Kalkulus I
FUNGSI DAN GRAFIK
Oleh
Kelompok III
Luh Putu Egarustari 1419151006
I Made Hendra Wirastika 1419151024
I Gusti Putu Arya Adnyana 1419151042
Michiko Pelano 1419151060
Fakultas Teknik
Jurusan Teknik Sipil
Universitas Udayana
2014
FUNGSI DAN GRAFIKNYA
1. DEFINISI FUNGSI
Missal : ada himpunan A dan B bila setiap elemen dari A dikaitkan
dengan suatu kaitan yang khusus dengan setiap elemen di B dan kaitan
tersebut mempunyai syarat atau aturan-aturan yang khusus, maka kaitan
tersebut disebut "Fungsi"
Contoh : jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan.
F: A B
Yang artinya f memetakan A ke B.
A disebut daerah asal (domain) dari f dan B disebut daerah hasil (
kodomain ) dari f.
2. KONSEP FUNGSI
Konsep fungsi erat kaitannya dengan relasi
Contoh soal sederhana dari konsep fungsi
Diketahui fungsi y = f(x) = 2x2+4x-1 , maka nilai x = 2 adalah ….
Cara penyelesaiannya:
Jika x = 2, maka
y = f(x) = 2x2+4x-1
y = f(2) = 2.22+4.2-1
= 8 + 8 – 1
= 15
Jadi nilai fungsi f(x) = 2x2+4x-1 ketika x bernilai 2 adalah 15.
3. FUNGSI dan RELASI
Relasi merupakan suatu kaitan dari unsur–unsur 2 bilangan sembarang.
Pengertian relasi adalah merupakan himpunan pasangan terurut yang
merupakan himpunan bagian dari produk kartesius antara wilayah dan
kowilayah.
4. SIMPULAN
A. Fungsi juga merupakan relasi, hanya konsep fungsi lebih sempit
dibanding dengan konsep relasi. Syarat fungsi:
a. Unsur dari A harus seluruhnya muncul dalam pasangan terurut
b. Unsur dari A tidak boleh muncul dua kali atau lebih dari satu kali
dalam pasangan terurut.
Ini merupakan salah satu contoh dari fungsi yang benar sesuai dengan
aturan-aturan di atas.
5. MACAM-MACAM FUNGSI
A. Menurut Sifatnya
1. Fungsi Ke dalam (Into)
Fungsi satu-satu/ fungsi into/ fungsi injektif f : A B disebut
fungsi satu-satu jika setiap anggota A mempunyai bayangan yang
berbeda, dengan kata lain tidak ada dua anggota A yang mempunyai
bayangan yang sama didalam B. Jadi jika f(a1) = f(a2) maka a1 = a2
atau jika a1 a2 maka f(a1) f(a2).
2. Fungsi Kepada (Surjektif)
Misalkan f : A B maka range f(A) B. Jika f(A) = B, yaitu setiap y B
ada x A sehingga f(x) = y, maka f disebut fungsi pada/ surjektif
dari A ke B.
B. Menurut Jenis dan Fungsinya
1. Fungsi Aljabar
Fungsi aljabar adalah fungsi yang aturannya meliputi operasi
aljabar (tambah, kurang, kali, bagi, akar, dan pangkat).
Fungsi Rasional
Fungsi rasional adalah fungsi yang variabel bebasnya berpangkat
bilangan bulat . fungsi rasional meliputi :
Fungsi Polinom
Fungsi polinom merupakan fungsi suku banyak bentuknya
f(x) = an xn + an-1 xn-1 +…..+ a2x2 + a1x + a0
dengan an 0
a0 = suku tetap
an , an-1 , …..a, a0 = bilangan real
contoh fungi polinom : 2x3+ 4x2 +6x-5
5x2 + 4x -8 dst
Fungsi Kubik
Fungsi kubik adalah fungsi yang berpangkat tiga.
Bentuknya f(x) = ax3 + bx2 +cx + d
dengan a 0
Contohnya fungsi kubik : x3 + 2x2 + 5x +6
Fungsi Linear
Fungsi linear adalah fungsi yang variabelnya berpangkat 1 dan
grafiknya merupakan garis lurus.
Bentuknya y = f(X) = ax + b dimana : a dan b = konstanta dan
a 0
Contoh dari fungsi linear: y = x+3
Langkah- langkah melukis fungsi grafik linear:
a. Tentukan titik potong dengan sumbu x, y = 0 diperoleh
koordinat A( x1 ,0)
b. Tentukan titik potong dengan sumbu y, x = 0 diperoleh
koordinat B (0, y1)
c. Hubungkan dua titik A dan B sehingga terbentuk garis lurus.
Contoh soal:
Buatlah grafik dari persaamaan y = x + 3
Penyelesaiannya
Pertama kita tentukan titik perpotongan pada kedua sumbu:
o Titik potong pada s umbu y, jika x bernilai 0 maka y
bernilai:
y = x + 3
y = 0 + 3
y = 3
o Titik potong pada sumbu x, jika y bernilai 0 maka x
bernilai:
y = x + 3
0 = x + 3
x = -3
o Kemudian kita tarik garis lurus dari titik koordinat
tersebut, maka diperoleh grafik sebagai berikut:
Soal Fungsi Linear:
Gambarlah grafik fungsi linear berikut ini :
1. F(x) = 2x + 5
2. F(x) = 7 – 2x
3. F(x) = 3x - 15
Jawab:
1. Titik potong pada s umbu y, jika x bernilai 0 maka y
bernilai:
y = 2x + 5
y = 0 + 5
y = 5 ............. (0,5)
Titik potong pada sumbu x, jika y bernilai 0 maka x
bernilai:
y = 2x + 5
0 = 2x + 5
x = 2,5….........(2.5,0)
Grafiknya:
y
(5,0)
X
(-2.5,0)
2. Titik potong pada s umbu y, jika x bernilai 0 maka y
bernilai:
y = 7 – 2x
y = 7 – 2(0)
y = 7....................(0,7)
Titik potong pada sumbu x, jika y bernilai 0 maka x
bernilai:
y = 7 – 2x
0 = 7 – 2x
x = 3,5.................(3.5,0)
Grafiknya:
(0,7)
(3.5,0)
3. Titik potong pada s umbu y, jika x bernilai 0 maka y
bernilai:
y = 3x - 15
y = 3(0) - 15
y = 15…..............(0,15)
Titik potong pada sumbu x, jika y bernilai 0 maka x
bernilai:
y = 3x - 15
0 = 3x - 15
x = 5…................(5,0)
Grafiknya:
(5,0)
(0,-15)
Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat adalah fungsi yang berpangkat dua.
Sifat sifat grafik fungsi kuadrat:
a. Jika a > 0, maka grafik terbuka ke atas dan mempunyai titik
balik minimum. (titik puncaknya mempunyai nilai terkecil)
b. Jika a < 0, maka grafiknya terbuka ke bawah dan mempunyai
titik balik maksimum. (Titik puncaknya mempunyai niai
terbesar)
c. Jika D merupakan deskriminan suatu fungsi kuadrat f(x) =
ax² + bx + c, maka:
- Jika D > 0, maka grafik y = f (x) memotong sumbu x pada
sua titik yang berbeda
- Jika D < 0, maka grafik y = f(x) menyinggung sumbu x
pada suatu titik.
- Jika D < 0, maka grafik y = f(x) tidak memotong sumbu x.
d. Bentuknya f(x) = ax2 + bx + c
Dengan a, b, c merupakan konstanta a 0
Contoh : 4x2+6x +5
Grafik persamaanya y = ax2 + bx + c berbentuk parabola.
e. Langkah-langkah melukis grafik fungsi kuadrat:
- Tentukan titik potong dengan sumbu x, y = 0 diperoleh
koordinat (x1, 0)
- Tentukan titik potong dengan sumbu y, x = 0 diperoleh
koordinat (0, y1)
- Menentukan titik puncak (xp,yp)
Xp = -b/2a Yp = D/-4a
Keterangan: Xp = Persamaan sumbu simetri
Yp = nilai maksimum atau minimum
D = Deskriminan (b ²-4ac)
- Kemudian hubungkan titik-titik koordinat tersebut
sehingga membentuk grafik parabola.
Contoh soal:
Gambarlah grafik fungsi kuadrat y = x²-4x-5
Jawaban:
a. Titik potong sumbu x,y=0
y = x² - 4x – 5 => 0 = (x – 5) ( x + 1), x = -1 dan 5
0 = x² - 4x – 5
Titik potong sumbu x (-1,0) dan (5,0)
b. Titik potong sumbu y,x = 0
y = x² - 4x - 5
y = (0)² - 4(0) – 5
y = -5
Maka titik potong sumbu y adalah (0,-5)
c. Persamaan sumbu simetri –b/2a
= -(-4)/2.1
= 2
d. Nilai maks/ min b² - 4ac / -4a
= {(-4)² - 4.(1).(-5) / -4 (1)}
= 36 / -4
= -9
e. Titik puncak {(-b/2a), (b² - 4ac/-4a)} = (2,-9)
f. Maka grafiknya:
Soal Fungsi Kuadrat:
1. Gambarlah grafik fungsi kuadrat y = x² - 4x + 3
2. Gambarlah grafik fungsi kuadrat y = 12 + 4x - x²
3. Gambarlah grafik fungsi kuadrat y = 2x² + 4x - 6
Jawaban:
1. Titik potong sumbu x,y=0
y = x² - 4x + 3 => 0 = (x – 1) (x - 3), x = 1 dan 3
0 = x² - 4x + 3
Titik potong sumbu x (1,0) dan (3,0)
Titik potong sumbu y,x = 0
y = x² - 4x + 3
y = (0)² - 4(0) + 3
y = 3
Maka titik potong sumbu y adalah (0,3)
Persamaan sumbu simetri –b/2a
= -(-4)/2.1
= 2
Nilai maks/ min b² - 4ac / -4a
= {(-4)² - 4.(1).(3) / -4 (1)}
= 16 - 12 / -4
= -1
Titik puncak {(-b/2a), (b² - 4ac/-4a)} = (2,-1)
Maka grafiknya:
2. Titik potong sumbu x,y=0
y = -12 + 4x – x² => 0 = (6 + x) (-2 + x), x = -6 dan
2
0 = -12 + 4x – x²
Titik potong sumbu x (-6,0) dan (2,0)
Titik potong sumbu y,x = 0
y = -12 + 4x – x²
y = -12 + 4(0) – (0)²
y = -12
Maka titik potong sumbu y adalah (0,-12)
Persamaan sumbu simetri –b/2a
= -(4)/2.1
= -2
Nilai maks/ min b² - 4ac / -4a
= {(4)² - 4.(1).(-12) / -4 (1)}
= 16 + 48 / -4
= -16
Titik puncak {(-b/2a), (b² - 4ac/-4a)} = (-2,-16)
Maka grafiknya:
(-6,0) (2.0)
(0,-12)
(-2,-16)
3. Titik potong sumbu x,y=0
y = 2x² + 4x - 6 => 0 = (2x - 2) (x + 3), x = 1 dan 3
0 = 2x² + 4x - 6
Titik potong sumbu x (1,0) dan (-3,0)
Titik potong sumbu y,x = 0
y = 2x² + 4x - 6
y = 2(0)² + 4(0) - 6
y = -6
Maka titik potong sumbu y adalah (0,-6)
Persamaan sumbu simetri –b/2a
= -(4)/2.2
= -1
Nilai maks/ min b² - 4ac / -4a
= {(4)² - 4.(2).(-6) / -4 (2)}
= 16 + 48 / -8
= -8
Titik puncak {(-b/2a), (b² - 4ac/-4a)} = (-1,-8)
Maka grafiknya:
(-3,0) (1,0)
(0,-6)
(-1,-8
Fungsi Pecahan
Bentuk umum fungsi pecahan adalah
Fungsi pecahan yang dijelaskan di sini adalah fungsi pecahan
linear dan fungsi pecahan kuadrat.
a. Fungsi pecahan linear
b. Funsi pecahan kuadrat
dan
Fungsi Irrasional
Fungsi irrasional adalah fungsi yang variabel bebasnya terdapat
di bawah tanda akar. Contohnya y =
2. Fungsi Transenden
Fungsi transenden adalah fungsi yang bukan merupakan fungsi
aljabar.
Fungsi Goneometri
Contoh: y = f(x) = 2 sin 3x + 12
Fungsi Eksponen
Contoh: f(x) = 12x
Fungsi Logaritma
Contoh: f(x) = 5log3x
Fungsi Siklometa
Contoh: f(x) = arc sin x
3. Fungsi Mutlak
Fungsi Mutlak adalah suatu fungsi yang aturannya memuat nilai
mutlak suatu bilangan real x,dinyatakan dengan "x",didefinisikan
sebagai
"x" =
4. Fungsi dengan Parameter
Fungsi bentuk parameter merupakan fungsi y = f(x) yang disajikan
dengan sepasang persamaan : dengan t suatu parameter, maka untuk
memperoleh dari sistem persamaan tersebut adalah dengan diasumsikan
y sebegai fungsi komposisi
C. Menurut Letak Variabelnya
1. Fungsi Implisit
Fungsi Implisit merupakan lawan dari fungsi eksplisit jadi pada
fungsi implisit perbedaan antar variabel bebas dan variabel tidak
bebas tidak dapat dibedakan dengan jelas. Contohnya: f(x,y)= 3x +
4y
2. Fungsi Eksplisit
Fungsi Eksplisit y terhadap x adalah fungsi dengan aturan y=f(x)
yang memasangkan setiap unsur di daerah asalnya dengan tepat satu
unsur di daerah nilainya. Contohnya: y = 2x-5
D. Fungsi-Fungsi Khusus
1. Fungsi Identitas
f : A A dengan f(x) = x disebut fungsi satuan jika f memetakan
setiap titik anggota A ke dirinya sendiri.
2. Fungsi Konstan
Misalkan f: A B. Fungsi f disebut fungsi konstan jika setiap
anggota A dipetakan ke satu anggota B yang sama. Jadi jika x elemen
A, maka f(x) = c (konstan)
3. Fungsi Komposisi
Jika fungsi f bekerja pada x untuk menghasilkan f(x) dan kemudian g
bekerja pada f(x) untuk menghasilkan g(f(x)), maka dikatakan bahwa
kita telah mengkomposisikan g dengan f. Fungsi yang dihasilkan
disebut kompoosisi g dengan f, yang dinyatakan dengan g°f. Jadi
(g°f)(x) = g(f(x))
Sifat fungsi komposisi tidak komulatif f°g g°f
Contoh soal:
Diketahui rumus f(x) = x-4 dan g(x)=2x-6
Tentukan (f°g)(x) = …?
Penjelasan: (f°g)(x) = f(g(x))
= f(2x-6)
= (2x-6) – 4
= 2x-10
Soal Fungsi Komposisi:
1. Jika f(x) = 2x + 6 dan g(x) = 2x2 + 6x – 7 maka (f°g) (x) = …?
2. Jika f(x) = dan g (x) = 2x+5 maka (g°f) (x) = …?
3. Jika g(x) = x + 1 dan f(x) = x2+3x+1 maka (f°g) (x) = …?
Jawab:
1. (f°g) (x) = f(g(x))
= f(2x2 + 6x – 7)
= 2(2x2 + 6x – 7) + 6
= 4x2 + 12x – 14 + 6
= 4x2 + 12x – 8
2. (g°f) (x) = g(f(x))
= g( )
= 2 () + 5
= + 5()
= +
=
3. (f°g) (x) = f(g(x))
= f(x + 1)
= (x + 1)2 + 3(x + 1) + 1
= x2 + 2x + 1 + 3x + 3 +1
= x2 + 5x + 1 + 3x + 3 +1
-----------------------
a mempunyai 2 nilai
A
B
1
2
3
a
b
B
A
1
2
3
4
a
b
C
d
