Oleh: Sittati Musalamah
6. Metode Balok Padanan a) Penurunan Rumus Dasar
Tinjau Tinjau balok kantilever kantilever yang mengalami pembebanan seperti diperlihatka diperlihatkan n pada Gambar 5.24-a. Kurva M/! dari balok tersebut diperlihatkan Gambar 5.24-b. Kemudian bayangkan suatu balok kedua" disebut balok padanan" padanan " yang berbentuk kantilever terbalik dari kanteliver sesungguhnya" seperti terlihat pada Gambar 5.24-#. Kurva M/! pada sisi ba$ah balok asli dianggap sebagai beban yang bekerja ke atas pada balok padanannya. Terapkan Teorema %idang Momen !& searah putaran jarum jam ' luas M/! dari Gambar 5.24-b.
%
' gaya geser positi( di % dari Gambar 5.24-# Terapkan Teorema %idang Momen !& ke ba$ah ' momen dari luas M/! pada Gambar 5.24-b terhadap %
%
' momen lentur positi( di % pada Gambar 5.24-#
B
A B
B
a. %alok kantilever asli
Kurva M/EI
b. +uas M/! balok asli
Kurva M/EI
#. %alok padanan Gambar 5.24 %alok )adanan dari %alok Kantilever *sli
,
Oleh: Sittati Musalamah
3
*
%
,
1a %alok 0ederhana *sli
%,
1# %alok )adanan
1b +uas M/! %alok *sli
Kemudian tinjaulah kemiringan dan lendutan pada balok sederhana asli dari Gambar 5.25-a" yang kurva M/! nya diperlihatkan pada Gambar 5.25-b. apat dilihat bah$a balok padanannya juga merupakan balok sederhana seperti diperlihatkan pada Gambar 5.25-# engan menggunakan Metode %idang Momen"
Gambar 5.25 %alok )adanan dari %alok 0ederhana *sli
searah putaran jarum jam ' * luas M/! diantara * dan
2
Oleh: Sittati Musalamah
B, B
'
=
L
− luas
M EI
di antara * dan
momen dari luas M/! di antara * dan % terhadap % L
− luas M/! diantara * dan
ke ba$ah ' , ,3
' 1* momen dari luas M/! diantara * dan terhadap
= =
B, B
( AC ) − momen dari luas
M
di antara * dan terhadap ! momen dari luas M/! di antara * dan % terhadap % L
( AC )
L
- momen dari luas
M !
di antara * dan terhadap
Tapi kedua ekspresi terakhir ini merupakan gaya geser positi( dan momen lentur positi( di pada balok padanan. 0ehingga& searah putaran jarum jam pada balok asli = gaya geser positif di C pada balok
C
padanan
dan
ke bawah pada balok asli = momen lentur positif di C pada balok padanan .
C
1a %alok Menggantung *sli
*
%
1b +uas M/! %alok *sli
1# %alok )adanan
*
Gambar 5.26 %alok )adanan dari %agian 0uatu %alok Gantung *sli
%
Oleh: Sittati Musalamah
*khirnya tinjaulah balok menggantung pada Gambar 5.2-a yang kurva M/! nya diperlihatkan pada Gambar 5.2-b. %alok padanannya diperlihatkan pada Gambar 5.2-#" tumpuan sederhana sebelah luar di * pada balok asli tetap merupakan tumpuan sederhana" tumpuan sebelah dalam di % pada balok asli menjadi sendi dalam yang tak ditumpu" dan di ujung bebas asli di diganti dengan tumpuan jepit. apat diperlihatkan bah$a dengan Metode %idang Momen akan diperoleh& searah putaran jarum jam pada balok asli
D
= gaya geser positif di D pada balok padanan ke bawah pada balok asli
D
= momen lentur positif di D pada balok padanan tidak peduli apakah titik terletak di bentang *% atau %. engan demikian dua Teorema 6mum %alok )adanan dapat dinyatakan sebagai berikut& emiringan searah jarum jam dan lendutan ke bawah sembarang titik pada balok asli masing!masing sama dengan gaya geser positif dan momen lentur positif di titik yang bersangkutan pada balok padanan" dengan mengingat bahwa tumpuan sederhana sebelah luar" tumpuan sebelah dalam dan ujung pada balok asli masing!masing harus dijadikan tumpuan sederhana sebelah luar" sendi dalam tak ditumpu dan tumpaun jepit pada balok padanannya" dan sebaliknya Karenanya dapat kita lihat bah$a penggunaan balok padanan hanyalah merupakan upaya meringkas urutan langkah dalam Metode %idang Momen. Metode ini diperkenalkan untuk pertama kalinya oleh )ro(. 7.8.%. Mueller%reslau pada tahun ,995. *pabila disajikan dalam bentuk tabel" ketentuan hubungan antara balok asli dan balok padanan adalah sebagai berikut& :o. %alok *sli 1, 12 , Tumpuan jepit
%alok )adanan Keterangan 1 14 6jung bebas Kemiringan dan de(leksi pada tumpuan jepit balok asli sama dengan nol. Gaya geser dan momen pada ujung bebas balok padanan juga sama dengan nol
1, 12 2 6jung bebas
1 Tumpuan jepit
14 Kemiringan dan de(leksi pada ujung bebas balok asli bisa dihitung dan gaya geser dan momen pada tumpuan jepit balok padanan juga bisa dihitung
4
Oleh: Sittati Musalamah
Tumpuan
Tumpuan
Kemiringan pada ujung bebas balok asli bisa
sederhana
sederhana
dihitung. Tapi de(leksi sama dengan nol" gaya geser pada tumpuan sederhana pada balok padanan bisa dihitung. Tetapi momen sama dengan nol.
b. Penerapan Balok a pada Lendutan dan Kemiringan b
Metode %idang Momen sesungguhnya berkaitan erat dengan Metode %alok )adanan. Teorema %idang Momen benar-benar menga#u pada bentuk geometri kurva elastis" sedangkan konsep balok padanan meman(aatkan analogi antara kemiringan dan gaya geser serta antara lendutan momen lentur. ontoh 0oal 5-9 ,44 k:m Tentukan dengan Metode %alok )adanan besarnya *" % dan de(leksi di titik 1 balok sederhana berikut. 7itung kedudukan dan besar lendutan maksimum pada balok tersebut.
.
,;9 k:m ,2; k:
G
,"9 m
" m !
#
*
D
" ma<
%
2"= m
1# )enentuan +etak Titik %erat
' 2;; < ,; k:/m2 ! ' ,; < ,;- m4 Gambar 5.2 ontoh 0oal 5-9
.G *
%
2"4 m
m
* +
5"4 m
1d Menghitung >eaksi )erletakan %alok )adanan Gambar 1a 1b5.2$ iagram Kurva +angkah M/! Momen %alok )enyelesaian )adananMenentukan * dan %
% 5
B
Oleh: Sittati Musalamah
Oleh: Sittati Musalamah
)enyelesaian ,. Tentukan rekasi perletakan 1> * dan > % akibat beban luar yang bekerja pada balok" kemudian gambarkan diagram momen sesuai kondisi pembebanan 1Gambar 5.29-a. M* ' ;
> % 15"4 1,2;1,"9 ' ;
> % ' 4; k:
M% ' ;
> * 15"4 1,2;1" ' ;
> * ' 9; k:
M ' > * 1,"9 ' 19;1,"9 ' ,44 k:m M ' > % 1" ' 14;12"= ' ,;9 k:m 2. Menghitung * dan % berarti menghitung gaya geser di titik * dan % pada balok padanan. Karena titik * dan % adalah perletakan maka gaya geser di sini adalah besarnya reaksi perletakan balok padanan 1>3 * dan >3%. 7arap diingat" bah$a perletakan sederhana pada balok asli tetap menjadi perletakan sederhana
juga
pada
balok
padanan.
+angkah
penyelesaian
untuk
mendapatkan >3* dan >3 % adalah dengan menganggap diagram momen balok asli adalah beban yang bekerja pada balok padanan. Kemudian dihitung reaksi perletakan
akibat
pembebanan
tersebut
1Gambar
5.29-b.
6ntuk
mempermudah perhitungan" tentukan letak titik berat luasan M/! tersebut 1Gambar 5.29-#. A#
+etak titik berat& #B
= =
L
+a
L
+b
= =
5"4 + ,"9 5"4 + "
= 2"4 =
m
m
engan menga#u pada Gambar 5.29-d" didapatkan& M* ' ;
,44 >3% 15"4 1?15"4 EI 12"4 ' ;
,=2"9 >3% ' EI
M% ' ;
,44 >3*15"4 1?15"4 EI 1 ' ;
2, >3* '
EI
0ehingga
=
Oleh: Sittati Musalamah
2, *
' >3* '
EI
2,
=
12;; × ,; 1,; × ,; −
,=2"9 %
EI
' >3% '
=
= ;";;=5 rad" searah jarum jam
,=2"9 1 2;; × ,; 1,; × ,; −
= ;";;54; rad" berla$anan arah
jarum jam . 6ntuk menghitung besarnya de(leksi di titik 1 " gunakan Gambar 5.2@-a sebagai a#uan. *gar lebih mudah" gunakan benda bebas sebelah kanan 1tinjauan kanan.
' momen lentur di titik ' >3% 12"= * 1;"@
*2
*,
*
1a Menghitung e(leksi di titik
*2 *,
*
*4 ;"@ m
;" m ,"9 m
< ' 2"@4 m 2"= m 1b )osisi e(leksi Maksimum
Gambar 5.2% Menentukan e(leksi %alok
9
Oleh: Sittati Musalamah
=
, ( 2"=)(,;9)( ;"@) = 5"4 = 5"4 − ,=2 " 9 2 " = ( )( ) ( 2;;)(,;) EI EI 2 ,
' ;";,;49 m ke ba$ah. 4. Menentukan posisi terjadinya de(leksi maksimal dan besar de(leksi tersebut. Misalkan de(leksi terjadi di titik 1Gambar 5.2@-b. Maka jumlah gaya geser di titik pada balok padanan sama dengan nol.
− A3 ' maks
,=2"9 EI
, 4; $ + ( $ ) = ; → < = 2"@4 m 2 EI
' M3 1tinjauan kanan , = %B ( 2"@4) − * 4 ( 2"@4) , , = (,=2"9)( 2"@4) − (,,=")( 2"@4)( ;"@9) EI 2 B
=
9"2 EI
=
9"2
( 2;;)(,;)
= ;";,;59 m ke ba$ah.
D. Lati&an
,. engan Metode %eban 0atuan" hitung de(leksi di titik balok sederhana berikut. 7itung juga besarnya kemiringan kurva elastis di * dan % 1 * dan % )
*
%
? + + ! konstan
2. 7itung kemiringan di titik * dan % serta de(leksi di titik balok sederhana berikut yang menopang beban merata setengah bentang. Gunakan Metode Turunan )arsial.
*
C per jarak satuan %
?+ + ! konstan
@
Oleh: Sittati Musalamah
. 0ebuah balok kayu berukuran ,4/24 #m dengan bentang 4 meter merupakan struktur balok sederhana. Tentukan beban terpusat yang dapat diletakkan di tengah bentang yang menyebabkan de(leksi balok sebesar , #m. *mbil ' ,;4 kg/#m2 dan gunakan Metode %idang Momen. 4. iketahui balok dengan tumpuan sendi-rol seperti tampak dalam gambar berikut. 7itung kemiringan kurva di perletakan * dan % 1 * dan % dengan menggunakan Metode %alok )adanan. ,"9 m !
*
,"9 m
,5; k:
5"4 m 2!
,"9 m
! ,"9 m
%
,"9 m
="2 m ' 2;;,;k:/m2 dan ! ' ,;,; - m4
5. 0ebuah balok di atas perletakan sederhana dengan bentang ,; m. %alok menopang beban terpusat sebesar ,;.;;; kg yang terletak m dari perletakan kiri. engan menggunakan Metode %alok )adanan" hitung de(leksi yang terjadi di ba$ah beban jika nilai ' 2 ,; kg/#m2 dan ! ' ,;;.;;; #m 4.
'. (umber Pustaka
7ibbeller." >." #nalisis (truktur disi Ketiga" Dakarta" )renhallindo" 2;;2 Khurmi." >.0." *&eor+ o, (tru-tures " ,;th d." :e$ elhi" 0. hand E ompany" ,@@@ Fang." hu-Kia" #nalisa (truktur Lanutan Dilid ," Dakarta" rlangga" ,@@
,;
