CALCULO DE RESERVAS Las reservas constituyen el activo valorizado de mineral que puede ser extraído económicamente, para llegar a estos resultados es necesario realizar un análisis y cálculo de costos de producción, recuperación metalúrgica y elección del precio del metal o metales dentro de los plazos de recuperación de la inversión más utilidades. Estas tres variables, al parecer simples, definen con certeza la ley de corte (cut off) requerida para el trabajo cotidiano de las operaciones mineras. Ley * T * R * P > Ci En donde las variables son tonelaje (T), recuperación metalúrgica (R), precio del metal a vender (P), costos (Ci)para cada actividad minera i. En las operaciones mineras siempre se tiene que buscar que el lado izquierdo de la expresión sea mucho mayor que el lado derecho, sin embargo estas expresiones al ser iguales se encuentra la Ley que indica el valor mínimo de la ley que se debe extraer y enviar a la planta metalúrgica. Ley * T * R * P = Ci La Ley del mineral (ley equivalente si son varios elementos, por ejemplo Pb, Ag, Zn) en este caso significa el Cut Off o Ley de Corte. Hoy se manejan términos como cut off operativo, cut off empresarial y otros, que se van adoptando en un proyecto minero a medida que avanzan las operaciones y se tienen que interactuar con activos depreciados (pero con importante valor en el mercado), con costos financieros pagados o refinanciados. Con esta ley de corte podemos identificar los cuerpos o zonas mineralizadas de interés, sin embargo es necesario que este volumen de mineral identificado pueda pagar su extracción, tanto en minería subterránea como en minería superficial, este concepto es de igual significado. En minería subterránea, si luego de la estimación de recursos, encontramos que algunos tajeos tienen ley mayor a la ley de corte, sin embargo se encuentran muy alejados de la planta metalúrgica, no formará parte de las reservas (hasta encontrar alguna forma que reduzca los costos de extracción o minado). De forma similar en minería superficial, los recursos pueden indicar volúmenes con leyes superiores a la ley de corte, pero si estos se encuentran en profundidad que no puede pagar el desbroce, no formarán parte de las reservas. 1. CONCEPTO DE CÁLCULO DE RESERVAS Los recursos clasificados en medidos, indicados e inferidos mantienen esta calificación en base a la precisión de la estimación que depende de la cantidad de muestras y la proximidad de las mismas utilizadas en la estimación de recursos, sin embargo esta clasificación de recursos mantienen una relación directa con las reservas probadas y probables, pero aquí es muy importante precisar que la calificación de reservas depende más de la facilidad de extracción del mineral. De esta manera se entiende con facilidad que no todos los recursos medidos e indicados podrán convertirse en reservas probadas o probables. Es aquí en donde se destaca que las reservas (probadas o probables) se definen por análisis de costos, precios y recuperación metalúrgica.
Las reservas constituyen el activo valorizado de mineral que puede ser extraído económicamente, para llegar a estos resultados es necesario: 1) Análisis y cálculo de costos de producción 1
2) 3) 4) 5)
Determinación de la Recuperación Metalúrgica Determinar el precio más confiable y seguro del metal Determinar el tiempo de proyección de estas variables Determinación de los accesos y volúmenes de extracción del mineral
El conocimiento y control de estas variables permiten definir con mayor certeza la ley de corte (cut off) requerida para el trabajo cotidiano de las operaciones mineras. En la siguiente expresión el lado izquierdo indica las variables: tonelaje (T), recuperación metalúrgica (R), precio del metal a vender (P) y el lado derecho la suma de, costos (Ci). En toda operación minera el lado izquierdo debe ser mayor que el lado derecho. Sin embargo al igualar estas expresiones se determina la condición que debe cumplir la ley de corte o cut-off, en donde la ley de corte subirá en valor directamente proporcional al alza de los costos, también la ley de corte subirá en valor cuando la recuperación metalúrgica o el precio disminuyan en valor. En términos simples la ley de corte indica la mínima ley de mineral que debe ser enviada a la planta de tratamiento. Con esta ley de corte podemos identificar los cuerpos o zonas mineralizadas de interés, sin embargo es necesario que este volumen de mineral identificado pueda pagar su extracción, tanto en minería subterránea como en minería superficial, este concepto es de igual significado. En minería subterránea, si luego de la estimación de recursos, encontramos que algunos tajeos tienen ley mayor a la ley de corte, sin embargo se encuentran muy alejados de la planta metalúrgica, no formará parte de las reservas (hasta encontrar alguna forma que reduzca los costos de extracción o minado). De forma similar en minería superficial, los recursos pueden indicar volúmenes con leyes superiores a la ley de corte, pero si estos se encuentran en profundidad que no puede pagar el desbroce y extracción, no formarán parte de las reservas. La ley de corte puede indicar también la ley de corte equivalente (conformado por la ley mínima de cada uno de los metales presentes en el mineral de interés). Otra de las principales preocupaciones de las empresas constituye encontrar la diferenciación entre las leyes de corte operativa, empresarial y corporativa, que algunas veces pasan por un mayor análisis de depreciación de activos, costos de refinanciamiento y su influencia en el tonelaje de recursos y reservas. El control análisis y control comparativo de la ley de corte, costos y reservas permiten proveer y proyectar el desarrollo sostenido de las operaciones mineras. 2. CÁLCULO DE RESERVAS EN MINAS SUBTERRÁNEAS CRITERIOS PARA EL CÁLCULO DE RESERVAS EN MINERÍA SUBTERRÁNEA Partiendo del cálculo de recursos, con el cual se puede determinar la cantidad de metal presente en cada punto posible de extracción, es posible valorizar cada uno de los volúmenes con recursos estimados. Si tenemos tajeos de vetas en mina subterránea con tonelajes y leyes de metal, éstas recibirán un valor de acuerdo al contenido de metal, precio y recuperación metalúrgica. El siguiente paso es iniciar en forma virtual la extracción de estos tajeos siempre y cuando paguen el proceso de minado hasta colocarlo en la planta de tratamiento. Si bien la ley de corte es un importante clasificador de zonas de explotación, en minería subterránea también es importante determinar el tonelaje suficiente que pueda pagar cada tajeo en los desarrollos que se requieren para su extracción. Para poder calcular las reservas, es necesario realizar el diseño de la mina subterránea, este diseño debe suministrar seguridad durante la extracción del mineral de cada tajeo considerando aspectos y consideraciones netamente operativas, como por ejemplo: 1) 2) 3) 4)
Certeza de la estimación clasificado en Reservas Probadas y Reservas Probables Distancia de la planta que permita costos de transporte de mineral incluidos en la Ley de Corte Consideraciones de distancia, accesibilidad, transporte y acarreo Condiciones de trabajo (seguridad, ventilación, etc.)
En el gráfico Nº 1 se observa, a manera de ejemplo, un conjunto de tajeos con "recursos estimados" y calificados de la forma siguiente: (A) Medidas, (B) Indicadas, (C) Inferidas. Realizando una evaluación de cada tajeo y la factibilidad de su extracción, se determina que de los recursos medidos (A) se extraen económicamente los tajeos A1 al A10 conformando las "reservas probadas". De los recursos indicados (B) se determina que solo pueden ser extraídos económicamente los tajeos B1 al B4 conformando las "reservas probables". 2
Se observan tajeos con recursos medidos (A) y recursos indicados (B) que no podrán ser extraídos, por posible falta de algunas de las condiciones de operatividad (2), (3) ó (4), indicadas en párrafos anteriores. También se observa a los recursos inferidos que no son tomados en cuenta en la evaluación de reservas para extracción.
Fig. 1 Hoy en día con el conocimiento de las operaciones y aplicando intensivamente software de diseño podemos determinar con mayor rapidez y certeza, no solo cuales son los tajeos que se debe extraer económicamente, sino también la secuencia de extracción (plan de minado) a corto, mediano y largo plazo, plasmando en tres dimensiones el modelo geológico del yacimiento, las rutas de acceso y como quedarán la mina al final de sus operaciones. 3. CÁLCULO DE RESERVAS EN MINERÍA SUPERFICIAL CRITERIOS PARA EL CÁLCULO DE RESERVAS EN MINERÍA SUPERFICIAL Para calcular las reservas en minería superficial, es necesario realizar el diseño de la mina a tajo abierto, el diseño se sustenta en lograr identificar los bloques estimados con ley superior a la ley de corte (cut off) y al mismo tiempo su extracción pague el estéril o desmonte que se encuentra sobre ellos.
Fig. 1 Entre las consideraciones más importantes que se deben tener en cuenta para el diseño de una mina a cielo abierto, se presentan las siguientes: 1) 2) 3) 4) 5)
Modelo de bloques con valores de ley y certeza de la estimación de bloques de mineral Recursos clasificados en medidos, indicados e inferidos Modelo topográfico del terreno, en una extensión suficiente para la extensión de los taludes del tajo Altura del banco de explotación y gradiente de los taludes en direcciones Recuperación metalúrgica, Costos de Mina y de Planta, Precios de los metales a explotar 3
Fig. 2
Fig. 3
Con esta información se procede a calcular el diseño óptimo del tajo mediante cualquiera de los software disponibles en el mercado que garantice la optimalidad del cálculo. El diseño óptimo es único, por ser una función matemática, sin embargo constituye un diseño por lo general no aplicable en 100%, debido a que muchas veces presenta contornos no compatibles con la operación de los equipos de minado. Para ello, es necesario introducir ajustes en el diseño aplicando criterios operativos, si bien estos ajustes alejarán en un pequeño porcentaje el diseño óptimo matemático, estaremos logrando un óptimo técnico operativo para el proceso de producción.
Fig. 4
Fig. 5
Una vez obtenido el "diseño óptimo técnico" de la mina a cielo abierto (Fig. 4), se procede a calcular el tonelaje de mineral que se encuentra en su interior (Fig. Nº 5), el mineral dentro del pit es calificado como reservas. Aquellos recursos que fueron calificados como "recursos medidos" y que se encuentran al interior del diseño, reciben el calificativo de "reservas probadas". Aquellos recursos que fueron calificados como "recursos indicados" y que se encuentran al interior del diseño, reciben el calificativo de "reservas probables". Los recursos inferidos no son tomados en cuenta para el cálculo del diseño del pit y tampoco como contribución en los tonelajes de reservas.
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DISEÑO DE MINAS 1. OPTIMALIDAD EN EL DISEÑO DE MINAS Para iniciar el diseño de una mina, ya sea subterránea o superficial, es necesario contar previamente con toda la información de recursos, es necesario establecer las condiciones y formas de acceso para la extracción de mineral, así como las condiciones y restricciones de seguridad y medio ambiente durante las operaciones. Con esta información se realiza una proyección de extracción de los recursos de las formas más económicas posibles, planteándose un gran número de opciones de extracción de mineral a través del tiempo hasta que se culmine con la extracción de la máxima cantidad de recursos disponible y con la máxima rentabilidad de inversión. Observando el Gráfico Nº 1, para un depósito con recursos, encontraremos un tonelaje de minado (t) que proporcionará una rentabilidad (r), a cualquiera de los puntos que se encuentran debajo de la curva le corresponde a un (t) que suministra una rentabilidad (r). La nube de puntos debajo de la curva es infinita, es decir las posibilidades de obtención de rentabilidad de acuerdo al tonelaje (t) también es infinita, sin embargo para fines prácticos se debe evaluar el diseño óptimo en los tonelajes que generan rentabilidades máximas (por ejemplo en los puntos a, b, c, d, e, f, g, etc.). Para lograr encontrar la máxima rentabilidad, entre (c) y (f) se aplican modelos matemáticos de optimización apoyados por software desarrollados para este fin.
Fig. 1: Rentabilidad vs tonelaje de minado Es importante mencionar que la rentabilidad es también función de N variables que intervienen en todo el proceso de cálculo del cash flow. El hecho de conocer más opciones de optimalidad nos permite obtener la curva que nos expresa el resultado de la sensibilidad de la rentabilidad para todo proyecto nuevo de inversión o proyecto de ampliación de operaciones. 5
Para determinar si en un depósito se debe aplicar minado subterráneo o superficial, se recomienda desarrollar previamente un estudio de minado a cielo abierto, incluso cuando se trata de una veta con potencia importante y poco recubrimiento. Si queda sin explotar un importante tonelaje de recursos, se pasa a etapa de comparación de rentabilidades con minado subterráneo o a minado aplicando ambos métodos.(Fig. Nº 2).
Fig. 2: Minado superficial y subterráneo
2. DISEÑO DE MINAS EN VETAS En el diseño de una mina subterránea en vetas, se requiere tener evaluado el volumen de mineral existente en cada frente de trabajo, se requiere establecer la secuencia de extracción del mineral hasta el 6
final de la vida de la mina, se detallan las formas de explotación en cada zona de trabajo, las rutas de acceso, las rutas de ventilación, la forma de extracción del mineral desde cada frente de producción y las condiciones de seguridad de las operaciones de minado. El minado subterráneo en Perú se orienta en su mayoría de los casos a vetas angostas, y en menores casos a estructuras con potencia aproximada de 20 o 50 metros. Es menos frecuente la presencia de mantos mineralizados a profundidad. Una de las variables importantes que inciden directamente en los costos y por lo tanto en los resultados del diseño es el ancho de minado, toda variación del ancho de minado en los frentes de los tajeos de explotación ocasionará variación en la ley y en el tonelaje de recursos y reservas.
Fig. 1: Tajeos subterráneos
Fig. 2: Minado subterráneo y superficial En la fig. Nº 1 se observan tajeos de los cuales aquellos con nomenclatura A y B serán extraídos por su proximidad con las rutas de acceso (1, 2, 3). El mineral de los tajeos C no pagarán la extracción, por lo tanto el diseño de la mina está definido por la opción más rentable de secuencia de minado que engloba un tonelaje total de reservas. Dependiendo de la cantidad de tajeos, el procedimiento para determinar el diseño en una mina subterránea, requiere el registro de cada tajeo con su particular identificación de calidad, cantidad de mineral, costo de extracción y recuperación metalúrgica. Luego de este registro e identificación de tajeos se procede a plantear todas las opciones factibles de extracción de mineral de los tajeos, los mismos que pueden requerir extracción simultánea de dos o más tajeos para cumplir objetivos de mezclas de mineral para fines de mejor recuperación metalúrgica. Para mediana minería, por lo general se presentan varias vetas a explotar simultáneamente, en cada veta se disponen de decenas de tajeos con tonelaje y leyes estimadas. El uso intensivo de herramientas de cómputo con algoritmos que permitan administrar la información de las combinaciones posibles para los procesos de cálculo que sirvan para encontrar el diseño de mina más rentable, forma parte de la disciplina de la ingeniería de software minero para alcanzar la optimalidad de la relación costo / beneficio. Esto significa plantear un gran número de posibilidades para la extracción de la mayor cantidad de mineral de recursos posible, evaluando y ajustando en cada tajo la variación de los costos operativos 7
mina y su influencia en el cut off, identificando con claridad los tajeos que presentan leyes marginales muy cercanas al cut off, por tratarse de mineral con sólidas expectativas económicas ante eventuales alzas de precios de los metales. La presentación de los resultados del diseño de minas en vetas, consta de planos descriptivos con cuadros de reservas (tonelajes y leyes) con identificación de tajeos a extraer relacionado a un cronograma de trabajo hasta el agotamiento de las reservas. Dentro de este cronograma también se presenta las fechas y duración de construcción de accesos, preparación de la mina, rutas de ventilación y construcciones para ventilación, seguridad y contingencia. 3. DISEÑO DE MINA A TAJO ABIERTO (OPEN PITS) El diseño de una mina a tajo abierto (ó cielo abierto) es una de las actividades más importantes en el estudio técnico económico de un proyecto minero, pues no solo nos proporcionará las reservas económicas a explotar, sino la forma de la mina al final de su vida en cada banco de explotación, la pendiente de los taludes en diferentes niveles, el tonelaje de material estéril a extraer, la ubicación del tonelaje y ley que suministrará la mayor rentabilidad.
Fig.1: Secuencia para llegar a reservas Consideramos importante en esta parte introducir el concepto de optimalidad que involucra el aplicar un algoritmo de diseño de minas mediante alguno de los software disponibles en el mercado. Es también importante mencionar la histórica trayectoria de investigación en varios países para lograr el software que obtenga, en primer lugar el diseño óptimo matemático del tajo abierto, y en segundo lugar que presente versatilidad y flexibilidad en la aplicación en depósitos de gran dimensión y complejidad. Para entender la magnitud de la complejidad de cálculo en el diseño óptimo de una mina a cielo abierto, se muestra en el gráfico Nº 3
Fig. 3: Tajo con bloques seleccionados 8
En este diseño de tajo abierto, se observan bloques de 10 x 10 x 10 m 3, la magnitud del modelo de bloques se encuentra en el orden de 180 x 120 x 80 (1,728,000 bloques) limitado en la parte superior por una topografía. En el gráfico se observan bloques seleccionados encima de la topografía del tajo diseñado y debajo de ésta se observan los bloques que no son posibles de extraer, ya sea por que estar más profundos o de menor ley, que no paga su extracción. Para el diseño óptimo del tajo abierto es necesario que el algoritmo a aplicar seleccione los bloques con ley que puedan pagar la extracción del material estéril que la recubre, respetando las condiciones de estabilidad de los taludes indicados. Se podrá entender que la combinatoria de selección de bloques de mineral con bloques con material estéril requiere de un software comprobado, validado y reconocido y aceptado internacionalmente por las principales entidades que financian proyectos mineros. Un software de alta versatilidad presenta como resultado en un solo proceso de cálculo varios diseños de minas, cada uno diferenciado del parámetro (Pit (i)), que está en función de los costos de mina, planta, precios del metal y recuperación.
Fig. 4: Diseños de tajos con bloques de reservas Considerando las variables que intervienen en el cálculo del cut-off, se entiende que es posible diseñar pits anidados que están en función de las variables que determinan el cut-off. Por lo tanto Cada Pit es función del, precio (P) del metal, recuperación (R), tonelaje (T), ley del metal (L) y costos (C).
Los software disponibles actualmente en el mercado pueden suministrar en un solo proceso decenas de pits, simulando un análisis de sensibilidad para variaciones del parámetro técnico económico, indicando también el diseño óptimo para las condiciones actuales de costos y precios. En la figura 4 se presentan tajos generados mediante la variación de parámetros tales como el Costo (mina + planta), Precio del metal, Recuperación Metalúrgica, Tonelaje de Mineral y ley del metal. Estos parámetros en conjunto generan el cut off o ley de corte, entonces cada tajo que pueda generarse mantiene una relación directa y proporcional con el cut off
Fig. 5: Diseños de tajos para diferentes parámetros En el gráfico 5, se muestra como incrementando el valor del precio del metal se puede lograr que se vuelva económico las profundidades de un pit. Lógicamente está relacionado a la presencia de buena ley y a la relación estéril mineral. Si observamos un depósito con recursos, podremos realizar un gran número de diseños que generarán un tonelaje de minado y una rentabilidad, según la Fig. 6 podremos encontrar un tonelaje (t) que proporcionará una rentabilidad (r), para cualquiera de los puntos que se encuentran debajo de la curva 9
Fig. 6: Curva de Optimalidad de la Rentabilidad Si evaluamos la rentabilidad de un proyecto que tiene como máximo 120 millones de toneladas, la rentabilidad puede partir desde valores muy bajos (para mínimos tonelajes) como indica la curva, y se va incrementando gradualmente hasta un máximo, luego del cual la rentabilidad irá decreciendo. Es interesante imaginar que los puntos debajo de la curva también son relaciones que pueden presentarse entre valores de tonelaje y la rentabilidad, estos puntos debajo de la curva definitivamente no constituyen valores óptimos para cada tonelaje total a producir en el proyecto. Probablemente estos valores debajo de la curva podrían ser utilizados en los casos que no se apliquen criterios de optimalidad ocasionando pérdidas en el proyecto por mala concepción. La cantidad de puntos existente debajo de la curva es muy grande. Los diseños óptimos de tajos abiertos que se pueden encontrar con un software especializado se ubican en el borde superior de la curva (puntos a, b, c, d, e, f, g, etc.), de los cuales para cierta condición de las variables que intervienen en un determinado momento, encontraríamos el óptimo entre los puntos (e) y (g). El hecho de conocer la mayor cantidad de opciones de optimalidad para distintos valores del parámetro Pit(i) nos permite definir un espectro de opciones de pits óptimos que contribuyen a definir mejor el horizonte de trabajo principalmente en períodos de inestabilidad de los precios y costos. En todo proyecto que involucra inversión y riesgo es necesario contar con un análisis de sensibilidad de los retornos de inversión acorde a las fluctuaciones de precios y costos. 4. ALGORITMOS DE DISEÑO DE MINAS BÚSQUEDA DEL ÓPTIMO La Minería al igual que en otros procesos industriales requiere de un análisis profundo de la forma de explotación de los minerales, una de las etapas cruciales que definen la rentabilidad o no de un proyecto minero a cielo abierto corresponde al diseño final óptimo del tajo abierto. La tecnología de procesamiento de información en base a modelos matemáticos de optimización, ha sido desarrollada durante muchos años por los principales centros de investigación de países desarrollados con importante influencia en inversiones mineras de gran magnitud. Es así que podemos recopilar importantes esfuerzos científicos desarrollados en Estados Unidos, Inglaterra, Rusia, Francia, Bélgica, etc. con miras a encontrar la fórmula o el algoritmo matemático más eficiente y flexible para conseguir un diseño óptimo matemático de una mina a cielo abierto. Entre los algoritmos más importantes podemos destacar:
Cono Móvil o Método de Incrementos (USA) Algoritmo de Korobov (Ruso) Programación Dinámica (Lerchs y Grossman) (Inglés y USA) Grafos de Lerchs y Grossman (Inglés y USA) Bosque Subcompactado de René Vallet (Belga) Parametrización de Reservas Minables de Matherón (Francia)
Casi todos estos métodos o algoritmos descritos, logran obtener o llegar con bastante aproximación al óptimo matemático (a excepción del Cono Móvil), pero la diferencia se encuentra en la flexibilidad para el procesamiento y velocidad para converger en el óptimo matemático, que como se sabe es único. 10
Ejemplo Figurativo Simple: Para lograr transmitir en forma simple el mensaje sobre el significado de optimización de un tajo, y saber por que se llama óptimo, que hace el software que optimiza y por que utilizarlo, podemos imaginar un modelo de bloques (figurativamente) del tamaño de una caja de cartón de unos 30 cm de alto x 60 cm de ancho y 88 cm de largo. Los "bloques de mineral" los colocaremos al interior de esta caja de cartón, tomando para ello cajas pequeñas de fósforo ó cerillos (de 1 cm de alto x 3 cm de ancho x 4 cm de largo) distribuidas en forma ordenada. Asumiremos en este modelo simulado que la topografía es horizontal. En total podríamos colocar 30 x 20 x 22 cajas de fósforo (simulando 30 bloques en dirección de la cota, 20 bloques en dirección norte, 22 bloques en dirección este), esto significa que se requerirían 13,200 cajas al interior del modelo simulado. Si a 5,000 cajas de fosforo ubicados con cierta aleatoriedad en profundidad le cargamos con monedas de valores diferentes entre 1$ y 5$ (obtendremos bloques que simulan la valorización del metal dentro de cada uno). A este conjunto de cajas con valores positivos, las rodeamos hasta llenar el modelo con bloques que contengan un material estéril pesado y con valor negativo porque su extracción cuesta, de esta manera tendremos un modelo de bloques que simula a los depósitos de mineral. El objetivo en este conjunto de cajas de fosforo es extraer los bloques (tanto con valor positivo o negativo) que en conjunto sumen el máximo valor a extraer de todas las combinaciones de extracción posibles. Así mismo se deberá tener cuidado en darle una forma y gradiente a las paredes del hoyo para que tenga estabilidad. Esta combinatoria de extracción de bloques de mineral que se encuentran en profundidad cubierto por bloques de material estéril es la que buscan los algoritmos de diseño de minas para encontrar el diseño que proporcione el máximo beneficio (mayor cantidad de metal y menor cantidad de desmonte). A esta complejidad debemos adicionarle las condiciones de variación de los precios, costos, topografía irregular, recuperación metalúrgica de acuerdo al tipo de mineral. MÉTODO DEL CONO MÓVIL Método del Cono Móvil o método de incrementos Es un método que aún es utilizado con cierta frecuencia para obtener los primeros resultados en un diseño, se aproxima al método manual de diseño por su fácil aplicación. Existen muchas variantes de este método, pero en esencia consiste en remover material en forma de conos o porciones de estos conos. Las consideraciones generales que guían la metodología son:
Definir el volumen de minado inicial, fijando la forma del fondo de este volumen Sumar los valores de los bloques que caen dentro de la porción a incrementar (parte de un cono) Considerar a la porción como incremento efectivo al primer volumen si su valor es mayor de cero Cuando no se introduce el criterio económico, se parte con volúmenes de geometría del fondo diferente, y luego se efectúa la ampliación considerando solamente la relación desmonte / mineral.
Las desventajas de este método son: Al ser utilizadas, la solución a menudo depende de la forma como se partió dando por lo tanto muchas soluciones que no conducen al óptimo. Particularmente el traslape de volúmenes no es fácil de controlar. Por ejemplo:
Fig. 1: Ejemplo de Multiconos Tanto el cono 1 como el cono 2, ninguno de los dos independientemente pueden ser minados en forma económica, pero considerando ambos a la vez, resulta un valor positivo = 1.
Tanto el cono 1 como el cono 2, ninguno de los dos independientemente pueden ser minados en forma económica, pero considerando ambos a la vez, resulta un valor positivo = 1. ALGORITMO DE KOROBOV 11
Este método es particularmente aproximado al de multiconos y se muestra simple permitiendo cierta flexibilidad en la elección de las pendientes de los taludes en direcciones principales (X e Y). La diferencia que se encuentra con el método anterior, es que no se necesita del análisis combinatorio tedioso. La metología es simple, pero no introduce criterios de optimalidad estricta pues el resultado depende de la dirección en que se trabaja el método. En el ejemplo que sigue se trabajará de izquierda a derecha, el contenido del ejemplo se extrajo a partir de un reporte técnico de Sergey Korobov, investigador del Instituto de Minas de Moscú, editado en el Dpto. de Minerales de la Escuela Politécnica de Montreal. El proceso de este algoritmo puede ser explicado con el siguiente ejemplo, partiendo de la Fig. Nº 1 en donde los números en color es el número del bloque, el número a su derecha es la evaluación inicial y el número debajo de estos dos, la evaluación resultante que se forma hacía arriba.
Empezamos a explorar el primer nivel y extraemos todos los bloques cuya valuación sea positiva. Encontramos los bloques 1, 2, y 7 que dan la primera evaluación V = 1+1+3 = 5. Resulta el siguiente gráfico. A continuación pasamos al segundo nivel y analizamos su influencia en el primer nivel, en el segundo nivel identificamos los bloques con valor positivo 13, 14, y 17. Para cada uno de estos bloques identificamos los bloques necesarios a extraer, que se encuentran en el primer nivel (ver el siguiente gráfico). Para el bloque 13 vemos que es necesario extraer el bloque 3 y 4. La suma de los valores de estos bloques resulta valor negativo, por lo tanto el cono que se forma a partir del bloque 13 no puede ser extraído. Marcamos con valor cero a los bloques de este cono que pueden ser pagados por el bloque 13, en este caso queda pagado solo el bloque 3 y el mismo bloque 13, queda sin ser pagado el bloque 4. Pasamos al bloque 14 que esta "cubierto" por los bloques 3, 4 y 5, para ser extraído tiene que pagar el costo del bloque 4 y 5, pues el bloque 3 ya lo pagó el bloque 13. Vemos que la valuación resultante del bloque 14 es cero, por lo tanto tampoco puede extraerse. Sin embargo el bloque 14 paga los bloques 4 y 5 por ello se les asigna a éstos valores cero como pagados. Por lo tanto hasta el momento contamos como pagados (con valor cero) los bloques 3, 4, 5, 13 y 14. En el mismo nivel encontramos al bloque 17, el cual sólo puede ser extraído junto con los bloques 6 y 8. La valuación resultante del bloque 17 es V = +5 -1-1 = 3. Esto significa que si sumamos los valores de los bloques de los conos extraídos el valor total hasta el momento se incrementaría a V = 5 + 3 = 8.
Agregando el tercer nivel (siguiente gráfico), encontramos en este nivel un solo bloque positivo, el 23; el cual contiene en su cono de extracción a los bloque superiores 3, 4, 5, 14, 15, 16. El bloque 23 solo debe y puede pagar la extracción de 15, debido a que los bloques 3, 4, 5, 14 ya fueron pagadas. (Los pagos se realizan de arriba hacia abajo y de izquierda a derecha, en aquellos bloques que no fueron pagados por otros bloques anteriormente). Por lo tanto la valuación del cono resultante desde el bloque 23 es cero y no puede ser extraído.
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Adicionando el cuarto nivel (en el siguiente gráfico), analizamos el bloque con valor positivo número 28, el cual puede solo pagar a 12, 16 y 21 dando como valor resultante del cono igual a cero y no puede ser extraído. El siguiente bloque positivo de este nivel es el 31 que contiene en su cono a los bloques 4, 5, 9, 10, 15, 16, 18, 19, 24, 25 y 26, de los cuales solo pueden ser pagados (sin considerar los bloques ya pagados) 9, 10, 18, 19, 24 y 25, no se podrá pagar el bloque 26, resultando un valor cero para el cono que parte del bloque 31 sin poder ser extraído En el mismo nivel 4 se tiene el bloque positivo 32, que paga los bloques 11, 20, 26 y 27 dando un valor resultante del cono igual a 3 (valor del bloque 32 = 7, menos los valores recientemente pagados que suman - 4). Por lo tanto este cono si puede ser extraído. (Notar que este cono tiene 11 bloques de valor -1). Con ello la valuación total hasta el momento disminuirá a V = 8 + 7 - 11 = 4.
Luego de culminar la extracción del cono desde el cuarto nivel se obtiene el siguiente gráfico.
El siguiente paso es comenzar nuevamente el análisis desde el primer nivel, esta vez borrando todos los valores resultantes (ceros en este caso). Según el siguiente gráfico, en el nivel 1 no se obtienen bloques positivos, en el segundo nivel encontramos el bloque 13 que paga la extracción del bloque 3, dando un valor resultante cero sin poder extraerse este cono.
El bloque 14 paga la extracción del bloque 4, dando como valor resultante 1. Por lo tanto los bloques 3, 4 y 14 pueden ser extraídos. Volviendo a analizar el mismo nivel vemos que podemos extraer el bloque 13 por ya no tener bloques superiores. Hasta aquí la valuación total será V = 4 + (3-2) = 5. 13
Continuamos con el nivel 3 y vemos que ningún bloque puede ser extraído, pues la valuación resultante desde el bloque 23 es cero. En nivel 4 el bloque 28 paga el minado de 12, 21, 22 dando valor resultante del cono igual a cero, por lo tanto no puede extraerse. En el nivel 4 el bloque 31 paga la extracción del bloque 24, dando como valor resultante igual a 5, por lo tanto los bloques 15, 24 y 31 pueden ser extraídos. La nueva valuación será V = 5 + (6 - 2) = 9 como se indica en el gráfico siguiente.
Volviendo a analizar desde el nivel superior, se encuentra que el bloque 23 puede ser minado, la valuación se incrementará a V = 9 + 1 = 10. Examinando el cono del bloque 28 vemos que no puede ser minado, por lo tanto la valuación final es V = 10, con el diseño final que se observa. Este método de diseño que puede extrapolarse es facilidad a tres dimensiones, no requiere del análisis tedioso e incorrecto del método del cono móvil. Por ejemplo si aplicamos el cono móvil en este ejemplo el cono que se forma desde el bloque 31 o el que cono que se forma desde el bloque 32 no pueden ser incluidos en el pit final, sin embargo ambos calculados en forma simultánea si pueden ser incluidos en el pit final. La nueva valuación será V = 5 + (6 - 2) = 9. Además en el primer gráfico si evaluamos (con el método de multiconos) solo el cono desde el bloque 28 obtenemos (12 - 9) = 3, no estamos tomando en cuenta que los bloques superiores con valor positivo estarían pagando incorrectamente algunos bloques negativos de niveles inferiores. En este método de Korobov se tiene cuidado de que los bloques negativos de niveles superiores solamente sean pagados por los bloques positivos que se encuentran en niveles inferiores.
ALGORITMO DE LEARCHS Y GROSSMAN A 2D Este algoritmo está limitado a dos dimensiones, debido a su simplicidad es fácil de programar, las principales desventajas para un diseño se encuentran justamente por ser a 2D que lo aleja del óptimo, más aún cuando se requiere aplicar los alisados para un pit operativo. Para dar inicio a una explicación práctica se definirán los siguientes términos: "Precedentes" de un bloque x: son los tres bloques que existen a la izquierda de un bloque x (cuando el pit es diseñado de izquierda a derecha) El pit pasa por el bloque x, si x pertenece al pit y toca el límite con sus caras 14
En la Fig. Nº 1 se tiene una sección de J = 9 columnas con I = 4 niveles, con valorización de bloques (negativo cuando el material es estéril y requiere un costo para extraerlo). Se adiciona una fila artificial (0) con costo nulo, con un elemento adicional en la columna J+1 (se ignoran los bloques con color gris). FASE 1 A partir de las valorizaciones de bloques C(i,j) de la Fig. 1, se calcula el valor de M(i,j) con la siguiente expresión:
Fig. 1: Sección con Valorizaciones C(i,j)
Para i = 0,..., I j = 1,..., J. Se observa que para cualquier pit que pase por el bloque (i,j), M(i,j) representa la participación del valor de la columna en el pit.
Fig. 2: Sección con Valores M(i,j) Por ejemplo para el bloque M(3,5) se tiene: M(3,5) = c(3,5) + c(2,5) + c(1,5) + c(0,5) = -3 FASE 2 Para todas las columnas desde j = 2 hasta j = j + 1, se trata cada bloque añadiéndole el mayor valor de sus precedentes. Es decir se calculo P(i,j).
Se debe notar que cuando se trata la columna j, la columna j-1 ya ha sido tratada y tiene valores Pij en lugar de Mij. Por ejemplo en la Fig. 3 se tiene: P(2,3) = M(2,3) + Max [ P(1,2), P(2,2), P(3,2) ] P(2,3) = 5 + Max [ 1,0,-4 ] = 5 + 1 = 6 15
Fig. 3: Sección con Valores P(i,j) Si nos detenemos a ver el significado de cada valor de P(i,j), vemos que indica el máximo valor de un pit que se puede construir desde el bloque (i,j).
Fig. 4: Valores de C(i,j) que suman P(2,5) En la Fig. 3 al diseñar el pit desde el bloque P(2,5)=1 hacía la izquierda (siguiendo los máximos precedentes) encontramos el contorno del la Fig. 4. Si sumamos los valores de C obtenemos el valor 1. FASE 3 En la primera fila de la Fig. 3 se busca el elemento de mayor valor, si hay varios se toma el que se encuentra más a la derecha. Según lo indicado en la fase 2 este valor representaría la valuación del pit óptimo encontrado. FASE 4 Se entiende con facilidad que se puede dibujar el pit solución a partir del bloque de la columna 9, siguiendo al bloque precedente P de mayor valor.
Fig. 5: Sección con Valores P(i,j) con el Pit Óptimo OBTENCION DE UN DISEÑO HASTA UN NIVEL DESEADO Por definición el pit óptimo en una matriz de valores como la descrita en la sección (o de cualquier sección real de terreno) es uno solo, por lo tanto llega hasta un solo nivel. Sin embargo para propósitos de lograr la extrapolación a tres dimensiones, se requiere lograr el diseño óptimo hasta un nivel deseado, este diseño si bien no será el óptimo, será el diseño que suministre el máximo valor que llega al nivel que uno desea. Partiendo con la misma sección de valores de bloques (Fig. 1) pero ignorando la existencia del nivel 4 se tiene la Fig. 6. A esta sección se aplica el procedimiento de la Fase 1 y también lo descrito en la Fase 2.
Fig. 6: Sección C(i,j) sin el nivel 4 16
Los valores de M se presentan en la Fig. 7, según la fórmula siguiente:
Fig. 7: Valores de M(k,p) Los valores de P se presentan en la Fig. 8, que se obtienen con la siguiente expresión:
En donde se tendrá en cuenta que cuando k = i, r es diferente de 1, para no tomar en cuenta los valores de P d la fila 3
Fig. 8: Valores de P(k,p) A continuación calculamos los valores de P par la fila 3 aplicando la siguiente expresión hasta obtener la Fig. 9.
Fig. 9: Sección con Valores P(i,p) PROCESO PARA LLEGAR DEL NIVEL i HASTA SUPERFICIE Considerando que para realizar el diseño éste se delimita dese la superficie, en los siguientes pasos se describirá el proceso para delinear el óptimo desde el último nivel hasta la superficie. CASO 1 A partir del primer bloque del último nivel (de izquierda a derecha) subimos la diagonal de izquierda a derecha de la forma siguiente: Con valores de s = 1, 2, 3,... Para cada bloque (i - s, p + s) de la diagonal, se calcula:
17
En donde los sub índices indican las siguientes coordenadas: Bloque Z de coordenadas (i,p), X de coordenadas (i-s,p+s).
Fig. 10: Diagonal y Precedentes de (i,p) Los precedentes de x son: a : de coordenadas (i-s-1,p+s-1) b : de coordenadas (i-s,p+s-1) c : de coordenadas (i-s+1,p+s-1) Cuando:
Y se continúa subiendo la diagonal, aumentando el valor de s. Pero si:
Se detiene el ascenso en la diagonal (se detiene el incremento de s) y se pasa a otra diagonal, retornando el cálculo desde la fila i , para una columna (p+1) siguiente, en el bloque P(i,p+1). Por ejemplo si empezamos esta aplicación desde el bloque (i,p) = (3,2), de la Fig. 9, tenemos lo siguiente: P(3,2) = M(3,2) + Max [ P(3,1), P(2,1) ] P(3,2) significa el máximo valor de un pit que se puede construir desde (3,2), sin pasar por los niveles 4 y 5. Para subir la diagonal empezamos con s = 1 (subimos un bloque).
Encontramos que el resultado es P(2,3) que también tiene valor 6, por lo tanto cambiamos de diagonal, por que el nivel i no incrementa el valor de los P superiores (se puede comprobar si seguimos subiendo esta misma diagonal). Al cambiar de diagonal tenemos: P(3,3) = M(3,3) + Max [ P(3,2), P(2,2) ] = 4 + Max ( 0, -4 ) = 4 Que es lo que se muestra en la Fig. 9. Para subir la diagonal, empezamos con s = 1.
Vemos que este resultado es igual a P(2,4) por lo tanto cambiamos de diagonal y pasamos al siguiente bloque (3,4), y así sucesivamente hasta terminar la fila i = 3 (que no hace posible ascender hasta el nivel 18
cero). CASO 2 Si no se llega al nivel cero en ninguna diagonal, aplicamos el algoritmo de optimización simple que vimos en la Fase 1 y 2 pero de derecha a izquierda, de la siguiente forma: A partir de la Fig. 7 aplicamos la siguiente fórmula similar a la utilizada en la Fase 1 y 2.
Por ejemplo de la matriz M Fig. 7 obtenemos el resultado siguiente: PD(1,7) = M(1,7) + Max [ PD(0,8), PD(1,8), PD(2,8) ] = -1 + Max [0, -1] = -1 También obtenemos: PD(1,6) = M(1,6) + Max [ PD(0,7), PD(1,7), PD(2,7) ] = -1 + Max [9, -1, -3 ] = -1 De esta forma completamos el cálculo y obtenemos el resultado de la Fig. 11 y 12.
Fig. 11: Resultado PD(i,j) Hasta el Nivel 2
Fig. 12: Resultado PD(i,j) Hasta el Nivel 3 De esta forma conseguimos dos matrices P(i,j) de la Fig. 9, y PD(i,j) de la Fig. 12. Recordando P(i,j) es el procedimiento de cálculo de izquierda a derecha hasta el nivel 3, y PD(i,j) resulta del procedimiento aplicado de derecha a izquierda hasta el nivel 3. A continuación, utilizando las matrices P(i,j), PD(i,j) y M(i,j), esta última de la Fig. 7, calculamos los valores de la siguiente expresión:
En donde V(i,m) representa el máximo valor total de cualquier pit que se trace desde (i,m), el máximo valor de V(i,m) se obtiene eligiendo entre todos los valores V(i,m) que se encuentran desde los bloques de la fila 3. En la expresión se resta M porque está incluido dos veces (tanto en P como en PD). Como ejemplo de cálculo de V(i,m) tenemos:
19
El valor máximo es V(3,3) = -1, por lo tanto el pit debe ser diseñado desde el bloque (3,3), hacía la izquierda en la matriz P(i,j) como se indica en la Fig. 13 y hacía la derecha en la matriz PD(i,j) como se indica en la Fig. 14. Al unirse ambos trazos resultará un solo diseño del pit óptimo que llega hasta el nivel 3.
Fig. 13: Diseño hacía la izquierda en P(i,j)
Fig. 14: Diseño hacía la derecha en PD(i,j) CASO 2 (continuación) En el caso que aplicando las fórmulas relacionadas a la Fig. 7, y se llega al nivel cero en cualquiera de las diagonales analizadas, significa que la fila "i" si contribuye con valor a los niveles superiores, por lo tanto existe un óptimo hasta el nivel "i". En este caso el valor del bloque del nivel cero, a donde se llegó subiendo la diagonal, indica el valor del pit que se puede construir desde él. Entonces cuando se ha intentado subir al nivel cero en todas las diagonales y habiendo llegado en algunas, a continuación se busca el mayor valor de todos los bloques del nivel cero y que se encuentre mas a la derecha, y desde allí se construye el pit óptimo. Como ejemplo se desarrollará el pit óptimo hasta el nivel i = 2 en la matriz de costos C(i,j) de la Fig. 6. El cálculo de la matriz M(i,j) se presenta en la Fig. 7. A continuación calculamos P(i,j) hasta el nivel (i - 1) = 1. Como se muestra en la Fig. 15.
Fig. 15: Calculo de P(i,j) hasta el Nivel (i - 1) Al igual que para la Fig. 9, calculamos los P(i,p) que se muestra en la Fig. 16 siguiente. Luego desde cada uno de los bloques de la fila 3 aplicamos la expresión siguiente que se utilizó anteriormente.
A modo de ejemplo obtenemos lo siguiente:
Fig. 16: Cálculo de P(i,p) hasta el nivel "i" igual a 2. 20
Para
Luego s=1 según lo indicad en la fórmula, se tiene:
Cambiamos la diagonal por condición ya indicada, y tenemos nuevamente:
Luego s=1
Entonces cambiamos de diagonal y tenemos:
Luego s=1
Vemos que:
Entonces cambiamos el valor de P (1,4) según la fórmula establecida.
A continuación incrementamos s al valor 2, y tendremos:
Vemos que:
Por lo tanto el nivel cero es alcanzado, lo cual indica que es posible construir desde este bloque (0,5) un pit que llegue hasta el nivel i = 2, por lo tanto existe un diseño óptimo que llega hasta el nivel 2. Esta parte del algoritmo indica que el procedimiento descrito debe aplicarse para todas las columnas desde p = 2,....., J para buscar otros contornos posibles que se encuentren mas a la derecha y que puedan proporcionar un mejor valor. En este ejemplo particular, al continuar con los cálculos no encontraremos un mejor pit, por que no se encuentra un valor mayor de P(0,5) = 3. Aplicado este procedimiento a todas las columnas, buscamos en la fila artificial (primera fila) el bloque de mayor valor que se encuentre más a la derecha, vemos que es el bloque (0,9). Este valor 3 es el valor del pit que se puede construir desde él y que llegará hasta el nivel i = 2, como se muestra en la Fig. 17. 21
Fig. 17 Comparando este resultado, que tiene una particular metodología que fuerza encontrar el diseño óptimo hasta cierto nivel, con la obtenida por un método más simple (Fig. Nº 5) se encuentran iguales resultados, es decir suministran el mismo diseño que llega hasta el nivel 2 y además el mismo valor económico. Por lo tanto si el concepto de diseño óptimo nos permite encontrar un solo diseño que proporcione el máximo valor, también podemos forzar encontrar el óptimo que llegue a cada nivel (i) deseado, obteniendo como resultado el mejor diseño que proporcione el mayor valor del pit hasta el nivel (i).
Fig. 18 Entonces podemos obtener para una sección una columna de valores, por ejemplo para una sección con valores de C(i,j) como se indica en la Fig. Nº 18, podemos obtener los siguientes resultados:
Fig. 19 En donde el valor económico del Pit es: S(1,1) = 1 + 1 = 2
Fig. 20 S(2,1) = 1 + 1 -2 -3 = -4
Fig. 21 S(3,1) = 0
Fig. 22 22
S(4,1) = -8 La columna de valore estará formada por los resultados: 2, -4, 0, -8. Si tomamos otra sección adyacente, con valores C(i,j), obtendremos también otra columna de valores de los diseños hasta cada nivel como el obtenido para la Fig. N º 18. Así sucesivamente obtendremos similares valores para las demás secciones, que nos permitirá formar otra matriz como se indica en el lado lateral derecho de la Fig. Nº 23. A continuación con esta nueva matriz de valores ubicado en el lado lateral derecho de la Fig. 23, procedemos a aplicar los mismos conceptos descritos, de donde podremos obtener un pit que proporcione el diseño con mejor valor económico.
Fig. 23
Así si el diseño llega hasta llega hasta el valor 5 del 3er nivel, indica que en el pit en la primera sección llegará hasta el nivel 1, de donde se tomará el diseño obtenido previamente hasta este nivel. Si en la sección 2, el diseño llega hasta el 2do nivel, se tomará en esta sección 2, el diseño encontrado previamente que llegó hasta este 2do nivel. De esta forma se procede a tomar el diseño encontrado y elegido en cada sección para hacer el ensamblado de secciones y obtener una presentación similar a la Fig. Nº 24.
Fig. 24 ALGORITMO DE GRAFOS DE LEARCHS Y GROSSMAN Este algoritmo se sustenta en la teoría de grafos que define entidades y relaciones básicas simples para lograr la selección máxima de entidades agrupadas con valor. En las siguientes líneas se observará como estas entidades son representadas por bloques de mineral, y como la relación entre ellas se soportan en definiciones básicas de relación entre ellas. DEFINICIONES BÁSICAS
23
Fig. 1
Fig. 1a
Camino: Es una secuencia de arcos tal que el vértice final de cada uno de ellos corresponda al vértice inicial del siguiente. No interesa la orientación de los arcos, Fig. 2. Circuito: Es un camino donde el vértice inicial y final coinciden, es decir las orientaciones son en un solo sentido, Fig. 3.
Fig. 2
Fig. 3
Arista: Es un conjunto e(i) = (X,Y) de dos elementos que pueden ser (X,Y) pertenecientes al conjunto A de arcos, o (Y,X) también pertenecientes a A. Se diferencian del arco porque la arista no implica orientación. Cadena: Es una secuencia de aristas (e1, e2,...., en) donde cada arista tiene un vértice en común con el siguiente, Fig. 4. Ciclo: Es una cadena donde los vértices inicial y final coinciden, Fig. 5.
Fig. 4
Fig. 5
Sub-Grafo: Se llama sub-grafo de G(X,A) al conjunto de vértices Y de X, y comprendiendo a todos los arcos que conectan los vértices de Y en G, se denota por G(Y,Ay), Fig. Nº 6a y 6b.
Fig. 6a
Fig. 6b
En donde: X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} A = {(2,1), (3,2), (4,3), (8,3), (3,5), (8,6), (6,5), (9,6), (6,7), (9,10)} 24
Y = {3, 4, 5, 6, 7, 8} Ay = {(4,3), (8,3), (8,6), (6,5), (6,7)}
Fig. 6a
Fig. 6b
Grafo Parcial: El grafo parcial G(X,B) de un grafo G(X,A) es un conjunto de arcos B contenido en A y conteniendo todos los vértices de G(X,A), Fig. 7.
Fig. 7a
Fig. 7b
En donde: X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} A = {(2,1), (3,2), (3,4), (5,4), (5,6), (7,3), (8,3), (8,5), (9,5), (9,10)} B = {(2,1), (7,3), (8,3), (8,5), (5,6), (9,10)} Cierre de un Grafo Orientado: Se denomina cierre de un grafo orientado G(X,A) a un conjunto de vértices Y perteneciente a X que cumplen la condición.
Para todo vértice X perteneciente al conjunto de vértices Y, implica que cualquier elemento perteneciente al cono (formado a partir de X) pertenezca al conjunto Y. Sea el conjunto Y de vértices pertenecientes a un "pit". Fig. 8.
Y = {2, 3, 4, 5, 6, 10, 11, 12, 18} Tomemos un punto x del conjunto Y. Por ejemplo el 18, vemos que x pertenece a Y, además que todos los elementos del cono (es decir los primeros vértices a minar antes de llegar a X) están contenidos en ?(x) = ?(18) = {2, 3, 4, 5, 6, 10, 11, 12, 18} 25
Vemos que si Y es un cierre de G(X,A), entonces G(Y,Ay) es un sub-grafo cerrado de G(X,A). Además por definición el conjunto nulo Y=0 es también un cierre de G(X,A). Árbol: Es un grafo orientado que no contiene ningún ciclo. Se le denomina por T=(X,C). Fig. 9:
Raíz: Cualquier vértice de un árbol puede ser raíz. Fig. 10:
Fig. 10a
Fig. 10b
Por ejemplo en la figura si suprimimos un arco (2,6) se obtienen 2 componentes. El componente T1 = (X1, A1) que no contiene la raíz se llama ramo de T = (X,C), la raíz del ramo es el vértice del ramo adyacente del arco (2,6). Este vértice adyacente es el 2. Los ramos de un ramo le llamaremos "ramitos". EL PROBLEMA Con estas definiciones de base pasamos a anunciar el problema: Dado un conjunto de bloques v(i) de valor m(i), que encierra el yacimiento, estos bloques pueden formar un grafo orientado G(X,A), es decir cada v(i) constituye un vértice x(i) del grafo con un valor m(i), y todos los arcos A están orientados hacia la "superficie", Fig. Nº 11.
Fig. 11 Se necesita hallar el cierre G(Y,Ay) tal que la suma de las masas m(i) que lo contienen, sea máxima.
Todo vértice Xi que pertenezca a Y (vértices del cierre máximo) implica que el árbol (o ramo) que forman los vértices Xi , también pertenezcan a Y, Fig. 12: 26
Fig. 12 Los vértices x = 1, 2, 3, 4, 5 pertenecen a Y, para que sea un cierre máximo T(X) debe pertenecer a Y. DESARROLLO DEL ALGORITMO El procedimiento que se explicará en pocos pasos más adelante, empieza con la construcción de un árbol To en G. Luego To es transformado en sucesivos árboles T1, T2,...., Tn, según determinadas reglas hasta que ya no sea posible ninguna transformación. Entonces el cierre máximo viene formado por aquellas ramas conocidas del árbol final. La transformación de los sucesivos árboles Ti, pueden ser realizados teniendo en cuenta ciertas propiedades que describiremos a continuación: Cada arista ek (arco ak) de un árbol T, define una rama; Tk = (Kk, Ak) Se llamará a Xk, la raíz de la rama Tk La masa Mk de una rama Tk es la suma de las masas de los vértices En la Fig. 13 la masa M de la rama es +8.6 podemos decir que la arista ek soporta la masa +8.6
Fig. 13 En una árbol con una raíz ficticia Xo, cada arista ek, es caracterizada por una orientación del arco ek, respecto a Xo Arista positiva (P), cuando el arco ek, está orientado hacia la rama Tk (no hacía la raíz) es decir si el vértice final del arco ak es parte de la rama Tk En la Fig. 13 los arcos (8,4), (7,2) y (8,3) son positivos. Arista Negativa (N), cuando el arco está orientado hacia afuera de Tk en este caso Tk es llamado rama negativa. Ejemplo en la rama que soporte (7,13) ésta es una arista negativa y la rama que la soporta es negativa. Arista fuerte (F), cuando la masa que soporta una arista P es positiva, o cuando la masa que soporta una arista N es negativa. Las aristas que no son fuertes se les llaman débiles (D). 27
Ejemplo de tipos de aristas:
Arista de aristas fuertes y positivas: (8,4), (7,2), (8,3) Arista positiva y débil: (7,1) Arista negativa y débil: (2,8), (4,10), (7,13) Arista negativa fuerte: (11,6), (7,11)
Fig. 14 Un vértice Xk es de carácter fuerte cuando la cadena que lo une con el vértice raíz tiene alguna arista fuerte Árbol Normalizado: si su raíz es común a todas las aristas fuertes, cada árbol T de un grafo G puede ser normalizado, reemplazando los arcos P fuertes (Xk, Xe) por un arco que una el vértice final (de este arco fuerte) con el vértice ficticio, es decir (Xo, Xe) y el arco (Xq,Xr) de una arista N fuerte por un arco ficticio (Xo ,Xq). Iterando este procedimiento hasta que todas las aristas fuertes tenga Xo como extremidad El árbol normalizado de la Fig. Nº 13 se representa en la Fig. Nº 14. Vemos que todas las aristas fuertes son positivas. El vértice Xo será la raíz de todos los vértices considerados. PRINCIPALES PASOS DEL ALGORITMO Se construye un árbol To en el grafo G, y se entra a un proceso iterativo siguiente: La iteración (i + 1) transforma el árbol normalizado To en un nuevo árbol normalizado Ti+1. Cada árbol Ti = (X, Ai) es caracterizado por sus arcos Ai y sus vértices fuertes Yi. El Proceso termina cuando Y es un cierre de G. Cada iteración Ti+1 es realizado por los siguientes pasos (Fig. Nº 15): 1) Buscar un arco (Xk, Xe) en G, tal que Xk ? Yi (tal que un vértice Xk sea fuerte) y Xe ? (X- Yi) ( Xe sea débil), si existe, entonces ir al paso 2, sino ir al paso 4 2) Determinar el vértice Xm la raíz de la rama fuerte que contiene a Xk . Construir el árbol Tj substituyendo el arco (Xo, Xm) de Ti con el arco (Xk, Xe). Ir al paso 3 3) Normalizar el árbol Tj , con lo cual obtenemos el árbol Ti+1 , regresa al paso 1 4) Se termina el proceso. Yi es el cierre máximo de G
Fig. 15 28
El mecanismos mencionado, implica el investigar arcos, una gran cantidad de veces, que depende del número de vértices existentes yd e la situación de ellos con las consecuencias de cálculos muy pesados, difíciles de predecir en tiempo de computación. APROXIMACIÓN DE LIPKEWICH Y BORGMAN A partir de una publicación de Michael P. Lipkeweich y Leon Borgman, se ha podido obtener una variante de la aplicación de la teoría de grafos que simplifica el número de cálculos y obtiene resultados bien aproximados al óptimo. La simplificación consiste en tratar a los vértices (bloques económicos) nivel por nivel, trabajando primero el nivel superior (1º nivel), luego el 1º con el 2º y así sucesivamente.
Fig. 16
Fig. 17: PD=positivo débil, PF=positivo fuerte
Para aplicar mas al detalle esta optimización, se expondrá un ejemplo numérico a dos dimensiones obtenido de la mencionada publicación. Partiendo de la Fig. 16 iniciamos el algoritmo con el 1º nivel. Al normalizar el grafo únicamente con los vértices del 1º nivel, tenemos el árbol de la Fig. 17. Se extraen los bloques únicamente con vértices fuertes. El árbol queda reducido a la Fig. 18:
Fig. 18
Fig. 19
Añadimos el 2º nivel y tenemos la Fig. Nº 19. Vemos que el vértice 7 está condicionado a la extracción de 1, pues esto lo tenemos registrado en el grafo original. Por lo tanto podemos conectar 7 a 1 con un arco, y el arco ficticio desde Xo irá a 1. Vemos en la Fig. Nº 20 que 1 será un vértice fuerte por lo tanto (Xo,1) es una arista positiva fuerte, necesariamente a extraer. Del mismo modo, los vértices 9 y 10 están condicionados a la extracción de 5 (ver gráfico inicial). Podemos conectar el vértice 10 a 5 que formará así una masa positiva cuyo vértice 5 será fuerte, unido al Xo por una arista positiva fuerte (PF). Fig. Nº 20.
Fig. 20
Fig. 21 29
Realizando la extracción de las masas que tienen como soporte a una arista fuerte obtenemos la Fig. 21. A este resultado le agregamos el siguiente nivel. Fig. 22. Para poder extraer los vértices fuertes es necesario extraer los que condicionan su extracción. Por ejemplo para extraer 11 es necesario extraer 6. Por lo tanto ambos unidos forman una masa negativa que será unido a Xo por una arista positiva débil (Fig. 23). De igual modo para extraer 13 es necesario extraer 8. Ambos forman una masa negativa que unido al vértice Xo resulta ser este arco (Xo,8) positivo débil.
Fig. 22
Fig. 23
Vemos que no podemos realizar más extracción por no existir aristas fuertes positivas, por lo tanto el fondo del pit está conformado por vértices negativos. Esto significa que el cierre máximo está formado por los vértices 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9 y 10, constituyendo la solución óptima, Fig. 23. EXTENSIÓN A TRES DIMENSIONES Para fines de mejor claridad se presentó el procedimiento y ejemplo a dos dimensiones, en donde no se consideró la variable de la pendiente de los taludes del pit. Orientándonos a una evaluación similar a tres dimensiones, es necesario considerar las variables de gradiente de los taludes en diferentes direcciones, siendo necesario establecer una función matemática del cono (Fig. 24) que permita identificar los bloques superiores condicionantes para poder extraer los de menor nivel.
Fig. 24 Si bien la función del cono nos permite identificar los bloques superiores que condicionan la extracción de bloques inferiores, puede ser interesante visualizar las diferentes opciones de configuración de bloques superiores que se pueden presentar de acuerdo a la pendiente de los taludes. Por ejemplo en la Fig. 25 se presenta dos alternativas visualizadas a tres dimensiones, analizando las gradientes que generan se presentan los ángulos según la orientación en la Fig. 26
Fig. 25 30
En donde manteniendo una disposición de bloques uniforme y similar a la 1º alternativa, se obtienen (Fig. 26) ángulos diferentes en direcciones: 45º en la dirección A-A y 55º en la dirección B-B.
Fig. 26 De aplicarse la 2º alternativa en forma genérica, se obtendrían 45º en la dirección A-A y 35º en la dirección B-B.
Fig. 27 Realizando la combinación de ambas alternativas, se obtiene un comportamiento simétrico en ambas direcciones (Fig. 28), siendo esta forma de disposición la que permite obtener mejor control en las gradientes. Es importante considerar que en algunos casos al aplicar métodos numéricos que nos faciliten la identificación de los bloques condicionantes, podrían también evaluarse la posibilidad de utilizar tamaños de bloques en la estimación de recursos según las gradientes deseadas en los taludes.
Fig. 28 En la construcción de un modelo de identificación de bloques condicionantes, la relación de extracción de un bloque con respecto a otro que se ubica encima de él, se presentaría según la Fig. 29. Por lo tanto es posible establecer los arcos de dependencia de un bloque Xk con los que condicionan su extracción.
Fig. 29 31
Esta identificación de los bloques dependientes vienen a ser objetivamente para el caso de un Pit, la función Y= ?(x), con el conocimiento de esta función, se procede a la optimización a tres dimensiones, avanzando nivel por nivel, análogamente al caso visto a dos dimensiones. ALGORITMO DEL BOSQUE SUBCOMPACTADO Esta metodología fue creada por informáticos belgas, el análisis que se describe es parte de una publicación de René Vallet en la revista "Annales des Mines de Belgique". Lo interesante de este algoritmo es que también emplea la terminología y fundamentos de la teoría de grafos, pero amplía sus conceptos con nuevos términos que hacen fácil su comprensión y aplicación. A continuación se inicia con algunas definiciones de grafos. Un grafo es conexo, si para todo par de vértices existe una cadena desde un vértice hacia el otro. Fig. 1:
Fig. 1
Fig. 2
El sub grafo A del grafo G, es un componente conexo si las dos condiciones siguientes se cumplen: 1) A, es conexo 2) No existe ninguna cadena que una un vértice desde A hacía un vértice G-A Los diferentes componentes conexos de G constituyen una partición de G A, es libre relativamente a G si ningún vértice de G-A es antecedente de un vértice de A. Fig. Nº 2 (3,5,2) A, es neutro relativamente a G si ningún vértice de A es antecedente de G-A. Fig. Nº 3 (3,5,3)
Fig. 3
Fig. 4
Todo componente conexo de G es a la vez libre y neutro relativamente a G Si dos sub grafos son libres relativamente a G, su reunión intersección diferencia es libre relativamente aG Si el sub grafo A es libre relativamente a G y si el sub grafo B es libre relativamente a G-A, su reunión o intersección es libre relativamente a G, Fig. 4 Densidad de un sub grafo es igual a la masa del sub grafo dividido por el número de vértices que lo contiene.
Raíz de un árbol, es un vértice que se distingue de los otros porque se le define y considera como tal Rama es un sub grafo conexo de un árbol, ligado al resto de su árbol por un solo arco Un tronco es un sub grafo conexo de un árbol que contiene la raíz de este árbol Rama verdadera es un sub grafo conexo cuando no contiene la raíz del árbol Bosque subcompactado es un bosque donde todos los árboles tienen una raíz y que posee la propiedad siguiente: La densidad de toda rama libre es igual o superior a toda rama verdadera neutra 32
Bosque es un grafo donde cada componente es un árbol RESOLUCIÓN DEL ALGORITMO Paso 1: A partir del grafo G = G(X, A), se construye un grafo parcial G` que es un bosque donde todos los árboles tienen una raíz y que no contienen ninguna verdadera rama neutra. Paso 2: Seleccionar dentro de G` la rama libre A` que tenga la densidad máxima. Sea A el sub grafo de G que contiene los mismos vértices de A`. Si un vértice de j de (G-A) es antecedente de un vértice i de A, ir al paso 3. Si A es libre relativametne a G se debe ir al paso 4. Paso 3: Si A’ es una verdadera rama, suprimir del grafo parcial G`, el arco que dentro de G une A` con (G` - A`). Si A` es un árbol entero, la raíz de este árbol pierde su calidad de raíz. Agregar el grafo parcial G` el arco que dentro de G une j con i. Regresar al paso 2. Paso 4: El sub grafo A toma lugar dentro de la secuencia de sub grafos libres de densidad máxima. Retirar A del grafo G. Retirar A` del grafo parcial G`. Si los dos grafos son vacios el proceso se termina. Si no se debe ir al paso 2. Discusión del Algoritmo El paso 1 crea un grafo parcial que es un bosque sub-compactado. Cuando se entra por primera vez en la operación 2, A` es entonces el sub-grafo libre de densidad máxima de G`. Si A es libre dentro del grafo completo, A es el sub grafo libre de densidad máxima de G, y la operación 4, sustrayendo A de G`, crea un nuevo grafo parcial G` que es siempre un bosque subcompactado. Si A no es libre relativamente a G, la operación hace de A` una verdadera rama neutra creada, ella también hace un nuevo G` el cual es siempre un bosque sub-compactado. Cualquiera que sea el camino seguido, cuando se regresa a la operación 2, el grafo parcial G` queda como un bosque sub-compactado. Si el número de vértices que contiene G es finito, el número de grafos parciales posibles de G es un número finito. Si el algoritmo no puede generar dos veces el mismo parcial, el número de operaciones que necesitará para tratar G es un número finito. El mismo grafo parcial no será generado dos veces si la rama libre A`, una vez transformado en rama neutra por la operación 3, no puede resultar más una libre en la serie de tratamientos. Las ramas libres de densidad máxima que la serie de tratamientos encontrará son de 3 formas: Aquellos que son contenidos por la rama A` actual Aquellos que no son contenidos por la rama A’ actual y que no lo contienen Aquellos que contienen la rama A` actual Antes de resultar ramas neutras, aquellos que son contenidos dentro de A` serán separados de A`, puesto que el arco que los une a A` será suprimido por la operación 3. En este caso la rama A` actual las perderá, pero lo que quedará de A` será siempre una rama neutra. Aquellos que no son contenidos dentro de A` y que no contienen A` resultarán ramas neutras, ya sea de A` mismo o del resto del grafo. En el primer caso, A` estará contenido en la nueva rama neutra. Este mismo será un trozo de rama ni libre ni neutro. En el segundo caso, A` quedará invariable. Cuando aquellos que contengan A` se convierten en ramas neutras, A` estará contenida dentro de la nueva rama neutra. Según la posición del nuevo arco, A` será una rama neutra, o resultará un tronco de rama neutra. En ningún caso A` puede resultar una rama libre. EJEMPLO DE APLICACIÓN En la Fig. Nº 5 se ilustra el problema de partida, en donde se presentan las valorizaciones de cada bloque a minar. El primer paso (Fig. 6) es transformar este grafo G en un grafo parcial G` que es un bosque formado por árboles que poseen una raíz, sin presencia de ramas verdaderas neutras. La elección de estas raíces, para cada árbol se guía por la existencia de un vértice de alto valor que se encuentra en profundidad. No se establece otra regla de elección. 33
Fig. 5
Fig. 6
En este grafo parcial G` se escoge el árbol de mayor densidad Fig. 7 denominándolo A` (y en el grafo G lo denominamos A). Vemos que un vértice de (G - A) es antecedente de un vértice A, por lo tanto continuamos al paso 3. En este paso, visto que A` es una verdadera rama (pues consideramos que no contiene a la raíz del grafo), suprimimos los arcos que en G unen A` con (G` - A’). Luego agregamos en este grafo G` el arco que una (G` - A`) con la raíz de A` Fig. 8. Regresamos al paso 2.
Fig. 7
Fig. 8
En este caso repetimos la búsqueda de ramas (ó árboles) de mayor densidad. Encontramos al de densidad 7. En el cual repetimos la operación de eliminar en G` los arcos que en G unen este vértice A con (G - A). Fig. 9 y finalmente agregamos (Fig. 10), el arco que una la raíz de A` (sería el mismo vértice A) con (G` - A`) pero con un arco cuyo antecedente se encuentra en (G`- A`) pero con un arco cuyo antecedente se encuentra en (G` - A`) pudiendo ser con la rama o árbol anteriormente conectada.
Fig. 9
Fig. 10
Continuamos buscando ramas o árboles de mayor densidad, y encontramos al de 5.5 (Fig. 5.7). En el cual repetimos la operación de eliminar arcos que unen la nueva rama A` con G` - A`, que existen en G, y agregar el arco que una la raíz de A` con G`- A` (Fig. 5.8).
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Fig. 11
Fig. 12
A continuación encontramos al vértice A' que se muestra en la Fig. 13 con la densidad 5, resultando la Fig. 14 con las operaciones ya señaladas.
Fig. 13
Fig. 14
El siguiente paso encuentra al nuevo A, de densidad 4 (Fig. 15). Vemos en G que (G - A) no posee ningún vértice antecedente de A, por lo tanto A es libre relativamente a G y nos trasladamos al paso 4. En el paso 4 (Fig. 16), retiramos el sub grafo A' de G' y A del grafo G. como G - A no es vacío, continuamos el proceso con el paso 2.
Fig. 15
Fig. 16
En este paso sabemos que continuamos buscando la rama A' de mayor densidad, esta vez igual a 3.5 (Fig. 17). En donde se puede trazar un arco de vértice antecedente que se encuentra en G' - A', por lo cual la rama no puede ser retirada. Fig. 18.
Fig. 17
Fig. 18 35
A continuación el nuevo A' se muestra en la Fig. 19. En donde A resulta libre relativamente G, pudiendo ser extraído, pues no es posible de trazar un arco cuyo vértice antecedente se encuentra en (G' - A’). Fig. 20.
Fig. 19
Fig. 20
El nuevo A' que se presenta es de densidad 1 (Fig. 21) y puede ser extraído de la misma forma anterior. Fig. 22.
Fig. 21
Fig. 22
De igual procedimiento vemos lo que sucede en las Fig. 23, Fig. 24, Fig. 25.
Fig. 23
Fig. 24
Fig. 25
PLANEAMIENTO DE MINADO El planeamiento de minado es establecer cual volumen de mineral, con que ubicación y en qué momento extraerlo, con la finalidad de mantener una producción continua mensual. Es conocido que el planeamiento se realiza a corto, mediano y largo plazo, en donde a corto plazo se entiende un planeamiento para un mes y unos pocos meses más, a mediano plazo se considera desde unos trimestres hasta un año, a largo plazo desde el primer año hasta la culminación de las reservas. El planeamiento a mediano y largo plazo generalmente involucra utilizar reservas probadas y probables, el solo hecho de utilizar reservas probables, el planeamiento a mediano y largo plazo presenta cierta incertidumbre de cumplimiento, siendo necesaria su revisión periódica. 1. PLANEAMIENTO A LARGO PLAZO El planeamiento a largo plazo es el primer plan que se realiza desde el inicio de las operaciones, y su alcance comprende la extracción de la totalidad de las reservas. Esta extracción debe ser expresada en 36
producción por años, describiendo la secuencia de extracción, el volumen y ubicación. Estos planes están relacionados a la capacidad anual de procesamiento del mineral que se cuenta predefinida en planta.
Fig. 1: Plan de Minado a Largo Plazo En la Fig. 1 se observa una sección con leyes de bloques de mineral y pits anidados para cada uno de los 7 años de producción. en la Fig. Nº 2 se observa otra sección con bloques de mineral y pits también anidados para cada uno de los años de producción.
Fig. 2: Plan de Minado a Largo Plazo Procedimiento de cálculo del plan de minado a largo plazo Por el gran volumen de información que se procesa en un plan de minado a largo plazo, es necesario utilizar las opciones de variantes del software de diseño de pits. Sin bien la mayoría de software disponible en el mercado se utiliza para obtener un pit óptimo, sabemos que éste se presenta para la condición establecida de un precio, un costo y una recuperación en un cierto momento de trabajo. También este software en su búsqueda del óptimo pit para ese momento, pasa por calcular y determinar los pits para diferentes condiciones de precios o costos, estos pits por lo general son concéntricos o anidados y los objetivos en cada pit son de maximizar el beneficio. En primera intensión se podría asumir que son los pits que uno desea extraer en cada año de producción, sin embargo esta idea no es compartida por todos, debido al hecho de que los pits anidados son calculados maximizando el beneficio, estarían orientadose a extrae principalmente las zonas de mayor ley, con lo cual se estaría extrayendo la crema y solo las partes ricas del tajo final. Esto es cierto, sin embargo, se debe considerar dos aspectos importantes, 1) El plan de minado es a largo plazo, y se presenta como una guía hacía donde se orientarán las operaciones, 2) Este plan estará sujeto a mejoras y variaciones cuando se realicen los planes de minado a corto y mediano plazo, siempre que se respete el pit óptimo final. 2. PLANEAMIENTO DE MINADO A MEDIANO PLAZO El planeamiento de minado a mediano plazo, se realiza para períodos trimestrales hasta llegar a un año de producción proyectada. Los resultados de este planeamiento deben mantener relación con la geometría del planeamiento del año definido en el Largo Plazo. 37
Con información del modelo de bloques se definen sólidos (o volúmenes) geométricos por bancos que contengan ley, tonelaje de mineral y tonelaje de desmonte. El tamaño de estos sólidos es muy variable y depende de la continuidad y calidad de la mineralización. Definido el lugar a donde llegar para encontrar el mineral de interés, la geometría de los sólidos o volúmenes deben mantener como prioritarios las facilidades de acceso de los equipos en las operaciones mineras, y cumplir con los objetivos de producción de mineral.
Fig. 3: Plan de Minado a Mediano Plazo 3. PLANEAMIENTO DE MINADO A CORTO PLAZO El planeamiento de minado a corto plazo, se realiza para períodos mensuales, con información del modelo de bloques se definen sólidos (o volúmenes) geométricos por bancos, el tamaño y forma de estos volúmenes se adecuan a la calidad del mineral, es decir tonelaje de mineral, ley, tonelaje de desmonte. Como es de suponer el planeamiento a corto plazo no es un proceso optimal, aún no se ha creado un algoritmo que permita conseguir la optimalidad matemática y técnica de un planeamiento, es claro que el objetivo será de conseguir la máxima rentabilidad con mínimo costo, sin embargo la técnica aplicable pasa actualmente por análisis de multi-opciones de extracción de mineral, consistente en una realizar una combinatoria de volúmenes de extracción, hasta lograr una secuencia de extracción de mineral que permita cumplir con la producción del mes y con las condiciones de operatividad minera.
Fig. 4: Plan de Minado a Corto Plazo
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LIXIVIACIÓN, ADR Y FUNDICIÓN 1. LA RECUPERACIÓN METALÚRGICA La recuperación metalúrgica es el mejor indicador de la eficiencia tecnológica para extraer el metal del material que lo contiene, por lo general en minas de oro una buena recuperación metalúrgica se encuentra entre 65% a 90%, dependiendo de las características del mineral. En todo proceso de cálculo del cut off y del valor económico del depósito, se requiere determinar el porcentaje de recuperación metalúrgica, que junto con el precio, tonelaje y costos constituyen las variables más importantes para calcular la rentabilidad de un proyecto minero. Consideramos que luego de tener los primeros indicadores de presencia de un volumen de mineral importante para la escala de trabajo que nos permite nuestro capital de inversión, es muy importante conocer el tipo de procesamiento de concentración o recuperación del metal y el porcentaje de recuperación. La experiencia en minería muestra importantes depósitos descubiertos, intensamente explorados con considerables cantidad de recursos, que tienen que esperar un período de tiempo hasta obtener la tecnología que haga factible y económica la recuperación del elemento metálico de interés. Se recomiendan los siguientes tips para mejor seguimiento en las pruebas metalúrgicas: 1) Las pruebas deben ser realizadas con profesionales con experiencia en investigaciones metalúrgicas 2) Antes de cada prueba metalúrgica realizar la caracterización del mineral, mediante interpretación geológica, mineralógica, determinación de características físicas y químicas 3) Registro del lugar de procedencia o localización en el depósito del mineral de cada prueba 4) Las recuperaciones obtenidas deben ser factibles de escalarlas a tamaños industriales 5) Para un eventual financiamiento bancario, las pruebas metalúrgica y los análisis químicos deben estar respaldadas por un laboratorio certificado 2. PROCESO DE LIXIVIACIÓN El proceso de lixiviación más frecuente en nuestro medio se realiza en la extracción de oro con solución cianurada, para la aplicación de este proceso es recomendable el mayor control en las siguientes variables: Tamaño de la roca y de partícula de oro, Concentración de Cianuro, Concentración e Oxígeno, Temperatura y Alcalinidad. Tamaño de la Roca y Partícula de Oro: El tamaño de la roca indica la cantidad de superficie libre que pueda presentar para mayor contacto con la solución cianurada, a menor tamaño de la roca la solución logrará mayor contacto con las partículas de oro. Respecto del tamaño de la partícula de oro, la experiencia indica que cuando se presenta el oro libre o grueso, es recomendable separarla con métodos gravimétricos antes de la cianuración, caso contrario las partículas gruesas no podrán ser disueltas completamente dentro de los plazos previstos de cianuración. Otra opción para reducir el tiempo de lixiviación es la molienda y clasificación del mineral de oro en un circuito cerrado. Concentración de Cianuro: Usualmente el factor restrictivo que gobierna la velocidad de disolución del oro es la concentración de oxígeno en la solución en contacto con el oro. Hay variaciones muy grandes en la fuerza de la solución que provoca la máxima velocidad de disolución del oro, probablemente debido a la variedad de las técnicas empleadas. Barsky, Swalson y Heddley comprobaron mediante pruebas realizadas, que la concentración de la solución para una rápida disolución es de 0.05% de NaCN. En el cuadro siguiente se indica la cantidad de oro que se disuelve en una hora para diferentes concentraciones de cianuro en una muestra particular de mineral. NaCN % 0.500 0.250 0.100 0.050 0.025 0.010
Au disuelto en 1 hr mg/cm2 2.943 3.007 2.986 3.251 2.513 0.338
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En la práctica la mayoría de las plantas de cianuración que tratan minerales de oro, usan soluciones conteniendo menos de 0.05% (500 ppm) de NaCN. El promedio general esta probablemente cerca de 0.01 a 0.03% de NaCN, dependiendo del resultado de las pruebas metalúrgicas. Concentración de Oxígeno: El uso del oxígeno es indispensable para la disolución del oro, bajo condiciones normales de cianuración. Los agentes oxidantes, tales como el peróxido de Sodio, dióxido de Manganeso, Cloro, entre otros, han sido utilizados con mayor o menor éxito en el pasado, debido al costo de estos reactivos y las complicaciones inherentes en el manejo de ellos, han dejado de ser usados. De otro lado múltiples pruebas han demostrado que una adecuada aireación da tan buenos resultados como lo hacen los oxidantes químicos citados. Barsky, Swainson y Hedley, determinaron la siguiente velocidad de disolución del oro en soluciones de 0.10% de NaCN, a 25° C usando Oxígeno, Nitrógeno y mezcla de ambos. Oxígeno % 0.0 9.0 20.9 60.1 99.5
Au disuelto en 1 hr mg/cm2 0.04 1.03 2.36 7.62 12.62
Temperatura: El suministro de calor a la solución de cianuro en contacto con oro metálico, produce fenómenos opuestos que afectan la velocidad de disolución. El incremento de la temperatura aumenta la actividad de la solución, incrementándose por consiguiente la velocidad de disolución del oro, al mismo tiempo, la cantidad de oxígeno en la solución disminuye porque la solubilidad de los gases decrece con el aumento de la temperatura. En la práctica el uso de soluciones calientes para la extracción del oro, resulta desventajosa por el elevado costo, por lo que usualmente, se lixivia a temperatura ambiente. Alcalinidad: El uso de la cal (en solución) para mantener un PH de 10.5 a 11 (alcalinidad protectora) cumple las funciones de: Evitar pérdidas de cianuro por hidrólisis: (NaCN + H2O = HCN + NaOH), haciendo que la reacción sea favorecida hacia la izquierda. Prevenir o evitar las pérdidas de cianuro por acción de dióxido de carbono del aire: 2NaCN + CO2 + H2O= 2HCN + Na2CO3 Neutraliza los componentes ácidos resultantes de la descomposición de los diferentes minerales de la mina en la solución de cianuro. Neutraliza los componentes ácidos tales como sales ferrosas, férricas y el sulfato de magnesio contenidos en el agua antes de adicionar al circuito de cianuración. Facilita el asentamiento de las partículas finas de modo que pueda separarse la solución rica clara de la mena cianurada. LIXIVIACIÓN CON PADS RECARGABLES Otro aspecto que últimamente viene tomando forma en forma muy gradual es la construcción de Pads recargables, principalmente por la presencia cada vez más frecuente de ley baja de oro en los depósitos o en las etapas finales de un proceso de extracción. Este proceso se sustenta en el ciclo de recuperación del oro en el proceso de lixiviación en un pad, para ello es necesario medir el tiempo que se requiere para lograr el porcentaje de recuperación económica de oro en un primer piso de un pad. La construcción de pads de un solo piso requiere que éstos se encuentren en la proximidad de las operaciones de extracción de mineral, para luego del proceso de lixiviación se realice la recarga del mineral para depositarlo como material lixiviado en múltiples pisos. La parte más importante de este proceso es el control de calidad del mineral en los frentes de minado, en donde se debe evitar el envío de mineral contaminante a los pads. En el mejor de los casos para mejor control de la calidad de la lixiviación de los primeros pisos y administrar la calidad de la solución y momento de la descarga, es muy conveniente mantener módulos independientes al interior de un pad, para de esta manera llevar un control de la caracterización del mineral ingresado a cada módulo y analizar el contenido de la solución en cada módulo de riego independiente. 3. ADR : ADSORCION, DESORCIÓN, RECUPERACIÓN 40
ADSORCIÓN Luego del proceso de lixiviación, la solución cianurada con oro, es recirculada en carbón activado en columnas, El carbón activado debido a su gran área superficial 500-1500 m2/gr y por su gran porosidad, tiene una alta capacidad adsorbente, lo que hace posible y rentable su aplicación. Estos carbones son de estructura granular, siendo más aptos los fabricados a partir de cáscara de coco, debido a su dureza, que lo hace más resistente a la ruptura por abrasión y tienen una mayor capacidad de adsorción que otros carbones activados. La tecnología del uso del carbón activado comprende 3 técnicas de aplicación y son el carbón en pulpa (CIP), el carbón en columna (CIC) y el carbón en lixiviación (CIL). La técnica de adsorción varía dependiendo del tipo de cianuración: 1) Carbón en Pulpa (CIP): Aplicable a soluciones claras salientes de lixiviación por precolación en bateas o pilas, normalmente en varias etapas y en contracorriente. 2) Carbón en Columna (CIC): Aplicable A pulpas salientes de cianuración por agitación, se trata sin separación sólido/líquido, en tanques separados en varias etapas y en contracorriente. 3) Carbón en Lixiviación (CIL): Consiste en absorber el oro en carbón durante y no después de, la lixiviación, llevándose a cabo la misma en los mismos estanques lixiviadores, pero moviendo el carbón en contracorriente con la pulpa de mineral. DESORCIÓN: El proceso de desorción (extracción del oro del carbón) se realiza adicionando solución de soda cáustica a alta temperatura (100º a 140º C) al carbón en un compartimento a presión. En este proceso la solución liberará al oro cianurado y pasará a un proceso electro deposición, formándose aquí un cemento con alto contenido de oro. FUNDICIÓN: El cemento con alto contenido de oro pasará a fundición a fin de extraer el oro bullón que muchas veces se presenta con contenido de plata cuando en el mineral estuvo presente. 4. PROCESO SART PARA RECUPERACIÓN DE MINERAL DE AU CON COBRE Si bien el alza de precios del oro ha estado acompañada por un alza en los costos (mayores precios de reactivos como cianuro y cal, de la energía, y de otros insumos como el acero), estos altos precios han hecho posible incorporar como recursos explotables minerales de baja ley de oro y/o minerales de oro con altos contenidos de cobre. Existe una tecnología que ha despertado el interés creciente de la industria para el tratamiento de estos recursos de Au-Cu, que corresponde al Proceso SART (Sulphidization, Acidification, Recycling, and Thickening). Recientemente (2008), la planta de Telfer, en Australia, de propiedad de Newcrest Mining Limited, era pionera de la aplicación de esta tecnología, desarrollada inicialmente por Lakefield Research en Canadá para el proyecto Lobo Marte de propiedad de un joint venture entre Teck Corporation y Mantos Blancos, en Chile. Hoy en día Yanacocha en Perú, de Newmont Mining Corporation, cuenta con una planta SART en sus instalaciones y se encuentran en desarrollo, en etapa de ingeniería de detalles, los proyectos de dos plantas para las operaciones de Maricunga y Mantos de Oro, de Kinross Gold Corporation, en Chile. El proceso SART ha sido diseñado para regenerar cianuro y recuperar cobre de soluciones de lixiviación de minerales de oro. El nombre hace referencia a las siglas en inglés de las operaciones unitarias del diagrama de flujos del proceso: sulfidización (S), acidificación (A), recirculación de cianuro (R), y espesamiento del precipitado de cobre (T, «thickening»»).
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