Curva braquistócrona
Esquema de una curva braquistócrona.
Comparación entre una trayectoria braquistócrona, y otras dos trayectorias posibles.
Un curva braquistócrona (gr. (gr. βραχίστος βραχίστος brachistos 'el 'el más corto', χρόνος chronos '[intervalo de] tiempo'), o Dispositvo experimental del siglo XVIII de Sigaud de Sigaud de Lafond pa pacurva del descenso descenso más rápido, es la curva entre dos pun- ra comprobar la minimalidad del tiempo de trayecto según una tos que es recorrida en menor tiempo, por un cuerpo que curva cicloide. comienza en el punto inicial con velocidad cero, y que debe desplazarse a lo largo de la curva hasta llegar al segundo gundo punto, punto, bajo bajo acció acciónn de una fuer fuerza za degravedad de gravedad cons- miza el tiempo de tránsito será distinta de la descrita en tante y suponiendo que no existe fricción existe fricción.. En la solución los párrafos precedentes. del problema intervinieron: intervinieron: Johann y Jacobo Bernoulli, Bernoulli, Leibniz,, L'Hôpital Leibniz L'Hôpital,, Newton Newton,, Tschirnhaus Tschirnhaus,, entre otros.[1] En 1696, Jakob 1696, Jakob Bernoulli y Bernoulli y Johann Johann Bernoulli resolvieron Bernoulli resolvieron 1.1 Demo Demostr strac ació ión n el problema de la braquistócrona, el primer resultado en el cálculo de variaciones. La conservación La conservación de la energía requiere energía requiere que la velocidad vertical de un cuerpo en un campo gravitatorio uniforme venga dada por:
1
La braqu braquis istóc tócron rona a es la cicloide la cicloide
1 mv2 2
→ v = √ 2gy
= mgy mg y
Dados Dados dos puntos puntos A y B , con con A a una elev elevac ació iónn mayo mayorr que que B , existe solo una curva cicloide curva cicloide con con la concavidad hacia arriba que pasa por A con pendiente infinita (dirección donde y representa la altura vertical desde la que ha caído también én pasa pasa por el cuerpo. Por otra parte el espacio recorrido viene dado vertic vertical al y sentid sentido o de arriba arriba hacia hacia abajo abajo), tambi y no pose poseee punt puntos os máxi máximo moss entr entree A y B. Esta Esta part partic icul ular ar por: B y cicloi cicloide de inverti invertida da es una curva curva braquist braquistócro ócrona. na. la curva curva no depende de la masa del cuerpo o del valor de la constante gravitacional. 2 x dy s = xab 1 + dx dx El problema puede ser resuelto utilizando los algoritmos del cálculo del cálculo variacional. variacional.
∫ � � �
Si al cuerpo se le da una velocidad inicial en A , o si se De la ecuación diferencial que da la velocidad se sigue toma en cuenta el efecto de la fricción, la curva que mini- que el tiempo entre los puntos a y b viene dado por: 1
2
3
� ∆ = T [ ( )] = ( ′) := √ √ 1 +√ ′
sb
t
y x
sa
ds v
y 2
f y, y
GENERALIZACIONES
� √ 1 + ′( ) 2 Curiosidades � = ( ( ) ′ ( )) √ 2 √ ( ) = xb
y x
g
xa
y x
xb
2
dx
f y x , y x dx
xa
Según el principio de Fermat: La trayectoria seguida por un haz de luz entre dos puntos es aquella que resulta en el menor tiempo de viaje. Por tanto la curva braquistócrona
2g y
sería simplemente la trayectoria de un haz de luz donde la Como la curva que hace mínimo el funcional anterior sa- velocidad luz se incrementa con una aceleración vertical tisface las ecuaciones de Euler-Lagrange, se tiene: (la de la gravedad) ∂f ∂y
−
d dx
� �=0 ∂f ∂y
′
3
Como la función f no depende explícitamente de x la 3.1 ecuación anterior es equivalente a:
� − � �� ′( ) � − ′ � = 0 ∂f ∂y
d dx
∂f ∂y
d dx
f
y
Inclusión de rozamiento
=
y x
′
Generalizaciones
∂ f ∂y
′
Es decir la solución para el problema de la braquistócrona es una curva tal que: ∂ f ∂y
= − y′ 1 √ 1+ = C
f
√ 2gy
′
y
C
= cte.
⇒
′2
Esta ecuación se puede reescribir como:
Solución del problema de la braquistócrona con rozamiento: cicloide modificada. Las posiciones inicial y final corresponden a un punto de velocidad cero, el segundo más bajo debido a las pérdidas de rozamiento.
El estudio de la braquistócrona para una partícula que se mueve sin fricción es una cicloide, puede probarse 1 2gC y que para una partícula que se mueve con fricción, el problema de la braquistócrona puede resolverse también Se puede ver que la curva cicloide definida paramétrica- analíticamente. [2] En este caso el funcional que debe mimente como: nimizarse es: dy dx
� =±
1 = 4 = 1 4
1
2
−
∆tµ
− sin θ) gC (1 − cos θ) gC 2
x y
(θ 2
xb xa
∫
=
√ 1+ ( ) √ 2 √ ( )− y x ′
g
y x
2
T [y(x)] µ
µx
dx
=
sb ds sa v
∫
=
En este caso la solución viene dada por:
Satisface la ecuación anterior con y (0)=0 , ya que: dy dx
�
=
1 2gC 2 y
1.2
dy dθ dx dθ
=
− 1
sin θ 1−cos θ
=
�
1+cos θ 1−cos θ
1 = 4 = 1 4 x
=
Propiedades
La curva braquistócrona coincide además con una curva tautócrona. Una curva plana se dice tautócrona si dada una colección de puntos materiales que se mueven a lo largo de ellas que empiezan en puntos diferentes se encuentran en un punto de la curva, es decir tardan elmismo tiempo en alcanzar una cierta posición.
y
3.2
− sin θ) − µ(1 − cos θ)] [(1 − cos θ) − µ(θ − sin θ)] gC 2 gC 2
[(θ
Movimiento sobre superficies
El problema de la braquistócrona usualmente se plantea en un plano vertical que contiene al vector tangente a la curva y a la dirección de la gravedad, pero el problema también ha sido planteado y resuelto cuando el movimiento de la partícula está confinado a una superficie curva como un cono o una esfera.
5.1
Enlaces externos
4
Véase también
• Cálculo variacional • Identidad de Beltrami • Cicloide • Curva tautócrona • Catenaria • Movimiento uniformemente acelerado 5
Referencias
[1] Hofmann: Historia de la matemática ISBN 968-18-62864 [2] Brachistochrone with friction (Wolfram Math)
5.1
•
Enlaces externos Ferréol, Robert; Mandonnet, Jacques (2009), «courbe brachistochrone» (en francés), Encyclopédie des formes mathématiques remarquables , http://www.mathcurve.com/courbes2d/
brachistochrone/brachistochrone.shtml
•
O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., «The brachistochrone problem» (en inglés), MacTutor History of Mathematics de Saint Andrews, archive, Universidad http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/ HistTopics/Brachistochrone.html.
• Weisstein, Eric W. «Brachistochrone Problem». En
Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
• La braquistocrona, Whistler Alley Mathematics. • Table IV from Bernoulli’s article in Acta Eruditorum 1697
por Michael Trott y Brachistochrone Problem por Okay Arik, Wolfram Demonstrations Project.
• Brachistócronas
3
4
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TEXT AND IMAGE SOURCES, CONTRIBUTORS, AND LICENSES
Text and image sources, contributors, and licenses
6.1 •
Text Curva braquistócrona Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Curva%20braquist%C3%B3crona?oldid=77436545 Colaboradores: BOT-
Superzerocool, Juan Mtg, Davius, CommonsDelinker, Uruk, VolkovBot, Urdangaray, Juan Mayordomo, Luckas-bot, Gusbelluwiki, EmausBot, Grillitus, WikitanvirBot, KLBot2, YFdyh-bot, Addbot, Agent349 y Anónimos: 15
6.2 •
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Images Archivo:Brachistochrone.gif Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/63/Brachistochrone.gif Licencia: Public domain Colaboradores: ordinateur de robert ferréol Artista original: Robert ferréol Archivo:Brachistochrone.png Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d4/Brachistochrone.png Licencia: Public domain Colaboradores: ? Artista original: ? Archivo:Brachistochrone_with_friction.png Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e7/Brachistochrone_with_ friction.png Licencia: CC0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original: Davius Archivo:Cycloide_Sigaud.jpg Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/fb/Cycloide_Sigaud.jpg Licencia: CC BY 3.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original: JC Maxwell
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