีเก็บ 1.1 ขอมูลปฐมภูมิ คือ ขอมูลที่ผูใชเก็บรวบรวมเอง เชน การสํามะโน การสํารวจกลุมตัวอยาง 1.2 ขอมูลทุติยภูมิ คือ ขอมูลที่ไดจากผูอื่นเก็บรวบรวมไวแลว เชน รายงาน บทความ เปนตน 2. แบงตามลักษณะของขอมูล 2.1 ขอมูลเชิงปริมาณ คือ ขอมูลที่ใชแทนขนาดหรือปริมาณซึ่งวัดออกมาเปนจํานวนที่สามารถ นํามาใชเปรียบเทียบกันไดโดยตรง 2.2 ขอมูลเชิงคุณภาพ คือ ขอมูลที่ไมสามารถวัดออกมาไดโดยตรง แตอธิบายลักษณะหรือคุณสมบัติ ในเชิงคุณภาพได ตัวอยางที่ 1 ขอใดตอไปนีเ้ ปนเท็จ 1) สถิติเชิงพรรณนาคือสถิติของการวิเคราะหขอมูลขั้นตนที่มุงอธิบายลักษณะกวางๆ ของขอมูล 2) ขอมูลที่เปนหมายเลขที่ใชเรียกสายรถโดยสารประจําทางเปนขอมูลเชิงคุณภาพ *3) ขอมูลปฐมภูมิคือขอมูลที่ผูใชเก็บรวบรวมจากแหลงขอมูลโดยตรง 4) ขอมูลที่นักเรียนรวบรวมจากรายงานตางๆ ที่ไดจากหนวยงานราชการเปนขอมูลปฐมภูมิ


______________________________ คณิตศาสตร (39)

การวิเคราะหขอมูลเบื้องตน ขอมูลเชิงปริมาณที่ใชในการวิเคราะหทางสถิติมีสองประเภท คือ ขอมูลที่ไมไดแจกแจงความถี่ ซึ่งจะเห็นคา ของขอมูลทุกตัวและขอมูลที่แจกแจงความถี่ จะเห็นเปนอันตรภาคชั้น ความกวางของอันตรภาพชั้น = ขอบบน - ขอบลาง จุดกึ่งกลางอันตรภาคชั้น = (ขอบบน + ขอบลาง) ÷ 2 ฮิสโทแกรม คือ รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากวางเรียงตอกันบนแกนนอน โดยมีแกนนอนแทนคาของตัวแปร ความกวาง ของสี่เหลี่ยมมุมฉากแทนความกวางของอันตรภาคชั้น และพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากแทนความถี่ของแตละ อันตรภาคชั้น ซึ่งถาความกวางของทุกชั้นเทากัน ความสูงของรูปสี่เหลี่ยมจะแสดงความถี่ แผนภาพตน-ใบ (Stem-and-Leaf Plot) เปนวิธีการสรางแผนภาพเพื่อแจกแจงความถี่และวิเคราะห ขอมูลเบื้องตน โดยเริ่มจากการนําขอมูลมาแบงกลุม โดยใชเลขหลักสิบ แลวนํามาสรางเปนลําตน (Stem) แลวใช เลขโดดในหลักหนวยมาสรางเปนใบ (Leaf) การวัดตําแหนงของขอมูล : มีสองขั้นตอน คือ การหาตําแหนงและการหาคา 1. ควอรไทล (Quartiles) คือ การแบงขอมูลออกเปน 4 สวนเทาๆ กัน โดย Q1, Q2, และ Q3 คือ คะแนนของตัวแบงทั้ง 3 ตัว 2. เดไซล (Deciles) คือ การแบงขอมูลออกเปน 10 สวนเทาๆ กัน โดย D1, D2, ..., D9 คือ คะแนนของ ตัวแบงทั้ง 9 ตัว 3. เปอรเซ็นไทล (Percentiles) คือ การแบงขอมูลออกเปน 100 สวนเทาๆ กัน มี P1, ..., P99 คือ คะแนนของตัวแบงทั้ง 99 ตัว การหาตําแหนง : ตําแหนงของ Qr คือ r(N 4+ 1) ตําแหนงของ Dr คือ r(N10+ 1) ตําแหนงของ Pr คือ r(N100+ 1) การหาคา : ใชการเทียบบัญญัติไตรยางค หมายเหตุ เมื่อหาคาขอมูลที่มีคาสูงสุด ต่ําสุด Q1, Q2 และ Q3 สามารถนํามาสรางแผนภาพกลอง (Boxand-Whisker Plot หรือ Box-Plot) โดยแผนภาพจะทําใหเราทราบถึงลักษณะการกระจายของขอมูล การวัดแนวโนมเขาสูสวนกลาง 1. คาเฉลี่ยเลขคณิต, Mean, x x ของขอมูลที่ไมแจกแจงความถี่ x ของขอมูลที่แจกแจงความถี่

N ∑ xi i=1

x= N x=

k ∑ fi x i i=1

N

คณิตศาสตร (40)______________________________


N

ขอสังเกต 1. ∑ x i = N x

2. 3.

i=1 N ∑ (x i i=1 N ∑ (x i i=1

- x) = 0 - a ) 2 มีคานอยที่สุดเมื่อ a = x

4. ถา x1, x2, x3, ... , xn มีคาเฉลี่ยเลขคณิตเปน x x1 + k, x2 + k, x3 + k, ... , xn + k มีคาเฉลี่ยเลขคณิตเปน x + k x1k, x2k, x3k, ..., xnk มีคาเฉลี่ยเลขคณิตเปน x k N x +N x 5. x รวม = 1N 1 + N2 2 2

2

2. มัธยฐาน, Median, Me Me สําหรับขอมูลที่ไมแจกแจงความถี่ Me = คาของขอมูลตําแหนงตรงกลาง (ตัวที่ N 2+ 1 ) เมื่อเรียงลําดับขอมูลแลว ขอสังเกต 1. การหามัธยฐานมีสองขั้นตอน คือ หาตําแหนง และหาคาโดยใชสูตรหรือการเทียบบัญญัติไตรยางค N

2. ∑ | x i - a | มีคานอยสุดเมื่อ a = Me i=1

3. ฐานนิยม, Mode, Mo Mo สําหรับขอมูลที่ไมแจกแจงความถี่ ขอสังเกต ใชไดกับขอมูลเชิงคุณภาพ

Mo = คาของขอมูลที่มีความถี่มากที่สุด

ตัวอยางที่ 2 สวนสูงของพี่นอง 2 คน มีพิสัยเทากับ 12 เซนติเมตร มีคาเฉลี่ยเลขคณิตเทากับ 171 เซนติเมตร ขอใดตอไปนี้เปนสวนสูงของพี่หรือนองคนใดคนหนึ่ง 1) 167 เซนติเมตร 2) 172 เซนติเมตร 3) 175 เซนติเมตร *4) 177 เซนติเมตร


______________________________ คณิตศาสตร (41)

ตัวอยางที่ 3 ขอมูลชุดหนึ่งประกอบดวย 4, 9, 2, 7, 6, 5, 4, 6, 3, 4 ขอใดตอไปนีถ้ ูกตอง 1) คาเฉลี่ยเลขคณิต < ฐานนิยม < มัธยฐาน *2) ฐานนิยม < มัธยฐาน < คาเฉลี่ยเลขคณิต 3) ฐานนิยม < คาเฉลี่ยเลขคณิต < มัธยฐาน 4) มัธยฐาน < ฐานนิยม < คาเฉลี่ยเลขคณิต

ตัวอยางที่ 4 ความสูงในหนวยเซนติเมตรของนักเรียนกลุมหนึ่งซึ่งมี 10 คน เปนดังนี้ 155, 157, 158, 158, 160, 161, 161, 163, 165, 166 ถามีนักเรียนเพิ่มขึ้นอีกหนึ่งคน ซึ่งมีความสูง 158 เซนติเมตร แลวคาสถิติใดตอไปนี้ไมเปลี่ยนแปลง 1) คาเฉลี่ยเลขคณิต 2) มัธยฐาน 3) ฐานนิยม *4) พิสัย

ตัวอยางที่ 5 การเลือกใชคากลางของขอมูลควรพิจารณาสิ่งตอไปนี้ ยกเวนขอใด 1) ลักษณะของขอมูล *2) วิธีจัดเรียงลําดับขอมูล 3) จุดประสงคของการนําไปใช 4) ขอดีและขอเสียของคากลางแตละชนิด การวัดการกระจายของขอมูล 1. พิสัย (Range) Range = xmax - xmin 2. สวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation)

S.D. = ขอสังเกต 1. 2. 3. 4.

N 2 ∑ (x i - x) i=1

N 2 ∑xi i =1

2 = N N -x ความแปรปรวน (Variance) = S.D.2 = S2 S.D. ≥ 0 S.D. = 0 ↔ x1 = x2 = ... = xn = x ถา x1, x2, ..., xn มีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเปน S.D. ความแปรปรวนเปน S.D.2 x1 + k, x2 + k, ..., xn + k มีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเปน S.D. ความแปรปรวนเปน S.D.2 x1k, x2k, ..., xnk มีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเปน S.D.|k| ความแปรปรวนเปน S.D.2k2

คณิตศาสตร (42)______________________________


5. The 95% Rule กลาววา มีจํานวนขอมูลที่อยูในชวง ( x - 2s, x + 2s) ประมาณ 95% ของจํานวนขอมูลทั้งหมด 6. โดย The 95% Rule ไดวา s ≈ Range 4 ความสัมพันธของ x , Me และ Mo x = Me = Mo โคงปกติ

x > Me > Mo โคงเบขวา

x < Me < Mo โคงเบซาย

การสํารวจความคิดเห็น 1. ขอบเขตของการสํารวจ กําหนดดวยพื้นที่ ลักษณะผูใหขอมูล การมีสวนไดสวนเสียกับขอมูล 2. วิธีเลือกตัวอยาง การสุมตัวอยาง (Sampling) การเลือกตัวอยางแบบชั้นภูมิ การเลือกตัวอยางแบบ หลายขั้นและการเลือกตัวอยางแบบกําหนดโควตา 3. การสรางแบบสํารวจความคิดเห็น แบบสํารวจที่ดีประกอบดวย ลักษณะของผูตอบที่คาดวามีผลตอ การแสดงความคิดเห็น ความคิดเห็นของผูตอบในดานตางๆ และขอเสนอแนะ โดยตองไมเปนคําถามที่ชี้นํา และมี จํานวนไมมากเกินไป ตลอดจนความสอดคลองของความรูของผูใหขอมูลกับเรื่องที่สอบถาม 4. การประมวลผลและวิเคราะหความคิดเห็น 1. รอยละของผูตอบแบบสํารวจความคิดเห็นในแตละดานที่เกี่ยวของ 2. ระดับความคิดเห็นเฉลี่ย ตัวอยางที่ 6 ขอมูลชุดหนึ่งมีคาเฉลี่ยเลขคณิตเทากับ 20 มัธยฐานเทากับ 25 และฐานนิยมเทากับ 30 ขอสรุปใด ตอไปนี้ถูกตอง *1) ลักษณะการกระจายของขอมูลเปนการกระจายที่เบทางซาย 2) ลักษณะการกระจายของขอมูลเปนการกระจายที่เบทางขวา 3) ลักษณะการกระจายของขอมูลเปนการกระจายแบบสมมาตร 4) ไมสามารถสรุปลักษณะการกระจายของขอมูลได


______________________________ คณิตศาสตร (43)

ตัวอยางที่ 7 พิจารณาขอมูลตอไปนี้ 10, 5, 6, 9, 12, 15, 8, 18 คาของ P80 ใกลเคียงกับขอใดตอไปนีม้ ากที่สุด 1) 15.1 2) 15.4 *3) 15.7 4) 16.0

ตัวอยางที่ 8 ในกรณีที่มีขอมูลจํานวนมาก ขอมูลไดชัดเจนนอยที่สุด 1) ตารางแจกแจงความถี่ 3) ฮิสโทแกรม

การนําเสนอขอมูลในรูปแบบใดตอไปนี้ทําใหเห็นการกระจายของ 2) แผนภาพตน-ใบ *4) การแสดงคาสังเกตทุกคา

ตัวอยางที่ 9 จากการสอบถามเยาวชนจํานวน 12 คน วาเคยฟงพระธรรมเทศนามาแลวจํานวนกี่ครั้ง ปรากฏผล ดังแสดงในแผนภาพตอไปนี้ จํานวนเยาวชน 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6

จํานวนครั้งที่เคยฟงพระธรรมเทศนา

มัธยฐานของขอมูลนี้คือขอใด *1) 3 ครั้ง 2) 3.25 ครั้ง

3) 3.5 ครั้ง

4) 4 ครั้ง

ตัวอยางที่ 10 ขอใดตอไปนี้มีผลกระทบตอความถูกตองของการตัดสินใจโดยใชสถิติ ยกเวนขอใด 1) ขอมูล 2) สารสนเทศ 3) ขาวสาร *4) ความเชื่อ

คณิตศาสตร (44)______________________________


เก็งขอสอบ O-NET 1. กําหนดใหเอกภพสัมพัทธคือเซต U = {a, b, c, d, e} และ A, B, C เปนเซตใดๆ ซึ่งเปนสับเซตใน U โดยมี เงื่อนไข ดังนี้ n(A) = n(B) = n(C) = 3 n(A I B) = n(B I C) = n(A I C) = 2 และ n(A U B U C) = n(U) ขอใดตอไปนีผ้ ิด 1) n[A U (B I C)] = 3 2) n(A U C) = 4 3) n[A I (B I C)] = 2 4) n(A I B I C) = 1 2. กําหนดให A = {1, 2, {3}} ขอใดตอไปนีผ้ ิด 1) 1 ∈ A 2) {3} ∈ P(A) 3) {2, {3}} ⊂ A 4) {{1, 2}, {3}} ⊂ P(A) 3. กําหนดให a, b, c และ d เปนจํานวนจริงใดๆ โดยที่ 0 < a bd ข. ac < db 1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด 4. กําหนดให A คือ เซตคําตอบของอสมการ |2x + 1| ≤ 5 และ B คือ เซตคําตอบของอสมการ |x + 3| ≥ 2 ขอใดตอไปนี้ คือเซตคําตอบของ A I B 1) [-5, -1] 2) [-1, 2] 3) [-5, 2] 4) [-1, 5] 5. ถา x - 1 หารพหุนาม x2 + 2x - 1 เศษเหลือมีคาเทากับ a และ x - 2 หารพหุนาม x2 + 3ax - b ลงตัว แลวคาของ a + b มีคาตรงกับขอใด 1) 12 2) 14 3) 16 4) 18  + 1 + 5 4n + 1   6. กําหนดให n เปนจํานวนเต็ม  55n  53n + 1 + 52n + 1  1) 5 3) 125


3/2n

มีคาตรงกับขอใด 2) 25 4) 625

______________________________ คณิตศาสตร (45)

7. กําหนดให 5 - a = 7 - 2 10 คาของ a ตรงกับขอใด 1) 2 2) 3 3) 4 4) 5 8. กําหนดให A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} และ B = {{1}, {2, 3}, 4, 5, 6, ...} จํานวนความสัมพันธทั้งหมดจากเซต A - B ไปเซต B - A มีคาเทาใด 1) 16 จํานวน 2) 32 จํานวน 3) 64 จํานวน 4) 128 จํานวน 9. ถาสามจํานวนนี้เรียงกันเปนลําดับเลขคณิตคือ x - 2, x, x2 - 4 แลวผลบวกของคา x ทั้งหมดตรงกับขอใด 1) -2 2) -1 3) 1 4) 2

คณิตศาสตร (46)______________________________


เฉลย 1. เฉลย 4) n(A I B I C) = 1 จากสูตร n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A I B) - n(A I C) - n(B I C) + n(A I B I C) และ n(A U B U C) = n(U) = 5 จะไดวา 5 = 3 + 3 + 3 - 2 - 2 - 2 + n(A I B I C) n(A I B I C) = 5 - 9 + 6 = 2 2. เฉลย 2) {3} ∈ P(A) ที่ถูกตอง คือ {{3}} ∈ P(A) 3. เฉลย 2) ก. ถูก และ ข. ผิด จาก 0 < a bd 4(-2) > 9(-3) -8 > -27 ดังนั้น ก. ถูก a < b ข. c d 4 < 9 -2 -3 -2 < -3 ดังนั้น ข. ผิด


______________________________ คณิตศาสตร (47)

4. เฉลย 2) [-1, 2] จาก จะได

จะได จาก จะได

|2x + 1| -5 ≤ 2x + 1 -5 - 1 ≤ 2x + 1 - 1 -6 -6 2 -3 A |x + 3| x + 3 ≤ -2 x ≤ -5 B AIB

≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

= ≥

หรือ หรือ = =

5 5 5-1 2x ≤ 4 2x ≤ 4 2 2 x ≤ 2 [-3, 2] 2 |x + 3| ≥ 2 x ≥ -1 (-∞, -5] U [-1, ∞) [-1, 2]

จะได ดังนั้น 5. เฉลย 4) 18 ให p(x) = x2 + 2x - 1 จาก x - 1 หารพหุนาม x2 + 2x - 1 เศษเหลือมีคาเทากับ a นั่นคือ p(1) = a 2 1 + 2(1) - 1 = a a = 2 ให q(x) = x2 + 3ax - b q(x) = x2 + 3(2)x - b q(x) = x2 + 6x - b จาก x - 2 หารพหุนาม x2 + 3ax - b ลงตัว นั่นคือ q(2) = 0 22 + 6(2) - b = 0 b = 16 ดังนั้น a + b = 2 + 16 = 18

คณิตศาสตร (48)______________________________


6. เฉลย 3) 125

จาก

  

55n +1 + 54n +1  53n +1 + 52n + 1 

3/2n

=

   

=

  

= = = = = 7. เฉลย 1) 2 จาก

5 4n +1 (5n + 1)  52n +1 (5n + 1) 

3/2n

3/2n

5 4n +1  52n +1  [5(4n+1)-(2n+1)]3/2n [52n]3/2n 52n ⋅ 3/2n 53 125

5 -

a

=

7 - 2 10

5 -

a

=

(5 + 2) - 2 5 ⋅ 2

5 -

a

=

( 5 )2 - 2 5 ⋅ 2 + ( 2 )2

5 5 -

a = ( 5 - 2 )2 a = 5 - 2 a = 2

จะได 8. เฉลย 3) 64 จํานวน

A - B = {1, 2, 3} จะได n(A - B) = 3 B - A = {{1}, {2, 3}} จะได n(B - A) = 2 จากสูตร จํานวนความสัมพันธทั้งหมดจากเซต A ไปเซต B เทากับ 2n(A)×n(B) ดังนั้น จํานวนความสัมพันธทั้งหมดจากเซต A - B ไปเซต B - A เทากับ 2n(A-B)×n(B-A) = 23×2 = 26 = 64 จํานวน


______________________________ คณิตศาสตร (49)

9. เฉลย 3) 1 จาก x - 2, x, x2 - 4 เปนลําดับเลขคณิต นั่นคือ (x2 - 4) - x = x - (x - 2) x2 - x - 4 = 2 x2 - x - 6 = 0 (x - 3)(x + 2) = 0 จะได x = -2, 3 ดังนั้น ผลบวกของคา x ทั้งหมดเทากับ -2 + 3 = 1

คณิตศาสตร (50)______________________________


ตรรกศาสตร ประพจน (Proposition หรือ Statement) คือ ประโยคที่เปน “จริง” หรือ “เท็จ” อยางใดอยางหนึ่งเทานั้น ประโยคที่มีลักษณะดังกลาวจะอยูในรูป ประโยคบอกเลาหรือประโยคปฏิเสธก็ได การเชื่อมประพจน เปนการนําเอาประพจนมาสรางเปนประพจนใหม โดยเติมตัวเชื่อม (connectives) ตัวเชื่อมประพจนหลักๆ มีอยู 5 ชนิด ไดแก คําวา “และ” (∧), “หรือ” (∨), “ถา...แลว...” (⇒), “ก็ตอเมื่อ” (⇔) และ “นิเสธ (ไม)” (∼) ประพจนที่นํามาเชื่อมกันดวยตัวเชื่อมตางๆ เรียกวา ประพจนยอย (atomic statement) การหาคาความจริงของประพจน p T T F F

q T F T F

p∧q T F F F

p∨q p→q T T T F T T F T


p↔q T F F T

∼p

∼q

F F T T

F T F T

______________________________ คณิตศาสตร (51)

ขอสังเกตเกี่ยวกับคาความจริงที่ไดจากการเชื่อมประพจน ตัวเชื่อม ∧

T ทุกประพจนเปน T

F มีประพจนอยางนอย 1 ตัวเปน F

∨

มีประพจนอยางนอย 1 ตัวเปน T

ทุกประพจนเปน F

⇒

F ⇒ ? (หนาเปน F) ?⇒T

⇔

(หลังเปน T)

หนา-หลัง เหมือนกัน

T ⇒ F (หนาเปน T และหลังเปน F) หนา-หลัง ตางกัน

ประพจนที่สมมูลกัน คือ ประพจนที่มีคาความจริงเหมือนกันทุกกรณี กรณีตอกรณี แทนดวย p ≡ q ประพจนที่ไมสมมูลกัน คือ ประพจนที่มีคาความจริงตางกันอยางนอยหนึ่งกรณี แทนดวย p ≡ q ประพจนที่เปนนิเสธกัน คือ ประพจนที่มีคาความจริงตรงขามกันทุกกรณี กรณีตอกรณี แทนดวย p ≡ ∼q การตรวจสอบประพจนที่สมมูล ทําได 3 วิธี คือ 1. ใชตาราง 2. ใชรูปแบบประพจนที่สมมูล 3. แทนคาประพจน สัจนิรันดร (Tautology) คือ รูปแบบของประพจนที่มีคาความจริงเปนจริงทุกกรณี การตรวจสอบสัจนิรันดร ทําได 3 วิธี คือ 1. ใชตาราง 2. ใชรูปแบบประพจนที่สมมูล 3. การหาขอขัดแยง รูปแบบของประพจนที่สมมูลกัน ≡ q∧p 1. p ∧ q ≡ q∨p 2. p ∨ q ≡ p 3. p ∧ p ≡ p 4. p ∨ p 5. (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r) 6. (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) 7. p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) 8. p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) 9. p ⇒ (q ∧ r) ≡ (p ⇒ q) ∧ (p ⇒ r) 10. p ⇒ (q ∨ r) ≡ (p ⇒ q) ∨ (p ⇒ r)

คณิตศาสตร (52)______________________________


11. (p ∧ q) ⇒ r ≡ (p ⇒ r) ∨ (q ⇒ r) 12. (p ∨ q) ⇒ r ≡ (p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r) 13. p ⇒ q ≡ ∼p ∨ q ≡ ∼q ⇒ ∼p ** ≡ q⇔p ≡ ∼p ⇔ ∼q ≡ ∼q ⇔ ∼p 14. p ⇔ q ≡ p 15. ∼(∼p) 13. ∼(p ∧ q) ≡ ∼p ∨ ∼q ≡ ∼p ∧ ∼q 17. ∼(p ∨ q) 18. ∼(p ⇒ q) ≡ p ∧ ∼q ≡ ∼q ⇔ p 19. ∼(p ⇔ q) ≡ ∼p ⇔ q ≡ p ⇔ ∼q ≡ q ⇔ ∼p ขอสังเกตของสมมูล 1. ♥ ∨ ∼♥ ≡ T 2. ♥ ∧ ∼♥ ≡ F ≡ T 3. ♥ ∨ T 4. ♥ ∧ T ≡ ♥ ≡ ♥ 5. ♥ ∨ F ≡ F 6. ♥ ∧ F ≡ ♥ 7. T ⇒ ♥ ≡ ∼♥ 8. ♥ ⇒ F ≡ T 9. ♥ ⇒ T ≡ T 10. F ⇒ ♥ ประโยคเปด คือ ประโยคบอกเลา หรือประโยคปฏิเสธ ที่มีตัวแปรและเมื่อแทนคาของตัวแปรดวยสมาชิกในเอกภพ สัมพัทธแลวไดประพจน เชน กําหนดใหเอกภพสัมพัทธ คือ เซตของจํานวนจริง 2x + 1 = 3 เปนประโยคเปด เพราะเมื่อแทน x ดวยจํานวนจริงใดๆ แลวไดประพจน แทน x = 1 ได 2(1) + 1 = 3 จริง แทน x = 3 ได 2(3) + 1 = 3 เท็จ สัญลักษณแทนประโยคเปด P(x), Q(x), R(x), ... แทน ประโยคเปดที่มีตัวแปรเปน x เชน P(x) : x + 3 = 2 P(x, y), Q(x, y), R(x, y), ... แทน ประโยคเปดที่มีตัวแปรเปน x, y เชน Q(x, y) : x - 2y = 0


______________________________ คณิตศาสตร (53)

ตัวบงปริมาณ (Quantifier) ∀x แทนคําวา “สําหรับ x ทุกตัว” หรือ “สําหรับแตละคาของ x” ∃x แทนคําวา “สําหรับ x บางตัว” หรือ “มี x บางคา” เชน คาความจริงของประโยคเปดที่มีตัวบงปริมาณ (ตัวแปรเดียว) ประพจน

มีคาความจริงเปน “จริง” เมื่อ ทุก x ∈ U แทนใน P(x) แลวทําให P(x) เปนจริง มีบาง x ∈ U แทนใน P(x) แลวทําให P(x) เปนจริง

∀x[P(x)] ∃x[P(x)]

มีคาความจริงเปน “เท็จ” เมื่อ มีบาง x ∈ U แทนใน P(x) แลวทําให P(x) เปนเท็จ ทุก x ∈ U แทนใน P(x) แลวทําให P(x) เปนเท็จ

คาความจริงของประโยคเปดที่มีตัวบงปริมาณ (หลายตัวแปร) ประพจน

ตัวอยาง

∀x∀y[P(x,

y)]

∀x∃y[P(x,

y)]

∃x∀y[P(x,

y)]

∃x∃y[P(x,

y)]

มีคาความจริงเปน “จริง” ทุก x, y ∈ U เมื่อแทนใน P(x, y) แลวทําให P(x, y) เปนจริง ทุก x ∈ U จะมี y ∈ U เมื่อแทนใน P(x, y) แลวทําให P(x, y) เปนจริง มีบาง x ∈ U ซึ่งทุก y ∈ U เมื่อแทนใน P(x, y) แลวทําให P(x, y) เปนจริง มีบาง x, y ∈ U เมื่อแทนใน P(x, y) แลวทําให P(x, y) เปนจริง

มีคาความจริงเปน “เท็จ” มีบาง x, y ∈ U เมื่อแทนใน P(x, y) แลวทําให P(x, y) เปนเท็จ มีบาง x ∈ U ที่ทุก y ∈ U เมื่อแทนใน P(x, y) แลวทําให P(x, y) เปนเท็จ ทุก x ∈ U จะมี y ∈ U เมื่อแทนใน P(x, y) แลวทําให P(x, y) เปนเท็จ ทุก x, y ∈ U เมื่อแทนใน P(x) แลวทําให P(x) เปนเท็จ

จงหาคาความจริงของประโยคเปดที่มีตัวบงปริมาณ เมื่อกําหนดเอกภพสัมพัทธใหในแตละขอตอไปนี้ 1. ∀x∀y[x + y = y + x] เมื่อ U = {0, 1} เมื่อ U = {0, 1, 2} 2. ∀x∃y[y < x] เมื่อ U = {-1, 0, 1} 3. ∃x∀y[x + y = 0] เมื่อ U = {4, 5, 6} 4. ∃x∃y[x + 3 = 2y]

คณิตศาสตร (54)______________________________


สมมูลของประโยคที่มีตัวบงปริมาณ ∀x[P(x)] ≡ ∀x[Q(x)] ก็ตอเมื่อ P(x) ≡ Q(x) ∃x[P(x)] ≡ ∃x[Q(x)] ก็ตอเมื่อ P(x) ≡ Q(x) นิเสธของประโยคที่มีตัวบงปริมาณ ∼∀x[P(x)] ≡ ∃x[∼P(x)] ∼∃x[P(x)] ≡ ∀x[∼P(x)] ∼∀x∀y[P(x, y)] ≡ ∃x∃y[∼P(x, y)] ∼∃x∀y [P(x, y)] ≡ ∀x∃y[∼P(x, y)] การอางเหตุผล ประกอบดวยสวนที่สําคัญ 2 สวน คือ 1. เหตุหรือสิ่งที่กําหนดให ไดแก P1, P2, P3, …, Pn 2. สวนที่เปนผล ไดแก Q การตรวจสอบการอางเหตุผล 1. สรางประพจน เพื่อตรวจสอบสัจนิรันดร (1) เชื่อมเหตุทุกตัว “และ” จะได P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ ... ∧ Pn (2) เชื่อม “ขอ 1” กับ “ผล” ดวย “⇒” จะได (P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ ... ∧ Pn) ⇒ Q (3) ถาประพจนในขอ (2) เปนสัจนิรันดร แสดงวา การอางเหตุผล “สมเหตุสมผล (valid)” ถาประพจนในขอ (2) ไมเปนสัจนิรันดร แสดงวา การอางเหตุผล “ไมสมเหตุสมผล (invalid)” 2. ใชรูปแบบประพจนที่สมเหตุสมผล รูปแบบการอางเหตุผลที่สมเหตุสมผล 2) เหตุ 1. p → q 1) เหตุ 1. p → q 2. p 2. ∼q ผล q ผล ∼p 3) เหตุ 1. p ∨ q 2. ∼p (หรือ ∼q) ผล q (หรือ p)

4) เหตุ 1. p → q 2. q → r ผล p → r

5) เหตุ 1. p → q 2. q → s 3. p ∨ q ผล r ∨ s

6) เหตุ 1. p ∧ q ผล p (หรือ q)

7) เหตุ 1. p → q ผล ∼p ∨ q หรือ ∼q → ∼q

8) เหตุ 1. p ผล p ∨ q ∨ r


______________________________ คณิตศาสตร (55)

แบบทดสอบ 1. กําหนดให p, q และ r เปนประพจน พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. ถา q ∧ r มีคาความจริงเปนจริง แลว p และ p ∨ [(q ∧ r) ⇒ p] มีคาความจริงเหมือนกัน ข. ถา p มีคาความจริงเปนเท็จ แลว r และ (p ⇒ q) ∧ r มีคาความจริงเหมือนกัน ขอใดตอไปนี้เปนจริง *1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด 2. กําหนดให ประพจน (∼p ↔ ∼r) ∨ (p ↔ q) มีคาความจริงเปนเท็จ ประพจนใดตอไปนี้มีคาความจริงเปนเท็จ 2) ∼p → (q ∧ r) 3) p ∨ q ∨ ∼r *4) p ∧ q ∧ ∼r 1) ∼p → (q ∨ r) 3. กําหนดให p, q และ r เปนประพจน ถาประพจน p → (q ∧ r) มีคาความจริงเปนเท็จ และ (p ∨ q) ↔ r มีคาความจริงเปนจริง แลวพิจารณาคาความจริงของประพจนตอไปนี้ ข. p ↔ (q ∨ ∼r) ก. (p ↔ q) ↔ ∼r 1) ก. และ ข. จริง 2) ก. จริง และ ข. เท็จ 3) ก. เท็จ และ ข. จริง 4) ก. และ ข. เท็จ 4. กําหนดให p, q, r เปนประพจน จงพิจารณาขอความตอไปนี้ ก. ประพจน p ⇒ (p ⇒ (q ∨ r)) สมมูลกับประพจน p ⇒ (q ∨ r) ข. ประพจน p ∧ (q ⇒ r) สมมูลกับประพจน (q ⇒ p) ∨ ∼(p ⇒ ∼r) ขอใดตอไปนี้ถูก 1) ก. และ ข. ถูก *2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด 5. พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. ถา q มีคาความจริงเปนเท็จแลว ประพจน p → (q → r) มีคาความจริงเปนจริง ข. นิเสธของประพจน (p → q) → r คือ (∼p ∧ ∼r) ∨ (∼r ∧ q) ขอใดตอไปนี้ถูก *1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิด 6. กําหนด p, q, r และ s เปนประพจน ประพจนในขอใดตอไปนี้ไมเปนสัจนิรันดร 2) [p ∨ (q ∧ r)] ∨ ∼[p ∨ (q ∧ r)] 1) [(p ∨ (q ∧ r)] ↔ [(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)] 3) [(p ∨ q) → r] ↔ [∼r → (∼p ∧ ∼q)] *4) [(p → q) ∧ (q → r) ∧ (s ∨ ∼r) ∧ ∼s] ↔ p 7. ประพจนตอไปนี้ขอใดเปนสัจนิรันดร ก. [(p → q) ∨ (q → r)] ∨ (p → r) เมื่อ p, q และ r เปนประพจนใดๆ ข. (∼p → q) ∨ (∼p ∨ q) เมื่อ p และ q เปนประพจนใดๆ ขอใดตอไปนี้ถูก *1) ก. และ ข. เปนสัจนิรันดร 2) ก. เปน แต ข. ไมเปนสัจนิรันดร 3) ก. ไมเปน แต ข. เปนสัจนิรันดร 4) ก. และ ข. ไมเปนสัจนิรันดร

คณิตศาสตร (56)______________________________


8. เอกภพสัมพัทธในขอใดตอไปนี้ ทําใหประโยค ก. และ ข. ที่กําหนดใหขางลางนี้มีคาความจริงเปนเท็จทั้งคู ก. ∀x [(x2 - 1)(x2 - 3x) = 0] ข. ∃x[ |x| + 2 = 2] 1) {-2, 0, 1, 2} 2) {-1, 0, 1, 3} *3) {-3, -1, 0, 1} 4) {-1, 0, 2, 3} 9. พิจารณาประโยคตอไปนี้ ก. ∃x[ |x| + 2 < x] ข. ∃x[2|x| > 3x] เอกภพสัมพัทธในขอใดทําใหประโยค ก. และ ข. มีคาความจริงเปนจริง 1) {-2, 0, 2} *2) {-2, 0, 3} 3) {0, 1, 2} 4) {0, 1, 3} 10. เอกภพสัมพัทธ U ที่กําหนดใหขอใดตอไปนี้ที่ทําใหประโยค ∃x [2x2 + x - 1 ≤ 0 ∧ x 2 - 4x + 4 ≤ 3] มีคาความจริงเปนจริง 1) U = เซตของจํานวนเต็มบวกคู 2) U = เซตของจํานวนเต็มบวกคี่ 3) U = เซตของจํานวนเต็มลบคู *4) U = เซตของจํานวนเต็มลบคี่    



2 11. กําหนดให U = x ∈ R (xx -+1)5 < 1 

ให P(x) แทนประโยค |x| < 5 และ Q(x) แทนประโยค 1 < x2 < 16 ถา U เปนเอกภพสัมพัทธ แลวขอความในขอใดตอไปนี้มีคาความจริงเปนเท็จ 1) ∀x[P(x)] ⇒ ∀x[Q(x)] 2) ∃x[P(x)] ∧ ∃x[Q(x)] 3) ∀x[P(x)] ∨ ∃x[Q(x)] *4) ∃x[Q(x)] ⇒ ∀x[P(x)] 12. กําหนดให P(x) และ Q(x) เปนประโยคเปด โดยที่ ∀x[P(x)] → ∃x[∼Q(x)] มีคาความจริงเปนเท็จ เมื่อ เอกภพสัมพัทธ คือเซตของจํานวนจริง ขอใดตอไปนี้มีคาความจริงเปนจริง 1) ∃x[P(x) ∧ ∼Q(x)] 2) ∃x[∼Q(x) ∨ ∼Q(x)] 3) ∀x[P(x) → ∼Q(x)] *4) ∀x[P(x) → Q(x)] 13. กําหนดให เอกภพสัมพัทธ คือ U = {-3, -2, -1, 1, 2, 3} ขอใดตอไปนี้มีคาความจริงเปนเท็จ 1) ∃x∀y[x + y < y] 2) ∃x∀y[x - y2 < x] *3) ∃x∀y[xy2 = x] 4) ∃x∀y[x2y = y] 14. กําหนดใหเอกภพสัมพัทธคือเซต {-2, -1, 1, 2} ประโยคในขอใดตอไปนี้มีคาความจริงเปนเท็จ 1) ∃x∃y[x ≤ 0 ∧ |x| = y + 1] 2) ∃x∀y[x ≤ y ∧ -(x + y) ≥ 0] 3) ∀x∃y[x + y = 0 ∨ x - y = 0] *4) ∀x∀y[|x| < |y| ∨ |x| > |y|] 15. กําหนดใหเอกภพสัมพัทธคือ U = {{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}} ขอใดตอไปนีถ้ ูก *1) ∀x∀y[x I y ≠ ∅] 2) ∀x∀y[x U y = U] 3) ∀x∃y[y ≠ x ∧ y ⊂ x] 4) ∃x∀y[y ≠ x ∧ y ⊂ x]


______________________________ คณิตศาสตร (57)

16. กําหนดให U = { n ∈ I+ | n ≤ 10 } ประโยคในขอใดตอไปนี้มีคาความจริงเปนเท็จ 1) ∀x∀y[(x2 = y2) ⇒ (x = y)] *2) ∀x∃y[(x ≠ 1) ⇒ (x > y2)] 3) ∃x∀y[xy ≤ x + y] 4) ∃x∃y[(x - y)2 ≥ y2 + 9xy] 17. พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. ใหเอกภพสัมพัทธคือเซตของจํานวนเฉพาะบวก ขอความ ∀x∃y[x2 + x + 1 = y] มีคาความจริง เปนจริง ข. นิเสธของขอความ ∀x[P(x) → (Q(x) ∨ R(x))] คือ ∃x[P(x) ∧ ∼Q(x) ∧ ∼R(x)] ขอใดตอไปนี้ถูก 1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด *3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด 18. พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. ถา p, q เปนประพจน โดยที่ p มีคาความจริงเปนจริง และ ∼q → (∼p ∨ q) เปนสัจนิรันดร แลว q มีคาความจริงเปนจริง ข. นิเสธของขอความ ∃x[(∼P(x)) ∧ Q(x) ∧ (∼R(x))] คือขอความ ∀x[Q(x) → (P(x) ∨ R(x))] ขอใดตอไปนีถ้ ูก *1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด 19. กําหนดให P(x) และ Q(x) เปนประโยคเปด โดยที่ ∀x[P(x)] ⇒ ∃x[∼Q(x)] มีคาความจริงเปนเท็จ เมื่อ เอกภพสัมพัทธ คือเซตของจํานวนจริง ขอใดตอไปนี้มีคาความจริงเปนจริง 1) ∀x[∼P(x)] ⇒ ∃x[Q(x)] *2) ∀x[Q(x)] ⇒ ∃x[∼P(x)] 3) ∃x[P(x)] ⇒ ∀x[Q(x)] 4) ∃x[∼Q(x)] ⇒ ∀x[P(x)] 20. นิเสธของขอความ ∀x∃y[(xy = 0 ∧ x ≠ 0) → y = 0] สมมูลกับขอความในขอใดตอไปนี้ 1) ∃x∀y[(xy = 0 ∨ x = 0) ∧ y ≠ 0] 2) ∃x∀y[(xy ≠ 0 ∧ x = 0) ∨ y = 0] *3) ∃x∀y[(xy = 0 ∧ x ≠ 0 ∧ y ≠ 0] 4) ∃x∀y[xy ≠ 0 ∨ x = 0 ∨ y = 0] 21. นิเสธของ ∀r > 0 ∃s > 0 ∀x ∈ R [|x + 1| < s → |f(x) - 2| < r] คือประพจนในขอใดตอไปนี้ 1) ∃r ≤ 0 ∀s ≤ 0 ∃x ∈ R [|x + 1| ≥ s → |f(x) - 2| ≥ r] *2) ∃r > 0 ∀s > 0 ∃x ∈ R [|x + 1| < s ∧ |f(x) - 2| ≥ r] 3) ∃r ≤ 0 ∀s ≤ 0 ∃x ∈ R [|x + 1| < s ∧ |f(x) - 2| ≥ r] 4) ∃r > 0 ∀s > 0 ∃x ∈ R [|f(x) - 2| ≥ r → |x + 1| ≥ s]

คณิตศาสตร (58)______________________________


22. พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. ถา p ⇒ (q ∧ r) มีคาความจริงเปนจริง และ (p ∨ q) ⇒ r มีคาความจริงเปนเท็จ แลว q ⇒ (p ∨ r) มีคาความจริงเปนจริง ข. การอางเหตุผลตอไปนี้สมแหตุสมผล เหตุ 1. (∼p) ∨ q 2. (p ∨ q) ⇒ ∼r 3. p ⇒ ∼r ผล q ∨ r ขอใดตอไปนีถ้ ูก 1) ก. และ ข ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก *4) ก. และ ข. ผิด 23. กําหนดให เหตุ 1. ∼p → ∼q 2. p → (r ∨ s) 3. q ∨ t 4. ∼t ผลในขอใดตอไปนี้ทําใหการอางเหตุผลนี้ สมเหตุสมผล 1) s → r 2) s → ∼r 3) r → ∼s *4) ∼r → s 24. พิจารณาการใหเหตุผลตอไปนี้ ก. เหตุ 1. p → (q → r) ข. เหตุ 1. p → (q → ∼s) 2. p 2. p ∧ s 3. ∼t → q ผล p ผล r → t ขอใดตอไปนีถ้ ูก 1) ก. และ ข. สมเหตุสมผล 2) ก. สมเหตุสมผล และ ข. ไมสมเหตุสมผล *3) ก. ไมสมเหตุสมผล และ ข. สมเหตุสมผล 4) ก. ไมสมเหตุสมผล และ ข ไมสมเหตุสมผล 25. พิจารณาการอางเหตุผลตอไปนี้ เมื่อ p, q และ r เปนประพจน ก. เหตุ 1. p ∨ (p ∧ ∼q) ข. เหตุ 1. ∼p → r 2. p → q 2. ∼r ∨ s 3. ∼s ผล q ผล p ขอใดตอไปนีถ้ ูก *1) ก. และ ข. สมเหตุสมผล 2) ก. สมเหตุสมผล และ ข. ไมสมเหตุสมผล 3) ก. ไมสมเหตุสมผล และ ข. สมเหตุสมผล 4) ก. ไมสมเหตุสมผล และ ข ไมสมเหตุสมผล


______________________________ คณิตศาสตร (59)

26. กําหนดให p, q, r และ s เปนประพจน ในการอางเหตุผล ถา “เหตุ” คือ 1. (p ∨ q) → (r ∧ s) 2. r → ∼s แลว ประพจนในขอใดตอไปนี้เปน “ผล” ที่ทําใหการอางเหตุผลมีความสมเหตุสมผล 1) p 2) q *3) ∼p ∧ ∼q 4) ∼p ∧ q 27. กําหนด เหตุ 1. A ↔ ∼B 2. ∼A → (C → ∼B) 3. (∼D ∨ ∼C) → ∼(∼B) 4. ∼D ผลในขอใดตอไปนี้ไดจากการสรุปที่สมเหตุสมผลจากเหตุที่กําหนดใหทั้งสี่ขอ 1) A 2) ∼B *3) ∼C 4) D 28. กําหนดเหตุใหดังตอไปนี้ 1) เอกภพสัมพัทธไมเปนเซตวาง 2) ∀x[P(x) → Q(x)] 3) ∀x[Q(x) ∨ R(x)] 4) ∃x[∼R(x)] 29. ขอความในขอใดตอไปนี้เปนผลที่ทําใหการอางเหตุผล สมเหตุสมผล 1) ∃x[P(x)] 2) ∃x[Q(x)] 3) ∀x[P(x)] *4) ∀x[Q(x)]

คณิตศาสตร (60)______________________________


ระบบจํานวนจริง โครงสรางของระบบจํานวนจริง จํานวนตรรกยะ (Q) จํานวนเต็ม เชน ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... เศษสวน เชน 12 , 54 ทศนิยมรูจบ เชน 0.3, 0.123 ทศนิยมซ้ํา เชน 0.1& , 0.2&3& , 0.325&

จํานวนจริง (R)

จํานวนอตรรกยะ (Q′) ทศนิยมไมรูจบแบบไมซ้ํา เชน 0.1637... n A เชน 2 , 5 , 3 7 , 4 11 , 5 25 ♥ 49 , 3 343 , 4 2401 ไมใชจํานวนอตรรกยะ π = 3.14159... ≈ 3.1416 ≈ 22 7 e = 2.718... ≈ 2.718

สมบัติของระบบจํานวนจริง ให a, b, c ∈ R สมบัติ ปด การสลับที่ การเปลี่ยนหมู การมีเอกลักษณ การมีอินเวอรส

การแจกแจง

การบวก

1. 2. 3. 4.

การคูณ

a+b∈R a+b=b+a (a + b) + c = a + (b + c) มีจํานวนจริง 0 ซึ่ง 0+a=a=a+0 5. สําหรับ a จะมีจํานวนจริง -a โดยที่ (-a) + a = 0 = a + (-a) เรียก -a วาอินเวอรสการบวกของ a 11. a(b + c) = ab + ac

6. 7. 8. 9.

ab ∈ R ab = ba (ab)c = a(bc) มีจํานวนจริง 1, 1 ≠ 0 ซึ่ง 1 ⋅ a = a = a ⋅ 1 10. สําหรับ a ที่ไมเปน 0 จะมีจํานวนจริง a-1 โดยที่ a-1 ⋅ a = 1 = a ⋅ a-1 เรียก a-1 วาอินเวอรสการคูณของ a

การแกสมการพหุนามตัวแปรเดียว เราสามารถหาคําตอบของสมการพหุนามตัวแปรเดียวโดยใชการแยกตัวประกอบ หรือสูตรตางๆ ของการ แยกตัวประกอบ


______________________________ คณิตศาสตร (61)

สูตรการแยกตัวประกอบของพหุนาม ผลตางกําลังสอง A2 - B2 = (A + B)(A - B) 2 2 กําลังสองสมบูรณ A + 2AB + B = (A + B)2 A2 - 2AB + B2 = (A - B)2 ผลตางกําลังสาม A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2) ผลบวกกําลังสาม A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2) กําลังสามสมบูรณ A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 = (A + B)3 A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 = (A - B)3 การแกสมการกําลังสอง 1. แยกตัวประกอบพหุนาม 2. ใชสูตร ถา ax2 + bx + c = 0 โดยที่ a, b และ c เปนจํานวนจริงใดๆ แลว b 2 - 4ac x = -b ± 2a ถา b2 - 4ac > 0 แลว คําตอบของสมการมี 2 คําตอบ ถา b2 - 4ac = 0 แลว คําตอบของสมการมี 1 คําตอบ ถา b2 - 4ac < 0 แลว ไมมีคําตอบสมการในระบบจํานวนจริง การแกสมการพหุนามโดยใชทฤษฎีบทเศษเหลือ ทฤษฎีบทเศษเหลือ (remainder theorem) เมื่อ p(x) คือ พหุนาม anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 โดยที่ n เปนจํานวนเต็มบวก an, a n-1, ..., a1, a0 เปนจํานวนจริง ซึ่ง an ≠ 0 ถาหารพหุนาม p(x) ดวย x - c เมื่อ c เปนจํานวนจริง เศษเหลือจะเทากับ p(c)

นั่นคือ แทนคา x = c ลงใน p(x) จะได p(c) เปนเศษ ทฤษฎีบทตัวประกอบ (factor theorem) เมื่อ p(x) คือ พหุนาม anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 โดยที่ n เปนจํานวนเต็มบวก an, a n-1, ..., a1, a0 เปนจํานวนจริง ซึ่ง an ≠ 0 พหุนาม p(x) จะมี x - c เปนตัวประกอบก็ตอเมื่อ p(c) = 0

นั่นคือ 1. สําหรับพหุนาม p(x) ถา x - c เปนตัวประกอบแลวจะได p(c) = 0 2. สําหรับพหุนาม p(x) ถา p(c) = 0 แลว x - c จะเปนตัวประกอบของ p(x)

คณิตศาสตร (62)______________________________


การหารสังเคราะห (Synthetic Division) ตัวอยาง จงหาผลหารและเศษจากการหารพหุนาม 2x3 + 3x2 - 5x + 4 ดวย x + 3 วิธีทํา ....................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................... ทฤษฎีบทตัวประกอบจํานวนตรรกยะ (Factor Theorem) เมื่อ p(x) คือ พหุนามในรูป anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 โดยที่ n เปนจํานวนเต็มบวก an, a n-1, ..., a1, a0 เปนจํานวนจริง ซึ่ง an ≠ 0 ถา x - mk เปนตัวประกอบของพหุนาม p(x) โดยที่ m และ k เปนจํานวนเต็มซึ่ง m ≠ 0 และ ห.ร.ม. ของ m และ k เปน 1 แลว m หาร an ลงตัว และ k หาร a0 ลงตัว สมบัติของการไมเทากัน ถา a และ b เปนจํานวนจริงแลว a = b, a b จะเปนจริงเพียงอยางใดอยางหนึ่ง เทานั้น เรียกวา “สมบัติไตรวิภาค” ทฤษฎีบท กําหนดให a, b และ c เปนจํานวนจริงใดๆ 1. ถา a > b และ b > c แลว a > c 2. ถา a > b แลว a + c > b + c 3. ถา a > b และ c > 0 แลว ac > bc และถา a > b และ c < 0 แลว ac < bc 4. ถา ac > bc และ c > 0 แลว a > b และถา ac > bc และ c < 0 แลว a 0 6. ถา a < 0 และ b > 0 แลว ab < 0 7. ถา a > 0 และ b < 0 แลว ab < 0 8. ถา a 0 ∗ ถาอสมการอยูในรูปเศษสวน ตองระวังไวเสมอวา ตัวสวนตองไมเปนศูนย 3. ใหตัวประกอบแตละตัว เทากับ 0 แลวแกสมการหาคา x จากนั้นจึงนําคา x ที่ไดไปเขียนบนเสนจํานวน ซึ่งคา x ที่ไดจะแบงเสนจํานวนเปนชวงๆ 4. พิจารณาเครื่องหมายของพหุนามในแตละชวง สวนใหญเครื่องหมายบวก ลบ จะสลับกันไป 5. จากนั้นพิจารณาชวงคําตอบ ถาอสมการมีเครื่องหมายเปน “>” ใหตอบชวงที่เปน บวก ถาอสมการมีเครื่องหมายเปน “<” ใหตอบชวงที่เปน บวก 6. กรณีที่วงเล็บใดไมสามารถแยกตัวประกอบได ใหคงไวอยางนั้น แลวคิดเครื่องหมายไดเลย เชน (x2 + 4) (2x + 1)(3x - 2) ≤ 0 โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

______________________________ คณิตศาสตร (63)

การแกสมการและอสมการในรูปคาสัมบูรณ คาสัมบูรณของจํานวนจริง a เขียนแทนดวย |a| หมายถึง ระยะจากจุด 0 ถึงจุด a บนเสนจํานวน บทนิยาม ให x เปนจํานวนจริง

x;x>0 |x| = 0 ; x = 0 -x ; x < 0      

ทฤษฎีบทของคาสัมบูรณ เมื่อ x และ y เปนจํานวนจริง 1. |x| ≥ 0 2. |x| = |-x| 3. |x ⋅ y| = |x| ⋅ |y| = ||xy|| 4. xy

5. 6. 7. 8. 9.

|x - y| |x|2 x2 |x + y| |x - y|

= = =

|y - x| x2 |x| ≤ |x| + |y| ≥ |x| - |y|

การแกสมการในรูปคาสัมบูรณ 1. ถา |f(x)| = 0 แลว f(x) = 0 2. ถา |f(x)| = a และ a ≥ 0 แลว f(x) = a หรือ f(x) = -a 3. ถา |f(x)| = a และ a < 0 แลว x ∈ ∅ 4. ถา |f(x)| = |g(x)| แลว f(x) = g(x) หรือ f(x) = -g(x) 5. ถา |f(x)| = g(x) แลว f(x) = g(x) หรือ f(x) = -g(x) โดยที่ g(x) ≥ 0 6. ถา |P(x)| = P(x) แลว P(x) ≥ 0 ถา |P(x)| = - P(x) แลว P(x) ≤ 0 7. ถา |P(x)| + |Q(x)| = |P(x) + Q(x)| แลว P(x) ⋅ Q(x) ≥ 0 ถา |P(x)| - |Q(x)| = |P(x) - Q(x)| แลว P(x) ⋅ Q(x) ≥ 0 ∧ P(x) ≥ Q(x) การแกอสมการในรูปคาสัมบูรณ 1. |x| ≤ ∆ ก็ตอเมื่อ -∆ ≤ x ≤ ∆ |x| < ∆ ก็ตอเมื่อ -∆ < x < ∆ 2. |x| ≥ ∆ ก็ตอเมื่อ x ≤ -∆ หรือ x ≥ ∆ |x| > ∆ ก็ตอเมื่อ x < -∆ หรือ x > ∆ 3. |P(x)| < |Q(x)| ก็ตอเมื่อ (P(x) + Q(x)) ⋅ (P(x) - Q(x)) < 0 คณิตศาสตร (64)______________________________


แบบทดสอบ 1. ให a เปนจํานวนเต็ม ถา x - a หาร x3 + 2x2 - 5x - 2 เหลือเศษ 4 แลว ผลบวกของคา a ทั้งหมดที่ สอดคลองเงื่อนไขดังกลาว เทากับขอใดตอไปนี้ 1) -6 *2) -2 3) 2 4) 6 2. กําหนดให x + 1 และ x - 1 เปนตัวประกอบของพหุนาม P(x) = 3x3 + x2 - ax + b เมื่อ a, b เปนคาคงตัว เศษเหลือที่ไดจากการหาร P(x) ดวย x - a - b เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 15 2) 17 3) 19 *4) 21 3. กําหนดให f(x) = x3 + kx2 + mx + 4 เมื่อ k และ m เปนคาคงตัว ถา x - 2 เปนตัวประกอบหนึ่งของ f(x) และเมื่อนํา x + 1 ไปหาร f(x) ไดเศษเหลือ 3 แลวคาสัมบูรณของ k + m เทากับ เทาใด (ตอบ 4) 4. กําหนดให k และ l เปนจํานวนเต็ม ซึ่งเมื่อหาร x3 - 6x2 + (k + l)x + 2 ดวย x - 2 แลวเหลือเศษเปน -4 ถา k : l = 3 : 2 แลว ผลหารของการหาร 6x3 + 2x2 + 8x + 1 ดวย kx - l มีคาเปนเทาใด (ตอบ 9) 5. ให P(x) = x3 + ax2 + bx + 10 เมื่อ a, b เปนจํานวนเต็ม และ Q(x) = x2 + 9 ถา Q(x) หาร P(x) เหลือ เศษ 1 แลว P(a) + P(b) มีคาเทาใด (ตอบ 922) 6. ให p(x) เปนพหุนาม ถาหาร p(x) ดวย x - 1 จะเหลือเศษ 3 และ ถาหาร p(x) ดวย x - 3 จะเหลือเศษ 5 ถา r(x) = ax + b คือ เศษที่เกิดจากการหาร p(x) ดวย (x - 1)(x - 3) แลว 3a + 2b เทากับเทาใด (ตอบ 7) 7. ให a และ b เปนจํานวนจริงที่ทําให x2 + ax + b หาร x3 - 3x2 + 5x + 7 มีเศษเทากับ 10 คา a + b เทากับขอใดตอไปนี้ *1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 8. กําหนดให S = {x ||x|3 = 1} เซตในขอใดตอไปนี้เทากับเซต S 1) {x | x3 = 1} *2) {x | x2 = 1} 3) {x | x3 = -1} 4) {x | x4 = x} 9. กําหนดให S เปนเซตคําตอบของสมการ 2x3 - 7x2 + 7x - 2 = 0 ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดของ S เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 2.1 2) 2.2 3) 3.3 *4) 3.5 10. ถา a, b และ c เปนคําตอบทั้ง 3 คําตอบของสมการ x3 - 8x2 + 5x + 7 = 0 แลวคาของ a2 + b2 + c2 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 39 *2) 54 3) 63 4) 74 11. กําหนดให A = {x ||x - 1| ≤ 3 - x} และ a เปนสมาชิกคามากที่สุดของ A คาของ a อยูในชวงใด ตอไปนี้ 1) (0, 0.5] 2) (0.5, 1] 3) (1, 1.5] *4) (1.5, 2]


______________________________ คณิตศาสตร (65)

12. กําหนดให A เปนเซตคําตอบของสมการ x3 + x2 - 27x - 27 = 0 และ B เปนเซตคําตอบของสมการ x3 + (1 - 3 )x2 - (36 + 3 )x - 36 = 0 A I B เปนสับเซตของชวงในขอใดตอไปนี้ *1) [-3 5 , -0.9] 2) [1.1, 0] 3) [0, 3 5 ] 4) [1, 5 3 ] 13. กําหนดให A = {x | (2x + 1)(x - 1) < 2} และ B = {x | 16 - 9x2 > 0} เซต A I B เปนสับเซตของ ชวงในขอใดตอไปนี้ *2)  -1, 53  3)  -34 , 54  4)  -53 , 1  1)  -23 , 73  



 14. กําหนดให S =  x 2 x ≥ x + 2  ชวงในขอใดตอไปนี้เปนสับเซตของ S 2  x - 3x + 2 x - 1  *2) (-1, 0, 5) 3) (-0.5, 2) 4) (1, ∞) 1) (-∞, -3) - 1) ≥ 0 15. กําหนดให A เปนเซตคําตอบของอสมการ (2x +2 1)(x -x และ B เปนเซตคําตอบของอสมการ 2x2 - 7x + 3 < 0 ถา A I B = [c, d) แลว 6c - d เทากับขอใดตอไปนี้ *1) 4 2) 5 3) 6 4) 7 16. กําหนดให A = {x | (x2 - 1)(x2 - 3) ≤ 15 } ถา a เปนสมาชิกคานอยสุดในเซต A และ b เปนสมาชิก คามากสุดในเซต A แลว (b - a)2 เทากับขอใดตอไปนี้ *1) 24 2) 16 3) 8 4) 4 4 2 17. กําหนดให S เปนเซตคําตอบของอสมการ x 2- 13x + 36 ≥ 0 ถา a เปนจํานวนที่มีคานอยที่สุดในเซต x + 5x + 6 S I (2, ∞) และ b เปนจํานวนลบที่มีคามากที่สุด ซึ่ง b ∉ S แลว a2 - b2 เทากับขอใดตอไปนี้ 1) -9 2) -5 *3) 5 4) 9 18. กําหนดให A เปนเซตคําตอบของสมการ |(2x - 1)(x + 3) | = |(x + 7)(3 - 4x) | ผลบวกของสมาชิก ทั้งหมดของ A เทากับขอใดตอไปนี้ 3) 15 4) 15 *1) -15 2) - 15 2 2

19. กําหนดให I เปนเซตของจํานวนเต็ม ถา S = {x | 2x2 - 9x - 26 ≤ 0 และ |1 - 2x| ≥ 0} แลว ผลบวก ของสมาชิกของ S เทากับเทาใด (ตอบ 17) 20. เซตคําตอบของอสมการ |3x - 1| | (2x + 1) < 1 และ 5x < 1 เทากับขอใดตอไปนี้ 2)  -∞, -12  U  0, 51  1)  -∞, -13  U  0, 51   *4)  -∞, -61  U  0, 51  6 5 21. ถาเซตคําตอบของอสมการ |x2 + x - 2| < (x + 2) คือชวง (a, b) แลว a + b มีคาเทากับเทาใด (ตอบ 2)

3) (-∞, 0)

U  1, 1   

คณิตศาสตร (66)______________________________


22. กําหนดให A เปนเซตคําตอบของอสมการ |x2 + x - 2| ≤ |x2 - 4x + 3| และ B = A - {1} ถา a เปนสมาชิกของ B ซึ่ง a - b ≥ 0 ทุก b ∈ B แลว พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. 34 a เปนจํานวนคู ข. 5a เปนจํานวนคู ขอใดตอไปนี้ถูก 1) ก. และ ข. ถูก *2) ก. ผิด และ ข. ถูก 3) ก. ถูก และ ข. ผิด 4) ก. และ ข. ผิด 23. กําหนดให A = {x|x2 + 2x - 3 < 0} และ B = {x|x + 1 ≥ 2|x|} ถา A - B = (a, b) แลว 3|a + b| มีคาเทาใด (ตอบ 10) 24. กําหนดให U เปนเซตคําตอบของอสมการ ||x + 1| + 2 | ⋅ ||x + 1| - 2 | ≤ 25 ประโยคในขอใดตอไปนี้มี คาความจริงเปนจริง 1) ∃x∃y[x + y = 14] 2) ∃x∃y[x + y = 11] *3) ∃x∃y[x + y = -11] 4) ∃x∃y[x + y = -14] 25. ถา A = {(x, y) ∈ R × R ||x + y| ≥ |x| + |y|} แลว A คือเซตในขอใดตอไปนี้ 1) A = {(x, y) ∈ R × R | x = 0 หรือ y = 0} 2) A = {(x, y) ∈ R × R | x ≥ 0 หรือ y ≥ 0} 3) A = {(x, y) ∈ R × R | xy ≤ 0} *4) A = {(x, y) ∈ R × R | xy ≥ 0} 26. ถา A = { x ∈ R+ | 3|x + 2| ≤ |2x2 + x|} แลวสมาชิกของ A ที่มีคานอยที่สุดเทากับคาในขอใดตอไปนี้ *2) 132 + 1 3) 13 - 1 4) 13 + 1 1) 132 - 1 27. กําหนดให P(x) และ Q(x) เปนพหุนามดีกรี 2551 ซึ่งสอดคลองกับ P(n) = Q(n) สําหรับ n = 1, 2, 3, ..., 2551 และ P(2552) = Q(2552) + 1 คาของ P(0) - Q(0) เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 0 2) 1 *3) -1 4) หาคาไมไดเพราะขอมูลไมเพียงพอ


______________________________ คณิตศาสตร (67)

ทฤษฎีจํานวนเบื้องตน นิยามการหารลงตัว ให a และ b เปนจํานวนเต็มโดยที่ b ≠ 0 b หาร a ลงตัวก็ตอเมื่อ มีจํานวนเต็ม c ที่ทําให a = bc เรียก b วา ตัวหาร (Divisor) ของ a และเรียก a วา พหุคูณ (Multiple) ของ b b | a แทน “b หาร a ลงตัว” และ b | a แทน “b หาร a ไมลงตัว” สมบัติการหารลงตัว ♥ ถา a, b และ c เปนจํานวนเต็มโดยที่ b และ c ไมเทากับศูนย แลว a | b และ b | c แลว a | c ♥ ถา a | b และ c | d แลว ac | bd ♥ ถา a และ b เปนจํานวนเต็มบวก ซึ่ง a | b และ b ≠ 0 แลว a ≤ b ♥ ถา a, b และ c เปนจํานวนเต็ม ซึ่ง a | b และ a | c จะได a | (bx + cy) โดย x, y ∈ I และเรียก bx + cy วา “ผลรวมเชิงเสน” ตัวอยางที่ 1 กําหนด a, b และ c เปนจํานวนเต็มใดๆ ที่ไมเปนศูนย ถา a | (b + c) แลวขอใดตอไปนีถ้ ูก 1) a | b 2) a | c 3) a | (b2 + c2) 4) a | (b2 - c2) ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ตัวอยางที่ 2 ถา d เปนจํานวนเต็มบวก ซึ่ง d | 15k + 27) และ d | (3k + 2) แลว d ตรงกับขอใดตอไปนี้ 1) 1 หรือ 17 2) 3 หรือ 11 3) 2 หรือ 13 4) 4 หรือ 19 ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................................

คณิตศาสตร (68)______________________________


จํานวนคูและจํานวนคี่ ♥ จํานวนคู เขียนแทนดวย 2n เมื่อ n เปนจํานวนเต็ม ♥ จํานวนคี่ เขียนแทนดวย 2n + 1 หรือ 2n - 1 เมือ่ n เปนจํานวนเต็ม ตัวอยางที่ 3 จงแสดงวา ถา x เปนจํานวนเต็มคี่ แลว 4 | (x2 - 1) วิธีทํา ....................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... จํานวนเฉพาะ (Prime numbers) ♥ จํานวนเต็ม p ≠ 0 จะเปนจํานวนเฉพาะ ก็ตอเมื่อ p ≠ 1, -1 และถาจํานวนเต็ม x หาร p ลงตัว แลว x ∈ {1, -1, p, -p} ♥ เรียกจํานวนเต็มที่ไมใชจํานวนเฉพาะ และไมใช -1, 0, 1 วาเปน “จํานวนประกอบ (composite numbers)” ตัวอยางที่ 4 จงหาจํานวนเต็มบวก n ทั้งหมดที่ทําให n3 - 14n2 + 64n - 93 เปนจํานวนเฉพาะ ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ทฤษฎีบทหลักมูลทางเลขคณิต ♥ จํานวนเต็ม n ทุกจํานวนที่มากกวา 1 สามารถเขียนไดในรูปผลคูณของจํานวนเฉพาะไดเพียงแบบเดียว เทานั้น เชน 28 = 22 × 7 60 = 22 × 3 × 5 c c c c ♥ จํานวนตัวประกอบทั้งหมดที่เปนบวกของ n = p 1 1 ⋅ p 22 ⋅ p 33 ⋅... ⋅ p k k มีคาเทากับ

(c1 + 1)(c2 + 1)(c3 + 1) … (ck + 1) โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

______________________________ คณิตศาสตร (69)

ตัวอยางที่ 5 จํานวนเต็มบวกทั้งหมดที่หาร 210 ลงตัว มีจํานวนเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 14 2) 15 3) 16 4) 17 ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ตัวอยางที่ 6 ถา A = {x ∈ I | x เปนจํานวนเฉพาะ และ 2x | (252 - 6x)7} แลว จํานวนสมาชิกทั้งหมดใน A เทากับขอใด 1) 1 2) 2 3) 4 4) 6 ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ตัวหารรวมมาก (ห.ร.ม.) ♥ กําหนดจํานวนเต็ม a, b ซึ่ง a2 + b2 ≠ 0 จํานวนเต็มบวก d จะเปนตัวหารรวมมาก (ห.ร.ม.) ของ a และ b ก็ตอเมื่อ

1) d | a และ d | b 2) ถา c เปนจํานวนเต็ม ซึ่ง c | a และ c | b จะไดวา c | d ♥ ♥ ♥

d = (a, b) = ห.ร.ม. ของ a และ b เราสามารถเขียน d ในรูปของผลรวมเชิงเสนของ a และ b คือ d = am + bn เมื่อ m, n ∈ I ถา (a, b) = 1 เราเรียก a, b วาเปน “ จํานวนเฉพาะสัมพัทธ (Relative primes) ”

ตัวอยางที่ 7 ถา a เปน ห.ร.ม. ของ 403 และ 465 และ b เปน ห.ร.ม. ของ 431 และ 465 แลว a - b มีคา เทาใด ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ตัวอยางที่ 8 จํานวนเต็มทั้งหมดตั้งแต 0 ถึง 100 ที่ไมเปนจํานวนเฉพาะสัมพัทธกับ 15 มีทั้งหมดกี่จํานวน ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................................

คณิตศาสตร (70)______________________________


ขั้นตอนวิธีการหาร ให m และ n เปนจํานวนเต็ม ซึ่ง n ≠ 0 แลว จะมีจํานวนเต็ม q และ r ชุดเดียว ซึ่ง m = nq + r โดยที่ 0 ≤ r < | n | เรียก q วา ผลหาร และ r วา เศษเหลือ ตัวอยางที่ 9 กําหนดให n เปนจํานวนนับใดๆ และ r เปนเศษเหลือจากการหาร n2 ดวย 11 จํานวนในขอใด ตอไปนี้เปนคาของ r ไมได 1) 1 2) 3 3) 5 4) 7 ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ตัวอยางที่ 10 กําหนดให n เปนจํานวนเต็มที่มีคามากที่สุด ซึ่งมีสมบัติวา n หาร 551 และ 731 เหลือเศษ r เทากัน และ n หาร 1093 เหลือเศษ r + 2 แลว r -n 1 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1 1 1 1 2) 18 3) 19 4) 20 1) 17 ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ขั้นตอนวิธียุคลิด กําหนดจํานวนเต็มบวก a และ b จากการนําขั้นตอนการหารมาใชซ้ําๆ กัน จะไดสมการ 0 < r1 < a ...(1) b = (a ⋅ q1) + r1 0 < r2 < r1 ...(2) a = (r1 ⋅ q2) + r2 0 < r3 < r2 ...(3) r1 = (r2 ⋅ q3) + r3 M

rn-2 = (rn-1 ⋅ qn) + rn rn-1 = (rn ⋅ qn+1) + 0

M

0 < rn < rn-1 0 < r1 < a

...(n) ...(n + 1)

rn = (a, b) = ห.ร.ม. ตัวคูณรวมนอย (ค.ร.น.) ♥ ให m และ n เปนจํานวนเต็มที่ไมเปนศูนย c จะเปนตัวคูณรวมนอย (ค.ร.น.) ของ m และ n ก็ตอเมื่อ 1. m | c และ n | c 2. ถา a เปนจํานวนเต็ม ซึ่ง m | a และ n | จะได c | a ♥ ♥

c = [ m, n ] = ค.ร.น. ของ m, n ถา d และ c เปน ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ที่เปนบวกของจํานวนเต็ม m, n ตามลําดับ จะไดวา dc = mn โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

______________________________ คณิตศาสตร (71)

แบบทดสอบ 1. ถา d เปนจํานวนเต็มบวก ซึ่ง d | (20k + 36) และ d | (4k + 3) แลว d ตรงกับขอใดตอไปนี้ 1) 1 หรือ 11 *2) 3 หรือ 5 3) 2 หรือ 11 4) 4 หรือ 5 2. ให a, b และ c เปนจํานวนเต็ม จงพิจารณาขอความตอไปนี้ ก. ถา a | bc แลว a | b หรือ a | c ข. ถา a | b และ b | c แลว a | (c - b) ขอใดตอไปนี้ถูก 1) ถูกทั้ง ก. และ ข. 2) ถูกเฉพาะขอ ก. *3) ถูกเฉพาะขอ ข. 4) ผิดทั้ง ก. และ ข. 3. กําหนดให a, b และ c เปนจํานวนเต็ม ขอใดตอไปนี้เปนจริง 1) ถา a | (b + c) แลว a | b หรือ a | c 2) ถา a | bc แลว a | b หรือ a | c *3) ถา a | (2a - 3b) และ a | (4a - 5b) แลว a | b 4) ถา a | c และ b | c จะได ab | c 4. พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. 3 | (a4 + 2a3 - a2 - 2a) ทุกจํานวนเต็ม a ข. {x ∈ I- | 6x3 + 17x2 + 14x + 3 ≥ 0} มีสมาชิกเพียงตัวเดียว ขอใดตอไปนี้ถูกตอง *1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด 5. พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. ถา a, b และ c เปนจํานวนเต็มซึ่ง a | (2b - c) และ a2 | (b + c) แลว a | 3c   3 2 +2 ข. ถา A =  x ∈ R x -x2x - 2 < 1 และ B = {x ∈ R | x - 2x < 0} แลว A = B 



ขอใดตอไปนีถ้ ูก 1) ก. และ ข. ถูก *2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด 6. ถา A = {p | p เปนจํานวนเฉพาะบวก และ p | (980 - p)3} แลว ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดใน A เทากับ ขอใด 1) 10 2) 12 *3) 14 4) 16 7. กําหนด a เปนจํานวนเต็มใดๆ จงพิจารณาขอความตอไปนี้ ก. (a2 + a) เปนจํานวนคี่ ข. (a2 - a) เปนจํานวนคู ขอใดกลาวถูกตอง 1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด *3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด

คณิตศาสตร (72)______________________________


8. ขอความใดตอไปนีผ้ ิด 1) ถา a และ b เปนจํานวนคูแลว (a - b)2 เปนจํานวนคู 2) ถา b | a และ |a| < |b| แลว a = 0 *3) ห.ร.ม. ของ 364 และ 1012 คือ 2 4) ถา a เปนจํานวนคี่ และ b เปนจํานวนคูแลว a2 + 2b เปนจํานวนคี่ 9. กําหนดให a เปนคําตอบของ 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 + 4 ⋅ 5 + 5 ⋅ 6 และ b เปนคําตอบของ 4 ⋅ 6 + 6 ⋅ 8 + 8 ⋅ 10 + 10 ⋅ 12 แลว (a, b) มีคาตรงกับขอใดตอไปนี้ 1) 70 *2) 68 3) 66 4) 64 10. กําหนดให a และ b เปนจํานวนเต็มบวก ซึ่ง (a, b) = c แลว ห.ร.ม. ของ 2a และ 2b ตรงกับขอใดตอไปนี้ 1) c *2) 2c 3) 4c 4) 8c 11. กําหนดให a, b และ c เปนจํานวนเต็มบวกใดๆ พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. ถา a | b และ b | c แลว a | c ข. ถา a | b แลว ห.ร.ม. ของ a กับ b คือ a ขอใดตอไปนีถ้ ูก *1) ถูกทั้ง ก. และ ข. 2) ถูกเฉพาะขอ ก. 3) ถูกเฉพาะขอ ข. 4) ผิดทั้ง ก. และ ข. 12. กําหนดให x และ y เปนจํานวนเต็มบวก โดยที่ x < y ห.ร.ม. ของ x, y เทากับ 9 ค.ร.น. ของ x, y เทากับ 28215 และจํานวนเฉพาะที่แตกตางกันทั้งหมดที่หาร x ลงตัว มี 3 จํานวน คาของ y - x เทากับ ขอใดตอไปนี้ 1) 36 2) 45 3) 9 *4) 18 13. ให x และ y เปนจํานวนเต็มบวก ซึ่ง 80 < x < 200 และ x = pq เมื่อ p และ q เปนจํานวนเฉพาะ ซึ่ง p ≠ q ถา x และ y เปนจํานวนเฉพาะสัมพัทธ และ ค.ร.น. ของ x, y เทากับ 15015 แลว ผลบวก ของคาของ y ทั้งหมดที่สอดคลองเงื่อนไขทั้งหมดที่กําหนดใหเทากับเทาใด (ตอบ 270) 14. ถา 1 = ax + by โดย a, x, b, y เปนจํานวนเต็ม จงหา ห.ร.ม. ของ x, y (ตอบ 1) 15. ให a เปนจํานวนเต็มบวก ซึ่ง 3 | a และ 5 | a หา ห.ร.ม. ของ a และ 7 เทากับ 1 แลว ห.ร.ม. ของ a และ 105 เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 5 *2) 15 3) 35 4) 105 16. กําหนดใหเอกภพสัมพัทธคือ {x | x เปนจํานวนเต็มที่ไมใช 0 และ -100 ≤ x ≤ 100} ให A = {x | ห.ร.ม. ของ x กับ 21 เปน 3} จํานวนสมาชิกของ A เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 29 2) 34 3) 68 *4) 58 17. สําหรับจํานวนเต็ม a, b ใดๆ ให (a, b) = ห.ร.ม. ของ a และ b ให A = {1, 2, 3, ..., 400} จํานวน สมาชิกของเซต {x ∈ A | (x, 40) = 5} มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 30 *2) 40 3) 60 4) 80


______________________________ คณิตศาสตร (73)

18. ถา a เปน ห.ร.ม. ของ 403 และ 465 และ b เปน ห.ร.ม. ของ 431 และ 465 แลว a - b มีคาเทาใด (ตอบ 30) 19. กําหนดให n เปนจํานวนเต็มบวกที่มีคานอยที่สุด ซึ่งหารดวย 7 แลวมีเศษเหลือเทากับ 4 ถา 9 และ 11 ตาง ก็หาร (n - 2) ลงตัวแลว n คือจํานวนใด 20. กําหนด a, b, n, r เปนจํานวนเต็มใดๆ จงพิจารณาขอความตอไปนี้ a = b(n) + r b = r(2) + 70 r = 70(1) + 21 70 = 21(3) + 7 21 = 7(3) + 0 ขอใดตอไปนี้ผิด 1) (a, b) = (70, 21) *2) (b, n) = 3 3) (r, 70) = (70, 21) 4) (a, b) = 7 21. ถา a, b, q1, q2 เปนจํานวนเต็มบวก ซึ่ง a = bq1 + 231 b = 231q2 + 126 แลว ห.ร.ม. ของ a, b เทากับเทาใด (ตอบ 21) 22. กําหนดให a และ b เปนจํานวนเต็มบวก ถา b หาร a ไดผลลัพธ 1 เหลือเศษ 24 โดยที่ 24 < b, 24 หาร b ไดผลลัพธ 1 เศษ 12 แลว ห.ร.ม. ของ a และ b เทากับจํานวนในขอใดตอไปนี้ 1) 1 2) 2 3) 6 *4) 12 23. ให n ∈ I+ ซึ่ง ห.ร.ม. ของ n และ 42 เทากับ 6 ถา 42 = n q0 + r0 , 0 < r0 < n n = 2 r0 + r1 , 0 < r1 < r0 และ r0 = 2 r1 โดยที่ q0, r0, r1 เปนจํานวนเต็ม แลว ค.ร.น. ของ n และ 42 มีคาเทากับเทาไร (ตอบ 210) 24. กําหนดให a, b เปนจํานวนเต็ม ซึ่ง a เปน ห.ร.ม. ของ b และ 216 ให q1, q2 เปนจํานวนเต็มบวกโดยที่ 216 = bq1 + 106 b = 106q2 + 4 ถา f(x) = x3 + ax2 + bx - 36 แลว เมื่อหาร f(x) ดวย x - a ไดเศษเทากับเทาใด 1) 192 *2) 200 3) 236 4) 272 25. ในระบบจํานวนเต็ม ให a และ b > 0 a = 1998 b + r , 0 < r < 1998 1998 = 47 r + r1 , 0 < r1 < r และ (r, r1) = 6 ขอความใดตอไปนีถ้ ูกตอง 1) (a, b) = 6 *2) (a, 1998) = 6 3) (b, r) = 6 4) (1998, r) > 6 คณิตศาสตร (74)______________________________


26. เมื่อหารจํานวนเต็มบวก x ดวย 6 มีเศษเหลือเปน 4 จงหาเศษเหลือ เมื่อหาร 4x ดวย 3 (ตอบ 1) 27. ถา n เปนจํานวนเต็มบวกที่มากที่สุดซึ่งหาร 90 เหลือเศษ 6 และหาร 150 เหลือเศษ 3 แลว n หาร 41 เหลือเศษเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 5 2) 6 3) 18 *4) 20 28. ขอความในขอใดตอไปนีผ้ ิด 1) ถา a, b, n เปนจํานวนเต็มบวก ซึ่ง n | a และ n | b แลวจะไดวา n หาร ห.ร.ม. ของ a, b ลงตัวดวย 2) ถา a, b, n เปนจํานวนเต็มบวก ซึ่ง a | n และ b | n แลวจะไดวา ค.ร.น. ของ a, b หาร n ลงตัวดวย *3) ถา a, m, n เปนจํานวนเต็มบวก และ a | mn แลวจะไดวา a | m และ a | n 4) ถา d และ c เปน ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจํานวนเต็มบวก m, n แลวจะไดวา dc = mn 29. ให a เปนจํานวนคูบวก และ b เปนจํานวนคี่บวก ขอใดตอไปนี้ถูก 1) a และ b เปนจํานวนเฉพาะสัมพัทธ 2) a + b เปนจํานวนเฉพาะ 3) ห.ร.ม. ของ a และ b เทากับ ห.ร.ม. ของ a และ 2b *4) ค.ร.น. ของ a และ b เทากับ ค.ร.น. ของ a และ 2b 30. กําหนดให m เปนจํานวนเต็มบวก และ n เปนจํานวนเฉพาะ ถา m หาร 777 และ 910 แลวเหลือเศษ n แลว m – n มีคาเทากับเทาใด (ตอบ 2) 31. ถา n เปนจํานวนเต็มบวกที่มีคานอยสุด ซึ่ง 3 | (n - 2) และ 7 | (n - 6) แลว ห.ร.ม. ของ n และ (n + 4) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 3 *2) 4 3) 5 4) 7 32. ให m และ n เปนจํานวนเต็มบวก ถา 5 หาร m เหลือเศษ 4 และ 5 หาร n เหลือเศษ 2 แลว 5 หาร (m + n) เหลือเศษเทากับขอใดตอไปนี้ *1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 33. ถา S เปนเซตของจํานวนเต็ม m ที่มีสมบัติดังนี้ 50 ≤ m ≤ 100 และ 7 หาร m3 เหลือเศษ 6 แลว จํานวนสมาชิกของ S เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 7 2) 14 3) 18 *4) 21 34. ถา n เปนจํานวนเต็มบวกซึ่งมีสมบัติดังนี้ 100 ≤ n ≤ 1000, 45 และ 75 หาร n ลงตัว, 7 หาร n เหลือเศษ 3 แลว n มีคาเทากับเทาใด (ตอบ 675) 35. กําหนดให n เปนจํานวนนับใดๆ และ r เปนเศษที่เหลือจากการหาร n2 ดวย 11 จํานวนในขอใดตอไปนี้เปน คาของ r ไมได 1) 1 2) 3 3) 5 *4) 7 36. กําหนดให n เปน ห.ร.ม. ของ 14097 และ 14351 จํานวนในขอใดตอไปนี้หารดวย n แลวไดเศษเหลือเปน จํานวนเฉพาะ 1) 135 *2) 144 3) 153 4) 162


______________________________ คณิตศาสตร (75)

ความสัมพันธและฟงกชัน ผลคูณคารทีเซียน (Cartesian product) A × B = {(x, y) | x ∈ A และ y ∈ B} สมบัติของผลคูณคารทีเซียน 1. A × B = B × A ก็ตอเมื่อ A = B หรือ A = ∅ หรือ B = ∅ 2. A × ∅ = ∅ = ∅ × A 3. ถา A และ B เปนเซตจํากัดแลว n(A × B) = n(A) × n(B) 4. มีสมบัติการแจกแจง A × (B U C) = (A × B) U (A × C) A × (B I C) = (A × B) I (A × C) A × (B - C) = (A × B) - (A × C) ความสัมพันธ (relation) ♥ ความสัมพันธ คือ เซตที่เกิดจากสมาชิกของผลคูณคารทีเซียนที่สอดคลองกับเงื่อนไขที่กําหนด ♥ r เปนความสัมพันธจากเซต A ไปเซต B เมื่อ r ⊂ A × B ♥ r เปนความสัมพันธใน A เมื่อ r ⊂ A × A ♥ ถา (x, y) ∈ r แสดงวา x มีความสัมพันธ r กับ y เขียนแทนดวย x r y ♥ ถา (x, y) ∉ r แสดงวา x ไมมีความสัมพันธ r กับ y เขียนแทนดวย x r y ♥ จํานวนความสัมพันธที่เปนไปไดจาก A ไป B = 2n(A)×n(B) ความสัมพันธ โดเมนและเรนจของความสัมพันธ ♥ โดเมนของความสัมพันธ r (Dr) คือ เซตของสมาชิกตัวหนาของคูอันดับ Dr = {a | (a, b) ∈ r} ♥ เรนจของความสัมพันธ r (Rr) คือ เซตของสมาชิกตัวหลังของคูอันดับ Rr = {b | (a, b) ∈ r} ♥ การหา Dr และ Rr ของความสัมพันธ 1) จัดรูปสมการ หาโดเมน ⇒ จัด y ใหอยูในรูปของ x (หรือ y = ... x) หาเรนจ ⇒ จัด x ใหอยูในรูปของ y (หรือ x = ... y) 2) ตรวจสอบคา x, y โดย

ถา

∆

แลว ∆ ≠ 0

ถา = ∆ แลว ≥ 0 และ ∆ ≥ 0 หรือ ถา = - ∆ แลว ≤ 0 และ ∆ ≥ 0 ถา = | ∆ | แลว ≥ 0 และ ∆ ∈ R หรือ ถา = -|∆| แลว ≤ 0 และ ∆ ∈ R ถา = ∆2 แลว ≥ 0 และ ∆ ∈ R หรือ ถา = -∆2 แลว ≤ 0 และ ∆ ∈ R อินเวอรสของความสัมพันธ ♥ ถา r = {(a, b)} แลว r-1 = {(b, a)} ♥ D -1 = Rr และ R -1 = Dr r r คณิตศาสตร (76)______________________________


ฟงกชัน (Function) คือ ความสัมพันธที่สมาชิกในโดเมนแตละตัวจับคูกับสมาชิกในเรนจของความสัมพันธเพียงตัวเดียวเทานั้น

1

r1

r2

-1

1

2

-2

2

-2

3

-3

3

-3

-1

r1 เปนความสัมพันธที่เปนฟงกชัน r1 เปนความสัมพันธที่ไมเปนฟงกชัน นั่นคือ f จะเปนฟงกชัน ก็ตอเมื่อ f เปนความสัมพันธ ซึ่งถามี (x, y) ∈ f และ (x , z) ∈ f แลว y = z แทนฟงกชันดวยสัญลักษณ f = {(x, y) | y = f(x)} หรือ y = f(x) ฟงกชันแบบตางๆ 1. f เปนฟงกชันจาก A ไป B เมื่อ f เปนฟงกชัน ที่มี Df = A และ Rf ⊂ B แทนดวยสัญลักษณ f : A → B 2. f เปนฟงกชันจาก A ไปทั่วถึง B เมื่อ f เปนฟงกชัน ที่มี Df = A และ Rf = B ่วถึง onto แทนดวยสัญลักษณ f : A ทั → B หรือ f : A  → B 3. f เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก A ไป B เมื่อ f เปนฟงกชันจาก A ไป B ซึ่งถา f(x1) = f(x2) แลว x1 = x2 แทนดวยสัญลักษณ f : A 1-1→ B 4. f เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก A ไปทั่วถึง B เมื่อ f เปนฟงกชัน 1 - 1 ที่มี Df = A และ Rf = B -1 1-1 แทนดวยสัญลักษณ f : A 1 → B หรือ f : A  → B onto ทั่วถึง 5. f เปนฟงกชันเพิ่มใน A ก็ตอเมื่อ สําหรับ x1 และ x2 ใดๆ ใน A ถา x1 < x2 แลว f(x1) < f(x2) 6. f เปนฟงกชันลดใน A ก็ตอเมื่อ สําหรับ x1 และ x2 ใดๆ ใน A ถา x1 < x2 แลว f(x1) > f(x2) ฟงกชันประกอบ (composite function) กําหนด f และ g เปนฟงกชัน โดยที่ Rf I Dg ≠ ∅ A

f

B

C

g

D

gof

ฟงกชันคอมโพสิทของ f และ g เขียนแทนดวย gof โดยที่ (gof)(x) = g(f(x)) โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

______________________________ คณิตศาสตร (77)

การหาคาของฟงกชันจากฟงกชันประกอบ ตัวอยางที่ 1

กําหนดให f = {(1, 3), (3, 5), (5, 1)} และ g = {(3, 1), (1, 1), (2, 5), (5, 3)} จงหา gof = .............................................................................................................................................. fog = .............................................................................................................................................. fof = .............................................................................................................................................. gog = ..............................................................................................................................................


กําหนดให f(x) = x + 1 และ (gof)(x) = x2 + 2x + 3 จงหา g(x)


ถา f(g(x)) = x2 และ f(x) = x – 1 จงหา g(x)

ฟงกชันอินเวอรส (Inverse Function) การหาอินเวอรสของฟงกชัน จะเหมือนกับการหาอินเวอรสของความสัมพันธ r ซึ่งมีหลักการดังนี้ กําหนด f = {(x, y) ∈ A × B | y = เทอมของ x} จะไดวา f-1 = {(x, y) ∈ B × A | y = เทอมของ x} หรือ f-1 = {(y, x) ∈ B × A | x = เทอมของ y} สมบัติของฟงกชันอินเวอรส 1. Df = R f -1 ; Rf = D f -1

2. กราฟของ f-1 จะสมมาตรกับกราฟของ f เมื่อเทียบกับเสนตรง y = x 3. (fog)-1 (x) = (g-1of-1)(x) เมื่อ f(x) และ g(x) เปนฟงกชัน 1 - 1 4. (fof-1)(x) = x 5. (f-1o f)(x) = x 6. ถา f (∆) = แลว ∆ = f-1( ) พีชคณิตของฟงกชัน (Algebra of functions) 1. f + g = {(x, y) | y = f(x) + g(x) และ Df+g = Df I Dg} 2. f - g = {(x, y) | y = f(x) - g(x) และ Df-g = Df I Dg} 3. fg = {(x, y) | y = f(x) g(x) และ Dfg = Df I Dg} f(x) และ D = D I D - {x | g(x) = 0}} 4. gf = {(x, y) | y = g(x) f/g f g คณิตศาสตร (78)______________________________


แบบทดสอบ 1. กําหนดให S เปนเซตคําตอบของอสมการ x2 ≤ 8x + 20 ถา A = {x ∈ S | x เปนจํานวนเฉพาะบวก} และ B = {x ∈ S | x เปนจํานวนเต็มคี่} แลว (A × B) - (B × A) มีจํานวนสมาชิกเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 11 *2) 15 3) 21 4) 23 2. ให A = {0, 1, 2, 3} และ P(A) คือเพาเวอรเซตของ A ถา r เปนความสัมพันธจาก A ไปยัง P(A) กําหนดโดย r = {(a, B) | a ≥ 2, a ∉ B และ a + 1 ∉ B} แลว r มีจํานวนสมาชิกกี่จํานวน (ตอบ 12) 3. กําหนดให S = [-2, 2] และ r = {(x, y) ∈ S × S | x2 + 2y2 = 2} ชวงในขอใดตอไปนี้ไมเปนสับเซตของ Dr - Rr 1) (-1.4, -1.3) 2) (-1.3, -1.2) 3) (1.2, 1.4) *4) (1.4, 1.5) 4. กําหนดให r = {(x, y) | (x - 2)(y - 1) = 1} และ s = {(x, y) | xy2 = (y + 1)2} เซตในขอใดตอไปนี้ ไมเปนสับเซตของ Rr I Rs 2)  -2, -12  *3)  12 , 2  4) (1, ∞) 1) (-∞, -1) 5. กําหนดให r = {(x, y) ∈ R × R | x2 + y2 = 16}, s = {(x, y) ∈ R × R | xy2 + x + 3y2 + 2 = 0} เซตในขอใดตอไปนี้เปนสับเซตของ Dr - Ds 1) [-4, -1] 2) [-3, 0] *3) [-2, 1] 4) [-1, 2] 6. กําหนดให A = [-2, -1] U [1, 2] และ r = {(x, y) ∈ A × A | x - y = -1} ถา a, b > 0 และ a ∈ Dr, b ∈ Rr แลว a + b เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 2.5 *2) 3 3) 3.5 4) 4 7. กําหนดให r = {(x, y) | x > 0, x ≠ y, x - 3 x = y - 3 y } สมาชิกคามากที่สุดของ Dr เทากับขอใด ตอไปนี้ 4) 98 1) 4 *2) 8 3) 94 3 3 3 3 8. กําหนดให r = {(x, y) | x ≥ y และ y2 = x2 + 2x - 3} พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. Dr = [1, ∞) ข. Rr = (-∞, ∞) ขอใดตอไปนี้ถูก 1) ก. และ ข. ถูก *2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด 9. ถา r = {(x, y) | y ≤ x2 และ y ≥ 2x} แลวเรนจของ r-1 คือเซตในขอใดตอไปนี้ 1) [0, 2] 2) [0, 4] *3) (-∞, 0] U [2, ∞) 4. (-∞, 0] U [4, ∞)


______________________________ คณิตศาสตร (79)

10. หนดให r = {(x, y) | x ∈ [-1, 1] และ y = x2} พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. r-1 = {(x, y) | x ∈ [0, 1] และ y = ± | x | } ข. กราฟของ r และกราฟของ r-1 ตัดกัน 2 จุด ขอใดตอไปนี้ถูก *1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด 11. ให R เปนเซตของจํานวนจริง และ f : R → R กําหนดโดย -1 - x ; x < 0  f(1 - x) =  0 ; x = 0   1 - x ; x > 0 ถา x * y = f(y – x2) สําหรับจํานวนจริง x และ y ใดๆ แลวคาของ f(-2) * f(3) มีคาอยูในชวงใดตอไปนี้ *1) (-4, -2] 2) (-2, 2] 3) (2, 4] 4) (4, 6)  2 ; x ≤ -1  12. กําหนดให f(x) = (x - 1)2 ; -1 < x < 2 เซตคําตอบของสมการ f(|x|) - 4 = 0 เปนสับเซตของเซต  (x + 1) ; x≥2  ซึ่งเปนชวงในขอใดตอไปนี้ 1) (-3, 5) 2) (-6, -1) *3) (-5, 4) 4) (1, 6) 13. กําหนดให f(x) = x - 1 เมื่อ x ∈ (-∞, -1] U [0, 1] และ g(x) = 2x เมื่อ x ∈ (-∞, 0] ขอใดตอไปนี้ถูก *1) Rg ⊂ Df 2) Rf ⊂ Dg 3) f เปนฟงกชัน 1 - 1 4) g ไมเปนฟงกชัน 1 - 1 14. ให A = {1, 2, 3, 4, 5} และ B = {a, b, c} เซต S = {f | f : A → B เปนฟงกชันทั่วถึง} มีจํานวนสมาชิก เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 12 2) 24 *3) 36 4) 39 1-1 15. กําหนดให A = {1, 2} และ B = {1, 2, 3, 4} เซต { f | f : A → B และ f(x) ≠ x ทุก x ∈ A } มีจํานวนสมาชิกเทาใด (ตอบ 7) 16. ให A = {1, 2, 3, 4} และ B = {1, 2, 3, 4, 5} ถา f เปนฟงกชันจาก A ไป B โดยที่ f(1) = 2 หรือ f(2) = m เมื่อ m เปนจํานวนคี่ แลว จํานวนของฟงกชัน f ที่มีสมบัติดังกลาวเทากับขอใด 1) 75 2) 150 *3) 425 4) 500 17. กําหนดให f(x) = x2 + x + 1 และ a, b เปนคาคงตัวโดยที่ b ≠ 0 ถา f(a + b) = f(a - b) แลว a2 อยู ในชวงใดตอไปนี้ *1) (0, 0.5) 2) (0.5, 1) 3) (1, 1.5) 4) (1.5, 2) คณิตศาสตร (80)______________________________


18. กําหนดให n เปนจํานวนนับ ถา f : {1, 2, ..., n} → {1, 2, ..., n} เปนฟงกชัน 1 – 1 และทั่วถึง ซึ่ง สอดคลองกับเงื่อนไข f(1) + f(2) + ... + f(n) = f(1)f(2) ... f(n) แลวคามากสุดที่เปนไปไดของ f(1) - f(n) เทากับขอใดตอไปนี้ *1) 2 2) 5 3) 8 4) 11 19. ถา f(x) = 1x และ g(x) = 2f(x) แลว gof(3) + fog-1(3) มีคาเทาใด (ตอบ 7.5)

20. กําหนดให f(x) = x - 5 และ g(x) = x2 ถา a เปนจํานวนจริงซึ่ง (gof)(a) = (fog)(a) แลว (fg)(a) มีคา เทากับขอใดตอไปนี้ 1) -25 *2) -18 3) 18 4) 25  x2 , x ≥ 0 1 21. กําหนดให f(x) = 3x - 1 และ g (x) =  คาของ f-1(g(2) + g(-8)) เทากับขอใดตอไปนี้ -x 2 , x < 0 

2) 1 +3 2 3) 1 --3 2 4) 1 +-3 2 *1) 1 -3 2 22. กําหนดให f(x) = x2 และ g เปนฟงกชันพหุนามโดยที่ gof(x) = 3x2 + 1 ถาเซต {y | y = g-1of(x), x ∈ [-10, 10]} คือชวง [a, b] แลว 3(a + b) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 88 2) 90 *3) 98 4) 100 23. กําหนดให f(x) = 10x และ g(x) = 100 - 3x 2 จํานวนเต็มที่มีคามากที่สุดที่เปนสมาชิกของ Rgof มีคา เทาใด (ตอบ 10) 24. กําหนดฟงกชัน f และ g ดังนี้ f(2x - 1) = 4x - a, a > 0 และ g-1(x) = x + 1 ถา (fog)(a) = a2 + 20 แลว f(a) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 6 *2) 7 3) 10 4) 17 25. กําหนดให f, g เปนฟงกชัน ซึ่ง Df = [0, ∞) โดยที่ f-1(x) = x2 ; x ≥ 0 และ g-1(x) = (f(x))2 + 1 ; x ≥ 0 ถา a > 0 และ f(a) + g(a) = 19 แลว f -1 (a) + g-1 (a) เทากับขอใดตอไปนี้ *1) 273 2) 274 3) 513 4) 514 26. กําหนดให f(x) = ax2 + b และ g(x - 1) = 6x + c เมื่อ a, b, c เปนคาคงตัว ถา f(x) = g(x) เมื่อ x = 1, 2 และ (f + g)(1) = 8 แลว (fog-1)(16 ) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 2) 61 3) 10 *4) 20 1) 31 9 9 27. ให I เปนเซตของจํานวนเต็ม ถา f และ g เปนฟงกชันซึ่งกําหนดโดย f(x) = 2x และ g(x) = x - 1 ทุก x ∈ I แลวเรนจของ (fog) + f คือเซตในขอใดตอไปนี้ *1) {x ∈ I | x2 เปนจํานวนเต็มคี่} 2) {x ∈ I | x2 เปนจํานวนเต็มคู} 3) เซตของจํานวนเต็มคี่ทั้งหมด 4) เซตของจํานวนเต็มคูทั้งหมด


______________________________ คณิตศาสตร (81)

x-1 ; x < 0 และ g(x) = x2 + 4x + 13 ถา a x3 - 1 ; x ≥ 0 เปนจํานวนจริงบวก ซึ่ง g(a) = 25 แลว f-1(-2a) + f-1(13a) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ *1) 0 2) 2 3) 4 4) 6 2 29. กําหนดให f และ g เปนฟงกชัน ซึ่งนิยามโดย f(x) = x + 1 และ g(x) = ax เมื่อ a ∈ (0, 1) ถา k เปน

28. กําหนดให f และ g เปนฟงกชัน ซึ่งนิยามโดย f(x) =

   

  จํานวนจริงที่ทําให (fog)(k) = (gof)(k) แลว (fog-1)  12  มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ k  1) 1 *2) 2 3) 3 4) 4 30. กําหนดให f, g เปนฟงกชันซึ่ง f(x) = (x - 1)3 + 3 และ g-1(x) = x2 - 1, x ≥ 0 ถา gof-1(a) = 0 แลว a2 อยูในเซตใดตอไปนี้ *1) [10, 40] 2) [40, 70] 3) [70, 100] 4) [100, 130] 31. กําหนดให f(x) = 3x + 5 และ h(x) = 3x2 + 3x - 1 ถา g เปนฟงกชัน ซึ่งทําให fog = h แลว g(5) มีคา เทาใด (ตอบ 28) 32. กําหนดให f(x) = -(x - 1)2 ทุก x ≤ 1 และ g(x) = 1 - x ทุก x ≤ 1 พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. f-1(x) = 1 - | x | ทุก x ≤ 0 ข. (g-1of-1)  -14  = 34

ขอใดตอไปนี้ถูก 1) ก. และ ข. ถูก

2) ก. ถูก และ ข. ผิด

3) ก. ผิด และ ข. ถูก


33. กําหนดให f และ g เปนฟงกชัน ซึ่ง f(x) < 0 ทุก x ถา (gof)(x) = 2[f(x)]2 + 2f(x) - 4 และ g-1(x) = x 3+ 1 แลว พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. gof เปนฟงกชันคงตัว ข. f(100) + g(100) = 300 ขอใดตอไปนีถ้ ูก 1) ก. และ ข. ถูก *2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด  2 ; x ≤ -1  34. กําหนดให f(x) = (x - 1)2 ; -1 < x < 2 และ g(x) = f(x) + 2 ถา k เปนจํานวนเต็มที่นอยที่สุดที่ทําให  (x + 1) ; x≥2  g(k) > 5 แลว (gof)(k) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 5 2) 6 *3) 7 4) 8

คณิตศาสตร (82)______________________________


35. กําหนด f เปนฟงกชันจากเซต {0, 1, 2, ..., 2551} ไปยังเซตของจํานวนเต็มบวก ถา f สอดคลองทุก เงื่อนไขตอไปนี้ (1) f(2x + 1) = f(2x) (2) f(3x + 1) = f(3x) (3) f(5x + 1) = f(5x) และ (4) f(7x + 1) = f(7x) แลวเรนจของ f มีจํานวนสมาชิกมากที่สุดที่เปนไปไดกี่จํานวน (ตอบ 584)


______________________________ คณิตศาสตร (83)

เมตริกซ (Matrices) A = [aij]m×n =

a a

 11   21  M   m1

a11 ... a1n  a22 .... a2n   M

  mn 

M

เปนเมตริกซที่มี m แถว และ n หลัก

a am2 ... a นั่นคือ A เปนเมตริกซที่มีมิติ m × n โดยที่ aij คือ สมาชิกของเมตริกซ A ที่อยูในแถวที่ i และหลักที่ j ชนิดของเมตริกซ 1. เมตริกซศูนย (zero matrix หรือ null matrix) คือ เมตริกซที่มีสมาชิกทุกตัวเปนศูนย แทนดวย 0 2. เมตริกซจัตุรัส (square matrix) คือ เมตริกซที่มีจํานวนแถวเทากับจํานวนหลัก 3. เสนทแยงมุมหลัก (main diagonal) คือ แนวที่ลากจากมุมบนซาย ทแยงมายังมุมลางขวาของ เมตริกซจัตุรัส หรือสมาชิกในตําแหนง a11, a22, a33, …, ann 4. เมตริกซหนึ่งหนวย หรือเมตริกซเอกลักษณ (Unit matrix หรือ Identity matrix ; In) 1 0 0    1 0  I2 = 0 1 I3 = 0 1 0  เชน I1 = [1]1×1  2×2   0 0 1  3×3 

5. เมตริกซสามเหลี่ยม (Triangular matrix) ของแนวเสนทแยงมุมหลัก เปนศูนยทั้งหมด เชน 1 2 3  0    2 3  0 4 5  0      0 9  0 0 6  4    การเทากันของเมตริกซ  30  1  เทากัน เชน 0  =  3    0 

คือ เมตริกซจัตุรัสที่มีสมาชิกที่อยูดานบน หรือดานลาง 0 0  4 0  2 6 

เมตริกซจะเทากันก็ตอเมื่อมีมิติเทากัน

     

0 0 0  0 0 0  5 0 0 

และสมาชิกในตําแหนงเดียวกันมีคา

การบวกและการลบเมตริกซ ถา A = [aij]m×n และ B = [bij]m×n แลว A ± B = [aij ± bij]m×n นั่นคือ จะตองตรวจสอบกอนวาเมตริกซที่นํามาบวกหรือลบกันนั้น มีมิติเทากันหรือไม - ถาเทากันใหนําสมาชิกที่อยูในตําแหนงเดียวกันมาบวก หรือลบกัน เชน (-1) + 1 2 + 3  -1 2   1 3  0 5     +     = = 0 + (-1) 1 + 2   0 1  -1 2  -1 3    (-1) - 1 2 - 3  -1 2   1 3 -2 -1      -     = = 0 - (-1) 1 - 2   0 1  -1 2    1 1    - ถาไมเทากัน ไมสามารถนํามาบวก หรือลบกันได คณิตศาสตร (84)______________________________


การคูณเมตริกซ 1. คูณเมตริกซดวยคาคงที่ ถา A = [aij]m×n แลว c ⋅ A = [c ⋅ aij]m×n 1 2 3  10 20 30  เชน 10 ⋅  4 5 6  =  40 50 60      2. คูณเมตริกซดวยเมตริกซ เมตริกซจะคูณกันไดก็ตอเมื่อ จํานวนหลักของเมตริกซตัวตั้ง เทากับ จํานวนแถวของเมตริกซตัวคูณ และผลคูณที่ไดจะมีมิติเทากับ “แถวของเมตริกซตัวตั้ง (ตัวหนา) × หลักของเมตริกซตัวคูณ (ตัวหลัง)” ดังนี้ A 2×2 × B2×3 = C 2×3 เทากัน

3. สมบัติเกี่ยวกับการคูณของเมตริกซ ถา A, B และ C เปนเมตริกซที่บวก ลบ และคูณกันได และ k เปนจํานวนจริงใดๆ แลว 1. ถา A เปนเมตริกซจัตุรัสแลว An = A ⋅ A ⋅ A ⋅ ... ⋅ A 2. เมตริกซที่จะนํามายกกําลังได ตองเปนเมตริกซจัตุรัสเทานั้น 3. AI = IA = A (I เปนเมตริกซหนึ่งหนวย) 4. k(AB) = A(k)B = (AB)k 5. (AB)C = A(BC) 6. A(B + C) = AB + AC (การแจกแจงดานซาย) 7. (A + B)C = AC + BC (การแจกแจงดานขวา) 8. (kA)n = kn ⋅ An 9. (-A)2 = A2 10. AB อาจจะเทาหรือไมเทากับ BA ก็ได 11. ถา AB ≠ BA แลว 1) (A + B)2 = (A + B)(A + B) = A2 + AB + BA + A2 2) A - B)2 = (A - B)(A - B) = A2 - AB - BA + A2 3) (A + B)(A - B) = A2 - AB + BA - B2 12. ถา AB = BA แลว 1) (A + B)2 = A2 + 2AB + A2 = A2 + 2BA + A2 2) (A - B)2 = A2 - 2AB + A2 = A2 - 2BA + A2 3) (A + B)(A - B) = A2 - B2 13. ถา AB = 0 แลว A = 0 หรือ B = 0 หรือ ทั้ง A, B ≠ 0


______________________________ คณิตศาสตร (85)

ทรานสโพสของเมตริกซ (At) คือ เมตริกซที่เกิดจากการเปลี่ยนสมาชิกในแถว m ใดๆ เปนหลัก m หรือ 1  เมตริกซที่เกิดจากการเปลี่ยนสมาชิกในหลัก n ใดๆ เปนแถว n เชน ถา A = [1 4] แลว At =  4    สมบัติเกี่ยวกับทรานโพสของเมตริกซ 1. (At)t = A 2. (A + B)t = At + Bt 3. (A - B)t = At - Bt 4. (cA)t = cAt 5. (AB)t = BtAt 6. (ABC)t = CtBtAt 7. (At)n = (An)t ดีเทอรมิแนนต (Determinant) คือ คาของจํานวนจริงที่ไดจากเมตริกซจัตุรัสเทานั้น ดีเทอรมิแนนตของเมตริกซ A แทนดวย det (A) a b หรือ |A| หรือ c d การหาคา Determiant 1. ดีเทอรมิแนนตของเมตริกซ 1 × 1 เชน ถา A = [1] แลว det A = 1 2. ดีเทอรมิแนนตของเมตริกซ 2 × 2 เชน 6 2 1 ถา A =  แลว det (A) = คูณลง - คูณขึ้น = (-1) - (6) = -7   3 -1  -1 3. ดีเทอรมิแนนตของเมตริกซ 3 × 3 เชน 0 5 -4  1 -1 0  1 -1   ถา A =  2 3 1  2 3 แลว det (A) = คูณลง - คูณขึ้น = (6 + 4 + 0) - (0 + 5 - 4)    -4 -4 = 10 - 1 = 9 5 5 2   6 4 0 4. ดีเทอรมิแนนตของเมตริกซ n × n เชน a c a12 a13  c12 c13   11  11 กําหนดให A =  a21 a22 a23  และ C(A) = c21 c22 c23  a  c   31 a 32 a33   31 c32 c33  พิจารณาแถวที่ 1 det A = a11c11 + a12c12 + a13c13 พิจารณาแถวที่ 2 det A = a21c21 + a22c22 + a23c23 พิจารณาหลักที่ 1 det A = a11c11 + a21c21 + a31c31 พิจารณาหลักที่ 2 det A = a12c12 + a22c22 + a32c32 คณิตศาสตร (86)______________________________


สมบัติของดีเทอรมิแนนต กําหนดให A, B, C เปนเมตริกซมิติ n × n 1. det (At) = det (A) 2. det (A ⋅ B ⋅ C ⋅ ... ⋅ Z) = det (A) ⋅ det (B) ⋅ det (C) ⋅ ... ⋅ det (Z) 3. det (I) = 1 4. det (0) = 0 5. det (Ak) = (det A)k 6. det (A-1) = (det A)-1 = det1(A)

7. det (kA) = kn ⋅ det (A), n เปนมิติของ A 8. det (adj A) = (det A)n-1 9. ถา A = B แลว det (A) = det (B) อินเวอรสการคูณของเมตริกซ 1. อินเวอรสการคูณของ A เขียนแทนดวยสัญลักษณ A-1 ซึ่ง A ⋅ A-1 = I = A-1 adj (A) 2. A-1 = det (A) นั่นคือ เมตริกซ A ใดๆ จะหาอินเวอรสได ก็ตอเมื่อ A เปนเมตริกซจัตุรัสเทานั้น และ det (A) ≠ 0 ถา “det (A) = 0” เรียก A วา “เมตริกซเอกฐาน (Singular Matrix)” ถา “det (A) ≠ 0” เรียก A วา “เมตริกซไมเอกฐาน (Non - Singular Matrix)” การหาอินเวอรสการคูณของเมตริกซ  d -b    a b -c a  1 1. อินเวอรสการคูณของเมตริกซ 2 × 2 ถา A = c d  แลว A = det (A)   2. อินเวอรสการคูณของเมตริกซ n × n หาไดดังแผนภาพตอไปนี้ A

M(A)

C(A)

adj(A)

A-1

m11 m12 m13  ไมเนอร (Minor) เชน M(A) = m21 m22 m23  โดยที่ m31 m32 m33  ไมเนอรตําแหนง ij (mij) คือ ดีเทอรมิแนนตของเมตริกซที่ไดจากการตัดแถวที่ i และหลักที่ j ของเมตริกซ      

เชน

แถวที่ 1

a11 a12 a13   a 22 a23  m11 = det a21 a22 a23  = det  a a  = a22a33 - a32a23 33   32 a31 a32 a33       

หลักที่ 1


______________________________ คณิตศาสตร (87)

c11 c12 c13  โคแฟกเตอร (Cofactor) เชน C(A) = c21 c22 c23  โดยที่ cij = (-1)i+j ⋅ mij c31 c32 c33  เมตริกซผูกพัน (Adjoint) adj (A) = [C(A)]t adj (A) อินเวอรสการคูณของเมตริกซ A-1 = det (A) ระบบสมการเชิงเสน กําหนดระบบสมการเชิงเสน a1x + b1y + c1z = d1 a2x + b2y + c2z = d2 a3x + b3y + c3z = d3 a d  b1 c1   x   1  1     =  d2  เขียนสมการดังกลาวในรูปเมตริกซ  a2 b2 c2  ⋅  y  a d  b3 c3   z   3  3 หรือ A X = B การแกระบบสมการเชิงเสน 1. โดยใชอินเวอรสของเมตริกซ ถา AX = B แลว X = A-1B เมื่อ det A ≠ 0 2. โดยใชกฎของเครเมอร (Kramer’s rule)      

d1 d2 d x= 3 a1 a2 a3

b1 b2 b3 b1 b2 b3

c1 c2 c3 D = Dx ; y = c1 c2 c3

a1 a2 a3 a1 a2 a3

d1 d2 d3 b1 b2 b3

c1 c2 c3 D = Dy ; z = c1 c2 c3

a1 a2 a3 a1 a2 a3

b1 b2 b3 b1 b2 b3

d1 d2 d3 D z = D c1 c2 c3

3. โดยใชการดําเนินการตามแถว (row operation) วิธีดําเนินการบนแถวของเมตริกซ 1. สามารถสลับ 2 แถวใดๆ ได 2. สามารถคูณแถวใดแถวหนึ่งดวยตัวเลขทีไ่ มใชศูนยได 3. สามารถนําสองแถวใดๆ มาบวก หรือ ลบกันได 4. สามารถคูณแถวใดแถวหนึ่งดวยตัวเลขที่ไมใชศูนย แลวนําไปบวก หรือ ลบกับอีกแถวหนึ่งได a b1 c1 d1  1 0 0 x   1 a b2 c2 d1  ∼ 0 1 0 y   2 a b3 c3 d1  0 0 1 z   3 [A : I] ∼ [I : A-1] คณิตศาสตร (88)______________________________


แบบทดสอบ 1 2   2 1 1. A = 3 4  และ B = -1 1 พิจารณาขอความตอไปนี้     2 2 ก. (A + B) = A + 2AB + B2 ข. (A - B)2 = A2 - 2AB + B2 ค. A2 - B2 = (A - B)(A + B) ขอใดสรุปเกี่ยวกับขอความขางตนไดถูกตองที่สุด 1) ถูกทุกขอ 2) มีถูก 2 ขอ 3) มีถูก 1 ขอ

*4) ผิดทุกขอ

0 x 0 -1    2. det 2 0 2 2   = x 1- 1 แลว x มีคาเทากับขอใดตอไปนี้   3 1 5         

1) 1

     

2) 2

3. นดเมตริกซ A และ B ดังนี้ A =

3) 3     

x2

-2 2    

,B=

*4) 4 -2 -4x   2 0  โดยที่ x เปนจํานวนจริง ถา

  

2 2 x det (2A) = -76 แลว เมทริกซ C ในขอใดตอไปนี้ ที่ทําใหคาของ det (BC) อยูภายในชวง (-100, -50) 1 -1 -1 2   2 1 2 1  2) C =  1 1  3) C = -1 4  4) C = 3 -1 *1) C = 1 2          1 a  1 -3  4. กําหนดให a, b เปนจํานวนจริง และ A = 1 b  , B = 2 3  ถา (A + B)2 - 2AB = A2 + B2 แลว     det (A) เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 0.5 2) 1.5 3) 3.5 4) 4.5 5. กําหนดให A เปนเมทริกซที่มีมิติ 2 × 2 และ det (A) = 4 ถา I เปนเมทริกซเอกลักษณ และ A - 3I เปน เมทริกซเอกฐาน แลว det (A + 3I) เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 0 2) 6 3) 13 *4) 26 6. ให A เปนเมตริกซมิติ 3 × 3 และ Aij คือเมตริกซที่ไดจากการตัดแถวที่ i และหลักที่ j ของเมตริกซ A ออก  2 -5 -1   -1 -2  1 -1  ถา adj A = -28 10 -1  , A11 =  5 8  และ A32 = 3 -2  แลว det (A) มีคาเทากับขอใด      17 -5 -1    1) -92 *2) -15 3) 15 4) 92


______________________________ คณิตศาสตร (89)

7.

8. 9.

10.

3 3 -1 กําหนดเมตริกซ A = [aij] ถา det (A) = -92 และ adj(A) = -9 1 -1 2  แลว 3a11 + 3a21 – a31 2 1 2  มีคาเทากับเทาใด (ตอบ 9) -1 3  -1 1   2 1 ให A เปนเมตริกซมิติ 3 × 3 ถา M13 =  1 2  , M21 =  2 4  และ M32 = -1 0  แลว       det A มีคาเทากับเทาใด (ตอบ 15) ให A เปนเมตริกซจัตุรัสมิติ 4 × 4 และ Mij(A) คือไมเนอรของ aij ถา M23(A) = 5 แลว M32(2At) เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 10 2) 20 *3) 40 4) 80  1 2 4   กําหนดให A = -3 8 0  สมาชิกในแถวที่ 3 หลักที่ 1 ของ A-1 เทากับเทาใด (ตอบ 15 )  1 2 -1         

1 2 -1  11. กําหนดให A = 2 x 2  โดยที่ x และ y เปนจํานวนจริง ถา C11(A) = 13 และ C21(A) = 9 แลว 2 1 y  det(A) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) -33 2) -30 3) 30 *4) 33 -2 2 3   12. กําหนดให  1 -1 0  สมาชิกในแถวที่ 2 และหลักที่ 3 ของ A-1 เทากับขอใดตอไปนี้  0 1 4   1) - 23 2) -2 4) 2 *3) 23      

2 x 1  13. กําหนดเมทริกซ A = -1 0 1  โดยที่ x เปนจํานวนจริง ถา C22(A) = 14 แลว det (adj (A)) มี 1 - x 2 2x  คาเทาใด (ตอบ 36) x 1 1    14. กําหนดให A = 3 1 1  ถา C12(A) = 4 แลว det (2A) มีคาเทาใด (ตอบ 16)  x 0 -1        

คณิตศาสตร (90)______________________________


3 4  -1 2  15. ถา A และ B เปนเมทริกซซึ่ง 2A - B = 3 6  และ 2A + B =  4 -2  แลว (AB)-1 คือเมทริกซใน     ขอใดตอไปนี้ 0 1 - 1 -1 1 1 -1  0     4 1)  4  2)  3) * 4)  0 - 1    1 1 4  4   1 -1  0 -1  

16. กําหนดให x x2   x 0  0 0 

n เปนจํานวนนับ และ x เปนจํานวนจริงซึงไมเทากับ 1 ถา A คือตัวผกผันการคูณของเมทริกซ xn  0  0       x2  แลวคาของ n ที่ทําให [1 0 0]A 0  = [2 0 0]A 0  เทากับขอใดตอไปนี้  2  3  x     

1) 1

*2) 3

3) 6

4) 9

       

a b c  2  17. กําหนดให A = 0 c2 a  ถา A + AT เปนเมทริกซเอกฐานและ a3 + b3 + c3 = 1 แลว det (A-1)  0 0 b2  เทากับขอใดตอไปนี้ *1) 24 2) 8 3) 2 4) 0  60 20  5 0  18. ถา A เปน 2 × 2 เมตริกซ ซึ่งมิใชเอกฐาน และ ถา 30 40  A = 0 5  แลว A-1 คือเมตริกซในขอ     ใดตอไปนี้ 6 2   9 -18  12 4  12 20  1) 3 4  2) -12 6  *3)  6 8  4) 30 8          1 2 -1  19. ให A เปนเมตริกซ และ I เปนเมตริกซเอกลักษณมิติ 3 × 3 ถา B = 3 0 1 และ -2 1 0  0 2 -3   C = 3 -1 2  สอดคลองกับสมการ AB - AC - 12 I = 0 แลว A-1 คือเมตริกซในขอใดตอไปนี้ 0 2 1   1  2 -1 -2 0 2  0 4  0 -2  0 -4      1)  0 1 -1 *2)  0 2 -2  3)  0 -1 1  4)  0 -2 2  -2 -1 -1  -4 -2 -2   2  4 1 1  2 2             


______________________________ คณิตศาสตร (91)

 1 2 1 1 -1 0  x      20. กําหนดให X = y  สอดคลองสมการ AX = C เมื่อ A = -2 0 1 , B = 2 0 -1  และ  0 1 2 1 4 0  z       2 a      -2  ถา (2A + B)X =  b  แลว a + b + c มีคาเทากับขอใดตอไปนี้      3 c      1) 3 2) 6 *3) 9 4) 12 21. ถา x, y และ z สอดคลองกับระบบสมการ x + 2y - 2z = -2 2x + y + 2z = 5 x - 3y - 2z = 3 -3 2 1 แลว ดีเทอรมิแนนต -2 -2 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 2 x + 2y 2x + y x - 3y *1) 60 2) 75 3) 90 4) 105 22. ถา x, y และ z เปนจํานวนจริงซึ่งสอดคลองกับระบบสมการเชิงเสน 2x - 2y - z = 1 x - 3y + z = 7 -x + y - z = -5 แลว 1x + 2y + 3z เทากับขอใดตอไปนี้

     

*1) 0 2) 2 3) 5 23. ถา x, y และ z เปนจํานวนจริงซึ่งสอดคลองระบบสมการ 2x - 2y - z = -5 x - 3y + z = -6 -x + y - z = 4 ขอใดตอไปนี้ถูกตอง *1) x2 + y2 + z2 = 6 2) x + y + z = 2 3) xyz = 6

C=

4) 8

4) xyz = -2

1  x 1 -1 0      24. กําหนดให B = 0 1 2  , C = 0  , X =  y  และ I เปนเมตริกซเอกลักษณ ถา A เปนเมตริกซมิติ 2  z  3 0 1      3 × 3 ซึ่งสอดคลองกับสมการ 2AB = I และ AX = C แลว คาของ x + y + z เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 20 2) 24 3) 26 4) 30      

คณิตศาสตร (92)______________________________


25. กําหนดให A = 1 และ A ∼ 0 -1 1) -1      

1 2 -1 2 -1 0

     

1  x 2 a      3 b  , X =  y  , B = 1  โดยที่ a, b, c เปนจํานวนจริง ถา AX = B 0  z  0 c       3 -1  R2 - 2R1 แลว x มีคาเทากับเทาใด 2  3) 34 4) 2 *2) - 23

4 12 -3  26. กําหนดให A = 7 -10 5  และ B, C, D เปนเมตริกซมิติ 3 × 3 ซึ่ง A ∼ B ∼ C ∼ D 1 0 0  โดยที่ B ไดจาก A โดยการดําเนินการ R1 - 34 R2 C ไดจาก B โดยการดําเนินการ 5R1 D ไดจาก C โดยการดําเนินการ R23 แลว det (D) เทากับขอใดตอไปนี้ 1) -3,750 2) -150 *3) 150 4) 3,750 3 x 3    27. กําหนดให A = 2 0 9  เมื่อ x เปนจํานวนจริง 1 1 2         

3 x 3 ถา 2 0 9 1 1 2

1 0 0 1 0 0 0 1 0 ∼ 0 1 0 0 0 1 0 0 1

9 5 -36 -5 -3 21 -2 -1 8

แลว x มีคาเทากับเทาใด

28. ให x, y และ z เปนคําตอบของระบบสมการเชิงเสน a11x + a12y + a13z = 2 a21x + a22y + a23z = 1 a31x + a32y + a33z = 0 a a12 a13 1 0 0  1 0 0 1 -1 1   11 ถา  a21 a22 a23 0 1 0  ∼ 0 1 0 0 -2 1  แลว คาของ x + y + z เทากับเทาใด 0 0 1 2 a  3 0    31 a 32 a 33 0 0 1  (ตอบ 6)


______________________________ คณิตศาสตร (93)

1 0 2  29. กําหนดให a เปนจํานวนจริง และ A = 0 3 0  ถา a > 0 และ det (adj A) = 225 แลว a มีคา 4 0 a  เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 11 2) 12 *3) 13 4) 14 30. ให A และ B เปนเมตริกซจัตุรัสมิติ 4 × 4 และ I เปนเมตริกซเอกลักษณมิติ 4 × 4 โดยที่ A(adj A) - BA = I ถา det B = 0 แลว det A มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) -1 2) 0 *3) 1 4) 2 2i-1 ; i = j  (A t )  เทากับขอใดตอไปนี้ 31. กําหนดให A = [aij]3×3 โดยที่ aij =  det  4 adj  2 ; i ≠ j  det (A)  *1) -16 2) -4 3) 4 4) 16 1 2 0   1 แลว x เปนจริงตาม 32. ถา A เปนเมตริกซซึ่ง A-1 = 3 1 -1  , x > 0 และ det (2 adj A) = 18  x 0 -2    ขอใดตอไปนี้ 1) x < 5 2) 5 ≤ x < 9 *3) 9 ≤ x < 13 4) x ≥ 13      

คณิตศาสตร (94)______________________________


เรขาคณิตวิเคราะห และภาคตัดกรวย 1. ระยะตางๆ 1.1 ระยะระหวางจุดสองจุด B (x , y ) 2 2

y2 - y1

AB =

(x 2 - x 1 ) 2 + (y 2 - y 1 ) 2

A (x1, y1) x2 - x1

1.2 ระยะตั้งฉากจากจุด (m, n) ไปยังเสนตรง Ax + By + C = 0 (m, n)

d = |Am + Bn + C| A 2 + B2

d Ax + By + C = 0

1.3 ระยะระหวางเสนคูขนาน Ax + By + C = 0

d =

d

|C - D| A 2 + B2

Ax + By + D = 0

2. จุดแบงสวนของเสนตรง 2.1 จุดกึ่งกลาง B(x2, y2) A(x1, y1)

P(x, y)


P (x, y) =

  

x1 + x2 , y1 + y2  2 2 

______________________________ คณิตศาสตร (95)

2.2 จุดแบงสวนของเสนตรงออกเปนอัตราสวน m : n

A(x1, y1)

n

m

B(x2, y2)

P(x, y) =

P(x, y)

  

mx1 + nx2 , my1 + ny2  m+n m+n 

2.3 จุดตัดของเสนมัธยฐาน A(x1, y1) 2 1

B(x2, y2)

P(x, y)

x1 + x 2 + x 3 3 y1 + y 2 + y 3 3

x = y =

D

C(x2, y2)

3. ความชันของเสนตรง (Slope, m) 3.1 กําหนดมุม θ

m = tan θ θ

3.2 กําหนดจุดสองจุด B(x2, y2) y2- y1 A(x1, y1)

x2 - x1

3.3 กําหนดสมการเสนตรง แบบที่ 1 y = ax + b

จะได

a b แบบที่ 2 Ax + By + C = 0 จะได - AB - CB

คณิตศาสตร (96)______________________________

m = =

y2 - y1 x2 - x1 y1 - y 2 x 1 - x 2 โดยที่ x1 ≠ x2

คือ ความชัน คือ ระยะตัดแกน y คือ ความชัน คือ ระยะตัดแกน y


3.4 ความชันแบบตางๆ

m>O

m=O

m
m หาคาไมได

3.5 มุมระหวางเสนตรงสองเสน Y

L2 θ θ1 θ2

L1

m -m tan θ = 1 +2 m m1 2 1 X

3.6 ความสัมพันธระหวางเสนตรงสองเสน L1

L1

m 1 = m2

L2

m1 ⋅ m2 = -1 L2

4. สมการเสนตรง (x1, y1)


y - y1 = m(x - x1) เมื่อ m คือ ความชัน และ (x1, y1) คือ จุดบนเสนตรง

______________________________ คณิตศาสตร (97)

5. วงกลม (Circle) คือ เซตของจุดทั้งหมดในระนาบที่หางจากจุดๆ หนึ่งที่ตรึงอยูกับที่เปนระยะทางคงตัว 5.1 สมการรูปแบบมาตรฐานของวงกลม x2 + y2 = r2

(x - h)2 + (y - k)2 = r2

Y

Y r

P(x, y)

r

C(0, 0)

P(x, y)

C(h, k)

X

X

5.2 สมการรูปแบบทั่วไปของวงกลม x2 + y2 + Ax + By + C = 0 จุดศูนยกลาง (h, k) =  -A2 , -B2  รัศมี (r) =

h2 + k2 - C =

A 2 + B 2 - 4C 2

5.3 ระยะจากจุดใดๆ ไปยังวงกลม ใหวงกลมมีสมการเปน x2 + y2 + Ax + By + C = 0 หรือ (x - h)2 + (y - k)2 = r2 ♥ ความยาวเสนสัมผัสวงกลม P(x1, y1) x 12 + y 12 + Ax 1 + By 1 + C PA = A หรือ PA =

O

♥

(x 1 - h) 2 + (y 1 - k) 2 - r 2

ระยะทางที่สั้นที่สุดจากจุดไปยังวงกลม P r A O

• •

P เปนจุดภายนอกวงกลม PA = PO - r Q เปนจุดภายในวงกลม QB = r - QO

Q B

คณิตศาสตร (98)______________________________


ระยะทางที่ยาวที่สุดจากจุดไปยังวงกลม

♥

P

B r r

• •

P เปนจุดภายนอกวงกลม PA = PO + r Q เปนจุดภายในวงกลม QB = QO + r

O Q

A

6. พาราโบลา (Parabola) คือ เซตของจุดทั้งหมดในระนาบซึ่งหางจากจุด F ที่ตรึงอยูกับที่จุดหนึ่งและเสนตรง l ที่ตรึงอยูกับที่ เสนหนึ่งเปนระยะทางเทากัน F

A

พาราโบลา

c V

V F

คือ จุดยอดของพาราโบลา คือ จุดโฟกัสของพาราโบลา l คือ เสนไดเรกตริกซ (directrix) c คือ ระยะโฟกัส AB คือ เสนเลตัสเรกตัม (latus rectum line)

B l

12

6

10

4

8

2

6

F(h, k + c)

(x, y)

2

-5

(x, y) F(h, k - c) 5

-5

4

y=k+c

-2

y=k-c 5

-4

10

(x - h)2 = 4c(y - k)


-6

(x - h)2 = 4c(y - k)

______________________________ คณิตศาสตร (99)

10

10

(x, y)

8

(x, y)

x = h -6 c

8 6 4

4 2

F(h - c, k)2

F(h + c, k) 5

x=h+c

10

-2

-2

(y - k)2 = 4c(x - h)

(y - k)2 = 4c(x - h)

7. วงรี (Ellipse) คือ เซตของจุดทั้งหมดในระนาบซึ่งผลบวกของระยะทางจากจุดใดๆ ไปยังจุด F1 และ F2 ที่ตรึงอยูกับ ที่มีคาคงตัว โดยคาคงตัวนี้มีคามากกวาระยะหางระหวางจุดที่ตรึงอยูกับที่ทั้งสอง จุดสองจุดที่ตรึงอยูกับที่นี้เรียกวา โฟกัส (focus) ของวงรี Y a P2 B P1 G b V ′ F′ F V X C c 2 G′ a2 x = - ac = x c B′ P1F1 + P1F2 = P2F1 + P2F2 = 2a

จุดศูนยกลางของวงรี จุดยอดของวงรี จุดโฟกัสของวงรี แกนเอก (major axis) ของวงรี ยาว 2a หนวย แกนโท (minor axis) ของวงรี ยาว 2b หนวย ระยะโฟกัส ยาว c หนวย 2 ♥ GG′ คือ เลตัสเรกตัม ยาว 2ba หนวย ♥ 0 < b < a เสมอ ♥ สมการรูปแบบมาตรฐานของวงรี ♥ ♥ ♥ ♥ ♥ ♥

C V, V′ F, F′ VV′ BB′ CF = CF′

คือ คือ คือ คือ คือ คือ

คณิตศาสตร (100)_____________________________


(x - h)2 + (y - k)2 = 1 เมื่อ c2 = a2 - b2 a2 b2 Y B(h, k + b) P(x, y) V′(h - a, k)

C(h, k) F′(h - c, k) F(h + c, k) V(h + a, k)

(y - k)2 + (x - h)2 = 1 เมื่อ c2 = a2 - b2 a2 b2 V(h, k + a) Y F′(h, k + c) P(x, y) C(h, k) B(h + b, k) B′(h - b, k) O

X

O

F(h, k - c)

B′(h, k - b)

X

V′(h, k - a)

8. ไฮเพอรโบลา (hyperbola) คือ เซตของจุดทั้งหมดในระนาบซึ่ง ผลตาง ของระยะทางจากจุดใดๆ ไปยังจุด F1 และ F2 ที่ตรึงอยู กับที่มีคาคงตัว โดยคาคงตัวนอยกวาระยะหางระหวางจุดคงที่ที่ตรึงอยูกับที่ทั้งสอง จุด F1 และ F2 ดังกลาวนี้ เรียกวา โฟกัส ของไฮเพอรโบลา P(x, y) F1(-c, O)

Y

|PF1 - PF2| = คาคงตัว = 2a

X

F2(c, O)

สวนประกอบของไฮเพอรโบลา l2

G1 F2 -5

l1

B1 2

V2

b

c C(h, k)

G2

-2 -4


G3

B2

a

V1

5

G4

_____________________________ คณิตศาสตร (101)

จุดศูนยกลางของไฮเพอรโบลา จุดยอดของไฮเพอรโบลา จุดโฟกัสของไฮเพอรโบลา แกนตามขวาง (transveral axis) ยาว 2a หนวย แกนสังยุค (conjugate axis) ยาว 2b หนวย ระยะโฟกัส ยาว c หนวย 2 ♥ GG′ คือ เลตัสเรกตัม ยาว 2ba หนวย ♥ l1, l2 คือ เสนกํากับ(asymptote) ♥ สมการรูปแบบมาตรฐานของไฮเพอรโบลา ♥ ♥ ♥ ♥ ♥ ♥

C V, V′ F, F′ VV′ BB′ CF = CF′

คือ คือ คือ คือ คือ คือ

(x - h)2 + (y - k)2 = 1 เมื่อ c2 = a2 + b2 a2 b2

(y - k)2 + (x - h)2 = 1 เมื่อ c2 = a2 + b2 a2 b2

Y

Y B(h, k + b)

V V′ F′(h - c, k) (h - a, k) (h + a, k) F(h + c, k) B′(h, k - b)

X

คณิตศาสตร (102)_____________________________

F(h, k + c) V(h, k + a) B′(h + b, k) B(h + b, k) C(h, k) V′(h, k - a) F′(h, k - c) X


แบบทดสอบ 1. กําหนดให A = {(x, y) | x2 + y2 = 1} และ B = {(x, y) | x2 + y2 - 10x - 10y + 49 = 0} ถา p ∈ A และ q ∈ B แลว ระยะทางมากสุดที่เปนไปไดระหวางจุด p และ q เทากับขอใดตอไปนี้ *2) 2 + 5 2 หนวย 3) 2 5 หนวย 4) 5 + 2 5 หนวย 1) 5 2 หนวย 2. ให a, b และ c เปนจํานวนจริง ถาวงกลม x2 + y2 + ax + by + c = 0 มีจุดศูนยกลางที่ (2, 1) และมี เสนตรง x - y + 2 = 0 เปนเสนสัมผัสวงกลม แลว | a + b + c | (ตอบ 5.5) 3. กําหนดใหเสนตรง l1 และ l2 สัมผัสวงกลม (x - 5)2 + y2 = 20 ที่จุด P และ Q ตามลําดับ และจุด ศูนยกลางของวงกลมอยูบนเสนตรงที่ผานจุด P และ Q ถา l1 มีสมการเปน x - 2y + 5 = 0 แลวจุดใน ขอใดตอไปนี้อยูบน l2 2) (8, -1) 3) (1, -8) *4) (15, 0) 1)  0, 52  4. กําหนดให วงกลมรูปหนึ่งมีจุดศูนยกลางอยูที่จุด (2, 1) ถาเสนสัมผัสวงกลมที่จุด x = 1 เสนหนึ่งมีความชัน เทากับ 1 แลวจุดในขอใดตอไปนี้อยูบนวงกลมที่กําหนด 3 *1) (0, 1) 2) (0, 2) 3) (1, 0) 4) (3, 0) 5. กําหนดให C1 และ C2 เปนวงกลมที่มีสมการเปน x2 + y2 = 2y และ x2 + y2 + 2y = 3 ตามลําดับ และ L เปนเสนตรงที่ความชันนอยกวา 0 ซึ่งสัมผัสทั้งวงกลม C1 และ C2 ขอใดตอไปนี้เปนความชันของ L 2) - 1 *3) - 3 4) 1 1) - 2 2 3 6. วงกลมวงหนึ่งมีจุดศูนยกลางอยูที่จุดศูนยกลางของวงรีที่มีสมการเปน 9x2 + 4y2 - 36x - 24y + 36 = 0 ถาวงกลมนี้สัมผัสกับเสนตรงที่ผานจุด (1, 3) และ (5, 0) แลว รัศมีของวงกลมนี้เทากับขอใดตอไปนี้ 9 2) 54 3) 78 4) 13 *1) 53 7. พาราโบลามีจุดยอดที่ (-1, 0) และมีจุดกําเนิดเปนโฟกัส ถาเสนตรง y = x ตัดพาราโบลาที่จุด P และจุด Q แลว ระยะทางระหวางจุด P กับจุด Q เทากับเทาใด (ตอบ 8) 8. ถาเสนตรงหนึ่งผานจุดกําเนิดและจุดยอดของพาราโบลา y2 - 4y + 4x = 0 และตัดเสนไดเรกตริกซที่จุด (a, b) แลว a + b มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 4 2) 5 *3) 6 4) 7 9. ถาระยะทางระหวางจุด (x, y) กับจุด (2, 2) เทากับระยะทางระหวางจุด (x, y) กับเสนตรง x + y = 0 แลว จุด (x, y) อยูบนกราฟของสมการในขอใดตอไปนี้ 2) (x - y)2 = 4(x + y - 2) *1) (x - y)2 = 8(x + y - 2) 4) (x + y)2 = (x + y) + 2 3) (x + y)2 = 8(x + y) - 12


_____________________________ คณิตศาสตร (103)

10. วงกลม C มีจุดศูนยกลางที่จุดกําเนิด และผานจุดโฟกัสของพาราโบลาซึ่งมีสมการเปน (x - 2)2 = 8y โดย เสนไดเรกตริกซของพาราโบลาตัดวงกลม C ที่จุด P และจุด Q ถาจุด R อยูบนพาราโบลาและอยูหางจาก จุดโฟกัสเปนระยะทาง 4 หนวย แลวสามเหลี่ยม PQR มีพื้นที่เทากับขอใด 1) 8 หนวย 2) 9 หนวย 3) 10 หนวย 4) 12 หนวย 11. วงรีวงหนึ่งมี F1(1, 1) และ F2(1, -3) เปนจุดโฟกัส ถา A และ B เปนจุดบนวงรีที่ทําใหรูปสามเหลี่ยม ABF2 มีเสนรอบรูปยาว 12 หนวย และสวนของเสนตรง AB ผาน F1 แลวจุดในขอใดตอไปนี้อยูบนวงรี 2)  2, 53 5 - 1  3)  3, 52 5 - 1  4)  2, 52 5 - 1  *1)  3, 53 5 - 1    12. กําหนดให วงรีรูปหนึ่งมีโฟกัสอยูที่จุด (±3, 0) และผานจุด  2, 221  จุดในขอใดตอไปนี้อยูบนวงรีที่   กําหนด   3) (6, 0) 4) (0, -3 2 ) *1) (-4, 0) 2)  0, 5 2 2   

13. กําหนดใหวงรี E มีโฟกัสทั้งสองอยูบนวงกลม C ซึ่งมีสมการเปน x2 + y2 = 1 ถา E สัมผัสกับ C ที่จุด (1, 0) แลวจุดในขอใดตอไปนี้อยูบน E 2)  12, 52  3)  13, 23  *4)  13, 34  1)  12, 32  14. ให E เปนวงรีที่มีแกนเอกขนานกับแกน x มีจุดศูนยกลางที่ (-2, 1) สัมผัสเสนตรง x = 1 และ y = 3 โดยมี F1 และ F2 เปนจุดโฟกัสของ E ให C เปนวงกลมที่มี F1 F2 เปนเสนผานศูนยกลาง ถาวงรี E ตัดวงกลม C ที่จุด P, Q, R, S แลว พื้นที่รูปสี่เหลี่ยม PQRS มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 24 36 48 1) 12 5 ตารางหนวย 2) 5 ตารางหนวย 3) 5 ตารางหนวย *4) 5 ตารางหนวย

15. ถา k, λ และ m เปนจํานวนจริงที่ทําใหวงรี kx2 + λy2 - 72x - 24y + m = 0 มีจุดศูนยกลางอยูที่จุด (4, 3) และสัมผัสแกน Y แลว ขอใดตอไปนี้ผิด 1) ความยาวแกนเอกเทากับ 12 หนวย 2) ความยาวแกนโทเทากับ 8 หนวย 3) ระยะหางระหวางจุดโฟกัสทั้งสองเทากับ 4 5 หนวย 4) จุด (2, 6) อยูบนวงรี 16. ให F1 , F2 เปนจุดโฟกัสของวงรีที่มีสมการเปน kx2 + 4y2 - 4y = 8 และ B เปนจุดที่วงรีตัดแกน y และ อยูเหนือแกน x ถา F1, B, F2 ไมอยูในแนวเสนตรงเดียวกัน และ F1BF2 เปนสามเหลี่ยมที่มีพื้นที่เทากับ 3 7 ตารางหนวยแลว k มีคาเทากับเทาใด 4 17. กําหนดใหวงรีวงหนึ่งมีสมการเปน 3x2 + 4y2 - 6x + 8y - 5 = 0 ถา P เปนจุดบนวงรี ซึ่งมีระยะหางจาก โฟกัสจุดหนึ่งเปนสองเทาของระยะระหวางโฟกัสกับจุดยอด จงหาระยะทางระหวางจุด P กับจุดยอดของวงรี (ตอบ 7 ) คณิตศาสตร (104)_____________________________


18. กําหนดให E เปนวงรีที่มีโฟกัสอยูที่จุดยอดของไฮเพอรโบลา x2 - y2 = 1 ถา E ผานจุด (0, 1) แลว จุดใน ขอใดตอไปนี้อยูบน E     2) (1, 2 ) 3)  1, -12  4)  1, 23  *1)  1, - 22      19. กําหนดให A และ B เปนโฟกัสของไฮเพอรโบลา 3x2 - y2 = 3 ถา P เปนจุดใดๆ บนวงรีที่มีโฟกัสที่จุด A, B และ AP + BP = 8 แลวสมการของวงรีคือขอใดตอไปนี้ 2) 4x2 + 3y2 = 48 3) 3x2 + 4y2 = 24 4) 3x2 + 4y2 = 48 1) 4x2 + 3y2 = 24 20. กําหนด H เปนไฮเพอรโบลาที่มีแกนตามขวางยาว 6 หนวย และแกนสังยุคยาว 8 หนวย โดยมี F1 และ F2 เปนจุดโฟกัส ถา P เปนจุดบนไฮเพอรโบลา H ที่ทําให F1 PˆF2 = 90° แลวรูปสามเหลี่ยม F1PF2 มีพื้นที่ กี่ตารางหนวย (ตอบ 16 ตารางหนวย) 21. กําหนดให H เปนไฮเพอรโบลาที่มีสมการเปน 16x2 - 9y2 - 144 = 0 ถาจุด A(6, k) เมื่อ k > 0 เปนจุด อยูบนเสนกํากับของ H และ F1, F2 เปนโฟกัสของ H แลว พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม AF1F2 เทากับขอใด ตอไปนี้ 45 1) 37 2 ตารางหนวย 2) 2 ตารางหนวย 3) 30 ตารางหนวย *4) 40 ตารางหนวย 22. กําหนด F เปนจุดโฟกัสของพาราโบลา y2 - 2y + 4x + 9 = 0 และ C เปนจุดศูนยกลางของวงกลม x2 + y2 - 6x + 4y + 12 = 0 ถาสวนของเสนตรง FC ตัดวงกลมที่จุด T แลวสวนของเสนตรง FT มีความยาวเทากับขอใดตอไปนี้ 3) 41 - 1 *4) 3 5 - 1 1) 4 2) 29 - 1 23. กําหนดให A = {a | เสนตรง y = ax ไมตัดกราฟ y2 = 1 + x2} และ B = {b | เสนตรง y = x + b ตัดกราฟ y2 = 1 - x2 สองจุด} เซต {d | d = c2 , c ∈ B - A} เทากับชวงในขอใดตอไปนี้ 1) (0, 1) 2) (0, 2) *3) (1, 2) 4) (0, 4) 24. กําหนดให A = {(x, y) | x2 + y2 > 1}, B = {(x, y) | 4x2 + 9y2 < 1}, C = {(x, y) | y2 - x2 > 1} ขอใดตอไปนีผ้ ิด 1) A - B = A 2) B - C = B 4) A I (B U C) = ∅ 3) B I (A U C) = ∅ 25. ให A และ B เปนจุดยอดของไฮเพอรโบลา 4x2 - y2 - 24x + 6y + 11 = 0 สมการของพาราโบลาที่มี AB เปนเลตัสเรกตัม และมีกราฟอยูเหนือแกน X คือสมการในขอใดตอไปนี้ 2) (x - 3)2 = 8(y - 1) *1) (x - 3)2 = 4(y - 2) 4) (x - 2)2 = 8(y - 1) 3) (x - 2)2 = 4(y - 2) 26. กําหนดให S = {(x, y) | x2 + y2 ≤ 17}, A = {(x, y) | x2 - y2 = 1}, B = {(x, y) | y2 - x2 = 1} ถา p ∈ S I A และ q ∈ S I B แลวระยะทางทีน่ อยสุดทีเ่ ปนไปไดระหวางจุด p และ q เทากับขอใดตอไปนี้ 2) 3 2 - 2 3) 2 3 - 2 4) 2 3 - 3 *1) 3 2 - 4 โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

_____________________________ คณิตศาสตร (105)

ฟงกชันเอกซโพเนนเชียล และฟงกชันลอการิทึม (Exponential and Logarithm Functions) เลขยกกําลัง บทนิยาม

ถา a เปนจํานวนจริง และ n เปนจํานวนนับ 1. an = a × a × a × ... × a 2. 3. 4. 5. 6.

n ตัว m n m+n a ⋅a = a (an)m = anm (ab)n = an ⋅ bn n an a   = เมื่อ b ≠ 0 b bn a m = am-n เมื่อ a ≠ 0 an a0 = 1 เมื่อ a ≠ 0

7. 8. a-n =

1 an

เมื่อ a ≠ 0

รากที่ n ในระบบจํานวนจริง บทนิยาม ให n เปนจํานวนเต็มที่มากกวา 1, x และ y เปนจํานวนจริง y เปนรากที่ n ของ x ก็ตอเมื่อ yn = x คาหลักของรากที่ n บทนิยาม

ให x เปนจํานวนจริงที่มีรากที่ n จะกลาววา จํานวนจริง y เปนคาหลักของรากที่ n ของ x ก็ตอเมื่อ 1. y เปนรากที่ n ของ x 2. yx ≥ 0 แทนคาหลักของรากที่ n ของ x ดวย n x

คณิตศาสตร (106)_____________________________


ขอสรุปเกี่ยวกับรากที่ 2 ของจํานวนจริง 1. รากที่สองของจํานวนจริงบวก (A) มี 2 คา คือ 1) รากที่เปนบวก ( A ) 2) รากที่เปนลบ (- A ) 2. รากที่สองของจํานวนศูนย มี 1 คา คือ 0 3. รากที่สองของจํานวนจริงลบ ไมสามารถหาคาได 4. สัญลักษณแทน รากที่สองที่เปนบวกของ 25 คือ 25 = 5 รากที่สองที่เปนลบของ 25 คือ - 25 = -5 5. A เรียกสัญลักษณ วา กรณฑ (Radical) ที่ 2 อานวา กรณฑที่ 2 ที่เปนบวกของ A หรือ อานวา square root A 6. คาหลักของรากที่ 2 ของจํานวนจริงบวก คือ รากที่สองที่เปนบวกของจํานวนจริงนั้น ขอสรุปเกี่ยวกับรากที่ 3 ของจํานวนจริง 1. รากที่สามของจํานวนจริง มีเพียง 1 คา 2. รากที่สามของจํานวนจริงบวก เปนจํานวนจริงบวก รากที่สามของจํานวนศูนย เปนศูนย รากที่สามของจํานวนจริงลบ เปนจํานวนจริงลบ 3. สัญลักษณแทน รากที่สามของ 64 คือ 3 64 = 4 รากที่สามของ 0 คือ 3 0 = 0 รากที่สามของ -343 คือ 3 - 343 = -7 4. 3 A เรียก 3 วา กรณฑที่สาม อานวา กรณฑที่สามของ A

5. คาหลักของรากที่ 3 ของจํานวนจริง คือ ตัวมันเอง ทฤษฎีบทเกี่ยวกับรากที่ n ทฤษฎีบทที่ 1 ถา x ≥ 0 และ y ≥ 0 แลว x ⋅ y = xy ทฤษฎีบทที่ 2 ถา x ≥ 0 และ y > 0 แลว x = xy y ทฤษฎีบทที่ 3 ถา x และ y มีรากที่ n แลว n x ⋅ n y = n xy n ทฤษฎีบทที่ 4 ถา x และ y มีรากที่ n และ y ≠ 0 แลว n x = n xy y เลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนจํานวนตรรกยะ บทนิยาม เมื่อ a เปนจํานวนจริง n เปนจํานวนเต็มที่มากกวา 1 และ a มีรากที่ n แลว a1/n = n x บทนิยาม ให a เปนจํานวนจริง p, q เปนจํานวนเต็มที่ (p, q) = 1, q > 0 และ a1/q ∈ R โดยเมื่อ p < 0 แลว a ตองไมเปน 0 ap/q = (a1/q)p


_____________________________ คณิตศาสตร (107)

การหารากที่สองของจํานวนที่อยูในรูป x ± 2 y x + 2 y = ( a + b )2 เมื่อ y = a × b และ x = a + b x - 2 y = ( a - b )2 เมื่อ y = a × b และ x = a + b

ตัวอยาง จํานวนจริง x ที่เปนคําตอบของสมการ 15 - b = 22 - 2 105 มีคาเทากับเทาใด ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ฟงกชันเอกซโพเนนเชียล (Exponential Function) คือ ฟงกชัน f = {(x, y) ∈ R × R+ | y = ax ; a > 0 and a ≠ 1}

-2 -1

3

3

2 1

2 1 1

2

3

4

5

0 < a < 1 ฟงกชันลด

-5 -4 -3 -2 -1

1

a > 1 ฟงกชันเพิ่ม

การแกสมการฟงกชันเอกซโพเนนเชียล แบบที่ 1 สมการมี 2 พจน 1. จัดสมการในรูป ax = ay โดยใชสมบัติของเลขยกกําลัง 2. ถา ax = ay แลว x = y แบบที่ 2 สมการมี 3 พจนขึ้นไป 1. ใชวิธีการสมมติ 2. การแกสมการที่มีหลายพจนพยายามถอดตัวรวมออก แบบที่ 3 การแกสมการที่ตองใช Conjugate เขาชวย การแกอสมการฟงกชันเอกซโพเนนเชียล อสมการ ฐาน (a) ขอสรุป 0 ay x>y a>1 คณิตศาสตร (108)_____________________________


2

ฟงกชันลอการิทึม (Logarithm Function) คือ ฟงกชัน f = {(x, y) ∈ R+ × R|x = ay; a > 0 and a ≠ 1} f = {(x, y) ∈ R+ × R|y = loga x; a > 0 and a ≠ 1}

-3 -2 -1

3 2 1 0

0 1

2

3

4

5

6

7

-3 -2 -2

-1 -2 -3 -4

3 2 1 0

0 1

2

3

4

5

6

7

-1 -2 -3 -4

0 < a < 1 ฟงกชันลด

a > 1 ฟงกชันเพิ่ม

จงเขียนสมการแตละขอตอไปนี้ใหอยูในรูปของลอการิทึม 3 1 1) 25 = 32 2) 82/3 = 2 3)  13  = 27


ตัวอยางที่ 2 จงเขียนสมการแตละขอตอไปนี้ใหอยูในรูปเลขยกกําลัง 2) log1 16 = -4 3) log5 1 = 0 1) log10 100 = 2 สมบัติของลอการิทึม 1. loga 1 = 0 3. log a y Mx = xy loga M

4) 3 = 31 4) log6 6 = 1

2. loga 1 = 0 4. loga M = log a x Mx 6. loga  xy  = loga x - loga y 8. a log a M = M 10. loga x = log1 a x

5. loga (x ⋅ y) = loga x + loga y

x log a y = y log a x log x 9. loga x = logc a c การแกสมการลอการิทึม 1. ทําฐานของ log ใหเทากัน แลวปลด log ออก โดยนําเอาทฤษฎีตางๆ มาใช 2. เมื่อหาคา x มาได จะตองพิจารณาดวยวาคา x ที่ไดมานั้นทําใหสมการเปนจริงหรือไม การแกอสมการลอการิทึม log a x > log a y

7.

0
a>1

x
x>y

x>0∧y>0


_____________________________ คณิตศาสตร (109)

แบบทดสอบ 1. ถา 4x-y = 128 และ 32x+y = 81 แลวคาของ y เทากับขอใดตอไปนี้ 1) -2 *2) -1 3) 1 2. ถา 6x+y = 36 และ 5x+2y = 125 แลวคาของ x เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 1 2) 1.5 *3) 2

4) 2 4) 2.5

2

(x + y) 3. ถา xy = 2 แลว 2 2 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 2(x- y) 1) 4 2) 8 3) 64 *4) 256 4. กําหนดให x, y > 0 ถา xy = yx และ y = 5x แลวคาของ x อยูในชวงใดตอไปนี้ 1) [0, 1) *2) [1, 2) 3) [2, 3) 4) [3, 4) 5. ถา x > 0 และ 8x + 8 = 4x + 2x+3 แลวคาของ x อยูในชวงใดตอไปนี้ 1) [0, 1) *2) [1, 2) 3) [2, 3) 4) [3, 4)

4  x +  9  x = 1 จงพิจารณาขอความตอไปนี้ 6. กําหนดสมการ  25  25   ก. ถา a เปนคําตอบของสมการ แลว a > 1 ข. ถาสมการมีคําตอบ แลวคําตอบจะมีเพียงคาเดียว ขอใดถูก 1) ก ถูก และ ข ถูก 2) ก ถูก และ ข ผิด *3) ก ผิด และ ข ถูก 4) ก ผิด และ ข ผิด 7. ให f : R → R+ ถา f สอดคลองสมการ f(x) - 3f  1x  = 4x สําหรับทุกจํานวนจริงบวก x แลว ขอใด ตอไปนี้เปนจริง   1) ∃x[f(x) > 0] 2) ∃x  f(x) + f  1x  > 0   

*3) ∃x[(f(x))2 < 8]

  2 4) ∃x  f(x) + f  1x   < 9  





8. กําหนดให x เปนจํานวนตรรกยะที่สอดคลองสมการ ( 5 - 1)(3 + 5 )x + ( 5 + 1)(3 - 5 )x = 4 ⋅ 2x ถาเขียน x = mn ในรูปเศษสวนอยางต่ํา โดยที่ m และ n เปนจํานวนเต็ม จงหา mn (ตอบ 21 ) 9. คําตอบของสมการ 3x(3x+1) + 3x+1(3x+2) = 2[2x(2x+1) + 2x+1 (2x+2)] อยูในชวงใด 1) (-1, 0) 2) [-2, -1) 3) (-2, -1] 4) (0, 1]

คณิตศาสตร (110)_____________________________


10. ถา a, b เปนคําตอบของสมการ 6x - 3x+1 - 2x+2 + 12 = 0 แลวคําตอบของสมการ (ab)2x+1 = (ab + 3)x เทากับขอใดตอไปนี้ 4 2) log log 3) log 18 - 2 *4) log 15 - 2 1) log 2log- 3log 3 7 - log 6 5 2 11. ให S เปนเซตคําตอบของสมการ 52x + 11 ≤ |12(5x) - 9| ถา a และ b เปนสมาชิกของ S ที่มีคามาก ที่สุดและนอยที่สุดตามลําดับ แลว a + b เทากับขอใดตอไปนี้ 1) log5 15 *2) log5 20 3) 2 4) log5 30 2 12. เซตคําตอบของอสมการ 2x (x-3) < 82/3-x เปนสับเซตของเซตในขอใดตอไปนี้ 1) (1, ∞) 2) (-2, 100) 3) (-10, 10) *4) (-∞, 2) 13. กําหนดให A และ B เปนจํานวนเต็มบวก ถา A log50 5 + B log50 2 = 1 แลว A + B เทากับขอใด ตอไปนี้ *1) 2 2) 3 3) 1 4) 2 14. กําหนดให a, b, c > 1 ถา loga d = 30, logb d = 50 และ logabc d = 15 แลวคาของ logc d เทากับขอ ใดตอไปนี้ *1) 75 2) 90 3) 120 4) 120 15. จงพิจารณาขอความตอไปนี้ ก. ถา (log a)3 = x - 1 และ (log b)3 = x + 1 แลว log(a + b) = 3 x 2 - 1 ข. กราฟของ y = x2 และกราฟของ y = 2x ตัดกันเพียงสองจุดเทานั้น ขอใดตอไปนีถ้ ูก 1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก *4) ก. และ ข. ผิด 16. ถา log4x 2x2 = log9y 3y2 = log25z 5z2 แลว logxz (yz) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) log 6 2) log 10 *3) log 15 4) log 30 17. ถา xlog y ⋅ ylog z ⋅ zlog x = 1 และ xy ≠ 1 แลว ขอใดตอไปนีผ้ ิด 1) ถา x = y แลว xz2 = 1 *2) ถา x2y = 1 แลว z = x2 3) ถา x = y2 แลว xz3 = 1 4) ถา xy2 = 1 แลว z = x 18. กําหนดให a > 1 และ b, c > 0 ถา a2 + b2 = c2 และ x เปนจํานวนจริงซึ่ง logc+b a + logc-b a = x (logc+b a logc-b a) แลว x มีคาเทาใด (ตอบ 2) 19. รากที่มีคานอยที่สุดของสมการ 2log (x-2) ⋅ 2log (x-3) = 2log 2 มีคาเทาใด (ตอบ 4) 20. กําหนด logy x + 4 logx y = 4 แลว logy x3 มีคาเทาใด (ตอบ 6) 21. ผลบวกของคําตอบทั้งหมดของสมการ log3 x = 1 + logx 9 อยูในชวงใดตอไปนี้ 1) [0, 4) 2) [4, 8) *3) [8, 12) 4) [12, 16)


_____________________________ คณิตศาสตร (111)

22. คําตอบของสมการ log 23.

24. 25. 26.

2

(4 - x) = log2 (9 - 4x) + 1 อยูในชวงใดตอไปนี้

1) [-10, -6] 2) [-6, -2) *3) [-2, 2) 4) [2, 6) 3 กําหนดให A = {n|n เปนจํานวนนับและ n2+9 = nn -9} B = {n|n เปนจํานวนนับและ log n = log(n + 1)} ผลบวกของสมาชิกทุกตัวในเซต A U B เทากับเทาใด (ตอบ 4) ถา 4 (log x)2 + 9 (log y)2 = 12 (log x)(log y) แลวขอใดตอไปนี้ถูก 1) y2 = x 2) x2 = y *3) x3 = y3 4) x2 = y3 1 เทากับขอใดตอไปนี้ ผลบวกของรากทั้งหมดของสมการ log3 (31/x + 27) = log3 4 + 1 + 2x 1) 0 2) 12 *3) 34 4) 1 ถา log2 3 = 1.59 แลวคาของ x ที่สอดคลองกับสมการ 22x+1 ⋅ 32x+2 = 122x เทากับเทาใด (ตอบ 2.09)

  27. กําหนดให A = z ∈ R z = xy และ 6 log (x - 2y) = log x3 + log y3  แลวผลบวกของสมาชิกทั้งหมดใน 



เซต A มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 3 *2) 4 3) 5 4) 6 28. ผลบวกของคําตอบของสมการ log2 (4x-1 + 2x-1 + 6) = 2 + log2 (2x-1 + 1) มีคาเทาใด (ตอบ 3) 29. ขอใดตอไปนีถ้ ูกตอง *1) log7 3 < log7 3 < log7 10 2) log5 3 < log7 3 < log7 10 3) log7 3 < log7 10 < log5 3 4) log7 10 < log5 3 < log7 3 30. กําหนดให A เปนเซตคําตอบของอสมการ log4 log3 log2 (x2 + 2x) ≤ 0 จํานวนเต็มที่เปนสมาชิกของ A มีทั้งหมดกี่จํานวน (ตอบ 3) 31. ถา A = {x|a < x < b} เปนเซตคําตอบของอสมการ log2 (2x - 1) - log4  x2 + 12  < 12 แลว a + b มีคาเทาใด (ตอบ 2.5) 32. จํานวนเต็มที่สอดคลองกับอสมการ log1/2 [log3 (x + 1)] > -1 มีจํานวนเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 6 2) 7 *3) 8 4) มากกวา 8 2 33. กําหนดให S เปนเซตคําตอบของอสมการ 4 ⋅ 2log x - 9 ⋅ 2(log x/10 + 1) + 2 ≤ 0 ถา a และ b เปน สมาชิกของ S ที่มีคามากและคานอยสุด ตามลําดับแลว ab เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 20 2) 100 *3) 200 4) 1000 34. เซตคําตอบของอสมการ (4x - 2) ⋅ log (1 - x2) > 0 เปนสับเซตของเซตในขอใดตอไปนี้ *1)  -2, 12  2)  -12, 2  3) (0, 10) 4)  12, 20 

คณิตศาสตร (112)_____________________________


ฟงกชันตรีโกณมิติ (Trigonometry) B c A

b

a

1. sin A = ac ; cosec A = ca cos A = bc ; sec A = cb tan A = ab ; cot A = ba

C

2. cosec A = sin1 A , sec A = sin A , cot A = tan A = cos A 3. ถา A + B = 90° แลว 1) sin A 2) tan A 3) sec A 4. -1 ≤ sin A ≤ 1 -1 ≤ cos A ≤ 1 5. sin2 A + cos2 A = 1 sec2 A - tan2 A = 1 cosec2 A - cot2 a = 1

1 1 cos A , cot A = tan A cos A sin A = cos B = cot B = cosec B

วงกลมหนึ่งหนวย (the unit circle) 1. x = cos θ , y = sin θ 2. ตาราง π (0, 1) 2 , 90° มุม θ° (เรเดียน) ฟ ง ก ช น ั + S มุม (+) 30°  π6  45°  π4  (-, +) (+, +)   π, 180° 0° (1, 0) (-1, 0) 1 1 = 2 sin 2 T C 2 2 (-, -) (+, -) มุม (-) 3 1 = 2 cos (0, -1) 3 π , 270° 2 2 2 2 1 = 3 tan 1 3 3 โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

60°  π3  



3 2 1 2 3

_____________________________ คณิตศาสตร (113)

3. cos (-A) sec (-A) sin (-A) cosec (-A) tan (-A) cot (-A)

= = = = = =

cos A sec A -sin A -cosec A -tan A -cot A

สูตรเอกลักษณตรีโกณมิติ 1. sin (A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B cos (A ± B) = cos A cos B m sin A sin B A ± tan B tan (A ± B) = 1tan m tan A tan B

2. sin 2A

มุมบวก/ลบกัน

= =

2 sin A cos A 2 tan A 1 + tan 2 A cos 2A = cos2 A - sin2 A = 2 cos2 A - 1 มุม 2 เทา = 1 - 2 sin2 A 2 = 1 - tan 2 A 1 + tan A 2 tan A tan 2A = 1 - tan 2 A A 3. sin A2 = ± 1 - cos 2 A ครึ่งมุม cos A2 = ± 1 + cos 2 A tan A2 = ± 11 -+ cos cos A 4. sin 3A = 3 sin A - 4 sin3 A cos 3A = 4 cos3 A - 3 cos A มุม 3 เทา 3 A tan 3A = 3 tan A - tan 2 1 - 3 tan A 5. 2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A - B) 2 cos A sin B = sin (A + B) - sin (A - B) ฟงกชันคูณกัน -2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A - B)

คณิตศาสตร (114)_____________________________


6. sin A + sin B = 2 sin  A 2+ B  cos  A 2- B  sin A - sin B = 2 cos  A 2+ B  sin  A 2- B  cos A + cos B = 2 cos  A 2+ B  cos  A 2- B 

ฟงกชันบวก/ลบกัน

cos A - cos B = -2 sin  A 2+ B  sin  A 2- B  7. คาของฟงกชันตรีโกณมิติของมุมที่นาสนใจ ฟงกชัน sin θ cos θ tan θ

มุม θ° (เรเดียน) 36° 72°

15° 3 -1 2 2 3 +1 2 2 3 -1 3 +1 หรือ 2 - 3

10 - 2 5 4 5 +1 4

10 + 2 5 4 5 -1 4

10 - 2 5 5 +1

10 + 2 5 5 -1

อัตราสวนตรีโกณมิติของรูปสามเหลี่ยมที่ไมใชสามเหลี่ยมมุมฉาก 1. Law of cosine C a2 = b2 + c2 - 2bc cos A b a b2 = c2 + a2 - 2ac cos B A B c c2 = a2 + b2 - 2ab cos C

2. Law of sine

1 2 1 2

22 21 °

2- 2 2+ 2

2- 2 2+ 2 หรือ 3 - 1

2 c2 - a 2 cos A = b +2bc 2 a 2 - b2 cos B = c + 2ac 2 b2 - c2 cos C = a +2ab

sin A = sin B = sin C a b c b c a sin A = sin B = sin C พื้นที่ ∆ = 12 ab sin C = 12 ac sin B = 12 bc sin A


_____________________________ คณิตศาสตร (115)

ตัวผกผันของฟงกชันตรีโกณมิติ ฟงกชัน

โดเมน

y = arcsin x

x ∈ [-1, 1]

y = arctan x

x∈R

y = arccosec x

x ∈ (-∞, 1] U [1, ∞)

y = arccos x y = arccot x

x ∈ [-1, 1] x∈R

2 y ∈ - π2 , 0  U  0, π2  y ∈ [0, π] y ∈ (0, π)

y = arcsec x

x ∈ (-∞, 1] U [1, ∞)

y ∈  0, π2  U  π2 , π 

ตัวอยางที่ 1 จงหาคาของ 1) arcsin (0) = ....................

3) arccos

   

2  2 

= ....................

5) arcsin  -12  = .................... ตัวอยางที่ 2 จงเติมชองวางใหถูกตอง 1) arcsin  12  = arccosec .......... 2) arccos  -53   3) arctan  12 5 

y ∈ - π2 , y ∈  - π2 ,

π

2 

π 

2) arcsin  12 

= ....................

  4) arccos  - 23   

= ....................

6) arctan (-1)

= ....................

= arccos ..........

= arcsec ..........

= arccot ..........

= arccot ..........

= arcsec ..........

จงเติมชองวางใหถูกตอง

ตัวอยางที่ 3   

     

1) sin arcsin 12

3) sin (arctan (2))     

 5) cos arcsin  - 22 


เรนจ



     

    

   



= ....................

 2) sin arcsin 23   

= ....................

4) sec (arccosec ( 2 )) = ....................

= ....................

  6) arccos  tan  - 54π   = ....................

= ....................







จงเติมชองวางใหถูกตอง

4 1) sin  arcsin 12 13 + arcsin 5 

= ....................

คณิตศาสตร (116)_____________________________





  2) sec  2 arcsin 1  = ..................  3  


แบบทดสอบ x แลว x มีคาเทาใด (ตอบ 2) 1 - cot 25o 2. ถา cos θ - sin θ = 35 แลวคาของ sin 2θ เทากับขอใดตอไปนี้ 4 9 1) 13 2) 13 * 3) 94 4) 2 1 A cos A 2 3. ถา sin sin B = 3 และ cos B = 2 แลว tan B มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 3) 1 4) 1) 4 *2) 32

1. ถา 1 – cot 20° =

13 9

2 3 4. ถา sin 15° + sin 55° = x และ cos 15° + cos 55° = y แลว (x + y)2 - 2xy เทากับขอใดตอไปนี้ *1) 4 cos2 20° 2) 2 cos2 20° 3) 4 cos2 40° 4) 2 cos2 40° 5. ถา

sin 2 3A

*1) 14

sin 2 A

6. คาของ

1) -1

−

cos 2 3A cos 2 A

=2

แลว cos 2A มีคาเทากับขอใดตอไปนี้

2) 12

sin 30o sin10o

−

cos 30o cos10o

3) 1 2

4)

1 3

เทากับขอใดตอไปนี้

2) 1

* 3) 2

4) -2

7. ถา (sinθ + cos θ)2 = 32 เมื่อ 0 ≤ θ ≤ π4 แลว arcos(tan 3 θ) มีคาเทาใด (ตอบ 0) 8. ถา arcsin (5x) + arcsin (x) = π2 แลวคาของ tan (arcsin x) เทากับขอใดตอไปนี้ *1) 51 4) 12 2) 13 3) 1 3 π แลวคาของ sin π เทากับขอใด 9. ให -1 ≤ x ≤ 1 เปนจํานวนจริงซึ่ง arccos x - arcsin x = 2552 2552 ตอไปนี้ 1) 2x *2) 1 - 2x2 3) 2x2 - 1 4) -2x

10. ถา arccos x - arcsin x = π6 แลว arccos x - arctan 2x มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ π 1) 12 2) 512π 3) 712π 4) 1112π 11. sec  12  arcsin 35 + arccos 35   + tan  12  arcsin 45 + arccos 54   มีคาเทากับขอใด     1) 2 2) 3 * 3) 1 + 2 4) 2 + 3 โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

_____________________________ คณิตศาสตร (117)

π 12. กําหนดให arccos 54 + arcsin 12 13 + x = 2 แลว tan x มีคาเทากับเทาใด 6 6 1) 16 2) 63 * 3) - 16 4) - 63 63 63  arctan 3  13. คาของ sin  2 4  + cos  2 arcsin 53  เทากับขอใดตอไปนี้   6 6 7 7 1) 1 + 25 2) 1 + 25 *3) 1 + 25 4) 1 + 25 10 3 10 3 14. ถา arctan x = arctan 14 - 2 arctan 12 แลว sin (180° + arctan x) มีคาเทากับขอใด *1) 13 2) 16 3) - 13 4) - 16 5 17 5 17 5 17 5 17 15. ถา a และ b เปนคําตอบของสมการ sin (2 arcsin x) = x โดยที่ a ≠ 0, b ≠ 0 และ a ≠ b แลว |sin arctan (ab)| เทากับเทาใด (ตอบ 0.6) 16. ให A เปนเซตคําตอบของสมการ cos (2 arcsin x) + 2 = 4 sin2 (arccos x) ขอใดตอไปนี้คือ ผลคูณของ สมาชิกในเซต A 1) - 14 *2) - 12 3) 14 4) 12

17. -sin2 1° + sin2 2° - sin2 3° + … - sin2 89° + sin2 90° มีคาเทากับเทาใด (ตอบ 0.5) 18. กําหนดให 0° < α < 30° ถา sin2 (7α) - sin2 (5α) = sin (2α) sin (6α) แลว α เทากับขอใดตอไปนี้ *1) 10° 2) 15° 3) 20° 4) 25° 19. กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมซึ่งมี 2 sin A + 3 cos B = 4 และ 3 sin B + 2 cos A = 1 คาของ sin C เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 61 *2) 13 3) 12 4) 1 20. พิจารณาขอความตอไปนี้ เมื่อเอกภพสัมพัทธคือเซตของจํานวนจริง ข. ∀x  sin 4 x + cos4 x = 1 - 12 sin2 2x  ก. ∃x(cot 2x - cot x = 0)

คาความจริงของขอความ ก. และขอความ ข. เปนไปตามขอใดตอไปนี้ 1) ก. เปนจริง และ ข. เปนจริง 2) ก. เปนจริง และ ข. เปนเท็จ *3) ก. เปนเท็จ และ ข. เปนจริง 4) ก. เปนเท็จ และ ข. เปนเท็จ 21. กําหนดให x ∈ [ 0, 4π ] เซตคําตอบของสมการ cos x = 3 (1 - sin x) คือขอใดตอไปนี้ 1)  π6 , 56π , 136π  2)  56π , π2 , 136π  *3)  π6 , π2 , 136π , 52π 

4)  π6 , 56π , π2 , 54π 

คณิตศาสตร (118)_____________________________


22. กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมที่มีดาน AB ยาว 2 หนวย ถา BC3 + AC3 = 2BC + 2AC แลว cot C มีคาเทากับเทาใด *1) 1 2) 12 3) 1 4) 3 3 23. กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมที่มีมุม A เทากับ 60°, BC = 6 และ AC = 1 คาของ cos 2B เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 14 *4) 34 2) 12 3) 23 24. ถา A(1, 2) , B(4, 3) และ C(3, 5) เปนจุดยอดของสามเหลี่ยม ABC แลว sin B2 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้

1) 12     

    

1 / 2

50 - 1  50 

1 / 2

2) 12 

    

1 / 2

50 + 1  50 

1 / 2

  50 + 1  * 4)  50 - 1  3)  2 50  2 50    25. รูปสามเหลี่ยม ABC มี a, b และ c เปนความยาวของดานตรงขามมุม A, Bและ C ตามลําดับ ถา cos B = 14 และ (a + b + c)(a - b + c) = 30 แลว ac มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ *1) 12 2) 20 3) 20 4) 40 5 3 26. กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยม ซึ่งมี ACˆ B = 60° ลากเสนตรงจากจุด A ไปพบดาน BC ที่จุด D โดย ทําให BAˆ D = 30° ถาระยะ BD ยาว 3 หนวย และระยะ AD ยาว 2 หนวยแลว ระยะ CD ยาวเทากับขอ ใดตอไปนี้ 1) 4 3 3 2) 5 3 3 3) 7 9 6 *4) 8 9 6 27. นายดํายืนอยูบนสนามแหงหนึ่งมองเห็นยอดเสาธงเปนมุมเงย 60° แตเมื่อเขาเดินตรงเขาไปหา เสาธงอีก 20 เมตร เขามองเห็นยอดเสาธงเปนมุมเงย 75° ในขณะที่เขามองเห็นยอดเสาธงเปนมุมเงย 60° นั้นเขายืน อยูหางจากเสาธงเทากับเทาใด 1) 10  2 + 32 3  2) 10  2 + 12 3  3) 10(2 + 2 3 ) *4) 10(2 + 3 )

28. ให A, B และ C เปนจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม ABC และ Aˆ < Bˆ < Cˆ โดยที่ tan A ⋅ tan B ⋅ tan C = 3 + 2 3 และ tan B + tan C = 2 + 2 3 พิจารณาขอความตอไปนี้ ข. Cˆ = 512π ก. tan C = 2 + 3 ขอใดตอไปนีถ้ ูก *1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ผิด และ ข. ถูก 3) ก. ถูก และ ข. ผิด 4) ก. และ ข. ผิด


_____________________________ คณิตศาสตร (119)

29. ให θ เปนจํานวนจริง ซึ่งสอดคลองกับสมการ

1 + 1 + 1 + 1 = 7 แลว tan2 2θ tan 2θ cot 2θ sin 2θ cos2θ

มีคาเทาใด (ตอบ 8) 30. พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. tan 14° + tan 76° = 2 cosec 28° ข. ถา x > 0 และ sin (2 arctan x) = 54 แลว x ∈  13 , 3  ขอใดตอไปนีถ้ ูกตอง *1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ผิด และ ข. ถูก 3) ก. ถูก และ ข. ผิด 4) ก. และ ข. ผิด 31. กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมซึ่งมีดานตรงขามมุม Aˆ , Bˆ และ Cˆ ยาว 2a, 3a, 4a ตามลําดับ ถา sin A = k แลว cot B + cot C มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1 1 1) 6k 2) 6k * 3) 3k 4) k3

คณิตศาสตร (120)_____________________________


เวกเตอร (Vectors) บทนิยาม ปริมาณที่มีแตขนาดเพียงอยางเดียว เรียกวา ปริมาณสเกลาร (scalar quantity) สวนปริมาณ ที่มีทั้งขนาดและทิศทางเรียกวา ปริมาณเวกเตอร (vector quantity) หรือเรียกสั้นๆ วา เวกเตอร การเขียนสัญลักษณแทนเวกเตอร เวกเตอรจาก A ไป B อานวา เวกเตอร เอบี เขียนแทนดวย 1) รูปเรขาคณิต B A

2) AB (เรียก A วา จุดเริ่มตน (initial point) เรียก B วา จุดสิ้นสุด (terminal point) ของเวกเตอร) 3) ถาพิกัดของ A เปน (x1, y1) และ B เปน (x2, y2) แลว x - x  v v AB =  y 2 - y 1  = (x2 - x1) i + (y2 - y1) j 1  2 4) ถาพิกัดของ A เปน (x1, y1, z1) และ B เปน (x2, y2, z2) แลว x - x  1  2 v v v  AB =  y2 - y1  = (x2 - x1) i + (y2 - y1) j + (z2 - z1) k    z2 - z1  v เมื่อ i เปนเวกเตอร 1 หนวย ในทิศ +x v j เปนเวกเตอร 1 หนวย ในทิศ +y v k เปนเวกเตอร 1 หนวย ในทิศ +z ขนาดของเวกเตอร | AB | แทน ความยาวของสวนของเสนตรง AB หรือ BA หรือ ขนาดของเวกเตอรนั่นเอง v v แลว | AB | = a 2 + b 2 1) ถา AB = a i + b j v v v 2) ถา AB = a i + b j + c k แลว | AB | = a 2 + b 2 + c 2


_____________________________ คณิตศาสตร (121)

การเทากัน และนิเสธของเวกเตอร บทนิยาม vu และ vv ขนานกัน ก็ตอเมื่อ เวกเตอรทั้งสองมีทิศทางเดียวกัน หรือทิศทางตรงกันขาม บทนิยาม vu = vv ก็ตอเมื่อ เวกเตอรทั้งสอง มีขนาดเทากัน และทิศทางเดียวกัน  a1   a2  ถา  b  =  b  แลว a1 = a2 และ b1 = b2  1  2 a  a   1  2 ถา  b1  =  b2  a1 = a2 และ b1 = b2 และ c1 = c2 c  c   1   2  บทนิยาม นิเสธของ vu (negative of vu ) คือ เวกเตอรที่มีขนาดเทากับขนาดของ vu แตมีทิศทาง ตรงกันขามกับทิศทางของ vu เขียนแทนดวย - vu a  -a      a  -a  v v v v v v v - u = -  b  = -b  = -a i - b j หรือ - u = -  b  = -b  = -a i - b j - c k     c  -c      เวกเตอรศูนย (zero vector)

0  v 0  v   คือ เวกเตอรที่มีขนาดเปน 0 เขียนแทนดวย 0 = 0  หรือ 0 = 0    0   

การบวกเวกเตอร ♥ เชิงเรขาคณิต vv

vu

♥

เชิงพีชคณิต

vu + vv vu

vv

vu vv

vv + vu

a 1   a 2   a1 + a 2  v v      b1  +  b2  =  b1 + b2  = (a1 + a2) i + (b1 + b2) j a  a  a + a  2  1  2  1 v  b  +  b  =  b + b  = (a + a ) vi + (b + b ) vj + (c + c ) k 1 2 1 2 1 2 1 2  1  2   c  c  c + c   1   2  2  1   

คณิตศาสตร (122)_____________________________


การลบเวกเตอร หมายถึง การบวกเวกเตอรดวยนิเสธการบวกของเวกเตอรตัวลบ เชน vu - vv = vu + ( vu - vv ) ♥ เชิงเรขาคณิต vu - vu vu

vv ♥

เชิงพีชคณิต

- vv

u - vv = vu + (-vv )

- vv

a1   a 2   a1 - a 2  v v  = (a - a ) i + (b - b ) j  -   =  1 2 1 2 b1   b2   b1 - b2  a  a  a - a  2  1  2  1 v  b  -  b  =  b - b  = (a - a ) vi + (b + b ) vj + (c - c ) k 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2       c  c  c - c    2  1  1   2    

การคูณเวกเตอร 1. การคูณเวกเตอรดวยสเกลาร  ka  1  5 × 1   5 a            k  b  =  kb  เชน 5 2  = 5 × 2  = 10   kc  3 5 × 3  15  c            v v ให u ≠ 0 และ a เปนจํานวนจริง v v v ♥ ถา a > 0 แลว a u คือ เวกเตอรที่มีทิศทางเดียวกับ u และมีขนาดเทากับ a เทาของ u v v v ♥ ถา a < 0 แลว a u คือ เวกเตอรที่มีทิศตรงขามกับ u และมีขนาดเทากับ |a| เทาของ u v v ♥ ถา a = 0 แลว a u = 0 เชน 2 vu คือเวกเตอรที่มีทิศทางเดียวกับเวกเตอร vu และมีขนาดเปน 2 เทาของเวกเตอร -3 vu คือเวกเตอรที่มีทิศตรงขามกับเวกเตอร vu และมีขนาดเปน 3 เทาของเวกเตอร v v ทฤษฎีบทที่ 1 ให vu ≠ 0 และ vv ≠ 0 vu ขนานกับ vv ก็ตอเมื่อ มีจํานวนจริง a ≠ 0 ซึ่งทําให vu = a vv v v ทฤษฎีบทที่ 2 ให vu ≠ 0 และ vv ≠ 0 และ vu ไมขนานกับ vv จะไดวา v ถา a vu + b vv = 0 แลว a = 0 และ b = 0


vu vu

_____________________________ คณิตศาสตร (123)

เวกเตอรหนึ่งหนวย (unit vector) คือ เวกเตอรที่มีขนาดหนึ่งหนวย v เวกเตอรหนึ่งหนวยที่มีทิศทางเดียวกับเวกเตอร vu คือเวกเตอร |vuu| v เวกเตอรหนึ่งหนวยที่มีทิศทางเดียวกับเวกเตอร vu คือเวกเตอร - |vuu| v v v เชน กําหนดให vu = 3 i - 4 j - k จะได | vu | = 3 2 + 4 2 + (-1) 2 = v v v v 3 ดังนั้น เวกเตอรหนึ่งหนวยที่มีทิศทางเดียวกับ u คือ คือ i - 4 j - k 26 v v v หรือ 3 i - 4 j - 1 k 26 26 26 2. การคูณเวกเตอรดวยเวกเตอร (ผลคูณเชิงสเกลาร (dot product)) a  a  1 2 vu ⋅ vv =  b  ⋅  b  = a a + b b + c c 1 2 1 2 12  1  2 c  c   1   2  vu ⋅ vv = | vu || vv | cos θ เมื่อ θ เปนมุมระหวาง vu และ vv เมื่อ vu และ | vu + vv |2 = | vu |2 + 2 vu ⋅ vv + | vv |2 | vu - vv |2 = | vu |2 - 2 vu ⋅ vv + | vv |2 สมบัติที่สําคัญของผลคูณเชิงสเกลาร 1. ให vu , vv และ wv เปนเวกเตอรใดๆ v v v v ♥ u⋅v = v⋅u v v v v v v v ♥ u ⋅( v + w) = u ⋅ v + u ⋅ w v v v v v v ♥ a( u ⋅ v ) = (a u ) ⋅ v = u ⋅ (a v ) v v ♥ 0⋅u =0 v v v v ♥ u ⋅ u = u 2 = | u |2 v v v v v v ♥ i ⋅ i = k⋅k = j ⋅ j =1 v v v v v v ♥ i ⋅ j = i ⋅k = j ⋅k =0 2. ให vu , vv เปนเวกเตอรที่ไมใชเวกเตอรศูนย เวกเตอร vu ตั้งฉากกับเวกเตอร

คณิตศาสตร (124)_____________________________

26

vv มีจุดเริ่มตนเดียวกัน

vv ก็ตอเมื่อ vu ⋅ vv = 0


3. การคูณเวกเตอรดวยเวกเตอร (ผลคูณเชิงเวกเตอร (cross product)) vu × vv อานวา เวกเตอรยู ครอส เวกเตอรวี (หาไดเฉพาะเวกเตอร 3 มิติเทานั้น) a b - a b  a  a  3 2  2 3  1  2 ถา vu =  b1  , vv =  b2  แลว vu × vv =  a3b1 - a1b3    c  c   1   2   a1b2 - a 2b1  a 2 a 3 v a 3 a1 v vu × vv = b b i + b b j + 2 3 3 1

a2 v b2 k

| vu × vv | = | vu || vv | sin θ = พืน้ ที่รูปสี่เหลี่ยมดานขนานที่มี vu และ vv เปนดานของรูปสี่เหลี่ยมนั้น

vv

vu

vr

a1 b1

ให vu , vv , vr เปนดานของทรงสี่เหลี่ยมดานขนานแลว ปริมาตรของสี่เหลี่ยมดานขนานทรงตัน = | vu ⋅ ( vv × vr )|

vv vu

a1  โคไซนแสดงทิศทาง (Direction Cosines) ถากําหนดจุด P(a1, a2, a3) จะได OP = a2  a3 

cos α =

     

a1

a 12 + a 22 + a 23

, cos β =

a2

a 12 + a 22 + a 23

, cos γ =

a3

a 12 + a 22 + a 23

α, β, γ

คือ มุมที่ OP ทํากับแกน x, y, z ตามลําดับ เรียก cos α, cos β, cos γ วา “โคไซนระบุทิศทางของ OP ”


_____________________________ คณิตศาสตร (125)

แบบฝกหัด 1. กําหนดให ABC เปนสามเหลี่ยมใดๆ และ E เปนจุดที่ทําให CE = 2 BA ถา BE = a CB + b CA เมื่อ a, b เปนคาคงตัวแลว b - a คือคาในขอใด 1) -1 2) 2 3) 3 *4) 5 2. กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมีสมบัติวา 5| AB | = | BC | + | CA | ถา M และ N เปนจุดแบงครึ่ง ดาน BC และ AC ตามลําดับ แลวพิจารณาขอความตอไปนี้ ก. MN = 12 ( BC - AC ) ข. AM ⋅ BN = 0

ขอใดถูก 1) ก. และ ข. ถูก *2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด 3. กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมที่มี D เปนจุดบนดาน AC และ F เปนจุดบนดาน BC ถา AD = 14 AC , BF = 13 BC และ DF = a AB + b BC แลว ab มีคาเทาใด (ตอบ 9)

4. กําหนดให ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน, M เปนจุดบนดาน AD ซึ่ง AM = 51 AD และ N เปนจุด บนเสนทแยงมุม AC ซึ่ง AN = 61 AC ถา MN = a AB + b AD แลว a + b เทากับขอใดตอไปนี้ 2 2) 51 3) 13 4) 1 *1) 12 5. ให A, B และ C เปนจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมใดๆ พิจารณาขอความตอไปนี้ v ก. AB + BC + CA = 0 ข. (BC)2 ≤ (CA)2 + (AB)2 ขอใดถูก 1) ก. และ ข. ถูก *2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด 6. กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมดานเทา และ D เปนจุดบนดาน DC ซึ่งทําให | BD | : | BC | = 1 : 3 พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. 3AD = 2AB + BC ข. AD ⋅ BC = - 16 | BC |2

ขอใดถูก 1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด *3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด 7. ให A, B และ C เปนจุดสามจุดที่ไมอยูบนเสนตรงเดียวกัน และ D เปนจุดบนเสนตรง BC ที่ทําให BD : DC = 2 : 1 ถา | AD |2 = a| AB |2 + b| AC |2 + c| AB ⋅ AC | โดยที่ a, b และ c เปนจํานวนจริง และ AB ⋅ AC ≠ 0 แลว a2 + b2 + c2 มีคาเทากับขอใด 1) 31 2) 32 3) 10 *4) 11 81 81 27 27

คณิตศาสตร (126)_____________________________


v v v v 8. ให vu = i + 3 j , vv = 2 i + j ถา θ เปนมุมระหวาง ( vu + vv ) และ ( vu - vv ) แลว cos θ มีคาเทากับขอใด *1) 1 2) 2 3) 51 4) 52 5 5 9. ถา | vu + vv | = 5 2 และ | vu - vv | = 26 แลว vu ⋅ vv เทากับขอใด 1) 3 *2) 6 3) 8 4) 12 v v v v v v 10. ถา u และ v ทํามุมกัน 60° และ | u + v | = 37 , | u - v | = 13 แลว | vu | + | vv | มีคาเทากับขอใด 1) 5 *2) 7 3) 37 4) 50 v v 11. พิจารณาขอความตอไปนี้ เมื่อ u และ v เปนเวกเตอร v ก. ถา | vu | = | vv | ≠ 0 แลว ( vu - vv )( vu + vv ) = 0 ข. ถา |2 vu + vv | = | vv | แลว | vu | ⋅ ( vu + vv ) = 0 ขอใดตอไปนีถ้ ูกตอง 1) ก. และ ข. ถูก *2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด v v 12. กําหนดให u และ v เปนเวกเตอรที่มีขนาดหนึ่งหนวย ถาเวกเตอร vu + 2 vv ตั้งฉากกับเวกเตอร 2 vu + vv แลว vu ⋅ vv เทากับขอใดตอไปนี้ 2) 0 3) 51 4) 53 *1) - 54 13. กําหนดให vu และ vv เปนเวกเตอรที่ไมเทากับเวกเตอรศูนยซึ่ง vu ตั้งฉากกับ vv และ vu + vv ตั้งฉากกับ vu - vv พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. | vu | = | vv | ข. vu + 2 vv ตั้งฉากกับ 2 vu - vv

ขอใดตอไปนี้เปนจริง *1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด 14. กําหนดให vu และ vv เปนเวกเตอรที่มีขนาดหนึ่งหนวย ถาเวกเตอร 3 vu + vv ตั้งฉากกับเวกเตอร vu + 3 vv แลวเวกเตอร 5 vu - vv มีขนาดเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 3 หนวย 2) 3 2 หนวย 3) 4 หนวย *4) 4 2 หนวย r r r r r v v v v v v 15. กําหนดให u และ v เปนเวกเตอรซึ่ง | u ⋅ v | ≠ | u || v | ถา a(v − 2u) + 3u = b(2u + v) แลวคาของ a อยูในชวงใดตอไปนี้ 1) 0, 12  *2)  12 , 1  3) 0, 32  4)  32, 1 


_____________________________ คณิตศาสตร (127)

16. กําหนดให vu และ vv ไมเปนเวกเตอรและ | vu + vv | = | vu - vv | ถา | vv | = 1 | vu | เปนมุม 3 v v v v ระหวางเวกเตอร u + v และเวกเตอร u - v เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 30° 2) 45° *3) 60° 4) 90° r r r r r r r r r r 17. ให A , B และ C เปนเวกเตอร ซึ่ง | A | = 3, | B | = 2 และ | C | = 1 ถา A + B + 4 C = 0 แลว r r r r r r A ⋅ B + B ⋅ C + C ⋅ A มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 2) -1 *1) - 52 3) 0 4) 12 v v 18. กําหนดให P(-8, 5), Q(-15, -19), R(1, -7) เปนจุดบนระนาบ ถา vv = a i + b j (a, b เปนจํานวน จริง) เปนเวกเตอรซึ่งมีทิศทางขนานกับเสนตรงซึ่งแบงครึ่งมุม QPˆR แลว ab มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 2 2 3) 11 *4) - 11 1) 2 2) -2 v v v v 19. กําหนดให vu = 3 i + 4 j ถา wv = a i + b j โดยที่ wv มีทิศทางเดียวกันกับ vu และ | wv | = 10 แลว a + b เทากับเทาใด (ตอบ 14) v v v 20. กําหนดให vu , vv และ wv เปนเวกเตอรที่สอดคลองกับสมการ vu + 5 vv - 2 wv = 0 โดยที่ vu = 3 i + 4 j และ vu ตั้งฉากกับ vv ถา θ เปนมุมระหวาง vu และ wv แลวคาของ | wv |cos θ เทากับเทาใด (ตอบ 2.5) 99 v v 21. ถา vvn = 1n i + 1 - 12 j เมื่อ n = 1, 2, 3, ..., 99 แลวคาของ ∑ | vv n +1 - vv n | อยูในชวงใด n n =1 1) (1, 1.2) 2) (1.2, 1.4) *3) (1.4, 1.6) 4) (1.6, 1.8) 1  5  1  22. กําหนดใหเวกเตอร  4  ตั้งฉากกับเวกเตอร -8a  และ 3  = b  4  + c -8a  ถา θ เปนมุมระหวาง           a เวกเตอร  0  และ cb  แลว cos2 θ เทากับเทาใด (ตอบ 0.8)     23. กําหนดทรงสี่เหลี่ยมดานขนาน มีจุดยอดอยูที่จุด O(0, 0, 0), A(1, 5, 7), B(2a, -b, -1) และ C(a, 3b, 2) โดยที่ a และ b เปนจํานวนเต็ม ถา OA ตั้งฉากกับฐานที่ประกอบดวย OB และ OC และ θ เปนมุม ระหวาง OB และ OC แลวขอใดตอไปนี้ถูก 1) sin θ = 5 3 7 2) | OB || OC | = 21 3) พื้นที่ฐานของทรงสี่เหลี่ยมดานขนานเทากับ 5 2 3 ตารางหนวย *4) ปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมดานขนานเทากับ 75 ลูกบาศกหนวย

คณิตศาสตร (128)_____________________________


vu = vi + 3vk vv = 2 j + xvk เมื่อ x เปนจํานวนจริง v v v wv = - 3 i + j - k ถา vu , vv และ wv อยูในระนาบเดียวกัน แลว x มีคาเทาใด 1) -12 2) -8 3) 8 *4) 16 v v v v v v v 25. ให u = a i + b j + 2 k = a และ v = 2a i - 3b j โดยที่ a, b เปนจํานวนเต็มบวก และ θ เปนมุม ระหวาง vu และ vv ถา | vu | = 3 และ cos θ = 13 แลว vu × vv มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ v v v v v v 2) - 6 i - 8 j + 10 k *1) 6 i + 8 j - 10 k v v v v v v 3) 12 i + 4 j - 10 k 4) - 12 i - 4 j + 10 k

24. กําหนดให


_____________________________ คณิตศาสตร (129)

จํานวนเชิงซอน (Complex) 1. จํานวนเชิงซอน

เซต C = {(a, b)| a, b ∈ R} จะเรียกวา เซตของจํานวนเชิงซอน ก็ตอเมื่อสําหรับทุกๆ สมาชิก (a, b) และ (c, d) ใน C 1. (a, b) = (c, d) ก็ตอเมื่อ a = c และ b = d 2. (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) 3. (a, b) ⋅ (c, d) = (ac - bd, ad + bc) จํานวนเชิงซอน (a, b) นิยมเขียนแทนดวย a + bi เรียก a วา สวนจริง และเรียก b วา สวนจินตภาพ ขอสังเกต 1. c(a, b) = (ca, cb) 2. i2 = -1, i3 = -i, i4 = 1 สังยุคของจํานวนเชิงซอน กําหนดใหจํานวนเชิงซอน z = a + bi นิยามสังยุคของ z แทนดวย z คือ z = a - bi สมบัติ 1. (a + bi)(a - bi) = a2 + b2 2. z1 + z 2 = z1 + z 2 3. z1 - z2 = z1 - z 2 4. z1 ⋅ z 2 = z1 ⋅ z 2 Z z 5. z 1 = z1 โดยที่ z 2 ≠ 0 2 2 6. z + z = 2Re(z) เมื่อ Re(z) คือ สวนจริงของ z 7. z - z = 2Im(z) เมื่อ Im(z) คือ สวนจินตภาพของ z 8. z = z

คณิตศาสตร (130)_____________________________


คาสัมบูรณของจํานวนเชิงซอน กําหนดใหจํานวนเชิงซอน z = a + bi นิยามคาสัมบูรณของ z แทนดวย |z| คือ |z| = สมบัติ 1. z z = |z|2 2. |z| = |-z| 3. |z1z2| = |z1||z2| 4. zz1 = zz1 , z2 ≠ 0 2 2 1 5. |z |= |z|-1 6. |z| = | z | 7. |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2| 8. |z1 - z2| ≥ ||z1| - |z2||

a 2 + b2

2. จํานวนเชิงซอนในรูปเชิงขั้ว

ให z = a + bi โดยที่ z ≠ 0 และ θ เปนมุมบวกที่เล็กที่สุดซึ่ง tan θ = ba จะไดวา รูปเชิงขั้วของ z คือ z = |z|(cos θ + i sin θ) เรียก θ วา อารกิวเมนต (argument) ของ z การคูณและการหารจํานวนเชิงซอนในรูปเชิงขั้ว กําหนดให z1, z2 เปนจํานวนเชิงซอนที่ไมใชศูนย โดย z1 = |z1|(cos θ1 + i sin θ1) และ z2 = |z2|(cos θ2 + i sin θ2) จะไดวา 1. z1z2 = |z1||z2|(cos(θ1 + θ2) + i sin (θ1 + θ2)) z |z | 2. z 1 = |z1| (cos(θ1 - θ2) + i sin(θ1 - θ2)) 2 2 3. z1n = |z1|n (cos nθ1 + i sin nθ1) การแกสมการจํานวนเชิงซอน สําหรับจํานวนเชิงซอน z = |z|(cos θ + i sin θ) เมื่อ n ≥ 2 จะไดวา n z = n |z|  cos θ + 2kπ  + i sin  θ + 2kπ   เมื่อ k = 0, 1, 2, ..., n - 1  n  n      กําหนดให f(x) = anxn + an-1 xn-1 + ... + a1x + a0 โดยที่ a0, a1, a2, ..., an ∈ R และ an ≠ 0 จะไดวา ถา f(z) = 0 แลว f( z ) = 0 ดวย นั่นคือ ถา z เปนคําตอบของสมการแลว z จะเปนคําตอบของสมการดวย


_____________________________ คณิตศาสตร (131)

แบบฝกหัด 1. กําหนดให S เปนเซตคําตอบของสมการ z2 + z + 1 = 0 เมื่อ z เปนจํานวนเชิงซอน เซตในขอใดตอไปนี้ เทากับเซต S 1) {-cos 120° - i sin 60°, cos 60° + i sin 60°} 2) {cos 120° + i sin 60°, -cos 60° + i sin 60°} 3) {-cos 120° - i sin 120°, -cos 60° + i sin 60°} 4) {cos 120° + i sin 120°, -cos 60° - i sin 60°} 2. กําหนดให z1 และ z2 เปนจํานวนเชิงซอนซึ่ง |z1 + z2|2 = 5 และ |z1 - z2|2 = 1 คาของ |z1|2 + |z2|2 เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 2 3. กําหนดให z เปนจํานวนเชิงซอนที่สอดคลองกับสมการ z4 + 1 = 0 คาของ z + 1z เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 4. กําหนดให z1,z2 เปนจํานวนเชิงซอนซึ่ง |z1 + z2| = 3 และ z1 ⋅ z2 = 3 + 4i คาของ |z1|2 + |z2|2 เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 3 2) 4 3) 5 4) 6 3 2 5. กําหนดให z เปนจํานวนเชิงซอนที่สอดคลองกับ z - 2z + 2z = 0 และ z ≠ 0 ถาอารกิวเมนตของ z อยู 4 ในชวง  0, π2  แลว z 2 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ ( z) 2) 1 - i 3) 1 + i 4) 2i 1) -2i 6. กําหนดให w, z เปนจํานวนเชิงซอนซึ่ง w = z - 2i และ |w|2 = z + 6 ถาอารกิวเมนตของ w อยู ในชวง 0, π2  และ w = a + bi เมื่อ a, b เปนจํานวนจริง แลว a + b มีคาเทาใด 1) 2 2) 4 3) 6 4) 8

เฉลย 1. 4)

2. 3)

3. 2)

4. 1)

5. 1)

6. 2)

คณิตศาสตร (132)_____________________________


กําหนดการเชิงเสน (Linear Programing) 1. กราฟอสมการเชิงเสน 1. วาดกราฟสมการเชิงเสน (โดยหาจุดที่สอดคลองกับสมการเชิงเสนสองจุด มักใชจุดตัดแกน X และ จุดตัดแกน Y) 2. พิจารณาอาณาบริเวณ โดยใชจุดที่ไมอยูบนเสนกราฟทดสอบ (มักใชจุด (0, 0)) ถาจุดที่ทดสอบสอดคลองกับอสมการ จะไดกราฟเปนอาณาบริเวณที่มีจุดนั้นอยู ถาจุดที่ทดสอบขัดแยงกับอสมการ จะไดกราฟเปนอาณาบริเวณที่อยูตรงขามกับบริเวณที่มีจุดนั้นอยู 3. พิจารณาวาอสมการนั้นยอมรับการเทากันไดหรือไม โดยเลือกแทนดวยเสนทึบ หรือเสนประให สอดคลอง

2. กราฟของระบบอสมการเชิงเสน 1. วาดกราฟของอสมการเชิงเสน หาบริเวณที่สอดคลองในทุกๆ อสมการ (คืออาณาบริเวณที่ซอนทับกัน) เรียกอาณาบริเวณนั้นวา อาณาบริเวณที่หาคําตอบได แลวหาพิกัดของมุมของอาณาบริเวณที่หาคําตอบได 2. ในกรณีที่ระบบอสมการเชิงเสนมีหลายอสมการ ในการวาดกราฟของอสมการเชิงเสน อาจตองมีการ หาพิกัดของจุดตัดของสองเสนกอน

3. การแกปญหากําหนดการเชิงเสนโดยวิธีใชกราฟ - ปญหากําหนดการเชิงเสนประกอบดวย ฟงกชันจุดประสงค (Objective Function) และอสมการ ขอจํากัด (Constraint Inequalities) - ผลเฉลยของปญหาจะเปนพิกัดที่อยูในบริเวณที่หาคําตอบไดของระบบอสมการเชิงเสนที่ไดมาจากอสมการ ขอจํากัด โดยเปนพิกัดที่ทําใหฟงกชันมีคาสูงสุดหรือต่ําสุดตามฟงกชันจุดประสงค - โดยการใชการเลื่อนของกราฟฟงกชันจุดประสงคที่มีความชันคงที่ แตมีระยะตัดแกน Y ที่เปลี่ยนแปลง พบวาคําตอบที่ตองการจะอยูที่จุดมุมของอาณาบริเวณที่หาคําตอบได

4. สรุปขั้นตอนการแกปญหากําหนดการเชิงเสน 1. สมมติตัวแปร กําหนดฟงกชันจุดประสงค และอสมการขอจํากัด 2. วาดกราฟของระบบอสมการเชิงเสนที่ไดจากอสมการขอจํากัด แลวหาอาณาบริเวณที่หาคําตอบได 3. หาพิกัดของจุดมุมของอาณาบริเวณที่หาคําตอบได 4. นําจุดมุมทั้งหมดไปทดสอบกับฟงกชันจุดประสงค โดยเลือกพิกัดที่ทําใหคาของฟงกชันสูงสุดหรือต่ําสุด ตามที่ตองการ ขอสังเกต ในบางสถานการณปญหา ตองการคําตอบที่เปนจํานวนเต็ม แตถาพิกัดที่เปนคําตอบไมใชจํานวนเต็ม จะตองนําพิกัดที่เปนจํานวนเต็มที่อยูใกลเคียงกับจุดนั้น มาพิจารณาหาพิกัดที่ใหคาที่ดีที่สุดแทน


_____________________________ คณิตศาสตร (133)

แบบฝกหัด 1. ถา C เปนปริมาณที่มีคาขึ้นกับคาของตัวแปร x และ y ดวยความสัมพันธ C = 3x + 5y เมื่อ x, y เปนไป ตามเงื่อนไข 3x + 4y ≥ 5, x + 3y ≥ 3, x ≥ 0 และ y ≥ 0 แลวคาต่ําสุดของ C ตามเงื่อนไขขางตน มีคา เทากับขอใดตอไปนี้ 2) 29 3) 25 4) 27 1) 21 5 5 4 4 2. ถา P = 5x + 4y เมื่อ x และ y เปนไปตามเงื่อนไข x + 2y ≤ 40, 3x + 2y ≤ 60, x ≥ 0 และ y ≥ 0 แลวคาสูงสุดของ P เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 90 2) 100 3) 110 4) 115 3. กําหนดให a และ b เปนจํานวนจริงบวกซึ่ง a < b ถาคามากสุดและคานอยสุดของ P = 2x + y เมื่อ x, y เปนไปตามเงื่อนไข a ≤ x + 2y ≤ b, x ≥ 0 และ y ≥ 0 มีคาเทากับ 100 และ 10 ตามลําดับ แลว a + b มีคาเทาใด 1) 70 2) 50 3) 30 4) 10

เฉลย 1. 2)

2. 3)

3. 1)

คณิตศาสตร (134)_____________________________


ลําดับและอนุกรม (Sequence and Series) 1. ลําดับ อนันต)

คือ ฟงกชันที่มีโดเมนเปนเซตของจํานวนนับ n ตัวแรก (ลําดับจํากัด) หรือเซตของจํานวนนับ (ลําดับ

การเขียนลําดับ เขียนได 3 แบบ คือ เขียนแบบเซต เขียนแบบแจกแจงเฉพาะคาของลําดับ เขียนแบบ พจนทั่วไป ลิมิตของลําดับ 1. ลําดับที่จะนํามาพิจารณาตองเปนลําดับอนันต 2. ลิมิตของลําดับ (an) มีคาเปนจํานวนจริง L เขียนแทนดวย lim a n = L ก็ตอเมื่อ เมื่อ n มีคา

n →∞ มากขึ้น an จะมีคาเขาใกลหรือเทากับ L ( lim a n = L ↔ ∀∈ > 0 ∃n0 ∈ N, n ≥ n0 → |an - L| < ∈) n →∞ 3. ถา lim a n = L (L ∈ R) แลว จะกลาววา ลําดับ an ลูเขา (converge) สู L และถาลําดับ (an) n →∞

ไมมีลิมิตแลวเราจะกลาววา ลําดับ an ลูออก (diverge) (ถาลิมิตของลําดับมีคาแลว จะมีไดคาเดียว) ทฤษฎีบท กําหนดให c เปนคาคงตัวใดๆ lim a n = A, lim b n = B 1. lim c = c

n →∞

n →∞

n →∞

2. lim c ⋅ an = cA n →∞

3. lim (an + bn) = A + B n →∞

4. lim (an ⋅ bn) = AB n →∞

5. lim k a n = k A (เมื่อ k เปนคาคงที่และทุกเทอมมีความหมาย) n →∞ a 6. lim bn = AB (เมื่อทุกเทอมมีความหมาย) n →∞ n หมายเหตุ p(x) โดยที่ p(x) และ q(x) เปนพหุนาม 1. ถา an = q(x) ถา deg p(x) = deg q(x) จะได lim a n = AB เมื่อ A และ B คือ สัมประสิทธิ์ของ x กําลังสูงสุด n →∞ ของพหุนาม p(x) และ q(x) ตามลําดับ ถา deg p(x) > deg q(x) จะได lim a n ลูออก n →∞

ถา deg p(x) < deg q(x) จะได lim a n = 0 n →∞ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

_____________________________ คณิตศาสตร (135)

2. ถา an อยูในรูปแบบของฟงกชันชี้กําลัง ใหดึงตัวรวมและใชขอเท็จจริงที่วา lim a n = 0 เมื่อ 0 < a < 1 n →∞

3. ใชคอนจูเกต ลําดับเลขคณิต คือ ลําดับที่มีผลตางของพจนที่ n + 1 กับพจนที่ n เปนคาคงที่เสมอ เรียกผลตางที่คงที่นี้วา ผลตางรวม แทนดวย d (d = an + 1 - an) พจนทั่วไปของลําดับเลขคณิต an = a1 + (n - 1)d ลําดับเรขาคณิต คือ ลําดับที่มีอัตราสวนของพจนที่ n + 1 กับพจนที่ n เปนคาคงที่เสมอ เรียกอัตราสวนที่คงที่นี้วา a อัตราสวนรวม แทนดวย r (r = an +1 ) n พจนทั่วไปของลําดับเรขาคณิต an = a1 ⋅ rn-1

2. อนุกรม คือลําดับของผลบวกยอย เรียก sn วาผลบวกยอย n พจนแรกของลําดับ (an)

N

อนุกรมที่เกิดจากลําดับจํากัด เรียก อนุกรมจํากัด sn = a1 + a2 + ... + an = ∑ a i i =1

∞

อนุกรมที่เกิดจากลําดับอนันต เรียก อนุกรมอนันต lim s n = s∞ = a1 + a2 + ... = ∑ a i n →∞ i =1

โดยถา lim s n มีคา จะกลาววาอนุกรมลูเขา และมีผลบวกเทากับคาของลิมิตนั้น และถา lim s n หา n →∞

คาไมไดจะกลาววาอนุกรมลูออก อนุกรมเลขคณิต ผลบวก n พจนแรกของอนุกรมเลขคณิต อนุกรมเรขาคณิต ผลบวก n พจนแรกของอนุกรมเรขาคณิต

n →∞

sn = n2 (2a1 + (n - 1)d) = n2 (a1 + an)

sn = ผลบวกอนันตพจนของอนุกรมเรขาคณิต lim s n = n →∞

a1 (1 - r n ) 1 - r เมื่อ r ≠ 1 ∞

∑ ai i =1

a = 1 -1 r ก็ตอเมื่อ |r| < 1

∞

lim s = ∑ a i ลูออก ก็ตอเมื่อ |r| ≥ 1 n →∞ n i =1 อนุกรมผสม ใชเทคนิคคูณตลอดดวย r อนุกรมที่อยูในรูปเศษสวนยอย ปรับแตละพจนใชอยูในรูปเศษสวนยอย

คณิตศาสตร (136)_____________________________


อนุกรมพี ∞

∑ 1p n =1 n

ลูเขา ก็ตอเมื่อ p > 1

∑ 1p n =1 n

ลูออก ก็ตอเมื่อ p ≤ 1

∞

สัญลักษณแทนการบวก n

1. ∑ c = nc 2. 3. 4. 5. 6.

i =1 n n ∑ cx i = c ∑ x i i =1 i =1 n n n ∑ (x i ± y i ) = ∑ x i ± ∑ y i i =1 i =1 i =1 n n(n + 1) ∑i = 2 i =1 n n(n + 1)(2n + 1) ∑ i2 = 6 i =1  n 2 n 3 ∑ i =  ∑ i  = 14 (n(n + 1))2  i =1  i =1  

ทฤษฎีบท

∞

∞

1. ถา ∑ a n เปนอนุกรมลูเขา แลว lim a n = 0 หรือ ถา lim a n ≠ 0 แลว ∑ a n ลูออก n →∞ n →∞ n =1 n =1 ∞

∞

∞

2. ถา ∑ a n และ ∑ b n เปนอนุกรมลูเขา แลวสําหรับจํานวนจริง c, d ใดๆ จะไดวา ∑ (ca n ± db n ) n =1 n =1 i =1 ∞

∞

∞

n =1

n =1

เปนอนุกรมลูเขาดวย โดยที่ ∑ (ca n ± db n ) = c ∑ a n ± d ∑ b n 3. กําหนดให ∞

n =1 0 ≤ an ≤ bn จะไดวา ∞

ถา ∑ b n ลูเขา แลว ∑ a n จะลูเขาดวย n =1 ∞

n =1 ∞

ถา ∑ a n ลูออก แลว ∑ b n จะลูออกดวย n =1 n =1


_____________________________ คณิตศาสตร (137)

แบบฝกหัด 2 1. ถา lim n 2b + 1 = 1 แลวผลบวกของอนุกรม n →∞ 2n a - 1 1) 13 2) 23 a 2. กําหนดให an เปนลําดับที่สอดคลองกับ an + 2 n 2552 แลว ∑ a n n =1 1275 1) 2 - 1

 ∑  n = 1 ∞

n   2 + 

ab

a2 b

3) 1

เทากับขอใดตอไปนี้ 4) หาคาไมได

= 2 สําหรับทุกจํานวนนับ n

10

ถา ∑ a n = 31 n =1

เทากับขอใดตอไปนี้ 2) 21276 - 1

3) 22551 - 1

4) 22552 - 1

∞

3. ถา a1, a2, a3, ... เปนลําดับเรขาคณิตซึ่ง ∑ a n = 4 แลวคามากที่สุดที่เปนไปไดของ a2 เทากับขอใด n =1

ตอไปนี้ 1) 4 2) 2 3) 1 4) หาคาไมไดเพราะ a2 มีคามากไดอยางไมมีขีดจํากัด 4. กําหนดแบบรูป 1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, ... จํานวนในพจนที่ 5060 ของรูปแบบนี้มีคา เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 1 2) 10 3) 100 4) 1000 5. กําหนดให an เปนลําดับเลขคณิตที่สอดคลองกับเงื่อนไข lim  an n- a1  = 5 ถา a9 + a5 = 100 n→∞ แลว a100 เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 500 2) 515 3) 520 4) หาไมไดเพราะขอมูลไมเพียงพอ   n→∞ 

6. ถา A = lim

1) 0

  มีคาเปนจํานวนจริงบวกแลว แลวคาของ A เทากับขอใดตอไปนี้ 2nk 1 + 8 + 27 + ... + n3  2) 2 3) 4 4) 8

∞

∞ 1 = A แลว ∑ 1 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 4 2 n n n n =2 n =2 2 2) 54 + A 3) 34 - A 1) 34 + A

7. ถา ∑

คณิตศาสตร (138)_____________________________

4) 54 - A


8. กําหนดให an เปนลําดับซึ่งสอดคลองกับเงื่อนไข a1 + a 1 = 1 สําหรับทุกจํานวนนับ n n n +1 ถา a1 + a2 + ... + a100 = 250 แลว |a2552 - 2.5| มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 2) 2 + 5 3) 25 4) 2 5 1) 1 + 5 9. พิจารณาขอความตอไปนี้

ก. ถาลําดับ an ลูเขา แลวอนุกรม ข. ถาอนุกรม

∞

∑ an n =1

ขอใดตอไปนีเ้ ปนจริง 1) ก. และ ข. ถูก 3) ก. ผิด และ ข. ถูก

∞

∑ an n =1

ลูเขา ∞ 

ลูเขา แลวอนุกรม ∑  1 + ann  ลูเขา n =1  2 

2  2 10. ถา an เปนลําดับเลขคณิตซึ่ง lim  a n + 1n - a n  n → ∞ 

1) 2 11.

2

2) 2 2



2) ก. ถูก และ ข. ผิด 4) ก. และ ข. ผิด a -a = 4 แลว 17 2 9 มีคาเทาใด 3)

4)

2

  lim  3n + 12n + 27n + ...+3 3n3  มีคาเทาใด n → ∞  1 + 8 + 27 +...+ n  1) 6 2) 5 3) 4

2

2

4) 3

เฉลย 1. 2) 11. 3)

2. 2)

3. 3)

4. 2)

5. 2)


6. 4)

7. 3)

8. 3)

9. 4)

10. 1)

_____________________________ คณิตศาสตร (139)

แคลคูลัส (Calculus) 1. ลิมิตและความตอเนื่องของฟงกชัน เมื่อ x มีคาเขาใกลจํานวนจริง a ทางดานซายของเสนจํานวน (x < a) แลวคาของ f(x) เขาใกลจํานวน จริง L จะกลาววา L เปนลิมิตซายของ f ที่ a แทนดวยสัญลักษณ lim f(x) = L1 x →a

เมื่อ x มีคาเขาใกลจํานวนจริง a ทางดานขวาของเสนจํานวน (x > a) แลวคาของ f(x) เขาใกลจํานวน จริง L จะกลาววา L เปนลิมิตขวาของ f ที่ a แทนดวยสัญลักษณ lim f(x) = L2 x →a +

ถาลิมิตทางซายและลิมิตทางขวาของฟงกชัน f เทากัน และมีคาเทากับ L จะกลาววา ฟงกชัน f มีลิมิตเปน L ที่ a แทนดวยสัญลักษณ lim f(x) = L x→a

ถาลิมิตทางซายไมเทากับลิมิตทางขวา หรือลิมิตขางใดขางหนึ่งหาคาไมได จะกลาววา ฟงกชัน f ไมมีลิมิตที่ a ทฤษฎีบทของลิมิต กําหนดให a เปนจํานวนจริงใดๆ f และ g เปนฟงกชันที่มีลิมิตที่จุด a จะไดวา 1. lim c = c เมื่อ c เปนคาคงตัวใดๆ x →a

2. lim x = a x →a

3. lim x n = an เมื่อ n ∈ N x →a

4. lim cf(x) = c lim f(x) เมื่อ c เปนคาคงตัวใดๆ x →a

x →a

5. lim (f(x) ± g(x)) = lim f(x) x→a

±

x→a

lim g(x)

x→a

6. lim (f(x) ⋅ g(x)) = lim f(x) ⋅ lim g(x) x→a

x→a

x→a

lim f(x)  x f(x)  7. lim g(x)  = → a เมื่อ lim g(x) ≠ 0 lim g(x)  x→a    x → a

8. lim

x →a

x→a

(f(x)) n

(

    x→ a

= lim f(x)

   

n

เมื่อ n ∈ N

9. lim n f(x) = n lim f(x) เมื่อ n ∈ N และ lim f(x) ≥ 0 x →a

x→a

n



n m

 x→ a



10. lim (f(x)) m =  lim f(x)  x →a

(

x →a

เมื่อ n, m ∈ N และ lim f(x) ≥ 0

11. ถา f เปนฟงกชันพหุนาม นั่นคือ f(x) = เปนคาคงตัวโดย an ≠ 0 จะไดวา lim f(x) = f(a)

anxn

+

x →a n an-1x 1 + ...

+ a1x + a0 เมื่อ a0, a1, a2, ..., an

x →a

คณิตศาสตร (140)_____________________________


ตอไปนี้

ความตอเนื่องของฟงกชัน นิยาม ให a เปนจํานวนจริงใดๆ ฟงกชัน f เปนฟงกชันตอเนื่องที่จุด a ก็ตอเมื่อ ฟงกชัน f มีสมบัติ

1. lim f(x) หาคาได x →a

2. f(a) หาคาได 3. lim f(x) = f(a) x →a

2. อัตราการเปลี่ยนแปลงของฟงกชัน นิยาม ถา y = f(x) เปนฟงกชันใดๆ และ h เปนจํานวนจริงที่ไมใชศูนย อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x ในชวง x ถึง x + h คือ f(x + h)h - f(x) อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ใดๆ คือ lim f(x + h)h - f(x) h →0

3. อนุพันธของฟงกชัน

นิยาม ถา y = f(x) เปนฟงกชันที่มีโดเมนและเรนจเปนสับเซตของจํานวนจริง และ lim f(x + h)h - f(x) h→0 dy d หาคาได เรียกคาลิมิตที่ไดนี้วา อนุพันธของฟงกชัน f ที่ x แทนดวย f ′(x) , dx f(x) และ dx ทฤษฎีบทของอนุพันธ dc = 0 เมื่อ c คือ คาคงตัวใดๆ 1. dx 2. dx dx = 1 d xn = nxn-1 เมื่อ n เปนจํานวนจริงใดๆ 3. dx d [f(x) ± g(x)] = d f(x) ± d g(x) 4. dx dx dx d d 5. dx cf(x) = c dx f(x) เมื่อ c คือ คาคงตัวใดๆ d [f(x)g(x)] = f(x) d g(x) + g(x) d f(x) 6. dx dx dx d d d  f(x)  = g(x) dx f(x) - f(x) dx g(x) เมื่อ g(x) ≠ 0 7. dx  g(x)  (g(x))2 d gof(x) = d g(y) d f(x) เมื่อ y = f(x) (กฎลูกโซ (Chain rule)) 8. dx dy dx d [f(x)]n = n[f(x)]n-1 d f(x) 9. dx dx


_____________________________ คณิตศาสตร (141)

อนุพันธอันดับสูงของฟงกชัน นิยาม ถา f′(x) หาอนุพันธไดแลวจะเรียกอนุพันธของ f′(x) วา อนุพันธอันดับสองของ f แทนดวย f ″(x), d 2 y , d2 f(x) ในทํานองเดียวกันเราสามารถนิยามอนุพันธอันดับ 3, 4, ... ของฟงกชัน ตลอดจนกําหนด dx 2 dx 2 สัญลักษณไดโดยวิธีเดียวกัน การประยุกตของอนุพันธ ความชันของเสนสัมผัสโคง ถา f เปนสมการเสนโคง ความชันของเสนตรงที่สัมผัสเสนโคงที่จุด (a, f(a)) คือ f ′(a) ฟงกชันเพิ่มและฟงกชันลด กําหนดให f มีโดเมนเปน Df ฟงกชัน f เปนฟงกชันเพิ่มบน (a, b) ⊂ Df ถา f ′(c) > 0 ทุก c ∈ (a, b) และฟงกชัน f เปนฟงกชันลดบน (a, b) ⊂ Df ถา f ′(c) < 0 ทุก c ∈ (a, b) คาสุดขีดของฟงกชัน กําหนดให f มีโดเมนเปน Df ฟงกชัน f มีคาสูงสุดสัมพัทธที่จุด x = c ถามีชวง (a, b) ⊂ Df และ c ∈ (a, b) ซึ่ง f (c) > f(x) สําหรับ ทุกๆ x ในชวง (a, b) ที่ x ≠ c ฟงกชัน f มีคาต่ําสุดสัมพัทธที่จุด x = c ถามีชวง (a, b) ⊂ Df และ c ∈ (a, b) ซึ่ง f (c) < f(x) สําหรับ ทุกๆ x ในชวง (a, b) ที่ x ≠ c นิยาม ถา f ′(c) = 0 แลวเราจะเรียก c วา คาวิกฤตของฟงกชัน f และเรียกจุด (c, f(c)) วา จุดวิกฤตของ f ทฤษฎีบท กําหนดให f เปนฟงกชันตอเนื่องใดๆ บน (a, b) ⊂ Df และ c เปนคาวิกฤตของ f แลว ถา f ″(c) < 0 แลว f(c) เปนคาสูงสุดสัมพัทธ ถา f″(c) > 0 แลว f(c) เปนคาต่ําสุดสัมพัทธ โจทยปญหาคาสุดขีด ทําความเขาใจปญหาเพื่อสรางฟงกชัน f(x) โดยให f(x) เปนสิ่งที่โจทยตองการทราบ คาสุดขีด และตัวแปร x คือสิ่งที่สงผลตอคาสุดขีดนั้น

4. การอินทิเกรต นิยาม ฟงกชัน F เปนปฏิยานุพันธของฟงกชัน f เมื่อ F ′(x) = f(x) สําหรับทุกคา x ∈ Df ใช ∫ f(x)dx แทน F(x) + c เมื่อ c เปนคาคงตัวใดๆ และเรียก ∫ f(x)dx วา อินทิกรัลไมจํากัดเขตของฟงกชัน f ทฤษฎีบท 1. ∫ kdx = kx + c เมื่อ k และ c เปนคาคงตัว n +1 2. ∫ xndx = xn + 1 + c เมื่อ n ≠ -1 3. ∫ kf(x)dx = k∫ f(x)dx เมื่อ k เปนคาคงตัว 4. ∫ (f(x) ± g(x))dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx

คณิตศาสตร (142)_____________________________


อินทิกรัลจํากัดเขต นิยาม ให f เปนฟงกชันตอเนื่องบนชวง [a, b] ถา F เปนฟงกชันที่มีอนุพันธบนชวง [a, b] โดยที่ F ′(x) = f(x) แลว ∫

b

b f(x)dx a

= F(b) - F(a)

เรียก ∫ f(x)dx วา อินทิกรัลจํากัดเขตของฟงกชัน f บน [a, b] ใชสัญลักษณ F(x) ab แทน F(b) - F(a) a ทฤษฎีบท b

b

1. ∫ kf(x)dx = k ∫ f(x)dx เมื่อ k เปนคาคงตัว a a b

b

2. ∫ (f(x) ± g(x))dx = ∫ f(x)dx a a b

c

b

±

∫

b

a

g(x)dx

3. ∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx เมื่อ c ∈ (a, b) a a c b

a

4. ∫ f(x)dx = - ∫ f(x)dx a b พื้นที่ที่ปดลอมดวยเสนโคง นิยาม กําหนดใหฟงกชัน f(x) ตอเนื่องบน [a, b] พื้นที่ปดลอมดวยเสนโคงของ f(x) จาก x = a ถึง x = b หมายถึง พื้นที่ของบริเวณที่ลอมรอบดวยกราฟของ f แกน X เสนตรง x = a และเสนตรง x = b ทฤษฎีบท กําหนดใหฟงกชัน f ตอเนื่องบน [a, b] และ A เปนพื้นที่ที่ปดลอมดวยเสนโคงของ f จาก x = a ถึง x = b จะหาไดจากสูตรตอไปนี้ b

1. ถา f(x) ≥ 0 สําหรับทุก x ในชวง [a, b] และ A = ∫ f(x)dx a b a

2. ถา f(x) ≤ 0 สําหรับทุก x ในชวง [a, b] และ A = - ∫ f(x)dx


_____________________________ คณิตศาสตร (143)

แบบฝกหัด 1. กําหนดให A แทนพื้นที่ของอาณาบริเวณที่ปดลอมดวยเสนโคง y = 1 - x2 และแกน X 2 B แทนพื้นที่ของอาณาบริเวณที่ใตเสนโคง y = x4 เหนือแกน X จาก x = -c ถึง x = c คาของ c ที่ทําให A = B เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 2 2) 2 3) 2 2 4) 4 2. กําหนดให f(x) = x4 - 3x2 + 7 f เปนฟงกชันเพิ่มบนเซตในขอใดตอไปนี้ 1) (-3, -2) U (2, 3) 2) (-3, -2) U (1, 2) 3) (-1, 0) U (2, 3) 4) (-1, 0) U (1, 2) 3. ถา f′(x) = 12

1) 1

    

1 x



+

1  แลวคาของ lim f(1 + h) - f(1) เทากับขอใดตอไปนี้  h →0 f(4 + h) - f(4) x 3  3) 75 4) 51 2) 16 5 1

4. ถา f′(x) = 3x2 + x - 5 และ f(0) = 1 แลว ∫ f(x)dx มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ -1

2) 73 3) 23 4) 13 1) 53 5. ถา f, g และ h สอดคลองกับ f(1) = g(1) = h(1) = 1 และ f′(1) = g′(1) = h′(1) = 2 แลวคาของ (fg + h)′(1) เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 1 2) 2 3) 4 4) 6 6. เสนตรงซึ่งตัดตั้งฉากกับเสนสัมผัสของเสนโคง y = 2x3 - 1 ที่จุด x = 1 คือเสนตรงในขอใดตอไปนี้ x 1) 13x - 2y - 11 = 0 2) 13x + 2y - 15 = 0 3) 2x - 13y - 11 = 0 4) 2x + 13y - 15 = 0 7.

1

ถา f′(x) = x2 - 1 และ ∫ f(x)dx = 0 แลว |f(1)| มีคาเทากับเทาใด 0

1) 0.25

2) 0.50

3) 0.75

4) 1.00

8. ถา f(x) = ax2 + b x เมื่อ a และ b เปนจํานวนจริงที่ b ≠ 0 ถา 2f′(1) = f(1) แลว f'f(4) (9) มีคาเทาใด 1) 8 2) 12 3) 16 4) 20 9. กําหนดให y = f(x) เปนฟงกชันซึ่งมีคาสูงสุดที่ x = 1 ถา f"(x) = -4 ทุก x และ f(-1) + f(3) = 0 แลว f มี คาสูงสุดเทาใด 1) 38 2) 28 3) 18 4) 8

คณิตศาสตร (144)_____________________________


เฉลย 1. 2)

2. 3)

3. 2)

4. 2)

5. 4)


6. 4)

7. 1)

8. 2)

9. 4)

_____________________________ คณิตศาสตร (145)

วิธีเรียงสับเปลี่ยน วิธีจัดหมู และความนาจะเปน (Permutation, Combination, and Probability) 1. หลักการเบื้องตนเกี่ยวกับการนับ กฎการบวก ถาการทํางานหนึ่งอยางแบงออกเปน n กรณียอยโดยในแตละกรณีเปนการทํางานที่เสร็จสิ้น จํานวนวิธีในการทํางานจะเทากับผลรวมของจํานวนวิธีของทุกกรณี กฎการคูณ 1. ถางานที่ทําแบงออกเปนสองขั้นตอน โดยงานขั้นตอนแรกเลือกทําได n1 วิธี และในแตละวิธีในการ เลือกทํางานอยางแรกนี้สามารถเลือกทํางานอยางที่สองได n2 วิธี จํานวนวิธีที่จะเลือกทํางานชิ้นนี้ คือ n1n2 วิธี 2. ถางานที่ทําแบงออกเปน k ขั้นตอน โดยงานขั้นตอนแรกเลือกทําได n1 วิธี และในแตละวิธีในการเลือก ทํางานอยางแรกนี้สามารถเลือกทํางานอยางที่สองได n2 วิธี ในแตละวิธีในการเลือกทํางานอยางที่สองสามารถ เลือกทํางานอยางที่สามได n3 วิธี ฯลฯ จํานวนวิธีที่จะเลือกทํางานชิ้นนี้ คือ n1n2n3 ... nk วิธี นิยาม กําหนดให n ∈ N n! = 1 × 2 × 3 × 4 × ... × n และ 0! = 1

2. วิธีเรียงสับเปลี่ยนและวิธีจัดหมู กฎขอที่ 1 กฎขอที่ 2 nP = n! r (n - r)! กฎขอที่ 3 กฎขอที่ 4

จํานวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของสิ่งของ n สิ่งที่แตกตางกันทั้งหมด เทากับ n! จํานวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของสิ่งของ n สิ่งที่แตกตางกันโดยนํามาเรียงแค r สิ่ง (r ≤ n) คือ จํานวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมของสิ่งของ n สิ่งที่แตกตางกันทั้งหมด เทากับ (n - 1)! ถามีสิ่งของอยู n สิ่ง ในจํานวนนี้มี n1 สิ่งที่เหมือนกันอยูกลุมที่หนึ่ง n2 สิ่งที่เหมือนกันอยูกลุมที่สอง M

nk สิ่งที่เหมือนกันอยูกลุมที่ k โดยที่ n1 + n2 + ... + nk = n จํานวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของสิ่งของทั้ง n สิ่ง เทากับ n !n n!! ... n ! 1 2 k

n กฎขอที่ 5 จํานวนวิธีเลือกสิ่งของ n สิ่งที่แตกตางกัน ที่ละ r สิ่ง (r ≤ n) เทากับ  r  = nCr =  

n! (n - r)!r! เทคนิค

การนับจํานวนฟงกชัน, คอมพลีเมนท, การจัดเรียงของใหติดกันโดยการมัด

คณิตศาสตร (146)_____________________________


3. ความนาจะเปน การทดลองสุม คือ การทดลองใดๆ ซึ่งทราบวาผลลัพธอาจเปนอะไรไดบาง แตไมสามารถทํานายผล ลวงหนาได แซมเปลสเปซ คือ เซตที่มีสมาชิกเปนผลลัพธที่เปนไปไดทั้งหมดของการทดลองสุม เหตุการณ คือ สับเซตของแซมเปลสเปซ ความนาจะเปนของเหตุการณ E แทนดวย P(E) = n(E) n(S) สมบัติบางประการของความนาจะเปน 1. 0 ≤ P(E) ≤ 1 2. P(φ) = 0 3. P(S) = 1 4. P(E1 U E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1 I E2) 5. P(E1 U E2 U E3) = P(E1) + P(E2) + P(E3) - P(E1 I E2) - P(E1 I E3) - P(E2 I E3) + P(E1 I E2 I E3) 6. P(E) = 1 - P(E′)

4. ทฤษฎีบททวินาม n n n n n (a + b)n =  0  anb0 +  1  an-1b1 +  2  an-2b2 + ... +  n - 1  a1bn-1 +  n  a0bn           n เรียก  r  วาสัมประสิทธิ์ทวินาม   ขอสังเกต 1. การกระจาย (a + b)n จะได n + 1 พจน 2. ในแตละพจนผลรวมของกําลังของ a และ b จะไดเทากับ n 3. พจนทั่วไปของการกระจาย (a + b)n

Tr+1 =


  

n  n-r r r  a b

_____________________________ คณิตศาสตร (147)

แบบฝกหัด 1. กําหนดให A = {1, 2, 3, 4} และ B = {a, b, c} เซต S = {f|f : A → B เปนฟงกชันทั่วถึง} มีจํานวน สมาชิกเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 12 2) 24 3) 36 4) 39 2. คุณลุง คุณปา ลูกชาย และลูกสาว มาเยี่ยมครอบครัวเราซึ่งมี 4 คน คือ คุณพอ คุณแม ตัวฉัน และนองชาย ในการ จัดที่นั่งรอบโตะอาหารกลมที่มี 8 ที่นั่ง โดยใหคุณลุงนั่งติดกับคุณพอ คุณปานั่งติดกับคุณแม ลูกชายของคุณลุง นั่งติดกับนองชายของฉัน และลูกสาวของคุณลุงนั่งติดกับฉัน จะมีจํานวนวิธีจัดไดเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 96 วิธี 2) 192 วิธี 3) 288 วิธี 4) 384 วิธี 3. ขาวสารบรรจุถุงแลวกองหนึ่งประกอบดวย ขาวหอมมะลิ 4 ถุง ขาวเสาไห 3 ถุง ขาวขาวตาแหง 2 ถุง และ ขาวบัสมาตี 1 ถุง สุมหยิบขาวจากกองนี้มา 4 ถุง ความนาจะเปนที่จะไดขาวครบทุกชนิด เทากับขอใด ตอไปนี้ 4 3 2) 35 3) 52 4) 14 1) 35 4. กิตติและสมาน กับเพื่อนๆ รวม 7 คน ไปเที่ยวตางจังหวัดดวยกัน ในการคางแรมที่มีบานพัก 3 หลัง หลังแรกพักได 3 คน สวนหลังที่สองและหลังที่สามพักไดหลังละ 2 คน ซึ่งแตละหลังมีความแตกตางกัน พวกเขาจึงตกลงที่จะจับสลากวาใครจะไดพักที่บานหลังใด ความนาจะเปนที่กิตติและสมานจะไดพักบานหลัง เดียวกันในหลังที่หนึ่งหรือหลังที่สาม เทากับขอใดตอไปนี้ 4 5 8 2) 21 3) 21 4) 10 1) 21 21 5. กําหนดให n เปนจํานวนนับ ในการสุมหยิบเลข n จํานวนพรอมๆ กันจากเซต {1, 2, ..., 2n} ถาความนาจะเปน 1 แลว ความนาจะเปนที่จะไดเลขคูเพียง 1 จํานวนเทากับขอใดตอไปนี้ ที่จะไดเลขคูทั้งหมดเทากับ 20 1 3 9 11 2) 20 3) 20 4) 20 1) 20 6. ตองการสรางจํานวนคูบวก 4 หลัก จากเลขโดด 0, 1, 2, 3, 7, 8 โดยแตละจํานวนที่สรางขึ้นไมมีเลขโดดใน หลักใดที่ซ้ํากันเลย จะมีจํานวนวิธีที่สรางไดเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 180 2) 156 3) 144 4) 136 7. จํานวนเต็มที่มีคาตั้งแต 100 ถึง 999 ที่หารดวย 2 ลงตัว แตหารดวย 3 ไมลงตัว มีจํานวนเทากับขอใด ตอไปนี้ 1) 250 2) 283 3) 300 4) 303 8. ถุงใบหนึ่งบรรจุลูกกวาดรสสตรอเบอรี่ 5 ลูก รสชอคโกแลต 4 ลูก รสกาแฟและรสมินทอยางละ 2 ลูก หาก สุมหยิบลูกกวาดจากถุงใบนี้มา 3 ลูก ความนาจะเปนที่จะหยิบไดลูกกวาดตางรสกันทั้งหมดเทากับขอใด ตอไปนี้ 57 58 59 60 2) 143 3) 143 4) 143 1) 143 คณิตศาสตร (148)_____________________________


9. กําหนดให A = {(0, n) | n = 1, 2, ..., 10} และ B = {(1, n) | n = 1, 2, ..., 10} ในการเลือกจุดสอง จุดที่แตกตางกันจากเซต A และอีกหนึ่งจุดจากเซต B เพื่อเปนจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมบนระนาบ ความ นาจะเปนจะไดรูปสามเหลี่ยมที่มีพื้นที่ 1 ตารางหนวย เทากับขอใดตอไปนี้ 8 9 2) 45 3) 10 4) 11 1) 45 45 45 10. ในลิ้นชักมีถุงเทาสีขาว 4 คู สีดํา 3 คู และสีน้ําเงิน 2 คู แตไมไดจัดเรียงไวเปนคูๆ ถาสุมหยิบถุงเทามา 2 ขาง ความนาจะเปนที่จะไดถุงเทาสีเดียวกันเทากับขอใดตอไปนี้ 43 49 2) 23 3) 153 4) 153 1) 12 11. ถุงใบหนึ่งบรรจุลูกแกวสีแดง 5 ลูก สีเขียว 4 ลูก และสีเหลือง 3 ลูก ถาหยิบลูกแกวจากถุงทีละลูก 3 ครั้ง โดยไมใสคืน แลวความนาจะเปนที่จะหยิบไดลูกแกว ลูกที่หนึ่ง สอง และสาม เปนสีแดง สีเขียว และสีเหลือง ตามลําดับเทากับขอใดตอไปนี้ 1 1 3 3 1) 21 2) 22 3) 22 4) 25 12. ในการโยนลูกเตา 2 ลูกหนึ่งครั้ง ความนาจะเปนที่จะไดแตมรวมเปน 7 โดยที่มีลูกเตาลูกหนึ่งขึ้นแตมไมนอย กวา 4 เทากับขอใดตอไปนี้ 1 1) 13 2) 14 3) 61 4) 12 13. มีสิ่งของซึ่งแตกตางกันอยู 8 ชิ้น ตองแบงใหคน 2 คน คนหนึ่งได 6 ชิ้น และอีกคนหนึ่งได 2 ชิ้น จะมีจํานวน วิธีแบงกี่วิธี 1) 56 2) 128 3) 270 4) 326 14. ในการแขงขันฟุตบอลฤดูกาลหนึ่ง มีทีมเขารวมการแขงขัน 7 ทีม จัดแขงแบบพบกันหมด (แตละทีมตองลง แขงกับทีมอื่นทุกทีม) จะตองจัดการแขงขันอยางนอยกี่นัด 1) 7 2) 14 3) 21 4) 28

เฉลย 1. 3) 11. 2)

2. 1) 12. 3)

3. 1) 13. 1)

4. 1) 14. 3)

5. 3)


6. 2)

7. 3)

8. 2)

9. 1)

10. 4)

_____________________________ คณิตศาสตร (149)

สถิติ (Statistics) 1. ขอมูล ขอมูลที่ใชในการวิเคราะหทางสถิติมีสองประเภท คือ ขอมูลที่ไมไดแจกแจงความถี่ ซึ่งจะเห็นคาของขอมูล ทุกตัวและขอมูลที่แจกแจงความถี่ จะเห็นเปนอันตรภาคชั้น ความกวางของอันตรภาพชั้น = ขอบบน - ขอบลาง ขอบบน + ขอบลาง จุดกึ่งกลางอันตรภาคชั้น = 2

2. การวัดแนวโนมเขาสูสวนกลาง 1. คาเฉลี่ยเลขคณิต, Mean, x x ของขอมูลที่ไมแจกแจงความถี่ x ของขอมูลที่แจกแจงความถี่

ขอสังเกต 1.

2. 3.

x =

N ∑ xi i=1

x =

K ∑ fi x i i=1

N ∑ xi = N x i=1 N ∑ (x i - x ) = 0 i=1 N 2 ∑ (x i - a ) มีคานอยที่สุดเมื่อ i=1

N

N

a= x

4. ถา x1, x2, x3, ... , xn มีคาเฉลี่ยเลขคณิตเปน x x1 + k, x2 + k, x3 + k, ... , xn + k มีคาเฉลี่ยเลขคณิตเปน x + k x1k, x2k, x3k, ..., xnk มีคาเฉลี่ยเลขคณิตเปน x k N x +N x 5. x รวม = 1N 1 + N2 2 2 2

คณิตศาสตร (150)_____________________________


2. มัธยฐาน, Median, Me Me สําหรับขอมูลที่ไมแจกแจงความถี่ Me = คาของขอมูลตําแหนงตรงกลาง (ตัวที่ N 2+ 1 ) เมื่อเรียงลําดับขอมูลแลว Me สําหรับขอมูลที่แจกแจงความถี่  N - ∑ f  L Me = L +  2 f I M ขอสังเกต 1. การหามัธยฐานมีสองขั้นตอน คือ หาตําแหนง และหาคาโดยใชสูตรหรือการเทียบบัญญัติไตรยางค N

2. ∑ | x i - a | มีคานอยสุดเมื่อ a = Me i=1

3. ฐานนิยม, Mode, Mo Mo สําหรับขอมูลที่ไมแจกแจงความถี่ Mo สําหรับขอมูลที่แจกแจงความถี่

Mo = คาของขอมูลที่มีความถี่มากที่สุด

Mo = จุดกึ่งกลางของชั้นที่มีความถี่สูงสุด (แบบหยาบ)   (แบบละเอียด) = L +  d d+1 d  I 2  1 ขอสังเกต 1. ใชไดกับขอมูลเชิงคุณภาพ 2. ถาแตละอันตรภาคชั้นมีความกวางตางกัน ตองถวงดวยน้ําหนักของความกวางดวย 4. ความสัมพันธของ x , Me และ Mo x = Me = Mo

x > Me > Mo

x < Me < Mo

โคงปกติ

โคงเบขวา

โคงเบซาย


_____________________________ คณิตศาสตร (151)

3. การวัดตําแหนงของขอมูล เราจะมองการวัดตําแหนงของขอมูลเปนเหมือนภาคขยายของการหามัธยฐาน ซึ่งมีสองขั้นตอนคือ การหา ตําแหนงและการหาคา 1. ควอรไทล (Quartiles) คือ การแบงขอมูลออกเปน 4 สวนเทาๆ กัน โดย Q1, Q2, และ Q3 คือ คะแนนของตัวแบงทั้ง 3 ตัว Qr ของขอมูลที่ไมแจกแจงความถี่ การหาตําแหนง : ตําแหนงของ Qr คือ r(N 4+ 1) การหาคา : ใชการเทียบบัญญัติไตรยางค Qr ของขอมูลที่แจกแจงความถี่ การหาตําแหนง : ตําแหนงของ Qr คือ rN 4  rN - ∑ fL    4 I การหาคา : Qr = L + fM 2. เดไซล (Deciles) คือ การแบงขอมูลออกเปน 10 สวนเทาๆ กัน โดย D1, D2, ..., D9 คือ คะแนนของ ตัวแบงทั้ง 9 ตัว Dr ของขอมูลที่ไมแจกแจงความถี่ การหาตําแหนง : ตําแหนงของ Dr คือ r(N10+ 1) การหาคา : ใชการเทียบบัญญัติไตรยางค Dr ของขอมูลที่แจกแจงความถี่ การหาตําแหนง : ตําแหนงของ Dr คือ rN 10  rN - ∑ fL    10 I การหาคา : Dr = L + fM 3. เปอรเซ็นไทล (Percentiles) คือ การแบงขอมูลออกเปน 100 สวนเทาๆ กัน มี P1, P2, ..., P99 คือ คะแนนของตัวแบงทั้ง 99 ตัว Pr ของขอมูลที่ไมแจกแจงความถี่ การหาตําแหนง : ตําแหนงของ Pr คือ r(N100+ 1) การหาคา : ใชการเทียบบัญญัติไตรยางค Pr ของขอมูลที่แจกแจงความถี่ rN การหาตําแหนง : ตําแหนงของ Pr คือ 100  rN - ∑ fL    100 I การหาคา : Pr = L + fM

คณิตศาสตร (152)_____________________________


4. การวัดการกระจายของขอมูล 1. การวัดการกระจายสัมบูรณ (Absolute Variation) ใชเพื่อวัดการกระจายของขอมูลชุดเดียว 1.1 พิสัย (Range) Range = xmax - xmin 1.2 สวนเบี่ยงเบนควอรไทล (Quatile Deviation) Q 3 - Q1 Q.D. = 2 1.3 สวนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (Mean Deviation) N ∑ | xi - x | i=1

M.D. = N 1.4 สวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation)

N 2 ∑ (x i - x) i=1

N 2 ∑xi i =1

2 = N N -x 2. การวัดการกระจายสัมพัทธ (Relative Variation) ใชเพื่อตองการเปรียบเทียบการกระจายของขอมูล มากกวาหนึ่งชุด 2.1 สัมประสิทธิ์พิสัย x -x สัมประสิทธิ์พิสัย = x max + x min

S.D. =

max

min

2.2 สัมประสิทธิ์ควอรไทล Q -Q สัมประสิทธิ์ควอรไทล = Q 3 + Q1 3 1 2.3 สัมประสิทธิ์สวนเบี่ยงเบนเฉลี่ย สัมประสิทธิ์สวนเบี่ยงเบนเฉลี่ย = M.D. x 2.4 สัมประสิทธิ์การแปรผัน สัมประสิทธิ์การแปรผัน = S.D. x 2 ขอสังเกต 1. ความแปรปรวน (Variance) = S.D. = S2 2. S.D. ≥ 0 3. S.D. = 0 ↔ x1 = x2 = ... = xn = x 4. ถา x1, x2, ..., xn มีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเปน S.D. ความแปรปรวนเปน S.D.2 x1 + k, x2 + k, ..., xn + k มีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเปน S.D. ความแปรปรวนเปน S.D.2 x1k, x2k, ..., xnk มีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเปน S.D.|k| ความแปรปรวนเปน S.D.2k2


_____________________________ คณิตศาสตร (153)

5. คามาตรฐาน

xi - x zi = S.D. ขอสังเกต 1. ขอมูลที่มีการแจกแจงปกติจะมี x = Me = Mo 2. พื้นที่ใตโคงปกติเทากับ 1 หรือ 100% ซึ่งคือปริมาณขอมูลทั้งหมด 3. การแจกแจงปกติมาตรฐาน คือ การแจกแจงปกติที่มี x = 0 และ S.D. = 1 4. ถา z1, z2, z3, ..., zn จะมี x = 0 และ S.D. = 1 5. คา z สามารถเปนไดทั้งบวก (xi > x ) และลบ (xi < x ) 6. zi = 0 ↔ xi = x 7. โดยมาก -3 < zi < 3 8. มีความสัมพันธระหวาง คะแนนมาตรฐาน, คะแนนดิบ, คาเฉลี่ยเลขคณิต, สวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน, พื้นที่ใตโคงปกติมาตรฐาน, ปริมาณขอมูล, เปอรเซนไทล

คณิตศาสตร (154)_____________________________


แบบฝกหัด 1. ขอมูลชุดหนึ่งมี 99 จํานวน เรียงลําดับจากนอยไปมากไดเปน x1, x2, ..., x99 ถาคาเฉลี่ยเลขคณิตของขอมูล ชุดนี้เทากับมัธยฐาน แลวขอใดตอไปนี้ถูก 49

99

49

99

1) ∑ x i = ∑ x i

2) ∑ (x 50 - x i ) = ∑ (x 50 - x i )

3)

4)

i=1 i = 51 49 99 ∑ x50 - x i = ∑ x50 - x i i=1 i = 51

i=1 49 ∑ (x 50 i=1

i = 51 99 - x i ) 2 = ∑ (x 50 i = 51

- x i )2

2. โรงเรียนอนุบาลแหงหนึ่งมีนักเรียน 80 คน โดยการแจกแจงของอายุนักเรียนเปนดังตาราง

3.5 อายุ (ป) จํานวนนักเรียน (คน) a

4 15

4.5 10

5 20

5.5 b

6 5

ถาคาเฉลี่ยของอายุนักเรียนมีคา 4.5 ป แลวสวนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของอายุนักเรียนมีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 5 7 9 11 2) 16 3) 16 4) 16 1) 16 3. ถาตารางแจกแจงความถี่แสดงน้ําหนักของเด็กจํานวน 40 คน เปนดังนี้ น้ําหนัก (กิโลกรัม) 9-11 12-14 15-17 18-20 21-23

จํานวน 15 5 5 10 5

ถา x แทนคาเฉลี่ยของน้ําหนักเด็กกลุมนี้ แลวขอใดตอไปนี้ถูก 1) x = 17.444 และมัธยฐานนอยกวาฐานนิยม 2) x = 14.875 และมัธยฐานนอยกวาฐานนิยม 3) x = 17.444 และมัธยฐานมากกวาฐานนิยม 4) x = 14.875 และมัธยฐานมากกวาฐานนิยม 4. ขอมูลชุดหนึ่งมีการแจกแจงปกติ ถาหยิบขอมูล a, b, c, d มาคํานวณคามาตรฐาน ปรากฏวาไดคาดังตาราง ขอมูล คามาตรฐาน (z)

ขอใดตอไปนี้ถูก 1) -a + 2b + 2c - 3d = 0 3) a - 2b + 3c + 2d = 0 โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

a -3

b -0.45

c 0.45

d 1

2) -a + b + c - 3d = 0 4) a - b + c - d = 0 _____________________________ คณิตศาสตร (155)

5. ขอมูลความสูงของนักเรียนชั้น ม.6 โรงเรียนแหงหนึ่งมีการแจกแจงปกติ ถาจํานวนนักเรียนที่มีความสูง นอยกวา 140.6 เซนติเมตร มีอยู 3.01% และจํานวนนักเรียนที่มีความสูงมากกวาคามัธยฐานแตนอยกวา 159.4 เซนติเมตรมีอยู 46.99% แลวจํานวนนักเรียนที่มีความสูงไมนอยกวา 155 เซนติเมตร แตไมเกิน 160 เซนติเมตร มีเปอรเซ็นตเทากับขอใดตอไปนี้ เมื่อกําหนดตารางแสดงพื้นที่ใตเสนโคงปกติมาตรฐาน ระหวาง 0 ถึง z เปนดังนี้ z พื้นที่ใตเสนโคง

1.00 1.12 1.88 2.00 0.3413 0.3686 0.4699 0.4772

1) 12.86% 2) 13.14% 3) 15.87% 4) 13.59% 6. ถาความยาวรัศมีของวงกลม 10 วงมีคาเฉลี่ยเลขคณิตเทากับ 3 และมีความแปรปรวนเทากับ 5 แลวผลรวม ของพื้นที่วงกลมทั้ง 10 วงนี้ มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 90π 2) 95π 3) 140π 4) 340π 7. กําหนดตารางแจกแจงความถี่แสดงความสูงของนักเรียนในโรงเรียนแหงหนึ่ง เปนดังนี้ ความสูง (เซนติเมตร) 120-129 130-139 140-149 150-159 160-169

จํานวนนักเรียน (คน) 10 20 40 50 30

ขอใดตอไปนี้ถูก 1) มัธยฐานของความสูงมีคานอยกวา 149 เซนติเมตร 2) ฐานนิยมของความสูงมีคานอยกวา 147 เซนติเมตร 3) ควอรไทลที่ 3 ของความสูงมีคามากกวา 150 เซนติเมตร 4) เปอรเซ็นไทลที่ 20 ของความสูงมีคามากกวา 145 เซนติเมตร 8. จากการแจกแจงขอมูลเงินเดือนของพนักงานบริษัทแหงหนึ่งพบวา เดไซลที่ เงินเดือน (บาท)

1 10,000

3 15,000

5 20,000

7 25,000

9 40,000

ถานายเอกและนายยศมีเงินเดือนรวมกันเทากับ 40,000 บาท และมีจํานวนพนักงานที่ไดเงินเดือนมากกวา นายยศอยูประมาณ 30% ของพนักงานทั้งหมด แลวเปอรเซ็นตของจํานวนพนักงานที่ไดเงินเดือนนอยกวา นายเอกเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 10% 2) 30% 3) 50% 4) 70% คณิตศาสตร (156)_____________________________


9. กําหนดใหขอมูลชุดหนึ่งมีการแจกแจงแบบปกติ ถาหยิบขอมูล x และ y จากขอมูลชุดนี้มาพิจารณา พบวา 13.14% ของขอมูลมีคามากกวา x และ x มากกวา y อยู 2% ของสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน แลวจํานวน ขอมูล (คิดเปนเปอรเซ็นต) ที่มีคานอยกวา y เทากับขอใดตอไปนี้ เมื่อกําหนดตารางแสดงพื้นที่ใตเสนโคง ปกติมาตรฐานระหวาง 0 ถึง z เปนดังนี้ z พื้นที่ใตเสนโคง

1.00 0.3413

1.10 0.3643

1.12 0.3686

1.14 0.3729

1.16 0.3770

1) 36.43% 2) 37.29% 3) 86.43% 4) 87.29% 10. คะแนนสอบวิชาความถนัดของนักเรียนกลุมหนึ่งมีการแจกแจงปกติ ถาผลรวมของคามาตรฐานของคะแนน ของนายแดงและนายดําเทากับ 0 และผลรวมของคะแนนนายแดงและนายดําเปน 4 เทาของสวนเบี่ยงเบน มาตรฐาน แลวสัมประสิทธิ์ของความแปรผันของคะแนนสอบของนักเรียนกลุมนี้เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 0.5 2) 1 3) 1.5 4) 2 11. กําหนดใหความสูงของคนกลุมหนึ่งมีการแจกแจงแบบปกติ ถามีคนสูงกวา 145 เซนติเมตร และ 165 เซนติเมตรอยู 84.13% และ 15.87% ตามลําดับ แลวสัมประสิทธิ์ของความแปรผันของความสูงของคนกลุม นี้เทากับขอใดตอไปนี้ Z 1.00 1.12 1.14 1.16 พื้นที่ใตเสนโคงปกติมาตรฐานจาก 0 ถึง z 0.3413 0.3686 0.3729 0.3770 2 3 4 1 1) 31 2) 31 3) 31 4) 31 12. กําหนดใหขอมูลชุดหนึ่งมีการแจกแจงปกติ หยิบขอมูล x1, x2, x3 มาคํานวณคามาตรฐานปรากฏวาไดคา เปน z1, z2, z3 ตามลําดับ ถา z1 + z2 = z3 แลวคาเฉลี่ยเลขคณิตของขอมูลชุดนี้เทากับขอใดตอไปนี้ 1) x1 + x2 - z3 2) x1 - x2 - x3 3) x3 - x2 - x1 4) x1 + x2 + x3 13. ขอมูลชุดหนึ่งเรียงจากนอยไปมากเปนดังนี้ 1, 4, x, y, 9 และ 10 ถามัธยมฐานของขอมูลชุดนี้เทากับ คาเฉลี่ยเลขคณิต และสวนเบี่ยงเบนเฉลี่ยคณิตของขอมูลชุดนี้เทากับ 83 แลว y - x มีคาเทาใด 1) 4.5 2) 4 3) 2.5 4) 2 14. ขอมูลชุดหนึ่งมี 5 จํานวนและมีคาเฉลี่ยเลขคณิตเทากับ 12 ถาควอรไทลที่ 1 และ 3 ของขอมูลชุดนี้มีคา เทากับ 5 และ 20 ตามลําดับ แลวเดไซลที่ 5 ของขอมูลชุดนี้มีคาเทาใด 1) 20 2) 15 3) 10 4) 5

เฉลย 1. 3) 11. 2)

2. 4) 12. 1)

3. 4) 13. 4)

4. 1) 14. 3)

5. 4)


6. 3)

7. 3)

8. 2)

9. 3)

10. 1)

_____________________________ คณิตศาสตร (157)

ความสัมพันธเชิงฟงกชันระหวางขอมูล (Funtional Relation Between Data) 1. การวิเคราะหความสัมพันธเชิงฟงกชันระหวางขอมูล 1. ความสัมพันธของตัวแปรอิสระและตัวแปรตาม 2. การเขียนแผนภาพการกระจาย

2. ระเบียบวิธีกําลังสองนอยสุด สมการเสนตรง : รูปทั่วไปคือ สมการปกติ

y = mx + c n ∑ yi i =1 n ∑ xiyi i =1

สมการเสนพาราโบลา : รูปทั่วไปคือ สมการปกติ

n ∑ log y i i =1

n ∑ x i log y i i =1

=

y =

n ∑ yi i =1 n ∑ xiyi i =1 n 2 ∑ xi yi i =1

สมการเอกซโพเนนเชียล : รูปทั่วไปคือ สมการปกติ

n

= m ∑ x i + nc

i =1 n n m ∑ x 2i + c ∑ x i i =1 i =1 ax2 + bx + c n

n

= a ∑ x 2i + b ∑ x i + nc = =

y =

i =1 i =1 n n n a ∑ x 3i + b ∑ x 2i + c ∑ x i i =1 i =1 i =1 n n n a ∑ x 4i + b ∑ x 3i + c ∑ x 2i i =1 i =1 i =1 x ab หรือ log y = log a n

= n log a + log b ∑ x i i =1

n

n

i =1

i =1

= log a ∑ x i + log b ∑ x 2i

คณิตศาสตร (158)_____________________________


+ x log b

3. ความสัมพันธเชิงฟงกชันของขอมูลที่อยูในรูปอนุกรมเวลา เราสามารถแทนขอมูลที่เปนตัวแปรอิสระซึ่งเปนชวงเวลาที่หางเทากันไดดังนี้ ถาจํานวนชวงเวลาที่นํามา สรางความสัมพันธเปนจํานวนคี่ มักจะแทนดวย ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... โดยใหชวงเวลาที่อยูตรงการเปน 0 ถาจํานวนชวงเวลาที่นํามาสรางความสัมพันธเปนจํานวนคู มักจะแทนดวย ..., -5, -3, -1, 1, 3, 5, ... โดยให ชวงเวลาที่อยูตรงกลางเปน -1 และ 1 ขอสังเกต 1. รูตัวแปรอิสระทํานายตัวแปรตาม ไมสามารถทํานายกลับได (ถาจะทํานายตองสลับตัวแปรแลวสรางความสัมพันธเชิงฟงกชันใหม) 2. เมื่อจะทํานายความสัมพันธในรูปอนุกรมเวลา ตองแปลงขอมูลกอน 3. สําหรับสมการรูปเสนตรง ( x , y ) อยูบนเสน 4. สําหรับสมการรูปเสนตรง ∆y = m∆x


_____________________________ คณิตศาสตร (159)

แบบฝกหัด 1. ในการหาความสัมพันธเชิงฟงกชันระหวางคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร (X) และวิชาฟสิกส (Y) ของนักเรียน 100 คนของโรงเรียนแหงหนึ่ง ไดพจนตางๆ ที่ใชในการคํานวณคาคงตัวจากสมการปกติของความสัมพันธ เชิงฟงกชันที่มีรูปสมการเปน Y = a + bX ดังนี้ 100 ∑ xi i=1

100

100

100

i=1

i=1

i=1

= ∑ y i = 1000, ∑ x i y i = 2000, ∑ x 2i = 4000

ถาคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนายสมชายเทากับ 15 คะแนน แลวคะแนนสอบวิชาฟสิกส (โดยประมาณ) ของนายสมชายเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 16 คะแนน 2) 16.67 คะแนน 3) 17 คะแนน 4) 17.67 คะแนน 2. ในการหาความสัมพันธเชิงฟงกชันระหวางปริมาณสารปนเปอนชนิดที่ 1 (X) และปริมาณสารปนเปอนชนิดที่ 2 (Y) จากตัวอยางอาหารจํานวน 100 ตัวอยาง พบวาความแปรปรวนของปริมาณสารชนิดที่ 1 มีคาเทากับ 100

100

i =1

i =1

1.75, คาเฉลี่ยเลขคณิตของปริมาณสารชนิดที่ 2 มีคาเทากับ 0.5, ∑ x i y i = 100 และ ∑ x 12 = 200 ถาสมการปกติของความสัมพันธเชิงฟงกชันดังกลาวอยูในรูป Y = a + bX แลว เมื่อพบสารปนเปอนชนิดที่ 1 อยู 4 หนวย จะพบสารปนเปอนชนิดที่ 2 (โดยประมาณ) เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 0.5 หนวย 2) 1 หนวย 3) 1.5 หนวย 4) 2 หนวย 3. กําหนดใหขอมูล X และ Y มีความพันธกันดังตารางตอไปนี้ X Y

1 1

2 3

3 4

3 6

ถาสมการปกติของความสัมพันธเชิงฟงกชันดังกลาวอยูในรูป Y = a + bX แลวเมื่อ X = 10 คาของ Y เทากับเทาใด 1) 8.5 2) 19 3) 22 4) 25.5

เฉลย 1. 2)

2. 4)

3. 2)

คณิตศาสตร (160)_____________________________

Brands Math

Recommend Documents