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G r a f i t o
S i l i c i o
C u a r z o
D i a m a n t e
P i r i t a
p U e n r i s ó d ó i l i c o d o t c r i r d i s i m t a e l n n i s o i s o n e a c l d a r e a c á t t o e m r i z o a s p , o i r o n e u n s o o r m d e o n l a é c m u e i l n a s t o
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C E R S T I S R T U A C L T I N U AR A
C a p í t u l o 1
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c o f o r C m m u p a a u r n e u d s n o t o s u ó n s l e d i c a o o n e , j s s u t u n a b e t o l n d e ; e r e l g a í á t d a o i f t e o m r t e a o n l s c E o i 2 m a E d e o l 1 b é -E e c u 2 á l = r a ∆ t s e E n , c e c , r o s n e u e n d n v e e a n r l g o o í m r a i t i n n f o a e t a e r i l n o e r 1 E r a , g í E s a 1 e d p u e a n r e c a n o h q p e u a s e a i e r ó n l
c r i E s n t a t l o i n o d o d s e o l b s e c c o a s r r o e s s s p e o n d d e e b ,r e r e e n c e o l r e d s a r t a q d u o e b a a l s e e n , e a g l r í m a í n p i m o t o e n d c i e a l e d n e e l r o g í r a d p e n o a t e m n i c e i n a l o . t
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• • • c P c M M r o o e i o s m l t r t á a p p e c l l u u i i u n e e l c o o n s a s s t r , t o e h e c s s o i d d d d e n r e o s a h m t t i g i a d t a i u d ó n r i o g s a d s e e d o s , s a n n o s p o l o g , b p o u c l o r n e r m o o s V e m s a t f o n a e l e e r d r n e s o r y e e l l W a e h c e l i a e t a r a l i o l c c s o , i , c s o c o n o e ( K m m s H p o 2 u P e o c O s u t 4 o r ) s r e e n
• • C ó I o n v i a c l o e n s , t e c s o , m c o o l m o o s h e a l l d o i g a m e n e u n r t e o s y y l o l o s s c ó r i x s i d t a o l s e s . o r g á n i c o s
T i p o s d e e n l a c e :
• i L n a t e p r v e r i s e n e e n n c i e a n d e e l á c o t m o m p o u s e e s x t o t r a ñ o s a l o s q u e q u í m i c a m e n t e
• L a e x i s t e n c i a o n o d e i n t e r a c c i o n e s m a g n é t i c a s
• L a s c o n d i c i o n e s d e c r i s t a l i z a c i ó n
• o L m a n o a l é t c u r u a l l a e s z a d e l o s e n l a c e s q u e u n e n a l o s á t o m o s , i o n e s
E l o r d e n a m i e n t o p e r i ó d i c o d e p e n d e d e v a r i o s f a c t o r e s :
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E s t a s n o s o n R e d e s
E s t n a o e d s e u n B a r a R v a e i d s p e r o
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n E o s p p a e c i r m o v i t i a d c o o í
n S o u p p e r e p r m o i s i t i c d ó a i n
E j e m p l o s
a r
a r
3
1
a r
2
E l v o l u m V e n = d e a r u 1 ⋅ an ( a r c 2 l × e d a r a 3 ) d e l a r e d e s
L o s v e c t o r e s d e r e d n o s o n ú n i c o s
e L s a p c a e c l i d o a p d o e r b t r e a l s e l l a n c a i r ó n e . x a c t a m e n t e e l
a r
1
,
a r
2
y
a r
3
d s e e l d a e r n e d o m i n a n v e c t o r e s
d M e a t r t e a s m l á a c t i i c ó a n m d e e n v t e e l c a t o R r e e s d : d e B r a v R r a i s = s e n d e 1 a r s c 1 r i + b e n c o 2 a r om 2 + un a n o 3 a r p e r 3 a c i ó n
c R a E d D a p D u E n t o B R t i A e n V e A I i S d é : n A t i r r c a e g v l e o c i n i n f n d i i a t d o d e p u n t o s e n e l e s p a c i o , e n e l q u e
D e f i n i c i o n e s
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E s t a n o e s u n a R e d d e B r a v a i s
R e d
B a s e
+
E j e m p l o
⇒ E s t r u c t u r a C r i s t a l i n a
B a s e = g r u p o d e á t o m o s q u e f o r m a n l a c e l d a u n i d a d :
A r r e g l o p e r i ó d i c o d e á t o m o s e n l a r e d d e B r a v a i s
E s t r u c t u r a C r i s t a l i n a
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U n a c e l d a p r i m i t i v a t i e n e e l v o l u m e n m í n i m o
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C e l d a p r i m i t i v a
C e l d a p r i m i t i v a C e l d a a r b i t r a r i a
P e r o e s u n a R e d d e B r a v a i s c o n b a s e = e s t r u c t u r a c r i s t a l i n a
E j e m p l o
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C u b o
O c t a e d r o t r u n c a d o
D o d e c a e d r o r ó m b i c o
↓
↓
↓
E j e m p l o s d e c e l d a s d e W i g n e r S e i t z
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s E i l m e e c c t r i í a ó n c m o m á p s l s e i m t a é d t r e c i l a a r d e d e C e l d a P r i m i t i v a , q u e p o s e e l a
C e l d a d e W i g n e r S e i t z
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⇒ c o s φ
( 0 ,2 a c o s
a
=
2 + 1 m
( 2 c o s
( 0 , 0 )
φ
−
1 )
=
( a s e n φ , a c o s φ
−
a
)
-1
1 0
m
1 1 0 6 8 2 9 0 φ 0 0 0 2 3
4
1 6
φ
)
( 0 , a )
φ
m a
-2 3
−
a
n
( a s e n φ , a c o s φ )
D e m o s t r a c i ó n
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2 π C / n o , m n o = a l 2 r , e 3 d , e 4 , s y d i 6 s . c A e r l t r a e s , p e x e s i c t t i v e o s e o l j e o r s o e t l a c e i l l o n a m e a s e s u j e b m “ ú e n l i a t p r l i o o s ” d e 2 π :
e - R s U o i n n t a e a l e c t i e j r o r o a n d t a a a c l d o i e n s a p l u d é e s d u n e a l a e r r d o t a d c e i B ó r n a e v n a i a s l e g ú s n u n á a n g l u í n l e o a t a l q u e l a r e d
T r a s l a c i o n a l R r
=
n 1 a r
+
1
n a r
2
+
2
n 3 a r 3
S i m e t r í a s
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p a P r a l a l n e l o a s a d l e p d l e a n o s l i z e a s m p e e i c n u t l o a : r . p r o d u c t o d e u n a r e f l e x i ó n p o 1 r u n t r a s l a c i ó n o t n e i m a z i l s e d e d o n a l p
R o t o 6 4 3 2 1 i n v e r s i ó n R o t 3 ~ 4 ~ 6 ~ 1 ~ 2 ~ o r e f l e x i ó n
R o t o i n v e r s i ó n s e n a r i a
R o t o i n v e r s i ó n c u a t e r n a r i a
R o t o i n v e r s i ó n t e r n a r i a
P l a n o d e r e f l e x i ó n
C e n t r o d e s i m e t r í a
s í m b o l o c o n v e n c i o n 6 4 3 m 1 a l
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d i e n v R r e o r o t s o t a ó i n c i n v i ó r e n e r s s i p o e n : c p t o r a o d u u n c o p t u d n e t o u O n c a r o o n t t e a n c i i ó d n o p e o n r e u l n e a j e i n A S i v m e → e r B s t r i c a í ó n o p n o r r o r t a o c t o i ó i n n v d e r e s 9 ó i 0 n º : +
r - R e R o S f P t l a e o t ( l o t x q n x o a , i c ó e r i y o ,z u n f o e p l n ) u e e r p x e o n a i s c ó p i n C r o l u : a n n p o t t e o r r s o m a d p n P a ’ s u u s ( f x o c e o ’ c t , o s r i 1 m y ’ a 8 d , t d 0 a z e a c ’ a º s u s ó i ) s n a n e a u x d r ’ e n o = d c t a e -x u c n i , c e ó r y d t n ’ e o p = d o e - u r S y n s u , i m p i m n b z u e a ó ’ = n l i t t c r í a -z o a m . O e n , t e
2 ~
m
B A
4
s e r e p r e s e n t a c o n 1
P
P ’
I n v e r s i o n e s ( C e n t r o d e s i m e t r í a )
i m L R l e a e v f g a l e n e n x a i r o e o n s t p d e e o s c p t o u ( P n a l a t o n u n d o e d p l u e a n n s o c i m r e e s i t s p t a r í e l a c a ) u c l o a r n . i S c i i m d i r b ó c l o i c n a m s e u n t e s e r e p r e s e n t a c o n l a l e t r a
m
P
P ’
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E j e m p l o s : r T o d u r o q n u i e t a s a [ M [ n C ( S u A i 6 l O 3 ( P ) ] , O w 4 4 o ) l . l a ( O s t o H n 8 i ) t a . 5 [ C H u 2 ( S O , i ] O 3 ) ] .
b S i n e a c r i o o n s s i n d o e r c a o u i n c n i r d a e n d c o o b l i n c u e a l a .E n l t e p r r i ó o r , x i d m e o m s a e n c e o l r o a c q a u d e e n o m a t e n n e g a r a q s i m u e e s t r í u s a s e j e s
S i s t e m a t r i c l í n i c o : S i n s i m e t r í a s
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R e d e s t r i d i m e n s i o n a l e s
R ( 6 m m ) : H e x a g o n a l a 1 = a 2 ; β = 1 2 0
6
o
R ( 4 m m ) : c u a d r a d o 4
a 1 = a 2 ; β = 9 0 o
R + r R e e f l c e t a x n i g ó u n l ( a r 2 m m ) : a 1 ≠ a 2 ; β = 9 0 2
o
o R R 2 r e e c + d t a r r n e ó f m g l u e b a l x i r i c a C ó n e ( n 2 t r m a d m o ) : a 1 ≠ a 2 ; β = 9 0 o
R ( 2 ) : O b l i c u a s 2
a 1 ≠ a 2 ; β
T i p o s d e r e d e s 2 -D
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E j e m p l o O s : A l i v a r i n g o o [ n ( i M t o g ( , C F e a C ) 2 S O i 3 O ) 4 , ] , c r i s o b e r i l o ( B e A l 2 O 4 ) , t o p a c i o [ A 2 l ( S i O 4 ) ( F , O H ) 2 ] .
C C D
D
B
c o e t r n o t r r r a d ó o m b i c a d e b a s e
o r t o r r ó m b i c a s i m p l e
c o e t r n o t r r r a d ó o m b i c a d e c a r a
c o e t r n o t r r r a d ó o m b i c a d e c u e r p o
B
b d m S S a i r a e i s e n c s e c e o t c t a a n e e m r s n e q d i m t r n u e a a e r d t e a a a s u o o y r r s r t i p u d b n o e a u a r n r r c d t a e o e r B s d ó a r m e c , e b c e C s n , t é t i a c t n n r o a o g d d D i r u a . e l : R c a r D e t o o s a m u u s l n t a e n a e 4 t e e e r j r d s e a d r r b r i ó i e b n s a m a : d b s e c i r i i m a o l . s p o l s E p e l , p p d u r e r e n ó p t x e o c u s i m n e d o d r i e p l s c o p e u c r l i c a e m r n e o l e t r r o c s a a d p l d e o a n , n e t d o r e o e
s í
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E j e m p l o s : a m y e r s o s e s o n c ( o o C p v i a i t r a i S t a [ K O ( F A 4 e 2 l .2 A ( H s A 2 l O S S ) i ) , 3 s O ,v a 0 1 c ) o l f a ( r O a r o H m s ) i a 2 t a , ] á , [ c ( F i e d o , M t a n r t ) á W r i O c o 4 . ] ,
C D
m o n o c l í n i c o s i m p l e c m e o n n t r o a d c í o l n i c o d e c u e r p o
B
m p d S i r e o u n e n t c o o t c c s a o l mn í n ,B e s i d i c n e a C t r e a d , a u e o r n r c D i a u .E b e a r l d e r p p e d o r o i l b c m o e e s l i n r p c u o t r a a p u n . d r t o o o E l . d s p u d r c e ó e l x l p i a m i o r r m e d e s r e m p c o a o n l l n o o o c , c a l í n o d i c d e a i r m s e a i m c n t a p m e l a e e r ; n q e t l e u s a e e r s g r i u s u b n a p d d u o e n , o l o l t a s s r e e d s t á n
S i s t e m a m o n o c l í n i c o : P r e s e r v a s i m e t r í a b i n a r i a
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E j e m p l o m n s : i e t r C t a a l l t o o e r s d u r e c o o c s m a d l e o c i s F o o e [ , C d i A a o u 2 , ( , N d A e g O c , 3 e C ) 2 s i u ] , o ó y x d i e d o p s o c t o a m c i o o , M s n u l f O u r y o C d u e O p 2 l , o m d o i a m ( S a P n b t e ) , ,
C
D
c ú b i c a s i m p l e c c e ú n b t i r c a a d d o e c u e r p o c c e ú n b t i r c a a d d o e c a r a
B
4 d d S 5 e e e º l l c c o d p u n e r i m m e a d s i r d a r a n p d e r e a o a r l a n , u d n q o e a u ( d s e i e e r s m m d u p a s e l n c u p ) e u o r a a d n r t a o d i r q u d s e e a e c t s .E s a t l a m u n e s p r p n u ó d t x i e r n e a t i m o o c t s a r r i e s m b e e a s é c n d t n o t e e d l o s B i r c o ( e a b c c a r u t e e a u r m n C p a y o e n d D c t i e e s n a a t ( c t r r n a a r i c r d b a a a i c o i , d g e ) n o e u a t l l r g o a i r s a d a l a n p d ) u e . d n l o t l a o s a d o
S i s t e m a c ú b i c o : C u a t r o e j e s c u a t e r n a r i o s p e r p e n d i c u l a r e s e n t r e s í
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E j e m p l o s : p c i i r r c o ó l u n s ( i t a Z r ( M S i n O O 4 ) 2 , ) c a l c o p i r i t a ( C u F e S 2 ) , r u t i l o ( T i O 2 ) ,
B
t e t r a g o n a l s i m p l e
c t e e n t r t r a g a d o n o a l d e c u e r p o
s d p S i m i r u n e p e c t o c o l t e a n ; m s s e e e i d l n s t e s á r e t n a g e d a u u i n r n r a r d b i e c o a t r , e l d a m d a e e r l n c u e d o a s t e d t e p r a a u t r n r d r a i a b g t a .E o o s n d l a B p l .E e r l ó c o u l s x e p p i m r r p i u o m n o t s c e r o e e o n p s c d t o r e r l a o l o d d p c o u r a i . c m e e d l r e a m r p a l e n d a n e o t r e , a t o r q a u g e o n s a u l s
S i s t e m a t e t r a g o n a l : E x i s t e n c i a d e u n e j e c u a t e r n a r i o
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E j e m p l o s : e ó g r s x a m d i f i o e t r s o a , l c s d a o m u l f [ o u ( r B l o e a s 3 c A i d n e 2 l c ) ( i c S t a a d 6 i ( m O Z 1 n i 8 O o ) ] ) ( , S b C e d ) r i l y o s d c e o z m i n o c l ( a S Z n ) ,
p S u e n t o c o s n e s i s d t á e r n a d u i r n e c a r t a e m d e h n e x t e a a g o r r n i a b a l d .E e l l p o r s ó p x m u i n o t o s s e d c e o l o l p c r i a m e d r e p m l a a n n o e . a r q u e s u s
S i s t e m a h e x a g o n a l : E x i s t e n c i a d e u n e j e s e n a r i o
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E j e m p l o c s o : r H i n d e m ó a n t i ( A t a l 2 ( F O e 3 2 ) , O c ) a 3 l , c i d o t a l o ( C m i a t C a o [ C 3 ) , a s M i g d e ( C r i O t a 3 ) ( 2 F , e ] s C u O l f 3 u ) r . o d e n í q u e l ( N i S ) ,
p c S e r i m n e r c e t o r o n s p d s i l a e d e n l r o o , s a d t u e r n i a m á n r a g n u e d e o l h r a s e x q e a u s g e t é o n n n o d a i . t r l e e n c E l g t p a a r m ó e e j e n x i m s t e o s e a s n r e r a b i c r i a o o l s d o . e c l a o s d e p m u a n n t o e s r d a e q r u e e d o l d s e l
S i s t e m a t r i g o n a l : E x i s t e n c i a d e u n e j e t e r n a r i o
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H e x a g o n a l
T r i g o n a l
1 ( P )
1 ( P )
γ α a α a = = 1 1 β = a 2 0 = 2 ° 9 ≠ 0 a ° 3
= 1 = β a = 2 γ = a < 3 1 2 0 °
≠
9 0 °
C ú b i c o
3 ( P , ,I F )
T e t r a g o n a l 2 ( P , I )
O r t o r r ó m b i c o
M o n o c l í n i c o
T r i c l í n i c o
4 ( P , C , ,I F )
2 ( P , C )
1 ( P ) ú
m e r o d e r e d e s d e B r a v a i s
α a α a α a α a α a = 1 = = 1 = = 1 ≠ = 1 ≠ ≠ 1 ≠ β a β a β a β a β a ≠ 2 = 2 = 2 = 2 = 2 ≠ 9 ≠ γ ≠ γ = γ ≠ γ a a a a = a = 3 3 9 9 0 0 ° °
= 3 9 0 °
0 ° 3
≠ γ
o m b r e
3
C o n d i c i o n e s
7 s i s t e m a s c r i s t a l i n o s , 1 4 t i p o s d e r e d e s 3 -D
R e d e s t r i d i m e n s i o n a l e s
