05/10/2014
Investigación de Operaciones I
Ing. Enrique M. Avendaño Delgado
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Unidad 1 PROGRAMACION LINEAL
Ing. Enrique M. Avendaño Delgado
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Definición: •
•
El Problema de Transporte corresponde a un tipo particular de un problema de programación lineal. Si bien este tipo de problema puede ser resuelto por el método Simplex, existe un algoritmo simplificado especial para resolverlo. El modelo de transporte se define como una técnica que determina un programa de transporte de productos o mercancías desde unas fuentes hasta los diferentes destinos al menor costo posible . j i ij
ij 1
1
2
2
n
m mn
mn
Ing. Enrique Avendaño Delgado
Procter & Gamble (P & G) Procter & Gamble (P & G) produce y comercializa más de 300 marcas de productos a nivel mundial. Esta compañía ha crecido continuamente a través de su larga historia que data desde 1830. Para mantener y acelerar ese crecimiento, un importante estudio de IO se realizó para fortalecer la efectividad global de P & G. Antes del estudio, la cadena de suministro de la compañía consistía en cientos de proveedores para las 50 categorías de productos en 60 plantas, 15 centros de distribución y más de 1 000 zonas de consumo. Sin embargo, en la medida en que la compañía consideró marcas globales, la administración se percató de que se requería consolidar las plantas a fi n de reducir los gastos de manufactura, mejorar la velocidad de entrega al mercado y reducir la inversión de capital. Por lo cual, el estudio se enfocó al rediseño del sistema de producción y distribución de la compañía para sus operaciones en Norteamérica. El resultado fue una reducción del número de plantas en Norteamérica de casi 20 por ciento, ahorrando más d e 200 millones de dólares en costos antes de impuestos por año.
Gran parte del estudio consistió en la formulación y solución de problemas de transporte de categorías individuales de producto. Para cada opción referente a mantener abiertas ciertas plantas, la solución del correspondiente problema de transporte para cierta categoría de producto mostró cuál sería el costo de distribución para enviar dicha categoría de producto desde esas plantas hacia los centros de distribución y zonas de consumo.
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Ejemplo Uno de los productos más importantes de la P & T COMPANY es el chícharo enlatado. Los chícharos se preparan en tres enlatadoras —cercanas a Bellingham, Washington; Eugene, Oregon, y Albert Lea, Minnesota— y después se envían por camión a cuatro almacenes de distribución —Sacramento, California; Salt Lake City, Utah; Rapid City, South Dakota, y Albuquerque, Nuevo México— en el oeste de Estados Unidos, como se muestra en la figura 1. Debido a que los costos de embarque constituyen un gasto importante, la administración ha iniciado un estudio para reducirlos a su mínima expresión. Se ha estimado la producción de cada enlatadora durante la próxima temporada y se ha asignado a cada almacén cierta cantidad de la producción total de chícharos. En la tabla 2 se proporciona esta información —en unidades de carga de camión—, junto con el costo de transporte por camión cargado de cada combinación de enlatadora-almacén. Como se ve, hay un total de 300 cargas de camión que se deben transportar. El problema es determinar el plan de asignación de estos embarques a las distintas combinaciones de enlatadora-almacén que minimice el costo total de transporte.
Costo de embarque ($) por carga Almacén 1
2
3
4
Producción
1
464
513
654
867
75
Enlatadora 2
352
416
690
791
125
3
995
682
388
685
100
80
65
70
85
Asignación Ing. Enrique Avendaño Delgado
Ejemplo
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Ejemplo
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Formulación con Programación Lineal En realidad, el problema descrito en la fi gura 8.2 es de programación lineal del tipo de los problemas de transporte . Para formularlo, sea Z el costo total de transporte y sea xij (i 5 1, 2, 3; j 5 1, 2, 3, 4) el número de cargas de camión enviadas de la enlatadora i al almacén j . El objetivo es seleccionar valores de estas 12 variables de decisión (las xij ) F.O: Min Z= 464x 11 + 513x 12 + 654x 13 + 867x 14 + 352x 21 + 416x 22 + 690x 23 + 791x 24 + 995x 31 + 682x 32 + 388x 33 + 685x 34 s.a. x 11 + x 12 + x 13 + x 14 = 75 x 21 + x 22 + x 23 + x 24 = 125 x 31 + x 32 + x 33 + x 34 = 100 x 11 + x 21 + x 31 = 80 x 12 + x 22 + x 32 = 65 x 13 + x 23 + x 33 = 70 x 14 + x 24 + x 34 = 85 xij 0 ( i 1, 2, 3; j 1, 2, 3, 4). Ing. Enrique Avendaño Delgado
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Modelo del Problema de Transporte Para describir el modelo general del problema de transporte es necesario emplear términos mucho menos específicos que los que se usaron para designar los componentes del ejemplo prototípico. En particular, el problema general de transporte se refiere —en sentido literal o figurado — a la distribución de cualquier mercancía desde cualquier grupo de centros de suministro, llamados orígenes, a cualquier grupo de centros de recepción, llamados destinos, de tal manera que se minimicen los costos totales de distribución.
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Uso de Excel para formular y resolver problemas de transporte El proceso de usar una hoja de cálculo para formular un modelo de programación lineal para un problema comienza por definir las respuestas a tres preguntas. ¿Cuál es la decisión que se tomará? ¿Cuáles son las r e stricciones sobre estas decisiones? ¿Cuál es la m e d i d a g l o b a l d e d es em p eñ o de estas decisiones?
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Ejercicio 2
La Compañía Childfair tiene tres plantas de producción de carros para bebés que deben distribuirse a cuatro centros de distribución. Las plantas 1, 2 y 3 producen 34, 25 y 11 cargamentos por mes, respectivamente. Cada centro de distribución necesita recibir : Centro1, 15 cargamentos por mes, Centro2, 20 cargamentos por mes; Centro3, 15 cargamentos por mes y la diferencia para el centro4. En la siguiente tabla se da la distancia de cada planta a su respectivo centro de distribución: El costo del flete de cada embarque es de $100 más 0.50 centavos por milla. ¿Cuánto se debería embarcar a cada centro de distribución para minimizar el costo total del envío?
Distancia (millas) Centro de distribución
Planta
1
2
3
4
1
800
1300
400
700
2
1100
1400
600
1000
3
600
1200
800
900
a ) Formule el problema como uno de transporte mediante la elaboración
de una tabla de parámetros apropiada. b ) Trace la representación de red de este problema. c ) Obtenga una solución óptima. (Usando Solver de excel) Ing. Enrique Avendaño Delgado
Ejercicio 3 Una empresa de camiones envía camiones cargados de grano desde tres silos a cuatro molinos. La oferta (en camiones cargados) y la demanda (también en camiones cargados), junto con los costes de transporte por carga de camión en las diferentes rutas se resumen en el modelo de transporte siguiente. Los costos de transporte por unidad, cij, son en cientos de euros. Determinar el costo mínimo del programa de envío entre los silos y los molinos. Utilice Solver de Excel para encontrar la solución. Molinos
Oferta
1
2
3
4
1
10
2
20
11
15
Silos 2
12
7
9
20
25
3
4
14
16
18
10
Demanda
5
15
15
15
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Métodos de solución: Los métodos más empleados para obtener soluciones iniciales son:
• El método de la Esquina Noroeste. • El método del Costo Mínimo. • El Método Vogel.
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METODO ESQUINA NOROESTE
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Método Noroeste Para encontrar una solución inicial se comienza por la esquina superior izquierda (noroeste) del tablea de transporte intentando asignar la máxima cantidad posible a x11. Evidentemente, el valor máximo de x11 debe ser el menor entre s1 y d1. Si x11 = s1, se puede descartar la primera fila, pues ya no podría asignarse más desde el primer punto de oferta, se avanza a la siguiente fila. Al mismo tiempo, se debe cambiar d1 por d1-s1, de forma de indicar la cantidad de demanda no satisfecha en el primer punto de demanda. En caso que x11 = d1, se debe descartar la primera columna y cambiar s1 por s1-d1, avanzando una columna. Si x11 = d1 = s1, se debe avanzar en una columna o en una fila (pero no en ambas). Se asigna un cero en la dirección escogida y se descarta la otra alternativa. • El método continua aplicando el mismo criterio desde la esquina noroeste del tablero restante. Una vez que están asignadas toda de demanda y oferta disponible, se terminan las asignaciones y está completa la asignación inicial.
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Método Noroeste
Costo Total: 75*464 + 5*352 + 65*416 + 55*690 + 15*388 + 85*685
Costo Total: 165595 Ing. Enrique Avendaño Delgado
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Ejercicio 2 Hacer una distribución utilizando el método de la esquina noroeste:
Brasil EEUU
Italia 22
Perú 30
México 24
10 8500
Alemania
30
10
32
25 11700
España
24
12
22
15 14000
Japón
24
25
18
20 10000
12700
15000
5000
11500
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Brasil EEUU
Italia 22
Perú 30
México 24
10
8500 Alemania
8500 30
4200 España
10
25
7500 24
12 7500
Japón
32
24
22 5000
25
0
11700
750 0
14000
650 0
0
15 1500
18
150 0
0
20 10000
1270 0
15000
5000
11500
4200
7500
0
10000
0
0
0
10000
0
Costo: 810500
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METODO DEL COSTO MINIMO
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Costo mínimo:
Características: • Es más elaborado que el método de la esquina
noroeste • Tiene en cuenta los costos para hacer las asignaciones • Generalmente nos deja alejados del óptimo
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Costo mínimo: Pasos: 1. Construya una tabla de disponibilidades, requerimientos y costos 2. Empiece en la casilla que tenga el menor costo de toda la tabla, si hay empate, escoja arbitrariamente (Cualquiera de los empatados). 3. Asigne lo máximo posible entre la disponibilidad y el requerimiento (El menor de los dos). 4. Rellene con ceros (0) la fila o columna satisfecha y actualice la disponibilidad y el requerimiento, restándoles lo asignado. Nota: Recuerde que no debe eliminar ó satisfacer fila y columna al mismo tiempo, caso en que la oferta sea igual a la demanda, en tal caso recuerde usar la ε (Epsilon). 5. Muévase a la casilla con el costo mínimo de la tabla resultante (Sin tener en cuenta la fila o columna satisfecha). 6. Regrese a los puntos 3,4,5 sucesivamente, hasta que todas las casillas queden asignadas.
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Costo mínimo:
Costo Total: 80*352 + 20*513 + 45*682 + 70*388 + 55*867 + 30*685
Costo Total: 152535 Ing. Enrique Avendaño Delgado
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Costo mínimo:
100
45
77
45
7000 90
35
90
70
2500 78
50
60
110
1500 45
65
56
130
3000 4500
2500
3800
3200
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METODO VOGEL
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Método Vogel: El método comienza calculando por cada columna y por cada fila el castigo o penalidad. El castigo se calcula como la diferencia entre los dos costos menores en la columna o en la fila según corresponda. A continuación, se determina la fila o columna con un mayor valor de castigo. Luego, se selecciona como variable basal la celda con menor costo de la fila o columna, según corresponda, y se le asigna la máxima cantidad posible. Una vez realizada la asignación, se descarta la fila o columna cuya oferta o demanda haya sido completa. Se recalcula la demanda u oferta disponible en la fila o columna. La primera asignación se ha completado. Se vuelven a calcular los castigos por fila y por columna y se repite el procedimiento descrito hasta completar las asignaciones posibles en el tablero. La ventaja del método de Vogel por sobre el de la Esquina Noroeste es que va adelante algunas iteraciones y por lo tanto se obtiene una solución inicial mejor. Eventualmente puede ocurrir que aplicando el método se llegue directamente a la solución óptima.
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Método Vogel: Chiclayo
100
Trujillo
65
Chimbote
50
Puno
125
Lima
7000
130
100
90
70
Arequipa
2500
20
80
100
150
Piura
1500
70
70
100
160
Cajamarca
3000 4500
2500
3800
3200
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Material:
•Papel •Lapicero •Calculadora
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Ejercicio 1: La compañía Deltron produce su producto líder en tres fábricas diferentes, los cuales se envían por camión a cuatro bodegas de distribución las cuales se encargan de su venta. • La producción por fábrica es la siguiente (se utiliza como unidad de medida – camiones de producto) La capacidad de cada bodega es la siguiente •
(se utiliza como unidad de medida camiones de producto): –
Fábrica
Producción (camiones)
1
75
2
125
3
100
Total
300
Bodega
Capacidad (camiones)
1
80
2
65
3
70
4
85
Total
300
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Ejercicio 1: •
•
Los costos asociados a enviar productos desde las diferentes fabricas a las bodegas, es el siguiente: Fábrica
Bodega 1
Bodega 2
Bodega 3
Bodega 4
1
$ 464
$ 513
$ 654
$ 867
2
$ 352
$ 416
$ 690
$ 791
3
$ 995
$ 682
$ 388
$ 685
Resolverlo utilizando los tres métodos: 1. El método de la Esquina Noroeste. 2. El método del Costo Mínimo. 3. El Método Vogel
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Ejercicio 2: •
Una aerolínea regional puede comprar su combustible para jet a cualquiera de tres proveedores. Las necesidades de la aerolínea para el próximo mes, en cada uno de los tres aeropuertos a los que da servicio, son 200 galones en el aeropuerto 1. 230 en el aeropuerto 2, y 350 galones en el aeropuerto 3. Cada proveedor puede suministrar combustible a cada aeropuerto a los precios que se dan en el siguiente cuadro:
Cada proveedor, sin embargo, tiene limitaciones en cuanto al número total de galones que puede proporcionar durante un mes dado. Estas capacidades son 320 para el proveedor 1. 270 galones para el proveedor 2 y 190 para el proveedor 3. Determine una política de compra que cubra los requerimientos de la aerolínea en cada
Aeropuerto 1
Aeropuerto 2
Aeropuerto 3
Proveedor 1
92
89
90
Proveedor 2
91
91
95
Proveedor 3
87
90
92
aeropuerto, a un costo mínimo. Cual es el costo de esa políti ca de compra. •
Resolverlo utilizando el método de Vogel
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Ejercicio 3: El gobierno de Estados Unidos está subastando contratos de arrendamientos de petróleo en dos sitios 1 y 2. En cada sitio, se subastan 100 000 acres de tierra. Cliff Erwing, Blake Barnes y Alexis Pickens llevan a cabo licitaciones para el petróleo. Las reglas del gobierno establecen que ningún licitador puede recibir más de 40% de la tierra que esta siendo subastada. Cliff oferto $ 1 000/acre para el suelo del sitio 1 y $ 2 000/acre para el suelo del sitio 2. Blake ofreció $ 900/acre para el suelo del sitio 1 y $2 200/acre para el suelo del sitio 2. Alexis ofertó $1 100/acre para el sitio 1 y $ 1 900/acre para el sitio 2. Formule un modelo de transporte equilibrado para maximizar el ingreso del gobierno.
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