INDICE 1. INTR INTROD ODUC UCCI CIÓN ÓN 2. OBJET BJETIIVO 2.1 objetivo especifico 2.2 objetivos secundarios 3. FUND FUNDAM AMEN ENTO TO TEORI TEORICO CO 4. GEOMET GEOMETRÍA RÍA DE DE LA ESTR ESTRUCT UCTURA URA
LUZ DE LA CERCHA
ALTURA DE LA CERCHA
GEOMETRÍA DE LOS EJES DE LA CERCHA
5. CARACT CARACTERÍ ERÍSTI STICAS CAS DEL MATER MATERIAL IAL
FATIGAS DE TRABAJO DE LA MADERA
6. MEMO MEMORI RIA A DE CÁLC CÁLCUL ULO O
CALCULO DEL ENTRAMADO
DIMENSIONAMIENTO DE LISTONES
DIMENSIONAMIENTO DE LOS CABIOS
DIMENSIONAMIENTO DE LAS CORREAS MAESTRAS
CALCULO DE LOS ESFUERZOS DE CADA ELEMENTO
CALCULO DE LAS UNIONES
CALCULO DEL CUBICAJE
7. DIMENSIONES DIMENSIONES DE DE LOS ELEMENTOS ELEMENTOS DE DE LA CERCHA CERCHA 8. CONCLU CONCLUSIO SIONES NES Y RECOM RECOMENDA ENDACIO CIONES NES
DISEÑO DE UNA ARMADURA TIPO PRATT 1.- INTRODUCCIÓN El presente proyecto de construcción de cubierta tipo Pratt, con los respec res pectiv tivos os datos datos meteor meteoroló ológic gicos os y de análisi análisiss de cargas cargas donde donde se considera a la cercha como principal elemento estructural, y es en el mismo donde aplicaremos los conocimientos de la materia en toda la magnit magnitud ud del trabaj trabajo, o, con el respect respectivo ivo fundam fundament ento o teóric teórico, o, con la geometría de la estructura y con los cálculos ordenados para cada paso del diseño.
2.- OBJETIVOS 2.1 Objetivo especifico.Diseñar y calcular una cercha de madera tipo Pratt 2.2 Objetivo secundarios.Los objetivos secundarios son:
Realizar el calculo ulo de las carg argas que inci nciden en la estructura, tanto cargas de peso muerto y las de cargas vivas que actúan en función a las características metereologicas.
Realizar el diseño geométrico y el cálculo del entramado de la cubierta, que comprende los listones, cabios y correas maestras.
Calcu alcullar los los es esfu fuer erzo zoss en ca cad da una una de las barr barras as del del reticulado, y las secciones para cada uno de los tramos en función a las solicitaciones más críticas.
Realizar el cálculo de las uniones en los nudos del reticulado, verificar las tensiones en las secciones disminuidas por los orificios de las uniones.
Realizar el cubicaje total de la madera.
3.- FUNDAMENTO TEORICO Existen muchos tipos de cerchas como:
Belgian
Pratt
Warren
Decrecientes
Tijeras
Semihowe
Gambrell
Bowstring
Howe
ANÁLISIS DE CERCHAS Para identificar si son estables, estáticamente determinadas o indeterminadas se sugiere consultar el capítulo de estabilidad y determinación. El análisis de las cerchas tiene como objetivo encontrar las fuerzas en cada uno de los elementos y las deformaciones de todo el conjunto. En cerchas estáticamente determinadas se utilizan métodos analíticos y métodos gráficos. Entre los métodos analíticos tenemos: el método de los nudos y el método de las secciones. Identificación de miembros con fuerza cero.
Método de los nudos: Se separan los nudos de toda la cercha y se realiza el diagrama de cuerpo libre de cada uno, se aplican dos ecuaciones de equilibrio de traslación por nudo. Se debe empezar la solución por aquel nudo que tenga solo dos incógnitas. Método de las secciones: cortar la estructura de tal manera que queden tres fuerzas de barras como incógnitas y aplicar equilibrio a cada sección. Para el análisis se pueden combinar el método de los nudos y las secciones haciendo que la rapidez con que se llegue a la solución dependa de la pericia y experiencia del diseñador. (Todo conocimiento nuevo requiere de momentos de asimilación o etapas hasta llegar al dominio llamado el momento de la sistematización, para llegar a esta etapa debemos analizar muchas y diferentes cerchas de tal manera que en nuestra mente se ha creado ya un concepto general del comportamiento y así sabremos por donde cortar y que nudo analizar para que la solución se encuentre de forma fácil). Convención: Debido a que las barras solo trabajan a esfuerzos axiales se seguirá la siguiente convención: Barras traccionadas tienen fuerzas positivas (+) y barras comprimidas tienen fuerzas negativas (-). Sugerencias para los diagramas de cuerpo libre: * Siempre dibujar fuerzas saliendo del nudo. * Siempre dibujar fuerzas en los elementos estirando el elemento.
4.- GEOMETRÍA DE LA ESTRCTURA
Luz de la Cercha La luz de la cercha es de L = 18.0 m
Altura de la Cercha Siguiendo la relación para cerchas tipo Pratt tenemos:
CALCULO DE LA ALTURA 5 12
=
h=
h L
5*9 12
h = 3.75 m
CALCULO DEL ANGULO tg θ
=
θ
3.75 9.00
= 22º37´11.51”
CALCULO DE LA INCLINACIÓN X
=
3.75 2
+ 92
X = 9.75 m
Separación entre cerchas Se tiene como dato del proyecto que la cubierta tiene una luz de 18 m, y una separación entre cerchas de 4.2 m
Separación entre Correas Maestras La separación entre correas maestras esta dada por la separación entre nudos del entramado, esta para convertir las cargas inducidas en la estructura en cargas puntuales aplicadas
directamente en los nudos, entonces la separación entre correas será de 2.25 m. dada la geometría de la cercha
Separación entre Cabios La separación entre cabios esta en función a la distancia que existe entre cerchas, en nuestro proyecto nuestra separación es de 4.2 m entonces para la separación entre cabios es de 1.4 m
Separación entre Listones La distancia que separa los Listones se la diseña una vez que se decide el tipo de cubierta a utilizar, es decir en base a las dimensiones de la calamina que se colocara, tomando en cuenta el largo del material y la distancia del traslape, en nuestro proyecto usaremos placas onduladas duralit, la separación entre listones será de 1 m
5.- CARACTERÍSTICAS DEL MATERIAL
Fatigas de Trabajo de la madera Considerando que la cubierta es de una luz un extensa la madera es intermedia cuyas características son: TENSIONES DE TRABAJO - compresión paralela a las fibras - Flexión - Tracción paralela a la fibra - Compresión perpendicular a la Fibra - Esfuerzo Cortante - Modulo de Elasticidad - Flecha admisible
85 kg/cm2 85 kg/cm2 100 kg/cm2 25 kg/cm2 8 kg/cm2 100000 kg/cm2 L/350
Análisis de la cubierta Para la cubierta se utilizara placas de Fibrocemento onduladas fabricadas por duralit cuyas características detallare enseguida. El fibrocemento es la denominación de una técnica de producción de lámina de cemento con algún tipo de fibra que desempeña un papel estructural dentro la masa del cemento. Es decir las fibras juegan un rol similar al del fierro de construcción en el hormigón armado; es la malla tejida sobre la que se vacía el cemento para formar una masa compacta
y distribuida uniformemente. Este material reúne un serie de características favorables: su precio e accesible, es un producto versátil y se comporta en forma excelente en las mas exigentes condiciones climatologiítas del país. VENTAJAS.• Es durable • Es aislante térmico • Es aislante acústico • No se quema • No se corroe • No se pudre Detalles de la Placa ondulada Código
Longitud(m) Total Útil 3.05 2.91 1.22 1.08
10111 10103
Área total (m2) s/traslapo c/traslapo 3.29 3.05 1.32 1.13
Peso Kg. 43.20 14.40
Espesor mm. 6 5
Importante: pendiente mínima recomendable 15º (27%) y en zonas de nieve y/o granizo 20º (37%). Traslapo recomendado de 7cm. A cada lado 9.75 ⇒ 2.9
=
2.9 * 3 9.75
3 placas Nº 10111 1 placa Nº 10103
3.36
=
8.7
8.7
−
por cada lado
1.05
=
6.- MEMORIA DE CÁLCULO PARTE A CALCULO DEL ENTRAMADO I calculo de los listones • •
10.00 kg./m2 13.13 kg./m2
Peso de listones Peso de la cubierta
-sobrecargas •
Sobrecarga de nieve
50.00 kg./m2
⇒
q=10+13.13+50 Luz del listón = 1.4 m.
q=73.13 kg./m2
Espaciamiento entre listones = 1m. qc =73.13 kg./m2*1m. qc =73.13 kg./m Flexión M to
=
M to
=
1 10 1
q * l 2 73.13 * 1.4 2
10 M to = 1433.35kg * cm σ ´adm
S =
=
85 2 * cos 22,61º
1433.35
= 46.042 kg
cm 2
= 31.13cm3
40.042
Adoptamos listones de 2”x3”
OK
II Calculo de cabios q=73.13 kg./m2
R =
73.13 *1
qcabio =
= 36.565kg 2 (11 −1) * 36.565
= 37.50 kg m
9.75 kg P . P cabio = 5 m kg qtc = 42.5 m
R
Flexión M to
=
1
q * l 2
10 1 M to = 42.5 * 2.252 10 M to = 2151.56kg * cm S =
2151.56 85
73.13kg/m
= 25.3cm3
A = 37.49cm 2 adoptamos 2" x 4" S = 58.30cm3 I = 265.30cm4
R
Corte R =
1
42.5 * 2.25 = 47.81kg 2 3 47.81 τ = = 1.89 kg 2 cm 2 37.99 kg kg 1.89 2 >8 OK cm cm 2
Flecha 4 42.5 * 2.254 *1003
F =
384 100000 * 265.30 225 = 0.64cm F adm = 350 F adm > F
= 0.428cm
OK
Aplastamiento τ apls.
=
2 * 47.81
(1.63 * 3.63) 2.54
P
P
2
= 2.50 kg
P
R 1
P
cm
2
< 25 kg
cm 2
III Calculo de correas
P=2*47.81 P= 95.62 kg. M 1 = 0
R 2
∑
4.2 1.4
+95.62
1.4
OK
R2 ( 4.2)
1.4
R2
“V”
− P ( 2.8 + 4.2 +1.4) = 0 P ( 2.8 + 4.2 +1.4 ) = = 191.24kg 4.2
= R1 M To = 13387kg * cm R2
σ ´adm = 46.042
kg cm2
-95.62
Corte “M”
133.87 46.042
= 290.76cm3
A = 127 cm 2 R = 191.24 kg adoptamos3" x8" S = 403.1cm3 3 191.24 I =23840cm 4 = 2.59 kg τ = cm 2 127 2.59
+133.87
S =
kg cm
2
> 8 kg
cm 2
OK
Flecha P = 95.62kg (3 L − 4a ) ⇒ para a = 140cm F = 24 EI L = 420cm P * a
F = F adm F adm
2
2
95.62 * 140 24100000 * 3840 420 = = 1.2cm 350 > F
(3 * 420 − 4 *140 ) = 0.655cm 2
2
OK
PARTE B CALCULO DE LOS ESFUERZOS DE CADA ELEMENTO DE LA CERCHA * CARGA MUERTA Peso Propio de la Cercha P = 0.95 * L
P = 0.95*(18.00) P = 17.1 (Kg/m 2 )
Peso Cuerda más Entramado PCE = 22 (Kg/m2 )
Peso Total P = 40.00(Kg/m 2 )
Carga total q*e*L = 40*4.2*18 =
ϑ
ϑ =
3024 Kg
Carga por Nudo p =
p
=
ϑ
N º nudos − 1
30.24 8 1 −
p = 432 Kg
* CARGA DE NIEVE Sobre Carga de nieve 50(Kg/m2 )
Carga Puntual ϑ =
50*4.2*18 ϑ =
3780 Kg
Carga por Nudo p =
p
=
ϑ
N º nudos − 1 3780 8 −1
p = 540 Kg
NUDO A B C D
P (Carga de Nieve) ( Kg) 486 972 972 972
E F G H I J K L
972 972 972 972 972 972 972 482
Reacciones R
= P * 8 / 2 =
R
= 1728 Kg .
972 * 8 2
Barras A-B =P-N A-C=P-O B-D=N-L B-C=N-O C-D=O-L C-E=O-M D-E=L-M D-F=L-J E-F=M-J E-G=M-K F-H=J-H F-G=J-K G-H=K-H G-I=K-I H-I
Tracción[Kg.] 2980.8 1544.11 1801.05 1894.36 614.44 2279.02 -
Compresión [Kg.] 3229.2 3292.2 996.23 1476.67 2014.14 728.64 1954.25 1339.8 5440.97
7.- DIMENSIONES DE LOS ELEMENTOS DE LA CERCHA.Los elementos de la cercha son diseñados con madera del grupo A que tiene: •
Compresión paralela a la fibra...............................
85 Kg/cm2
•
Flexión.................................................................... 85 Kg/cm2
7.1.-
•
Tracción paralela a la fibra...................................... 100 Kg/cm2
•
Compresión perpendicular a la fibra......................... 25 Kg/cm2
•
Esfuerzo cortante.........................................................8 Kg/cm2
•
Modulo de elasticidad.......................................100.000 Kg/cm2
•
Flecha admisible..........................................................L / 350
Prediseño Piezas comprimidas.Para diseñar los elementos de la cercha se debe inicialmente determinar el ancho o base de la sección que se usará en toda la cercha, para esto utilizamos la barra a compresión más solicitada, siendo esta la barra H-I. BARRA H-I
N = 5440.97 kg. L = 3.75 m
Tanteo para d = 4” (3.625”)
λ =
ck
L d
=
375 3.625 x 2.54
= 0.7025 x
= 40.23
100000 85
= 24.10
COLUMNA LARGA Entonces
N Adm = 0.329 x
Despejando A Nec.
=
A
=
ExA 2
λ
2
λ xN
0.329 xE
(40.23) 2 x5440.97 0.329 x100000
= 267.65cm 2
Adoptamos la escuadrilla (4” x 12”) que tiene un área de 268.90cm 2 Además tomamos como base para todo el cordón superior del reticulado 4”
BARRA B-C
N = 996.23 kg. L = 0.95 m
λ =
c k
L d
=
95 3.625 x 2.54
= 0.7025 x
=10.31
100000 85
= 24.10
COLUMNA INTERMEDIA A =
Entonces
Nadm
1 λ 4 f c 1 − 3 C k 996.23
A =
Entonces
85 x 1 −
1 10.31 4
= 11.85cm 2
3 24.10
Adoptamos la escuadrilla (4” x 2”) que tiene un área de 37.99 cm2
BARRA D-E N = 1476.67 kg. L = 1.9 m
λ =
c k
L d
=
190 3.625 x 2.54
= 0.7025 x
= 20.63
100000 85
= 24.10
COLUMNA INTERMEDIA
A =
Entonces
Nadm
1 λ 4 f c 1 − 3 C k 1476.67
A =
Entonces
1 20.63 4
85 x 1 −
= 21.16cm2
3 24.10
Adoptamos la escuadrilla (4” x 2”) que tiene un área de 37.99 cm2
BARRA F-G N = 1954.25 kg. L = 2.8 m
λ =
c k
L d
=
280 3.625 x 2.54
= 0.7025 x
= 30.40
100000 85
= 24.10
COLUMNA LARGA Entonces
N Adm = 0.329 x
Despejando A Nec.
=
A =
ExA 2
λ
2
λ xN
0.329 xE
(30.40) 2 x1954.25 0.329 x100000
= 54.89cm 2
Adoptamos la escuadrilla (4” x 3”) que tiene un área de 61.40 cm2
BARRA A-B,B-D,D-F,F-H Estas barras están sometidas a compresión y la mas solicitada es A-B
N = 3229.2 kg. L = 2.712 m
λ =
c k
L d
=
271.2 3.625 x 2.54
= 0.7025 x
= 29.45
100000 85
= 24.10
COLUMNA LARGA N Adm = 0.329 x
Entonces
Despejando A Nec.
=
A
=
ExA 2
λ
2
λ xN
0.329 xE
(29.45) 2 x3229.2 0.329 x100000
= 85.13cm 2
Adoptamos la escuadrilla (4” x 6”) que tiene un área de 131.51 cm2
BARRA A-C, C-E, E-G, G-I La mayor solicitación es para A-C en tracción pero la barra G-I esta sometida a compresión ósea que también la analizaremos para comparar y luego escoger la escuadria mas conveniente
Para G-i N = 1334.8 kg. L = 2.25 m λ =
c k
L d
=
225 3.625 x 2.54
= 0.7025 x
= 24.37
100000 85
= 24.10
COLUMNA LARGA
N Adm = 0.329 x
Entonces
Despejando
A =
A
=
ExA 2
λ
2
λ xN
0.329 xE
( 24.37) 2 x1339.8 0.329 x100000
= 24.095
Para A-C f’t = 0.8 x f t
Ar Ar
0.80 x 85 = 68
N =
"
f t
= 1339.8 = 43.83cm 2 68
Adoptamos la escuadrilla (4” x 4”) que tiene un área de 84.75 cm2
7.2.- Prediseño Piezas traccionadas.Para las piezas traccionadas tomamos como resistencia a la tracción paralela alas fibras, el 80 % del valor de la resistencia real, esto para mitigar el efecto de las perforaciones. f’t = 0.8 x f t
Ar
N =
"
f t
0.80 x 85 = 68
BARRAS. Ar
C-d
= 1544.11 = 22.70cm 2 68
Adoptamos (4” x 2”) con un área de 37.99cm 2
BARRAS. E-F Ar
= 1894.36 = 27.85cm2 68
Adoptamos (4” x 2” ) con un área de 37.99cm2
BARRAS. H-G Ar
= 2279.02 = 33.52cm2 68
Adoptamos (4” x 2” ) con un área de 37.99cm2
Diseño de uniones.-Cálculo de las Uniones (En los Nudos).7.3.-
P1Ø = K . δadm . L .d . 2.542 Adoptamos Ø ¾ ” como diámetro de perno para todas las uniones. K = ƒ ( L/d) L/d = 3.625 / ¾” = 4.833 => K = 0.901 (interpolado) P1Ø = 0.901 * 85 * 3.625” * (3/4)” * (2.54)2 P1Ø = 1343.32 Kg
NUDO A y P Pieza 1: Nº Perno = 3229.2/ 1343.32 = 4 pernos Pieza 2: Nº Perno = 2980.8 / 1343.32 = 4 pernos
NUDO B y N Pieza 1:
Nº PERNOS = 3229.2 / 1343.52 = 4 PERNOS Pieza 2: Nº PERNOS = 3292.2 / 1343.52 = 4 PERNOS Pieza 3: Nº PERNOS = 996.23 / 1343.52 = 0.74 ≈ 2 PERNOS
NUDO C y O Pieza 1: Nº PERNOS = 2980.8 / 1343.52 = 4 PERNOS Pieza 2: Nº PERNOS = 996.23/ 1343.52 = 2 PERNOS Pieza 3: Nº PERNOS = 1544.11 / 1343.52 = 2 PERNOS Pieza 4: Nº PERNOS = 1801.05 / 1343.52 = 2 PERNOS
NUDO D Y L Pieza 1: Nº PERNOS = 3292.2 / 1343.52 = 4 PERNOS Pieza 2: Nº PERNOS = 1544.11/ 1343.52 = 2 PERNOS Pieza 3: Nº PERNOS = 1476.67 / 1343.52 = 2 PERNOS Pieza 4: Nº PERNOS = 2014.14/ 1343.52 = 2 PERNOS
NUDO E Y M Pieza 1: Nº PERNOS = 1801.05 / 1343.52 = 2 PERNOS Pieza 2: Nº PERNOS = 1476.67 / 1343.52 = 2 PERNOS Pieza 3: Nº PERNOS = 1894.36 / 1343.52 = 2 PERNOS Pieza 4: Nº PERNOS = 614.44/ 1343.52 = 2 PERNOS
NUDO F Y J Pieza 1: Nº PERNOS = 2014.14 / 1343.52 = 2 PERNOS Pieza 2: Nº PERNOS = 1894.36 / 1343.52 = 2 PERNOS
Pieza 3: Nº PERNOS = 1954.25 / 1343.52 = 2 PERNOS Pieza 4: Nº PERNOS = 728.64/ 1343.52 = 2 PERNOS NUDO G Y K Pieza 1: Nº PERNOS = 614.44 / 1343.52 = 2 PERNOS Pieza 2: Nº PERNOS = 1954.25 / 1343.52 = 2 PERNOS Pieza 3: Nº PERNOS = 2279.02 / 1343.52 = 2 PERNOS Pieza 4: Nº PERNOS = 1339.8/ 1343.52 = 2 PERNOS
NUDO H Pieza 1: Nº PERNOS = 5440.97 / 1343.52 = 4 PERNOS Pieza 2: Nº PERNOS = 728.64 / 1343.52 = 2 PERNOS Pieza 3: Nº PERNOS = 2279.02 / 1343.52 = 2 PERNOS 7.3.2.Verificación en cada elemento debilitado por las
uniones.Para calcular el área de la sección debilitada por las perforaciones, se utiliza la siguiente fórmula: An = Ab - At Donde:
An = Area neta Ab = Area base At = Area taladrada At = N x Oi x L x 2.542 1
Oi = O + Oi =
3 4
+
16
1 16
=
13 16
L = 4” =3.625” Formula para el Área taladrada : At = N (13/16) x 3.625 x 2.54 2 = 19 cm2
At = N 19 cm2 VERIFICACIÓN DE BARRAS. BARRAS. A-B y P-N Para estas barras tenemos una fuerza de compresión de 3229.2 Kg., con una longitud de 2.712 m. Con una escuadrilla de (4”x6”)con un área de 131.51 cm 2 AEscuadrilla= 131.51cm 2 A T = N 19 cm2 A T =2 x 19 =38 cm 2 AN= AE - A T AN= 131.51 –38 =93.51cm 2 λ =
L d
=
271.2 3.625 x 2.54
= 29.45
COLUMNA LARGA N Adm = 0.329 x N Adm
=
ExA 2
λ
= 0.329 x
(100000 ) x93.51 = 3547.18kg 29.452
> P = 3229.2 kg.
3547.18 kg .
Por lo tanto mantenemos la Escuadrilla
BARRAS. A-C y P-O Para estas barras tenemos una fuerza de compresión de 2980.8 Kg., con una longitud de 2.25 m. Con una escuadrilla de (4”x 4”)con un área de 84.75 cm 2 AEscuadrilla= 84.75 cm2 A T = N 19 cm2 A T =2 x 19 =38 cm 2 AN= AE - A T AN= 84.75 – 38 =46.75cm2 λ =
c k
L d
=
2.25 3.625 x 2.54
= 0.7025 x
= 24.44
100000 85
= 24.10
COLUMNA LARGA N Adm = 0.329 x N Adm
=
ExA 2
λ
2574 .99 kg .
= 0.329 x
(100000) x 46.75 24.44 2
= 2574.991kg
< P = 2980.8 kg.
Por lo tanto cambiamos la Escuadrilla a 4” x 6” con un área = 131.51 cm2 VERIFICACIÓN: AN= AE - A T AN= 131.51 – 38 = 93.51cm 2 N Adm = 0.329 x N Adm
=
ExA 2
λ
3547 .8kg .
= 0.329 x
(100000 ) x93.51 = 3747.58kg 44.96 2
> P = 2980.8 kg.
Por lo Tanto adoptamos la Escuadrilla 4”x 6”
8.-CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES El diseño de una cercha es una labor muy extensa y detallista puesto que la gran variedad de detalles que se tiene que calcular se desglosa en el uso de todos los conocimientos que obtuvimos en este curso de maderas, sin embargo es de gran ayuda el empleo de formulas que ya están predeterminadas para el calculo de esta cercha pero la gran variedad de bibliografía que existe en torno a este tema hace variar los criterios de calculo, pues existe una gran cantidad de contradicciones(o errores de trascripción) entre un autor y otro sobre el calculo de ciertos detalles importantes. Me pude dar cuenta de que con la variación del espesor se puede rebajar o aumentar sobremanera la escuadria de la cercha pero esto se debe regular en funcion al criterio y la funcionalidad de esta estructura. Debo mencionar que fue un gran perjuicio la falta de tiempo para realizar este trabajo con el esmero que merecía pues los numerosos detalles requerían un poco mas de atención y análisis pero espero que
con lo que ahora expongo sea suficiente para satisfacer las expectativas esperadas al emprender este proyecto. La única recomendación es que se tenga cuidado en la determinación de cargas reales que actuaran en la estructura y especial cuidado en elegir el tipo de cubierta en función del empleo que va a tener la cubierta
