SOLUCIONARIO SOL UCIONARIO DE EXÁMENES EXÁ MENES FACULT FACULTAD AD DE INGENIERÍA
PROB PROB L EMAS EMA S RESUELT RESUELTOS ECUACIONES DIFERENCIALES EXÁMENES UMSA
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JOSE PAYE CHIPANA
CODEX-ECUACIONES DIFERENCIALES
JOSUE PAYE CHIPANA
PROBLEMAS DE EXÁMENES DE LA FACULTAD DE DE INGENIERÍA UMSA PREGUNTAS DE EXÁMENES DEL TERCER PARCIAL PARCIAL ORDENADOS ORDENADOS DE ACUERDO A FECHA EXAMEN: I-2018 PROBLEMA 1 1
a) Hallar la ecuación diferencial que tiene por solución y Ax Bx 3x b) Anote un ejemplo de una ecuación de Ricatti y explique brevemente como se resuelve esta. 3
2
c) Anote por lo menos dos métodos a seguirse para resolver: 8 xydx xydx 3 y 2 4 x 2 dy 0 d) Explique en qué caso la forma M ( x, y )dx N ( x, y) dy 0 requiere factor integrante del tipo
( x, y )
Solución: a) Para encontrar la ecuación diferencial debemos eliminar las constantes A y B , para ello derivamos hasta obtener 3 ecuaciones, luego eliminamos las constantes del sistema.
y Ax3 Bx1 3x 2
(1)
y 3 Ax2 Bx2 6 x
(2)
y 6 Ax 2 Bx3 6
(3)
Primero eliminamos B:
x 1 *(1) + (2): x 1 y y 4 Ax 2 9 x
(4)
2 x 1 *(2) + (3): 2 x1 y y 12 Ax 18
(5)
Ahora eliminamos eliminamos A: 1
-3 x *(4)+(5):
3 x 2 y x 1 y y 9 // * x 2
3 y xy x 2 y 9x 2 El resultado final será:
x2 y xy 3 y 9 x 2
b) Ejemplo de una ecuación de Ricatti: y sen2 x y 2 2 csc 2 x y cos 2 x Para poder resolver esta ecuación se debe realizar el siguiente C.V. para poder reducirla a una ecuación de lineal de primer orden.
y y1
1 z
Donde: y1 es una solución particular z
es la variable auxiliar 1
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c) 1er método: ya que es una ecuación homogénea de grado 2 se puede utilizar el siguiente C.V.: x ty
2do método: 8 xydx xydx 3 y 2
4 x 2 dy 0
y8 xdx dy
3 y 2 4 x 2 0
(1)
4 x 2 dz 8xdx
C.V.: z
Reemplazamos en (1):
ydz
1
3 y 2 z 0 z z 3 y Ec. Dif. Lineal en z y
dy
Se la resuelve con su respectivo factor integrante: ( y ) e
P ( y ) dy
, P( y )
1 y
d) La ecuación M ( x, y )dx N ( x, y) dy 0 requiere de un factor integrante del tipo ( x, y ) cuando
M N y x
no es exacta, ósea cuando no cumple la condición de Euler
PROBLEMA 2 Resolver la ecuación diferencial:
y
e y e y 3 x
y (0) 0
,
Solución: dy dx
e y
//
e y 3 x
1
1 e y 3x dx e y 3 x dy e y dy e y dx
(1) x 3e y x e 2 y (1) es una ecuación diferencial lineal de la forma x P ( y ) x Q ( y ) , para resolverla aplicamos el método de factor integrante, el cual es: ( y ) e
P ( y ) dy
, en nuestro caso ( y ) e
3e y dy
( y ) e3e
y
( y ) *(1): y
y
e3e x 3e y x e3e e 2 y El primer miembro es la derivada de un producto de la variable dependiente de la ecuación diferencial (en este caso
y
d e3e x dy
x
3e y
) y el factor integrante (en este caso ( y ) e
e
3e
y
y
y
)
e2 y d e3e x e3e e 2 y dy
y
y
y
d e
3e
y
y
x e3e e 2 y dy
y
e3e x e3e e 2 y dy e3e x e3e e y e ydy Para resolver la integral del segundo miembro realizamos el C.V. z
e y dz e y dy
Reemplazando y y y 1 1 1 1 y z e y e3e x e y e3e C e3e x e3 z zdz e3e x z e3 z C pero 3 3 3 3
2
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y 0 x 0
Ahora hallamos hallamos C con la condición inicial y (0) 0 0 2 1 1 0 e3e 0 e 0 e3e C C e3 3 3 9
Reemplazando: y 1 1 y 2 e3e x e y e3e e3 3 3 9
PROBLEMA 3 Resolver la ecuación diferencial:
2 x Si se conoce que
8
y 6 y 6 dx 2 xy5 3x9 dy 0 ;
y (1) 1
( xm y n )
Solución: Para que la ecuación diferencial sea exacta:
2 x
8
m n y 6 y 6 dx 2 xy5 3x9 dy 0 //* x y
2 x
m 8
y n 1 6 x m y n 6 dx 2x m1 y n 5 3x m 9 y n dy 0 M
(1)
N
Para que sea exacta debe cumplirse:
M N xm y n 2 n 1 x8 6 n 6 y 5 xm yn 2 m 1 y5 3 m 9 x8 y x 2 n 1 x8 6 n 6 y 5 2 m 1 y5 3 m 9 x8 3m 2n 29 2 n 1 3 m 9 x8 6 n 6 2 m 1 y5 0 , resolviendo m 3n 19 Reemplazando en (1): 2 xy3 6 x7 y 2 dx 2x6 y 3x 2 y 4 dy 0 (2) M
m 7 n 4
N
M N 12 x7 y 6 xy 4 12 x 7 y 6 xy 4 , entonces (2) es una ecuación exacta y x La solución de (2) es f x , y 0 (función potencial)
Hacemos cumplir:
Para hallar f x , y :
f 3 7 2 x M 2 xy 6 x y f N 2 x 6 y 3x 2 y 4 y df f en (3) y cte. , x dx
(3) (4) df dx
2 xy 3 6 x 7 y 2 3
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df 2 xy 3 6 x 7 y 2 dx f x 2 y 3 x 6 y 2 C df 2 xy 3 6 x7 y 2 dx ( y )
(5)
Derivamos respecto a y :
f 3 x 2 y 4 2 x 6 y C ( y ) y
(6)
(4)=(6): 2 x 6 y 3x 2 y 4 3x2 y 4 2 x 6 y C ( y ) C( y ) 0
dC ( y ) dy
d y C( y ) C 0 dC( y ) 0 dy
Reemplazamos en (5):
f x2 y 3 x6 y 2 C La solución esta dada por f x , y
0 , entonces: x 2 y 3 x 6 y 2 C 0 y 1 x 1
Ahora hallamos hallamos C con la condición inicial y (1) 1
121 3 1 612 C 0 C 2 La solución final será:
x 2 y 3 x 6 y 2 y 2 0
PROBLEMA 4 Resolver la ecuación diferencial:
1 x
2
2 xy y 2 dx 3 y 1 x 2 xy dy 0 ; y (3) 1
Solución: Escribiendo a la ecuación de la siguiente forma:
1 x y dx 3 y 1 x y 2
2
xy y 2 dy 0
dy x y dy 3y xy xy y 2 dy 0 dx x y dx dy 2
2
dx dy x y dx dy 3 x y ydy 0 2
x y 1 dx dy 3 x y ydy 0 2
Realizamos el siguiente C.V: z x y
(6)
dz dx dy
Reemplazando en (6):
z 2 1 z 1 dz 3 z ydy 0 z 3 dz ydy 0 2
z 2 1 z 3 dz ydy 0
z 3 dz 10 y2 dz ydy 0 10 ln z 3 C z 3 dz ydy 0 z 3 dz 10 z 3 2 2 z 3 2
Pero z x y
x y 3 2
2
10 ln x y 3
y2 2
C
4
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y 1 x 3
Ahora hallamos hallamos C con la condición inicial y (3) 1
3 1 3
2
ln 3 1 3 10 ln
2
12
C C 0
2
Reemplazando en la solución:
x y 3 2
2
10 ln x y 3
y2 2
0
PROBLEMA 5 Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de circunferencias que pasan por los puntos: A(0,0) , B(5,0)
Solución: El centro de la circunferencia estará dado por
h, k y el radio por
r ,
entonces:
h 5
2 2 r h k
2
k2 h 5
2 2 2 2 r 5 k r 25 k
En la circunferencia:
x h y k 2
x 5 y 2 2ky 25 2
2
r 2 x 5 y k 25 k 2 2
2
(1)
Derivando:
2 x 5 2 yy 2ky 0 x 5 y k y 0
(2)
k : De (1) despejamos k :
x 5 k
2
y 2 25
2 y
Reemplazando en (2):
2 x 5 y y 2 x 5
2
25 y 0
Para hallar la familia de curvas ortogonales cambiamos y por
1 y
1 2 0 2 x 5 yy y 2 x 5 25 0 y
2 x 5 y y 2 x 5 25 2
Efectuamos el C.V. z
y 2 z 2 yy
x 5 z z x 5
2
25 0 Ec. Dif. Lineal: z
1
x 5
z x5
25
x 5
(3)
5
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Para resolver (3) aplicamos el método de factor integrante, el cual es: ( x) e 1
( x) e
x 5 dx
( x)
P ( x ) dx
, en nuestro caso
1 x 5
( x) *(3): 1 25 1 z z x5 x 5 x5 x 5
1 x 5
El primer miembro es la derivada de un producto de la variable dependiente de la ecuación diferencial (en este caso
z
) y el factor integrante (en este caso ( x )
1 z x 5 1
d
dx
1
z x
x 5
25
x 5 25
x 5
Volviendo del C.V. z
2
1 x 5
)
25 25 1 1 z 1 dx d z 1 dx d 2 2 x 5 x 5 x 5 x 5
C z x x 5 25 C x 5
y2
y 2 x x 5 25 C x 5
Por tanto la familia de curvas ortogonales estará dada por:
x 5
2
y 2 C x 5
EXAMEN: II-2017 PROBLEMA 1 Resolver la ecuación diferencial ( x 1) y y (2 x x 2) y x x x 1 , si se conoce que tiene una 2
2
4
3
solución primicial de la forma y x b 2
Solución: ( x 1) y y 2 (2 x 2 x 2) y x 4 x 3 x 1 (1) Como se puede observar (1) es una ecuación de Ricatti, entonces hallamos b para obtener la solución primicial
y x 2 b y 2 x Reemplazamos en la Ec.Dif.:
2
2 2 2 4 3 ( x 1) 2 x x b (2 x x 2) x b x x x 1
Desarrollando y simplificando:
x b 2 bx 2b 1 b 1 x b 1 0 b 1 2
Entonces la solución primicial o particular será:
y x 2 1 6
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Para resolver (1) realizamos el siguiente C.V. para reducir a una ecuación lineal: 1 z y x 2 1 y 2 x 2 z z Reemplazando en (1): 2
z 1 1 ( x 1) 2 x 2 x 2 1 (2 x 2 x 2) x 2 1 x 4 x 3 x 1 z z z Simplificando obtenemos una Ec. Dif. Lineal:
z
x x 1
z
1
(2)
x 1
Para resolver (2) aplicamos el método de factor integrante, el cual es: ( z ) e x
( x) e
x 1 dy
P( x )d x
, en nuestro caso
( x) e x x 1
( x) *(2):
e x 1 z x 1 z x 1 e x 1 1
x
x
x
El primer miembro es la derivada de un producto de la variable dependiente de la ecuación diferencial (en este caso
z
) y el factor integrante (en este caso ( x)
x x 1
)
d e x x 1 z
d e x x 1 z e x dx e x d e x x 1 z e x dx
dx
e
x
x 1 z e
x
x C x 1 z 1 C e
Volviendo del C.V. y x 1 2
x 1 y x1
2
1
1 z
z
1 y x2 1
1 C e x
Despejando “y” la solución final estará dad por : por :
y x 2
x C e x 1 C e x
PROBLEMA 2 Resolver la ecuación diferencial:
x 2 x y 2xy dy y 4xy 1 dx 0
Solución: Verificamos si la Ec. Dif. Es exacta: x 2 x y 2xy dy y 4xy 1 dx 0 (1) N
M
7
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M y 1 4 x N x 4 x y 4 xy M y N x entonces la Ec. Dif. no es exacta Buscamos un factor integrante para hacerla exacta 4 x y 4 xy 1 4 x N x M y dy dy dy y 4 xy 1 y e M e e entonces el factor integrante será y
e
e por (1): y 4 xy 1 dx 0 (2) y
Multiplicando el factor integrante y
e y x 2 x y 2 xy dy e
y
y
Q
P
x P y e y 4 xy 4x
P y Qx entonces la ecuación (2) es exacta
N x e x y 4 xy 4x Para resolver (2):
f y x P e y 4 xy 1 (3) f Q e y x 2 x y 2 xy (4) y df df y f e y 4 xy 1 en (3) y cte. , dx dx x df e y y 4 xy 1 dx f y 1 x 2 x 2 y e y C df e y y 4 xy 1 dx ( y )
(5)
Derivamos respecto a y :
f y e x 2x y 2 xy C( y ) y
(6)
(4)=(6):
e y x 2x y 2xy e y x 2x y 2xy C( y ) C( y ) 0
dC ( y ) dy
d y C( y ) C 0 dC( y ) 0 dy
Reemplazamos en (5):
f y 1 x 2 x 2 y e y C La solución esta dada por f x , y
0 , entonces:
y 1 x 2x y e 2
y
C 0 y 1 x 2x 2 y e y C
K C Entonces la solución será:
x y 1 2 xy Ke y
PROBLEMA 3 Encuentre la ecuación de la familia de las trayectorias ortogonales a la familia de curvas dada en coordenadas polares: r
e tg e r tg ,
R 8
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Solución: Primero se debe eliminar la constante
r sec2 e r tg r s ec2 Despejamos
e
e
e
,derivamos respecto a :
(1)
de la Ec. Dif. original
r tg 1 r tg
(2)
Reemplazamos (2) en (1):
r tg r tg r sec 2 1 r tg
r sec 2
Simplificando:
r 1 tg 2 sec2 1 r 2 Para poder obtener la ecuación diferencial de las curvas ortogonales cambiamos r por
r 2
r2 1 2 2 2 2 d 2 2 2 1 t g s e c 1 r r 1 t g s e c 1 r d r 2 dr dr r r
r
Integrando:
1 1 d 2 1dr r C r r
La familia de curvas ortogonales estará dada por:
1 r
r C
PROBLEMA 4 Hallar la curva para la cual, la razón del segmento intersecado por la recta tangente en el eje “y”, al radio vector de posición del punto es una cantidad positiva.
Solución: De acuerdo a la condición del problema:
a r
C
(1)
El radio vector estará dado por:
r x0 2 y0 2 La pendiente de la recta tangente está dada por ml tg
y0
Evaluamos el punto 0, a
y a0 xy
0
0
y y0 x x0
y0
(2)
a x0 y0 y0
(3)
0
Reemplazando (2) y (3) en (1): 9
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x0 y0 y0 x0 y0 2
2
C
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xy y x y 2
2
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C se trata de una ecuación homogénea xdy C x 2 y 2 y dx
(4)
Para poder resolver (4) se realiza el C.V: y tx dy tdx xdt Reemplazando en (4):
x tdx xdt C x 2 tx tx dx 2
Simplificando: dt dx C 2 x 1 t
dt 1 t
2
Volviendo del C.V. y tx t
C
dx x
ln t 1 t 2 C ln x K
y x
2 y y ln 1 C ln x K x x
y x 2 y 2 ln x
C ln x K
PROBLEMA 5 Resolver la ecuación:
4 y 5 xdy y 4 x y 2 x dx
Solución: Escribimos la ecuación de la siguiente forma:
4 y3 y 2 xdy y 4 x dx y 2 xdx y 2 x 4 y 3dy dx y 4 x dx Realizamos el C.V.: z y También z y
4
(1)
x dz 4 y3dy dx
x y2 z x
4
Reemplazando en (1);
z x xdz zdx se trata de una ecuación homogénea zx x 2 dz zdx
(2)
Para poder resolver (2) se realiza el C.V: x tz dx tdz tdz zdt zdt Reemplazando en (2):
z tz tz dz z tdz zdt t t 2 dz tdz zdt 2
Integrando: dz dt
z
t t t 2
t t 2 t dz zdt
dz z
dt t 2 t t
(3)
I 1
Resolvemos la I 1 :
10
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I1
dt t t t 2
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1 t t t 2
t2 t t t t t 2
dt
dt
t 2 t t t
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t2 t t 1 1 dt t t 2 t 1 dt
1 2t 1 1 1 2t 1 1 I1 2 dt 2 dt 2 2 2 2 t2 t 2 t2 t t t 1 1 t 2 2 1 1 2 1 2 1 2t 1 1 1 2 2 dt 2 t t ln t t 2t C I1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 t t t 2 2 2 2 1 1 1 1 2 I1 t t ln t t t K (4) 2 2 2 2 Reemplazando (4) en (3): 2 2 1 1 1 1 2 ln z t t ln t t t C 2 2 2 2 Volviendo de los cambios:
z y 4 x x tz t
x z
t
x y x 4
Reemplazando: 2 2 2 x x x 1 x 1 1 1 x ln y x 4 4 ln 4 4 4 C y x y x 2 y x 2 y x 2 2 y x 4
y2 x 2x 1 ln y x ln C 2 2 y 4 x y4 x y 2 x x
4
1
EXAMEN: I-2017 PROBLEMA 1 Deter minar minar el valor de “m” tal que la familia de curvas x y cy 1 sean las trayectorias ortogonales m
m
de las curvas dadas por: x 2 y 2 1 b 5 x 0
Solución:
Para obtener las trayectorias ortogonales de x 2 y 2 1 b 5 x 0 debemos eliminar la constante b , entonces: 11
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x 2 y 2 1 b 5 x 0 // x 1 x y 2 x 1 x 1 b 5 0 // 1 2 yyx 1 y 2 x 2 x 2 0 // x 2 x 2 2 yyx y 2 1 0 En la ecuación diferencial de la familia, para las curvas ortogonales cambiamos y por
1 y
1
x y 2 1 0 2xx y x 2 y 2 1 y C.V. z x 2 z 2 xx x 2 2 y
Reemplazando
zy z y 2 1 Ecuación diferencial lineal z
1 y
z y
1
(1)
y
Para resolver (1) aplicamos el método de factor integrante, el cual es: ( y ) e 1
( y ) e
y dy
( y )
P ( y ) dy
, en nuestro caso
1 y
( y ) *(1): 1 1 z y y
1
y2
z 1
El primer miembro es la derivada de un producto de la variable dependiente de la ecuación diferencial (en este caso
z
) y el factor integrante (en este caso ( y )
1 y
)
1
z y 1 1 d 1 z 1 1 dy d 1 z 1 1 dy y 2 y y 2 2 y dy y
d
1
1
y
y
z y
c z y 2 1 cy
Volviendo del C.V. z
x 2 y 2 cy 1
x2
(1)
Comparando la ecuación (1) con x y cy 1 obtenemos: m
m
m2
PROBLEMA 2 Resolver la ecuación:
ydx x 2 y 5 2xy6 y7 x dy 0 Solución: Realizamos algunos arreglos en la ecuación diferencial :
ydx y 5 x 2 2 xy y 2 x dy 0 ydx xdy y5 x y dy 0 // y 2 2
12
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2
x y 1 dy 0 y 2 y x ydx xdy C.V. z dz 2 ydx xdy
5
y
y
Reemplazando:
dz y z 1 dy 0 Volviendo del C.V. z
1 x 1 y
1
2
5
y 6
dz y dy 0 2
1
5
z 1
z 1
2
dz y dy 0 5
1 z 1
y 6 6
C
x y
C
6
y x y
y6 6
C
PROBLEMA 3 Resolver la ecuación diferencial: 1 1 2 2 x 2 x y x y ye dx x x e x dy
Solución: Se trata de una ecuación diferencial de Bernoulli si se escribe de la siguiente manera:
dy dx
2
1
1
y 2e y 2
x x 2
x
Para resolverla multiplicamos por y
y
1 2
y
1
2
y 2e 2
x x 2
1
C.V. z y z 2
1 2
y
1 2
a toda la ecuación:
1
1 x
1 2
y 2z y
2
y
Reemplazando:
2 z
2
z 2e
x 2 x
1 x
Ecuación diferencial lineal z
1 x 2 x
z e
1
x
(1)
Para resolver (1) aplicamos el método de factor integrante, el cual es: ( x) e 1
( x) e
x x dy 2
( x)
P ( x ) dx
, en nuestro caso
x 1 x
( x) *(1): x 1
1 x 1 x z x 2 x z x e x
1
13
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El primer miembro es la derivada de un producto de la variable dependiente de la ecuación diferencial (en este caso
z
) y el factor integrante (en este caso ( x)
x 1 x
)
x 1 z 1 1 1 x x 1 e x d x 1 z x 1 e x dx d x 1 z x 1 e x dx x x x dx x x
d
1 x 1 z e x dx e x dx d x x 1
1
(2)
I 1
Resolvemos I 1 :
I1
1
x e
1
x
1
dx I1 x
x
2
1
e x dx
Por partes: () u x d du d x 1 1 1 x dv 2 e dx v e x x
I1 uv vdu I1 xe
1
x
1
e x dx
(3)
Reemplazando (3) en (2):
x 1 x
1 x
1 x
1 x
z e dx xe e dx C
x 1 x
z xe
1 x
C
1
Volviendo del C.V. z y 2
x 1 x
1
y xe C x
PROBLEMA 4
senx dx 2x cos xdy 0 determinar f y de modo que la En la ecuación diferencial 2 y cos x xf y senx
ecuación admita un factor integrante del tipo x, y
xf y ; luego resolverla.
Solución:
xf y a la ecuación diferencial esta se debe hacer exacta: xf y 2 y cos x xf y senx dx xf y 2x cos x dy 0
Multiplicandp x, y
N ( x , y )
M ( x , y )
Ahora hacemos hacemos cumplir cumplir la identidad identidad de Euler: Euler: M ( x, y ) N ( x, y ) x cos x f y yf y y x
x senxf y f y f y 2x cos x x senx // f y 2
2
14
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CODEX-ECUACIONES DIFERENCIALES
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f y 2 2 x cos x 1 y x senxf y 2x cos x x senx f y Para que cumpla la igualdad f y y f y 1 Entonces la ecuación diferencial tendrá la siguiente forma
xysenx dx 2x cos xdy 0 2 y cos x xysenx
(1)
Para resolver realizamos algunos arreglos ydx xdy senx 2 cos x ydx xdy xysenxdx xysenxdx 0 2 dx 0 xy cos x
C.V. z xy dz
2
dz z
senx cos x
ydx xdy xy
dx 0 2
dz z
senx cos x
dx 0 2lnz ln cos x
ln C lnz
2
ln cos x ln C
ln z 2 co cos x ln C z 2 cos x C Pero z xy
x 2 y 2 cos x C
PROBLEMA 5 Hallar la curva sabiendo que la suma de los segmentos que intercepta la tangente en los ejes coordenados es constante igual a “2a”.
Solución: De la condición del problema tenemos:
b d 2a
(1)
La pendiente de la recta tangente de la curva está dada por: y y0 y x x0
0 y0
d y0
Evaluando el punto b, 0 y
b x0
Evaluando el punto 0, d y Reemplazando (2) y (3) en (1): y y 2a x0 0 y0 x0 y 2a x y xy 2a y xy y y y 1 Para resolverla realizamos el cambio y p dy pdx
0 x0
b x0
y0 y
(2)
d y 0 x0 y
(3)
(4) Ecuación de Clairaut
(5)
Reemplazando en (4):
y xp
2a p 1
dy pdx xdp
2a
p 1
2
dp (6)
Igualamos (5) y (6): 15
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2a pdx pdx xdp dp xdp dp 0 x dp 0 p 1 2 p 12 p 1 2 2a 2a 2a 2a 0 p 1 y 1 dy 1 x dx y x 2 2a x C 2 x x x p 1 dp 0 dp 0 p K y K dy K dx y Kx C1 2a
2a
y x 2 2ax C y Kx C 1
EXAMEN: II-2016 PROBLEMA 1 Resolver la ecuación diferencial:
2 x
3
y xy3 3 xy dx 2 x 2 y 2 3 y 4 y 2 dy 0
Solución: Factorizando:
2 x
2
y 2 3 2 xdx 2 x 2 3 y 2 1 2 ydy 0
u x 2 du 2 xdx C.V. 2 v y dv 2 ydy Reemplazando:
2u v 3 du 2u 3v 1 dv 0
(1) Ecuación de Jacobi
2u0 v0 3 0 u 2 0 2u0 3v0 1 0 v0 1 m u u 0 u 2 dm du C.V. d n d v n v v0 v 1 Reemplazando en (1):
2 m 2 n 1 3 dm 2 m 2 3 n 1 1 dn 0 2m n dm 2m 3n dn 0
(2) Ecuación homogénea
C.V. m t n dm ndt tdn Reemplazando en (2):
2 tn n ndt tdn 2 tn 3n dn 0 2t
dn n
2t 1 2t 2 t 3
2
t 3 dn 2t 1 ndt 0
dt 0 Ecuación de variables separables
16
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8 1 dn 2t 1 1 4 dt 0 ln n 5 5 dt ln C ln n ln t 1 ln 2t 3 ln C 2 n 2t t 3 5 5 t 1 2t 3 1
4
1
4
ln n t 1 5 2t 3 5 ln ln C n t 1 5 2t 3 5 C n 5 t 1 2t 3 K 4
(3)
Volviendo de los cambios de variable:
n v 1 y 2 1 m u 2 x2 2 t n v 1 y 2 1 Reemplazando en (3): 4
x 2 2 x 2 2 2 y 1 y 2 1 1 2 y 2 1 3 K 5
Simplificando:
x
2
4
y 2 1 2 x 2 3 y 2 7 K
PROBLEMA 2 Resolver la ecuación:
x y x y dx xdy 0 3
2
Solución: Realizamos algunos arreglos en la ecuación diferencial :
x x y dx ydx xdy 0 x 1 xy 3
2
2
dx ydx xdy 0
C.V. z xy dz ydx xdy Reemplazando:
dz x 2 1 z 1 x 1 z dx dz 0 xdx 2 0 xdx 2 0 ln C // 2 z 1 z 1 2 2 z 1 z 1 x 2 ln K z 1 2
dz
Volviendo del C.V. z xy
x 2 ln
xy 1 xy 1
K
PROBLEMA 3
x, y f x g y
senx seny dx cos x seny seny cos y dy 0 , sabiendo que el Resolver la ecuación diferencial: cos x senx factor integrante es de la forma
Solución: 17
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cos x senx seny dx cos x seny cos y dy 0 // f x g y P( x , y )
Q( x , y )
P( x, y ) dx Q( x, y ) dy 0 // f x g y
P( x, y ) f x g y dx Q( x , y ) f x g y dy 0 M ( x , y )
(1)
N ( x , y )
(1) es una ecuación diferencial exacta, entonces se cumple la condición de Euler:
M ( x , y ) N ( x , y ) P( x , y ) f x g y Q( x , y ) f x g y y x y x P Q 1 f x g y P( x , y ) g y ( x , y ) g y f x Q( x , y ) f x ( x , y ) // y x f x g y
P g y
g y
( x , y )
P( x , y ) f x Q( x , y ) Q( x , y ) y x f x
P( x , y ) Q( x , y ) f x g y Q( x , y ) P ( x , y ) y x f x g y
(2) La ecuación diferencial debe cumplir esta condición
Entonces:
P ( x, y ) y cos y P( x , y ) cos x senx seny Q( x , y ) cos x seny cos y Q( x , y ) senx x Reemplazando en (2):
cos y senx
cos x seny cos y g y cos x senx seny f x g y
f x
Para que se cumpla la igualdad:
f x df x 1 dx ln f x x f x e x f x f x g y 1 dg y dy ln g y y g y e y g y g y Entonces el factor integrante estará dado por:
x, y f x g y e x e y x, y e x y Multiplicando a la ecuación diferencial:
e x y cos x senx seny dx e x y cos x seny cos y dy 0 C.V.: z e x
y
(3)
cos x seny dz e cos x senx seny dx e cos x seny cos y dy x y
x y
Reemplazando en (3):
dz 0 dz 0 z C
18
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Pero z e x
y
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cos x seny
Entonces:
e x y cos x seny C
PROBLEMA 4 Determinar las trayectorias ortogonales a la familia de curvas:
x
2
2
2
2 y2 b 4
Solución: Aislando la constante constante b 2
d
y b 4 x 2 // 2
2
dx
2 yy
2 x x 2 2 4 x 2 2
2
Para obtener las curvas ortogonales cambiamos y por
1
y
2 1 2 x x 2 dy 4 x2 4 x2 2 y dx ln y 2 dx C 2 2 y x 2 x 2 2 y 4 x 2
C.V.: x 2sent sent dx 2 cos tdt Reemplazando:
4 4 sent
2
2cos 2 t
4 sent 2 2 sen t 1 ln y sec 2t 1 dt ln C ln y sec 2t dt dt ln C ln y
2 cos tdt ln C ln y
2
2
dt ln C ln y
dt ln C cos 2t 1 cos 2t
1
ln y ln sec 2t tg 2t t ln C
2 Volviendo del C.V.:
2 sec 2 t 2 x 2 x 2sent 2 tg 2t x 4 x 2 x 2
1
ln y ln 2
2 x 4 x 2 2 x
2
x arcsen ln C 2
Simplificando: 1/2
x arcsen 2 x 2 y C e 2 2 2 x 4 x
19
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PROBLEMA 5 Determinar la curva de manera que el triangulo formado por la recta tangente a la curva, el eje de la abscisa y la recta vertical que pasa por el punto de tangencia, siempre tiene un área igual a la suma de los cuadrados de las coordenadas del punto de tangencia.
Solución: De la condición del problema tenemos:
A
b x y 0
0
x0 2 y0 2
(1)
2 La recta tangente de la curva está dada por:
y y0 y0 x x0
Evaluando el punto b, 0 y0 y0 b x0 b
y0 y0
x0
(2)
Reemplazando (2) en (1):
y0 y x x y x0 x0 y0 y y0 x2 y 2 x0 2 y0 2 2
2
y 2 dx 2 x 2 y 2 dy
(4) Ecuación diferencial homogénea
Para resolverla realizamos el cambio x ty dx ydt tdy Reemplazando en (4):
y 2 ydt tdy dx 2 t 2 y 2 y 2 dy ydt 2t 2 t 2 dy
dy y
dt 2t 2 t 2
dy y
dt 2t 2 t 2
1 t 1 dt dt 1 4 C ln y C 2 ln y C 2 ln y arctg 2 2 2 2 1 15 15 1 15 t 2 t 1 t 4 4 4 4 4
2 ln y
15
2 4t 1 4t 1 1 C // ln y arctg K 2 15 15 15
arctg
Volviendo del C.V.: x x ty t y
Entonces: ln y
2 15
4 x y K 1 5 y
arctg
ln y
2 15
4 x y K y 1 5
arctg
20
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EXAMEN: I-2016 PROBLEMA 1 1
a) Hallar la ecuación diferencial que tiene por solución y Ax Bx 3x b) Anote un ejemplo de una ecuación de Ricatti y explique brevemente como se resuelve esta. c) Explique brevemente el proceso a seguirse para resolver: 3
2
2
2
x 4 x 2 3 y 2 8 dx y 7 x 2 10 y 2 5 dy 0 d) Anote un ejemplo de una ecuación de Lagrange y explique como esta se transforma en ecuación lineal.
Solución: a) Para encontrar la ecuación diferencial debemos eliminar las constantes A y B , para ello derivamos hasta obtener 3 ecuaciones, luego eliminamos las constantes del sistema.
y Ax3 Bx1 3x 2
(1)
y 3 Ax2 Bx2 6 x
(2)
y 6 Ax 2 Bx3 6
(3)
Primero eliminamos B:
x 1 *(1) + (2): x 1 y y 4 Ax 2 9 x
(4)
2 x 1 *(2) + (3): 2 x1 y y 12 Ax 18
(5)
Ahora eliminamos eliminamos A: 1
-3 x *(4)+(5):
3 x 2 y x 1 y y 9 // * x 2 3 y xy x 2 y 9x 2 El resultado final será:
x2 y xy 3 y 9 x 2
b) Ejemplo de una ecuación de Ricatti: y sen2 x y 2 2 csc 2 x y cos 2 x Para poder resolver esta ecuación se debe realizar el siguiente C.V. para poder reducirla a una ecuación de lineal de primer orden.
y y1
1 z
Donde: y1 es una solución particular z
es la variable auxiliar 2
2
c) En la ecuación x 4 x 2 3 y 2 8 dx y 7 x 2 10 y 2 5 dy 0 realizamos los siguientes arreglos: 21
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4 x
2
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2
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2
1 0 y 2 5 2 ydy 0 3 y 2 8 2 xdx 7 x 2 10
u x 2 du 2 xdx C.V. 1: 2 v y dv 2 ydy Reemplazando:
4u 3v 8
2
du 7u 10v 5 dv 0 2
Ecuación de Jacobi
Para resolverla:
4u0 3v0 8 0 u 0 65 / 61 7u0 10v0 5 0 v0 76 / 61 65 m u u u 0 dm du 61 C.V. 2: dn dv n v v0 v 76 61 El C.V. 2 transformará a la ecuación en una homogénea para que posteriormente la transformemos a variables separables
d) Ejemplo de la ecuación de Lagrange y x(tg y 2 y ) sec y
g y
Forma general de la ecuación Lagrange y xf y
C.V. : p y p
dy dx
(1)
dy pdx
pdx f p dx xf p dp g p dp f p p dx xf p g p dp 0 f p g p dx x Ecuación lineal dp f p p p f p
y xf p g p diferenciando: dy f p dx xf p dp g p dp
PROBLEMA 2 Resolver la ecuación diferencial: 2
dx
x 16 0 dy
x y y
,
y (3) 1
Solución: Realizamos los siguientes arreglos en la ecuación diferencial:
2 x 16 0 // ydy xy ydx ydx xdy xdy 16ydy ydy 0 dy C.V.: z xy dz ydx xdy 2
dx
x y y
Reemplazando:
u du 16 ydy 0 Ecuación de variables separables 2
u du 16 ydy 0 2
u3 3
16
y2 2
C
u3 3
8y2 C
Pero: z xy 22
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x3 y 3 3
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8 y 2 C y 1 x 3
Ahora hallamos hallamos C con la condición inicial y (3) 1
33 13 3
8 12 C C 1
Reemplazando:
x3 y 3 3
8 y 2 1
PROBLEMA 3 Resolver la ecuación diferencial:
x Si se conoce que
7
y 6 y 7 dx 4 x8 2xy 6 dy 0 ;
y (1) 1
( xm y n )
Solución: Para que la ecuación diferencial sea exacta:
x
7
m n y 6 y 7 dx 4 x8 2 xy6 dy 0 //* x y
x m7 y n1 6 x m y n 7 dx 4x m 8 y n 2x m1y n 6 dy 0 M
(1)
N
Para que sea exacta debe cumplirse:
M N x m y n n 1 x7 6 n 7 y 6 xm yn 4 m 8 x 7 2 m 1 y 6 y x 4m n 33 m 7 n 1 x7 6 n 7 y 6 4 m 8 x 7 2 m 1 y 6 , resolviendo 2 m 6 n 44 n 5 Reemplazando en (1): 1 x y 2 y 7 7 51 7 5 7 7 8 5 7 1 5 6 x y 6 x y dx 4 x y 2 x y dy 0 y 4 6 x 7 dx 4 y5 2 x 6 dy 0 Resolvemos (2): 1 y2 x y 2 y 1 x y 6 d x 4 2 d y 0 d x 4 d y 6 d x 2 d y 4 0 5 7 6 4 5 7 6 y x y x y y x x
(2)
1 x x u y 4 du y 4 dx 4 y 5 dy C.V.: 2 2 v y dv 6 y dx 2 y dy 7 6 x 6 x x Reemplazando:
x y2 du dv 0 du dv 0 u v C 4 6 C y
x
23
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y 1 x 1
Ahora hallamos hallamos C con la condición inicial y (1) 1
1 1 C C 0 La solución final será:
x y 4
y2 x6
0
PROBLEMA 4 Resolver la ecuación diferencial:
y
3cos 2 y x 4 xctgy
Solución: Realizando arreglos en la ecuación:
dy dx
3cos 2 y x xctgy 4
//
1
dx dy
x 4 xctgy 2
3 cos y
x
1 3seny cos y
x
1 2
3 cos y
x4
(1) Ecuación de Bernoulli
Resolvemos (1): 1 1 1 1 4 4 4 3 x // x x x x x x 3 seny cos y 3 cos 2 y 3 seny cos y 3 cos 2 y C.V.: z x z 3x x Reemplazando en : 3
z
4
1
seny cos y
z
1
(2) Ecuación Lineal
cos 2 y
Para resolver (2) aplicamos el método de factor integrante, el cual es: ( y) e
P ( y ) dy
, en nuestro caso
1
( y ) e
seny cos y dy
( y ) tgy
( y ) *(2):
1
tgy z
z
tgy
seny cos y cos 2 y El primer miembro es la derivada de un producto de la variable dependiente de la ecuación diferencial (en este caso z ) y el factor integrante (en este caso ( y ) tgy )
d tgy z dy
tgy 2
cos y
d tgy z
tgy 2
cos y
d tgy z tgy sec2 ydy dy
C.V.: u tgy du sec ydy 2
Reemplazando:
tgy z udu tg tgy z Pero: z
u2 2
C tg tgy z
tg 2 y 2
C
x 3 24
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tg y x
3
tg 2 y 2
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C
tgy x
3
tg 2 y
2
C
PROBLEMA 5 Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de circunferencias que pasan por los puntos: A(0,0) , B(5,0)
Solución: El centro de la circunferencia estará dado por
h, k y el radio por
r ,
entonces:
h 5
2 2 r h k
2
k2 h 5
r 52 k 2 r 2 25 k 2
En la circunferencia:
x h y k 2
x 5 y 2 2ky 25 2
2
r 2 x 5 y k 25 k 2 2
2
(1)
Derivando:
2 x 5 2 yy 2ky 0 x 5 y k y 0
(2)
k : De (1) despejamos k :
x 5 k
2
y 2 25
2 y
Reemplazando en (2):
2 x 5 y y x 5 2
2
25 y 0
Para hallar la familia de curvas ortogonales cambiamos y por
1 y
1 2 2 0 2 x 5 yy y x 5 25 0 y
2 x 5 y y 2 x 5 25 2
Efectuamos el C.V. z
y 2 z 2 yy
x 5 z z x 5
2
25 0 Ec. Dif. Lineal: z
1
x 5
z x5
25
x 5
Para resolver (3) aplicamos el método de factor integrante, el cual es: ( x) e 1
( x) e
x 5 dx
( x)
P ( x ) dx
(3) , en nuestro caso
1 x 5 25
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( x) *(3): 1 25 1 z z x5 x 5 x5 x 5
1 x 5
El primer miembro es la derivada de un producto de la variable dependiente de la ecuación diferencial (en este caso
z
) y el factor integrante (en este caso ( x )
1 z x 5 1
d
dx
1 x 5
z x
25
x 5 25
x 5
Volviendo del C.V. z
2
1 x 5
)
25 25 1 1 z 1 dx z 1 dx d d x 5 x 5 x 52 x 52
C z x x 5 25 C x 5
y2
y 2 x x 5 25 C x 5
Por tanto la familia de curvas ortogonales estará dada por:
x 5
2
y 2 C x 5
26
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