Ch it 7: Chapitre 7
Pièces soumises à la flexion composée Module Béton Armé II Karim Miled, ENIT 2009
Flexion Composée p
M
G
N V
N
C e G
V
C: Centre de pression e: excentricité = M/N 2
Convention • Effort Axial: – Compression >0 – Traction <0
• Moment de fle flexion ion – Traction dans les fibres inferieures >0 – Traction dans les fibres supérieures < 0
3
Caractère de la section 3 cas possibles: • Section entièrement tendue (1) • Section partiellement comprimée/tendue (2) • Section S ti entièrement tiè t comprimée i é (3) + +
(1)
(2)
-
(3)
+ +
±
-
4
N<0 : Traction Sollicitations à considérer – ELS
– ELUR
⎧ N ser = ∑ N i M ser ⎪ i ⇒ eser = ⎨ N ser ⎪M ser = ∑ M j j ⎩
⎧N u = ∑ γ i Ni Mu ⎪ i ⇒ eu = ⎨ Nu ⎪M u = ∑ γ j M j j ⎩ 5
N>0 : Compression S lli it ti Sollicitations à considérer idé – Vérifications Vé ifi ti à l’ELS
⎧ N ser = ∑ N i M ser ⎪ i ⇒ eser = ⎨ N M = M ser ∑ ser j ⎪ j ⎩ 6
N>0: Compression p • Vérifications à l’Etat Limite Ultime de Résistance (ELUR)
⎧N u = ∑ γ i Ni ⎪ i ⎨ ⎪⎩M u = N u (e1 + e 2 )
• e1: excentricité du premier ordre résultant des efforts appliqués
∑γ M = ∑γ N j
e1
j
j
i
+ ea
i
i
• ea: excentricité additionnelle traduisant les imperfections géométriques initiales Avec
ea = max(2cm, (2 l/250)
l: longueur de la pièce exprimée en cm
7
N>0: Compression • Et Etatt Limite Li it Ulti Ultime d de Ré Résistance i t (ELUR) • e2: excentricité du deuxième ordre liée à la déformation de la structure 2
lf e1 3l f Si ≤ max(15, 20 ) => e 2 = 4 (2 + αφ ) h h 10 h
=> Vérification ELU de stabilité de forme n’est pas nécessaire (vis-à-vis au flambement) • lf: Longueur de flambement de la pièce, h: hauteur totale de la section dans la direction du flambement
α=
M perm
M perm + M expl
• φ: Rapport de la déformation finale due au fluage, à la déformation instantanée sous la charge considérée; φ = 2 en général
Si
e lf > max(15, 20 1 ) ⇒ Il faut vérifier la pièce à l’Etat Limite Ultime de Stabilité de 8 h h Forme (ELUSF), en plus de l’ELUR
Section Entièrement Tendue • Conditions C ((ELS S ou ELU)) : N< 0 et centre de pression C entre les armatures • Béton entièrement tendu , n’intervient pas dans la résistance de la section, => seul l’acier l acier tendu résiste • ELUR: calcul autour du Pivot A: ε su = 10 0 00
d’
A1
A1σs1 N
h
G
d
C
eA1
e
eA2 A2
A2σs2 9
Calcul des armatures Equilibre de la section
⎧⎪N = A1σ s1 + A2σ s2 ⎨ ⎪⎩M = N eA2 = A1σ s1 eA1 + eA2
(
)
N eA2 ⎧ ⎪A1 = (e A1 + e A 2 ) σs1 ⎪ ⎨ N e A1 ⎪A = ⎪ 2 ((e A + e A ) σs2 1 2 ⎩
h h e A1 = ( − d '−e) ; e A 2 = (d − + e) 2 2 fe ⎧ ⎪ELU ⇒ N = N u ; σ s1 = σ s2 = f su = γ s ⎨ ⎪ELS ⇒ N = N ; σ = σ = σ ser s1 s2 s ⎩ f t28 A1 + A 2 ≥ A min = B B: section de béton fe
10
Exemple p 1 5cm
A1
45 5cm
50cm
Données • • • •
Nu = -0,460MN ; Nser = -0,322MN Mu = 0,055MN.m 0 055MN m ; Mser = 0,0385MN.m 0 0385MN m fc28 = 25MPa, FeE400 Fissuration préjudiciable
A2 30 30cm
Calculer la section d’acier ((A1+A2) 11
Exemple1: p Solution • eu = Mu/Nu= -0,1196 ≈ -0,12m => C entre les armatures et N < 0 => section entièrement tendue • eser = Mser/Nser= -0,1196 ≈ -0,12m=> C entre les armatures et N < 0 => section entièrement tendue • ft28 = 2,1MPa=> 2 1MP > σs = 202MPa • fsu = 348MPa • eA1 = 25 25-5+12 5+12 = 32cm • eA2= 45-25-12=8cm • A1u = (0,46x0,08)/[(0,32+0.08)x348) =0,000264m2=2,64cm2 • A2u = (0,46x0,32)/[(0,32+0.08)x348) =0,001057m2 = 10,57cm2 • A1ser = (0,322x0,08)/[(0,32+0.08)x202) =0,000319m2=3,19cm2 • A2ser = (0,322x0,32)/[(0,32+0.08)x202) (0 322x0 32)/[(0 32+0 08)x202) =0 =0,001275m 001275m2 = 12,75cm 12 75cm2 • Amin = 30x50x2,1/400 = 7,88cm2 => A1ser + A 2ser ≥ A min • A1=A1ser=> soit 3HA14 et A2=A2ser => soit 3HA25
12
Exemple p 2 5cm
55cm
60cm m
Données • • • •
Ng = -200kN ; Nq = -200kN Mg = 20kN.m ; Mq = 20kN.m fc28 25MPa FeE500 28 = 25MPa, Fissuration peu préjudiciable
Déterminer le ferraillage longitudinal d lla section de ti 30cm 13
Exemple p 2: Solution • • • • • • • • • •
Fissuration peu préjudiciable => Calcul à l’ELU Mu=57kN.m =57kN m Nu=-570kN eu = Mu/Nu= -0,10m => C entre les armatures et N<0=> section entièrement t d tendue ft28 = 2,1MPa fsu = 435MPa eA1 = 30-5+10 = 35cm eA2 = 55-30-10 = 15cm A1u (0 57x0 15)/[(0 35+0 15)x435) =0 0,000393m 000393m2=3 3,93cm 93cm2 => > 3HA14 1 = (0,57x0,15)/[(0,35+0.15)x435) A2u = (0,57x0,35)/[(0,35+0.15)x435) =0,000917m2 = 9,17cm2 => 3HA20
•
Amin = 30x60x2,1/500 30x60x2 1/500 = 7 7,56cm 56cm2
=> A1u + A 2u ≥ A min 14
Section Partiellement Comprimée/Tendue • ELS: S – N<0 et C (centre de pression) est à l’extérieur des armatures – N>0 et C est à l’extérieur du noyau central
• ELU:
h/3
Noyau central b/3
– N<0 et C est à l’extérieur l extérieur des armatures – N>0 et la hauteur du béton comprimé y est
N
x
C
d’
A’σsc Fb
zb
h
G
d
A
d-d’
eA
e
A’
A s Aσ
16
Calcul des armatures Equilibre de la section
⎧ N e A = Fb z b + A' σsc (d − d' ) ⎪ N ⎨ ⎪ N = Fb + A' σsc − Aσs ⇒ Fb + A' σsc − σs (A + σ ) = 0 s ⎩ ⎧S' = A' S' σsc (d − d d' ) ⎧M A = Fb z b + S ⎪ N ⇒⎨ ⎨ S A = + Fb + S' σsc − Sσs = 0 ⎩ ⎪ σs ⎩ Equations d’équilibre d’une section sollicitée en flexion simple par un moment de flexion MA 17
Calcul des armatures • Calculer le moment MA (MuA ou MserA) par rapport aux armatures tendues • Calculer C l l en flflexion i simple i l lles sections ti d’ d’armatures t S ett S’ • Revenir à la flexion composée avec les armatures A et A’:
⎧A' = S' ⎪ N ⎨ A = S − ⎪ σs ⎩ • N est une compression p ((N>0)) => diminution de la section d‘acier tendus trouvée en flexion simple • N est une traction (N<0) => augmentation de la section d’acier tendus trouvée en flexion simple 18
Exemple 3
A
A
6m
N
• •
Ng = 85kN ; Nq = 75kN Mg = 90kN.m ; Mq = 80kN.m
•
fc28 = 25MPa, FeE500
•
Fissurations peu préjudiciables • μlu = 0,305 Coupe AA
22cm
M
55cm
19
Exemple p 3: Solution • • • • • • • • • • • • • • •
Calcul à l’ELU Nu=1,35(85)+1,5(75)=227,25kN ,35(85) ,5( 5) , 5 >0 0 Mu=1,35Mg +1,5Mq= 241,5kN.m ea = max(2cm,l/250) = max(2cm, 600/250=2,4cm)=2,4cm e1 = 241,5/227,25+e 241 5/227 25+ea = 1,087m 1 087m lf = 0,7l0 = 4,2m Lf/h = 4,2/0,55=7,64 < max(15,20e1/h)=15 => Calcul en flexion composée en tenant compte de façon forfaitaire de risque de flambement α = 90/(90+80) = 0,529 e2 = 3x4,22x(2 + 0,529x2)/(104x0,55) = 0,029m Nu = 227,25kN 227 25kN ; Mu = Nu (1,087 (1 087 + 0 0,029) 029) = 253 253,61kN.m 61kN MuA = Mu + Nu (d-h/2) = 253,61 + 227,25 (0,5-0,55/2) = 304,74kN.m fbu = 0,85(25/1,5) = 14,2MPa ft28 = 0,6 + 0,06fc28 = 2,1MPa fsu = 500/1,15 = 435MPa μu = 304,74x10-3/(0,22x0,52x14,2) = 0,390 < 0,493 => section partiellement comprimée
Exemple p 3: Solution •
μu = 304,74x10-3/(0,22x0,52x14,2) = 0,390 < 0,493 => section partiellement comprimée i é μu > μlu => Aciers comprimés nécessaires
• • •
MuA = M1 + M2 M1 = μlu b d2 fbu = 0,305 0 305 0 0,22 22 0 0,5 52 14,2 14 2 = 0 0,2382 2382 MN MN.m m M2 = MuA - M1 = 304,74 – 238,2 = 66,53kNm = 0,06653MN.m
•
α lu = 1,25(1 - 1 − 2μ lu ) = 0,4694 => ε s = 3,5‰ (1 - α lu )/α lu = 3,96‰ • •
εs > εe = 435/200000 = 2,175‰ => σs = 435 MPa εsc = 3,5‰ (αlud-d’)/(αlud) = 2,75‰ => σsc = 435 MPa 21
Exemple p 3: Solution M2 0,06653 2 2 0 , 00034 m 3 , 4 cm Su2 = = = = (d - d ' )σs (0,5 (0 5 - 0,05) 0 05)435 σs S = Su2 = 3,4cm 2 σsc ' u
M1 0 2382 0,2382 Su1 = = = 0,00135m 2 = 13,5cm 2 0,5(1 - 0.4x 0,4694)435 d(1 - 0.4α lu )σs
Su = Su1 + Su2 = 13,5 + 3,4 = 16,9cm 2 ⎧A' = S' = 3,4cm 2 ⎪ Flexion Composée => ⎨ N 0,227 4 2 A = S − = 16 , 9 − x 10 = 11 , 7 cm ⎪ σs 435 ⎩
22
2 22cm
Exemple 3: Solution
55cm 6HA16
3HA14
23
G1= 35,5T
Exemple p 4
Q1= 4T
G2= 12,5T G2 12 5T Q2= 3T
• • •
2 B
au niveau de l’encastrement du poteau
C
2
fc28 = 25MPa, FeE400 peu p préjudiciables j Fissurations p Déterminer la section d’armatures longitudinales
Coupe 2-2
1,2m 4,5m
Poteau 1
Coupe 1 1-1 1
1
A Poteau 2
40cm
70cm
1
24
70cm
40cm
Exemple p 4: Solution Effort Perm. Expl. Perm Expl Bras de levier normal (T) (T) (m) Poteau 1 35,5 4 1,2 Poids 0,84 0 84 Poutre Poids 2,9 Poteau 2 Poteau 2 12,5 12 5 ∑ 51,74
Mperm (T.m) 42,6
Mexpl (T.m) 4,8
-
06 0,6
0 504 0,504
-
-
0
-
-
3
0
-
-
43,104
4,8
7
Descente de charge sur le poteau 2
25
Exemple p 4: Solution • • • • • • • • • • • • • •
Calcul à l’ELU Nu=1,35(51,74)+1,5(7)=80,349T ,35(5 , ) ,5( ) 80,3 9 Mu=1,35Mg +1,5Mq= 65,39T.m ea = max(2cm,l/250) = max(2cm, 450/250)=2cm e1 = 65,39/80,349+e 65 39/80 349+ea = 0,834m 0 834m lf = 0,7l0 = 3,15m Lf/h = 3,15/0,7=4,54 < max(15,20e1/h)=23,8 => Calcul en flexion composée en tenant compte de façon forfaitaire de risque de flambement α = 43,105/(43,104+4,8) = 0,9 e2 = 3x3,152x(2 + 0,9x2)/(104x0,7) = 0,016m Nu = 80,349T 80 349T ; Mu = Nu (0,834 (0 834 + 0 0,016) 016) = 68 68,3T.m 3T MuA = Mu + Nu (d-h/2) = 68,3 + 80,349 (0,63-0,7/2) = 90,8T.m fbu = 0,85(25/1,5) = 14,2MPa ft28 = 0,6 + 0,06fc28 = 2,1MPa fsu = 400/1,15 = 348MPa 26
Exemple p 4: Solution • •
μbu = 90,8x10-2/(0,4x0,632x14,2) = 0,403 < 0,493 => section partiellement comprimée i é μlu = 0,3 μbu > μlu => Aciers comprimés nécessaires
• • • •
MuA = M1 + M2 M1 = μlu b d2 fbu = 0 0,3 30 0,4 40 0,63 632 14,2 14 2 = 0 0,6763MN.m 6763MN m M2 = MuA - M1 = 90,8 – 67,63 = 23,17Tm = 0,2317MN.m Calcul autour du pivot B
• •
εs > εe = 348/200000 = 1,74‰ => σs = 348MPa εsc = 3,5‰ (αlud-d’)/(αlud) = 2,89‰ => σsc = 348MPa
•
α lu = 1,25(1 - 1 − 2μ lu ) = 0,459 => ε s = 3,5‰ (1 - α lu )/α lu = 4,12‰
27
Exemple p 4: Solution M2 0,2317 2 2 0 , 00115 m 11 , 5 cm Su2 = = = = (d - d ' )σs (0,63 (0 63 - 0,05) 0 05)348 σs S = Su2 = 11,5cm 2 σsc ' u
M1 0 6763 0,6763 Su1 = = = 0,00378m 2 = 37,8cm 2 0,63(1 - 0.4x 0,459)348 d(1 - 0.4α lu )σs
Su = Su1 + Su2 = 37,8 + 11,5 = 49,3cm 2 ⎧A' = S' = 11,5cm 2 ⎪ Flexion Composée =>⎨ N 0,80349 4 2 A = S − = 49 , 3 − x 10 = 26 , 2 cm ⎪ σs 348 ⎩
28
40cm
Exemple 4: Solution
10HA20
70cm
5HA20
29
Section Entièrement Comprimée • ELS: – N>0 et C est à l’intérieur du noyau central Noyau central
• ELU: ELU – N>0 et la hauteur du béton comprimé y est >h
M uA h h ⇒ μ bu = 2 > μ BC = 0.8x 0 8 (1 − 0,4 ) = 0,493 bd f bu d d 30
Section Entièrement Comprimée • ELU: => Calcul autour de pivot C Ou ⇒ Ramener le calcul autour de pivot B Ou => Utiliser diagramme d’interaction (N, M)
Il est recommandé dé d’ d’adopter d un fferraillage ill symétrique é i (A1u=A A2u) pour réduire éd i le risque de flambement=> le plus souvent on ramène le calcul autour du pivot B 31
Section entièrement comprimée Calcul à l’ELUR autour de Pivot C • Hypothèse: déformation uniforme sur la section égale à 2‰ fsu si Acier HA400 • σsu(2 ‰)= 2‰ Es si Acier HA500
d’
A1
A1uσsu(2 ‰) eA1
Nu h
G
d
eu
G
fbubh eA2
A2
A2uσsu(2 ‰) 32
Calcul des armatures Equilibre de la section
⎧⎪Nu = A1uσ su(2‰) + A2uσ su(2‰) + fbubh ⎨ ' ⎪⎩Nu eA2 = A1uσ su(2‰) (d − d ) + fbubh (eA2 − eu )
Pour une section
N u e A 2 − f bu bh(e A 2 − eu ) ⎧ ⎪A1u = ' − (d d ) σ su ( 2‰ ) ⎪ ⎨ ⎪A = N u − f bu bh − A 1u ⎪ 2u σ su ( 2‰ ) ⎩ h h rectangulaire: e A1 = ( − d '−eu ) ; e A 2 = (eu + d − ) 2 2 33
Exemple 5: calcul à l’ELUR autour du pivot B fc28 25MPa FeE400 28 = 25MPa, Fissurations peu préjudiciables Nu = 1,045MN MuG = 0,1463 MN.m 4cm
35cm
• • • •
4cm 35cm
34
Exemple p 5: Solution • • • • • • • • • • •
Calcul à l’ELU MuA = Mu + Nu (d (d-h/2) / ) = 0,1463 0, 63 + 1,045 ,0 5 (0,31-0,35/2) (0,3 0,35/ ) = 0, 0,2874MN.m 8 fbu = 0,85(25/1,5) = 14,2MPa ft28 = 0,6 + 0,06fc28 = 2,1MPa fsu = 400/1,15 400/1 15 = 348MPa μbu = 0,2874/(0,35x0,312x14,2) = 0,602 > 0,493 => section entièrement comprimée => Réduire la hauteur de béton comprimée par ajout d’acier d acier comprimé A’ A de façon à avoir μbu < 0,493 On prend A’=2HA25=9,81cm2 MuA’/A = A’ σsc (d-d’) (d d’) = 9 9,81x10 81 10-44x348x(0,31-0,04)=0,092MN.m 348 (0 31 0 04) 0 092MN ; avec σsc =348 348 MPa => Hypothèse à vérifier Mub/A = MuA- MuA’/A =0,2874 – 0,092 = 0,1954MN.m μbu = 0,1954/(0,35x0,312x14,2) = 0,409 < 0,493 => Calcul autour du Pivot B d’une section partiellement comprimée
α = 1,25(1 - 1 − 2μ bu ) = 0,717 0 717 => ε s = 3,5‰ 3 5‰ (1 - α )/α = 1,38‰ 1 38‰ < ε e = 1,74‰ 35 ⇒ σs = E s ε s = 200000x1,38x10-3 = 276MPa
Exemple p 5: Solution d' 4 −3 α - α ' ⇒ α' = = = 0,129 ⇒ ε sc = 3,5x10 x = 2,87 x10 −3 d 31 α
⇒ σ sc = f su = 348MPa ⇒ Hypothèse verifiée • • • •
Vérification de l’Equilibre: l Equilibre: Nu = A’σsc + fbu 0,8 α d b - A σsc 1,045 = 9,81x10-4x348 + 14,2x0,8x0,717x0,31x0,35 – 276xA => A = 6,52x10 6 52x10-4m2 = 6,52cm 6 52cm2 =>Soit 2HA25 (ferraillage symétrique)
36
