Polya, un clásico en resolución de problemas unio 1996
COMO PLANTEAR Y RESOLVER PROBLEMAS G. Polya Ed. Trillas, México. Título original. ‘How to solve it\ laedición inglesa, 1945 Primera edición en español, 1965.
Ellibroquecomentamosesdeaparienciasencilla,sinvisosdetrascendencia.Ynosóloporquenoesmuy exten extenso so (215 (215 págin páginas as), ), sino sino por por su tono tono coloq coloqui uial al, , cerca cercano no y dire directo cto, , y porq porque ue en ningún ningún momen momento to hace hace referenciaaningúnresultadomatemáticoquenoseaconocidoporcualquierprofesordematemáticasdelos nivelesprimarioymedio.Apesardetodoello,suimportanciahasidoimpresionanteenlaenseñanzadelas matemáticasdesdesupublic matemáticasdesdesupublicación,hace ación,haceyamásdecincuentaaños, yamásdecincuentaaños,entodoelmundo.Yapesardesu'edad' entodoelmundo.Yapesardesu'edad' yanomuyjuvenilesunlibroquesiguevivo,nosólodesdeelpuntodevistadesuinfluenciaactual,sinoquelo esenelsentido sehanvendidomásdeunmillónde editorial,esdecir,queesunlibroque ejemplares,cifrarelevanteparacual-quier se sigue sigue vendien vendiendo do con regular regularidad idad, , libro,ymásparaunodedidác-ticadelas incl inclus uso o en nues nuestr tro o país país, , dond donde e se matemáticas. pued puede e enco encont ntra rar r en las las libr librer ería ías s la reimpre reimpresió sión n número número 19, de mayo mayo de 1995.EllohahechodeHowtosolve¡t Paravalorarlaimportanciadellibro,nada uno de los 'best 'best seller seller' ' matemát matemáticos icos mejorquecederlapalabraaSchoenfeld,una más relev antes, traduci do a 17 delasgrandesautoridadesactualesdela lenguas,entrelasqueestántodaslas resolucióndeproblemas(que,enarasde mayoritarias,ydelque labrevedad,apare- cerá cerá como como RPen losucesivo) losucesivo). . En1992,en unartículo unartículo sobreel sobreel estado estado actual actual dela cuestió cuestión n enRP, decía: decía: «planteándolosimplemente, Howtosolve¡t plantólassemillasdel'movimiento'deresolucióndeproblemasque plantólassemillasdel'movimiento'deresolucióndeproblemasque florecióenlosochenta.Abrael 1980NCTMYearbook[Ellibrodelaño1980de laAsociaciónNorteamericanadeProfesoresdeMatemáticas),quesupusoelalda-bonazoapartirdelcualseconsideróalaRPcomolatareafundamentaldelosprofesoresdematemáticas]encualquierpáginayprobablementeencontraráaPolyainvocado, biendirecta-menteoporinferenciaenladiscusióndeejemplosderesolucióndeproblemas». A pesar de todo ello, y a pesar de su influen cia, a través de la enseña nza de las matemática matem áticas s (que no hay que olvidarqueesobligatoriadurantevarioscursosparatodoslosalumnosentodos
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RECENSIONES lospaísesquetienenunsistemaeducativoorganizado) enbuenapartedelosciudadanosdecasitodoelmundo,Georges Polya no ha logrado logrado traspasarla traspasarla barrera barrera delconocimientomásalládeloscírculosmatemáticos. Por eso sunombrenoapare sunombrenoapareceenningu ceenningunadelasennadelasenciclopedia ciclopediasque sque hemosconsultado(lasespañol hemosconsultado(lasespañolasmás asmás habituales,francesasyhastalaunánimementereconocidacomo excelente excelente Enciclopedia Británica,enquesu nombre nombre sí aparec aparece, e, pero pero no como como artícu artículo lo indepe independi ndi-ente,sinosóloreferidoaun ente,sinosóloreferidoaun'TeoremadePol 'TeoremadePolya',relativo ya',relativo aasuntoscombinatorios,perosincitarenabsolutoniel libroquecomentamo libroquecomentamosnisuinfluenci snisuinfluenciaenlaRP).Ypor aenlaRP).Ypor comparar,entodasellas,enellugarquedeberíaestar, nosencontramosconPollock,unpintorcontemporáneo norteamericano. GeorgePolyanaci GeorgePolyanacióenBudape óenBudapesten1887.Duran sten1887.Durantesu tesu infancianoencontrólasmatemáticasespecialmenteinteresa teresante ntes; s; comenz comenzó ó en la Univer Universid sidad ad de Budape Budapest st estudiosuniversitariosdeleyes,ysecambiódespuésa lenguajes lenguajes y literatura literatura, , durante durante los cuales, cuales, como parte de un curso curso de filoso filosofía fía, , escogi escogió ó matemá matemátic ticas, as, y ahí comienzasurelaciónconlasmismas,queyanoabandonarí donaría. a. Se doctor doctoró ó en Matemá Matemátic ticas as en 1912 1912 en Budapest,conunatesissobreprobabilidad.Hizotrabajos posdoctoralesenGóttingenyParísyencontróuntraba jocomo profesoren 1914en elInstituto deTecnología deZurich(Suiza),dondecontinuóhasta1940,enque emigrócomootroscientosdeintelectualeseuropeosa EstadosUnidos.TrabajóprimeroenlaUniversidadde PaloAltoyapartirde1942enladeStanford.Murióen 1985.Escribió11libros(entrelosqueestá,ademásde losdedidáctica, TheoremsandProblemsinAnálisis, escritoconSzegóen1925,yqueesunodelosclásicos delsigloXX)yunos250artícul delsigloXX)yunos250artículos(recog os(recogidosencuatr idosencuatro o volúmenes),endistintasáreasdelasmatemáticas.
El libro constituye el primer intento de Id puesta a punto punto de la ‘heurística
moderna \ que según su propia definición
, «trata
de comprender el método conduce
que a la
solución
de
proble mas, particul ar
en ‘las
operaciones típicamente útiles’
en este proceso.
Porsituarlaediciónencastella Porsituarlaediciónencastellano,hayquedesta no,hayquedestacar car quesutraduc quesutraducción ciónesen esen México, México, no en nuestro nuestro país país, , y que que debe deben n pasa pasar r 20 años años desd desde e la primeraedición,paraquesepublique.Ysehace cuandoyahaaparecidolasegundaedicióninglesa delaobra,yotrolibrodePol delaobra,yotrolibrodePolyaqueprofun yaqueprofundiza dizay y desarr desarroll olla a los conten contenido idos s del prime primero. ro. Nos Matemáticas yrazonamiento yrazonamientoplausible plausible referimos referimos a Matemáticas (1954),quesíquefuetraducidaenEspañaconalgo más más de rapi rapide dez z (la edic edició ión n de Tecno ecnos s es de 19óó), 19óó), aunque aunque por losav losavata atares resdel delain aindus dustri tria a editorialhoyesinencontrable(ybuenoseríapoder disponerdenuevodeunaedicióndelmisma). Comomuest Comomuestradelava radelavance ncede de la relaci relación ón con otros otros paíse países s y de la propia propia situa situaci ción ón gene genera ral l en el contexto contexto intern internaci aciona onal, l, no parece parece plausi plausible ble, , por utilizar utilizar un término término delramo,q delramo,queuna ueunaobra obradeesta deesta trascendenciatardara20añosenlaactualidaden traducirsealcastellano.
en partic ular 'las operac iones típicamenteútiles'enesteproceso».[,..] Unestudioseriodelaheurísticadebe tenerencuentaeltrasfondotantológico comosicológico;nodebendescuidarse las aporta aportacio ciones nes hechas hechas altema por autorestalescomoPappus,Descartes, LeibnitzyBolzano,pero LeibnitzyBolzano,perodebeapegarse debeapegarse más a la experi experienc encia ia objeti objetiva. va. Una experienciaqueresultaalavezdela solu soluci ción ón de prob proble lema mas s y de la obobservacióndelosmétodosdelprójimo, cons consti titu tuye ye la base base sobr sobre e la cual cual se construyelaheurística.Enesteestudiobuscaremos,sindescuidarningún tipodeproblema,lospuntoscomunes delasdiversasformasdetratarcada unodeellosydespuéstrataremosde determinarlascaracterísticasgenerales independientesdeltemadelproblema. Untalestudiotieneob Untalestudiotieneobjetivos'prác jetivos'prácticos'; ticos'; unamejorcomprensi unamejorcomprensióndelasoperaóndelasoperacionesmentalestípicamenteútilesen lasolucióndeunproblemapuedeen efecto efecto influir influir favorabl favorablemen emente te en los métodosdeenseñanza,enparticular en lo que se refier refiere e a las matemá matemátiticas».Sirvaestalargacitaparasituar el ámbito ámbito delestudio y losobjetivos, tendentessobretodoalaenseñanza, que, que, por por una una vez, vez, se han han cump cumpli lido do, , puestoque,comorecordábamosantes en la cita cita de Scho Schoen enfe feld ld, , este este libr libro o sentólasbasessobrelasqueseimpulsóel pulsóel cambio cambio enla enseña enseñanza nza de lasmatemáticas. Ellibrotrata,enesencia,deunlargo comentar comentario io con cuatro cuatro partes partes (que (que luegoexplicitaremos)del,ahora,conocido cido plan plan de Poly Polya. a. Segú Según n él, él, para para resolverunproblemasenecesita: I.-Comprenderelproblema. II.-Concebirunplan. III.-Ejecucióndelplan. IV.-Examinarlasoluciónobtenida. Y además además, , cada cada una deestasfases tienensubdivisionesypreguntasque hacerseparallevarlasacabo. Laprimeraparte(pp.23-48)setitula «En «En el saló salón n de clas clases es», », y en ella ella, , despué después s de hablar hablar del propós propósito ito del libroydelaenseñanzaydelosroles delprofesorydelalumno,pasaaexplicitarsuplanpormediodeunproblema,enapariencianomuyatractivo: 'Determinarladiagonaldeunparalelepípedorectangulardadossulongitud, suanchoysualtura'.
El contenido El libr libro o cons consti titu tuye ye el prim primer er inten intento to de la puest puesta a a punt punto o de la 'heu 'heurí ríst stic ica a mode modern rna' a', , que que segú según n su propiadefinición«tratadecomprenderelmétodoque conducealasolucióndeproblemas, 104
Sobr Sobre e él estu estudi dia a el proc proces eso o de las las cuatrofases,laspregunt cuatrofases,laspreguntasquehay asquehayque que realiz realizar, ar, los coment comentari arios os que le sugsugieren,...Ydespués,deunaformamás concisa, concisa, desarrolla desarrolla el mismo método método enotrostresproblemas.Unodeconstrucción('Inscribiruncuadradoenun triángulodadotalquedosvérticesdel cuadradodebenhallarsesobrelabase deltriánguloylosotrosdosvérticesdel cuadradosobrecadaunodeloslados del triángul triángulo o respecti respectivame vamente' nte'), ), otro dedemostración('Dos dedemostración('Dos ángulos ángulos están situadosendosplanosdiferentes,pero cadaunodelosladosdeunoesparaleloalladocorrespondientedelotro,y enlamismadirección.Demostrarque los los dos dos ángu ángulo los s son son igua iguale les' s') ) y el últim último o de rapid rapidez ez de variac variación ión ('Se ('Se vierteaguaenunrecipientedeforma cónicaconunarapidezr.Elrecipiente deformadeconodebasehorizontal tieneelvérticedirigidohaciaabajo;el radiodelabasedelconoesa,sualtura b.Determinarlavelocidadalaquela superficiedelaguaseelevacuandola profun profundid didad ad del agua agua es y. Después Después obtenerelvalornuméricodelaincógnita,suponiendoquea=4dm, b =3 =3 dm,r=2dm^porminutoe y =1dm'). =1dm'). Reproduciremosalgunoscomentarios queaparecenenestaprimeraparte.«El resolverproblemasesuna resolverproblemasesunacuestiónde cuestiónde habilidadpráctica,como,porejemplo,el nadar.Lahabilidadprácticaseadquiere mediantelaimitaciónylapráctica.[...]Al tratarderesolverprobl tratarderesolverproblemas, emas,hayque hayque obse observ rvar ar e imit imitar ar lo que que otra otras s perpersonashacenencasossemejantes,y así aprendemosproblemasejercitán aprendemosproblemasejercitán-dolos dolos al resolv resolverl erlos. os. [...] [...] El profes profesor or quedeseedesarrollarensusalumnos la aptitu aptitud d para para resolv resolver er proble problemas mas, , debe debe hacerl hacerles es intere interesar sarse se en ellos ellos y darles darles el mayor mayor número número posibl posible e de ocasionesdeimitaci ocasionesdeimitaciónypráctica. ónypráctica.[...] [...] Además, cuando el maestro resuelve un prob proble lema ma ante ante la clas clase, e, debe debe 'dramatizar'unpocosusideasyhacerse erse las mismas mismas pregun preguntas tas que emplea plea para para ayudar ayudar a sus alumn alumnos» os». . Respectoaloquesonproblemas,«el alumnodebecomprenderelpro-blema. Peronosólodebecomprenderlo,sino tambié también n debe debe desear desear resolv resolverl erlo. o. Si hayfaltadecomprensiónodeinterés por partedel partedel alumno alumno, , nosiemprees nosiemprees suculpa;elproblemadebeescogerse adecuadamente,nimuydifícilnimuy fácil,ydebededicarseunciertotiempoaexponerlodeunmodonatu-
ral
Porfin Polya advierte sobre las reguntas que hay que hacer a los alumnos en la aplicación de método, que
su no
debe aplicarse de orma rígida, sino más bien como si se le hubieran ocurrido de forma espontánea al ropio alumno.
e inte intere resa sant nte» e». . En cuan cuanto to a la conc concep epci ción ón de un planylaaparicióndelasideasbrillantes',Polyaseñala que«lomejorquepuedehacerelmaestroporsualumnoesconducirleaesa¡deabrillanteayudándole,pero sinimponérsele».Yañadeque«unsimpleesfuerzode memorianobastaparaprovoc memorianobastaparaprovocarunabuenaidea,pero arunabuenaidea,pero es imposibletener imposibletener alguna alguna sinrecordarciertos hechos pertinentesalacuestión». Unavezqueyaseestáejecutandoelplan,«elpeligro estribaenqueelalumnoolvidesuplan,loquepuede ocurrirfácilm ocurrirfácilmentesi entesiloharecib loharecibidodel idodelexterio exteriory ry loha aceptadoporprovenirdesumaestro».Ycuandose está está en la fase fase de la visió visión n retr retros ospe pect ctiva iva, , «una «una de las primer primeras as y princ principa ipales les obliga obligacio cionesdelmaestr nesdelmaestro o esnodarasusalumnoslaimpresióndequelosproblemas lemas de mate matemá máti tica cas s no tien tienen en ning ningun una a rela relaci ción ón entr entre e sí,ni sí,ni conelmund conelmundo o físi físico» co». . Por Por fin fin Poly Polya a adadvierte vierte sobre sobre las pregunt preguntas as que hay quehac quehaceralo eralos s alumnosenlaaplicacióndesumétodo,quenodebe aplicars aplicarsede ede formarígid formarígida,sinomásbiencomosi a,sinomásbiencomosi se le hubiera hubieran n ocurri ocurrido do de forma forma espontán espontánea ea alpropio alpropio alumno.Yadviertecontraalgunas alumno.Yadviertecontraalgunassugerencias sugerenciasquese quese planteande«formasorpresivaypoconatural,como el conejo que el prestidigitad prestidigitadorsacadelsombrero orsacadelsombrero», », que que no son son inst instru ruct ctiv ivas as en abso absolu luto to. . La segu segund nda a part parte, e, muy muy corta corta (pp. (pp. 49-52 49-52), ), es un diál diálog ogo o sobr sobre e «Cóm «Cómore oreso solv lver er un prob proble lema ma», », que que reún reúne e toda todas s las fase fases s para para reso resolve lver r unp unpro roble blema ma,así ,así como comolas las preg pregun unta tas s que que hay hay que que hace hacers rse e en cada cada una de ellas.
La heurística Elnúcleofundamentaldellibroloformalalargatercera parte(pp.55-197),titul parte(pp.55-197),titulada«Breve ada«Brevediccionariode diccionariodeheurísheurística».Enella,por tica».Enella,porordenalfabético, ordenalfabético,vatratandou vatratandounaserie naserie deentradas,dedistinta deentradas,dedistintaimportan importanciayextensión ciayextensión,sobre ,sobre laRP.Asíhaceunrecorridohistó laRP.Asíhaceunrecorr idohistóricoporla'heur ricoporla'heurístic ística' a' o 'ars 'ars inveni inveniend endi', i', que «trata «trata del compor comportam tamien iento to humanofrentealos manofrentealos problemas; problemas;esteestudioseremonta esteestudioseremonta, , alparecer,a alparecer,a losprimerostiemp losprimerostiemposdelasociedad». osdelasociedad».En En cuantoasus cuantoasus nombrespropio nombrespropioscomienza scomienza,eneltiempo, ,eneltiempo, enPappus(aprox.delaño300antesdeCristo),sigue conAristóteles conAristóteles(dequienda (dequienda unasugestivadescripc unasugestivadescripción ión de las las 'ide 'ideas as bril brilla lant ntes es' ' como como acto actos s de saga sagaci cida dad, d, y 'sagacidadesdescubriradivin 'sagacidadesdescubriradivinandounarelaciónesenandounarelaciónesencial cial en un lapso lapso de tiempo tiempo inapre inaprecia ciable ble'); '); Descar Descartes tes (1596-1650),quesepropusoencontrarunmétodouniversal versal para para la RP, pero pero que dejó dejó inconc inconclus lusa;Leibn a;Leibnitz itz (1646-1716),quetuvoelproyectode (1646-1716),quetuvo elproyectodeescribirun'A escribirun'Artede rtede lainvención',yquedijoque«nohaynadamásimportantequeelconsiderar tantequeelconsiderarlasfuentesdelainvenci lasfuentesdelainvenciónque ónque son,amicriterio,másinteresantesquelasinvenciones mismas»,Bolzano(1781-1848),que mismas»,Bolzano(17811848),quededicóunabuena dedicóunabuena partedesuobradelógicaaltemadelaheurística;para acabarenloscontemporáneoscomoHadamard. IremosreproduciendoalgunascitasdePolyaalolargo del capítu capítulo, lo, par intent intentardar ardar una idea idea del espíri espíritudel tudel mismo. mismo. En el largo artículo artículo dedicado dedicado a 'analogía'dice 'analogía'dice que«elsentimientodequeunordenarmonioso
ios;
y simp simple le no podí podía a ser ser enga engaño ñoso so guía guía al inve invest stig igad ador or tanto tanto en matem matemát ático icos s como como en las las demas demas cienc ciencias ias», », y recue recuerd rda a que que «la «la indu inducc cció ión n está está natur natural alme ment nte e basad basada a en la anal analog ogía ía». ». Recue Recuerd rda a tamb tambié ién n que que un 'cor 'corol olar ario' io', , etim etimol ológ ógic icam amen ente te, , es una una 'prop propin ina' a', , y aseg asegur ura a que «ser «sería ía un erro error r el cree creer r que que la solu soluci ción ón de un prob problelema es un 'asu 'asunt nto o pura purame ment nte e inte intele lect ctua ual' l'; ; la dete determ rmiinación nación, , las emocio emociones nes, , juegan juegan un papel papel importa importante» nte»; ; y, en la misma isma líne línea, a, «la «la solu soluci ción ón de prob proble lema mas s es una una escue escuela la de la volun volunta tad. d. [...] [...] Si el alum alumno no no encu encuen entr tra a en la escue escuela la la oport oportun unida idad d de famil familiar iariza izars rse e con con las las diver diversas sas emoci emocion ones es que ofre ofrece ce el esfue esfuerzo rzo con vista vista a lasolución,sueducaciónmatemáticahafalladoensuob jetivomás jetiv omásesenci esencial». al». Cuan Cuando do se refi refier ere e a 'Exa 'Exami mine ne su hipó hipóte tesi sis' s' dice dice «su «su hipótesis hipótesis puedeser correcta,perosería correcta,peroseríaabsurdoeltomar absurdoeltomar una una hipó hipóte tesi sis s por por cier cierta ta simp simple leme ment nte e porq porque ue se le ha ocurr ocurrido ido, , como como hacen hacen la mayo mayor r part parte e de las las vece veces s las las personas personas simplistas.Su simplistas.Su hipótesispuede hipótesispuede no sercorrecta. Sería igualmenteabsurdo igualmenteabsurdo el no consideraruna consideraruna hipótesis hipótesis plausible;esteeseldefec plausible;esteeseldefectoenque toenqueincurren incurren los pedantes. [...] [...] No existe existen n en realida realidad d ideas ideas franca francame mente nte malas, malas, a menosque no tengamos tengamos sentido sentido crítico. crítico. Lo que realmente realmente es malo malo es no tene tener r idea idea algu alguna na, , por por muy senci sencilla lla que que s e a » . E n c u a n t o al p a p e l d e l a ' i n d u c ci ó n ' , « l a s mate matemá máti tica cas s prese present ntad adas as con con rigo rigor r son son una una cien cienci cia a sistemática,deductiva,perolasmatemáticasengestación son unacien unacienci cia a exper experime iment ntal al, , indu induct ctiva iva. . En mate matemá mátiticas, cas, como como en las las cien cienci cias as físi física cas, s, pode podemo mos s empl emplea ear r la obse observ rvac ació ión n y la indu inducc cció ión n para para desc descub ubri rir r leye leyes s gengeneral erales; es; pero pero exist existe e una una dife difere renci ncia. a. En las cien cienci cias as físi físi-cas, cas, en efec efecto to, , no hay hay nada nada por por enci encima ma de la obse obserrvación vación y de la inducci inducción, ón, mientra mientras s queen matemá matemátic ticas as setiene, además además, , lademostrac lademostraciónrigur iónriguroo- sa». Por eso, «tod «todo o cono conoci cim mient iento o sóli sólido do se apoy apoya a sobr sobre e una una base base ex peri mental reforzada por cada probl ema cuyo res ul ul ta tado ha sido cu id idado sa samente veri fific ad ado». En cuan cuanto to al tipo tipo habi habitu tual al de pres presen enta taci ció ón form formal al de las las matemát matemáticas icas, , «la exposic exposición ión eucli- eucli- deana deana es perfect perfecta a si se trata trata de subray subrayar ar cada cada punto punto particu particular lar, , pero menos menos indicadasiloquesequiereesrecalcarlasarticulaciones esencialesdel esencialesdel razonamient razonamiento.[...] o.[...] Laexposicióneuclidea- Laexposicióneuclidea- na se desarr desarroll olla a enun orden orden que es, la mayorparte mayorparte de lasveces,exactamenteopuestoalordennaturaldelainvención».Todoeste vención».Todoeste conjunto conjunto de reflexionesno reflexionesno dejan de ser pertin pertinente entes s sobre sobre la manera manera dellegararesul dellegararesultad tadosy osy decomunicarlos,sobretodoenlaenseñanza. En c ua uanto a la notaci ón ón que se debe utilizar en l a RP, «el empleo empleo de símbolo símbolosmatemá smatemátic ticosesanálo osesanálogoal goal depalabras. depalabras. Lanotaciónmatem Lanotaciónmatemáti ática ca aparece aparece como una especiedelenguaje, unelanguebienfaite,unlenguajeperfectame fectamente nte adaptad adaptado o a su propós propósito, ito, conciso conciso y preciso preciso, , conreglasque conreglasqueno no sufren sufren excepci excepcione ones. s. [...] [...] La elecci elección ón de la nota notaci ción ón cons consti titu tuye ye una una etap etapa a impo import rtan ante te en la soluc solución ión de un prob problem lema. a. Debe Debe eleg elegir irse se con con cuida cuidado. do. [...] [...] Una Una nota notació ción n apro apropi piad ada a podr podrá á contr contribu ibuir ir de modo modo primordialalacomprensióndelproblema». Enelcaminohacialaresolucióndeunproblemaaparecena veces veces ¡deasbril ¡deasbrillan lantes. tes. «¿Qué «¿Qué es una idea idea brillan brillante? te? Es una transfo transforma rmación ción brusca brusca y esencia esencial l denuestro denuestro punto punto devista,unareor 106
También Polya da unas rr re e e eg g gl g lla l a as a ss , como casi todo el mundo, pero que en este caso están llenas de buen sentido.
ganizaciónrepent ganizaciónrepentinadenuestromodode inadenuestromodode concebir concebirel el problema, problema, unaprevisiónde unaprevisiónde la etap etapas as que que nos nos llev llevar arán án a la solu soluci ción ón, , previsi previsiónen ónenlacu lacual,pe al,peseas seasu u aparic aparición ión r e p e n ti n a , pre se nt im os qu e n os podemo s fi ar». En cuanto a l os tipo tipos s de prob proble lema mas, s, «'lo «'los s prob proble lema mas s por por reso resolv lver er' ' tien tienen en mayo mayor r impo import rtan anci cia a en l as m at e m á t i c a s e l e m e n t al e s , los 'pro 'proble blema mas s por por demo demost stra rar' r' son son más más impo imporrtant tantes es en las las supe superriore iores» s». . «Los «Los proble problemas mas de rutina, rutina, incluso incluso emplea empleados dos en gran gran número, número,pueden puedenserútile serútilesenla senla enseñanzadelasmatemáticas,perosería impe imperd rdon onab able le propo ropone ner r a los los alumn lumnos os exclus exclusivam ivament ente e proble problemas mas de este este tipo. tipo. Limitarlaenseñanzadelasmatemáticas alaejecuci alaejecución ón mecánic mecánica a de operaci operacione ones s ruti rutina nari rias as es reba rebaja jarl rla a por por deba debajo jo del del nive nivel l de un 'libr 'libro o de cocina cocina'y 'yaq aque uela las s recet recetas as culina culinari rias as rese reserva rvan n una una part parte e a la imag imagina inació ción n y al juici juicio o del del cocin cociner ero, o, mientrasquelasrecetasmatemáticasno permitentalcosa».Encuantoala permitentalcosa».Encuantoalarelación relación con con la vida vida fuer fuera a del del aula aula, , «pod «podem emos os deci decir r que que las incóg incógni nita tas,los s,los dato datos, s, las las c o n di ci o n e s , l os c onceptos , l os conocim conocimien ientos tos necesar necesarios, ios, en suma, suma, totodo en los los prob proble lema mas s prác prácti tico cos s es más más c o m pl ej o y m e n o s p r e c i s o que en l os os probl em emas puramente mat em emáti cos. cos. [...] [...] Sin embarg embargo,las o,las razones razones y los méto dos fu ndamental es que conduc ducen a la solu soluc cións iónson onpr prop opia iame ment nte e los mismos paralos dostiposde probleproblemas». Tamb Tambié ién n Polya lya da unas unas regl reglas as, , como como casi casi todo todo el mund mundo, o, pero pero que que en este este caso caso están están llen llenas as de buen buensent sentido ido.Re.Reproducimosalgunaspartesdelasmismas. 'Reg 'Regla las s de enseñ enseñan anza za': ': «La «La prime primera ra de estas regl as as es c on onocer bi en en lo que s e q u i e r e e n s e ñ a r. L a s e g u n d a e s sabe saber r un poco poco más. más. [... [...] ] No olvi olvide demo mos s que que un prof profes esor or de mate matemá máti tica cas s debe debe sabe saber r loque ense enseña ña y que, que, si desea desea ininc ul c a r a s u s al u m n os l a c o r rec t a acti actitu tud d ment mental al para para abor aborda darpro rprobl blem emas as, , debeélmismohaberadqu debeélmismohaberadquirido iridodichaactidichaactitud». tud». 'Regla 'Regla de estilo' estilo': : «La prime primera ra regla regla de estilo consis te te en tener al go go que decir decir. . La segun segunda da es saber saberse se cont contro rola lar r encasodetenerdoscosaspordecir;expone poner r prime primero ro la una una y desp después ués la otra otra, , noambasalavez».'Reglasdedescubrimie nt nto': «La pri me mera d e es ta tas re gl glas es ser ser inte inteli lige gent nteyten eytener ersuer suerte. te.LaseLasegund gundaes aes sentar sentarsebie sebien n ties tieso o y espe espera rar r la ocurrenci a de una ¡dea brill ante. [... [...] ] Regl Reglas as infa infali libl bles es que que perm permit itie iese sen n resolvertodoproblemademate
mática máticas s serían serían con toda toda segur segurida idad d prefer preferib ibles les a la piedr piedra a filos filosofa ofal l tan buscadaenvanoporlosalquimistas. Talesreglasprocederíandelamagiay nohaytalmagia.Encontrarreglasinfaliblesaplicablesatodotipodeproblemasnoesmásqueun lemasnoesmásqueun viejosueñ viejosueño o filosóf filosófico ico sin ninguna ninguna posibil posibilidad idad de realizarse».
comentariosatractivos,ynosiemprelosmismos.Interesa,sobretodo,por propugnarlacreacióndeunespírituabierto,constructivo,experimentaldela clasedematemáticas.Si clasedematemáticas.Sihubieradepon hubieradeponeralgunapega eralgunapega(todola (todolatiene),habría tiene),habría que referi referirse rse (ademá (además s de una traduc traducció ción n mejora mejorable ble) ) a una presen presentac tación ión descarnadadelosproblemas,conpocahistoriapormedio,yaungustopor despojarle despojarles s de su contexto, contexto, segurament seguramente e deseada, deseada, peroque nos gustaría gustaría quetuvieranunairemásvivo,menosacadémico.Algoqueconeltranscurso delosaños,enlosdiscípulosdePolya(quesomostodos,conscientemente ono),seha¡dosuperado.
Fernando Corbalán
Algunos problemas
Jordi Deulofeu La cuar cuarta ta y últi última ma part parte e del del libr libro o (pp. (pp. 199- 199- 215), 215), «Probl «Problema emas, s, sugere sugerenci ncias, as, soluci solucione ones» s» da la oportu oportunid nidad ad al lector lector de practi practicar car el método método descr descrit ito o en las las trespartesanteriore trespartesanterioresproponien sproponiendo,enel do,enel primerapartado,20problemasdetiposy contenidosmuydiversos;paracadauno de los los cual cuales es da suge sugere renc ncia ias s más más o menoslargasparasusoluciónenlalínea del método método, , en el segund segundo o aparta apartado; do; y aporta,porfin,lasolucióndetodosellos. Comomuestraaportamoslas tresfases en un prob proble lema ma, , el núme número ro 4. «Par «Para a enumerarlaspáginasdeunlibrountipógrafohaempleado 2.989dígitos.¿Cuántaspáginastieneellibro?».Sugerencias:«'Heaquíunproblema relacionadoconelsuyo'.Siellibro tiene exactamente exactamente nueve páginasnumeradas, páginasnumeradas, ¿cuántos ¿cuántos dígitos dígitos emplea emplea el tipógrafo?(9 tipógrafo?(9 evidentemen evidentemente). te). He aquí otro pro-blema pro-blema 'enrelaciónconelsuyo':siellibrotiene exactamente exactamente 99 páginas, páginas, ¿cuántos ¿cuántos dígidígitosempleaeltipógrafo?Soluci tosempleaeltipógrafo?Solución:«Para ón:«Para unlibrode999páginassenecesitan 9+2x90+3x900=2.889 dígitos.Siellibroencuestióntiene xpáginas, 2889+4(x-999)=2.989x= 1.024 Este Este prob problem lema a nos nos hace hace ver que una una evalu evaluaci ación ón preli prelimi minar nar de la incóg incógni nita ta puedeserútil(einclusonecesaria,como enestecaso)».
Para acabar Sorprendelafrescuradeunlibroco moeste,c moeste,conmá onmásde sdecincu cincuenta entaaños años susespalda susespaldas,quesepuede s,quesepuede leerco leerco gust gusto o y apro aprove vech cham amie ient nto, o, y no sól sól unavez,sinotant unavez,sinotantascomose ascomosehagas hagas siguenencontrandoreflexiones,
EL INGENIO EN LAS MATEMÁTICAS Ross Honsberger DLS-Euler, Madrid 1994 ISBN: 85731-14-X 205 páginas
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Lareci Lareciente ente apar aparici ición ónedi editor torial ialde ded dos osnuev nuevosn osnúmer úmeros os de lacol lacolecc ección ión delib delibros ros«L «LaT aTort ortuga ugade deAq Aquil uiles» es» es unagr unagran annot notici iciap apara araaq aquel uellos los queamam queamamos os las matem matemáti áticas cas.Des .Desde deesta estaslín slínea easqu squie iero roan anim imar ary y aplaudiresteesfuer aplaudiresteesfuerzodela zodela EditorialDLSEditorialDLS-Euler Eulerque que siguepublicand siguepublicandoen oen españolla«NewMathematicalLibrary»,bajoesesugestivonombredeLa TortugadeAquiles. Que grandes grandes matemáticos matemáticos dediquenparte dediquenparte de su tiempo a escribir escribir sobre matemáticas,quenonecesitenunexcesivoaparatomatemático,esmuy deagradecer,quizáespecialmenteportodosaquellosquenosdedicamos aladocencia,perosobretodoporqueesunaoportunidaddedisfrutary emocionarnosconalgunosretazosdepartesdelasmatemáticasqueno han han esta estado do ni está están n en los los plan planes es de estu estudi dios os que que hemo hemos s cono conoci cido do o conocemos.PareceserqueestoquetanbrillantementehaceaquíMiguel de Guzm Guzmán án es una una prác prácti tica ca mucho mucho más más habi habitua tual l en Esta Estado dos s Unid Unidos os, , dondematemáticosdegran dondematemáticosdegran prestigioescribe prestigioescriben n sobre distintascuestion distintascuestiones es matemá matemátic ticas as que puedan puedan ser leídas leídas por alumno alumnos s con conocim conocimien ientos tos equivalentesalosquesetienenenbachilleratooCOU.Estaesla¡dea quepareceanimaralaeditorialEulerconlapublicacióndeestacolección delibrosqueelmismoMig delibrosqueelmismoMigueldeGuzmá ueldeGuzmánelogia nelogiaenlasiguient enlasiguientenotaala enotaala ediciónespañol ediciónespañolaqueapareceenlacontr aqueapareceenlacontraport aportadadetodosloslib adadetodosloslibrosque rosque sehanpublicadohastaahora: «LacolecciónNewMathemati «LacolecciónNewMathematicalLibrar calLibrary(queapareceenEspaña y(queapareceenEspañabajoel bajoel nombredeLaTortugadeAquiles),deexposicionesmatemáticasbrevesy denivelasequiblealosestudiantesdesecundaria,comenzóaserpublicadaconlaintencióndeofrecerunaccesofácilalosestudianteshaciael áreadelamatemáticagener áreadelamatemáticageneralmen almentenoincluida tenoincluidasentrelosconten sentreloscontenidosde idosde suenseñanza.
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