Apuntes de Mat023 Matem´atica atica III (MAT023) Transformaciones Lineales Gu´ıa ıa de ejercicios (Soluciones)
1. Considere la transformaci´on T : M2×2 (R) →
a b c d
R4
→ T
a b c d
= (a + b, a + c − b,c,d)
Determine una una base de de Ker(T ) e Im(T ). a) Determine Desarrollo: Vamos Vamos a buscar buscar el Nucleo ´ de la transformac transformaciion, ´ ker(T ) = =
=
= =
0
∈M
a b c d
2×2
a b c d
(R) : T
a b c d
= (0, 0, 0, 0)
∈ M2×2 (R) : (a + b, a + c − b,c,d) = (0, 0, 0, 0)
a b c d
a+b a − b + c ∈ M2×2 (R) : c d
∈M 0
a b c d
2×2
= = = =
0 0 0 0
(R) : a = b = c = d = 0
0 0
del teorema de las dimensiones se sigue que Dim Dim (ker (ker (T )) + Dim Dim (Im (Im (T )) = Dim (M2×2 (R)) 0 + Dim Dim (Im (Im (T )) = 4
as´ı Dim es biyectiva) Dim (Im (Im (T )) = 4 y luego Im (T ) = R4 (T es b) Si 1 −1 0 −1 0 1 1 1 B 1 = , , , 2 0 2 1 1 1 0 3 y B 2 = { (1, 0, 2, 0) , (1, 0, 2, 1) , (0, 0, 1, 1) , (1, 1, 0, −3)}
son bases de M2×2 (R) y R4 respectivamente determinar [T ]BB . Desarrollo: Como 1 −1 T = (0, 4, 2, 0) 2 0 2 1
T
0 −1 2 0 11 11 11
T T
N.C.F.
0 3
1
= (−1, 3, 2, 1) = (1, 0, 1, 1) = (2, 0, 0, 3)
Primera version ´
Apuntes de Mat023 se sigue que necesitamos resolver los sistemas (0, 4, 2, 0) (−1, 3, 2, 1) (1, 0, 1, 1) (2, 0, 0, 3)
= = = =
α1 (1, 0, 2, 0) + β 1 (1, 0, 2, 1) + γ 1 (0, 0, 1, 1) + δ 1 (1, 1, 0, −3) α2 (1, 0, 2, 0) + β 2 (1, 0, 2, 1) + γ 2 (0, 0, 1, 1) + δ 2 (1, 1, 0, −3) α3 (1, 0, 2, 0) + β 3 (1, 0, 2, 1) + γ 3 (0, 0, 1, 1) + δ 3 (1, 1, 0, −3) α4 (1, 0, 2, 0) + β 4 (1, 0, 2, 1) + γ 4 (0, 0, 1, 1) + δ 4 (1, 1, 0, −3)
y as a s´ı la matriz asociada ser´ sera´
=
[T ]BB
2 1
α1 α2 α3 α4 β 1 β 2 β 3 β 4 γ 1 γ 2 γ 3 γ 4 δ 1 δ 2 δ 4 δ 4
vamos a resolver los 4 sistema de una sola vez
1 0 2
1 0 2 0 1
0 1 0 1 1 0 1 −3
0 −1 4 3 2 2 0 1
1 0 1 1
as´ı [T ]BB
2 1
2 0 0 3
1 ∼ 0 0
0 1 0 0 0
−6 2 = 10 4
0 0 1 0
0 −6 −4 −1 −5 0 2 0 2 7 0 10 10 −1 −4 1 4 3 0 0
−4 −1 −5 0 2 7 10 −1 −4 3 0 0
transfo sforma rmaci ci´on ´ es un isomorfismo (biyectiva) determine c) Si la tran T −1
B1 B2
sabemos que la transformac transformaciion ´ es biyectiva, como Desarrollo: ya sabemos
= [ ] −1 B1
T
B2
B2 B1
T
−1
se sigue 3
− −
22
−6 2 10 4
−4 −1 0 2 10 −1 3 0
−1
−5 7 −4
=
0
9 − 22
17
− 19 11
2
2
6
11
11
11
11
23
21
8
4
11
11
11
11
4 − 11
1 − 11
6 − 11
7
11
=
3 − 22
T −1
B1
B2
2. Construir una transformaci on o´ n lineal T : R3 → R3 que cumpla las siguientes condiciones (simultaneamente) N.C.F.
2
Primera version ´
Apuntes de Mat023 a) Ker(T ) = { (x,y,z ) ∈ b) Im(T ) = { (x,y,z ) ∈
R3
R3
: (x,y,z ) = t (1, 0, −1) para t ∈
R}
: x − 2y + z = 0}
Desarrollo: La transformaci´on tiene que cumplir las dos condiciones, notamos que
ker(T ) = (1, 0, −1)
y
( (
Im (T ) = = = =
3
x , y , z) ∈
R
x , y , z) ∈
R
3
: x − 2y + z = 0 : x + z = 2y
2 1 1
x + z x, , z ∈ R3 : x, z ∈ R
1, , 0 , 0, , 1 2 2
desde el punto de vista del teorema de las dimensiones estas dos condiciones no son incompatibles puesto que Dim (ker (T )) + Dim (Im (T )) = Dim
3
=3 R
para la posible transformaci´on. Vamos a utilizar el teorema que nos permite construir transformaciones si la conocemos en una base T (1, 0, 0) = T (0, 1, 0) =
1 1 0 2 1 , ,
0, , 1 2 T (1 , 0, −1) = (0, 0, 0)
notamos que los vectores (1, 0, 0) , (0, 1, 0) y (1, 0, −1) son linealmente independientes pues 1 0 1 0 1 0 = − 1 =0 0 0 −1
y luego forman una base de R3 estas condiciones determinan por completo una transformaci´on lineal, note tambi´en que Im (T ) = {T (1 , 0, 0) , T (0 , 1, 0) , T (1 , 0, −1)} 1 1 = 1, , 0 , 0, , 1 , (0, 0, 0) 2 2 1 1 = 1, , 0 , 0, , 1 2 2 = (x , y , z) ∈ R3 : x − 2y + z = 0
y (1, 0, −1) ∈ ker(T ) que tiene dimensi´on 1 (por el teorema de las dimensiones) as´ı ker(T ) = {(1, 0, −1)} = (x , y , z) ∈ R3 : (x,y,z ) = t (1, 0, −1) para t ∈
N.C.F.
3
R
Primera version ´
Apuntes de Mat023 podemos tambi´en determinar en forma expl´ıcita esta transformaci´on (x,y,z ) = α (1, 0, 0) + β (0, 1, 0) + γ (1, 0, −1) α + γ = x β = y
−γ = z de donde α = x + z, β = y, γ = − z as´ı (x,y,z ) = (x + z ) (1, 0, 0) + y (0, 1, 0) + (−z ) (1, 0, −1)
luego T ( x , y , z) = T (( x + z ) (1, 0, 0) + y (0, 1, 0) + (−z ) (1, 0, −1))
= (x + z ) T (1 , 0, 0) + yT (0 , 1, 0) + (−z ) T (1, 0, −1) 1 1 = (x + z ) 1, , 0 + y 0, , 1 + (−z ) (0, 0, 0) 2 2 1 1 1 x + z, x + y + z, y = 2 2 2
3. Sea T ∈ L (R3 , R2 ) con B = {(0, 0, 1);(0, 2, 1);(3, 2, 1)} y C = {(1, −3);(2, −5)} bases ordenadas de R3 y R2 , respectivamente. Supongamos que: [T ]CB =
−1 4
3 2 −12 −8
∈ M 2×3 (R)
Con respecto a las hip´otesis anteriores: a) Hallar ker T sin calcular T ( x,y,z ). Desarrollo: v ∈ ker(T ) ⇔ [ v ]B es soluci´on de [T ]CB x = 0 luego
−1 4
3 2 0 −12 −8 0
1
−3 −2 0 0 0 0 0
∼
luego [v ]B
es solucio´ n si y solo si
= α β γ
α − 3β − 2γ = 0
de esta forma [v ]B
luego
3 + 2 para = = α β γ
β
γ
β γ
β, γ ∈ R
v ∈ ker(T ) ⇔ ( x,y,z ) = (3β + 2γ ) (0, 0, 1) + β (0, 2, 1) + γ (3, 2, 1)
N.C.F.
4
Primera version ´
Apuntes de Mat023 para β, γ ∈ R esto es (x,y,z ) = (3γ, 2β + 2γ, 4β + 3 γ ) para β, γ ∈ R
as´ı ker(T ) = (3, 2, 3) , (0, 2, 4)
b) Determinar T ( x,y,z ). Desarrollo: Notemos que [T ( x,y,z )]C = [T ]CB [(x , y , z) ]B
luego (x,y,z ) = α (0, 0, 1) + β (0, 2, 1) + γ (3, 2, 1)
as´ı 3γ = x 2β + 2γ = y α + β + γ = z
luego α = z − 12 y, β = 12 y − 13 x, γ = 13 x de donde tenemos [(x,y,z )]B
=
z − 12 y 1 y − 13 x 2 1 x 3
as´ı [T ( x,y,z )]C = =
−1 3 2 4 −12 −8 2− −
z − 12 y 1 y − 13 x 2 1 x 3
y 13 x z 4 x − 8y + 4 z 3
as´ı
1 4 ( ) = 2 − (1 −3) + − − 8 + 4 (2 −5) 3 3 7 17 − 14 + 7 34 − − 17 = 3 3 ) = [ ] · ? c) ¿Por qu´e es falso que ( T x,y,z
y
x
T x,y,z
x
z
y
,
z,
T
C B
x
y
x
y
z
,
z
x y z
Esta igualdad no es posible ni por los ordenes de las matrices.
d) ¿Cu´ando es v´alida la igualdad anterior? Al considerar las bases canonicas ´ en los espacios de partida y llegada se cumple una desigualdad del tipo t
T ( x,y,z ) =
onica [T ]can´ can´onica
· x y z
(adem´as la transformaci´on este definida de Rn en Rm) N.C.F.
5
Primera version ´
Apuntes de Mat023 e) Hallar la nulidad de T y el rango de T sin hallar la Im(T )? ´ lineal es igual al rango de la matriz Desarrollo: El rango de la transformaci on asociada en este caso es 1. f ) Hallar Im(T ) y una base para Im(T ). Desarrollo: Como ya tenemos la transformaci on ´ podemos determinar la imagen como Im (T ) = T (1 , 0, 0) , T (0 , 1, 0) , T (0, 0, 1) 7 17 = ,− , (−14, 34) , (7, −17) 3 3 = (7, −17)
esto es una recta que pasa por el origen con direcci´on (7 , −17). 4. Sean U = { (x,y,z ) ∈ R3 : 2x − 3y + 5 z = 0} un espacio vectorial y A una base ordenada ´ ´ lineal de U y C la base canonica de R2 . Suponga que T : U → R2 es una transformacion definida por T ( x,y,z ) = (x − y, x − z ) tal que: C A
[T ] =
1 2 1 1
∈ M2×2 (R)
Determine la base A. Desarrollo: Sea A = {(α , β , γ ) , (ϕ,κ,λ)} la base de dimensi´on 2) entonces
[T ( α , β , γ ) ]C = [T ( ϕ,κ,λ)]C =
U del
ejercicio (el espacio tiene
1 12 1
adem´as 2α − 3β + 5γ = 0 2ϕ − 3κ + 5 λ = 0
pero [T ( α , β , γ ) ]C = [T ( ϕ,κ,λ)]C =
α − β α − γ ϕ−κ ϕ−λ
de donde tenemos el sistema de ecuaciones α − β = 1 α − γ = 1 ϕ−κ = 2 ϕ−λ = 1
2α − 3β + 5γ = 0 2ϕ − 3κ + 5 λ = 0
N.C.F.
6
Primera version ´
Apuntes de Mat023 que tiene soluci´on α = 12 , κ = − 94 , β = − 12 , λ = − 54 , γ = − 12 , ϕ = − 14 as´ı A =
1
1 1 ,− ,− 2 2 2
5. Considere la transformaci´on lineal T : M2×2 (R) →
x y z w
1 9 5 , − ,− ,− 4 4 4
R4
→ T
x y z w
= (x − y, x − z, x − w, x)
y suponga que B 1 =
1 0 −2 0 0 0 0 ,
0 1
0
,
0
,
1 0
−1 0 0
B 2 = { (1, 1, 1, 1) , (1, 1, 0, 0) , (1, 0, 0, 0) , (1, 1, 1, 0)} a) Calcular [T ]BB , muestre que T es invertible (isomorfismo) y calcule T −1 en forma expl´ıcita. Desarrollo: Como 2 1
T
x y z w
= (x − y, x − z, x − w, x)
se sigue
1 0 −02 10 00 00 0 1−10
T T
T T
0
0
= (1, 1, 0, 1) = (−2, −2, −2, −2) = (0, −1, 0, 0) = (1, 0, 0, 0)
luego tenemos que resolver los sistemas (1, 1, 0, 1) (−2, −2, −2, −2) (0, −1, 0, 0) (1, 0, 0, 0)
= = = =
α1 (1, 1, 1, 1) + β 1 (1, 1, 0, 0) + γ 1 (1, 0, 0, 0) + δ 1 (1, 1, 1, 0) α2 (1, 1, 1, 1) + β 2 (1, 1, 0, 0) + γ 2 (1, 0, 0, 0) + δ 2 (1, 1, 1, 0) α3 (1, 1, 1, 1) + β 3 (1, 1, 0, 0) + γ 3 (1, 0, 0, 0) + δ 3 (1, 1, 1, 0) α4 (1, 1, 1, 1) + β 4 (1, 1, 0, 0) + γ 4 (1, 0, 0, 0) + δ 4 (1, 1, 1, 0)
resolveremos los 4 sistemas 1 1 1 1 1 −2 0 1 1 0 1 1 −2 −1 1 0 0 1 0 −2 0 1 0 0 0 1 −2 0
1 0 0 0
se sigue
[T ]BB
2 1
N.C.F.
= 7
1 ∼ 0 0
0 1 0 0 0
1 −2 0 1 0 −1 0 0 1 0 −1 0
0 0 1 0 0 0 1 0
0 1 −2 0 0 1 0 −1 0 0 0 1 1 −1 0 0
0 0 1 0
Primera version ´
Apuntes de Mat023 −1
b) Encontrar [ ] T
B2 B1
Desarrollo:
[ ] T
B2 B1
−1
B1
T −1
1 1 0 −01 − 0
=
=
B2
−2 0 0 −1 0 1 0 0 0 0 −1 1
1
=
2
0
0 0 0 1
−1
−1 − −1 0 0 1 0
1 2
1
c) Considere las bases can´onicas deM2×2 (R) y R4 C 1 =
1 0 0 1 0 0 0 0 ,
0 0
,
0 0
,
1 0
0 1
C 2 = {((1, 0, 0, 0)) , (0, 1, 0, 0) , (0, 0, 1, 0) , (0, 0, 0, 1)} calcular [T ]CC usando la matrices de cambio de base adecuadas. 2 1
Desarrollo: Para calcular [T ]CC necesitamos hacer 2 1
[I ]CB [T ]BB [I ]BC 2
2
1
2
1
1
as´ı α
1 0 −2 0 0 0 0 0 1
+ β
0
+ γ
0
−1 0 0
+ δ
1 0
=
α − 2β −δ γ α
de donde tenemos que resolver 4 sistemas
1 0 0
−2 0 0 1 0
0 0 0 −1 1 0 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 ∼ 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1 0 −2 0 0 0 0 1 0 −1
0 1 0 12 1 0 0 0
de aqu´ı
0 0 0 1 − 0 0 [ ] = 0 0 1 0 0 −1 0 0 (note que es mas f a´ cil pensarlo como [ ] =[ ] B1
I C
1
1
2
2
1
I
C1 B1
−1
B1
I C si la can´onica esta en la 1
llegada es escribir los vectores como columna) y
[I ]CB
2 2
N.C.F.
1 1 = 1
1 1 0 1 0
8
1 0 0 0
1 1 1 0
Primera version ´
Apuntes de Mat023 as´ı [T ]CC
2 1
= [I ]CB [T ]BB [I ]BC =
=
2
2
1
2
1
1
1 1 1 11 1 1
1 1 0 0
1 0 0 0
1 1 1 0
−1 0 0 −1 0 0 1 0 0
1 −2 0 1 0 −1 0 0 1 0 −1 0
0 0 1 0
0 0 −1
0 − 0
0 0 0 −1
1 2
0
0 1 0 12 1 0 0 0
0
6. Considere la transformaci´on lineal T : R2 [x] →
R2 [x] dada
por:
T ax2 + bx + c = (a + b) x2 + (a + b + c) x + c
a) Encuentre una base para ker (T ) b) Encuentre una base para Im (T ) c) Considere en el dominio la base B = {1 + x2 , 1 + x + x2 , −1} y en el codominio la base D = {1 − x, 1 + x, x2 } encontrar la matriz asociada a T respecto a estas bases. Desarrollo:
a) Por definici´on ker(T ) = = = =
luego
ax2 + bx + c ∈
: T ax2 + bx + c = 0 ax2 + bx + c ∈ R2 [x] : (a + b) x2 + (a + b + c) x + c = 0 ax2 + bx + c ∈ R2 [x] : (a + b = 0) ∧ (a + b + c = 0) ∧ (c = 0)
2
ax + bx + c ∈
1 1
R2 [x]
1 1 0 0 [ ] : 1 1 1 = 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 ∼ 0 0 1
R2
a b c
x
1 1 0 0 1
as´ı ker(T ) = = = =
ax2 + bx + c ∈
0 0 0
: (a + b = 0) ∧ (c = 0) ax2 + bx + c ∈ R2 [x] : (b = − a) ∧ (c = 0) ax2 − ax ∈ R2 [x] : a ∈ R x2 − x R2 [x]
luego el kernel tiene dimensi´on 1 (la nulidad es 1). b) Notemos que T ( ax2 + bx + c) = (a + b) x2 + (a + b + c) x + c y luego (a + b) x2 + (a + b + c) x + c = a x2 + x + b x2 + x + c (x + 1)
N.C.F.
9
Primera version ´
Apuntes de Mat023 as´ı T ax2 + bx + c ∈
x2 + x, x2 + x, x + 1
x2 + x, x2 + x, x + 1
x2 + x, x + 1
como hay un elemento repetido, el conjunto es L.D. as´ı
se sigue
Im (T ) ⊆
=
x2 + x, x + 1
por el teorema de las dimensiones se sigue
Dim (ker (T )) + Dim (Im (T )) = Dim (R2 [x])
as´ı, de la parte a) se tiene 1 + Dim (Im (T )) = 3
de donde se obtiene Dim(Im(T )) = 2
y as´ı Im (T ) =
x2 + x, x + 1
de esta forma, una base para la imagen es {x2 + x, x + 1} c) Como T ( ax2 + bx + c) = (a + b) x2 + (a + b + c) x + c se sigue que T 1 + x2
= x2 + 2x + 1 = α (1 − x) + β (1 + x) + γx 2 = γx 2 + (β − α) x + ( a + β )
por determinar a, β , γ .
T 1 + x + x2
= 2x2 + 3x + 1 = α (1 − x) + β (1 + x) + γx 2 = γx 2 + (β − α) x + ( a + β )
por determinar a, β , γ . T ( −1) = −x − 1 = α (1 − x) + β (1 + x) + γx 2
= γx 2 + (β − α) x + ( a + β )
por determinar a, β , γ . Vamos a resolver esos 3 problemas de una sola vez, porque hay que resolver los sistemas γ = 1
(β − α) = 2 (a + β ) = 1
y γ = 2
(β − α) = 3 (a + β ) = 1
N.C.F.
10
Primera version ´
Apuntes de Mat023 y γ = 0
(β − α) = −1 (a + β ) = −1
en todas la matriz de coeficientes es la misma, formamos una tripe matriz ampliada y escalonamos
0 −1 1
1 0 0 − 0 1 0 ∼ 0 0 1 1 − −1 0 [ ] = 2 −1 1 2 0 (1 + )+1 +2 +1 = − (1 − )+
0 1 1 2 0 1 0 2 3 −1 1 0 1 1 −1
1
Operaciones Elementales
3
2
2
−1 0 2 −1 2 0
1
D
3
T B
2
2
1 3 (notar que T (1 + x2 ) = x 2 x x x x2 , T (1 + x + x2 ) = 2 2 2x2 + 3x + 1 = (−1)(1 − x) + 2 (1 + x) + 2x2 y T ( −1) = −x − 1 = 0 (1 − x) + (−1) (1 + x) + 0 x2 )
7. Suponga que S : R2 [x] →
R2 [x] es
[T ]D B
´ lineal con una transformacion
− =
3
1 2
2
1
−1 0 2 −1 2 0
B = {1 − x, 1 + x, x2 } y D = {1 + x2 , 1 + x + x2, −1} (No es el ejercicio anterior ver las bases) a) Encontrar ker (T ) b) Encontrar Im (T ) c) Calcule T (2 + x − x2 ) d) Encontrar una expresi´on para T ( ax2 + bx + c) Desarrollo:
a) Note que p ∈ ker(T ) si y solo si T ( p) = 0 si y solo si [T p ]D
0 = 0 0
pero [T p]D = [T ]D [ p]B B
luego si resolvemos
0 − 0 = [ ] [ ] = T
D B
p
3
B
0
N.C.F.
1 2
2
1
11
−1 0 2 −1 2 0
α β γ
Primera version ´
Apuntes de Mat023 estaremos encontrando las coordenadas
=[ ] α β γ
p B
−1 0 2 −1 2 0
1 ∼ 0
de los vectores de ker(T ). Pues bien
−
3
1 2
2
1
0 −2 1 1 0 0 0
se sigue que p ∈ ker(T ) si y solo si
=[ ] α β γ
p B
cumple α = 2γ y β = − γ
as´ı p ∈ ker (T ) si y solo si p (x) = (2γ ) (1 − x) + ( −γ ) (1 + x) + γx 2
para alg´un γ ∈ R es decir ker(T ) =
b) De la matriz asociada tenemos
−3 + x
x2 + 1
− as´ı 11 3 − 1+ + 1+ 1
[T (1 − x)]D = T (1 − x) =
3
2
2
x2
2
2
x + x2 + (1) (−1)
3 = x2 + x 2
tambi´en [T (1 + x)]D =
−1 2 as´ı 2 − ( 1) 1 + + (2) 1 +
T (1 − x) = x2 = x2 + 2x − 1
x + x
2
+ (2) (−1)
y
0 = −1 as´ı = (0) 01 + + (−1) 1 + T x2
D
T x2
x2
= −x2 − x − 1
N.C.F.
12
x + x2 + (0) (−1)
Primera version ´
Apuntes de Mat023 luego Im (T ) =
3 x2 + x, x2 + 2x − 1, −x2 − x − 1 2
del teorema de las dimensiones x2 + 32 x, x2 + 2x − 1, −x2 − x − 1 deber´ıa ser un conjunto L.D. en efecto
1
1 0 −2 ∼ 0 1 1 0 0 0 3 (−2) + + (1) + 2 − 1 = − − 2 3 1 −1 3 2 −1 2 0 −1 −1
x2
se sigue
x2
x
x2
x
x−1
x2 + x, x2 + 2x − 1
Im (T ) =
2
c) Para calcular T (2 + x − x2 ) podemos hacer lo siguiente
2 +
x−x
2
= α β γ
B
donde 2 + x − x2 = α (1 − x) + β (1 + x) + γx 2 γ = −1 β − α = 1 α + β = 2 α = 12 , β = 32 , γ = − 1 luego
2 + T
x − x2
= −
3
1 2
2
D
1
−1 0 2 −1 2 0
− = 1
7
2 3
4 19
2
4 7
−1
2
se obtiene T
2 +
x − x2
= − 7 1 + + 19 1 + x2
4
= 3x2 +
4
19 1 x− 4 2
x + x2
+ 7 (−1) 2
d) Encontremos una expresi´on para T ax2 + bx + c
notemos que
ax2 + bx + c = α (1 − x) + β (1 + x) + γx 2
N.C.F.
13
Primera version ´
Apuntes de Mat023 si y solo si γ = a β − α = b α + β = c
esto es
0 −1 1
luego
ax2 + bx + c =
1 0 0 ∼ 0 1 0 0 0 1 1 1
0 1 a 1 0 b 1 0 c
1 2
c − b (1 − x) +
2
1
c − 12 b 2 1 b + 12 c 2 a
1 b + c (1 + x) + ax2 2 2
podemos encontrar T ( ax2 + bx + c) en dos formas T ax2 + bx
1 + = 21 c
1 1 1 c − b T (1 − x) + b + c T (1 + x) + aT x2 2 2 2 1 3 1 1 c− b x2 + x + b + c x2 + 2x − 1 = 2 2 2 2 2 +a −x2 − x − 1 1 7 1 1 = (c − a) x2 + −a + b + c x + − b − c − a 4 4 2 2
la otra forma es
− −1 0 2 −1 1− −2 0 −+ 1
T ax2 + bx + c
3
=
D
2
2
1
c − 12 b 2 1 b + 12 c 2 a
1
b 34 c 1 b a 74 c 4 1 b + 32 c 2 4
=
y as´ı T ax2 + bx
1 3 1 7 − − − + + = 1+ + 1 + + 4 4 41 34 + + (−1) 2 2 1 7 1 1 c
b
c
b
c
x2
b
a
c
x
x2
= (c − a) x2 + −a + b + c x + − b − c − a 4 4 2 2
8. Muestre que T : M 2×2 (R) → T
a b c d
R3 [x] dada
por
= (a + b) x3 + cx2 + (a + d) x + ( c − d)
es una transformaci´on lineal adem´as determine el ker(T ) e Im(T ). Desarrollo: En general, si V y W son espacios vectoriales, una funci´on F : V → W es llamada transformacion ´ lineal si cumple: i) ∀ α ∈ K,∀v ∈ V , F ( αv ) = αF ( v ) y ii)
N.C.F.
14
Primera version ´
Apuntes de Mat023 ∀v1 , v2 ∈ V , F ( v1 + v2 ) = F ( v1 ) + F ( v2 ) (esto quiere decir, que env´ıa combinaciones lineales en combinaciones lineales). En nuestro ejercicio los elementos del espacio de partida son matrices de orden 2 × 2 luego para probar la primera propiedad necesitamos considerar un escalar arbitrario y una matriz arbitraria y en la segunda propiedad, dos matrices arbitrarias como sigue: i) Sea α ∈
R
T α
a b c d
a b c d
y
∈ M2×2 (R) se tiene
= T = T
αa αb αc αd A B C D
donde A = αa,B = αb, C = αc,D = αd
= (A + B ) x3 + Cx2 + (A + D) x + (C − D) = ((αa) + ( αb)) x3 + (αc) x2 + (αa + αd) x + (αc − αd) = α (a + b) x3 + cx2 + (a + d) x + ( c − d)
= αT
a b c d
´ y para (Explicacio´ n: tenemos que mostrar que el escalar se puede “sacar” de la funci on
a b c d
esto utilizamos solamente la definicio´ n, en la linea T α
=
no sabemos como actua ´ la funcion ´ T sobre el producto escalar α
T
αa αb αc αd
a b c d
es por eso
que aplicamos la definici´on de producto escalar de matrices y as´ı α
a b c d
=
αa αb αc αd
y ahora podemos aplicar la definici on ´ de T a la matriz
αa αb αc αd
(en este caso si
´ T ), para que se vea mas claro agregu´e la linea sabemos como actua
αa αb αc αd
=
A B C D
donde A = αa, B = αb, C = αc,D = αd
pero no es necesario, entonces por definici´on T
A B C D
= (A + B ) x3 + Cx2 + (A + D) x + ( C − D)
y ahora reemplazamos para obtener la igualdad deseada) ii) Sean
a11 a12 a21 a22 T
,
a11 a12 a21 a22
b11 b12 b21 b22
+
∈ M2×2 (R) matrices arbitrarias, se tiene
b11 b12 b21 b22
= T = T
N.C.F.
15
a11 + b11 a12 + b12 a21 + b21 a22 + b22 A B C D
Primera version ´
Apuntes de Mat023 donde A = a 11 + b11, B = a 12 + b12, C = a 21 + b21, D = a 22 + b22, aplicando la definicio´ n de T se sigue T
A B C D
= (A + B ) x3 + Cx2 + (A + D) x + (C − D) = ((a11 + b11) + ( a12 + b12)) x3 + (a21 + b21) x2 + ((a11 + b11) + ( a22 + b22)) x + (( a21 + b21) − (a22 + b22)) = ((a11 + a12) + ( b11 + b12)) x3 + (a21 + b21) x2 + ((a11 + a22) + ( b11 + b22)) x + (( a21 − a22) + ( b21 − b22)) = (a11 + a12) x3 + a21x2 + (a11 + a22) x + (a21 − a22) + (b11 + b12) x3 + b21x2 + (b11 + b22) x + ( b21 − b22)
= T
a11 a12 a21 a22
+ T
b11 b12 b21 b22
de esto concluimos T
= T
+
a11 a12 a21 a22
b11 b12 b21 b22
a11 a12 a21 a22
b11 b12 b21 b22
+ T
´ lineal. de i) y ii) T es una transformacion Vamos a buscar el ker(T ) ker(T ) = {v ∈ V : T ( v ) = θ W } = = =
a b c d a b c d a b c d
∈M ∈M
2×2
2×2
(R) : T
a b c d
= 0 (el polinomio 0)
(R) : (a + b) x3 + cx2 + (a + d) x + (c − d) = 0
∈ M2×2 (R) : (a + b) = 0 ∧ c = 0 ∧ (a + d) = 0 ∧ (c − d) = 0
de esta forma buscamos todas la matrices
a b c d
tales que
a+b = 0 c = 0 a+d = 0 c−d = 0
o matricialmente
N.C.F.
1 0 1
1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 1 1 −1
16
a b c d
0 = 0 0 0
Primera version ´
Apuntes de Mat023 resolvemos el sistema escalonando
1 0 1
1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 1 1 −1
0 0 0 0
1 ∼ 0 0
1 −1 0 0 0
0 0 0 1 1 0 0 −1
0 0 0 0
de esto se obtiene a = b = c = d = 0 es decir ker(T ) =
0 0 0 0
(se concluye que la transformacion ´ es inyectiva) Por el teorema de las dimensiones se tiene lo siguiente Dim(ker(T )) + Dim (Im (T )) = Dim (M2×2 (R)) = 4
pero Dim(ker(T )) = 0
as´ı Dim(Im(T )) = 4
´ 4, se sigue Im (T ) = R3 [x]. Otra forma como Dim (T ) < R3 [x] y R3 [x] tiene dimension para determinar la imagen es utilizar el resultado que la im a´ genes de una base generan la imagen de la transformaci´on, luego Im (T ) =
1 0 0 1 0 0 0 0 T
0 0
, T
0 0
, T
, T
1 0
0 1
pero notemos que T
1 0 0 0
= (1 + 0) x3 + 0x2 + (1 + 0) x + (0 − 0) = x3 + x
T
0 1 0 0
= (0 + 1) x3 + 0x2 + (0 + 0) x + (0 − 0) = x3
T
0 0 1 0
= (0 + 0) x3 + 1x2 + (0 + 0) x + (1 − 0) = x2 + 1
T
0 0 0 1
= (0 + 0) x3 + 0x2 + (0 + 1) x + (0 − 1) = x−1
as´ı Im (T ) =
x3 + x, x3 , x2 + 1, x − 1
y mostrar que {x3 + x, x3 , x2 + 1, x − 1} es un conjunto L.I. luego Im (T ) tiene dimensio´ n 4 y por tanto tiene que ser R3 [x]. N.C.F.
17
Primera version ´
Apuntes de Mat023 9. Encontrar por lo menos una transformaci´on lineal T : M 2×2 (R) → ker(T ) =
a b c d
R3
tal que
∈ M2×2 (R) : a + d + c = 0
Desarrollo: Notemos que
ker(T ) = = = =
∈ M ( ) : + + = 0 ∈ M ( ) : = − − − − ∈ M ( ) : ∈ −1 0 0 1 −1 0 ∈M + + 1 0 0 0 0 1 −1 0 0 1 −1 0 a b c d
2×2
R
a
a b c d
2×2
R
a
c
d b c d
0
,
d
b, c, d
b
1
c
c
R
2×2
c
d
R
d
,
0 0
(R) : b, c, d ∈
2×2
0
R
1
luego ker (T ) tiene dimensi on ´ 3 (no puede ser base de M2×2 (R) que tiene dimensi o´ n 4), sabemos que para conocer completamente una T.L. necesitamos conocerla sobre una base, buscamos algun ´ elemento L.I. con las tres matrices que formar el kernel, para ello, α
−1 0 0 1 −1 0 1
0
+ β
+ γ
0 0
0
1
+ δ
a b c d
0 0 =
0 0
debe tener por unica ´ soluci´on α = β = γ = δ = 0. Esto se traduce a −α − γ + aδ β + bδ α + γc γ + δd
= = = =
0 0 0 0
matricialmente la ampliada
−1 0 1 0
0 −1 1 0 0 0 0 1
0 0 0 0
a b c d
−1 ∼ 0 0 0
a 0 −1 1 0 b a+c 0 −1 0 0 a + c + d
0 0 0 0
la solucion ´ es unica ´ si y solo si a + c + d = 0, de esta forma, podemos considerar la matriz 1 1 1 1 pues 1 + 1 + 1 = 3 = 0. Ahora para definir la transformacio´ n (por ejemplo)
T
−1 10 −01 01
T T
T
N.C.F.
1 0 0 1 1 0 0
1 1
18
= (0, 0, 0) = (0, 0, 0) = (0, 0, 0) = (1, 1, 1)
Primera version ´
Apuntes de Mat023
esto determina completamente quien es T (notar que
son elementos del kernel pero
1 1 1 1
−1 0 0 1 −1 0 1
,
0
,
0 0
0
1
no lo es). La T en forma explicita se determina
de la siguiente manera, Como
−1 0 0 1 −1 0 1 1 B = 1 0 0 0 0 1 1 1 es base, dado una matriz arbitraria, deben existir escalares tales que −1 0 0 1 −1 0 1 1 ,
,
,
x y z w
x y z w
= α
1
0
α, β , γ , δ
+ β
+ γ
0 0
0
1
+ δ
1 1
para buscar tales escalares resolvemos el sistema
−1 0 1
0 −1 1 0 0 0 0 1
0
1 1 1 1
x y z w
1 ∼ 0 0
0 1 0 0 0
2 z − 13 x − 13 w 0 3 0 y − 13 x − 13 w − 13 z 2 0 w − 13 x − 13 z 3 1 1 w + 13 x + 13 z 3
0 0 1 0
de donde se tiene 2 1 1 z − x − w 3 3 3 1 1 1 β = y − x − w − z 3 3 3 2 1 1 γ = w − x − z 3 3 3 1 1 1 δ = w + x + z 3 3 3
α =
as´ı
x y z w
=
2 1 1 −1 0 − − 3 3 1 31 1 100 1 + − − − 3 3 2 1 1 3 −1 00 0 + − − 3 3 1 1 13 10 1 1 z
x
w
y
x
w
w
+
N.C.F.
3
x
z
z
w + x + z
19
3
3
1 1
Primera version ´
Apuntes de Mat023 luego T
x y z w
2 1 1 = (0 0 0) − − 3 3 3 1 1 1 + (0 0 0) − − − 3 3 3 2 1 1 + (0 0 0) − − 3 3 3 1 1 1 + + + (1 1 1) 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 z
x
w
, ,
y
x
w
z
, ,
w
x
z
, ,
w
x
z
, ,
1 1 w + x + z, w + x + z , w + x + z 3 3 3 3 3 3 3 3 3
=
as´ı T
x y z w
:
M2×2 (R) →
→ T
x y z w
3
R
1 =
1 1 1 1 1 1 1 1 w + x + z, w + x + z , w + x + z 3 3 3 3 3 3 3 3 3
10. Sea B la base can´onica de R2 y considere las transformaciones T : R2 → R2 y S : R2 → R2 definidas por T ( a, b) = (2a + 3b, 4a − 7b) y S (a, b) = (3a − 2b, a − b)
calcular [T ]B , [S ]B y [T ◦ S ]B comprobar que [T ]B · [S ]B = [T ◦ S ]B Desarrollo: Al ser la matriz con respecto a la base can´onica se tiene
[T ]B =
2
[T ]B · [S ]B =
2
3
as´ı
3 4 −7 3 4 −7
y [S ]B =
−2 1 −1
3
−2 1 −1
9 =
−7 5 −1
por otro lado T ◦ S (a, b) = T (3 a − 2b, a − b)
= (2 (3a − 2b) + 3 (a − b) , 4 (3a − 2b) − 7 (a − b)) 9a − 7b 5a − b =
as´ı
[T ◦ S ]B =
N.C.F.
20
9
−7 5 −1
Primera version ´
Apuntes de Mat023 11. Sea T : R4 → R4 una transformaci´on lineal tal que T (1 , 1, 0, 0) = (0, 1, 0, −1) T (1 , 0, 1, 0) = (1, 1, 1, 0)
si adema´ s se tiene que T ◦ T = I R determinar la matriz asociada a T respecto a la base can´onica C de R4 . ¿Es T un isomorfismo? Justifique. 4
Desarrollo: Por la propiedad T ◦ T = I R se sigue 4
T ( T (1 , 1, 0, 0)) = T (0 , 1, 0, −1) = (1, 1, 0, 0) T ( T (1 , 0, 1, 0)) = T (1 , 1, 1, 0) = (1, 0, 1, 0)
as´ı T (1 , 1, 0, 0) = (0, 1, 0, −1) T (1 , 0, 1, 0) = (1, 1, 1, 0) T (0 , 1, 0, −1) = (1, 1, 0, 0) T (1 , 1, 1, 0) = (1, 0, 1, 0)
queremos determinar la matriz asociada a la base can´onica T (1 , 1, 1, 0) − T (1 , 1, 0, 0) = T (0 , 0, 1, 0)
= (1, 0, 1, 0) − (0, 1, 0, −1) = (1, −1, 1, 1) T (0, 0, 1, 0) = (1, −1, 1, 1) T (1, 0, 0, 0) = T (1, 0, 1, 0) − T (0 , 0, 1, 0)
= = T (0, 1, 0, 0) = = = T (0, 0, 0, 1) = = =
as´ı
[ ] = C
T C
(1, 1, 1, 0) − (1, −1, 1, 1) (0, 2, 0, −1) T (1, 1, 0, 0) − T (1 , 0, 0, 0) (0, 1, 0, −1) − (0, 2, 0, −1) (0, −1, 0, 0) T (0, 1, 0, 0) − T (0 , 1, 0, −1) (0, −1, 0, 0) − (1, 1, 0, 0) (−1, −2, 0, 0) 0 0 1 −1 2 −1 −1 −2 0 0 1 0 1 0 −1 0
es f´acil ver que es isomorfismo, pues
T ◦ T =
I
⇒ [T ◦ T ]CC = I 4 ⇒ [T ]CC [T ]CC = I 4 N.C.F.
21
Primera version ´
Apuntes de Mat023 as´ı [T ]CC es invertible y luego T es invertible. Otra forma
0 2 −01
y luego T es invertible.
0 1 −1 −1 −1 −2 0 1 0 0 1 0
= 1
Otra forma es utilizar la matriz de cambio de base [I ]CB
as´ı
1 1 = 0
1 1 = 0
1 0 0 1 1 0 0 0 −1
1 0 0 1 1 0 0 0 −1
1 1 1 0
[T ]CC = [T ]CB [I ]BC 0 1 1 1 = 0 1 −1 0
1 1 0 0
[I ]BC
−1
=
1 1 1 0
1 0 −1 0 1 −1 0 −1 0 0 0 −1 1 1 −1 1
luego
=
N.C.F.
1 0 1 0
0 0 1 −1 2 −1 −1 −2 0 0 1 0 1 0 −1 0
22
1 0 −1 0 1 −1 0 −1 0 0 0 −1 1 1 −1 1
Primera version ´
