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en 15614-1
COURS D’HYDRAULIQUE Tl : ECOULEMENTS EN CHARGE
A.L. MAR Avril 2003
AVERTISSEMENT
Ce cours d’hydraulique est destiné aux étudiants de la Formation Initiale d’ingénieurs et des différentes Formations Post-Universitaires (Informatique Appliquée aux Sciences de l’eau, Eau pour Génie Energétique et Froid Industriel, Génie Sanitaire et Environnement. l’Agriculture et les Communautés) de 1’Ecole Inter-Etats d’ingénieurs de 1’Equipement Rural. C’est pourquoi nous avons tenté d’y développer des aspects de l’hydraulique générale et de l’hydraulique appliquée. Le chapitre 1 est constitué de rappels des principaux théorèmes de la mécanique des fluides qui sont appliqués en valeurs moyennes en hydraulique. Il peut être sauté pour les FI déjà initiés à la mécanique des fluides. Le chapitre 2 fait le lien entre la mécanique des fluides et l’hydraulique et il constitue une introduction à cette dernière. Les différents concepts et types d’écoulement en charge y sont définis. Le chapitre 3 qui étudie les pertes de charge est assurément la partie la plus commune aux différentes filières. On y étudie les formules de perte de charge les plus utilisées et ieurs applications. Le chapitre 4 donne des méthodes de calcul et des normes de fonctionnement en hydraulique agricole et urbaine. Nous y avons ajouté une annexe qui peut être utile aux informaticiens intéressés à développer des applications hydrauliques. Le chapitre 5 traite du calcul et de la simulation des réseaux ramifiés et maillés. Les problèmes d’optimisation économique qui ne relèvent pas de l’hydraulique seulement y ont été omis. Enfin des notions sur les écoulements non-permanents sont données au chapitre 6. Les étudiants non intéressés par les développements mathématiques peuvent sauter les paragraphes 2, 3 et 5 qui peuvent cependant inspirer les ISE dans les applications informatiques. En annexe sont donnés des abaques qui synthétisent les principaux résultats utilisables au pré-dimensionnement des ouvrages de protection contre les coups de bélier
A. L. MAR
3
Chapitre 1 Rappels de mécanique des fluides incompressibles
Les fluides incompressibles sont caractérisés par l’équation d’état (1-l) où p désigne la masse volumique. Cependant dans les phénomènes de coup de bélier où les variations de pression mises en jeu sont très élevées, on admet une compressibilité du fluide caractérisée par un coefficient de compressibilité E. Il faut également noter que les gaz aux faibles vitesses (inférieures à 100 mis) peuvent être assimilés à des fluides incompressibles sans commettre beaucoup d’erreurs sur les calculs. Liquides et gaz ne sont que des états de la matière et sont des fluides.
Ipl
U-1)
Sur un élément de surface infinitésimal 6s d’un fluide, il s’exerce une force normale élémentaire définie par l’équation (l-2) où P désigne la pression statique qui est toujours positive, et A le vecteur normal extérieur à 6s.
$F=-PL&
U-2)
La pression relative est égale à la pression absolue moins la pression atmosphérique. Un liquide, même aux basses températures, entre en ébullition si sa pression absolue tombe en- dessous de la valeur de la tension de vapeur. Cette tension de vapeur est fonction de la température et de la nature du liquide (voir tableau 1- 1 pour l’eau pure). La viscosité dynamique u est la constante de proportionnalité entre la contrainte de cisaillement et la vitesse de déformation angulaire pour un fluide newtonien en écoulement laminaire. La viscosité cinématique v est le rapport de la viscosité dynamique p sur la masse volumique p. Les différentes grandeurs les plus utilisées en mécanique des fluides sont données au tableau l-2 avec leurs équations aux dimensions et leurs unités dans les systèmes international et CGS.
2 HYDROSTATIQUE Pour un fluide homogène, incompressible et soumis à la seule action de la gravité, la loi de I’hydrostatique stipule que la pression étoilée ou pression motrice ou pression piézomètrique P* est constante dans tout le fluide :
P* = P+pgz = constante
(l-3) 8
où z est l’abscisse sur un axe vertical orienté vers le haut 2.7 Forces
hydrostatiques
sur une surface
plane S
La force exercée par un liquide au repos sur une surface plane est normale à cette dernière, proportionnelle à son aire S, à la profondeur de son centre d’inertie -z(;et au poids volumique du liquide pg :
U-4) où i est la normale extérieure au liquide et z un axe vertical orienté vers le haut et ayant comme origine la surface libre du liquide. Si l’axe Oy représente l’intersection du plan de la surface avec le plan de la surface libre et l’axe 0x un axe perpendiculaire à Oy dans le premier plan, la détermination du centre de poussée ou point d’application de la force se fait avec les relations suivantes :
IW
YP-YG=A sxG où l’indice G désigne le centoïde de la surface S et l’indice P, le centre de poussée de la force; Ici.v est le moment d’inertie de S par rapport à un axe parallèle à Oy et passant par le centroïde de S ; I
sur une surface
gauche
On calcule respectivement les composantes verticale et horizontale avec les formules (I-5) et (1-6) respectivement.
F,=fmV*
U-5)
9
(l-6)
où y* désigne le volume délimité par la surface S, les lignes de projection verticales de son contour et le plan de la surface libre ; le signe de la composante verticale est positif (dirigé vers le haut) si ce volume est réellement occupé par le liquide et négatif dans le cas contraire ; SH désigne la surface plane définie par la projection des contours de S , la profondeur du centroïde de S,, ( la H composante FH se calcule comme pour une surface plane). suivant l’horizontal
et -zG
La ligne d’action de Fv passe par le centroïde de V* et celle de Fn comme pour une surface plane
Pour une surface fermée ou un corps immergé, on applique le théorème d’Archimède qui dit que Tout corps immergé dans un liquide au repos subit de la part de celui-ci une force verticale, dirigée vers le haut et égale au poids du liquide déplacé.
3 CINEMATIQUE Le débit Q à travers la surface S est le volume qui le traverse par unité de temps et il est donné par l’intégrale suivant :
Q= d;;dS
U-7)
où s est la vitesse au «point 1)qu’entoure dS et i, la normale unitaire à l’élément de surface dS. Le débit entre dans dS si le produit scalaire est négatif et il sort de dS dans le cas contraire. La forme intégrale de l’équation de conservation de la masse ou équation de continui& est donnée par l’équation (l-8) qui traduit le principe selon lequel le taux temporel de la variation de masse à l’intérieur du volume VC est égal à la somme algébrique des débits massiques qui traversent la surface fermée SC qui délimite VC.
10
U-8)
La forme différentielle de l’équation de continuité peut se déduire de l’équation (l-8) en utilisant le théorème de la divergence et s’exprimer par la formule (l-9) ou (1-l 0) si on néglige la compressibilité du liquide.
U-9)
(l-10) Il faut rappeler la règle de la dérivation matérielle ou totale qui est égale à la dérivation locale plus la dérivation convective (équation 1- 11).
(l-l 1)
4 DYNAMIQUE 4.1 Théorème des quantités de mouvement Ce théorème exprime la seconde loi de Newton de la mécanique pour un volume de contrôle (système ouvert) : le taux de variation temporelle de la quantité de mouvement contenue dans VC plus la somme algébrique des débits de quantité de mouvement à travers la surface fermée SC qui délimite VC est égal à la somme de toutes les forces extérieures appliquées au volume de contrôle (équation 1- 12).
2 1 &dV+ a Y,.
Is ,p;(;.;)dS=~$ c
q7(,
(1-12)
Pour un tube de courant indéformable avec un écoulement permanent et des vitesses uniformes à l’entrée 1 et à la sortie 2, l’équation (l- 12) se réduit à :
La forme différentielle du théorème pour un fluide incompressible équation de Navier-Stokes (équation l- 13).
newtonien
s’appelle
11
Le dernier terme de cette équation représente les contraintes visqueuses qui disparaissent pour un fluide parfait pour donner les équations d’Euler. Toutes les équations du paragraphe sont données sous forme vectorielle. On peut les projeter sur 3 axes indépendants pour avoir 3 équations scalaires indépendantes qui complètent l’équation de continuité. L’écoulement d’un fluide réel exerce donc une force sur un corps immergé dans le courant. La composante de cette force dans la direction du courant est la traînée. La force élémentaire de la traînée en un point est déterminée par la somme des composantes de pression et de cisaillement en ce point et l’intégration donne la traînée définie par l’équation suivante :
où 8 est l’angle entre la direction de l’écoulement et la normale à dS. On définit le coefficient de traînée ou coefficient de résistance, qui dépend surtout de la forme du corps immergé et du nombre de Reynolds qu’on verra au chapitre 2, par le rapport suivant :
La valeur du coefficient de traînée est déterminée expérimentalement
4.2 Théorème
(tableau l-3).
de Bernoulli
Il exprime le principe de la conservation de l’énergie mécanique ou théorème de l’énergie cinétique en hydraulique où les variations de température et l’échange de chaleur avec l’extérieur sont négligeables. Ce théorème dit que la dérivée totale par rapport au temps de l’énergie cinétique d’un système est égale au travail de toutes les forces (intérieures et extérieures) appliquées au système. Pour un volume de contrôle VC délimité par la surface SC, il est traduit par l’équation suivante appelée aussi formule de Cotton-Fortier :
12
où le premier terme du deuxième membre représente la puissance des forces de compression ; l le deuxième terme, la puissance mécanique (positive si elle est fournie) transmise à Vc par les parois mobiles de SC : l le troisième terme, la puissance dissipée par le frottement visqueux sur la partie de SC en contact avec du fluide libre ; 0 et le dernier terme la puissance dissipée par le frottement visqueux à l’intérieur de Vc l
La charge hydraulique l’équation (I-14) : l L’énergie l L’énergie l L’énergie
en un point du fluide incompressible
comporte les trois termes de
des forces de pression par unité de poids potentielle de position par unité de poids cinétique par unité de poids
2
- P H --+z+Pg
V 2g
(1-14)
Elle est définie à une constante additive près dans la mesure où la référence des z est arbitraire. Sa dimension est une longueur. Le théorème de Bernoulli généralisé pour un filet de courant indéformable (équation l-1 5) dit que la charge hydraulique en un point amont 1 plus l’énergie (par unité de poids) apportée de l’extérieur au fluide (hauteur manométrique totale Hp d’une pompe) est égale à la charge hydraulique au point aval 2 plus l’énergie (par unité de poids) soustraite du fluide par l’extérieur (chute HT d’une turbine) plus les pertes de charge entre 1 et 2 (AH,-2) et enfin plus le travail des forces d’inertie par unité de poids erire 1 et 2 (terme intégrale).
(I-15) Pour faire le rapprochement avec le théorème de l’énergie (premier principe de la thermodynamique) appliqué au volume de contrôle Vc délimité par la surface fermée SC (équation suivante), il faut se rappeler qu’en hydraulique, l’énergie interne et la masse volumique sont constantes dans tout le fluide et que l’échange de chaleur avec l’extérieur est négligeable. Dans ces conditions, l’énergie mécanique dissipée par frottement visqueux est transmise à l’extérieur sous forme de chaleur.
13
où e est l’énergie interne par unité de masse ; h=e+P/p, l’enthalpie par unité de masse ; . est la puissance calorifique (taux d’échange de chaleur) fournie
Q
à Vc par
VC
l’extérieur (positive si elle est fournie et négative si elle est cédée) ; et les autres termes déjà définis dans le théorème de Bernoulli généralisé. A propos de la puissance mécanique échangée par les surfaces mobiles avec le fluide, on distingue deux cas selon que qu’elle est reçue (pompe ou générateur) ou cédée (turbine ou récepteur) par le fluide. 1) Cas d’une pompe ou d’un générateur Le schéma de puissance illustré à la figure l-l indique qu’une source (électrique dans le cas d’une électropompe) alimente un mécanisme (moteur en l’occurrence) et lui fournit une puissance d’entrée Ps. Le mécanisme ayant un rendement Q, ne va restituer à l’arbre du générateur (pompe) qu’une puissance plus faible qui est la puissance absorbée ?A et qui est donnée par l’expression suivante :
Cette puissance PA absorbée par le générateur (la pompe), compte tenu de son rendement Q, est restitué au fluide sous forme de puissance utile PU ou puissance hydraulique Pu en faisant passer son niveau d’énergie de PI à l’entrée à Pz plus élevée à la sortie :
2) Cas d’une turbine ou d’un récepteur Pour un récepteur (turbine), c’est l’inverse de ce qui se passe pour un générateur. La puissance du fluide entrant Pr est plus élevée que celle du fluide sortant P2. Le schéma de puissance est également inversé : la puissance hydraulique Pu (qui est égal à Pr-P2) est transmise à l’arbre avec un rendement qt, Ensuite cette puissance absorbée par une machine (alternateur ou autre) est restituée en partie par suite de son rendement n,r, à la sortie Ps (sous forme électrique dans le cas de l’alternateur) et on aura :
nn4canieme (moteur,
scurce
(electrique
S=
engrenage.
. ..)
ou autres]
m* PA
m&an$me b ,
(aItamateur
ou autm@ arbre de bmwniwion
tubine
ou mceqteu
+L@
Figure l-l
Schéma de puissance d’une pompe et d’une turbine
La puissance Hydraulique est donnée par mQff où H est la hauteur manométrique totale de la pompe ou la chute nette de la turbine et Q, le débit qui les traverse.
Tableau l-2 : Grandeurs dérivées du Système d’unités Internationales(mkgs).
16
de l’obstacle
Définition
immergé
Schéma
dans
0
courant
Nombre de REYNOLOS
C~H~IC!
5%
c
Proportions ---
Description
Surface v
Le
plane,
circulaire
mince,
-
>
(disque)
normale
plane,
mince,
rectangulaire,
1.000
$12
V”o ( -7 >
d I’écoulement
-III3
ptaque
de traînée
7
4
= 5
>l.OOO
1,2
normaie
9 l’écoulement
planes
parallèles
Cylindre
droit
circulaire est
fi
dont normal
base I-axe
à
I’ Pcoulement
les deux boses par des parois planes paralléles 0’ L*écoulcment
Coefficients
de trainée de solides entièrement
Remarques ; l- En première approximation, l’effet est le même c’està-dire la force de résistance F est identique si le corps est immobile dans un liquide en mouvement ou si le corps se
immergés, de forme symétrique,
à parois lisses
déplace avec la mëme vitesse et la même orientation relative dans le mème liquide au repos. En fait, nous avons montré précédemment qu’en raison de l’existence de la turbulence les deux phénomènes n’étaient pas absolument symétriques Paradoxe de Du Buat). (
Tableau l-3 : Valeurs du coefficient de traînée de quelques formes courantes
Chapitre 2 Généralités sur les écoulements en charge
GENERALITES
CHAPITRE 2 SUR LES ECOULEMENTS
EN CHARGE
1 DEFINITIONS
2 CLASSIFICATION
DES ECOULEMENTS
2.1 ECOULEMENTS
PERMANENTS
2.2 ECOULEMENTS
NON PERMANENTS
3 REGIMES
EN CHARGE
D’ECOULEMENT
3.1 EXPERIENCE 3.2 NOMBRE
DE REYNOLDS
DE REYNOLDS
3.3 VITESSES
DANS UNE SECTION
3.4 RUGOSITE
DES PAROIS
4 CHARGE MOYENNE DANS UNE SECTION
6 MISE EN EQUATION
DU MOUVEMENT
PERMANENT
UNIFORME
21
GENERALITES
CHAPITRE 2 SUR LES ECOULEMENTS
EN CHARGE
1 DEFINITIONS
D’un point de vue théorique, on peut dire qu’un écoulement se fait en charge lorsque les seules frontières où les conditions aux limites portent sur la pression sont des surfaces pkles. En pratique, une canalisation est en charge lorsque l’écoulement est en contact avec une paroi sur tout le pourtour de chaque section droite. L’écoulement est donc entièrement déterminé dans sa forme par les parois (figure 2-l). La vitesse moyenne U dans la section est le rapport du débit Q sur la surface S de la section.
Paroi
Ecoulement
Figure 2-l : Section droite d’une canalisation
2 CLASSIFICATION
DES ECOULEMENTS
EN CHARGE
Le débit Q et la vitesse moyenne U d’un écoulement varient généralement avec le temps (t) et l’abscisse x le long du parcours : Q=Q(x,t) et U=U(x,t) 2.1 Ecoulements
permanents
Quand on se fixe à une section droite, le débit et la vitesse moyenne ne varient pas dans le temps : Q=Q(x) et U=U(x). Lorsque Q ne dépend pas de x, on dit que l’écoulement est conservatif. On dimensionne souvent les ouvrages hydrauliques avec un régime permanent mais il est important également de savoir quel serait son comportement en régime non permanent.
22
2.1.1 Ecoulement
permanent
uniforme
Il a lieu dans un cylindre ou prisme, loin des extrémités. D’une section à l’autre, rien ne varie (la vitesse moyenne U et le débit Q entre autres). C’est le cas de l’écoulement dans les tuyaux rectilignes, loin des singularités. 2.1.2 Ecoulements
permanents
variés
On les rencontre dans les cas où la vitesse moyenne change avec le changement de section, le débit restant le même ou bien quand le débit varie d’une section à l’autre. On peut distinguer : Les écoulements graduellement variés où la vitesse moyenne change graduellement le long du tronçon considéré (par exemple, un élargissement ou un rétrécissement graduel de la section transversale). Les écoulements brusquement variés où la vitesse moyenne change brusquement à l’endroit d’une singularité de la section transversale (par exemple, un élargissement ou un rétrécissement brusque) Les écoulements à débit variant dans l’espace où comme son nom l’indique, le débit change le long du système considéré. Par conséquent, les vitesses moyennes changent aussi (par exemple, conduite non étanche ou avec dei prélèvements ou des injections).
l
l
l
2.2 Ecoulement
non permanent
Le débit et la vitesse moyenne changent en fonction du temps, dans une section donné?. Les changements s’effectuent aussi le long d’un tronçon considéré. 2.2.1 Ecoulement
non permanent
uniforme
Le débit et la vitesse moyenne varient avec le temps mais pas d’une section à l’autre. Ce cas est rare mais le pendule hydraulique ou les oscillations de masse dans les tuyaux cylindriques en sont des exemples. Typiques. 2.2.2 Ecoulements
non permanents
variés
C’est le cas le plus fréquent pour les écoulements non permanents et on peut distinguer 3 sous cas selon la nature du changement des variables : l
l
l
Ecoulement non permanent graduellement varié où les variations du débit et de la vitesse sont lentes et progressives (par exemple, hypothèses de l’établissemept des équations du coup de bélier). Ecoulement brusquement varié où ces variations sont brusques (par exemple, certaines autres hypothèses du coups de bélier) Ecoulement non permanent à débit variant dans l’espace où si un écoulement non permanent se manifeste dans un branchement d’un système, ce type d’écoulement s’étend dans le système entier.
23
C’est donc à l’aide de ces différentes classes et des équations qui les gouvernent qu’on peut caractériser les conditions de chaque mouvement et calculer les facteurs hydrauliques. Cette classification ne prend pas en compte les écoulements polyphasiques (présence de l’air dans les conduites d’eau par exemple) qui sortent du cadre de ce cours. Il faut également noter que l’écoulement non permanent est souvent un état transitoire pour passer d’un écoulement permanent à un autre.
3 REGIMES
D’ECOULEMENT
3.1 Expérience
de Reynolds
Soit, pour fixer les idées, un tube de verre (B), d’un mètre de long, de 20 mm de diamètre. et alimenté par un réservoir à niveau constant (A) de la figure 2-2. Une vanne (V) permet de faire varier le débit; et le bac de jauge (D) sert à mesurer ce débit. L’orifice d’entrée de (B) comporte un convergent et on fait arriver, au voisinage de l’axe de (B) et au moyen d’un tube effilé (C), un filet de liquide coloré tel que le permanganate de potassium. Lorsque le débit (ou vitesse) est très faible, un filet coloré nettement individualisé s’observe à l’axe du tube transparent et il ne se mélange pas avec les filets d’eau voisins (figure 2-3a). C’est le régime laminaire déjà mis en évidence par Poiseuille pour la première fois. Le champs de vitesse est donné par la solution des équations de Navier-Stokes. Si la vitesse augmente, le filet de colorant devient sinueux ; il oscille et s’élargit (figure 2-3b). C’est le régime de transition. Quand la vitesse devient élevée, le filet ne reste net que sur une petite longueur ; le volume de liquide coloré est de plus en plus grand en même temps que la couleur s’atténue. Un mélange intégral s’observe plus loin où l’on a une coloration uniforme (figure 2-3~). C’est le régime turbulent où le mouvement des particules est désordonné.
3.2 Nombre
de Reynolds
A travers l’expérience mentionnée ci-dessus, Reynolds a donné des critères de passage d’un régime à un autre basé sur un nombre adimensionnel appelé nombre de Reynolds qui caractérise les écoulements en charge (formule 2-l).
(2-1)
où U est la vitesse moyenne ; v, la viscosité cinématique du liquide ; et DH, le diamètre hydraulique qui est défini par le rapport surface sur périmètre mouillé et qui est égal au diamètre géométrique pour les conduites circulaires.
24
Figure 2-2 : Expérience de Reynolds
a) régime laminaire
-
laminaire
b) régime de transition
c) régime turbulent
turbulent
Figure 2-3 : mise en évidence des régimes d’écoulement
25
En effet, dans un écoulement en charge, les forces de viscosité et les forces d’inertie sont les seules à intervenir dans la chute de pression piézomètrique. Le nombre de Reynolds donne un ordre de grandeur du rapport des forces d’inertie sur les forces de viscosité. L’écoulement dans un tuyau cylindrique circulaire est laminaire lorsque le nombre de Reynolds est inférieur à une valeur critique qui est de l’ordre de 2000 à 2500 dans les conditions usuelles. Il devient turbulent à coup sûr pour un nombre de Reynolds supérieur à environ 50000. Entre ces deux limites on a une zone de transition souvent instable. Le nombre de Reynolds peut également se calculer pour les conduites circulaires par la formule suivante :
- 4Q Re-rDv L’écoulement de l’eau est rarement laminaire. En effet, à 15°C la viscosité cinématique est de 1,15 1Oe6m* /s ; dans ces conditions pour une vitesse de l’ordre du m/s et un diamètre de 10 mm, le nombre de Reynolds est de l’ordre de 10000 qui est nettement supérieur à 2500. 3.3 Vitesses
dans la section
d’un écoulement
La vitesse n’est pas uniforme dans la section d’une d’écoulement quelconque. Il en est de même pour mécanique des fluides qui sont décrites dans le chapitre moyennes de ces grandeurs (aussi bien moyenne section) et fait intervenir des termes supplémentaires 1 dus à la non-linéarité de ces dernières.
canalisation et ceci pour un régime beaucoup d’autres grandeurs de la 1. L’hydraulique traite des valeurs temporelle que moyenne dans la aux équations décrites au chapitre
Dans un écoulement turbulent, la vitesse en un point est une fonction du temps caractérisée par des pulsations de périodes plus ou moins longues et des fluctuations aléatoires à hautes fréquences, disons de l’ordre de 300 Hz pour fixer les idées (figure 2-4). La vitesse moyenne temporelle v en un point de l’écoulement est définie par l’équation 2-2 où T est une durée très grande par rapport à la période de ces fluctuations aléatoires. Si cette vitesseF est indépendante de l’origine t en tout point, on dit que l’écoulement est stationnaire.
Y -- 1 +k( z)dz -- T i
(2-2)
Les fluctuations de vitesses ci-dessus mentionnées induisent des échanges de quantité de mouvement et des contraintes (frottement turbulent) qui viennent s’ajouter au frottement z dû , à la viscosité. Ces contraintes dites contraintes de Reynolds sont de la forme r”m’v .
26
Elles sont beaucoup plus élevées que les contraintes visqueuses z (~‘-2002) et nécessitent une approche expérimentale pour les appréhender.
Vitesse
,,1‘
temps Figure 2-4 : vitesses en un point et turbulence.
La vitesse moyenne v n’est pas uniforme dans la section de la canalisation. En régime laminaire, on observe un profil de vitesse parabolique (équation 2-3 et figure 2-5a)et ceci peut également se démontrer avec les équations de Navier Stokes. f
F(r)=2
2\
1-q UI
R
(2-3)
J
où U est la vitesse moyenne ; R, le rayon de la conduite ; et r la distance par rapport à l’axe. En régime turbulent, le profil est très aplati au centre et le gradient de vitesse est très élevé sur une très faible distance de la paroi appelée couche limite. Des expériences ont donné des expressions de l’épaisseur de cette couche limite et du profil de vitesse. La figure 2-5b montre que le profil de vitesse peut être subdivisé en 3 zones caractéristiques : Zone 1 qui est la sous couche limite laminaire ou sous couche linéaire d%paisseur 61, avec 61qui prend des valeurs au plus de l’ordre de 32,8*D/ R,h” pour des valeurs de RJ” égal à 10” et plus. h est le coefficient de Darcy-Weisbach que nous verrons dans le chapitre prochain. La variation de vitesse y est quasi-linéaire et est déterminée par la viscosité (le cisaillement visqueux est plus important que les tensions de Reynolds). 0 Zone 2 qui est la zone tampon (transition entre le régime laminaire et le régime turbulent). Elle s’arrête à une distance 6 de la paroi qui est de l’ordre de 10 61dans les conditions hydrauliques décrites ci-dessus. Dans cette zone, les tensions de Reynolds et les tensions visqueuses sont du même ordre de grandeur. l
27
3.4 Rugosité,
conduites
lisses, conduites
rugueuses
Dans la pratique, on définissait souvent la rugosité d’une manière purement descriptive en se référant à la nature du matériau constituant la paroi. Des définitions plus rationnelles ont été faites par la suite par Von Mises et plus tard Nikuradse. La rugosité absolue à l’état naturel est définie par la hauteur des aspérités ou protubérances de la paroi qui sont inégales et irrégulièrement distribuées, qu’elles proviennent du rivetage, des recouvrements, des joints, des défauts de la paroi, d’incrustations ou de corrosion. Les célèbres expériences de Nikuradse se rapportent à une rugosité artificielle réalisée en collant sur une paroi lisse une couche de grains de sable ou de gravier soigneusement calibrés et caractérisée par un seul paramètre noté k ou k, ou E. Cette rugosité artificielle et homogène constitue un élément de comparaison particulièrement commode auquel on rapportera la rugosité naturelle et hétérogène des conduites usuelles. On définit ainsi une rugosité équivalente à la rugosité du type « grain de sable » de Nikuradse avec une valeur de k ou E c’est à dire qui donnera la même perte de charge. La rugosité relative est le rapport de cette rugosité équivalente sur le diamètre de la canalisation. Le concept de sous couche laminaire (zone 1) étant déjà défini au paragraphe précédent, lorsque les hauteurs des aspérités sont inférieures à l’épaisseur de cette sous couche, on dit que l’écoulement se fait en tuyau lisse. La rugosité n’intervient pas sur la turbulence et sur l’expression des pertes de charge. Lorsque au contraire les irrégularités de la paroi pénètrent dans la zone turbulente(zone 3), elles accentuent cette turbulence dont elles constituent la cause majeure et augmentent la perte de charge qui ne dépend plus du nombre de Reynolds mais de la rugosité relative seulement. On dit alors que l’écoulement se fait en tuyaux rugueux. Lorsque les aspérités « crèvent » la sous couche laminaire mais se limitent à la zone de transition seulement, elles commencent à agir sur le niveau de turbulence et la perte de charge dépendra et de la rugosité relative et du nombre de Reynolds. C’est la transition entre ces 2 écoulements ci-dessus. 4 CHARGE MOYENNE DANS UNE SECTION La charge hydraulique en un point M a déjà été définie précédemment et comporte les trois termes suivants : -2
p+vH ,=z+-Pg 2g des 2 premiers termes est souvent
La somme appelée charge statique ou charge piézométrique et le dernier terme charge dynamique ou charge cinétique. Si la courbure de la conduite est faible, la charge statique est constante dans toute sa section droite (répartition de pression hydrostatique) et sa valeur moyenne dans la section est égale à cette constante qui peut être évaluée en tout point. Par contre la vitesse varie dans la section droite; et la moyenne
29
de la charge cinématique est définie par le quotient du flux d’énergie cinétique qui traverse rapportée au débit en poids à travers cette section. Si on fait intervenir la vitesse moyenne U, au lieu des vitesses ponctuelles v, on introduit un facteur correctif de l’énergie cinétique appelé coefficient de Coriolis et qui est le rapport du flux d’énergie de l’écoulement réel
Pv2_ +‘dS 6
sur le flux d’énergie
d’un écoulement fictif
où toutes les particuls
se
déplacent avec cette vitesse moyenne. La charge moyenne est alors donnée par l’équation (2-6) où la charge statique peut être évaluée en n’importe quel point. On démontre que le coefficient a est toujours supérieur à 1 et qu’il est égal à 2 pour les écoulements laminaires en conduite circulaire. Pour les écoulements turbulents, le coefficient de Coriolis est proche de 1 (de l’ordre de 1,05 à 1,20). On n’en tiendra donc pas compte dans tout le reste du cours d’autant plus que le terme énergie cinétique est souvent négligeable en hydraulique urbaine et en hydraulique agricole.
G-6)
avec
a=
13
us
-3
LV
dS
La charge est définie par rapport à une référence fixe en considérant soit la pression absolue soit la pression relative. La ligne de charge (figure 2-6) est la courbe décrite par la hauteur de la charge H quand la section considérée décrit le profil longitudinal de la conduite. Il en est de même pour la ligne piézométrique qui est la courbe décrite par la hauteur de charge piézométrique. Elle est en dessous de la ligne de charge et leur distance verticale est égale au
uL terme a2g. -
La pression représentée par p est généralement la pression relative ; dans ces
conditions, la ligne piézométrique correspond au niveau qu’atteindrait le liquide dans un tube branché à la section et ouvert à l’atmosphère à son extrémité supérieure La ligne de charge ou ligne d’énergie diminue toujours dans le sens de l’écoulement à cause des pertes de charge sauf aux sections où une pompe peut par exemple ajouter de l’énergie au fluide. Dans la pratique (hydraulique industrielle), ces deux lignes sont souvent confondues car le terme de l’énergie cinétique (U-l m/s) est négligeable devant la charge piézométrique qui de l’ordre de 30 à 100 m. La ligne piézométrique doit toujours passer au-dessus de la génératrice supérieure de la conduite pour éviter les pressions négatives.
30
Dans le même ordre d’idée, on introduit un coefficient p appelé coefficient de Boussinesq dans le débit de quantité de mouvement fictif pU2S qui traverse une section droite d’un écoulement quasi-parallèle pour tenir compte de la variation de la vitesse v dans la section. Ce coefficient p est donné par l’équation suivante qui exprime le rapport du débit de quantité de mouvement réelle sur le débit de quantité de mouvement fictif. 11est toujours supérieur àl et inférieur à a. Pour les écoulements turbulents, il est de l’ordre de 1,05 et nous l’assimilerons à 1 pour la suite du cours.
P=
1 2
us
-2dS dV
En conduite circulaire, on peut habituellement exprimer la relation suivante entre a et p :
FiPure 2-6 : définition de la ligne de charge et de la ligne piézométrique.
31
5 MISE EN EQUATION
DU MOUVEMENT
PERMANENT
UNIFORME
Considérons une canalisation cylindrique où la vitesse moyenne ne varie pas d’une section à l’autre (figure 2-7). En mouvement uniforme, la somme des forces appliquées au volume V (élément dx de fluide compris entre les sections 1 et 2) est nulle car il n’y a pas d’accélération. La répartition des pressions est aussi hydrostatique dans ces 2 sections (les lignes de courant sont quasi-rectilignes). En projetant les forces appliquées sur l’axe de la canalisation mouvement, on obtient :
et dans la direction
0
Forces de pression :
m-p2)*s
l
Forces de gravité :
pg*S*sin(i)*dx
0
Forces de frottement à la paroi :
- To*P*dx
du
Où P désigne la pression à l’axe ; S, la section mouillée ; P, le périmètre mouillé et 20, la contrainte de frottement à la paroi. et la somme divisée par pgS, en tenant en compte de la relation zt-zz=dx*sin(i), l’expression suivante :
donne
qui est équivalente à :
J,-dH-P TO --d% sk%T Où J est la perte de charge par unité de longueur. Le rapport du périmètre sur la section est l’inverse du rayon hydraulique par définition à 4 fois le diamètre hydraulique DH.
RH qui est bgal
La contrainte à la paroi est donc donnée d’une part par la relation théorique (2-7) et d’autre part par une relation expérimentale qui la lie à la vitesse moyenne U dans la section et qui est du type pg*cp(U). La vitesse moyenne U est à distinguer d’une autre vitesse théorique appelée vitesse de frottement et notée u* ou uf et qui est définie par l’expression
32
.
(2-7) La fonction expérimentale C~(U) a été étudiée pour la première fois par CHEZY qui avait proposé qu’elle soit proportionnelle au carré de la vitesse U. C’est ce qui sera vu au prochain chapitre sur l’étude des pertes de charge.
Figure 2-7 : mise en équation du mouvement uniforme
33
Chapitre 3 Etude des pertes de charge
CHAPITRE 3 ETUDE DES PERTES DE CHARGE 1 GENERALITES 2 PERTES DE CHARGE LINEAIRES 2.1 FORMULE DE DARCY-WEISBACH (POISEUILLE ET COLEBROOK) 2.2 FORMULE DE MANNING-STRICKLER 2.3 FORMULE DE HAZEN WILLIAMS 2.4 FORMULE DE CALMON LECHA~T
3 ETUDE DE LA RUGOSITE 3.1 VIEILLISSEMENT DES CONDUITES 3.2 RELATION ENTRE LES DIVERSES EXPRESSIONS DE LA RUGOSITE
4 PERTES DE CHARGE SINGULIERES 4.1 COEFFICIENTS DE PERTES DE CHARGE SINGULIERE 4.2 LONGUEUR EQUIVALENTE
5 COURBE CARACTERISTIQUE D’UNE CONDUITE
6 APPLICATIONS DES FORMULES DE PERTE DE CHARGE 6.1 EXEMPLE DE CALCUL AVEC EXCEL
DE MICROSOFT
6.2 EXEMPLE DE CALCUL AVEC LA Tl92 DE TEXAS INSTRUMENTS
CHAPITRE 3 ETUDE DES PERTES DE CHARGE 1 GENERALITES
A l’origine des pertes de charge lors du mouvement d’un fluide réel se trouve le processus de transformation irréversible de l’énergie mécanique du courant en chaleur. Cette transformation d’énergie est due à la viscosité moléculaire et turbulente du fluide en mouvement. On distingue deux aspects des pertes de charge : l
l
Les pertes par frottement ou pertes linéaires qui résultent d’un échange de quantité de mouvement entre les molécules (écoulement laminaire) ou entre les diverses particules (écoulement turbulent) des couches voisines du fluide qui se déplacent avec des vitesses différentes. Ces pertes ont lieu sur tofle la longueur de la conduite. Les pertes singulières se produisent quand il y a perturbation de l’écoulement normal, décollement des parois et formation de tourbillons aux endroits où il y a changement de section ou de direction de la conduite ou présence d’obstacles (entrée dans la conduite, élargissement, rétrécissement, courbure et branchement, écoulement à travers les ouvertures, les grilles, les dispositifs d’obturation ou d’étranglement, filtration à travers un milieu poreux, écoulement autour de divers obstacles, etc.) Dans les pertes de charge singulières, figurent aussi les pertes de pression dues à la vitesse (charge dynamique) à la sortie de l’écoulement du réseau dans un grand espace (atmosphère) ; la charge dynamique ne sera pas dans ce cas incluse dans la charge totale à la sortie.
Le phénomène de décollement et de formation de tourbillons est lié à la présence d’une différence de vitesse à travers la section du courant et à un gradient positif de la pression le long de l’écoulement. Ce dernier se produit lors du ralentissement du mouvement (divergent par exemple) conformément au théorème de Bernoulli. Ce qui n’est pas le cas dans un écoulement convergent qui est même plus stable que l’écoulement dans un tronçon à section constante. Toutes les formes de pertes de charge singulières, à l’exception des chutes de pression dynamique à la sortie d’un réseau dans un grand espace, se produisent sur une longueur plus ou moins grande de la conduite et ne sont pas séparables des pertes par frottement. Cependant, pour la commodité du calcul, il est convenu de les considérer concentrées dans une section et ne comprenant pas les pertes par frottement. On adopte alors le principe d’additivité de ces deux types de pertes. Lorsque dans la section d’un écoulement la pression tombe localement en dessous de la tension de vapeur du liquide, il y’a ébullition du liquide et soit formation de bulles de vapeur isolées, soit une poche de vapeur d’où se détachent des bulles. Entraînée; pal l’écoulement, les bulles sortent de la zone déprimée et implosent brutalement. Ces implosions, loin des parois, peuvent induire des pulsations de pression et des crépitements. Les implosions au voisinage des parois peuvent les fragiliser puis les endommager. Enfin si la poche de vapeur se généralise et intéresse une grande partie de l’écoulement à la sortie de
38
l’organe de perte de charge, un effet de limitation du débit apparaît (la pression à l’aval de l’organe de perte de charge ne pouvant baisser à la tension de vapeur, on peut réduire la pression loin à i’aval sans obtenir d’augmentation de débit). Ce phénomène est appelé cavitation et doit être soigneusement évité avec les organes de pertes de charge. 2 PERTES DE CHARGE LINEAIRES L’équation générale du mouvement uniforme (équation 2-7), donnant 1: perte de charge par unité de longueur J, a été établie au chapitre 2 :
La fonction C~(U) a été étudiée expérimentalement et la première formulation par Chézy qui a trouvé qu’elle était proportionnelle à U2 :
a été proposée
La substitution dans l’expression de J donne la formule de Chézy (équation 3-l) ou C est le coefficient de Chézy qui dépend de la rugosité du tu au, de sa forme et des conditions 4 d’écoulement. C’est un coefficient qui a la dimension [L 72T-*].
Pendant très longtemps, cette formulation a été utilisée en reliant directement le coefficient C à la nature de la paroi et à la forme géométrique de la canalisation. 2.1 Formule
de Darcy-Weisbach
(Poiseuille
et Colebrook)
L’analyse dimensionnelle et les résultats expérimentaux d’écoulement et divers fluides ont permis une formulation Darcy et Weisbach.
a u” J=DH 2g
obtenus pour divers régimes moderne (équation 3-2) due à
(3-2)
où h est un coefficient de résistance, fonction de la rugosité relative et du nombre de Reynolds
39
Cette formule de h est valable pour les conduites rectilignes. Chaque fois qu’une autre grandeur interviendra dans le phénomène de chute pression,, le nombre des produits sans dimension sera augmenté d’une unité. Si, par exemple, la conduite n’est plus rectiligne mais enroulée en un serpentin de diamètre d et de pas m, la loi donnant h sera par exemple de la forme
Par la suite, nous ne parlerons que des conduites rectilignes. La relation entre la formulation de Chézy et celle de Darcy est donnée par l’expression suivante du coefficient de Chézy qui devient un coefficient de résistance :
Pour les conduites circulaires en écoulement en charge, le diamètre hydraulique Du est égal au diamètre géométrique D et le débit Q est lié à la vitesse moyenne par U=4QI?cD2; d’où l’équation (3-2) peut également s’écrire avec le débit (équation 3-3). 2
J= a
Q
-
r2g D’
(3-3)
Plusieurs auteurs ont étudié le facteur de résistance h mais nous nous limiterons aux deux formules de Poiseuille et Colebrook qui résument les différentes expériences qui ont été synthétisées sous forme d’abaques par Moody (figure 3-l). 2 . 1.1 Ecoulement
de Poiseuille
Pour un écoulement laminaire (R,<2000) en conduite circulaire, on peut démontrer avec les équations de Navier Stokes (et l’expérience le confirme) que h est inversement proportionnel à R, (équation 3-4).
&64 Re
(3-4)
Un tel écoulement est appelé écoulement de Poiseuille mais ne se rencontre pas souvent en hydraulique pratique courante (hydroélectricité, hydraulique urbaine, hydraulique agricole ou
40
hydraulique industrielle). On peut cependant le rencontrer pour l’écoulement de certains fluides visqueux ( circuit des engins à commande hydraulique et entonnoir de Mash pour la mesure de la viscosité des boues de foration). La perte de charge unitaire J est alors proportionnelle au débit Q et à la viscosité cinématique v et inversement proportionnelle à la puissance 4 du diamètre D comme le montre l’équation suivante :
Q gn D"
J,12t3v
2.1.2 Formule
de Colebrook
Pour un écoulement turbulent et dans la zone de transition, Colebrook et White ont proposé une formule (équation 3-5) qui traduit bien les résultats expérimentaux aussi bien en tuyaux lisses (Blasius) qu’en tuyaux rugueux(Von Karman et Nikuradse). Cette formule est universelle (valable pour tous les fluides) et nécessite un calcul itératif à cause de sa forme implicite en 3, ; ce qui n’est plus un problème de nos jours avec les moyens de calcul disponibles(solveurs des calculatrices programmables et tableurs, T192 et Microsoft Excel entre autres). Les hydrauliciens ont utilisé pendant longtemps des abaques et tables (qui sont toujours utiles en cas de coupure d’électricité) pour calculer h (diagramme de Moody à la figure 3-l)
-2
k ,710
-+
2Sl
Rlbe
Il
m-5)
La substitution de l’équation (3-3) et de l’expression du nombre de Reynolds en fonction du débit (&=4Q/rcvD) dans la formule de Colebrook permet d’obtenir une expression (équation 3-6) qui donne la perte de charge unitaire J directement par calcul itératif.
(3-6)
Si l’écoulement est turbulent rugueux, le nombre de Reynolds n’intervient pas et en le faisant tendre vers l’infini dans la formule de Colebrook, on obtient une expression explicite de la perte de charge unitaire J due à Von Karman (équation 3-7).
Cette formule peut être utilisée comme première approximation l’équation (3-6).
dans le calcul itératif de
Pour les conduites lisses, c’est le terme comportant la rugosité relative qui tend vers zéro et la formule de Colebrook tend vers la formule de Prandtl-Von Karman (équation 3-8) dont une bonne approximation est donnée par la formule de Blasius (équation 3-9) pour les nombres de Reynolds inférieurs à 105. Ces conduites peuvent cependant comporter une rugosité d’ondulation (ne présentant pas d’arrêtes vives donc à différencier de la rugosité d’aspérité dont on a parlé jusqu’à présent). La rugosité d’ondulation se rencontre dans les structures vitreuses ou visqueuses (verre, plomb, bitume, plastique, . ..) et elle a une action assez différente de l’autre pour une même hauteur k (glissement du film laminaire qui n’est pas rompu). On utilise dans ce cas la formule de conduite lisse pour h qu’on multiplie par un coefficient a légèrement supérieur à 1 (voir Carlier ~235).
$=210&
J;i)-O,8
e
(3-8)
&3164 Y4 Re
(3-9)
Des hydrauliciens ont développé des formules pratiques qui évitent les itérations ci-dessus mentionnées. Il faut cependant veiller à ce que les conditions de validité de telles formules soient rencontrées. Les plus utilisées parmi celles-ci sont la formule de Manninng-Strickler, la formule de Hazen-Williams et la formule de Calmon-Lechapt. Ces diverses formules peuvent se recouper avec celle de Chezy en exprimant le coefficient C en fonction de la nature de la paroi, de la géométrie de la section et de la nature de l’écoulement.
et pour l’eau. Ces ts dans le système auteurs ont établi que le coefficient de Chézy est donné par C=Ks& d’unités internationales (S.I.) et la substitution dans la formule de Chézy donne l’expression de la vitesse moyenne U en fonction de la perte de charge unitaire J, du rayon hydraulique RH et du coefficient de Stri&er Ks (équation 3- 10) Le coefficient de Strickler Ks est égal à l’inverse du coefficient de Manning noté n. Il dépend de la nature du matériau de la conduite (tableau 3-i)
U’K,RH Y‘fi
(3-10)
Pour les conduites circulaires, la formule de Manning-Strickler prend la forme de l’équation 3-l 1 obtenue en substituant U par son expression en fonction du débit et en remarquant que le rayon hydraulique est égal au quart du diamètre.
(3-l 1)
2.3 Formule
de Hazen- Williams
C’est une formule qui est très utilisée aux USA et qu’on retrouve dans leurs logiciels. Elle est valable pour l’eau aux températures ambiantes et les conduites circulaires en écoulements industriels. La perte de charge unitaire est donnée par l’équation 3-12 dans le système d’unités internationales où CH~ est le coefficient de Hazen Williams et sa valeur dépend de la nature du tuyau (tableau 3-2). Il faut remarquer qu’aussi bien I& que CHW diminue quand la rugosité augmente. J=
10,675
Q’“‘”
1,852 c
2.4 Formule
HW
(3-12)
04's7
de Calmon-Lechapt
C’est une formule monôme (équation 3-13) qui constitue une approximation de la formule de Colebrook avec une erreur relative sur la perte de charge inférieure à 3% pour des vitesses comprises entre 0,4 et 2 m/s. Les coefficients a, m et n sont fonction de la rugosité absolue k de la formule de Colebrook (tableau 3-2). En pratique, on prendra les valeurs suivantes : l Pour les conduites anciennes : k=2 mm ; a=1,863 10” ; n=2 et m=5,33
44
l
l
Pour les conduites courantes ( fonte ou acier à revêtement au mortier de ciment et conduite en béton) : k=0,5 ; a=1,400 10s3; n=l,96 et m=5,19 Pour les conduites en PVC et plastique : k=O o a=0,916 10m3;n=l,78 et m=4,78 pour les diamètres inférieurs à 200 mm o a=0,976 10m3; n=1,8 1 et m=4,8 1 pour les diamètres supérieurs a 200 mm
il J=a7 Q
(3-13)
D
En fait la forme de l’équation (3-12) résume les formules de perte de charge déjà vues en donnant aux paramètres a, n et m des expressions particulières pour chacune d’elles (Tableau 3-3). C’est cette forme générale qui sera utilisée dans les chapitres qui suivent pour faciliter les organigrammes de calcul informatique. 3 ETUDE DE LA RUGOSITE La rugosité absolue des conduites en service peut être estimée en mesurant la différence de charge entre deux extrémités de la conduite pour différents débits mais cette détermination suppose connu le diamètre (paragraphe 6). Pour les faibles rugosités (conduite lisse), cette estimation est pratiquement impossible car les pertes de charge résultant des tolérances de fabrication sur les diamètres sont très voisines de celles mesurées. C’est assurément la détermination de la rugosité à priori qui est la partie la plus délicate de l’hydraulique mais une bonne connaissance du diamètre de la canalisation est le facteur déterminant des erreurs sur la perte de charge car il intervient à la puissance 5.
Matériau Chlorure de Polyvinyle (PVC) et plastique Amiante ciment (n’est plus utilisé car (( cancérigène D) Mortier de ciment centrifugé Métal neuf Béton centrifugé Fonte et acier avec revêtement de ciment Fonte et acier non revêtus (neuf) Fonte et acier non revêtus (ancien)
Manning Strickler KS 120 115
Colebrook et Calmon-Lechapt k b-4 0 0,025
Hazen Williams ’
110 105 100 90 80 75
0,05 O,l 0,25 0,5 1 2
140 130 125 110 100 90
CHW
150 145
Tableau 3-l : coefficient de rugosité des matériaux courants. Les correspondances sont établies pour les faibles diamètres (D<250 mm).
, m) 2 1 OS 0,25 031 0,05 0,025 0 (50mm
n 2 1,975 1,96 1,93 1,89 1,86 1,84 1,78 1,81
m 5,33 5,25 5,19 5,ll 5,Ol 4,93 4,88 4,78 4,81
^
Tableau 3-2 : Valeurs des coefficients de Calmon Lechapt en fonction de la rugosité absolue k
Formule
a
Maning-Strickler
43
n
m
2
1613
1,852
4,87
2
5
1
4
n?c,s=
Hazen-Williams
10,675 1,852
c
HW
Darcy-Weisbach (h peut dépendre de Q par l’intermédiaire du nombre de Reynolds)
JK
Poiseuille (écoulement laminaire)
12th
?r2g
w
Tableau 3-3 : Correspondance des différentes formules avec celle de Calmon-Lechapt
46
3.7 Vieillissement
des conduites
La rugosité évolue avec l’usage des conduites et suivant le matériau et la qualité de l’eau transportée. Cette évolution est fonction des paramètres physico-chimiques des matéria-.x de la paroi et de l’eau transportée d’une part et des paramètres hydrauliques de l’écoulement d’autre part (vitesse moyenne, pression, diamètre de la canalisation). La rugosité des matières plastiques évolue peu et celle des conduites en béton ou à revêtement de mortier de ciment diminue avec le temps ; sauf si les eaux transportées sont très incrustantes c’est à dire chargées en fer ou en calcaire. Ces eaux déposent des concrétions qui augmentent beaucoup la rugosité et peuvent même réduire le diamètre jusqu’à boucher complètement la conduite. La rugosité des conduites métalliques non revêtues augmente avec la corrosion, Certains auteurs ont essayé de relier la réduction du débit d’une conduite en fonction de son âge et des propriétés physico-chimiques des eaux transportées (voir Carlier p.237-239). 3.2 Relation
entre /es diverses
expressions
de la rugosité
En comparant les expressions de la perte de charge unitaire données au paragraphe précédent, on peut tirer les relations suivantes entre les coefficients de Manning-Strickler et HazenWilliams et la rugosité relative de la formule de Colebrook.
r
f
c J 3,800”‘“’ HW
0,08
Q
On voit à partir de ces relatons qu’il n’y a de relation univoque de KS ou CH~ en fonctiw de la rugosité absolue k mais que cette relation dépend du diamètre D, de la viscosité cinématique v et même de la perte de charge unitaire J. Cependant, pour l’eau et les diamètres inférieurs à 250 mm, on peut utiliser les correspondances données au tableau 3-l. 4 PERTES DE CHARGE SINGULIERES Les tronçons de conduite rectilignes sont réunis par des singularités (coude, changement de diamètre, branchement, vannes, etc.). Au voisinage de la singularité, les lignes de courant ne sont plus parallèles et la répartition des pressions n’est plus hydrostatique. Ces singularités occasionnent des pertes de charge singulières dont on a parlé plus haut et qui provoquent une discontinuité dans la ligne de charge sur une courte distance. L’effet de la singularité retentit sur l’amont et l’aval à des distances qui peuvent atteindre 20 à 50 fois le diamètre.
47
Dans les projets courants d’alimentation charge linéaires d’une valeur forfaitaire longue conduite d’adduction.
en eau potable et d’irrigation, on majore les pertes de (5 à 10%) pour tenir compte des singularités sur une
Par contre dans certains cas, conduite d’aspiration d’une pompe par exemple, il faut systématiquement évaluer les pertes de charge singulières car elles peuvent contribuer de façon substantielle au calcul de la pression à l’entrée de la pompe. 4.1 Coefficients
de pertes
de charge
singulières
En régime turbulent, la perte de charge entre les deux sections limitant la singularité est de la forme suivante :
où K est le coefficient de perte de charge propre à chaque singularité ;et U la vitesse moyenne par rapport à une section de référence (en générale la plus petite en cas de changement de section seulement).
Les valeurs usuelles des coefficients son précisées dans les pages qui suivent qui sont tirées du catalogue de PONT A MOUSSON 1986. Elles divergent légèrement selon les expériences à cause de ce qui a été dit plus haut (les 2 sections de mesure sont un peu arbitraires). Les valeurs négatives de k trouvées dans les branchements sont liées au fait qu’on considère des charges moyennes dans les sections qui les délimitent. Pour un branchement de prise, l’énergie des filets liquides pariétaux est plus faible et quand on dérive ces derniers, la moyenne du restant peut augmenter (k, négatif pour Qt,/Qt=0,2 et 0,4 par exemple). Potir un branchement d’amenée, si l’énergie d’amenée est faible, la moyenne du total peut lui être supérieure (kb négatif pour Qb/Qt=O et 0,2 par exemple). Certains appareillages particuliers échappent aux normes définies dans ce catalogue et il convient de se référer aux catalogues de chaque constructeur (robinet à soupape, à pointeau et à aiguille par exemple). En effet les vannes peuvent être subdivisées en 2 groupes principaux selon la forme de l’écoulement : l
l
vannes où l’écoulement ne subit pas de grands changements de direction (robinetsvannes, vannes-papillons, soupapes de retenue, vannes-clapets, clapets de non-retour) vannes où l’écoulement est très sinueux ou celles dont la section de sortie a une direction différente de la section d’entrée (vannes d’angle, robinets à soupape, vannes en « y 1))
Pour les clapets de pied crépinés qu’on retrouve sur l’aspiration des pompes, on peut ac’opter une valeur de k de l’ordre de 1 à 1,6 dont 0,2 à 0,4 pour la crépine.
La valeur globale de la perte de charge de plusieurs singularités immédiatement en série n’est pas égale à la somme des pertes de charge relatives à chacune de ces singularités. Elle est, en général, plus faible car une certaine distance à l’aval de la singularité est nécessaire pour à cette perte de charge (voir Idel’Cick). En les additionnant, on les estime par excès. 4.2 Longueur
équivalente
On peut remplacer par la pensée une singularité par une longueur ‘équivalente L, de la conduite sur laquelle elle est branchée, c’est à dire une longueur qui donnera la même perte de charge quel que soit le débit. L’expression de cette longueur équivalente en fonction de K dépend de la formule de perte de charge unitaire utilisée (Darcy-Weisbach par exemple) et s’obtient en égalant et en simplifiant les deux équations qui expriment la même perte de charge :
Si l’écoulement est turbulent rugueux, h ne dépend que de la rugosité relative de la conduite et L, ne dépendra que de la conduite et de la singularité K (équation 3- 1.5). L’abaque de la figure 3-2 permet de calculer la longueur équivalente de quelques singularité.
JLQ L e il
(3-15)
49
Valeurs des coefficients de perte de charge singulière k selon le catalogue : CANALISATIONS
PONT A MOUSSON 1985
Pertes de charge singulières à section circulaire
dans
Dans tous les cas ci-après, formule :
du liquide
il résulte
du passage
les conduites
au point
singulier
de liquides
une perte
de charge
donnée
par
Ah=&$ dans
laquelle
Ah est la perte
de charge moyenne
en mètres
V
la vitesse
g
l’accélération
de la pesanteur
k
un coefficient
sans dimension
k
est donné
ci-après
Raccordement à axe
du liquide
Remarque vertical
pour
d’une
de liquide, dans
la section
en mètres dépendant
les divers
considérée,
par
seconde
de la nature
cas les plus
conduite
par
seconde
du point
seconde***,
et
singulier
dont
il s’agit.
courants.
avec
: Toutes les formules partant du fond horizontal
en métrer par
un grand
réservoir
ci-dessous sont également valables du réservoir ou y aboutissant.-
pour
les conduites
et ajutages
10 Départ a)
sans
saillie
a I’intirieur
du
avec
réservoir,
raccordement
h angles
vifs
k = 0,s;
***
le ca; échéant,
il sera
Précisé
dans
quelle
pailtie .
.
de la conduite
cette section
Ah = 0,s ;
est sitube.
50
la
b) avec
saillie
c) sans
à I’intCrieur
saillie
du raser-voir
h‘l’intbrieur
du rhervoir,
avec
raccordement
de profil
arrondi
k = O,OS**;
d) sans saillie h I’int&-ieur ajutage d6bitant a gueule b6e -------==Y=
du raservoir,
avec rac,cordement
B angles
vifs,
--
-F-
Ah = 0,OS 5
k = 1;
k==l;
Ah=;
--
20 Arrivée
!
Cette
l’intérieur
l l
formule
est valable
du réservoir
pour
le cas
de la
ou qut le raccordement
figure, mais ph s’appliquer prbtntt un profil arrondi.
aussi
quand
la conduite
fait
.
saillie
Pour une saillie dont la longueur est comprise entre 1 et 2 fois le diamhtre. * Cette valeur est une moyenne; k d6pend du profil de l’arrondi.
51
b
Coudes
d’apr8s
la formule
de Weisbach,
’ IC est donni
on a :
k
\\\+
11°25
0,037 0,074
22”5 3o” 45O 9fP
0,098 0,147 0,294
180”
0,586
\‘
r = rayon de courbtire;dj d = diamétre intCrle&r’du
.
6
= déviation
22.5
0,018
0,043 0,057 0,085 0,170 0,341
0,036 0,048 0,073 0,145
0,017 0,034 0,046 0,069 0,138
0,291
0,275
Tés
(branchement raccordement
10 Branchement
=
k : voir
ci-apres;
le tableau
ci-après,
en
2g en fonction
60
que la conduite
Q, -) _-
s
de
90
0,47
0,24
à 900 de même diamètre à angles vifs)
hh=k-
degres.
45
0,ll
de prise
par
déviation
en métres;
2,5
0,021
30
0,07
‘k
tuyau
en degrés.
2
8
en fonction de
coude en m&tret;
1.5
k est donne
0 (“1
par le ta&austiivqnt,
1,13
rectiligne,
-Qr-Qt-Qb
‘-rr
k
: voir
ci-apres;
Ah=k
5
vb k et Ah prennent chacun branchement (kb et Ahb) ;
deux
valeurs
VL est la vitesse du courant d’arrivée k, et kt, sont donnés par le tableau Q Qb
= debit = débit
total dans
(débit d’arrivee) le branchement
Qb
Q;
0,04
kr kb
* Ces valeurs dans
le tuyau
1
0,
rectiligne
celles
vers après
que
considère
en mètres cubes par (débit de prise latérale)
le tuyau
seconde: en mètres
cubes
rectiligne
-%OS 0,89
tendent
le branchement)
kr ou ou vers
kb quand 0 (débit
par
de dcpart
(kr
et Ah?)
ou le
seconde.
Oh
094
021
lesquelles
l’on
en mètres par seconde. ci-aprés. en fonction de
-0,08 0,88
0;95*
sont
suivant
06
0,07 0,95
le rapport nul dans
5
Qt
tend
1
0,21
.3,3s*
1 ,lO
1,28
respectivement
vers
1 (débit
le branchement).
52
nul
20 Branchement
d’amenée
k
: voir
ci-après;
Ah=
k ;;
Qb
k et Ah prennent branchement (ka et Vt
est la vitesse
kr
et kb sont
;z b = Qt =
debit débit
chacun
deux
valeurs,
du courant donnés
dans total
de départ
par
que
en mètres
te tableau
le branchement (débit de départ)
Qb Q;
l’on
considère
le tuyau
ci-après,
par
rectiligne
d’arrivée
(kr
Ah,) OU le
et
en fonction
0.2
0,04 -1,12*
seconde. de
(debit d’amenée latérale) en mètres en mètres cubes par seconde.
0
kr kb
suivant
Aho);
OP4
0,17 -040
cubes
par
seconde;
0.6
0,30 0908
OP8
0,41 0.47
1
0,51 0,72
0,60* 0.91
La perte
de charge
k : voir
ci-après;
est négligeable.
20 divergent
a) Angle
d’ouverture
VI étant
la vitesse
InfCrieur
moyenne
ou 6gal
avant
à 1tP
dlargissement.
en mètres
par
Ah = k 5,
seconde.
.=,,,(t,y+(q] avec
D, =
diamètre
intbrieur
de la conduite
avant
élargissement,
en métres;
D s = diamètre
intérieur
de ta conduite
apres
élargissement,
en mètres.
b) Angle La perte
d’ouverture de charge
est donnQe
sont
vers
* Ces valeurs dans
supdrieur
le tuyau
celles
rectiligne
avant
** En effet, il y a d8collement d’élargissement brusque. Pour remarquer
l’angle
d’ouverture
que celles-ci
par
la formule
lesquelles
tendent
le branchement) des veines
de l& donnent
à lO=
bien
2
ci-dessous
k, ou ou vers ..
liquides
transition
Ie mCme
relative
kb quand 0 (débit
résultat
nui dans
Ç!a - tend
QI
brusques.**
respectivement
vers
1 (debit
nul
le branchement).
devient
les champs lorsque
élargissements
le rapport
et le phbnom&ne
entre
aux
semblable
B celui
qu’on
d’application des deux formules D de 1,25, vqleut le rapport D a es1 voisin 1
observe
en cas
2,
on Peut
tri?r
courante.
53
Changement
brusque
de diamètre
10 Rétr6cissement
k : voir ci-apras: V, étant la vitesse moyenne
apr&s réfricissement,
Ah=kg,
en mètres par seconde.
k = 0.5 [l - (2)‘]
k est donné par le tableau D, = diamétre D s = diamétre
intérieur intérieur
suivant,
en fonction
de la conduite de la conduite
de
avant rétrécissement, aprés rétr&issement,
en mètres; en métres.
20 Blargissement
Vi Ctant la vitesse moyenne
avant élargissement,
en métres par seconde.
K = [1+)1 avec D , = diamétre D, = diamétre
Appareils
intérieur intérieur
de la conduite de la conduite
avant élargissement, après élargissement,
en métres; en mètres.
de robinetterie
1 o Robinets-vannes &dc?
k : voir ci-après: Le tableau en fonction de
suivant
donne
des valeurs
expérimentales
moyennes
29 de k,
de l’obturateur dans la section, supposée P = distance de pénétration circulaire, offerte par le robinet-vanne au passage du liquide, exprimée en mètres ; de cette section (diamètre intérieur du robinet-vanne), D = diamètre en mètres.
k
0,07
0,26
0,81
2.1
5,s
17
98
34
.
2O Robinets
à papillon
k
: voir
ci-après;
Ah=k29
Le tableau
suivant
a = angle
formé
a
donne par
5
k
0.24
30 Robinets
des valeurs
le papillon
expérimentales
et l’axe
moyennes
de la conduite,
10
15
20
30
0,52
0.90
1,s
3,9
de k, en fonction
de
en degrés. 1
40
45
50
60
70
11
19
33
120
750
0 tournant
:
k : voir Le tableau
suivant
donne
Q = ongle form6 l’intérieur du robinet a
5
k
40 Clapets
des valeurs
expérimentales
moyennes
de k, en fonction
por 1’0x0 de la lumière du boisseou -supposée - et l’axe de la conduite, en degrés. 10
0.05
15
0.29
0,75
à section
de
circulaire
et de même
diamètre
que
25
35
45
55
65
3.1
9.7
31
110
490
de retenue
k : voir Le tableau
suivant
a = ongle
formé
donne par
ces valeurs de k s’entendent D de la conduite.
des valeurs
le clapet pour
mobile
expérimentales et l’axe
moyennes
de k, en fonction
de la conduite,
le COS où le diamètre
de passage
d du siège
du clapet
20
30
40
50
60
70
75
k
1*7
3.2
616
14
30
62
90
à soupape,
Les pertes de charge ddpendent indications de valeur générale.
a pointeau, trop
Ah=k;
ci-après;
de
en degrés;
a
50 Robinets
Ah = k 29
ci-oprés;
est égal
à 0.73
fois
le diamhtre
à aiguille
de la conformation
intérieure
des appareils
pour
qu’on
puisse
donner
des
55
Longueurs
équivalentes
VANNE
A
0PERCUl.E
\-3f4 fembe i--114
112 teride fWd8
totale ?150
1250 1000
-100 -75 -SO COUDE
DE RETOUR
500
.-30
c RIRCE
DE BORDA
TE STAN DAR0
-1.5 ORIFICE ORDINAIRE
-1
COUDE A RAYON HOYEN 1 OU TE DE REDUCflON 114
1 c J30
1
20
112 -0,03
15
12,5
Figure 3-2 : longueur équivalente de quelques singularités
56
5 COURBE
CARACTERISTIQUE
D’UNE
CONDUITE
En hydraulique, nous l’avons dit plus haut, nous étudions les valeurs moyennes de quelques paramètres essentiels de l’écoulement. On peut représenter graphiquement ces paramètres (soit la perte de charge d’une conduite, soit la hauteur manométrique totale, ou la puissance absorbée ou fournie, ou le couple sur l’arbre, ou le rendement d’une pompe ou d’une turbine par exemples) en fonction du débit qui traverse chaque appareil. Chaque tracé ainsi obtenu constitue une courbe caractéristique de l’appareil qui peut être très ,utile dans les études hydrauliques. La courbe caractéristique d’une conduite est la courbe qui lie la perte de charge au débit qui passe dans cette conduite. C’est une courbe sensiblement parabolique (proportionnelle au carré du débit) mais elle ne l’est pas tout à fait car h est fonction du débit pour les faibles et moyens nombres de Reynolds (figure 3-3).
Caractéristique
Conduite
Débit
Q
Figure 3-3 : Courbe caractéristique d’une conduite
Pour des conduites en série, la courbe caractéristique de l’ensemble s’obtient en additionnant les ordonnées des courbes AH(Q). Pour des conduites en parallèle, la courbe caractéristique de l’ensemble est obtenue en additionnant les abscisses des courbes AH(Q). Pour un réseau de conduite, on trace successivement les séries puis les parallèles ainsi de suite jusqu’à la fin.
57
6 APPLICATIONS
DES FORMULES
DE PERTE DE CHARGE
Quatre types de problèmes peuvent se rencontrer dans le calcul avec les formules de pertt de charge vues dans ce chapitre : l
l
l
l
calcul de la perte de charge J ou J*L connaissant toutes les caractéristiques de la conduite et le débit qui y passe. Ce type de calcul est très fréquent en particulier dans les méthodes graphiques pour la détermination du point de fonctionnement d’une pompe installée sur une conduite de refoulement. Calcul du débit Q passant dans une conduite gravitaire dont on connaît toutes les caractéristiques et la charge disponible ( différence de charge entre les deux extrémités) Choisir le diamètre D (dimensionnement) d’une conduite gravitaire dont on connaît le matériau (donc la rugosité) qui permet le passage d’un débit donné lorsque la charge disponible est fixée. Des calculs précis ne sont pas requis pour ce type de problème dans la mesure où les diamètres commerciaux disponibles ont peu de chance d’avoir précisément la valeur D calculée. Il faudra donc calculer un diamètre minimum requis, adopter le diamètre commercial immédiatement supérieur et vanner éventuellement pour ramener le débit à la valeur donnée. Estimation de la rugosité d’une conduite connaissant les autres caractéristiques et la charge disponible. Ce type de calcul est moins fréquent en ingénierie mais peut se faire en laboratoire d’étude.
Avec les moyens de calcul aujourd’hui disponibles, les types de calcul résumés dans le formulaire du tableau 3-4 ne posent plus problème même pour les fonctions implicites. Mais autrefois, on faisait recours à des abaques et des tables qui pouvaient constituer à eux seuls des ouvrages de référence. En effet beaucoup de logiciels (voir chapitre 5) sont disponibles dans le commerce où, avec un environnement très convivial, il suffit de cliquer sur des boutons, remplir des tableaux et cliquer encore pour voir apparaître dans un laps de temps les résultats et même le graphisme souhaité. Il ne faut cependant pas oublier que les premiers comme ces derniers sont basés sur les mêmes équations établies depuis longtemps. Donc pour des problèmes simples, on peut toujours utiliser les outils courants avec ces équations mais ce qui est le plus important c’est de rentrer des données correctes, de vérifier les conditions de validité des équations utilisées par les logiciels et d’interpréter physiquement les sorties. Nous présentons dans ce qui suit deux exemples de calcul de perte de charge avec deux outils répandus à 1’EIER : Exce12000 de MICROSOFT0 et la T192 de TEXAS INSTRUMENTSO.
6.1 EXEMPLE
DE CALCUL
AVEC
EXCEL DE MICROSOFT
Dans cet exemple, on cherche à déterminer la perte de charge unitaire d’une conduite de 300 mm de diamètre ayant une rugosité de 1 mm et véhiculant un débit d’eau de 200 Vs. La viscosité cinématique de l’eau est de 1Oe6m2/s.
58
Calcul de J 0 2 Manning Strickler
Calcul de 0
Calcul de D
Calcul de la rugosité
23e
4Q 3
32Il-Jo!
n2Ks2DF 0,38
Hazen Williams
1o,65Q1385
3,59
1,62
Jo“”D2’63
1,85
CHr
Q
D”‘“’
Calmon Lechapt
Tableau
Par itérations,
Par itérations,
Colebrook White Poiseuille
128vQ
n’intervient
JngD4
eD4
pas
128v
I
4Q R e=UD= V nDv
ms= js=kg=kgn2i4 8Q
Tableau 3-4 : Formulaire de pertes de charge en conduite circulaire
59
Les tableaux 3-5 et 3-6 montrent les calculs et les résultats obtenus en utilisant les outils CCvaleur cible )) et CCsolveur » d’Exce1. La ligne 1 comporte les titres et commentaires ; la ligne 2 comporte les formules et des valeurs qui sont commentées aux tableaux. On doit donc remplir cette ligne 2 correctement dans Excel pour résoudre le problème posé. 6.1.1 Résolution
avec c valeur
cible B
« valeur cible » est disponible à partir du menu « Outils » et on clique là-dessus. La bolce de dialogue «Valeur cible » apparaît et on remplit les cases suivantes de la boîte : a l
0
« cellule à définir N « valeur à atteindre » « cellule à modifier »
taper H2 ou cliquer sur la celle H2 dans Excel taper 0 taper F2 ou cliquer sur la cellule F2 dans Excel
Puis cliquer sur « OK » et la fenêtre « État de la recherche » est affichée avec soit le message « a trouvé une solution » et si on est satisfait de la solution, on clique sur (
Carrection @xmatique,
,,
@estionnaire ds sckwios.II
60
6.12 Résolution
avec « solveur
»
Le tableau Excel est rempli comme dans l’exemple précédent (tableau 3,6). « solveur )) est disponible à partir du menu « outils » sinon il faut l’activer en cliquant sur <(macro complémentaires . . . » dans le même menu, cocher la case correspondant au (( solveur N dans la boîte de dialogue « Macro complémentaire » et cliquer sur « OK »
Macro complGmentaire MS Query pour compatibilitk ~VE Micradt ODBC
WA pour 1’Assistant Internet
La boîte de dialogue « Paramètres du solveur N se présente ainsi après l’avoir remplie :
1”) G Cellule cible à définir »
taper H2 ou cliquer sur la case H2
61
2”) choisir si on recherche un « minimum », un « maximum D ou une « valeur » pour la fonction définie au 1”) et s’il s’agit d’une valeur, 0 dans l’exemple, taper la valeur dans la zone d’édition 3”) cliquer sur le bouton « ajouter une contrainte » et la boîte de dialogue (( Aiouter une contrainte )) apparaît. On pourra ajouter autant de contraintes qu’on veut avec cette boîte. Dans l’exemple, on tape F2 ou on clique sur la case F2 d’Exce1 dans la zone d’édition de « Cellule », on choisit >= dans la liste déroulante et 0,Ol dans la zone d’édition de Contrainte puis on clique sur « OK ». On peut éventuellement sélectionner une contrainte dans la liste des contraintes de la figure précédente en cliquant dessus et la modifier ou la supprimer en cliquant sur le bouton (( modifier » ou (( supprimer 1)
4”) on peut choisir une option sur la technique de résolution en cliquant sur le bouton (
62
5”) Une fois tout ce travail terminé, on clique sur le (( Paramètre du solveur » et le résultat est affiché dans solveur )). Dans l’exemple on a une solution qui satisfait (
bouton « Résoudre » de la fenêtre la boîte de dialogue CCRésultat du à la contrainte et on choisit l’option clique sur H OK )) pour avoir la ligne
Dans toutes les fenêtres du solveur, on peut cliquer sur « aide » pour avoir des précisions sur ce qui a été décrit plus haut. Nous n’insisterons pas sur les techniques de résolution des équations car il ne faut surtout pas oublier la précision avec laquelle nous pouvons mesurer le débit (5%), la rugosité d’une conduite et même la tolérance sur le diamètre chez le fabriquant
6.2 EXEMPLE
DE CALCUL AVEC LA Tl92 DE TEXAS INSTRUMENTS
La résolution numérique d’une équation quelconque se fait aisément avec la T192 par la fonction « nsolve » si l’option langue dans mode est l’anglais et par t( résolNum » dans le cas du français pour la T192 Plus. Ces options se font en tapant sur les touches m, puis et en utilisant la direction vers le bas puis vers la gauche pour déplacer le curseur sur l’option langue ; par la suite, c’est la langue anglaise qui sera retenue en tapant l’option 2.
q
63
Elle se fait à partir de la ligne d’édition destinée à la saisie des expressions à calculer sur l’écran HOME. Cet écran est accessible par les touches 8 1 . La touche 8 permet d’accéder aux fonctions en vert sur le clavier. La syntaxe générale de la résolution d’une équation à une inconnue est la suivante : « nsolve(équation,inconnue)(condition ». Toutes les variables qui figurent dans équation sauf l’inconnue doivent être initialisées avant ou remplacées directement par leurs valeurs numériques. L’équation elle-même peut être une variable expression de l’inconnue initialisée par la même procédure pour éviter de la rééditer si on doit l’utiliser beaucoup de fois à la suite (voir exemple ci-dessous). La condition (contraintes) qui y figure est précédée de la barre (( 1» accessible par les touches puis g mais elle est optionnelle. C’est l’occasion de rappeler que la touche permet d’avoir accès, entre autre, aux fonctions inscrites en jaune sur le clavier. La condition inclut des inéquations avec un signe de test (( > )), (( < B, « # )) accessible par les touches la n B , H F H accessible par m a et (( 2 )) accessible par Il+ 8 qui peuvent être liées par des opérateurs logiques (( and )) , G or U, (( xor 1) et (( not ». Dans notre exemple, nous n’avons utilisé qu’une seule inéquation.
q
q
La fonction « nsolve » ou « résolNum » est accessible (il y’a également d’autres façons de faire, notamment en saisissant la syntaxe directement à partir du clavier) en tapant les touches El2 puis‘Il 8 et en continuant la syntaxe). Pour reprendre notre calcul de perte de charge J déjà fait avec Excel, suivons la procédure suivante (ce qui suit la touche dans chaque alinéa est un commentaire mis entre parenthèses ) : 1) j=8*qA2/(nA2*9.81 colbrook pEq
*dY)*(-2*log(k/
3.71/d+2.51 *nu/d(2*9.81 *j*dA3)))A-2
m
(les noms des variables ne doivent pas dépasser 8 caractères, c’est pourquoi le nom de Colebrook a été écrit sans le (( e )) ; la multiplication « * 1) correspond à la touche IIIx du pavé numérique et la division « / 1) à t . Il ne faut pas oublier ce 0 qui a été dit sur les nombres négatifs : touche du pavé numérique. D’autre part, les variables j, q, k, nu et d doivent être muettes pour que cette formule « colbrook )) reste littérale et valable pour toute la suite du cours ; il suffit pour cela d’effacer les contenues des variables éventuellemnt).
q
3) 0.001 m
k
-4
64
5) l.E-6 w\ nu pËiq EE en jaune) 6) j>=O.Ol m] tond 7)
nsolve(colbrook,j)
(tond
(E est accessible par m
M et correspond à
m
La solution trouvée peut être lue sur la dernière ligne de la zone d’affichage des expressions calculées et des résultats obtenus après quelques instants de calcul. Cette zone peut être effacée en tapant sur les touches pq Bi . on peut comparer la solution trouvée qui est de 0,036844189 aux résultats des tableaux 3-6 et 3-7
Tableau 3-5 : Exemple de calcul de J par la formule de Colebrook avec N valeur cible »
66
A
B
Jerte de -0 :harge (m) ongueur
C
iiamètre D m)
I
D
rugosité k (m)
E Iébit Q m*3ls)
)ette de charge initaire J (mlm)
viscosité cinématique Nu (mA2/s)
Fonction à résoudre
'2)
1 O000 10000
0,3 368,441004
0,3
0,001 0,001
02 02
valeur initiale O, 1 par exemple 0,0368441
1,00E-06 1,00E-06
-8,98 E-O€
Tableau 3-6 : Exemple de calcul de J par la formule de Colebrook avec K solvew n
67
Chapitre 4 Calcul de l’écoulement en charge
CHAPITRE 4 DE L’ECOULEMENT
CALCUL
1 SYSTEME
EN CHARGE
D’ECOULEMENT
2 LOIS APPLICABLES
2.1 LOI DES NOEUDS 2.2 LOI DES TRONÇONS
3 NORMES
DE FONCTIONNEMENT
3.1 LIGNE PIEZOMETRIQUE,
LIGNE DE CHARGE
3.2 LONGUEURS
DES CONDUITES,
3.3 PRESSIONS,
VITESSES
3.4 CONDITION~
LE~ PLUS DEFAVORABLES
4 QUELQUES 4.1 CONDUITE
PROCEDES
PERTES DE CHARGE
SINGULIERES
DE CALCUL
EQUIVALENTE
4.2 RENFORCEMENT
D’UNE
CONDUITE
EXISTANTE
4.3 SERVICE EN ROUTE
71
CALCUL
CHAPITRE 4 DE L’ECOULEMENT
EN CHARGE
Le calcul des écoulements en charge consiste à appliquer les lois de l’hydraulique aux diverses parties des systèmes d’écoulement pour trouver la répartition des débits et des pressions. Dans la démarche, il est nécessaire de définir d’abord les différentes parties qui constituent le système, puis les lois applicables. Il faut ensuite envisager les conditions à respecter qui résultent du fonctionnement de ces systèmes. Enfin, il conviendra de définir les outils de calculs utilisables et procéder à l’exécution de ces calculs.
1 SYSTEME
D’ECOULEMENT
Un système d’écoulement est constitué de plusieurs éléments ou tronçons liés entre eux par des nœuds. Un nœud est donc une jonction de 2 ou plusieurs éléments. Ces éléments ou composantes ou tronçons peuvent être de diverses natures et sont modélisés par des fonctions qui lient les différences de charge à leurs extrémités aux débits qui les traversent. Le système comprend dans le cas général les éléments suivants : l
l
l
l
l
Un équipement de mobilisation de la ressource : source, station de pompage l’eau superficielle (prise en rivière, barrage, . . .) ou souterraine (forage, puits, . . .) Un équipement de stockage : réservoir au sol ou surélevé assurant une régulation, une sécurité de durée limitée en cas de panne de la production, une réserve d’incendie, une économie sur les conduites et sur les coûts de pompage, etc. Un équipement de transport et de distribution : réseau de conduites dont l’une, la conduite principale, assure soit uniquement une fonction de transport, soit conjointement une fonction de transport et de distribution. Les conduites sont agencées en réseau ramifiée ou maillé. Le réseau maillé présente plus de sécurité pour la desserte du fait qu’un noeud peut être alimenté à partir de 2 tronçons au moins tandis que dans un réseau ramifié, le bris d’un tronçon entraîne la défaillance de tout le système à l’aval. Une série d’équipements de consommation : robinets, bornes fontaines, blrnes d’incendie ou d’irrigation, etc. Ils permettent la desserte des usagers dans des conditions définies (débit, pression, horaire). Un ensemble d’appareils de protection : clapets, divers appareillages de protection contre les coups de bélier, réducteur de pression, ventouses, etc. Ils garantissent la conservation des systèmes d’écoulement dans les conditions de fonctionnement envisageables.
La formulation chapitre 4.
mathématique des lois de ces divers éléments sera vue à l’annexe du
72 .
2 LOIS APPLICABLES On applique deux lois appelées loi des nœuds et loi des tronçons avec les définitions du nœud et du tronçon donnée plus haut. 2.1 Loi des noeuds La loi des nœuds exprime la conservation de la masse (débit dans le cas des fluides incompressibles) à chaque noeud. C’est l’équation de continuité qui dit qu’à chaque nwd, la somme des débits entrant est égale à la somme des débits sortant (il n’y a pas d’accumulation de masse aux nœuds et le fluide est incompressible). Ce principe constitue une équation pour chaque nœud dans la simulation des réseaux puisqu’il traduit la réalité physique de l’écoulement. Pour le dimensionnement des réseaux ramifiés, l’application de la loi des nœuds de l’aval vers l’amont conduit à calculer le réseau pour le « débit d’addition » quand on suppose que les prises débitent en même temps. C’est le cas en distribution continue et en distribution par rotation. Par contre, pour un dimensionnement avec distribution à la demande, il n’y a pas obligatoirement un prélèvement simultané chez chaque consommateur. La loi de débit appliquée de l’aval vers l’amont donne donc une progression du « débit pondéré » inférieure à l’addition. Le débit affecté à chaque tronçon peut donc être plus faible que le débit d’addition et sa probabilité d’occurrence est déduite des conditions de fonctionnement de l’ensemble des points de desserte situés en aval (loi de la demande). C’est ainsi qu’en irrigation par aspersion, on peut connaître la fréquence de fonctionnement des bornes et on peut en déduire par la (( loi de Clément )) par exemple, le débit à prendre en compte pour assurer le fonctionnement normal du réseau dans un pourcentage raisonnable de cas possibles (90 à 95 % par exemple). On dit alors que le réseau est calculé pour une qualité de fonctionnement de 90 à 95 % (voir annexe du chapitre 4). 2.2 Loi des tronçons Il s’agit de la loi de conservation de l’énergie mécanique ou théorème de Bernoulli qui relie la différence de charge aux 2 extrémités (nœuds i et j) du tronçon au débit Qij qui le traverse. Ce principe est traduit mathématiquement par l’expression générale (4- 1) suivante :
Hi-Hj=f B(e,)
(4-l)
Hi est la charge hydraulique au nœud i ; HJ, la charge au nœud j et Q~Jest compté positivement dans le sens i vers j si l’écoulement a lieu de i vers j et compté négativement dans le cas contraire. La fonction fii peut être la loi de perte de charge utilisée s’il s’agit d’une conduite ; la courbe caractéristique d’une pompe ou d’un autre appareillage hydraulique représenté par le tronçon étudié (voir annexe du chapitre 4).
73
Dans les tronçons en série, ces fonctions s’additionnent algébriquement et peuvent constituer un chemin k-l où l’on connaît les charges hydrauliques Hk au départ et HI à l’arrivée et qu’appelle parfois pseudo-boucle. Si le nœud d’arrivée 1 coïncide avec le noeud de départ k, on aura une boucle et la somme algébrique dès fonctions fij qui la constituent devient nulle.
3 NORMES DE FONCTIONNEMENT 3.1 Ligne piézométrique,
ligne de charge
La charge moyenne d’une section, si l’on assimile le coefficient de Coriolis à 1, s’écrit :
H=z+- P +u2 Pg 2g Dans les réseaux d’alimentation p/&
en eau potable (AEP) :
est de l’ordre de 10 à 100 mètres de colonne d’eau (mCE) ;
ul 2 2g est compris entre 0,Ol et 0,l mCE car U est de l’ordre de 05 à 1,s m/s. Dans les réseaux d’irrigation p/pg ul 22g
par aspersion :
est de l’ordre de 30 à 300 mètres de colonne d’eau (mCE) ; est compris entre 0,05 et 0,5 mCE car U est de l’ordre de 1 à 3 m/s.
Par conséquent, dans les calculs pratiques, on confond la ligne piézométrique et la ligne de charge déjà définies au chapitre 2. 3.2 Longueurs
des conduites,
pertes
de charge
singulières
Sauf cas particuliers où les pentes du terrain naturel sont très fortes, on assimile la longueur de la conduite à la longueur de sa projection horizontale. Les pertes de charge singulières sont évaluées forfaitairement en prenant 5 à 10 % des pertes de charge linéaires sauf dans les cas où on a besoin des les calculer avec précisions (conduites d’aspiration des pompes par exemple).
74
3.3 Pressions,
vitesses
3.3.7 Pressions Les conduites doivent rester en pression pour maintenir l’étanchéité des joint (en particulier éviter les infiltrations en AEP) et pour éviter l’ovalisation. Il en résulte que la ligne piézométrique doit toujours être en tout point au dessus de la conduite (figure 4-,l). Dans quelques cas particuliers (conduites d’aspiration des pompes, siphon), il ne peut pas en être ainsi et il faut donc choisir les matériaux en conséquence : absence de joints (acier soudé par exemple), classe de la conduite (épaisseur en fonction du matériau), etc. Des appareils spéciaux (soupapes, ventouses) doivent être installés pour supprimer ou réduire les dépressions dans les circonstances où il n’est pas possible d’assurer le maintien en pression de la conduite (coup de bélier, rupture de conduite à l’aval, etc.). La pression ne doit pas aussi être excessive pour éviter des fuites importantes dans les joints et les fissures. Les ordres de grandeurs en AEP et en irrigation par aspersion ont déjà été données au paragraphe 3.1.
/
ligne piézométrique
la conduite
Figure 4-l : Profil en long de la conduite et ligne piézométrique 3.3.2 Vitesses Une condition de vitesse minimale destinée à éviter les dépôts des matières en suspension est souvent indiquée (0,30 à 0,SO m/s). Sauf cas particulier une telle condition est illusoire, le fonctionnement des réseaux étant généralement discontinu. En fait pour des raisons d’économie et de rapidité des calculs on a intérêt à choisir une vitesse supérieure à 0,3 à 0,5 m/s.
75
Par contre une condition de vitesse maximale (vitesse limite) doit impérativemem respectée. Diverses vitesses limites sont utilisées suivant le domaine d’emploi canalisations. l
l
être des
Pompes A l’entrée et a la sortie des pompes, les vitesses doivent être assez rapides pour le bon fonctionnement des pompes et pour éviter des appareillages coûteux. Ces vitesses sont indiquées par les fournisseurs (1,2 m/s 060 à 2 m/s (D.500 en aspiration et 1,4 m/s
avec c qui désigne la célérité des ondes qui sera vue au chapitre 6 ; AQ, le débit coupé ; et S, la section de la conduite. Dans les grosses conduites qui assurent peu de distribution en route, le débit coupé est faible par rapport à la section de la conduite. Dans les petites conduites, le débit coupé devient correspondre à la totalité du débit (dans ce cas AQ=Qo)
important
et peut même
Pour la fonte par exemple, c= 1080 m/s, pour une vitesse de 1,5 m/s dans une conduite CplOO, la surpression maximale ainsi calculée sera de 168 mCE si l’on coupe instantanément le débit total qui est de 12 Vs. Le même débit coupé sur une conduite 0800 fonctionnant à 3 m/s donne une surpression de 3 mCE. En fait la surpression maximale ainsi définie n’est jamais atteinte mais la nécessité de choisir une vitesse maximale raisonnable et adaptée au diamètre demeure. l
AEP Dans les réseaux d’alimentation en eau potable le débit coupé est généralement très faible par rapport au débit transporté par suite de la multiplicité des postes d’eau à petit débit. On admet souvent une vitesse maximale de 1,5 m/s compte tenu des surpressions et de la fragilité des réseaux d’AEP. Cette fragilité est liée au nombre important de raccordements, à la pose sous chaussée, à la surcharge des réseau, etc.
76
On verra ultérieurement qu’entre les limites minimales et maximales définies ci-dessus on est parfois amené à choisir une vitesse économique qui optimise le coût du réseau. En première approche, on peut adopter comme vitesse « économique » les vitesses qui sont les plus fréquemment utilisées dans les réseaux qui ont fait l’objet d’une optimisation rigoureuse compte tenu des conditions économiques locales. Pour dimensionner les vitesses usuelles l En AEP, les l En irrigation, 2 m/s pour
l
les canalisations d’un réseau à créer on est amené à prendre en compte ou débits usuels figurant aux tableaux 4-1,4-2,4-3,44 et 4-5. débits usuels correspondent à une vitesse de 1 m/s ces débits correspondent à une vitesse qui croît de 1 m/s pour le CD100 à le Q>lOOO.Il en résulte que le débit est lié au diamètre par la relation
suivante : Q=l ,5 7D2”Ox En hydro-électricité les conduites qui alimentent les centrales en dérivation sont équipées pour des vitesses qui varient autour de 5 m/s pour des débits de 1 à 10 m3 /s et pour des diamètres de 0,5 à 1,6 m.
Les tableaux (correspondance débit-diamètre) indiquent les débits maximaux en l/s po.z les divers diamètres normalisés et suivant que l’on traite d’alimentation en eau potable ou d’irrigation. On peut ainsi choisir les diamètres usuels et éviter de dépasser les vitesses limites.
Tableau 4-l : Correspondance débit-diamètre pour les conduites en plastique utilisées en AEP. Les diamètres intérieurs indiqués peuvent être différents si la pression maximale de service (PMS) est supérieure à 6 bars.
77
Autres matériaux @mm 80 100 125 150 200 250 300
I
ALIMENTATION EN EAU POTABLE Débit usuel (Vs) IJ = 1 m/s Q = nD2/4 5 8 12 1Q
32 49 71
I 600 700 800 900 1000 1100 1200
37
l
47 74 106
I
3QG
424 577 754 954 1178 1426 1696
Tableau 4-2 : Correspondance débit-diamètre pour les conduites, en matériaux plastique, utilisées en AEP.
L
autres que le
IRRIGATION Débit usuel (Vs)
Débit limite (Vs)
@mm
Q=1,5 7D2’308
Q=2,553D2’308
42 53 63,2 75,8 92,4 112,4 125,8 143,2 179,o
1 138 2,7
177 2,9 4,4
6,4 10,l 13,l 17,7 29,6
10,5 16,5 21,3 28,8 48,2
iii:2 251,6 294,0
4918 65,0 ne .
8l;O 105,7 ,r* * 131,4
Plastique
Y3,l
I
188
126 283 384 503 636 785 950 1131
Débit limite (Vs) U = 1,5 m/s Q = 1,5 ~D~l4 8 12 18
4
Tableau 4-3 : Correspondance débit-diamètre pour les conduites en plastique utilisées en irrigation. Les diamètres intérieurs indiqués peuvent être différents si la pression maximale de service (PMS) est supérieure à 6 bars.
Tableau 4-4 : Correspondance débit-diamètre pour les conduites en matériaux plastique utilisées en irrigation.
3.4 Conditions
autres que le
les plus défavorables
Pour assurer un dimensionnement satisfaisant des diverses parties d’un réseau, les conditions de fonctionnement choisies sont toujours les plus défavorables. l
l
l
Par exemple pour les cotes on prend le niveau du réservoir vide pour les canalisations qui partent d’un réservoir. A l’inverses on prend le niveau du réservoir plein pour dimensionner la conduite qui alimente un réservoir par adverse. De la même manière on choisit comme débit de calcul, le débit maximal ou débit de pointe. Les conduites doivent éventuellement présenter des pentes pour faciliter l’accumulation et l’évacuation de l’air aux points hauts ainsi créés.
Toutefois, on a déjà vu ci-dessus (méthode de CIément) que dans un certain nombre d’applications, si l’on connaît la fréquence de présentation de ces conditions (niveau ou débit), on peut calculer les installations de telle manière que le risque de défaillance soit inférieur à un seuil admissible compte tenu de la qualité du service demandé (95 % par exemple).
79
4 QUELQUES
PROCEDES
4.1 Conduite
DE CALCUL
équivalente
Pour faciliter les calculs ou pour réduire le nombre de données à entrer dans informatique, on peut remplacer fictivement un système de conduites par équivalente c’est-à-dire une conduite qui entraîne la même perte de charge même débit que le système considéré. Suivant les problèmes, on peut rechercher cette équivalence en longueur ou diamètre si l’autre est fixé.
un programme une conJuite et véhicule le être amené à
Soit, pour fixer les idées, un ensemble de N conduites de diamètres ‘Dl, DZ, . . ., DN et de longueurs Li, Lz, . . ., LN. On peut leur substituer une conduite unique de diamètre D’ et de longueur L’ qui entraîne la même perte de charge et véhicule le même débit que cet ensemble. Les expressions reliant L’, D’, et les différents Li et Di sont données ci-après si l’on adopte une formule de perte de charge linéaire du type : n
J=a: Q
D
4.1.1 Conduites
en série
Pour les N conduites en série (figure 4-2), la perte de charge du système AH est égale à la somme des pertes de charge AHi de chaque conduite i et son débit est, le même que le débit identique Q qui passe dans chaque conduite i. On déduit de l’égalité des pertes de charge du système et de la conduite équivalente, après simplification du terme aQ”, les relations (4-2) et (4-3) suivantes qui expriment respectivement la longueur équivalente et le diamètre équivalent si l’autre est fixé.
V-2)
(4-3)
Si m égale à 5 dans la relation (4-2), on obtient la règle de Dupuit pour les longueurs équivalentes.
80
4.1.2 Conduites
en parallèle
Pour les N conduites en parallèle (figure 4-3), le débit du système Q est la somme des débits Qi de chaque conduite i et sa perte de charge est la même que la perte de charge identique AH de chaque conduite i. On déduit de l’égalité des débits du système et de laI conduite équivalente tirés des formules de perte de charge
simplification
du terme
Q=(mAr[DJ$r
, après
les relations (4-4) et (4-5) suivantes qui expriment
respectivement la longueur équivalente et le diamètre équivalent si l’autre est fixé.
/ L’=D 1”’i?N Dimn i=l
(4-4)
Li Yn
(4-5)
Dans le cas particulier de 2 conduites identiques en tout genre et dans le cas où L’ est aussi égal à la longueur de ces 2 conduites, la relation (4-5) donne le diamètre équivalent suivant en fonction du diamètre des 2 conduites D :
et si n=2 et m=5, on obtient D’=1,32D. Il faut rappeler que l’écart entre 2 diamètres commerciaux successifs est en moyenne de 1,20
Q
-
(\
Ll Dl
L N :’ I’ *’ D,
”
Figure 4-2 : N conduites en série. 81
Figure 4-3 : N conduites en parallèle.
4.2 Renforcement
d’une
conduite
existante
Une conduite de longueur L et de diamètre Do a été mise en place pour transporter un débit Qo avec une perte de charge AH. On veut augmenter ce débit de la quantité b* Qo en mettant une conduite de renforcement en parallèle de diamètre D et de longueur L car elle suit le même tracé que la conduite existante. Le diamètre D qui permettra d’avoir le nouveau débit Q=( l+b)* Qo avec la même perte de charge est donnée par la relation (4-6) suivante :
D=@L), En supprimant l’ancienne conduite, il faudrait une conduite diamètre serait donné par la relation (4-7).
(4-b) de remplacement
dont le
(4-7)
4.3 Service
en route
Certaines conduites assurent à la fois une fonction de transport et de distribution. C’est le cas notamment en AEP où de très nombreux branchements particuliers sont desservis tout au long des conduites qui transitent en même temps un débit vers l’aval. C’est aussi le cas des portes rampes et des rampes d’irrigation par aspersion. Pour éviter de calculer les pertes de charge dans chaque tronçon élémentaire (entre 2 branchements) qui véhicule un débit fixe, on cherche un débit équivalent qui simplifie les
82
calculs, c’est-à-dire celui qui entraînerait laa même perte de charge que la conduite assurant le CCservice en route )). 4.3.1 Service
en route uniformément
réparti
Le CCservice en route » est défini par un débit uniformément réparti q exprimé en m”/s/ml par exemple avec un débit entrant QI et un débit aval Qo (figure 4-4).Sur un tronçon élémentaire dx, le débit desservi est qdx. A l’abscisse x compté à partir de l’amont, le débit porté par la canalisation est : Q(x)=Qo-qx=Q I+q(L-x) La perte de charge élémentaire sur l’élément dx est donnée par la relation suivante :
“j=-$( L’intégration
Qo-qx)
“dx
de 0 à L donne la perte de charge totale sur la conduite de longueur L :
AH=-+
AH=
1L< Qo-qx) “dx
(4-8)
&i)Dm
Pour n.égale à 2 (formule de Manning-Strickler ou Darcy-Weisbach), la perte de charge en fonction de la longueur L à partir de l’amont est donnée par l’expression suivante :
Le débit équivalent Q’ est celui qui donne la même perte de charge et ‘il est calcule avec les formules (4-9) ou (4- 10) ci-dessous.
Q-
f
e
n+l -
n+l 1
Q
gL(n+l)
t
1
(4-9)
83
(4-10)
Il est intéressant d’étudier quelques cas particuliers de la formule générale (4-10) : l
Débit aval nul (Ql=O) La formule devient
e=
1 ( n+l > i
QO
Et dans le cas où n=2, on obtient :
l
Prélèvement
en route faible par rapport
aux débits amont et aval ( ql<
ql-Qd
Le développement limité aux termes du premier ordre de la formule (4- 10) dowe les relations suivantes :
Cette dernière formule peut être retenue pour faciliter le calcul des réseaux mailles avec service en route? compte tenu de l’imprécision sur la loi de perte de charge et le débit du service en route uniformément réparti. Cependant on retient parfois la relation suivante :
84
, Ligne piézométrique ‘\ .-._
-_ -
--
__
/ -
--
-_
__ --
Q, +
-.
_
--
q ~f#ffffffffffffffffffff~
Y" ffff,
.
-
L,D
-
-3 Q,
Figure 4-4 : Service en route uniformément réparti. La ligne piézométrique continue dont la concavité est dirigée vers le haut.
4.3.2 Desserte
de débits
unitaires
divers
et irrégulièrement
est une courbe
répartis
Dans certains projets la définition du service en route nécessite la connaissance d’une série de N points de desserte dont on connaît les distances et qu’il faut prendre en compte individuellement pour totaliser les débits. Il peut s’avérer aussi simple de prendre en compte individuellement tous ces points de distribution et d’utiliser ces valeurs directement dans les calculs. On connaît les valeurs des débits qi de chaque point de desserte et leurs distances partielles di (figure 4-5). La perte de charge totale est donnée par la relation (4-l 1) suivante :
(4-l 1)
On peut aussi définir un débit équivalent Q’ qui entraîne la même perte de charge et qui est donné par l’expression (4-12).
i=N
Cd
-~i=l
i (4-12)
C di
i=l
85
ligne piézombtrique A-
qN r
,’
/
qi
’
qi+l r
q2 4
93
4
i
?
/
q1 1
QI+somme des qi
QI dN
di
di+l
d3
Figure 4-5 : Desserte de débits unitaires divers et irrégulièrement piézométrique est une succession de segments de pentes décroissantes.
4.3.3 Desserte
de débits
unitaires
égaux à distances
dz
répartis.
dl
La ligne
égales
En irrigation il arrive qu’une conduite de même diamètre desserve une série d’appareils fournissant des débits égaux et situés à des distances égales (asperseurs, ajustages, goutteurs). On applique couramment dans ce cas la règle du débit équivalent au service en route uniformément réparti (formule 4-10). On peut aussi calculer plus exactement la valeur du débit équivalent par l’expression (4-14) ci-dessous. La formule de perte de charge (4-l 1) se simplifie avec tous les qk et dk qui sont égaux respectivement à q et d ; et on obtient la relation (4-13) dans le cas d’un débit aval QI :
(4-13)
Le débit équivalent sera alors donné par la formule (4-14) suivante :
Q
(4- 14)
86
l
Dans le cas particulier deviennent :
où le débit aval QI est nul, ces 2 formules précédentes
ad 4
AH=
m
D QLq l
n i=N
c
in
i=l
.-1 ?iNi”n N ; : .i=l
(4-15)
(4-16)
Si en plus n=2, la somme des carrés des N premiers nombres entiers étant égale à N(N+1)(2N+1)/6, on obtient :
mzadq2
D
m
N(N+1)(2N+l) 6
’= (N+1)(2N+l) 4 6
QJ
ou bien, avec la débit amont Qo= Nq
=
QQi 0
(N+1)(2N+l) 6N2
La racine carré dans cette dernière expression tend vers 1 quand N tend vers de J3 grandes valeurs et on obtient le débit équivalent pour un service en route uniformément réparti qui ne correspond pas à une réalité physique mais surtout à une approximation valable dès que N devient grand (tableau 4-5). L’expression (4-15) permet de calculer la perte de charge entre l’extrémité aval et chaque point de distribution. On peut ainsi vérifier l’homogénéité de la répartition de la charge entre les divers points de desserte ; ce qui est nécessaire pour juger par exemple de la qualité d’une irrigation (figure 4-6).
87
Charge amont HA ----~~--------,--------r-------;-------;--------, ~~rq~I1 ---_ II t ----;kN, , ‘4. 1 .iand nib~nmbtridne t 0 ! 8 I
I I I t
i
---_ --y-
/Y
Ligne pijzométrique
---_
I
II taver
- ,--
I I
+elle
FiPure 4-6 : Rampe d’irrigation repésentatives.
lI IP dihit
II Pn&vtal&t
---_
8 ---A,
II
---_
--L ,1 --II
---A
---_
’fi-- -,---------z-k.! ,
I J 1 d’
avec des asperseurs équidistants avec les lignes hydrauliques
10 0,620
15 0,606
20 0,599
25 0,595
30 0,592
35 0,590
40 0,588
Tableau 4-5 : Approximation de la desserte de débits unitaires égaux-~ à des distances égales par le service en route uniformément réparti , valeurs de W+t)WJ’+1) ; à comparer avec J 6N1/1/3= 0,577
4.3.4 Recherche
du point
neutre
Lorsqu’une conduite assurant un service en route est alimentée à partir de deux sources (deux réservoirs, deux stations de pompage, une station de pompage et un réservoir), il peut arriver qu’une des sources alimente une partie de la conduite tandis que l’autre source alimente le reste. Entre ces deux parties de la conduite, il existe un point où le débit transporté est nul. Ce point est appelé point neutre.
88
Considérons une conduite de longueur L, de diamètre D, située entre deux réservoirs (un réservoir haut A et un réservoir bas B) et qui assure un service en route uniformément réparti avec un débit par unité de longueur q. Soit 0 le point neutre, s’il existe, situé à l’abscisse X repéré sur la conduite à partir du réservoir haut. L’équation (4-8) permet de calculer les pertes de charge sur chacune des parties de la conduite qui ont des débits amonts Qo de qX et q(l-X), et un débit aval QI nul :
HA-Ho=
Hfi-Ho=
q(n+l)D”’ (crx >w
q(nii)D.
(q(L-x))‘““’
La soustraction membre à membre et des simplifications permettent de retrouver l’équation (4-17) dont la résolution par rapport à X permet de retrouver la position du point neutre connaissant la charge au réservoir haut HA et celle au réservoir bas Hs. Les solveurs vus au chapitre 3 peuvent résoudre facilement cette équation.
(4-l 7)
Si la solution de l’équation (4-17) n’existe pas, c’est le réservoir haut A qui alimente toute la conduite avec un débit q*L et qui remplit le réservoir bas B avec un débit QI qui est le débit aval de la conduite. La formule (4-8) avec le débit amont de la cor.luite Qo=QI+qL permet de calculer le débit remplissage QI du réservoir bas avec l’équation en QI suivante :
(4-18)
La procédure de la recherche du point neutre consiste donc à résoudre l’équation (4- 17) pour une valeur de X comprise entre 0 et L. Si la solution existe on calcule ensuite le débit qui provient de chaque réservoir connaissant X, sinon on résout l’équation (4- 18) pour les valeurs positives de QI pour trouver le débit de remplissage du réservoir Bas et on calcule le débit provenant du réservoir haut connaissant QI.
89
II ne faut toutefois pas oublier que l’écoulement physique ne pourra se faire que si les pressions sur toute la conduite sont au-dessus de la tension de vapeur du liquide (ligne piézomètrique réelle au-dessus de la conduite).
90
ANNEXES A DISTRIBUTION
DU CHAPITRE
4
A LA DEMANDE
En irrigation, il convient de calculer, par le jeu de probabilités le débit de pointe qui risque d’être enregistré avec une certaine probabilité sur les diverses branches du réseau ramifié. On admet donc qu’un certain pourcentage de cas de fonctionnement ne soit pas satisfait, cela dans le but de limiter le coût du réseau, surtout de conduites, à une valeur raisonnable. Pour pouvoir appliquer la méthode de Clément qui suit, il faut que le débit demandé,à la prise soit relativement important et que le réseau soit capable de délivrer un débit bien supérieur au (( débit continu D ; c’est à dire le débit moyen sur la période d’utilisation possible de toutes les prises. Soit d le débit maximal qu’il est possible de prélever à chaque prise et p la fréquence ou probabilité de fonctionnement de chaque prise qui est égale au rapport du temps t d’ouverture nécessaire pour satisfaire les besoins au temps total T’ d’ouverture possible de chaque grise. La probabilité de fermeture de chaque prise est notée q et elle est égale à l-p ; et n est le nombre total de prises. La probabilité de fonctionnement simultané d’exactement k prises quelconques (c’est aussi la probabilité d’avoir un débit de k*d appelé sur la canalisation en amont des n prises existantes) est donnée par la loi binomiale suivante :
Soit une canalisation desservant n prises et calibré pour k prises (avec k
x=k
p=cc;pxq”” x=0 On admet couramment qu’un réseau d’irrigation soit calibré pour une probabilité de satisfaction ou qualité de fonctionnement P de 95 %, c’est-à-dire que pendant 95 %du temps de fonctionnement du réseau, toutes les demandes seront intégralement satisfaites. Cette valeur de P permet, d’après la relation précédente, de calculer la valeur de k de calibrage de la conduite considérée (son débit est de k*d). 91
Pour des valeurs de n supérieures à 10, le calcul de k par la relation précédente devient laborieux et la loi binomiale se rapproche d’une loi de Gauss de moyenne n*p et de variante n*p*q. La valeur de k est alors donnée par la relation suivante où U est la variable centrée réduite correspondant à la probabilité de non dépassement P.
k=n*p+U*Jn*p*q Le débit de calibrage de la conduite devient alors :
Q=n*p*d+U*d*Jn*p*q La méthode de Clément suppose que toutes les prises d’irrigation sont identiques (en débit et en probabilité d’ouverture) et J. de BOISSEZON et J.R. HAÏT ont proposé une général&tion à des prises i de débit di et de probabilité pi et qi. Le débit de la conduite est dans ce cas donnée par la relation suivante :
Q=gpidi+“/Xpiqidî* i=l
B MODELES
MATHEMATIQUES
DE QUELQUES
COMPOSANTES
HYDRAULBQUES
Dans les lignes qui suivent , sont développés les modèles de représentation de quelques éléments courants dans les systèmes de distribution d’eau. Chaque composante est défini-e par les noeuds amont i et aval j qui oriente le débit Qi; qui la traverse et qui est positive lorsque l’écoulement se fait de i vers j. La charge hydraulique au nœud i sera désignée par Hi. La dérivation par rapport à l’abscisse de ces fonctions est également utiles dans les méthodes itératives de résolution utilisées parfois (Newton-Raphson ou Hardy Cross par exemple).
6.1 Réservoirs Un réservoir est une condition aux limites où la charge est fixée sur le pas de temps de calcul choisi du réseau. Pour la simulation des réseaux, on peut distinguer deux types de réservoirs selon les variations de la hauteur d’eau durant toute une période de simulation : l Les grands réservoir l Les petits réservoirs
92
B. 1.1 Grand
réservoir
(resevoirj
Les débits d’alimentation ou de soutirage pendant une période considérée sont faibles par rapport à la capacité du réservoir et le niveau d’eau ne varie pratiquement par dans le réservoir pendant toute cette période. Le seul paramètre du modèle sera alors la cote du plan d’eau dans le réservoir.
Hi= Z rctwrvo~r-=Cte 8.1.2 Petit réservoir
(tank)
La charge fluctue en fonction du débit entrant ou sortant pendant la période de simulation considérée. Le volume de stockage est limité et il est possible de remplir ou vider complètement ce volume. La formulation mathématique du fonctionnement est donnée par l’équation de conservation de la masse ou du volume puisqu’il s’agit de fluide incompressible.
Pour suivre comment la hauteur d’eau dans le réservoir change avec le temps, il faut connaître la relation Hauteur-Volume (forme de la cuve). On a des formes cylindriques, parallélépipédiques, conique, sphérique ou plus complexe. Connaissant le volume ou la cote de l’eau ou la charge à l’instant t, on simule le réseau pour trouver les débits entrant et sortant avec cette charge, on détermine ensuite le volume à l’instant t+At avec l’équation précédente et la courbe hauteur-volume permet de calculer la charge correspondante. On répète la procédure jusqu’à la fin de la période de simulation. Pour la simulation, il faut également connaître : l La hauteur d’eau maximale (calage de la vanne d’altitude) l La cote de déversement qui est en général un peu plus élevée que la première (wlage du trop-plein) l La hauteur d’eau minimale l La hauteur d’eau initiale au début de la simulation l La référence des hauteurs d’eau (généralement le radier) pour pouvoir les convertir en cote ou charge hydraulique. Pour les réservoirs hydropneumatique, on aura également besoin de la pression (supposée constante) de l’air P au dessus de la cote Z du plan d’eau pour pouvoir calculer la charge hydraulique H par la formule suivante où Cf est facteur de conversion d’unité de pression en mètre de colonne d’eau. Les autres paramètres sont les pressions minimal et maximal pour l’asservissement du remplissage et de la vidange.
H=C,P+Z 93
6.2 Conduites
(pipe)
La perte de charge est exprimée algébriquement par la relation suivante
(n-1)
Hi-Hj=R,Q,
Qv
avec R,, qui désigne la résistance de la conduite proportionnelle
2 à sa longueur
L,, et au
coefficient a,, qui comme l’exposant n dépendent de la formule de perte charge utilisée (voir tableau 3-3 du chapitre 3). On peut aussi exprimer le débit en fonction de la perte de charge par la relation qui suit par un jeu d’algèbre.
avec K,
qui désigne la conductance de la conduite et qui est l’inverse de la résistance à la
puissance lin :
En posant y=Hi-H;, la dérivation de ces fonctions donnent respectivement
Cette dernière dérivée tend vers l’infinie quand y tend zéro (n=2 ou n=1,852). On pourra utiliser l’artifice suivant dans la programmation.
Iy=& I si /y<& I Elle permet de calculer les dérivées partielles dont on a besoin de la manière suivante :
94
B.3 Vannes
(valve)
Une vanne est une composante qui peut être grande ouverte ou fermée partiellement pour faire varier sa résistance à l’écoulement. Selon l’usage qui en est fait, on peut distinguer les types suivants : l l l
l
l
Vanne de sectionnement (ouvert ou fermé complètement) Clapet (écoulement dans une seule direction) ,Ventouses et admissions d’air (aux points hauts pour chasser ou admettre de l’air dans le circuit) Vanne d’altitude (à l’amont immédiat des réservoir pour couper le débit quand celui-ci est plein) Vannes de régulation (déverseur pour maintenir la pression amont consante, détendeur pour maintenir la pression aval constante, limiteur de débit, etc.)
Une vanne se comporte de la même manière qu’une conduite avec un exposant +2 et une résistance R,, qui est fonction du coefftcient de perte de charge singulière k,, pouvant varier avec la direction
de l’écoulement
(signe de Q,, dans le cas des clapets anti-retour)
ou
d’autres valeurs dans le réseau (cas des vannes de régulation). La résistance est définie par la relation suivante :
Rij=k,
* gn2ilij4
Dans la plus part des modèles, les niveaux de détail de la perte de charge singulière introduite ne sont pas nécessaires pour les 4 premiers types ci-dessus. Seul le statut ouvert ou fermé est nécessaire. Quand elles sont utilisées comme régulateurs, ces vannes nécessitent un réglage qui devient primordial. Ce réglage peut porter sur le débit, la pression à l’amont ou à l’aval, ou bien sur l’ouverture (coefficient de perte de charge) directement. Les régulateurs sont différents des pompes et sont compliqués à modéliser. En effet une pompe débite ou ne débite pas alors qu’un régulateur peut être dans un des états suivants :
95
l l l
Actif lorsqu’il contrôle automatiquement l’écoulement (ouvert partiellement) Fermé manuellement à l’aide d’une vanne d’isolement par exemple Inactif (grand ouvert)
Des problèmes d’instabilité et de convergence peuvent survenir à cause de ces différents états possibles modélisés par des tests. 6.3.1 Clapet anti- retour
(check
valve)
Soit par exemple un clapet anti-retour qui ne permet qu’un écoulement de i ver j av. c un coefficient de perte de charge k=2. On prendra les relations qui suivent : k,,=2
si H,“H,
et
Pour assurer une bonne stabilité numérique des modèles mathématiques, il arrive parfois qu’on utilise un artifice de laisser passer un très faible débit dans le second cas de notre exemple en posant : k,,=2M
si H,+H,
; où M est un grand nombre (> 100)
6.3.2 Vanne d’altitude Placée à l’entrée de la conduite dans un réservoir à niveau variable, la vanne se ferme et empêche le débordement quand la hauteur d’eau atteint une valeur maximum spécifiée. Elle se fermera également quand le niveau d’eau descend arrive à une valeur ‘minimale po’w empêcher le réservoir de se vider complètement. Le statut ouvert ou fermé est donc contrôlé ici par deux variables H,,,, et H,,,,,,:
Hmin’Hi’Hmax
0
Ouvert si
l
Fermé dans le cas contraire
6.3.3 Détendeur
(pressure
regulating
valve)
Cette vanne maintient la pression aval à une valeur fixée par avance quand les conditions hydrauliques le permettent et en-dessous de cette valeur autrement. Elle est généralement placée entre deux zones haute et basse (figure ci-dessous). Le modèle mathématique avec un noeud aval j et un nœud amont i d’une telle vanne est le suivant et le calcul des dérivées peut se faire en s’inspirant du calcul fait pour une conduite :
96
avec H,,=z,+=
Pd si Pd est la pression
de réglage et z; la cote du noeud j.
Zone basse
6.3.4 Déverseur
(pressure
sustaining
-
Ligne piézo avec PRV
------
Ligne piézo sans PRV
valve)
Une telle vanne maintient la pression amont au dessus d’une valeur fixée par avance si les conditions hydrauliques le permettent. Le modèle ressemble au modèle précédent avec la substitution du nœud i au noeud j. Elle est aussi généralement placée entre une zone hallte et une autre basse pour cette fois maintenir une bonne pression dans la première (figure cidessous)
97
avec H,,=z,+=
Pd
si Pd est la pression de réglage et z; la cote du noeud i.
Zone basse
B.3.5 limiteur
-
Ligne piézo avec PSV
------
Ligne piézo sans ,PSV
de débit
Le rôle d’un tel appareil est de maintenir un débit constant quelles que soient les fluctualions des pressions amont et aval, Cette condition ne peut être respectée que si une charge minimale est respectée et la vanne restera grand ouvert dans le cas contraire. C’est pourquoi on les appelle, plutôt limiteur de débit.
98
Q,,=K,IHi-H ji “-“fH,-H ,I si Q!,lQ,
Q,,=Q, 6.3.6 Autres
si
Q,,>Q,
régulateurs
Il existe beaucoup d’autres appareils de régulation pour changer automatiquement le statut ou le réglage d’un élément du réseau sur une base temporelle ou sur la base d’une réponse a des conditions sur le réseau (par exemple démarrer une pompe si la pression à un nœud descend en dessous d’une valeur donnée et la démarrer quand elle est supérieure à une autre valeur). Les modèles existants peuvent représenter ces régulateurs de différentes façons. Certains les considèrent à part comme élément tandis que d’autres les considèrent comme étant des attributs de la conduite, de la pompe ou de la vanne contrôlée. Dans tous les cas, des tests sur les paramètres de réglage sont effectués pour modéliser le comportement et les équations à retenir comme dans les exemples ci-dessus.
8.4 Les pompes
centrifuges
La performance de la pompe est fonction du débit. Elle est décrite par 4 paramètres : l l l l
La Le La La
hauteur manométrique totale (total dynamic head) rendement global incluant le rendement du moteur (efficiency) puissance absorbée par la pompe (brake horsepower) charge nette requise à l’aspiration (net positive suction head, NPSH)
Seule la première courbe est nécessaire pour la simulation des réseaux. Les autres servent à estimer la consommation d’énergie, la puissance du moteur et les conditions d’aspiration. On peut avoir des pompes à vitesse fixe ou des pompes à vitesse variable dont la variation, causée directement par le moteur ou par un autre appareil, est assujettie à une réponse du réseau. On utilise ces dernières quand le débit varie rapidement alors que la pression reste pratiquement constante sans qu’on ait une possibilité de stockage par exemple. Une pompe centrifuge est souvent munie d’un clapet qui permet I’écoulement du nœud i au noeud j seulement et qui coupe le débit dans la tendance inverse. A cause de l’énergie apportée par la pompe, la charge Hj est plus élevée que Hi. Pour modéliser une pompe, les logiciels utilisent en général 3 modes de représentation pour représenter la courbe caractéristique HMT=f(Q) qui n’est pas linéaire. Les paramètres de cette fonction peuvent être entrés directement ou ajustés à partir de la donnée de plusieurs points de la courbe dont le point de fermeture (débit nul), le point d’opération nominal (meilleur rendement) et le point de débit maximal attendu.
99
l
Représentation
par la puissance hydraulique
constante PH
C’est un mode de représentation utilisé seulement dans un avant projet ou pour guider le choix d’une pompe quand on ne dispose pas de la courbe caractéristique de la pompe simulée. La précision n’est bonne que dans une plage ne comprenant pas les faibles et les forts débits(voir figure ci-dessus) :
Elle est beaucoup plus complexe que la première avec les 3 paramènes A (négatif), B (négatif ou nul) et C (positif, point de fermeture) pour représenter une courbe concave et monotone décroissante.
H j-Hi= AQv2+BQij+c L’approche par les débits donne :
-B-~B2-4A(c+Hi-H,,) si Hj-H,lc Q(i= 2A si H,-HiX’ Qij=o 100
.
La dérivation de ces deux fonctions se fait sans difficulté dérivation pour les conduites. l
en s’inspirant de la
Autre représentation Certains logiciels utilisent une représentation sous forme de puissance du débit différente de 2 avec les paramètres A et C ayant les caractéristiques décrites plus haut et un exposant n supérieur à 1.
H,-Hi=@+c L’approche par les débits donne dans ce cas :
Q l/=o
si
H,YH,ZC
Les courbes caractéristiques ci-dessus sont fixées pour une vitesse de rotation ni et un diamètre de roue Dl donné ; mais elles peuvent être utilisées pour d’autres vitesses de rotation n2 et d’autres diamètres de roue D2 en appliquant les lois de similitude des pompes centrifuges.
HI-m2 Dl2 -_-~ H 2 nz2Dz2 B.5 bornes
d’irrigation
ou d’incendie,
asperseurs
et autres
robinets
de puisage
Ces appareils peuvent être vus sous différents angles selon ce que l’on désire modéliser : l
l
On peut fixer le débit au nœud où ils sont branchés et calculer la pression résiduelle (nœud à consommation, fixée) On peut fixer la pression résiduelle (charge) au nœud considéré et y déterminer le débit (semblable au grand réservoir) 101
l
On peut enfin donner une relation Débit-Pression au noeud qui décrit le comportement réel de l’appareil
Ci=K pi” avec $!=Hi-zi
;
n un exposant égal à 0,5 en général ; et K un coefficient dépendant des unités et du type d’appareil. On aura évidemment une inconnue supplémentaire avec une équation de plus qui relie le débit et la charge hydraulique au noeud.
102
Chapitre 5 Calcul et simulation des réseaux
CALCUL
CHAPITRE ET SIMULATION
5 DES RESEAUX
? TRACE D’UN RESEAU
1.l TRACE THEORIQUE
1.2 TRACE
REEL
1.3 RESEAU
MAILLE ou RESEAU RAMIFIE
2 DIMENSIONNEMENT 2.1 DEFINITION
D’UN RESEAU RAMIFIE
DU PROBLEME
2.2 DEBITS DANS LES TRoNçoNs 2.3 COTE PIEZOMETRIQUE 2.4 AJUSTEMENT 2.5 TABLEAU
3 SIMULATION
EN TETE
DES CONDUITES
A LA COTE PIEZOMETRIQUE
EN TETE
DE CALCUL
DES RESEAUX
3.1 DEFINITION
DU PROBLEME
3.2 METHODES
D’HARDY
3.3 METHODES
MATRICIELLES
3.4 LOGICIELS
DU COMMERCE
CROSS
105
CALCUL
CHAPITRE ET SIMULATION
5 DES RESEAUX
Le concept de réseau ou système d’écoulement est fondamental dans un modèle de distribution d’eau. Le réseau contient toutes les sortes de composantes’ du système ‘et définit comment les éléments sont interconnectés. Il est composé de nœuds, qui représentent des objets ou non à des emplacements définis à l’intérieur du système, et de liens Nous avons défini les nœuds comme étant les points de desserte (prélèvement ou injection), la jonction d’une conduite avec un réservoir et les points de jonction de deux ou plusieurs éléments, Un tronçon est un lien entre deux noeuds qui peut être constitué d’un autre appareil hydraulique qu’une conduite et qui définit une relation entre ces deux noeuds. Les lois applicables au calcul des réseaux sont la loi des noeuds et la loi des tronçons comme définies au chapitre 4.
1 TRACE D’UN RESEAU
Le tracé d’un réseau consiste à relier entre eux les points de desserte de la façon la plus économique et la plus simple en ce qui concerne le fonctionnement d’ensemble. Des théories ont été élaborées sur les tracés économiques mais il est bien évident que leurs rés;tltats séduisants sont parfois modifiés par des impératifs pratiques. 1.7 Tracé fhéorique Trois options sont possibles pour effectuer le tracé théorique sur une carte ou un plan : a) Les canalisations traverseront le moins possible les propriétés privées et elles seront le plus souvent posées en bordure des routes et des canaux d’assainissement s’il s’agit d’irrigation. Le tracé est alors presque entièrement déterminé par le réseau de routes et de canaux. b) Les canalisations pourront pénétrer en terrain privé, mais seront le plus souvent placées en bordure des parcelles, plus rarement au travers de la parcelle (pour l’irrigation). Le tracé est alors déterminé par les routes et le parcellaire. Il est plus économique que le précédent mais il introduit certaines servitudes de passage. L”est la méthode la plus utilisée en irrigation. c) Les canalisations pourront traverser n’importe quel terrain (sauf cas particulier, terrain planté en arbres fruitiers par exemple en irrigation) et il est normal que les terrains irrigués par le projet supportent, s’il est nécessaire, des servitudes de passage. Très fréquemment on admet que les grosses canalisations peuvent traverser n’importe quel terrain car les ennuis qui peuvent en résulter sont comparés au coût de ces conduites ; par contre on s’impose pour les petites conduites de suivre les limites des parcelles, la limite entre les deux étant une question de jugement.
106
1.2 Tracés réels Le tracé théorique une fois déterminé sur le plan, le projeteur descend sur le terrain et parcourt tous les tracés à pied, en rectifiant, en fonction de la topographie locale, les tracés qui ne paraissent pas judicieux. On arrive ainsi à obtenir des tracés de canalisations à la fois bien adaptés au terrain et aussi proches que possible de l’optimum économique. L’emploi de photographies aériennes et de système de positionnement géographique (GPS) permettent de gagner du temps lors de l’étude du tracé réel et même du tracé théorique pour ce qui concerne les premières. De plus, le tracé du profil en long, les études de coup de bélier et les études de régmation (mise en place de réservoir) interviennent également pour définir les tracés réels. Les conduites doivent obligatoirement avoir une pente minimale ( 1 % dans le sens où l’eau monte et 4 % dans le sens où elle descend) pour faciliter l’évacuation de l’air aux points hauts et la vidange aux points bas. On est obligé parfois de créer artificiellement ces pentes par une série de points hauts et de points bas. 1.3 Réseau
maillé
ou réseau
ramifié
Le réseau de coût minimum pouvant alimenter un certain nombre de points de desserte bien déterminés est toujours un réseau ramifié. Cependant, le tracé et le calcul des réseaux présente souvent une difficulté importante, qui consiste à déterminer l’évolution des besoins dans le temps, liée à l’augmentation progressive de la demande en eau ( accroissement de la population et modification des habitudes en AEP ou intérêt grandissant ‘en irrigation). Pour éviter un suréquipement initial non rentable, on peut alors prévoir un équipement en plusieurs étapes, lié à l’évolution des besoins. Un des moyens de renforcement du réseau est le maillage de certaines conduites ; les autres moyens classiques étant l’adjonction de surpresseurs en tête ou dans le réseau (rehaussement de la cote piézométrique) et le doublement de certaines grosses conduites d’amenée. Le maillage des conduites augmente également la sécurité de desserte dans la mesure où un nœud du réseau a la possibilité d’être alimenté à partir de plusieurs conduites. Le maillage de certaines conduites peut être envisagé dans le cas où, sur le réseau, se trouveraient deux points assez rapprochés, dont les cotes piézométriques sont assez différentes pour permettre un transite de débit du point haut vers le point bas. Ces conditions se rencontrent dans le cas d’un relief accidenté ou bien dans le cas où une antenne terminale de petit diamètre se rapprocherait d’une grosse conduite. D’autre part, les maillages ne permettent que d’améliorer l’alimentation de la zone basse sans rien changer à l’alimentation de la zone haute. D’une façon générale, les maillages ne permettent pas un renforcement généralisé et systématique d’un réseau préalablement ramifié ; ce n’est donc que dans des cas bien particuliers que des maillages partiels peuvent être efficaces. En dehors de ces cas particuliers, ils ne présentent aucun intérêt économique.
107
2
DIMENSIONNEMENT
D’UN RESEAU RAMIFIE
Les réseaux ramifiés sont utilisés en AEP sur l’ossature principale (pour le transport) et en irrigation sur l’ensemble du système d’écoulement. 2.7 Définition
du problème
Le tracé étant déjà effectué, on cherchera à déterminer les diamètres des canalisations, la cote piézométrique en tête et la pression aux différents noeuds connaissant la demande, la pression de service et la cote en ces derniers. Les données du problème sont donc les suivantes : l
l
Les points de desserte sont recensés et définis (coordonnées et cotes) Pour chacun d’eux, le débit et la pression de service ou de sécurité sont connus. La pression de service est la pression nécessaire pour assurer le bon fonctionnement des appareils de desserte (robinets, bornes d’irrigation, bornes d’incendie, etc.)
Le calcul par ordinateur exige une numérotation des noeuds et des conduites et la définition numérique de la topologie du réseau. Certains logiciels du commerce, avec un environnement graphique procède à la numérotation automatique des noeuds et des conduites. Plusieurs procédés existent pour y arriver. 2.1.1
Numérotation de l’amont
des noeuds en séquence
par proximité
à partir
de l’aval
ou
Selon le sens du calcul, on peut procéder de l’aval vers l’amont ou dans le sens contraire: Pour le dimensionnement, on procède de l’aval vers l’amont. l
l
De l’aval vers l’amont Les numéros des noeuds sont consécutifs jusqu’à ce que l’on rencontre un nœud avec dérivation non encore numérotée ; on continue la procédure à l’aval de cette dérivation jusqu’à arriver en tête du réseau (figure 5-l -a). De l’amont vers l’aval Les numéros des noeuds sont consécutifs sur une branche jusqu’au noeud terminal. La procédure est répétée pour la branche dérivée du plus grand numéro de nœud non encore numéroté (figure 5- 1-b).
2.7.2 Numérotation
hiérarchisée
des nœuds
par proximité
On procède de la même manière mais les numéros ne sont pas séquentiels. Un exemple est illustré à la figure 5-2 en procédant de l’amont vers l’aval.
108
6
a) de l’aval vers l’amont
b) de l’amont vers l’aval Figure 5-1 : Numérotation
des noeuds en séquence par proximité
Figure 5-2 : Numérotation
hiérarchisée des noeuds de l’amont vers l’aval
2.1.2
Numérotation
des tronçons
Pour un réseau ramifié, on peut adopter le numéro du nœud aval comme numéro de tronçon. Pour définir la topologie (agencement des tronçons) du réseau, il faudra cependant adjoindre une matrice qui décrit le nombre et la liste des tronçons qui dérivent de chaque
109
noeud. Dans le cas des réseaux maillés, on peut également décrire les tronçons par UD seul numéro en prenant le soin de numéroter les boucles (mailles) et les pseudo-boucles, et décrire le nombre et la liste des tronçons qui composent chacune d’elles. Par exemple le réseau de la figure 5- 1-a sera décrit par le tableau ci-dessous. Numéro du nœud 1 2 3 4 5 6 7 8
Nombre de tronçons à l’aval 1 2 2 2 0 0 0 0
Liste des tronçons 8 l’aval 2 3;8 4;7 5;6 Vide Vide Vide Vide
La dénomination d’un tronçon par le couple (orienté) des deux valeurs des noeuds extrêmes clarifie les calculs et les présentations. Elle permet de reconstituer le sens de l’écoulement dans chaque tronçon avec les conventions du chapitre 4 ainsi que la topologie du réseau. Par exemple le même réseau peut être décrit par la liste des couples (1,2) ; (2,8) ; (2,3) ; (3,7) ; (3,4) ; (4,6) et (45). On peut également y ajouter un numéro décrivant le tronçon lui-même pour lever l’équivoque des tronçons en parallèle. La nature du tronçon (pompe, clapet ou vannes spéciales) est parfois décrite par un numéro dans certains logiciels du commerce qui n’ont pas un environnement graphique.
2.2 Débits
et diamètres
des tronçons
Le tracé et la numérotation des tronçons étant arrêtés, on calcule le débit de chaque tronçon suivant la loi de composition adoptée au chapitre 4 ( débit d’addition par exemple). On choisit les diamètres suivant une norme fournissant les diamètres usuels en fonction du débit, paragraphe 3.3.2 du chapitre 4 par exemple. Les tableaux de ce paragraphe donnent directement les diamètres correspondant aux débits. Pour le réseau on dispose désormais de toutes ses propriétés : nature (rugosité), longueur L, diamètre D, débit Q des tronçons d’une part, cotes du terrain naturel ZTN et pressions de service PS des noeuds d’autre part. On peut dès lors procéder au calcul de la cote piézométrique nécessaire en tête du réseau. 2.3 Cote piézométrique 2.3.1
Calcul
en tête
de la ligne de charge
à partir
de l’aval
(aller)
On procède ainsi qu’il suit de l’aval vers l’amont en calculant la perte de charge tronçon par tronçon par application de la loi de perte de charge retenue et le coefficient de perte de charge singulière choisi. 110
La cote piézométrique l
l
obligée du nœud 1 considéré peut être :
La cote du terrain naturel ZTN + la pression de service ou de sécurité PS du noeud 1 ‘lui-même La cote piézométrique tronçon (1,K)
obligée de tous les nœuds dérivés K + la perte de charge du
On choisit la plus élevée de ces différentes
cotes piézométriques.
On détermine ainsi la cote piézométrique nécessaire en tête pour garantir les pressions de service ou de sécurité aux noeuds. Elle peut être obtenue dans certains cas par la surélévation du radier d’un réservoir ou par installation d’une station de pompage.
2.3.2
Calcul de la ligne de charge
à pafiir
de l’amont
(retour)
Si une cote en tête supérieure ou égale à la cote piézométrique dessus est imposée, on procède de l’amont vers l’aval.
nécessaire calculée ci-
Pour chaque tronçon (1,K) dérivé de 1, sa perte de charge déjà calculée est déduite de la cote piézométrique définitive du noeud amont 1 pour obtenir la cote piézométrique définitive du nœud K.
2.4 Ajustement
des conduites
à la cote piézomètrique
en tête
S’il apparaît à la suite du calcul précédent qu’il existe des excédents de charge non négligeables ou si la cote en tête imposée est inférieure à la cote en tête calculée, on procède à une nouvelle définition des diamètres sur la conduite principale et les conduites dérivées. 2.4.1 Choix des diamètres Sur l’ensemble ou sur une partie de la conduite, on dispose d’une différence CHamont-Haval=AH) pour une longueur correspondante L.
de charge
On calcule pour chaque tronçon le diamètre théorique tel que la perte de charge unitaire qui résulte de son utilisation (J=aQ”/D”) soit égale à la charge unitaire disponible (J=AH/L), et ceci pour chaque tronçon. On choisit le diamètre commercial immédiatement supérieur.
111
.
2.4.2 Vitesse
limite
Pour tous les tronçons on vérifie que la vitesse limite n’est pas atteinte en comparant le diamètre modifié à la norme des diamètres correspondant au débit limite (paragraphe 3.3.2 du chapitre 4 par exemple) :
Q=2,553D2’308
en irrigation
en AEP Si le diamètre modifié est plus petit que le diamètre limite, on prend le diamètre limite. 2.4.3 Ajustement
de la ligne de charge
Avec les diamètres modifiés en fonction de la charge disponible ou en fonction des débits limites, on procède à un nouveau calcul par l’amont, identique à la procédure du parag:aphe 2.3.2, sur la conduite principale et sur les dérivées. 2.5 Tableau
de calcul
Le tableau 5-l permet de calculer la ligne de charge à partir de l’aval (calcul aller) puis le calcul de la ligne de charge à partir de l’amont (calcul retour) Lorsque l’on procède à un ajustement des diamètres on peut utiliser le même tableau mais dans ce cas J est la charge unitaire disponible et D est le diamètre ajusté: Les colonnes correspondent aux tronçons et sont dénommées comme ceux-ci par le numéro du nœud aval suivi du numéro du nœud amont. Chaque colonne est subdivisée en trois sous colonnes : l l l
L’une à gauche comprend les valeurs se référant au noeud aval du tronçon L’autre au centre comprend les valeurs se référant au tronçon lui-même La dernière à droite comprend les valeurs se référant au nœud amont du tronçon.
Les lignes correspondent aux rubriques suivantes : 0
Les rubriques se référant au nœud aval inscrites dans les sous colonnes de gauches : -
N” tronçon
-
ZTN AV (m)
: cote du terrain naturel à l’extrémité aval du tronçon
112
-
PSS AV (m)
- Z AV min (m)
- QD l
: cote piézométrique minimale à l’extrémité aval du tronçon (somme des 2 lignes précédentes) : débit du point de desserte situé à l’extrémité aval du troncon exprimé en unité usuelle
,Les rubriques concernant l’ensemble colonne centrale :
-
QT (m3/s)
- u (mh) - Db-0
l
: pression de service ou de sécurité à l’extrémité aval du tronçon, la pression de sécurité est choisie égale à 0,.5 ou 2 m suivant les projets
du tronçon qui sont inscrites dans la sous
: débit total du tronçon : vitesse usuelle retenue permettant le choix du diamètre : diamètre retenu
-
LT(m)
: longueur du tronçon
-
KT (SI)
: rugosité du tronçon (fonction de la formule de perte de charge et du matériau utilisés)
-
J (m/m)
: perte de charge unitaire
-
AHT
: perte de charge du tronçon tenant compte des pertes de charge singulières (majoration de 10 %) ; AHT=l ,l *LT*J
Les rubriques suivantes qui sont placées dans les sous colonnes correspondant à l’extrémité du tronçon à laquelle elles se référent (sous colonnes de gauche pour les 3 premières et sous colonnes de droite pour les 2 dernières) : Z At min (m) - Z At aller (m)
: cote piézométrique amont minimale ; c’est la somme de Z AV min et de AHT : cote piézométrique amont retenue en tête de tronçon calculée en prenant pour Z aval la plus forte des valeurs suivantes :Z AV min du tronçon et Z At aller des tronçons en dérivation situés en aval ; plus la perte de charge du tronçon considéré. La dernière tête.
-
Z At retour (m)
valeur
de Z At aller est la cote obligée en
: cote piézométrique amont de chaque tronçon
113
3
-
Z AV retour (m) : cote piézométrique aval de chaque tronçon égale à Z At retour moins AHT
-
PE(m)
SIMULATION
: pression excédentaire (excédent de charge) égale à Z AV retour moins Z AV min.
DES RESEAUX MAILLES
Les réseaux d’alimentation en eau potable sont souvent maillés. Cette disposition résulte d’une part de la desserte des utilisateurs situés tout au long des voies de circulation qui constituent souvent un réseau maillé. Le maillage du réseau permet en outre une garantie (au moins partielle) d’alimentation des usagers en cas de non-fonctionnementt d’une partie du réseau.’ 3.1 Définition
du problème
Les points de desserte sont définis comme dans un réseau ramifié. Une fois les éléments de base et la topologie du réseau définis, d’autres affinements peuvent être faits selon les objectifs visés au moyen d’une simulation du comportement du réseau. 11 existe plusieurs types de simulation qu’un modèle mathématique peut effectuer, selon ce que l’usager cherche à observer ou à prédire. Les deux types fondamentaux sont : 3.7.7 Simulation
d’un état permanent
On calcule l’état du système en supposant que les demandes et les conditions aux limites (niveaux des réservoirs, fonctionnement des pompes, état des vannes . ..) ne changent pas dans le temps. Les systèmes réels sont à peine dans un état permanent car les conditions aux limites changent continûment et les pompes sont arrêtées et démarrées de façon cyclique. Toutefois la réponse à un jeu de conditions hydrauliques (les pointes horaires ou un incendie à un noeud particulier) peut être intéressant à étudier (conditions les plus défavorables y CO‘~Pris la défaillance de certains éléments pour lesquelles le temps n’intervient pas). Les simulations d’états permanents sont aussi les blocks de construction des autres types de simulation comme la simulation sur une période étendue (une journée entière par exemple), l’analyse de la qualité de l’eau, les études de protection contre les incendies, l’état initial dans l’étude des coups de bélier, les analyses de coût du fonctionnement d’un réseau, etc.
114
(Ll) (L2) (L3)
N” Tronçon ZTN AV (m) PSS AV (m)
Tableau 5-l : Calcul de la cote piézométrique en tête d’un réseau ramifié (les tronçons dérivés sont situés à gauche du tableau qui se remplit de l’aval vers l’amont. La ligne (Ll) donne l’ossature du réseau. (L2),(L3),(LS),(L7),(L9),(LlO) sont les données du problème (L4)=(L3)+(L2) (L6) se calcule par la loi des noeuds. Pour le débit d’addition (L6)= Somme de (L5) de la colonne considérée et des (L6) des colonnes précédentes où la sous colonne droite de (Ll) est égale à la sous colonne gauche de (Ll) de la colonne considérée. (LS) se calcule à partir de (L6) et (L7) par les formules et les tableaux du paragraphe 3.3.2 du chapitre-4. (Ll 1) est donnée par la formule de perte de charge retenue J=a(L6)” / (L8)m (L12)=l,l*(Ll l)*(L9) et (L13)=(L4)+(L12) (LI 4) est le maximum entre (L4) de la colonne considérée et les (L14) des colonnes précédentes où la sous colonne droite de (Ll) est égale à La sous colonne gauche de (Ll) de la colonne considérée, plus la ligne L12 (L15) se remplit de la droite vers la gauche. Elle est égale à (L15) de la colonne suivante où (Ll) de la sous colonne de gauche est égale à (Ll) dc la sous colonne de droite de la colonne cowidérée, moins la ligne L12 (L16)=(L15)-(L12) et (L17)=(L16)-(L4)
115
Diverses méthodes itératives (Hardy-Cross, Newton-Raphson, Wood-Charles, etc.) ont été mises au point pour la simulation dé l’état permanent des réseaux maillés. Toute méthode de résolution d’un système de 1 équations non linéaires à 1inconnues pourrait convenir. En effet si n est le nombre de noeuds à consommation fixée ; f, le nombre de nœuds où la hauteur piézométrique est fixée (réservoir) ; r le nombre de nœuds où l’on a une relation entre la hauteur piézométrique et le débit ; b, le nombre de boucles indépendantes et 1 le nombre de liens; on pourra écrire n équations indépendantes pour la loi des nœuds, b équations indépendantes pour la loi des mailles, r relations entre débits et hauteur piézométrique et ri-f-1 équations pour la loi des pseudo-boucles. Le système est bien posé si le nombre total d’équations est égal au nombre d’inconnues qui sont les 1 débits des liens plus r consommations et r hauteurs piézométriques (équation 5-l).
l=n+b+ f -1
(5-U
Les diverses méthodes peuvent utiliser deux approches différentes maillé :
pour calculer le réseau
Approche aux noeuds On considère que le système est résolu lorsque l’on connaît les hauteurs piézométriques et les consommations à tous les nœuds. A partir de ces informations, on peut déterminer les débits dans tous les liens. Le système d’équations posé comporte donc les inconnues aux noeuds. l
Approche aux boucles Elle consiste à déterminer les débits dans les liens nœuds à partir d’un noeud où elle est connue piézométrique fixée (réservoirs par exemple) par d’équations posé ne comporte comme inconnues n’a pas de noeuds avec relation hauteur-débit. l
3.1.2 Simulation
sur une période
et calculer par la suite les charge? aux et les débits des noeuds à hauteur l’équation de continuité. Le système que les débits ,dans les liens si i’on
étendue
Elle détermine un comportement quasi-dynamique du système sur une période en calculant l’état du système comme une série de simulations d’états permanents dans laquelle les demandes et les conditions aux limites changent avec le temps. Elle est utile pour étudier l’effet de l’utilisation de l’eau avec le temps, les cycles de remplissage et de vidange des réservoirs ou la réponse des pompes et des régulateurs aux changements dans le système. La simulation sur une longue période exige beaucoup de données. Comme un film comporte une série d’images fixes en séquence, cette simulation comporte une succession de calculs d’états permanents. A chaque pas de temps de simulation d’un état permanent donné, les conditions aux limites sont réévaluées et actualisées pour refléter les changements aux noeuds à consommation fixée, les niveaux de l’eau dans les réservoirs, les états des pompes et des régulateurs, etc. Puis un autre pas de temps est pris et le processus continue jusqu’à la fin de la période de simulation.
116
Le pas de temps est choisi en fonction de la précision recherchée et peut faire l’objet d’une analyse de sensibilité. Un équilibre doit cependant être recherché entre le temps de calcul et la précision. De telles études ne sont valables que si l’on peut ajuster le modèle sur une observation précise de la situation réelle. Des techniques de calage des paramètres du modèle sont disponibles dans certains logiciels du commerce. La simulation du fonctionnement d’un réseau sur une longue période est aussi à la base des modèles d’analyse de la qualité de l’eau. Elle permet également de prévoir les dispositions à prendre pour assurer une bonne qualité du service au moindre coût (l’analyse du coût de fonctionnement étant intégrée dans certains logiciels du commerce).
3.2 Méthodes
de Hardy
Cross
est l’une des premières méthodes utilisées pour le calcul des La méthode de Hardy-Cross réseaux maillés. Elle permet à la fois un calcul manuel et une programmation simple sans utiliser des matrices donc sans beaucoup de mémoire d’ordinateur. On distingue la méthode d’égalisation des charges (approche aux boucles) et la méthode d’égalisation des débits (approche aux nœuds). 3.2.1 Méthode
d’égalisation
des charges
C’est la méthode classique de Hardy-Cross qui s’applique au calcul des débits qui circulent dans les tronçons définis d’un réseau maillé qui dessert une série de points de distribution. Cette méthode s’appuie sur la loi des nœuds exprimant la conservation des débits en chaque nœud et la loi des mailles exprimant que la perte de charge est nulle le long d’une maille. 1’) Principe de la méthode Dans une maille considérée on peut choisir à priori une série de débits qui respectent la loi des nœuds (figure 5-3). Cette répartition arbitraire des débits n’a aucune raison de respecter la loi des mailles. La méthode consiste à ajuster la répartition initiale des débits pour respecter la loi des mailles tout en continuant à respecter la loi des nœuds. Pour les débits choisis QI, Q2, . ., Qi, . . ., QN, la perte de charge le long de la maille est différente de 0 :
AH=@f,+Affp
....+~i+.....+~NfQ
Pour chaque tronçon, les débits et les pertes de charge sont exprimés positivement si l’écoulement s’effectue dans le sens de circulation choisi (sens des aiguilles d’une montre par exemple) et négativement dans le cas contraire.
117
Qo ------+
1
Qi .------+
\
Figure 5-3 : Principe de la méthode d’égalisation des charges de Hardy-Cross.
Si la perte de charge est exprimée par une loi du type AH,=
on peut écrire
pour une maille l’équation suivante :
La méthode consiste à rechercher une correction de débit dq uniforme pour tous les tronçons de la maille (uniforme pour que la loi des noeuds continue à être respectée) qui permette de respecter la loi des mailles. La correction dq doit être telle que la perte de charge AH le long de la maille soit nulle :
Si dq est petit devant les Qi on peut faire le développement limité au terme du premier ordre en dq de l’expression ci-dessus et en tirer la correction de débit donnée par l’équation générale (5-2) qui, dans le cas où l’on aurait que des conduites dans la maille donne l’expression (5-3). i=N CMi
(5-2)
118
(5-3)
On peut ainsi calculer par itération une nouvelle répartition des débits qui respecte à la fois la loi des noeuds et la loi des mailles à E près.
2O) Mise en œuvre de la méthode a) On numérote les mailles et les tronçons. b) Les tronçons étant définis, on procède à une répartition initiale à priori des aéhits (par exemple en adoptant les vitesses usuelles V = 1 m/s). Cette répartition doit respecter la loi des noeuds partout. Le choix d’une bonne répartition initiale des ‘débits diminue le nombre d’itérations à effectuer pour la convergence. Pour cela il suffit de choisir les débits à priori correspondant aux vitesses ou débits usuels présentés au paragraphe 3.3.2 du chapitre 4) c) Pour la première maille, on calcule dq et les débits corrigés Qi+dq d) On passe à la maille suivante pour faire les mêmes calculs. Cette étape autant de fois qu’il y’a de mailles. Le débit à considérer pour un tronçon deux mailles est le dernier débit corrigé (maille précédente) en tenant sens du débit (inversion de signe). La correction est donc faite deux fois tronçon.
est répétée contigu à compte du pour un tel
e) Un croquis permet de vérifier que la loi des noeuds est bien respectée. f)
Si tous les dq en valeur absolue sont inférieurs à une petite valeur E (1 Om4à 1Oe6m3/s), on arrête. Sinon, on va à l’étape c) avec comme nouvelle répartition des débits, les derniers débits corrigés.
Ce calcul peut être effectué à l’aide du tableau 5-2 qui comporte en ligne les divers tronçons regroupés par maille (les mêmes tronçons communs à deux mailles apparaissent deux fois à chaque itération). Les calculs des valeurs de dq successives afférentes aux diverses mailles sont effectués à la suite sur le même tableau en reportant chaque fois les débits corrigés. Le tableau comporte les colonnes suivantes : N”M
:
Numéro de maille
N”T
:
Numéro de tronçon
D(m) :
Diamètre du tronçon en mètre
L(m) :.
Longueur du tronçon en mètre
119
R
Résistance de la conduite, égale à a*L/D’” où le coefficient dépendent de la formule de perte de charge adoptée.
a et l’exposant m
*Q(m3/s) : Débit du tronçon en m3/s fixé à priori et respectant la loi des noeuds, indiqué positivement si le sens du débit est celui des aiguilles d’une montre dans la maille considérée, négativement dans le cas contraire. &AH(m)
: Perte de charge linéaire du tronçon en mètre, calculée suivant la formule adoptée, tenant compte éventuellement des pertes de charge singulières, comptée positivement ou négativement suivant le sens du débit.
AHIQ
: Rapport des valeurs figurant aux deux colonnes précédentes toujours positif.
*tCAH(m)
: Somme algébrique des pertes de charge des divers tronçons constituant une maille.
E(AH/Q) : Somme des termes AH/Q des divers tronçons constituant une maille, toujours positive. *dq(m3/s) : Valeur algébrique de la correction de débit sur la maille, égale à -
c AH ~q$Q
où
n a la valeur correspondant à l’exposant du débit Q dans la formule de perte de charge utilisée. *Q=Q+dq
: Valeur algébrique du débit corrigé en m3/s.
3’) Calcul avec service en route Cette méthode Hardy-Cross peut être appliquée en tenant compte du service en route. La répartition initiale des débits respecte la loi des nœuds et tient compte du débit de service en route. Le calcul Hardy-Cross est fait avec le débit équivalent. On en déduit ensuite les débits réels et on vérifie que la loi des nœuds est bien respectée. Le tableau 5-3 qui est dérivé du tableau 5-2 permet de mener à bien le calcul dans ce cas Dans le cas d’un calcul avec service en route, la valeur du débit équivalent change quand le sens du courant change (voir formule 4-10 du chapitre 4). Dans ces circonstances on constate des cas de non-convergence du calcul lorsqu’un réseau est alimenté par plusieurs réservoirs (existence possible d’un point neutre). On peut simplifier le calcul avec service en route en répartissant le débit de service en route en deux moitiés égales aux noeuds amont et aval de chaque tronçon. ’
120
*dq=
f AH(m) = N”M
N”T
I
W-4
i Q(m3/s)
I
I
I
II
l
I
I
I
I I
I
I I
I
I
l
I
I
I
l
I
I
I
I l
l I
I I
l
R=a*L/D”
W-4
I
I
l I
f CAH(m)
*Q=Q+dq
Croquis
l
j’&leau 5-2 : Tableau de calcul de la méthode d’égalisation des charges de Hardy-Cross (2, m et n dépendent de la formule de perte de charge adoptée).
121
*dq=
N”M
N”T
AwQ
I
I
l
*ICAH(m)
C(AH/Q
- c AH zkQ=Q+dq nx<-Y’
Croquis
/
Tableau 5- : Tableau de calcul de la méthode d’égalisation des charges de Hardy-Cross avec service en route (2, m et n dépendent de la formule de perte de charge adoptée).
122
3.22 &fhode
d’égalisation
des débits
Dans la méthode précédente, la somme algébrique des débits à chaque noeud est constamment nulle mais la perte de charge le long d’un circuit n’est annulée que par des corrections successives. La méthode d’égalisation des débits consiste à maintenir nulle la somme des pertes de charge le long d’un circuit et à amener, par corrections successives, la somme’des débits à etre nuIle en chaque noeud. 1’) Principe de la méthode En un noeud considéré, on peut choisir à priori une charge qui respecte la loi des mailles auxquelles il appartient (figure 5-4) . Cette répartition arbitraire des charges n’a aucune raison de respecter la loi des noeuds. La méthode consiste à ajuster la répartition initiale des charges pour respecter la loi des nœuds tout en continuant à respecter la loi des mailles. Pour les charges Ht, Hz, . . ., H;, . . ., HN aux N nœuds connectés au noeud i, la somme algébrique des débits qui arrivent et qui partent du noeud i n’est pas nulle : j=N
Pour chaque tronçon (ij), le débit Q,, est relié aux charges Hi et H; aux extrémités i et j (voir annexe du chapitre 4). Pour une conduite par exemple, on aura l’expression suivante :
Q,=KiJ avec
qui est la conductance de la conduite égale la résistance, définie ci-dessus au paragraphe 3.2.1, élevée à la puissance -I/n. D’où l’on peut tirer la loi des nœuds avec les paramètres estimés :
La méthode consiste à rechercher une correction respecter la loi des nœuds en i.
de charge dHi au noeud i qui permette de
123
lj
Figure 5-4 : Principe de la méthode d’égalisation des débits de Hardy-Cross.
La correction dHi doit être telle que la somme algébrique des débits au noeud i soit nulle :
XKg Hi+dHi-Hj
“-“Gj,+dHi-HjJ+Ci=’
Si dH, est petit devant les (Hi-Hj) on peut faire le développement limite au terme du premier ordre en dHi de l’expression ci-dessus et en tirer la correction de charge donnée par l’équation générale (5-4) qui, dans le cas où l’on aurait que des conduites dans la maille donne l’expression (5-5) avec L(i) qui désigne l’ensemble des nœuds connecté au nœud i.
(5-4)
(5-5)
On peut ainsi calculer par itération une nouvelle charge qui respecte à la fois la loi des mailles et la loi des débits à E près.
124
2’) Mise en œuvre de la méthode a) On numérote tous les nœuds. b) Les nœuds étant définis, on procède à une répartition initiale à priori des charges. Cette répartition doit respecter la loi des mailles partout. Le choix d’une bonne répartition initiale des charges diminue le nombre d’itérations à effectuer pour la convergence. c) Pour le premier nœud, on calcule dH et la charge corrigée H+dH d) On passe au nœud suivant pour faire les mêmes calculs. Cette étape est répétée autant de fois qu’il y’a de noeuds où l’on ne connaît pas la charge. e) Si tous les dH; en valeur absolue sont inférieurs à une petite valeur E (1 O-* à 10” m), on arrête. Sinon, on va à l’étape c) avec comme nouvelle répartition des charges, les dernières charges corrigées. Ce calcul peut être effectué à l’aide du tableau 5-4 qui comporte en ligne les divers tronçons regroupés par liens avec le noeud pour lequel on calcule la correction de charge. Les calculs des valeurs de dH successives afférentes aux divers noeuds sont effectués à la suite sur le même tableau en reportant chaque fois les charges corrigées. Le tableau comporte les colonnes suivantes : Hi (m) :
Charge au nœud de référence i où l’on calcule la correction de charge
Hj (m):
Charge au nœud lié au noeud de référence i qui définit le tronçon (ij)
Di, (m) :
Diamètre du tronçon (ij) en mètre
Lij (m) :
Longueur du tronçon (ij) en mètre
conductance de la conduite, égale à
où le coefficient
a et les
exposants n et m dépendent de la formule de perte de charge adoptée. =tCi(m31S) : Consommation au noeud i en m3/s, comptée négativement injection et positivement s’il s’agit d’un prélèvement
s’il s’agit d’une
* (Hi-H.i ) : Différence des charges entre les nœuds i et j %Qii (m3/s) : Débit du tronçon en m3/s calculé à partir de la différence des charges Hi-H, par la formule de perte de charge adoptée et qui est égale à K,~H~-H~~-‘)~,--~
,)
125
: Rapport des valeurs figurant aux deux colonnes précédentes, toujours positif.
Qij/(Hi-H.i> *CQi+Ci
: Somme algébrique des débits des divers tronçons partant ou arrivant au nœud i plus la consommation à ce nœud.
C Qii/(Hi-Hj) : Somme des termes Q,/(Hi-Hj) i, toujours positive. *dH,(m) : valeur -n
algébrique
C@C,
des divers tronçons partant ou arrivant au nœud
de la correction
de charge sur le nœud i, égale à
où n a la valeur correspondant à l’exposant du débit Q dans la
formule de perte de charge utilisée. *Hi=HI+(*dHi)
: Valeur algébrique de la charge corrigée en m3/s.
3’) Remarques Avec la méthode d’égalisation des débits de Hardy-Cross comme avec toutes les approches aux noeuds, on s’affranchit de la construction et de l’identification des boucles. Par contre, il faut décrire la topologie du réseau en indiquant les nœuds liés à chaque noeud de référence ou nœud de calcul. Cette méthode n’est pas bien adaptée au calcul direct des réseaux avec service en route car la seule connaissance du débit équivalent, déduit de la différence des charges aux extrémités d’un tronçon, ne permet pas la détermination des débits amont et aval. Certains auteurs affirment que la méthode d’égalisation des débits est, le plus souvent, moins rapide que celle d’égalisation des charges. En fait tout dépend du choix initial des charges pour la première et des débits pour la seconde qui a été fait.
126
I
I
I
I
I
Nœud Nœud lié j de réf i
I
I
I
I
I
zt Qii (m3/s)=
Kij = Dij Cm>
I
Lij
f Ci
b-0
(m3/s)
* (Hi-H, )
AdHi =
(rQt+G)
C Qij(Hi-Hj)
-n %Q,,c Q
*Hi=Hi+(-tdHi)
C(gIjEJy
Tableau 5-2 : Table;u de calcul de la méthode d’égalisation adoptée).
dt; débits de Hardy-Cross (a, m et n dépendent de la formule de perte de charge
127
Noeud de réf i
Nœud lié j
f Q;, (m3/s)=
Kij =
-f ci
* (Hi-Hj > K.,Ifk~
(m3/s)
(ii)
jl”-“k-H
-tdHi = Qji/(Hi-H,)
@Q~+CJC Q,/(H,-H,)
*Hi=Hi+(*dHi)
-1 Tableau 5-2 : Tableau de calcul de la méthode d’égalisakx adoptée).
des débits de Hardy-Cross (a, JTJet n dépendent de la formule de perte de charge
128
1
3.3 Méthodes
matricielles
La simulation des réseaux complexes, avec le nombre élevé d’opérations à effectuer, exige une convergence rapide des méthodes à utiliser et par conséquent une approche, différente de celle de Hardy-Cross, où les corrections de débits ou de charges résultent d’un traitement simultané et non successif de l’ensemble des équations du système. La technique de linéarisation des équations donnant la différence de charges aux extrémités des tronçons en fonction du débit et vice-versa constitue la différence fondamentale entre les diverses méthodes matricielles. Leurs vitesses de convergence sont en général beaucoup plus rapides car les corrections apportées sur les débits dans les tronçons ou sur les inconnues aux nceuds (charge ou consommation) ne sont plus uniformes et portent sur l’ensemble du réseau à chaque pas de calcul. Les propriétés des matrices qui sont traitées (définies positives, éparses c’est à dire avec beaucoup de zéros, . ..) permettent d’utiliser des techniques de stockage de données et des algorithmes de résolution économes en capacité mémoire des ordinateurs et en temps de calcul. La méthode de Newton-Raphson, appelée parfois méthode du gradient, est la plus utilisée parmi les différentes méthodes matricielles. Nous décrivons ci-après la théorie générale de la méthode suivie d’un exemple simple d’application.
3.3.1 Théorie
générale
de la méthode
de Newton-Raphson
Soit X = (x1, x2. . . . , XN) un vecteur de N composantes inconnues xj et un vecteur F(X) ayant N fonctions vectorielles comme composantes qui sont fi(X) = fi(xi, x2 , . . . , XN) pour i allant de 1 à N. Le problème posé est de résoudre le système d’équations parfois non linéaires F(X)=vecteur 0. Par un développement en série de Taylor autour de X limité aux termes du premier ordre, on obtient le système linéaire suivant où [J] est le jacobien (matrice carrée d’ordre N) de F :
df
Le jacobien [J] , dont le terme général a, est 2 est évalué au point X. b, ’ En essayant de trouver une correction 6X de telle sorte que F(X+ AX)=O, on obtient le système d’équations linéaires exprimé sous forme condensée par la relation (5-6) suivante.
[J&f=-FG9
(j-6)
129
En général, le AX obtenu à l’aide de l’équation (5-6) ne donne pas la solution immédiate du système d’équations non linéaires de départ F(X)=0 mais sous certaines conditions, il permet d’obtenir une meilleure approximation de la solution La procédure
de mise en œuvre de la méthode est la suivante :
1) Choix initial d’un point X(O) arbitraire 2) Générer une suite de points X(l), Xc2), . . .., X’“‘, Xck+‘) à l’aide des relations suivantes jusqu’à ce que la précision désirée soit atteinte :
[I J
*)~(k+l)+k)
Les exposants (k) de J et F signifient que les valeurs sont évaluées au point Xck’ s-t (k) désigne l’étape du calcul. Le critère de convergence peut porter sur une norme quelconque, par exemples :
Dans la méthode de Newton classique, tk=l. dans la méthode de Newton modifié ar P Raphson, on prend O
3.3.2 Exemple
d’application
de la méthode
de Newton
Nous allons présenter la méthode par un exemple, en l’occurrence le problème des trois réservoirs dont Ies données sont fournies à la figure 5-5. Pour solutionner ce problème nous utilisons l’approche aux nœuds consistant à déterminer les consommations Cl, CI et C3 et la charge Hq. Pour ce faire, nous avons 4 équations de continuité exprimées en fonction des inconnues :
130
334
m
21,3
m
Figure 5-5 : Exemple des 3 réservoirs interconnectés, le coefficient de Strickler des conduites est de Ks=SO
Si nous cherchons les valeurs de ACt, ACz, AC3 et AH4 qui annulent les 4 équations ci-dessus en faisant leurs développements limités autour du point (CI, C2, C3, Hd), nous obtenons le système d’équations linéaires en (ACt, ACZ, AC3 ,AH4) suivant :
loo
-K
olo -K
14lfI
1-H n
1eIE-i2-H
oo _ K ,,IH
3n-
rl 3 K4jH4-Hj oooc n I=l
41” 41+-I
I:
H 4f-’ ‘.n
- f7 1 - f 2
- f 3 - f 4-
’
131
La matrice des coefficients est déjà sous forme de matrice triangulaire supérieure et il ne reste plus à procéder à la substitution à reculons pour trouver les corrections AH4, AC3 , AC2 et ACI dans l’ordre :
Le calcul des valeurs de I$=IQj donne les valeurs suivantes si on utilise la formule de Manning Strickler avec Ks=8O et les données de la figure (5-5): K14=0,4552 ; &4=0,1603 et K34=0,1843.
En remplaçant les valeurs connues Ht=33,5m ; H2=21,3m ; Hs=12,2m et Ca=0 m3/s et en partant d’un choix initial X(“)=(Cl(o), Ci’), C3(‘), H4(‘))=(-1,00m3/s , 0,25m3/s , 0,75m3/s , 24,4m) on peut calculer par une première itération les corrections ci;dessus et générer un nouveau point X(l) , puis une deuxième itération avec X(l), ainsi de suite. Le calcul jusqu’à la deuxième itération est illustré à travers ces tableaux ci-après :
. ..i...
I
: ,/
_...,
,, “, ,: ,” f ‘>:
Hi-H4'
9,100 1,373 0,373 -0,144
Qi-4 fi A& ..c
H,- H4 Qi-4 fi
.A&
,,
6,066 1,121 -0,023 0,026
-3,100 -0,282 -0,032 0,170 Dètixième
itërâtion
-6,134 -0,397 0,023 -0,022
-12,200 -0,644 0,106 -0,026 Ir_
-15,234 -0,719 0,004 -0,004
“:_
-0,447 3,034 ",
I
-0,005 0,031
132
Les valeurs des fonctions fi indiquent qu’il est inutile de continuer le calcul des corrections au-delà de la deuxième itération car on peut adopter le critère
+0,05.
La solution
retenue est illustrée au schéma suivant :
i 1118
Ils
r-l
Répartition des débits trouvés
72011s’
/
3
3.4 Logiciels
du commerce
De nombreux logiciels de simulation de réseaux existent dans le commerce. Ils sont capables d’analyser des réseaux complexes comportant des pompes, des réservoirs à niveau variable avec des cuves de forme quelconque et d’autres appareillages hydrauliques et de régulation. Les prix de ces logiciels varient généralement en fonction de la taille maximale du réseau qu’on veut traiter. Leurs différences résident surtout dans la convivialité de l’intwface utilisateur car ils tous basés sur la théorie des réseaux qui a été présentée dans ce paragraphe. Certains d’entre eux contiennent des modules de calculs économiques du fonctionnement et d’analyse de l’évolution de la qualité de l’eau (concentration d’une substance chimique par exemple) avec les équations de la convection de la matière et celles de la cinétique des réactions. Ces calculs sortent du cadre de ce cours.
133
Chapitre 6 Notions sur les écoulements non-permanents (le coup de bélier)
CHAPITRE 6 SUR LES ECOULEMENTS NON-PERMANENTS (LE COUP DE BELEIR)
NOTIONS
1 ANALYSE
PHYSIQUE
2 EQUATIONS
DU PHENOMENE
DU PHENOMENE
2.1 MISE EN EQUATION 2.2 CELERITE
DU COUP DE BELIER
DES ONDES
2.3 CONDITIONS
3 METHODES
AUX LIMITES
DE RESOLUTION
3.1 METHODE
DES CARACTERISTIQUES
3.2 METHODE
DES DIFFERENCES
3.3 METHODE
D’ALLIEVI
3.4 METHODE
GRAPHIQUE
4 VALEURS
MAXIMALES
4.1 VALEURS
5.4 BALLON
DU COUP DE BELIER LE LONG DE LA CONDUITE
DE MASSE HYDRAULIQUE
5.2 ETABLISSEMENT 5.3 CHEMINEE
DU COUP DE BELIER
DU COUP DE BELIER
5 OSCILLATIONS 5.1 PENDULE
DE BERGERON
MAXIMALES
4.2 REPARTITION
FINIES IMPLICITES
DE L’ECOULEMENT
DANS UN TUBE
D’EQUILIBRE D’AIR
6 PROTECTION
DES CONDUITES
DE REFOULEMENT
6.1 PROCEDES
POUR LIMITER
LES DEPRESSIONS
6.2 PROCEDES
POUR LIMITER
LES SURPRESSIONS
137
NOTIONS
CHAPITRE 6 SUR LES ECOULEMENTS NON-PERMANENTS (LE COUP DE BELEIR)
Le coup de bélier est un phénomène de propagation d’ondes élastiques de surpression et de dépression dont les causes les plus fréquentes sont : l L’arrêt brutal ou le démarrage d’une ou de plusieurs pompes alimentant une conduite de refoulement débitant dans un réservoir ; l La fermeture ou l’ouverture instantanée ou trop rapide d’une vanne de sectionnement ou d’un robinet d’obturation placé au bout d’une conduite d’adduction ; l Bref une modification instantanée du débit d’un appareil placé en un point d’un réseau de conduites. La brutalité du coup de bélier est à l’origine de nombreux éclatements de conduite car les surpressions engendrées peuvent atteindre des valeurs très élevées. Il faut donc étudier les moyens pour limiter ses effets afin d’économiser sur la construction des tuyaux (pression nominale nécessaire de la conduite).
1 ANALYSE
PHYSIQUE
1.1 Fermeture
DU PHENOMENE
instantanée
d’une vanne
à /‘aval d’une conduite
Considérons le cas simple de la figure 6-l où une conduite horizontale de caractéristique unique (diamètre et épaisseur constants) relie un réservoir R à niveau constant et une vanne V. Nous négligerons les frottements le long de la canalisation et nous verrons plus loin ses effets sur le phénomène. La conduite a une longueur L et transporte de l’eau (sans poche d’air) avec une vitesse VO. Supposons que la vanne soit fermée instantanément au temps t=O (figure 6-la) La tranche d’eau adjacente à la vanne vient s’écraser contre celle-ci et s’immobilise. Comprimée par la colonne d’eau, la tranche se raccourcit et produit un gonflement du tuyau. Ce phénomène se reproduit pour la tranche précédente et, de proche en proche, jusqu’au réservoir (figures 6- 1b et 6- 1c). On constate donc à la vanne au temps t=O la formation d’une onde de surpression 8 front raide se propageant vers l’amont avec une célérité c. Au temps t=L/c, la conduite contient une colonne d’eau immobile (V=O) et entièrement comprimée. Mais la pression à l’entrée de la conduite est commandée par le niveau du plan d’eau dans le réservoir. La tranche d’eau à l’entrée se décomprime donc vers l’amont, puis la tranche suivante, et ainsi de suite. Une onde de dépression descend, se superposant à l’onde précédente et ramenant la pression à sa valeur initiale (figures 6-ld et 6-le). Tout se passe donc comme si l’onde de surpression avait été réfléchie avec changement de signe. Pendant le temps L/c que met l’onde de dépression pour parcourir la conduite, celle-ci rejette dans le réservoir un débit égal au débit initial (ce qui suppose la conservation de l’énergie : énergie cinétique, énergie de pression et énergie potentielle de déformation).
138
Au temps 8=2L/c, la colonne d’eau est uniformément animée d’un mouvement vers l’amont (réservoir). Le temps Cl=2L/c que l’onde de surpression met pour parcourir la conduite aller et retour s’appelle phase. Comme la vanne est complètement fermée, il n’y a pas d’eau disponible pour maintenir l’écoulement ; il se développe alors une onde négative à cause de l’inertie de telle sorte que la tranche d’eau adjacente à la vanne s’immobilise. Tout se passe comme si l’onde négative incidente était réfléchie en conservant cette fois-ci son signe. Cette dépression se déplace vers l’amont avec une célérité c jusqu’au réservoir de sorte qu’au temps t=3L/c, la colonne d’eau est complètement immobilisée (figures 6-1 f et 6-lg). Le niveau du plan d’eau dans le réservoir contrôlant la pression à l’entrée, la tranche d’eau à l’entrée reprend sa forme et sa pression originale, puis la tranche suivante, et ainsi de suite. L’onde de pression se déplace vers l’aval avec une célérité c ; à l’instant t=4L/c, les conditions d’écoulement sont exactement les mêmes que celles à l’instant t=O (figure 6- 1h et 6- 1i). La figure 6-2 montre l’évolution de la pression et de la vitesse en quelque section choisie dans notre exemple ci-dessus (à la vanne et au milieu de la conduite). On peut tracer les mêmes courbes pour chaque section de la conduite à partir de la figure 6-l. En maintenant l’hypothèse d’absence de perte d’énergie, ce phénomène est périodique et se répète à tous les intervalles de temps T=28 =4L/a appelés période.
f.2 Arrêt brutal
d’une pompe
à l’amont
d’une conduite
de refoulement
Les coups de bélier les plus importants sont ceux qui se produisent au moment d’une coupure du courant d’alimentation d’une station de pompage refoulant vers un réservoir (arrêt des pompes par exemple à cause d’une disjonction). A l’instant précédant immédiatement l’arrêt des pompes, l’eau circule dans la canalisation avec une vitesse uniforme VO. Lorsque les pompes s’arrêtent, les forces d’inertie empêchent la masse d’eau en amont de s’arrêter brusquement et celle-ci continue à avancer vers l’aval en donnant naissance à une onde de dépression qui se propage vers l’aval. Arrivée au réservoir d’extrémité au temps t= L/c, l’onde de dépression se réfléchit en changeant de signe : elle devient une onde de surpression qui vient s’ajouter à l’onde incidente. Au temps t=2L/c, l’onde positive arrive au niveau de la pompe où le clapet est déjà fermé. Elle est alors réfléchie en conservant son signe. C’est en ce moment que la surpression /coup de bélier) intervient dans la conduite et un phénomène de propagation identique à celui décrit au paragraphe ci-dessus intervient si la dépression engendrée initialement n’est pas trop forte pour faire intervenir des phénomènes de cavitation. En l’absence de frottement, on aurait aussi un phénomène périodique de,période T=4L/c.
139
t=o r -=.-i
d)
SI
Ua
t=dUa
Figure 6-1 : Analyse physique du phénomène du coup de bélier ( conduite horizontale sans frottement reliant un réservoir et une vanne fermée instantanément au temps t=O)
140
a) à la vanne ----I
-----
I I
I
1
I I
I
I
I
I 3uc
IJ 1
c
1 5UC
7Llc
By/C
-1
I
I I I I I
I -----m----
b) au réservoir
il
t
I I I I
; I I
I I
I --------w-
B=O
V1 “oL----l
-mm I I
Oi 'Vo
I Li= I I
I----1--m--
2Llc
3
-------
I
I I
I
I
1
i
c
q
4LIc
5lJc
I
I
I I
I I--m-
I I
-a---
: 6Uc
i
-t
7ic
I ------
I I
Figure 6-2 : Variation de la pression et de la vitesse en fonction du temps en quelques points de la conduite de la figure 6-l
141
c) au milieu
de la conduite
Figure 6-2 (suite) : Variation de la pression et de la vitesse en fonction du temps en quelques points de la conduite de la figure 6-1
142
1.3 Généralisation On peut généraliser les deux exemples ci-dessus ( fermeture en aval et fermeture en amont) en laissant tomber la cause de la modification du débit initial : l
l
Dans le cas d’une fermeture en amont ou d’une ouverture en aval, la première onde serait une onde de dépression ; Dans le cas d’une ouverture en amont ou d’une fermeture en amont, la première onde serait une onde de surpression.
Au bout du temps L/c, une onde d’équilibre engendrée au réservoir (nous ne considérons ici que ce cas de condition aux limites simple) se propagerait en retour jusqu’à l’organe de manoeuvre où elle arriverait au temps 0=L/c. A ce moment là, prendrait naissance une onde de sens opposé à la première onde qui se propagerait à partir de l’organe de manœuvre pour arriver au réservoir au temps 3L/c. Cette onde sera suivie d’une onde d’équilibre qui atteindrait l’organe de manoeuvre au temps 28=4L/c et le phénomène recommence. Le phénomène du coup de bélier sera encore plus accentué si l’onde de dépression est suffisante pour que la pression de vapeur du liquide soit atteinte dans la conduite. Il se crée alors une ou plusieurs poches de cavitation et la veine liquide se séparer en deux (séparation de colonne). En effet, lorsque la pression reprend une valeur positive, cette poche de cavitation se referme très brutalement en engendrant à son tour une surpression très importante. L’action des frottements a pour résultat d’affaiblir progressivement le phénomène : amortissement progressif des ondes de surpression et dépression en un point de la conduite. On a ainsi des phénomènes périodiques amortis en chaque section de la conduite qui vont atteindre u nouvel équilibre final. On qualifie souvent ce régime de régime transitoire qui est le passage d’un régime permanent à un autre régime permanent. On exclue donc dans ce chapitre les écoulements variables provoqués par l’action permanente d’une source perturbatrice entretenue (résonance hydraulique).
2 EQUATIONS
DU PHENOMENE
2.1 Mise en équation
du coup de bélier
L’équation de continuité écrite pour une tranche de conduite infinitésimale dX donne les expressions (6-l) et (6-2) si l’on néglige l’énergie cinétique dans la charge hydraulique et si l’on tient compte de : l
La compressibilité
df dP ) avec un module de compressibilité E,; du fluide ( P=T
143
La déformation
l
élastique de la conduite (~O=IT%
où E est le module d’élasticité
du matériau et do l’accroissement de la tension) dont on néglige l’épaisseur e par ds y=-i&“. rapport au diamètre D (formule du tube : d
8H I --C* %, 8T gSX
(6-U
(6-2)
Le théorème des quantités de mouvement pour la même tranche de conduite, projeté dans la direction X de la conduite, donnera l’équation (6-3) avec les hypothèses suivantes qui sont vérifiées dans les cas fréquents du coup de bélier :
a
La perte de charge est donnée par la même formule n (J=e---
Q
D”’
l
que l’écoulement
) et le frottement à la paroi de la conduite par T~=P~R~J
permanent
;
La vitesse est uniforme dans la section et elle est égale à Q/S ;
l
Les variations de la masse volumique p et de la section S sont négligeables devant les variations du débit Q et de la charge H : c’est le cas des liquides qui nous concerne et le plus souvent dans le cas des gaz quand il s’agit de phénomène de propagation d’ondes sonores ;
0
Le flux net de quantité de mouvement
est négligeable
devant sa variation
locale
n-l a+gs;;
dT
-+gSa
Q
lel
D
m =o
L’inventaire des forces extérieures dans l’application du théorème des quantités mouvement fait intervenir les trois types de composantes selon la direction X suivants :
de
144
l
Forces de pression Sp=S(H-z)pg
à la section X et d(H-z) 3P -S@+T@)=--S(H-Z+ ax
l
à la section X+dX
Forces de frottement
ZoPaX=~& l
d’l)pg
JPaX=pgSJaX
Poids & -msax
2.2 Célérité
des ondes
Si l’on dérive les équations (6-l) et (6-3) par rapport à X et à T en négligeant le terme des pertes de charge, on peut obtenir par combinaison linéaire, le système équivalem des équations (6-4) et (6-5) appelées équations d’Allievi et qui sont les équations des cordes vibrantes. Même avec le terme des pertes de charge, on démontre que les équations (6-l) et (6-3) sont les équations de propagation d’ondes planes avec une célérité c.
a’e 2 a’Q dTZ=C ax2
(b-4)
(6-V 11vaut mieux parler de célérité que de vitesse des ondes car la notion de vitesse évoque le déplacement de particules matérielles. Les particules ne suivent pas l’onde avec la céli;ité c bien que leur mouvement soit modifié par le passage de l’onde. Pour les conduites circulaires minces et libres d’obstacles (plusieurs joints d’expansion), la célérité de l’onde est donnée par l’équation (6-2). Dans le cas théorique d’une conduite rigide ou si le fluide est très compressible (C/E<<~), on aurait la célérité c=
-
qui correspond à
la célérité de l’onde dans un milieu infini (son). Pour le calcul de la célérité, on peut prendre la masse volumique p=lOOO kg/m3 et le coefficient de compressibilité &=2* 10’ Pa pour l’eau même si ces valeurs varient légèrement en fonction de la température et de la pression. Le module d’élasticité de Young dépend de la nature de la paroi et on trouve les valeurs suivantes pour les matériaux usuels :
145
E= 1,7 10’ ’ Pa pour la fonte ductile ; E= 1,2 10’ ’ Pa pour la fonte grise ; E=2 à 2,2 10” Pa pour l’acier ; E= 3,5 10”’ Pa pour le béton ; E=3 1O9 Pa pour le PVC ; E=9,3 108 Pa pour le polyéthylène haute densité ; E=2 10’ Pa pour le polyéthylène basse densité. Ainsi, pour l’eau et pour les canalisations courantes, les valeurs de la célérité varient entre 300 m/s ( pour le PVC et le polyéthylène haute densité) et 1200 m/s (pour l’acier et la fonte) suivant les diamètres, les pressions et la nature des matériaux. Pour les matériaux composites ( béton armé par exemple), les tuyaux épais ou les galeries, il convient de partir de l’équation générale (6-6) donnant la célérité. La valeur de Y, qui est sans dimension (Tableau 6-l), est fonction du type de tuyau (épais ou mince), des conditions de pose (ancrage ou libre), des propriétés élastiques du matériau (module de Young E et coefficient de Poisson v qui est le rapport entre la déformation latérale et la déformation axiale) et des dimensions (épaisseur e et diamètre intérieur D).
C=
(6-6)
On peut rendre adimensiormelles les équations (6-l) et (6-3) pour permettre la construction d’abaques généraux dépendant d’un nombre de paramètres réduits en posant : l ~=L*X ; Q=Qo*q ; H=h*Ho où Ho est à choisir et QOle débit en régime permanent l T=t*To où To=LQo/(gSHo) qui a été choisi de manière à avoir un coefficient unité
8Q dans l’équation (6-3). devant le terme dT On obtient alors les équations adimensionnelles (6-7) et (6-S) où K et A sont des nombres dépendant uniquement de la conduite et qui sont donnés ci-après : 0 .KJ-/-.-!L- représente le terme des pertes de charge en régime permanent pour le débit 0 Qo;
. A=çeOreprésente la célérité des ondes dans la conduite. gSH,,
1a-L-0 A 2% ax dt
dh%
z+z+Kq
(6-7)
n-l
I/
q=o
(6-8)
Type
Conditions
de pose
Rigide
Formule Y=0
Remarques ou fluide très compressible
Ancré à-l’amont seulement
e,=fj
Elastique épais Ancré tout le long (pas de mouvement longitudinal) Libre de tout mouvement longitudinal
Elastique mince
Béton armé
Ancré à l’amont seulement
Tube épais avec e,=O
Ancré tout le long (pas de mouvement longitudinal) Libre de tout mouvement longitudinal Non fissuré
Tube épais avec eV=0 Tube épais avec e,.=O Voir élastique avec une épaisseur e et E de l’acier.
s, =épaisseur uniforme za d’acier=section d’une barre S,, sur l’espacement 2, entre barres
Non revêtu
Y =2(l+v)
Voir élastique épais avec e,. très grand (E et v du rocher) Revêtu d’acier E, D, e pour l’acier w,o epE G= ~ E pour le rocher e i G+e,.E ! 2( I+v) Revêtu d’acier. béton entre acier G pour le rocher ; Indices a pour l’acier et rocher Y=DE,,* 4e,(e,+&+E,,D’ et b pot.5 le béton. E,,GD’+4E,Ge~en(e,+D~E~E‘,~‘,D’ D diamètre intérieur acier ^ -<.n111. I.,.,. des ondes en tonctlon . . élastique ._ . 1 la . conduite ‘171, atxeau o-l : Lalcul ae la celente de la nature et des dlmenslons de (compléments de l’équation 6-6) Rocher
147
2.3 Conditions
aux limites
Les équations du coup de bélier sont du type hyperbolique. La connaissance de la condition initiale (débit et charge en toute section de la conduite à l’instant 0) et des conditions aux limites (relation entre la charge et le débit à tout instant aux extrémités de la conduite) détermine la solution de façon unique. Les conditions aux limites de chaque conduite sont déterminées par les types d’appareil hydraulique qui se trouvent à leurs extrémités. Des fonctions, évoluant éventuellement avec le temps, relient les débits et les charges de chaque appareil branché à la limite considérée. Les plus courants sont : l
l
Les réservoirs à niveau constant La charge à l’extrémité de la conduite est constante quelque soit le temps si l’on néglige les pertes de charge singulier-es : H=Ho=constante Les bouts fermés ou vannes fermées instantanément Le débit en cette section est nul quel que soit le temps : Q=Qo=constante
Les vannes en manoeuvre (ouverture ou fermeture) La relation entre le débit Q et la perte de charge AH est donnée en tout instant en fonction
l
de la section de passage Sv et du coefficient donne généralement complète. l
l
l
l’évolution
de débit Cd : Q2=2g(Cd,91,)2aH.
On
du rapport T des C&G, à l’instant t et à l’ouverture
Jonction de n conduites .L’équation de continuité (somme algébrique des débits est nulle) et le théorème de Bernoulli appliqué (n-l) fois entre les extrémités des conduites (égalité des charges si les pertes de charge singulières sont négligeables) complètent le système des équations. Arrêt ou démarrage de pompe centrifuge Le débit Q, la vitesse de rotation N et la hauteur manométrique totale H sont liés à chaque instant t par les lois de la similitude des pompes (H/N2=constante et Q/N=constante). Le changement de vitesse de rotation dépend du couple moteur CM . du couple résistant C (puissance mécanique divisée par N) et du moment d’inertie 1 des parties tournantes (roue de la pompe, rotor du moteur, liquide dans la roue, arbre et éventuellement volant d’inertie) : CM-C=I(dN/dt). Ces équations permettent de calculer le coup de bélier. Il faut cependant noter que dans la plus part des installations, un clapet se ferme immédiatement à l’arrêt de la pompe et que dans ce cas la condition aux limites devient un bout fermé. .Ballon d’air comprimé La loi d’expansion de l’air (PV”=constante où P et V sont la pression absolue et le volume de l’air), l’équation de continuité (dV/dt égale au débit algébrique d’eau entrant dans le ballon),le théorème de Bernoulli entre le ballon et l’extrémité de la conduite et l’équation de continuité permettent de déterminer à tout instant la condition aux limites,
148
l
l
‘Cheminée d’équilibre La charge hydraulique qui est donnée par la cote de l’eau 2 dans la cheminée plus la charge cinétique, l’équation de continuité (SdZ/dt égale somme algébrique des débits d’eau entrant et sortant du nœud où il est branché où S est la section de la cheminée) et le théorème de Bernoulli entre la cheminée et l’extrémité de la conduite permet de déterminer à tout instant la condition à cette limite.
Poche de vapeur La charge hydraulique est constante et égale à la tension de vapeur plus la cote du point quel que soit le débit jusqu’à ce que la poche se referme.
3 METHODES
DE RESOLUTION
Plusieurs méthodes de résolution des équations du coup de bélier existent dont les principales sont la méthode des différences finies, la méthode des caractéristiques et la méthode graphique de Bergeron-Schnyder basée sur celle des caractéristiques. 3.1 Méthode
des différences
finies implicites
Les dérivées partielles des fonctions f sont remplacées par des différences finies et les valeurs par leurs moyennes entre deux instants. Dans le schéma de discrétisation de Preissmann de la figure 6-3 ( différences finies implicites), on obtient les relations suivantes :
af f:+‘+f;:‘-f:-f:+, 3-i= 2At
f=sf :+I+f2 .,@f:+f:, 2
2
Dans ces relations, l’indice indique l’abscisse le long de la conduite et l’exposant, le temps. On suppose que toutes les valeurs sont connues à l’étape j et veut faire les calculs pour l’étape j+l La valeur de 0 est comprise entre 0 et 1 non inclus ; elle permet d’éviter des problèmes d’instabilité numérique et on prend souvent 0,7. La méthode des différences finies explicites correspond à 9=0. Si la conduite est subdivisée en n-l tronçons de longueur Ax, on obtient 2n équations à 2n inconnues
f,
/+1avec
f égale à la charge h ou au débit q. En effet les n-l tronçons donnent
149
Zn-2 équations discrétisées, complétées par la discrétisation des 2 conditions amont et aval. On utilise ensuite les méthodes de résolution des systèmes d’équations systèmé n’est pas linéaire, on peut utiliser une technique de linéarisation Raphson.
évaluation
1
aux limites
linéaires et si le du type Newton-
de la fonction
évaluation
de la dérivée
par
rapport
à x
bvaluation
de la dbrivhe
par rapport
à t
r----I X
Figure 6-3 : Schéma des différences finies implicites de Preissmann
3.2 Méthode
des caractéristiques
En ajoutant l’équation (6-7) à l’équation (6-8) multipliée par un facteur h, puis en posant dx/dt= h=A2/ h , on obtient l’équation différentielle suivante avec h*A :
Cette forme condensée est équivalente aux 2 systèmes d’équations différentielles (6- 10) appelées équations de compatibilité :
(6-9) et
(6-9)
150
(6-10)
les équations (6-9a) et (6-1Oa) sont respectivement les caractéristiques positive C’ et négative Cmqui sont des droites dans le plan (x,t). Elles sont à la base de la méthodes graphique de Bergeron-Schynder. Les relations (6-9b) et (6-lob) sont vérifiées à tout instant en suivant respectivement les caractéristiques correspondantes. Ainsi, si un (( observateur de Bergeron D parcourt la conduite dans le sens de x avec une vitesse A, il observera toujours la relation (6-9b) entre les points où il se trouvera. Si un autre observateur la parcourt dans le sens contraire de x avec une vitesse A, il observera toujours la relation (6-lob) entre les points où il se trouvera. Si un des observateurs arrivent aux extrémités de la conduite, la relation correspondante de la caractéristique et les relations définissant les conditions aux limites sont vérifiées. Si ces 2 observateurs se rencontrent en un point intérieur, les deux relations (6-9b) et (6- 1Ob) sont vérifiées. On peut utiliser le schéma de différence finie explicite de la figure 6-4 pour discrétiser les relations (6-9b) et (6-lob).
Suivant la caractéristique positive C+, on pose @=f”‘-f’ I
avec fsh et f=q et on obtient la relation (6-11) entre 4:” négative C, on pose df=fj+‘-y,:,
et h:“.
I-l
Suivant la caractéristique
et on obtient la relation (6- 12).
/q+‘++‘+pf
avec
(6-11)
h,‘+‘=Aq,‘+‘+N;
avecN:=h,+,-Aq,+,+AKAt
(6-12)
Il faut rappeler que dans les équations (6-l 1) et (6-12), K et A sont des constantes données dans le paragraphe 2.2 ; p,’ et Ni sont connus au temps j. Pour une point intérieur (i=l à N-l), les 2 équations permettent de calculer les inconnues h,‘+’ 1+’ et 4, . Pour les extrémités (i=O et i=N), on utilise l’équation correspondante et les relations définies par les conditions aux limites.
151
N-l
N
Figure 6-4 : Schéma de discrétisation de la méthode des caractéristiques. On subdivise la conduite en N tronçons Ax et on prend At= AX/A..
3.3 Méthode
analytique
d’Al/ievi
Les équations des cordes vibrantes (6-4) ou (6-5) peuvent s’intégrer en posant un changement de variables w=T+Xk
et z=T-X/c.
a2y _ Elles se réduisent alors à une équation du type =--0
qui compte tenu de la relation entre Q et H et des conditions initiales donnent des solutions du type (6- 13) où F et f sont des fonctions qui dépendent uniquement des conditions aux limites de la conduite ; g est l’accélération de la pesanteur ; c est la célérité des ondes et S est la section de la conduite. Ho et Q” sont respectivement la charge et le débit en l’absence de toute perturbation (régime permanent sans perte de charge). Le mouvement perturbateur se superpose donc tout simplement au régime initial.
H(X,T)=H’+F(T-f)+f(T+$) (6-13)
Q(X,T)=Q’-C(F(T-
+)-AT+
$))
Pour un Observateur se déplaçant le long de la conduite avec une vitesse c (T-X/c=cste), la fonction F restera constante en chaque point où il se trouvera. Cette fonction représente donc une onde se propageant dans la conduite avec la célérité c, dans le même sens que X. De manière analogue, un second observateur se déplaçant le long de la conduite et er, sens inverse (T+X/c=cste) observerait que la fonction f reste constante en chaque point où il se
152
trouvera ; cette fonction représente donc une onde se propageant le long de la conduite avec une célérité -c , c’est à dire dans le sens contraire de X. Donc la surpression (ou dépression) H-H’ en chaque point de la conduite résulte de la superposition en ce point des 2 ondes F et f se propageant dans la conduite, en sens inverse, avec la même célérité absolue c. Les fonction F et f ne sont pas indépendantes l’une de l’autre car elles doivent satisfaire aux conditions aux limites et initiales. On définit pour trouver leur relation, la notion d’impédance par le rapport (6-14) suivant qui peut être calculé dans toute section X=l où les fonctions F et f sont déterminées. Le A représentent les sur-pressions ou dépression s’il portent sur H, ou bien les sur-débit ou sous-débit par rapport au débit initial s’il porte sur Q.
AH cpw&7d+g-=-AQ
AQ
(6-14)
S F-f
Si dans une section donnée x=1, l’impédance est imposée et égale à ZI, on doit avoir la relation suivante et toute la théorie de la réflexion des ondes repose sur la résolution de cette équation.
ZS -pc LF X=l f X=l-ZS -----L--l
----J--+1 pc
On peut citer 2 exemples qui permettent de résoudre par la méthode d’Alliévi problèmes classiques de coup de bélier :
\ F,=,=f
1) Un bout fermé à la section 1 où on aura zI=+co, d’ou
x=l
quelques
ce qui veut
‘dire que l’onde incidente se réfléchit en conservant son signe. 2) Un réservoir
I F,w=-f x=,ce
à niveau constant à la section 1 oùZ,=O , d’ou
qui veut dire que l’onde incidente se réfléchit en changeant de signe.
3.4 Méthode
3.4.1 Principe
graphique
de Bergeron-Schnyder
de la méthode
La méthode graphique de Bergeron n’est plus intéressante dans la résolution de cas complexes à cause des moyens actuels, puissants et rapides, de calcul numérique sur ordinateur et des logiciels du commerce reposant sur ce principe. Elle est cependant très utile pour clarifier l’approche qualitative des phénomènes dans quelques cas classiques ou spécifiques et pour donner des ordres de grandeurs.
153
En fait, c’est une application rigoureuse de tout ce qui a été exposé sur la méthode des caractéristiques avec K=O ou la méthode analytique d’Allievi.. Supposons un observateur qui part de M au temps t où l’onde F passe par M, et qui se déplace le long de la conduite avec la célérité c. Cette observateur verra l’onde F conserver sa valeur FM : H-Ho= FM+f c(Q’-Q):gS= FM-f alors qu’au dé art, en M, on avait : HM-H F= FM-fM c(Q”-Q,)/gS= FM+fh/l En éliminant successivement Q” et Ho entre ces 4 équations puis (fM-f), on obtient l’équation (6-15) qui, dans le plan (H,Q), est une droite passant par M de coordonnées (HM,QM) et de
$QM-Q j=H,-H
(6-15)
Si l’observateur se déplace, le long de la conduite en sens inverse, avec la vitesse c en quittant M en même temps que l’onde f, c’est cette onde qui restera constante et égale à fr Les mêmes calculs que ceux effectués précédemment montreraient alors que pour cet observateur on a l’équation (6-16) qui également, dans le plan (H,Q), est une droite passant par M de coordonnées (HM,QM) et de pente -A. SS
-$(e,-Q
j=H,H
(6-16)
En fait ces équations (6-15) et (6-16) se sont rien d’autres que l’intégration des équations différentielles de la méthode des caractéristiques (6-9) et (6-10) avec k=O avec les variables non réduites ;d ‘où l’équivalence des 2 méthodes ( Allievi et caractéristiques). On prendra la convention suivante : Les coordonnées du point figuratif étant la charge H et le débit Q que l’observateur constate à un instant t et en un lieu M de la conduite, ce point, dans le plan (H,Q), sera désigné par une lettre (ou un chiffre) qui indiquera le temps, affectée d’un indice qui indiquera le lieu de la conduite ; soit tM. Le principe de base de la méthode graphique peut s’énoncer comme suit : Si un observateur part d’un lieu M de la conduite au temps t où le régime d’écoulement est (HM,QM) (point figuratif dans le plan (H,Q)=t& et s’il se déplace le long de la conduite avec la ‘vitesse c, il constante qu’en tout lieu où il passe, la charge H et le débit Q sont liés par la même loi linéaire qui ne dépend que des constantes c et S de la conduite, du régime (Hbr,Qbt) à l’instant et au lieu de son départ, et du sens de son déplacement par rapport à l’orientation X de la conduite Cette méthode de l’observateur de Bergeron est beaucoup plus simple que celle du calcul d’Alliévi. Au lieu de rester fixe par rapport à la conduite et de regarder, Avec (( Alliévi », les fluctuations très complexes de débit et de Charge, il faut envoyer, avec (( Bergeron D, des
154
observateurs nous renseigner sur les valeurs de la charge et du débit aux endroits et aux instants que nous voudrons, nous recommande Carlier. Nous avons négligé la perte de charge dans la conduite dans l’élaboration du principe de la méthode graphique de Bergeron. Mais elle permet, avec une bonne approximation, de tenir compte des pertes de charge. A cet effet, on substitue à la perte de charge répartie sur toute I,a longueur de la conduite, un nombre fini de pertes de charge concentrées en quelques points (1 à 4) de la conduite, équivalentes au total à la perte de charge linéaire et représentées par des diaphragmes fictifs et qui constituent de nouvelles conditions aux limites pour les tronçons ainsi définis et sans perte de charge. 3.4.2 Illustration
graphique
de la méthode
Considérons le tronçon de conduite de la figure 6-5a orienté de A vers B. Les appareils qui constituent les conditions aux limites en A et B ont des courbes caractéristiques H(Q) qui sont respectivement Y*(t) et Ya et qui peuvent être variables dans le temps mais connues à chaque instant (figure 6-5b). Choisissons comme unité de temps r=L/c, le temps que met une onde pour parcourir la distance L et prenons comme origine des temps l’instant où le premier des appareils, A par exemple, commence à varier et supposons que le second appareil B commence à var!z au temps E tel que 01 E L 1. Dans le cas où l’appareil B n’est pas perturbé artificiellement ~=l . 1”) Avant le temps 0, le point figuratif du régime en tout lieu M entre A et B est OM, point d’intersection entre TA(O) et yIn =Y~(E). Ce point 0~ reste valable pour tout observateur partant de A à un temps antérieur à 0. D’autre part le temps t= (E -1) est le dernier instant pour lequel un observateur parti de A trouve encore en B le régime permanent puisqu’il y arrive à E.
2”) Si un observateur part de B au temps limite E, le régime en B à son départ étant encore le régime initial défini par le point 0~ = ER, la droite caractéristique sera la droite cppassant par En et de pente+L
car il se déplace dans le sens contraire des x (figure 6-5b). A son gs arrivée en A au temps t=( If&), le point figuratif du régime sera sur l’intersection (1s~)~ de cette droite et de la caractéristique \VA(1SE).
Si maintenant, l’observateur rebrousse chemin de A vers B, la droite caractéristique du régime en tout lieu où il passe sera pour lui la droite 0 passant par le point connu (l+~)~ et de coefficient angulaire -&
puisqu’il se déplace dans le sens des x positif. En arrivant en
B au temps t = 2 + E, le point figuratif
sera sur l’intersection
(2 + ~)a, de cette droite et de
vB@+&)*
En faisant répartir l’observateur vers A puis vers B, on déterminerait successivement les régimes en A à L’instant t = (3 + E), soit Le point (3+&)~ et en B à L’instant t=(4 f E) soit le point (~+E)D, ainsi de suite.
155
a) conduite
b) dans
avec
le plan condition
x orienté
de A vers
B
(x,t)
Ilmlte
amont i
i
condition
c) dans
le plan
limite
aval
Inltlale
(H,Q)
1. / i
condition
3 droite
9 de pente
+c/gSet
droite
G de pente
-c/gS
Figure 6-5 : Illustration graphique de la méthode de Bergeron
156
3”) Supposons maintenant l’observateur parti de A au temps limite t = 0. Le régime à son départ étant encore le régime initial par le point OM= &n = OA, la droit caractéristique pour cet observateur sera la droite 0 passant par le point 0~ et de coefficient
angulaire -2
gs car il se déplace maintenant dans le sens des x. A son arrivée en B au temps t = 1, le point figuratif du régime sera à l’intersection lu de cette droite et de la courbe caractéristique b(l). Si maintenant l’observateur rebrousse chemin de B vers A, la droite caractéristique du régime en tout lieu où il passe sera la droite cp passant par le point connu ln et de coefficient angulaire +C (déplacement dans le sens inverse de x), En arrivant en A au gs temps t = 2, le point figuratif du régime sera à l’intersection 2A de cette droite et de la caractéristique \VA(~). En faisant repartir l’observateur vers B puis vers A, on déterminerait les régimes : en B à l’instant t = 3 soit le point 3a en A à l’instant t = 4 soit le point 4~ et ainsi de suite. La méthode
permet
ainsi d’obtenir
les régimes
en A et B aux temps limites
0, (l+~), 2, (3+&), 4, (5+&),(6) . . . au point A E, 1, (2+&), 3, (4+&), . . . au point B 4”) Il peut être intéressant de connaître les régimes intercalaires à des instants quelconques en A et B. Si au lieu de partir de B au temps limite E, l’observateur part de ce point à un temps antérieur, compris entre t=(-1) et E, le régime initial sera à fortiori donné par le point &n ; la droite caractéristique sera donc pour cet observateur toujours la même que l’observateur parti de E, soit cp. 11arrivera maintenant en A à un temps t compris entre 0 et (1 +E) ‘; le point figuratif du régime en A sera à cet instant à l’intersection de la droite cpet la courbe caractéristique de l’appareil en A à l’instant t considéré. Il en résulte que tous les points du régime en A, entre les instants 0 et (1 +E), seront sur la même droite
157
l’appareil B varie progressivement de y~(&) à vu(l) les points figuratifs du régime en B entre les instants & et 1 seront tous compris entre &Bet 1~. 6”) Proposons nous maintenant de connaître le régime à un temps t=i quelconque E quelconque entre A et B ; le régime sera caractérisé par un point is. Désignons
par
Y= a
les temps c respectivement de A vers E et de B vers E. C
et ?‘=m
mis par
l’observateur
en un lieu
pour
aller
Soit (i - ?‘)a le point figuratif du régime en B au temps (i - z”) et soit (i - T’)A, le point figuratif du régime en A au temps (i - Y). Ces deux points ont été obtenus par la méthode indiquée au paragraphe précédent 5’). Pour l’observateur parti de B vers A au temps (i - Y), la droite caractéristique de la conduite est la droite cppassant par (i - r”)B et coefficient angulaire +c/gS, le point figuratif is devra être sur cette droite lorsque l’observateur passera au lieu E au temps (i - 7”) + Y’= i Pour l’observateur parti de A ver B au temps (i - z’), la droite caractéristique est 4> passant par le point (i - T’)A et de coefficient angulaire -c/gS ; le point figuratif iE devra être sur cette droite lorsque l’observateur passera en E au temps (i - z’) + Y= i. Les deux observateurs qui se rencontrent ainsi en E au temps i devront y constater le même régime qui sera caractérisé par le point d’intersection iE entre les 2 droites $ et cp liées aux deux observateurs figure 6-6.
/* ( i 7” )B
-Q
Figure 6-6 : Point figuratif dans le plan (H,Q) du régime en un point E de la conduite situé entre A et B au temps i quelconque(r’=+ et T”=~E ).
158
3.4.3 Exemples
d’application
de la méthode graphique
Nous allons maintenant appliquer la méthode graphique de Bergeron à un exemple simple de fermeture d’une vanne située à l’extrémité d’une conduite reliée à un réservoir à niveau constant (Point A). La dénivellation entre la cote du réservoir et l’axe de la vanne est égale à Ho et le débit initial est de Qo. Nous considérerons les cas suivants : l Fermeture instantanée de la vanne, perte de charge négligeable, avec ou sans cavitation ; l Fermeture lente avec réduction linéaire du débit QOsans perte de charge ; l Fermeture instantanée, avec perte de charge, sans cavitation. . 1’) Fermeture
instantanée de la vanne, perte de charge négligeable, sans cavitation
La caractéristique ‘-PA(t) est indépendante du temps et elle est confondue avec l’axe des débits si on prend, dans le plan (H,Q), comme origine des H la charge Ho. La caractéristique ‘PB(t) est indépendante également du temps et elle est confondue avec l’axe des charges dans le plan (H,Q) (figure 6-7).
H
H=PU=-10
mCE
l
Figure 6-7 : Fermeture instantanée de la vanne, perte de charge négligeable, sans cavitation
159
La construction de l’épure montre que la surpression maximale AH est égale a l’opposée de la dépression maximale et elle est donnée par la relation géométrique suivante :
AH-O- c -_-O-Q, gs On déduit alors que la surpression maximale, égale en valeur absolue à la dépression maximale, est donnée par la formule (6- 17) due à Joukowsky-Allivievi.
QO 0
Aff=C
2’) Fermeture
(6-17)
instantanée de la vanne, perte de charge négligeable, avec cavitation
La différence avec le cas précédant commence à intervenir à partir du temps (2) pour le point B. La caractéristique Y,(t) n’est pas modifié par rapport au cas précédent ( figure 6-Sa). Dans le cas où Ho est inférieure à cQo/gS, la dépression de l’eau ne peut descendre en dessous de la tension de vapeur de l’eau à la température considérée qui est égale 0,25 mCE à 20°C que nous assimilons à 0 m. On suppose que la poche de vapeur reste concentrée à la vanne. La caractéristique Ya devient conditionnelle : l Si H en B est inférieure à -10 mCE alors H en B est égale à -10 mCE, donc Y,(t) est une droite parallèle à l’axe des Q et d’ordonnée -Ho l Si H en B est supérieure à -10 mCE alors Q en B est égale à 0, yn(t) est l’axe des charges. Dans notre exemple une poche de cavitation se forme (fïgure6-8b) et le débit est 0,7 fois Qo pendant la période de (2,4) puis 0,l fois Qo pendant la période (4,6), et la poche commence à se fermer pendant la période (6-S) au débit 0,5*Qo et achèvera de se former pendant la période (8,8+65) au débit 1,l *Qo. le temps AT est calculé pour que le volume de la poche de cavitation formée pendant la période (2-6) soit comblée par les volume en retour de la période (6,8+62) ; soit : (0,7*2+0,1*2)*Qo= (0,5*2+1,1*Az)*Qo d’où A~=054 unité de temps ( rappelons que l’unité de temps est L/c). Dans ces conditions, l’observateur parti de A pendant la période (7,9) verra le point B de façon différente selon son temps de départ ; d’où la nécessité de prendre 2 observateurs pour ces périodes pour continuer la construction de l’épure : l S’il est parti entre (7 ; 754) , il verra le point B avec une poche de cavitation en cours de résorption avec une charge égale à la tension de vapeur de l’eau et un débit positif correspondant à la fermeture de la poche de cavitation (noté point B’ dans l’épure) ; l S’il est parti entre (7,54 et 9), il verra B avec un débit nul (noté point B dans l’épure).
160
a) Epure
I
de Bergeron
5 B ; 10,54)
,”
\
/ 4 0
A
/ /
/’
/I/i’ H=Pv=-1
0 mCE
b) Calcul égalité
du temps de résorption des volume en dessous
de la poche de cavïtatio et au dessus de l’axe
t
Figure 6-8 : Fermeture instantanée de la vanne, perte de charge négligeable, avec cavitation
161
L’épure montre que la surpression maximale en B ( points (10 ; 10,54)n) dépasse la valew de cQo/gS. Cet exemple justifie la méfiance des hydrauliciens vis à vis de la cavitation lors des phénomènes transitoires. Il est donc recommandé d’éviter la cavitation. 3’) Fermeture
lente avec réduction
linéaire du débit Q” sans perte de charge
On suppose que la loi de variation du débit est linéaire et donnée par les relations ‘suivantes avec Tf> 2L/c : Si OitsTf
Qv=Q:(l-T.)
alors
Si t> Tf
Qv=o
alors
Dans l’exemple de l’épure de la figure 6-9, le temps de fermeture Tf de la vanne est égal à 3,5 fois L/c. la surpression maximale est donnée par la relation géométrique suivante : Q(2?$(0)
=- $
avec Q(2)=Qo( 1-(2L/c)/Tf)
On en déduit que la surpression maximale survient à la vanne et elle est donnée par la formule (6-l 8) appelée formule de Michaud.
Qo M =-gsT, 2~
(6-18)
La formule de Michaud est rarement applicable en toute rigueur car il est difficile d’imposer une loi de débit à travers la vanne ; cependant la valeur trouvée est un majorant de la surpression due à une fermeture ( variation de la section) linéaire de cette même vanne.
4’) Fermeture
instantanée, avec perte de charge, sans cavitation.
On concentre les pertes de charge au réservoir en les représentant comme un diaphragme fictif placé entre un point A’ immédiatement en aval du point A où se trouve le réservoir. L’épure de la figure 6-10a montre que le coup de bélier est progressivement amorti et finira par un débit nul et une charge égale à la charge au réservoir Ho dans toute la conduite. On peut également concentrer les pertes de charge en choisissant 2 diaphragmes situés au réservoir (points A et A’) et au milieu de la conduite (points C et C’). La construction de l’épure est alors un peu plus compliquée car il faut calculer les débits en C et C’ (fïg 6- 1Ob). On cherche alors les états représentatifs aux points A’ et B aux temps pairs (2n), et aux points C et C’ aux temps impairs, Le départ est l’état en C et C’ aux temps -1 d’une part et en A’ au temps 0. le point figuratif de l’état en B est sur la droite Q=O (pas de cavitation) et le point figuratif de l’état en A’ est sur la parabole des pertes de charge sur la longueur L’=L/2 (caractéristique d’un diaphragme). L’unité de temps devient z=L/2c=l.
162
‘)A 043
-.
9 A
Figure 6-9 : Fermeture lente avec réduction linéaire du débit QOsans perte de charge.
a) Pertes
de charge
concentr6es
au réservoir H t
Figure 6- 1Oa : Fermeture instantanée, pertes de charge concentrées au réservoir et sans cavitation
16
Les points figuratifs des états en C’ et C à l’instant (2n+l) sont calculés ainsi : l d’une part, ils sont respectivement sur la droite cp issue du point représentatif de l’état à l’instant (2n) en B (avec une pente +c/gS) et la droite Q issue du point représentatif de l’état à I’instant (n) en A’ (avec une pente -c/gS) ; 0 et d’autre part, ils ont même abscisse (continuité des débits en C et C’), leurs ordonnées décalées de la perte de charge du diaphragme pour le même débit.
lC F
perte
de charge
L
l B
d’un
Figure 6- 1Ob : Fermeture instantanée, pertes de charge concentrées au réservoir et au milieu de la conduite, et sans cavitation.
4 VALEURS 4.1 Valeurs
MAXIMALES
maximales
DU COUP DE BELIER
du coup de bélier
Les exemples précédents montrent qu’en l’absence de cavitation deux cas peuvent se présenter suivant le temps d’annulation du débit Tf comparé au temps 6=2L/c mis par les ondes pour parcourir un aller-retour dans la conduite de longueur L : 1”) Si Tr < 8, l’arrêt est dit rapide et la valeur maximale du coup de Bélier (skpression ou dépression selon le cas) est maximale et vaut y où V, est la vitesse du régime permanent. C’est la formule de JouKowski-Allievi.
2”) Si Tr> 0, l’arrêt est dit lent et la valeur maximale du coup de Bélier est plus faible et vaut, ,dans le cas d’une réduction linéaire du débit (formule de Michaud) : 2LVo g
_ cv0 -- g
e TT‘
Ceci montre l’intérêt : - d’adapter des robinets à fermeture lente, pour se situer dans le 2èmecas (formule de Michaud). C’est surtout les dernières courses de l’opercule de la vanne qui sont importantes dans la fermeture. - de connaître le temps mis par un groupe moto-pompe pour s’arrêter (qui devra si possible, être supérieure à 6=2L/c) - d’utiliser des artifices pour prolonger ce temps d’arrêt des groupes en cas de coupure d’électricité (volant d’inertie, démarrage et arrêt progressifs,.. .). Nous remarquons que le coup de Bélier est proportionnel à la vitesse du régime permanent. On a donc aussi intérêt à ne pas adopter des vitesses trop élevées. La longueur de la conduite également intervient de la manière suivante : ’ l 0 est proportionnel à L ; d’où on obtient souvent Tr c 0 dans le cas des conduites longues et on se situe dans le Ier cas. l Mais même si l’on a le cas 2 de la formule de Michaud, le coup de Bélier est proportionnei à L. Donc pour les conduites longues, il faut prendre des dispositions pour leurs protections. La valeur absolue du coup de Bélier ainsi calculée (cas 1 et cas 2) est indépendante de la charge initiale au point considéré. Cepend,ant si la pression est faible, la dépression occasionnée par le coup de Bélier peut occasionner un risque de cavitation qui amplifiera la surpression par rapport aux deux cas précédents. II faudra donc faire attention au point haut sur le profil en long de la conduite.
4.2 Répartition
du coup de bélier
le long de la conduite
En l’absence de perte de charge ; la répartition du coup de Bélier le long de la conduite à caractéristique unique (enveloppe des surpressions ou dépressions) est donnée par : - La figure 6-l 1 si l’arrêt, au bout du temps Tr, est brutal ; - La figure 6-12 si l’arrêt est lent avec une réduction linéaire du débit au bout du temps Tr. On peut trouver ces enveloppes de dépressions ou de surpressions dans le cas où l’on a une perte de charge et des dispositifs de protection tels qu’un ballon d’air (voir abaques de Meunier et Puech en annexe).
165
a) Adduction
gravitaire
Tcvidg 1’
Ho c vanne
b) Conduite
de refoulement
c cul lg
-Dé.pre+siqn
réservoir
Ha
risque
de cavitation
t
Figure 11 : Répartition du coup de bélier dans le cas d’une fermeture rapide au bout du temps Tr (Tf < 0) et pertes de charge négligeables.
166
a) Adduction
b) Conduite
gravitaire
de refoulement
..l
/
réservoir
Figure 12 : Répartition du coup de bélier dans le cas d’une fermeture lente (Tf > 0) avec réduction linéaire du débit au bout du temps Tf et pertes de charge négligeables.
167
5 OSCILLATIONS
DE MASSE
Les oscillations de masse sont de type pendulaire ; elles constituent un phénomène différent du coup de bélier et qui résulte uniquement de la gravité. C’est une approximation qui consiste à négliger l’élasticité de la conduite et la compressibilité du liquide ; et on parle alors de colonne rigide ( E et E tendent vers l’infini). En effet si la variation du paramètre modificateur du régime (débit, pression, . . .) est lente et engendre des variations lentes de pression et de débit dans la conduite (cheminée d’équilibre, réservoir à air si la pression n’est pas très accentuée, fermeture lente de vanne, . . .), on admet et l’expérience le confirme que la loi d’évolution de l’écoulement est donnée de façon approchée mais satisfaisante par les équations du mouvement de masse qui suivent.
@Y d’où le débit n’est En faisant tendre A vers de grandes valeurs, l’équation (6-7) donne %=O fonction que du temps t. L’équation aux dérivées partielles (6-8) donne alors, après intégration sur x de 0 à 1, la forme (6-9) suivante qui est une équation différentielle du premier ordre où h(O,t) et h(1 ,t) sont les conditions aux limites de la conduite de longueur réduite unité.
$++y
q+h( 1,t)-h(O,t)=O
69)
Dans certains cas simples de conditions aux limites, on peut trouver la solution analytique de l’équation différentielle (6-9) : l pendule hydraulique, l établissement de l’écoulement dans un tube relié à un réservoir à niveau constant, l cheminée d’équilibre reliée à un réservoir par une conduite, l ballon d’air relié à un réservoir par une conduite Les 2 phénomènes (oscillation de masse et ondes élastiques), s’ils peuvent s’analyser indépendamment l’un de l’autre, se produisent en fait simultanément et se superposent (célérité c finie). Si l’on trace par exemple, dans le cas d’une disjonction de pompe, la pression en fonction du temps au milieu de la conduite de refoulement, on obtient, avec un ballon d’air à la pompe, la figure 6-l 3 avec une périodicité de l’oscillation de masse de l’ordre d’une dizaine de secondes et celle des ondes élastiques de l’ordre du dixième de secondes. L’approximation des oscillations de masse n’est donc fiable que si l’amplitude du phénomène d’ondes élastiques est négligeable par rapport à celle de l’oscillation de masse.
168
pression
b’\r\ f++,f
f
Phénomène approximation
réel de
l’oscillation
de
masse
1_
1.
tem;s
Figure 6- 13 : Superposition des ondes élastiques et de l’oscillation de masse
5.7 Etablissement
de l’écoulement
dans un tube
On prend comme charge de référence H, la dénivellation entre la côte du réservoir et l’axe de la section de sortie (figure 6-14) ; pour débit de référence, le débit en régime permanent sans perte de charge Q, = S V, = S ,/a. Le temps de référence devient alors T, = 2L/V,=2LS/Q0 Les conditions limites, en prenant l’origine des charges à l’axe de la conduite, deviennent h(O,t) = 1-q2-kRq2 et h(1 ,t) =0 ; où q2 est l’énergie cinétique et kR , le coefficient de perte de charge singulière à la sortie du réservoir L’équation différentielle (n = 2), devient :
du mouvement ; en tenant compte des pertes de charge quadratiques
$ = 1 - (1+K+k,)q2 Cette équation, avec les conditions (équation 6- 10) :
initiales,
a pour solution la tangente hyperbolique
(6-10)
5.2 Pendule
hydraulique
La conservation du liquide dans la pendule (figure 6- 15) s’exprimera par la relation suivante valable en tout instant : h( 1,t) = - h(O,t). La vitesse est reliée à la côte H dans le tube par l’équation Q,s = y
. Ce qui donne la relation entre q et h en tout instant :
169
;-l I
h=O (repos)
1 h(l,t)=-h(O,t)
Figure 6- 15 : Pendule hydraulique
En substituant ces relations dans l’équation du mouvement de masse, en prenant comme charge de référence Ho l’amplitude maximale des oscillations et en prenant Q. tel que T,=ls, on obtient l’équation différentielle suivante en y=h(l,t) dont la solution dépend de la forme des pertes de charge.
(6-11)
170
l”) Pertes de charge négligeables
(K = 0)
La solution de l’équation différentielle
h(l,t)
est donnée par :
= sin bht+d
2g
avec 00”
z
(K + 0 et n = 1)
2O) Pertes de charge du type laminaires
La solution générale dépend de la valeur de K qui conditionne le discriminant A de l’équation caractéristique : l
Si KZ J8gIL négatives.
h(l,t)=Ae l
Si KS m
-K+JK2ggiLr 2
-K-J=
+Be
2
(A < 0), la solution est une sinusoïde amortie :
-Kt
e 2 sin (CUt +q) 2g K2 @ = v-e L d-- 4
h(l,t)= avec
(A 2 0), la solution générale est la somme de deux exponentielles
3O) Pertes de charge du type quadratique On pose le changement de variable z(y) =
(K f 0, n = 2) qui n’est défini rigoureusement
quel pour
une demi-oscillation, . dy dt
ira en ( 1 diminuant au cours des passages successifs. La dérivation de z par rapport au temps donne la m ?
En effet s’il y a des oscillations amorties, pour une même valeur de y, la vitesse
relation !JZ = 2 fi dt &”
59 qui est équivalente à 55 = 2 59 dt dy dt2 ’
La substitution de ces relations dans l’équation (6- Il) donnera l’équation différentielle qu’on peut intégrer :
(6-12)
dz =E 2LK dY g avec &=+l
z(y) + ffiy=(-j
si *>O
dt
’
et &= - 1 si 3
dt
< 0
(6-W
-
La solution générale de cette équation (6-12) est de la forme : gi Y + L3K2
+ Aexp(
-s2LKy g
>
où le coefficient A dépend des conditions initiales. dY : On peut expliciter cette équation en tenant compte du signe de -dt-
l
dY = à l’aller i (s=+l) : dt
0
dY = au retour i (s=-1) : dt
- ~L2K248”
g3 Y+mfAi
~ 4g2
~ g3
L’K’ y+L3K2
t
exP(
+ Bi exp(yy)
(6-13a)
(6-13b)
avec une relation entre Ai et Bi donnée par les conditions aux valeurs extrêmes pour chaque demi-oscillation. Ces équations permettent de calculer t(y) par intégration numérique (avec la T192 notamment). Si on cherche seulement à connaître les valeurs correspondant aux extremums de y ,(;dY = 0)) il suffira de chercher les racines des équations (6-13) avec le premier membre égale à zéro qui se fait aisément avec la T192 ou le solveur d’EXCEL. dy = 0 A partir des conditions initiales (dt
y0 = l), on calcule y1 avec l’équation (6-13a)
qu’on mettra dans l’équation (6-13b) comme condition initiale pour calculer ~2, le maximum suivant et ainsi de suite. On peut alors calculer les valeurs du temps t correspondantes. 5.3 Cheminée
d’équilibre
à section
constante
On peut distinguer les cheminées amont (cas des stations de pompage) et les cheminées aval (cas des turbines) par rapport au réservoir à niveau constant (figure 6- 16).
172
La conduite à protéger où a lieu l’oscillation dans la cheminée est donné par E
de masse est la conduite L. Le débit réduit entrant
d$
où la référence du niveau réduit z est le niveau
statique et SI est la section constante de la cheminée. On prendra la charge de référence H, et le RH temps de référence T, de façon à avoir ~ 0 El: QoTo
La “simihtude” et les différences des deux cas sont illustrées au tableau 6-2. On a négligé la hauteur d’eau de la cheminée par rapport à L et les pertes de charge par frottement le long de la paroi de la cheminée. Ces deux hypothèses interviennent dans les conditions aux limites de la conduite à protéger h (1 ,t) ou h(O,t).
Cheminée
Equation de continuité
-r
aval
ëq 30 3% -0%
dz
:g E LfJ v) s 8 dewh FF ‘5 3 .;0” variation
SE! 0 .r c
h (O,t)= z + E k,(E) (@-q2 (1)
Réduction instantanée ( L = ql - v2+ 0 montée % deqTOUqpdeqlà% àt=o. zo = - ( K+k,+k, 177T (2) augmentation ( i = r, - 1;1*+0 descente instantanée
de qT ou qF
amont
9=-s+qp
q=%+qT
Conditions aux limites de la :onduite à protéger : h (0,t) = O-(l+kR)~2 (C=+l si d$>O) h (l,t)= z + 6 k,(&)(j$q2 (E=-1 si + CO) a
Zheminée
( 1)
h (1,t) = O-(l+k,)q’ [-L
= q2 - q,+ 0
descente
zo = +(K+kc+k,>vf
(2)
w
montée
if
zo = - ( K+k,+k,
linéaire de q1 dz ou qp de ql à r\2 pendant Tto= ( 1 le temps z
) ?Jf
zo = + ( K+k,+kR
(2)
d; ( dto= 1
0
zo = -w+k,+j&)r:
(2)
)rl:
o
zo = +(K+j&+&)vf _
-
(2)
. _ . paroi de la
11) Dans l’établissement de ces équations, on suppose que le frottement sur la cheminée est négligeable, de même que la hauteur de la cheminée par rapport à la longueur de la conduite à protéger L. (2) kc et kR sont respectivement les coefficients de pertes de charge singulières à la cheminée et au réservoir en régime permanent. Tableau 6-2 : Similitude entre la cheminée d’amont et la cheminée d’aval
173
(2)
Cheminée
Cheminée
aval +L
Résevoir
v
amont ,
Résevoir
)
:
Pompe
Turbine
Figure 6- 16 : Cheminées d’équilibre
II 1
(amont et aval) à section constante
1’) Cas où les pertes de charge sont négligeables. (K =kR=kc(E) = 0) L’oscillation
de masse dans la conduite L se traduit par l’équation suivante :
d9T _ -d’z -dt di;’ + ’ l
d9, dt
Si le débit qT ou qp passe brusquement de IJI à TJXalors que z = 0 à t = 0, on obtient, par intégration et en tenant compte des conditions initiales la fonction sinusoïdale :
z= l
=
sin(t>
(q1-r)2)
Si le débit qT ou qp varie linéairement pendant mêmes conditions ; on aura la solution suivante :
z=y z=(771-572)
le temps réduit
(l-cost)
pour
01:t
sin VIz 2
pour
t 2 z
sin(t -J$)
z dans les
5 z
/22 2O) Cas où les pertes de charge ne sont pas négligeables. l
Si la variation
de débit qT ou qp est brusque et totale, on a dans les deux cas :
$
+ E (K+k,+k&))
2+ z = 0
et on peut poser:
a
=
E
(K +k
R+k
où E = +1 si la cheminéese remplit: et E=-
#J)
dz.0 (dt )
’
1 si la cheminée se vide :
L’intégration de l’équation différentielle se fera par le changement de variable déjà vu pour la pendule hydraulique. En tenant compte des conditions initiales, on obtient l’équation (6-14) qui permet de calculer les maxima et les minima successifs comme dans le cas du pendule.
(g2=A-1 2a2
-2+1-l a (
2
a2
La valeur de a dépend du signe de 2
+aa
1
e 2ff (z()-z)
(6-14)
(montée ou descente de l’eau dans la
cheminée). l
Si la variation n’est pas totale ou n’est pas brusque, l’intégration du système d’équations différentielles du premier ordre (6-15) se fait par une méthode numérique (Gill-Runge-Kutta d’ordre 4 est recommandée) pour la cheminée amont. On peut également étudier la stabilité dans le plan de phase (z,q).
(6-15)
Pour la cheminée amont, on remplace z par -z et qT par qp. La fonction qT ou qp peut être fonction de t et/ou de z dans le cas de la régulation.
5.4 Ballon
d’air
Le mouvement de masse a lieu entre le ballon et le réservoir (figure 6-17). La charge de référence est la hauteur statique absolue HO* ; le débit de référence, le débit en régime permanent QO et le volume de référence le volume d’air W, correspondant à Ho*. l
L’équation de continuité, en prenant le temps de référence To=QoL/gSHo*, ‘la manière suivante (avec les orientations de la figure) :
%+jj
1 dwdt -’
s’écrit de
où le coefficient B donné par l’équation (6-16) est un nouveau nombre sans dimension (B est le nombre utilisé par Lencastre ; l3, le nombre utilisé+ par 1 Combes et B’=B le nombre utilisé par Meunier et Puech). i l+K 1 B=
Qo2L W0gSI-I~ = 2p
(6-16)
l
L’équation d’état de l’air, si l’on note h la pression absolue réduite du gaz, devient :
l
hz-1 WY’ L’équation de la conduite à protéger sera notée : 2
+ K 19)q + h(l,t) - h(O,t) = 0
Ballon
d’air R&evoir
Pompe
Figure ‘6-17 : Ballon d’air entre la pompe et le réservoir : W est le volume d’air à la prcasion absolue P ; w est le volume réduit(sans dimension)
Il suffit maintenant de définir les conditions aux limites qui font apparaître éventuellement autre coefficient sans dimension kR :
un
h( 1,t) =l si l’on néglige l’énergie cinétique dans la conduite et les pertes de charges singulières au réservoir 4%9=~-~, mouvement
1414 sr- 1’on néglige la colonne d’eau dans le ballon et son
176
où P, est la perte de charge correspondant à Q0 dans le diaphragme entre la conduite et le ballon, fonction éventuellement du signe de q (diaphragme dissymétrique). Dans le cas de l’arrêt d’une pompe munie d’un clapet ami-retour, qp=O et la substitution de l’équation de continuité, de la loi de détente de l’air et des conditions aux limites de la conduite dans l’équation des oscillations de masse de la conduite donne la relation (6-17a). 1 d2w --$6 B dt2
(6 17a)
Le régime initial est caractérisé par : l
Soit qp
0
Soit qp = 0
= 0
z-q
Eit Ai!&,
B dt
(démarrage de la pompe)
c-1
(arrêt de la pompe)
= 1
Qo il faut en ce moment multiplier les Certains auteurs prennent le temps de référence TO = wo, deux premiers termes du premier membre de l’équateur (6-17a) par B2 avec le nouveau temps réduit pour avoir : 2
d 2P -“2 dt
+ ts(K+kR
(E))
(%
2
1
- J-+1=0
(647b)
WY
On peut en plus prendre comme charge de référence, :on pas. la hauteur statique absolue Ho* , mais la hauteur absolue à la sortie de la pompe HI = H, (1 + K) en régime permanent y . En ce moment, c’est seule la QO et comme volume de référence W, = W, (1 +LK) condition aux limites h( 1,t) qui devient 1 - K et Wr = 1 pour le régime permanent et on obtient l’équation (6-l 7~).
2P
2
+ &(K+KR
(6))
(6-17~)
Ces équations (6-17) sont toutes identiques du point de vue de la résolution et font intervenir les mêmes nombres adimensionnels. La résolution de l’équation (6-17b) se fait en posant les changements de variables suivants :
c-1 dw 2 dt
= z(w)
a= &(K+KR
(E))
avec E =+l
dw si dt
. dw > 0 et E = - 1 SI dt < 0
On obtient ainsi l’équation différentielle la solution dépend de la valeur de a.
p””
+ az
dw
(6- 18) semblable à celle du pendule hydraulique dont
-
-J-
+l=O
WY
l”) Si les pertes de charge sont négligeables (a = 0) et en tenant compte des conditions 2
= 1 pour w = 1)) on obtient les solutions suivantes :
l
l
z= (d$r = 1+p = 5
z=
- w +Log
w
(pour une détente isotherme).
P
(1 + p - w + “;Yy-l
(pour une détente
adiabatique) On ne cherche en fait que les maxima et les minima wm de la fonction w (dw/dt = 0) et on obtient,les solutions suivantes :
P = w,-1 - LogCw,)
pour une détente isotherme
pour une détente adiabatique La résolution de la première formule a été donnée sous forme d’abaque par Vibert.
2’) Si les pertes de charge ne sont pas négligeables générale suivante :
zz.2 (%r
= Cexp(-2w)-i+
exp(- a w) P p
(a
r1
f
0)
; on obtient la solution
exp( + a z) P zI
dz
où C est une constante d’intégration dépendant des conditions initiales. La recherche
des extremums successifs se fera alors comme dans le cas de lh pendule
hydraulique (la valeur de a dépendant du signe de $
, fonction de la détente (vidange de
l’eau ) ou de la compression (remplissage d’eau) de l’air du ballon. En fait du fait des amortissements, seule le premier maximum et le premier minimum nous intéresse pour le dimensionnement. Si les pertes de charge dans le sens
178
*
ballon conduite sont négligeables (ka (1) = 0) alors a = K dans la recherche du minimum et a = - (K + kR) dans le sens de la recherche du maximum. En tenant compte des conditions initiales, le premier maximum de W est donné par la solution de l’équation suivante : exp(- a w) flfl
(l+;)exp(F(l-w))-k+
JC”
exp( + a z) P dz =0 zy
et le premier minimum par l’équation :
$
exp(F(w
6 PROTECTION
- w,,J)
- a
DES CONDUITES
+
exp(- a w) P p
exp( + - z) P r
WtlW
di=O
zy
DE REFOULEMENT
Pour limiter la variation de pression (coup de bélier), on pourra, selon les cas et d’ap, ès la théorie qui précède : l Soit diminuer la variation du débit en la dérivant ailleurs que dans la conduite à protéger (soupape, ballon d’air, cheminée, etc.) l Soit permettre une augmentation plus facile de volume (matériau plus élastique par exemple) avant la conduite à protéger ; l Soit augmenter la durée de la variation du débit : manoeuvre lente au lieu de manoeuvre rapide (type de vanne, arrêt et démarrage progressif des pompes, etc.) 6.7 Procédés
pour limiter
6.2.7. Les volants
les dépressions
d’inertie
On utilise l’inertie du groupe motopompe pour prolonger la durée de l’arrêt et rendre la surpression plus faible. La solution consiste donc à augmenter cette inertie par un volant. Au delà de quelques centaines de mètres de longueur de conduite de refoulement, le poids des volants deviendrait énorme et le coût prohibitif d’une part. D’autre part, plus le volant est lourd, plus grande devra être la puissance du moteur pour vaincre, au démarrage, l’inertie de ce volant (d’où des appels d’intensité de courant impraticables). Le paramètre adimensionnel supplémentaire qui intervient est le paramètre d’inertie :
,179
l
1 est le moment d’inertie de l’ensemble du groupe volant ;
l
N, la vitesse de rotation nominale du moteur en t/mn ;
l
c, la célérité des ondes
l
QO, le débit de la conduite à l’état permanent
l
7, le rendement du groupe à l’état permanent
l
Ho, la charge de référence qui est prise ici égale à la hauteur géométriql?e de refoulement plus les pertes de charge dans la conduite.
Le paramètre adimensionnel de la conduite a été déjà défini par A = -CQO . Le paramètre des gSH, pertes de charge K = J,L/H, est souvent négligeable. 1) On peut utiliser les abaques de STEPHESON (Annexe A) pour le prédimensionnement en déterminant les pressions maximales H&I, et minimale H,/H, dans le cas où l’on permet l’inversion de l’écoulement à travers la pompe. S’il existe un clapet anti-retour et si les pertes de charge (pdc) sont faibles, la valeur de la surpression maximale au-dessus du niveau statique est comme égale à la valeur de la dépression maximale au-dessous de ce même niveau. Dans le cas de pressions inférieures à la pression atmosphérique ou de rupture de la veine liquide (cavitation), les valeurs de sur-pressions peuvent être aggravées. STEPHESON, cité par Lencastre, énonce la règle suivante : si le paramètre TN*/(pgH,.LS) dépasse 0,Ol ; la dépression résultant de l’arrêt est, par suite de l’effet d’inertie, réduite au minimum de 10 %. Exemple d’application
:
Un groupe électropompe élève, en régime normal, un débit Q. = 21,l l/s à une hauteur d’élévation h, = 125,5 m, le moteur tournant à une vitesse de 1 450 t/mn. La longueur de la conduite est L = 890 m et son diamètre D = 225 mm. L célérité des ondes élastiques est c = 1 200 m/s. Le moment d’inertie du groupe est Ig = 17 Kg.m’. Pour augmenter l’inertie, on a accouplé au groupe un volant avec un moment d’inertie Iv = 21 Kg.m2. Le rendement du groupe est de 0,75. Solution qIN2c = 17,3 J = 180.pgSLUoh>
De l’abaque A on tire hM/h, = 1,O et h,/h, = 0,87 D’où
h, = 0,87 x 1255 = 109,2 m
180
l
1 est le moment d’inertie de l’ensemble du groupe volant ;
l
N, la vitesse de rotation nominale du moteur en t/mn ;
l
c, la célérité des ondes
l
QO, le débit de la conduite à l’état permanent
l
rl, le rendement du groupe à l’état permanent
l
Ho, la charge de référence qui est prise ici égale à la hauteur géométriqlJe de refoulement plus les pertes de charge dans la conduite.
Le paramètre adimensionnel de la conduite a été déja défini par A = -CQO . Le paramètre des gSH, pertes de charge K = J,L/H, est souvent négligeable. 1) On peut utiliser les abaques de STEPHESON (Annexe A) pour le prédimensionnement en déterminant les pressions maximales HM/H, et minimale H,/H, dans le cas où l’on permet l’inversion de l’écoulement à travers la pompe. S’il existe un clapet anti-retour et si les pertes de charge (pdc) sont faibles, la valeur de la surpression maximale au-dessus du niveau statique est comme égale à la valeur de la dépression maximale au-dessous de ce même niveau. Dans le cas de pressions inférieures à la pression atmosphérique ou de rupture de la veine liquide (cavitation), les valeurs de sur-pressions peuvent être aggravées. STEPHESON, cité par Lencastre, énonce la règle suivante : si le paramètre IN2/(pgH,.LS) dépasse 0,Ol ; la dépression résultant de l’arrêt est, par suite de l’effet d’inertie, réduite au minimum de 10 %. Exemple d’application
:
Un groupe électropompe élève, en régime normal, un débit Q. = 2 1,l l/s à une hauteur d’élévation ho = 125,5 m, le moteur tournant à une vitesse de 1 450 t/mn. La longueur de la conduite est L = 890 m et son diamètre D = 225 mm. L célérité des ondes élastiques est c = 1 200 m/s. Le moment d’inertie du groupe est Ig = 17 Kg.m”. Pour augmenter l’inertie, on a accouplé au groupe un volant avec un moment d’inertie Iv = 21 Kg.mL. Le rendement du groupe est de 0,75. Solution qIN2c J = 180.pgsLu0!70
= 17y3
De l’abaque A on tire hM/h, = 1,O et h,/h, = 0,87 D’où
h,,,= 0,87 x 125,5 = 109,2 m
180
l’intégration des oscillations de masse avec une détente isotherme de l’air (Abaque de Vibert en Annexe B).
v, =
Qi L -l-Log--
(6-19) HO HTnin
où Hmi, est la pression minimale dans le réservoir que l’on se,ftxe. Cette formule n’est valable que pour des débits inférieurs à 30 l/s et des longueurs de conduites de moins de 1 200 m (hypothèses sur les pertes de charge). 2) Pour tenir compte des pertes de charge dans la conduite et dans l’étranglement, on peut utiliser les abaques de Combes et Borot (Annexes C) qui sont également établis avec les hypothèses des oscillations de masse et une loi de détente de Pair isotherme. Ils permettent, à partir des données géométriques et hydrauliques du ,problème (longueur L et section S de la conduite, débit Q. et pression statique absolue H, à la station) de déterminer : -
le volume d’air détendu dans le réservoir coefficient de sécurité près.
qui est le volume utile au
-
Les pressions maximale et minimale au droit de la station (les enveloppes des cotes piézométriques minima et maxima le long de la canalisation sont, dans cette hypothèse, des droites passant par le réservoir d’arrivée d’une part, et les points à la cote piézométrique minimr_le et maximale au droit de la station, d’autre part) ;
-
Les caractéristiques de l’équipement éventuel destiné à créer une perte de charge singulière au remplissage du ballon (les abaques ne prennent pas en compte une perte de charge dans le sens réservoir d’air canalisation).
3) ,Il est recommandé d’utiliser les abaques de Puech et Meunier en annexes D (hypothèse de coup de bélier d’ondes) pour un pré-dimensionnement plus précis et plus complet des équipements dans la mesure où dans les abaques de Combe, la perte de charge dans le sens conduite - réservoir Ah ne doit pas dépasser sensiblement la perte de charge AH dans la conduite si l’on ne veut pas que le maximum de pression se produise en fait dans la canalisation et non dans l’ami-bélier. Ces abaques ont été obtenus à partir de la résolution des équations adimensionnelles du coup de bélier sur ordinateur dans l’hypothèse de loi détente de l’air du, type PV’~2=constante et en tenant compte des pertes de charges dans la conduite et dans le sens conduite-ballon d’air. Ils fournissent l’enveloppe des pressions minimales le long de la conduite et la pression maximale au droit de la pompe. Ces abaques se présentent sous forme de 48 graphiques et sont donnés en annexes.
182
On procède de la manière suivante : a). On calcule A et K p). A partir de l’abaque D (calcul de la dépression) correspondant à la valeur de K trouvée (no 1 à 9), et compte tenu du profil en long de la conduite, on choisit une valeur de B qui donne origine à une courbe de dépression le long de la conduite sans préjudice. Si aucune courbe n’est satisfaisante, cela signifie qu’un grand volume serait nécessaire et il faut adopter une autre solution. y). On détermine le volume WO à partir de B. S). A partir des abaques 10 à 12 et connaissant A, K et B, on ,détermine la perte de charge optimale pour l’orifice du clapet, c’est à dire celle qui conduit à une pression maximale dans la conduite avec une valeur identique à la pression maximale dans le réservoir d’air. (Notons qu’à partir de HG/H,F, du moment où A est connu, on peut déterminer également B et Ah). E). A l’aide de ces derniers, on peut refaire le calcul des pressions maximale et minimale dans la conduite, près du réservoir. On peut également choisir un autre orifice ou d’autres dimensions pour le réservoir. 6) Le volume du réservoir doit être tel que pour la pression minimale, il n’y ait pas passage d’air dans la conduite.
* i 1
W=W0$
(1/1,2)
1%
Il convient en outre de prendre une marge de sécurité. Meunier est Puech suggèrent la valeur de 1,2 comme marge de sécurité. IJ) Le diamètre de liaison du ballon d’air à la conduite est d’environ la moitié du diamètre de cette dernière avec des raccordements arrondis pour éviter la formation de tourbillons. Exemple d’application Une conduite de refoulement $800, de longueur 4 550 m, transporte un débit d’eau Qo=80.000 m’ij. 0 n veut que la surpression ne dépasse pas H~=220 mCE et que la dépression ne baisse pas au-dessous de H,,-,=120 mCE. La célérité des ondes c=lOOO m/s, la dénivellation géométrique AZ = 196 m et la perte de charge dans la conduite P,=7,4 m. Solution
~o=4Q
= 134 m/s
avec
Q = 0,926 m3/s
et D = 0,8 m
l-ID2
183
cv0 g H:
= 188 m = (AZ +
A= $f
x
P, + Pst,) = 196 + 7,4 + 10,3 = 213,7 m.
= 188/213 ,7=0,8=
1
Si Hz, = H, + P,,, = 120 + 10,3 = 130,3 mCE, on doit avoir F
0
= 130,3/213,7
=0,61. A partir de l’abaque 1 (annexes D) pour A = 1 et p
= 0.61 et K=O on trouve B = 0 0,2. (Le profil de la conduite est supposé être au dessous de l’enveloppe). LnD2 Le volume de la conduite W, = 4= 2 287 m3
2 18,5 m3 Le volume d’air détendu est W, = *WC= 0 En ce qui concerne la pression maximale, on obtient par le calcul ( Hi, /Ha )- 1 = (220+10,3)/213,7-1=,08. De l’abaque 10 (annexes D) ou de l’abaque (annexes El) et pour A=1 , B=0,2 et 2 K=O, on obtient C=k,< Comme a = 5 obtient &2g
=9
= 2,5 ou 1,7
kUo2 _ ,on a ----2,5*213,7=534,25 2g
m, prenant k=L=i Cc
= 3, on CM>2
= 534,25/3 = 178 m et ~0 = 59 mis ; ce qui donne la section de
l’étranglement
A = -$ = y=
0,016m2
Le volume utile /1,2
= 28,0 m3 et on arrondit à 35 avec un coefficient
de
sécurité de 112 ; d’où V,, = 30 m3 aW2 Lencastre donne un abaque dû à Dubin et Guénau C = ~, HO permettant de choisir la valeur optimale de la valeur C de la perte de charge dans l’orifice du réservoir (voir paragraphe 5 ci-dessous)et la valeur maximale du coup de Bélier au réservoir Hh /Hz ( annexes El).
,Avec un paramètre
4) On peut également utiliser les épures de Bergeron ou les calculs par ordinateur pour une simulation du comportement de ce qui vient d’être pré-dimensionné.
184
5) La perte de charge dissymétrique réduit l’amplitude des oscillations dans le ballon d’air. Elle diminue le débit fourni par le ballon dans la phase d’abaissement, limite les abaissements d’une part ; d’autre part, elle peut donner origine, au début de la conduite, à une cote piézométrique Y, inférieure à celle qui correspond au niveau Z dans le ballon. Y = - 2 - R où R est la perte de charge
(0 5 IZI < IZml >
Dans la phase montée, l’écoulement se fait de la conduite vers le ballon d’air ; la pression au début de la conduite peut être supérieure à celle qui correspond au niveau d’eau maximum ZM dans le ballon, et l’on aura : Y=-Z+R
(0 5 Izl
5 jzM[
>
Dans la pratique, la réduction de pression résultant de l’étranglement peut entraîner plus d’inconvénients que l’augmentation de pression. C’est pourquoi, afin d’éviter une asymétrique, pression excessivement basse, on peut utiliser un étranglement provoquant une perte de sortie R’ inférieure à la perte d’entrée R”. Il est ainsi possible de diminuer la hauteur sans créer des dépressions indésirables. Pour obtenir une surpression optimale, il convient d’avoir, en regle générale, (2~10, à quoi correspondent des valeurs du diamètre de l’orifice de 0,lO à 0,15 fois le diamètre de la conduite principale. Facteur conditionnant
les orifices de perte de charge des réservoirs
d’air
Dans le cas des orifices symétriques, la perte de charge à travers l’orifice kV2 et lors du pré-dimensionnement, on peut prendre 2g
est du type
l
où D est le diamètre de la canalisation de liaison entre le ballon et la conduite élevatoire ; d, le diamètre de l’orifice ; et V, la vitesse correspondant au débit Q. dans la canalisation de liaison. l
ou bien l’expression proposée par Idel’Cick arrête vive en amont
pour
un
diaphragme
à
L’augmentation de la vitesse à travers l’orifice provoque l’abaissement de la pression en aval et peut entraîner des phénomènes de cavitation. Dès que la pression
185
moyenne du jet est égale à la tension de vapeur, la vitesse tend à se maintenir stationnaire et le débit est bloqué. On définit l’indice de cavitation CT,auquel correspondent les valeurs oci de début de cavitation et o&, de cavitation de blocage de l’écoulement. On aura un nombre dit de Thoma:
hj -h, O=h,,,-hj où hj est la pression en aval de l’orifice ; h,,,, la pression en amont de l’orifice ; et h,, la tension de vapeur On peut donc utiliser des critères de vitesse de cavitation pour le dimensionnement (Annexes E2).
de d
Dubin et Guerrau, cité par Lencastre, proposent l’expression suivante, pour le diamètre de l’orifice avec vanne à clapet : d=
’ ,/4 cs ( Qj 1 où d est le diamètre de l’orifice dans le clapet ; D, le diamètre de la conduite élévatoire ; c, la célérité des ondes dans la conduite de section S avec un régime permanent Qo. 1,2
Ruus, cité par Lencastre, recommande que la perte de charge localisée ne dépasse 0,6 fois la charge statique absolue initiale Ha. Dupont recommande que le rapport de la conduite élévatoire l’étranglement soit compris entre 13 et 17.
et la section de
6) Détail pratique Les réservoirs d’air doivent posséder les dispositions suivantes : -
tube indicateur de niveau ;
-
détecteur de niveau pour la mise en service du compresseur éventuel et/ou le déclenchement d’alarmes, l’ensemble avec des temporisations de mise en service ;
-
vidange, soupape ;
-
raccordement à la canalisation aussi court que possible (éviter des pertes de charge prohibitives)
-
trou d’homme ou d’inspection suivant les dimensions.
186
6.1.3. Cheminée
d’équilibre
La cheminée d’équilibre protège le tronçon entre le réservoir et la cheminée et réduit l’intensité coup de bélier entre la cheminée et l’appareil manœuvrée. Son utilisation est très limitée par les conditions topographiques. La protection par cheminée n’est intéressante en hydraulique urbaine que pour les eaux usées des charges généralement faibles) et pour la protection des points hauts difficiles à protéger et disposés le long des conduites d’adduction, Le dispositif est par contre beaucoup utilisé en hydroélectricité pour la protection des galeries et pour assurer la stabilité des groupes. 1) La cheminée d’équilibre peut être étudiée généralement avec une bonne approximation avec les équations des oscillations de masse. 2) On peut utiliser les abaques donnés par Lencastre (Annexes F) 3)
On peut également utiliser la méthode graphique de Bergeron ou les calculs par ordinateur. Un réservoir d’alimentation diffère de la cheminée d’équilibre par le fait que, durant le fonctionnement normal, il est isolé de la conduite par une vanne-clapet (figure 6-18). Quand survient une dépression dans la conduite, au-dessous du niveau de l’eau dans le bassin, la vanne rouvre ; l’écoulement est alimenté, et l’on évite que la dépression augmente. Le bassin est alimenté par un by-pass asservi par un flotteur.
robinet
déversoir
vanne clapet
trop
flotteur
plein
de vidange -----~
vanne de conduite à protéger
--~
-~
4
Figure 6- 18 : Réservoir d’alimentation
Ils sont indiqués pour protéger les points hauts. Il faut que la ligne de dépression descende en dessous du niveau d’eau dans le bassin pour qu’il puisse fonctionner. Ils ont l’avantage de ne nécessiter aucune surveillance ni de compresseur.
187
.
L’abaque Gl en annexe permet de dimensionner un bassin uniquement quand il est proche de la pompe, ou bien s’il existe un clapet dans la conduite, immédiatement en amont du bassin, pour éviter que des ondes de surpression ne se réfléchissent dans la direction de la pompe et ne provoquent une surpression supérieure à celle qui se produirait s’il n’y avait pas de réservoir. S’il n’y a pas de clapet on doit utiliser l’abaque en annexe G2. On peut également utiliser la méthode graphique de Bergeron ou le calcul par ordinateur.
6.1.4
Clapet by-pass l’aspiration)
(alimentation
de
la
conduite
de
refoulement
par
Pour que le système (figure 6- 19) fonctionne, il faut que la dépression à la sortie de la pompe soit inférieure au niveau d’aspiration dans le bassin, c’est à dire que la hauteur d’élévation soit très inférieure T. 1) Le by-pass, fonctionnant après l’arrêt des pompes, entraîne une perte de charge localisée AH qui, pour le débit initial Qo, sera désigné par AH,. Cette perte de charge conditionne l’abaissement maximum de pressionAH, donné, d’après Lencastre, par : AH,,, = A w H, où Ho est la hauteur géométrique de pompage plus P ; lp = 1 - 0,5 (/(&&$~(M)IA~,
- xh,),
A étant le
paramètre caractéristique de la conduite et Ah, , le rapport AH,/H,. La surpression maximum dans la section de la pompe est donnée par : AHM= AH,, - P où P est la perte de charge dans la conduite. Le temps moyen d’annulation du débit est donné par : T,=B(A+l) où B est le temps de fermé relative = 2LK. Le volume minimum d’eau V, dans la bâche d’aspiration est donné empiriquement
par :
V, = Cs L Q,(0,52 A + 1,s) où Cs est un coefficient de sécurité (5 < Cs < 10). Comme la pompe ne s’arrête pas instantanément, à travers elle passera un ,débit qui s’ajoutera à celui du by-pass. Les clapets du by-pass peuvent être spéciaux (à ouverture
188
rapide, agissant ainsi rapidement sur la dépression et à fermeture lente, réduisant ainsi l’effet de contre coup). 2) On peut également utiliser les épures de Bergeron ou le calcul informatique.
Ces clapets placés aux différents points hauts fonctionnent à la dépression et permettent d’éviter la cavitation par introduction d’air. Il faut cependant prendre des dispositions adéquates pour l’évacuation ultérieure de l’air admis qui peut accentuer la surpression. L’étude se fait par les épures de Bergeron ou par le calcul par ordinateur
6.2 Procédés
pour limiter
6.2.1. Les réservoirs
les surpressions
d’air
Ils servent aussi à limiter la dépression ( voir paragraphe 6.1.2) 6.2.2. Les cheminées
d’équilibre
Elles servent aussi à limiter la dépression ( voir paragraphe 6.1.3) 6.2.3. Les soupapes
de sûreté
ou soupapes
de décharge
Elles s’ouvrent pour une pression de réglage légèrement supérieure à la pression de service de la conduite (environ 5 %). Elles doivent avoir une inertie aussi faible que possible pour que l’ouverture soit rapide. Le réglage de la surpression maximale se fait avec le clapet. On les étudie avec l’épure de Bergeron si l’on cannait les caractéristiques de la soupape.
189
Divers abaques Protection des conduites contre les coups de bélier
ANNEXES A VOLANT D’INERTIE
DU CHAPITRE
6
(TIRE DE LENCASTRE) ._
- Avec inversion de Mcoulement a trav~$~ h pompe - Idem, mais sansinversion du sensde rotation de la pompe *-Au moment de I’inversion de I’&ol&m63nt W- -MIl&&$#-
A-
Notations : h=charge à la sortie de la pompe (indices O=régime nominal, m=minimal, =maximal) I=moment d’inertie des masses tournantes ; q=rendement du groupe moto-pompe ; n=vitese de rotation en t/mn ; UO= vitesse dans la conduite en régime nominal ; S et 1= section et longueur de la conduite ; c=célérité des ondes et y=poids spécifique du liquide pompé.
193
B VOLUME DU BALLON D’AIR (ABAQUE DE VIBERT) 81 Abaque
de Vibett
:., *.2:
2
Notations : Uo=volume d’air en régime nominal ; Vo=vitesse dans la conduite en régime nominal ; Z=pression absolue de l’air en mCE (indices O=régime nominal , min=fïn de la dépression, max=fïn de la surpression) ; L et S= longueur et section de la conduite ; J$T!&
194
B2 Exemple de calcul
195
<
_’
196
IEGENDE .soit 4 19 oslnt 2e r ' i i t e cù e s t e r a p r h a .:e &-S@nmi? d ' 3tiTi
.no : jreçsic? s.catlr;ue
absolue en '4 Inactsur de recouleme3t c
&am.
-ta nl
Hmin : pr2ssl9175 absclues maxi mur^ et pirimun En A
.ibaax* i
.i : lûngüeL;s d e ;a
conduite ._ . section f
*
de l a
2:onduit€2
.GD : d g b l t ngrrnal, de l a ccnduite . A H : Derte de cnarga dans la c o n d u i t e oaur .Ah: perte d e charge d e l'étranglement denç le sens conduite- rFsservoir pour ,Q .Va : volume d ' a i r SOUS l a pression H, e g : accefération de la pesanteur
D VOLUME DU BALLON D’AIR (ABAQUES DE MEUNIER
m 3 B.sec mJs%c rT?&+C2 m m m (TX m m mCE mCE mCE mCE mCE mCE
ET PUECH)
RAPPEL
GRAFWQUE
DES PRINCIPALES
NOTATIONS
1 f
1 H*
iwon .A
I t
Pompe 1
8
P,+=10,33
; f I t
Nombre~
sans dimensions
connus
:
auv A=--..- etK=---
PV ^ PS
6
5
a
LQ,%
a dé terminer
BS---
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K,
l;i-
u’
0129
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199
Remarque
: Les
pfassrons
sont
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en
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d’eati. Y
200
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201
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204
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K-Q.42
207
208
209
P P..
d
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1. as
1. QS a2
,“_
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212
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_.I.“.^.
-e.-
I_l-_“--..--
213
ta
1 !
214
E BALLON D’AIR (ASAQUES DE DUBIN ET GUENEAU CITES PAR LENCASTRE) Ei Calcul
du vo/ume
d’air
Notations : j$=même notation que l’annexe A avec l’exposant * sur le h désignant la charge absolue.
Vitesse de cavita tion à I’étranglemen *
t
!J%e
216
F CHEMINEES
i-
(TIRE DE LENCASTRE)
D’EQUILIBRE
.~--~
-
.~.
Notations : R=section de la cheminée ; L et S =longueur et section de la conduite protégée ; Qo=débit
nominal
dans la conduite ; zq=Qod=gaz
; T.=2z@
;
Z=niveau de l’eau dans la cheminée repérée par rapport au niveau statique et orienté vers le haut ; P=perte de charge dans la conduite et R =Perte de charge de i l’étranglement conduite-cheminé (avec indice 0 pour le débit Qo) ; Fdurée du démarrage linéaire et Y=-R-Z. Les lettres minuscules désignent la valeur rapportée à Z*.
217
b
219
n
-.,
220
-.-.-..v
222
même Notations : notation que l’annexe A cuo avec Ah,=-g et Ah désignant la surpression
,Ah,.
i,o
i
---
. Ah,
-7
..-
223
224
Auteurs
Titre
Edition
A. LENCASTRE
Hydraulique Générale
AGHTM
Les stations de pompage d’eau
M. CARLIER
Hydraulique générale et appliquée
Eyrolles, Paris, 1972
M. H. CHAUDRY
Applied hydraulic Transients
Van Nostrand, 1979
R. COMOLET
Mécanique Expérimentale des fluides (3 Tomes)
Masson, Paris 1985
IDEL’CIK
Mémento de pertes de charge
Eyrolles, Paris, 1969
FAO
Conception et optimisation des réseaux d’irrigation
FAO, Rome, 1996
PONT A MOUSSON
Canalisations d’eau
PAM, Nancy, 1985
M. MOREL
Eyrolles, Paris, 1994 Exercices de mécanique des fluides (2T) ENGREF, Paris, 1980 Les coups de bélier et la protection des réseaux d’eau sous pression Les pompes et les petites stations de Ministère de la Coopération Française, Paris, 1977 pompage
