Calculo de Reservas Por El Metodo de Triangulos

UNIVERSIDAD NACIONAL DE ANCASH SANTIAGO ANTÚN ANTÚNEZ EZ DE MA MAYOL YOLO O

FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS, GEOLOGÍA Y METALURGIA  ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA DE MINAS

RESOLUCION DE LA PRACTICA CALIFICADA POR EL METODO DE LOS TRIANGULOS  PRESENTADO EN LA ASIGNATURA DE GEOESTADISTICA GEOESTADISTICA

DOCENTE: Ing. VILLAREAL SALOME Juan Pele RESPONSABLES:  ANDAGUA RAMIRE De!"#  GUERRO ARAUJO A$a LE%N FLORE G&'"e& MAC(CO CIRIACO E$)!n MONTE LAO J*'+!a&  Huaraz- Ancash  Junio del !"# 

CALCULO DE RESERVAS POR EL METODO DE TRIANGULOS

EJEMPLO: en una campaña de prospección de un posible yacimiento de Cu, se han realizado 21 sondeos para poder estimar las reservas de dicho yacimiento. ρ = 3.5 r!m"3

SONDEO SONDEO 1 2 3 & 5 # ( % ' 1$ 11 12 13 1& 15 1# 1( 1% 1' 2$ 21

ESTE- ESTE-  NORTENORTE-  #$.% &$.& '$.25 1$.' 5$.2 ($.15 11$.3 %$.& #$.% 5$.5 5$.15 '$.15 #$.25 11$.3 1$.1 3$.2 %$.& 3$.$5 #$.( '$.% #$.(

POTENC POTENCIAIA- 

11$.5 '$.( '$.# %$.2 %$.15 %$.52 %$.$5 ($.35 #$.# #$.35 5$.' 5$.%5 5$.1 5$.$5 &$.' &$.1 &$.% 2$.&5 2$.% 2$.$5 1$.55

SOLUCI%N 0. PR PROC OCED EDIM IMIE IENT NTO O

LEY MEDIA -/

5 5.2

&.3 3.%

#.1 (.2 (.% %.1 (.# (.(

3.# #.5 2.( %.& 3.1 5.#

%.2 (.3

2.( 2.5

%.%

2.&

0.0. Pel'1ea'+ l'+ +'n$e'+, 2'n +u+ &e+3e21!"a+ 2''&$ena$a+ # -n'&1e) 4 -E+1e

*ota+ papel milimetrado para dibuar los puntos

0.5. Un!'+ l'+ +'n$e'+ 6ue 1!enen le#, en e+1e 2a+' "!ene *a2e& l'+ 3un1'+ $e 2'l'& &'7', 3a&a lueg' un!&l'+ # a+8 9'&a& l'+ 1&!ngul'+.

0.;. C e1'$'+ $e 2l2ul' $e &ea+ $e un 1&!ngul'.

C
a + b+c 2

ntonces el 0rea puede e6presarse como+  A = √ S ( S −a )( S −b )( S − c )

De'+1&a2!@n $el Te'&ea l teorema se demostrar0 con la ayuda del teorema del coseno.

-a órmula cl0sica para el 0rea del tri0nulo nos dice 7ue +  A =

c .h

888888.91)

2

:eemplazamos+ h =a.Sen ( B ) 888888.92)

;ued0ndonos+  A =

c.a.sen ( B ) 2

888888.93)

or otro lado, el teorema del coseno nos aseura 7ue+

2

b

2

2

= a + c −2. a . c . cos ( B ) 888888.9&)

l camino a seuir ser0 despear cos9<) de la ltima ecuación y sustituir sen9<) en la anterior. >enemos pues 7ue 2

cos

2

2

( B )= a + c − b ¿ 888888. 95) 2. a . c

 ? como sen ( B )=1 −cos ( B )  888888. 9#) 2

2

:eemplazando 95) en 9#)+ Sen ( B )=

√− 1

2

2

2 2

( a + c −b ) 4. a

2

2

.c

@ lo 7ue es lo mismo+ Sen ( B )=

√− 1

4. a

2

.c

2

2

2

2 2

−( a + c −b )

4. a

2

2

.c

>eniendo en cuenta 7ue el numerador es una dierencia de cuadrados y el denominador un cuadrado obtenemos+

√ (( 2 ac +( a +c −b )) ( 2 ac −(a +c − b )) ) Sen ( B )= 2

2

2

2. a . c

2

2

2

+ a + c −b 2 ac − a − c + b √ ( ( ¿ ) ( ¿ ) ) Sen ( B )= 2 ac

2

2

2

2. a . c 2

2

( a+ c ) − b b −( a −c ) √ ( ( ¿ ) ( ¿ ) ) Sen ( B )= 2

2

2. a . c

ustituyendo en 93)+ 2

2

( a + c ) −b b −( a−c ) c . a  √ ( ( ¿ ) ( ¿ ) )  A =  x 2

2

2. a . c

2

2

2

( a +c) − b b −( a −c ) √ ( ( ¿ ) ( ¿ ) )  A = 2

2

4

2

2

2

 ? utilizando de nuevo la descomposición de la dierencia de cuadrados como suma por dierencia, nos 7ueda+  A =

√ ( b + a −c )( b− a + c )( a + c − b)( a + b + c ) 4

Ainalmente, introducimos el & dentro de la ra4z 7uedando 1#, y si observamos 7ue 9bBac)!2 = 9sc)!2, y 7ue 9baBc)!2 = 9sa)!2 y as4 sucesivamente, lleamos a la órmula inal escrita anteriormente.  A = √ S ( S −a )( S −b )( S − c )

 A3l!2a2!@n $e la 9@&ula:  ntes de aplicar esta órmula, primero se tiene 7ue trianular todos los sondaes 7ue se encuentran con ley y potencia respectiva. simismo tendremos las coordenadas de estos sondaes 7ue se utilizara para el c0lculo de los lados de cada tri0nulo.

>enemos la trianulación de los sondeos+

emplo+ >omamos los datos del tri0nulo *D$2

T&!angul' 5



S'n$e'+

E

N

P'1en2!a- 

Le# -/

5 ' 1$

5$.$2 #$.% 5$.5

%$.15 #$.# #$.35

5.$ (.2 (.%

&.3 #.5 2.(

  hora calculamos la distancia EaF 7ue se encuentra entre las coordenadas del sondeo 95$.$2%$.15) y el sondeo 9#$.%#$.#) y aplicamos la órmula+ d = √ ( X  2 − X  1 ) +( Y  2 −Y  1 ) 2

2

Gistancia EaF a =√ ( X 2− X 1 )

2

2

+(Y  2 −Y  1 )

a =√ ( 50.02−60.08 )

2

2

+( 80.15−60.6 )

a =22.325 m

 Ge la misma manera calculamos la distancia EbF 7ue se encuentra entre las coordenadas del sondeo 95$.$2%$.15) y el sondeo 095$.5#$.35) y  aplicamos la órmula+

Gistancia EbF b =√ ( 50.02−50.5 ) +(80.15 −60.35 ) 2

2

b =19.806 m

 >ambiHn calculamos la distancia EcF 7ue se encuentra entre las coordenadas del sondeo 9#$.%#$.#) y el sondeo 095$.5#$.35) y aplicamos la órmula+

Gistancia EcF c =√ ( 60.8−50.5 ) +( 60.6 −60.35 ) 2

2

c =10.303 m

  hora calculamos el emiper4metro. s=

s=

a + b+c 2

22.325

+ 19.806 + 10.303 2

s =26.17 m

 Calculo de 0rea +  A = √ S ( S −a )( S −b )( S − c )  A = √ 26.17 ( 26.17−22.325 )( 26.17 −19.806 )( 26.17 −10.303)  A =102.03 m

2

:ealizamos los mismos pasos 9Gistancia a, b, c, semiper4metro, 0rea, altura o potencia promedio, ley promedio, volumen, tonelae y cantidad de mineral) para tos los tri0nulos obtenidos y nos 7uedar4a una tabla con todos estos datos calculados como el 7ue podemos observar en el 6cel.

C
ean -1 y -2 dos rectas 7ue se interceptan en punto  cuyos 0nulos de inclinación son I1 y I2 respectivamente. l 0nulo 7ue orma la recta -1 con la recta -2 se deine como el 0nulo J.

 De e+1e '$' el ngul'  e+1 $a$' 3'&:  =   K  

 Cal2ul' $e 3en$!en1e $e 2a$a &e21a L0 Y L5

 dem0s+ m1= tI1 y m2 = tI28888888888888888888L

 Un ngul' e+3e2!9!2a$'  9'&a$' 3'& $'+ &e21a+ e+1 $a$a 3'& la

9@&ula:

sta órmula se deduce de la siuiente manera+ • •

abemos 7ue+ J = I1 K I2 ntonces aplicando tanentes se tiene+  = 91 K 2)

•

ntonces resolviendo dierencia de dos 0nulos se tiene+

88888LL

:eemplazando la ecuación L en LL, obtenemos+

•

 plicamos arco tanente para obtener EJF

 Una "e= *alla$' , a3l!2a'+ la 9'&ula 1&!g'n'1&!2a 6ue e+1

$a$a 3'& la +!gu!en1e 9'&ula:

c

b

 Cal2ula'+ la &ea A0 $e la 3&21!2a, 2'n l'+ 3&'2e$!!en1'+

$a$a+ an1e&!'&en1e

M Pa+' 0: calculamos las pendientes+ Calculamos m1 y m2

m1 = 9?2?1!M2M1)N del punto 1# al 1$ m1 = 9#$.35 K &$.1$)! 95$.5 K 3$.2$) 0

 .H O2 = 9?2?1!M2M1)N del punto 1# al 5 O2 = 9%$.15 K &$.1$)! 95$.2$ K 3$.2$) 5

 5.50 Pa+' 5: calculamos el 0nulo J. Tg  -5.50  .H-0K.H5.50

Tg  .;;

→

  0.H

Pa+' ;+ calculamos las distancias desde el punto 1# al punto 1$ y la distancia del puno 1# al punto 5.

0  0-B  5.H  0  -A  >>.  @o+ estas distancias se obtiene aplicando it0oras

Pa+' >: calculamos el 0rea por la ormula trionomHtrica  <&ea ABC  -25 -+en B  5.H C  >>.  <&ea ABC  -5.H>>.5 -+en0.H  <&ea ABC  5. 5> Q5 Pa+' : (a2e'+ l'+ !+'+ 2l2ul'+ 3a&a 2al2ula& A5, A;, A>, A0; # l'+ !+'+ 2l2ul'+ 3a&a 2al2ula& la+ &e+e&"a+.

 
 Ve21'& 3'+!2!@n: un vector posición, es un vector cual7uiera el cual identiica la posición de un punto en el plano cartesiano o en espacio e llama vector de posición al vector 7ue tiene como orien el orien de coordenadas del sistema de reerencia y como e6tremo el punto donde se encuentra el móvil en cada instante.

P&'$u21' "e21'&!al: n matem0ticas, el producto vectorial de Pibbs o producto cruz es una operación binaria entre dos vectores en un espacio tridimensional. l resultado es un vector perpendicular a los vectores 7ue se multiplican, y por lo tanto normal al plano 7ue los contiene. Gebido a su capacidad de obtener un vector perpendicular a otros dos vectores, cuyo sentido var4a de acuerdo al 0nulo ormado entre estos dos vectores, esta operación es aplicada con recuencia para resolver problemas matem0ticos, 4sicos o de inenier4a.

ean dos vectores a y  en el espacio vectorial . l producto vectorial entre a y  da como resultado un nuevo vector, 2. l producto vectorial entre a y  se denota mediante a Q , por ello se lo llama tambiHn producto cruz . n los te6tos manuscritos, para evitar conusiones con la letra  9e7uis), es recuente denotar el producto vectorial mediante+

l producto vectorial puede deinirse de una manera m0s compacta de la siuiente manera+

Gonde es el vector unitario y ortoonal a los vectores a y  y su dirección est0 dada por la rela de la mano derecha y J es, como antes, el 0nulo entre a y  .  la rela de la mano derecha se la llama a menudo tambiHn rela del sacacorchos.

P&'$u21' "e21'&!al $e $'+ "e21'&e+ ean los vectores concurrentes de anterior. e deine el producto+

, el espacio a4n tridimensional sen la base

Gonde )  es el producto vectorial de u y  " , deinido as4+

Gonde la ltima órmula se interpreta como+

sto es+

Rsando una notación m0s compacta, mediante el desarrollo por la primera ila de un determinante simbólico de orden 3 9simbólico ya 7ue los tHrminos de la primera ila no son escalares)+

;ue da orien a la llamada rela de la mano derecha o rela del sacacorchos+ irando el primer vector hacia el seundo por el 0nulo m0s pe7ueño, la dirección de es el de un sacacorchos 7ue ire en la misma dirección.

CALCULO DEL
y

, no paralelos. @bserve la iura+

>omando como base a , tenemos+ area= base∗altura

@bserve 7ue

entonces

 ? por la propiedad del producto cruz+

 
es la mitad del 0rea del

Área Triángulo =

P&'2e$!!en1' 3a&a el 2l2ul' $e &ea $el 1&!ngul': 1. rimero se orman dos vectores entre los puntos dados, tomando arbitrariamente el orden de estos puntos 9vector posición de los puntos dados) emplo+

n este caso el vector posición de dos lados ser0+

y

2. Conociendo los vectores y hallamos el producto vectorial de estos  vectores 9del eemplo anterior).

3. osteriormente se obtiene el módulo de la resultante del producto vectorial de los vectores y &. Ainalmente se divide entre dos ala resultante del producto vectorial, para asi obtener el 0rea del tri0nulo ormado por los vectores

y

E7e&2!2!' &e+uel1': Geterminar el &ea $el 1&!ngul' cuyos vHrtices son los puntos 91, 1, 3), S92, T1, 5) y C9T3, 3, 1).

-a órmula a usar ser0+

S'lu2!@n.

M?TODO DE LAS MATRICES Rna matriz es un arrelo bidimensional de nmeros 9llamados entradas de la matriz) ordenados en ilas 9o renlones) y columnas, donde una ila es cada una de las l4neas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las l4neas  verticales.  una matriz con n ilas y m columnas se le denomina matriz nporm 9escrito n 6 m) donde

n , m ∈ N −{  0 } , l conunto de las matrices de tamaño n 6

m se representa como

 M n∗m ( K ) , donde U es el campo al cual pertenecen las

entradas. l tamaño de una matriz siempre se da con el nmero de ilas primero y  el nmero de columnas despuHs. -a órmula es+

@ tambiHn se puede escribir asi.

 =

|| a c e a

b d f  b

1

 =

2

 9a 6 d B c 6  B e 6 b) K 9b 6 c B d 6 e B  6 a)

-a e6presión nemotHcnica consiste en indicar las coordenadas de los vertices, repitiendo el primero al inal, para indicar el cierre del tri0nulo, de manera 7ue se suman los productos obtenidos mediante diaonales recorridas en el sentido restan los productos obtenidos mediante diaonales en el sentido

y se

.  la orma

descrita de calcular los productos de las diaonales, sumando o restando el resultado en unción del sentido de la diaonal, lo llamamos productos cruzadosV. Con este mHtodo hallamos las 0reas de los tri0nulos. ntonces hallaremos el tri0nulo nmero 3 por mHtodo de matrices.

#9%$.52, ($.15)

59%$.15, 5$.2$)

'9#$.#$, #$.%$)

 A; =

|

|

60.60

60.80

80.52

70.15

80.15

50.20

60.60

60.80

1

 A; =

2

 9#$.#$6($.15 B %$.5265$.2$ B %$.156#$.%$) K 9#$.%$6%$.52 B

($.156%$.15 B 5$.2$6 #$.#$)  3 = 1'#.'(2 m2

Cal2ula'+ la 3'1en2!a 3&'e$!' $e 2a$a 1&!angul'.

0.>.

Ge la ormula hecha en clases, se tiene+ /prom =

0..

 pot 1 + pot 2 + pot 3 3

 Cal2ula'+ "'luen 3a&a 2a$a 1&!angul'.

Ge la órmula+  W=  6 /prom emplo trianulo 3+  W = 3 6 /prom  W = 1'#.'(2 6 5.%  W = 11&2.&3(#

0.. Cal2ula'+ la le# $e !ne&al 3&'e$!' 3a&a 2a$a 1&!angul'. emplo trianulo 3+

-ey mineral =

ley 5 x H  5 + ley 6 x H  6 + ley 9 x H  9  H  5 + H  6 + H  9

-ey mineral =

+

+

4.3 x 5 3.8 x 5.2 3.6 x 7.2

+

+

5 5.2 7.2

-ey mineral = 3.%#

0.H. (alla'+ la+ 1'nela$a+ 1&!2a+ 3a&a 2a$a 1&!angul'. Gel eemplo anterior se tiene+ >O = W 6 ρ >O = 11&2.&3(# 6 3.5

>O = 3''%.531#

0..

P'& ul1!' *alla'+ la 2an1!$a$ ; = 3''%.531# 6 3.%# ; = 155&3&.331'%

Re+ul1a$'+ -os resultados por cada mHtodo de c0lculo de 0reas de una sección trianular se pueden ver en el 6cel, y el resultado eneral al iual 7ue lo anterior.

 AREA

POTENCI  A

 VOLUMEN DENSIDA  D

TM

LEY MEDIA



 1  2

1'(.$$( 1$2.$$(

(.$$$ #.##(

13('.$&' #%$.$&(

3.5 3.5

&%2#.#(2 23%$.1#3

3.$%1 &.&#%

1&%($.(&5 1$#3&.5($

 3  &

1'#.'(2 1&'.#3&

5.%$$ #.1#(

11&2.&3% '22.(&3

3.5 3.5

3''%.532 322'.#$1

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2$23#.2&( 15&53.2$2

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23%.#31

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25($2.15$

 #  (

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3.5 3.5

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3.5 3.5

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 11

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 12  13

3&#.#%2 %'.$##

%.3#( %.$33

2'$$.5(3 (15.&'(

3.5 3.5

1$152.$$5 25$&.23'

&.&3& &.#1#

&5$1#.#5% 1155%.'%5

TOTAL

H0.;

5>55.;5

 Calculo hecho en 6cel.