Ciclo Otto (GIE) Contenido [ocultar ]
1 Enunciado 2 Descripción del ciclo 3 Eficiencia en función del calor 3.1 Intercambio de calor o 3.2 Trabajo realizado o 3.3 Rendimiento o 4 Eficiencia en función de las temperaturas 5 Eficiencia en función de la razón de compresión 6 Ejemplo práctico 6.1 Temperaturas y presiones o 6.2 Rendimiento o 6.3 Trabajo neto o 6.4 Rendimiento de la segunda ley o 6.5 Trabajo perdido o 6.6 Producción de entropía o 7 Representación en un diagrama T-S 8 Límites prácticos 9 Enlaces
1 Enunciado
Un ciclo Otto ideal Otto ideal modela el comportamiento de un motor de explosión. Este ciclo está formado por seis pasos, según se indica en la figura. Pruebe que el rendimiento de este ciclo viene dado por la expresión
siendo r = = V A / V B la razón de compresión igual compresión igual al cociente entre el volumen al inicio del ciclo de compresión y al final de él. Para P ara ello, halle el rendimiento a partir del calor que entra en el sistema y el que sale de él; é l; exprese el resultado en términos de las temperaturas en los vértices del ciclo y, con ayuda de la ley de Poisson, relacione este resultado con los volúmenes V A y V B.
2 Descripción del ciclo
Un ciclo Otto ideal es una aproximación teórica al comportamiento de un motor de explosión. Las fases de operación de este motor son las siguientes: Admisión (1) El pistón baja con la válvula de admisión abierta, aumentando la cantidad de mezcla (aire + combustible) en la cámara. Esto se modela como una expansión a presión constante (ya que al estar la válvula abierta la presión es igual a la exterior). En el diagrama PV aparece como la línea recta E→A. Compresión (2) El pistón sube comprimiendo la mezcla. Dada la velocidad del proceso se supone que la mezcla no tiene posibilidad de intercambiar calor con el ambiente, por lo que el proceso es adiabático. Se modela como la curva adiabática reversible A→B, aunque en realidad no lo es por la presencia de factores irreversibles como la fricción. Combustión Con el pistón en su punto más alto, salta la chispa de la bujía. El calor generado en la combustión calienta bruscamente el aire, que incrementa su temperatura a volumen prácticamente constante (ya que al pistón no le ha dado tiempo a bajar). Esto se representa por una isócora B→C. Este paso es claramente irreversible, pero para el caso de un proceso isócoro en un gas ideal el balance es el mismo que en uno reversible. Expansión (3) La alta temperatura del gas empuja al pistón hacia abajo, realizando trabajo sobre él. De nuevo, por ser un proceso muy rápido se aproxima por una curva adiabática reversible C→D. Escape (4) Se abre la válvula de escape y el gas sale al exterior, empujado por el pistón a una temperatura mayor que la inicial, siendo sustituido por la misma cantidad de mezcla fría en la siguiente admisión. El sistema es realmente abierto, pues intercambia masa con el exterior. No obstante, dado que la cantidad de aire que sale y la que entra es la misma podemos, para el balance energético, suponer que es el mismo aire, que se ha enfriado.
Este enfriamiento ocurre en dos fases. Cuando el pistón está en su punto más bajo, el volumen permanece aproximadamente constante y tenemos la isócora D→A. Cuando el pistón empuja el aire hacia el exterior, con la válvula abierta, empleamos la isobara A→E, cerrando el ciclo. En total, el ciclo se compone de dos subidas y dos bajadas del pistón, razón por la que se le llama motor de cuatro tiempos. En un motor real de explosión varios cilindros actúan simultáneamente, de forma que la expansión de alguno de ellos realiza el trabajo de compresión de otros.
3 Eficiencia en función del calor Al analizar el ciclo Otto ideal, podemos despreciar en el balance los procesos de admisión y de escape a presión constante A→E y E→A, ya que al ser idénticos y reversibles, en sentido opuesto, todo el calor y el trabajo que se intercambien en uno de ellos, se cancela con un término opuesto en el otro.
3.1 Intercambio de calor
De los cuatro procesos que forman el ciclo cerrado, no se intercambia calor en los procesos adiabáticos A→B y C→D, por definición. Sí se intercambia en los dos procesos isócoros.
En la ignición de la mezcla B→C, una cierta cantidad de calor Qin (procedente de la energía interna del combustible) se transfiere al aire. Dado que el proceso sucede a volumen constante, el calor coincide con el aumento de la energía interna
En la expulsión de los gases D→A el aire sale a una temperatura mayor que a la entrada, liberando posteriormente un calor Qout al ambiente. En el modelo de sistema cerrado, en el que nos imaginamos que es el mismo aire el que se comprime una y otra vez en el motor, modelamos esto como que el calor Qout es liberado en el proceso D→A, por enfriamiento. El valor absoluto viene de que, siendo un calor que sale del sistema al ambiente, su signo es negativo. Su valor, análogamente al caso anterior, es
3.2 Trabajo realizado De forma opuesta a lo que ocurre con el calor, no se realiza trabajo sobre el sistema en los dos procesos isócoros. Sí se realiza en los dos adiabáticos.
En la compresión de la mezcla A→B, se realiza un trabajo positivo sobre el gas. Al ser un proceso adiabático, todo este trabajo se invierte en incrementar la energía interna, elevando su temperatura:
En la expansión C→D es el aire el que realiza trabajo sobre el pistón. De nuevo este trabajo útil equivale a la variación de la energía interna
este trabajo es negativo, por ser el sistema el qu e lo realiza.
El trabajo útil realizado por el motor será el trabajo neto entregado, igual a lo que produce (en valor absoluto) menos lo que emplea en funcionar
Por tratarse de un proceso cíclico, la variación de la energía interna es nula al finalizar el ciclo. Esto implica que el calor neto introducido en el sistema debe ser igual al trabajo neto realizado por este, en valor absoluto.
como se comprueba sustituyendo las relaciones anteriores.
3.3 Rendimiento El rendimiento (o eficiencia) de una máquina térmica se define, en general como “lo que sacamos dividido por lo que nos cuesta”. En este caso, lo que sacamos es el trabajo neto útil, |W | . Lo que nos cuesta es el calor Qin, que introducimos en la combustión. No podemos restarle el calor Qout ya que ese calor se cede al ambiente y no es reutilizado (lo que violaría el enunciado de Kelvin-Planck ). Por tanto
Sustituyendo el trabajo como diferencia de calores
Esta es la expresión general del rendimiento de una máquina térmica.
4 Eficiencia en función de las temperaturas Sustituyendo las expresiones del calor que entra en el sistema, Qin, y el que sale de él, Qout, obtenemos la expresión del rendimiento
Vemos que el rendimiento no depende de la cantidad de aire que haya en la cámara, ya que n se cancela. Podemos simplificar estas expresiones observando que B→C y D→A son p rocesos isócoros, por lo que
y que A→B y C→D son adiabáticos, por lo que cumplen la ley de Poisson (suponiéndolos reversibles)
con γ = 1.4 la relación entre las capacidades caloríficas a presión co nstante y a volumen constante. Sustituyendo la igualdad de volúmenes
y dividiendo la segunda por la primera, obtenemos la igualdad de proporciones
Restando la unidad a cada miembro
Intercambiando el denominador del primer miembro, con el numerador del último llegamos a
y obtenemos finalmente el rendimiento
esto es, la eficiencia depende solamente de la temperatura al inicio y al final del proceso de compresión, y no de la temperatura tras la combustión, o de la cantidad de calor que introduce ésta. Puesto que T B < T C , siendo T C la temperatura máxima que alcanza el aire, vemos ya que este ciclo va a tener un rendimiento menor que un ciclo de Carnot que opere entre esas las temperaturas T A y T C .
5 Eficiencia en función de la razón de compresión
Aplicando de nuevo la relación de Poisson
podemos expresar el rendimiento como
con r = V A / V B la razón de compresión entre el volumen inicial y el final. La eficiencia teórica de un ciclo Otto depende, por tanto, exclusivamente de la razón de compresión. Para un valor típico de 8 esta eficiencia es del 56.5%.
6 Ejemplo práctico
Supongamos un ciclo Otto ideal con una relación de compresión de 8. Al inicio de la fase de compresión, el aire está a 100 kPa y 17°C. En la combustión se añaden 800 kJ/kg de calor. Vamos a determinar la temperatura y la presión m áximas que se producen en el ciclo, la salida de trabajo neto y el rendimiento de este motor.
6.1 Temperaturas y presiones El aire contenido en el motor se calienta en dos fases: durante la compresión y como consecuencia de la ignición. En la compresión, obtenemos la temperatura final aplicando la ley de Poisson
Sustituyendo los valores numéricos
La presión en el punto B la podemos obtener de que el proceso es adiabático
El segundo incremento de temperatura se produce como resultado de la combustión de la gasolina. De acuerdo con los datos, la cesión de calor es de 800 kJ por kg de aire, esto es, es un dato relativo. Obtenemos el incremento de tempe ratura como
siendo
el peso molecular medio del aire. Despejando y sustituyendo
Vemos que en la combustión la temperatura crece el triple que en la compresión. La presión en C la podemos hallar de que el proceso B→C es a volumen constante
Tras la expansión adiabática, el volumen vuelve a ser el inicial. Esto nos da la temperatura del estado D
mientras que la nueva presión es, aplicando de nuevo la ecuación de una adiabática
Resumiendo todos los valores, tenemos la siguiente tabla
Estado T (K) p (bar) v (l/mol) A
290
1.0
24.1
B
666
18.4
3.01
C
1781 49.1
3.01
D
775
24.1
2.67
El volumen molar se obtiene empleando la ley de los gases ideales
Puede emplearse esta ley para cada uno de los estados, o bien hallar solo el primero y luego emplear que se conoce la ley de compresión y el que hay procesos a volumen constante. Tanto en el cálculo de la temperatura como en el de la presión máxima hemos usado la aproximación de que la capacidad calorífica molar del aire es la misma a todas las temperaturas. Un cálculo preciso requiere usar las tablas empíricas de variación de cv con T y los resultados correctos pueden diferir en torno a un 10%.
6.2 Rendimiento El rendimiento de un ciclo Otto ideal con una razón de compresión de 8 es
Cuando se tiene en cuenta que la capacidad calorífica varía con la temperatura, resulta un valor inferior para el rendimiento, en torno al 52%.
6.3 Trabajo neto El trabajo neto (por unidad de masa) lo podemos obtener conocidos el calor que entra y el rendimiento del ciclo
No obstante, podemos desglosar el cálculo, hallando cuánto cuesta comprimir el aire, y cuanto trabajo devuelve el gas en la expansión. El trabajo de compresión por unidad de masa es
y el devuelto en la expansión
La temperatura en el punto D no la conocemos, pero la podemos calcular sabiendo que los puntos C y D están unidos por una adiabática
y resulta un trabajo de expansión
El trabajo neto, igual al que desarrolla el gas, menos lo que cuesta comprimirlo es
6.4 Rendimiento de la segunda ley El rendimiento de la segunda le y nos lo da el cociente respecto al máximo posible, que sería el que tendría una máquina reversible que operara entre las temperaturas extremas del ciclo. Este rendimiento máximo vale, para este caso práctico
Por lo que, en comparación con este, el rendimiento del ciclo Otto es
es decir, tiene aproximadamente 2/3 del rendimiento máximo que podría tener.
6.5 Trabajo perdido El trabajo perdido de una máquina térmica es la diferencia entre el máximo que podría conseguirse, para la entrada de calor dada y el que se consigue realmente
En función del calor que entra y los rendimientos
lo que nos da en nuestro caso
Esto nos dice que un 27% del calor que entra se desperdicia de más en forma de calor de desecho.
6.6 Producción de entropía El trabajo perdido está directamente relacionado con la producción de entropía
por lo que la producción de entropía por kilogramo de combustible es
7 Representación en un diagrama T-S El ciclo Otto, además de en un diagrama pV, puede reprensentarse en uno T-S, en el que el eje de abscisas corresponde a la entropía del sistema y el de ordenadas a su temperatura. En este diagrama, los dos procesos adiabáticos corresponden a sendos segmentos verticales, pues la entropía permanece constante en un proceso adiabático reversible. Para los procesos a volumen constante recurrimos a la expresión para la entropía d e un gas ideal
siendo T 0 y V 0 la temperatura y el volumen de un cierto estado de referencia. Despejando de aquí la temperatura
que nos dice que cuando V es constante, la temperatura varía exponencialmente con la entropía. El ciclo Otto corresponderá por tanto a dos curvas exponenciales conectados por dos segmentos rectilíneos.
8 Límites prácticos El cálculo anterior establece un límite máximo para la eficiencia de un motor de explosión. De acuerdo con esta expresión la forma de aumentar el rendimiento es incrementar la razón de compresión r . Sin embargo, esta razón no se puede incrementar indefinidamente. Uno de los motivos es que al comprimir el gas este se calienta, siendo su temperatura al final de la compresión γ−1
T B = T Ar
si esta temperatura es lo suficientemente alta, puede producirse la autoignición, en la cual la gasolina se quema espontáneamente (como el gasóleo en un ciclo Diesel) antes de que salte la chispa de la bujía. Esto tiene efectos destructivos para el motor, por lo que debe ser evitado. Para evitar la autoignición puede usarse gasolina de mayor octanaje, o emplear aditivos, como algunos derivados del plomo, hoy prohibidos. Una segunda fuente de limitación lo da el que el ciclo Otto ideal es solo una aproximación al ciclo real. En el ciclo real los procesos son curvas más suaves, correspondientes además a procesos irreversibles
Entre los efectos irreversibles no considerados en el ciclo ideal destaca la fricción del émbolo con el cilindro. Esta fricción disipa energía por calentamiento (que en ausencia de aceite llega a gripar el motor, por fusión de las piezas). Por todo ello, el rendimiento de un motor de explosión real puede estar en torno al 25% o 30%.
9 Enlaces
Artículo sobre el ciclo Otto en el curso de Termodinámica del MIT.
Ciclo Diesel (GIE) Contenido [ocultar]
1 Enunciado 2 Introducción 3 Rendimiento en función de las temperaturas 4 Rendimiento en función de los volúmenes 5 Caso práctico 5.1 Estado inicial o 5.2 Compresión adiabática o 5.3 Expansión isóbara o 5.4 Expansión adiabática o 5.5 Enfriamiento a V constante o 5.6 Balance energético o 5.6.1 Calor absorbido 5.6.2 Calor cedido 5.6.3 Trabajo realizado 5.6.4 Rendimiento 5.6.5 Rendimiento de la segunda ley 5.6.6 Trabajo perdido 5.6.7 Producción de entropía 6 Comparación con el ciclo Otto
1 Enunciado
Un motor diésel puede modelarse con el ciclo ideal formado por seis pasos reversibles, según se indica en la figura. Pruebe que el rendimiento de este ciclo viene dado por la expresión
siendo r = V A / V B la razón de compresión y r c = V C / V B la relación de combustión. El método para obtener este resultado es análogo al empleado para el ciclo Otto. Compare los rendimientos del ciclo de Otto y el diésel. ¿Cuáles son las ventajas e inconvenient es respectivos?
2 Introducción Un ciclo Diésel ideal es un modelo simplificado de lo que ocurre en un motor diésel. En un motor de esta clase, a diferencia de lo que ocurre en un motor de gasolina la combustión no se produce por la ignición de una chispa en el interior de la cámara. En su lugar, aprovechando las propiedades químicas del gasóleo, el aire es comprimido hasta una temperatura superior a la de autoignición del gasóleo y el combustible es inyectado a presión en este aire caliente, produciéndose la combustión de la mezcla. Puesto que sólo se comprime aire, la relación de compresión (cociente entre el volumen en el punto más bajo y el más alto del pistón) puede ser mucho más alta que la de un motor de gasolina (que tiene un límite, por ser indeseable la autoignición de la mezcla). La relación de compresión de un motor diésel puede oscilar entre 12 y 24, mientras que el de gasolina puede rondar un valor de 8. Para modelar el comportamiento del motor diésel se considera un ciclo Diesel de seis pasos, dos de los cuales se anulan mutuamente:
Admisión E→A
El pistón baja con la válvula de admisión abierta, aumentando la cantidad de aire en la cámara. Esto se modela como una expansión a presión constante (ya que al estar la válvula abierta la presión es igual a la exterior). En el diagrama PV aparece como una recta horizontal. Compresión A→B
El pistón sube comprimiendo el aire. Dada la velocidad del proceso se supone que el aire no tiene posibilidad de intercambiar calor con el ambiente, por lo que el proceso es adiabático. Se modela como la curva adiabática reversible A→B, aunque en realidad no lo es por la presencia de factores irreversibles como la fricción. Combustión B→C
Un poco antes de que el pistón llegue a su punto más alto y continuando hasta un poco después de que empiece a bajar, el inyector introduce el combustible en la cámara. Al ser de mayor duración que la combustión en el ciclo Otto, este paso se modela como una adición de calor a presión constante. Éste es el único paso en el que el ciclo Diesel se diferencia del Otto. Expansión C→D
La alta temperatura del gas empuja al pistón hacia abajo, realizando trabajo sobre él. De nuevo, por ser un proceso muy rápido se aproxima por una curva adiabática reversible. Escape D→A y A→E
Se abre la válvula de escape y el gas sale al exterior, empujado por el pistón a una temperatura mayor que la inicial, siendo sustituido por la misma cantidad de mezcla fría en la siguiente admisión. El sistema es realmente abierto, pues intercambia masa con el exterior. No obstante, dado que la cantidad de aire que sale y la que entra es la misma podemos, para el balance energético, suponer que es el mismo aire, que se ha enfriado. Este enfriamiento ocurre en dos fases. Cuando el pistón está en su punto más bajo, el volumen permanece aproximadamente constante y tenemos la isócora D→A. Cuando el pistón empuja el aire hacia el exterior, con la válvula abierta, empleamos la isobara A→E, cerrando el ciclo.
En total, el ciclo se compone de dos subidas y dos bajadas del pistón, razón por la que es un ciclo de cuatro tiempos, aunque este nombre se suele reservar para los motores de gasolina.
3 Rendimiento en función de las temperaturas Un ciclo diésel contiene dos proceso adiabáticos, A→B y C→D, en los que no se intercambia calor. De los otros dos, en el calentamiento a presión constante B→C, el g as recibe una cantidad de calor Qin del exterior igual a
En el enfriamiento a volumen constante D→A el sistema cede una cantidad de calor al ambiente
El rendimiento del ciclo será entonces
con γ = c p / cv la proporción entre las capacidades caloríficas.
4 Rendimiento en función de los volúmenes La expresión anterior requiere conocer las cuatro t emperaturas de los vértices del ciclo. Puede simplificarse teniendo en cuenta las características de cada uno de los procesos que lo componen. Así tenemos, para la compresión adiabática A→B
que, teniendo en cuenta la relación de compresión, podemos reescribir como
Para la expansión a presión constante, aplicando la ecuación de estado de los gases ideales
Introduciendo ahora la relación r c = V C / V B obtenemos
Por último, para la temperatura en D aplicamos de nuevo la ley de Poisson y el que el enfriamiento es a volumen constante:
Multiplicando y dividiendo por V B y aplicando el valor de la temperatura en C
Combinado estos resultados nos queda
Sustituyendo esto en la expresión del rendimiento obtenemos finalmente
5 Caso práctico
Vamos a considerar un ciclo Diesel en la que el aire a la entrada está a una presión de 1 atm y una
temperatura de 17°C; la razón de compresión es 18 y la de combustión vale 2. El volumen máximo de la cámara es de 1900 cm³. Vamos a determinar los volúmenes, presiones y temperaturas de cada vértice del ciclo, así como su rendimiento y el calor y el trabajo intercambiados por el motor.
5.1 Estado inicial
Como punto de partida del ciclo de cuatro pasos tenemos que el gas a temperatura y presión ambientes llena el cilindro
El número de moles contenidos en el cilindro es
5.2 Compresión adiabática Tras la compresión, el volumen del cilindro se reduce según la razón de compresión
La temperatura al final la compresión la obtenemos de la ley de Poisson
y la presión en este punto la hallamos mediante la ley de los gases ideales
5.3 Expansión isóbara En el proceso de calentamiento, la presión se mantiene constante, por lo que
mientras que el volumen lo da la relación de combustión
y la temperatura la ley de los gases ideales (o la ley de Charles, en este caso)
5.4 Expansión adiabática Durante la bajada del pistón el gas se enfría adiabáticamente. La temperatura al final de l proceso la da la ley de Poisson, combinada con el que sabemos que el volumen al final es el mismo que antes de empezar la compresión
La presión en este estado es
5.5 Enfriamiento a V constante En un motor diésel real el aire quemado y caliente es expulsado por el tubo de escape, liberando calor al ambiente y siendo sustituido por nuevo aire frío. En el ciclo Diesel ideal nos imaginamos que el aire recircula, volviendo al estado A, intercambiando sólo el calor con el ambiente.
5.6 Balance energético 5.6.1 Calor absorbido
El calor procedente del foco caliente es absorbido en la expansión a presión constante y es igual a
donde hemos usado que
que para γ = 1.4 da el resultado conocido c p = 3.5 R. Un resultado más exacto para un proceso a presión constante, sin hacer uso de la hipótesis de gas ideal, consistiría en igualar el calor a la variación en la entalpía
y aplicar valores tabulados de la entalpía del aire para las presiones y temperaturas de los estados B y C. 5.6.2 Calor cedido
El calor que se intercambia con el foco frío se cede en el enfriamiento a volumen constante
donde, como antes, hemos empleado la relación
que para γ = 1.4 da cv = 2.5 R. Si se quisiera hacer exactamente, habría que aplicar que para un proceso a volumen constante el calor equivale a la variación en la energía interna
5.6.3 Trabajo realizado
El trabajo realizado por el sistema durante un ciclo es la diferencia entre el calor absorbido y el cedido (en valores absolutos)
5.6.4 Rendimiento
El rendimiento de este ciclo Diesel lo podemos hallar como el trabajo realizado dividido por el calor absorbido
Vemos que el rendimiento es mucho mayor que para un ciclo Otto que, para valores típicos de motores de explosión, rondaba el 50%. La causa principal de la diferencia es la mucho mayor relación de compresión en el motor diésel.
5.6.5 Rendimiento de la segunda ley
El rendimiento de este ciclo Diesel es, por supu esto, inferior al de un ciclo de Carnot que operara entre las temperaturas T A y T C :
El rendimiento de la segunda ley nos lo da el cociente del rendimiento real respecto a este máximo.En comparación con este, el rendimiento del ciclo Diesel es
es decir, tiene aproximadamente 3/4 del rendimiento máximo que podría tener. 5.6.6 Trabajo perdido
El trabajo perdido de una máquina térmica es la diferencia entre el máximo que podría conseguirse, para la entrada de calor dada y el que se consigue realmente
En función del calor que entra y los rendimientos
lo que nos da en nuestro caso
Esto nos dice que 1/5 del calor que entra se desperdicia de más en forma de calor de desecho. 5.6.7 Producción de entropía
El trabajo perdido está directamente relacionado con la producción de entropía
por lo que la producción de entropía para este caso particular vale
6 Comparación con el ciclo Otto Según indicamos en la introducción, el ciclo Diesel ideal se distingue del Otto ideal en la fase de combustión, que en el ciclo Otto se supone a volumen constante y en el Diesel a presión constante. Por ello el rendimiento es diferente. Si escribimos el rendimiento de un ciclo Diesel en la forma
vemos que la eficiencia de un ciclo Diesel se diferencia de la de un ciclo Otto por el factor entre paréntesis. Este factor siempre es mayor que la unidad, por ello, para iguales razones de compresión r
Si la eficiencia del ciclo Diesel es menor que la del Otto, podría plantearse cuál es su interés. La ventaja que tiene es la mencionada de que, dado que solo comprime aire, su relación de compresión puede ser muy superior a la de un motor de gasolina, con lo que puede superar un rendimiento del ciclo Otto. Por ejemplo, supongamos una relación de compresión r = 8 para ambos ciclos y una relación de combustión r c = 2 para el Diesel. En este caso, los rendimientos respectivos valen
pero si aumentamos la relación de compresión para el ciclo Diesel a 12 obtenemos el rendimiento
Categoría: Máquinas térmicas (GIE)
