UNIVERSIDAD PARTICULAR SAN MARTIN DE PORRAS FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL
CONCRETO ARMADO I Diseño de vigas Diseño vigas en flexió flexión.n.- Calcu Calculo lo de refuer refuerzo zo simple.simple.Fallllaa en ten Fa tensi sión ón..- Ár Área ea de de acer aceroo míni mínimo mo..- Ej Ejem empl plo. o.
Ing. Omart Tello Malpartida
Calculo de A s: (Falla a Tensión) El acero fluye y el elemento exhibe falla dúctil, se aprecian grandes deflexiones y fisuras antes del colapso lo cual alerta a los usuario del peligro inminente.
b a h
0.85f’ c
c
Acc
a/2
a=β1.c
c
o
C
E.N
d
M u
A s
d - a/2
T = A s. f y s
Sección Transversal
∑ F H = 0 T = C As . f y = Acc .0.85 f As . f y a=
Diagrama Deformaciones
∑ M o = 0 M u = φ .M n 'c
= ( a.b ) .0.85 f As . f y
b.[0.85 f ' c ]
Diagrama Esfuerzos
Si el contenido del acero en la sección es bajo, el acero alcanza el esfuerzo de fluencia (f y) antes que el concreto alcance su capacidad máxima. f s=f y
a = M n = T ⎛⎜ d − ⎞⎟ φ ⎝ 2⎠ M u a = As . f y ⎛⎜ d − ⎞⎟ φ ⎝ 2 ⎠ M u
'c
………..( 1 )
As
=
M u
⎛ ⎝
φ . f y ⎜ d −
a ⎞
⎟
2⎠
………..( 2 )
Ejemplo de Diseño: Refuerzo Tracción
En la sección de concreto armado indicado en la figura, calcular el refuerzo necesario para soportar el momento ultimo de 20 t-m. ( Método de Rotura ) 30 f’c = 280 k/cm 2 fy = 4200 k/cm 2
d = 54 cm.
h = 60 cm.
As
M u (+) = 20 t-m = 20 x 10 5 k-cm A s = ?
6 cm. Centroide del grupo de varillas
Concreto Armado I
Ing. Omart Tello Malpartida
Calculo de A s: (METODO ITERATIVO) b a
Acc
a=β1.c
c
a/2 o
C
E.N
d
h
0.85f’ c
c
M u
A s
T = A s. f y s
Sección Transversal
Diagrama Deformaciones
Diagrama Esfuerzos
1ra Iteración : asumiendo a=0.20d=0.20(54)=10.8 cm
As
=
M u
⎛ ⎝
φ . f y ⎜ d −
a⎞
⎟
2 ⎠s
=
20 x105 kg − cm 10.8 ⎞ ⎛ cm ( 0.90 ) ( 4200k / cm2 ) ⎜ 54 − ⎟ 2 ⎠ ⎝
= 10.88cm2
10.88cm )( 4200kg / cm ) ( a= = = 6.4cm ≠ 10.8cm b.[ 0.85 f ' c ] ( 30cm ) ( 0.85 × 280kg / cm ) As . f y
2
2
2
Concreto Armado I
Ing. Omart Tello Malpartida
d - a/2
Calculo de A s : (METODO ITERATIVO) 2da Iteración : a=6.4 cm
As
M u
=
⎛ ⎝
φ . f y ⎜ d −
a⎞
20 x105 kg − cm
=
⎟ 2 ⎠s
⎛ ⎝
( 0.90 ) ( 4200k / cm2 ) ⎜ 54 −
6.4 ⎞ 2
= 10.41cm2
⎟ cm ⎠
10.41cm )( 4200kg / cm ) ( a= = = 6.12cm ≠ 6.4cm b.[0.85 f ' c ] ( 30cm ) ( 0.85 × 280kg / cm ) 2
As . f y
2
2
3ra Iteración : a=6.12 cm
As
=
M u a⎞ ⎛ φ . f y ⎜ d − ⎟ ⎝ 2 ⎠s
20 x105 kg − cm
=
( 0.90 ) ( 4200k / cm
2
⎛ 54 − 6.12 ⎞ cm )⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝
= 10.38cm2
(10.38cm )( 4200 kg / cm ) a= = = 6.11cm ≅ 6.12cm b.[0.85 f ' c ] ( 30cm ) ( 0.85 × 280kg / cm ) As . f y
2
2
2
A =10.38 cm2
Calculo de A s : ( METODO DIRECTO otm ) b a h
Acc
0.85f’ c
c
a=β1.c
c
a/2 o
C
E.N
d
M u
A s
d - a/2
T = A s. f y s
Sección Transversal Reemplazando la ecuación (1) en (2):
Diagrama Deformaciones
Diagrama Esfuerzos
Haciendo : p =
1.7 f 'c .b f y
Resolviendo la ecuacion cuadr atica; tenemos: As = Concreto Armado I
1⎡
⎢ p.d2⎢ ⎣
2
( p.d) -
4.M u .p ⎤ . y φ f
⎥ ⎥⎦
Ing. Omart Tello Malpartida
Ejemplo de Diseño: Refuerzo Tracción
En la sección de concreto armado indicado en la figura, calcular el refuerzo necesario para soportar el momento ultimo de 20 t-m. ( Método de Rotura ) 30 f’c = 280 k/cm 2 fy = 4200 k/cm 2
d = 54 cm.
h = 60 cm.
As
M u (+) = 20 t-m = 20 x 10 5 k-cm A s = ?
6 cm. Centroide del grupo de varillas
Concreto Armado I
Ing. Omart Tello Malpartida
Calculo de A s : p =
As =
1.7. f 'c .b f y 1⎡
⎢ p.d2⎢ ⎣
=
1.7(280)(30) 4200 2
(p.d) -
14
As min
= 3.4 cm
f y
4.M u .p ⎤
.b.d
0.8 f 'c f y
⎥ = ( 3.4 )(54)⎥⎦ 2 ⎢⎣
φ .f y
=
14 4200 b.d
⎡
1⎢
=
2
(3.4x54) -
(
4. 20x10
5
) (3.4) ⎤⎥
0.90(4200)
⎥ ⎦
= 10.38 cm2
(30)(54) = 5.4 cm 2 0.8 280 4200
(30)(54) = 5.16 cm 2
Como As > Asmin
60 cm
As
Finalmente : As = 10.38 cm2 [4 φ 3/4” =11.4 cm 2 ]
