Approfondimento 3.1 Facendo riferimento alla figura a.3.1, si consideri un una forma qualsiasi (figura a.3.2), la pressione nel punto B serbatoio contenente due liquidi stratificati in condizioni potrebbe essere calcolata a partire da quella nel punto A, sia idrostatiche, aventi per interfaccia la superficie S. applicando la legge di Stevin nel liquido 1: pB = pA + γ1 zA − zB = pA + γ1 zA − zB p1 δA
sia applicandola nel liquido 2: p1δA
δh
γ1 S
S
G δA p2 δA
γ2
figura a.3.1 immiscibili
S
p2 δA
Equilibrio dell’interfaccia tra due strati di liquidi
Si consideri poi volume cilindrico di altezza δh e base δA avente asse verticale e centro giacente sulla superficie S.
pB = pB = pA + γ2 zA − zB Deve quindi essere: γ1 zA − zB = γ2 zA − zB ovvero:
γ1 − γ2
zA − zB = 0
essendo diversi i pesi specifici, ciò implica necessariamente Tale volume è evidentemente in condizioni di equilibrio, co- zA = zB : l’interfaccia è quindi giacente su un piano orizme del resto l’intero sistema: in particolare, è quindi nulla zontale e costituisce una superficie isobarica alla pressione la somma delle componenti verticali delle forze agenti su di costante pS . esso: −p1 δA − G + p2 δA = 0 Se si fa tendere a 0 l’altezza δh, il volume e il peso del cilindro tenderanno a 0, mentre le due basi tenderanno ad adagiarsi sull’interfaccia S.
γ1
In questa condizione limite, il volumetto si trova in equilibrio sotto l’azione delle pressioni applicate sulle basi. Si ha quindi: −p1 δA + p2 δA = 0
A
A'
B'
B
γ2
figura a.3.2
da cui:
Resta da stabilire l’ordine con cui si stratificano liquidi immiscibili di diverso peso specifico. Ci si riferisca a questo p1 = p2 = pS proposito a una situazione in cui due liquidi di diverso peSe ne deduce che, nel passaggio attraverso un’interfaccia tra so specifico γ1 e γ2 sono separati dall’interfaccia S, sendue masse liquide non miscibili, la pressione deve essere za fare nessuna ipotesi su quale dei due pesi specifici sia costante. maggiore. Si può a questo punto dare conto dell’orizzontalità dell’in- Si supponga ora di perturbare leggermente la superficie S terfaccia. Se si ammettesse infatti l’esistenza di un’interfac- come indicato in figura a.3.3: un volume δV1 di liquido di cia tra due liquidi di diverso peso specifico γ1 e γ2 avente peso
1
γ1 si troverebbe a una quota inferiore a quella del piano S La spinta risultante sull’interfaccia perturbata tende a ripore, viceversa, un piccolo volume δV2 di liquido di peso γ2 si tarla verso la configurazione di equilibrio: l’equilibrio è di tipo stabile. troverebbe al di sopra di essa. Nel caso in cui γ1 <γ2 , la distribuzione di pressione è rappresentata in figura a.3.5: la pressione all’interno dei volumi δV1 e δV2 è superiore a quella all’esterno di essi.
γ1
δV2 S
S
δV1
γ2
La spinta risultante sull’interfaccia perturbata tende ad allontanarla ulteriormente dalla configurazione di equilibrio: l’equilibrio è di tipo instabile.
figura a.3.3
Dato che una situazione di equilibrio instabile non può essere mantenuta, la situazione che si verifica nella realNel caso in cui γ1 > γ2 , la distribuzione di pressione è rap- tà è quella in cui lo strato di liquido a peso specifico presentata in figura a.3.4: la pressione all’interno dei volumi inferiore si trova al di sopra di quello a peso specifico δV1 e δV2 è inferiore a quella all’esterno di essi. superiore. z
z
γ1 > γ2
γ1<γ2
0
γ1
γ1
S
S
γ2
0
p
γ2 p
figura a.3.5
figura a.3.4
Esempio 3.2 In un serbatoio di sezione A = 10 m2 si trovano stratificati 24 m3 di glicerina (con densità ρg = 1260 kg/m3 ), 40 m3 di benzina (ρb = 740 kg/m3 ), 30 m3 di nafta (ρn = 940 kg/m3 ). Si determini la pressione sul fondo del serbatoio e la posizione dei piani dei carichi idrostatici dei tre fluidi. Si determinino inoltre il livello del menisco in un piezometro collegato al serbatoio alla quota zP = 0,5 m e la lettura di un manometro metallico M collegato alla sezione di serbatoio occupata dalla nafta e avente la cella di misura alla quota zM = 2 m.
2
Soluzione In condizioni di equilibrio stabile, i tre fluidi si stratificano secondo densità decrescenti verso l’alto. A contatto con il fondo del serbatoio si trova quindi lo strato di glicerina, il cui spessore risulta: sg = Wg /A = 2,4 m essendo Wg il volume dello strato di glicerina. Al di sopra di questo si trova lo strato di nafta, di spessore sn = Wn /A = 3 m e al livello più alto si trova lo strato di benzina, di spessore sb = Wb /A = 4 m Se si assume come riferimento il fondo del serbatoio (zf = 0), la quota zgn del piano di interfaccia tra glicerina e nafta coincide con lo spessore dello strato di glicerina: zgn = sg = 2,4 m quella tra nafta e benzina risulta: znb = zgn + sn = 5,4 m mentre il pelo libero della benzina si trova alla quota zb = znb + sb = 9,4 m La quota del piano dei carichi idrostatici (p.c.i) della benzina coincide evidentemente con la quota del pelo libero: zpci = zb = 9,4 m b
La pressione all’interfaccia tra benzina e nafta si ottiene applicando la legge di Stevin tra due punti posti alle quote zb e znb nel volume di benzina. Si ha che: pnb γb
+ znb = zb
(con γb = g ρb = 7252 N/m3 peso specifico della benzina), da cui si ottiene la pressione all’interfaccia nafta-benzina: pnb = γb (zb − znb ) = 29 008 Pa Procedendo analogamente per la nafta e applicando la legge di Stevin tra le quote znb e zgn , si ottiene: pgn γn
+ zgn =
pnb γn
+ znb
3
(con γn = g ρn = 9218 N/m3 peso specifico della nafta), da cui si ricava sia la posizione del p.c.i. della nafta, dove si annulla la pressione relativa della nafta: z pc i =
pnb γn
n
+ znb = 8,549 m
sia la pressione all’interfaccia glicerina-nafta: pgn = pnb + γn (znb − zgn ) = 56 644 Pa Calcolando la quota del p.c.i. del volume di glicerina, si ottiene: pgn γg
+ zgn = zpci = 6,987 m g
con γg = g ρg = 12 348 N/m3 peso specifico della glicerina. Infine, calcolando la quota del p.c.i. del volume di glicerina, si ottiene: 0+
pf γg
= zpci
g
da cui:
pf = γg zpci = 86 279 Pa g
Il piezometro, collegato al serbatoio a una quota zP < zan , risulta riempito di glicerina: il livello del pelo libero (la superficie dove p = 0) si colloca quindi alla quota zpci = 6,987 m, g
corrispondente alla quota del p.c.i. della glicerina. Il manometro metallico M, collegato al serbatoio a una quota zan < zM < znb , risulta invece riempito da nafta. La pressione in corrispondenza alla quota del manometro risulta quindi pM = γn (zpci − zM ) = 60 328 Pa n
L’indicazione fornita dal manometro metallico avrà una risoluzione non superiore a 0,01 bar e sarà quindi pari a 0,6 bar. Il diagramma della pressione nel serbatoio ha l’andamento riportato nella figura a.3.6. z (m) 9,4 8,55
p.c.i. benzina p.c.i. nafta
6,99
p.c.i. glicerina
5,4
nafta
2,4 2
figura a.3.6
4
0,86
0 0,57 0,6
M
0,29
glicerina
2
benzina
p (bar)
Esempio 3.3 Si considerino i due serbatoi A e B. Il serbatoio A non è comunicante con l’atmosfera e contiene acqua fino a una quota z1 = 9 m; il serbatoio B è comunicante con l’atmosfera e contiene acqua fino a un livello z2 = 6 m. Si determini la pressione pM segnata dal manometro metallico M collegato al serbatoio A a un livello superiore a quello del pelo libero dell’acqua, sapendo che il dislivello tra i menischi del manometro differenziale posto tra i due serbatoi è = 450 mm e che il liquido contenuto nel manometro è mercurio (γM = 133 300 N/m3 ).
Soluzione Il piano dei carichi idrostatici nel serbatoio B coincide con la superficie libera: zpciB = z2 = 6 m Il dislivello tra i menischi nel manometro differenziale consente di calcolare la differenza tra le quote dei piani dei carichi idrostatici nei due serbatoi. Si ha infatti: γm − γ = 5,67 m δ = zpciA − zpciB = γ da cui si ottiene: zpciA = 11,67 m Il manometro metallico M misura la pressione (costante) del vapore al di sopra del pelo libero dell’acqua. La pressione pM coincide con la pressione dell’acqua alla quota del pelo libero. Calcolando la quota del p.c.i. del volume d’acqua contenuto nel serbatoio A, si ha: pM γ
+ z1 = zpciA
da cui si ottiene: pM = γ (zpciA − z1 ) = 0,26 bar Il diagramma delle pressioni nel sistema è indicato nella figura a.3.7. z(m) (m) 11,67
M
p.c.i. A
9 6
p.c.i. B
γ Δ
γ γm
B
p.c.i. γm 0
0,26
A
p (bar)
figura a.3.7
5
Esempio 3.4 Il serbatoio prismatico indicato in figura a.3.8 contiene 50 m3 di acqua. Le pareti frontali del serbatoio hanno forma di triangolo isoscele, con base W = 3 m rivolta verso l’alto e altezza H = 5 m. Le pareti laterali hanno forma rettangolare, con base L = 8 m. Si determinino le spinte idrostatiche sulle pareti del serbatoio. W L
w H D D'
B B'
h
A
figura a.3.8
Soluzione Si indica con ABD la parete triangolare del serbatoio e con AB D la parte di tale superficie bagnata dall’acqua: AB D risulta essere un triangolo isoscele con altezza h pari alla quota del pelo libero rispetto al fondo del serbatoio e base w pari alla profondità della superficie libera del liquido. Il volume occupato dall’acqua risulta dato dal volume del prisma avente base AB D e altezza L: V=
whL = 50 m3 2
Inoltre, per la similitudine tra ABD e AB D : w=
Wh H
Risolvendo il sistema delle 2 equazioni si ricavano le 2 incognite w e h e si trova: w = 2,739 m; h = 4,564 m. La spinta su ogni parete piana del serbatoio risulta avere modulo pari al prodotto tra la pressione nel baricentro della parte bagnata della parete e la superficie bagnata della parete stessa, ed è diretta secondo la normale uscente dalla superficie e applicata nel centro di spinta.
6
Si pone il riferimento delle quote (z = 0) coincidente con il fondo del serbatoio. Il piano dei carichi idrostatici si trova alla quota h ed è coincidente con la superficie libera a contatto con l’atmosfera. z (m) p.c.i. R G
d
C
4,56 S
G C n 73◦
2,28 p (Pa) 0
x
22364
y
figura a.3.9
Il baricentro G della parte bagnata della parete rettangolare si trova al centro del rettangolo, alla quota: zG =
h = 2,282 m 2
la pressione nel baricentro risulta quindi (γ = 9800 N/m3 ): pG = γ zG = 22364 Pa La superficie bagnata della parete rettangolare risulta: A = Ld = 38,12 m2 w2 = 4,765 m è il lato della superficie bagnata della parete rettangolare, dove d = h2 + 4 2H inclinata di un angolo α = arctan = 73,3◦ sull’orizzontale. W La distanza del baricentro dalla retta di sponda risulta: xG =
d = 2,383 m 2
La spinta sulla superficie rettangolare risulta quindi S = pG A n con modulo: S = 852,5 kN da cui si ottengono le componenti orizzontale e verticale: So = S sinα = 816,6 kN Sv = S cosα = 245 kN La distanza del centro di spinta dalla retta di sponda lungo l’asse x risulta: xC = xG +
IG xG A
7
dove il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico parallelo all’asse y vale: L d3 = 72,13 m4 IG = 12 Si ottiene pertanto: xC = 3,177 m da cui: zC = h − xC sinα = 1,52 m
z (m) p.c.i. R G'
y
C'
4,56 G' S’
n’ C'
3,04
x
14906
p (Pa) 0
figura a.3.10
Si procede analogamente per la parete triangolare. Il baricentro G della parte bagnata di tale parete si trova a una quota di h/3 al di sotto della superficie libera (coincidente con il piano dei carichi idrostatici): 2 zG = h = 3,043 m 3 Essendo le pareti laterali verticali, la distanza del baricentro dalla retta di sponda risulta: xG = h − zG = 1,521 m La pressione nel baricentro risulta: pG = γ
h = 14 906 Pa 3
La superficie bagnata della parete rettangolare risulta: A =
wh = 6,25 m2 2
La spinta S sulla superficie triangolare risulta quindi diretta orizzontalmente, con modulo: S = pG A = 93,2 kN
8
La distanza del centro di spinta dalla retta di sponda risulta infine: xC = xG +
IG
xG A
dove il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico parallelo all’asse y vale: IG =
w h3 = 7,233 m4 36
Si ottiene pertanto: xC = 2,282 m da cui: zC = h − xC sinα = 2,282 m
Esempio 3.5 Il serbatoio rappresentato in figura a.3.11 contiene, stratificati, acqua (γa = 9800 N/m3 ) fino alla quota zB = 2 m rispetto al fondo del serbatoio, kerosene (γk = 8040 N/m3 ) fino alla quota zD = 3,5 m e vapore di kerosene. Un manometro semplice contenente mercurio (γm = 133 300 N/m3 ) è collegato al serbatoio in corrispondenza al volume occupato dall’acqua; i due menischi del mercurio si trovano rispettivamente alle quote zP = 0,8 m e zQ = 1 m. Si determini la spinta agente sulla parete piana AE di profondità L = 4 m.
E vapore
4,5
D
B
γk Q
A
γa
P γ m
figura a.3.11
Soluzione Si devono determinare innanzitutto le quote dei piani dei carichi idrostatici dei volumi di acqua e kerosene. Date le piccole differenze di quota, la pressione nel vapore di kerosene può essere considerata costante.
9
La quota del p.c.i. dell’acqua può essere determinata a partire dalla lettura delle quote dei menischi del mercurio nel manometro semplice. La pressione al menisco P risulta infatti: pP = γm zQ − zP = 26 660 Pa da cui, calcolando la quota del p.c.i. dell’acqua, si ottiene: zpci = zP + a
pP γa
= 3,52 m
Da qui si può ottenere la pressione all’interfaccia acqua-kerosene: pB = γa zpci − zB = 14 900 Pa a
e quindi, applicando la legge di Stevin, la quota del p.c.i. del kerosene risulta: zpci = zB + k
pB γk
= 3,853 m
La pressione nel vapore risulta pari alla pressione alla superficie libera del kerosene: pv = γk zpci − zD = 2838 Pa k
z (m) E vapore D
B
p.c.i. kerosene p.c.i. acqua
3,85 3,52
γk Q p (Pa) 0
14900
P γm
2838
A
γa
figura a.3.12
La spinta sulla parete AE dovrà essere calcolata componendo le spinte parziali esercitate rispettivamente dall’acqua sulla superficie AB, dal kerosene sulla superficie BD e dal vapore sulla superficie DE. Il baricentro della superficie AB si trova alla quota zGAB = 1 m. La spinta sulla superficie AB risulta quindi pari in modulo a: SAB = pGAB AAB = γa zpci − zGAB L zB = 197,6 kN a
10
diretta orizzontalmente verso l’esterno e applicata nel centro di spinta CAB , che si trova a una distanza: xCAB = xGAB +
IGAB xGAB AAB
= 2,65 m
essendo xGAB = zpci − zGAB = 2,52 m a
la distanza del baricentro GAB dalla retta di sponda RAB e 3
IGAB =
zB L
= 2,667m4
12
il momento d’inerzia della superficie AB rispetto all’asse baricentrico parallelo alla retta di sponda. La quota del centro di spinta risulta quindi: zCAB = zpci − xCAB = 0,87 m a
Lo stesso procedimento può essere ripetuto per il calcolo della spinta del kerosene sulla superficie BD. Si trova quindi: SBD = pGBD ABD = γk zpci − zGBD L zD − zB = 53,2 kN k
xCBD = xGBD +
IGBD xGBD ABD
= 1,273 m
zCBD = zpci − xCBD = 2,58 m k
essendo zGBD = 2,75 m, si ha: xGBD = zpci − zGBD = 1,103 m k
IGBD =
zD − zB 12
3
L
= 1,125 m4
La spinta del vapore sulla superficie DE è evidentemente: SDE = pv ADE = pv zE − zD L = 11,4 kN diretta orizzontalmente verso l’esterno del serbatoio e applicata nel baricentro della superficie alla quota zGDE = 4 m. La risultante delle spinte è diretta orizzontalmente verso l’esterno del serbatoio e ha modulo: S = SAB + SBD + SDE = 262,2 kN
11
Il suo punto di applicazione C può essere calcolato considerando che il momento di S rispetto a un polo qualsiasi deve essere uguale alla somma dei momenti delle tre spinte parziali rispetto allo stesso polo (figura a.3.13). Scegliendo come polo il punto A si ottiene: S zC = SAB zCAB + SBD zCBD + SDE zCDE da cui: zC =
SAB zCAB + SBD zCBD + SDE zCDE S
= 1,35 m
z (m) vapore
E
4,00 3,85 3,52
S DE
D
C GAB CAB
2,75 SBD S
1,00
SAB p (Pa)
A
0
24 696
GBD CBD B
p.c.i. kerosene p.c.i. acqua
2838 8868
GDE
figura a.3.13
Esempio 3.6
P
Il serbatoio rappresentato in figura a.3.14, sia in assonometria che in sezione, contiene acqua ed è messo in pressione mediante l’azione di una forza verticale di modulo F = 7,5 kN agente sul pistone P di diametro dp = 500 mm e peso trascurabile, posto alla quota zP = 2 m. Lungo la parete inclinata è presente un oblò circolare di diametro do = 1,4 m incernierato in A. Si determini la reazione vincolare R in B necessaria per mantenere chiuso l’oblò.
A
B
Soluzione F dp
do
A
60◦ B R
1.6
P
Si deve innanzitutto determinare la quota del p.c.i. dell’acqua contenuta nel serbatoio. Dato che il pistone P è in equilibrio, la spinta idrostatica esercitata dall’acqua sulla superficie inferiore del pistone è diretta verso l’alto ed è in modulo pari a F. Se ne ricava la pressione pP agente alla quota zP = 2 m: pP =
figura a.3.14
12
F 4F = = 38 197 Pa 2 AP π dp
avendo indicato con AP la superficie di base del pistone. La quota del p.c.i. dell’acqua risulta quindi: zpci = zP +
pP
= 5,898 m
γ
È quindi immediato ricavare la pressione nel centro dell’oblò circolare: pG = γ zpci − zG = 48 059 Pa essendo z G = zA −
do 2
sin60◦ = 0,994 m
la quota del centro dell’oblò. La spinta S esercitata dall’acqua sull’oblò risulta quindi avere modulo 2
S = pG
π do 4
= 74 kN
diretta normalmente alla superficie dell’oblò verso l’esterno del serbatoio e applicata nel punto C, a distanza 4
xC = xG +
π do
IG xG Ao
2
64
= xG +
2
xG
π do
= xG +
do
16 xG
= 5,685m
R
4
dalla retta di sponda R, essendo xG =
zpci − zG sin60◦
F
= 5,663 m
la distanza dalla stessa retta di sponda del baricentro G della superficie dell’oblò. La reazione vincolare R è quindi determinata dalla necessità di annullare il momento delle forze applicate all’oblò rispetto alla cerniera A figura a.3.15. Posto: xA =
zpci − zA sin60◦
xA S A C B
xC do
R
figura a.3.15
= 4,963 m
deve essere soddisfatta la relazione: R do = S xC − xA da cui: R =
S xC − xA do
A
= 38,2 kN
R C
Esempio 3.7 La paratoia circolare AB rappresentata in figura a.3.16 chiude lo scarico di superficie di un invaso. Essa ha raggio r = 4 m e larghezza L = 6 m. Si determini la spinta sulla paratoia quando il livello nell’invaso è h = 3,5 m sopra il fondo dello scarico.
13
B
figura a.3.16
Soluzione L’equilibrio del volume di liquido a sinistra della superficie curva avente per traccia l’arco BDR resterebbe immutato se si sostituisse alla parete curva la parete piana con traccia BR e il volume liquido tratteggiato in figura a.3.17. Per l’equilibrio del volume fittizio BDR di liquido si ha necessariamente: S + G + −Π 1 = 0 dove si è indicata con −Π 1 la spinta della parete piana fittizia BR sul liquido. Si ottiene quindi, per la spinta sulla parete curva BDR: S = Π1 − G dove Π 1 è quindi la spinta esercitata dal liquido sulla parete piana fittizia BR. RR α C
h
G
D
a b −Π1
45° β r
S δ B
figura a.3.17
L’angolo α può essere ricavato notando che: r sinα + r sin45◦ = h da cui: α = arcsin
h − r sin45◦ = 9,7◦ r
L’altezza a del triangolo CBR risulta quindi: a = r sin 45◦ + α = 3,265 m mentre la lunghezza b del segmento RB risulta: 2 = 3,675 m b = r sin2 45◦ + α + 1 − cos 45◦ + α L’area della parete piana fittizia RB risulta quindi ARB = b L = 22,05 m2
14
la spinta sulla parete piana risulta quindi avere modulo: h Π1 = γ ARB = 378,2 kN 2 ed è diretta normalmente alla parete RB, con un angolo di inclinazione: β = arcos
h = 17,8◦ b
L’area del segmento circolare RDB risulta data dalla differenza tra l’area del settore circolare CRDB: ACRDB = π r2
45◦ + α = 7,64 m2 360◦
e quella del triangolo CBR ACBR =
ar = 6, 53 m2 2
si ha, quindi: ARDB = ACRDB − ACBR = 1,11 m2 Il peso G del volume prismatico di liquido avente per base il segmento circolare RDB risulta quindi avere modulo: G = γ ARDB L = 65,3 kN diretto verticalmente verso il basso (e quindi nel verso negativo dell’asse z). Proiettando la relazione vettoriale ricavata per S lungo gli assi coordinati, si ottiene: Sx = Π1 = 1 cosβ = 360,1 kN x
Sz = Π1 − Gz = 1 sinβ + G = 180,9 kN z
La spinta sulla paratoia circolare ha quindi modulo:
S=
2
2
Sx + Sz = 403 kN
la sua retta di applicazione giace sul piano di simmetria verticale della paratoia, è perpendicolare all’asse C ed è inclinata rispetto all’orizzontale dell’angolo: δ = arctg
Sz Sx
= 26,7◦
Esempio 3.8 Il serbatoio in pressione indicato in figura a.3.18 contiene stratificati nafta (γn = 9220 N/m3 ) e kerosene (γk = 8040 N/m3 ). Al volume di kerosene è collegato il manometro metallico M, con cella di misura alla quota zM = 5 m rispetto al fondo del serbatoio; la pressione indicata dal manometro è pari a 0,1 bar.
15
M
A
A
γk
5
B C
2
B C
3 γn
figura a.3.18
Si calcoli la spinta idrostatica agente sul tratto di parete cilindrica ABC, avente generatrici orizzontali, diametro D = 2 m e profondità L = 3 m in direzione normale al disegno.
Soluzione Si devono innanzitutto determinare le quote dei p.c.i. del kerosene e della nafta contenuti nel serbatoio. Dato che sono noti quota e indicazione del manometro metallico collegato al kerosene, si ricava immediatamente: zpci = zM + k
pM γk
= 6,244 m
La pressione alla quota zB dell’interfaccia tra nafta e kerosene risulta quindi: pB = γk zpci − zB = 26 080 Pa k
nota la pressione pB si ottiene immediatamente la quota del p.c.i. della nafta: zpci = zB + n
pB γn
= 5,829 m
A questo punto è possibile calcolare separatamente le spinte sulle superfici con traccia AB e BC. Per quanto riguarda la spinta del kerosene sulla superficie AB, essa può essere scomposta nelle componenti orizzontale e verticale. La componente orizzontale è pari alla spinta agente sulla proiezione A B di AB su un piano verticale: D SAB = pGA B AA B = γk zpci − zGA B L = 66,2 kN x k 2
16
essendo zGA B = 3,5 m la quota del baricentro della proiezione verticale A B . La componente verticale è pari al peso del kerosene contenuto nel volume ABDE, compreso tra la superficie AB e il p.c.i. del kerosene: D π D2 SAB = −γk WABDE = −γk − L = −59,3 kN zpci − zB z k 2 16 dove il segno negativo indica che la componente è diretta verso il basso. Si procede analogamente per determinare le componenti della spinta sulla superficie BC. La componente orizzontale è pari alla spinta agente sulla proiezione B’C’ di BC su un piano verticale:
D SBC = pGB C AB C = γn zpci − zGB C L = 92,1 kN x 2 n essendo zGB C = 2,5 m la quota del baricentro della proiezione verticale B’C’. La componente verticale è pari al peso del kerosene contenuto nel volume BCFG, compreso tra la superficie BC e il p.c.i. della nafta: D π D2 SBC = γn WBCFG = γn + L = 100 kN zpci − zB n z 2 16 in questo caso la componente è diretta verso l’alto.
p.c.i.γk
D
E SABBz
SABXA'
γk
A
B'
B C
p.c.i.γn
F
G
A BCzz B SSBC
SBCX B'
C
C'
La spinta risultante sulla superficie ABC ha quindi componenti:
γn
SABC = SAB + SBC = 158,3 kN x
x
x
SABC = SAB + SBC = 40,7 kN z
z
z
figura a.3.19
La spinta totale ha quindi modulo:
2 2 S = SABC + SABC = 163,4 kN x
z
Dato che la spinta S è la risultante di un sistema di forze distribuite p dA n, tutte passanti per l’asse del cilindro ABC, anche la retta d’azione di S passa per l’asse della superficie cilindrica (figura a.3.20), con un angolo di inclinazione rispetto all’orizzontale. α = arctan
SABC
z
SABC
A
γk B γn
S 14,4 °
= 14,4◦
x
figura a.3.20
Esempio 3.9 La condotta rappresentata in figura a.3.21 è collegata a monte a un invaso contenente acqua e avente il pelo libero alla quota zL = 280 m; il moto nella condotta è regolato dalla valvola a saracinesca V posta a valle alla quota zV = 20 m. Si determini la spinta sull’otturatore della valvola in condizioni di chiusura, dimensionando opportunamente la condotta d’acciaio (di diametro d = 600 mm) in corrispondenza della valvola. Si consideri uno sforzo di snervamento per l’acciaio impiegato pari a σs = 210 MPa e uno sforzo ammissibile non superiore al 50% di σs .
17
O C
d zL
V zV z =0
figura a.3.21
Soluzione L’otturatore della valvola a saracinesca chiude l’intera sezione della condotta. La sua sezione bagnata coincide quindi con la sezione della condotta: A=
π d2 = 0,283m2 4
Il p.c.i. dell’acqua contenuta nel serbatoio e nella condotta coincide con la superficie libera nel serbatoio. La pressione nel baricentro dell’otturatore risulta quindi: pV = γ zL − zV = 2,548 MPa Dato che d << (zL − zV ), pV può essere considerata uniforme sulla sezione e il centro di spinta può essere considerato coincidente con il baricentro. La spinta esercitata sull’otturatore della valvola risulta quindi: S = pV A = 721,1 kN Applicando infine la formula di Mariotte, lo spessore minimo per la condotta sottoposta alla pressione calcolata nella sezione della valvola V risulta: emin =
pV d 2 σmax
= 7,28 mm
con σmax = 0,5 σs = 105 MPa.
Approfondimento 3.2
La distribuzione di pressione nell’atmosfera
La legge di Stevin, dedotta semplicemente in questo capito- equilibrio statico di fluidi comprimibili sottoposti a forze di lo, può essere generalizzata per rappresentare situazioni di massa.
18
Senza procedere a una deduzione rigorosa, si trasformano le espressioni ottenute in termini differenziali, scrivendo l’espressione della variazione di pressione per un generico spostamento nello spazio dr = (dx, dy, dz), a cui corrisponde una variazione di pressione dp. La legge di Stevin [A.2]: z+
p = costante ρg
dove R è la costante dei gas e θ la temperatura assoluta. Per integrare la [A.4] è necessario quindi ipotizzare una distribuzione di temperatura in funzione della quota. Tale distribuzione è approssimativamente lineare con la quota, almeno fino alla quota di 11000 m (troposfera). Si ha quindi: [A.5]
θ (z) = θ0 − a z
risulta applicabile in quanto la densità può essere conside- dove θ0 è la temperatura al livello del mare, assunta pari rata costante nello spostamento infinitesimo dr e può essere a 15 ◦ C (288,15 ◦ K) e a è il gradiente termico medio, pari a 6.5 ◦ K/km. Dalla [A.3] e dalla [A.4] di ottiene quindi: espressa in forma differenziale, diventando quindi: [A.1]
∂p =0 ∂x
∂p =0 ∂y
∂p = −ρ g ∂z
dp = −
p g dz Rθ
Introducendo di forza per unità di massa il vettore che, essendo dθ = −a dz, si può riscrivere anche: f = fx , fy , fz = 0, 0, −g , la [A.1] si scrive sinteticadp g dθ mente: = p aR θ [A.2] ρ f = grad p da cui, integrando tra il livello del mare e la quota generica: Si dimostra che l’espressione vettoriale [A.2], che assume il nome di equazione indefinita dell’equilibrio statico, ha va g p θ aR lidità generale e descrive situazioni di equilibrio molto geln = ln nerali quando si consideri f come risultante di tutte le forp0 θ0 ze di massa agenti sul continuo: l’equilibrio richiede infatti che si determini nel fluido comprimibile una distribuzione e, infine: di pressione capace di equilibrare f punto per punto. g θ aR p = Per esempio, l’equazione [A.2] permette di determinare la [A.6] p0 θ0 distribuzione di densità (pressione e temperatura) nel corpo di una stella per effetto della forza di attrazione delle masg se. La stessa equazione [A.2] permette anche di valutare la per l’aria, l’esponente a R è circa pari a 5,25, essendo distribuzione della pressione dell’aria nell’atmosfera. R = 286,7 J/kg K. Se si considera il problema indefinito sul piano orizzontale, la pressione varia solo con la quota e l’equazione [A.1] si Questa distribuzione di pressione, basata sul gradiente terriduce a: mico lineare [A.5], dà luogo alla distribuzione di pressione caratteristica della cosiddetta atmosfera standard. I valori di dp [A.3] = −ρ g pressione nell’atmosfera reale sono naturalmente modificati dz dalle condizioni meteorologiche e dalla conformazione del La densità è però variabile con la pressione e la temperatura: terreno. se ammettiamo che l’aria si comporti come un gas perfetto, questo legame è definito dalla equazione di stato: Per fare un esempio, nell’atmosfera standard alla quota di [A.4]
p (z) = R θ(z) ρ (z)
4000 m sul livello del mare si ha, in base alla [A.6], la temperatura di −11 ◦ C (ovvero di 277,15 ◦ K).
19
Dato che la pressione atmosferica standard a livello del ma- da cui, integrando tra zst e la quota generica: re è pari a 101325 Pa, si ricava, alla quota di 4000 m, la p g pressione: ln = (z − z) pst Rθst st 5,25
277,15 p = 101 325 = 82 600 Pa 288,15 e, infine: Al limite della stratosfera (zst = 11 000 m), la temperatura risulta θst = −56,5 ◦ C e la pressione pst = 22 505 Pa. [A.7]
p = pst e
g (z −z) Rθst st
A quote superiori, nella stratosfera, la temperatura è Così, per esempio, alla quota di 16000 m sul livello del mare costante e pari a θst . Dalla [A.3] risulta ora: si ha, in base alla [A.7], la pressione: dp g =− dz p Rθst
−
p = 22 505 e
20
g 216,35 R
4000
= 12 040 Pa
Esempio 6.1 Nella parete tra i due serbatoi rappresentati in figura a.6.1 è praticata un’apertura circolare a bordo sottile di diametro DA = 400 mm. Sapendo che il livello z1 nel primo serbatoio è pari a 8,5 m, che quello z2 nel secondo è pari a 7 m, e che nel fondo del primo serbatoio è praticata un’apertura circolare di diametro DB = 200 mm, si determini la portata Q che è necessario fornire al primo serbatoio per mantenerne il livello a quota costante. Si determini inoltre il diametro DC dell’apertura circolare da praticare nella parete del secondo serbatoio alla quota zC = 3 m che permette di mantenere costante anche il livello nel secondo serbatoio.
z1 A
z2
Q
zC
C
B
figura a.6.1
Soluzione La portata da fornire al primo serbatoio per mantenerne costante il livello è, per continuità, pari alla somma delle portate effluenti dalle luci A e B. La portata effluente dal primo serbatoio attraverso la luce a battente A risulta: QA = μE
2 πDA
4
2g z1 − z2 = 0,409 m3 /s
mentre la portata effluente dal fondo del primo serbatoio risulta: 2 πDB 2gz1 = 0,243 m3 /s Q B = μE 4
avendo assunto in entrambi i casi un coefficiente di efflusso μE = 0,6. Se ne ricava che, per mantenere costante il livello nel primo serbatoio, si deve immettere la portata: Q = QA + QB = 0,652 m3 /s
21
Dato che la portata QA si immette nel secondo serbatoio, per mantenerne costante il livello la portata effluente dalla luce C deve essere: QC = QA La velocità al centro della vena contratta effluente dalla luce C risulta, indipendentemente dal diametro della luce stessa: Vc = cv 2g z2 − zC = 8,68 m/s avendo assunto un coefficiente di velocità cv = 0,98; la sezione contratta a valle della luce della luce C risulta quindi avere area: Ac =
QC Vc
=
QA Vc
= 0,0751 m2
da cui il diametro della luce risulta: Ac DC = 2 = 396 mm cc π avendo assunto un coefficiente di contrazione cc = 0,61.
22
Esempio 7.1 La condotta rappresentata in figura a.7.1, alimentata con acqua da un serbatoio posto a monte la cui superficie libera si trova alla quota HA = 500 m s.l.m., ha lunghezza L = 1000 m, diametro interno D = 100 mm ed è realizzata in ghisa con rivestimento cementizio centrifugato (ε = 0,1 mm). La portata transitante in condotta è regolata mediante la saracinesca S posta nella sua estremità di valle, alla quota zS = 410 m s.l.m. Si vuole calcolare la pressione che si ha a monte della saracinesca, sia in condizioni statiche sia quando nella condotta transita la portata Q che determina, in un trasduttore di pressione differenziale collegato al serbatoio e alla sezione di imbocco della condotta, una misura p = 520 Pa.
arctg J
HA
B
A
JL V 2/2g p /γ S
D
S
HS
L Δp
zS
z= 0
figura a.7.1
Soluzione In condizioni statiche, con saracinesca completamente chiusa (Q = 0), la linea piezometrica, coincidente con la linea dei carichi totali, è data dalla retta orizzontale avente quota 500 m s.l.m. L’altezza piezometrica pS /γ nella sezione immediatamente a monte della saracinesca risulta pertanto pari a 90 m, a cui corrisponde una pressione pS pari a 8,82 bar. In condizioni dinamiche, è necessario calcolare la portata Q che transita nella condotta. Applicando il teorema di Bernoulli a un filetto fluido che attraversa la sezione di imbocco (considerando il tratto di filetto compreso tra un punto nel serbatoio ove la velocità può essere ritenuta nulla e la sezione di imbocco), si può scrivere:
HA =
p z+ γ
V2 + 2g B
Dato che:
• HA =
z+
p
γ
= 500 m è, per la legge di Stevin, la quota piezometrica in un A
lato della cella di misura del trasduttore;
23
p • essendo i filetti nella sezione B rettilinei e paralleli, la quota piezometrica z + γ
B
è costante sulla sezione e nell’altro lato della cella di misura del trasduttore; • le quote dei due lati della cella di misura ovviamente coincidono; si ottiene: V=
2 p = 1,02 m/s ρ
a cui corrisponde una portata pari a: πD2 V = 8 l/s Q= 4 La linea dei carichi totali, per via delle perdite di carico, è caratterizzata da una cadente J per cui il carico totale HS immediatamente a monte della saracinesca assume il valore: HS = HA − J L L’altezza piezometrica pS /γ nella sezione immediatamente a monte della saracinesca risulta pertanto pari a: pS γ
= HS −
V2 V2 − zS = HA − J L − − zS 2g 2g
Ciò consente di calcolare la pressione pS e quindi di risolvere il problema assegnato, purché sia noto il valore della cadente J corrispondente alla portata Q. A questo scopo, si calcolano il numero di Reynolds: Re =
ρ VD = 102 000 μ
e la scabrezza relativa: ε = 0,001 D Entrando nell’abaco di Moody con i valori di Re e ε/D sopra calcolati, si ottiene un valore di λ pari a 0,022. Con la formula di Darcy-Weisbach è immediato il calcolo della cadente: J=λ
V2 = 0,012 2g D
e, quindi, della pressione pS = γ
V2 HA − J L − − zS 2g
= 7,64 bar
agente sulla saracinesca. Vale la pena di osservare che, in questo caso, l’altezza cinetica assume un valore talmente piccolo rispetto alle altre altezze in gioco (V 2 /2g ≈ 0,05 m)
24
che può essere trascurata senza commettere sensibili errori; il fatto di trascurare l’altezza cinetica equivale a trascurare la differenza tra la linea piezometrica e quella dei carichi totali. Questa semplificazione è lecita in numerose applicazioni pratiche.
Esempio 7.2 La condotta rappresentata in figura a.7.2 collega due serbatoi, i cui peli liberi sono situati alle quote z1 = 500 m s.l.m. e z2 = 494 m s.l.m., ha lunghezza L = 150 m, diametro interno D = 200 mm ed è realizzata in acciaio in servizio corrente con leggera ruggine (ε = 0,3 mm). Si determini la portata transitante nella condotta.
JL
Y
V 2/2g z1
D 1
L z2
z= 0
figura a.7.2
Soluzione Come illustrato in figura 7.2, l’energia potenziale Y = z1 −z2 = 10 m fra i peli liberi dei due serbatoi si trasforma in parte in energia cinetica e in parte è dissipata lungo la condotta, cioè: Y=
V2 V2 V2 + JL = +λ L 2g 2g 2gD
Ammettendo in prima approssimazione che l’altezza cinetica sia trascurabile rispetto al dislivello Y, la cadente J è immediatamente calcolabile: J≈
Y = 0,04 L
l’indice di resistenza può essere ottenuto direttamente dalla formula di Colebrook-White tenendo conto della [7.43]:
2,51μ ε 2,51 ε 1 √ = −2 log √ + = −2 log + λ Re λ 3,71 D ρ D 2gD J 3,71 D −2 1 2,51μ ε = 0,0228 λ= log + 4 ρ D 2gD J 3, 71 D
25
la velocità nella condotta risulta data dalla formula di Darcy-Weisbach: 2gD J = 2,622 m/s V= λ e la portata risulta infine Q = VA = 82,4 l/s. In seconda approssimazione, se si tiene conto anche del contributo dell’altezza cinetica, si osserva che dei 3 numeri indice che caratterizzano l’abaco di Moody, può essere calcolata solo la scabrezza relativa: ε = 0,0015 D mentre Re e λ, dipendendo da V e quindi da Q, non sono calcolabili. Il calcolo procede quindi secondo la procedura iterativa descritta nel seguito: •
•
•
•
si ipotizza, in prima approssimazione, che nella condotta si stabiliscano condizioni di moto assolutamente turbolento: ciò equivale a ipotizzare, per la scabrezza relativa della condotta considerata, un valore di Re > 2,2 106 ; si entra nell’abaco di Moody sulla curva connessa alla scabrezza ε/D = 0,0015, leggendo il valore di λ corrispondente al moto assolutamente turbolento (valore costante per Re > 2,2 106 ) pari a circa 0,0217; sulla base del valore di λ sopra calcolato si ricava il valore di velocità media dalla relazione che fornisce Y in funzione di V: 2gY V= = 3,15 m/s λL 1+ D sulla base del valore di V sopra calcolato, si ricava il valore del numero di Reynolds: Re =
ρ VD = 945 000 μ
Poiché il valore di Re trovato non soddisfa l’ipotesi di moto assolutamente turbolento, il calcolo riprende dal secondo punto della precedente procedura assumendo per il numero di Reynolds l’ultimo valore trovato (Re = 945 000). La seconda iterazione fornisce i seguenti risultati: λ = 0,022 V = 3,131 m/s Re = 939 000 Poiché il nuovo valore di Re trovato non è apprezzabilmente diverso dal precedente, tenendo soprattutto conto della precisione di lettura consentita dalle scale del grafico, il risultato della seconda iterazione può essere ritenuto soddisfacente.
26
La velocità media in condotta risulta quindi pari a 3,131 m/s, a cui corrisponde una portata Q = 98,3 l/s. È il caso di osservare che, in questo caso, il valore di velocità trovato è circa del 20% superiore a quello ottenuto con il calcolo di prima approssimazione: infatti, alla velocità di 3,131 m/s corrisponde un’altezza cinetica pari a 0,5 m, che non può essere trascurata se confrontata con il dislivello Y = 6 m.
Esempio 7.3 Si dimensioni una condotta idrica di lunghezza L = 5000 m, collegante due serbatoi i cui peli liberi si trovano, rispettivamente, alle quote z1 = 1000 m s.l.m. e z2 = 950 m s.l.m. La condotta deve essere realizzata in ghisa con un rivestimento cementizio centrifugato (ε = 0,1 mm) e deve convogliare una portata Q = 100 l/s.
Soluzione Come già discusso nell’esempio 7.2, l’energia potenziale Y = z1 − z2 si trasforma in parte in energia cinetica e in parte è dissipata lungo la condotta. Se si ammette in prima approssimazione che l’altezza cinetica sia trascurabile rispetto al dislivello Y, la cadente J risulta: J≈
Y = 0,01 L
Il dimensionamento della condotta consiste nel calcolo del diametro D che permette alla cadente disponibile J sopra calcolata di far defluire la prefissata portata Q. A questo scopo, si osserva che nessuno dei 3 numeri indice che caratterizzano l’abaco di Moody può essere calcolato, in quanto tutti risultano dipendenti dal diametro D. Il calcolo di dimensionamento viene quindi effettuato secondo la procedura iterativa descritta nel seguito: • •
•
si ipotizza un valore di V di prima approssimazione: si assume, per esempio, V = 1 m/s; sulla base del valore di V ipotizzato e della portata Q prefissata, si calcola il valore del diametro che risulta pari a 4Q D= = 357 mm πV sulla base del valore di D sopra calcolato, si calcolano la scabrezza relativa, che risulta: ε = 0,00028 D e il numero di Reynolds, che risulta: Re =
ρ VD = 357 000 μ
27
•
•
si entra nell’Abaco di Moody sulla curva caratterizzata dalla scabrezza relativa ε/D = 0,00028 (dato che la curva non è rappresentata, si interpola tra le curve più vicine, caratterizzate da ε/D = 0,0002 e ε/D = 0,0004): in corrispondenza a Re = 357 000 si ottiene λ = 0,017; sulla base del valore di λ calcolato, dalla legge di Darcy-Weisbach si ricava un nuovo valore di velocità media: 2gD J V= = 2,02 m/s λ
Poiché il valore di V trovato non corrisponde a quello ipotizzato inizialmente, il procedimento viene ripetuto fino a quando la soluzione converge (ovvero fino a quando i valori trovati in due iterazioni successive sono circa uguali o differiscono di una quantità piccola prefissata). La seconda iterazione fornisce i seguenti risultati: D = 251 mm ε/D = 0,0004 Re = 507 000 λ = 0,018 V = 1,65 m/s La terza iterazione fornisce i seguenti risultati: D = 278mm ε/D = 0,00036 Re = 458 700 λ = 0,018 V = 1,65m/s Poiché il nuovo valore di V è uguale al precedente, il risultato della terza iterazione è quello definitivo e il diametro della condotta è assunto pari a un valore teorico di 278 mm. Poiché questo valore non corrisponde a un valore disponibile in commercio, andrà adottato il diametro della serie commerciale immediatamente superiore (D = 300 mm). Questo diametro, essendo maggiore rispetto a quello strettamente necessario, consente, a parità di cadente J, il flusso di una portata superiore a quella richiesta. Il valore della portata effettivamente trasportata può essere calcolato con il procedimento di verifica adottato per la soluzione dell’esempio 7.2. La limitazione della portata al valore strettamente richiesto può essere eventualmente ottenuta strozzando opportunamente una saracinesca installata sulla tubazione. È il caso di osservare che al valore di velocità trovato (1,65 m/s) corrisponde un’altezza cinetica pari a circa 14 cm, del tutto trascurabile se confrontata con il dislivello di 50 m tra i peli liberi dei due serbatoi; l’assunzione che sta alla base del calcolo descritto (V 2 /2g ≈ 0) è quindi perfettamente lecita per il dimensionamento della condotta.
28
Esempio 7.4 La condotta rappresentata in figura a.7.3 collega due serbatoi il cui livello è, rispettivamente, HA = 25 m a monte e HB = 8 m a valle. La condotta è costituita da due tratti a scabrezza equivalente ε = 0,2 mm, rispettivamente di diametro D1 = 400 mm e D2 = 800 mm. Lungo il primo tratto di condotta è posta una saracinesca S per la regolazione della portata.
,4 R0
20 45˚
A
S
45˚ z= 0
,4
8
R0
150
D 0,8
25
D 0,4
Si determinino la portata massima defluente nella condotta e il rapporto di strozzamento della saracinesca S che determina una riduzione della portata al 25% del valore massimo.
25 40
B
80
figura a.7.3
Soluzione La portata massima defluente nella condotta si ottiene quando la saracinesca S è aperta completamente. In questo caso, l’energia potenziale disponibile: Y = HA − HB = 17 m si trasforma in piccola parte in energia cinetica allo sbocco e, in gran parte, viene dissipata lungo i due tratti di condotta: • •
di lunghezza L1 = 235 m e area A1 = 0,126 m2 ; di lunghezza L2 = 80 m e area A2 = 0,503 m2 ;
e nelle singolarità presenti, ovvero: • • •
l’imbocco con tubo rientrante nel serbatoio; le due curve con raggio R = 0,4 m e angolo di deviazione θ = 45◦ ; il brusco allargamento tra il primo e il secondo tratto.
Utilizzando la legge di Darcy-Weisbach [7.6] e le relazioni introdotte nel paragrafo 7.10, il bilancio energetico risulta: 2
Y=
V2
2g
2
+ λ1
V1
2g D1
2
L1 + λ2
V2
2g D2
2
L2 + 1,16
V1
2g
2
+ 2K
V1
2g
+
(V1 − V2 ) 2 2g
dove si è introdotto il coefficiente di perdita di carico nelle curve: ⎡ ⎤
7 D1 2 ⎥ θ ⎢ K = ◦ ⎣0,13 + 1,85 ⎦ = 0,147 90 2R
29
La relazione di bilancio energetico può essere riscritta esplicitando la portata: 2g Y Q= 2 λ1 L1 λ2 L2 1 1,16 + 0,294 1 1 + + + + − 2 2 2 2 A1 A2 A2 D1 A1 D2 A2 A1 in cui, oltre alla portata, sono incogniti i valori degli indici di resistenza λ1 e λ2 . Si procede quindi iterativamente, ipotizzando inizialmente condizioni di moto assolutamente turbolento nei due tratti di condotta. Date le scabrezze relative dei due tratti: ε = 0,0005 D1
ε = 0,00025 D2
sull’abaco di Moody possono essere letti i valori di λ corrispondenti alle condizioni ipotizzate, ovvero: λ1 = 0,0165 per Re1 > 7 106 λ2 = 0,0145 per Re2 > 1,5 107 che permettono di calcolare, in prima approssimazione, una portata Q = 0,668 m3 /s. Da tale valore si possono ottenere le velocità nei due tratti di condotta: V1 =
Q = 5,3 m/s A1
V2 =
Q = 1,32 m/s A2
e, da queste, i numeri di Reynolds: Re1 =
V1 D1 ν
= 2,1 106
Re2 =
V2 D2 ν
= 1,06 106
La corrente nei due tratti di condotta si trova in regime di moto turbolento di transizione e, quindi, non soddisfa l’ipotesi di moto assolutamente turbolento. Si utilizzano i valori di Re sopra calcolati per ripetere iterativamente il procedimento sopra esposto. Nella seconda iterazione si ottiene: λ1 = 0,017
λ2 = 0,0153
Q = 0,659 m3 /s V1 = 5,23 m/s
V2 = 1,31 m/s
Re1 = 2,09 106
Re2 = 1,05 106
Dato che i numeri di Reynolds calcolati sono praticamente uguali a quelli stimati nella prima iterazione, il calcolo si ritiene a convergenza: la portata massima defluente in condotta è pari a 0,659 m3 /s.
30
Le diverse perdite di carico risultano della seguente entità: 2
•
perdite di imbocco
•
perdite continue nel tratto
•
perdite in ciascuna curva
•
perdite di Borda
•
perdite continue nel tratto
V1 = 1,62 m; 2g 2 V 1 J1 L1 = λ1 1 L1 = 13,94 m; 2g D1 2 V K 1 = 0,21 m; 2g (V1 −V2 ) 2 = 0,78 m; 2g 2 V 2 J2 L2 = λ2 2 L2 = 0,13 m. 2g D2 1,16
Il diagramma della linea dei carichi totali e della linea piezometrica risultante è riportato in figura a.7.4.
A S B z=0
figura a.7.4
La riduzione della portata al 25% del valore massimo precedentemente calcolato, ovvero a Qr = 0,165 m3 /s, viene ottenuta strozzando la saracinesca S. Le velocità medie nei due tratti di condotta e, di conseguenza, i numeri di Reynolds risultano anch’essi ridotti al 25% del valore precedentemente calcolato. Per: Re1 = 5,2 105
Re2 = 2,6 105
si ottiene, dalla lettura dell’abaco di Moody: λ1 = 0,0176
λ2 = 0,017
Definendo come HS la perdita di carico introdotta attraverso la regolazione della saracinesca, si ottiene la nuova relazione di bilancio energetico, che risulta: ⎡ 2 ⎤ 2 Qr λ λ L L ⎣ 1 + 1 1 + 2 2 + 1,16 + 0,294 + 1 − 1 ⎦ + HS Y= 2 2 2 2g A2 A1 A2 DA DA A 2
1 1
2 2
1
da cui si ricava HS = 15,9 m: in questo caso, quasi tutta l’energia disponibile viene dissipata in corrispondenza della saracinesca.
31
Invertendo la relazione [7.65] si ricava il valore del rapporto di strozzamento:
m= cc
Qr = 0,113 Qr + A1 2g HS
avendo assunto cc = 0,61.
Esempio 7.5 L’impianto di sollevamento rappresentato in figura a.7.5 trasporta acqua dal serbatoio 1, il cui livello è posto alla quota z1 = 5 m, al serbatoio 2, il cui livello è posto alla quota z2 = 16 m. La condotta è costituita da due tratti, rispettivamente a diametro D1 = 300 mm e D2 = 150 mm, aventi scabrezza equivalente 1,5 mm. Si determinino la prevalenza necessaria per garantire nella condotta una portata pari a 120 l/s e la potenza assorbita dalla pompa, ipotizzando per quest’ultima un rendimento η = 0,72.
,18
D0
12
16
D0 ,3
15 5
35
P z =0
figura a.7.5
Soluzione L’impianto deve fornire una prevalenza H tale da uguagliare la somma del dislivello geometrico Y = z2 − z1 = 11 m dell’altezza cinetica della corrente allo sbocco, di tutte le perdite di carico distribuite lungo i due tratti di condotta: • •
di lunghezza L1 = 50 m e area A1 = 0,0707 m2 ; di lunghezza L2 = 12 m e area A2 = 0,0254 m2 ;
e di quelle concentrate nelle singolarità presenti, ovvero: • •
32
l’imbocco con tubo rientrante nel serbatoio; il brusco restringimento tra il primo e il secondo tratto.
Utilizzando la legge di Darcy-Weisbach [7.6] e le relazioni introdotte nel paragrafo 7.10, la prevalenza necessaria risulta quindi: 2
H = Y +
V2
2g
2
+ λ1
V1
2g D1
2
L1 + λ2
2
V2
2g D2
L2 + 1,16
V1
2g
+
2 2 V2 1 −1 cc 2g
dove si è valutato il coefficiente di contrazione nel restringimento con la [7.62]: cc = 0,63 + 0,37
A2
3 = 0,647
A1
Dalla portata richiesta si ottengono le velocità medie nei due tratti di condotta: V1 =
Q = 1,7 m/s A1
V2 =
Q = 6,79 m/s A2
e, da queste, i numeri di Reynolds: Re1 =
V1 D1 ν
= 5,1 105
Re2 =
V2 D2 ν
= 1,02 106
Essendo le scabrezze relative dei due tratti: ε = 0,005 D1
ε = 0,01 D2
sull’abaco di Moody possono essere letti i valori di λ corrispondenti alle condizioni di funzionamento richieste: λ1 = 0,0305
λ2 = 0,0379
La prevalenza necessaria al trasporto della portata richiesta risulta: H = 22,11 m La potenza assorbita dalla pompa risulta infine: WP =
γ Q H = 36,1 kW ηP
Il diagramma della linea dei carichi totali e della linea piezometrica risultante è riportato in figura a.7.6.
33
22,11 11
P z =0
figura a.7.6
34
Esempio 8.1 Si verifichi se la portata Q = 5 m3 /s defluisce in un canale rettangolare in calcestruzzo nuovo, caratterizzato da una larghezza B = 3 m, da un’altezza delle sponde H = 1,6 m e da una pendenza del fondo i = 0,1%, mantenendo un franco di sicurezza di almeno 0,5 m.
Soluzione Si adotta per il calcestruzzo il coefficiente di Strickler K = 70 m1/3 /s. Si costruisce la scala delle portate suddividendo il massimo tirante idrico possibile nel canale, pari all’altezza delle sponde, in intervalli di 0,01 m. Per ogni altezza h0 si calcolano le quantità geometriche A, C e R secondo le [8.4] e la portata di moto uniforme secondo la: 2 Q = K i A R3
Si ottiene la tabella a.8.1 (per brevità, si riporta il dettaglio ogni 0,01 m solo nell’intervallo 1-1,1 m). h0 (m) 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,1 1,2 tabella a.8.1
A (m2 ) 0,00 0,30 0,60 0,90 1,20 1,50 1,80 2,10 2,40 2,70 3,00 3,03 3,06 3,09 3,12 3,15 3,18 3,21 3,24 3,27 3,30 3,60
C (m) 3,00 3,20 3,40 3,60 3,80 4,00 4,20 4,40 4,60 4,80 5,00 5,02 5,04 5,06 5,08 5,10 5,12 5,14 5,16 5,18 5,20 5,40
R (m) 0,00 0,09 0,18 0,25 0,32 0,38 0,43 0,48 0,52 0,56 0,60 0,60 0,61 0,61 0,61 0,62 0,62 0,62 0,63 0,63 0,63 0,67
Q (m3 /s) 0,00 0,14 0,42 0,79 1,23 1,73 2,26 2,84 3,44 4,07 4,72 4,79 4,86 4,92 4,99 5,06 5,12 5,19 5,26 5,33 5,39 6,08
35
h0 (m) A (m2 ) 1,3 3,90 1,4 4,20 1,5 4,50 1,6 4,80 tabella a.8.1 Segue
C (m) 5,60 5,80 6,00 6,20
Q (m3 /s) 6,78 7,50 8,22 8,96
R (m) 0,70 0,72 0,75 0,77
Dalla tabella si ricava che alla portata Q corrisponde in moto uniforme un tirante idrico h0 = 1,04 m. Il franco di sicurezza, calcolato come differenza tra l’altezza delle sponde e h0 , risulta pari a 0,54 m, superiore al valore minimo richiesto. 1,6 1,4 1,2 h0 (m)
1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0
1
2
3
4 5 Q (m3/s)
6
7
8
9
figura a.8.1
Esempio 8.2 Si calcoli l’altezza di moto uniforme in un condotto fognario circolare in calcestruzzo, avente diametro d = 800 mm e pendenza del fondo i = 0,4%, nel quale scorre una portata Q = 600 l/s.
Soluzione Si adotta per il calcestruzzo il coefficiente di Manning n = 0,014 m−1/3 s. Si costruisce la scala delle portate suddividendo l’angolo al centro della sezione circolare (pari a 360◦ ) in intervalli di 1◦ . Per ogni angolo θ che sottende la corda di larghezza superficiale B della sezione bagnata, si calcolano le quantità h0 , B, A, C e R con le formule introdotte al paragrafo 8.2.3 e la portata di moto uniforme Q con la [8.13]. Si ottiene la tabella a.8.2 (per brevità, si riporta il dettaglio ogni grado solo nell’intervallo 210◦ -220◦ ).
36
θ (◦ )
h0 (m)
A (m2 )
C (m)
R (m)
Q (m3 /s)
0
0,00
0,00
0,00
0,00
0,000
20
0,01
0,00
0,14
0,00
0,000
40
0,02
0,00
0,28
0,02
0,001
60
0,05
0,01
0,42
0,03
0,007
80
0,09
0,03
0,56
0,06
0,023
100
0,14
0,06
0,70
0,09
0,054
120
0,20
0,10
0,84
0,12
0,106
140
0,26
0,14
0,98
0,15
0,182
160
0,33
0,20
1,12
0,18
0,278
180
0,40
0,25
1,26
0,20
0,388
200
0,47
0,31
1,40
0,22
0,504
210
0,50
0,33
1,47
0,23
0,561
211
0,51
0,34
1,47
0,23
0,566
212
0,51
0,34
1,48
0,23
0,572
213
0,51
0,34
1,49
0,23
0,577
214
0,52
0,34
1,49
0,23
0,582
215
0,52
0,35
1,50
0,23
0,588
216
0,52
0,35
1,51
0,23
0,593
216
0,52
0,35
1,51
0,23
0,593
217
0,53
0,35
1,51
0,23
0,599
218
0,53
0,35
1,52
0,23
0,604
219
0,53
0,36
1,53
0,23
0,609
220
0,54
0,36
1,54
0,23
0,614
240
0,60
0,40
1,68
0,24
0,708
260
0,66
0,44
1,82
0,24
0,778
280
0,71
0,47
1,95
0,24
0,820
300
0,75
0,49
2,09
0,23
0,835
320
0,78
0,50
2,23
0,22
0,828
340
0,79
0,50
2,37
0,21
0,805
360 tabella a.8.2
0,80
0,50
2,51
0,20
0,777
37
Dalla tabella a.8.2 si ricava che alla portata Q = 0,6 m3 /s corrisponde in moto uniforme un tirante idrico h0 = 0,53 m. 0,9 0,8 0,7 h0(m)
0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
3
Q (m /s )
figura a.8.2
Esempio 8.3 La sezione di un tratto regolare del corso di un fiume può essere schematizzata da un alveo di magra a sezione trapezia (figura a.8.3), avente larghezza di fondo bm = 12 m e pendenza delle sponde 1:2, e da due zone di golena, aventi larghezza, rispettivamente, bg1 = 22 m e bg2 = 16 m e pendenza delle sponde 1:1. L’altezza degli argini dell’alveo di magra è pari a 2,6 m, quella degli argini maestri è pari a 6 m. Sapendo che la pendenza del tratto regolare del fiume è pari a 0,02%, che il fondo dell’alveo di magra è costituito da sabbia e ciottoli, che la golena 1 è caratterizzata da vegetazione cespugliosa e la 2 da vegetazione arborea, si calcolino le altezze di moto uniforme corrispondenti ad una portata di magra di 30 m3 /s e ad una portata di piena di 200 m3 /s.
Hg
1
ng1 Hm 1
1 bg1
hp 2 bm
hm nm
ng2 b g2
figura a.8.3
Soluzione Si adottano i seguenti coefficienti di Manning: per l’alveo di magra in sabbia e ciottoli nm = 0,025 m−1/3 s; per la golena con vegetazione cespugliosa ng1 = 0,06 m−1/3 s; per la
38
golena con vegetazione arborea ng2 = 0,09 m−1/3 s. Si costruisce dapprima la scala delle portate per il solo alveo di magra trapezoidale, suddividendo il massimo tirante idrico possibile nell’alveo di magra, pari all’altezza dell’argine Hm , in intervalli di 0,01 m. Per ogni altezza h0 si calcolano le quantità Am , Cm e Rm in base alle formule introdotte nel paragrafo 8.2.2 e la portata di moto uniforme Q in base alla [8.13]. Si ottiene la tabella a.8.3 (per brevità, si riporta il dettaglio ogni 0,01 m solo nell’intervallo 2,2-2,3 m). h0 (m) 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,21 2,22 2,23 2,24 2,25 2,26 2,27 2,28 2,29 2,3 2,4 2,6 tabella a.8.3
Am (m2 )
Cm (m)
Rm (m)
Q (m3 /s)
0,00 2,48 5,12 7,92 10,88 14,00 17,28 20,72 24,32 28,08 32,00 36,08 36,29 36,50 36,71 36,92 37,13 37,34 37,55 37,76 37,97 38,18 40,32 44,72
12,00 12,89 13,79 14,68 15,58 16,47 17,37 18,26 19,16 20,05 20,94 21,84 21,88 21,93 21,97 22,02 22,06 22,11 22,15 22,20 22,24 22,29 22,73 23,63
0,00 0,19 0,37 0,54 0,70 0,85 1,00 1,13 1,27 1,40 1,53 1,65 1,66 1,66 1,67 1,68 1,68 1,69 1,69 1,70 1,71 1,71 1,77 1,89
0,00 0,47 1,50 2,97 4,84 7,11 9,74 12,75 16,13 19,88 24,01 28,52 28,76 29,00 29,23 29,47 29,71 29,95 30,19 30,44 30,68 30,92 33,42 38,71
Dalla tabella a.8.3 si ricava che alla portata di magra Q = 30 m3 /s corrisponde in moto uniforme un tirante idrico h0,m = 2,26 m. Si costruiscono successivamente le tre scale delle portate relative ai tre filoni di corrente che caratterizzano il regime di piena, suddividendo nuovamente il tirante idrico in intervalli di 0,01 m. La sezione del filone al di sopra dell’alveo di magra è costituita dal trapezio corrispondente al massimo riempimento dell’alveo di magra (avente area AM = 44,72 m2 e contorno bagnato
39
CM = 23,63 m) e dal rettangolo di altezza (h − Hm ) e di base (bm + 2zm Hm ); si ha quindi, per h > Hm : bm + 2 zm Hm Am = AM + h0 − Hm
e
Cm = CM
Le due sezioni dei filoni nelle zone di golena hanno area bagnata corrispondente ai trapezi rettangoli di altezza (h − Hm ), base minore pari alla larghezza di fondo di ogni golena, base maggiore giacente sulla superficie libera e lato obliquo coincidente con la parte bagnata della sponda dell’argine maestro. Si noti che il contorno bagnato è costituito unicamente dalla base minore e dal lato obliquo del trapezio rettangolo. Si ha quindi, per ciascuna golena i:
Ag = 2 bg + zg h0 − Hm i
h − H 0 m
i
2
e
Cg = bg + h0 − Hm i
i
2
1 + zg
Le portate relative a ciascun filone si calcolano sempre con la [8.13]. La portata di piena risulta infine dalla somma delle portate relative ai tre filoni: Q = Qm + Qg1 + Qg2 Si ottiene la tabella a.8.4 (per brevità, si riporta il dettaglio ogni 0,01 m solo nell’intervallo 5,25-5,35 m). Dalla tabella si ricava che alla portata di piena Q = 200 m3 /s corrisponde in moto uniforme un tirante idrico h0,g = 5,32 m. 7 6 5 4 h0(m) 3 Alveo di magra Golena sinistra Golena destra Alveo intero
2 1 0 0
50
100
150 3
Q s(m /s)
figura a.8.4
40
200
250
300
h0 (m) 2,6 2,8 3 3,2 3,4 3,6 3,8 4 4,2 4,4 4,6 4,8 5 5,2 5,25 5,26 5,27 5,28 5,29 5,3 5,31 5,32 5,33 5,34 5,35 5,4 5,6 5,8 6
Am (m2 ) 44,72 49,20 53,68 58,16 62,64 67,12 71,60 76,08 80,56 85,04 89,52 94,00 98,48 102,96 104,08 104,30 104,53 104,75 104,98 105,20 105,42 105,65 105,87 106,10 106,32 107,44 111,92 116,40 120,88
pm (m) 23,63 23,63 23,63 23,63 23,63 23,63 23,63 23,63 23,63 23,63 23,63 23,63 23,63 23,63 23,63 23,63 23,63 23,63 23,63 23,63 23,63 23,63 23,63 23,63 23,63 23,63 23,63 23,63 23,63
Rm (m) 1,89 2,08 2,27 2,46 2,65 2,84 3,03 3,22 3,41 3,60 3,79 3,98 4,17 4,36 4,41 4,41 4,42 4,43 4,44 4,45 4,46 4,47 4,48 4,49 4,50 4,55 4,74 4,93 5,12
Qm (m3 /s) 38,71 45,38 52,48 59,98 67,88 76,16 84,82 93,85 103,24 112,98 123,07 133,51 144,28 155,39 158,21 158,78 159,35 159,92 160,49 161,06 161,63 162,21 162,78 163,35 163,93 166,82 178,57 190,64 203,03
Ag1 (m2 ) 0,00 4,42 8,88 13,38 17,92 22,50 27,12 31,78 36,48 41,22 46,00 50,82 55,68 60,58 61,81 62,06 62,30 62,55 62,80 63,05 63,29 63,54 63,79 64,03 64,28 65,52 70,50 75,52 80,58
pg1 (m) 22,00 22,45 22,89 23,34 23,79 24,24 24,68 25,13 25,58 26,02 26,47 26,92 27,37 27,81 27,93 27,95 27,97 27,99 28,02 28,04 28,06 28,08 28,10 28,13 28,15 28,26 28,71 29,16 29,60
Rg1 (m) 0,00 0,20 0,39 0,57 0,75 0,93 1,10 1,26 1,43 1,58 1,74 1,89 2,03 2,18 2,21 2,22 2,23 2,23 2,24 2,25 2,26 2,26 2,27 2,28 2,28 2,32 2,46 2,59 2,72
Qg1 (m3 /s) 0,00 0,35 1,11 2,18 3,50 5,05 6,81 8,76 10,89 13,20 15,67 18,30 21,07 23,99 24,74 24,90 25,05 25,20 25,35 25,50 25,66 25,81 25,97 26,12 26,27 27,05 30,25 33,57 37,03
Ag2 (m2 ) 0,00 3,22 6,48 9,78 13,12 16,50 19,92 23,38 26,88 30,42 34,00 37,62 41,28 44,98 45,91 46,10 46,28 46,47 46,66 46,85 47,03 47,22 47,41 47,59 47,78 48,72 52,50 56,32 60,18
pg2 (m) 16,00 16,45 16,89 17,34 17,79 18,24 18,68 19,13 19,58 20,02 20,47 20.92 21,37 21,81 21,93 21,95 21,97 21,99 22,02 22,04 22,06 22,08 22,10 22,13 22,15 22,26 22,71 23,16 23,60
Rg2 (m) 0,00 0,20 0,38 0,56 0,74 0,90 1,07 1,22 1,37 1,52 1,66 1,80 1,93 2,06 2,09 2,10 2,11 2,11 2,12 2,13 2,13 2,14 2,14 2,15 2,16 2,19 2,31 2,43 2,55
Qg2 (m3 /s) 0,00 0,17 0,54 1,05 1,68 2,43 3,27 4,20 5,22 6,32 7,49 8,74 10,06 11,45 11,81 11,88 11,95 12,02 12,10 12,17 12,24 12,32 12,39 12,46 12,54 12,90 14,42 16,01 17,65
Q (m3 /s) 38,71 45,91 54,13 63,20 73,06 83,63 94,89 106,80 119,35 132,50 146,24 160,55 175,42 190,83 194,76 195,56 196,35 197,14 197,94 198,73 199,53 200,33 201,13 201,93 202,74 206,77 223,24 240,22 257,70
tabella a.8.4
Esempio 8.4 Un canale artificiale a sezione trapezia, con larghezza di fondo b = 9 m e pendenza delle sponde 1:0.5 è costituito da tre diversi tratti: • • •
il primo tratto è inerbato, con pendenza del fondo pari a 0,8%; il secondo tratto ha fondo e sponde rivestite in calcestruzzo, sempre con pendenza 0,8%; il terzo tratto è sempre rivestito in calcestruzzo, ma con pendenza ridotta a 0,2%.
Si determini se, per una portata di 30 m3 /s, i vari tratti sono a debole o forte pendenza.
Soluzione Si adottano i seguenti coefficienti di Manning: per l’alveo inerbato n1 = 0,026 m−1/3 s; per l’alveo rivestito in calcestruzzo n2 = 0,018 m−1/3 s.
41
Le scale delle portate di moto uniforme possono essere ottenute calcolando dapprima la scala delle portate specifica Z e ricavando poi da questa le scale delle portate per i singoli tratti.
h0 (m) A (m2 ) 0,00 0,00 0,10 0,91 0,20 1,82 0,30 2,75 0,40 3,68 0,50 4,63 0,60 5,58 0,70 6,55 0,80 7,52 0,81 7,62 0,82 7,72 0,83 7,81 0,84 7,91 0,85 8,01 0,90 8,51 1,00 9,50 1,01 9,60 1,02 9,70 1,03 9,80 1,04 9,90 1,05 10,00 1,10 10,51 1,20 11,52 1,21 11,62 1,22 11,72 1,23 11,83 1,24 11,93 1,25 12,03 1,30 12,55 1,40 13,58 1,50 14,63 tabella a.8.5
C (m) 9,00 9,22 9,45 9,67 9,89 10,12 10,34 10,57 10,79 10,81 10,83 10,86 10,88 10,90 11,01 11,24 11,26 11,28 11,30 11,33 11,35 11,46 11,68 11,71 11,73 11,75 11,77 11,80 11,91 12,13 12,35
R (m) 0,00 0,10 0,19 0,28 0,37 0,46 0,54 0,62 0,70 0,70 0,71 0,72 0,73 0,73 0,77 0,85 0,85 0,86 0,87 0,87 0,88 0,92 0,99 0,99 1,00 1,01 1,01 1,02 1,05 1,12 1,18
tratto
1
2
3
i (%)
0.008
0.008
0.002
n (m−1/3 s)
0.018
0.026
0.018
Z (m3 /s) 0,00 0,19 0,61 1,19 1,90 2,74 3,70 4,76 5,91 6,03 6,15 6,28 6,40 6,52 7,16 8,49 8,63 8,77 8,91 9,05 9,19 9,91 11,41 11,57 11,72 11,88 12,03 12,19 12,99 14,64 16,37
Q (m3 /s) 0,00 0,96 3,02 5,89 9,46 13,64 18,38 23,63 29,38 29,98 30,58 31,19 31,80 32,42 35,57 42,21 42,90 43,59 44,28 44,98 45,68 49,26 56,71 57,48 58,25 59,02 59,80 60,58 64,54 72,75 81,33
Q (m3 /s) 0,00 0,66 2,09 4,08 6,55 9,44 12,72 16,36 20,34 20,75 21,17 21,59 22,02 22,44 24,63 29,22 29,70 30,17 30,66 31,14 31,63 34,10 39,26 39,79 40,32 40,86 41,40 41,94 44,68 50,37 56,30
Q (m3 /s) 0,00 0,48 1,51 2,95 4,73 6,82 9,19 11,82 14,69 14,99 15,29 15,59 15,90 16,21 17,79 21,10 21,45 21,79 22,14 22,49 22,84 24,63 28,35 28,74 29,12 29,51 29,90 30,29 32,27 36,38 40,66
Per ogni altezza h0 si calcolano le quantità A, C e R in base alle formule introdotte nel paragrafo 8.2.2 e il fattore di sezione Z in base alla [8.17].
42
La portata di moto uniforme di ciascun tratto è calcolata moltiplicando Z per l’opportuno √ valore del rapporto i n, ottenendo così la tabella a.8.5. Dalla tabella a.8.5 si ricava che alla portata Q = 30 m3 /s corrispondono altezze di moto uniforme nei tre tratti pari a h0,1 = 0,81m ; h0,2 = 1,02 m e h0,3 = 1,24 m. L’altezza critica è ottenuta calcolando la scala delle portate critiche; per ogni altezza critica k si calcolano quindi le quantità A, B e hM in base alle formule introdotte nel paragrafo 8.2.2 e la portata critica in base alla [8.27]: si ottiene così la tabella a.8.6. k (m) 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5
A (m2 ) 0,00 0,91 1,82 2,75 3,68 4,63 5,58 6,55 7,52 8,51 9,50 9,60 9,70 9,80 9,90 10,00 10,10 10,20 10,30 10,40 10,51 11,52 12,55 13,58 14,63
B (m) 9,00 9,10 9,20 9,30 9,40 9,50 9,60 9,70 9,80 9,90 10,00 10,01 10,02 10,03 10,04 10,05 10,06 10,07 10,08 10,09 10,10 10,20 10,30 10,40 10,50
hM (m) 0,00 0,10 0,20 0,30 0,39 0,49 0,58 0,67 0,77 0,86 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99 1,00 1,00 1,01 1,02 1,03 1,04 1,13 1,22 1,31 1,39
Qc (m3 /s) 0,00 0,89 2,53 4,67 7,21 10,10 13,32 16,83 20,62 24,68 28,99 29,43 29,88 30,33 30,78 31,23 31,69 32,15 32,61 33,07 33,54 38,33 43,34 48,58 54,03
tabella a.8.6
Dalla tabella a.8.6 si ricava che alla portata Q = 30 m3 /s corrisponde un’altezza critica k = 1,02 m, da cui si deduce che il primo tratto di alveo è a forte pendenza (h0,1 < k), il secondo è a pendenza critica (h0,2 = k) e il terzo è a debole pendenza (h0,3 > k). Questa conclusione può essere ottenuta anche confrontando graficamente le scale delle portate in moto uniforme per i tre tratti con la scala delle portate critiche per Q = 30 m3 /s (figura a.8.5).
43
1,4 1,2
k, h0 (m)
1 0,8 0,6 h0 ; i = 0 .8 %, n= 0 .0 1 8
0,4
h0 ; i = 0 .8 %, n= 0 .0 2 5 h0 ; i = 0 .2 %, n= 0 .0 1 8
0,2 0
k 0
10
20
30
40
50
Q (m3/s )
figura a.8.5
Esempio 8.5 In un canale artificiale a sezione rettangolare in calcestruzzo, con larghezza di fondo b = 6 m defluisce una portata di 20 m3 /s. Il canale è costituito da un primo tratto, lungo 4 km, con pendenza 0,1% e da un secondo tratto, con pendenza 0,04%, regolato, 2 km a valle del cambio di pendenza, da una paratoia piana. Sapendo che l’apertura della paratoia è a = 0,9 m, si tracci il profilo di moto permanente.
Soluzione Si adotta, per l’alveo rivestito in calcestruzzo, il coefficiente di Strickler k = 70 m1/3 s−1 . Si costruiscono le scale delle portate di moto uniforme per i due tratti di alveo (figura a.8.6). Ripetendo il procedimento descritto nell’esempio 8.1, si trova che h01 = 1,504 m e h02 = 2,084 m. 3 2,5 h0 (m)
2 1,5 Tratto 1 Tratto 2
1 0,5 0
0
10
20
30 Q (m3 /s)
figura a.8.6
44
40
50
L’altezza critica per l’alveo rettangolare può essere calcolata direttamente: 2 3 Q = 1,043 m k= g b2 I due tratti di alveo risultano quindi entrambi a debole pendenza. Il profilo di moto permanente nel secondo tratto è determinato dalla sezione di controllo imposta dalla presenza della paratoia. Per calcolare il livello della corrente a monte della paratoia si costruisce la curva dell’energia specifica alla portata Q data e si determina l’altezza coniugata all’altezza di valle, ovvero all’altezza assunta nella sezione contratta a valle della paratoia cc a = 0,549 m (avendo considerato un coefficiente di contrazione cc = 0,61). Per ogni altezza si calcola quindi l’energia specifica: E=h+
Q2 2g b2 h2
Si ottiene la tabella a.8.7 e il grafico della curva dell’energia specifica riportato nella figura a.8.7:
h (m) 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,549 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7
E (m) 56,789 14,372 6,599 3,943 2,768 2,430 2,175 1,857 1,686 1,600 1,567 1,569 1,594 1,635 1,689 1,752 1,821 1,896
tabella 8.7 5,000
E (m)
4,000
3,000 2,000
1,000
0,000 0,000
0,500
1,000
1,500
2,000
2,500
h (m)
figura a.8.7
L’altezza a monte della paratoia risulta quindi hm = 2,325 m > h0 : nel secondo tratto si verifica un profilo di rigurgito di tipo D1. Dato che il tirante alla sezione del cambio di pendenza dovrà comunque essere maggiore o uguale all’altezza di moto uniforme h02 e che, comunque, tale altezza è superiore all’altezza di moto uniforme h01 , anche nel primo tratto si avrà un profilo di corrente lenta di tipo D1.
45
h (m) 1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,31 2,32 2,325 2,33 2,34 2,35 2,36 2,37 2,38 2,39 2,4 2,5
E (m) 1,975 2,057 2,142 2,229 2,317 2,407 2,416 2,425 2,430 2,434 2,444 2,453 2,462 2,471 2,480 2,489 2,498 2,591
Per il calcolo del profilo di moto permanente nel secondo tratto, sapendo che il tirante all’ascissa x = 6000 m è hm = 2,325 m, si suddivide la differenza hm − h02 in intervalli di 0,01 m e si calcola l’ascissa della sezione in cui si verifica ciascun valore hi del tirante. Si calcolano quindi, per ogni tirante hi , l’area bagnata Ai , il contorno bagnato pi , il raggio idraulico Ri e le seguenti quantità: 2
Q Vi = , bhi
Ji =
Vi
4 2 3 k Ri
2
,
Ei = hi +
Vi
2g
e, per ogni tratto compreso tra i tiranti hi e hi+1 , le seguenti quantità: Jm =
1 Ji + Ji+1 , 2
E = Ei − Ei+1 ,
x =
E i − Jm
l’ascissa della sezione in cui il tirante vale hi+1 risulta: xi+1 = xi − x Si ottiene tabella a.8.8. h (m) x (m) 2,325 6000,0 2,32 5957,3 2,31 5869,7 2,3 5779,2 2,29 5685,5 2,28 5588,1 2,27 5486,8 2,26 5381,2 2,25 5270,7 2,24 5154,8 2,23 5032,8 2,22 4903,8 2,21 4766,9 2,2 4620,8 2,19 4463,9 2,18 4294,3 2,17 4109,3 2,165 4009,9 tabella a.8.8
A (m2 ) 13,95 13,92 13,86 13,80 13,74 13,68 13,62 13,56 13,50 13,44 13,38 13,32 13,26 13,20 13,14 13,08 13,02 12,99
p (m) 10,65 10,64 10,62 10,60 10,58 10,56 10,54 10,52 10,50 10,48 10,46 10,44 10,42 10,40 10,38 10,36 10,34 10,33
R (m) V (m/s) 1,31 1,43 1,31 1,44 1,31 1,44 1,30 1,45 1,30 1,46 1,30 1,46 1,29 1,47 1,29 1,47 1,29 1,48 1,28 1,49 1,28 1,49 1,28 1,50 1,27 1,51 1,27 1,52 1,27 1,52 1,26 1,53 1,26 1,54 1,26 1,54
J 0,000293 0,000294 0,000298 0,000302 0,000305 0,000309 0,000313 0,000316 0,000320 0,000324 0,000328 0,000332 0,000337 0,000341 0,000345 0,000350 0,000354 0,000356
Jm 0,000294 0,000296 0,000300 0,000303 0,000307 0,000311 0,000315 0,000318 0,000322 0,000326 0,000330 0,000335 0,000339 0,000343 0,000347 0,000352 0,000355
E (m) 2,430 2,425 2,416 2,407 2,398 2,389 2,380 2,371 2,362 2,353 2,344 2,335 2,326 2,317 2,308 2,299 2,290 2,286
E (m) x (m) -0,0045 -0,0091 -0,0091 -0,0091 -0,0090 -0,0090 -0,0090 -0,0090 -0,0090 -0,0090 -0,0090 -0,0090 -0,0089 -0,0089 -0,0089 -0,0089 -0,0044
-42,7 -87,5 -90,5 -93,8 -97,3 -101,3 -105,6 -110,5 -115,9 -122,0 -129,0 -136,9 -146,1 -156,9 -169,6 -185,0 -99,4
Il calcolo del profilo di tipo D1 nel secondo tratto si arresta al raggiungimento del cambio di pendenza (x = 4000 m). L’altezza hp = 2,165 m costituisce la condizione al contorno per il calcolo del profilo D1 nel primo tratto.
46
Si procede calcolando le stesse quantità precedentemente descritte, ottenendo la tabella a.8.9. h (m) x (m) 2,165 4000,0 2,16 3993,1 2,14 3965,3 2,12 3937,1 2,1 3908,6 2,08 3879,7 2,06 3850,5 2,04 3820,8 2,02 3790,6 2 3760,0 1,98 3728,8 1,96 3697,1 1,94 3664,6 1,92 3631,5 1,9 3597,6 1,88 3562,9 1,86 3527,2 1,84 3490,4 1,82 3452,4 1,8 3413,0 1,78 3372,1 1,76 3329,4 1,74 3284,6 1,72 3237,3 1,7 3187,1 1,68 3133,3 1,66 3075,0 1,64 3010,9 1,62 2939,4 1,6 2857,4 1,58 2760,2 1,56 2638,5 1,54 2470,7 1,52 2185,6 1,51 1827,7 tabella a.8.9
A (m2 ) 12,99 12,96 12,84 12,72 12,60 12,48 12,36 12,24 12,12 12,00 11,88 11,76 11,64 11,52 11,40 11,28 11,16 11,04 10,92 10,80 10,68 10,56 10,44 10,32 10,20 10,08 9,96 9,84 9,72 9,60 9,48 9,36 9,24 9,12 9,06
p (m) 10,33 10,32 10,28 10,24 10,20 10,16 10,12 10,08 10,04 10,00 9,96 9,92 9,88 9,84 9,80 9,76 9,72 9,68 9,64 9,60 9,56 9,52 9,48 9,44 9,40 9,36 9,32 9,28 9,24 9,20 9,16 9,12 9,08 9,04 9,02
R (m) V (m/s) 1,26 1,54 1,26 1,54 1,25 1,56 1,24 1,57 1,24 1,59 1,23 1,60 1,22 1,62 1,21 1,63 1,21 1,65 1,20 1,67 1,19 1,68 1,19 1,70 1,18 1,72 1,17 1,74 1,16 1,75 1,16 1,77 1,15 1,79 1,14 1,81 1,13 1,83 1,13 1,85 1,12 1,87 1,11 1,89 1,10 1,92 1,09 1,94 1,09 1,96 1,08 1,98 1,07 2,01 1,06 2,03 1,05 2,06 1,04 2,08 1,03 2,11 1,03 2,14 1,02 2,16 1,01 2,19 1,00 2,21
J 0,000356 0,000359 0,000368 0,000378 0,000388 0,000398 0,000409 0,000421 0,000432 0,000445 0,000457 0,000470 0,000484 0,000499 0,000513 0,000529 0,000545 0,000562 0,000580 0,000598 0,000617 0,000638 0,000659 0,000681 0,000704 0,000728 0,000753 0,000780 0,000808 0,000837 0,000868 0,000900 0,000934 0,000970 0,000989
Jm 0,000358 0,000363 0,000373 0,000383 0,000393 0,000404 0,000415 0,000426 0,000438 0,000451 0,000464 0,000477 0,000491 0,000506 0,000521 0,000537 0,000554 0,000571 0,000589 0,000608 0,000627 0,000648 0,000670 0,000692 0,000716 0,000740 0,000766 0,000794 0,000822 0,000852 0,000884 0,000917 0,000952 0,000984
E (m) 2,286 2,282 2,264 2,246 2,229 2,211 2,194 2,176 2,159 2,142 2,125 2,108 2,091 2,074 2,057 2,040 2,024 2,007 1,991 1,975 1,959 1,943 1,927 1,912 1,896 1,881 1,866 1,851 1,836 1,821 1,807 1,793 1,779 1,765 1,759
E (m) x (m) -0,0044 -0,0177 -0,0177 -0,0176 -0,0175 -0,0174 -0,0174 -0,0173 -0,0172 -0,0171 -0,0170 -0,0169 -0,0168 -0,0167 -0,0166 -0,0165 -0,0164 -0,0163 -0,0162 -0,0160 -0,0159 -0,0158 -0,0156 -0,0155 -0,0153 -0,0151 -0,0150 -0,0148 -0,0146 -0,0144 -0,0141 -0,0139 -0,0137 -0,00674
-6,9 -27,8 -28,2 -28,5 -28,9 -29,3 -29,7 -30,1 -30,6 -31,2 -31,8 -32,4 -33,1 -33,9 -34,8 -35,7 -36,8 -38,0 -39,4 -40,9 -42,7 -44,8 -47,3 -50,2 -53,8 -58,3 -64,0 -71,6 -82,0 -97,2 -121,8 -167,8 -285,1 -442,8
Nel primo tratto, il profilo di rigurgito di tipo D1 si estende fino a x ∼ = 2000 m, ovvero circa 2 km a monte del cambio di pendenza, dove si raggiungono condizioni di moto uniforme.
47
Il profilo della corrente nell’alveo studiato è illustrato in figura a.8.8. 7 6
h0,1
z (m)
5 4 3 h0,2
2 1
k
0 0
1000
2000
3000 x (m)
4000
5000
6000
figura a.8.8
Esempio 8.6 Un canale di larghezza B = 12 m a sezione rettangolare in terra, caratterizzato da un coefficiente di Strickler k = 40 m1/3 /s, è costituito da due tratti, rispettivamente di pendenza i1 = 0,08% e i2 = 1,6%. Lungo il secondo tratto, 150 m a valle del cambio di pendenza, è posta una paratoia piana con apertura a = 0,8 m (si assume come coefficiente di contrazione cc = 0,61 per l’efflusso sotto battente). L’alveo è esteso indefinitamente a valle della paratoia, mentre è alimentato, 4000 m a monte del cambio di pendenza, da un lago il cui livello sul fondo della sezione di incile è hL = 2,26 m. Si tracci il profilo di moto permanente nel canale considerato e si localizzino gli eventuali risalti idraulici.
Soluzione Si deve inizialmente determinare la portata defluente nel canale. Dato che la pendenza del primo tratto di canale è inferiore allo 0,1%, si ipotizza che tale tratto sia a debole pendenza e che si stabiliscano in esso condizioni di moto uniforme. Tale ipotesi dovrà essere verificata al termine del calcolo dei profili di moto permanente. Si assume quindi che l’energia specifica si conservi nel moto accelerato a monte della sezione di incile e che in tale sezione l’altezza della corrente coincida con l’altezza di moto uniforme per il primo tratto. Devono essere quindi soddisfatte le seguenti relazioni:
Q=k
i1
5 h01 B 3
2 2h01 + B 3
;
h01 +
Q2 2gh20 B2
= hL
1
Tali relazioni sono soddisfatte per h01 = 2,18 m e Q = 40,47 m3 /s.
48
Si costruisce quindi la scala delle portate di moto uniforme per il secondo tratto di alveo (figura a.8.9). Ripetendo il procedimento descritto nell’esempio 8.1, si trova che h02 = 0,825 m. 4 .5 4
T ratto 1
3 .5
T ratto 2
h0 (m)
3 2 .5 2 1 .5 1 0 .5 0 0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
10
Q (m 3/s)
figura a.8.9
L’altezza critica per l’alveo rettangolare può essere calcolata direttamente, ottenendo: 2 Q 3 = 1,051 m k= g B2 Il primo tratto di alveo risulta quindi a debole pendenza: il profilo di moto permanente in tale tratto è determinato dal cambio di pendenza, in cui si stabiliscono condizioni critiche. In tale tratto si stabilisce quindi un profilo di tipo D2. Il secondo tratto di alveo risulta invece a forte pendenza: il profilo di moto permanente in tale tratto è determinato sia dal cambio di pendenza, in cui si stabiliscono condizioni critiche, sia dalle sezione di controllo a monte e a valle della paratoia. In tale tratto si stabilisce quindi un profilo di tipo F2 a valle del cambio di pendenza, un profilo di tipo F1 a monte della paratoia e un profilo di tipo F3 a valle della paratoia. A monte della paratoia, la transizione da corrente veloce a corrente lenta deve avvenire attraverso un risalto idraulico. Per calcolare il livello della corrente a monte della paratoia si costruisce la curva dell’energia specifica alla portata Q data e si determina l’altezza coniugata all’altezza di valle, ovvero all’altezza cc a = 0,488 m assunta nella sezione contratta a valle della paratoia.
49
Per ogni altezza si calcola quindi l’energia specifica: E (m) 58,13 14,71 6,75 4,03 2,92 2,82 2,21 1,71 1,58 1,60 1,70 1,83 1,98 2,15 2,32
h (m) 2,4 2,6 2,8 2,81 2,82 2,83 2,84 2,85 2,86 2,87 2,88 2,89 2,9 3
E (m) 2,50 2,69 2,87 2,88 2,89 2,90 2,91 2,92 2,93 2,94 2,95 2,96 2,97 3,06
E=h+
Q2 2g b2 h2
ottenendo la tabella a.8.10 e la curva dell’energia specifica riportata in figura a.8.10. 5 4.5 4 3.5 3 E (m)
h (m) 0,1 0,2 0,3 0,4 0,488 0,5 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2
2.5 2 1.5 1 0.5
tabella a.10
0 0
1
2 h (m)
3
4
figura a.8.10
L’altezza a monte della paratoia risulta quindi hm = 2,85 m. Per il calcolo dei profili di moto permanente, si segue lo stesso procedimento descritto nell’esempio 8.5. Per il profilo D2 nel primo tratto si parte dalla sezione di controllo ad ascissa x = 4000 m ove il tirante è k = 1,051 m e si ottiene la tabella a.8.11. h (m) 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10 1,11 1,12 1,13 1,14
x (m) 4000,0 4000,0 3999,9 3999,8 3999,6 3999,4 3999,2 3998,9 3998,5 3998,1
tabella a.8.11
50
A (m2 ) 12,61 12,73 12,85 12,97 13,09 13,21 13,33 13,45 13,57 13,69
p (m) 14,10 14,12 14,14 14,16 14,18 14,20 14,22 14,24 14,26 14,28
R (m) V (m/s) 0,89 3,21 0,90 3,18 0,91 3,15 0,92 3,12 0,92 3,09 0,93 3,06 0,94 3,04 0,94 3,01 0,95 2,98 0,96 2,96
J 0,00747 0,00725 0,00704 0,00684 0,00665 0,00646 0,00628 0,00611 0,00594 0,00578
Jm 0,00736 0,00715 0,00694 0,00674 0,00655 0,00637 0,00619 0,00602 0,00586
E (m) E (m) x (m) 1,576 1,577 0,000 0,0 1,577 0,000 −0,1 1,578 0,001 −0,1 1,579 0,001 −0,2 1,580 0,001 −0,2 1,581 0,001 −0,3 1,583 0,002 −0,3 1,585 0,002 −0,4 1,587 0,002 −0,4
h (m) 1,15 1,16 1,17 1,18 1,19 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90 1,95 2,00 2,05 2,10 2,15 2,16 2,17
x (m) 3997,6 3997,1 3996,5 3995,9 3995,2 3994,4 3989,6 3982,9 3974,0 3962,7 3948,4 3930,8 3909,1 3882,7 3850,7 3811,8 3764,4 3706,4 3634,5 3544,2 3428,1 3273,3 3054,7 2711,0 2012,6 1684,5 1117,6
A (m2 ) 13,81 13,93 14,05 14,17 14,29 14,41 15,01 15,61 16,21 16,81 17,41 18,01 18,61 19,21 19,81 20,41 21,01 21,61 22,21 22,81 23,41 24,01 24,61 25,21 25,81 25,93 26,05
p (m) 14,30 14,32 14,34 14,36 14,38 14,40 14,50 14,60 14,70 14,80 14,90 15,00 15,10 15,20 15,30 15,40 15,50 15,60 15,70 15,80 15,90 16,00 16,10 16,20 16,30 16,32 16,34
R (m) V (m/s) 0,97 2,93 0,97 2,91 0,98 2,88 0,99 2,86 0,99 2,83 1,00 2,81 1,04 2,70 1,07 2,59 1,10 2,50 1,14 2,41 1,17 2,32 1,20 2,25 1,23 2,17 1,26 2,11 1,29 2,04 1,33 1,98 1,36 1,93 1,39 1,87 1,41 1,82 1,44 1,77 1,47 1,73 1,50 1,69 1,53 1,64 1,56 1,61 1,58 1,57 1,59 1,56 1,59 1,55
J 0,00562 0,00547 0,00533 0,00519 0,00505 0,00493 0,00434 0,00384 0,00342 0,00306 0,00274 0,00247 0,00224 0,00203 0,00185 0,00169 0,00155 0,00142 0,00131 0,00121 0,00112 0,00103 0,00096 0,00089 0,00083 0,00082 0,00081
Jm 0,00570 0,00555 0,00540 0,00526 0,00512 0,00499 0,00463 0,00409 0,00363 0,00324 0,00290 0,00261 0,00235 0,00213 0,00194 0,00177 0,00162 0,00148 0,00136 0,00126 0,00116 0,00107 0,00100 0,00093 0,00086 0,00083 0,00082
E (m) E (m) 1,589 0,002 1,592 0,002 1,594 0,003 1,597 0,003 1,600 0,003 1,603 0,003 1,622 0,018 1,644 0,022 1,669 0,025 1,697 0,028 1,727 0,030 1,759 0,032 1,792 0,034 1,827 0,035 1,864 0,036 1,902 0,038 1,940 0,039 1,980 0,040 2,020 0,040 2,062 0,041 2,103 0,042 2,146 0,042 2,189 0,043 2,232 0,044 2,276 0,044 2,285 0,009 2,294 0,009
x (m) −0,5 −0,5 −0,6 −0,6 −0,7 −0,8 −4,8 −6,7 −8,9 −11,4 −14,3 −17,7 −21,6 −26,4 −32,0 −38,9 −47,4 −58,1 −71,8 −90,3 −116,1 −154,8 −218,6 −343,8 −698,4 −328,1 −567,0
tabella a.8.11 Segue
Si osserva che il moto uniforme è raggiunto più di 1 km a valle della sezione di incile: ciò giustifica l’ipotesi adottata precedentemente per il calcolo della portata effluente dal lago di monte. Per il profilo F2 nel secondo tratto si parte dalla sezione di controllo ad ascissa x = 4000 m ove il tirante è k = 1,051 m e si ottiene la tabella a.8.12. h (m) 1,051 1,040 1,030 1,020 1,010
x (m) 4000,0 4000,0 4000,1 4000,2 4000,3
A (m2 ) 12,61 12,48 12,36 12,24 12,12
p (m) 14,10 14,08 14,06 14,04 14,02
R (m) V (m/s) 0,89 3,21 0,89 3,24 0,88 3,27 0,87 3,31 0,86 3,34
J 0,00747 0,00772 0,00796 0,00820 0,00846
Jm 0,00760 0,00784 0,00808 0,00833
E (m) E (m) x (m) 1,576 1,577 0,000 0,0 1,577 0,000 0,1 1,578 0,001 0,1 1,579 0,001 0,1
tabella a.8.12
51
h (m) 1,000 0,990 0,980 0,970 0,960 0,950 0,940 0,930 0,920 0,910 0,900 0,890 0,880 0,870 0,860 0,850 0,840 0,830
x (m) 4000,5 4000,8 4001,1 4001,5 4001,9 4002,5 4003,2 4004,0 4004,9 4006,1 4007,5 4009,2 4011,3 4014,1 4017,7 4022,8 4030,9 4048,3
A (m2 ) 12,00 11,88 11,76 11,64 11,52 11,40 11,28 11,16 11,04 10,92 10,80 10,68 10,56 10,44 10,32 10,20 10,08 9,96
p (m) 14,00 13,98 13,96 13,94 13,92 13,90 13,88 13,86 13,84 13,82 13,80 13,78 13,76 13,74 13,72 13,70 13,68 13,66
R (m) V (m/s) 0,86 3,37 0,85 3,41 0,84 3,44 0,84 3,48 0,83 3,51 0,82 3,55 0,81 3,59 0,81 3,63 0,80 3,67 0,79 3,71 0,78 3,75 0,78 3,79 0,77 3,83 0,76 3,88 0,75 3,92 0,74 3,97 0,74 4,01 0,73 4,06
J 0,00873 0,00901 0,00930 0,00961 0,00993 0,01026 0,01061 0,01097 0,01135 0,01175 0,01217 0,01261 0,01307 0,01355 0,01405 0,01458 0,01514 0,01572
Jm 0,00860 0,00887 0,00916 0,00946 0,00977 0,01009 0,01043 0,01079 0,01116 0,01155 0,01196 0,01239 0,01284 0,01331 0,01380 0,01432 0,01486 0,01543
E (m) E (m) x (m) 1,580 0,001 0,2 1,582 0,002 0,3 1,584 0,002 0,3 1,587 0,003 0,4 1,590 0,003 0,5 1,593 0,003 0,6 1,597 0,004 0,7 1,601 0,004 0,8 1,606 0,005 1,0 1,611 0,005 1,2 1,616 0,006 1,4 1,623 0,006 1,7 1,629 0,007 2,1 1,637 0,007 2,7 1,645 0,008 3,6 1,653 0,009 5,1 1,662 0,009 8,1 1,672 0,010 17,5
tabella a.8.12 Segue
Per il profilo F1 nel secondo tratto si parte dalla sezione di controllo ad ascissa x = 4150 m ove il tirante è hm = 2,85 m e si ottiene la tabella a.8.13. h (m) 2,85 2,80 2,70 2,60 2,50 2,40 2,30 2,20 2,10 2,00 1,90 1,80 1,75 1,70 1,65 1,60 1,55
x (m) 4150,0 4147,0 4140,9 4134,9 4128,9 4122,9 4117,0 4111,1 4105,3 4099,5 4093,9 4088,3 4085,6 4082,9 4080,2 4077,6 4075,1
tabella a.8.13
52
A (m2 ) 34,20 33,60 32,40 31,20 30,00 28,80 27,60 26,40 25,20 24,00 22,80 21,60 21,00 20,40 19,80 19,20 18,60
p (m) 17,70 17,60 17,40 17,20 17,00 16,80 16,60 16,40 16,20 16,00 15,80 15,60 15,50 15,40 15,30 15,20 15,10
R (m) V (m/s) 1,93 1,18 1,91 1,20 1,86 1,25 1,81 1,30 1,76 1,35 1,71 1,41 1,66 1,47 1,61 1,53 1,56 1,61 1,50 1,69 1,44 1,78 1,38 1,87 1,35 1,93 1,32 1,98 1,29 2,04 1,26 2,11 1,23 2,18
J 0,00036 0,00038 0,00043 0,00048 0,00053 0,00060 0,00068 0,00078 0,00089 0,00104 0,00121 0,00142 0,00155 0,00169 0,00185 0,00203 0,00224
Jm 0,00037 0,00040 0,00045 0,00050 0,00057 0,00064 0,00073 0,00084 0,00096 0,00112 0,00131 0,00149 0,00162 0,00177 0,00194 0,00214
E (m) 2,921 2,874 2,780 2,686 2,593 2,501 2,410 2,320 2,232 2,145 2,061 1,979 1,939 1,901 1,863 1,827 1,792
E (m) x (m) -0,047 −0,094 −0,094 −0,093 −0,092 −0,091 −0,090 −0,088 −0,087 −0,084 −0,082 −0,040 −0,039 −0,038 −0,036 −0,035
−3,0 −6,1 −6,0 −6,0 −6,0 −5,9 −5,9 −5,8 −5,8 −5,7 −5,6 −2,7 −2,7 −2,6 −2,6 −2,5
h (m) 1,50 1,45 1,40 1,35 1,32 1,30 1,28 1,26 1,24 1,22 1,20 1,18 1,16 1,14 1,13 1,12 1,11 1,10 1,09 1,08 1,07 1,06
x (m) 4072,6 4070,3 4068,0 4065,8 4064,6 4063,8 4063,0 4062,3 4061,6 4060,9 4060,3 4059,7 4059,2 4058,8 4058,6 4058,4 4058,2 4058,1 4057,9 4057,8 4057,8 4057,7
A (m2 ) 18,00 17,40 16,80 16,20 15,84 15,60 15,36 15,12 14,88 14,64 14,40 14,16 13,92 13,68 13,56 13,44 13,32 13,20 13,08 12,96 12,84 12,72
p (m) 15,00 14,90 14,80 14,70 14,64 14,60 14,56 14,52 14,48 14,44 14,40 14,36 14,32 14,28 14,26 14,24 14,22 14,20 14,18 14,16 14,14 14,12
R (m) V (m/s) 1,20 2,25 1,17 2,33 1,14 2,41 1,10 2,50 1,08 2,55 1,07 2,59 1,05 2,63 1,04 2,68 1,03 2,72 1,01 2,76 1,00 2,81 0,99 2,86 0,97 2,91 0,96 2,96 0,95 2,98 0,94 3,01 0,94 3,04 0,93 3,07 0,92 3,09 0,92 3,12 0,91 3,15 0,90 3,18
J 0,00248 0,00275 0,00306 0,00343 0,00367 0,00385 0,00404 0,00424 0,00446 0,00469 0,00494 0,00520 0,00549 0,00579 0,00595 0,00612 0,00630 0,00648 0,00666 0,00686 0,00706 0,00727
Jm 0,00236 0,00261 0,00291 0,00324 0,00355 0,00376 0,00395 0,00414 0,00435 0,00457 0,00481 0,00507 0,00534 0,00564 0,00587 0,00604 0,00621 0,00639 0,00657 0,00676 0,00696 0,00717
E (m) 1,758 1,726 1,696 1,668 1,653 1,643 1,634 1,626 1,617 1,610 1,603 1,597 1,591 1,587 1,584 1,583 1,581 1,580 1,578 1,578 1,577 1,576
E (m) x (m) −0,034 −2,5 −0,032 −2,4 −0,030 −2,3 −0,028 −2,2 −0,015 −1,2 −0,010 −0,8 −0,009 −0,8 −0,009 −0,7 −0,008 −0,7 −0,008 −0,7 −0,007 −0,6 −0,006 −0,6 −0,006 −0,5 −0,005 −0,5 −0,002 −0,2 −0,002 −0,2 −0,002 −0,2 −0,001 −0,1 −0,001 −0,1 −0,001 −0,1 −0,001 −0,1 0,000 0,0
tabella a.8.13 Segue
Per il profilo F3 nel secondo tratto si parte dalla sezione di controllo ad ascissa x = 4150 m ove il tirante è cc a = 0,488 m e si ottiene la tabella a.8.14. h (m) 0,49 0,51 0,53 0,55 0,57 0,59 0,61 0,63 0,65 0,67 0,69 0,71
x (m) A (m2 ) 4150,0 5,86 4152,6 6,10 4155,2 6,34 4158,0 6,58 4160,8 6,82 4163,8 7,06 4166,8 7,30 4170,1 7,54 4173,5 7,78 4177,1 8,02 4181,0 8,26 4185,2 8,50
p (m) 12,98 13,02 13,06 13,10 13,14 13,18 13,22 13,26 13,30 13,34 13,38 13,42
R (m) V (m/s) 0,45 6,91 0,47 6,64 0,49 6,39 0,50 6,15 0,52 5,94 0,54 5,74 0,55 5,55 0,57 5,37 0,58 5,20 0,60 5,05 0,62 4,90 0,63 4,76
J 0,08624 0,07574 0,06687 0,05931 0,05285 0,04728 0,04246 0,03828 0,03462 0,03141 0,02858 0,02608
Jm 0,08099 0,07130 0,06309 0,05608 0,05006 0,04487 0,04037 0,03645 0,03301 0,02999 0,02733
E (m) 2,925 2,757 2,610 2,480 2,367 2,266 2,178 2,099 2,030 1,969 1,914 1,866
E (m) x (m) −0,168 −0,147 −0,129 −0,114 −0,100 −0,089 −0,078 −0,069 −0,062 −0,055 −0,048
2,6 2,7 2,7 2,8 2,9 3,1 3,2 3,4 3,6 3,9 4,3
tabella a.8.14
53
h (m) 0,73 0,75 0,77 0,78 0,79 0,80 0,81 0,82
x (m) A (m2 ) 4190,0 8,74 4195,5 8,98 4202,1 9,22 4206,2 9,34 4211,1 9,46 4217,2 9,58 4225,6 9,70 4240,2 9,82
p (m) 13,46 13,50 13,54 13,56 13,58 13,60 13,62 13,64
R (m) V (m/s) 0,65 4,63 0,67 4,51 0,68 4,39 0,69 4,33 0,70 4,28 0,70 4,23 0,71 4,17 0,72 4,12
J 0,02386 0,02189 0,02012 0,01931 0,01854 0,01781 0,01712 0,01647
Jm 0,02497 0,02287 0,02100 0,01972 0,01893 0,01818 0,01747 0,01680
E (m) 1,823 1,785 1,752 1,737 1,723 1,709 1,697 1,685
E (m) x (m) −0,043 4,8 −0,038 5,5 −0,033 6,7 −0,015 4,1 −0,014 4,8 −0,013 6,1 −0,012 8,5 −0,012 14,6
tabella a.8.14 Segue
Il profilo di moto permanente risultante è illustrato nella figura a.8.11.
5 4 3
z (m)
2 1 0 −1 −2
3500
3600
3700
3800
3900
4000
4100
4200
x (m )
figura a.8.11
Si osserva che il profilo di corrente lenta F1 termina all’ascissa x = 4057,7, dove il profilo di corrente veloce F2 ha già raggiunto la condizione di moto uniforme. Il risalto idraulico è dunque localizzato nella sezione dove la spinta totale relativa al tirante di corrente lenta 1 Q2 = γ B h2 + ρ 2 Bh uguaglia la spinta totale relativa all’altezza di moto uniforme: 1 Q2 2 = 205 467 N 02 = γ B h0 + ρ 2 2 B h02 Si verifica che tale spinta è uguagliata in corrispondenza del tirante h = 1,35 m che si verifica all’ascissa x = 4065 m. In tale sezione si verifica il risalto idraulico e si ha nel canale, quindi, il profilo di moto permanente illustrato nella figura a.8.12.
54
5 4
z (m)
3 2 1 0 -1 -2 3500
3600
3700
3800
3900 x (m )
4000
4100
4200
figura a.8.12
55
