Tema 5 – Flexión Hiperestática.
Apuntes de la asignatura Elasticidad y Resistencia de Materiales II
José María García Terán (PTEU)
Departamento de Construcciones Arquitectónicas, Ingeniería del Terreno, Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras
UNIVERSIDAD DE VALLADOLID
Tema 5- Flexión Hiperestática.
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Tema 5 – Flexión Hiperestática.
Indice: 5.1.- Introducción. ........................................... .................................................................. ............................................... ............................................... ................................2 .........2 5.2.- Métodos de cálculo de vigas hiperestáticas de un solo tramo........................................ tramo................................................3 ........3 5.2.1. Método basado en la ecuación diferencial de la línea elástica. .........................................3 .........................................3 5.2.2. Método basado en eliminación de vínculos. ............................................... .....................................................................4 ......................4 5.2.3. Método basado en el principio de superposición. ............................................ .............................................................4 .................4 5.3.- Vigas continuas. .............................................. ...................................................................... ............................................... .............................................. ........................5 .5 5.3.1. Cálculo de vigas continuas. ............................................ ................................................................... .............................................. ............................6 .....6 5.4.- Vigas Gerber. .............................................. ..................................................................... .............................................. ............................................... ...........................12 ...12 5.4.1. Posiciones de rótulas en las vigas continuas. continuas. ............................................... ..................................................................12 ...................12 5.4.2. Gráficos de momentos flectores en vigas Gerber.............................................. Gerber............................................................13 ..............13 5.5.- Sistemas de de barras hiperestáticos. Grado de hiperestaticidad de un sistema. ......................15 ......................15 5.6.- Simetría y antimetría en sistemas hiperestáticos................................... hiperestáticos........................................................... ...............................18 .......18 5.7.- Método de las fuerzas para el cálculo de sistemas hiperestáticos. .......................................21 .......................................21 5.8.- Aplicación del teorema de Castigliano para la resolución de sistemas hiperestáticos.........23
5.1.- Introducción.
Se plantearán ahora los casos de vigas sometidas a flexión en las que no se pueden obtener los vínculos del sistema utilizando únicamente las ecuaciones de la estática, denominados sistemas hiperestáticos . El estudio se va a desarrollar para sistemas planos, por lo que el número máximo de ecuaciones linealmente independientes de la estática son tres (dos de fuerzas y una de momentos). Ejemplos de vigas hiperestáticas son l as siguientes:
Se denomina grado de hiperestaticidad de un sistema a la diferencia entre el número de incógnitas y el número de ecuaciones de equilibrio estático linealmente independientes que se pueden plantear. En el estudio de la hiperestaticidad de los sistemas hay que tener en cuenta que los vínculos pueden ser rígidos o elásticos . Un vínculo es rígido cuando, independientemente de la fuerza o 2
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momento que sobre él se realiza, el movimiento es nulo (denominado también vínculo perfecto ); mientras que el vínculo es elástico cuando el movimiento es proporcional a la fuerza que sobre él actúa. Para los casos de momento y giro o fuerza y desplazamiento en un empotramiento A, las relaciones de dependencia son, θ A
= k A M A
y/o
δ A
= k ' A P A
de forma que si el empotramiento es perfecto, los coeficientes de proporcionalidad ( k A, k’ A) son nulos, θ A
= k A M A ⇒ k A = 0
θ A
=0
y/o
δ A
= k ' A P A ⇒ k ' A = 0
δ A
=0
Para resolver la hiperestaticidad de un sistema son necesarias las ecuaciones de equilibrio, pero no suficientes, por lo que se tendrán que aplicar también las condiciones de compatibilidad con el contorno a las ecuaciones de comportamiento del sistema. El estudio se va a desarrollar comenzando por el análisis de los distintos procedimientos de resolución de hiperestaticidad para vigas de un solo tramo, para pasar al estudio de vigas continuas y vigas Gerber, y terminar con el estudio de sistemas de barras. En cada uno de los casos se indicará el proceso necesario para la obtención de las incógnitas. 5.2.- Métodos de cálculo de vigas hiperestáticas de un solo tramo.
Existen distintos métodos para el cálculo de vigas hiperestáticas de un solo tramo. Se van a analizar los siguientes: 1. La ecuación diferencial de la línea elástica. 2. Los teoremas de Mohr. 3. Principio de superposición. 5.2.1. Método basado en la ecuación diferencial de la línea elástica.
La base de este método es la misma que se utilizó en el cálculo de la deformada de una viga a flexión mediante el proceso de doble integración. Para ello se siguen los siguientes pasos: 1- Se plantea la ecuación diferencial de la elástica considerando las incógnitas con notación simbólica (alfabética) como si fueran valores conocidos, obteniendo mediante una doble integración e introducción de las constantes iniciales (también con notación simbólica) las ecuaciones de movimiento. 2- El número de incógnitas del sistema coincide con el número de incógnitas de los vínculos más el giro y la flecha del origen del parámetro longitudinal. 3- Las ecuaciones a plantear son tres del equilibrio estático (sumatorio de fuerzas verticales y horizontales, y sumatorio de momentos nulos) más una por cada condición de compatibilidad debida a los vínculos. 4- En el caso en que los vínculos sean rígidos, si la incógnita es una fuerza reactiva, la compatibilidad consiste en que el desplazamiento de la viga en el punto de actuación es 3
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nulo. Si la incógnita es un momento vincular debido a un empotramiento, la compatibilidad consiste en que el giro de la viga en el punto de actuación es nulo. 5- Se resuelve el sistema planteado y se obtienen las incógnitas. 5.2.2. Método basado en eliminación de vínculos.
En este caso se utilizan un procedimiento basado en la eliminación de vínculos hiperestáticos para la obtención de sus magnitudes. Los pasos a seguir son: 1- Se elige de entre los vínculos, aquellos que al ser eliminados hacen que el sistema se vuelva isostático. A continuación estos vínculos desconocidos se eliminan y transforman, manteniendo la misma dirección y sentido, en cargas desconocidas (con magnitudes expresadas mediante notación simbólica), de forma que el sistema hiperestático se transforma en isostático, pero en el que actúan cargas incógnitas. 2- Se divide entonces el estado de cargas en dos, el correspondiente a las cargas iniciales conocidas, y el de las cargas incógnitas asociadas a los vínculos eliminados para aplicar sobre el sistema en conjunto el principio de superposición. 3- Sobre el sistema ya transformado en isostático y aplicando los estados de carga real e incógnita se determinan las ecuaciones de deformación. Será sobre estas ecuaciones de comportamiento sobre las que se plantearán las condiciones de compatibilidad asociadas a los vínculos eliminados. 4- De manera se plantearán tantas ecuaciones como incógnitas que han sido eliminadas, y el estudio se desarrollará sobre la viga transformada en isostática, a la que se aplicarán las condiciones de contorno del sistema hiperestático inicial. De esta forma, se determinan las magnitudes de las cargas ficticias que cumplen con las condiciones de contorno de la viga hiperestática. 5- La determinación de las ecuaciones de comportamiento del sistema isostático se puede realizar por cualquiera de los procedimientos explicados ene. tema anterior (elástica, teoremas de Mohr, viga conjugada, método de Mohr, prontuario…). 5.2.3. Método basado en el principio de superposición.
Una viga hiperestática de un tramo se puede resolver a partir de obtener los vínculos correspondientes a cada una de las cargas que aparezcan sobre el sistema, actuando de forma independiente, y aplicando posteriormente el principio de superposición. Este método, inicialmente muy laborioso ya que obliga a resolver tantos sistemas hiperestáticos como cargas independientes tenga la viga, puede ser simplificado a partir de la utilización de procedimientos (tablas, programas informáticos) mediante los que, para distintos tipos de vinculaciones de vigas, y distintos estados de carga, se facilitan tanto las reacciones, como los esfuerzos cortantes, momentos flectores, giros y flechas en cualquier sección.
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5.3.- Vigas continuas.
En muchos casos se encuentran estructuras de edificios o cubiertas de naves industriales en las que aparecen vigas de varios tramos ( vanos) denominadas vigas continuas . Desde el punto de vista de su cálculo estas vigas están estáticamente indeterminadas, por lo que hay que resolver su hiperestaticidad. Una viga continua es un prisma mecánico recto sometido a flexión, apoyado en más de dos secciones. Para evitar la posibilidad de que exista movimiento horizontal, al menos uno de los apoyos habrá de ser fijo.
Ejemplos de vínculos existentes en vigas continuas aparecen en la figura siguiente,
Las ventajas de las vigas continuas respecto de una superposición de vigas biarticuladas en los extremos que permitieran salvar vanos de igual magnitud son: 1- La viga continua es más económica, debido a la disminución de los momentos flectores máximos de cada uno de los vanos, respecto de los existentes en las vigas biarticuladas equivalentes. Esto es debido a la aparición de momentos flectores en los apoyos intermedios de la viga continua (efecto que no existe en los apoyos de las vigas biarticuladas), lo que reduce el momento que aparecería en la viga biarticulada correspondiente y permite disminuir la inercia necesaria de la sección. 2- La flecha máxima de una viga continua también es menor que la flecha máxima que aparecería en las vigas biarticuladas equivalentes.
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Los inconvenientes de las vigas continuas son: 1- Existe una alta sensibilidad a los descensos de apoyos, de forma que pequeños desplazamientos o giros en los apoyos generan momentos flectores muy grandes. Sin embargo, la viga biarticulada en los extremos es insensible a dichos desplazamientos. 2- La aparición de un gradiente de temperatura en un vano genera grandes momentos flectores. 3- Son más complejas de resolver que las biarticuladas al ser sistemas hiperestáticos. 5.3.1. Cálculo de vigas continuas.
Para la resolución de este tipo de vigas se puede utilizar la ecuación diferencial de la elástica, introduciendo las condiciones de contorno correspondientes a cada uno de sus apoyos; sin embargo existe un método específico de resolución, denominado ecuación de Clapeyron o teorema de los tres momentos . Para la aplicación de este método se va a seguir el siguiente proceso: 1- Se numeran los vínculos de izquierda a derecha comenzando por 0. 2- Se numeran los vanos de izquierda a derecha comenzando por 1.
3- Se corta la viga continua por tres puntos, de forma que se aíslen dos vanos consecutivos ( i y j ), transformando cada vano en una viga biarticulada, e introduciendo como incógnitas los momentos que aparecen en los apoyos ( M i-1, M i, M i+1). En el estudio se plantea como condición de compatibilidad la igualdad de los giros a derecha e izquierda del apoyo en el que concurren los vanos ( θ i,i, θ i,i+1). En la notación indicial utilizada en los giros el primer subíndice indica el apoyo, mientras que el segundo corresponde al vano, luego, θ i,i θ i,i+1
- giro del apoyo i en el vano i. - giro del apoyo i en el vano i+1.
M θ i ,i
M θ i ,i + 1
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4- Para determinar los giros a derecha e izquierda de cada uno de los apoyos, se descompone el estado de cargas en dos: cargas exteriores sobre el vano, que producen giros de magnitud conocida θ io ,i y θ io ,i+1 en el apoyo de estudio, y momentos debidos a las fuerzas interiores en los extremos de las vigas consecutivas, que producen giros de M magnitud desconocida (los momentos hiperestáticos son incógnitas) θ iM ,i y θ i ,i + 1 , pero cuya dependencias con las características geométricas y de material son conocidas, en dicho apoyo. 5- Aplicando el principio de superposición, el giro en el apoyo i debido a cada uno de los estados de cargas de cada vano es, θ i ,i
= θ io ,i + θ iM ,i
θ i ,i + 1
= θ io ,i+ 1 + θ iM ,i+ 1
6- Desarrollando el giro debido al efecto de los momentos en los extremos de cada vano M ( θ i ,M i , θ i ,i + 1 ) en función de la longitud de los vanos ( l i, l i+1), el material ( E i, E i+1) y el momento de inercia respecto de la línea neutra ( I i, I i+1), se obtiene, θ i ,i
= θ io ,i +
θ i ,i + 1
M il i 3 E i I i
M i − 1l i
+
6 E i I i
M il i + 1 M l = − θ io ,i+ 1 + + i +1 i + 1 3 E i + 1 I i + 1 6 E i + 1 I i + 1
El signo negativo en la expresión del giro del apoyo i del vano i+1 ( θ i ,i + 1 ) es debido al criterio de giros de la ecuación diferencial de la elástica, para el caso de cargas gravitacionales. 7- Aplicando el principio de compatibilidad sobre el sistema, y teniendo en cuenta que la deformada de la viga tiene que ser continua, el ángulo girado en un apoyo intermedio de la viga ha de ser el mismo para los dos vanos que concurren en él, θ i ,i
o θ i ,i
+
M il i 3 E i I i
+
= θ i ,i + 1
M il i + 1 M i + 1l i + 1 = − θ io ,i+ 1 + + 6 E i I i 3 E i + 1 I i + 1 6 E i + 1 I i + 1
M i −1l i
8- Manipulando la expresión anterior se obtiene, M il i 3 E i I i
M i − 1
+
M i −1l i 6 E i I i
+
M il i + 1 3 E i + 1 I i + 1
+
M i + 1l i + 1 6 E i + 1 I i + 1
= −θ io ,i − θ io ,i+ 1
l l l + 2 M i i + i + 1 + M i + 1 i + 1 = −6 θ io ,i + θ io ,i+ 1 E i I i E i + 1 I i + 1 E i I i E i + 1 I i + 1
[
l i
7
]
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denominada ecuación de Clapeyron o teorema de los tres momentos . En ella, los giros debidos a las cargas existentes en la viga
o θ i ,i
y θ io ,i+1 se sustituyen en la
ecuación con magnitud positiva si la deformada está situada por debajo de la configuración indeformada (criterio que no coincide con el utilizado en la ecuación diferencial de deformación de vigas). Este hecho ocurre porque el criterio de signos ha sido ya introducido en la fórmula en el paso 6, y de utilizar nuevamente el criterio en la sustitución de los valores θ io ,i y θ io ,i+1 , se utilizaría dos veces pero sólo a un lado de la ecuación, obteniéndose resultados incorrectos. Esto indica que la ecuación de Clapeyron, tal como está formulada, tiene su propio criterio de signos en los giros, siendo positivos los que aparecen en la figura.
La ecuación de Clapeyron se aplica a todos los vínculos en los que exista un momento flector desconocido (apoyos intermedios y empotramientos extremos), de forma que se obtiene un sistema linealmente independiente con tantas ecuaciones (coincidente con el número de vínculos con momento desconocido) como incógnitas. 9- En el caso en que el apoyo origen de la viga sea articulado, el momento en dicho apoyo es nulo, por lo que la expresión para el primer apoyo con momento incógnita ( i=1) de los vanos 1 y 2 es,
l l l 2 M 1 1 + 2 + M 2 2 = −6 θ 1o ,1 + θ 1o ,2 E 2 I 2 E 1 I 1 E 2 I 2
[
]
mientras que si es el apoyo extremo el articulado, la expresión para el apoyo i=n-1 de los vanos n-1 y n es, M n −2
l n − 1 E n −1 I n − 1
l n − 1 l + 2 M n −1 + n = −6 θ no−1 ,n −1 + θ no−1 ,n E n − 1 I n −1 E n I n
[
]
10- En el caso en que el apoyo origen de la viga tenga un voladizo cargado, el momento en dicho apoyo (M o) es conocido, por lo que la expresión para el apoyo i=1 de los vanos 1 y 2 es,
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M o
l l l + 2 M 1 1 + 2 + M 2 2 = −6 θ 1o ,1 + θ 1o ,2 E 1 I 1 E 2 I 2 E 1 I 1 E 2 I 2
[
l 1
]
teniendo precaución de introducir el momento correspondiente con el signo adecuado; mientras que si es el apoyo extremo el que tiene el voladizo cargado, la expresión para el apoyo i=n-1 de los vanos n-1 y n es,
M n −2
l n − 1 E n − 1 I n − 1
l n − 1 l l + 2 M n −1 + n + M n n = −6 θ no−1 ,n − 1 + θ no−1 ,n E n I n E n −1 I n − 1 E n I n
[
]
Con estas expresiones los momentos que aparecen en las articulaciones extremas ( M o y M n) no son incógnitas, pero si se introduce en la expresión a la izquierda de la igualdad, no se pueden introducir los giros que producen como estados de carga a la derecha, ya que se duplicaría su efecto. 11- En el caso en que el apoyo origen de la viga sea un empotramiento, el momento en dicho apoyo es incógnita. En este caso se aplicará el teorema de Clapeyron al empotramiento, en el que se considerará la existencia de una viga ficticia a su izquierda de longitud nula (l 0=0), por lo que la expresión para el apoyo i=0 de los vanos 0 (ficticio) y 1 es,
l l 2 M 0 1 + M 1 1 = −6 θ 0o ,1 E 1 I 1 E 1 I 1
[ ]
mientras que si es el extremo derecho de la viga el empotrado, se considerará una viga ficticia a su derecha de longitud nula ( l n+1=0), por lo que la expresión para el empotramiento i=n de los vanos n y n+1 es,
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M n − 1
l + 2 M n n = −6 θ no ,n E n I n E n I n
[ ]
l n
12- Descenso de apoyos. En el caso en el que existan descensos en los apoyos de la viga continua, aparecerán giros en ellos que deberán tenerse en cuenta en los cálculos. Suponiendo la existencia de tres descensos de apoyos en tres apoyos consecutivos de dos vanos concurrentes ( ∆i-1, ∆i y ∆i+1, en los apoyos i-1, i e i+1, respectivamente), los giros experimentados por el apoyo i de los vanos i, e i+1 (con la condición de que ∆i −1 < ∆i , ∆i > ∆i +1 y ∆i −1 < 0 , ∆i < 0 , ∆i + 1 < 0 , tal como muestra la figura), son,
∆
θ i ,i
=
∆i
− ∆i − 1
∆
θ i ,i +1
l i
=
∆i +1
− ∆i
l i +1
Siendo el primero ( θ i ,∆i ) tal como está expresado una magnitud positiva (considerando los descensos negativos), mientras que el segundo ( θ i ,∆i + 1 ) es una magnitud negativa. Luego las expresiones de los giros en el apoyo i de los vanos i e i+1 debidos al estado de carga de los vanos, los momentos hiperestáticos en los extremos y los descensos de apoyos se obtienen a partir del principio de superposición, θ i ,i
∆ = θ io ,i + θ iM ,i + θ i ,i
θ i ,i + 1
θ i ,i
= θ io ,i +
θ i ,i + 1
M il i 3 E i I i
∆ = θ io ,i + 1 + θ iM ,i + 1 + θ i ,i + 1
+
M i −1l i 6 E i I i
+
∆i
− ∆i −1 l i
∆ M il i + 1 M l −∆ = − θ io ,i+ 1 + + i +1 i + 1 − i +1 i 3 E i + 1 I i + 1 6 E i + 1 I i + 1 l i + 1
y la ecuación de Clapeyron teniendo en cuenta estos descensos de apoyos es,
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M i −1
l l l + 2 M i i + i + 1 + M i + 1 i + 1 = −6 θ io ,i + θ io ,i+ 1 + E i I i E i + 1 I i + 1 E i I i E i + 1 I i + 1 l i
∆i
− ∆i −1 l i
−
− ∆i l i + 1
∆i + 1
13- Obtenidos los momentos incógnita, se aísla cada uno de los vanos concurrentes en un apoyo (i e i+1) y se introducen los momentos hiperestáticos ya conocidos ( M i-1, M i, M i+1). Un método sencillo para determinar la gráfica de momentos flectores es el que aparece en la siguiente figura basado en la superposición de momentos flectores en viga biarticuladas y el diagrama de momentos hiperestáticos.
A partir de las ecuaciones de equilibrio, se obtienen las magnitudes de las reacciones en cada uno de los apoyos de las vigas biarticuladas en las que se ha dividido la viga continua.
Ri − 1 ,i = Rio−1 ,i +
M i − M i − 1 l i
Ri ,i = Ri ,oi −
M i − M i − 1
Ri + 1 ,i + 1 = Rio+ 1 ,i + 1 −
l i
Ri ,i + 1 = Ri ,oi + 1 +
M i + 1 − M i l i + 1
M i + 1 − M i l i + 1
Para la determinación de las reacciones en los apoyos de la viga continua se suman las reacciones en el mismo apoyo de las vigas biarticuladas. Ri ,i = Rio ,i −
M i − M i − 1
M i − M i − 1 M − M i o + Rio ,i + 1 + i + 1 ⇒ Ri = Ri ,i + Ri ,i + 1 = Ri ,i − M − M i l i l i + 1 Ri ,i + 1 = Rio ,i + 1 + i + 1 l i + 1 l i
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5.4.- Vigas Gerber.
Se denomina así a las vigas continuas que se convierten en isostáticas mediante la introducción de tantas rótulas intermedias o articulaciones como grado de hiperestaticidad tiene la viga. La característica mecánica de las rótulas es que en ellas existe transmisión de esfuerzos axil y cortante, pero el momento flector es siempre nulo. En la viga continua de la figura con grado de hiperestaticidad dos, si se colocan dos rótulas en las posiciones G1 y G2 donde los momentos flectores son nulos, la viga se transforma en isostática. El diagrama de momentos flectores de la viga no varía con respecto del correspondiente a la viga continua inicial, pero ahora su resolución es más simple, ya que se puede aislar el tramo entre las secciones G1 y G2 y calcular de forma sencilla los esfuerzos cortantes que aparecen en ellas imponiendo la condición de que sus momentos flect ores son nulos.
Evidentemente para poder introducir las rótulas en las secciones donde el momento flector es nulo es necesario conocer el reparto de momentos flectores, lo cual obliga a resolver inicialmente la viga continua; sin embargo las posiciones en las que se sitúan las rótulas no tienen por qué ser obligatoriamente las secciones donde el momento flector de la viga continua es nulo, sino que se pueden situar en principio en cualquier sección (aunque con algunas condiciones como veremos a continuación), de manera que la introducción de la rótula condiciona a que el momento flector en esa sección se anule. Una primera consecuencia de lo indicado es que las rótulas se pueden situar en cualquier posición, aunque su situación no se pueda realizar de forma completamente arbitraria, ya que tienen que cumplir con la condición de que la viga no se convierta en mecanismo. 5.4.1. Posiciones de rótulas en vigas continuas.
En la figura siguiente se determinan las condiciones que deben de cumplir las posiciones de las rótulas en vigas con apoyos articulados para que no generen mecanismos:
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Tema 5 – Flexión Hiperestática.
1- En vigas continuas de dos vanos sólo se puede introducir una rótula, que puede estar en cualquiera de los dos vanos. 2- No se deben de introducir rótulas en vanos contiguos, por lo que en vigas con tres vanos en las que se introducen dos rótulas, éstas pueden estar o bien una en cada vano extremo, o bien las dos en el vano intermedio. 3- Para el caso de vigas con más vanos se sigue el mismo criterio anterior.
5.4.2. Gráficos de momentos flectores en vigas Gerber
Para distintas disposiciones de rótulas sobre una misma viga continua inicial con el mismo estado de cargas se obtienen distintos gráficos de momentos flectores.
Existe un método sencillo para la determinación de los momentos flectores que aparecen en una viga Gerber y que aparece reflejado en las figuras anteriores. Para su obtención se deben seguir los siguientes pasos: 1- Se dibujan inicialmente los gráficos de momentos flectores que existen entre apoyos de la viga continua sin tener en cuenta las rótulas, y considerando nulos los momentos
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Tema 5 – Flexión Hiperestática.
hiperestáticos que aparecen en los apoyos, como si cada vano estuviera generado por una viga biarticulada en los extremos. 2- Se seleccionan los vanos en la que existan dos rótulas, de forma que como los momentos en ellas son nulos, se unen entre sí mediante una recta que se prolonga hasta las verticales de los vínculos extremos de cada vano. Esta recta se convierte en la nueva línea de cierre para cada vano del gráfico de momentos flectores. 3- Cada uno de los puntos de intersección de la prolongación de la línea de cierre del vano con dos rótulas, con las verticales por los vínculos, se une con la posición de la nueva rótula existente en el siguiente vano (si es que existe) o con el punto de intersección de la línea de cierre con la vertical del siguiente vínculo, creando la nueva línea de cierre del vano. 4- Este proceso se repite con todos los vanos hasta terminar la gráfica. Los momentos ( M 1 y M 2) obtenidos por la intersección de la línea de cierre del vano con dos rótulas con la vertical por los vínculos del vano, se determinan mediante la resolución del sistema de ecuaciones, M (a1 ) + M 1 + M (a2 ) + M 1 +
M 2 − M 1 l 2 M 2 − M 1
M(a1)
l 2
a1 = 0 a2 = 0
M(a2)
donde:
M (a1)- momento flector del vano biarticulado con dos rótulas, en el punto de actuación de la primera rótula. M (a2)- momento flector del vano biarticulado con dos rótulas, en el punto de actuación de la segunda rótula. De lo indicado hasta aquí, se deduce que situando de forma adecuada las rótulas en una viga continua y transformándola en una Gerber, se pueden igualar los valores absolutos de los momentos que aparecen en los apoyos de un vano, con la mitad del momento flector máximo que aparece en dicho vano considerándole como biarticulado. De esta forma se puede reducir el momento flector máximo de la viga, disminuyendo las dimensiones del perfil necesario y optimizando su capacidad resistente.
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5.5.- Sistemas de barras hiperestáticos. Grado de hiperestaticidad de un sistema.
Se considerará ahora el caso de los sistemas de barras hiperestáticos, que son los formados por conjuntos de barras unidas entre sí. El análisis se desarrollará para sistemas planos de barras, que son aquellos en los que tanto las líneas medias de sus barras como las cargas que los solicitan se encuentran en un plano. El primer paso en el análisis de sistemas de barras hiperestáticos es la determinación del grado de hiperestaticidad . Ejemplos de sistemas de barras hiperestáticos planos son los de las figuras siguientes,
La figura a) esta formado por barras que generan un contorno abierto con tres vínculos empotrados, cada uno de los cuales impide tres grados de libertad, por lo que para poder obtener los esfuerzos de todas las barras del sistema hay que de terminar las nueve incógnitas vinculares. Como el número de ecuaciones de la estática es tres (dos de fuerzas y uno de momentos), el grado de hiperestaticidad del sistema es seis. Sin embargo, en la figura b) aunque la vinculación con el exterior es la misma que en el caso a) la determinación de las incógnitas vinculares no es suficiente para obtener los esfuerzos en todas las barras. Esto es debido a que se han introducido contornos cerrados de barras (células). Según esto, los sistemas de barras hiperestáticos se pueden clasificar en: 1- Sistema de barras hiperestático externo. Es aquel que está excesivamente vinculado al exterior. 2- Sistema de barras hiperestático interno. Es aquel en el que las barras están conectadas entre sí formando células, de forma que no se pueden obtener sus esfuerzos mediante las ecuaciones de la estática. 3- Sistema de barras hiperestático externo e interno. Es aquel que contiene al mismo tiempo las dos características anteriores. Se denominan ligaduras superfluas aquellas cuya eliminación no perjudica la invariabilidad de la configuración inicial del sistema; de forma que el grado de hiperestaticidad coincide con el número de ligaduras superfluas. Si se eliminasen estas ligaduras, el sistema se convertiría en isostático invariable. Un sistema isostático invariable es aquel cuya configuración geométrica no puede variar sin la deformación de sus elementos, en contraposición del comportamiento de un mecanismo .
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Tema 5 – Flexión Hiperestática.
Si n es el grado de hiperestaticidad de un sistema, y ne y ni las ligaduras superfluas externas e internas, respectivamente, se cumple que, n = ne + ni
por lo que para calcular el grado de hiperestaticidad del sistema se determinarán primero las ligaduras superfluas externas (ne) y luego las internas ( ni). El cálculo de las ligaduras superfluas externas ( ne) es la diferencia entre el número de incógnitas que corresponden a los vínculos del sistema menos tres, que es el número de ecuaciones independientes de equilibrio estático en estudio bidimensional. Para el elemento de la figura son 7.
Para determinar las ligaduras superfluas internas (ni) primero hay que indicar que un contorno de barras cerrado (célula) equivale a un sistema hiperestático de tercer grado (el terreno, considerado como indeformable, no es una barra que cierre una célula). Esto se hace patente al cortar una célula formada por barras en un punto, ya que ésta se vuelve isostática. La sección dada a la célula equivale a eliminar tres ligaduras internas, que se corresponden con los esfuerzos axil, cortante y momento flector. La introducción de una articulación en un punto de una célula equivale a eliminar una incógnita y reducir en uno el grado de hiperestaticidad del sistema.
Para la determinación del número de ligaduras internas en un sistema se tendrá en cuenta el número de contornos cerrados ( C ) y el número de barras que concurren en cada articulación existente, ya que una articulación en la que concurran b barras equivale a b-1 articulaciones,
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Tema 5 – Flexión Hiperestática.
luego la fórmula para determinar el número de ligaduras superfluas internas es, ni = 3C − (b − 1)
Según esto el grado de hiperestaticidad de los sistemas que aparecen a continuación son:
ne = 7
⇒ n = ne + ni = 28
ni = 27 − ((2 − 1) − (3 − 1) − (4 − 1)) = 21
ne = 3
⇒ n = ne + ni = 3
ni = 0
ne = 0
⇒ n=3 ni = 3
ne = −1
⇒ n=0 ni = 3 − (3 − 1) = 1
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ne = 0
⇒ n=0
ni = 0
Tema 5 – Flexión Hiperestática.
ne = 2
⇒ n=0
ni = 27 − (3 − 1)* 4 − (4 − 1)* 7 = −2
5.6.- Simetría y antimetría en sistemas hiperestáticos.
El grado de hiperestaticidad de un sistema puede disminuir cuando la estructura admite un plano de simetría debido a la forma, material y vinculación, y la carga aplicada presenta simetría o antimetría respecto de él. Una carga es simétrica cuando la parte de la carga que queda a un lado del plano de simetría es imagen especular de la que existe al otro lado, mientras que es la carga es altimétrica cuando la parte de la carga que queda a un lado del plano de simetría es imagen especular de la que existe al otro lado, pero de sentido contrario.
Lo mismo que se puede definir simetría y antimetría respecto del estado de cargas de un sistema simétrico de forma y vinculación, se pueden definir simetría y antimetría en los esfuerzos que aparecen en las secciones afectadas por el plano de corte. Van a existir tres esfuerzos simétricos respecto del plano de corte, que son los momentos flectores y el esfuerzo normal ( M z , M y, N ); mientras que van a existir tres esfuerzos antimétricos que son el momento torsor y los esfuerzos cortantes (M x, T y, T z ). Esfuerzos simétricos: M z , M y, N Esfuerzos antimétricos: M x, T y, T z
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Tema 5 – Flexión Hiperestática.
Debido a la simetría, se pude afirmar que en las secciones de corte del plano de simetría con las barras del sistema: 1. Para estados de carga antimétricos, se anulas los esfuerzos simétricos. 2. Para estados de carga simétricos, se anulas los esfuerzos antimétricos. Estas características hacen disminuir el grado de hiperestaticidad del sistema. Por ejemplo, en el sistema simétrico de forma y vinculación, con estado de carga simétrico de la figura,
de los tres esfuerzos interiores que existen en la sección de corte del plano de simetría con la barra del sistema, dos son simétricos ( N y M z ) y uno altimétrico (T y), por lo que si el estado de carga no fuera simétrico la hiperestaticidad sería tres, pero al ser el estado de carga simétrico, se anulan en esa sección los esfuerzos antimétricos, por lo que si se estudia únicamente la mitad del sistema el grado de hiperestaticidad se reduce a dos.
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Tema 5 – Flexión Hiperestática.
Mz Nx
Si el estado de carga en el sistema fuera antimétrico,
se anulan en esa sección los esfuerzos simétricos, y el grado de hiperestaticidad se puede reducir a uno.
Ty
Algunos sistemas que no presentan simetría en los vínculos, siempre que exista simetría de cargas se comportan como si fueran simétricos.
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Tema 5 – Flexión Hiperestática.
Finalmente, todo sistema que presenta simetría geométrica pero no de carga, se puede descomponer en un sistema de carga simétrico más uno antimétrico.
5.7.- Método de las fuerzas para el cálculo de sistemas hiperestáticos.
Es el método más adecuado para resolver sistemas hiperestáticos de alta complejidad. El método consiste en liberar el sistema hiperestático de las ligaduras superfluas sustituyéndolas por las fuerzas y momentos correspondientes. Al sistema estable así obtenido se de denomina sistema base. Existen una gran variedad de posible sistemas bases para un mismo problema, todos perfectamente válidos para su resolución, pero una elección correcta puede simplificar los cálculos necesarios. En el pórtico de la figura a), el grado de hiperestaticidad es dos, por lo que cualquiera de los sistemas base b), c), d ) podría ser válido.
Los sistemas base obtenidos son los que aparec en por debajo.
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Tema 5 – Flexión Hiperestática.
Si el sistema tiene un grado de hiperestaticidad n, ∆i es el desplazamiento del punto de aplicación de la fuerza por la que se ha sustituido la ligadura superflua X i, y P el estado de cargas del sistema, la condición de compatibilidad del sistema hiperestático se expresa mediante, ∆i
( X 1 , X 2 , K , X n , P ) = ∆iX + ∆iX + K + ∆iX + ∆iP = 0 1
2
n
como, ∆ iX
donde
δ ij
1
=
δ i 1 X 1 ; K
; ∆ iX n =
δ in
X n
es el desplazamiento en el sistema base del punto de aplicación de la fuerza X i, en su
misma dirección, al aplicar una fuerza unitaria X j=1, y siendo ∆ip el desplazamiento en el sistema base del punto de aplicación de la fuerza X i, en su misma dirección, al aplicar la carga P que actúa sobre el sistema. Se plantea así un sistema de tantas ecuaciones, coincidentes con el grado de hiperestaticidad del sistema (n) como incógnitas ( X i), δ 11 X 1 + δ 12 X 2 + K + δ 1n X n + ∆1 P = 0 δ X + δ X + K + δ X + ∆ = 0 21 1 22 2 2n n 2 P M δ n1 X 1 + δ n 2 X 2 + K + δ nn X n + ∆nP = 0
que reciben el nombre de ecuaciones canónicas del método de las fuerzas, y se pueden expresar matricialmente mediante la forma,
[ D]{ X } + D p = {0} donde: - [ D ] es la matriz de los coeficientes de las incógnitas, - { X } el vector de componentes incógnitas hiperestáticas, - D p el vector de los desplazamientos debidos a las cargas sobre el sistema, luego,
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Tema 5 – Flexión Hiperestática.
δ 11 δ [ D] = 21 M δ n1
δ 12
K
δ 22
K
M δ n 2
Los coeficientes de las incógnitas
K
δ ij
δ 1n
X 1 X { X } = 2 M X n
δ 2 n M δ nn
∆1 P ∆ { D p } = 2M P ∆nP
, correspondientes a los desplazamientos debidos a cargas
unitarias, se pueden determinar mediante el método de Mohr, l
δ ij
=
M z o i M z 1 j
∫
EI z
0
l
dx +
N xo i N x1 j
∫ 0
EA
l
dx +
T y oiT y1 j
∫ E
Ω 1 y
0
dx
donde: M z o i , N xo i , T y oi – momento flector, esfuerzo axil y esfuerzo cortante, respectivamente, del
sistema base sometido a la fuerza X i=1. M z 1i , N x1i , T y1i – momento flector, esfuerzo axil y esfuerzo cortante, respectivamente, del
sistema base sometido a la fuerza X j=1. Mientras que los coeficientes
se pueden también determinar mediante el método de Mohr,
∆ip
l
∆iP =
M z P i M z 1 j
∫
EI z
0
l
dx +
N x P i N x1 j
∫ 0
EA
l
dx +
T y P iT y1 j
∫ E 0
Ω 1 y
dx
donde:
M zPi, N xPi, T yPi – momento flector, esfuerzo axil y esfuerzo cortante respectivamente, del sistema base sometido a la carga P aplicada en el sistema. Si se consideran despreciables las influencias de los esfuerzos axil y cortante respecto del momento flector, se tiene, l
δ ij
=
M z o i M z 1 j
∫ 0
EI z
l
∆iP =
dx
M z P i M z 1 j
∫ 0
EI z
dx
una vez obtenidos los valores de los vínculos redundantes, el resto de los vínculos se pueden obtener mediante las ecuaciones de la estática. 5.8.- Aplicación del teorema de Castigliano para la resolución de sistemas hiperestáticos.
Otro método para el cálculo de las incógnitas superfluas de los sistemas hiperestáticos consiste en aplicar el teorema de Castigliano. El método se basa en: 1- Escoger incógnitas superfluas ( X i) que sustituyan a los vínculos y lleven a un sistema isostático base, igual que en el método de las fuerzas. Estas incógnitas se consideran cargas desconocidas que junto con las conocidas deben dar lugar a deformaciones compatibles con las condiciones de contorno que imponen los vínculos reales. 23
Tema 5 – Flexión Hiperestática.
2- Determinar la energía interna del sistema debido a la acción conjunta de las cargas conocidas y las reacciones superfluas. W = W ( X 1 , X 2 , K , X n , P )
3- La condición de compatibilidad será, ∂W = 0 , i = 1 ,2 ,K , n ∂ X i
que constituye un sistema de ecuaciones que nos permite obtener todas las incógnitas hiperestáticas.
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