CONTROL OPTIMO CON FACTOR DE DESCUENTO Los problemas de control optimo con factor de descuento presenta la siguiente estructura:
∫ − ( (,,) ,,)
´ (,,) (0)
( )
()
( )
() ∈ Ω
Ω ] ] ∞; +∞[
Con la respectiva función Hamiltoniana: Hamiltoniana:
− ( (,,) ,,) + ( (,, )
(1)
Luego multiplicamos (1) por , del cual obtenemos una nueva función Hamiltoniana: Hamiltoniana:
∗ ( (,,) ,,) + (,, (,, )
(2)
Además, transformamos la variable de coestado:
(3)
∗ ( (,,) ,,) + ( (,, )
(4)
Obtenemos la siguiente función:
Según Bonifaz y Lama (2013): “A la expresión (1) se le denomina Hamiltoniano en valor presente debido a que cuenta con un factor de descuento, mientras que a la expresión (4) se le denomina Hamiltoniano en valor corriente. En el primer caso, la variable de coestado () se interpreta como el precio sombra de la variable de estado expresado en valor presente; y en el segundo, la nueva variable de coestado (m) se interpreta como el precio sombra expresado en valor corriente.”
Acerca de la primera condición del principio máximo Bonifaz y Lama (2013) establece: “en cada instante del horizonte de tiempo, la función Hamiltoniana debe ser maximizada con respecto a la variable de control. Como el factor de descuento no depende de la variable de control, ésta se considera como una constante positiva que no altera el resultado del proceso de maximización. ”
La ecuación de movimiento de la variable de estado es:
´ (,,)
∗
La ecuación de movimiento de la nueva variable de estado
(5)
():
´
(6)
Al derivar (3) con respecto al tiempo obtenemos:
´ ´ − −
(7)
Además, a partir de (2) obtenemos: ∗ −
Reemplazando
(8)
(7) y (8) en (6) obtenemos la ecuación de movimiento: ´
∗
+
La condición de transversalidad se puede obtener directamente a partir de del principio del máximo () 0 .
() [ − ]= () − 0
(9)
(3) y de la condición (10)
