Informe de laboratorio #4 Osciladores y Filtros. Aldair Alexis Casso Piamba [1225694], Gustavo A. Silva Alarcón [1223193].
Universidad del valle
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Resumen - En este laboratorio aplicando la teoría de filtros filtros y de amplificadores operacionales se plantea la solución para generar ondas seno y triangular, estas se comparan para luego ser filtradas y obtener una señal final. final. El comparador y los filtros filtros (Butterworth, (Butterworth, filtro pasa-ba nda), se diseñan a partir de la teoría de filtros de realimentación múltiple, filtros pasa-banda y filtros pasa-baja Butterworth, con estos elementos se realizan las simulaciones.
Palabras Clave-
Comparador, Filtro Pasa alta, Filtro Pasa Baja, Filtros Butterworth.
El amplificador realimentado debe ser inestable a una
sola frecuencia →ω. La ganancia de lazo Aβ, debe ser unitaria a esta
frecuencia.
Puede depender de ω: A, β, o las dos (caso general). Tanto A como β, son valores de ganancia con efectos
de carga. Consecuencias del Criterio de Barkhausen.
El desfase de conjunto de la ganancia de lazo, Aβ,
debe ser nulo. Condición de fase. El módulo de Aβ debe ser la unidad. Condición de Mantenimiento. Para garantizar que la oscilación empiece, es preciso cumplir con la condición de ganancia por exceso (mayor que 1). Condici Co ndición ón de arranque. Límite de las Oscilaciones.
I. I NTRODUCCIÓN Basado en los amplificadores operacionales en conjunto con elementos pasivos y activos, se crean los circuitos oscilatorios (generadores de onda triangular y seno) además de filtros de distintos órdenes con características como pasa-banda, pasa baja, pasa alta etc. La construcción co nstrucción de osciladores está basada en la aplicación del teorema de Barkhausen para osciladores senoidales y configuraciones especiales para los no senoidales, mientras que la construcción de filtros cuenta con teoremas como Chebyshev, Bessel, Butterworth y configuraciones de realimentación multiple. II. MARCO TEÓRICO Un oscilador es un circuito que produce una oscilación propia de frecuencia, forma de onda y amplitud determinadas. Aquí se estudiarán los osciladores senoidales. Según habíamos visto, un sistema realimentado puede ser oscilante a causa de una inestabilidad. Aprovecharemos esta particularidad, que en otro ot ro contexto se consideraba desventajosa, y consideraremos primeramente una estructura como como la de la figura siguiente.1
En el lazo Aβ, se introducen alinealidades para hace
caer la ganancia por debajo de la unidad. Una de las posibles causas es la propia saturación de los amplificadores.
Figura 2. Saturación de amplificadores.
F il tro de Reali Reali mentación mentación M últi ple.
La topología fundamental de un Filtro Activo que utiliza el amplificador operacional con realimentación múltiple es:
Figura 1. Esquema de un circuito Oscilador.
Cri teri teri o de Bark hausen hausen
Para un oscilador con salida Vo senoidal.
Figura 3. Filtro con realimentación Múltiple.
III. A NÁLISIS, RESULTADOS Y SIMULACIONES
1 = 11 ,2 = 21 ,5 = 51 , 3 = 3,4 = 4 21 () = 1 1 1∗ 141 1 1 1 [5 3 4] 345 (1 2) 1 (1 1 21 ) = 345 = 1(15 34) √ 344 ∗ 5∗ (1 1 21 ) = 3
Para configurar un filtro Paso banda se hace:
A. Análisis teórico.
Punto 1.
Con función de Transferencia.
Igualando coeficientes.
Factor de calidad
Fi ltro Butterworth.
F
Figura 5. Circuito a implementar
El filtro de Butterworth es uno de los filtros electrónicos más básicos, diseñado para producir la respuesta más plana que sea posible hasta la frecuencia de corte. En otras palabras, la salida se mantiene constante casi hasta la frecuencia de corte, luego disminuye a razón de 20n dB por década (ó ~6n dB por octava), donde n es el número de polos del filtro. El filtro de Butterworth es el único filtro que mantiene su forma para órdenes mayores (sólo con una caída de más pendiente a partir de la frecuencia de corte). Este tipo de filtros necesita un mayor orden para los mismos requerimientos en comparación con otros, como los de Chebyshev o el elíptico.4
Como inicio a la construcción del esquema de la figura anterior, se procedió a crear la señal triangular con las características deseadas de 10V Vpp y 1000KHz. Para ello se implementó un comparador de Schmitt no inversor, con el cual se aseguró la parte de la amplitud de 10 v, ya que este comparador genera una onda cuadrada de voltaje de referencia Va, relacionada con el voltaje de salida de la señal triangular de la siguiente manera.
= 12 ∗ = 1 2 2 ∗20 10 = = 100Ω
Donde ; siendo los diodos de un voltaje zener igual a 10v tenemos para la salida, asumiendo R2=100k:
Lo que resolviendo nos determina una resistencia R2=200k. Por otro lado, siguiente al comparador de Schmitt se ubica un integrador que generara la señal triangular y mediante su Figura 4.Polinomios Normalizados de Butterworth.
parámetro τ=R*C se variara la frecuencia de oscilación
cumpliendo la siguiente ecuación:
= 4 ∗ 2∗1∗
Que reemplazando los valores ya hallados de R2 y R1, asumiendo R=100Ω y teniendo f=1000khz , se tiene para el
valor del capacitor C=5nF.
Figura 6. Esquemático para oscilador triangular (10V -1000kHz)
Figura 8. Respuesta al sistema oscilador por puente de wien (100Hz).
Como es de esperar, el oscilador genera una señal senoidal con la frecuencia deseada y con una salida máxima correspondiente al voltaje de saturación, por lo que para ajustar la salida entre 1 y 5 volts, basta con disponer de un divisor de voltaje en la salida del oscilador, un divisor del cual se asumirá una resistencia de 1k y la otra se calculará así:
Figura 7. Respuesta al sistema oscilador triangular y la salida del comparador de Schmitt. (10V -1000kHz)
Para la implementación del generador senoidal a 100 Hz y con valores Vpp entre 1 y 5v se construyó un oscilador por puente de wien, que para ser oscilador debe cumplir con las siguientes condiciones según el teorema de Barkhausen:
= ∗ = 1
Gain=3 ;
Sabiendo que el puente de wien tiene la ganancia de un amplificador no inversor , asumiendo que R1=10kΩ, R2 debe ser de 20kΩ, mas sin embargo se
implementa un potenciómetro en serie a R2 con el fin de ajustar la ganancia para una oscilación adecuada sin saturación. Por la parte de la frecuencia de oscilación, se asume C=100nF, y se reemplaza la frecuencia deseada de 100Hz, lo que resolviendo deriva en R=1 5.91kΩ. Con estos parámetros, se genera un oscilador por puente de wien con la siguiente respuesta.
(+ .)∗ (.)∗ = +
(Para 1V) 1V=
X= 8064Ω
(Para 5V) 5V
X= 59.52kΩ
Por lo anterior se dispone de un divisor con una resistencia de 100kΩ, con un potenciómetro de 50kΩ en serie con una resistencia de 8kΩ, dando por resultado la siguiente
configuración para el oscilador senoidal.
Figura 9. Esquema y respuesta al sistema oscilador por puente de wien (100Hz)(1v-5v).
Figura 10. Esquema y respuesta del comparador entre señal seno y señal triangular (0v-3v).
Para el divisor observado en la figura 6, se asumió la resistencia Siguiendo con la elaboración del esquema de la figura 1, se de 1kΩ, y sabiendo que la salida del comparador tendrá un elaboró el comparador, utilizando simplemente un voltaje máximo correspondiente al voltaje de saturación, se amplificador operacional donde por el terminal no inversor tiene: ingresa la señal del oscilador senoidal y por el terminal inversor la señal del oscilador triangular; con la particularidad de que este amplificador trabajara con solo polarización positiva, esto debido a que se desea que la salida del comparador sea de 0 – 3v, por lo que quitando el voltaje de polarización diferencial y solo dejando el positivo se crea el Siguiente al comparador se requiere construir un filtro límite de los 0v, además se crea un divisor de voltaje para que pasabanda de alimentación múltiple, por lo que se decide la salida máxima del comparador sea 3v, dando como disponer de un seguidor de voltaje entre ambos, usado en esta ocasión como acoplador de impedancias. Para la construcción resultado: del pasabanda con realimentación múltiple que deje pasar frecuencias de 100Hz, se tiene la siguiente configuración:
3 = 13.1Ω∗4 ∗r = 288.4Ω
Figura 11. Configuración para un filtro pasabanda de realimentación múltiple.
La anterior configuración está regida por las siguientes ecuaciones de frecuencia, factor de calidad y amplificación:
(1)
(2)
(3) Definidas las ecuaciones, se reemplaza la frecuencia de paso deseada (wc=2*ᴨ*100Hz) y un factor de calidad Q=10;
además se asumen los siguientes valores:
R1=100Ω
C3=1uF C4=1uF
Teniendo estos valores se define un sistema de 2 ecuaciones 2 incógnitas con las ecuaciones (1) y (2); resolviendo se tienen los valores para las resistencias R2=389.655Ω y
Figura 13. Lista de comandos en MatLab para observar el diagrama de bode del filtro pasabanda.
De la lista de comandos anterior resulta:
R5=31.831kΩ, dando como resultado el siguiente filtro
pasabanda de realimentación múltiple:
Figura 12. Filtro pasabanda de realimentación múltiple (100Hz).
Para el filtro pasabanda se cumple la siguiente una función de transferencia:
() = () (()) ∗ Que haciendo el reemplazo con los valores asumidos y los hallados se obtiene:
( ) () = 10( ) 100∗10 628.3() 3.948∗10 Por otro lado para comprobar que el filtro solo deja pasar la frecuencia fc=100Hz se utiliza el comando sisotool de la herramienta MatLab de la siguiente manera:
Figura 14. Diagrama de bode del filtro pasabanda para frecuencia wc=2*ᴨ*100.
De la figura anterior se debe tener en cuenta que la separación se hace entre décadas (cada potencia de 10), y según lo esperado se encuentra una ganancia alta en la frecuencia 628.3 rad/seg y una ganancia nula para las otras frecuencias , lo que quiere decir que el amplificador solo dará paso a las señales con dicha frecuencia. Por último se desea hacer del filtro justamente anterior un sistema oscilador a 100Hz, por lo que se hace del filtro la red de realimentación unido por un amplificador inversor de ganancia , que hara las veces de la etapa
= −
amplificadora. Ya teniendo esta configuración se procede a aplicar el criterio de Barkhausen, así:
∗() = 1 ∗ () Haciendo la transformación de s=j*W 0, con la frecuencia de oscilación W0=2*ᴨ*100, se separan entre parte real e imaginaria y tenemos:
{ ∗( ∗)} = 0 ℝ{ ∗( ∗)} = 1 159.155 Por la parte imaginaria de la función de transferencia ya se tiene cumplimiento del teorema de Barkhausen, para que se cumpla también con la parte real basta con hacerla igual a 1, así:
ℝ{ ∗ ( ∗)} = 1 Asumiendo Rf=1kΩ, el sistema será oscilatorio para un valor de resistencia R1=159.155kΩ, con lo que se obtendrá el
siguiente sistema oscilatorio:
Figura 16. Respuesta total del sistema propuesto en la figura 5 (salida del filtro pasabanda).
Punto 1.1
Filtro Butterworth. De la ecuación característica del filtro Butterworth de cuarto orden se tiene.
( 0.765 1)( 1.848 1)
La ganancia del amplificador Butterworth de orden par. Avoi= 3-2ki Av1=3-0.765=2.235 Av2=3-1.848=1.152 Av1= =2.235
(1 )
Fijando R1=1kΩ, Rf=1,235kΩ.
Av2=
(1 )
=1.152
Fijando R1=1kΩ, Rf=159Ω.
=12 ∗1 ∗ 100 = 2 ∗ 1 ∗ → = 2
Para una frecuencia de corte de 100Hz entonces
Con estos parámetros se forma el circuito Filtro de Butterworth de 4 orden.
Figura 15. Esquema y respuesta al sistema oscilatorio compuesto por filtro pasabanda.
Acabando de esta manera con el esquema propuesto en la figura 5, se procede a la unión de cada uno de los esquemas presentados anteriormente presentando la siguiente señal de salida total del sistema.
Figura 17. Filtro Butterworth de 4to orden.
Del diagrama de bode se observa la atenuación a -80db/década a una frecuencia de 1khz.
En la implementación de osciladores basados en el teorema de Barkhausen se debe tener en cuenta que al hacer la ganancia de la función de transferencia entre la etapa amplificadora y la etapa de realimentación un poco mayor a la unidad, al menos durante el inicio del oscilador, dicho esto la disposición de un potenciómetro en serie con la resistencia encargada de la ganancia es la opción más acorde para este tipo de osciladores.
Figura 18. Filtro Butterworth 4 orden a frecuencia de corte 100hz.
Aunque en la construcción y análisis de osciladores por criterio de Barkhausen existe un rango de libertad sumamente amplio para la suposición de valores de resistencias y capacitores, se debe tener en cuenta que en la implementación física no existirá tan amplio rango, debido que se debe buscar valores de resistencias y capacitores comerciales de tal manera que den como resultado otro valor comercial, debido a la precisión que dispone este teorema.
R EFERENCIAS
Figura 19. Filtro Butterworth 4 orden a frecuencia de 100hz.
Siguiendo con los requisitos, se implementa el filtro inmediatamente anterior en el esquema de la figura 5, intercambiándose por el filtro pasabanda, obteniéndose la siguiente respuesta:
Figura 20. Salida del filtro Butterworth implementado en el esquema de la figura 5.
IV.CONCLUSIONES Se puede concluir del esquema de la figura 5 que la disposición de un filtro pasabanda siguiente al comparador entre dos señales de distintas frecuencias, se verá como resultado la señal que tenga la frecuencia a la que se construyó el filtro, ya que para las frecuencias distintas a esa no se dará paso por las características de un filtro pasabanda.
[1] http://www.fceia.unr.edu.ar/enica3/oscilad.pdf [2] Figura 1. http://www.bolanosdj.com.ar/TEORIA/ OSCILADORES1.PDF [3] Criterio de Barkhausen. https://www.depeca.uah.es/depeca/repositorio/asignaturas/32 394/OsciladoresRC.pdf [4] Figura 2. https://www.depeca.uah.es/depeca/repositorio/ asignaturas/32394/OsciladoresRC.pdf [5] Diapositivas Filtros Activos. Profesor Hernando Vásquez, Universidad del valle. [6] http://es.wikipedia.org/wiki/Filtro_de_Butterworth [7]http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/404 0015/lecciones/Capitulo5/puente.html [8] Diapositivas Osciladores senoidales. Profesor Hernando Vásquez, Universidad del valle. [9] Diapositivas Osciladores no senoidales. Profesor Hernando Vásquez, Universidad del valle.
