Ejercicios unidad 2 Archivo Unidad 4
IV. 9. Problemas 1. De una caja caja que que cont contie iene ne 4 mo mone neda dass de diez diez cent centav avos os y 2 de cinco cinco cent centav avos os,, se sele selecci ccion onan an al azar azar tres tres mo mone neda dass sin sin remp rempla lazo. zo. Cons Constr truy uyaa la dist distri ribuc bució ión n de probabilidades de la variable aleatoria T : el total de las tres monedas. 2. De una caja que contie contiene ne cuatro cuatro bolas negras negras y dos verdes, verdes, se extrae extraen n tres de ellas ellas en forma forma sucesi sucesiva va y se regres regresan an a la caja caja antes antes de reali realizar zar la siguie siguiente nte extracci extracción. ón. Encuentre Encuentre la función de probabilid probabilidades ades de la variable aleatoria X : el número de bolas verdes. 3.
Sea W una variab variable le aleato aleatoria ria que que represe representa nta el número número de caras caras menos menos el número número de cruces en tres lanzamientos de una moneda. Haga una lista de los elementos del espacio muestral S para los 3 lanzamientos de la moneda y asigne un valor w de W a cada punto muestral.
4. Encuent Encuentre re la distri distribuc bución ión de probabi probabilid lidades ades de la variab variable le aleatori aleatoriaa W del ejercicio anteri anterior, or, suponiendo suponiendo que la mon moneda eda está está altera alterada da de manera manera que es dobleme doblemente nte probable que ocurra un cara que una cruz. 5. Un envío envío de 7 apar aparat atos os de tele televi visi sión ón cont contie iene ne 2 defec defectu tuos osos os.. Un hotel hotel adqui adquier eree en forma aleatoria 3 de los aparatos. Si X es el número de aparatos defectuosos adquiridos por el hotel, encuentre la distribución de probabilidades de X . 6. Se extr extrae aen n tres tres cartas cartas sin sin reem reempl plaz azo o en form formaa suces sucesiv ivaa de un mazo mazo.. En Encue cuent ntre re la distribución de probabilidades del número de espadas. e spadas. 7. Un dado tiene tiene una cara roja, roja, dos verdes verdes y las las tres restan restantes tes negras. negras. Se lanza lanza el dado una vez. Si sale rojo usted gana $2 y si sale verde gana $0.50. ¿Cuánto debería pagar usted si sale negro para que el juego fuera equitativo? 8. El dado del ejerci ejercicio cio anterior anterior se lanza lanza dos veces. veces. Si en los dos lanzami lanzamientos entos aparece aparece el mismo color usted gana $11; en caso contrario pierde $7. ¿Cuál es el valor esperado de este juego?. 9. Una Una caja caja cont contie iene ne 4 bola bolass roja rojass y 6 azul azules es.. Se saca sacan n 3 bola bolass suce sucesi siva vame ment ntee con con sustitución. Si usted gana $2 por cada bola roja y $1 por cada bola azul, ¿Cuánto debería pagar por el derecho a jugar para que el juego fuese equitativo? 10. Si en el ejercicio ejercicio anterior anterior las tres bolas se sacan sin remplazo remplazo ¿Cuánto debería ser el pago por el derecho a jugar?
11. La distri distribuci bución ón de probabi probabilid lidades ades de X , que es el número de defectos por cada 10 metros de una tela sintética en rollos continuos de d e anchura uniforme, está dada por: 0 1 2 3 4 x 0.41 0.37 0.16 0.05 0.01 f(x) Construya la función de distribución acumulada de X . 12. Se sabe que un grupo de 4 componentes componentes contiene 2 defectuosos. defectuosos. Un inspector inspector prueba los componentes uno por uno hasta encontrar los dos defectuosos. Una vez encontrado el segundo defectuoso se concluye la prueba. Sea Y el número de pruebas necesarias hasta encontrar el segundo defectuoso. Encuentre la distribución de probabilidades de Y . 13. Al examinar examinar pozos de agua en un distrito, distrito, con respecto a dos impurezas encontradas encontradas frecuentemente en el agua potable, se encontró que el 20% de los pozos no revelaban impureza alguna, el 40% tenían la impureza A, y el 50% la impureza B (algunos tenían amba ambass impu impure reza zas. s.). ). Si se sele selecc ccio iona na un pozo pozo del del dist distri rito to al azar azar,, encue encuent ntre re la distribución de probabilidades para Y: el número de impurezas encontradas en el pozo. 14. Consid Considere ere un sistema sistema de agua que fluye fluye a través través de válvulas válvulas de A a B. (Véase (Véase el diagrama).
Las válvulas 1,2 y 3 funcionan independientemente y cada una se abre correctamente medi mediant antee una una seña señall con con una prob probab abil ilid idad ad de 0.80. 0.80. En Encu cuen entr tree la dist distri ribu buci ción ón de probabilidades para Y : el número de vías abiertas de A a B después de haber enviado la señal. (Obsérvese que Y puede tomar los valores 0, 1 y 2). 15. En un prob proble lema ma de una prueba prueba apli aplica cada da a niños niños pequeño pequeños, s, se les les pide pide que hagan hagan corresponder cada uno de los tres dibujos de animales con la palabra que identifica a ese animal animal.. Si un niño niño asigna asigna aleato aleatoria riamen mente te las tres palabr palabras as a los tres dibujo dibujos, s, encuentre la distribución de probabilidades para Y : el número de correspondencias correctas. 16. Cinco pelotas pelotas numeradas numeradas 1,2,3,4 1,2,3,4 y 5 se encuentran encuentran en una urna. Se sacan sacan dos pelotas pelotas al azar de las cinco y se anotan sus números. Encuentre la distribución de probabilidades para lo siguiente: a) El may mayor or de los los núme número ross sele selecc ccio ionad nados os
b)
La suma de los dos números seleccionados.
17. Con el propós propósito ito de verifi verificar car la exacti exactitud tud de sus estados estados financ financier ieros, os, las compañía compañíass tienen auditorías permanentes para verificar los asientos contables. Supóngase que los empleados de una compañía efectúan asientos erróneos en el 5% de las veces. Si un auditor verifica tres asientos al azar: a) En Encu cuen entr tree la dist distri ribu buci ción ón de prob probab abil ilid idad ades es para para Y: el núme número ro de erro errore ress detectados por el auditor. b) Encuentre la probabilidad de que el auditor detecte más de un error. 18. A un trabaj trabajador ador de un establ estableci ecimie miento nto de lavado de automóvi automóviles les se le paga paga según según el número de autos que entran al servicio. Suponga que las probabilidades de que el trabajador reciba $7, $9, $11, $13, $15 o $17 son, respectivamente, 1/12, 1/12, ¼, ¼, 1/6 y 1/6. Determine la ganancia esperada del trabajador. 19. Una empresa empresa de inversiones inversiones ofrece ofrece a sus clientes bonos bonos especiales, especiales, los cuales cuales vencen al cabo de algunos años. Considerando que la función de distribución acumulada de X : número de años al vencimiento para un bono elegido al azar es:
0 1 / 4 F ( x) = 1 / 2 3 / 4 1
si x < 1 si 1 ≤ x < 3 si 3 ≤ x < 5
5 ≤ x < 7 x ≥ 7
Encuentre: a) P(X=5 ) b) P(X >3) >3) c) P (1.4< (1.4< X <6) <6) 20. Al invertir invertir en unas acciones acciones financie financieras, ras, una persona persona puede lograr lograr una ganancia ganancia de 4 mil pesos en un año, con probabilidad de 0.3 o bien tener una pérdida de mil pesos con probabilidad de 0.7. ¿Cuál será la esperanza esperada de esta persona? 21. Una urna contiene contiene 5 papeletas que no pueden pueden distinguirs distinguirse. e. Tres de ellas están están marcadas marcadas con $2 y las dos restantes con $4 cada una. Un jugador saca al azar dos papeletas de la urna sin reposición y gana una cantidad igual a la suma de lo marcado en las dos papeletas que ha sacado. Si el costo del juego es de $5.60 ¿Se trata de un juego justo? 22. Supon Suponga ga que que un comer comerci ciant antee de joye joyerí ríaa anti antigu guaa está está inte intere resa sado do en compr comprar ar una gargantilla gargantilla de oro, para la cual la probabilid probabilidad ad de poder venderla venderla con una ganancia de $250, $150, al costo o bien con una pérdida pérdida de $150 son, respectivamen respectivamente, te, 0.22, 0.36, 0.28 y 0.14. ¿Cuál es la ganancia esperada del comerciante? 23. Un sindicato, sindicato, al negociar negociar mejores mejores salarios, salarios, considera considera que las probabilid probabilidades ades de que sus agremiados consigan un aumento de $1.50 por hora, $1.00 por hora, de $0.50 por hora
o ningún aumento son, respectivamente, 0.40, 0.30, 0.20 y 0.10 ¿Cuál es el aumento esperado? 24. A un importador le ofrecen un cargamento de máquinas en 140 mil pesos y las probabilidades de que las venda en $180 mil, $170 mil ó 150 mil son, respectivamente, 0.32, 0.55 y 0.13 ¿Cuál es la utilidad esperada del importador?
Ejercicios distribución binomial
V. 1. 6. Problemas
1.
Se tienen los dígitos del 0 al 9. Determinar la probabilidad de que al seleccionar 6 dígitos al azar con reemplazo, el dígito 1 aparezca tres veces.
2.
Se practica un juego de 10 cartas, de las cuales 4 están premiadas. Se sacan 2 cartas con reemplazo ¿Cuál es la probabilidad de que haya: a) Una premiada? b) Ninguna premiada?
3.
Una tormenta origina que el 10% de las manzanas de una huerta queden maltratadas. Si se seleccionan 4 manzanas al azar de esa huerta ¿cuál es la probabilidad de que: a) Una esté maltratada? b) Ninguna esté maltratada? c) Al menos una esté maltratada?
4.
La probabilidad de que un equipo gane es 4/7. Si juega 6 veces el equipo ¿cuál es la probabilidad de que gane a lo más 2 partidos?
5.
Al probar cierto medicamento en 100 fumadores, se encontró que 25 de ellos perdieron el hábito de fumar. Si se aplica este medicamento a 15 fumadores seleccionados al azar, calcular: a) La probabilidad de que al menos 5 pierdan el hábito de fumar. b) El valor esperado y la variancia para el número de fumadores que no pierden el habito de fumar.
6.
Un prestamista estima, sobre la base de su experiencia, que la probabilidad de que un deudor no pague su abono es 0.25. Si ha realizado 10 préstamos ¿cuál es la probabilidad de que: a) Tres deudores no paguen su abono. b) Al menos tres deudores no paguen su abono
7.
La probabilidad de que un motor que se ajusta en cierto taller mecánico, tire aceite por los retenes en los primeros mil kilómetros es 0.05. Si se seleccionan aleatoriamente 10 motores de los que fueron ajustados en ese taller mecánico, encontrar la probabilidad de que: a) Ninguno tire aceite por los retenes. b) Al menos dos tiren aceite por los retenes.
8.
Se sabe que el 40% de las personas pertenecen al grupo sanguíneo A. ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 12 personas, menos de 5 pertenezcan a este grupo sanguíneo?
9.
La probabilidad de que un coche que transita en la ciudad de México sea de alta contaminación es 0.60. Si se seleccionan 5 coches al azar en las calles de la ciudad de México ¿Cuál es la probabilidad de que cuando menos 3 sean de alta contaminación?
10.
Se sabe que en una población el 40% de las personas mayores de edad son fumadores. Si se seleccionan 20 personas al azar de esa población, calcular: a) La probabilidad de que entre ellos haya más de 7 fumadores. b) La probabilidad de que entre ellos haya al menos 2 fumadores c) El número esperado de fumadores.
11.
Un examen de opción múltiple está compuesto de 15 preguntas, con 5 posibles respuestas cada una, de las cuales solamente una es correcta. Supóngase que uno de los estudiantes que presenta el examen contesta las preguntas al azar. Calcular la probabilidad de que conteste correctamente al menos 10 preguntas.
12.
Se sabe que el 15% de los hijos de padres alcohólicos nacen con deficiencias mentales. ¿Cuál es la probabilidad de que en 8 nacimientos: a) Resulten a lo más 2 niños con deficiencias mentales? b) Resulten 3 niños con deficiencias mentales? c) ¿Cuántos niños se esperan con deficiencias mentales?
13.
La probabilidad de que un tirador de en el blanco es 0.85. Si el tirador hace 10 disparos, encontrar la probabilidad de que: a) Acierte en más de 4 veces. b) Falle 6 veces.
14.
La probabilidad de que un carro tenga un accidente en cierta población es 0.05. a) Encontrar la probabilidad de que entre 15 carros que transitan por la población, cuando mucho 2 tengan accidente. b) Calcular la media y la variancia de los carros que tienen accidentes.
15.
Se sabe que el 90% de los estudiantes que toman un curso lo aprueban. Si se seleccionan al azar 15 personas que tomaron el curso ¿cuál es la probabilidad de que al menos 3 no aprueben el examen?
16.
En un censo realizado en una población se obtuvo que el 43% de los habitantes son mayores de edad. Si se seleccionan aleatoriamente 15 habitantes de esa población ¿cuál es la probabilidad de que entre 8 y 10 sean mayores de edad?
17.
La probabilidad de que nazca un niño es igual a la probabilidad de que nazca una niña. Se observan 10 nacimientos ¿Cuál es la probabilidad de que nazcan al menos 2 niños?
18.
Se sabe que el 5% de los conductores de automóvil de la Ciudad de México tienen vencida su licencia de conducir. Si se seleccionan aleatoriamente 50 conductores de automóvil ¿Cuál es la probabilidad de que dos o más tengan vencidas sus licencias?
19.
Una escuela se ha dado cuenta que el 0.1% de las calificaciones que procesa cada semestre están equivocadas. Si una persona cursa 5 materias en un semestre en esa escuela ¿cuál es la probabilidad de que todas las calificaciones estén correctas?
20.
Una encuesta entre los habitantes de una ciudad mostró que el 20% de ellos prefieren teléfono blanco sobre cualquier otro color. ¿Cuál es la probabilidad de que cuando mucho el 60% de los próximos 10 teléfonos que se instalen sean blancos?
21.
El 40% de los empleados de una empresa están a favor de la sindicalización. Se extrae una muestra aleatoria de 10 empleados y se les pide su opinión. ¿Cuál es la probabilidad de que la mayor parte estén a favor de la sindicalización?
22.
Supóngase que un libro de 585 páginas contienen 43 errores tipográficos. Si tales errores se encuentran distribuidos aleatoriamente en el libro ¿cuál es la probabilidad de que 10 páginas seleccionadas al azar estén libres de errores?
23.
Un sistema de protección contra cohetes está construido con 5 unidades de radar que funcionan independientemente, cada una con probabilidad 0.9 de detectar un cohete que ingresa en la zona que cubren todos los radares. Si un cohete entra en la zona, ¿cuál es la probabilidad de que: a) 4 radares detecten el cohete? b) Al menos un radar detecte el cohete?
24.
En una población se ha encontrado que hay la misma posibilidad de que nazca niño o niña. En esa población hay 800 familias con 10 hijos cada una. ¿En cuántas familias cabe esperar que nazcan: a) Tres niños? b) Cuando mucho 3 niños?
25.
Un fabricante de pinzas las empaca en lotes de 20. La probabilidad de que cualquier pinza esté defectuosa es 0.05. a) ¿Cuál es el número esperado de pinzas defectuosas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un lote seleccionado al azar no contenga piezas defectuosas?
26.
Se sabe que una moneda está cargada de modo que la probabilidad de que salga águila es 4 veces la probabilidad de que salga sol. Si la moneda se lanza 5 veces: a) ¿Cuál es la probabilidad de que salgan 2 águilas? b) ¿Cuál es el número esperado de águilas?
27.
Se sabe que el 70% de las mujeres que aceptan se les haga una demostración de cosméticos, terminan por comprar algún producto. Si 10 mujeres aceptan que se les haga la demostración, encontrar la probabilidad de que: a) Una compre algún producto. b) Cuando mucho alguna compre algún producto.
28.
Si la probabilidad de que haya un nacimiento masculino es 0.52 ¿cuál es la probabilidad de que en un matrimonio que tiene 3 hijos haya: a) Tres varones? b) Ningún varón? c) Por lo menos un varón?
29.
Una secretaria que debe llegar a su trabajo a las 8:00 de la mañana, se retarda 15 minutos o más el 20% de los días. El presidente de la compañía, que llega a la oficina a las 10:00 de la mañana, llama ocasionalmente a la oficina entre 8:00 y 8:15 para dictar una carta. ¿Cuál es la probabilidad de que 3 mañanas de las 6 en que llama el presidente, la secretaria no haya llegado a la oficina?
UNIDA 5 Distribución Geometrica
V. 2. 3. Problemas
1.
Una persona dispara 3 veces a un blanco, con probabilidad 0.6 de acertar al blanco. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) todos los disparos den en el blanco? b) hasta el tercer disparo se de al blanco?
2
La probabilidad de que los empleados de una empresa lleguen tarde al trabajo es 0.3. ¿Cuál es la probabilidad de que el primer empleado que llegue tarde al trabajo esté entre las primeras 3 personas que lleguen?
3
Se sabe que el 30% de los aspirantes a cierto trabajo tienen entrenamiento avanzado en computación. Los aspirantes son entrevistados uno tras otro en forma aleatoria.
Calcular la probabilidad de que el primer aspirante con entrenamiento avanzado en computación se encuentre después de la quinta entrevista. 4
Un automovilista pasas todas las mañanas por un crucero y el semáforo está en verde el 20% de las veces. Si lo que sucede una mañana es independiente de lo que sucede en las demás mañanas ¿cuál es la probabilidad de que: a) la luz del semáforo no se encuentre en verde durante las 5 primeras mañanas? b) la primera mañana en que la luz del semáforo se encuentre en verde requiere como máximo 3 mañanas?
5
Un ladrón vigila una residencia por las noches con objeto de intentar un robo. Ha decidido intentarlo la primera vez que el habitante de la residencia salga después de las 9 de la noche y se sabe que la probabilidad de que esto ocurra es de 0.6 para cada día. Suponiendo independencia de un día con otro ¿cuál es la probabilidad de que el ladrón tarde más de 4 días en intentar el robo?
6
Se sabe que de cada 5 personas que padecen cierta enfermedad 2 son alérgicos a la penicilina. Si se tienen que inyectar a algunas personas que padecen esta enfermedad ¿cuál es la probabilidad de que la primera reacción alérgica ocurra: a) cuando mucho en la tercera inyección? b) de la cuarta a la quinta inyección?
7
Un inspector de la Secretaría de Comercio y Fomento Industrial ha encontrado que 6 de cada 15 tiendas que visita presentan irregularidades. Si el inspector visita las tiendas al azar ¿cuál es la probabilidad de que la primer tienda con irregularidades que visita : a) sea la tercera? b) se encuentre después de haber visitado 4 tiendas?
8
Se lanzan una serie de cohetes hasta lograr el primer lanzamiento exitoso. Si al llegar al tercer lanzamiento no ha habido éxito, se para el experimento para revisar el equipo. La probabilidad de éxito en cada lanzamiento es de 0.6 y los ensayos son independientes. Calcular la probabilidad de que: a) el primer lanzamiento exitoso ocurra en el segundo lanzamiento. b) haya revisión del equipo.
9
Se sabe que una moneda está cargada, de modo que la probabilidad de que salga “águila” es 4 veces la probabilidad de que salga “sol”. Se lanza la moneda hasta obtener la primer “águila”. ¿Cuál es la probabilidad de que esto ocurra: a) en el tercer lanzamiento? b) después del tercer lanzamiento?
10 La probabilidad de que un estudiante de aviación apruebe el examen para obtener su licencia de piloto es 0.7. Encontrar la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar apruebe dicho examen: a) en el tercer intento. b) antes del cuarto intento.
11 Se tiran 2 dados hasta que la suma de los 2 números que aparecen sea 7. Encontrar la probabilidad de que se necesite más de un intento para lograrlo. 12 Se tienen 4 llaves, de las cuales sólo una abre un candado. Las llaves se prueban una tras otra, con reemplazo, hasta encontrar la que abre el candado. Calcular la probabilidad de que el candado se abra: a) en el tercer intento b) a lo más en el segundo intento 13 Si la probabilidad de que nazca un varón es 0.55 ¿cuál es la probabilidad de que en los próximos nacimientos el primer varón nazca: a) en el cuarto nacimiento b) después del tercer nacimiento 14 Un explorador de petróleo perforará una serie de pozos hasta encontrar uno productor. La probabilidad de encontrar petróleo en una perforación es 0.2 ¿Cuál es la probabilidad de que: a) el primer pozo productor sea el tercero perforado? b) el explorador no encuentre un pozo productor, si sólo puede perforar a lo más 10 pozos? 15 Se lanza una moneda legal hasta que aparezca una cara. ¿Cuál es la probabilidad de que se necesiten a lo más 3 intentos? 16 Se arroja repetidamente un dado legal hasta que aparece un 4. ¿Cuál es la probabilidad de que aparezca: a) en el quinto lanzamiento? b) antes del cuarto lanzamiento? 17 Se sabe que en una escuela el 43% de los estudiantes tienen el pelo negro. Se seleccionan estudiantes al azar hasta encontrar uno que tenga el pelo negro. ¿Cuál es la probabilidad de que el cuarto estudiante seleccionado sea el de pelo negro? 18 Tres personas lanzan una moneda y la que salga disparejo paga los cafés. Si las 3 monedas caen con el mismo resultado se lanzan nuevamente. Encontrar la probabilidad de que se necesiten más de 3 lanzamientos para decidir quien paga el café. 19 Una máquina produce 3% de artículos defectuosos. Se selecciona al azar un artículo tras otro de la producción de la máquina hasta encontrar un defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que se deban revisar más de 5 artículos? 20 Se tira un par de dados hasta que la suma de los dos números que aparecen sea 7. Calcular la probabilidad de que: a) se necesiten 2 intentos b) se necesite más de un intento.
21 En una urna se tienen 4 canicas, de las cuales una es negra. Se extrae una canica tras otra hasta que aparezca la negra. ¿Cuál es la probabilidad de que se necesiten 3 extracciones si: a) el experimento se hace con reemplazo. b) El experimento se hace sin reemplazo.
Distribución poisson y aproximaciobn con la binomial
V. 3. 6. Problemas 1
Los errores mecanográficos cometidos por una secretaria tiene una distribución de Poisson, con media de 4 errores por página. Si una página tiene más de 4 errores, la secretaria tendrá que repetir la página. ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga que repetir una página hecha por ella, que fue seleccionada al azar?
2
Se sabe que en una carretera hay 4 accidentes por día en promedio. ¿Cuál es la probabilidad de que en un día determinado: a) no haya accidentes? b) haya cuando menos 3 accidentes?
3.
Un productor de sarapes inspecciona las piezas contando el número de defectos. Se sabe por registros anteriores que en promedio hay 5 defectos por sarape. Calcular la probabilidad de que en un sarape seleccionado al azar haya cuando menos 2 defectos.
4
El número de llamadas telefónicas que llegan al conmutador de una compañía entre las 15 y las 17 horas es de 2 llamadas por minuto. Si el conmutador tiene capacidad para recibir 2 llamadas simultáneamente ¿cuál es la probabilidad de que una persona que llama a la compañía entre esas horas reciba la señal de ocupado?
5
Se sabe que en cierta colonia de una ciudad el número promedio de ratas por manzana es de 5. Si el número de ratas se distribuye según la distribución de Poisson, encontrar la probabilidad de que en una manzana elegida al azar de esa colonia se tengan más de 5 ratas.
6
En cierto crucero ocurren 3 accidentes viales por mes en promedio. Suponiendo que el número de accidentes se distribuye según la ley de Poisson, encontrar la probabilidad de que en un mes determinado en ese crucero ocurran: a) ningún accidente. b) por lo menos un accidente. c) a lo más un accidente.
7
El promedio de automóviles que transitan por cierto punto de una calle es de uno por minuto. Encontrar la probabilidad de que el número de automóviles que transitan por ese punto exceda de 3 en un minuto?
8.
El número de errores en un libro sigue una distribución de Poisson, con media de 0.01 errores por página. ¿Cuál es la probabilidad de que existan cuando mucho 3 errores en 100 páginas de ese libro?
9
El número de nudos en un tipo particular de madera tiene una distribución de Poisson, con media de 1.5 nudos por 10 metros cúbicos de madera. Calcular la probabilidad de que un bloque de 8 metros cúbicos de esa madera tenga a lo más un nudo.
10 Se ha observado en un país que las muertes debidas a accidente de tráfico durante los fines de semana, ocurren a razón de 8 por hora. Suponiendo que las muertes ocurren en forma independiente, calcular la probabilidad de que: a) transcurra una hora sin que haya muertes. b) transcurra un periodo de 15 minutos sin que haya muertes. 11 El número de descomposturas que sufre una copiadora en una semana tiene una distribución de Poisson, con media de 0.3 descomposturas. Calcular la probabilidad de que no haya descomposturas en 2 semanas consecutivas. 12 Un detector de partículas contaminantes detecta en promedio 5 partículas cada milisegundo. ¿Cuál se la probabilidad de que detecte: a) ocho partículas en 3 milisegundos? b) dos partículas en 0.5 milisegundos? 13 Suponga que las ventas que hace un vendedor de automóviles nuevos se realiza en la misma forma como ocurren los eventos en un proceso de Poisson, con promedio de una venta por semana. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) haga 3 ventas en un período de 2 semanas? b) haga cuando menos 3 ventas en un período de 2 semanas? 14 El número promedio de automóviles que llegan a un estacionamiento es de 60 por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que en un período de 10 minutos lleguen al estacionamiento: a) entre 5 y 7 automóviles? b) más de 2 automóviles? 15 Cierta zona de un continente sufre en promedio 6 huracanes por año. Encontrar la probabilidad de que en un mes dado: a) sufra a lo más 2 huracanes. b) sufra más de 2 huracanes. c) se exceda el número esperado de huracanes. 16 En cierta terminal de autobuses se reportan, en promedio, 2 artículos perdidos diariamente. ¿Cuál es la probabilidad de que en 2 días consecutivos se reporten :
a) más de 2 artículos perdidos? b) a lo más un artículo perdido? 17 En una zona boscosa hay en promedio 1.5 incendios por mes. Si estos incendios se apegan a la distribución de Poisson, determinar la probabilidad de que : a) hay 2 incendios en un período de 4 meses seguidos. b) haya más de uno y menos de 5 en un período de 4 meses seguidos. 18 El números de erratas en un libro se apega a una distribución de Poisson, con media de 0.01 erratas por página. ¿Cuál es la probabilidad de que existan tres o más errores en páginas del libro que fueron seleccionadas al azar? 19 El número promedio de televisores que vende una tienda de autoservicio es de 1.5 por día. Si las ventas de televisores se apegan a una distribución de Poisson, calcular la probabilidad de que la tienda venda por lo menos 4 radios durante un período de 2 días seguidos. 20 En una población el cierre de empresas por problemas financieros ha ocurrido, en promedio, a razón de 5.7 cierres por año. Suponiendo que el número de cierres tienen una distribución de Poisson, encontrar la probabilidad de que: a) ninguna empresa cierre durante un período de 4 meses. b) por lo menos 3 empresas cierren durante un año cualquiera. 21. Se sabe que el promedio de muertes debidas al cólera en cierto estado de un país es de 5 mensuales. Si las muertes ocurren en forma independiente y se apegan a un proceso de Poisson, ¿cuál es la probabilidad de que: a) transcurran 15 días sin que ocurran muertes? b) En un período de 3 meses seguidos haya 12 muertes? 22 Un conmutador telefónico opera un promedio de 600 llamadas durante la hora de mayor tráfico. Si el conmutador puede hacer como máximo 20 conexiones por minuto ¿cuál es la probabilidad de que el conmutador esté sobrecargado en un minuto dado de la hora de mayor tráfico? 23 El número de solicitudes de asistencias recibidas por una grúa se apega a un proceso de Poisson, con un promedio de 4 solicitudes por hora. a) Calcular la probabilidad de que se reciban 10 solicitudes en un período de 2 horas consecutivas. b) Si los operadores de la grúa descansan durante 30 minutos para comer ¿cuál es la probabilidad de que no se pierda ninguna solicitud de asistencia? 24 El número de mensajes que se envían por computadora a un boletín electrónico, es una variable aleatoria de Poisson, con media de 5 mensajes por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que el boletín reciba: a) diez mensajes en media hora? b) Menos de 2 mensajes en media hora?
25 Los clientes de un almacén llegan a la caja a pagar sus compras de acuerdo a una distribución de Poisson, con promedio de 7 personas por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen a la caja más de 3 clientes en: a) una hora dada? b) un intervalo de 30 minutos? c) Un intervalo de 2 horas? 26 En un hospital hay un promedio de 2 enfermos del corazón por semana. Si el número de enfermos del corazón se apega a una distribución de Poisson, encontrar la probabilidad de que: a) haya 5 enfermos en un período de 3 semanas seguidas. b) El número de enfermos del corazón en una semana sea mayor que la variancia. 27 Supóngase que X tiene una distribución de Poisson. Si P(x = 3)
y, P(x = 1) =
1 6
, calcular.
28 El Gerente de una fábrica ha informado al Consejo de administración, que el promedio de accidentes entre los obreros es de 8 por mes. Si este fenómeno sigue la distribución de Poisson y se observa por 15 días ¿cuál es la probabilidad de que ocurran a lo más 4 accidentes, si se sabe que suceden por lo menos 2 accidentes? 29 Sea una variable aleatoria X que se rige por una distribución de Poisson con promedio de 2, calcular la probabilidad de que X valga al menos 3, dado que a lo más vale 4. 3 30 Supóngase que X tiene una distribución de Poisson en la que. P(x = 2) = 2 P(x = 1) . Calcular P(x = 0) y P(x = 3)
31 Sea X una variable aleatoria que se apega a una distribución de Poisson, con media igual a 2. Encontrar: a) P(x = 4 = b) P(x ≤ 4 | x ≥ 2) c) P(x ≥ 4 | x ≥ 2) 32 Sea X una variable aleatoria que se apega a una distribución de Poisson con media λ . Si P(x = 0) = 0.1 , calcular P(x > 5) . 33 El número promedio de ratones por hectárea es de 12. Determinar la probabilidad de que se hallen menos de 7 ratones: a) en una hectárea determinada. b) En 2 de 3 hectáreas inspeccionadas. 34 Si los accidentes que ocurren en las carreteras de un país se apegan a una distribución de Poisson y hay en promedio 4 accidentes por día ¿cuál es la probabilidad de que: a) no haya accidentes en un día determinado? b) En 2 de 4 días no haya accidente?
35 Según una oficina de estadística el promedio de ahogados por año en un país es de 3 por cada 100 mil personas. Encontrar la probabilidad de que en una población de 75 mil personas, haya anualmente: a) 2 ahogados. b) Cuando menos 3 ahogados. 36 Supóngase que el 0.02% de los artículos de una fábrica son defectuosos. Calcular la probabilidad de que en un lote de 10 mil artículos haya: a) menos de 2 defectuosos. b) Dos o más defectuosos. 37 Se sabe que de cada 5 mil carros que transitan por una autopista, uno tiene problemas con las llantas. Si cierto día transitan por la autopista mil carros ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos dos carros tengan problemas con las llantas? 38 En cierta ciudad, en promedio se incendia una casa de cada 2 mil durante un año. Si hay 6 mil casas en la ciudad ¿cuál es la probabilidad de que se incendien 5 casas en un año determinado? 39 Si la probabilidad de marcar un número equivocado es 0.05 ¿cuál es la probabilidad de marcar un número equivocado 3 veces en cien llamadas telefónicas? 40 En cierta zona escolar hay 2 mil maestros. La proporción de maestros ausentes diariamente es de 0.5%. Calcular la probabilidad de que en un día dado: a) todos los maestros asistan a su trabajo. b) Haya 2 maestros ausentes. 41 Una compañía de seguros se ha dado cuenta que solamente el 0.1% de los asegurados tiene cierto tipo de accidente cada año. Si la compañía tiene 10 mil asegurados ¿cuál es la probabilidad de que cuando mucho 5 de los asegurados tenga un accidente de ese tipo el próximo año? 42 Una fábrica envió 5 mil piezas de buena calidad al almacén. La probabilidad de que durante el transporte una pieza se dañe es de 0.0002. Calcular la probabilidad de que lleguen al almacén 3 piezas dañadas. 43 Supóngase que, en promedio, una persona de cada mil comete un error numérico al hacer su declaración de impuestos. Si se seleccionan 10 mil declaraciones al azar y se examinan, encontrar: a) la probabilidad de que cuando menos 6 y cuando mucho 8 declaraciones tengan error b) la media y la variancia. 44 La probabilidad de vender un seguro de vida a personas que contestan un anuncio especial, se estima que es de 0.001. Si mil personas contestan el anuncio ¿cuál es la probabilidad de que: a) nadie compre el anuncio. b) Por lo menos uno compre el anuncio.
c) Más de 5 compren el anuncio.
Problemas hipergeometrica
V.4. 5. Problemas 1
Un lote de 25 cinescopios de color se someten a un procedimiento de prueba de aceptación. El procedimiento consiste en seleccionar aleatoriamente 5 cinescopios, sin reemplazo, y probarlos. Si fallan cuando mucho 2 cinescopios se acepta el lote y en caso contrario se rechaza. Suponiendo que el lote contiene 4 cinescopios defectuosos: a) ¿Cuál es la probabilidad de aceptar el lote? b) ¿Cuántos de 5 cinescopios seleccionados se espera que no estén defectuosos?
2
A un congreso asisten 20 doctores en física, dentro de los cuales se encuentran los 5 mejores del país. Una empresa contrata al azar a 10 de los 20 doctores. ¿Cuál es la probabilidad de que entre los contratados vaya a lo más uno de los mejores del país?
3
Un ingeniero de control de calidad inspecciona una muestra aleatoria de 4 acumuladores de cada lote de 20 que están listos para ser embarcados. Si un lote contiene 6 acumuladores defectuosos ¿cuál es la probabilidad de que la muestra seleccionada por el ingeniero contenga: a) tres acumuladores defectuosos? b) por lo menos 2 acumuladores defectuosos?
4
Un distribuidor vende ligas en paquetes de 100 y garantiza que sólo el 10% son defectuosas. Un consumidor revisa cada paquete que compra, extrayendo 10 ligas sin reemplazo. Si ninguna de las 10 es defectuosa, acepta el paquete; de otra forma lo rechaza. Encontrar la probabilidad de que rechace un paquete.
5
Una empresa recibe una caja con 20 bobinas que utiliza para un motor que produce. El área de control de calidad decide hacer un estudio para conocer la calidad de las bobinas, para lo cual extrae, sin reemplazo, 10 bobinas de la caja para examinarlas, observando que 2 de ellas están defectuosas. ¿Cuál es la probabilidad de que la caja contenga 5 bobinas defectuosas?
6
En un estacionamiento hay 18 automóviles, de los cuales 4 son de color azul. Si se seleccionan 3 automóviles al azar sin reemplazo ¿cuál es la probabilidad de que haya cuando menos 2 de color azul?
7
El Departamento de Protección al Ambiente ha adquirido 18 instrumentos para medir la contaminación del aire. De ellos se seleccionan aleatoriamente y sin reemplazo 8 instrumentos y se someten a prueba para encontrar los que no cumplan con las normas de calidad. Si 4 de los 18 no cumplen con las normas de calidad ¿cuál es la probabilidad que de los 8 instrumentos seleccionados haya más de 2 que no cumplan con las normas de calidad?
8
Debido a la naturaleza destructiva de la verificación de una tubería a prueba de explosiones, se inspecciona una parte de ella. Si 4 tubos de una remesa de 20 están defectuosos ¿cuál es la probabilidad de que al seleccionar aleatoriamente y sin reemplazo 8 tubos, haya cuando mucho 2 tubos defectuosos?
9
De la producción de una fábrica de sensores sísmicos se empacan 10 en cada caja. De cada caja se revisan 2 sensores y la caja es aceptada si ninguno es defectuoso. Si se selecciona una caja al azar que contiene un sensor defectuoso ¿cuál es la probabilidad de que se acepte la caja?
10 Un trabajador de la oficina de recaudación de impuestos selecciona al azar 4 solicitudes de devolución de impuestos de entre 15 presentadas. Si 5 solicitudes contienen deducciones ilegales ¿cuál es la probabilidad de que el trabajador examine 2 solicitudes ilegales? 11 Una clase consta de 8 niños y 4 niñas. Se selecciona aleatoriamente un comité de 3. ¿Cuál es la probabilidad de que en el comité aparezca por lo menos una niña? 12 En un lote de 200 lápices se encuentra que hay 10 mal pintados. Un comprador revisa, sin sustitución, 15 lápices seleccionados al azar del lote y decide rechazar el lote si encuentra cuando menos 2 mal pintados. a) ¿Cuál es la probabilidad de que acepte el lote? b) Calcular el número esperado y la variancia de los lápices mal pintados. 13 Una empresa que produce chocolates inspecciona los envíos de su producto, el cual se empaca en cajas con 50 chocolates. La forma de inspeccionar consiste en seleccionar 5 chocolates de una caja y el envío se da por bueno si se encuentra que a lo más 2 tienen defecto de envoltura. ¿Cuál es la probabilidad de que una caja que se dio por buena tenga un 20% de chocolates con defecto de envoltura? 14 En una urna se tienen 13 bolas numeradas del 1 al 13. Se eligen aleatoriamente una tras otra 4 bolas de la urna. ¿Cuál es la probabilidad de que las 4 tengan números pares si: a) la elección se realiza con reemplazo. b) La elección se realiza sin reemplazo. 15 En el estanque de un restaurante hay 6 truchas y 8 bagres. Un señor llega y pide que le guisen una trucha. El encargado mete una red al estanque y saca dos pescados. ¿Cuál es la probabilidad de que el señor coma su trucha en esta primera sacada de peses? 16 Una caja contiene 5 monedas de oro y 7 de plata, todas de igual forma y tamaño. Una persona selecciona 4 monedas aleatoriamente y sin reemplazo. a) Encontrar la media y la variancia del número de monedas de oro seleccionadas. b) Encontrar la probabilidad de que la persona seleccione más monedas de oro que de plata.
17 Un sistema de iluminación tiene 8 lámparas, de las cuales 2 están fundidas. Si se inspeccionan 4 lámparas ¿cuál es la probabilidad de que entre ellas se encuentren las 2 que fallan? 18 Un grupo de una escuela tiene 20 alumnos, de los cuales 5 son mujeres. Si se eligen aleatoriamente y sin sustitución a 10 alumnos ¿cuál es la probabilidad de que haya cuando mucho 2 mujeres? 19 Un lote de 20 transformadores contiene 3 defectuosos. Si se seleccionan 7 transistores al azar y sin reemplazo ¿cuál es la probabilidad de obtener más de un defectuoso? 20 De un lote de 10 proyectiles se disparan 4 al azar. Si el lote contiene 3 proyectiles que no disparan ¿cuál es la probabilidad de que a lo más 2 proyectiles no disparen? 21 Un supermercado tiene 10 básculas para que los clientes pesen sus compra, pero el uso constante y brusco ha originado que 4 de ellas pesen mal. Un inspector de la Secretaría de Industria y Comercio llega a revisarlas las básculas, para lo cual selecciona 2 al azar. Calcular la probabilidad de que el inspector encuentre: a) a lo más un defectuoso. b) exactamente 2 defectuosos. 22 Un narcotraficante, tratando de evitar ser descubierto, coloca en una botella 6 tabletas de narcóticos en una botella que también contiene 9 tabletas de vitaminas de aspecto semejante. Si el oficial de la aduana selecciona al azar 3 tabletas para su análisis ¿cuál es la probabilidad de que el viajero sea arrestado por narcotráfico? 23 Una empresa envía cajas con 20 circuitos integrados para computadora. Se seleccionan 4 circuitos de cada caja y la caja es aceptada si ninguno de los 4 es defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que una caja que es aceptada contenga 3 circuitos defectuosos? 24 Un lote contiene 18 artículos, de los cuales 6 son defectuosos. Se seleccionan 4 artículos al azar. Determinar la probabilidad de que los 4 artículos seleccionados sean defectuosos si se seleccionan: a) con sustitución. b) sin sustitución. 25 Una tienda de televisores ha recibido un embarque de 12 receptores nuevos, 8 del modelo A y 4 del modelo B. Si se venden 4 televisores ¿cuál es la probabilidad de que: a) sean 2 del modelo A y 2 del modelo B? b) los 4 sean del mismo modelo? 26 Una fábrica realiza un embarque de 6 refrigeradores, dentro de los cuales van 2 con defecto de pintura. Un almacén adquiere al azar 3 refrigeradores. Si X es el número de refrigeradores con defecto de pintura que se encuentran entre los comprados por el almacén: a) determinar la función de probabilidades de X. b) calcular E(x) y Var(x).
27 Una caja contiene 4 naranjas y 2 manzanas. Se seleccionan 3 frutas al azar sin reemplazo. Si X es la variable aleatoria definida como el número de naranjas seleccionadas: a) obtener la función de probabilidad. b) calcular 28 Una caja contiene 10 canicas, de las cuales 5 están dañadas. Se escogen 3 canicas al azar sin reemplazo. Sea X la variable aleatoria que indica el número de canicas dañadas. a) encontrar la función de probabilidad. b) calcular P(x ≤ 2) 29. De una urna que contiene 4 bolas rojas y 6 blancas se extraen al azar y sin reemplazo 3 de ellas. Si X es la variable aleatoria que designa el número de bolas rojas extraídas, construir su función de probabilidad.
Problemas capitulo 6 puntos 3.3. 3.4 y 3.5
VI.6. Problemas 1.
La longitud de un cable eléctrico es una variable aleatoria continua X, con función de probabilidad 6 x (1 − x ) si 0 ≤ x ≤1 f ( x ) = para otros valores 0 Diga si f(x) sea una función de probabilidad.
2.
Investigar si la siguiente función f(x) es una función de densidad. x + 0.5 si - 1 ≤ x ≤1 f ( x ) = para otros valores 0
3.
Sea X una variable aleatoria continua con la siguiente función: x + 2k si 1 ≤ x ≤ 6 f ( x ) = 6 de otra manera 0 a) Encontrar el valor de k de forma que f(x) sea una función de densidad. b) Determinar P( 2 ≤ x ≤ 4)
4.
Considérese la siguiente función:
k x f ( x ) = 0 a)
si 0 ≤ x ≤1 en otros casos
Obtener el valor de k para que f(x) sea una función de densidad.
b) Determinar la función de distribución acumulada. c) Obtener el valor esperado de X. 5.
La vida de estabilidad de cierto material químico tiene una función de densidad: a 2 para x ≥ 1 f ( x ) = x 0 para otros valores a) ¿Cuál debe ser el valor de a para que f(x) sea una función de probabilidad? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el material dure por lo menos 1.5 horas?
3. 4.
Sea la siguiente función: kx f ( x ) = 0
2
si - 1 ≤ x ≤ 2 para otros valores de x
a) Determinar el valor de k de forma que se tenga una función de densidad. b) Calcular la esperanza de X c) Encontrar la función de distribución. 7.
Sea X una variable aleatoria con función: k (1 + x ) si - 1 < x <1 f ( x ) = en otros lugares 0 a) Determinar el valor de k de forma que se tenga una función de densidad. b) Calcular la variancia de X.
8.
Sea X una variable aleatoria continua con función: kx 2 + x si 0 ≤ x ≤1 f ( x ) = en otros lugares 0 a) Determinar el valor de k para que f(x) sea función de densidad. b) Calcular la esperanza y variancia de X. c) Calcular P ( x ≤ 0.5)
9.
La duración en minutos de las llamadas telefónicas de larga distancia que llegan a una central telefónica es un fenómeno aleatorio con función: f ( x )
ce− x / 3 0
=
si x
>0
en otros lugares
a) Encontrar el valor de la constante “c” b) Calcular el valor esperado de la variable aleatoria X. 5. 6.
Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad:
x 1 e − 2 f ( x ) = 2 0
si x si x
>0 ≤0
Determinar el calor de “c” tal que P(x>c)=0.5. 11. Sea X una variable aleatoria continua, cuya función de densidad es: 6 x − 6 x 2 si 0 ≤ x ≤1 f ( x ) = para otros valores de x 0 Obtener: a) La función de distribución acumulada. b) La esperanza de X.
c) 7. 8.
1
P( x ≤ 2 | x ≥ ) 3
Sea X una variable aleatoria continua con función:
0.05 f ( x ) = 0.05 + kx 0
si - 2 ≤ x < 0 si 0 ≤ x ≤ 2 para otros valores
a) Encontrar el valor de k para que se función de densidad. b) Calcular la desviación estándar. 9. Sea X una variable aleatoria continua con función: 10. ax 2 si - 2 ≤ x < 0 f ( x ) = a + ax si 0 ≤ x ≤ 2 0 para otros valores
a) Calcular la constante “a” de forma que se tenga una función de probabilidad. b) Calcular la esperanza y variancia de X. c) Calcular P ( 0 ≤ x ≤ 0.5) 11. Sea X una variable aleatoria continua, con la siguiente función de densidad: 12.
x 16 8 − x f ( x ) = 0 16
si 0 ≤ x ≤ 4 si 4 < x ≤ 8 para otros valores
a) Determinar la función de distribución correspondiente b) Calcular P( x ≤ 6)
15. Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad:
0.2 f ( x ) = 0.2 + 1.2 x 0
si - 1 ≤ x < 0 si 0 ≤ x ≤ 1 en otros lugares
Obtener la función de distribución. 13. Sea f(x) una función de probabilidad dada por: 14. 2 − x si 0 ≤ x ≤ 2 4 f ( x ) = x − 3 si 3 ≤ x ≤ 4 0 en otros lugares a) Encontrar la función de distribución acumulada. b) Calcular P(1 ≤ x ≤ 3.5) 17. Si la función de densidad de una variable aleatoria continua X está dada por: 18.
x f ( x ) = 2 − x 0
si 0 < x ≤ 1 si 0 < x < 2 en otros lugares
Calcular: a) La función de distribución F(x) b) La media y la variancia de X c) P(0.2
ax f ( x ) = x 2 0
si - 1 ≤ x < 0 si 0 ≤ x ≤ 1 en otros valores de x
a) Determinar el valor de la constante “a” b) Obtener la función de distribución 1 c) Calcular P ( −0.5 ≤ x ≤ 3 ) 19. La función de densidad de una variable aleatoria continua está dada por:
x 4 4 − x f ( x ) = 0 4
si 0 ≤ x < 2 si 2 ≤ x
≤4
en otros casos
a) Encontrar la función de distribución acumulada b) Calcular P(0.7 ≤ x ≤ 1.6) 21. Sea X una variable aleatoria continua cuya función de densidad está dada por: 22.
x f ( x ) = 2 − x 0
si 0 ≤ x < 1 si 1 ≤ x ≤ 2 en otros casos
a) Obtener la función de distribución acumulada F(x) b) Calcular P(0.5 ≤ x ≤ 1.5) 21. Si la función de distribución de una variable aleatoria continua está dada por: 22. 4 1 − 2 F( x ) = x 0
si x > 2 si x ≤ 2
Encontrar: a) La función de densidad b) P(x<3) c) P(4
22.
0 x Suponga que F( x ) = 12π
si x ≤ 0 si 0 < x < 2π
es una función de distribución.
si x ≥ 2π
Determinar: a) Su función de probabilidad. b) Su media y variancia. 23. Sea X una variable aleatoria continua con función de distribución acumulada:
0 x 2 2x 2 2 − + F( x ) = 2 − x + 4x − 7) 2 1
si x < 2 si 2 ≤ x < 3 si 3 ≤ x ≤ 4 si x > 4
a) Encontrar la función de densidad. b) Encontrar la esperanza. c) Calcular P( 2.5 ≤ x ≤ 3.5) 23. Sea Y una variable aleatoria continua con función de distribución dada por: 24.
0 y 8 F ( y ) = 2 y 16 1
si y ≤0 si 0< y <2 si 2≤ y ≤4 si y ≥ 4
a) Obtener la función de densidad de Y. b) Obtener la media y la variancia de Y. c) Calcular P( y ≥ 1 | y ≤ 3) 25. Se sabe que la duración en horas de cierto tipo de transistor es una variable aleatoria continua X, con densidad de probabilidades: 26. 100 si x > 100 x f ( x ) = 2 0 de otra forma
a) b)
¿Cuál es la probabilidad de que un transistor seleccionado al azar dure más de 200 horas si se sabe que el transistor funciona después de 150 horas de servicio? ¿Cuál es la probabilidad de que si se instalan 3 de tales transistores en un aparato, uno tenga una vida de servicio de 150 horas o menos?
27. Suponga que una variable aleatoria X tiene la siguiente función de distribución: 28.
si x < − 1 0 3 x + 0.5 si - 1 ≤ x ≤ 1 F ( x) = 2 1 si x > 1
a) Calcular la media y la variancia de la variable aleatoria X. b) Si se hacen 5 observaciones independientes de esta variable ¿cuál es la probabilidad de que a lo más 2 de ellas sean positivas? 27. 28.
Una variable aleatoria continua X tiene función de densidad: a + bx 2 si 0 ≤ x ≤ 1 f ( x) = para otros valores 0
Determinar los valores de “a” y “b” tales que su media sea 2/3 28. Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad: ax 2 f ( x ) = a (b − x ) 0
si 0 ≤ x < 1 si 1 ≤ x ≤ 2
y tal que E(x)=0.8. Calcular los valores de las
en otros lugres
constantes “a” y “b”.
Ejercicios capitulo 7 distribucion uniforme
VII.1.4. Problemas
1 Se eleige un punto al azar sobre el segmento de línea [0, 2]. Calcular la probabilidad de que el punto escogido quede entre 1 y 1.5. 2
Sea X una variable aleatoria distribuida uniformemente en el intervalo [-2,2]. Calcular P(|x-1|>0.5).
3 La venta promedio diaria de un supermercado es de 40 mil pesos y hay una venta mínima de 30 mil pesos diarios. Si la venta de combustible se apega a una distribución uniforme: a) Determinar la venta máxima diaria. b) ¿En qué porcentaje de días las ventas exceden los 34 mil litros? 4
Sea X una variable aleatoria continua con distribución uniforme en el intervalo [10,20] a) Si se selecciona un punto al azar ¿cuál es la probabilidad de que sea mayor de 12.5? b) Encontrara k tal que P(x>k)=0.375
5
Sea X una variable aleatoria continua con distribución uniforme en el intervalo [-6, -1]. Obtener: a) P(x> µ + σ ) b) P(-5 ≤ x ≤ -2)
6
Sea X una variable aleatoria distribuida uniformemente en el intervalo [0, b]. a) Obtener el valor de b si se sabe que P(x ≤ 1)=0.1 b) Calcular P(x ≥ 7)
7
Suponga que X está distribuida uniformemente en el intervalo [ -α , α ] , en donde α >0 . Determinar el valor de
α
de modo que satisfaga que P(x ≥ 1)= 13 .
8
Sea X una variable aleatoria continua con distribución uniforme, con media uno y variancia 4/3. Determinar P(x<0).
9
Considérese una variable aleatoria continua distribuida uniformemente en el intervalo [0, n]. Obtener el valor de n si se sabe que P(x ≤ 1)=0.1
10 Sea X una variable aleatoria con distribución uniforme en la que E(x)=-3 y Var(x)=3. Calcular P(-2 ≤ x ≤ -1) . 11 Sea X una variable aleatoria continua con distribución uniforme, cuya media es 1 y variancia 4/3. Tereminar P(x<0). 12 Suponga que X es una variable aleatoria distribuida uniformemente con E(x)=1/2 y Var(x)=4/3. Encontrar: a) La función de densidad. b) La función de distribución. 13 El tiempo que tarda un autobús en cubrir su ruta se distribuye uniformemente entre 70 y 100 minutos. Calcular la probabilidad de que la duración sea mayor de 90 minutos, si se sabe fue mayor de 80 minutos? 14 La cantidad de líquido en milímetros que una máquina expendedora de café vacía en los vasos sigue una distribución uniforme en el intervalo [130, b]. a) Obtener el valor de b si se sabe que P(x ≤ 140)=0.3 . b) ¿Cuántos mililitros contiene en promedio un vaso? c) Cuál es la probabilidad de que en un vaso se rebasen los 155 mililitros, dado que se sabe que hay más de 150 mililitros de café? 15 Se sabe que la variable aleatoria X tiene una distribución uniforme en el intervalo [a,b]. Si P(x>2)=1/3 y P(x<-1)=1/6: a) Encontrar los valores de a y b. b) Calcular P(-1.5
b)
Si se realizan 5 mediciones independientes ¿cuál es la probabilidad de que 2 de ellas estén entre 1.5 y 2?
17 Un meteorólogo hace una medición del tiempo al azar. Si las mediciones se distribuyen en forma uniforme en el intervalo [1, 4]: a) Calcular la probabilidad de que la medición esté entre 2.5 y 3. b) Si se realizan 6 mediciones independientes, encontrar la probabilidad de que 3 de ellas esten entre 2 y 3. 18 Un paracaidista cae aleatoriamente en un sitio de la línea entre las marcas A y B. Calcular la probabilidad de que: a) esté más cerca de A que de B. b) la distancia respecto a A sea más de 3 veces la distancia respecto a b.
Distribución exponencial
VII. 2. 4. Problemas
1.
Suponga que a un servicio de emergencia llegan los pacientes a razón de 1 paciente por cada 2 horas y su llegada se apega a un proceso de Poisson. ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen más de 1 pero menos de 3 pacientes en una hora?
2.
Si el tiempo de espera de los convoyes del metro en cualquier estación de la línea 1 está regida por una distribución exponencial con media de 3 minutos: a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya que esperar un convoy entre 2 y 4 minutos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya que esperar un convoy menos de 2 minutos? c) ¿Cuál es la probabilidad de que haya que esperar un convoy más de 5 minutos?
3.
Se sabe que la magnitud en grados Richter de los movimientos sísmicos se distribuyen exponencialmente. La magnitud promedio de los que ocurren en la costa del Estado de Guerrero es de 4.34. ¿Cuál es la probabilidad de que un movimiento sísmico supere los 6.3 grados Richter?.
4.
Con el objeto de realizar un estudio del flujo de vehículos en una carretera, un ingeniero de tránsito recopiló datos sobre del tiempo que transcurre entre el paso de un vehículo y el siguiente en determinado punto de una carretera. Si el tiempo medio entre el paso sucesivo de autos es de 8.33 segundos ¿Cuál es la probabilidad de que haya una duración en el paso sucesivo de vehículos de entre 9 y 11 segundos?
5.
Suponga que una máquina falla una vez cada 2 años y las fallas se rigen por un proceso de Piosson. Encuentre la probabilidad de que la máquina no falle durante el siguiente año.
6.
Suponga que el tiempo de espera para ser atendido en un banco corresponde a una distribución exponencial y que en promedio es de 15 minutos. Calcular la probabilidad de que el tiempo de espera sea:. a) Menor de 10 minutos. b) Entre 5 y 10 minutos.
7.
Un componente de un aparato de radio dura 1000 horas en promedio. Si la duración de la vida de esa parte sigue una distribución exponencial, determine la probabilidad de que su vida sea: a) superior a 200 horas b) inferior a 1200 horas c) entre 700 y 1100 horas d) ¿Cuál es la desviación estándar de su vida útil?
8.
El tiempo de espera en una cola de un banco para ser atendido, se apega a una distribución exponencial y en promedio hay que esperar 15 minutos. Calcular la probabilidad de que el tiempo de espera sea: a) menor de 10 minutos. b) entre 5 y 10 minutos.
9.
El tiempo entre fallas en un satélite de comunicación se apega a una distribución exponencial, con una media de 40 mil horas. Calcular la probabilidad de que el satélite funcione por lo menos durante 20 mil horas sin que falle.
10. El tiempo transcurrido para que falle un cinescopio está distribuido en forma exponencial con media de 3 años. Una compañía ofrece un seguro para este cinescopio por los primeros 5 años de uso ¿A qué porcentaje de asegurados deberá de pagar la compañía? 11. En cierta ciudad el consumo diario de agua en millones de litros, se apega aproximadamente a una distribución exponencial con media de 6 millones. Si un día la ciudad necesita 9 millones de litros ¿Cuál es la probabilidad de que el abastecimiento sea insuficiente? 12. Un sistema contiene cierto tipo de componentes cuya duración en años está distribuida exponencialmente con promedio de 6 años. ¿Cuál es la probabilidad de que un componente: a) funcione a lo más 7 años y 6 meses? b) Continúe funcionando después de 9 años? 13. Un productor de acumuladores ha observado que el promedio de vida de sus acumuladores es de 2.5 años. Si garantiza su producto por 2 años ¿qué porcentaje de
sus clientes se espera que reporten fallas durante el tiempo de garantía, suponiendo que el tiempo de vida de los acumuladores se apega a una distribución exponencial?. 14. Sea X una variable aleatoria continua con distribución exponencial, en la que E(x) = 3. Calcular: a) Var(x) b) P(x>3.5) c) P(0
La duración en minutos en preparar cierta golosina es un fenómeno aleatorio 20. con función: − ce f (t ) = 0
a)
t 3
si t > 0 de otra forma
Determinar el valor de c de forma que se tenga una función de densidad. b) Obtener la función de distribución. 21. Supóngase que un sistema contiene cierto tipo de componente cuya duración en años corresponde a una distribución exponencial y en promedio dura 6 años. Si en tal
sistema se instalan 10 de estos componentes, ¿cuál es la probabilidad de que a lo más 3 de ellos sigan funcionando después de 10 años? 22. Sea X una variable aleatoria exponencial, tal que:
F ( x )
0 = − 1 − e
si x ≤ 0 x
3
si x > 0
a) Encontrar f(x) b) Calcular E(x), Var(x), P(x≤3) 23. La duración en minutos de cierto experimento químico es una variable aleatoria con función de densidad:
1 e − f ( x ) = 100 0
x1 100
si x ≥ 0 de otra forma
Cinco componentes trabajan independientemente en un equipo, el cual falla si al menos 3 de los 5 componentes fallan. Calcular la probabilidad de que el equipo funcione al menos 255 horas sin fallar. 24. Sea X una variable aleatoria que se distribuye exponencialmente con media 2. Determinar el valor de a tal que P(x>a) = 0.5.
El tiempo de vida en horas de ciertos condensadores se distribuye 25. exponencialmente con media de 1000 horas. La compañía que produce estos condensadores desea garantizarlos por cierto tiempo. ¿Por cuántas horas se puede garantizar su funcionamiento, de tal forma que la probabilidad de que el condensador funcione después del número de horas garantizadas sea de 0.95? 26. Se sabe que la duración en horas de un foco tiene una distribución exponencial con media de 1200 horas. Si la empresa que los produce sólo desea reemplazar el 5% de los focos ¿Qué tiempo de garantía debe dar? 27. Suponga que los intervalos de tiempo en segundos que separan a los coches que llegan a una caseta de cobro de una autopista siguen una distribución exponencial. Si la probabilidad de que el cobrador permanezca por lo menos 20 segundos desocupado es 0.25 ¿Cuál es el valor de la media? 28. Supóngase que los años de vida de los habitantes de una ciudad, es una variable aleatoria que tiene una distribución exponencial con media de 50 años. Calcular la probabilidad de que una persona de esa ciudad: a) Rebase los 65 años b) Viva al menos 70 años, dado que ya celebró su cumpleaños 40. c) ¿Para qué valor de c se cumple que P(x>c) = 0.5
29. Considérese un equipo de radar cuyo comportamiento de fallas se apegue a una distribución exponencial. Si el radar falla en promedio una vez cada 10 horas, encontrar el valor del tiempo t , tal que haya una probabilidad de 0.9 de que el radar funcione satisfactoriamente durante un tiempo mayor que t . 30. El tiempo que transcurre para que una persona sea atendida en un restaurante es una variable aleatoria que tiene una distribución exponencial con media de 4 minutos. ¡Cuál es la probabilidad de que: a) ¿una persona sea atendida en menos de 3 minutos? b) si van 5 veces al restaurante, en 3 de ellas atiendan en menos de 3 minutos? 31. Sea X una variable aleatoria que se distribuye uniformemente en el intervalo [1, 3 y sea Y otra variable aleatoria continua que se distribuye exponencialmente con media λ . 2 2 Encontrar el valor de λ tal que σ x = σ y . 32. El tiempo para que falle cierto transistor de una televisión se comporta como una distribución exponencial con media de 750 horas. Se seleccionan 10 de estos componentes ¿Cuál es la probabilidad de que más de la mitad de ellos duren cuando menos 700 horas? 33. La falla de una resistencia en un circuito electrónico X está distribuida uniformemente en el intervalo [0, 2] y la falla en un condensador Y en el mismo circuito se distribuye exponencialmente con media λ . a) Encontrar λ si P ( X ≤ 1) = P (Y ≤ 1) b) Calcular P(Y>2) 34. La duración en años de cierta marca de refrigeradores se apega a una distribución exponencial y en promedio duran 6 años. Si en un pedido llegan 10 de esos refrigeradores ¿Cuál es la probabilidad de que a lo más 2 de ellos sigan funcionando después de 10 años? 35. Un componente electrónico tiene una vida de 4 años y su duración puede considerarse como una variable aleatoria que se apega a una distribución exponencial. Un aparato de sonido está armado con 6 de tales componentes y el aparato funcionará cuando trabajen al menos 2 de dichos componentes. ¿Cuál es la probabilidad de que el aparato eléctrico funcione después de la vida útil esperada de los componentes? 36. Suponga que para una zona del sur de México es posible modelar la actividad sísmica utilizando la distribución exponencial. Se sabe que la probabilidad de que un temblor sea mayor a 3.5 grados en la escala de Richter es 0.25. a) Encontrar la variancia de la variable aleatoria que mide la actividad sísmica en la escala de Richter. b) Calcular la probabilidad de que 3 de 5 temblores superen los 4 grados en la escala de Richter. Distribución normal
VII. 3. 5. Problemas
1
El tiempo de incapacidad por enfermedad de los empleados de una compañía en un mes, tiene una distribución normal con media de 100 horas y desviación estándar 20 horas. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo por incapacidad de de un mes seleccionado al azar se encuentre entre 50 y 80 horas ?
2
El tiempo requerido para ensamblar una pieza mecánica, es una variable aleatoria que se apega a una distribución normal con media 12.9 minutos y desviación estándar 2 minutos. Encontrar la probabilidad de que el ensamble de la pieza mecánica dure : a) al menos 11.5 minutos. b) entre 11 y 14.8 minutos.
3
La edad en que se presenta determinada enfermedad en los niños se distribuye normalmente, con media 10 años y desviación estándar 2 años. Si un niño contrajo la enfermedad ¿cuál es la probabilidad de que su edad esté; a) entre 8 y 12 años ? b) por encima de los 11 años ? c) por debajo de los 12 años ?
4
El tiempo promedio de bajada de los esquiadores de una competencia es de 8.72 minutos con desviación estándar de 1 minuto. ¿Cuál es la probabilidad de que un esquiador seleccionado al azar baje en : a) al menos 8.8 minutos ? b) a lo más 7 minutos ? c) entre 6.8 y 7.9 minutos ?
5
Si las calificaciones de coeficiente intelectual de un grupo de estudiantes están normalmente distribuidas, co media 100 y desviación estándar13 : a) calcular la probabilidad de que si se selecciona un estudiante al azar , su coeficiente intelectual sea mayor de 133. b) ¿Qué porcentaje de estudiantes tendrán un coeficiente intelectual de cuando mucho 90 ?
6
Las calificaciones para el examen de admisión a cierta Universidad se apegan a una distribución normal, con media 500 y desviación estándar100. a) Calcular la probabilidad de que un un estudiante obtenga una calificación de entre 325 y 675. b) ¿Qué porcentaje de estudiantes obtendrán calificaciones menores de 400 ?
7
Los pesos de los pernos que produce una compañía se distribuyen normalmente, con media 8 kilogramos y desviación estándar 0.9 kilogramos. Si se selecciona un perno al azar, encontrar la probabilidad de que su peso se encuentre : a) arriba de 9.5 kilogramos. b) entre 7.3 y 9.1 kilogramos.
8
Supóngase que las calificaciones de un examen se distribuyen en forma normal, con media 76 puntos y desviación estándar15 puntos. a) Si el 10% de las calificaciones más bajas reprueban el curso, calcular la calificación mínima para aprobar. b) Si el grupo consta de 50 alumnos ¿cuántos alumnos se espera que obtengan calificaciones entre 74 y 80 puntos ? c) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno seleccionado al azar obtenga calificación mayor de 79 puntos ?
9
Un profesor de gimnacia califica a sus alumnos por la altura que salten. El promedio de altura saltada es de 1.42 metros, con desviación estándar de 10 centímetros. Si califican con A el 20% de los alumnos que más salten ¿cuál es la altura mínima que debe saltar un alumno para obtener calificación A ?
10 El coeficiente de inteligencia de 600 solicitudes para ingresar a una escuela se distribuye aproximadamente en forma normal, con media de 115 y variancia de 144. Si la escuela exige un coeficiente mínimo de 100, ¿cuántos estudiantes se espera que sean rechazados ? 11 Cierto tipo de batería para automóvil tiene un tiempo de vida distribuido normalmente, con media 1200 días y desviación estándar 100 días. ¿Por cuánto tiempo se deben garantizar las baterías, si el fabricante sólo quiere reemplazar el 10% de las baterías vendidas ? 12 Los diámetros de los tubos que se usan en un sistema de desagüe se distribuyen de acuerdo a una distribución normal, con media de 950 milímetros y desviación estándar de 10 milímetros. Si se selecciona un tubo al azar: a) ¿Cuál es la probabilidad de qu el tubo tenga un diámetro entre 947 y 958 milímetros? b) ¿Cuál debe ser el valor de “c”, de modo que la probabilidad de que un tubo que tiene un diámetro menor que “c” sea 0.85? 13 El diámetro de las barras de acero que produce una empresa están distribuidos normalmente con media de 0.9 centímetros y desviación estándar de 0.002 centímetros. Los límites de especificación en el proceso de fabricación están dados como 0.9 ± 0.005 centímetros. ¿Qué porcentaje de barras serán defectuosas? 14 Se sabe que los resultados de un examen de física tienen una distribución normal, con media 70 puntos y variancia 36 puntos cuadrados. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona apruebe el examen, si la calificación mínima aprobatoria es de 65 puntos? b) ¿Cuál debe ser la calificación mínima para que pasen el 80% de los que presentan el examen? 15 Un rodamiento es rechazado, si su diámetro es mayor que 2.02 centímetros o menor que 1.96 centímetros. ¿Cuál será el número de rodamientos rechazados, si los
diámetros de una partida de 10 mil rodamientos están distribuidos normalmente, con media de 2 centímetros y desviación estándar de 0.01 centímetros?. 16 Las calificaciones obtenidas en un examen por los aspirantes a un trabajo, tienen una distribución aproximadamente normal, con media 85 y desviación estándar 4. a) ¿Qué porcentaje de aspirantes tendrán una calificación superior a 90? b) Si para aprobar el examen se requiere obtener una calificación superior a 80 ¿cuál es la probabilidad de que una persona apruebe el examen? 17 Suponga que las calificaciones de un examen están distribuidos normalmente, con media 76 puntos y desviación estándar 15 puntos. El 15% de las mejores calificaciones reciben A y el 10% de las más bajas obtienen R. Encontrar la calificación mínima para: a) obtener A. b) aprobar, esto es, no recibir R. 18 El número de palabras por minuto de las mecanógrafas de una compañía se distribuye normalmente, con media 90 y desviación estándar 16. Si se selecciona al azar a una mecanógrafa: a) Encontrar la probabilidad de que el número de palabras que escriba por minuto este entre 82 y 98. b) Si el 15% de las mecanógrafas más deficientes asisten a un curso de capacitación ¿cuál será mínimo número de palabras por minuto para no asistir a dicho curso? 19 Un automovilista ha observado que el tiempo promedio empleado en ir de la casa a la oficina es de 30 minutos, con desviación estándar de 5 minutos. ¿Cuántos días del año espera llegar tarde a su trabajo, si todos los días sale de su casa a las 8:20 horas y debe llegar a su oficina a las 9:00 horas?. Considérese que el empleado trabaja 260 días al año. 20 Supóngase que z tiene distribución normal. Determinar k tal que P(|z| ≥ k)= 14 . 21 Ciertos bastoncillos de plástico son cortados automáticamente por una máquina. Las longitudes reales están distribuidas normalmente, con media de 6 centímetros y desviación estándar de 0.06 centímetros. a) Si los bastoncillos deben estar entre 5.9 centímetros a 6.1 centímetros ¿Qué porcentaje de bastoncillos se salen de los límites de aceptación? b) ¿Qué valor debe tener la desviación estándar para que el 99% de los bastoncillos estén dentro de los límites de aceptación? 22 Se acepta que la vida útil de cierta marca de baterías para automóvil se apega a una distribución normal, con media 38 meses y desviación estándar 2 meses. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una batería cualquiera dure más de 40 meses? b) Si la compañía no desea reemplazar más del 5% de las baterías vendidas ¿Qué tiempo de garantía debe dar?
23 Un fabricante de lavadoras asegura que la vida media del modelo que produce dura, bajo condiciones normales de trabajo en el hogar, 5.75 años, con una desviación estándar de 2 años. Si la vida de este modelo se apega a una distribución normal : a) ¿Qué garantía debe ofrecer el fabricante, si está dispuesto a reparar únicamente una de cada 100 lavadoras vendidas ? b) Si da garantía por 2 años ¿qué porcentaje de máquinas necesitarán reparación antes de que expire dicha garantía? 24. Suponga que la variable aleatoria X tiene una distribución normal con media 10 y variancia 9. Determinar el valor de “c” tal que P(x ≤ c)=2 P(x>c) . 25. El diámetro de un cable eléctrico está distribuido normalmente, con media 19.558 milímetros y desviación estándar 0.254 milímetros. Un cable se considera defectuoso si su diámetro se desvía de la media en más de 0.508 milímetros. ¿Qué porcentaje de cables defectuosos se fabricarán? 26. El propietario de un restaurante ha observado que la demanda de carne de res en su negocio tiene una distribución normal con media de 240 kilogramos y desviación estándar de 23 kilogramos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un día cualquiera se consuman más de 300 kilogramos de carne de res? b) ¿Qué cantidad de carne de res debe estar disponible diariamente para que la probabilidad de que se agote la dotación no sea mayor de 0.01? 27. Las calificaciones obtenidas en un examen de admisión a una escuela tienen una distribución normal, con media 85 puntos y desviación estándar 4 puntos. a) Si el 10.56% de los que presentan el examen obtienen calificación MB ¿cuál es la calificación mínima para obtener calificación MB ? b) Obtener un intervalo simétrico al rededor de la media, de forma que ahí se ubiquen el 80% de las calificaciones. 28. El tiempo de incapacidad por enfermedad de los empleados de una compañía en un mes, tiene una distribución normal con media 100 horas y desviación estándar 20 horas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo por incapacidad de un mes cualquiera se encuentre entre 50 y 80 horas ? b) ¿Cuánto tiempo de incapacidad deberá haber para que la probabilidad de excederlo sea de 10% ? c) Si ingresan 8 empleados en un mes ¿cuál es la probabilidad de que más de 6 permanezcan entre 50 y 80 horas con incapacidad ? 29. La vida útil de las lámparas eléctricas de cierta marca está distribuida normalmente con media 850 horas y desviación estándar 50 horas. Si se revisan 4 lámparas seleccionadas al azar ¿cuál es la probabilidad de que 3 lámparas duren por lo menos 822 horas ?
30. En un examen de química la puntuación promedio fue de 82 puntos, con desviación estándar de 5 puntos. Los estudiantes con puntuación de 88 a 94 puntos obtuvieron calificación B. Si las calificaciones tienen una distribución aproximadamente normal y 8 estudiantes recibieron calificación B ¿Cuántos estudiantes presentaron el examen? 31. Una empacadora automática empaca paquetes de azúcar cuyo peso tiene una distribución normal con desviación estándar 2 gramos. ¿Cuál es el peso promedio del contenido, si el 90% de los paquetes contienen menos de 500 gramos de azúcar? 32 El gerente de crédito de una tienda estima que las pérdidas anuales por deudas se apegan a una distribución normal, con media de 30 mil pesos. Si la probabilidad de que una deuda sea mayor de 35 mil pesos es 0.25 ¿cuál es la desviación estándar? 33. Un fabricante de clavos vende su producto en cajas. Se sabe que los pesos en kilogramos de las cajas se apegan a una distribución normal con variancia 0.0001. ¿Cuál debe ser el peso medio de las cajas para que el 90% pese al menos un kilogramo? 34. En una fábrica de gelatinas en polvo, la distribución de pesos de los sobres se apega a una distribución normal, con desviación estándar de 1.4 gramos. a) Si el 1% de los sobres pesa más de 56 gramos ¿cuál es el valor de la media ? b) Un sobre cualquiera no pasa el control de calidad si se desvía de la media en al menos 4 gramos. Si un día se fabrican 3 mil sobres ¿cuántos de ellos se espera que sean rechazados? 35. Una empresa periodística desea publicar una edición especial de una revista. El gerente sabe que las ventas se distribuyen normalmente con media de 100 mil ejemplares y piensa que hay una probabilidad de 0.2 de que se vendan más de 120 mil ejemplares. ¿Cuál es el valor de la desviación estándar? 36. Una fábrica produce pistones cuyo diámetro se distribuye normalmente, con un diámetro medio de 10 centímetros y desviación estándar de 0.002 centímetros. Para que un pistón se considere bueno para salir al mercado debe encontrarse dentro del intervalo [9.996, 10.003]. Si el diámetro del pistón es inferior de 9.996 centímetros se desecha y si es mayor que 10.003 centímetros se reprocesa. a) ¿Qué porcentaje de pistones salen al mercado? b) ¿Cuáles deben ser los límites del intervalo, para que sólo el 0.51% de los pistones sean desechados y el 2% sean reprocesados? 37. Supóngase que la estatura en centímetros de las personas de 21 años es un fenómeno aleatorio que se apega a la distribución normal, con media 170 centímetros y variancia 25 centímetros cuadrados. Si se sabe que una persona mide más de 160 centímetros ¿cuál es la probabilidad de que mida más de 172 centímetros? 38. La resistencia de los alambres que se usan en una computadora está distribuida normalmente. Si el 8% de estos alambres soportan una resistencia de más de 100 ohms y el 25% soportan menos de 95 ohms, encontrar la media y desviación estándar.
39. La vida útil de cierta marca de pilas está distribuida normalmente. Si el 6.68% de las pilas duran más de 56 horas y el 30.85% duran menos de 52 horas ¿cuál es la media y desviación estándar ? 40. En una prueba de aptitudes para el ejercicio se reporta que el 10% de los universitarios graduados que realizan la prueba obtienen calificación de 1120 o menos y el 10% obtienen 1400 puntos o más. Suponga que las calificaciones se distribuyen normalmente. a) Encontrar la media y desviación estándar. b) Calcular la probabilidad de que una persona obtenga calificación de cuando menos 1100 puntos. 41. Se sabe que el tiempo que tarda un jefe de personal en entrevistar a los aspirantes para una vacante en la compañía sigue una distribución normal. Si el 10% de los entrevistados tardan más de 80 minutos y el 4% duran menos de 35 minutos, calcular el tiempo medio y la desviación estándar. 42. Las alturas de los edificios de cierta colonia están distribuidas normalmente. Se sabe que el 2.28% miden más de 14 metros y el 84.13% miden manos de 12 metros. Encontrar la media y desviación estándar. 43. Supóngase que los pesos en kilogramos de las personas de una población están distribuidos normalmente. Se sabe que P(x ≤ 160)=0.5 y P(x ≤ 140)=0.25 . Obtener los valores de la media y desviación estándar. 44. Supóngase que una variable aleatoria X tiene una distribución normal, en la que E(X 2 ) = 68 y P(x<10)=0.8159. Calcular la probabilidad de que P(x ≥ 11) .
Problemas aproximación normal a binomial
VII.4.3. Problemas
1.
Para decidir acerca de la comercialización de un nuevo artículo, una compañía acuerda seleccionar una muestra aleatoria de 100 personas de su lista de clientes y ofrecerles el artículo. Si 30 o más de esos clientes están dispuestos a adquirirlo procederán a su comercialización y de suceder lo contrario no se comercializará. ¿Cuál es la probabilidad de que se comercialice el artículo, si se sabe que el 20% de sus clientes comprarían el artículo?
2.
Se sabe que el 15% de las lámparas que produce una fábrica están defectuosas. Si se seleccionan aleatoriamente 200 lámparas, encontrar la probabilidad de que a lo más 25 o al menos 40 estén defectuosas?
3.
Supóngase que el 10% de los alumnos que presentan examen de Estadística a título de suficiencia lo aprueban. Si en un grupo se presentan 60 alumnos a dicho examen ¿Cuál es la probabilidad de que aprueben: a) Más de 7 alumnos? b) Cinco alumnos?
4.
Si el nacimiento de un niño es igualmente probable que el nacimiento de una niña, encontrar la probabilidad de que de los próximos 200 nacimientos: a) Más del 40% sean niños. b) Entre el 43% y el 57% sean niñas.
5.
Se lanzan 400 veces una moneda legal. Encontrar la probabilidad de obtener: a) Entre 185 y 210 soles. b) Menos de 176 o más de 227 soles.
6.
Se sabe que el 15% de los criminales convictos han sido condenados anteriormente en un Estado diferente a aquel en el que se encuentran recluidos. Si se seleccionan aleatoriamente 200 criminales actualmente convictos ¿Cuál es la probabilidad de que menos de 30 o más de 40 hayan tenido una cadena previa en otro estado?
7.
El 10% de los habitantes de cierta ciudad viven en zona residencial, Si se selecciona una muestra al azar de 150 habitantes de dicha ciudad ¿Cuál es la probabilidad de que a lo más 20 vivan en zona residencial?
8.
Si el 64% de los ajedrecistas de un país son varones ¿Cuál es la probabilidad de que si se seleccionan aleatoriamente 400 ajedrecistas haya 250 0 más varones?
9.
La probabilidad de que un vaso resista una prueba de caída libre es de 0.6. Si se prueban independientemente 100 vasos seleccionados al azar ¿Cuál es la probabilidad de que no menos de 60 ni más de 70 resistan la prueba?
10. Méndel observó que al sembrar semillas de cierto tipo el 75% de las plantas eran altas y el 25% enanas. Si se siembran 100 semillas de este tipo ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos 28 sean enanas? 11. Suponga que el 10% de los habitantes de cierta ciudad padecen glaucoma. Si se selecciona una muestra al azar de 150 habitantes de la ciudad ¿Cuál es la probabilidad de que a lo más 20 padezcan glaucoma? 12. Un ingeniero de seguridad industrial sabe que el 30% de los accidentes que ocurren en la fábrica se deben a que los trabajadores no siguen las normas de seguridad. Calcular la probabilidad de que si ocurren 84 accidentes en la fábrica, entre 20 y 30 sean causados por no seguir las normas de seguridad. 13. Si el 64% de los alumnos de UPIICSA-IPN son varones ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria de 400 alumnos contenga cuando menos 250 varones?
14. Se sabe que en una población la probabilidad de que cada individuo mida más de 1.76 metros es 0.3. Se observa aleatoriamente a 900 individuos ¿Cuál es la probabilidad de que a lo más el 27% de los individuos observados midan más de 1.76 metros? 15. La probabilidad de que una resistencia resista una sobrecarga eléctrica es 0.6. Si se prueban independientemente 200 resistencias ¿Cuál es la probabilidad de que: a) Ni menos de 120 ni más de 135 de ellas soporten la prueba? b) Al menos 110 la resistan? 16. Un fabricante sabe que el 2% de los tostadores que produce requieren reparación en los primeros 90 días de uso. Determinar la probabilidad de que si se fabrican 1200 tostadores, al menos 30 requieran reparación en los primeros 90 días de uso. 17. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 1578 niños o más en 3 mil nacimientos, suponiendo que la probabilidad del nacimiento de un niño es igual al nacimiento de una niña y que todos los nacimientos son independientes? 18. La probabilidad de que cierto tipo de transistor dure más de 2 mil horas de uso es 0.6. Si se seleccionan 100 transistores al azar ¿Cuál es la probabilidad de que: a) No menos de 60 ni más de 70 duren más de 2 mil horas? b) Al menos 50 duren más de 2 mil horas? 19. El 3% de las cartas que se envían a cierta ciudad no llevan timbres postales correctos. En 500 de dichas cartas: a) ¿Cuántos timbres incorrectos se espera encontrar? b) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar 5 ó menos cartas con timbres incorrectos? 20. Un fabricante de medicamentos asegura en su propaganda que cierta medicina cura una enfermedad sanguínea el 80% de las veces. Para comprobar lo anterior, personal de una oficina gubernamental aplica la medicina a 100 individuos y decide aceptar lo que asegura el fabricante si se curan 75 ó más enfermos. ¿Cuál es la probabilidad de rechazar la propaganda? 21. La probabilidad de que un fusible funcione adecuadamente bajo condiciones de diseño es 0.98. Si se seleccionan 1000 fusibles al azar de la línea de producción, calcular la probabilidad de que 27 ó más sean defectuosos. 22. El 30% de los estudiantes una escuela usa lentes. Si se seleccionan 200 alumnos aleatoriamente ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos 70 de ellos usen lentes?
Se sabe que el 10% de los transistores de cierta marca se queman antes del 23. tiempo de garantía. Si se venden 100 de esos transistores ¿Cuál es la probabilidad de que: a) Se tengan que sustituir por lo menos 18 de ellos? b) Se tengan que sustituir por lo menos2 y no más de 15 transistores?
