Diagrama Voronoi

MODULUL VI. DIAGRAMA VORONOI Tema are ca scop prezentarea detaliată a uneia din construcŃiile  foarte utile ale Geometriei computaŃionale şi anume diagrama Voronoi  a unei mulŃimi de puncte din plan. ProprietăŃi remarcabile ale acesteia  permit abordarea şi rezolvarea rezolvarea unor probleme de proximitate. proximitate.

• • • •

 După parcurgerea şi însuşirea acestei acestei teme, studentul va cunoaşte:  NoŃiunea de diagramă Voronoi. Voronoi.  ProprietăŃi ale diagramei diagramei Voronoi.  Algoritmul de construire a diagramei diagramei Voronoi.  AplicaŃii 

StudenŃii vor întocmi o temă de d e casă care constă în rezolvarea re zolvarea  problemelor şi exerciŃiilor propuse. propuse.

Cuvinte cheie: diagrama Voronoi, graf planar, regiuni nemărginite,  principiul divide et impera . IndicaŃii de studiere a temei: Timpul minim pe care trebuie să-l  acordaŃi studierii studierii acestui modul este de 3 ore. Se citeşte cu atenŃie şi se notează ideile principale, ecuaŃiile matematice,  se aprofundează noŃiunile noŃiunile subliniate. Se parcurg întrebările întrebările de control şi testele de verificare. Se studiază problemele şi exerciŃiile rezolvate. Se rezolvă exerciŃiile propuse. propuse. Dacă nu se înŃeleg înŃeleg rezolvările sau nu pot da  soluŃii unor probleme propuse se restudiază restudiază subiectul în cauză. Cuprins 6.1. Diagrama Voronoi: definiŃie, exemple 6.2. ProprietăŃi ale diagramei Voronoi 6.3. AplicaŃie: cele mai apropiate perechi de puncte ale unei mulŃimi M  6.4. Graful planar definit de diagrama Voronoi a unei mulŃimi M  6.5. Metoda divide et impera  pentru construirea construirea diagramei Voronoi a unei mulŃimi M de puncte din plan 6.6.Teme pentru casă

6.1. DIAGRAMA VORONOI: VORONOI: DEFINIłIE, EXEMPLE DEFINIłIE 

Dată fiind o mulŃime  M  de puncte P1, P2, ..., Pn din plan, fiecare  punct Pi determină o regiune ρi în care se găsesc punctele care sunt mai apropiate de punctul Pi decât de celelalte puncte ale mulŃimii. Întregul  plan va fi împărŃit între aceste regiuni care, evident, nu pot avea puncte interioare comune. Această împărŃire se numeşte diagrama Voronoi a mulŃimii M . Următoarele exemple oferă o introducere în problematica diagramelor Voronoi. EXEMPLE 

a) Considerăm mulŃimea  M  constituită din două puncte A şi B. Mediatoarea segmentului AB împarte planul în două regiuni. În regiunea în care se află punctul A sunt punctele care sunt mai apropiate de A decât de B iar în regiunea cealaltă sunt punctele mai apropiate de B decât de A. Pe mediatoare, frontiera dintre cele două regiuni, se află punctele situate la distanŃe egale faŃă de A şi B.

A A

B O B

C

a)

 b) A

A M

B

 N

O

O C

B P

D c)

d)

C

 b) Dacă mulŃimea  M  este constituită din trei puncte A, B şi C atunci mediatoarele laturilor triunghiului ABC se întâlnesc în punctul O care este centrul cercului circumscris, singurul punct din plan care se află la aceeaşi distanŃă de cele trei puncte A, B, C. Aceste trei mediatoare, împreună cu punctul O, delimitează cele trei regiuni ale diagramei Voronoi. c) Se consideră mulŃimea  M constituită din patru puncte A, B, C şi D aflate pe un cerc cu centrul în punctul O. Mediatoarele coardelor se întâlnesc în punctul O. Ele delimitează cele partu regiuni ale diagramei d iagramei Voronoi. De fapt regiunea cuprinsă între semidreptele ce pornesc din O şi au drept suport mediatoarele segmentele AB şi AC este formată din punctele care sunt mai apropiate de A decât de B şi de C. Dar mediatoarea corzii AD, care trece şi ea prin punctul O, împarte planul în două regiuni astfel că regiunea lui A conŃine întreaga mulŃime a punctelor care sunt mai apropiate de A decât de B şi de C. Punctul O este singurul punct din plan care este egal depărtat de cele patru puncte. Este uşor de văzut că această diagramă se poate generaliza la cazul când mulŃimea M este constituită din vârfurile unui poligon inscriptibil. d) Considerăm mulŃimea M constituită din punctele A, B, C şi O în care triunghiul ABC este ascuŃitunghic iar O este centrul cercului circumscris triunghiului ABC, în care se întâlnesc mediatoarele laturilor  triunghiului. Mediatoarele segmentelor OA şi OB se întâlnesc în punctul M situat pe mediatoarea laturii AB. Punctul M este centrul cercului circumscris triunghiului AOB. Analog, punctele N, respectiv P sunt centrele cercurilor circumscrise triunghiurilor AOC respectiv BOC. Triunghiul MNP delimitează regiunea Voronoi corespunzătoare  punctului O. Aceasta este singura singura regiune mărginită a diagramei. diagramei.

6.2. PROPRIETĂłI ALE DIAGRAMEI VORONOI 1). Regiunile

Fiecare regiune a diagramei Voronoi este o mulŃime convexă. Întradevăr, fie Pi un punct al mulŃimii  M  = {P1, P2, ...,Pn} şi ρi regiunea corespunzătoare punctului Pi. Pentru fiecare indice j ≠ i se consideră mediatoarea segmentului PiP j şi π j semiplanul în care se află punctul Pi în raport cu această mediatoare.

Regiunea ρi este intersecŃia tuturor semiplanelor π j. Cum intersecŃia unor mulŃimi convexe este convexă reyultă că regiunea ρi este o mulŃime convexă. Evident că frontiera unei regiuni este constituită din semidrepte sau segmente de dreaptă. Regiunile mărginite ale diagramei Voronoi sunt poligoane convexe. 2). Muchiile

Orice muchie a diagramei Voronoi, mărginită sau nemărginită, separă două regiuni bine determinate ρi şi ρ j corespunzătoare punctelor Pi şi P j respectiv. MulŃimea punctelor acestei muchii este intersecŃia celor două regiuni. Punctele muchiei sunt la egală distanŃă de punctele Pi şi P j. 3) Vârfurile

Orice vârf G al diagramei Voronoi este intersecŃia a cel puŃin trei regiuni. Într-adevăr, dacă punctul G ar fi capătul comun al numai două muchii atunci ele ar mărgini două regiuni. Una din cele două regiuni nu va fi atunci convexă deoarece din cele două unghiuri formate de muchii unul este mai mare decât 180*. Punctul G nu poate fi capătul unei singure muchii deoarece scoŃând această muchie se obŃine o mulŃime care nu este convexă. Dacă numărul muchiilor incidente în punctul G este r ≥ 3 atunci  punctul G este comun pentru r regiuni care corespund la r puncte ale mulŃimii M . Ordonând aceste muchii în sens trigonometric sau invers, unghiul  dintre două muchii consecutive trebuie să fie mai mic decât 180* deoarece între ele se află o singură regiune. Aceste puncte fiind egal depărtate de punctul G înseamnă că G este centrul cercului care conŃine toate aceste r puncte. Rezultă că dacă mulŃimea M nu are patru puncte conciclice atunci în orice vârf al  diagramei Voronoi sunt incidente exact trei muchii. 4). Poligonul inscriptibil corespunzător unui vârf.

Dacă în vârful G al diagramei Voronoi sunt incidente r ≥ 3 muchii atunci G este punctul comun al regiunilor corespunzătoare la r puncte Q1, Q2, ...,Qr  ale mulŃimii  M . Deci  punctul G fiind egal depărtat de cele r   puncte, acestea se găsesc pe un cerc cu centrul centrul în G.

 În interiorul acestui cerc nu se află nici un punct al mulŃimii M. Într-adevăr, dacă în interiorul acestui cerc s-ar găsi un punct al mulŃimii  M  atunci punctul G ar fi mai apropiat de acest punct decât de cele r   puncte şi deci G nu ar aparŃine regiunilor regiunilor definite de cele r puncte. 5). Regiunile nemărginite ale diagramei Voronoi a mulŃimii M 

Considerăm înfăşurătoarea convexă a mulŃimii M = {P1, P2, ..., Pn}. Aceasta este un poligon convex având drept vârfuri puncte ale mulŃimii  M . Vom arăta că singurele regiuni nemărginite ale diagramei Voronoi sunt cele care corespund punctelor mulŃimii M situate pe frontiera acestui  poligon. Fie Pi şi P j situate pe o latură a poligonului care înfăşoară mulŃimea  M . Dreapta PiP j împarte planul în două regiuni din care una, pe care o notăm π’ conŃine toate punctele mulŃimii M . Cercul cu centrul într-un punct H almediatoarei segmentului PiP j şi de rază egală cu HPi = HP j nu conŃine alte puncte ale mulŃimii  M  decât cele situate în segmentul de cerc situat însemiplanul π’. Dacă centrul H al cercului se deplasează pe mediatoare în direcŃia opusă semiplanului π’, deci către exteriorul înfăşurătoarei, în acest cerc vor rămâne din ce în ce mai puŃine puncte ale mulŃimii M . Fie H0 poziŃia punctului H pentru care interiorul cercului cu centrul în H0 nu conŃine nici un punct al mulŃimii M  dar arcul PiP j conŃine astfel de puncte.

H H0 P j

H

π’ Pi

Dacă punctul H se îndepărtează pe mediatoare dincolo de H0 atunci  punctele Pi şi P j, aflate la distanŃă egală de punctul H, sunt cele mai apropiate puncte ale lui  M  de punctul H. Deci punctul H se află pe frontiera care desparte desparte regiunile Voronoi Voronoi ale regiunilor regiunilor Pi şi P j.  Aşadar regiunea Voronoi a unui punct al mulŃimii M situat pe  frontiera înfăşurătoarei convexe a acesteia va avea muchii nemărginite.  Deci regiunea este nemărginită. nemărginită. Reciproc, să considerăm un punct Pi al mulŃimii  M  a cărui regiune Voronoi are o muchie nemărginită d. Această muchie desparte regiunea lui Pi de regiunea unui alt punct P j iar muchia d va avea ca suport mediatoarea segmentului PiP j. Cercul care prece prin punctele Pi şi P j şi cu centrul pe semidreapta d nu poate avea în interior puncte ale mulŃimii  M , în caz contrar aceste  puncte ar fi mai apropiate de puncte puncte ale lui d decât punctele Pi şi P j. Dar depărtând la nesfârşit centrul cercului pe semidreapta d acest cerc, la limită conŃine toate punctele semiplanului determinat de dreapta PiP j şi în care se află semidreapta d. Prin urmare semiplanul opus semidreptei d va conŃine toate  punctele mulŃimii  M , adică segmentul PiP jse află pe frontiera înfăşurătoarei convexe a mulŃimii M .

6.3. APLICAłIE: CELE MAI APROPIATE PERECHI DE PUNCTE ALE UNEI MULłIMI  M  Fie Pi un punct fixat al mulŃimii  M  şi P j un punct aflat la distanŃă minimă de punctul Pi. Vom arăta că  frontiera regiunii lui P i conŃine o muchie care desparte această regiune de regiunea lui P  j. Pentru a dovedi acest lucru să notăm H mijlocul segmentului PiP j şi d mediatoarea acestui segment. Cercul cu centrul în Pi şi de rază PiH este tangent dreptei d. În interiorul acestui cerc nu se află nici un punct al frontierei regiunii lui Pi. Într-adevăr, dacă punctul N situat în interiorul cercului ar fi pe frontiera regiunii lui Pi atunci N se află pe o muchie a acestei regiuni, muchie ce o separă de regiunea Voronoi a unui alt punct Ph. Această muchie are ca suport mediatoarea segmentului PiPh şi deci P N  iN = NPh. Pe de altă parte P N i < PiH şi deci: PiPh ≤ P N i + NPh = 2P N i < 2PiH = PiP j. Acest rezultat contrazice ipoteza că punctul P j se află la distanŃa minimă de Pi.

P j

 N

H

d

Ph

Pi

Aşadar interiorul cercului este în întregime în regiunea Voronoi a  punctului Pi. Cum punctele de pe segmentul HP j sunt mai apropiate de P j decât de Pi înseamnă că punctele acestui segment nu se află în regiunea Voronoi a lui Pi. Înseamnă că punctul H se află pe frontiera acestei regiuni. Punctul H nu poate fi vârf al acestei regiuni deoarece în acest caz cel puŃin una dintre muchiile incidente acestui vârf ar avea puncte în interiorul cercului având în vedere că unghiul dintre ele trebuie să fie strict mai mic decât 180*. În concluzie,  punctele mulŃimii M care se află la distanŃa minimă de punctul fixat P i se află printre punctele ale căror regiuni sunt  despărŃite de regiunea lui P i prin muchiile regiunii lui P i. Căutând, pentru fiecare punct Pi al mulŃimii  M  punctele care sunt cele mai apropiate de punctul Pi găsim cele mai apropiate perechi de  puncte ale mulŃimii M .

6.4 . GRAFUL PLANAR DEFINIT DE DIAGRAMA VORONOI A UNEI MULłIMI  M . Diagrama Voronoi este aproape un graf planar şi chiar format din segmente de dreaptă. Singurul ei defect este că are muchii nemărginite. Vom modifica diagrama Voronoi astfel încât să devină un graf planar. Fie Γ un punct situat în afara cercului care conŃine toate muchiile mărginite ale diagramei Voronoi. Exteriorul acestui cerc fiind o mulŃime

conexă punctul Γ se poate uni cu câte un punct de pe fiecare muchie nemărginită cu câte o curbă, astfel că aceste a ceste curbe să nu se întretaie şi nici una să nu taie vreo muchie mărginită a diagramei Voronoi. Se obŃine un graf planar dar care nu este format numai din segmente de dreaptă deoarece muchiile incidente în vârful Γ nu sunt în general segmente de dreaptă. Acest graf planar are un vârf în plus faŃă de diagrama Voronoi, anume vârful Γ. Dacă mulŃimea M are n puncte atunci tot n vârfuri are diagrama Voronoi dar graful planar corespunzător are n + 1 vârfuri.

Complexitatea algoritmului de găsire a perechilor celor mai apropiate ale mulŃimii M = {P1, P2, ... ,Pn} Presupunem că am determinat diagrama Voronoi a mulŃimii  M  şi avem şi tabelul dublu conex al muchiilor grafului planar asociat. În această situaŃie putem parcurge conturul fiecărei regiuni a grafului, complexitatea acestei operaŃii fiind egală cu numărul muchiilor regiunii. Pentru un punct fixat Pi al mulŃimii M parcurgem lista muchiilor ce constituie frontiera regiunii punctului Pi. Aceste muchii despart regiunea  punctului Pi de alte regiuni corespunzătoare unor alte puncte P j ale mulŃimii M . Din proprietatea 5) rezultă că printre aceste puncte se află toate  punctele mulŃimii M care se află la distanŃa minimă de punctul Pi. Pentru fiecare punct Pi al mulŃimii  M  se alcătuieşte lista punctelor  celor mai apropiate puncte de punctul Pi precum şi distanŃa comună corespunzătoare. Din aceste liste se reŃin cele pentru care distanŃa este minimă. ObŃinem astfel lista tuturor perechilor de puncte ale mulŃimii  M  aflate la distanŃă minimă. În ce priveşte complexitatea algoritmului admitem faptul că frontiera unei regiuni poate avea tot atâtea muchii câte puncte are mulŃimea M , adică n. Ar rezulta că algoritmul are complexitatea n2. Totuşi Ńinem seamă că fiecare muchie este luată în calcul de exact două ori. Pe de altă parte, am dedus, din teorema lui Euler că numărul muchiilor şi al vârfurilor este de acelaşi ordin de mărime ca şi numărul regiunilor care este n. În concluzie dacă avem diagrama Voronoi a mulŃimii M = {P1, P2, ...,Pn)  şi tabelul dublu conex al muchiilor grafului planar  corespunzător atunci algoritmul de determinare a listei perechilor de  puncte aflate la distanŃa minimă minimă are complexitatea n.

6.5. METODA DIVIDE ET IMPERA PENTRU CONSTRUIREA DIAGRAMEI VORONOI A UNEI MULłIMI M DE PUNCTE DIN PLAN Am arătat cum probleme de proximitate privind mulŃimi  M  de  puncte din plan se rezolvă în timp liniar dacă se dispune de diagrama Voronoi a acestei mulŃimi. Sunt şi alte probleme a căror rezolvare  presupune deja construită construită diagrama Voronoi. Pentru construirea diagramei se dispune de un algoritm de complexitate nlogn dacă se asumă ipoteza pe care am mai menŃionat-o şi anume că mulŃimea M nu are patru puncte pe acelaşi cerc. Prezentarea completă a acestui algoritm, cu detaliile demonstrării consistenŃei, nu face obiectul acestei expuneri. Ne mărginim să dăm o descriere sumară a paşilor algoritmului urmată de un exemplu de aplicare a acestuia. Algoritmul foloseşte principiul cunoscut sub numele divide et  impera. Se împarte mulŃimea  M  în două submulŃimi,  M  s şi  M d d,  aproximativ egale ca număr de elemente, dar îndeplinind condiŃia că sunt separate printr-o linie verticală de abscisă  x0: Punctele din mulŃimea  M  s au abscisa strict mai mică decât  x0 iar cele din mulŃimea  M d d  au abscisa strict mai mare decât x0. Se continuă această diviziune până când se obŃin submulŃimi suficient de mici încât să se poată construi direct diagrama Voronoi a acestora, de exemplu dacă se ajunge la mulŃimi care au câte trei sau patru  puncte. Numărul împărŃirilor împărŃirilor succesive este log2n. După ce se obŃin diagramele Voronoi ale mulŃimilor de pe ultimul nivel, se cuplează două câte două şi se obŃin diagramele Voronoi ale submulŃimilor de pe nivelul imediat superior. Repetând acest proces se ajunge la diagrama Voronoi a mulŃimii M . Dificultatea algoritmului constă în cuplarea diagramelor Voronoi a două submulŃimi. Mai precis, folosindu-ne de diagramele Voronoi ale submulŃimilor  M   M  s şi  M d d  notate Vor s şi Vor d trebuie construită diagrama Voronoi a mulŃimii M , pe care o notăm Vor( M   M ) Procesul de cuplare constă în adăugarea unor noi muchii precum şi eliminarea unora (sau porŃiuni) din muchiile celor două diagrame. Se folosesc înfăşurătoarele convexe ale celor două submulŃimi şi se consideră podul superior  U  sU d d  şi podul inferior  L  L s L  Ld  în care U  s şi  L s sunt  puncte ale mulŃimii  M  s iar  U d d  şi  Ld  sunt puncte ale mulŃimii  M d d.  Se consideră mediatoarele mu şi ml  mediatoarele acestor segmente. În continuare se parcurge un drum de sus în jos, de la mu la ml  în  paşii căruia se adaugă la diagramele Voronoi ale celor două submulŃimi

noi muchii şi se elimină unele din muchiile vechi sau porŃiuni ale acestora. Mediatoarea mu serveşte drept suport al muchiei Voronoi care desparte regiunea lui U  s de regiunea lui U d d  (acestea fiind puncte alăturate de pe înfăşurătoarea convexă a mulŃimii  M , regiunile lor vor avea ca muchie comună o semidreaptă situată pe mediatoarea mu). Pe de altă parte, la distanŃă suficient de mare pe mediatoare ne aflăm în intersecŃia a două regiuni: regiunea Vor s(U  s) a lui U  s din diagrama Vor s şi regiunea Vor d(U d d)  cea a lui U d d  din Vor d. Mediatoarea va intersecta într-un punct bine determinat Qs frontiera regiunii Vor s(U  s) şi în punctul Qd frontiera regiunii Vor d(U d d ). ). Notăm Q0 pe cel cu ordonata mai mare. Punctul Q0 va fi vârf al diagramei nou construite Vor( M   M ) iar  semidreapta de pe mediatoare de la infinit la Q0 va fi muchie nou introdusă pentru diagrama Vor( M  ).  M ). Pe de altă parte, dacă Q0 = Qs atunci se elimină partea din muchia regiunii Vor s(U  s) de la Qs la infinit, iar dacă Q0 = Qd atunci se elimină  partea din muchia regiunii Vor d(U d d ) de la Qd la infinit. În cazul Q0 = Qs, dacă se continuă deplasarea în direcŃia mediatoarei, se va trece în regiunea diagramei Vor s a unui punct U  s,1 din  M  s care este despărŃită de regiunea regiunea Vor s(U  s) prin muchia lui Vor s care trece prin punctul Qs. Ne vom afla deci la intersecŃia regiunilor Vor s(U  s,1) şi Vor d(U d d ). ). În această intersecŃie se găsesc punctele care sunt mai apropiate de U  s,1 decât de toate punctele din  M  s şi mai apropiate de U d d  decât de toate  punctele din  M d d.  Mediatoarea segmentului U  s,1U d d  va despărŃi regiunea lui U  s,1 de regiunea lui U d d.  Remarcăm că această mediatoare trece prin Qs deoarece acest  punct este centrul cercului circumscris triunghiului U  sU d dU     s1. Deci din  punctul Qs se continuă drumul pe direcŃia perpendicularei pe U  s1U d d.  Analog se procedează dacă Q0 = Qd. Deplasându-ne pe noua mediatoare (a lui U  s1U d d)  ne vom afla în intersecŃia regiunilor Vor s(U  s1) şi Vor d(U d d)  astfel că va intersecta într-un  punct bine determinat frontiera primei regiuni şi în alt punct bine determinat din frontiera celeilalte regiuni. Primul dintre ele va fi noul vârf  Q1 al diagramei Vor. Se repetă procedeul până ajungem la mediatoarea mu a podului inferior.

EXEMPLU mu

Q1

Q0

A’

A C’

C

O’

O B’ B

Q2

Q3 ml 

Punctele A, B, C constituie mulŃimea  M  s iar A’, B’, C’ mulŃimea  M d d.  Diagrama Voronoi a mulŃimii  M  s are ca muchii mediatoarele laturilor triunghiului ABC care se întâlnesc în punctul O care este centrul cercului circumscris acestui triunghi. Punctul O este singurul vârf al diagramei Voronoi a mulŃimii M  s. În figură sunt indicate muchiile şi vârful O’ ale diagramei Voronoi a mulŃimii M d d.  Podul superior al celor două mulŃimi este evident segmentul AA’ iar cel inferior este BB’. Se vede că mediatoarea mu a podului superior străbate partea comună a regiunilor Voronoi ale punctelor A şi A’ . În această zonă, cuprinsă între mediatoarele segmentelor AC şi A’C’, sunt punctele care sunt mai apropiate de A şi A’ decât de toate celelalte puncte. Deci în această zonă trebuie tranşat între A şi A’. PorŃiunea din mediatoarea mu care se află în această zonă, (semidreapta lui mu având capătul în Q0) este muchia diagramei Voronoi a întregii mulŃimi M care delimitează regiunea lui A de regiunea lui A’. În punctul Q0 mediatoarea mu traversează mediatoarea segmentului A’C’ care desparte regiunea lui A’ de regiunea lui C’ în diagrama

Voronoi a mulŃimii  M d d.  Se trece astfel în zona comună dintre regiunea lui C’ din M d d  şi tot regiunea lui A din M  s. Aceste două regiuni sunt separate de mediatoarea segmentului AC’, care trece prin Q0 deoarece în acest punct se întâlnesc mediatoarele laturilor AA’ şi A’C’ ale triunghiului AA’C’. Deci ducând perpendiculara din Q0 pe AC’ aceasta este şi mediatoare a acestui segment. seg ment. Partea din mediatoarea lui A’C’ care trece dincolo de Q0 nu mai are nici un rol pentru diagrama Voronoi a întregii mulŃimi. Perpendiculara din Q0 pe AC’ întâlneşte mediatoarea lui AC în  punctul Q1. Segmentul Q0Q1 este muchia comună dintre regiunile lui A şi C’ în diagrama mulŃimii M . În punctul Q1 se traversează mediatoarea lui AC care separă regiunea lui A de regiunea lui C în diagrama lui M  s. Deci zona în care se trece este comună regiunilor lui C din M  s şi a lui C’ din M d d.  Pe de o parte porŃiunea din mediatoarea lui A’C’ care este dincolo de punctul Q1 nu mai face parte din diagrama Voronoi a întregii mulŃimi  M , deci se şterge. Pe de altă parte, în noua zonă trebuie să se separe regiunea lui C de regiunea lui C’. Această separare se face cu mediatoarea lui CC’ care trece prin punctul Q1 care este intersecŃia dintre mediatoarele laturilor AC şi AC’ ale triunghiului t riunghiului ACC’. ACC’. Mediatoarea lui CC’ întâlneşte frontiera regiunii lui C din  M  s în  punctul Q2 de pe mediatoarea lui BC care separă regiunea lui B de regiunea lui C din M  s. Mai departe se trece în zona comună dintre regiunea lui B din M  s şi regiunea lui C’ din M d d . Pe de o parte se şterge porŃiunea din mediatoarea lui BC situată dincolo de punctul Q2. Pe de altă parte din Q2 se continuă în direcŃia perpendiculară pe BC’, care va fi şi mediatoarea acestui segment. Această mediatoare întâlneşte mediatoarea lui BB’ (care este mediatoarea ml  a podului inferior) în punctul Q3. Se continuă drumul din Q3 pe direcŃia mediatoarei ml  şi se şterge  porŃiunea din mediatoarea lui B’C’ B’C’ situată dincolo de punctul Q3. În final se obŃine diagrama Voronoi a întregii mulŃimi M care are 6 vârfuri: O, O’, Q0, Q1, Q2, Q3. Muchiile acestei diagrame sunt evidenŃiate în desen prin linii îngroşate. Din cele 6 regiuni ale diagramei două sunt mărginite şi anume regiunea lui C, care este triunghiul OQ1Q2, şi regiunea lui C’ care este pentagonul O’Q0Q1Q2Q3.

6.6. TEME PENTRU CASǍ

6.6.1. Să se alcătuiască tabelul dublu conex al grafului constituit din 4 vârfuri: A, B, C, D în care punctul D este în interiorul triunghiului ABC iar muchiile, în număr de 6, unesc fiecare vârf cu celelalte trei. 6.6.2. Să se determine diagrama Voronoi Voronoi a mulŃimii formate formate din punctele A, B, C, O în care O este centrul cercului circumscris triunghiului ABC. 6.6.3. Fie triunghiul ascuŃitunghic ABC şi D simetricul lui C faŃă de AB.  Notăm E şi F centrele cercurilor circumscrise triunghiurilor triunghiurilor ABC şi respectiv ABD. Se cere diagrama Voronoi a mulŃimii formate din  punctele A, B, C, D, E, F.

Bibliografie

[1] J. CHEN, Computational Geometry: Methods and Applications , Texas A&M University, 1996. [2] F. P. PREPARATA, M. I .SHAMOS, Computational Geometry: An  Introduction, Springer-Verlag, New York, 1985. [3] J. SCHWARTZ, C. YAP  Algorithmic and Geometric Aspects of   Robotics, New Jersei, 1987.