Compensadores en el dominio de la frecuencia

R. Automa ´ tica

COMPENSACIO ´ N Y DISEN TECNIC AS  DE COMPENSAC ˜O

˜

TECNICAS DE DISENO

● Te ´cnicas para sistemas

SISO

Y COMPENSACION COMPENSACION

invariantes en el tiempo

● Basadas en el lugar de las raices y respuesta en frecuencia

Especificaciones de funcionamiento

● Exactitud o pr precisio ´ n ● Estabilidad relativa ● Velocidad de respuesta

Disen ˜ o y compensacio´ n de sistemas

˜ o de la planta para que cumpla las especificacio● Disen nes de funcionamiento: funcionamiento: estabilidad, tiempo de crecimiento, etc. ● Suponemos que la planta es fija y no se puede modificar .  An ˜adir elementos adicionales compensador .

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Compensacio ´ n de ganancia ■

La forma mas sencilla de modificar el compor tamiento tamiento del sistema

■ Si con

ajuste de ganancia no se logra las especificaciones (algunas veces el aumentar la ganancia para mejorar el comportamiento comporta miento estacionario estacionar io conlleva una pobre estabilidad) es necesario introducir un bloque compensador .

Compensacio ´ n en serie y paralelo ❐

ma ´ s fa ´ cil de realizar  Com omp pen ensa saci cio o ´ n en serie ma

´ s ener g´ıa ıa ❐ Sin embargo necesita ma

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Compensadores: Dispositivos f´ısicos (ele ´ ctricos, neuma ´ ticos, ´ n de meca ´ nicos, etc. que se comportan segun una funcio transferencia deseada.

Tipos de compensadores: ❐

red de adelanto

❐

red de atr aso

❐

red de atraso-adelanto

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Etapas de disen ˜ o en un sistema de control

➊ Planta real o sistema Sistema f´ısico real Entradas y salidas ´ rico conocido Modelo f´ısico  teo

➋ Modelado matema ´ tico del sistema real Leyes flisicas

modelo matema ´ tico

´ tesis Simplificaciones, hipo Funcio ´ n de transferencia o espacio de estado

➌ Identificacio ´ n del modelo  A partir de variables previsto

“medibles” y del

compor tamiento

Para ´ metros reales de funcio ´ n de transferencia, nor malmente lineal e invar iante en el tiempo Criterios de bondad

➍ Ana ´ lisis del comportamiento en lazo a bier to 4

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˜ ales Sen

de prueba: impulso, escalo ´ n, r ampa, etc.

Comportamiento en frecuencia

➎ Prediccio ´ n del comportamiento en lazo cerr ado ➏ Estudio de los requerimientos exigidos ´ ricas: Ganancia, compen➐ Aplicacio ´ n de soluciones teo sador, otr as

➑ Exper imentacio ´ n. Puede ser necesarivo volver sobre pasos anter iores ´n ➒ Optimizacio

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Consideraciones preliminares Efectos de la adicio ´ n de polos y cer os

 An ˜ adir un polo: ✓ Desplaza

el lugar de las raices a la derecha

✓ Disminuye ✓ Aumenta

la estabilidad relativa el tiempo de establecimiento

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Consideraciones preliminares

˜ adir un cer o:  An ✓ Desplaza

el lugar de las raices a la izquierda

✓ Aumenta

la estabilidad relativa

✓ Disminuye

el tiempo de establecimiento

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Dominio de la frecuencia

especifica de forma indirecta el funcionamiento de la respuesta transitoria: mar gen  de fase, mar gen de ganancia, pico de resonancia, etc.

❍ Se

el disen ˜ o de sistemas con ruidos de alta frecuencia, es ´ todo de respuesta en frecuencia. convenienteel me

❍ En

❍

El

´ cilmente al incluir un diagrama de Bode se modifica fa compensador .

❍ La regio ´ n de baja frecuencia indica el compor tamiento en re ´ gimen estacionar io.

❍

El disen ˜o

es un compromiso entre estabilidad relativa y exactitud en estado estacionar io.

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Dominio de la frecuencia Caracter´ısticas de los tipos de compensacio ´n

❍ Adelanto: Mejora la respuesta transitoria y modifica un poco la exactitud en estado estacionario. Puede acentuar los efectos del ruido a altas frecuencias . ´ n a expensas de un aumento ❍ Atraso: Mejora la precisio del tiempo de la respuesta transitoria. tos de los ruidos a altas frecuencias.

Suprime los ef ec-

❍ Atraso-adelanto: Comparte car acter ´ısticas de los dos tipos

pero

aumenta

la

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complejidad

del

sistema.

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´ n en adelanto Compensacio

1

1

1 1

2

2

1

2 2

1

Como la corriente de entrada al amplificador es despreciable 1 2

2

1

Como

0, se tiene

1 2

2

1

1

1 2

10

2

1

1

1

2

1 1

1 2 2

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El

inversor de signo tiene la funcio ´ n de transferencia de:

4

0

3

La ganancia del inversor es

4

3

luego

1 4

1

3

2

1

1 1

1

1

2 2

donde:

1

1

2

Este es un circuito de adelanto

11

si

4 1 3 2

2

1

1

2

2.

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Caracter´ısticas de los compensadores en adelanto 1

1 1

0

1

1

cero en 1 y polo en 1 . El cero esta siempre a la derecha del polo en el plano complejo. Tiene

Del diagrama polar:

1

sen

2 1 2

1 1

Diagrama de bode de red de adelanto para 12

1y

01

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es la media geome ´ trica de las dos frecuencias de cr uce:

log

1 1 log 2

Por tanto:

1

13

log

1

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´ n en adelanto mediante Compensacio lugar de las raices

➊ De las especificaciones de funcionamineto se deter minan la ubicacio ´ n deseada de los polos dominantes de lazo cerr ado. ➋ Ver si con el ajuste de la ganancia se logra los polos en lazo cerrado deseados. Calcular la deficiencia angular  que se compensara con la red de adelanto. ➌ Suponer el compensador  1

1 1

1

0

1

donde y se determinan a partir de la deficiencia angular y se determina a partir del requisito de ganancia de lazo a bier to. ´ n del polo y cero del compensa➍ Determinar la ubicacio dor. Interesa un valor de lo ma ´ s grande posible. ➎ Determinar la ganancia de lazo a partir de la condicio ´n de magnitud. Verificar que se cumplen las especificaciones de funcionamiento.

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´ n en adelanto mediante Compensacio respuesta en frecuencia

➊ Suponer el compensador en adelanto: 1

1 1 Se define Entonces:

1

0

1

: 1 1

La F.T. del sistema compensado es: 1 1

Determinar el valor de K que satisface el coeficiente de error esta ´ tico.

➋ Tr azar  el diagrama de bode de y determinar el mar gen  de fase del sistem a. ➌ Determinar el a ´ ngulo de fase necesario para agregar al sistema. ´ n necesario . Deter ➍ Determinar el factor de atenuacio minar la frecuencia en que la magnitud del sistema no . Esta frecuencia compensado es igual a 20 log 1 15

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ser a que corresponde a 1 ´ la nueva frecuencia de cruce de ganancia, y el ma ´ ximo desplazamiento de fase se produce a esa frecuencia.

➎ Determinar las frecuencias de cruce del compensador: Cero en adelanto: 1 Polo en adelanto: 1 ➏ A partir del valor de calculado en el paso 1 y el de calculado en el paso 4, calcular :

➐ Verificar que el mar gen  de fase es satisf actor io.

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Control Pr opor cional Derivativo: PD

❍

Es

una ver sio ´ n simplificada del compensador en adelanto.

´ n de tr ansf erencia: ❍ Tiene una funcio

1

se determina para satisfacer requedonde el valor de rimientos de estado estacionar io.

❍ Se elige la frecuencia de cruce 1

tal que el adelanto de fase se produzca en la proximidad de la frecuencia de cruce de ganancia.

❍ Se produce un incremento continuado de la magnitud indeseable pues amplifica los ruidos de alta frecuencia (filtro paso altas).

❍ La realizacio ´ n f´ısica puede presentar serios problemas en el caso de la red electro ´ nica por el proceso de dif erenciacio ´ n. ❍ Este tipo de controlador al igual que la red de adelanto mejora la respuesta transitoria (tiempo de crecimiento pequen o y pequen o sobreimpulso). ˜ ˜ 17

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Compensador en  Atraso Misma configuracio ´ n que el compensador en adelanto

1 1

0

1 1

1

Caracter ´ısticas

❍ El compensador tienen un cero en 1

.

El

1 polo a la derecha del cer o.

y un polo en

❍ El compensador en atraso es esencialmente un filtro paso bajas.

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´ n en atraso mediante el Compensacio ´ todo del lugas de las raices me

➊ Tr azar el lugar de las raices para el sistema no compensado cuya funcio ´ n de transferencia de lazo abierto es G(s). Ubicar los polos dominantes de lazo cerrado en el lugar de las r aices. ➋ Suponer que la F.T. del compensador en atraso es 1 1

1 1

Entonces la F.T. del sistema compensado es

.

´ tico particular espe➌ Calcular el coeficiente de error esta cificado en el pr oblema. ➍ Determianr la magnitud del aumento en el coeficiente esta ´ tico particular para satisfacer las especificaciones . ➎ Determinar el polo y cero del compensador en atraso que produce el aumento necesario en el coeficiente esta ´ tico sin alterar en forma notoria el lugar de las r aices. ➏ Tr azar un nuevo lugar de las raices para el sistema compensado. Ubicar lospolos dominantes de lazo cerrado en el lugar de las raices. Si la contribucio ´ n angular de la red es pequen ˜ a el lugar de las raices ser a´  muy similar . 19

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➐ Ajustar la ganancia del compensador partiendo de la condicio ´ n de magnitud.

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´ n en atraso por el me ´ todo Compensacio de la respuesta en frecuencia

➊ Suponiendo el compensador en atr aso: 1

1 1

1

1

Se define Entonces 1 1

La F.T. del sistema compensado es 1 1

1 1

1

donde 1 para satisfacer los requer iDeterminar la ganancia mientos de la constante de error esta ´ tica dada.

➋ Si el sistema no compensado 1 no satis´ rgenes de fase y gananface las especificaciones en ma cia, hallar el punto donde la F.T.L.A. es igual a -180 mas el mar gen  de fase requerido. Se an ˜ aden de 5 a 12 gr ados para tener en cuenta el atraso de fase del compensa-

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dor. Elegir esta frecuencia como nueva frecuencia de ganancia.

➌ Se puede elgir la frecuencia de cruce 1 (correspondiente al cero del compensador) una de ´ cada por debajo de la nueva frecuencia de cruce de ganancia. ➍ Determinar la atenuacio ´ n necesaria para bajar la cur va de magnitud a 0 db la nueva frecuencia de cruce de ga´ n es 20 log . La otra frecuencia nancia. La atenuacio de cruce correspondiente al polo estar a ´ en 1 . ➎ Usando el valor de K determinado en el paso 1 y el de determiando en el paso 5 calcular la constante de

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´ n en Comentarios sobre compensacio atraso

❍ Los compensadores en atraso son filtros paso bajas. Permiten ganancia grande a bajas frecuencias y reduce la ganancia a altas frecuecias de modo que mejora el mar gen de f ase. ´ n de altas fre❍ Se utiliza las car acter ´ısticas de atenuacio cuencias mas que la car acter ´ısticas  de atraso de f ase. ´ n exacta del polo y cero no son cr´ıticas, siem❍ La ubicacio pre que esten cerca del origen y que la relacio ´n sea igual al factor que multiplica al coeficiente de err or esta ´ tico de velocidad. ´ n debida al compensador desplaza la fre❍ La atenuacio cuencia de cruce de ganancia a un punto de menor frecuencia donde el mar gen  de fase sea aceptable. ❍ Se

❍

reduce el ancho de banda y la respuesta es ma ´ s lenta.

compensador en atraso tiende a integrar la se n ˜ al de entrada, actua como un controlador proporcional e integral y tiende a tornarse menos estable. Para evitar esta car acter ´ıatica la constante de tiempo T debe ser super ior a la mayor constante de tiempo del sistema. El

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Controlador Pr opor cional Integral: PI

❍ Se caracteriza por la siguiente F.T. 1

1

1 y un polo en s=0. ❍ Tiene un cero en ❍ Tiene ganancia infinita a frecuencia cero lo que mejor a las car acte r ´ısticas  de error estacionar io. ❍ Aumenta el tipo del sistema y lo hace menos estable.

❍ La velocidad de respuesta

es ma ´ s lenta

las componentes de alta frecuencia

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´ an porque se atenu

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´ n en atraso adelanto Compensacio

❍ Necesario cuando se desea mejorar tanto la respuesta estacionaria como la respuesta tr ansitor ia.

❍ El atraso de fase y adelanto se producen a dif erentes bandas de frecuencias.

❍ combina las ventajas de la compensacio ´ n en adelanto y atr aso. 1

1 1

2

1 1

2

25

1

1