UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO
FACULTAD: FICSA CURSO: Física i ESCUELA: Ingeniería de sistemas TITULO: Método de los Mínimos Cuadrados MESA: 4 PROFESOR: Sáenz Guarníz Segundo ALUMNO: Rivera Olivera José Cronwell
079071H.
Lambayeque Setiembre del 2009
Informe de Laboratorio Nª2 I.
Titulo: Método de los Mínimos Cuadrados.
II.
Objetivos: Aplicar el método de los mínimos cuadrados para determinar una ley cuantitativa entre dos magnitudes físicas que varían en forma lineal.
III.
Fundamento teórico. Uno de los problemas de física Experimental es determinar una ley cuantitativa entre dos o más magnitudes que están variando en forma correlativa. Sean los n de valores correspondientes de: x1,y1;x2,y2;…… xn,yn suponiendo que la relación funcional entre dos magnitudes x e y es del tipo lineal: y=a+bx
ó
y=ax+b
… …. …(1)
Con los parámetros desconocidos a y b, cuyos valores más probables, son tales que: i=1nri2>0 Sea una cantidad mínima. Donde: ri=yi-axi- b=yi-yi'…………(2)
Es decir: n=in[yi-(axi+ b)]²=mínimo……………(3) Para satisfacer esta condición tiene que ser nulas todas las derivadas a y b; o sea:
∂ri2∂∝
= 0;
∂ri2∂b
= 0… … … … (4)
Que nos permite de tener el siguiente sistema de ecuaciones: xy=ax2+bx ;
y=ax+ bn … … … … (5)
Resolviendo Se tiene: a=nxy-x(y)nx2-(x)²……………(6) b=yx2- (x)(xy)nx2- (x)² = y-axn…………(7) Págin a2
El parámetro a, determinado per la Ecuación (6) representa la pendiente de la recta, mientras que el parámetro b, determinado pro la Ecuación (7) representa el punto de intersección de la línea recta (19 con el eje de las coordenadas. Figura 1.
La recta: y=ax+b para un punto muy particular de coordenadas P(x ,y), donde: x=xin ; y=yin………(8)
En la experiencia, una vez que se encuentran los n pares de datos xi,yi ; se calculan b,x,y por medio de las ecuaciones (7) y (3). Se trazan a continuación la recta que pase por el punto p y el punto (0, b); la pendiente (a) de dicha recta que ser igual al valor calculado con la ecuación (6).
Según la teoría de errores de una variable, cantidades como μ y σ se puede determinar los errores sobre los parámetros y están dados por: σa2=(yi-yi')²(n-2) nnxi2-(xi)²…………(9) σb2=(yi-yi')²(n-2) x2nxi2-(xi)²
Nota: pendiente (a=m), luego m= k² calculando por la Ecuación (12); una vez determinado el valor de g por la Ecuación (14); ó sea que la Ecuación (12) sirve para comparar si la pendiente teórica obtenida por a=k² fue bien determinada. Págin a3
Para determinar que también la recta de regresión de mínimos cuadrados se ajusta a los datos experimentales, se halla el coeficiente de correlación lineal(r). r=nxy-x(y)[nx2-(x)²][ny2-(y)²]…………(10)
Si r=±1 se dice que hay una correlación lineal perfecta. Así mismo si r=0, la correlación es totalmente imperfecta. Según la tabla de datos experimentales determinados la frecuencia y de allí el periodo T=1q…………(α)
Para el periodo también se puede determinar por: T=2пLg…………b………(11)
De (11.b) se puede determinar la pendiente de la recta elevando al cuadrado a ambos términos: T2=4п2Lg; Si
T2=k2(L)
De donde: k2=4п2g…………12 (Pendiente de la recta).
Si Graficamos T2 VS L usamos el método de los mínimos cuadrados Figura2.
De la Grafica Págin a4
m=∆y∆x=y2-y1x2-x1
La pendiente de la recta es: m= tanθ=∆T2∆L=∆y∆x
ó
θ=arctag∆y∆x
m=k2…………(13) a=k2=m
Reemplazando el valor de la pendiente se puede determinar: g=4п2k2………(14)
Nota el valor de g será la gravedad local, que en el SI (ms-2).
IV.
Equipo y materiales
Un soporte Universal LEYBOLD Una Balanza
Una Regla Graduada Un Cronómetro Págin a5
Un Transportador
Juego de Masas
V.
Procedimiento • •
•
• •
•
I.
Armar el péndulo Hacer oscilar la masa pendular, cuidando que la amplitud angular máxima (θ=15). Deje pasar dos o tres oscilaciones para iniciar el registro del tiempo en el cronómetro (10 oscilaciones). Anote el tiempo cronometrado Varié la masa del péndulo simple, manteniendo constante la longitud y anote sus datos en la tabla 01. Repita los pasos 1, 2, 3, 4, variando ahora la longitud del hilo y manteniendo constante la masa y anote sus datos en la tabla 02.
Datos Experimentales:
Tabla Nº1: L(m)
0.5 m
M(kg)
Nº Oscilaciones
Tiempo(s) t1
t2
t3
t4
t5
m1=0.140
13.55
13.34
13.43
14.91
13.99
M2=0.135
13.49
13.49
13.51
13.45
14.01
13.50
13.41
13.12
13.55
13.43
M4=0.205
13.59
13.41
13.42
13.48
13.58
M5=0.237
13.49
13.62
13.56
13.45
13.59
M3=0.217
10
Págin a6
Tabla Nº2: L(m) Variable
Nª Oscilaciones
M(kg)
Tiempo(s) t1
t2
t3
t4
t5
L1=0.50
13.50
13.48
13.33
13.39
13.45
L2=0.30
10.55
10.74
10.62
10.60
10.40
11.89
11.99
11.95
11.99
11.97
L4=0.60
13.17
13.18
13.19
13.27
13.24
L5=0.70
14.34
14.46
14.32
14.50
14.46
L3=0.40
II.
0.230
10
Análisis de Datos: Tabla Nª03
X=L ; y=T2
N
X(m)
Y(s2)
x²(m2)
xy (m.s2)
1
0.5
1.817
0.25
0.909
2
0.3
1.119
0.09
0.336
3
0.4
1.430
0.16
0.572
4
0.6
2.316
0.36
1.390
5
0.7
2.696
0.49
1.887
Σ
2.5
9.379
1.35
5.094
Determinación de la pendiente: a=nxy-x(y)nx2-(x)²=k2 a=[55.094-2.5(9.379)]ms2[51.35-6.25]m2 Págin a7
a=[25.47-23.448]ms2[6.75-6.25]m2 a=2.0220.5s2m a=k2=4.044s2m
Determinación de la mejor recta de ajuste
y=ax+b
b=yx2- (x)(xy)nx2- (x)² b=[9.3791.35-2.5(5.094)]m2s2[51.35-6.25]m2 b=[12.662-12.735]m2s2[0.5]m2=[0.073]m2s2[0.5]m2 b=0.146 s2
El coeficiente de correlación Lineal(r) es: r=nxy-x(y)[nx2-(x)²][ny2-(y)²]
r=[55.094-(2.5)(9.379)]ms2[51.35m2-(2.5)²m2][519.2309s4(9.379)²s4] r=[25.47-23.45]ms2[[6.75-6.25][96.15-87.97]]ms2 r=2.02ms2[0.5][8.18]ms2 r=2.02ms24.09]ms2 r=2.02ms22.022ms2 r=0.999
Tabla Nª04 Determinación del periodo. Utilizando las siguientes formulas obtendremos los datos de la tabla Nª4 ƒ=10 oscilacionest T=1ƒ ts
ƒ(hz)
T(s)
T2(s2)
t1=13.480
ƒ1=0.742
T1=1.348
1.817
Págin a8
III.
t2=10.582
ƒ2=0.945
T2=1.058
11.119
t3=11.958
ƒ3=0.836
T3=1.196
1.430
t4=15.210
ƒ4=0.657
T4=1.522
2.316
t5=16.416
ƒ5=0.609
T5=1.642
2.696
Cuestionario
1. Graficar en papel milimetrado a una escala adecuada T2 VS L . Usando los mínimos cuadrados, a partir de la tabla 02.
Grafica T2 VS L
Págin a9
2. Obtener k2(pendiente de la recta), a partir de la tabla02. Luego compare este resultado, con el que se obtiene de la grafica. m=∆T2∆L=[2.696-2.316]s2[0.7-0.6]m=2.15s2m m=3.8s2m 3. Calcule la Aceleración de la gravedad (g) en la cuidad de Lambayeque con el valor de k2obtenido por la Ecuación (6) k2=4.044s2m g=4п2k2=4(3.14)²4.004s2m=9.752ms2 4. A partir de la Tabla Nª01. Determine el periodo y diga ¿Cómo varia el periodo si aumenta la masa del péndulo?
Tabla Nª05
✔
ts
ƒ(hz)
T(s)
t1=13.644
ƒ1=0.733
1.364
t2=13.590
ƒ2=0.736
1.359
t3=13.482
ƒ3=0.742
1.348
t4=13.496
ƒ4=0.741
1.350
t5=13.542
ƒ5=0.738
1.354
Mientras se Aumente más la masa el periodo disminuye de acuerdo al tiempo en que se demora el péndulo en oscilar.
1. Calcule los errores del tiempo, frecuencia y periodo a partir de la tabla 02. Método no estadístico. Error del tiempo: tm=±tmáx-tmin2
Págin a 10
tm=±16.416-10.5822s tm=±5.8342s tm=±2.917 s ➢ El error cometido en el tiempo es de ±2.917 s
Error de frecuencia:
fm=±fmáx-fmin2 fm=±0.945-0.6092hz fm=±0.3362hz fm=±0.168 hz ➢
El error cometido en la frecuencia es de ±0.168 hz
Error periodo Tm=±Tmáx-Tmin2 Tm=±1.642-1.0582s2 Tm=±0.5842s2 Tm=±0.292 s2 ➢
El error cometido en el periodo es de ±0.292 s2
1. Establecer las leyes del péndulo simple. Enumerar algunas de las aplicaciones en ingeniería. Leyes del Péndulo Simple: a) El periodo es independiente de su amplitud angular(siempre que no exceda a los 10°) b) El periodo es independiente a su masa c) El periodo es directamente proporcional a la raíz cuadrada de la longitud pendular.
Págin a 11
d) El periodo es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la aceleración de la gravedad local. Aplicaciones a la Ingeniería: •
• • •
I.
Conclusiones y Sugerencias •
•
•
•
•
I.
La plomada. Metrónomo. El péndulo de Newton. Péndulo de Tensión.
Se puede concluir que mediante el método de los mínimos cuadrados se puede encontrar la relación que existe entre dos magnitudes físicas. Que mediante la pendiente de la recta, que surge de la relación entre dos magnitudes ( T2 VS L ), se puede hallar la gravedad. Que para graficar la recta que expresa la relación entre 2 magnitudes es necesario utilizar papel milimetrado y así comparar los resultados mediante graficas. Una forma o manera de aplicar el método de los mínimos cuadrados es utilizando el péndulo simple y sus leyes. Se llego a cumplir con los objetivos.
Bibliografía. ✔ ✔
Guerra Sotelo.”Manual de Laboratorio de Física para maestros.” Sears, Zemansky y otros, “Física Universitaria”, Volumen1, Pearson Education, México 2004.
Págin a 12
