Materi Fungsi Linear Admin 8:32:00 PM
Duhh akhirnya nongol lagi ... kali ini saya akan bahas mengenai pelajaran yang paling disukai oleh hampir seluruh warga dunia :v ... MATEMATIKA , ya iu namanya. maeri !. adalah enang "ungsi linear kenapa saya updae enang maemaika ## karena ada emen yang re$ues , moga aja viewers bisa banyak . AMI% :D langsung saja.... Fungsi adalah Fungsi adalah hubungan maemais anara suau variabel dengan variabel lainnya. &nsur'unsur pembenuk "ungsi adalah Variabel, koefisien , dan konstanta. konstanta. Variabel adalah Variabel adalah unsur yang si"anya berubah'ubah dari sau keadaan ke keadaan lainnya. (ariabel dapa dibedakan menjadi variabel bebas dan variabel erika. (ariabel bebas : variabel yang menjelaskan variabel lainnya. adapun variabel erika adalah variabel yang dierangkan oleh variabel bebas. bebas.
Koefisien adalah Koefisien adalah bilangan aau angka yang dileakkan epa di depan suau variabel, erkai dengan variabel yang bersangkuan . Konstanta si"anya eap dan idak erkai dengan suau variabel apapun
1). Pengertian fungsi linier Fungsi linier adalah suatu fungsi yang variabelnya berpangkat satu atau suatu fungsi yang grafiknya merupakan garis lurus. Oleh karena itu fungsi linier sering sering disebut dengan persamaan garis lurus (pgl) dengan bentuk umumnya sbb.: f : x → mx + c atau f(x) = mx + c atau y = mx + c m adalah gradien / kemiringan / kecndngan dan c adalah knstanta
2). Melukis grafik fungsi linier !angkah"langkah melukis grafik fungsi linier a #entukan titik ptng dengan sumbu x$ y = % diperleh krdinat &( x'$ %) b #entukan titik titik ptng dengan sumbu sumbu y$ x = % diperleh krdinat ( %$ y') c hubungkan dua titik & dan sehingga terbentuk garis lurus ersamaan linier *uga dapat ditulis ditulis dengan simbl y = ax + b (ini untuk memudahkan kita dalam memahami gambar) )ika b bernilai posii" : "ungsi linier digambarkan garis dari kiri bawah ke kanan aas )ika b bernilai negai" : "ungsi linier digambarkan garis dari kiri aas ke kanan bawah )ika b bernilai nol : digambarkan garis yg sejajar dengan sumbu daar *
ambar Fungsi !inear
Apabila b bernilai negatif : Y = 10 - 2X maka kurva bergerak dari kiri atas ke kanan bawah
Apabila b bernilai positif : Y = 2 + 2X maka kurva bergerak dari kiri bawah ke kanan atas
3). Gradien dan persamaan garis lurus a). aris lurus yang melalui titik &(x'$ y') dan (x,$ y,) memiliki gradien m: m = y'"y, atau m = y,"y' x'"x, x,"x' b. ersamaan garis lurus yang melalui titik &(x'$ y') dan (x,$ y,) adalah: y"y' = x"x' y,"y' x,"x' c. ersamaan garis lurus (pgl) yang bergradien m dan melalui titik &(x'$ y') adalah: y = m (x - x' ) + y' 4). Menentukan gradien dari persamaan garis lurus (pgl) ersamaan garis lurus : ax + by = c maka gradiennya m = " a/b ersamaan garis lurus : y = ax + b maka m = a aris yang se*a*ar sumbu x memiliki persamaan y = c dan m = % aris yang se*a*ar sumbu y memiliki persamaan x = c dan tidak memiliki gradient 5). Titik potong dua buah garis enentukan titik ptng dua buah garis lurus identik dengan menyelesaikan penyelesaian sistem persamaan linier dua variabel baik dengan metde eleminiasi$ metde substitusi maupun metde grafik ). !ubungan dua buah garis 0ua garis yang bergradien m' dan m, dikatakan se*a*ar *ika m' = m, dan tegak lurus *ika m' x m, = "' erimpit 0ua garis lurus akan berimpit apabila persamaan garis yang satu merupakan kelipatan dari garis yan lain. 0engan demikian $ garis
akan berimpit dengan garis
$ *ika
1e*a*ar 0ua garis lurus akan se*a*ar apabila lereng/gradien garis yang satu sama dengan lereng/gradien dari garis yang lain. 0engan demikian demikian $ garis
akan se*a*ar dengan garis
$ *ika
erptngan 0ua garis lurus akan berptngan apabila lereng/gradien garis yang satu tidak sama dengan lereng/gradien dari garis yang lain. 0engan demikian $ garis garis
akan berptngan dengan
$ *ika
#egak lurus 0ua garis lurus akan saling tegak lurus apabila lereng/gradien garis yang satu merupakan kebalikan dari lereng/gradien dari garis yang lain dengan tanda yang berla2anan. 0engan demikian $ garis
akan tegak lurus dengan garis
$ *ika atau
BAB 2 Fungsi Linier Pengertian
Fungsi Linier atau fungsi berderajat satu ialah fungsi yang pangkat tertinggi dari ariabelnya adalah pangkat satu! "esuai namanya# setiap persamaan linier apabila digambarkan akan menghasilkan sebuah garis lurus! $entuk umum persamaan linier adalah : y % a & b' dimana a adalah penggal pengga l garisnya pada sumbu ertikal y# sedangkan b adalah k(efisien arah atau gradien garis yang bersangkutan! 2.2.Pembentukan Persamaan Linier
"ebuah persamaan linier dapat dibentuk melalui beberapa ma)am )ara# tergantung pada data yang tersedia! $erikut ini di)(nt(hkan empat ma)am )ara yang dapat ditempuh untuk membentuk sebuah persamaan linier# masing*masing berdasarkan ketersediaan data yang diketahui! +eempat )ara yang dimaksud adalah : Cara dwi-koordinat
,ari dua buah titik dapat dibentuk sebuah persamaan linier yang memenuhi kedua titik tersebut! Apabila diketahui dua buah titik A dan $ dengan k((rdinat masing*masing -'.#y./ dan -'2#y2/#maka rumus persamaan liniernya adalah :
(nt(h "(al: Misalkan diketahui titik A-2#3/ dan titik $-1#/# maka persamaan liniernya:
y *.2 % 2' 4 # y % 2'& 8 # y % 2 & 0# ' Cara koordinat-lereng
Apabila diketahui sebuah titik A dengan k((rdinat -'.#y./ dan lereng garisnya b# maka persamaan liniernya adalah :
(nt(h "(al : Andaikan diketahui bah5a titik A-2#3/ dan lereng garisnya adalah 0# maka persamaan linier yang memenuhi kedua persamaan kedua data ini adalah
Cara penggal-lereng
"ebuah persamaan linier dapat pula dibentuk apabila diketahui penggalnya pada salah satu sumbu -a/ dan lereng garis -b/ yang memenuhi persamaan tersebut# maka persamaan liniernya adalah : y%a'&b 6 a % penggal# b % lereng (nt(h "(al : Andaikan penggal dan lereng garis y %f -'/ masing*masing adalah 2 dan 0## maka persamaan liniernya adalah : y%2&' Cara dwi-penggal
"ebuah persamaan linier dapat pula dibentuk apabila diketahui penggal garis pada masing* masing sumbu# yaitu penggal pada sumbu ertikal -ketika ' % 0/ dan penggal pada sumbu h(ris(ntal - ketika y % 0/# maka persamaan liniernya adalah :
6 a % penggal ertikal# b % penggal h(ris(ntal (nt(h "(al : Andaikan penggal sebuah garis pada sumbu ertikal dan sumbu h(ris(ntal masing*masing 2 dan * # maka persamaan liniernya adalah :
pengertian fungsi linear,,denisi..dan persamaan linear
ungsi !iniar 1"# $engertian fungsi linier ungsi linier adalah suatu fungsi %ang variabeln%a variabeln% a berpangkat satu atau suatu fungsi %ang gra&kn%a merupakan garis lurus# 'leh karena itu fungsi linier sering disebut dengan persamaan garis lurus (pgl" dengan bentuk umumn%a sbb#: f : ) * m) + atau f()" = m) + atau % = m) + m adalah gradien , kemiringan , keondongan dan adalah konstanta 2"# elukis gra&k fungsi linier !angkah-langkah !angkah-lan gkah melukis gra&k fungsi linier a .entukan titik potong dengan sumbu )/ % = 0 diperoleh koordinat A( )1/ 0" b .entukan titik potong dengan sumbu %/ ) = 0 diperoleh koordinat ( 0/ %1" hubungkan dua titik A dan sehingga terbentuk terbentuk garis lurus "# radien dan persamaan garis lurus a"# aris lurus %ang melalui titik A()1/ %1" dan ()2/ %2" memiliki gradien m: m = %1-%2 atau m = %2-%1 )1-)2 )2-)1 b# $ersamaan garis lurus %ang melalui titik A()1/ %1" dan ()2/ %2" adalah: %-%1 = )-)1 %2-%1 )2-)1 # $ersamaan garis lurus (pgl" %ang bergradien m dan melalui titik A()1/ %1" adalah: % = m () 3 )1 " + %1 4"# enentukan gradien dari persamaan garis lurus (pgl" 5 $ersamaan garis garis lurus : a) + b% = maka gradienn%a m = - a,b 5 $ersamaan garis lurus : % = a) + b maka m = a 5 aris %ang se6a6ar sumbu ) memiliki persamaan persamaan % = dan m = 0 5 aris %ang se6a6ar sumbu % memiliki persamaan ) = dan tidak memiliki gradient 7"# .itik potong dua buah garis enentukan titik potong dua buah garis lurus identik dengan men%elesaikan men%elesaikan pen%elesaian sistem persamaan linier dua variabel baik dengan metode eleminiasi/ metode substitusi maupun metode gra&k
8"# 9ubungan dua buah garis ua garis %ang bergradien m1 dan m2 dikatakan se6a6ar 6ika m1 = m2 dan tegak lurus 6ika m1 ) m2 = -1
Fungsi Kuadrat 87#121 kali diba)a Fungsi kuadrat merupakan suatu fungsi yang pangkat terbesar ariabelnya adalah 2! Mirip dengan persamaan kuadrat# namun berbentuk suatu fungsi!
$entuk umumnya adalah: (nt(h:
# dengan
suatu bilangan real dan
!
!
,engan demikian#
#
# dll!
-Materi terkait: Persamaan +uadrat# +uadrat# "istem Persamaan Linear /
GrafikKur!a Fungsi Kuadrat ika digambarkan pada k((rdinat artesius# grafik fungsi kuadrat berbentuk parab(la! Parab(la nya terbuka ke atas jika dan terbuka ke ba5ah jika ! $erikut ini langkah*langkah dalam menggambarkan grafik9kura nya: Pertama# tentukan titik p(t(ng terhadap sumbu # yaitu nilai saat ! ,engan demikian# nilai titik p(t(ng ini merupakan akar*akar dari persamaan kuadrat ! +emudian# tentukan titik p(t(ng terhadap sumbu
# yaitu nilai saat
!
"etelah itu# tentukan sumbu simetri nya! "umbu simetri merupakan garis yang membagi dua parab(la menjadi sama besar! itik itik p(t(ng sumbu simetri terhadap sumbu dapat dihitung dengan menggunakan rumus: atau
!
erakhir# erakhir# tentukan titik pun)ak -titik balik maksimum atau minimum/ grafiknya! itik pun)ak merupakan titik di mana nilai men)apai nilai maksimum atau minimum# sehingga parab(la nya akan berbalik arah! +((rdinat titik pun)ak parab(la adalah: !
,i mana , adalah diskriminan# yaitu
!
"etelah mendapatkan titik*titik di atas# maka kita dapat menggambar grafik fungsi kuadrat dengan menghubungkan titik*titik diatas dengan garis yang berbentuk parab(la! Agar parab(lanya terlihat lebih halus -sm((th/# kita dapat menghitung9menentukan titik*titik lain yang dile5ati (leh kura9fungsi ! $erikut ini merupakan )(nt(h grafik fungsi kuadrat
:
(nt(h "(al: ika
mempunyai nilai minimum
a5ab: ;ilai minimum tersebut merupakan titik pun)ak
# tentukanlah nilai !
!
,engan demikian# dengan menggunakan rumus titik pun)ak kita dapat: itik pun)ak %
! !
,engan demikian#
!
"ubungan #iskriminan Grafik Fungsi Kuadrat ika pada persamaan kuadrat nilai diskriminan dapat kita gunakan untuk mengetahui apakah akar*akarnya riil# kembar# atau tidak mempunyai akar*akar riil# pada fungsi kuadrat kita dapat menggunakan nilai diskriminan untuk mengetahui mengetahui apakah grafiknya mem(t(ng mem(t(ng sumbu di dua titik yang yang berlainan# menyinggung sumbu # atau tidak menyinggung menyinggung ataupun mem(t(ng mem(t(ng sumbu ! $erikut ini sifat*sifatnya:
ika
merupakan diskriminan suatu fungsi kuadrat
# maka:
ika
# maka grafik
mem(t(ng sumbu pada dua titik yang berbeda
ika
# maka grafik
menyinggung sumbu ' pada satu titik!
ika
# maka grafik
tidak mem(t(ng sumbu !
Men$usun Fungsi Kuadrat Baru +ita dapat menyusun fungsi kuadrat baru jika salah satu dari ketiga inf(rmasi ini diketahui# yaitu: .! ika diketahui diketahui mele5ati mele5ati tiga titik# titik# yaitu # dan # maka bentuk fungsinya dapat diketahui dengan mensubstitusikan nilai k((rdinat ketiga titik tersebut ke persamaan ! ,engan demikian# akan didapat tiga persamaan tiga persamaan linear dalam linear dalam # dan ! "elanjutnya# tentukan nilai # dan dengan menggunakan met(de eliminasi9substitusi! eliminasi9substitusi! 2! ika ika dike diketa tahu huii mem(t(ng sumbu di titik dan # serta mela melalu luii sat satu u tit titik ik lain lain # mak makaa ben bentu tuk k fun fungs gsin inya ya adal adalah ah:: ! itik ketiga# yaitu digunakan untuk mendapatkan nilai pada bentuk fungsi di atas! 3! ika ika dike diketa tahu huii
melal elalui ui titi itik pun) pun)ak ak
maka bentuk fungsinya adalah (nt(h: entukanlah entukanlah bentuk fungsi kuadrat serta melalui titik A !
! +arena mele5ati titik
# maka: !
!
#
!
yang mem(t(ng sumbu
a5ab: +arena diketahui titik p(t(ng terhadap terhadap sumbu menggunakan bentuk -2/ di atas# yaitu ,engan demikian:
dan dan sat satu titik itik lain ain -
pada titik
dan
dan mele5ati mele5ati satu satu titik titik lain# lain# maka kita dapat !
#
adi# bentuk fungsi kuadrat nya adalah
!
Fungsi %asional &%ational Fun'tions( . ;(ember 20.0 msihabudin inggalkan k(mentar <( k(mentar <( t( )(mments $entuk umum $entuk umum fungsi rasi(nal adalah dan
dengan
dan
adalah fungsi p(lyn(mial
Fungsi rasi(nal dibagi menjadi dua yaitu: .!Fungsi rasi(nal sejati yaitu jika derajat
lebih rendah dari derajat
(nt(h: Fungsi rasi(nal yang dirumuskan dengan adalah fungsi rasi(nal sejati! ,alam hal ini derajat pembilang adalah satu dan derajat penyebut adalah 2! 2!Fungsi rasi(nal tidak sejati yaitu jika derajat
lebih tinggi atau sama dengan derajat
(nt(h: Fungsi rasi(nal yang dirumuskan dengan tidak sejati! ,alam hal ini derajat dari pembilang
adalah fungsi rasi(nal adalah derajat penyebut adalah 2!
akan semakin besar dan tetap bertanda negatip! adalah seperti di ba5ah ini!
2!
dapat dipahami bah5a nilai
:
terdefinisi pada
b!sama dengan n(l jika )!jika t berharga p(sitip sangat besar maka
mendekati n(l dan berharga p(sitip6
d!jika t berharga negatip sangat ke)il maka
mendekati n(l dan berharga negatip!
,engan demikian grafik fungsi
dapat digambarkan sketsanya dibuat latihan!
3!
:
a!terdefinisi untuk b!sama dengan n(l jika )!sama dengan . jika d!jika ' berharga p(sitip sangat besar maka
mendekati . dan selalu lebih besar dari .6
e!jika ' berharga negatip sangat ke)il maka
mendekati . dan selalu lebih ke)i dari .!
,engan demikian grafik fungsi dapat digambarkan sketsanya seperti di ba5ah ini!
Pengertian Fungsi Fungsi Rasional dan Asimtot $engertian fungsi rasional adalah fungsi dengan bentuk umum :
imana p()" dan d()" adalah polinomial dengan s%arat d()" ; 0# aerah asal,domain dari <()" adalah ) untuk semua bilangan real diluar pembuat nol d()" (akar akar dari fungsi d"# ontoh fungsi fungsi rasional %ang paling sederhana sederhana adalah f()" = 1,) dan f()" = 1,)>/ dimana kedua fungsi tersebut mempun%ai pembilang sebuah kontstanta dan pen%ebut berupa berupa polinomial# ?arena ?arena pembentuk nol, akar persamaan pen%ebut pen%ebut ( d()"" adalah nol/ maka domain dari fungsi tersebut adalah ) anggota bilangan real dimana ) ; 0# @ntuk ontoh %ang lebih rumit bisa sa6a diambil misalkan fungsi f()" = ()-7", (2)+1"# @ntuk ini domainn%a adalah ) ; 1,2# ?arena 1,2 adalah pembuat nol dari d ()"# oba perhatikan kembali fungsi f()" = 1,) / fungsi tersebut dinamakan fungsi kebalikan# ebab/ 6ika diambil nilai ) sembarang - selain pembuat nol# aka akan diperoleh kebalikan dari nilai itu# Bni artin%a semakin besar nilai ) maka nilai fungsi akan semakin keil# 9al %ang berkebalikan itulah %ang men6adi sebutan / fungsi terbalik # Cika digambarkan maka diperoleh gambar seperti berikut#
Cika diperhatikan diperhatikan gambar gambar diatas/ pada pada titik )=0 hasiln%a hasiln%a 6ika di di subtitusikan subtitusikan pada fungsi 1,) hasiln%a tak hingga/ artin%a tidak ada titik (0/###" %ang dilalui oleh gra&k# alah satu keunikan %ang di dapat adalah untuk bagian kurva di kuadran ) menu6u tak berhingga maka nilai f()" mendekati nol# ?urva tersebut mengindikasikan bahwa gra&k adalah fungsi gan6il#
ekarang bagaimana dengan f()"= 1,)> # Cika digambarkan akan diperoleh seperti di bawah ini#
ambar %ang diperoleh hampir sama dengan kurva 1,)# ari bentuk seperti itulah bisa didefenisikan sifat asimtot/ dimana %=0 adalah asimtot horiDontal dari fungsi f()" = 1,) dan f()" = 1,)># isa disimpulkan# Asimtot 9oriDontal adalah 6ika diberikan suatu konstanta k/ garis % = k dari fungsi <()" 6ika )/ men%ebabkan <()" mendekati mendekati k: ) * 3E/ <()" * k atau ) * E/ <()" * k# ementara asimtot vertikal bisa didefenisikan didefenisikan dalam kalimat matematis/ Asimtot
$ada gambar (a" di bawah ini menun6ukkan garis asimtot horiDontal pada % = 1/ %ang menggambarkan menggambarkan gra&k f()" sebagai translasi gra&k % = 1,) ke atas se6auh 1 satuan# ambar (b" menun6ukkan garis asimtot horiDontal horiDontal pada % = 32/ %ang menggambarkan menggambarkan gra&k g()" sebagai pergeseran gra&k % = 1,)> ke bawah se6auh 2 satuan# ederhanan%a bila berikan sebuah persaman maka bentuklah persamaan fungsi tersebut dalam bentuk umum rumus asimtot# ?emudian ?emudian tentukan nilai k dan h
masing masing sesuai rumus# aka nilai k dan h tersebut adalah asimtot-n%a# @ntuk lebih lengkap bisa dilan6utkan membaa :
