Deformacion y Esfuerzos en Vigas

DEFORMACION Y ESFUERZOS EN VIGAS Concepto de deformaciones de vigas y definiciones fundamentales Introducción La viga es el elemento estructural utilizado para cubrir espacios, soportando el peso colocado encima del elemento mediante la resistencia a las fuerzas internas de flexión y corte. En tal sentido el predimensionado de las vigas consiste en determinar las dimensiones necesarias para que el elemento sea capaz de resistir la flexión y el corte, así como también debe tener dimensiones tales que la flecha no sea excesiva. Así, el esquema para cumplir con los requisitos de una viga consiste en:    

Determinar las cargas Cuantificar las fuerzas de diseño Predimensionar mediante criterio de Resistencia Comprobar las dimensiones por rigidez

FUERZAS DE DISEÑO Los efectos que producen las cargas sobre una viga son de dos tipos: Fuerza Cortante (V) y Momento Flector (M). La magnitud de estas fuerzas son variables a lo largo de la longitud de la viga, siendo así el objetivo principal de determinar la magnitud de la fuerza cortante y el momento flector máximo aplicado en la viga (Vmax ; Mmax). El procedimiento básico para cuantificar las fuerzas de diseño consiste en: 1. Asilar el elemento del sistema estructural, 2. determinar las reacciones por las ecuaciones estáticas o de las condiciones de apoyos, 3. realizar un corte en la sección donde se desea conocer la magnitud de las fuerzas internas con un plano perpendicular al eje del elemento, 4. las fuerzas internas se obtienen de aplicar el equilibrio sobre una de las dos porciones obtenidas por el corte.

Figura 1. Fuerza cortante y momento flector.

FUERZA CORTANTE Definición Para mantener el equilibrio sobre el segmento de la viga en la Figura 1, se debe incluir la fuerza V, que actúa perpendicular al eje y se denomina fuerza cortante. La fuerza cortante es igual a la suma de todas las fuerzas verticales que actúan en la porción aislada ubicada en el lado izquierdo . Por otra parte, se observa que la magnitud de V es variable, ya que, la magnitud depende del punto donde se realice el corte imaginario. Por lo tanto esta variabilidad es conveniente representarla gráficamente por diagramas. En el caso de la fuerza cortante, el diagrama se denomina Diagrama de Fuerza Cortante (DFC) el cual se indica en la Figura 4. V = ∑ Fvert izq

(Ec. 1)

CONVENIO DE SIGNOS Dado que el valor de V obtenido por la suma de la porción de la izquierda es igual pero de sentido contrario a la suma de las fuerzas de la porción de la derecha, para indicar cuando el valor de V es positivo o negativo, en la figura 2 se señala el convenio empleado según la tendencia que tiene la fuerza sobre el elemento. Figura 2. Convenio de signos de V.

MOMENTO FLECTOR Definición Así como la fuerza cortante equilibra las fuerzas verticales, también se debe establecer un equilibrio en los momentos hasta la sección evaluada de las fuerzas aplicadas sobre la viga en el segmento analizado. Este momento interno se denomina momento flector y la magnitud es igual a la suma de los momentos sobre la sección de corte, producidos por las fuerzas aplicadas en la porción de la izquierda. Así como la fuerza cortante, el momento flector es variable y se representa por el Diagrama de Momento Flector

(DMF). M = ∑ M izq = ∑ Fizq d F sec

(Ec. 2)

CONVENIO DE SIGNOS. El convenio más extendido de momento flector positivo es cuando produce concavidad hacia arriba, tal como lo indica la figura 3. Figura 3.

Figura 4. Diagrama de fuerza cortante y momento flector de vigas.

RELACIÓN DE CARGA FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR La carga se relaciona con la fuerza cortante y el momento flector, las cuales permiten un método alternativo para dibujar los diagramas. Las relaciones están indicadas en la Ecuación 3 (Popov, 1996; Singer y Pytel, 1982).

VIGAS HIPERESTÁTICAS Las vigas que poseen reacciones redundantes o un exceso de restricciones, aumentan el número de incógnitas sin el consecuente aumento de ecuaciones disponibles de la estática, por ello se denominan vigas hiperestaticas o vigas estáticamente indeterminadas (véase figura 5). En todos estos problemas son válidas las ecuaciones de equilibrio estático, ecuaciones necesarias pero no suficientes para resolver los problemas hiperestáticos. Las ecuaciones complementarias se establecen partiendo de consideraciones de la geometría de la deformación. En sistemas estructurales, por necesidad física, ciertos elementos o partes deben flexionarse conjuntamente, torcerse juntos al mismo tiempo, alargarse juntos, etc., o bien, permanecer fijos. Formulando tales observaciones cuantitativamente se obtienen las ecuaciones adicionales requeridas (Popov, 1996).

MÉTODOS Los mismos métodos para determinar la deformación de las vigas son válidos para la resolución de vigas hiperestáticas, ya que las ecuaciones adicionales para hacer un sistema matemáticamente determinado son tomadas de la elástica de la viga. Una forma alternativa de añadir ecuaciones, es considerar como desconocido o hiperestático los momentos de los apoyos. Una vez determinados estos momentos también llamados momentos de continuidad, el cálculo de reacciones se hace sencillo. Uno de estos métodos se denomina tres momentos y la otra distribución de momentos o rigidez (Singer y Pytel, 1982).

TRES MOMENTOS Para un número cualquiera de tramos, n, es posible escribir n—1 ecuaciones de tal clase. Esto da suficientes ecuaciones simultáneas para la determinación de momentos redundantes sobre los apoyos. Tal fórmula de recurrencia se llama ecuación de los tres momentos, debido a los tres momentos desconocidos que aparecen en ella y se escribe de la siguiente forma.

L1 L2 Figura 6. Esquema de viga de tres momentos

La ecuación de tres momentos fue determinada en la suposición de momentos flectores positivos, según lo indicado en la Figura 7. En un problema particular, donde se tienen más de dos tramos. Un número suficiente de ecuaciones simultáneas para determinar los momentos desconocidos se obtiene imaginando sucesivamente los apoyos de tramos contiguos (véase Figura 8). De manera similar ocurre cuando se tiene un solo tramo, donde se agregan tramos con condiciones cero, para adaptarse a la ecuación de tres momentos.

DEFORMACION DE VIGAS

LINEA ELASTICA O ELASTICA Denominaremos linea eastica a la curva que forma la fibra neutra una vez cargada la viga, considerando que ésta se encontraba inicialmente recta.

SUPUESTOS BASE Para establecer una serie de relaciones al interior de la seccion, indicams que se trata de una viga, cuyo material se encuentra solicitado dentro del rango de proporcionalidad entre tensiones y deformaciones, y en donde se admite la conservacion de las caras planas. Dicho en otra forma, donde se cumplen la ley de hooke y la hipotesis de Bernouilli-Navier.

A) LEY DE HOOKE Establece que la relación entre la tensión y la deformación unitaria es una constante y se denomina modulo de elasticidad.

B) DEDUCCION DE LA FORMULA DE FLEXION De la deducción realizada para dimensionar elementos sometidos a la flexion simple sabemos que:

SOLUCION POR SUPERPOSICION DE EFECTOS Uno de los métodos prácticos para calcular las reacciones en vigas hiperestáticas es considerar que las vigas soportan diversas cargas las cuales pueden ser reacciones, con los cual se elimina la condición de estáticamente indeterminado, como se indica en la figura. Para cargas básicas y condiciones de apoyos básicos, la deformación máxima lineal y angular ya se encuentran tabuladas, lo cual permite resolver de una forma sencilla algunas vigas hiperestáticas.

ESFUERZO DE FLEXION Combinación de los esfuerzos de compresión y de tracción que actúan en la sección transversal de un elemento estructural para ofrecer resistencia a una fuerza transversal. Caracteriza la intensidad de las fuerzas que causan el estiramiento, aplastamiento o torsión, generalmente con base en una "fuerza por unidad de área". Fuerza o resistencia que opone un cuerpo sometido a una o varias de las fuerzas externas enumeradas precedentemente. Fuerza que tiende a alargar, acortar, flexionar, torcer o cortar cizallándolo un cuerpo cualquiera. Flexión: Curvatura, deformación que experimenta un sólido cuando se aplican fuerzas o soporta cargas que actúan en su plano de simetría o están dispuestas en pares simétricos con respecto a dicho plano. Una pieza experimenta tensiones de flexión, cuando está sometida a fuerzas externas que se ejercen en sentido transversal a su longitud. Estas fuerzas se hallan generalmente en el mismo plano y son con frecuencia perpendiculares al eje de la pieza. Bajo su acción, la pieza cede y se deforma; si era recta (como es nuestro caso), adquiere cierta curvatura, acortándose las fibras situadas en la parte cóncava y alargándose las de la parte convexa. ESFUERZO CAUSADO POR FLEXIÓN En las vigas la flexión genera momentos internos; en un diagrama de momentos flectores internos, un momento positivo significa que en su sección transversal, la fibra inferior al eje neutro (que coincide con el eje centroidal) está sometida a esfuerzos normales de tensión, y la fibra superior al eje neutro estará sometida a esfuerzos normales de compresión. Sin embargo, estos esfuerzos no se distribuyen en forma constante, como en los esfuerzos normales directos, sino que tienen una distribución variable, a partir del eje neutro hasta las fibras extremas. Se puede deducir como es el comportamiento de la sección transversal cuando el momento flector interno es negativo, y de igual manera, que en el eje neutro, los esfuerzos normales son nulos, y máximos para cada caso en las fibras extremas. Para un momento flector interno (M), y una sección transversal de la viga cuya rigidez está cuantificada con el momento de inercia (I), y una distancia desde el eje neutro hasta las fibras extremas, inclusive sin llegar a los extremos, (Y), entonces el esfuerzo de tensión o de compresión experimentado (sm), se calcula como: sm = M Y / I Al hacer la expresión I / Y como S, y denominada módulo de sección, se obtiene la expresión: sm = M / S La ecuación, es una

expresión utilizada en diseño, puesto que el módulo de sección (S) por lo general es expresado en las propiedades de las secciones transversales de diversos perfiles estructurales. Es común también expresar el esfuerzo s m, como: smt = M Yt / I (70) smc = M Yc / I (71) donde, Yt y Yc, corresponden a las distancias del eje neutro hasta las fibras extremas sometidas a tensión y compresión, respectivamente. Obviamente se entiende el significado desmt y smc. Resistencia máxima a la Flexión: Es el esfuerzo de flexión máximo soportado por la probeta en el momento de la rotura. Algunos conceptos importantes que necesitamos manejar: Esfuerzo secundario: Esfuerzos adicionales de flexión y corte en una cercha, que se producen por un nudo empotrado que impide el giro entre las barras. Elemento a flexión: Pieza sometida a fuerzas transversales, que le causan una flexión. Esfuerzo de flexión: Combinación de las fuerzas de tracción y de compresión que se desarrollan en la sección transversal de un elemento estructural para resistir una fuerza transversal. Fórmula de la fatiga a flexión: Fórmula que representa la relación existente entre el momento flector, la fatiga de flexión y las propiedades de la sección transversal de un elemento estructural. Ensayo de flexión: Ensayo consistente en someter a una deformación plástica una probeta recta de sección plena, circular o poligonal, mediante el pliegue de ésta, sin inversión de su sentido de flexión, sobre un radio especificado al que se le aplica una presión constante.

ESFUERZO DE CORTE EN VIGAS Con objeto de desarrollar algo de comprensión en cuanto al método de aplicar la fórmula del cortante, y también ver algunas de sus limitaciones, estudiaremos ahora las distribuciones del esfuerzo cortante en unos cuantos tipos comunes de secciones transversales de vigas. Luego presentaremos aplicaciones numéricas de la fórmula del cortante en los ejemplos siguiente. Sección transversal rectangular. Consideremos que la viga tiene una sección transversal rectangular de ancho b y altura h como se muestra en la figura 5A. La distribución del esfuerzo cortante a través de la sección transversal puede determinarse calculando el esfuerzo cortante en una altura arbitraria y medida desde el eje neutro, figura 5B, y luego graficando esta función. El área con sombra oscura A´ se usará aquí para calcular r. Entonces, Q=ӯ´A´=[y+ = Aplicando la fórmula del cortante, tenemos Este resultado indica que la distribución del esfuerzo cortante sobre la sección transversal es parabólica. Como se muestra en la figura 5C, la intensidad varía entre cero en la parte superior y el fondo, y=±h/2, y un valor máximo al nivel del eje neutro, y=0. Específicamente, puesto que el área de la sección transversal es A=bh, tenemos entonces en y=0, de la ecuación 4. rmax=1.5 Este mismo resultado para rmax puede obtenerse directamente con la fórmula del cortante r=VQ/It, observando que rmax se presenta donde Q es máxima, ya que V, I y t son constantes. Por inspección, Q será un máximo cuando se considere toda el área arriba (o abajo) deleje neutro; esto es, A´=bh/2 y y´=h/4. Asi, rmax = =1.5 Por comparación, rmax es 50% mayor que el esfuerzo cortante promedio determinado con la ecuación 7; es decir rprom=V/A. Es importante recordar que para toda r que actúa sobre la sección transversal en la figura 5C, se tiene un correspondiente r actuando en la dirección longitudinal a lo largo de la viga. Por ejemplo, si la viga es seccionada por un plano longitudinal a través de su eje neutro, entonces, como se indicó arriba, el esfuerzo cortante máximo actúa sobre este plano, figura 5D. Este es el esfuerzo que ocasiona que una viga de madera falle según se muestra en la figura 6. Aquí la rajadura horizontal de la madera comienza al nivel del eje neutro en los extremos de la viga, ya que las reacciones verticales someten a la viga a grandes esfuerzos cortantes y la madera tiene una resistencia baja al cortante a lo largo de sus fibras, que están orientadas en dirección longitudinal.

Es instructivo mostrar que cuando la distribución del esfuerzo cortante, ecuación 4, se integra sobre toda la sección transversal, se obtiene la fuerza cortante resultante V. Para hacer esto, se escoge una franja diferencial de área dA=b dy, figura 5C, y como r tiene un valor constante sobre esta franja, tenemos: = y- -h/2h/2 = (h)Viga de patín ancho. Una viga de patín ancho se compone de dos patines (anchos) y un alma como se muestra en la figura 7ª. Con un análisis similar al anterior se puede determinar la distribución del esfuerzo cortante que actúa sobre su sección transversal. Los resultados se ilustran gráficamente en la figura 7B y 7C. Como en el caso de la sección transversal rectangular, el esfuerzo cortante varía parabólicamente a lo largo del peralte de la viga, ya que la sección puede ser tratada como la sección rectangular, que primero tiene el ancho del patín superior, b, luego el espesor del alma, t alma, y otra vez el ancho del patín inferior, b. En particular, adviértase que el esfuerzo cortante variará sólo ligeramente a través del alma, y también, que el esfuerzo cortante experimenta un salto en la unión de patín y alma, puesto que el espesor de la sección transversal cambia en este punto, o en otras palabras, que t en la fórmula del cortante cambia. En comparación, el alma soportará una cantidad significativamente mayor de la fuerza cortante que los patines. Esto se ilustrará numéricamente en el ejemplo 2.

Límites en el uso de la fórmula del esfuerzo cortante. Una de las principales suposiciones que se usaron en el desarrollo de la fórmula del cortante es que el esfuerzo cortante está uniformemente distribuido sobre el ancho t de la sección donde se calcula. Es decir, el esfuerzo cortante promedio se calcula a través del ancho. Se puede someter a prueba la exactitud de esta suposición comparándola con un análisis matemático más exacto basado en la teoría de la elasticidad. A este respecto, si la sección transversal de la viga es rectangular, la distribución real del esfuerzo cortante a través del eje neutro varía como se muestra en la figura 8. El valor máximo r´max se presenta en los bordes de la sección transversal, y su magnitud depende de la relación (b/h)(ancho/peralte). para secciones con b/h=2, r´max es casi un 40% mayor que rmax, figura 8B. El

error se vuelve aún mayor a medida que la sección se torna más plana, o a medida que se incrementa la relación b/h. Los errores de esta magnitud son ciertamente intolerables si se utiliza la fórmula del cortante para determinar el esfuerzo cortante en el patín de una viga del patín ancho, según se indicó antes. Asimismo, habrá que señalar que la fórmula del cortante no dará resultados precisos cuando se utilice para determinar el esfuerzo cortante en la unión patínalma de una viga de patín ancho, puesto que éste es un punto de cambio repentino de la sección transversal y, por consiguiente, en este lugar se presenta una concentración de esfuerzo. Además, las regiones internas de los patines son superficies libres, figura 7B, y, en consecuencia, el esfuerzo cortante sobre estas superficies debe ser cero. No obstante, si se aplica la fórmula del cortante para determinar los esfuerzos cortantes en estas superficies, se obtiene un valor de r´ que no es igual a cero, figura 7C. Afortunadamente, estas limitaciones para la aplicación de la fórmula del cortante a los patines de una viga no son importantes en la práctica de la ingeniería. Con mucha frecuencia los ingenieros sólo tienen que calcular el esfuerzo cortante máximo promedio que se desarrolla en el eje neutro, donde la razón b/h (ancho/peralte) es muy pequeña y, por consiguiente, el resultado calculado se aproxima mucho al esfuerzo cortante máximo verdadero tal como antes se explicó.

Se puede

señalar otra limitación importante en el uso de la fórmula del cortante con respecto a la figura 9ª, la cual muestra una viga de sección transversal irregular o no rectangular. Si se aplica la fórmula del cortante para determinar el esfuerzo cortante (promedio) r a lo largo de la línea AB, tendrá la dirección mostrada en la figura 9BVG. Considérese ahora un elemento del material tomado del punto limítrofe B, de tal modo que una de sus caras se localice en la superficie externa de la viga, figura 9C. Aquí el esfuerzo cortante calculado r en la cara frontal del elemento se descompone en las componentes, r´y r´´. Por inspección, la componente r´ debe ser igual a cero, puesto que su componente longitudinal correspondiente r´, que actúa cobre la superficie limítrofe libre de esfuerzo, debe ser cero, Por consiguiente, para satisfacer esta condición, el esfuerzo cortante que actúa sobre el elemento en la superficie limítrofe deber ser tangente a ésta. La distribución del esfuerzo cortante a lo largo de la línea AB tendría entonces la dirección que se muestra en la figura 9D. Debido a la máxima inclinación de los esfuerzos cortantes en las superficies limítrofes, el esfuerzo cortante máximo ocurrirá en los puntos A y B. Valores específicos del esfuerzo cortante se deben obtener mediante los ´principios de la teoría de la elasticidad. Sin embargo, advierta que se puede aplicar la fórmula del cortante para obtener el esfuerzo cortante que actúa a través de cada una de las líneas marcadas en la figura 9ª. Estas líneas intersecan las tangentes a las fronteras de la sección transversal según +ángulos rectos y, como se muestra en la figura 9E, el esfuerzo cortante transversal es vertical y constante a lo largo de cada línea. Para resumir los puntos anteriores, la fórmula del cortante no da resultados exactos cuando se aplica a miembros de sección transversal corta o plana, o en puntos donde la sección transversal cambia repentinamente. Tampoco se deberá aplicar a través de una sección que corte el contorno del miembro con un ángulo diferente de 90°. Más bien, en estos casos se deberá determinar el esfuerzo cortante por medio de métodos más avanzados basados en la teoría de la elasticidad. PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS. Se puede usar la fórmula del cortante para encontrar la distribución del esfuerzo cortante que actúa sobre la sección transversal de un miembro prismático recto de material homogéneo y comportamiento elástico-lineal. Se requiere que la fuerza cortante interna que se origine se dirija a lo largo de un eje de simetría de la sección transversal. Asimismo, el principio de Saint-Venant exige que se aplique la fórmula del cortante en puntos alejados de cualesquier discontinuidad en la sección transversal y de los puntos de carga concentrada. Para aplicar la ecuación, se sugiere el siguiente procedimiento. Fuerza cortante interna. Seccione el miembro perpendicularmente a su eje en el punto donde se va a determinar el esfuerzo cortante y use un diagrama de cuerpo libre y una ecuación de equilibrio apropiado a fin de obtener la fuerza cortante interna V en la sección.

Propiedades de la sección. Determine la posición del eje neutro, que pasa por el centroide de la sección transversal. Luego determine el momento de inercia I de toda la sección respecto al eje neutro. Pase una sección imaginaria por el punto donde va a determinarse el esfuerzo cortante, cortando la sección trasversal en dos partes. Mida el ancho t del área en esta sección respecto al eje neutro. Pase una sección imaginaria por el punto donde va a determinarse el esfuerzo cortante, cortando la sección transversal en dos partes. Mida el ancho t del área en esta sección. La porción del área que queda ya sea arriba o debajo de este corte es A´. Determine Q por integración, Q= o bien usando Q= A´. Aquí ӯ´ es la distancia del centroide de A´ es la porción de la sección transversal que está unida al miembro mediante los esfuerzos cortantes longitudinales, figura 4D. Esfuerzo cortante. Usando un conjunto coherente de unidades, sustituya los datos en la fórmula del cortante y calcule el esfuerzo cortante r. Se sugiere que se establezca la dirección correcta del esfuerzo cortante transversal sobre un elemento de volumen de material localizado en el punto en que se va a calcular el esfuerzo. Esto puede hacerse teniendo en cuenta que r actúa sobre la sección transversal en la misma dirección que V. Con esto se pueden establecer entonces los esfuerzos cortantes correspondientes que actúan en los otros tres planos del elemento. EJEMPLO 1 La viga mostrada en la figura 10ª está hecha de madera y está sometida a una fuerza cortante interna vertical resultante V=3 kip. a)determine el esfuerzo cortante en el punto p de la viga b)calcule el esfuerzo cortante máximo en la viga. SOLUCIÓN. Parte a) Propiedades de la sección. El momento de inercia de la sección transversal respecto el eje neutro es: I= 3 =41.7 pulg4 Se traza una línea horizontal por el punto P y el área parcial A´se muestra sombreada en la figura 10b. Por consiguiente,. Q=ӯ´A´=[0.5pulg + (2 pulg)](2 pulg)(4 pulg)=12 pulg3 Esfuerzo cortante. La fuerza cortante en la sección es V=3 kip. Aplicando la fórmula del cortante, tenemos: rp= Como rp contribuye al valor de V, actúa hacia abajo en P sobre la sección transversal. En consecuencia, un elemento de volumen del material en este punto tendrá esfuerzos cortantes actuando sobre él como se muestra en la figura 10c.

Parte (b) Propiedades de la sección. El esfuerzo cortante máximo ocurre en el eje neutro, ya que t es constante en toda la sección transversal y Q es máximo para tal caso. El área A´ sombreada en la figura 10d. Tenemos: Q= ӯ´A´=[ ](4 pulg)(2.5 pulg)=12.5 pulg Esfuerzo cortante. Aplicando la fórmula del cortante, obtenemos: rmax= note que esto es equivalente a: rmax=1.5

DIAGRAMAS DE ESFUERZO

DIAGRAMAS DE FUERZAS CORTANTES Y MOMENTOS FLEXIONANTES Con referencia a la construcción de los diagramas de fuerzas cortantes y momentos flexionantes pueden hacerse las generalizaciones siguientes : Una carga o un punto de apoyo origina una línea vertical en el diagrama de fuerzas cortantes. Una carga uniformemente distribuida (rectángulo) origina una línea inclinada en el diagrama de fuerzas cortantes. Las regiones de la viga en donde no hay cargas aplicadas, se reflejan como líneas horizontales en el diagrama de fuerzas cortantes. 4) Una carga no uniformemente distribuida (en forma de triángulo) origina un arco de parábola en el diagrama de fuerzas cortantes. Una línea horizontal en el diagrama de fuerzas cortantes implica una línea inclinada en el diagrama de momentos flexionantes. Una línea inclinada en el diagrama de fuerzas cortantes implica un arco de parábola en el diagrama de momentos flexionantes. Un arco de parábola en el diagrama de fuerzas cortantes implica una curva cúbica en el diagrama de momentos flexionantes, Cada coordenada vertical del diagrama de momentos flexionantes en un punto de la viga tiene un valor igual a la suma algebraica del área del diagrama de fuerzas cortantes hasta ese punto. DIAGRAMAS DE CORTE Y MOMENTO Cuando el diagrama de fuerzas cortantes cruza al eje horizontal, entonces el diagrama de momentos flexionantes en ese punto debe cambiar de pendiente, ya sea de negativa a positiva o viceversa. Esto significa que cualquier punto, donde el diagrama de fuerzas cortantes cruce el eje horizontal, debe ser un máximo o un mínimo en el diagrama de momentos flexionantes. 10) Un momento externo aplicado en un punto de la viga origina una línea vertical en el diagrama de momentos flexionantes, Convención de signos : Se ha convenido que la fuerza cortante ―V‖ y el momento flexionante ―M‖ en un punto dado de una viga son positivos si están dirigidos como se muestra a continuación : Nota : Esta guía presenta un ―método práctico‖ para la construcción de los diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores en vigas estáticamente determinadas.

(V)Construir los diagramas de Corte y Momento de la viga que se muestra a continuación: Una carga o un punto de apoyo origina una línea vertical en el diagrama de fuerzas cortantes. Lo primero que debemos hacer es calcular las reacciones en los apoyos, procedimiento que ya debe ser conocido por todos los estudiantes de este nivel : Ahora atendiendo a lo indicado en el aparte de la página 1 de esta guía se puede graficar desde ―A‖ hasta ―B‖ : Las regiones de la viga en donde no hay cargas aplicadas, se reflejan como líneas horizontales en el diagrama de fuerzas cortantes. Para iniciar el diagrama de corte debemos recordar la convención de signos: (V) Además se recomienda iniciar la construcción de los diagramas de izquierda a derecha. Como la fuerza vertical generada por el apoyo en ―A‖ tiene sentido hacia arriba (positivo cuando se ve el lado izquierdo de la viga):, se coloca una línea vertical (500 unid.) al inicio del diagrama de fuerzas cortantes (recordando lo indicado en el aparte 1 de la página 1 de esta guía) DIAGRAMAS DE CORTE Y MOMENTO Tomando en cuenta de nuevo el aparte de la página 1 de esta guía, en el punto ―B‖ debe colocarse una línea vertical que tendrá una longitud igual a la intensidad de la fuerza aplicada.

(V) ) Por último trazo una línea recta hacia arriba de 1.000 unidades (note que la fuerza generada por el apoyo en ―C‖ tiene este mismo sentido e intensidad); esto me indica que el gráfico fue bien elaborado al cerrar exactamente. (V) ) Note que en el punto ―B‖ se observan 500 unidades sobre la viga (positiva) y 1.000 unidades debajo (negativa), que conforman las 1.500 unidades equivalentes a la fuerza puntual aplicada en el punto ―B‖ con sentido vertical hacia abajo. Ahora atendiendo a lo indicado en el aparte 3) de la página 1 de esta guía se puede graficar desde ―B‖ hasta ―C‖ : Las regiones de la viga en donde no hay cargas aplicadas, se reflejan como líneas horizontales en el diagrama de fuerzas cortantes. DIAGRAMAS DE CORTE Y MOMENTO Para iniciar el gráfico de momento debemos recordar los apartes de la página 1 de esta guía : Una línea horizontal en el diagrama de fuerzas cortantes implica una línea inclinada en el diagrama de momentos flexionantes. Cada coordenada vertical del diagrama de momentos flexionantes en un punto de la viga tiene un valor igual a la suma algebraica del área del diagrama de fuerzas cortantes hasta ese punto. Cuando el diagrama de fuerzas cortantes cruza al eje horizontal, entonces el diagrama de momentos flexionantes en ese punto debe cambiar de pendiente, ya sea de negativa a positiva o viceversa. Esto significa que cualquier punto, donde el diagrama de fuerzas cortantes cruce el eje horizontal, debe ser un máximo o un mínimo en el diagrama de momentos flexionantes.

Lo anteriormente señalado me indica que el diagrama de momento estará conformado por un triángulo de ―A‖ hasta ―B‖ y otro triángulo de ―B‖ hasta ―C‖. Además que en el punto ―B‖ estará ubicado el momento máximo o mínimo. Por nuestros conocimientos adquiridos en nuestras primeras clases de Estática sabemos que en el punto ―A‖ el momento es cero. Para estudiar los valores del momento en cualquiera de los puntos de la viga nos permitimos aclarar que se deben tomar en cuenta los valores que están a la izquierda de dicho punto. Algunos estudiantes acuden al ―truco‖ de cubrir la parte derecha a partir de dicho punto con una tarjeta o carnet. Esto les permite visualizar únicamente las figuras del diagrama de fuerzas cortantes a las que le van a calcular el área. Para saber el valor que tendrá el momento en el punto ―B‖, recuerdo lo indicado en el aparte 8) de la página 1. Luego el área del rectángulo del diagrama de fuerzas cortantes que tiene 4,00 unidades de base y 500 unidades de altura será igual a 4 x 500 = 2.000 DIAGRAMAS DE CORTE Y MOMENTO Luego si me coloco en el punto ―C‖ notaré que en el diagrama de fuerzas cortantes tengo un rectángulo (positivo) con un área = 4 x 500 = 2000, menos un rectángulo (negativo) con un área = 2 x 1000 = 2000; luego el valor del momento en el punto ―C‖ = 2000 – 2000 = 0

Ejercicio 2 : Construir los diagramas de Corte y Momento de la viga que se muestra a continuación : Ahora atendiendo a lo indicado en el aparte de la página 1 de esta guía se puede graficar desde ―A‖ hasta ―B‖ : Las regiones de la viga en donde no hay cargas aplicadas, se reflejan como líneas horizontales en el diagrama de fuerzas cortantes. Para iniciar el diagrama de corte debemos recordar la convención de signos: Además se recomienda iniciar la construcción de los diagramas de izquierda a derecha. Como la fuerza vertical generada por el apoyo en ―A‖ tiene sentido hacia arriba (positivo cuando se ve el lado izquierdo de la viga):, se coloca Tomando en cuenta de nuevo el aparte de la página 1 de esta guía, en el punto ―B‖ debe colocarse una línea vertical que tendrá una longitud igual a la intensidad de la fuerza aplicada (en este caso 5 toneladas hacia abajo desde la línea horizontal graficada anteriormente) una línea vertical al inicio del diagrama de fuerzas cortantes (recordando lo indicado en el aparte 1 de la página 1 de esta guía). 1) Una carga o un punto de apoyo origina una línea vertical en el diagrama de fuerzas cortantes. =6 – 5 Ahora atendiendo a lo indicado en el aparte 3) de la página 1 de esta guía se puede graficar desde ―B‖ hasta ―C‖

2+9= 3) Las regiones de la viga en donde no hay cargas aplicadas, se reflejan como líneas horizontales en el diagrama de fuerzas cortantes. Ahora atendiendo a lo indicado en el aparte 3) de la página 1 de esta guía se puede graficar desde ―C‖ hasta ―D‖ : 3) Las regiones de la viga en donde no hay cargas aplicadas, se reflejan como líneas horizontales en el diagrama de fuerzas cortantes. Tomando en cuenta de nuevo el aparte 1) de la página 1 de esta guía, en el punto ―C‖ debe colocarse una línea vertical que tendrá una longitud igual a la intensidad de la fuerza aplicada (en este caso 3 toneladas hacia abajo desde la línea horizontal graficada anteriormente) Tomando en cuenta de nuevo el aparte 1) de la página 1 de esta guía, en el punto ―D‖ debe colocarse una línea vertical que tendrá una longitud igual a la intensidad de la fuerza aplicada (en este caso 9 toneladas hacia abajo desde la línea horizontal graficada anteriormente) Note que en el punto ―C‖ se observa 1 tonelada sobre la viga (positiva) y 2 toneladas debajo (negativa), que conforman las 3 toneladas equivalentes a la fuerza puntual aplicadas en el punto ―C‖ con sentido vertical hacia abajo.

3) Las regiones de la viga en donde no hay cargas aplicadas, se reflejan como líneas horizontales en el diagrama de fuerzas cortantes. Por último trazo una línea recta hacia arriba de 11 toneladas (note que la fuerza generada por el apoyo en ―E‖ tiene este mismo sentido e intensidad); esto me indica que el gráfico fue bien elaborado al cerrar exactamente. DIAGRAMAS DE CORTE Y MOMENTO Para iniciar el gráfico de momento debemos recordar los apartes 5), 8) y 9) de la página 1 de esta guía : 5) Una línea horizontal en el diagrama de fuerzas cortantes implica una línea inclinada en el diagrama de momentos flexionantes. 8) Cada coordenada vertical del diagrama de momentos flexionantes en un punto de la viga tiene un valor igual a la suma algebraica del área del diagrama de fuerzas cortantes hasta ese punto. 9) Cuando el diagrama de fuerzas cortantes cruza al eje horizontal, entonces el diagrama de momentos flexionantes en ese punto debe cambiar de pendiente, ya sea de negativa a positiva o viceversa. Esto significa que cualquier punto, donde el diagrama de fuerzas cortantes cruce el eje horizontal, debe ser un máximo o un mínimo en el diagrama de momentos flexionantes. Para determinar el valor del momento en el punto ―B‖ calculo el área del rectángulo del diagrama de fuerzas cortantes desde ―A‖ hasta ―B‖ que será : 4 m x 6 t = 24 tm.

Para determinar el valor del momento en el punto ―C‖ calculo el área de los dos rectángulos del diagrama de fuerzas cortantes desde ―A‖ hasta ―C‖ que será : 4 x 6 = 24 tm más 4 x 1 = 4 tm (24 + 4 = 28 tm) Para determinar el valor del momento en el punto ―E‖ calculo el área de los dos rectángulos del diagrama de fuerzas cortantes desde ―A‖ hasta ―C‖ (positivos) y restaré el áreas de los dos rectángulos desde ―C‖ hasta ―E‖ que será : 4 x 6 = 24 tm más 4 x 1 = 4 tm menos 3 x 2 = 6 tm menos 2 x 11 = 22 tm. (24 + 4 – 6 – 22 = 0 tm) Para determinar el valor del momento en el punto ―D‖ calculo el área de los dos rectángulos del diagrama de fuerzas cortantes desde ―A‖ hasta ―C‖ (positivos) y restaré el áreas del rectángulo desde ―C‖ hasta ―D‖ que será : 4 x 6 = 24 tm más 4 x 1 = 4 tm menos 3 x 2 = 6 tm (24 + 4 – 6 = 22 tm)

Ejercicio 3 : Construir los diagramas de Corte y Momento de la viga que se muestra a continuación : Ahora atendiendo a lo indicado en el aparte 3) de la página 1 de esta guía se puede graficar desde ―A‖ hasta ―B‖ : 3) Las regiones de la viga en donde no hay cargas aplicadas, se reflejan como líneas horizontales en el diagrama de fuerzas cortantes. Para iniciar el diagrama de corte debemos recordar la convención de signos: Tomando en cuenta de nuevo el aparte 1) de la página 1 de esta guía, en el punto ―B‖ debe colocarse una línea vertical que tendrá una Además se recomienda iniciar la construcción de los diagramas de izquierda a derecha. longitud igual a la intensidad de la fuerza aplicada (en este caso 600 kg hacia abajo desde la línea horizontal graficada anteriormente) Como la fuerza vertical generada por el apoyo en ―A‖ tiene sentido hacia arriba (positivo cuando se ve el lado izquierdo de la viga):, se coloca una línea vertical al inicio del diagrama de fuerzas cortantes (recordando lo indicado en el aparte 1 de la página 1 de esta guía). 1) Una carga o un punto de apoyo origina una línea vertical en el diagrama de fuerzas cortantes. 3) Las regiones de la viga en donde no hay cargas aplicadas, se reflejan como líneas horizontales en el diagrama de fuerzas cortantes.

Ahora atendiendo a lo indicado en el aparte 2) de la página 1 de esta guía se puede graficar desde ―C‖ hasta ―D‖ : 2) Una carga uniformemente distribuida (rectángulo) origina una línea inclinada en el diagrama de fuerzas cortantes. Aunado a esto debo tomar en cuenta que esa línea inclinada se iniciará con un valor de 100 kg en el punto ―C‖ y terminará con un valor de – 900 en el pinto ―D‖ para que pueda cerrar el gráfico. Antes de elaborar el diagrama de momento y atendiendo a lo expresado en el aparte 9) de la página 1 de esta guía : 9) Cuando el diagrama de fuerzas cortantes cruza al eje horizontal, entonces el diagrama de momentos flexionantes en ese punto debe cambiar de pendiente, ya sea de negativa a positiva o viceversa. Esto significa que cualquier punto, donde el diagrama de fuerzas cortantes cruce el eje horizontal, debe ser un máximo o un mínimo en el diagrama de momentos flexionantes. Es recomendable calcular el punto exacto donde el diagrama de fuerza cortante cruza al eje horizontal, para lo cual utilizamos la relación de la tangente de triángulos rectángulos : Por último se cierra el gráfico atendiendo a que : 1) Una carga o un punto de apoyo origina una línea vertical en el diagrama de fuerzas cortantes. DIAGRAMAS DE CORTE Y MOMENTO

Esto nos indica que el valor máximo o mínimo del diagrama de momento se encontrará ubicado a 0,4 m a la derecha del punto ―C‖ Para iniciar el gráfico de momento debemos recordar los apartes 5), 6) y 8) de la página 1 de esta guía : 5) Una línea horizontal en el diagrama de fuerzas cortantes implica una línea inclinada en el diagrama de momentos flexionantes. 6) Una línea inclinada en el diagrama de fuerzas cortantes implica un arco de parábola en el diagrama de momentos flexionantes. 8) Cada coordenada vertical del diagrama de momentos flexionantes en un punto de la viga tiene un valor igual a la suma algebraica del área del diagrama de fuerzas cortantes hasta ese punto. Para determinar el valor del momento en el punto ―B‖ calculo el área del rectángulo del diagrama de fuerzas cortantes desde ―A‖ hasta ―B‖ que será : 2 m x 700 kg = 1.400 kgm Para determinar el valor del momento en el punto ―C‖ calculo el área de los dos rectángulos del diagrama de fuerzas cortantes desde ―A‖ hasta ―C‖ que será : 2 x 700 = 1.400 más 2 x 100 = 200 DIAGRAMAS DE CORTE Y MOMENTO (1.400 + 200 = 1.600 kgm) Ahora procedo a calcular el momento a 0,4 m a la derecha del punto ―C‖ para lo cual debo sumar el área del rectángulo del diagrama de fuerzas cortantes desde ―A‖ hasta ―B‖, el rectángulo desde ―B‖ a ―C‖ y el triángulo desde ―C‖ hasta ―C+0,4‖. Desde ―C‖ hasta ―D‖ se graficará un arco de parábola.

Por último procedo a calcular el momento en el punto ―D‖ para lo cual debo sumar el área del rectángulo del diagrama de fuerzas cortantes desde ―A‖ hasta ―B‖, el rectángulo desde ―B‖ a ―C‖ y el triángulo desde ―C‖ hasta ―C+0,4‖ y restarle el triángulo que está desde ―C+0,4‖ hasta ―D‖. Ejercicio 4 : Construir los diagramas de Corte y Momento de la viga que se muestra a continuación : Desde ―C‖ hasta ―D‖ se graficará un arco de parábola. Para iniciar el diagrama de corte debemos recordar la convención de signos: Además se recomienda iniciar la construcción de los diagramas de izquierda a derecha. Aún cuando se pueda inferir que en el extremo izquierdo de la viga (punto ―A‖) se pueda estar aplicando una fuerza de 200 kg, en el diagrama de fuerzas cortantes se asume que se está estudiando una parte infinitesimal de la viga y que la fuerza allí tiende a cero (note que la fuerza aplicada es de 200 kg por metro lineal). Esto nos lleva a afirmar que en el diagrama de fuerzas cortantes el valor en el punto ―A‖ será cero. Para graficar ―antes‖ del punto ―B‖ debo recordar el aparte de la página 1 de esta guía : Una carga uniformemente distribuida (rectángulo) origina una línea inclinada en el diagrama de fuerzas cortantes.

Además debemos aclarar que en ese punto la coordenada del diagrama de fuerza cortante tendrá el valor del área de la fuerza uniformemente distribuida hasta ese punto. 4 x 200 = 800 kg Tendrá valor negativo porque está dirigida hacia abajo en el lado izquierdo de la viga (ver convención de signos). Tomando en cuenta el aparte de la página 1 de esta guía, en el punto ―B‖ debe colocarse una línea vertical que tendrá una longitud igual a la intensidad de la fuerza aplicada (en este caso 800 kg hacia abajo desde el final de la línea inclinada graficada anteriormente) DIAGRAMAS DE CORTE Y MOMENTO Para graficar desde ―B‖ hasta ―C‖ debo recordad el aparte de la página 1 de esta guía :Una carga uniformemente distribuida (rectángulo) origina una línea inclinada en el diagrama de fuerzas cortantes. Aunado a esto debo visualizar que en el punto ―C‖ existe una fuerza de 3.200 kg dirigida hacia arriba (lado derecho de la viga hacia arriba es negativa) Luego resulta evidente unir las líneas desde ―B‖ hasta ―C‖.

Para iniciar el gráfico de momento debemos recordar los apartes de la página 1 de esta guía : Ahora puedo visualizar que la viga tiene un momento en sentido horario en el punto ―C‖ (negativo de acuerdo al convenio de signos).Una línea inclinada en el diagrama de fuerzas cortantes implica un arco de parábola en el diagrama de momentos flexionantes. Cada coordenada vertical del diagrama de momentos flexionantes en un punto de la viga tiene un valor igual a la suma algebraica del área del diagrama de fuerzas cortantes hasta ese punto. Para determinar el valor del momento en el punto ―B‖ calculo el área del triángulo del diagrama de fuerzas cortantes desde ―A‖ hasta ―B‖ que será : Por último al saber que una línea inclinada en el diagrama de fuerzas cortantes implica un arco de parábola en el diagrama de momentos flexionantes, puedo trazar un arco de parábola desde ―B‖ hasta ―C‖ y el diagrama de momento quedará terminado DIAGRAMAS DE CORTE Y MOMENTO

Ejercicio 5 : Construir los diagramas de Corte y Momento de la viga que se muestra a continuación : Para iniciar el diagrama de corte debemos recordar la convención de signos: Además se recomienda iniciar la construcción de los diagramas de izquierda a derecha. Aún cuando se pueda inferir que en el extremo izquierdo de la viga Si se quiere verificar que en el punto ―C‖ el momento es de 20,800 kgm, se pueden calcular las áreas de las figuras geométricas del diagrama de fuerzas cortantes : = – 1600 – 12800 – 6400 = – 20.800 DIAGRAMAS DE CORTE Y MOMENTO (punto ―A‖) se pueda estar aplicando una fuerza de 50 kg, en el diagrama de fuerzas cortantes se asume que se está estudiando una parte infinitesimal de la viga y que la fuerza allí tiende a cero (note que la fuerza aplicada es de 50 kg por metro lineal). Esto nos lleva a afirmar que en el diagrama de fuerzas cortantes el valor en el punto ―A‖ será cero. Para graficar desde ―A‖ hasta ―B‖ debo recordar el aparte de la página 1 de esta guía :Una carga no uniformemente distribuida (en forma de triángulo) origina un arco de parábola en el diagrama de fuerzas cortantes.

1,50 m Además debemos aclarar que en el punto ―B‖ la coordenada del diagrama de fuerza cortante tendrá el valor del área de la fuerza no- Es conocido por nosotros que por relación de triángulos rectángulos los valores en la mitad de la base serán: uniformemente distribuida hasta ese punto. 25 kg/m Tendrá valor negativo porque está dirigida hacia abajo en el lado izquierdo de la viga (ver convención de signos). Para graficar el arco de la parábola se nos puede presentar la siguiente duda; deberé graficarlo así : Luego se calculará el área de un rectángulo más él área de un triángulo : Este será el valor del diagrama de fuerzas cortantes 1,50 m a la derecha del punto ―A‖. Teniendo en cuenta este valor es evidente que desde ―A‖ hasta ―B‖ la parábola debe ser graficada así : O así : Para aclarar dicha duda es recomendable calcular la coordenada vertical en la mitad de la base de la figura y trasladarlo al gráfico y verificar la ubicación. DIAGRAMAS DE CORTE Y MOMENTO.

Ahora atendiendo a lo indicado en el aparte de la página 1 de esta guía se puede graficar desde ―B‖ hasta ―C‖ :Las regiones de la viga en donde no hay cargas aplicadas, se reflejan como líneas horizontales en el diagrama de fuerzas cortantes. Se visualiza fácilmente que el diagrama cerrará exactamente al graficar la línea vertical de 75 kg en el punto ―C‖. DIAGRAMAS DE CORTE Y MOMENTO Para iniciar el gráfico de momento debemos recordar los apartes de la página 1 de esta guía : 5) Una línea horizontal en el diagrama de fuerzas cortantes implica una línea inclinada en el diagrama de momentos flexionantes. Un arco de parábola en el diagrama de fuerzas cortantes implica una curva cúbica en el diagrama de momentos flexionantes, Cada coordenada vertical del diagrama de momentos flexionantes en un punto de la viga tiene un valor igual a la suma algebraica del área del diagrama de fuerzas cortantes hasta ese punto. Aunque siempre hemos recomendado iniciar los diagramas de izquierda a derecha, algunas veces (como en este caso) es más fácil iniciarlo de derecha a izquierda. Desde ―C‖ hasta ―B‖ se graficará una línea inclinada; el valor del momento en el punto ―C‖ será de 300 kgm con signo negativo porque tiene sentido horario y está ubicado al lado derecho de la viga

El valor del momento en el punto ―B‖ será igual al área del rectángulo que va desde ―B‖ hasta ―C‖ en el diagrama de fuerzas cortantes : (2) x (75) = - 150 kgm Finalmente se grafica una curva cúbica desde ―A‖ hasta ―B‖ DIAGRAMAS DE CORTE Y MOMENTO Ejercicio 6 : Construir los diagramas de Corte y Momento de la viga que se muestra a continuación : Para iniciar el diagrama de corte debemos recordar la convención de signos: Además se recomienda iniciar la construcción de los diagramas de izquierda a derecha. Como la fuerza vertical generada por el apoyo en ―A‖ tiene sentido hacia arriba (positivo cuando se ve el lado izquierdo de la viga):, se coloca una línea vertical de 1.520 kg al inicio del diagrama de fuerzas cortantes (recordando lo indicado en el aparte 1 de la página 1 de esta guía Una carga o un punto de apoyo origina una línea vertical en el diagrama de fuerzas cortantes.

Tomando en cuenta de nuevo el aparte 1) de la página 1 de esta guía, en el punto ―C‖ debe colocarse una línea vertical que tendrá una longitud igual a la intensidad de la fuerza aplicada (en este caso 800 kg hacia abajo desde la línea horizontal graficada anteriormente) Note que en el punto ―C‖ se observan 320 kg sobre la viga 2) Una carga uniformemente distribuida (rectángulo) origina una línea inclinada en el diagrama de fuerzas cortantes. En el punto ―B‖ la coordenada de la fuerza cortante tendrá un valor igual a 1.520 kg menos el área del rectángulo de la carga uniformemente distribuida : 1.520 – (3 x 400) = 1.520 – 1.200 = 320 kg 3) Las regiones de la viga en donde no hay cargas aplicadas, se reflejan como líneas horizontales en el diagrama de fuerzas cortantes. DIAGRAMAS DE CORTE Y MOMENTO (positiva) y 480 kg debajo (negativa), que conforman los 800 kg equivalentes a la fuerza puntual aplicada en el punto ―C‖ con sentido vertical hacia abajo. 3) Las regiones de la viga en donde no hay cargas aplicadas, se reflejan como líneas horizontales en el diagrama de fuerzas cortantes. 4) Una carga no uniformemente distribuida (en forma de triángulo) origina un arco de parábola en el diagrama de fuerzas cortantes. Sumado a eso debemos tener presente que el valor de la fuerza cortante en el punto ―E‖ será de 2.280 kg (ver reacción vertical en ―E‖), además tendrá signo negativo ya que está ubicada al lado derecho de la viga con dirección hacia arriba

7) Un arco de parábola en el diagrama de fuerzas cortantes implica una curva cúbica en el diagrama de momentos flexionantes, 8) Cada coordenada vertical del diagrama de momentos flexionantes en un punto de la viga tiene un valor igual a la suma algebraica del área del diagrama de fuerzas cortantes hasta ese punto. 9) Cuando el diagrama de fuerzas cortantes cruza al eje horizontal, entonces el diagrama de momentos flexionantes en ese punto debe cambiar de pendiente, ya sea de negativa a positiva o viceversa. Esto significa que cualquier punto, donde el diagrama de fuerzas cortantes cruce el eje horizontal, debe ser un máximo o un mínimo en el diagrama de momentos flexionantes. 10) Un momento externo aplicado en un punto de la viga origina una línea vertical en el diagrama de momentos flexionantes, Este valor (2,280 kg) también se puede determinar si a los 480 kg de la coordenada vertical en el punto ―D‖ le sumamos el área del triángulo de la fuerza no uniformemente distribuida : En el extremo izquierdo de la viga (punto ―A‖) el momento es igual a cero, desde ―A‖ hasta ―B‖ se graficará un arco de parábola y la coordenada vertical en el punto ―B‖ tendrá el valor igual al área de la figura geométrica que tiene el diagrama de fuerza cortante desde ―A‖ hasta ―B‖ (un rectángulo y un triángulo). Para iniciar el gráfico de momento debemos recordar los apartes 5), 6), 7), 8), 9) y 10) de la página 1 de esta guía : 5) Una línea horizontal en el diagrama de fuerzas cortantes implica una línea inclinada en el diagrama de momentos flexionantes. 6) Una línea inclinada en el diagrama de fuerzas cortantes

implica un arco de parábola en el diagrama de momentos flexionantes. DIAGRAMAS DE CORTE Y MOMENTO Desde ―B‖ hasta ―C‖ se graficará una línea inclinada. En el punto ―C‖ la coordenada vertical tendrá un valor igual al área anterior área del rectángulo del diagrama de fuerzas cortantes desde ―B‖ hasta ―C‖. En el punto ―C‖ se encuentra aplicado un momento externo, luego se generará una línea vertical (aparte 10 de la página 1). Tendrá valor positivo porque tiene sentido horario (recordar convenio de signos). Se sumará 3.400 + 800 = 4.200 Desde ―C‖ hasta ―D‖ se graficará una línea inclinada y la coordenada vertical en ―D‖ tendrá un valor igual a 4.200 menos el área del rectángulo del diagrama de fuerzas cortantes desde ―C‖ hasta ―D‖. DIAGRAMAS DE CORTE Y MOMENTO Desde ―D‖ hasta ―E‖ se graficará un arco de una cúbica ya que el diagrama de fuerzas cortantes presenta un arco de parábola.

EJEMPLOS : DIAGRAMA DE FUERZA COTANTE DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE DIAGRAMA DE MOMENTO DIAGRAMA DE MOMENTO DIAGRAMAS DE CORTE Y MOMENTO