Facultad de ciencias ITM Instituto Tecnológico Metropolitano de Medellín
Medellín Febrero de 2013
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Índice Introducción ……………………….……………………………………………………....………..…. 5 1. Práctica 1. Sesión 1. Unidades , errores e instrumentos ..………..…….………………………….... 7 2. Práctica 1. Sesión 2. Unidades , errores e instrumentos ………………………….………….…..…. 7 3. Práctica 2. Gráficas ...………………………………………………….…………………........….....21 4. Práctica 3. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, MUA …………………..………...… 29 5. Práctica 4. Caída libre ……………………………………………………………………………….35 6. Práctica 5. Movimiento curvilíneo ...……………………………………………………………...... 39 7. Práctica 6. Equilibrio de fuerzas ……………………………..…………………………………….. 47 8. Práctica 7. Dinámica del plano inclinado ……………………….……….…………………...…….. 51 9. Práctica 8. Aceleración de dos cuerpos atados ………………………..……………………............ 57 10. Práctica 9. Energía de un sistema oscilante ……………………………………………………….. 63 11. Práctica 10. Colisiones …………………………………………………………………………...... 67 12. Práctica 11. Aceleración angular ………………………………………………………………….. 75 13. Práctica 12. Momento de inercia …………………………………………………………………... 81 14. Práctica 13. La proponen los estudiantes .
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Introducción Este manual contiene la descripción de catorce prácticas de laboratorio que complementan la instrucción teórica del curso de Física Mecánica del ITM (Instituto Tecnológico Metropolitano de Medellín), organizadas en el mismo orden que observa el microcurrículo del curso teórico. El manual conserva para todas las prácticas la misma estructura a saber: encabezados y título, implementos, objetivos, teoría, procedimiento e informe. Algunas prácticas no requieren de manipulación de aparatos, sino que conducen al estudiante a resolver algunos ejercicios teóricos, bien sea a mano o usando recursos computacionales, como en el caso de la práctica dedicada a las gráficas, en la cual es importante el manejo de algún software de apoyo. También hay otras prácticas en las cuales se desarrollan tareas y ejercicios en papel como en el caso de la práctica de teoría de errores. Usualmente estas prácticas están pensadas para servir como ejercicio en el uso de las herramientas que serán importantes posteriormente dentro del mismo curso. Dado que se ha tratado de hacer un esfuerzo en la descripción del procedimiento de cada práctica para que pueda ser seguida por los estudiantes solos, se espera que durante el desarrollo de la práctica de laboratorio el docente esté atento al manejo cuidadoso de los equipos por parte de los estudiantes, a solucionar dudas conceptuales y a corregir aquello que vea mal aplicado o muy alejado del sentido de la práctica, pero la idea es que promueva el trabajo independiente y que en lo posible no intervenga en el desarrollo de la práctica por parte de los estudiantes. El docente debe ser el coordinador de la actividad y estar atento a las preguntas de los estudiantes para orientarlos, procurando no manipular los equipos por ellos, ni a intervenir directamente en los procedimientos que deban ejecutar los estudiantes como parte de su proceso académico. Es muy importante también que el docente realice las prácticas previamente para que tenga una noción del porcentaje de error involucrado en cada práctica. En términos generales se espera que el estudiante realice experimentos de física apoyado en una guía y en el docente, de los cuales debe extraer conclusiones que apoyen fuertemente su proceso de aprendizaje. Para lograr que la física involucrada en los experimentos sea asimilada apropiadamente, es necesario que el estudiante adquiera las habilidades mínimas necesarias en el trabajo de laboratorio, como el montaje de experimentos y la manipulación de algunos equipos, así como en todo el proceso de medición, la adquisición de datos y el registro de actividades, el análisis de resultados y la presentación de los mismos. Algunas prácticas exigen mayor cuidado con los equipos de laboratorio dada su fragilidad, por lo cual también se espera que el docente colabore mucho con el cuidado de los mismos, informando a los estudiantes los detalles sobre el cuidado de cada equipo y permaneciendo atento a su buen uso durante la práctica. En algunos casos como en la práctica de gráficas puede hacerse necesario que el docente dedique unos minutos a enseñar el manejo de algún software especial para graficar, aunque basta con usar EXCEL como lo sugiere la guía, aunque algunos estudiantes ya manejan algún otro software en cuyo caso no habría necesidad de que use EXCEL sino que cumpla con las gráficas especificadas en esta guía. Muchas gracias a la facultad de ciencias, que permitió el desarrollo de este manual, así como al personal de laboratorios del ITM, Lina María Moreno Muñoz y Yamile Jiménez Echeverri, al fotógrafo Jhonny Múnera y al departamento de comunicaciones. Finalmente gracias a todos los docentes que han aportado de algún modo para mejorar esta segunda versión del manual: Richard Benavides, Luis Alfredo Muñoz, Santiago Pérez, Camilo Valencia y Diego Gutiérrez, espero poder seguir contando con sus aportes en el futuro. 5
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Guía de Laboratorio de Física Mecánica. ITM, Institución universitaria. Práctica 1. Dos sesiones de clase. Unidades, errores e instrumentos Implementos Regla, balanza, flexómetro, cronómetro, tornillo micrométrico, calibrador, balanza, cilindro, paralelepípedo, esfera, CD, computador.
Objetivos Aprender a manejar los instrumentos de precisión y a escribir las medidas tomadas con ellos. Aprender a hacer operaciones con estas medidas y a reportarlas con su respectiva incertidumbre. Aprender a manejar el concepto de incertidumbre en una cantidad medidas muchas veces
Introducción Debido a que esta guía debe trabajarse durante dos sesiones de clase, es importante que el docente oriente el desarrollo de la clase explicando primero en el tablero un par de ejemplos de reglas para operar con cantidades con error. También debe el docente ilustrar a los estudiantes la forma como se manejan el tornillo micrométrico y el calibrador. La teoría de unidades y notación se incluye aquí, aunque ya debe ser conocida por los estudiantes, de modo que el docente debe enfocarse en la exposición de los dos temas siguientes a saber, la teoría de errores y su propagación así como el uso de instrumentos de precisión. Al final de las dos sesiones de clase los estudiantes deben entregar el informe completo, sin embargo, al finalizar la primera sesión el docente debe verificar que los estudiantes hayan avanzado al menos hasta el numeral 7 del informe.
Unidades Fundamentales
MAGNITUD Longitud Masa Tiem o Intensidad de corriente eléctrica Temperatura Cantidad de sustancia Intensidad luminosa
NOMBRE SÍMBOLO Metro m Kilo ramo k Se undo s Am erio A Kelvin K Mol mol candela cd
Tabla 1. Unidades básicas o fundamentales 7
Toda medida efectuada debe estar acompañada de las respectivas unidades que hablen de la naturaleza de lo medido. Las unidades en que se mida algo deben ser producto de un acuerdo entre todas las personas que las van a usar. En el año 1960 se estableció el sistema internacional de unidades por convenio entre 36 países, número que aumentó posteriormente. Todas las magnitudes de las cantidades físicas medibles se pueden expresar en función de siete unidades básicas, las cuales se exhiben en la tabla 1.
MAGNITUD Superficie Volumen Velocidad Aceleración Número de onda Densidad volumétrica Velocidad angular Aceleración angular Volumen Masa Presión y tensión
Nombre metro cuadrado metro cúbico metro por segundo metro por segundo cuadrado Metro elevado a la menos uno kilogramo por metro cúbico radián por segundo radián por segundo cuadrado Litro Tonelada Bar
Símbolo m2 m3 m/s m/s 2 m-1 kg/m 3 rad/s rad/s 2 1L=1 dm3=10-3 m3 1T=103 kg =106 g 1Bar=105 Pa
Tabla 2. Unidades SI derivadas expresadas a partir de unidades básicas
Magnitud Frecuencia Fuerza Presión Energía, trabajo Potencia Carga eléctrica Potencial eléctrico Resistencia eléctrica Capacidad eléctrica Flujo magnético Inducción magnética
Nombre Hertz Newton Pascal Joule Watt Coulomb Voltio Ohm Faradio Weber Tesla
Símbolo Hz N Pa J W C V Ω F Wb T
Unidades en SI básicas 1/s Kg.m/s2 N/m2 N.m J/s s·A J/s.A V/A C/V V·s Wb/m2
Tabla 3. Unidades derivadas con nombres y símbolos especiales.
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Unidades derivadas o compuestas Las unidades derivadas se definen a partir de las unidades básicas por medio de expresiones algebraicas. Algunas de estas unidades reciben un nombre especial y un símbolo particular, otras se expresan a partir de las unidades básicas. Podemos ver algunos ejemplos en las tablas 2 y 3.
Sistema Inglés Además del Sistema Internacional de medidas, existen otros sistemas de unidades, como el Sistema Inglés, ampliamente utilizado. Por esta razón es importante conocer las equivalencias entre diferentes sistemas. Se muestran en la tabla 4 algunas de las equivalencias útiles para la conversión de unidades entre los dos sistemas, correspondientes a varias cantidades de naturaleza diferente, pero en general es fácil consultar en la red cualquier factor de conversión entre sistemas de medida.
Unidad inglesa Pulgada Pie Yarda Milla Onza líquida (volumen) Libra (masa) Galón (volumen) Barril (volumen) Horse power (potencia)
Equivalencia en el SI 2.54 cm 30.48 cm 91.44 cm 1.609,344 m 28,4130625 ml 0,45359237 kilogramos 4.40488 l 158.9872949 l 746 W
Símbolo In ó ”
ft yd mi fl oz lb gal Barril hp
Tabla 4. Tabla de equivalencias entre sistemas de unidades En el SI también se utilizan otras unidades múltiplos de las fundamentales, que tienen cabida en algunas áreas de estudio particulares. Por ejemplo para hacer medidas de tamaños atómicos se usa el Angstrom Å y la unidad de masa atómica (UMA), y para hacer medidas de tipo astronómico se usan el parsec, la unidad astronómica (u.a.) y el año luz. En la tabla 6 se ilustran algunas de éstas. 1 Angstrom (Å) 1 Unidad Astronómica (ua) 1 Parsec (pc) 1 Año Luz (al)
= 10-10 m = 1,496 x 1011 m = 3,0857 x 1016 m = 9,4605 x 1015 m
Tabla 5. Otras unidades. 9
Análisis dimensional En muchos casos la respuesta a un problema puede decirnos si cometimos algún error en los cálculos, haciendo un análisis dimensional, de acuerdo con las dimensiones físicas involucradas. Una Dimensión en física se entiende como una descripción de la naturaleza física de una cantidad, pero no depende de las unidades en que se mida. Es decir, no importa en que unidades nos estemos refiriendo a una cantidad, esta siempre será la misma, por ejemplo una longitud no cambia si se expresa en metros o en pies, esta siempre será una longitud. La dimensión de una cantidad física se representa encerrándola entre corchetes. Los símbolos de las dimensiones fundamentales son: [tiempo] ≡ [T] [Longitud] ≡ [L] [Masa] ≡ [M]
Las otras cantidades que se miden tienen dimensiones que son combinaciones de éstas. Por ejemplo, la aceleración se mide en metros sobre segundo al cuadrado; estas unidades tienen dimensiones de la longitud dividida entre el tiempo al cuadrado, por lo tanto se escribe simbólicamente: [ Aceleración]
[ L]
[T ]2
Examinar las dimensiones en una ecuación puede suministrar información útil. Por ejemplo, para la ecuación: F = ma (Fuerza = (masa)*(aceleración)), la dimensión es el resultado de multiplicar la dimensión de la masa por la dimensión de la aceleración: Simbólicamente tenemos que:
Fuerza M [
L]
[T ]2
La expresión anterior representa la unidad de fuerza denominada Newton (N), cuyas unidades son kg*m/s 2, vea la tabla 4.
Ejemplo Determinar si la ecuación
x
1 2
2
at
es dimensionalmente correcta.
Solución: Las unidades de aceleración se representan simbólicamente por: [ L] [T 2 ]
10
La unidad de tiempo al cuadrado por la expresión [ T 2]. Al multiplicarse será: [ L] 2
[T ]
T L 2
Al cancelar la unidad de tiempo al cuadrado se obtiene como resultado la unidad de longitud, por lo cual es dimensionalmente correcta, ya que al lado izquierdo de la ecuación inicial tenemos una longitud x, la cual se mide en m.
Notación científica En Física es necesario manipular cantidades tan grandes como distancias intergalácticas o tan pequeñas como distancias atómicas, esto requiere que hagamos uso de la notación científica, en la cual se utilizan las potencias de 10 para simplificar la escritura. La convención de la escritura es la siguiente: un dígito seguido de los decimales, si los hay, multiplicado por alguna potencia de 10, de esta manera el símbolo 5,3x10 3 significa que hay que multiplicar el 5,3 por 10 tres veces. Por cada lugar que se corre la coma decimal hacia la izquierda, el exponente del número 10 aumenta en una unidad. Si la coma decimal se corre hacia la derecha un lugar, el exponente del número 10 disminuye una unidad.
Ejemplos En la tabla 6 se describen algunos ejemplos que ilustran como se expresa una cantidad en notación científica, teniendo en cuenta que en algunos casos hay que escribir potencias negativas 0,56x107 = 5,6x106
Se corre el punto decimal un lugar a la derecha y se disminuye el exponente del 10 en una unidad.
0,00000914x103 = 91,4x10-4
Se corre el punto decimal siete lugares a la derecha y el exponente del 10 aparece disminuido en siete unidades.
521000 =5.21x105
Se corre la coma decimal cinco lugares hacia la izquierda y el exponente del 10 aumenta en cinco unidades.
Tabla 6. Ejemplos de manipulación de potencias de diez.
Prefijos del sistema de unidades Una ventaja del sistema métrico es el uso de prefijos para denotar los múltiplos de las unidades básicas. Por ejemplo el prefijo kilo significa 1000 veces la unidad básica o derivada; así, un kilometro son 1000 metros, 11
un kilogramo son 1000 gramos y un centímetro equivale a 0,01 metro, es decir 10-2 m = 1m/100. Los prefijos nos permiten abreviar muchas expresiones, que podrían resultar muy extensas, por ejemplo la velocidad de la luz es aproximadamente 300000000 m/s, pero es más fácil decir 300 Mm\s ó también 0.3Gm\s La tabla 7 muestra el factor, el nombre y el símbolo de los prefijos utilizados en física o en cualquier otra área del conocimiento.
Factor 1024 1021 1018 1015 1012 109 106 103 102 101
Prefijo Yotta Zeta Exa Peta Tera Giga Mega Kilo Hecto Deca
Símbolo Y Z E P T G M K H D
Factor 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 10-15 10-18 10-21 10-24
Prefijo Deci centi Mili micro Nano Pico femto Atto zepto yocto
Símbolo d c m µ n p f a z y
Tabla 7. Prefijos de las potencias de diez
Ejemplos 1) La distancia media entre la tierra y la luna es de 384400000 m. Entonces para aplicar los prefijos se puede decir que la luna está a
384400000 m = 384400x103 m = 384400 km = 384,4 Mm = 0,38 Tm 2) Escribir con otros prefijos el número de Avogadro 6,022×1023 mol.
6,022×1023 mol = 0,6022×1024 mol = 0,6022 Ymol = 6022 Zmol 3) 5 nanómetros equivalen a 5x10-9 metros; la expresión simbólica es: 5 nm. 4) El diámetro promedio de un átomo de hidrógeno es de 0,000000000 1m. Entonces este número puede escribirse como 1/(10 000 000 000) = 1/(10x10x10x10x10x10x10x10x10x10) = 1x10
-10 =
1Å
5) La masa del sol en notación científica es 2,0x10 33 g, expresarla en a) Hg 12
b) Gg Solución: a) Como queremos pasar a Hg debemos multiplicar por el factor adecuado
1 Hg 33 33 33 31 2 2,0 10 g 2,0 10 g 2 2,0 10 10 Hg 2,0 10 Hg 10 g Se puede ver que los g se cancelan y luego los exponentes de las potencias de diez se suman. b) Para expresar el valor de la masa del sol en Gg, se debe multiplicar por el factor adecuado
1Gg 33 33 33 24 9 2,0 10 g 2,0 10 g 9 2,0 10 10 Gg 2,0 10 Gg 10 g 6) Se dice que un guepardo puede alcanzar una velocidad de 100 km/h. ¿A cuánto equivale este valor en m/s? Solución: En este caso se debe tener en cuenta que hay que multiplicar por dos factores, uno para pasar los km a m y otro para pasar las horas a segundos
100
km h
10
2
10 m 1h 10 10 m 10 m 100000m m 27 ,78 h 1km 3600S S 3600 S 3600 S 3600 S
km
3
2
3
5
Teoría de errores Todo instrumento de medida tiene un error asociado, que indica la fineza o precisión de una medida tomada con él. Éste error es también llamado incertidumbre en la medida. En todo aparato de medida el error está dado por la mínima división de la escala del aparato. En una regla normal, la mínima división es de milímetros (1mm) o décimas de centímetro (0,1cm). Toda medida tomada e n un experimento debe escribirse como: B' B B
Donde B es la lectura de la medida en el instrumento usado, llamada valor central, y Δ B es el error asociado con el aparato. Una medida tomada con una regla se escribiría como: A’=(2,5±0,1)cm, o también como A’=(25±1)mm. En este caso el valor central es 2,5cm y el error es 0,1cm. Una interpretación de esto es que la medida está entre 2,4 y 2,6cm. Es incorrecto escribir por ejemplo A’=(2,5±0,01)cm, ya que la última cifra
de la incertidumbre o error debe tener la misma posición decimal que la última cifra del valor central. Por la misma razón también es un error escribir A’=(2,05±0,1)cm. 13
Los errores se clasifican en tres tipos: sistemáticos, de escala y aleatorios. Los errores sistemáticos introducidos al tomar medidas en el laboratorio son en general debidos a las técnicas de medida empleadas o a los aparatos usados. La descalibración de los instrumentos de medida es una causa común de errores sistemáticos. Estos errores se reproducen igual bajo las mismas condiciones de medida (siempre tienen el mismo valor), pero pueden ser identificables y eliminables en buena parte. También se presentan errores de paralaje debidos a una mala posición del observador respecto a los indicadores del aparato. Los llamados errores de escala están asociados con la precisión del instrumento (lo cual no debe confundirse con la calibración), ya que al tomar una medida con un instrumento cuya precisión es del mismo orden que escala del aparato de medida, predomina el error de escala sobre otros. El error de escala corresponde al mínimo valor que puede medirse con el instrumento. Los errores aleatorios se asocian a las condiciones en las que se realiza el montaje experimental que busca hacer una medición determinada. Se deben a eventos individuales e imposibles de controlar durante las mediciones. Este tipo de error se contrapone al concepto de error sistemático y en general son sus orígenes son difíciles de identificar y corregir, nunca desaparecen totalmente.
Redondeo Ya que en adelante se va a tratar con cantidades experimentales, que frecuentemente debemos redondear o ajustar para expresar correctamente, vamos a ver algunas reglas para el manejo de cifras significativas y redondeo de decimales. Al redondear números, la cifra que se va a descartar debe estar entre cinco y nueve para que la última cifra que queda se aumente en uno. Ejemplo: Al redondear 3,45681 a tres decimales se obtiene 3,457. Si se fuera a redondear a un decimal quedaría 3,5. Cuando la cifra a descartar está entre cero y cuatro, la última cifra que queda no se modifica. Ejemplo: Al redondear 87,58276 a dos decimales se obtiene 87,58. Esta regla es una versión más simplificada, ya que lo usual es que cuando la cifra a descartar es cinco, hay que entrar a analizar las cifras que le siguen, pero no consideraremos por ahora esta regla por agilidad en el trabajo.
Cifras significativas 1. El número de cifras significativas de una cantidad se cuenta de izquierda a derecha comenzando por el primer dígito diferente de cero. Ejemplo: en 23,456 hay cinco cifras significativas. En el número 0,00897 hay tres cifras significativas. 2. Los ceros que den lugar a potencias de diez no cuentan como cifras significativas. Ejemplo: el número 144000000 tiene tres cifras significativas puesto que se puede escribir 1,44x10 8. El número 0,08972 puede escribirse como 8,972x10 -2, por lo que tiene cuatro cifras significativas. El número 123,004 tiene seis cifras significativas ya que estos ceros no dan lugar a potencias de diez. 3. Al sumar o restar dos números con cifras decimales, el resultado debe tener el mismo número de cifras decimales que la cantidad que menos tenga de las dos que se operaron. Ejemplo: al sumar 23,657 con 84,3 se obtiene 107,9. 14
4. Al multiplicar o dividir dos números, el número de cifras significativas en la respuesta debe ser igual al del término que menos tenga. Ejemplo: al multiplicar 12,90x10 -4 por 34 se obtiene 438,6x10 -4 ó también 4,386x10 -2, pero debe escribirse con dos cifras por lo que queda 4,4x10 -2. 5. El error asociado con una medida debe expresarse con una sola cifra significativa, puesto que la incertidumbre expresa una duda en la última cifra de la medida como se explicó en la introducción. Sin embargo en algunos casos especiales el error se escribe con más de una cifra y esto puede deberse a que proviene de medidas indirectas o a alguna otra razón técnica.
Operaciones entre cantidades con error. Propagación de errores Las medidas tomadas en un laboratorio usualmente son usadas para realizar operaciones entre ellas, por ejemplo, si se miden los dos lados de un rectángulo para conocer su área, se deben multiplicar dos cantidades con error. Al realizar la operación se debe tener en cuenta que el resultado debe tener un error asociado o propagado, que a su vez respete las reglas de redondeo y de cifras significativas. Lo primero que hay que hacer es redondear el error propagado a una cifra y luego se ajusta el número de cifras del valor central para que su última posición decimal coincida con la del error, para lo cual a veces es necesario escribir el valor central en potencias de diez. En la siguiente tabla se resumen los errores asociados con las operaciones básicas, para medidas independientes. Las cantidades correspondientes a dos números con error se escriben (A±ΔA) y (B±ΔB), se operan según indica la siguiente tabla y el resultado es un número de la forma (Z±ΔZ), donde Z es el resultado de operar los dos valores centrales A y B, y por otro lado ΔZ se encuentra realizando la operación
de la tercera columna de la tabla, según sea la operación.
Nombre de la Operación Operación Multiplicación por una C(X ± Δx)= CX± Δz constante Potencia (X± Δx)n =Xn± Δz Suma o Diferencia Producto de binomios a una potencia
(X ± Δx) + (Y± Δy) =(X+Y)± Δz (X ± Δx) - (Y± Δy) =(X-Y)± Δz (X± Δx)m (Y± Δy)n = Xm Yn ± Δz X x Y y
Función seno Función coseno Función tangente
Δ z = C Δx z
n X n1 x
z
( x) 2
X Y
(y)
z X Y
n
x y m n X Y 2
z
sen(θ± Δθ ) = senθ ± Δ z cos(θ± Δθ ) = cosθ ± Δ z tan(θ± Δθ ) = tanθ± Δ z
2
2
m
Caso trivial de producto: m=n=1 Cociente
Incertidumbre
X x y z Y X Y Δ z = (cosθ ) θ Δ z = (senθ ) θ Δ z = (sec2θ ) θ
2
2
Tabla 1. Operaciones entre cantidades con error 15
Error para una cantidad medida muchas veces En algunos casos es necesario repetir muchas veces una medida para obtener un dato más aproximado a la realidad o debido a la aleatoriedad de algún proceso, por lo cual el resultado debe tener en cuenta las reglas de la estadística a la hora de expresar los datos obtenidos. En estos casos la medida repetida n veces de la variable X se expresa como: X x
Donde el valor central de la medida es x , el valor medio o el promedio de la medida, y está dado por n
x
i
x
i 1
n
mientras que en este caso el error es llamado desviación estándar σ, y se calcula usando la fórmula:
1
n
x
n 1 i 1
i
x
2
Porcentaje de error Cuando se conoce el valor teórico V teor de una cantidad, se calcula el porcentaje de error comparando este valor con el valor experimental obtenido V exp, mediante la siguiente fórmula: % Error
V teor V exp V teor
100
Instrumentos de precisión Cuando queremos medir una distancia en el laboratorio, es deseable tener la mayor precisión posible en la medida. Si queremos tomar medidas de longitudes con precisión de centésimas o milésimas de milímetro debemos usar un instrumento que tenga ese grado de precisión, como es el caso del calibrador y del tornillo micrométrico. En una regla común y corriente, la incertidumbre o mínima división es de un milímetro (1mm) o una décima de centímetro (0,1cm), pero en un calibrador es de 0,05mm, mientras que en un tornillo micrométrico es de 0,01mm. Aunque existen calibradores de más precisión, usaremos los que tenemos disponibles, que son de 0,05 mm de precisión. Hay que tener en cuenta que la precisión de una medida también es relativa a las dimensiones de lo que se mide. Por ejemplo no tiene sentido medir la distancia entre dos ciudades con precisión de milímetros.
Calibrador o pie de rey Un calibrador tiene una parte con división en milímetros y otra parte corrediza llamada nonio, que tiene otra pequeña regla que corresponde a una división de un milímetro en 20 partes. Existen además otros tipos de 16
pie de rey que tienen otras divisiones en el nonio, pero vamos a detallar solamente el de 0,05mm de precisión. Al tomar medidas con un calibrador, primero se toma la lectura de la parte entera de la regla (en milímetros) y luego se toma la lectura de la parte decimal del nonio, donde cada raya corresponde a (1/20)mm, es decir 0,05mm, que a su vez es el error o incertidumbre en la medida del instrumento. Para tomar la parte decimal de la medida, se busca la raya del nonio que mejor coincida o que mejor se alinee con una raya cualquiera correspondiente a los milímetros de la regla. Si por ejemplo la raya marcada con el 2 se alinea con una raya cualquiera de la regla, la lectura decimal será 0,20mm. Si la raya que se alinea es por ejemplo la que está entre el 6 y el 7 del nonio, la lectura decimal es 0,65mm. Medida Calibrador = {[(Lectura de regla) + (lectura de nonio)] ± 0,05}mm Las figuras 1 y 2 ilustran un calibrador y el detalle del nonio. Cuando se mira el nonio para buscar el valor decimal se debe tener cuidado de no cometer errores de paralaje, la ubicación de la mirada debe estar bien perpendicular al nonio.
Figura 1. Pie de rey o calibrador
Figura 2. Detalle de nonio A continuación veamos un ejemplo de una medida tomada con un calibrador o pie de rey. En la figura 3 podemos ver que la raya del cero del nonio se encuentra después de los 24 mm (en la regla). El dato de los milímetros se toma como 24, mientras que la parte decimal se halla buscando la raya del nonio que se mejor alinee con una raya cualquiera correspondiente a los milímetros de la regla. En este ejemplo es evidente que 17
la raya del nonio que mejor coincide con alguna raya correspondiente a milímetros es la del número 6. Es decir que la parte decimal es 0,60 mm. Escribiendo la medida completa del ejemplo con su respectivo error se tiene: (24,60±0,05) mm.
Figura 3. Ejemplo pie de rey
Tornillo micrométrico Un tornillo micrométrico tiene una parte con escala en milímetros y otra parte giratoria llamada tambor, que tiene una división de un giro completo en cincuenta partes iguales, lo que corresponde a una división de medio milímetro en 50 partes. Es decir que 1 mm corresponde a dos vueltas completas del tambor. Al tomar medidas con un tornillo micrométrico, hay que tener en cuenta que la regla horizontal está marcada cada medio milímetro alternadamente arriba y abajo de la línea central. Note que la primera raya es cero y está arriba, y la siguiente raya (abajo) corresponde a 0,5 mm. Las rayas de arriba de la línea central marcan cada milímetro: 0 1 2 3 …, mientras que las de abajo marcan las mitades de mm: 0,5 1,5 2,5 3,5 …, además el tambor está marcado cada 0.01 mm.
Figura 4. Tornillo micrométrico 18
Figura 5. Detalle del tambor. Ejemplo Para tomar una medida con el tornillo micrométrico primero se toma la lectura de la parte entera de la regla (en milímetros), donde hay que adicionar medio milímetro si el tambor rebasa una raya de la parte inferior de la regla (ver la figura 5). Luego se toma la lectura de la parte decimal del tambor, donde cada división corresponde a (0,5/50)mm, es decir 0,01mm. Que a su vez es el error o incertidumbre en la medida del instrumento. La medida del tambor se toma como la raya del tambor que mejor se alinee con la raya horizontal central de la regla. Medida con el tornillo = {[(Lectura de regla) + (lectura del tambor)] ± 0,01}mm Las figuras 4 y 5 ilustran un tornillo micrométrico y el detalle del tambor, a su vez ejemplo de una medida tomada con un calibrador. Notamos en la figura 5 que el tambor rebasa la tercera raya inferior de la re gla, por lo cual la medida de la regla es de 2,5 mm. Además puede verse que el tambor está a punto de terminar de dar un giro completo. La raya que mejor se alinea con la línea central de la regla se encuentra exactamente en la raya número 49 del tambor. Por esto hay que añadir 0,49 mm a la medida que ya traíamos de 2,5 mm. Por lo tanto la medida del ejemplo de la figura 5 es (2,99±0,01)mm. El profesor debe impartir las instrucciones necesarias para que los estudiantes dominen los dos instrumentos antes de comenzar las mediciones.
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Informe El informe escrito de esta práctica debe incluir: Portada, relato o descripción de todo el proceso de la toma de medidas, datos y operaciones correspondientes a cada numeral, cálculos a mano de los valores pedidos en el desarrollo de la práctica cuando sea necesario. Incluya conclusiones y causas de error. 1. Defina una unidad de longitud basada en la estatura de una persona y dele por nombre a la unidad el nombre de la persona (por ejemplo, 1 Juan=1Ju=1,68m), luego encuentre en términos de esa nueva unidad: a) La distancia aproximada Tierra-Sol, (¿cuántos Ju hay entre la tierra y el sol?) b) La distancia aproximada tierra luna c) Un año luz. 2. Escoja el instrumento apropiado y úselo para tomar medir la altura y el diámetro del cilindro y expréselas correctamente con su respectivo error. 3. Calcule el volumen del cilindro teniendo en cuenta todas las reglas de redondeo, cifras y operaciones entre cantidades con error descritos al inicio de esta guía. Tenga en cuenta las unidades para que exprese el resultado en cm3. 4. Use la balanza para medir la masa del cilindro y escriba adecuadamente la medida. 5. Calcule la densidad del cilindro en g/cm 3, teniendo en cuenta todas las reglas de redondeo y cifras. Busque en internet una tabla de densidades para que por comparación establezca el material del que está hecho el cilindro. Calcule el porcentaje de error para la densidad del cilindro tomando el dato consultado como el valor teórico. 6. Use el flexómetro para medir y señalar una altura de dos metros en la pared respecto al piso. Realice una tabla donde consigne diez medidas del tiempo que tarda la esfera metálica en caer al piso al ser soltada desde el reposo a una altura de 2m. Exprese el valor central y el error tal como se indica en la sección correspondiente a una medida repetida varias veces. 7. Use la expresión y = 0,5gt 2 para calcular la gravedad en el laboratorio. Calcule el porcentaje de error comparando la gravedad obtenida (experimental) con la gravedad en Medellín 9,77 m/s 2 (teórica). 8. Tome el calibrador y mida las tres dimensiones del paralelepípedo, y expréselas correctamente. 9. Calcule el volumen del paralelepípedo teniendo en cuenta todas las reglas de redondeo, cifras y operaciones entre cantidades con error. Tenga en cuenta las unidades para que exprese el resultado en cm3. 10. Use la balanza para medir la masa del paralelepípedo y escriba adecuadamente la medida. 11. Calcule la densidad del paralelepípedo teniendo en cuenta todas las reglas de redondeo y cifras. Busque en internet una tabla de densidades para que por comparación establezca el material del que 20
está hecho el paralelepípedo. Calcule el porcentaje de error para la densidad del paralelepípedo, tomando como valor teórico el hallado en la tabla. 12. Use el tornillo micrométrico para medir el diámetro de la esfera de cristal. Exprese la medida adecuadamente. 13. Use la balanza para hallar la masa de la esfera. Escríbala adecuadamente. 14. Calcule la densidad de la esfera teniendo en cuenta la propagación de errores. Busque en una tabla la densidad del material para que establezca por comparación de qué está hecha la esfera. Calcule el porcentaje de error. 15. Mida el diámetro externo y el diámetro interno del CD usando el calibrador, y mida su espesor usando el tornillo micrométrico. 16. Calcule el volumen del CD, teniendo en cuenta la teoría de errores. 17. Escriba sus propias conclusiones de la práctica, así como las causas de error en las medidas tomadas.
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Guía de Laboratorio de Física Mecánica. ITM, Institución universitaria. Práctica 2. Gráficas. Implementos Hoja milimetrada, computador con Excel.
Objetivos Aprender a elaborar tablas de datos y a graficarlas, extrayendo la mayor cantidad de información posible de una situación experimental. También se busca que el estudiante desarrolle habilidades relacionadas con el proceso de graficar, como: tabular, escalar, ilustrar, dibujar, interpretar, detectar posibles errores experimentales etc.
Teoría Al hacer gráficas se debe tener en cuenta los siguientes pasos 1. Elaborar la tabla de datos, puede ser en forma vertical u horizontal, en la cual se nombran claramente los que serán los ejes de la gráfica. También se debe especificar entre paréntesis las unidades en las que se toman las medidas, las cuales no deben cambiar en todo el experimento. La tabla debe enumerarse y también debe recibir un nombre que le explique claramente al lector el significado de los datos y de la forma como fueron tomados. Aunque en ocasiones no es posible obtener un número grande de datos de una situación, lo ideal siempre es tener la mayor cantidad posible. Por lo general, entre más datos se tenga, más precisa será la información que arroje el análisis de la gráfica. Ejemplo: Eje horizontal (unidades) Eje vertical (unidades) Tabla 7.4. Nombre XXXXX XXXXXX 2. Trazar y nombrar los ejes, que son dos líneas perpendiculares entre si, el horizontal es comúnmente llamado eje de las abscisas y el vertical es llamado eje de las ordenadas. Los ejes deben nombrarse o rotularse en la misma forma que la tabla, ya sea con nombre completo o con un símbolo que lo represente, además de tener las unidades de la medida entre paréntesis.
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3. Escalar los ejes. La forma como se divide cada uno de los ejes debe escogerse de acuerdo a los valores máximo y mínimo de cada fila o columna de la tabla. Tanto la división de las escalas como los extremos de los valores deben procurar optimizar el espacio disponible para dibujar. En el caso de una hoja milimetrada se debe distribuir el espacio total para que no debe sobren espacios en blanco. No es necesario que en los dos ejes se tenga la misma división de escala, tampoco es necesario que comiencen en cero. Se recomienda que la división de la escala sea tal que pueda subdividirse fácilmente, por ejemplo, es más recomendable hacer una partición como 2, 4, 6, 8, que una partición como 7, 14, 21, etc. En general, resulta mejor usar números pares o múltiplos de diez para las particiones de escala. Se recomienda el uso de particiones donde los saltos sean de a 1, 2, 4, 5, 10, 20 100, 200 500, etc. 4. Localice los puntos en el área de dibujo y haga una marca. En caso de que se vayan a hacer varias gráficas en la misma hoja, se deben diferenciar los puntos de cada gráfica usando pequeños círculos, triángulos, etc., o también pueden diferenciarse usando colores diferentes para los puntos correspondientes a cada curva. 5. Trace una línea suave entre los puntos. No es necesario que la línea pase sobre todos los puntos, pero si se debe buscar que queden igual número de puntos por encima y por debajo de la curva o recta, incluso pueden quedar todos los puntos por fuera de la línea. También debe buscarse que las distancias de los puntos inferiores a la curva sea en promedio igual a la de los puntos por encima de la misma. 6. La gráfica debe tener un título, y posiblemente subtítulo, que ilustre los resultados obtenidos y que evidencie en la medida de lo posible la técnica de recolección de datos. También se recomienda que una vez se haga la gráfica se incluya dentro del espacio sobrante la ecuación obtenida y si es posible también la tabla para mayor claridad.
Gráficas más frecuentes
Línea recta En general un ecuación de recta tiene la forma y mx b , donde m es llamada la pendiente y b el intercepto de la recta con el eje vertical y cuando x = 0. Cuando se tiene una lista de datos cuya gráfica es (o cuando a simple vista se aproxima a) una línea recta, se busca encontrar la ecuación de recta que le corresponde, para lo cual se obtiene primero el intercepto b extendiendo la gráfica (recta) hasta que corte el eje vertical y leyendo directamente el dato b del mismo eje. Para obtener la pendiente m se toman dos puntos de la recta ( x1, y1) y ( x2, y2), procurando que se encuentren en extremos alejados de la misma para mejorar la precisión del cálculo, ya que dos puntos muy cercanos pueden introducir errores en la pendiente. Es importante recalcar que los puntos para hallar la pendiente se deben tomar de la recta, pero no es necesario que estén en la tabla, ya que puede darse el caso en que la recta no toque ningún punto de la tabla sino que pase entre todos ellos. La pendiente se calcula usando la fórmula: m
y 2
y1
x2 x1
(1)
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Líneas Curvas En una línea curva, la pendiente varía punto a punto, por lo cual el método anterior no nos proporciona una ecuación que se corresponda con los datos. Lo más usual es que una línea curva corresponda a un polinomio o a una ecuación exponencial, aunque no es la única forma, también son posibles otras formas de comportamiento de las curvas. Para analizar curvas es más conveniente usar papel logarítmico o papel semilogarítmico. Vamos a ocuparnos del caso logarítmico para ilustrar como se llega a una ecuación polinómica a partir de una tabla de datos y el caso semilogarítmico, que corresponde a una ecuación exponencial, se deja como ejercicio al estudiante. Consideremos la siguiente tabla de datos: X (m) Y (m) Tabla 1.
5.3 1.1
7.1 1.8
10.1 4.1
19.8 15.9
31 41
40.5 72
45.2 99
55 159
Al graficar estos datos en papel milimetrado normal se obtiene la siguiente curva:
Figura 1. Gráfica del conjunto de puntos de la tabla 1. En este caso el método tradicional hace uso de papel logarítmico (o Log-Log), en el cual la gráfica de los puntos de la tabla anterior es una recta. Serán materia de consulta para los estudiantes del curso las consideraciones matemáticas necesarias para hallar una ecuación apropiada, pues la que aparece en la ilustración anterior es proporcionada por el programa usado. En la actualidad es preferible usar un software especializado para encontrar una ecuación polinómica que se ajuste a esta curva, en nuestro caso, debido a su popularidad usaremos el programa EXCEL cuando nos encontremos frente a este tipo de gráficas. 25
Usando el programa EXCEL para graficar estos datos es posible incluir todos los aspectos descritos en la parte inicial de esta guía, como títulos, divisiones de escala, etc. Pero tal vez la mejor contribución del software es la inclusión de la ecuación correspondiente, la cual logra el computador usando métodos numéricos bastante precisos. Anteriormente sólo era posible el uso de métodos gráficos para ajustar una ecuación que respondiera de forma adecuada a la curva, pero en la actualidad contamos con muchos programas de computador que pueden realizar esta tarea en forma muchísimo más rápida y precisa que cualquier ser humano. Antes de realizar la práctica el docente debe conducir a todos los estudiantes en una exploración del menú de EXCEL, donde se analicen las posibilidades de gráficas ofrecidas, así como estilos de líneas, formatos de trazado, rotulación de ejes, títulos etc.
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Informe El informe escrito de esta práctica debe incluir: Portada. Relato o descripción de todo el proceso de la toma de medidas, datos y operaciones correspondientes a cada numeral. Tablas correspondientes a cada mesa, cálculos a mano de los tres valores pedidos en los puntos 1, 2 y 3. Incluya el desarrollo completo de los numerales 3 y 4. Las gráficas realizadas en EXCEL se envían por correo al docente dentro de la misma hora de clase. 1. Tome las dos columnas de datos de la tabla 1 que correspondan al número de su mesa y grafíquelos usando Excel, seleccionando del menú de gráficas el tipo dispersión , y ajustando la gráfica en modo lineal. Explore las posibilidades del programa para que incluya, títulos y ecuación. Calcule tres valores de la variable dependiente (Y) usando la ecuación obtenida, que no estén en la tabla y escríbalos en la parte inferior de la lista resaltados en otro color. Tenga en cuenta todos los parámetros descritos al inicio de esta guía. 2. Tome las dos columnas de datos de la tabla 2 que correspondan al número de su mesa y grafíquelos usando Excel, seleccionando del menú de gráficas el tipo dispersión , y ajustando la gráfica en modo polinómico grado dos. Explore las posibilidades del programa para que incluya, títulos y ecuación. Calcule tres valores de la variable dependiente (Y) usando la ecuación obtenida, que no estén en la tabla y escríbalos en la parte inferior de la lista resaltados en otro color. Tenga en cuenta todos los parámetros descritos al inicio de esta guía para graficar. 3. Repita el procedimiento del punto 1 del informe pero esta vez en papel milimetrado (método manual) y encuentre la ecuación de la recta (halle intercepto y pendiente, ver ecuación 1 y teoría). Tenga en cuenta todos los parámetros descritos al inicio de esta guía. 4. Repita el procedimiento ilustrado en el ejemplo de la tabla 1 y figura 1, pero esta vez usando papel Log-Log. Los estudiantes deben consultar la teoría para hallar la ecuación polinómica usando papel Log-Log, lo que debe resaltarse en el informe. 5. Escriba sus propias conclusiones de la práctica. Compare la solución del problema del punto 3 con la del punto 1 del informe, igualmente con la solución del punto 4 con el ejemplo.
Es importante aclarar aquí que en adelante se dará prioridad a los métodos computacionales a la hora de hacer gráficas para los informes y de encontrar sus ecuaciones, y en la práctica de hoy se evidencia precisamente la utilidad del uso de software apropiados para esta tarea
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Mesa 1
Mesa 2
Mesa 3
Mesa 4
Mesa 5
Mesa 6
Mesa 7
Mesa 8
Mesa 9
X
X
X
X
X
X
X
4,3 9
Y 0,8
X
Y
X
4,8
Y 5,8
1,5
-0,1
1,9
6,3
7,2
5,2
-5
13,6
3,1
8,1
10,1
7,9
-8,4
16,7
5,2
9,3
12
11
-14
20
5,6
11,1 14,5 13,8
-17
25,8
8,7
12,5 14,6 17,5
-22
32
85
31
10
13,3 16,7 20,2
-23
35,5
50
-30
42
15
39
13,2 14,9 18,3
23
2,1
Y 250
8,8
225
14,6 165 18
130
1,9
Y 14,7
3,5
Mesa 10
4,1
Y 21,5
Y 12 -12
0,6
Y -62
9,6
6,6
36
16 -25
1,2
-57,2
3,3
35
-8,4 -8, 4 53,4
5
3,1
7,2
56,9
29 -38
1,7
-52,3
4,5
42,8
-6,6 47,6
9
-3,5
9,9
69
42 -44
2,2
-48,7
5,7
49
-8,3
11,4
86,6
56 -59
2,5
-44
7,8
55,8
-4,2 33,6
-13,6 -13, 6
15
100
59 -71
2,9
-37,6
8,4
61,2
-3,5
118
70 -86
3,3
-35
8,8
66
132
78 -99
3,7
26,6 105 13,5 17
19,8 -20,3 15,8 23
-27,8 -27, 8 18,6
1,5
-30,4 11,3
Y 26,5
X
Y 65
-9,2
-5
39,1 25
-2,3 17,8
69,7
-1
9,6
Tabla 2.
Mesa 1 X Y 0,5 1106 0,9 888 1 670 1,5 480 1,8 250 2,4 140 3 88 3,3 48 3,8 12 4,1 2
Mesa 2 X Y 10 998 24 964 39 942 51 901 67 814 78 702 95 521 109 340 125 146 137 8
Mesa 3 X Y 4 93,3 4,9 91,2 6 90,4 7,4 85 9,8 74,8 11,5 70,6 13 65 16 42,8 18,7 20 19,6 5,4
Mesa 4 X Y 1,1 12,2 1,5 12,7 2 14,5 2,5 18 3 25,1 3,5 35,2 4,5 68,6 5 99 5,5 150 6 180
Mesa 5 X Y 1 990 1,5 830 2 640 2,5 380 3 210 3,5 101 4 65 4,5 31 5 13 6 0,2
Mesa 6 Mesa 7 X Y X Y 1 63 10 6,6 6, 6 1,5 62 12 8 2 57 14 15,3 2,5 51 16 36 36 3 44 18 59 59 3,5 36 20 124 4 27 22 188 4,5 20 24 222 5 11 26 300 5,5 0,2 28 421
Mesa 8 Mesa 9 X Y X Y 0,55 411 5 800 1 341 10 563 1,5 264 15 455 2 140 20 317 2,5 99 25 200 3 55 30 154 3,5 5,3 35 84 4 2 40 30 4,5 0,1 45 5 5 0,01 50 0,01
Mesa 10 X Y 50 298 45 210 40 136 35 88 30 48,5 25 36,9 20 22,8 15 14 10 11 5 7,2
Tabla 3.
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Guía de Laboratorio de Física Mecánica. ITM, Institución universitaria. Práctica 3. Movimiento Movimiento rectilíneo uniformement uniformementee acelerado MUA Implementos Soporte universal (3), nueces (3), varilla corta (2), flexómetro, escuadra, carro, sensor digital de tiempo y fotocompuertas, computador, plano inclinado, juego de masas.
Objetivos Realizar una medida experimental indirecta de la aceleración de un móvil que desciende por un plano inclinado y compararla con su valor teórico.
Teoría En un movimiento uniformemente acelerado la posición y la velocidad están regidas respectivamente por las ecuaciones 1 y 2 que vemos a continuación, aunque en algunos textos también se acepta el uso de la ecuación 3, la cual se puede deducir a partir de las dos anteriores: 1
x
x0
v0 t
2
v0
2
(1)
(2)
2a x
(3)
v v0 at
v2
2
at
Cuando un cuerpo se desliza por un plano inclinado sin tener en cuenta la fricción, estamos considerando entonces que el cuerpo está en MUA, y se considera que su aceleración constante es igual a la componente de la aceleración debida a la gravedad paralela al plano, debido a que el vector aceleración debida a la gravedad g , se descompone vectorialmente en una componente perpendicular al plano ( gcosθ ) y otra paralela ( gSenθ ), como se ve en la figura1. Aunque esto proviene de la dinámica del objeto, donde la fuerza normal ejercida por el plano sobre el cuerpo equilibra la componente del peso perpendicular al plano mgCosθ mgCosθ . Dado que la única fuerza en dirección paralela al plano es la componente del peso paralela al plano mg Senθ Senθ , esta provoca la aceleración gSenθ . No nos adentraremos más en este tema por corresponder a un tema posterior en el curso de Física Mecánica, pero al calcular el porcentaje de error se tomará gSenθ como como valor teórico de la aceleración de un cuerpo que baja por la pendiente libre de fricción.
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gSen θ
gCos
θ
g
Figura 1. Descomposición vectorial de la aceleración debida a la gravedad. Al realizar nuestra práctica vamos a calcular la aceleración de un carro que se desliza libre por un plano inclinado, donde supondremos que la fricción en los ejes y en los puntos de contacto no tiene ninguna incidencia en la aceleración del cuerpo, es decir que se desprecia la fricción entre los cuerpos así como la debida al rozamiento con el aire. Tampoco se tendrán en cuenta efectos rotacionales de las ruedas del carro. Bajo estas consideraciones la aceleración teórica del carro debe ser gSen θ .
Fotosensores
Protección para evitar daño al carro Carro
A
B
Figura 2. Montaje experimental. En la figura 2 se ilustra el montaje que se usará en esta práctica, teniendo en cuenta que se debe buscar un valor de aceleración apropiado para la precisión del experimento. Tenga en cuenta lo siguiente: El eje vertical del carro debe activar los sensores, sin tocar ninguna otra cosa que interrumpa su trayectoria. Marque 30
los puntos A y B, así: A es el punto de partida (a 10 cm del extremo de arriba de la pista), en el cual se busca que el tornillo sobre el carro que activará el sensor quede ubicado a un milímetro de la luz del sensor (realmente se busca que esté lo más cerca posible al sensor), y B es la ubicación del segundo sensor como punto final de la trayectoria. Es necesario que el eje que pasa por los sensores se ubique siempre sobre el punto A al inicio del experimento. Observe en la figura 3 la precaución que hay que tener al instalar los fotosensores para que el tornillo del carro pase por entre ellos.
Ranura lateral del riel
Figura 3. Detalle de la figura 2. Se espera que el movimiento del carro sea un MUA, del cual queremos hallar su aceleración experimentalmente. Hay que recordar que el carro se suelta desde el reposo justo antes de la posición del primer sensor, con esto pretendemos pretendemos que se pueda considerar que la velocidad velocidad inicial del carro es cero. cero. Es muy importante que algún miembro del equipo ponga su mano al final de la pista para evitar que el carro se golpee al final de su recorrido como se ve en la figura 2. También hay que tener en cuenta que dos ruedas (en un lado) del carro deben encarrilarse en la ranura que tiene el riel a un lado. Para hallar la aceleración experimental, debemos recordar la práctica 2 de Gráficas, pues vamos a usar EXCEL para graficar posición contra tiempo para este móvil deslizándose por un plano inclinado, cuya ecuación es de tipo polinómico de grado dos.
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Procedimiento e informe. 1. Tome el valor de la inclinación del plano Ɵ (en grados), para lo cual debe usar una escuadra y medir una distancia horizontal X, y una altura Y en la parte inferior del plano inclinado. Use la función tangente inversa de su calculadora para hallar el ángulo Ɵ y consígnelo en la tabla 1. Y θ
X 2. Consigne en la tabla 1 el valor teórico de la aceleración ateor = gSenθ . El acercamiento a las condiciones ideales de “no fricción” es determinante en la precisión del experimento. Tenga en cuenta que la gravedad en Medellín es 9,77 m/s 2. Ɵ (°)
g(Med)
ateor (m/s2 )
Tabla 1. 3. Disponga los fotosensores en la parte superior del plano inclinado, el primero a diez cm del extremo superior y el segundo a 10 cm del primero (en la figura 2 es la distancia AB). Ponga el registrador digital en modo S2 teniendo en cuenta que el primer fotosensor debe ser el conector número 1 y el segundo el número 2. Ponga la escala en 1 ms. Suelte el carro desde la posición mas cercana posible al primer sensor (esto es determinante en el resultado pues equivale a la suposición v0=0). Tome la medida del tiempo que tarda el carro en pasar por entre los dos fotosensores 8 veces (hay que resetear el aparato después de cada medida). No olvide encarrilar el carro en la ranura lateral de la pista y poner la mano al final de la pista para que el carro no sufra averías. Recuerde que este tiempo se escribe como una cantidad con error según la teoría vista para una cantidad medida muchas veces, (ver práctica 2, el valor central es el promedio de los 8 tiempos). Consigne el tiempo con su error respectivo en la segunda columna de la tabla 2. 4. Cambie ahora la posición del segundo fotosensor, desplazándolo 10 cm hacia abajo. Tome de nuevo ocho veces la medida del tiempo y consigne el valor del tiempo medio con su error en la tercera columna de la tabla 2. Repita este procedimiento cada diez cm hasta que llene la tabla 2. (t ± Δt)s (x ± Δx)m
( ± )s (0,1 ± )m
Tabla 2. 5. Grafique la tabla de posición contra tiempo en EXCEL en modo polinómico grado 2, presentando la ecuación y extrayendo de ella la aceleración experimental a exp. Recuerde que el coeficiente del exponente cuadrático está relacionado con la aceleración en un MUA (ver ecuación 1). 32
6. Calcule el porcentaje de error de la aceleración, donde la aceleración teórica es la consignada en la tabla 1, mientras la aceleración experimental debe extraerse de la gráfica de la tabla 2.
Recuerde que el informe escrito de esta práctica debe hacerse en el formato de revista IEEE entregado por el docente: debe desarrollarse con todos los datos y operaciones correspondientes a cada numeral, relatorio detallado de todos los procesos, cálculos detallados de los valores pedidos en el desarrollo de la práctica, incluir causas de error, comentarios y conclusiones.
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Guía de Laboratorio de Física Mecánica. ITM, Institución universitaria. Práctica 4. Caída libre. Implementos Soporte universal (2), nueces, varilla corta (2), flexómetro, sensor digital de tiempo y fotocompuertas, electroiman, computador, plomada, esfera.
Objetivo Efectuar una medida experimental la aceleración de un cuerpo debida a la gravedad en Medellín, ayudado por un computador y compararla con su valor teórico.
Teoría Decimos que un cuerpo está en caída libre cuando se encuentra en movimiento vertical en cercanías de la superficie terrestre, bajo la acción exclusiva de la fuerza de gravedad. La caída libre es un caso particular de movimiento uniformemente acelerado, tal vez el más importante debido a que todos los actos de nuestra vida diaria están condicionados por esta aceleración. En un movimiento de caída libre la posición y la velocidad están regidas respectivamente por las siguientes ecuaciones, aunque al igual que en el movimiento uniformemente acelerado MUA también hay que decir que el uso de la ecuación 3 no siempre es adoptado por todos los textos: 1
y
y0
v y 2
v0 y t
v0 y 2
2
2
g t
g t
v y v0 y 2 g y
(1) (2) (3)
Donde debe aclararse que en la mayoría de casos se escoge la dirección vertical como la dirección positiva de la posición y, por lo que la aceleración debida a la gravedad es negativa, esto se expresa con el signo menos que precede a la aceleración en las tres ecuaciones, lo cual nos dice además que la constante de aceleración g que aparece en las tres ecuaciones es el valor absoluto de la aceleración debida a la gravedad al nivel del mar g = 9,82 m/s2, aunque en este experimento debemos tener en cuenta que la gravedad en Medellín es 9,77 m/s 2. Es necesario aclarar aquí que la aceleración debida a la gravedad puede considerarse constante en las cercanías de la superficie terrestre, pero la teoría de la gravitación universal dice que este valor varía con la altura del cuerpo, o mas exactamente con la distancia entre los centros de masa de los cuerpos que se atraen. También hay que aclarar que no se tendrá en cuenta la influencia del rozamiento con el viento en este experimento. 35
Figura1
36
Procedimiento e informe 1. Este procedimiento es muy similar al anterior, pero esta vez el movimiento del cuerpo no es sobre el plano sino en caída libre. Ubique el electroimán para la esfera en la parte mas alta posible que permita el soporte universal. Ubique el primer fotosensor lo mas cerca posible de la esfera, esto es fundamental para simular la condición de velocidad inicial cero. El segundo fotosensor se ubica bien cerca del primero para la primera caída, y se va aumentando esta distancia conforme avanza el experimento moviendo la segunda, el primer fotosensor no se toca una vez iniciado el experimento. Es muy importante tener en cuenta que debe garantizarse que la esfera pase por el medio de los sensores ópticos, para lo cual es necesario usar la plomada para alinearlos, si es necesario en cada caso. 2. Conecte y encienda el aparato registrador digital de tiempo en modo S2 y con la escala del tiempo en 1 ms (o si es necesario en escala de 0,1 ms). Para llenar la tabla 1 ponga 0 tanto en el tiempo como en la distancia en la primera columna, luego ubique los fotosensores en su posición inicial, la mas cercana entre ellos, la cual nos dará el primer dato de tiempo y distancia. Active el electroimán y ponga la esfera en él, resetee el contador digital de tiempo y deje caer la esfera desactivando el electroimán. Tome el tiempo para esta caída ocho veces, reseteando el aparato luego de cada medida. Dado que el tiempo correspondiente a esta distancia entre los fotosensores es una medida hecha muchas veces, se debe tener en cuenta la teoría dada para estas cantidades en la sección de teoría de errores, para obtener su valor central y su error, que corresponden al promedio y la desviación estándar respectivamente. Tome la medida de la distancia entre los dos fotosensores y llévela a la tabla 1 con su respectivo error. 3. Para registrar el siguiente dato en la tabla 1, mueva el segundo fotosensor unos pocos cms hacia abajo, usando la plomada para garantizar que la esfera caiga a través de él. Tome la nueva distancia entre los fotosensores y consígnela en la tabla 1 como nueva altura y. De nuevo tome 8 veces la medida del tiempo y registre el dato con su error respectivo en la tabla 1. Repita el procedimiento para las demás medidas y, aumentando sucesivamente la distancia entre los fotosensores, hasta que llene la tabla 1. Tenga en cuenta que debe estimar desde el comienzo la distancia a la que va a dividir la altura total de que dispone para poner los fotosensores en todas las caídas. t(s) y(m)
Tabla 1. 4. Use el programa Excel para graficar los datos y vs t de la tabla 1 en modo dispersión y ajuste polinómico de grado dos. Obtenga el valor de la aceleración debida a la gravedad en Medellín comparando el valor del coeficiente del término cuadrático de la ecuación obtenida del gráfico con el coeficiente cuadrático de la ecuación 1 de esta práctica. 5. Calcule el porcentaje de error que compare la gravedad obtenida experimentalmente con la gravedad en Medellín. Explique claramente porqué el signo de la ecuación obtenida en EXCEL no es negativo como aparece en la ecuación 1 de esta práctica. 37
6. Use los datos de la tabla 1 para calcular las velocidades medias de la esfera en cada intervalo espacial Δ y= yn-yn-1 , como v n= ( yn-yn-1) / (t n-t n-1). En el primer intervalo se usan, para n=1, yn = y1, yn-1 = y0 = 0, y para el tiempo, t n = t 1, t n-1 = t 0 = 0. Consigne en la tabla 2 las velocidades medias calculadas. Note que se va a graficar la velocidad media v n contra tiempo, el cual debemos tomar a la mitad del tiempo correspondiente a este intervalo, es decir que las velocidades medias se graficarán contra T n , donde el tiempo fórmula:
T n se
calculará usando los tiempos de la tabla 1 para llenar la tabla 2 mediante la
T n = t n-1+(t n-t n-1)/2.
Note que el error propagado solo debe calcularse una vez.
T n (s) v n (m/s)
Tabla 2. 7. Grafique la velocidad media contra el tiempo de la tabla 2 usando el programa Excel en modo dispersión y ajuste lineal. Encuentre el valor de la aceleración debida a la gravedad comparando la ecuación de recta obtenida con la ecuación 2 (teniendo en cuenta el signo ya discutido). Calcule el porcentaje de error comparando esta gravedad con la conocida en Medellín. 8. Dentro del tiempo de la práctica envíe por correo electrónico a su profesor las dos gráficas realizadas, así como los datos tomados. 9. Escriba sus propias conclusiones de la práctica, así como las causas de error en los resultados.
Recuerde que el informe escrito de esta práctica debe hacerse en el formato de revista entregado por el docente: debe desarrollarse con todos los datos y operaciones correspondientes a cada numeral, relatorio detallado de todos los procesos, cálculos detallados de los valores pedidos en el desarrollo de la práctica, incluir causas de error y conclusiones.
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Guía de Laboratorio de Física Mecánica. ITM, Institución universitaria. Práctica 5. Movimiento curvilíneo Implementos Pista curva, soporte vertical, cinta métrica, plomada, esfera, escuadra, transportador, tablero, papel carbón, marcador borrable, varilla y nuez, computador.
Objetivos Graficar experimentalmente una trayectoria curvilínea para predecir la rapidez inicial de un balín lanzado por una pista-cañón.
Teoría Decimos que un cuerpo está en movimiento parabólico cuando es arrojado al aire con una dirección de lanzamiento que hace un ángulo θ 0 con la horizontal diferente de 90°. Si no se tiene en cuenta la fricción con el aire, la trayectoria del objeto describirá una parábola en el plano vertical XY .
y
v
v y
v0 y
v
v0 x i
ˆ
vox
v
ox
v0
v y
0
v
x
v0 x
Figura 1. Movimiento parabólico.
39
La velocidad inicial de la partícula es el vector v0 x
v
0
, con componentes escalares:
v0Cos 0
y
v0 y
v0 Sen 0 ,
(1)
Un cuerpo en movimiento parabólico experimenta una combinación de dos movimientos, en el eje y el movimiento es de caída libre mientras en el eje x es un MRU, dado que en esa dirección el cuerpo conserva siempre la velocidad v0x, tal como se ilustra en la figura 1. Las componentes del vector posición son: x x0 v0Cos0 t , e
y
y0 v0 Sen0
1
t g t 2 2
(2)
En el eje y, para la componente de la velocidad se tiene la misma dependencia conocida para la caída libre, con la única diferencia de que aquí se tiene en cuenta el ángulo inicial v y
v0Sen 0 g t
(3)
Además, como la velocidad es un vector, su magnitud (rapidez) en cualquier instante está dada por: v
v x
2
v y
2
(4)
La figura 2 ilustra el caso en que la altura de salida y0 del proyectil, se encuentra a una altura inicial y0 ≠ 0, las ecuaciones para las coordenadas del proyectil en el punto final de la trayectoria son: x v0Cos0t 1
y y0 v0 Sen 0t gt 2 2
(5) (6)
y
v0 y
v
0
θ 0 y0
vox
x 0
x1
Figura 2. Caso particular. Despejando el tiempo de la ecuación (5) y reemplazándolo en la ecuación (6) obtenemos la ecuación (7) 40
2 g x 2 2 v Cos 2 0 0
y y0 (Tan 0 ) x
(7)
Note como en esta ecuación se tiene la dependencia parabólica y( x). En esta práctica vamos a encontrar experimentalmente una trayectoria similar correspondiente al caso ilustrado en la figura 2 y cuyo montaje se ve en la figura 3.
Montaje Para esta práctica se ubica el plano curvo con una inclinación como se ve en la siguiente figura (aproximadamente entre 25° y 45°). Recuerde que una vez iniciado el experimento no debe moverse ni la pista curva, ni la mesa. En caso de hacerlo hay que repetir todo el experimento.
Figura 3. Montaje.
41
Para tener un dato teórico con el cual comparar la rapidez de salida v0 de la esfera usaremos la medida del tiempo Δt en un pequeño desplazamiento d , medida en un tiempo muy pequeño llamado tiempo de oscuridad, para el cual se usarán los fotosensores pegados, como se ilustra en la figura 4.
d
Figura 4. Detalle de los fotosensores.
La esfera debe soltarse siempre desde el mismo punto sobre el plano inclinado, para lo cual se marca un punto en la pista curva para soltar la esfera desde allí. La velocidad de salida de la esfera dependerá de la altura Δh a la que se encuentre este punto (ver figura 5). Se debe usar una plomada para marcar el punto C en la superficie horizontal, justo abajo del punto de salida de la esfera (ver figura 5). Respecto a este punto se medirán tanto la altura inicial y0 como las demás distancias horizontales, que llenaran la tabla 2 para graficar la trayectoria. Para medir las diferentes alturas se usará el tablero con papel carbón.
42
Procedimiento e Informe: 1. Disponga el montaje experimental como se ilustra en la figura 4. Marque en la pista con el marcador borrable una posición desde la cual se va a soltar esfera para que ruede y escoja un ángulo de salida entre 25° y 45°. Tenga en cuenta que debe apretar bien el dispositivo para que no se mueva, pues si lo hace deberá repetir todo el experimento. Use la plomada para marcar la posición (0,0) en el punto C sobre la mesa, justo debajo del punto de salida del plano curvo, desde la cual se tomarán las medidas. Tome la medida del ángulo de salida θ 0 correspondiente a la inclinación del plano de salida y regístrela en la tabla 1, recuerde que para hallar el ángulo debe usar una escuadra y tomar las medidas horizontal y vertical del triángulo formado entre la superficie de la mesa y la parte inferior del plano (ver triángulo ABC en la figura 5) y usar luego la función tangente inversa. Tome la distancia d (ver figura 4) entre los fotosensores y regístrela en la tabla 1 con su respectivo error.
y
v0 Δh
θ 0
B θ 0
A
C
y0
y3 y2
x x3
x2
x1
Figura 5. Detalle del movimiento del tablero.
2. El punto y0 es la altura de la salida de la esfera medida desde la superficie horizontal. Para iniciar suelte la esfera desde el punto de inicio escogido para que ruede libremente (no se usa el tablero aun) y se obtenga el movimiento parabólico. Marque con el marcador borrable el punto en el que la esfera cae a la superficie horizontal (mesa). Repita 10 veces este tiro marcando todos los puntos, anotando el tiempo correspondiente a cada una de ellos, recuerde que después de cada disparo debe resetear el aparato registrador digital de tiempo. Luego mida las distancias desde C (origen de coordenadas (0,0)) y promedie esta primera distancia horizontal x1, que corresponde a la pareja de datos ( x1 , 0) de la tabla 2. Recuerde usar la teoría de errores para una cantidad medida muchas veces para escribir el 43
dato x1 con su respectivo error. Use los datos de tiempo registrados para hallar la medida del tiempo Δt correspondiente a la distancia d en cada pasada de la esfera por el punto de salida. Recuerde que va a tomar este tiempo en la menor escala del aparato de medida y solo para la primera distancia horizontal x1, luego podrá apagar el registrador digital de tiempo y quitar los sensores ópticos si le estorban. Registre el dato del tiempo Δt en la tabla 1 con su respectivo error, para lo cual debe tener en cuenta la teoría de errores para una cantidad medida muchas veces. Calcule la rapidez inicial teórica dividiendo la distancia d por Δt , donde se está aproximando en este tramo corto la velocidad media a la velocidad instantánea. Consigne la rapidez inicial teórica en la tabla 1, la cual aunque no es estrictamente teórica, si será considerada un patrón para comparar.
d(m)
Δt
θ 0(°)
v0(m/s)(teor)
v0(m/s)(exp)
%Error
Tabla 1. 3. Una vez consignado el primer punto de la trayectoria, ( x1 , 0), a continuación desplace 2 cm el tablero hacia el plano curvo (ver figura 5 con tablero en posición x2) y deje deslizar la esfera desde la misma marca inicial otras diez veces con el tablero en la posición x2. Note que la altura final será el promedio de las marcas o puntos hechos por la esfera en el papel del tablero vertical. La altura se mide desde la superficie de la mesa hasta el punto en el tablero. Hay que usar la teoría de errores para una cantidad medida muchas veces para obtener la altura correspondiente y2 con su respectivo error, al igual que en el resto de las mediciones. Por esto es recomendable que después de cada tirada se revise que los puntos si estén cayendo en una región pequeña. Consigne el dato ( x2 , y2) con su respectivo error en la tabla 2.
x(m)
x1
x2
x3
0
y(m)
0
y2
y3
y0
Tabla 2. 4. Para las medidas sucesivas x3, x4…. mueva el tablero en desplazamientos de a 2 cm hacia el plano curvo, determine en cada caso la altura con su respectivo error haciendo la estadística correspondiente con las medidas. Llene la tabla 2, desplazando el tablero hasta que el punto final de la trayectoria interceptada con el tablero alcance un punto cercano a la altura máxima. Note que en la tabla 2, el último punto ya con la x marcada, corresponde a la posición de salida, con x = 0 y altura inicial y0, la cual también debe consignarse con su respectivo error, proveniente del instrumento de medida. 44
5. Elabore, usando la herramienta conocida EXCEL, la gráfica y vs x obteniendo una parábola, obtenga y muestre la ecuación cuadrática. Extraiga la rapidez inicial (experimental) de esta ecuación comparando los coeficientes de la ecuación obtenida con los de la ecuación 7, donde debe considerar el ángulo medido y la gravedad en Medellín. Escriba la rapidez inicial experimental en la tabla 1. Calcule el porcentaje de error del experimento para la velocidad inicial y consígnelo en la tabla 1. 6. Compare todos los términos de la ecuación 7 con los de la ecuación obtenida del gráfico de la tabla 2 y discuta el resultado. 7. Escriba sus propias conclusiones de la práctica, así como las causas de error en los resultados.
Recuerde que el informe escrito de esta práctica debe hacerse en el formato de revista entregado por el docente: debe desarrollarse con todos los datos y operaciones correspondientes a cada numeral, relatorio detallado de todos los procesos, cálculos detallados de los valores pedidos en el desarrollo de la práctica, incluir causas de error y conclusiones.
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46
Guía de Laboratorio de Física Mecánica. ITM, Institución universitaria. Práctica 6. Equilibrio de fuerzas. Implementos Mesa de fuerzas, juego de masas, hilos, portapesas.
Objetivos Verificar experimentalmente que se cumplen los principios físicos propuestos por Newton en las condiciones de equilibrio estático entre tres fuerzas coplanares. También se espera que se repasen los conceptos de suma de vectores y de transformaciones de coordenadas.
Teoría Cuando tenemos dos fuerzas
F y F 1 2
en el plano y queremos encontrar una tercera fuerza
F 3
que se
equilibre con las dos anteriores, es decir que la suma de las tres sea cero, podemos solucionar el problema teóricamente haciendo la suma de las componentes igual a cero en cada dirección: y
F 1
F 2
θ 1
θ 2
x
θ 3
F 3
Figura 1. Tres fuerzas coplanares en equilibrio.
F
X
F X F X F X 0 y 1
2
3
F F Y
1Y
F Y F Y 0 2
3
(1) 47
De tal forma que para hallar la fuerza equilibrante
F basta 3
con despejar las componentes escalares F 3X y
F 3Y de las ecuaciones 1, donde se debe tener en cuenta el signo según el cuadrante en que se encuentren, es
decir que, por ejemplo para la configuración ilustrada en la figura 1, las componentes cartesianas se obtienen de las ecuaciones:
F X F X F X 1
2
3
Si se conocen las magnitudes de las fuerzas
0
y F Y F Y F Y 1
F y F 2 1
2
3
0
(2)
y los ángulos respecto al eje X más cercano, como se
ilustra en la figura 1, entonces las ecuaciones 2 se escriben:
F Cos F Cos F X 0 y F Sen F Sen F Y 0 1
1
2
2
3
1
1
2
2
(3)
3
Para hallar las componentes polares hay que recordar las reglas de transformación de coordenadas conocidas para vectores, obteniéndose:
F F X F Y 2
3
3
2
3
F Tan Y F X 1
y
3
3
(4)
3
Para resolver el problema de hallar la fuerza equilibrante experimentalmente se utiliza una mesa de fuerzas (ver figura 2), o un dispositivo similar, en el que se ubican las dos primeras fuerzas en el plano orientando cada cuerda y su guía de portapesas según el ángulo indicado y usando las masas apropiadas para simular cada fuerza. Luego se busca la fuerza equilibrante comenzando por tomar la cuerda correspondiente a la tercera fuerza con la mano y orientándola hasta que la argolla quede bien ubicada en el centro de la mesa de fuerzas, con lo cual se habrá hallado solamente el ángulo de la fuerza equilibrante, mientras la fuerza se hace con la mano.
F 1
Portapesas con masas
Guías de portapesas
F 2
F 3
Figura 2. Mesa de fuerzas. La guía de portapesas que va a corresponder a la fuerza equilibrante se ubica en el ángulo encontrado con la mano y sólo falta encontrar la magnitud de la fuerza equilibrante. Lo que sigue es buscar la magnitud de esta 48
fuerza adicionando masas al portapesas hasta que se alcance el equilibrio, es decir hasta que la argolla quede bien centrada en la mesa y el sistema esté estable. Recuerde que las fuerzas horizontales sobre la mesa están dadas por las tensiones en las cuerdas. Para cada cuerda la tensión estará dada para una masa en equilibrio según la figura 3 por la ecuación
F T mg 0 Y
T mg
(5)
y T 3
m
mg
Figura 3. Equilibrio de una masa colgada de una cuerda
Procedimiento e Informe: 1. Ubique la mesa de fuerzas sobre la mesa de trabajo usando los tornillos de las patas para nivelarla. 2. Usando el juego de masas, las guías de portapesas y los portapesas, ubique dos fuerzas F 1 y F 2
arbitrariamente, es decir, escoja dos magnitudes y dos ángulos como se ve en la figura 2. Consigne los valores de las magnitudes y ángulos escogidos en la tabla 1. Tenga en cuenta las unidades. F1(N)
θ1(°)
F2(N)
θ2(°)
Tabla 1. 3. Determine experimentalmente la magnitud y el ángulo de la fuerza equilibrante, usando la técnica explicada en la parte final de la sección de teoría. Consigne los valores experimentales obtenidos en la tabla 2. 4. Plantee el problema teórico de hallar la fuerza equilibrante para las dos fuerzas que usted escogió y resuélvalo, hallando las componentes cartesianas usando al ecuación 3, y usando luego las ecuaciones 4 para hallar magnitud y ángulo. Consigne los valores teóricos de magnitud y ángulo equilibrantes en la tabla 2.
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F3(N) Experimental
θ3(°) Experimental
F3(N) Teórica
θ3(°) Teórica
Tabla 2. 5. Calcule el porcentaje de error tanto para la magnitud como para el ángulo de la fuerza equilibrante. 6. Escriba sus propias conclusiones de la práctica, así como las causas de error en los resultados.
Recuerde que el informe escrito de esta práctica debe hacerse en el formato de revista entregado por el docente: debe desarrollarse con todos los datos y operaciones correspondientes a cada numeral, relatorio detallado de todos los procesos, cálculos detallados de los valores pedidos en el desarrollo de la práctica, incluir causas de error y conclusiones.
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Guía de Laboratorio de Física Mecánica. ITM, Institución universitaria. Práctica 7. Dinámica del plano inclinado Implementos Plano inclinado, carro, nueces, soporte universal, porta masas, juego de masas, polea, hilo, cinta, registrador digital de tiempo y fotosensores.
Objetivos Verificar la segunda ley de Newton de la dinámica mediante un experimento sencillo que involucra un plano inclinado y dos masas unidas por una cuerda. También se espera que el estudiante reconozca el papel de la fricción en este experimento.
Teoría Cuando en un problema se presenta aceleración en alguna dirección y no hay variaciones en las masas involucradas, escribimos la suma de fuerzas en esa dirección como lo dice la segunda ley de Newton para situaciones con masa constante. Vamos a analizar el problema de un bloque de masa M sobre una superficie inclinada un ángulo β , atado por medio de una cuerda ideal, que pasa por una polea ideal, a otro bloque de masa m, tal como se ve en la figura 1.
M m β
Figura 1. Plano inclinado. Note que se está dibujando un perfil transversal de la situación física, puesto que no se ve la profundidad de los elementos involucrados. Decimos que una polea es ideal cuando se considera que no tiene masa y que no presenta ninguna fricción en su eje, por lo cual tampoco se analizan fuerzas sobre una polea ideal. Además es importante notar que una cuerda ideal al pasar por una polea ideal, como en este caso, tampoco presenta desgaste por fricción, así que podemos asumir que la cuerda siempre está haciendo rotar la polea y no se desliza sobre ella. 51
Para resolver el problema experimental, consideremos que no hay rozamiento entre la superficie inclinada y el bloque y también que el bloque de masa m asciende mientras que el bloque de masa M desciende por el plano. La consideración sobre la fricción puede resultar en un porcentaje de error alto si no se generan en el experimento las condiciones apropiadas que eliminen al máximo su influencia. En la figura 1 se ilustra la dirección de movimiento de las masas con una flecha gruesa. Al solucionar teóricamente este problema asumiremos que se conocen las masas y el ángulo β . En este caso nos interesa calcular la aceleración del sistema y la tensión T en la cuerda. Es muy importante recalcar que, al escribir la sumatoria de fuerzas en cada dirección para cada masa, se asumirá como positiva la dirección en la cual se presenta la aceleración. Esto no es más que una convención para escribir como positivas las fuerzas que tienen la dirección en la que se acelera un cuerpo y como negativas las fuerzas que apuntan en sentido contrario, de manera que la aceleración siempre se tome como positiva en la segunda ley de Newton, o mejor dicho, lo que se está buscando así es la magnitud de la aceleración. Según esto, para el cuerpo de masa M , observamos el diagrama de fuerzas en la figura 2 y tenemos las sumatorias de fuerzas en ambas direcciones dadas por:
F x Mg Sen T M a
(1)
F y N Mg Cos 0
(2)
y
y
N T
T
M g Senβ β
x
mg
M g Cosβ
Mg
Figura 2. Diagramas de fuerzas.
52
Vemos en la figura 2 que en este caso los ejes coordenados para la masa M se han rotado el mismo ángulo β de inclinación del plano. Es aconsejable hacer esto porque así sólo hay que descomponer vectorialmente el peso, mientras las fuerzas N y T quedan sobre los ejes y no hay que descomponerlas. Para el bloque de masa m, el diagrama de fuerzas se ilustra también en la figura 2, y según estas fuerzas la segunda ley conduce a la ecuación
F T mg m a
(3)
53
Procedimiento e informe: El montaje y procedimiento de esta práctica es similar al caso de la práctica 5, ahora con la nueva polea y el cuerpo adicional. Tenga en cuenta que la cuerda con el porta pesas no choque con el borde de la mesa. Por simplicidad despreciamos la fricción, y suponemos que la cuerda y la polea son ideales. Antes de iniciar debe escoger las masas apropiadas para lograr que el carro baje por la pendiente arrastrando a la otra masa en un tiempo relativamente corto. Es importante lograr que el carro baje en el menor tiempo posible para así garantizar que se cumple el acercamiento a las condiciones dinámicas. Recuerde que debe poner una mano o algún objeto acolchado al final de la trayectoria inclinada para evitar daños al carro.
Figura 3. Montaje. 7. Tome el valor de la inclinación del plano Ɵ (en grados), para lo cual debe usar una escuadra y medir una distancia horizontal X, y una altura Y en la parte inferior del plano inclinado. Use la función tangente inversa de su calculadora para hallar el ángulo Ɵ y consígnelo en la tabla 1. Consigne también en la tabla 1 las masas de los cuerpos. Y θ
X Ɵ(°)
m (g)
M (g)
Tabla 1. 54
Figura 4. Detalle del paso del carro por el sensor. Observe en la figura 4 la precaución que tiene que tener al instalar los fotosensores para que el tornillo del carro pase por entre los sensores. 8. Disponga los fotosensores en la parte superior del plano inclinado, el primero a 10 cm del extremo superior y el segundo a 20 cm del primero (en la figura 5 es la distancia AB). Ponga el registrador digital en modo S2 teniendo en cuenta que el primer fotosensor debe ser el conector número 1 y el segundo el número 2. Ponga la escala en 1 ms. Recuerde usar masas previamente escogidas para lograr una buena aceleración. Suelte el carro para que descienda por el plano, desde la posición mas cercana posible al primer sensor (esto es determinante en el resultado pues equivale a la suposición v0=0). Tome la medida del tiempo que tarda el carro en pasar por entre los dos fotosensores 8 veces (hay que resetear el aparato después de cada medida). No olvide encarrilar las ruedas del carro en la ranura lateral de la pista y poner la mano al final de la misma para que el carro no sufra averías. Recuerde que este tiempo se escribe como una cantidad con error según la teoría vista para una cantidad medida muchas veces. Consigne el tiempo con su error respectivo en la segunda columna de la tabla 2. 9. Cambie ahora la posición del segundo fotosensor, desplazándolo 10 cm hacia abajo. Consigne la nueva medida x entre los fotosensores en la tabla 2. Tome de nuevo ocho veces la medida del tiempo y consigne el valor del tiempo medio con su error en la tercera columna de la tabla 2. Repita este procedimiento cada diez cm hasta que llene la tabla 2 o no disponga de mas pista. (t ± Δt) s
( x ± Δ x)m
(
± ) s
(0,2 ± ) m
Tabla 2. 10. Grafique la tabla 2 de posición contra tiempo en EXCEL en modo polinómico grado 2, presentando la ecuación y extrayendo de ella la aceleración experimental a exp, consígnela en la tabla 3. Recuerde que el coeficiente del exponente cuadrático está relacionado con la aceleración en un MUA. 55
A
M
m
d
Ɵ
B
Figura 5. Detalles del montaje. 11. Resuelva el problema dinámico algebraicamente, hallando la aceleración teórica a teor , a partir de las ecuaciones planteadas en la sección de teoría, en función de las masas, la gravedad y el ángulo de inclinación, considerando el sistema libre de fricción (recuerde usar el valor de la gravedad en Medellín). Consigne el valor teórico de la aceleración con su respectivo error en la tabla 3. Finalmente, calcule el porcentaje de error y consígnelo en la tabla 3. aexp
ateor
%Error
Tabla 3. 12. Comente sus impresiones y conclusiones del experimento, e incluya las posibles causas del porcentaje de error.
Recuerde que el informe escrito de esta práctica debe hacerse en el formato de revista entregado por el docente: debe desarrollarse con todos los datos y operaciones correspondientes a cada numeral, relatorio detallado de todos los procesos, cálculos detallados de los valores pedidos en el desarrollo de la práctica, incluir causas de error y conclusiones.
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Guía de Laboratorio de Física Mecánica. ITM, Institución universitaria. Práctica 8. Aceleración de dos cuerpos atados. Implementos Soporte vertical, cinta métrica, juego de masas, plomada, soporte vertical, dispositivo óptico digital, varilla corta, polea, nuez, computador.
Objetivo Hacer una medición de una aceleración para el caso particular de la máquina de Atwood.
Teoría La máquina de Atwood está compuesta por dos masas, atadas por una cuerda ideal, que pasa por una polea ideal. Para la configuración inicial planteada en la figura 1, partiendo del reposo, la masa m2 debe ser mayor que la masa m1 para acelerar el sistema en la dirección señalada. Si este es el caso, vemos que
m2
m1
Figura 1. Máquina de Atwood. cualquiera de las dos masas al recorrer una distancia d en un tiempo t tiene una aceleración a, que verifican la siguiente ecuación de movimiento uniformemente acelerado, donde se considera que la rapidez inicial del 57
sistema es cero y que la aceleración del sistema es positiva en la dirección de movimiento de la masa, cualquiera que sea. d
1 2
2
a t
(1)
La aceleración de este sistema se puede hallar experimentalmente si puede tomarse una medida del tiempo t y de la distancia recorrida d . La suposición de que el movimiento es uniformemente acelerado es debida a que al plantear la dinámica del problema se llega a un valor teórico de aceleración constante en función de las masas. Los diagramas de fuerzas para las dos masas son los siguientes: y
y
T
T
m1 g
m2g
Figura 2. Diagramas de fuerzas para m1 y m2. Las ecuaciones que describen la dinámica del sistema escritas a continuación, consideran que la aceleración es positiva en el sentido del movimiento, por lo cual se escribe primero la fuerza que tenga el mismo sentido que la flecha que representa la dirección del movimiento (similarmente a la práctica anterior).
F T m g m a F m g T m a 1
2
1
2
(2) (3)
Las ecuaciones (2) y (3) se resuelven para darnos la aceleración teórica del sistema y la tensión que debe soportar la cuerda.
58
Procedimiento e Informe: 1. Realice el montaje experimental mostrado en la figura 3. Escoja y fije las masas y la distancia d , que va a utilizar durante la práctica. Tenga mucho cuidado en verificar que la masa m2 pueda soltarse desde el reposo justo antes de la posición de medida del primer fotosensor, esto es para poder usar la suposición de que la rapidez inicial es cero. Use la plomada para verificar que la masa m2 al moverse hacia abajo pase por los sensores ópticos sin tocarlos.
Figura 3. Montaje experimental. 2. Tome la medida de la distancia d entre los fotosensores con su respectivo error y llévela a la tabla 2. Finalmente, tome las medidas de las masas con sus respectivos errores y regístrelas en la tabla 2. 3. Verifique el rango de operación del registrador digital de tiempo y úselo en la función S 2. Tome doce veces la medida del tiempo que tarda la masa m2 en recorrer la distancia d , al soltarla justo antes del primer fotosensor y consígnelas en la tabla 1. Es importante que un integrante del equipo de trabajo se encargue de detener con una mano al final del recorrido del bloque que cae para evitar que dañe el equipo (vea el detalle en la figura 4). El valor del tiempo que se anota en la tabla 2 con su respectivo error se halla teniendo en cuenta los datos de la tabla 1 y la teoría de errores para una cantidad medida muchas veces. 59
#Tiro t(s)
Tabla 1.
d(m)
t(m)
m1(g)
m2(g)
Tabla 2.
Figura 4. Detalle del montaje experimental. 4. Use la ecuación 1 y los valores de distancia y tiempo de la tabla 2 para determinar la aceleración experimental del sistema. Regístrela en la tabla 3. 5. Resuelva algebraicamente el sistema conformado por las ecuaciones 2 y 3 para hallar la aceleración y la tensión del sistema en función de las masas y la gravedad. 6. Sustituya los valores de las masas de la tabla 2 y calcule la aceleración teórica del sistema. Recuerde que debe usar el valor de la gravedad en Medellín. Consigne el valor de la aceleración teórica en la tabla 3. 60
aexp(m/s2 )
ateor (m/s2 )
%Error
Tabla 3. 7. Calcule el porcentaje de error del experimento. 8. Escriba sus propias conclusiones de la práctica, así como las causas de error en los resultados.
Recuerde que el informe escrito de esta práctica debe hacerse en el formato de revista entregado por el docente: debe desarrollarse con todos los datos y operaciones correspondientes a cada numeral, relatorio detallado de todos los procesos, cálculos detallados de los valores pedidos en el desarrollo de la práctica, incluir causas de error y conclusiones.
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Guía de Laboratorio de Física Mecánica. ITM, Institución universitaria. Práctica 9. Energía de un sistema oscilante. Implementos Soporte vertical, cinta métrica, juego de masas, varilla corta, polea, nuez, computador.
Objetivo Verificar la conservación de la energía mecánica del sistema oscilante.
Teoría Supongamos que tenemos una masa atada a un resorte horizontal sobre una superficie sin fricción como se ilustra en la figura 1. En la primera situación, el resorte está en equilibrio y el sistema está en reposo. Sistema en reposo. Resorte en equilibrio x
x=0 F>0
x
x=0
x<0
F<0
x=0
x>0
x
Resorte comprimido, desplazamiento negativo, y fuerza del resorte positiva
Resorte estirado, desplazamiento positivo, y fuerza del resorte negativa
Figura 1. Sistema horizontal masa-resorte En los dos casos siguientes ilustrados en la figura 1 se presentan las dos posibilidades de deformación del resorte y se ilustra como en cada caso la fuerza y el desplazamiento de la masa tienen sentidos opuestos. Este comportamiento se analiza experimentalmente mostrando que el resorte, dentro de un rango de esfuerzos razonables, tiene un comportamiento lineal que se resume en la siguiente ecuación llamada: la ley de Hooke 63
F
k x
(1)
donde la constante k es llamada la constante de elasticidad del resorte y el signo menos indica que las direcciones de F y x se oponen. Por otro lado, puede demostrarse fácilmente que cuando una masa se encuentra atada a un resorte y éste presenta una deformación x, ya sea por compresión o por estiramiento, la energía potencial elástica del cuerpo está dada en términos de la constante k del resorte y de la deformación x del mismo por la siguiente expresión. U s
1
k x
2
(2)
2
Cuando un objeto se encuentra a una determinada altura y sobre el piso, también se puede mostrar que tiene un tipo de energía llamada energía potencial gravitacional, cuyo valor depende del lugar que escojamos como cero ( y = 0) para medir desde allí la altura, ya que la escogencia del cero es arbitraria, lo cual no altera la conservación de la energía para problemas conservativos. La energía potencial está dada por la expresión: U g
m g y
(3)
Si el cuerpo se deja caer la fuerza gravitacional hace trabajo sobre él, aumentando su energía cinética E k
1
mv
2
(4)
2
Una fuerza se llama conservativa si al realizar un trabajo W sobre un cuerpo, este trabajo no depende de la trayectoria seguida, sino únicamente de las posiciones inicial y final del cuerpo. En una dimensión, toda fuerza conservativa F S está relacionada con una energía potencial U por medio de la expresión F s
d U dx
(5)
Las fuerzas conservativas discutidas en el curso teórico de física mecánica son, la fuerza elástica de un resorte y la fuerza gravitacional. La fuerza elástica está relacionada con la energía conservativa que describe la ecuación 2, mientras que la fuerza gravitacional está relacionada con la energía potencial gravitacional vista en la ecuación 3. La energía mecánica E m de un sistema es la suma de la energía cinética más todas las posibles energías potenciales que estén involucradas. E E U j m k j
(6)
Cuando un sistema físico se encuentra en presencia únicamente de fuerzas conservativas, es decir, si no se tienen en cuenta los efectos del rozamiento ni otras fuerzas no conservativas que puedan aparecer, entonces la energía mecánica E m se debe conservar entre dos posiciones arbitrarias inicial y final del sistema.
E E mi mf
(7) 64
Procedimiento e Informe: 1. Realice el montaje que se ilustra en la figura 2. Marque la posición del punto inferior del resorte sin estirar en la regla. A partir de allí se medirán los estiramientos del resorte. Cuelgue el portapesas de masa m del resorte vertical, use sus manos para estabilizar el sistema. Tome la medida de la nueva posición del extremo inferior del resorte a partir de la primera marca. Escriba los datos de peso y estiramiento en la tabla 1. Agregue otra masa y estabilice de nuevo el sistema. Mida el estiramiento del resorte a partir de la posición que se marcó inicialmente y consigne el valor del peso total (recuerde la masa del portapesas) y del estiramiento en el siguiente cuadro de la tabla 1. Adicione sucesivamente varias masas siguiendo el mismo procedimiento y consigne pesos y estiramientos en la tabla. El valor de la aceleración debida a la gravedad en Medellín es de 9.77m/s 2.
Figura 2. Montaje experimental
x(m)
F(N)
Tabla 1.
65
2. Grafique Fuerza contra estiramiento del resorte y calcule el valor de la pendiente, el cual corresponde a la constante del resorte. Este valor puede determinarse usando un programa como EXCEL u otros. Incluya la gráfica en el informe. 3. Tome una masa arbitraria y cuélguela del portapesas, anote su valor en la tabla 2. Levántela sosteniéndola con la mano hasta que el punto inferior del resorte quede a una medida xi de la posición de equilibrio y a una altura hi del piso. Anote las posiciones iniciales xi y hi en la tabla 2. Luego suelte la masa para que caiga y tome la medida de los datos de posición y altura finales x f y h f del punto inferior del resorte en la tabla 2. Dado que no es fácil tomar el punto inferior del recorrido, si es necesario repita el procedimiento varias veces y haga un promedio. Recuerde que la medida de y se toma desde el piso hasta la posición de la masa (hacia arriba), mientras que la medida de x se toma desde la posición marcada como inicial hasta donde se estire el resorte (hacia abajo).
m(kg)
xi(m)
hi(m)
x f (m)
h f (m)
Tabla 2. 4. Use los datos de la tabla 2, la constante del resorte hallada y las ecuaciones 2, 3, 6 y 7 para calcular las energías mecánicas inicial y final del sistema. Escriba las energías calculadas en la tabla 3. Calcule la diferencia de energías y escríbala en la tabla 3.
E mi(J)
E mf (J)
ΔE
Tabla 3.
5. Discuta la conservación de la energía mecánica a partir de los datos de la tabla 3. 6. Escriba sus propias conclusiones de la práctica, así como las causas de error en los resultados.
Recuerde que el informe escrito de esta práctica debe hacerse en el formato de revista entregado por el docente: debe desarrollarse con todos los datos y operaciones correspondientes a cada numeral, relatorio detallado de todos los procesos, cálculos detallados de los valores pedidos en el desarrollo de la práctica, incluir causas de error y conclusiones.
66
Guía de Laboratorio de Física Mecánica. ITM, Institución universitaria. Práctica 10. Colisiones. Implementos Pista curva, soporte vertical, cinta métrica, esferas metálicas, plomada, dispositivo óptico digital, varilla corta, nuez, marcador borrable, computador.
Objetivos Verificar la conservación del momento lineal y de la energía cinética en colisiones elásticas.
Teoría En un sistema mecánico conservativo no se consideran fuerzas como la fricción, que van disipando la energía del sistema. Además, en estos sistemas, la energía mecánica se conserva entre dos puntos cualesquiera.
Figura 1. Montaje. 67
Y
A m1
y1
B
m2
0
Figura 2. Plano curvo. En nuestro sistema vamos a considerar una pista curva por la cual se deja caer rodando una esfera metálica de masa m1, como se ve en la figura 1. Al llegar a la parte plana inferior de la pista curva la esfera de masa m1 ha pasado del punto A al punto B (ver aclaración en la figura 2). Es necesario establecer el punto de referencia 0 para medir desde allí la altura y que determina la energía potencial gravitacional, la cual mediremos como positiva hacia arriba desde el punto 0 a la altura de la parte inferior del plano curvo (vea el detalle en la figura 2). En el punto A, la esfera tiene sólo energía potencial gravitacional, mientras que en el punto B, la energía es puramente cinética. La conservación de la energía mecánica entre A y B para la esfera de masa m1 establece que m 1 g y1
1 2
m1v B2
(1)
De donde se puede calcular, en una primera aproximación, la velocidad v B con la que la esfera de masa m1 llegará a colisionar con la esfera de masa m 2, la cual se encuentra en reposo en el extremo de la parte plana inferior del plano curvo. Vamos a considerar que la colisión es elástica, es decir que se conserva la energía cinética. Las situaciones antes y después de la colisión se ilustran en la figura 3. v1i m1
m2
v1f m1
v2f m2
Antes de colisionar, m2 está en reposo y m1 se acerca con velocidad v1i Después de colisionar, m 1 y m2 se suponen por simplicidad moviéndose a la derecha
Figura 3. Antes y después de colisionar. 68
Donde es claro que la velocidad v1i es la misma vB mencionada anteriormente. La conservación de la energía cinética en la colisión se expresa mediante la ecuación 1 2
m1v12i
1
2
m1v12 f
1 2
m2 v22 f
(2)
La cual se puede reorganizar como m1 (v1i
v1 f )(v1i
v1 f ) m2 v22 f (3)
Además de la conservación de la energía cinética también se conserva el momento lineal, por lo cual se cumple la ecuación m1v1i
m1v1 f m2 v2 f
(4)
v1 f ) m2 v2 f
(5)
Al reorganizar esta ecuación obtenemos m1 (v1i
Al sustituir la ecuación 5 en la 3, se obtiene la siguiente relación para las velocidades v2 f
(6)
v1i v1 f
A partir de la ecuación 6 y de la ecuación 4 se llega a las velocidades finales para cada una de las esferas
m m m m
(7)
m m
(8)
v1 f v1i
v2 f v1i
1
2
1
2
2m1
1
2
Las ecuaciones 7 y 8 están dadas en función de las masas y de la velocidad inicial del cuerpo 1: v1i o vB, la cual como ya hemos dicho, podría ser deducida de la ecuación 1 en términos de g y de y1. Sin embargo, esta deducción de la velocidad correspondería al problema de una partícula puntual y no a una esfera como la que realmente estamos usando, por esta razón esta aproximación no se usará en la práctica sino que se tomará una medida del tiempo y de distancia, para la esfera que se deja caer, cuando llega a la parte horizontal de la pista, y se asumirá que la velocidad es constante en este tramo. Las masas pueden ser medidas con anterioridad al experimento, por lo cual se usará la ecuación 8 para determinar la velocidad teórica de la esfera 2 después de la colisión. Note que si las masas son iguales, la ecuación 7 nos dice que la velocidad final de la esfera de masa m1 será cero. Finalmente, la esfera 2, que se encontraba justo en el borde de la pista, sale disparada después de la colisión con una velocidad horizontal v2 f . A partir de ese momento la esfera 2 queda en movimiento parabólico o semiparabólico en este caso, como se ilustra en la figura 4. 69
y v2f
0
x
Figura 4. Movimiento semiparabólico de la esfera 2. Para el problema semiparabólico se sabe que la velocidad inicial de la esfera sólo tiene componente en dirección horizontal. Según la figura 4, también es posible conocer o medir la altura inicial y0 desde la que sale disparada horizontalmente la esfera, así como la distancia horizontal x recorrida. Las ecuaciones cinemáticas para este movimiento semiparabólico son: x 0
1
(9)
v2 f t
y 0
2
2
g t
(10)
Al despejar el tiempo de la ecuación 9 y reemplazarlo en la ecuación 10, se obtiene una expresión para la velocidad de salida de la esfera 2 de la mesa, v2 f . Recuerde que el índice en esta velocidad corresponde a la velocidad final de la colisión, pero a su vez es la misma velocidad inicial del movimiento semiparabólico. En esta expresión se encuentra la velocidad en términos de la distancia x recorrida horizontalmente y de la altura inicial y0.
70
Procedimiento e Informe: 1. Realice el montaje experimental ilustrado en la figura 1. Ponga el registrador digital de tiempo en modo S2 y en la menor escala de tiempo. Use la plomada para señalar el punto 0’ que se encuentra exactamente en el piso debajo de la masa m2 antes de la colisión (vea el esquema ilustrado en la figura 5). Mida la diferencia de altura s Δh sobre la mesa, que recorrerá m1 al caer por la pista curva. Anote este dato en la tabla 1, junto con las medidas de las masas de las esferas. En caso de que no se pueda escoger una par de masas iguales, tome m1< m2.
m1
y
Δh m2
y0
0’
Figure 5. Montaje experimental 2. Tome la medida de la altura y0 correspondiente al movimiento parabólico y consígnela en la tabla 1. Tome la medida de la distancia b entre los dos fotosensores y consígnela en la tabla 1 (vea el detalle en la figura 6). Esta distancia se usará para calcular la velocidad de la masa m1 en el punto B antes de la colisión (v B), para lo cual se tomará el tiempo Δt como el promedio de todas las medidas hechas. Deje caer la masa m1 desde el reposo (y desde una posición fija previamente escogida) hasta que colisione con la segunda masa y tome la medida del tiempo Δt y de la distancia horizontal correspondiente al movimiento parabólico de la esfera 2 en el piso. Repita la colisión doce veces registrando las medidas de tiempo Δt y de la distancia horizontal x en la tabla 2, recuerde resetear el aparato después de cada medida. Los valores de tiempo Δt y distancia x que van en las columnas 2 y 8 de la tabla 1, son los promedios respectivos de la tabla 2, teniendo en cuenta la teoría de errores para una cantidad medida muchas veces en el caso del tiempo.
71
b
Figura 6. Detalle de los fotosensores. b(m)
Δt (s)
Δh(m)
m1(g)
m2(g)
vB(m/s)
y0(m)
x(m)
Tabla 1. Δt (s) x(m)
Tabla 2. 3. Use las dos primeras columnas de la tabla 1 para determinar la velocidad vB de la columna 6 de la tabla 1, este valor se usará para calcular la velocidad teórica v2f . Usando la ecuación 8 determine la velocidad teórica v2f teniendo en cuenta que la v1i = v B. Use las ecuaciones 9 y 10, los datos de la tabla 1 y el procedimiento sugerido en la parte teórica de la guía para determinar la velocidad experimental v2 f de la esfera 2. Consigne el valor de las velocidades en la tabla 3. Calcule el porcentaje de error del experimento y regístrelo en la tabla 3.
v2f(teor)(m/s) v2f(exp)(m/s)
%Error
Tabla 3. 4. Repita la tabla 3, pero esta vez teniendo en cuenta la energía rotacional de la esfera de masa m1 al llegar al final de su recorrido por el plano curvo, para lo cual se usará la siguiente ecuación: (Recuerde que debe usar el valor de la gravedad en Medellín.)
72
v B
10 7
g h
1. Haga un análisis de la ecuación 7 y concluya cuales son las posibles direcciones de la velocidad final de la esfera 1 después de la colisión, según la comparación de las masas m 1 y m2. 2. Escriba sus propias conclusiones de la práctica, así como las causas de error en los resultados.
Recuerde que el informe escrito de esta práctica debe hacerse en el formato de revista entregado por el docente: debe desarrollarse con todos los datos y operaciones correspondientes a cada numeral, relatorio detallado de todos los procesos, cálculos detallados de los valores pedidos en el desarrollo de la práctica, incluir causas de error y conclusiones.
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74
Guía de Laboratorio de Física Mecánica. ITM, Institución universitaria. Práctica 11. Aceleración angular. Implementos Sistema rotante (base), hilo, cinta, cilindro con regla de aluminio, nuez, polea pequeña, juego de masas y porta-masas, varilla corta, soportes universales, balanza, dispositivo óptico digital, transportador, computador.
Objetivos Hacer una medición experimental de la aceleración angular de un sistema rotante compuesto por dos cuerpos rígidos (barra y cilindro uniformes). También se espera hacer uso del momento de inercia para una barra y un cilindro que forman el sistema rotante, los cuales intervienen en el cálculo directo de la aceleración angular teórica del experimento.
Teoría
Fotosensores Barra
m 1
Cilindro
Figura 1. Montaje. 75
En un sistema rotante como el ilustrado en la figura 1, el cuerpo de masa m1 está atado al cilindro mediante una cuerda ligera enrollada en el cilindro vertical. La cuerda pasa por una polea pequeña que consideraremos ideal. También se considera ideal la rotación del cilindro, como si en su eje no hubiera fricción. El sistema se suelta desde el reposo, mientras el bloque de masa m1 desciende y el sistema rotante cilindro-barra empieza a aumentar su rapidez angular con aceleración angular constante, esta última es consecuencia de que se asumiera una situación de trabajo ideal, sin pérdidas de energía por fricción en los ejes ni por rozamiento con el aire ni otros factores, como se esboza en la figura 2. Eje de rotación Barra Cilindro
T
Polea ideal
m1
Figura 2. Esquema simplificado del montaje. La dinámica del bloque de masa m1 considerada como puntual está determinada por las fuerzas que se ilustran a continuación en la figura 3.a. En la figura 3.b se ilustra una vista aérea del cilindro y del torque τ
que ejerce la tensión a través de la cuerda sobre el cilindro: y T
τ
. Rc
m1g
Figura 3.a. Diagrama de fuerzas para el bloque.
T
3.b. Torque ejercido sobre el sistema rotante. 76
Donde se tiene que la aceleración traslacional del bloque de masa m 1 es la misma aceleración tangencial de cualquier punto en el borde del cilindro, por lo tanto la dinámica del bloque está determinada por la ecuación (1), mientras que la dinámica del sistema rotante está dada en la ecuación (2). La relación entre la aceleración angular α y la tangencial del borde del cilindro a, está dada por la ecuación (3). (1)
m1 g T = m1a RC T = I
(2)
a = RC
(3)
La tensión de la ecuación (2) y la aceleración de la ecuación (3) se sustituyen en la ecuación (1) y se obtiene así la aceleración angular teórica α(teor) en función de la gravedad, la masa m1, el radio del cilindro RC y el momento de inercia del sistema rotante (esta tarea es para el informe). Donde hay que recordar que el momento de inercia del sistema rotante es la suma del momento de inercia del cilindro mas el de la barra rígida uniforme (4)
I = I C I B
Los momentos de inercia necesarios para esta práctica deben ser consultados por los estudiantes antes de la sesión. Para medir la aceleración angular experimentalmente, se toman varias medidas del tiempo que transcurre mientras que la barra arranca desde el reposo, pasando por el primer sensor, hasta que pasa por el segundo sensor óptico. Con estos datos se hace una gráfica de ángulo contra tiempo, la cual tiene forma parabólica y nos dará la medida de la aceleración angular experimental. Los sensores ópticos deben ubicarse tan cerca como sea posible de la punta de la barra, además de que debe verificarse con atención la trayectoria de la barra al girar para que no golpee los sensores. También es importante acercar lo máximo posible la punta que dará inicio al contador digital al primer sensor, puesto que se supone que el sistema parte del reposo. Recuerde que para un movimiento circular uniformemente acelerado la ecuación cinemática para la posición angular es: 0
0 t
1 2
2
t
(5)
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Procedimiento e Informe: 1. Realice el montaje experimental mostrado en la figura 1, teniendo en cuenta que el bloque de masa m1 debe ser superior a 300g, esto es con el fin de que el sistema se acelere eficientemente para nuestros propósitos (el docente debe verificar que todos los grupos de trabajo usen masas diferentes y que tomen medidas de ángulos diferentes). Tenga en cuenta que debe poner una mano para detener la barra apenas pase por el segundo sensor, pues si no lo hace su medida de tiempo se dañará ya que si se permite a la barra pasar de nuevo activará los sensores y se perderá la medida. Mida la masa m1, la cual se debe medir incluyendo el porta-pesas en la balanza. La masa de la barra m B y la masa del cilindro solo mC fueron tomados en el laboratorio. Anote estos datos en la tabla 1, junto con las medidas del radio del cilindro RC (el radio mayor) y la longitud de la barra L, todos con sus unidades en el sistema internacional. m1(Kg)
m B(Kg)
mC (Kg)
0,192
0,335
L(m)
Rc(m)
Tabla 1. 2. Disponga el sistema de modo que pueda tomar la medida del ángulo entre los sensores de la mejor forma posible. Inicie el registrador digital en modo S2. Ubique los sensores a un ángulo fijo inicial del orden de 10° a 15°, tome la medida de éste en grados en el transportador y páselo a radianes antes de escribirlo en la tabla 2. Observe en la figura 4 la forma de medir el ángulo entre los fotosensores. Tome la medida del tiempo entre los fotosensores 10 veces y promédielas.
Figura 4. Medida del ángulo 78
3. Distribuya los casi 180° disponibles para que decida de antemano cuales van a ser los seis ángulos para los que va a medir el tiempo, ya que solo un brazo va a pasar por los dos sensores activándolos, y si el segundo brazo llega a activar de nuevo el primer sensor se perderá la medida. Para cada ángulo la medida de tiempo se debe repetir diez veces y anotar el promedio del tiempo para cada ángulo hasta llenar la tabla 2. Recuerde que el aparato debe estar en la escala de ms y que debe resetearse después de cada medida. También recuerde detener con la mano el movimiento de la barra apenas haya pasado del segundo fotosensor. Es importante que note que en su tabla de datos debe aparecer también el punto (0,0) pues se supone que tanto el ángulo inicial, como la velocidad inicial deben ser cero. θ(Rad)
0.0
t(s)
0.0
Tabla 2. 4. Use el programa EXCEL para graficar ángulo contra tiempo con los datos de la tabla 1. Ajuste la curva y la ecuación en modo polinómico grado dos. Encuentre, a partir de la ecuación que entrega EXCEL la magnitud de la aceleración angular experimental α(exp), comparándola con la ecuación 5, y escríbala en la tabla 3.
α(teor)(m/s²)
α(exp)(m/s²)
%Error
Tabla 3. 5. A partir de las ecuaciones (1), (2) y (3) y (4) y describiendo bien el proceso algebraico, calcule la aceleración angular teórica α(teor) y llévela a la tabla 3. Calcule el porcentaje de error en la aceleración angular medida y escríbalo en la tabla 3. 6. Escriba sus propias conclusiones de la práctica, así como las causas de error en los resultados.
Recuerde que el informe escrito de esta práctica debe hacerse en el formato de revista entregado por el docente: debe desarrollarse con todos los datos y operaciones correspondientes a cada numeral, relatorio detallado de todos los procesos, gráficas, cálculos detallados de los valores pedidos en el desarrollo de la práctica, incluir causas de error y conclusiones.
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Guía de Laboratorio de Física Mecánica. ITM, Institución universitaria. Práctica 12. Momento de inercia. Implementos
AUN NO ESTA LISTA
Sistema rotante (base), hilo, cinta, cilindro con regla de aluminio, nuez, polea pequeña, juego de masas y porta-masas, varilla corta, soportes universales, balanza, dispositivo óptico digital, transportador, computador.
Objetivos Hacer una medición experimental de la aceleración angular de un sistema rotante compuesto por dos cuerpos rígidos (barra y cilindro uniformes). También se
Polea ideal y T
τ
. Rc
m1g
Figura 3.a. Diagrama de fuerzas para el bloque.
T
3.b. Torque ejercido sobre el sistema rotante.
Donde se tiene que la aceleración traslacional del bloque de masa m 1 es la misma aceleración tangencial de cualquier punto en el borde del cilindro, por lo tanto la dinámica del bloque está determinada por la ecuación (1), mientras que la dinámica del sistema rotante está dada en la ecuación (2). La relación entre la aceleración angular α y la tangencial del borde del cilindro a, está dada por la ecuación (3). m1 g T = m1a
(1)
RC T = I
(2)
a = RC
(3)
La tensión de la ecuación (2) y la aceleración de la ecuación (3) se sustituyen en la ecuación (1) y se obtiene así la aceleración angular teórica α(teor) en función de la gravedad, la masa m1, el radio del cilindro RC y el momento de inercia del sistema rotante (esta tarea es para el informe). Donde hay que recordar que el 81 I = I C I B
momento de inercia del sistema rotante es la suma del momento de inercia del cilindro mas el de la barra rígida uniforme (4) Los momentos de inercia necesarios para esta prá
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