Diseño Factorial 2k Final

UNIDAD II

DISEÑO FACTORIAL 2K STATGRAPHIC CENTURION XVI El diseño factorial es uno de los diseños más empleados en ingeniería en el presente informe se estudiara su metodología de desarrollo mediante su aplicación con un software estadístico, Statgraphic centurión XVI

ÍNDICE INTRODUCCION: INTRODUCCION:............................................................................................................................ 1

Interacción ............................................................. ................................................................................................................................ ................................................................... 2 Efecto principal ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... 2 Efecto interacción ..................................................................... ................................................................................................................. ............................................ 2 Efecto simple .................................................................. ......................................................................................................................... ....................................................... 3 Ventajas: ................................................................ ................................................................................................................................... ................................................................... 3 Desventajas: .............................................................................................................................. ............................................................................................................................. 3 Tipos de factores: ...................................................................................................................... ..................................................................................................................... 4 Concepto de interacción............................................................... ............................................................................................................ ............................................. 4 .............................................. 5 PRIMER CASO: dos factores sin interacción. Los datos son: ..............................................

SEGUNDO CASO: Dos factores con interacción. Los datos son ......................................... 7 EJEMPLO 23: ............................................................................................................................ ........................................................................................................................... 9

Procedimiento en Statgraphic Statgraphic Centurión XVI: ................................................................... 10 EJEMPLO 24: .......................................................................................................................... ......................................................................................................................... 15 ................................................................................................................................. ........................................................... .......................................................................................... .................... 20

CONCLUSIONES: ..................................................................... .......................................................................................................................... ..................................................... 21 BIBLIOGRAFÍA .......................................................................................................... ............................................................................................................................. .................... 22

ÍNDICE DE ILUSTRACIONES Ilustración 1: inicio del diseño........................................... diseño................................................................. ............................................ ........................ 10 Ilustración 2: selección del diseño ............................................ .................................................................. ...................................... ................ 10 Ilustración 3: rotulación de factores .................................................... .......................................................................... ........................... ..... 10 Ilustración 4: rotulacion de variable respuesta respuest a ................................ ...................................................... ............................... ......... 11 Ilustración 5: cuadro de aleoterizacion ............................................ ................................................................... ............................... ........ 11 Ilustración 6: introducción variable respuesta .......................... ................................................ ...................................... ................ 11 Ilustración 7: análisis del diseño........................................... ................................................................. .......................................... .................... 12 Ilustración 8: selección de la variable .......................................... ................................................................. .................................. ........... 12 Ilustración 9: selección de gráficas y tablas ............................................ ................................................................... ....................... 13 Ilustración 10: vista vist a de resultados, res ultados, gráficas y tablas ...................................................... ...................................................... 13 Ilustración 11: optimización .......................................... ................................................................ ............................................ ........................... ..... 14 Ilustración 12: grafico de respuesta ........................... ................................................. ............................................ ............................... ......... 20 Ilustración 13: grafico de efectos principales principal es .......................................... ................................................................. ....................... 20

DISEÑO FACTORIAL 2K

UNIDAD II

INTRODUCCION: Se llaman Experimentos Factoriales a aquellos experimentos en los que se estudia simultáneamente dos o más factores, y donde los tratamientos se forman por la combinación de los diferentes niveles de cada uno de los factores. Los diseños factoriales son ampliamente utilizados en experimentos en los que intervienen varios factores para estudiar el efecto conjunto de éstos sobre una variable de interés. Existen varios casos especiales del diseño factorial general que resultan importantes porque se usan ampliamente en el trabajo de investigación, además de constituir la base para otros diseños de gran valor práctico. Uno de los más importantes de estos casos especiales ocurre cuando se tienen k factores, cada uno con dos niveles. Estos niveles pueden ser cuantitativos como sería el caso de dos valores de temperatura, presión o tiempo pero también pueden ser cualitativos como sería el caso de dos máquinas, dos operadores, los niveles "superior" e "inferior" de un factor, o quizás, la ausencia o presencia de un factor. Una réplica completa de tal diseño requiere que se recopilen 2 x 2 x .... x 2 = 2kconoce como diseño general 2k. Los experimentos factoriales en si no constituyen un diseño experimental si no un Diseño de Tratamiento (un arreglo de tratamiento es una disposición geométrica de ellos bien en el espacio o en el tiempo y que deben ser llevados en cualquiera de los diseños experimentales clásicos tal como el Diseño Completo al Azar, el Diseño en Bloques Completos al Azar, el Diseño en Cuadrado Latino. Los experimentos factoriales se emplean en todos los campos de la investigación, son muy útiles en investigaciones exploratorias en las que poco se sabe acerca de muchos factores. Muy frecuentemente usados en investigaciones comparativas. Como se menciona en, se podría definir el diseño estadístico de experimentos también denominado diseño experimental, como una metodología basada en herramientas

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matemáticas y estadísticas cuyo objetivo es ayudar al experimentador a: estrategia experimental óptima que permita obtener la información buscada con el mínimo costo. ados experimentales obtenidos, garantizando la máxima fiabilidad en las conclusiones que se obtengan. El diseño experimental es aplicado ampliamente al estudio de los procesos de producción. Un proceso puede considerarse como una “caja negra” a la cual ingresan diversas variables que interactúan para producir un resultado. Las variables que ingresan al proceso se denominan variables de entrada, y el resultado, variable de salida. El nivel de la variable de salida depende de los niveles que adopten las variables de entrada, y los gerentes y técnicos se benefician al saber qué combinación de variables de entrada produce el mejor nivel en la variable de salida. La búsqueda de combinaciones óptimas de las variables de entrada da lugar al diseño experimental, que es una prueba (o un conjunto de pruebas) durante la cual se realizan cambios sistemáticos y controlados a las variables de entrada para medir el efecto sobre la variable de salida.

Interacción Es el e efecto combinado de dos o más factores. Es la combinación de dos o más variables independientes para generar un efecto diferente al que ellos tienen cuando actúan

independientemente. El experimento factorial se planifica con la intención

exprofesa de medir la interacción y evaluarla. La interacción puede ser de tres tipos: Sinergismo, Antagonismo, Aditivo. Es análoga a la acción de una droga

Efecto principal Es una medida del cambio en el promedio entre los niveles de un factor, promediado sobre los diferentes niveles del otro factor. Ejemplo: Dosis de Nitrogeno en las U.E.

Efecto interacción Es una medida de cambio que expresa el efecto adicional resultante de la influencia combinada de dos o más factores.

Ejemplo: Efecto conjuntode nitrógeno y fósforo.

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Efecto simple Es una medida de cambio en los promedios de los niveles de un factor, manteniendo constante, uno de los niveles del otro factor. Ejemplo: Efecto de nitrógeno ante la presencia de 5% de fósforo.

Ventajas:

1.- Permiten estudiar los efectos principales, efectos de interacción de factores, efectos simples y efectos cruzados y anidados.

2.- Todas las unidades experimentales intervienen en la determinación de los efectos principales y de los efectos de interacción de los factores, por lo que el número de repeticiones es elevado para estos casos.

3.- El número de grados de libertad para el error experimental es alto, comparándolo con los grados de libertad de los experimentos simples de los mismos factores, lo que contribuye a disminuir la varianza del error experimental, aumentando por este motivo la precisión del experimento.

Desventajas: 1.- Se requiere un mayor número de unidades experimentales que los experimentos simples y por lo tanto se tendrá un mayor costo y trabajo en la ejecución del experimento.

2.- Como en los experimentos factoriales cada uno de los niveles de un factor se combinan con los niveles de los otros factores; a fin de que exista un balance en el análisis estadístico se tendrá que algunas de las combinaciones no tiene interés práctico pero deben incluirse para mantener el balance.

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3.- El análisis estadístico es más complicado que en los experimentos simples y la interpretación de los resultados se hace más difícil a medida de que aumenta el número de factores y niveles por factor en el experimento. Conceptos generales:

Factor.- Es un conjunto de tratamientos de una misma clase o característica. Ejemplo: tipos de riego, dosis de fertilización, variedades de cultivo, manejo de crianzas, métodos de enseñanza, tipos de liderazgo, tipos raciales, etc.

Niveles de un factor.- Son los diferentes tratamientos que pertenecen a un determinado factor. Se acostumbra simbolizar algún elemento "i" por la letra minúscula que representa al factor y el valor del respectivo subíndice. (Modelo de diseños factoriales 2k)

Tipos de factor es: 1.-

Factores Cuantitativos. Son aquellos factores cuyos niveles son cantidades

numéricas.

2.- Factores

Cualitativos. Son aquellos factores cuyos niveles son procedimientos, o

cualidades o atributos.

Concepto de interacción Para ilustrar de forma intuitiva lo que es la interacción vamos a tomar dos c onjuntos de datos. Consideramos dos factores

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PRIMER CASO: dos factores sin interacción. Los datos son:

El efecto principal del factor α es la diferencia entre la respuesta promedio de α1 y α2:

Y el efecto principal del factor β es:

Ahora bien, para el nivel β1, el efecto del factor α es:

Y para el nivel β2 es:

De forma similar, los efectos del factor β para los niveles α1 y α2 son, respectivamente:

Entonces, el efecto de uno de los factores n o depende de los niveles del otro factor, lo cual indica que no hay interacción entre los factores. Cuando ambos factores tienen dos niveles, el efecto de la interacción es la diferencia entre los promedios de las diagonales, UNS

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que es en este caso.

Lo que indica que no hay interacción. Los siguientes gráficos de perfil muestran la falta de interacción ya que las rectas que aparecen son paralelas.}

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SEGUNDO CASO: Dos factores con interacción. Los datos son

El efecto principal del factor α es:

Lo que indicaría que el factor αno tendría ningún efecto en la respuesta. Sin embargo, para el nivel β1, el efecto del factor α es:

Y para el nivel β2 es:

Entonces, aunque el efecto principal indique que el factorαno influye en la respuesta, el efecto que produceαdepende del nivel seleccionado del factor β y se concluye que hay interacción entre α y β. El efecto de la interacción es en este caso:

Lo que indica que hay interacción. Los siguientes gráficos de perfil muestran la existencia de interacción ya que las rectas que aparecen se cruzan entre sí.

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En este caso, la variable respuesta Y puede depender también de dos factores α y β, pero éstos a su vez pueden potenciarse o interactuar. Para comprobar la existencia de interacción, se puede considerar el gráfico de residuos frente a valores previstos de un modelo sin interacción. La idea de este resultado es que los residuos contendrán la influencia de todos aquellos efectos no considerados de forma explícita en el modelo. Por lo tanto, si la interacción es significativa y no ha sido incluida, su efecto se verá en los residuos. La forma de ver la interacción en los residuos es a través de cierta curvatura en la nube de puntos del gráfico de residuos frente a valores previstos. El motivo es que la interacción implica una relación no lineal entre los factores y la variable respuesta; por tanto si hay interacción y el modelo no la incluye, los residuos tendrán una estructura no lineal no incluida en el modelo. (XVI.I)

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EJEMPLO 23: Un ingeniero realiza un experimento en e cual se evalúa la influencia de los °brix, temperatura y de tiempo de inmersión en la reducción de la actividad de agua en alimentos. Para este experimento el ingeniero empleo manzana San Antonio.

Tiempo 2 3

Tiempo 2 3 2 3 2 3 2 3

Temperatura °Brix 35 45

Temperatura °Brix

Aw

35 35 45 45 35 35 45 45

0.831 0.846 0.822 0.809 0.82 0.8 0.791 0.753

codificacion Tiempo 2 -1 3 1

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40 50

40 40 40 40 50 50 50 50

Temperatura °Brix 35 45

40 50

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Procedimiento en Statgraphic Centurión XVI: Ilustración 1: inicio del diseño

Nos aparece este cuadro de dialogo:

Seleccionamos FACTORIAL

MULTINIVEL. Digitamos para 3 FACTORES Y 1 VARIABLE RESPUESTA

Ilustración 2: selección del diseño Ilustración 3: rotulación de factores

Luego se coloca la denominación de cada factor y sus res pectivos niveles y unidades. De la misma manera procedemos para la variable respuesta:

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Ilustración 4: rotulacion de variable respuesta

Ilustración 5: cuadro de aleoterizacion

Aquí nos aparece este cuadro de dialogo, donde se procede a colocar el número de repeticiones, en nuestro caso no habrá repeticiones.

Ilustración 6: introducción variable respuesta

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Nos aparecerán los valores introducidos con sus respectivas combinaciones y agregamos los valores de la variable respuesta. Luego se procede a analizar el diseño: En el siguiente cuadro seleccionamos nuestra variable respuesta: Ilustración 7: análisis del diseño

Ilustración 8: selección de la variable

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En el siguiente cuadro seleccionamos las siguientes opciones y damos en aceptar:

Ilustración 9: selección de gráficas y tablas

Ilustración 10: vista de resultados, gráficas y tablas

Automáticamente el programa nos arroja el análisis del diseño con sus respectivas gráficas:

Pero ahora debemos corregir la optimización del diseño ya que por defecto se analiza

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con la meta en Maximizar la variable respuesta, pero en nuestro caso necesitamos que esta disminuya, entonces procedemos:

Seleccionamos el icono resaltado

Ilustración 11: optimización

Seleccionamos la opción minimizar y damos en aceptar

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EJEMPLO 24: En una planta de fuerza se corrió un experimento factorial 2 4 con repeticiones al centro con el objetivo de hacer más e…caz la operación de la máquina de absorción. La eficiencia de la maquina se mide en toneladas de refrigeración entre el flujo de vapor. Los factores a controlar fueron: flujo de vapor (A), temperatura de agua helada (B), temperatura de agua de enfriamiento(C), presión diferencial (D). El diseño, en las unidades originales, es el que se muestra en la tabla siguiente. (a) Determine el ANOVA para estos datos. (b) Grafique los efectos significativos. (c) Determine el mejor tratamiento y haga la predicción de la eficacia esperada sobre él.

Toneladas de refrigeración (t/h)

A(temp. Agua helada) (ºC)

B(temp. De agua de enfriamiento (ºC)

C(presión diferencial) kg/cm2

Eficiencia

4.5 4.5 2 2 4.5 2 4.5 2 4.5 4.5 4.5 4.5 4.5 4.5 2 2

6.5 6.5 4 4 6.5 6.5 4 4 4 4 6.5 6.5 6.5 6.5 6.5 4

23 23 23 27 27 27 23 27 23 23 23 27 27 27 27 23

1.4 1.7 1.7 1.4 1.4 1.7 1.4 1.7 1.7 1.4 1.4 1.7 1.4 1.7 1.7 1.4

35 38 36.6 27.5 29.8 32.9 32.5 33.5 32.5 40.1 40.2 37.8 34.4 34.6 34.9 37.6

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Crearemos nuestro diseño de experimentos

Luego procederemos a marcar la opción factorial multinivel con 4 número de factores como indica el problema 2 4

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Procederemos a introducir los datos de los factores con sus respectivos niveles altos y bajos indicados en el problema 24

Luego introduciremos la variable respuesta y quitaremos el marcado de la opción aleatorizar

Una vez realizado este paso en el Libro de datos introduciremos nuestras variables respuesta

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Y analizaremos nuestra variable respuesta:

Analizaremos nuestro ANOVA, Optimización y grafica de respuesta

Análisis de Varianza para eficiencia Fuente

Suma de Cuadrados

Gl Cuadrado Medio

Razón F

Valor P

A:toneladas de refrigeracion

2.32562

1

2.32562

0.20

0.6705

B:temperatura de agua helada

0.680625

1

0.680625

0.06

0.8167

C:temperatura de agua de enfrien D:presion diferencial AB AC AD

19.1406

1

19.1406

1.68

0.2517

43.2306 29.4306 3.90063 6.37563

1 1 1 1

43.2306 29.4306 3.90063 6.37563

3.79 2.58 0.34 0.56

0.1091 0.1691 0.5841 0.4883

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DISEÑO FACTORIAL 2K BC BD CD Error total Total (corr.)

UNIDAD II 6.63063 13.1406 0.030625 57.0281 181.914

1 1 1 5 15

6.63063 13.1406 0.030625 11.4056

0.58 1.15 0.00

0.4802 0.3322 0.9607

R-cuadrada = 68.6511 porciento R-cuadrada (ajustada por g.l.) = 5.95335 porciento Error estándar del est. = 3.37722 Error absoluto medio = 1.575 La tabla ANOVA particiona la variabilidad de eficiencia en piezas separadas para cada uno de los efectos. Entonces prueba la significancia estadística de cada efecto comparando su cuadrado medio contra un estimado del error experimental. En este caso, 0 efectos tienen una valor-P menor que 0.05, indicando que son significativamente diferentes de cero con un nivel de confianza del 95.0%. Di cho de otro modo no existe dif er encia en usar un tr atamiento u otro, ya que estos no i nf lu yen de manera signi fi cativa en la efici encia.

Optimizar Respuesta Meta: maximizar eficiencia

Valor óptimo = 39.0563 Factor

Bajo Alto

Óptimo

toneladas de refrigeración

2.0

4.5

4.5

temperatura de agua helada

4.0

6.5

4.0

temperatura de agua de enfríen.

23.0

27.0

23.0

presión diferencial

1.4

1.7

1.7

Esta tabla muestra la combinación de los niveles de los factores, la cual maximiza eficiencia sobre la región indicada.

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Superficie de Respuesta Estimada temperatura de agua de enfrien=25.0,presion diferencial=1.55

42 39 a i c n e i c i f e

36 33 30 27

5.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

6

6.5

5 4.5 temperatura de agua helada 4

toneladas de refrigeracion

Ilustración 12: grafico de respuesta

Gráfica de Efectos Principales para eficiencia

37

36 a i c n e i c i f e

35

34

33 toneladas de refrigeracion temperatura de agua de enfrien temperatura de agua helada presion diferencial

Ilustración 13: grafico de efectos principales

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CONCLUSIONES: 

 



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Los diseños factoriales completos son la estrategia experimental óptima para estudiar simultáneamente el efecto de varios factores sobre la respuesta y sus interacciones. Por su potencia y sencillez, su campo de aplicación es muy amplio. Identificar que variables influyen en una reacción, para luego poder optimizarlas hasta alcanzar el rendimiento deseado, o para disminuir el tiempo de reacción. Las dificultades que surgen de los experimentos grandes no deben ser consideradas como una crítica del método factorial 2k, puesto que la base de la dificultad simplemente es que se ejecuta un programa de investigación más grande. En investigaciones de las interacciones entre los efectos de varios factores. Por su naturaleza las interacciones no se pueden estudiar sin probar algunas de las combinaciones que se forman de los diferentes factores. Frecuentemente la información se obtiene mejor probando todas las combinaciones.

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BI BL I OGRAF ÍA 

Experimentos factoriales capitulo 5. (s.f.). Obtenido de http://www.uru.edu/fondoeditorial/libros/pdf



Modelo de diseños factoriales 2k. (s.f.).



XVI.I, S. C. (s.f.). Patente nº Manual de Statgraphic

Centurion XVI.I.



Gonzales, D., Rodriguez, C., & Anaya, A. (s.f.). Manual de diseño y analisis de

experimentos. 

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Medina, P. &. (2011). Analisis critico del diseño factorial 2k sobre casos aplicados. Obtenido de htpp://www.redalyc.org/articulo.on

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Diseño Factorial 2k Final

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