RESISTENCIA DE MATERIALES I TEMA:
ESFUERZO EN VIGAS, MOMENTOS DE SECCIÓN, ESFURZO CORTANTE, DISEÑO Y VERIFICACIÓN.
DOCENTE:
ING. CINDY ROCIO HOLGUIN RAMOS
ESTUDIANTES: LIGAS NINA, EDISON GERMAN MONTESINOS HUANACO, DAVID RODRIGUEZ HUAMAN, LUIS ALVAREZ PUMA, JOEL
CUSCO-PERU
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El estudio de la mecánica de materiales es suministrar al futuro ingeniero los conocimientos para analizar y diseñar las diversas máquinas y estructuras portadoras de carga. Tanto el análisis como el diseño de una estructura dada involucran la determinación de esfuerzo y deformación. En este parte de la mecánica de materiales, se estudian y deducen las relaciones entre momento flexionante flexionante y los esfuerzos normales normales por flexión que se producen, y entre la fuerza cortante vertical y los esfuerzos cortantes. Para obtener estas relaciones se hacen las hipótesis siguientes:
Las secciones planas de la viga, inicialmente planas, permanecen planas.
El material es homogéneo y obedece a la ley de Hooke.
El modulo elástico es igual a tensión que a compresión. compresión.
La viga es inicialmente recta y la sección constante.
El plano en el que actúan las fuerzas contiene a uno de los ejes principales de la sección recta de la viga y las cargas actúan perpendicularmente al eje longitudinal de aquella.
La flexión es un concepto importante, ya que se utiliza en el diseño de muchos componentes estructurales y de máquinas. Con respecto a la fatiga encontraremos los efectos que generan en un material. En cuanto a la torsión se encuentran elementos sometidos a muchas situaciones de ingeniería. A continuación observaremos la importancia de estos temas, los cuales un ingeniero siempre debe tomar en cuenta.
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OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL El objetivo principal es lograr que el estudiante de ingeniería desarrolle su capacidad para analizar de una manera sencilla y lógica un problema dado de esfuerzos en vigas y vigas con cargas combinadas, y que aplique a su solución unos pocos principios fundamentales bien entendidos. OBJETIVOS ESPECÍFICOS • • • •
• • •
Saber analizar como las cargas influyen en el comportamiento estructural de las vigas las cuales mediante esfuerzos llegan a resistir estas cargas hasta que fallan. Interpretar las gráficas de fuerza cortante y momento flector, puntos donde es máximo y donde es mínimo. Demostrar las fórmulas de los esfuerzos tanto los cortantes como los flexionantes. Desarrollar un método para determinar el esfuerzo cortante en una viga que tiene una sección transversal prismática y que está fabricada en un mat erial homogéneo que se comporta de una forma elástico lineal. Encontrar la importancia de los esfuerzos dentro del proceso constructivo y la aplicación dentro de ello. Interpretar como actúan los esfuerzos normales y cortantes en la viga. Estudiar el efecto que causan estas cargas en la viga (flexión) que es el criterio dominante para el diseño de una viga por resistencia.
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ESFUERZOS EN VIGAS ................................................................................................................. 5 1.
INTRODUCCIÓN ....................................................................................................................... 5
2.
PROPIEDADES DE SECCIÓN ..................................................................................................... 5
2.1.
CENTRO DE ÁREA (CENTROIDE). ......................................................................................... 5
2.2.
INERCIA DE ÁREA (Momento de Inercia).- .......................................................................... 6
2.3.
MÓDULO RESISTENTE O DE LA SECCIÓN ............................................................................ 7
3.
SECCION (A) “ANÁLISIS DE VIGAS” .......................................................................................... 9
3.1.
Esfuerzos de flexión ............................................................................................................ 9
3.2.
FÓRMULA DE LA FLEXIÓN ................................................................................................. 10
3.3.
USO DE LA FÓRMULA DE LA FLEXIÓN ............................................................................... 12
3.4.
ESFUERZOS CORTANTES .................................................................................................... 17
3.5.
FÓRMULA DEL ESFUERZO CORTANTE ............................................................................... 18
3.6.
USOS DE LA FÓRMULA DEL ESFUERZO CORTANTE ........................................................... 20
4.
SECCION (B) “DISEÑO DE VIGAS” .......................................................................................... 23
4.1.
CONSIDERACIONES DEL DISEÑO ....................................................................................... 23
4.2.
DISEÑO DE VIGAS QUE TIENEN FORMAS GEOMÉTRICAS SIMPLES ................................... 23
4.3.
DISEÑO USANDO PERFILES ESTÁNDAR, DISPONIBLES COMERCIALMENTE ...................... 25
4.4.
ESFUERZO CORTANTE EN EL DISEÑO ................................................................................ 29
Otros Ejercicios .................................................................................................................................. 31
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En este capítulo se discutió el hecho de que las cargas aplicadas exteriormente producen momentos internos resistentes y cortantes en las vigas. Exceptuando una breve discusión, no se mencionó nada acerca de las dimensiones, forma, o material de la viga que soporta las cargas aplicadas. Estos factores están muy relacionados con la capacidad de soportar carga de la viga y con la naturaleza y distribución de sus esfuerzos internos. En este capítulo se explican las relaciones más importantes entre estos factores. Nuevamente se pueden considerar dos tipos generales de problemas, análisis y diseño. La sección A explica el análisis de vigas. En el análisis se conocen las dimensiones de la viga, y el problema consiste en determinar el máximo esfuerzo para una carga dada, o la carga permisible para un esfuerzo permisible dado. El diseño de las vigas se explica en la sección B. En problemas de diseño, se conoce el claro de la viga, las condiciones de carga, y los esfuerzos permisibles, el problema consiste en determinar las dimensiones necesarias de la sección transversal de la viga. Al diseñar surgen muchas preguntas prácticas, tales como la seguridad, economía, y detalles generales. Aunque estas preguntas se responden más completamente en un curso de diseño estructural o de diseño de máquinas, algunos de estos aspectos se considerarán en esta sección. La teoría de la flexión supone que la línea de acción de las fuerzas aplicadas V la forma geométrica de la sección transversal de una viga se adaptan a ciertas condiciones. Cuando la geometría de una viga o las condiciones de carga no se adaptan a las hipótesis necesarias de la flexión, sus esfuerzos internos diferirán, en muchos casos en una forma muy significativa, de los que se predicen mediante la teoría.
El Centroide un área (también llamado baricentro) se encuentra en el punto donde se intersecan sus medianas (líneas que unen un vértice con el punto medio del lado opuesto. En este punto se puede considerar concentrada el área. (se puede asociar a centro de masa y de rigidez)
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El momento de inercia es una propiedad geométrica de una superficie o área que representa la distancia de un área con respecto a un eje dado. Se define como la suma de los productos de todas las áreas elementales multiplicadas por el cuadrado de las distancias a un eje. Se asocia a la Flexión, Propiedades de la Sección + Material = Oposición a la Flexión. Depende de = Luz + Apoyos + Cargas Tabla 01.- momentos de inercia de algunas figuras
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Ejemplo 01.-
A = 4.00 x 2.00 = 8.00 I = 4.00 x (2.003) /12 = 2.67 cm4
A = 2.00 x 4.00 = 8.00 I = 2.00 x (4.003) /12 = 10.67 cm 4
Es un indicador de la resistencia a la flexión que tiene la sección de un elemento estructural, y por tanto sirve para determinar el elemento adecuado para una determinada solicitación.
S = M/ σ = I/y max Dónde:
S = Módulo Resistente M = Momento Actuante (Cargas de Uso) = Esfuerzo Admisible o de flexión (Material)
σ
I = Inercia de área (Sección) ymax= Distancia al eje neutro (Sección)
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Ejemplo 02 : Material:
Acero (σ = 1400 kg/cm2) Perfil IPN (producto laminado cuya sección tiene forma de
doble T) Viga de 2 metros de luz Carga de 1.2 ton/m (1.200 kg/m)
M = w * L 2 / 8
SOLUCION. -
M = w * L2 / 8 = 12kg/cm * 200 2cm / 8 = 60000 kg * cm σ
= 1400 kg / cm2
S = M/ σ = 60000/1400 = 42.85 cm3
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Para describir la acción de los esfuerzos de flexión, considérese una viga sujeta a flexión pura (es decir, una viga en la cual no se presentan esfuerzos cortantes), como en la Fig. 5.1. Supóngase que la viga está formada de un gran número de fibras longitudinales. Cuando se flexiona la viga, las fibras de la porción superior de la viga se comprimen, mientras que las de la porción inferior se alargan. Se ve intuitivamente que debe haber alguna superficie donde se verifica la transición entre compresión y tensión. Esta superficie (en la cual el esfuerzo es cero) se llama la superficie neutra, o eje neutro, y está localizada en el centro de gravedad de la sección transversal. La Fig. 5.1 (b) es un diagrama de cuerpo libre de la porción izquierda de la viga y muestra la distribución de las fuerzas en las fibras de la viga. Las fuerzas resultantes de compresión y de tensión (C y T) son iguales en magnitud y forman al momento resistente interno de la viga. La magnitud de los esfuerzos máximos de tensión y de compresión en la viga, asociados con este momento puede determinarse a partir de la fórmula de la flexión, que se deduce en la sección siguiente: En la deducción y uso de la fórmula de la flexión, se hacen ciertas suposiciones con respecto a la acción de la viga. En un trabajo de diseño normal estas suposiciones se aproximan a la acción real de la viga. Si en casos relativamente raros de diseño elemental surgen situaciones donde estas suposiciones no son válidas, deben emplearse otros métodos de análisis. Las suposiciones que se hacen al usar la fórmula de la flexión son:
La viga inicialmente es recta, tiene una sección transversal constante y se conserva así esencialmente cuando está cargada. Las vigas realmente tienen ligeramente flexiones y torceduras que pueden ocurrir durante su fabricación, y cuyo efecto se desprecia. Sin embargo, el gancho de una grúa, que tiene una gran curvatura, no podría diseñarse mediante la fórmula de la flexión de este capítulo. Las cargas se aplican en tal forma que no se presenta torsión. Si las cargas se aplican excéntricamente, tiene lugar una combinación de flexión y torsión. El análisis de este tipo de carga está fuera, del alcance de este libro que se usó. Todos los esfuerzos en la viga están por debajo del límite de proporcionalidad, y por consiguiente, se aplica la Ley de Hooke. El módulo de elasticidad de las fibras a compresión es igual al de las fibras a tensión. La parte de la viga que está comprimida, está restringida para moverse lateralmente. La línea de acción de las fuerzas sobre la viga se aplica paralelamente a un eje principal y pasando por el centro de cortante. Las secciones planas antes de la flexión se conservan planas después de la flexión. Es decir, un plano que pase a través de una sección transversal antes de la flexión no se 9
alabeará después de que se cargue la viga. Esta suposición explica la distribución de esfuerzos en forma lineal (OA y OB) mostrada en la Fig. 5.1 (b). Estas suposiciones v las características físicas asociadas con la flexión pueden observarse en la Fig. 5.2. La Fig. 5.2 (a) y (b) muestra la viga y dos secciones planas (a-b y c-d) antes y después de la flexión. Como las secciones planas antes de la flexión se conservan planas después de la flexión, las fibras de la viga deben cambiar de longitud. La posición original de las fibras que se muestran en la Fig. 5.2 (c) (con líneas interrumpidas) se ha movido después de la flexión, a la posición mostrada por las líneas continuas. Las fibras superiores se han acortado, las fibras inferiores se han alargado, y las fibras localizadas en el eje neutro no han cambiado su longitud. La Fig. 5.2 (d) es un diagrama de la distribución de la deformación en la sección transversal. Obsérvese especialmente que la deformación varía linealmente desde cero en el eje neutro hasta un valor máximo de compresión en las fibras más superiores y hasta un valor máximo de tensión en las fibras más inferiores. Como, por la Ley de Hooke, el esfuerzo es proporcional a la deformación, la distribución de esfuerzos de la Fig. 5.2 (e) tiene la misma forma que la distribución de deformaciones, pero a una escala diferente. Por consiguiente, los esfuerzos en una viga varían también desde cero en el eje neutro hasta un máximo en las fibras extremas. La fórmula de la flexión se deducirá esencialmente en la misma forma que la fórmula de la torsión, Primero establecemos la relación entre los esfuerzos en las fibras y el momento resistente interno, lo cual se puede hacer de la manera siguiente: a) Se analiza una fibra localizada a una distancia cualquiera y a partir del eje neutro, se determina la fuerza ejercida en esta fibra debida a su esfuerzo, y el momento de esta fuerza con respecto al eje neutro. b) Se obtiene la suma de los momentos de todas las fibras, con respecto al eje neutro. El resultado será el momento resistente interno de la viga. La deducción tiene la forma siguiente:
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a.
Considérese una sola fibra de área localizada a una distancia y del eje neutro (Fig. 5.3). Si el esfuerzo que actúa sobre esta fibra es , el esfuerzo que actúa sobre la fibra extrema es , y la distancia desde el eje neutro a la fibra extrema es C, entonces, por los triángulos semejantes de la Fig. 5.3 (e), tenemos:
= = b. Conociendo el esfuerzo sobre esta fibra y su área dA, se determina la fuerza ejercida por esta fibra:
= ; == c. El momento de esta fuerza con respecto al eje neutro es: == ,= d. Sumando los momentos de cada una de las fibras de la viga se obtiene:
+ = − ,
∫+
+, −
El término − es, por definición, el momento de inercia de la sección transversal. La fórmula e la flexión entonces se convierte en:
=
ó
= ………………………………5.1
Donde:
/, o en . = momento flexionante interno en la viga, en , o en .. = momento de inercia de la sección transversal de la viga, en , o en . = distancia desde el eje neutro de la viga hasta las fibras extremas, en , o en . = esfuerzo en las fibras extremas de la viga, en
Debe notarse que el eje neutro siempre coincide con el centroide de la sección transversal si la viga está sujeta a esfuerzos menores a los del punto de fluencia y no se presentan fuerzas axiales. 11
Se puede usar la fórmula de la flexión para determinar los esfuerzos máximos en las fibras de vigas en las cuales se conocen , o éstos se pueden determinar a partir de las cargas dadas y de las dimensiones. Los ejemplos 5.1, 5.2 y 5.3 ilustran este procedimiento.
,,
Frecuentemente, las vigas tienen secciones transversales asimétricas con respecto al eje de flexión, semejantes a las indicadas en la Fig.5.4. El procedimiento para analizar estas vigas es semejante al ilustrado en los ejemplos 5.1, 5.2 y 5.3. La única diferencia es que existen dos valores de . Si se quiere determinar el esfuerzo máximo se debe usar la mayor distancia . Sin embargo, si se van a determinar los esfuerzos tanto en las fibras de la parte superior como en las fibras de la parte inferior, se aplica la fórmula dos veces, usando las respectivas distancias . Como el eje neutro siempre está en el centroide de la sección transversal, el primer cálculo consiste en localizar este eje, para determinar las dos
=/
distancias . El procedimiento para calcular centroides y momentos de inercia se presenta en el Apéndice A, y se ilustra en el ejemplo 5.4
12
El ejemplo 5.5 ilustra otro problema de análisis que se presenta frecuentemente. En este caso, se dan las dimensiones de la viga y los esfuerzos admisibles. El problema consiste en determinar la máxima carga que se puede aplicar.
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EJEMPLO 5.1: Determinar el esfuerzo en las fibras extremas de la viga de 100 mm X 160 mm indicada en la Fig. 5.5 a) Despreciar el peso de la viga. b) Incluir el peso de la viga (el peso específico de la madera es de 5600N/m3).
SOLUCION a) El momento máximo debido a la carga concentrada puede determinarse según el caso 1 del Apéndice D. Así.
= 4 = (2400)(4) 4 = 2400 ..
El momento de inercia es
b)
= 121 ℎ = 121 (100∗10−)(160∗10−) =34∗10− El esfuerzo en las fibras extremas, superiores o inferiores, es −) (2400 )(80 ∗10 = = 34∗10− = 5.65 Cuando se incluye el peso de la viga como una carga uniformemente distribuida, el valor de es. = =(5600/ )(100∗10−)(160∗10−) = 89.6 / El momento adicional debido a esta carga es
= 18 = 18 (89.6)(4) = 179.2 El esfuerzo adicional debido a este momento es
− ) (179.2)(80∗10 10 = = 34∗10− =422∗ = 0.42 El esfuerzo máximo en la viga, incluyendo su propio peso, es entonces de
= 5.65 0.42 = 6.07 14
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En temas anteriores, se dedicó en parte a explicar la construcción de diagramas de fuerzas cortantes para fuerzas cortantes verticales en vigas. La consideración del esfuerzo cortante vertical, como tal, se hace muy pocas veces en el análisis y diseño de vigas. Sin embargo, los esfuerzos cortantes verticales se relacionan con los esfuerzos cortantes horizontales en
las vigas, y esto es de gran importancia en algunos aspectos del diseño de vigas. Los esfuerzos cortantes horizontales deben considerarse en las dos aplicaciones importantes que se describen a continuación. a. El material usado para la viga tiene una baja resistencia al esfuerzo cortante en una dirección (generalmente la horizontal). Esto ocurre en las vigas de madera. b. Las partes de las vigas fabricadas deben estar unidas en una forma segura. Una viga de acero puede reforzarse uniéndole cubre-placas, y una viga de madera puede reforzarse uniéndole varias piezas más pequeñas. En estas aplicaciones se deben calcular las fuerzas cortantes horizontales para determinar el número requerido de clavos, de remaches, o de pernos, o la longitud de soldadura necesaria para que la sección compuesta trabaje como una unidad. Hay dos métodos para establecer la existencia de los esfuerzos cortantes horizontales. Considérese una viga sujeta a cargas transversales como en la Fig. 5.10. La fuerza cortante vertical que actúa sobre cualquier sección, tal como la a-a, produce esfuerzos cortantes verticales. Sepárese un pequeño bloque de la viga y trácese un diagrama de cuerpo libre mostrando los esfuerzos cortantes en la superficie a-a. Como la viga está en equilibrio, el bloque también debe estar en equilibrio. Para conseguir que , debe haber esfuerzos cortantes iguales (fuerzas) sobre las cuatro superficies en las direcciones indicadas en la Fig. 5.10 (e); es decir, el esfuerzo cortante horizontal en un punto dado debe ser igual al esfuerzo cortante vertical en e.se punto. También puede notarse que siempre que haya un
∑ = 0, ∑ = 0,
∑ = 0
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esfuerzo cortante en un punto de un bloque, debe haber esfuerzos cortantes iguales sobre las cuatro superficies mutuamente perpendiculares del bloque. La Fig. 5.11 es otro ejemplo de la acción de los esfuerzos cortantes horizontales en una viga. En la Fig. 5.11 (a), se supone que la viga está compuesta de varias placas delgadas colocadas una sobre otra, pero sin estar unidas de ninguna manera. Cuando se aplica una carga a la viga y ocurre la deformación, las superficies de contacto entre las placas se deslizarán, y sus posiciones finales serán como se indica en la Fig. 5.11(b). Si estas placas estuvieran unidas por algún medio antes de que se aplique la carga (por ejemplo, por medio de pernos), la viga actuará como una unidad, como se muestra en la Fie. 5.11 (c). Estos medios de conexión (los pernos considerados aquí) impedirán el deslizamiento de las superficies individuales. Por consiguiente, los pernos están ejerciendo fuerzas horizontales. Si la viga está compuesta de un solo bloque, y se aplica una carga sobre ella, como se muestra en la Fig. 5.11 (d), cada superficie horizontal tiende a deslizarse con respecto a la superficie adyacente. Realmente el deslizamiento no ocurre (excepto en el caso de una falla por esfuerzo cortante horizontal), pues la resistencia de la viga al esfuerzo cortante horizontal impide el deslizamiento; sin embargo, debe recordarse que en una viga que soporta cargas transversales existen esfuerzos cortantes horizontales. En análisis y diseño de ingeniería interesa la magnitud y la distribución de los esfuerzos cortantes en las vigas. Una expresión para determinar los valores del esfuerzo cortante horizontal puede obtenerse de la manera siguiente: La Fig. 5.12 (a) muestra una viga de ancho b que soporta cargas transversales. Quítese una sección de la viga de longitud y trácese un diagrama de cuerpo libre de esa porción de la viga (Fig. 5.12 b). El momento flexionante sobre la cara será mayor que el de la cara (según el diagrama de momentos, que no se muestra), y por consiguiente, los esfuerzos sobre las fibras de la cara serán mayores que los de la cara . Ahora considere el diagrama de cuerpo libre de una sección de la Fig. 5.12 (c), cortada a una distancia del eje neutro. Esto se muestra en la Fig. 5.12 (d). En este diagrama de cuerpo libre, la fuerza de compresión (resultante de de cada fibra sobre arriba del corte) será menor que debido a que los esfuerzos sobre la cara son menores que los esfuerzos sobre la cara . Ya que esta sección debe estar en equilibrio y , debe actuar una fuerza horizontal hacia la derecha. Esta fuerza es P, la fuerza cortante horizontal en la viga
=
18
∑ = 0
en esa sección. Dividiendo entre el área sobre la cual actúa, obtenemos el esfuerzo cortante horizontal en la viga en ese lugar. Los conceptos anteriores pueden expresarse en forma matemática como sigue;
= = () = ′ =
=0: = = 0 () = = = = …… …… () El término ∫ representa el momento estático del área con respecto al eje neutro, y normalmente se representa por . En otras palabras, =ȳ de la sección, donde ȳ es la distancia desde el eje neutro al centroide del área que queda arriba (o abajo) del corte, y es el área de la sección transversal que queda arriba (o abajo) del corte. Por lo estudiado en capítulos anteriores, substituciones en la ec. (a), obtenemos:
= = , y = . Haciendo estas
= = , = = …………………………………………(5.2) Donde:
/, o en /. = fuerza cortante vertical en la sección, en o en , = momento estático del área que queda arriba (o abajo) del corte ( =ȳ), en ó en . = momento de inercia de toda el área de la sección transversal con respecto al eje neutro, en ó en . = ancho de la sección del corte, en o en . = esfuerzo cortante horizontal, en
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Los dos tipos de problemas que pueden resolverse usando la fórmula (5.2) del esfuerzo cortante, Son los problemas de: a. Encontrar el esfuerzo cortante en materiales cuya resistencia al esfuerza horizontal es pequeña. b. Diseñar o analizar conexiones en miembros compuestos, en lo que respecta a fuerzas cortantes horizontales. Los ejemplos 5.6 a 5.8 ilustran, respectivamente, cada uno de estos tipos de problemas.
EJEMPLO 5.6 Trazar una gráfica de la distribución de esfuerzos para la vigueta indicada en la Fig. 5.13. Calcular los valores a cada 30 mm del peralte, para una fuerza cortante de V=20kN. SOLUCION La gráfica final se indica en la Fig. 5.13 (b). Los valores del esfuerzo cortante se calculan como sigue:
= 121 (180∗10−)(300∗10−) 121 (120∗10−)(180∗10−)
= (405∗10−) (58∗10−) =347∗10− Patín superior: En la parte superior de la viga, = 0; por consiguiente, =
en la parte superior, A=30 mm por debajo (Fig. 5.13c),
= = 180∗103360∗103135∗103 =729∗106 3 3)(729∗106) (20∗10 = = (347∗106)(180∗103) =233 20
En un punto localizado a 60 mm debajo del borde superior (Fig. 5,13d) se calcularán dos valores, uno justamente arriba de la junta del patín y el alma, donde , y el otro justamente debajo donde El momento estático será el mismo para cada lugar. Se obtiene:
= 180
= 60 . = = 180∗10360∗103120∗103 =1296∗106 3 3)(1296∗106) (20∗10 = = (347∗106)(180∗103) =415 3)(1296∗106) (20∗10 = = (347∗106)(60∗103) = 1245 = 90 por debajo (Fig. 5.13e);
= = (180∗10−)(60∗10−)(120∗10−) (60∗10−)(30∗10−)(75∗10−) = 1296∗106 135∗106 = 1431∗1063 3)(1431∗106) (20∗10 = = (347∗106)(60∗103) = 1374
= 120 por debajo (Fig. 5.13f),
= = (180∗10−)(60∗10−)(120∗10−) (60∗10−)(60∗10−)(60∗10−) = 1296∗106 216∗106 = 1512∗1063 3)(1512∗106) (20∗10 = = (347∗106)(60∗103) = 1452
= 150 por debajo (eje neutro) (Fig. 5.13 g),
= = (1296∗10−) (90∗10−)(60∗10−)(45∗10−) = 1296∗106 243∗106 = 1539∗1063 3)(1539∗106) (20∗10 = = (347∗106)(60∗103) = 1478 Debido a la simetría, los valores correspondientes a puntos situados por debajo del eje neutro, son iguales a los calculados anteriormente.
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EJEMPLO 5.8 Determine el espaciamiento necesario de los clavos, , para asegurar que la viga de sección T consistente de dos secciones de madera de mostrada en la Fig. 5.15 actúe como una unidad. La resistencia permisible para esfuerzo cortante horizontal de un clavo es de .
.10
2 6
10
94
SOLUCION La fuerza cortante es de valor constante e igual a , de modo que los clavos pueden quedar igualmente espaciados a través de la longitud de la viga. El flujo cortante para cualquier sección es:
125
6)(2) = = = (125)(2∗ 136 =22.1 / Como los clavos están espaciados 3 , la fuerza sobre cada par de clavos es: = 22.94. 1/ = 4.25
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Hasta aquí, se han considerado problemas de análisis; es decir, se dieron las dimensiones de la viga, y se calcularon los esfuerzos o los momentos (cargas). Los problemas de diseño también utilizan la fórmula de la flexión y, ocasionalmente, la fórmula del esfuerzo cortante . En el diseño, se conoce el claro, la carga, y los esfuerzos admisibles, y el problema consiste en determinar las dimensiones y forma requeridas de la sección transversal de la viga.
=/
=/
/
El diseño de vigas es teóricamente complejo porque involucra la determinación del necesario de la viga. Sin embargo, la solución práctica del problema es generalmente muy simple porque la mayoría de las vigas se consiguen en dimensiones estándar con valores de tabulados en tablas adecuadas. En el diseño de las vigas debemos determinar el valor necesario a partir de , y después obtener las dimensiones de la sección transversal que proporcionará el necesario o un valor ligeramente mayor.
/ /
/ / /
En los libros, el diseño se explicará en dos formas. El primer tratamiento será semejante al que pudiera a aplicarse problemas elementales de diseño de máquinas, donde la sección transversal es un área geométrica simple, tal como un círculo, un rectángulo, o un triángulo. Se deducirán las relaciones de formas simples y se igualarán los resultados al requerido para obtener las dimensiones deseadas. El segundo método se usa para seleccionar vigas en las dimensiones comercialmente disponibles. En este caso, se tabulan los valores de , y el diseño se lleva a cabo seleccionando las dimensiones más económicas.
/
/
/
Para aquellos casos en los que los perfiles no son formas geométricas simples o formas comerciales estándar, debe usarse un método de tanteo. Cuando el área de la sección transversal de una viga es un círculo, un rectángulo, un triángulo, u otra forma geométrica, para las cuales se cuenta con fórmulas para el momento de inercia y el centroide, sus dimensiones pueden determinarse usando la definición del módulo de la sección. Si se dan las cargas y los esfuerzos admisibles, el módulo de la sección necesario puede calcularse a partir de . Después se usa la definición de módulo de la sección ( ) para determinar las dimensiones de la sección transversal. Los ejemplos siguientes ilustren este procedimiento.
=/
23
= /
24
El procedimiento de diseño descrito en la sección anterior es difícil de aplicar si la sección transversal de la viga fuera diferente de una de las formas geométricas simples. El diseño de vigas que tienen formas compuestas se hace mediante uno de dos métodos; ya sea eligiendo una sección a partir de las muchas formas y tamaños estándar, comercialmente disponibles, o por tanteos. El primer procedimiento es el método más común y fácil en el diseño estructural. Se recurre al método de tanteos solamente en casos en que la forma y dimensiones de la viga no sean estándar. Las vigas de madera son otros materiales estructurales comúnmente usados. Las dimensiones de una viga de madera se dan mediante su tamaño nominal, Sin embargo, este generalmente no proporciona las dimensiones verdaderas, ya que las cuatro caras de una viga de madera se cepillan en el aserradero. El tamaño nominal, llamado también la “dimensión sin labrar”, es la dimensión de la viga antes de que se cepillen los lados. El tamaño labrado, es el tamaño después del cepillado que es como generalmente se compra en las madererías. Por ejemplo, un tamaño nominal de 2 x 6 realmente mediría
1 5 . En el
Apéndice hay una tabla donde se indica el tamaño nominal, el tamaño labrado y las propiedades de diseño. También se usa el símbolo para describir una pieza de madera cepillada por los cuatro lados. El procedimiento básico en el diseño estructural es determinar el módulo de la sección necesario dividiendo el momento flexionante máximo por el esfuerzo permisible, y después escoger un tamaño de viga que proporcionará ese módulo de la sección o un valor ligeramente mayor. Es conveniente hacer aquí unos cuantos comentarios sobre la economía en la selección de tamaños. Las vigas de acero se venden sobre la base de su peso. Entre más ligera es una viga, es menos costosa, independiente de su peralte. Por consiguiente, la viga de acero más liviana que proporcione a resistencia necesaria es la menos costosa. Frecuentemente las consideraciones prácticas de diseño requieren el uso de secciones que pueden pesar más de lo que se requiere, pero que se ajustan más fácilmente al detalle general de construcción. Como hay muchas consideraciones prácticas de diseño que influyen en la elección de una viga, es imposible considerarlas en esta recopilación. Para nuestros propósitos, la viga más económica es la sección de menor peso que proporcione la resistencia necesaria. La madera se vende por pie de tablón, basado en el tamaño nominal. Un pie tablón es el volumen equivalente a un tablón de de largo por 1 pie de ancho y por de grueso. Por ejemplo, una viga de y de de longitud contendría tablones/pie. Para 8 pies de longitud, la pieza contendría 2X8=16 pies tablones de madera. El módulo de sección varía con el cuadrado del peralte y directamente con el ancho. Por consiguiente, las secciones de mayor peralte son las más económicas. Los ejemplos 5.12 y 5.13 ilustran el diseño de vigas de acero y de madera.
1 (121)=2
4
1
3 8
25
8
(38)/
26
27
28
El esfuerzo cortante debe considerarse en el diseño de cualquier viga. Como el esfuerzo cortante frecuentemente no es tan crítico en el diseño de las vigas como los esfuerzos de flexión, el procedimiento normal consiste en dimensionar la viga sobre la base de los esfuerzos de flexión, y verificar que en esa sección no hay esfuerzos cortantes excesivos. Como en la práctica, los esfuerzos cortantes nunca controlan el diseño de las vigas de acero, a menos que se apliquen grandes cargas concentradas cerca de los apoyos, no se considerarán aquí. Sin embargo, se recomienda al lector que investigue las especificaciones de diseño, en el raro caso en que se apliquen cargas concentradas grandes cerca de un apoyo. Para las vigas de madera, cuya capacidad para resistir fuerzas cortantes horizontales es muy baja, los esfuerzos cortantes controlan frecuentemente el diseño. Como se indicó anteriormente, el procedimiento usual consiste en diseñar la viga sobre la base de los esfuerzos de flexión, y después revisar para los esfuerzos cortantes horizontales. Sí el cortante horizontal es excesivo, debe incrementarse el tamaño para reducir el esfuerzo cortante hasta límites permisibles. El esfuerzo cortante horizontal máximo ocurre en el eje neutro (excepto en vigas que tienen lados abusados, tales como un triángulo). Como la mayoría de las vigas de madera son rectangulares, la fórmula del esfuerzo cortante, Ec. (5.2), puede volver a escribirse para obtener el esfuerzo cortante máximo para este caso, como se muestra en los cálculos que siguen (véase Fig. 5.21):
[(ℎ/2)](ℎ/4) , = 3 = 3 = = 12 ℎ() 2ℎ 2
El área puede obtenerse en las tablas de propiedades de diseño dadas en el Apéndice .
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EJERCICIOS ESFUERZO POR FLEXIÓN Metodología del Cálculo de Esfuerzos Normales por Flexión. 1.-Resolver la viga:
D.C.L (Diagrama de Cuerpo Libre)
Calculo de Reacciones utilizando ecuaciones básicas de equilibrio
Grafica de diagramas de fuerzas cortantes y momento flexionante
2.-Calcular el centro de gravedad de la sección 3.-Calcular el momento de inercia de la sección 4.-Calcular el Esfuerzo 5.-grafica de distribución de esfuerzos en la sección Ejemplo: Calcular el esfuerzo normal máximo del siguiente sistema: 1.-Resolver la viga: 40cm
4Ton/m
20cm
Calculo de Reacciones
∑Fx=o Ax=0 ∑Fy=0 Ay+By-16000 kg=0 Ay+By=16000…… (1) ∑Ma=0 -(16000)(2)+By(4)=0 By=-8000kg Ay=8000 kg
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16Ton/m
AX AY
BY
2m
2m
8ton
8ton 8ton*m
2.-Centro de Gravedad.
. = (10,20)
= 20 20
20
10
10
32
3.-Calculo del Momento de Inercia
= bh3 = ()() = .
4
4.-Cálculo del esfuerzo máximo
∗ =∗∗ =∗ Max= Max= = ()() . =0.15/ 5.-Grafica de la Distribución de Esfuerzos en la Se cción.
0.15 Ton/cm2
20cm
0.15 Ton/cm2
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ESFUERZO CORTANTE Metodología del Cálculo de Esfuerzos Cortantes. 1.-Resolver la viga:
D.C.L (Diagrama de Cuerpo Libre)
Calculo de Reacciones utilizando ecuaciones básicas de equilibrio
Grafica de diagramas de fuerzas cortantes y momento flexionante
2.-Calcular el centro de gravedad de la sección. 3.-Calcular el momento de inercia de la sección. 4.-Calcular el módulo de Sección (S). 5.-Calcular el Esfuerzo Cortante. 6.-Graficar la distribución de los Esfuerzos Cortantes. Ejemplo. Calcular el esfuerzo máximo del siguiente sistema.
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1.-Resolver la Viga
40cm
500/ 20cm
4.5 2.5
3
AY
2.25 2.25
2 .5
3
Calculo de Reacciones
∑Fx=o Ax=0 ∑Fy=0 Ay+By=4750 Ay+By=16000…… (1) ∑Ma=0 -2.25 (2250)-7(2500)+10BY=0 By=2256.5 kg Ay=2493.75kg
2493.5 4.5
343.75 3
2.5
Esfuerzo máximo=2493.75 kg
35
2256.5
2.-Calculando el Centro de Gravedad.
20
40 . = = =20
3.-Calculando el Momento de Inercia.
ℎ = 12 ()() = = . 4.-Calculando el Modulo de Sección.
A1 20cm
d1
S= (A1) (d1)= (20) (20)) 10) S=4000 Cm3
20cm
b 20cm
5.-Calculo del Esfuerzo máximo
= .∗=4.67kg/cm2 =. . .∗ 36
6.-Grafica del esfuerzo cortante.
4.67 /2
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