Practica Pra ctica Control Contr ol Optimo Opti mo El control óptimo trata de determinar el “mejor” sistema de control empleando una técnica técnica óptima óptima de diseño diseño.. Esta Esta técnic técnica a asume asume la formul formulac ación ión de una una función matemática denominada la función de costo, también conocida como función de rendimiento, índice de rendimiento o índice de funcionamiento, entre otras otras denom denomina inacio ciones nes.. El proced procedimi imient ento o de diseño diseño del sistem sistema a de contro controll óptimo óptimo trata de encontrar encontrar un extremo (un mínimo o un máximo, dado el caso) caso) de una función de costo con el propósito de determinar los parámetros óptimos de una le de control! de allí el término óptimo. En la maoría de los casos, sin embar"o, la b#s$ueda de la función de costo in%olucra procedimientos de error corrección! esto si"nifica $ue no siempre podemos estar se"uros acerca de la forma exacta $ue debería poseer la función de costo. Procedimiento de Diseño
&. . *. . -. 0. 2.
'orm 'ormul ular ar el prob proble lema ma n"res n"resar ar los pará parámet metros ros del del sistem sistema a +eterminar +eterminar el modelo modelo matemático matemático del sistema sistema +eterminar +eterminar la contro controlabil labilidad idad obser% obser%abilid abilidad ad del sistem sistema a alcul alcular ar la "ananc "anancia ia / de de contr control ol 1imu 1imula laci ción ón del del sis siste tema ma ambiar ambiar datos datos de ponderaci ponderación ón para obtene obtenerr resultados resultados desead deseados os
Problema 4.1
El problema *.& presenta las ecuaciones $ue "obiernan la dinámica del sistema de suspensión de un bus (%er fi"ura *.&). +iseñar un sistema de control optimo cuadrático estacionario para lo"rar el objeti%o de control si"uiente3 la salid salida a del del proc proces eso o y 4 x − x & (referencia nula) no debe presentar sobre impulsos maores $ue el - 5, lue"o de alrededor de 6 se"undos, las oscilac oscilacion iones es ori"in ori"inada adas s por un distur disturbio bio escaló escalón n de &6 cm (pro%o (pro%ocad cada a por por imperfecciones en la pista), prácticamente deben desaparecer. desaparecer. 7a selección del tiempo de muestreo es a con%eniencia del diseño.
%SOLUCION DEL PROBLEMA SUSPENCION DEL BUS clear all % PARAMETROS DEL PROCESO m1 = 2500; k1 = 80000; 1 = !50;
m2 = !20; k2 = 500000; 2 = 15020; a2! = "1#m1$"1#m1&1#m2&2#m2$'k1#m1; a!! = '"1#m1&1#m2&2#m2$; a(! = '"k1#m1&k1#m2&k2#m2$; % MODELO LINEAL) *+#*, = A+ & B- & E*; . = C+ & DA = /0 1 0 0 '12#"m1m2$ 0 a2! '1#m1 2#m2 0 a!! 1 k2#m2 0 a(! 0; B = /0;1#m1;0;"1#m1&1#m2$; E = /0;12#"m1m2$;'2#m2;'k2#m2; C = /0 0 1 0; D = /0; % CONERSION AL ESPACIO DE ESTADO DISCRETO T=08; % TIEMPO DE MUESTREO /344C4D = c2*m"A4B4C4D4T46796$; /34:4C4D = c2*m"A4E4C4D4T46796$; % C,r O<,m *el >>,ema ? = /1 0 0 0;0 1000000000 0 0;0 0 1000000000 0;0 0 0 1; R = /1; % ECUACION DE RICCATI P = *a@"04!$; % MATRI DE CEROS DE ORDEN ( r = 1)(0 P = ? & 36P3 ' 36P"R&6P$6P3; e* % CALCULO DE LA MATRI DE 3ANANCIA = "R&6P$6P3; % SIMULACION DEL SISTEMA CONTROLADO N = 200; +=/0;0;0;0; =001; r k=1)N U='+; + = 3+ & U & :; ."k$=+"!$; -"k$=U; e* % 3RA:ICOS ,=l>
-c . "m$6$ +lael"6Tem< e >e@-*>6 $ >-e@-*>6 $ .lael"6C,rl - "N$6$ '
) m (
0 . 0 2
0 . 0 1 5
y n o i 0 . 0 1 c i s o . 0 0 5 P0
0 0
2 0
4 0
6 0 8 0 1 0 0 T i e mp oe ns e g u n d o s
1 2 0
1 4 0
1 6 0
2 0
4 0
6 0 8 0 1 0 0 T i e mp oe ns e g u n d o s
1 2 0
1 4 0
1 6 0
1 5 0 0 ) N ( 0 0 0 u1 l o r t n o 5 0 0 C
0 0
Ma,r7 *e C>,e> % C,r O<,m *el >>,ema ? = /1 0 0 0;0 1000 0 0;0 0 1000 0;0 0 0 1;
3
x1 0 5 ) m ( y 0 n o i c i s o 5 P
10 0
20
40
60 80 10 0 Ti empoensegundos
12 0
14 0
16 0
20
40
60 80 10 0 Ti empoensegundos
12 0
14 0
16 0
0 . 0 3 ) N ( 0 . 0 2 u l o r t n o 0 . 0 1 C
0 0
Se@-*a ma,r7 *e c>,e> % C,r O<,m *el >>,ema ? = /1 0 0 0;0 100000000000 0 0;0 0 100000000000 0;0 0 0 1;
0 . 0 6 ) m ( 0 . 0 4 y n o i c i s 0 . 0 2 o P
0 0
20
40
60 80 10 0 Ti empoensegundos
12 0
14 0
16 0
20
40
60 80 10 0 Ti empoensegundos
12 0
14 0
16 0
4000 ) 3000 N ( u l o 2000 r t n o C 1000
0 0
Problema 4.2
El problema *. presenta las ecuaciones $ue "obiernan la dinámica lon"itudinal de un a%ión comercial %olando a %elocidad de crucero (altura %elocidad constantes). El control del án"ulo de inclinación θ del a%ión (%er fi"ura *.&) es un problema lon"itudinal a resol%er. El objeti%o de control es diseñar un autopiloto $ue manipulando el án"ulo δe del deflector de ele%ación, controle el án"ulo de inclinación del a%ión. 1e pide diseñar un sistema de control optimo cuadrático estacionario $ue "enere una fuer8a de control, de modo $ue la salida del proceso (el án"ulo de inclinación θ ) presente un sobre impulso menor al &65 un tiempo de estabili8ación menor $ue * s, con error en estado estable nulo. 7a selección del tiempo de muestreo es a con%eniencia del diseño.
% SOLUCION DEL PROBLEMA AION COMERCIAL clear all % ECUACION DE ESTADO DEL PROCESO A=/'0!1! 5FG 0;'001!H '0(2F 0;0 5FG 0; B=/02!2;0020!;0; C=/0 0 1; D=/0; % PROCESO DISCRETO T=01; % TIEMPO DE MUESTREO /-m14 *e1=>>2,"A4B4C4D$; /34=c2*"A4B4T$; /B74A7=>>2,"344C4D$; % CONTROL OPTIMO ESTACIONARIO CON ACCION INTE3RAL 31 = /3 7er>"!41$;'C3 1; 1 = /;'C; % IN3RESO DE PESOS ? = /1 0 0 0;0 100 0 0;0 0 10 0;0 0 0 100; R = /1; % E?UACION DE RICCATI P = *a@"04!$; r = 1)(0 P = ? & 316P31 ' 316P1"R&16P1$16P31; e* % CALCULO DE LA 3ANACIA DEL CONTROLADOR = "R&16P1$16P31; = /"1$ "2$ "!$; I = '"($; % SIMULACION N = 100; +=/0;0;0; =0; =0; r k=1)N r"k$=01; Re=r"k$;
= & Re ' ; U = ' + & I; + = 3+ & U; = C+; ."k$ = ; -"k$ = U; e* % 3RA:ICOS ,=l>-e@-*>6 $ >-e@-*>6 $ .lael"6A@-l *el *elec,r "ra*$6 $ ' <(<,2
) d a r (
0 . 2
0 . 1 5 n o i c . 1 a 0 n i l c 0 . 0 5 n I 0
0 ) d a r ( r 1 o t c e fl e 0 . 5 d l e d o 0 l u g n A 0 . 5
0
1
2
3
4 5 6 T i e mp oe ns e g u n d o s
7
8
9
1 0
1
2
3
4 5 6 T i e mp oe ns e g u n d o s
7
8
9
1 0
Con una matriz de costes diferente: % IN3RESO DE PESOS ? = /1 0 0 0;0 1000 0 0;0 0 1000 0;0 0 0 1000;
0. 2 ) d a 0 . 1 5 r ( n o i 0 1 c . a n i l c 0 . 0 5 n I
0 0 ) d2 a r ( r o t c1 e fl e d l e d0 o l u g n A 1
0
2
4 6 Ti empoensegundos
8
10
2
4 6 Ti empoensegundos
8
10
Problema 4.3
En el problema *.* se describe el proceso de la bola rodando a lo lar"o de una barra, con un "rado de libertad, tal como se muestra en la fi"ura *.&0. 9na le%a conecta la barra con un en"ranaje $ue esta accionado por un ser%omotor. 1e desea diseñar un sistema de control optimo $ue pueda posicionar la bola en menos de - s a 6.- m de un extremo de la barra $ue mide & m de lon"itud. 7as oscilaciones de la bola deben estar restrin"idas sobre la barra el %oltaje de control no debe sobrepasar los ± 6 %olt. 7a selección del tiempo de muestreo es a con%eniencia del diseño.
%SOLUCION DEL PROBLEMA BOLA BARRA cl>e all % DETERMINACION DE LA ECUACION DE ESTADO M=011; R=0015; @=H8; L=1; J=HHH1e'F; *=00!; A=/0 1 0 0 0 0 "M@*$#"L"J#RK2 & M$$ 0
0 0 0 1 0 0 0 0; B=/0;0;0;1; C=/1 0 0 0; D=/0; % PROCESO DISCRETO T=01; % Tem< *e m-e>,re /-m14 *e1=>>2,"A4B4C4D$; /34=c2*"A4B4T$; % DETERMINAR SI EL PROCESO TIENE INTE3RADORES4 % ES DECIR4 SI TIENE EI3ENALORES EN 7=0) % e@3 = e@"3$; % NO TIENE EI3ENALORES EN 7=0; % ADICIONANDO ACCION INTE3RAL 31 = /3 7er>"(41$;'C3 1; 1 = /;'C; % ANALIAMOS SI LA PLANTA ES CONTROLABLE M=/1 311 31K21 31K!1 31K(1; rM=rak"M$; % rM=( SISTEMA ES CONTROLABLE % CALCULO DE LA 3ANANCIA DEL CONTROLADOR ?= /1 0 0 0 0;0 1 0 0 0;0 0 1000 0 0;0 0 0 1 0;0 0 0 0 1e5; R = /10;%100 % OBTENEMOS LA 3ANANCIA DEL CONTROLADOR APLICANDO *lr /4P=*lr"31414?4R$; = /"1$ "2$ "!$ "($; I = '"5$; % SIMULACION N = 100; +=/0;0;0;0; =0; =0; r k=1)N r"k$=05; Re=r"k$; = & Re ' ; U = ' + & I; + = 3+ & U; = C+; ."k$ = ; -"k$ = U; e* % 3RA:ICOS ,=l>-c "m$6$ +lael"6Tem< e >e@-*>6 $ >-e@-*>6 $ .lael"6l,ae *e c,rl6 $ ' <5<,2
0 . 8 ) m . 6 (0 n o i c0 . 4 i s o P0 . 2
0 0
1
2
3
4 5 6 T i e mp oe ns e g u n d o s
7
8
9
1 0
1
2
3
4 5 6 T i e mp oe ns e g u n d o s
7
8
9
1 0
l4 o 0 r t n o2 c 0 e d e 0 j a t l o2 0 V
4 0 0
C *ere,e ma,r7 *e P*erac % CALCULO DE LA 3ANANCIA DEL CONTROLADOR ?= /1 0 0 0 0;0 1 0 0 0;0 0 10 0 0;0 0 0 1 0;0 0 0 0 1e2;
0. 8 ) 0. 6 m ( n o i 0. 4 c i s o P 0. 2
0 0
2
4 6 Ti empoensegundos
8
10
2
4 6 Ti empoensegundos
8
10
4
l o r t n2 o c e d0 e j a t l 2 o V
4 0
Problema 4.4
7a fi"ura *.6 muestra un monorriel de dos carros descrito en el problema *.-. El problema a resol%er es el control de %elocidad del carro de ma$uinas mediante un sistema de control optimo cuadrático. :ara "aranti8ar a los pasajeros un %iaje confortable, los cambios de %elocidad deben reali8arse con un tiempo de estabili8ación menor $ue &6 se"undos con mínimo sobre impulso. El error en estado estable debe ser nulo. 1imule una señal de referencia $ue cambie la %elocidad de *6 a &6 m;s demuestre $ue se cumplen las especificaciones de diseño. 7a selección del tiempo de muestreo es a con%eniencia del diseño.
%SOLUCION DEL PROBLEMA (( cl>e all % PARAMETROS DEL PROCESO) M1=1!00; M2=2F00; M!=2F00; 12=100000; 2!=100000; B12=500; B2!=500; B1=5000; B2=10000; B!=10000; % MODELO DEL PROCESO A=/0 1 0 0 0 0 '12#M1 '"B1&B12$#M1 12#M1 B12#M1 0 0 0 0 0 1 0 0 12#M2 B12#M2 '"12&2!$#M2 '"B2&B2!&B12$#M2 2!#M2 B2!#M2 0 0 0 0 0 1 0 0 2!#M! B2!#M! '2!#M! '"B!&B2!$#M!; B=/0 1 0 0 0 06; ala = 1; % CONSTANTE TACOMETRICA C=/ 0 ala 0 0 0 0;0 0 0 ala 0 0;0 0 0 0 0 ala; D=/0;0;0; /-mc4*ec=>>2,"A4B4C4D$; % MODELO LINEAL DISCRETO T = 02; % ,re /344C4D=c2*m"A4B4C4D4T46796$; % ADICIONANDO ACCION INTE3RAL 31 = /3 7er>"F41$;'C"14)$3 1; 1 = /;'C"14)$; % CALCULO DE LA 3ANANCIA DEL CONTROLADOR ?=/100 0 0 0 0 0 0;0 1 0 0 0 0 0;0 0 1 0 0 0 0;0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 0 0 F00; R = /10; % OBTENEMOS LA 3ANANCIA DEL CONTROLADOR APLICANDO *lr /4P=*lr"31414?4R$; % SEPARAMOS LA ACCION INTE3RAL = /"1$ "2$ "!$ "($ "5$ "F$; I = '"G$;
% SIMULACION N = 500; +=/0;0;0;0;0;0; =0; =0; r k=1)N r"k$=20 & 10>@">"002k$$; Re=r"k$; = & Re ' ; U = ' + & I; + = 3+ & U; = C"14)$+; ."k$ = ; -"k$ = U; e* % 3RA:ICOS ,=l>-$6$ +lael"6Tem< e >e@-*>6 $ >-e@-*>6 $ .lael"6:-er7a *e c,rl "N$6 $ '
3 0 ) s / 0 m (2 d a d i c o 0 l1 e V
0 0
10
20
30
40 5 0 60 Ti empoensegundos
70
8 0
90
1 00
10
20
30
40 5 0 60 Ti empoensegundos
70
8 0
90
1 00
600
) N ( l o r t 400 n o c e d a 200 z r e u F
0 0
Problema 4.5
7a fi"ura *. muestra el proceso ascensor tratado en el problema *.0. El problema a resol%er es posicionar sua%emente el ascensor en un piso determinado, lo $ue si"nifica sobre impulso nulo (para $ue no se pase de piso) tiempo de estabili8ación menor $ue &6 s. :ara no saturar al actuador (el amplificador de potencia), la señal de control debe estar dentro del ran"o de ± 66 %olt. +iseñar un sistema de control
% SOLUCION DEL PROBLEMA (5 clear all % MODELO CONTINUO DE LA PLANTA A=/'02 0 0 0;1 0 0 0;2 0 '2 0;5 0 0 '5; B=/10e'!; 0; 0; 0; C=/0 1 0 0 ; D=/0; % MODELO LINEAL DISCRETO T = 02; % PERIODO DE MUESTREO /344C4D=c2*m"A4B4C4D4T46796$; 31 = /3 7er>"(41$;'C3 1; 1 = /;'C; % IN3RESO DE PESOS ? = /100 0 0 0 0;0 100 0 0 0;0 0 1 0 0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 5; R = /001; % ECUACION DE RICCATI P = *a@"04($; r = 1)(0 P = ? & 316P31 ' 316P1"R&16P1$16P31; e* % CALCULO DE LA MATRI DE 3ANANCIA = "R&16P1$16P31; % SEPARAMOS LA ACCION INTE3RAL = /"1$ "2$ "!$ "($; I = '"5$; % = *lr"31414?4R$; % CALCULO DE LA MATRI DE OBSERABILIDAD N = /C6 36C6 "36$K2C6 "36$K!C6; rakN = rak"N$; % >>,ema e> >erale % SIMULACION N = 200; +=/0;0;0;0; =0; =0; r k=1)N r"k$=!>@">"002k$$; Re=r"k$; = & Re ' ; U = ' + & I; "U 200$ U = 200; el>e"U '200$ U = '200; e* + = 3+ & U; = C+; ."k$ = ; -"k$ = U; e*
% 3RA:ICOS ,=l>-c "m$6$ +lael"6Tem< e >e@-*>6 $ >-e@-*>6 $ .lael"6l,ae *e c,rl6 $ ' <8<,2
4 ) m (
2
n o i c i 0 s o P2
4 0
5
1 0
1 5 2 0 2 5 T i e mp oe ns e g u n d o s
3 0
3 5
4 0
5
1 0
1 5 2 0 2 5 T i e mp oe ns e g u n d o s
3 0
3 5
4 0
l 1 0 0 o r t n o c 0 e d e j a t 1 0 0 l o V
2 0 0 0
Problema 4.6
7a fi"ura . muestra dos tan$ues idénticos colocados en cascada. 7a sección =ori8ontal >4? m de cada tan$ue es constante. El objeti%o de control es controlar la altura H empleando el flujo Qo. 7a deducción del modelo lineali8ado del proceso se deri%o en el ejemplo .&. +iseñar un controlador optimo cuadrático estacionario con las especificaciones si"uientes3 tiempo de estabili8ación menor $ue 6 s, sobreimpulso menor al -5 error nulo en estado estable. El flujo de entrada (la señal de control) no debe sobrepasar los * m*;s. 7a selección del tiempo de muestreo es a con%eniencia del diseño.
%SOLUCION DEL PROBLEMA (F
clear all % DEERMINACION DE LAS MATRICES DE LA ECUACION DE ESTADO @am=0(; r9=12!; @=H81; A=H; ?=!; 1e = ?K2#"@amK2r9@$; a11 = '""@am""r9@$K1#2$$#"2A""1e$K1#2$$$; A=/a11 0 'a11 a11; B=/1; 0; C=/0 1; D=/0; % DISCRETIACION DEL SISTEMA T = 02; /34=c2*"A4B4T$; % ERI:ICANDO SI LA PLANTA TIENE ACCION INTE3RAL % e@3=e@"3$; % NO TIENE POLOS EN 7=0; % ADICIONANDO ACCION INTE3RAL 31 = /3 7er>"241$;'C3 1; 1 = /;'C; % CALCULO DE LA 3ANANCIA DEL CONTROLADOR ? = /15 0 0;0 200 0;0 0 0F; R = /2; % OBTENEMOS LA 3ANANCIA DEL CONTROLADOR APLICANDO *lr /4P=*lr"31414?4R$; % SEPARAMOS LA ACCION INTE3RAL = /"1$ "2$; I = '"!$; % SIMULACION N = 200; +=/0;0; =0; =0; r k=1)N r"k$=!; Re=r"k$; = & Re ' ; U = ' + & I; "U 5$ U = 5; el>e"U 0$ U = 0; e* + = 3+ & U; = C"14)$+; ."k$ = ; -"k$ = U; e* % 3RA:ICOS ,=l>-e@-*>6 $ >-e@-*>6 $ .lael"6:l- *e c,rl "mK!#>$6 $ '
4 ) 3 m ( l e 2 v i N
1 0 0
5
1 0
1 5 2 0 2 5 T i e mp oe ns e g u n d o s
3 0
3 5
4 0
5
1 0
1 5 2 0 2 5 T i e mp oe ns e g u n d o s
3 0
3 5
4 0
. 5 )2 s m / l 2 o r t n1 . 5 o c e 1 d o j0 . 5 u l F
( 3
0 0
Problema 4.7
El proceso electromecánico mostrado en la fi"ura *.0 se describe en el problema *.@. +iseñar un sistema de control óptimo cuadrático estacionario para controlar la %elocidad an"ular del eje del motor mediante el %oltaje de entrada $ue puede %ariar entre ± &66 %olt.
%SOLUCION DEL PROBLEMA (G clear all % PARAMETROS 3ENERALES = !; r=1; % ) ORDEN DEL PROCESO; r) NUMERO DE SALIDAS NN = G; % ORDEN DEL ECTOR ESTIMADO DE PARAMETROS % PARAMETROS DEL SISTEMA) J = 001; % MOMENTO DE INERCIA DEL MOTOR "k@m2#>2$ e =001; , = 001; % CONSTANTE ELECTROMOTRI "Nm#A$ R = 12; % RESISTENCIA "O9m>$ C = 05; % CONDENSADOR "-:$ L = 05; % INDUCTANCIA DE LA ARMADURA "$ = 18; % CONSTANTE TORSIONAL "Nm#ra*$ % MODELO LINEAL DEL PROCESO EN TIEMPO CONTINUO Ac = /'1#"RC$ '1#C 0; #"L & ,e$ 0 'e#"L & ,e$;0 ,#J 0; Bc = /1#"RC$;0;0; Cc = /0 0 1; Dc = /0; T = 005; % PERIODO DE MUESTREO % MODELO LINEAL DISCRETO /344C4D=c2*m"Ac4Bc4Cc4Dc4T46796$; /-m4*e=>>2,"344C4D$; a1 = *e"2$; a2 = *e"!$; a!=*e"($; 1 = -m"2$; 2 = -m"!$; !=-m"($; % ERI:ICANDO SI LA PLANTA TIENE ACCION INTE3RAL % race> = e@"3$; % NO TIENE POLOS 7=0;
% ADICIONANDO ACCION INTE3RAL 31 = /3 7er>"!41$;'C3 1; 1 = /;'C; % CALCULO DE LA 3ANANCIA DEL CONTROLADOR ? = /5 0 0 0;0 1 0 0;0 0 10 0;0 0 0 01; R = /001; % CONTROL OPTIMO DEL SISTEMA % OBTENEMOS LA 3ANANCIA DEL CONTROLADOR APLICANDO *lr /4P=*lr"31414?4R$; % SEPARAMOS LA ACCION INTE3RAL = /"1$ "2$ "!$; I = '"($; % SIMULACION N = F00; +=/0;0;0; =0; =0; r k=1)N r"k$=5>@">"0008k$$; Re=r"k$; = & Re ' ; U = ' + & I; % "U 2($ % U = 2(; % el>e"U '2($ % U = '2(; % e* + = 3+ & U; = C"14)$+; ."k$ = ; -"k$ = U; e* % 3RA:ICOS ,=l>-$6 $ +lael"6Tem< e >e@-*>6 $ >-e@-*>6 $ .lael"6l,ae *e c,rl6 $ ' <11<,2 ) s 1 / 0 d a r ( 5 d a d i c o l e V
0 5
1 0 0 l o r t
5
1 0 1 5 2 0 T i e mp oe ns e g u n d o s
2 5
3 0
5
1 0 1 5 2 0 T i e mp oe ns e g u n d o s
2 5
3 0
5 0
n o c e d e j a t l o V
0
5 0
1 0 0 0
