Modelado de canales parciales en arrollamientos tipo hélice. Jorge Leiva. I+D. GTIC. TTE.SA.
En este trabajo se presenta un modelo para describir el comportamiento de la transferencia térmica en arrollamientos tipo hélice que poseen canales parciales de refrigeración.
Nomenclatura: : Resistividad del material conductor. ρ : j :Densidad de corriente. z : Factor de Foucault. A : Sección de cada conductor. ba : Altura axial del conductor desnudo. zi : Espesor bilateral de aislación entre entre conductores. n : Número de conductores entre canales axiales. nscp : Número de conductores entre canales axiales, sin considerar los canales parciales. nccp : Número de conductores entre canales axiales, considerando los canales parciales.
Figura 1: Vista superior. Arrollamiento con canales parciales.
Salto térmico Cobre – Aceite: Para un problema de transferencia de calor unidimensional en estado estacionario, el salto térmico medio (∆ ( ∆T ) de un cuerpo sólido axi-simétrico (arrollamiento tipo hélice) hacia un fluido circundante (refrigerante) puede escribirse como: ∆T = qR (1) donde R es la resistencia térmica del sistema;
1
R = Rwa +
( n − 1)( n − 2 ) 6n
Rwb ,
(2)
y q la generación interna de calor: q=
ρ j 2 (1 + z ) A ba + zi
n = q1n .
(3)
Combinando las ecuaciones (1), (2), (3) obtenemos un expresión explícita para el salto térmico:
Es importante notar que, las ecuaciones mostradas anteriormente se derivan de un modelo geométrico bidimensional correspondiente al plano ( r, z) del arrollamiento; es decir, corresponden a una posición angular ( θ ) fija. Debido a la axi-simetría del modelo, estas se consideran válidas para todo el arrollamiento. Sin embargo, cuando el arrollamiento posee canales parciales, dicha axi-simetría se pierde. Por lo cuál, dado que se desea obtener un valor representativo del salto térmico medio, resulta conveniente promediar el resultado obtenido para dicha variable en todos los planos (r, z); es decir para todos los valores de θ :
Es importante notar que, debido a la alta conductividad térmica del cobre, la distribución de la temperatura en la dirección tangencial θ es aproximadamente homogénea; es decir no existen gradientes importantes entre las zonas cercanas a los canales parciales y las zonas alejadas de estos. Resolviendo de manera explícita la primera de las integrales en la expresión (6) tenemos (Ver Figura 1): 1 2π
donde se ha definido el factor de “cubrimiento” k γ del canal parcial como: k γ =
γ
(12)
π
Aplicando la misma técnica de promediado a la segunda integral de la ecuación (6) tenemos: 1 2π
2π
∫ ( n( ) − 1) ( n( ) − 2 ) dθ = ( n θ
θ
scp
)(n
−1
scp
−2
) 1 − kγ + (n
ccp
)( n
−1
ccp
−2
) kγ .
(13)
0
Finalmente, reemplazando las ecuaciones (11) y (13) en la ecuación (6) obtenemos: ∆T
θ
=
q1 Rwa nscp 1 − kγ + nccp kγ +
Rwb
( nscp − 1) ( nscp 6 Rwa
−2
) 1 − k
γ
+ ( nccp − 1)( nccp
−2
) k (14) γ
y reagrupando términos ∆T
θ
=
q1Rwa nscp +
Rwb
6 Rwa
(n
scp
)(n
−1
scp
−2
) 1 − kγ + n
ccp
+
Rwb
6 Rwa
(n
ccp
−1
)(n
ccp
−2
) kγ , (15)
o bien ∆T
θ
θ
= ∆T scp
θ ccp
(1 − kγ ) + ∆T ( kγ ) .
(16)
Es importante notar que, a causa de la dependencia no lineal de ∆T con n, el salto térmico correspondiente al valor de “ n promedio” no es igual al salto térmico promedio: ∆T
θ
θ
( nscp (1−kγ )+nccp ( kγ ) )
≠ ∆T scp
θ ccp
(1 − k ) + ∆T ( k ) . γ
γ
(17)
Solamente en el caso límite Rwb Rwa
1,
(18)
es posible aproximar el salto térmico promedio como: ∆T
