DISEÑO FACTORIAL DE 2K (2 NIVELES X 3 FACTORES)
CONCEPTO DE DISEÑO FACTORIAL: El diseño factorial es una técnica estadística que permite identificar y cuantificar las causas de un efecto dentro de un estudio experimental. En un diseño experimental se manipulan deliberadamente una o más variables, vinculadas a las causas, para medir el efecto que tienen en otra variable de interés. El diseño experimental prescribe una serie de pautas relativas qué variables hay que manipular, de qué manera, cuántas veces hay que repetir el experimento y en qué orden para poder establecer con un grado de confianza predefinido la necesidad de una presunta relación de causa-efecto. El diseño factorial encuentra aplicaciones en la industria, la agricultura, la mercadotecnia, la medicina, las ciencias de la conducta, etc. constituyendo una fase esencial en el desarrollo de un estudio experimental.
DISEÑO 2K PARA K = 3 FACTORES Es un diseño de 3 factores, cada uno a 2 niveles y consta de 8 combinaciones. Geométricamente el diseño es un cubo, cuyas esquinas son las 8 combinaciones. Este diseño permite estimar los 3 efectos principales (A, B, y C), las tres interacciones de dos factores (AB, AC, BC) y la interacción de los tres factores (ABC). k
La estimación de cualquier efecto principal o interacción en un diseño 2 se determina al multiplicar las combinaciones de tratamientos de la 1ª columna de la tabla por los signos del correspondiente efecto principal o columna de interacción, sumando los resultados para obtener un contraste, y dividiendo el contraste por la mitad del nº total de réplicas. A = [a+ab+ac+abc-(1)-b-c-bc]/4n B = [b+ab+bc+abc-(1)-a-c-ac]/4n C = [c+ac+bc+abc-(1)-a-b-ab]/4n AB = [abc-bc+ab-b-ac+c-a+(1)]/4n AC = [(1)-a+b-ab-c+ac-bc+abc]/n BC = [(1)+a-b-ab-c-ac+bc+abc]/4n ABC = [abc-bc-ac+c-ab+b+a-(1)]/4n
3
SIGNOS ALGEBRAICOS PARA CALCULAR LOS EFECTOS DEL DISEÑO
2 Comb.Tratamientos I A B AB C AC BC ABC (1)
+- - +
- +
+
-
a
++ - -
- -
+
+
b
+- + -
- +
-
+
ab
++ + +
- -
-
-
c
+- - +
+ -
-
+
ac
++ - -
+ +
-
-
bc
+- + -
+ -
+
-
abc
++ + +
+ +
+
+
TABLA DE ANOVA DISEÑO 23 Fuente Variacion
de Suma Cuadrados
de Grados Libertad
de
Cuadrado Medio
F0
Tratamiento A
SS A
a-1
MSA = SSA
/a-1
A /MSEMS
Tratamiento B
SS B
b-1
MSB = SSB
/b-1
B /MSEMS
Tratamiento C
SS C
c-1
MSC =SSC
/c-1
C /MSE
Interacción AB
SS AB
(a-1)(b-1)
MSAB = SSAB /(a-1)(b-1) MSAB /MSE
Interacción AC
SS AC
(a-1)(c-1)
MSAC=SSAC /(a-1)(c-1)
MS AC /MSE
Interacción BC
SS BC
(b-1)(c-1)
MSBC =SSBC /(b-1)(c-1)
MS BC /MSE
Interacción ABC SS ABC
(a-1)(b-1)(c-1)
MSABC =SSABC /(a-1)(bMSABC /ME 1)(c-1)
Error
SSE
abc(n-1)
Total
SST
abcn-1
MSE =SSE /abc(n-1)
Eliminaremos la interacción triple ABC, por lo que tendremos un grado de libertad más para el error.
Diseño 2k con una réplica Si aumentamos el número de factores en un experimento factorial, también aumenta el número de efectos que pueden ser estimados. 4
Así un experimento 2 tiene 4 efectos principales, 6 interacciones dobles, 4 triples, y 1 cuádruple. La mayoría de las veces las interacciones de orden superior a dos son despreciables.
MS
k
En experimentos factoriales 2 ,con un k=3,4,5 o superior es común efectuar una sola replica, despreciar las interacciones de orden superior a dos, y de estos modo poder utilizar los grados de libertad de dichas interacciones para la estimación del error. Esta forma de actuar puede conducirnos a decisiones erróneas si realmente alguna de estas interacciones que son de orden superior a dos son significativas.
Aplicaciones El diseño de experimentos tiene una gran variedad de aplicaciones y puede ser aplicado a un gran número de industrias, la optimización de recursos, la identificación de causas de variabilidad son algunos de los objetivos del diseño de experimentos aplicados en nivel industrial.
Aplicaciones según la clasificación de la industria A continuación se muestran algunos ejemplos de aplicaciones existentes según el tipo de industria.
Industrias pesadas o de base
Química pesada
Estudio de la composición para la elaboración de productos : Estudio de los valores más apropiados para la elaboración de compuestos químicos que requieran diversos componentes. Análisis del efecto de las condiciones del entorno en la 2 elaboración del producto como la temperatura ambiente, humedad relativa etc .
Industrias de bienes de equipo
Maquinaria
Medida de la variabilidad de los instrumentos de medida : Es posible aplicar el diseño de experimentos como herramienta para determinar y mejorar los índices de capacidad de un proceso concreto apoyándose en estudios de reproducibilidad y repetitividad. Diseño de motores eléctricos : Estudio de las características constructivas del motor y su influencia en variables importantes como la perdida de flujo y la constante de velocidad. Diseño de electrodos : Estudio de los esfuerzos en los electrodos en función de la fuerza de aplicación y el tamaño del electrodo. Diseño de elementos de sujeción : Análisis de la influencia de los parámetros geométricos en la resistencia de los remaches.
Materiales de construcción
Estudios de corrosión : Estudios de la influencia del tiempo en la corrosión de aceros de construcción y metales en general. Aplicaciones en el mecanizado : estudio de la variabilidad en los procesos de mecanizado, ayuda a la reducción de piezas defectuosas y aumento de la capacidad de producción.
Producción de vehículos industriales
Estudio de procesos de soldadura : estudio de un proceso de soldadura, para determinar las variables que influyen en la resistencia de la soldadura.
Industria aeronáutica
Optimización del proceso de anodizado y pintado : optimizar los procesos de anodizado y pintado para conseguir una buena protección anticorrosión.
Industrias ligeras o de uso y consumo
Farmacia y química ligera
Informática y telecomunicaciones
Estudio del rendimiento de una red informática : Realizando simulaciones es posible cuantificar el rendimiento y las variables criticas que hacen que la transferencia de datos en la red sea económicamente rentable. Mejora del rendimiento de un procesador: Se usa para determinar el impacto que tienen variables importantes como la temperatura y las horas de uso en el rendimiento del procesador. Reducción del tiempo del CPU: El estudio se basa en la aplicación del diseño de experimentos para determinar la mejor combinación de factores que reduzcan el tiempo de CPU. Optimización de materiales en semiconductores : Estudio de las propiedades eléctricas del arsienuro de galio dopado con silano. Diseño de filtros pasivos : se utiliza el diseño de experimentos para determinar los valores de las tolerancias de los componentes para optimizar los circuitos.
Biotecnología
Operaciones en un sistema de fangos activos : optimizar y entender las reacciones que se dan en el tratamiento secundario de una EDAR, por ejemplo, los fangos activos.
Pasos para el diseño de un experimento
Observación Planteamiento del problema de investigación
Hipótesis: hipótesis nula (Ho) e hipótesis alterna Método (incluye la elección de los sujetos, para la conformación de la muestra; el procedimiento, es decir, el tratamiento a los sujetos; las variables consideradas: variable dependiente, variable independiente, variables extrañas) Resultados: aquí se describen cuáles fueron las relaciones observadas entre las variables (si los valores de la variable independiente realmente influyeron significativamente sobre los de la variable dependiente, si hubo tantas variables extrañas como se pensaba o si surgieron otras), para lo cual se añaden a dicha descripción tanto gráficas (de barras, de pastel, etc.) como cuadros. Conclusiones
A partir de aquí, ya es posible pensar en la elaboración del informe (publicación del experimento y sus resultados, a través de un artículo en una publicación nacional o internacional, donde se incluirán, además de las secciones ya mencionadas, las referencias bibliográficas).
Un ejemplo Un ingeniero quiere estudiar la resistencia de una pieza plástica sometida a temperaturas cambiantes. La pieza puede ser elaborada con tres tipos de plástico distintos. De ahí que se plantee las siguientes preguntas:
¿Qué efecto tienen la composición de la pieza y la temperatura en la resistencia de la pieza? ¿Existe algún material con el que la pieza resulte más resistente que con cualquiera de los otros dos independientemente de la temperatura?
Para darles respuesta, el ingeniero se plantea realizar una batería de experimentos. Cada uno de ellos consiste en tomar una pieza de un material dado, someterla a una temperatura prefijada y aplicarle una presión hasta que la pieza se quiebre. El grado de presión necesario será la medida de resistencia de la pieza. Por fijar ideas, selecciona tres temperaturas, -20ºC, 20ºC y 60ºC. Por lo tanto, puede realizar 9, es decir, 3x3, pruebas distintas. Además, decide repetir cada una de las 9 pruebas 4 veces cada una. Finalmente, decide aleatorizar las pruebas, es decir, desordenarlas aleatoriamente en el tiempo. Tras realizar los experimentos, obtiene 36, es decir, 4x9, medidas de resistencia distintas. A partir de ese momento, realiza un estudio cuantitativo utilizando técnicas estadísticas, como la ANOVA, que ya no forman parte propiamente de la fase del diseño experimental.
Ejemplo numérico Una empresa manufacturera desea saber qué factores son más importantes en el proceso de mecanizado, para obtener el mejor acabado superficial en uno de sus productos. Para realizar el experimento se han identificado 3 parámetros que se consideran de importancia,
la velocidad de giro de la maquina, el avance y el radio de le herramienta. Se ha decido realizar un experimento a dos niveles (alto y bajo), con 3 factores. Los datos tomados son los siguientes.
Corrida
Velocidad de giro Avance (RPM) (mm/rev)
Radio de la herramienta ( Acabado pulgadas)o superficial
1
588
0,004
1/64
50,50,55,50
2
588
0,004
1/32
145,150,100,110
3
588
0,008
1/64
160,160,160,155
4
588
0,008
1/32
180,190,195,200
5
1182
0,004
1/64
60,60,60,55
6
1182
0,004
1/32
25,35,35,30
7
1182
0,008
1/64
160,160,160,160
8
1182
0,008
1/32
80,70,70,80
Para el análisis del experimento se toma la siguiente notación
Factor A: Velocidad de giro (RPM) Factor B: Avance (mm/rev) Factor C: Radio de la herramienta ( pulgadas) Respuesta: Acabado superficial
Primero es necesario definir la matriz que tome tanto los efectos principales, como las interacciones entre ellas. Según muchos autores, se suele despreciar las interacciones de 14 tercer orden o superiores ya que no influyen de manera significativa . La matriz para nuestro caso, queda como sigue.
Combinaciones de Tratamientos A B C AB AC BC ABC RESPUESTA 1
-1 -1 -1 1
1
a
1 -1 -1 -1 -1 1
b
-1 1 -1 -1 1
ab
1 1 -1 1
-1 -1 -1
70,70,80,80
c
-1 -1 1 1
-1 -1 1
50,50,50,55
ac
1 -1 1 -1 1
bc
-1 1 1 -1 -1 1
-1
155,160,160,160
abc
1 1 1 1
1
160,160,160,160
1
1
-1
145,150,100,110
1
25,35,35,30
-1 1
-1 -1 1
180,200,190,195
55,60,60,60
Con esta matriz se pasa a realizar el análisis de la influencia de cada componente sobre la respuesta utilizando el análisis de la varianza (ANOVA).
La tabla ANOVA inicial queda como sigue:
Fuentes de Suma de grados de Cuadrado Contraste Variación Cuadrados libertad Medio
Fo
A
-810
20503,125
1
20503,125
212,789189 4,2596
B
1270
50403,125
1
50403,125
523,102703 4,2596
C
20
12,5
1
12,5
0,1297
4,2596
AB
-110
378,125
1
378,125
3,92432
4,2596
BC
400
5000
1
5000
51,89189
4,2596
AC
880
24200
1
24200
251,1567
4,2596
ABC
60
112,5
1
112,5
1,1675
4,2596
ERROR
2312,5
24
96,3541667
34,02659
TOTAL
102921,875
31
3320,06048
Ft
Se puede apreciar en la tabla inicial que las interacciones ABC, no afectan significativamente a la respuesta, pues su Fo es menor a Ft. Así pues eliminamos la interacción ABC (antes se había mencionado que estos efectos son despreciables de manera directa por varios autores), y pasamos a re calcular la tabla ANOVA, y eliminamos aquellos elementos cuyas Fo sean menor a Ft. Es necesario recordar que no es posible eliminar los efectos principales si existen interacciones dobles donde estas se encuentren, es decir no es posible eliminar A, sin antes haber eliminado AC y AB. la tabla final de la ANOVA es la siguiente.
Fuentes de Suma de grados de Cuadrado Contraste Variación Cuadrados libertad Medio
Fo
A
-810
20503,125
1
20503,125
212,789189 4,2252
B
1270
50403,125
1
50403,125
523,102703 4,2252
C
20
12,5
1
12,5
0,1297
4,2252
BC
400
5000
1
5000
51,89189
4,2252
AC
880
24200
1
24200
251,1567
4,2252
ERROR
2803,,125
26
107,8125
38,0730051
TOTAL
102921,875
31
3320,06048
Ft
Como se puede apreciar en la tabla, no es posible eliminar el efecto principal C aun si su Fo es menor a su Ft, ya que existen las interacciones BC y AC las cuales son significativas. La tabla ANOVA nos muestra que la influencia de los efectos principales A, B, C y los interacciones dobles AC y BC tienen una importancia no despreciable en la respuesta. Para cuantificar que tanto influye cada elemento, pasamos a calcular su efecto y los coeficientes de la ecuación que predecirá la respuesta en función de los elementos que hemos considerado como importantes.
Fuentes de Variación Efecto
Coeficiente Intersección de la recta
A
5125,7815 2562,89063 106,5625
B
12600,7813 6300,39063
C
3,125
1,5625
BC
!250
625
AC
6050
3025
El diagrama de Pareto para nuestro caso, revela el peso que tiene cada elemento en la respuesta. Se puede apreciar la importancia de cada elemento en orden descendente. 1. Avance: es la variable que más influye en el acabado superficial, si se quiere tener una mejor respuesta es necesario actuar sobre esta variable. 2. Velocidad de Giro y radio de la herramienta: esta interacción doble representa también una variable no menospreciable y la actuación sobre estas dos variables lograra tener una mejor respuesta. 3. Velocidad de Giro: si bien parece que está en tercer lugar, su efecto en la respuesta es casi idéntica a la interacción doble, por lo que es actuar sobre esta variable mejoraría la respuesta. 4. Avance y radio de la herramienta: el efecto conjunto de estas dos variables muestra una influencia en la respuesta significativa estadísticamente pero no tan grande como las anteriores. 5. Radio de la herramienta: su efecto es casi imperceptible sin embargo no es posible eliminarla por la existencia de interacciones dobles
