U
N I
V E
R
S I
D
A D
D E
SAN MARTIN DE PORRES
USMP - FIA
EVALUACIÓN
PRACTICA CALIFICADA Nº 3
SEM. ACADÉMICO
2006 – I
CURSO
RESISTENCIA DE MATERIALES I
SECCIÓN
26E
PROFESOR
Ph.D. GENNER VILLARREAL CASTRO
DURACIÓN
110m
ESCUELA
INGENIERIA CIVIL
CICLO
V
1. Determinar el ancho “b” de la viga mostrada en la figura, si
100kg / cm2 ………………………. (3 puntos)
2. Determinar el valor de “a”, si
tr 30M Pa y comp 90M Pa ,
ubicando previamente la posición
racional de la viga. vi ga. ………………………. (4 puntos)
3. Determinar el valor de “L” y graficar el diagrama de esfuerzo tangencial para la sección de la viga mostrada en la figura, si
tr 40M Pa y comp 150M Pa .
Previamente, ubique la posición
racional de la viga. vi ga. ………………………. (5 puntos)
90
4. Una viga de madera reforzada con una plancha de acero en su cara inferior inferior,, está está simplemente apoyada de 3m de longitud y soporta una carga concentrada “P” en su punto medio. Las dimensiones de la
sección transversal se muestran en la figura. Considerar P 1000kg y E a / E m
20 . Determinar los
esfuerzos máximos en el acero y la madera. ………………………. (4 puntos)
5. En una viga de concreto concreto armado, armado, b 15cm , d 25cm y el área total de las varillas de acero es 4,62cm2. Considerar n 15 ,
c 40kg / cm2 , a 1200kg / cm2
y determinar el momento m omento
flector máximo en kg.m que puede soportar la viga. ………………………. (4 puntos)
FECHA
La Molina, 22 de Mayo del 2006 91
4. Una viga de madera reforzada con una plancha de acero en su cara inferior inferior,, está está simplemente apoyada de 3m de longitud y soporta una carga concentrada “P” en su punto medio. Las dimensiones de la
sección transversal se muestran en la figura. Considerar P 1000kg y E a / E m
20 . Determinar los
esfuerzos máximos en el acero y la madera. ………………………. (4 puntos)
5. En una viga de concreto concreto armado, armado, b 15cm , d 25cm y el área total de las varillas de acero es 4,62cm2. Considerar n 15 ,
c 40kg / cm2 , a 1200kg / cm2
y determinar el momento m omento
flector máximo en kg.m que puede soportar la viga. ………………………. (4 puntos)
FECHA
La Molina, 22 de Mayo del 2006 91
SOLUCIONARIO DE PRÁCTICA CALIFICADA Nº 3 CICLO 2006 – I
1. Graficamos sus diagramas diagramas de fuerza cortante y momento momento flector:
Luego:
má máx x
M má máx x IZ
y má máx x
9,3.103.10 2 b(2 b) 3 / 12
( b) 100
De donde: b 24cm
Asumimos: b 24cm
h 2 b 48cm
Quedando la sección transversal la mostrada en l a figura:
2. Determinamo Determinamoss la ubicación del centro de gravedad y calculamos su momento de inercia respecto al eje neutro. YCG
IZ
(a )(16a )(8a ).2 (20a )(4a )(18a ) (a )(16a ).2 (20a )(4a )
15,14a
(a )(16a ) 3 (20a )(4a ) 3 2 (a )(16a )(7,14a ) .2 (20a )(4a )(2,86a ) 2 3075,05a 4 12 12 92
Graficamos los diagramas de fuerza cortante y momento flector:
Determinamos la posición racional de la viga, utilizando momentos y áreas: a) Momento flector máximo: M máx
26,4kN.m , implica que la zona superior al eje neutro es de
tracción y la zona inferior de compresión. b) Áreas de la sección transversal: A sup Z
(20a )(4a ) 2(0,86a )(a) 81,72a 2 (TRACCION)
A inf Z
2(a)(15,14a ) 30,28a 2 (COMPRESION)
Como coincide la ubicación de las zonas de tracción y de compresión, tanto por momento flector, como por áreas, se concluye que dicha posición es la racional. Aplicamos la condición de resistencia para cada zona:
tr máx
comp máx
26,4.103 3075,05a
4
26,4.103 3075,05a
4
.4,86a
30.106
.15,14a 90.10
6
a 1,12.102 m
a 1,12cm
a 1,13.102 m
a 1,13cm
93
Asumimos: a mín
1,13cm
3. Graficamos los diagramas de fuerza cortante y momento flector:
Determinamos la ubicación del eje neutro: YCG
1.26.13 12.2.27 1.26 12.2
19,72cm
Determinamos la posición racional de la viga, utilizando momentos y áreas: a) Momento flector máximo: M máx
2000L2 , implica que la zona superior al eje neutro es de
tracción y la zona inferior de compresión. b) Áreas de la sección transversal: A sup Z
12.2 1.6,28 30,28cm2 (TRACCION)
A inf Z
1.19,72 19,72cm2 (COMPRESION)
Como coincide la ubicación de las zonas de tracción y de compresión, tanto por momento flector, como por áreas, se concluye que dicha posición es la racional. Luego:
tr máx
M máx IZ
y
tr máx
tr
2000L2 3918,75.10
94
8
.8,28.10 2
40.106
L 3,077m
Donde: IZ
12.2 3 12
12.2.7,28 2
1.263 12
1.26.6,722 3918,75cm4
Ahora, analizamos el efecto de compresión:
comp máx
M máx IZ
y
comp máx
comp
2000L2 3918,75.10
8
.19,72.10
2
150.106
L 3,86m
Asumimos: L 3m
Ahora, graficamos el diagrama final:
Graficamos el diagrama de esfuerzos tangenciales para la sección transversal.
A 0 B
Vmáx SBZ I Z b B
SBZ
B'
3918,75.10 8.12.10 2
0,45MPa
12.2.7,28 174,72cm3
Vmáx SBZ' I Z b B'
máx C SCZ
12.103.174,72.10 6
12.103.174,72.10 6 3918,75.10 8.1.10 2
Vmáx SCZ I Z b C
5,35MPa
12.103.194,44.10 6 3918,75.10 8.1.10 2
5,95MPa
174,72 1.6,28.3,14 194,44cm3
D 0 95
4. Graficamos los diagramas de fuerza cortante y momento flector:
Transformamos la madera en acero: b 'a
Em Ea
b m
1 20
.10 0,5cm
Determinamos la ubicación del eje neutro: YCG
10.1,2.0,6 0,5.13,8.8,1 10.1,2 0,5.13,8
3,34cm
Calculamos el momento de inercia respecto al eje neutro: IZ
10.1,2 3 12
10.1,2.2,74 2
0,5.13,83 12
0,5.13,8.4,762 357,37cm4 96
Determinamos los esfuerzos normales máximos en el acero y la madera:
a máx
m máx
M máx IZ
y
a máx
E m M máx Ea
IZ
y
750.10 2 357,37
.3,34 700,95kg / cm 2
1 750.10 2 .11,66 122,35kg / cm 2 20 357,37
m máx
5. Transformamos el acero en concreto:
nAa 15.4,62 69,3cm2
A 'c
Se sabe que: Ssup Z
Sinf Z
X 69,325 X 2
15X
7,5X 2
69,3X 1732,5 0
X 11,26cm
Luego: IZ
15.11,263 12
15.11,26.5,632 69,3.13,742 20221,12cm4
Analizamos los esfuerzos en el concreto y el acero, comparándolos con los valores admisibles. CONCRETO:
cmáx
M máx IZ
y cmáx
c
M máx 20221,12 M máx
.11,26 40
71833,46kg.cm
ACERO:
amáx
M máx E c I Z
Ea
y amáx a
15.
M máx 20221,12
M máx
.13,74 1200
117735,78kg.cm
Asumimos: M máx
71833,46kg.cm 718,33kg.m 97
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D E
SAN MARTIN DE PORRES
USMP - FIA
EVALUACIÓN
PRACTICA CALIFICADA Nº 3
SEM. ACADÉMICO
2006 – II
CURSO
RESISTENCIA DE MATERIALES I
SECCIÓN
26E
PROFESOR
Ph.D. GENNER VILLARREAL CASTRO
DURACIÓN
110m
ESCUELA
INGENIERIA CIVIL
CICLO
V
1. Una viga que tiene una sección transversal en forma de canal se somete a un momento flector que actúa respecto al eje OZ. Ca lcular el espesor “t” del canal a fin de que los esfuerzos por flexión en las partes superior e inferior de la viga estén en la relación 7:3 ………………………. (3 puntos)
2. Un travesaño o durmiente de vía de ferrocarril está sometido a dos cargas concentradas P 50000lb y actúa como se muestra en la figura. La reacción “q” del balasto o cascajo puede suponerse
uniformemente distribuida sobre la longitud del travesaño, el cual tiene dimensiones de sección transversal b 12 p lg y h 10 p lg . Calcular el esfuerzo de flexión máximo
máx en el durmiente, si
se supone que L 57 p lg y a 19,5 p lg ………………………. (3 puntos)
3. La viga mostrada, tiene la sección transversal indicada y se encuentra sujeta a las cargas concentradas señaladas. Considerando que el material del que está fabricada la viga no puede soportar esfuerzos normales mayores a 1200kg/cm 2, ni esfuerzos tangenciales mayores a 60kg/cm 2, calcular el máximo valor de la carga “P”, ex presada en toneladas, que puede aplicarse sobre dicho sistema y graficar el
diagrama de esfuerzos tangenciales para la sección transversal. ………………………. (5 puntos)
98
4. Una viga compuesta por cuatro materiales (E1 E3
250000kg / cm2 ,
E4
150000kg / cm2 ,
E2
175000 kg / cm2 ,
300000 kg / cm2 ) , está sometida a las cargas mostradas en la figura.
Determinar los esfuerzos normales máximos que se producen en cada material. ………………………. (5 puntos)
5. En una viga de concreto armado, b 38cm , d 70cm y el área total de las varillas de acero es 19,48cm2. Considerar n 20 ,
c 31,5kg / cm2 , a 875kg / cm2 .
Determinar el momento
flector máximo que puede soportar la viga. Considerar “d” la dist ancia desde el eje de las varillas de
acero hasta la cara superior de la v iga. ………………………. (4 puntos)
FECHA
La Molina, 23 de Octubre del 2006 99
SOLUCIONARIO DE PRÁCTICA CALIFICADA Nº 3 CICLO 2006 – II
1. Por dato del problema:
sup 7 inf 3 Además, se sabe que:
sup
M
inf
M
IZ IZ
y sup
…………………. (a)
y inf
…………………. (b)
Dividimos (a) entre (b) y obtenemos: y sup
y inf
7 3
Del gráfico del problema: y sup 7 3
y inf 10
y inf
y inf 10
De donde: y inf
3 p lg
y sup 7 p lg
De esta manera, la sección transversal quedará tal como se muestra en la siguiente figura:
Luego: Ssup Z
Sinf Z
7.t..3,5.2 24t (3 0,5t ) t.
t3
(3 t ) 2 2
.2
18t 2 32t 0
De esta ecuación se obtienen tres soluciones, siendo dos de ellas irreales y la tercera la correcta, cuyo valor es: t 2 p lg
100
2. Analizamos el equilibrio de la estructura:
F
Y
0
q(57 2.19,5) 2(50000)
q 1041,67lb / p lg
Graficamos los diagramas correspondientes:
Determinamos el esfuerzo normal máximo:
máx
M máx IZ
y máx
225000 12.103 / 12
.5 1125 psi
3. Graficamos los diagramas de fuerza cortante y momento flector.
Determinamos la ubicación del centro de gravedad y calculamos el momento de inercia respecto al eje neutro. YCG
27.2.13,5 18.2.28 27.2 18.2
19,3cm 101
IZ
2.273
2.27.5,82
12
18.2 3 12
18.2.8,7 2 7833,9cm4
Determinamos la posición racional de la viga, utilizando momentos y áreas: a) Momento flector máximo: M máx
2P , implica que la zona superior al eje neutro es de tracción y
la zona inferior de compresión. b) Áreas de la sección transversal: A sup Z
18.2 7,7.2 51,4cm2 (TRACCION)
A inf Z
2.19,3 38,6cm2 (COMPRESION)
Como coincide la ubicación de las zonas de tracción y de compresión, tanto por momento flector, como por áreas, se concluye que dicha posición es la racional. Comprobamos las condiciones para esfuerzos normales en tracción y compresión, así como para el esfuerzo tangencial.
tr máx
M máx
comp máx
M máx
IZ
IZ
y tr máx
y comp máx
Vmáx Ssup Z
máx
I Z b
Ssup Z
2P 7833,9.10
8
.(9,7.102 ) 12000
P 4,846T
8
.(19,3.102 ) 12000
P 2,435T
P 2,524T
2P 7833,9.10
P.372,49.10 6 7833,9.10 8.2.10 2
600
18.2.8,7 7,7.2.3,85 372,49cm3
Analizamos el rango que cumple con las tres condiciones, obteniendo:
Asumimos: Pmáx
2,435T
Con este valor determinamos los valores para graficar el diagrama de esfuerzos tangenciales.
A 0 B
2,435.313,2.10 6 8
7833,9.10 .18.10
SBZ
2
54,08T / m 2
18.2.8,7 313,2cm3 102
B'
2,435.313,2.106 8
7833,9.10 .2.10
máx C
2
486,76T / m 2
2,435.372,49.106 8
7833,9.10 .2.10
2
578,9T / m 2
D 0
4. Graficamos los diagramas de fuerza cortante y momento flector.
Ahora, transformamos todos los materiales al más rígido, calculando los anchos equivalentes de cada sección. MATERIAL 1: b '4
E1 E4
b1
150000 300000
.30 15cm
MATERIAL 2: '
b 4
E2 E4
b 2
175000 300000
.30 17,5cm
MATERIAL 3: b '4
E3 E4
b 3
250000 300000
.30 25cm
103
De esta manera, la sección transformada de la sección transversal de la viga será la mostrada en la figura.
Determinamos la ubicación del centro de gravedad y calculamos el momento de inercia respecto al eje neutro. YCG
30.10.5 25.10.15 17,5.10.25 15.10.35 300 250 175 150
30.103
IZ
IZ
111291,67cm4
12
30.10.12 2
25.103 12
25.10.2 2
17cm
17,5.103 12
17,5.10.8 2
15.103 12
15.10.182
Calculamos los esfuerzos normales máximos para cada material. MATERIAL 4:
4máx
M máx IZ
y 4máx
24.103.10 2 111291,67
.17 366,6kg / cm 2
MATERIAL 3:
3 máx
E M 3 máx E 4 I Z
y 3máx
250000 24.103.10 2 .7 125,79kg / cm 2 300000 111291,67
MATERIAL 2:
2 máx
E M 2 máx E 4 I Z
y
2 máx
175000 24.103.10 2 .13 163,53kg / cm 2 300000 111291,67
y
1 máx
150000 24.103.10 2 .23 248kg / cm 2 300000 111291,67
MATERIAL 1:
1 máx
E M 1 máx E 4 I Z
5. Transformamos el área de acero en concreto. A 'c
nAa 20.19,48 389,6cm2
Determinamos la ubicación del eje neutro, utilizando el concepto de momento estático y de acuerdo a la figura mostrada, donde las medidas están en centímetros. Ssup Z
Sinf Z
X 389,670 X 2
38X
104
19X 2
389,6X 27272 0
De donde: X 29cm
Calculamos el momento de inercia respecto al eje neutro. IZ
38.293 12
38.29.14,52 389,6.412 963844,93cm4
Aplicamos las condiciones de resistencia para el concreto y el acero. CONCRETO:
cmáx
M máx IZ
y cmáx
c
M máx 963844,93
M máx
.29 31,5
1046935kg.cm
ACERO:
E M amáx a máx E c I Z
y amáx
a
20.
M máx 963844,93
M máx
.41 875
1028493kg.cm
De donde: M máx
1028493kg.cm 10284,93kg.m
105
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EVALUACIÓN
PRACTICA CALIFICADA Nº 3
SEM. ACADÉMICO
2007 – I
CURSO
RESISTENCIA DE MATERIALES I
SECCIÓN
26E
PROFESOR
Ph.D. GENNER VILLARREAL CASTRO
DURACIÓN
110m
ESCUELA
INGENIERIA CIVIL
CICLO
V
1. Determinar el valor de la dimensión “b” de l a sección transversal de una viga sometida a flexión, si se cumple que
comp 3tr ………………………. (3 puntos)
2. Una pequeña presa de altura h 2,4m se construye con vigas de madera verticales AB de espesor t 150mm , como se muestra en la figura. Considerar que las vigas están simplemente apoyadas en
sus partes superior e inferior. Determinar el esfuerzo por flexión máximo específico del agua es
máx en las vigas, si el peso
9,81kN / m 3 ………………………. (3 puntos)
3. La viga mostrada en la figura está sometida a la acción de la carga distribuida “w” (kg/m). Calcular el 2
2
valor máximo de “w”, si los esfuerzos admisibles son 140kg/cm en tracción y compresión, 15kg/cm en
cortante. Graficar el diagrama de esfuerzos tangenciales para la sección transversal. ………………………. (5 puntos)
106
4. Una viga está compuesta de tres materiales, como se muestra en la figura. Las tres partes se hallan firmemente unidas entre si de m anera que no existe posibilidad de deslizamiento entre ellas. Determinar el momento flector máximo que puede soportar si los esfuerzos admisibles son
al 80MPa , m 10MPa y Em
los módulos de elasticidad son E a
a 120MPa ,
200GPa , E al 70GPa y
10GPa ………………………. (5 puntos)
5. En la viga T de concreto armado, se tiene que el área de las varillas de acero es A a
3000mm 2 y la
relación modular n 10 . Calcular los esfuerzos máximos en el concreto y en el acero, si el momento flector aplicado es 140kN.m ………………………. (4 puntos)
FECHA
La Molina, 21 de Mayo del 2007 107
SOLUCIONARIO DE PRÁCTICA CALIFICADA Nº 3 CICLO 2007 – I
1. Como sabemos que el eje neutro divide a la sección transversal en dos zonas, una de tracción y otra de compresión, tenemos que: y tr máx y
comp máx
tr comp
tr y máx
y
comp máx
1 3
3y tr máx
y comp máx
Asimismo: y tr máx
y comp máx 24
Reemplazamos datos y obtenemos: y tr máx
6cm
y comp máx
18cm
Determinamos el valor de “b”, a partir de la condición que el momento estático de la parte superior al eje
neutro es igual al momento estático de la parte inferior. Ssup Z
Sinf Z
2.18.9 2.2.1 4.( b).4 b 20cm
2. Esquematizamos la viga y el efecto de cargas, siendo w o
108
hb
Graficamos los diagramas de fuerza cortante y momento flector:
Luego:
máx
M máx IZ
y máx
(w o h 2 / 9 3) ( bt 3 / 12)
( t / 2)
2w o h 2 3 3 bt 2
2( hb)h 2 3 3 bt 2
2h 3 3 3t 2
2.9,81.103.2,4 3 3 3.0,152
2,32MPa
3. Graficamos los diagramas de fuerza cortante y momento flector:
Como la sección transversal es simétrica, calculamos su momento de inercia respecto al eje neutro, el cual pasa por el centro de la sección. IZ
20.203 12
7.163 2 8554,67cm 4 12 109
Aplicamos la condición de resistencia. ESFUERZO NORMAL:
máx
M máx IZ
y máx
1,758w
8554,67.10
8
.10.102
140.104
w 681,26kg / m
ESFUERZO TANGENCIAL:
máx
Vmáx Ssup Z I Z b
2,125w.552.10 6
8
8554,67.10 .6.10
2
15.10 4
w 656,37kg / m
Donde: Ssup Z
SCZ 20.10.5 2.(7.8.4) 552cm3
Asumimos: w máx
656,37kg / m
Graficamos el diagrama de esfuerzos tangenciales.
A 0 B
1394,78.360.10 8
8554,67.10 .20.10 Vmáx SBZ
B'
6
2,93.104 kg / m 2 2,93kg / cm2
2
2,125.656,37 1394,78kg
20.2.9 360cm3
1394,78.360.10
6
8
8554,67.10 .6.10
máx C
2
9,78.104 kg / m 2 9,78kg / cm2
1394,78.552.10 8
6
8554,67.10 .6.10
2
15.104 kg / m 2 15kg / cm2
D' B' 9,78kg / cm2 D B 2,93kg / cm2 E 0
110
4. Determinamos los anchos equivalentes de los materiales convertidos en acero. MADERA: b
' a
Em Ea
b m
10.109 200.109
.80 4mm
ALUMINIO: b 'a
E al Ea
b al
70.109 200.109
.80 28mm
De esta manera, la sección transformada de la viga es la mostrada en la figura:
Determinamos la ubicación de su centro de gravedad de la sección transformada y calculamos su momento de inercia respecto a dicho eje. YCG IZ
28.50.25 4.150.125 80.20.210 28.50 4.150 80.20
28.503 12
28.50.98,89 2
4.1503 12
123,89mm
4.150.1,11 2
80.203 12
80.20.86,112 27025555,56mm 4
Aplicamos la condición de resistencia para cada material. ACERO:
a máx
M máx IZ
y
a máx
a
120.106.27025555,56.10
M máx
M máx
33,74kN.m
96,11.10
12
3
MADERA:
m máx
E M m máx E a I Z
y
m máx
m
10.106.27025555,56.10 12 200
M máx
M máx
71,02kN.m
M máx
M máx
49,86kN.m
10
76,11.10 3
ALUMINIO:
al máx
E M al máx E a I Z
y almáx
al
111
80.106.27025555,56.10 123,89.10
3
12
200 70
Asumimos: M máx
33,74kN.m
5. Calculamos el área del acero transformado en concreto.
nAa 10.3000 30000mm 2 300cm2
A 'c
Determinamos la ubicación del eje neutro, a través del momento estático. Ssup Z
Sinf Z
X 300.(50 X) 2
50.15.(7,5 X) 25X 12,5X 2
1050X 9375 0
De donde: X 8,14cm
Determinamos el momento de inercia respecto al eje neutro: 3
IZ
50.15 12
3
50.15.15,64 2
25.8,14 12
25.8,14.4,07 2 300.41,862 727692,19cm4
Calculamos los esfuerzos máximos para ambos materiales. CONCRETO:
c máx
M máx IZ
y
c máx
140.103 727692,19.10
8
.23,14.10 2
4,45MPa
ACERO:
a máx
M n máx I Z
y
a máx
140.103 10. .41,86.10 2 80,53MPa 8 727692,19.10
112
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EVALUACIÓN
PRACTICA CALIFICADA Nº 3
SEM. ACADÉMICO
2007 – II
CURSO
RESISTENCIA DE MATERIALES I
SECCIÓN
26E
PROFESOR
Ph.D. GENNER VILLARREAL CASTRO
DURACIÓN
110m
ESCUELA
INGENIERIA CIVIL
CICLO
V
1. Una viga ahusada en voladizo AB de longitud L tiene secciones transversales cuadradas y soporta una carga concentrada P en su extremo libre, tal como se muestra en la figura. El ancho y la altura de la viga varían linealmente desde h en el extremo libre hasta 2h en el empotramiento. ¿Cuál es la distancia x desde el extremo libre a la sección de esfuerzo normal máximo debido a flexión? ¿Cuál es el esfuerzo normal máximo
máx ? ¿Cuál es la relación de este esfuerzo al esfuerzo B en el
empotramiento? ………………………. (5 puntos)
2. La viga de hierro fundido soporta las cargas mostradas en la figura. Si los esfuerzos admisibles son de 48MPa y 120MPa en tracción y compresión, respectivamente, determinar el valor máximo de la longitud del voladizo, sabiendo que la posición racional de la sección transversal de la viga es la mostrada en la figura. ………………………. (5 puntos)
113
3. Graficar el diagrama de esfuerzos tangenciales en función del esfuerzo tangencial máximo
máx o
………………………. (4 puntos)
4. La sección transversal de una viga compuesta hecha de aluminio y acero se muestra en la figura. Los módulos de elasticidad son E al
70GPa y E a 210GPa . Bajo la acción de un momento flector que
produce un esfuerzo máximo de 60MPa en el aluminio, ¿cuál es el esfuerzo máximo en el acero? ………………………. (3 puntos)
5. Calcular los esfuerzos máximos en el concreto y en el acero en una viga de concreto armado en la que b 300mm , d 500mm , A a
1200mm 2 y n 8 , si el momento flector es 70kN.m. Considerar “d”
la distancia desde el eje de las varillas de acero hasta la cara superior de la viga. ………………………. (3 puntos)
FECHA
La Molina, 22 de Octubre del 2007 114
SOLUCIONARIO DE PRÁCTICA CALIFICADA Nº 3 CICLO 2007 – II
1. Graficamos el diagrama de momento flector:
Analizamos la variación de la sección transversal:
m x
h/2
L
m
hx 2L
Luego: hx
hx x h 2m h 2 h1 2L L
Calculamos el momento de inercia a una longitud “x”, siendo: I
(X) Z
h1 x / Lh(1 x / L)3 12
h (1 x / L) 4
4
12
En consecuencia, se tendrá: y (X)
h x 1 2 L
(X)
MX I
(X) Z
y (X)
12Px h (1 x / L) 4
4
h x 6Px 2 1 L h 3 (1 x / L) 3 115
El esfuerzo normal máximo se obtendrá al derivar
d ( X ) dx
0
En consecuencia: d ( X ) dx
6Ph 3 (1 x / L) 3
3h 3 (1 x / L) 2 (1 / L)6Px 0 h 6 (1 x / L) 6
De donde: x L / 2
De esta manera:
L 2
6P
máx XL / 2 h
B X L
3
1 L / 2 L
6PL h (1 L / L) 3
3
3
8PL
9h 3
3PL 4h
3
Luego:
máx 8PL / 9h 3 32 B 3PL / 4h 3 27 2. Determinamos las características geométricas de la sección transversal de la viga.
YCG
2.30.150.75 180.30.165 2.30.150 180.30
108,75mm
Comprobamos las áreas de las zonas, para conocer la zona de tracción y de compresión, y como se trata de hierro fundido el área mayor será de tracción. A sup Z
180.30 2.30.41,25 7875mm2 (TRACCION)
A inf Z
2.30.108,75 6525mm 2 (COMPRESION)
Calculamos el momento de inercia respecto al eje neutro. IZ
180.303 12
180.30.56,25
2
30.1503 2. 30.150.33,752 44617500 mm4 12 116
Graficamos los diagramas de fuerza cortante y momento flector.
Por condición del problema, nos indica que la posición de la viga es la correcta, significa que por momento flector máximo será negativo e igual a 15X Aplicamos la condición de resistencia: TRACCION:
tr máx
M máx IZ
y tr máx
tr
15X 44617500.10
3
48.103
12
.71,25.10
12
.108,75.103
X 2m
COMPRESION:
comp máx
M máx IZ
y comp máx
comp
15X 44617500.10
120.103
X 3,28m
Asumimos: X máx
2m
Comprobamos que la zona más peligrosa es la de tracción, aplicando la fórmula: y tr máx y
comp máx
˃
tr comp
71,25
˃
48
108,75 120
117
0,655 ˃ 0,4
De esta manera, no es necesario comprobar a través del momento positivo máximo. 3. Graficamos el diagrama de esfuerzos tangenciales:
A 0 VS BZ
B
I Z b B
4
(0,375 b )(0,5 b)
V
o
b 2
SBZ
(0,5 b)(0,5 b)(0,75 b) 0,1875b 3
IZ
(0,5 b)(0,5 b) 3 b( b) 3 2 2. (0,5 b)(0,5 b)(0,75 b) 0,375b 4 12 12
b B
0,5 b
B'
VS BZ'
I Z b C
SCZ
V.(0,1875 b 3 )
I Z b B' VS CZ
C
V.(0,1875 b 3 )
4
(0,375 b )( b) V.(0,3125 b 3 ) 4
(0,375 b )( b)
0,5
V
b 2
0,833
0,5 o V
b 2
0,833 o
0,1875 b 3 ( b)(0,5 b)(0,25 b) 0,3125b 3
En la parte inferior por simetría, el diagrama será el mismo, es decir:
D' B' 0,5 o D B máx o E 0
4. Calculamos el ancho equivalente del acero transformado en aluminio. b 'al
Ea E al
b a
210 70
.30 90mm
Determinamos la ubicación del centro de gravedad de la sección transformada. YCG
90.80.40 30.40.100 90.80 30.40
48,57mm
118
Calculamos el momento de inercia respecto al eje neutro: IZ
30.403 12
30.40.51,43 2
90.803 12
90.80.8,57 2 7702857,16mm4
Determinamos el valor del momento flector máximo:
almáx
M máx IZ
y almáx
60.10 6
M máx
M máx 7702857,16.10
12
.71,43.10 3
6470,27 N.m
Ahora, calculamos el esfuerzo normal máximo en el acero:
E M amáx a máx E al I Z
y amáx
210 6470,27 .48,57.10 3 122,39MPa 12 70 7702857,16.10
5. Calculamos el área de acero transformado en concreto: A 'c
nAa 8.1200 9600mm 2 96cm2
Determinamos la ubicación del eje neutro, a través de los momentos estáticos: Ssup Z
Sinf Z
X 9650 X 2
30X
5X 2
32X 1600 0
X 14,97cm
119
Calculamos el momento de inercia respecto al eje neutro: IZ
30.14,973 12
30.14,97.7,4852 96.35,032 151349,59cm4
Determinamos los esfuerzos máximos en el concreto y acero:
cmáx
M máx
amáx n
IZ
y cmáx
M máx IZ
y amáx
70.103 151349,59.10
8.
8
.14,97.10 2
70.103 151349,59.10
8
6,92MPa
.35,03.10 2
120
129,61M Pa
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EVALUACIÓN
PRACTICA CALIFICADA Nº 3
SEM. ACADÉMICO
2008 – I
CURSO
RESISTENCIA DE MATERIALES I
SECCIÓN
26E
PROFESOR
Ph.D. GENNER VILLARREAL CASTRO
DURACIÓN
110m
ESCUELA
INGENIERIA CIVIL
CICLO
V
1. Una viga está sometida a flexión pura, siendo su momento flector máximo M o . Determinar la relación
tr / comp de los esfuerzos de tracción y compresión máximos, si las secciones transversales son las mostradas en la figura. ………………………. (3 puntos)
2. Una viga simplemente apoyada de 4m de longitud tiene la sección transversal mostrada en la figura. Determinar la máxima carga uniformemente distribuida que puede aplicarse a todo lo largo de la viga, si el esfuerzo tangencial está limitado a 1,2MPa ………………………. (3 puntos)
121
3. Graficar el diagrama de esfuerzos tangenciales para la sección transversal mostrada en la figura, correspondiente a una viga que trabaja a flexión. Considerar que la fuerza cortante es V ………………………. (5 puntos)
4. Un tubo de acero con diámetro exterior “d” y un núcleo de aluminio de diámetro d/2, se unen para formar una viga compuesta, como se muestra en la figura. Obtener una fórmula para el momento flector máximo M máx que puede soportar la viga si se considera que el esfuerzo normal permisible en el acero es
a .
Considerar que los módulos de elasticidad para el acero y el aluminio son E a y E al ,
respectivamente. ………………………. (5 puntos)
5. En una viga de concreto armado, b 20cm , d 40cm , A a
14cm2 . Determinar los esfuerzos
normales en el concreto y acero, para los casos (a) n 6 y (b) n 10 , si el momento flector máximo es 1,5T.m. Considerar “d” como la distancia desde la ubicación del acero de refuerzo hasta la cara
superior de la viga. ………………………. (4 puntos)
FECHA
La Molina, 19 de Mayo del 2008 122
SOLUCIONARIO DE PRÁCTICA CALIFICADA Nº 3 CICLO 2008 – I
1. Se sabe que:
tr
Mo IZ
comp
y tr
Mo IZ
y comp
Luego: a) TRIANGULO EQUILATERO: 1 b 3
tr comp
0,5 2 b 3 3 2 3 2
y tr y comp
b) SEMICIRCULO: 2d
tr comp
y tr y comp
3 0,7374 d3 4 6
2. Esquematizamos la viga con la carga uniformemente distribuida y graficamos los diagramas de fuerza cortante y momento flector, para luego determinar el esfuerzo tangencial máximo.
máx
Vmáx Ssup Z I Z b mín
2w (0,15.0,1.0,05 0,1.0,075.0,0375)
0,15.0,2 3 0,1.0,153 12 12 .0,050 123
1,2.10 6
w 4600 N / m
Asumimos: w 4,6kN / m
3. Analizamos la parte superior de la sección transversal. b x x
b
h/2
b x
2 bx h
En la figura, el punto del triángulo superior, corresponde al centro de gravedad de dicho triángulo. Determinamos el momento estático respecto al eje neutro Z sup(x ) Z
S
h 2x 1 2 bx h 2x bx 2 h 2x ( b x )(x). x 2 2 3 2 h 2 3 h 2 3 1
Ahora, calculamos el momento de inercia de toda la sección transversal de la viga, respecto al eje neutro Z IZ
b(h / 2) 3 1 h 1 h 2 bh 3 2. b . 2 2 3 2 48 36
Luego:
(X)
VS
sup(x ) Z
I Z b x
bx 2 h V. h 2
2x
bh 3 2 bx . 48 h
h 2x 24Vx 3 2 3 bh 3
El esfuerzo tangencial máximo se obtendrá al derivar 124
d ( X ) dx
0
En consecuencia: d ( X ) dx
24V h
2x 2 24Vx 3 0 3 3 bh bh 2 3
De donde: x
3h 8
Luego, graficamos el diagrama de esfuerzo tangencial.
A 0 3h h 2 . 3h 8 2 3 8
2w
B x 3h / 8
bh
3
9V 4 bh
h h 2 . h 2 2 3 2 2V
24V
C xh / 2
D B máx
bh 3
bh
9V 4 bh
E 0
4. Existe una fórmula conocida para esfuerzos de dos materiales, expresada en función de sus módulos de elasticidad e inercias, cuya deducción la realizamos a continuación. Se sabe que:
a
M IZ
ya
Siendo: IZ
I a n.I al I a
E al Ea
I al
Ea Ia
E al I al Ea
Reemplazamos valores:
a
Mya E a Ea Ia
E al I al
a 125
d E a 2 a 4 4 4 d d d E al 64 64 2 2 M
Ea
Efectuando cálculos obtenemos: MEa
d 3 512
a
15E a E al
De donde:
d 3 a 15E a E al M 512 Ea De esta manera, el momento flector máximo será: M máx
E d 3 a 15 al 512 E a
5. a) Calculamos el área del acero transformado en concreto.
nAa 6.14 84cm2
A 'c
Determinamos la ubicación del eje neutro: Ssup Z
Sinf Z
X 8440 X 2
20X
10X
2
84X 3360 0
X 14,6cm
Calculamos el momento de inercia respecto al eje neutro: IZ
20.14,6 12
3
20.14,6.7,32 84.25,4 2 74941cm4
Determinamos los esfuerzos normales máximos para el concreto y acero:
cmáx
M máx IZ
y cmáx
1500.100 74941
.14,6 29,22kg / cm2
126
