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Gilberto de Andrade Martins

Estatística Geral e Aplicada

Solução dos Exercícios 2a Edição

SÃO PAULO EDITORA ATLAS S.A. – 2002

Soluções e Respostas Capítulo 2 – Estatística Descritiva SÉRIE I 2.1 Oceano

Antártico

Ártico

Atlântico

Índico

Pacífico

Área (milhões km2)

36,8

23,2

199,4

137,9

342,7

Área (milhões km2)

Área dos Oceanos (em colunas) 400 350 300 250 200 150 100 50 0 Antártico

Ártico

Atlântico

Índico

Pacífico

Oceano

Área dos Oceanos (em barras)

Oceanos

Pacífico Índico Atlântico Ártico Antártico 0

50

100

150

200

250

Área (milhões km2)

300

350

400

Área dos Oceanos (em pizza)

5%

3% Antártico Ártico

27%

46%

Atlântico Índico Pacífico

19%

2.2 Natureza

Valor

Dívida externa líquida

111631

Governo federal e Bacen

248292

Governos estaduais e municipais

167850

Empresas estatais

13324

Dívida líquida total do setor público de maio de 2000 (em colunas) 300000

Valor

250000 200000 150000 100000 50000 0 Dívida externa líquida

Governo federal e Bacen

Governos estaduais e municipais

Empresas estatais

Natureza

Dívida líquida total do setor público de maio de 2000 (em barras)

Natureza

Empresas estatais Governos estaduais e municipais Governo federal e Bacen Dívida externa líquida 0

50000

100000

150000 Valor

200000

250000

300000

Dívida líquida total do setor público de maio de 2000 (em pizza)

2%

21%

Dívida externa líquida

31%

Governo federal e Bacen Governos estaduais e municipais Empresas estatais 46%

2.3 a) Amplitude: r = 97 – 33 = 64 Nº de intervalos: k • 1 + 3,22 * log50 • 7 Tamanho do intervalo: h • 64 / 7 • 10 Classe

Intervalos

Fi

fi

1

30 • 40

4

0,08

2

40 • 50

6

0,12

3

50 • 60

8

0,16

4

60 • 70

13

5

70 • 80

9

6

80 • 90

7

90 • 100

Somas

%

Fac

fac

%ac

xi

8

4

12

10

0,,08

8

35

0,20

20

16

45

18

0,36

36

55

0,26 0,18

26

31

0,62

62

65

18

40

0,80

80

75

7 3

0,14

14

47

0,94

94

85

0,06

6

50

1,00

100

50

95

1

100

b) His togr ama de Fr eqüênc ia A bs oluta 14 12

Fi

10 8 6 4 2 0 30 • 40

40 • 50

50 • 60

60 • 70

70 • 80

Inter v alos de Clas s es

80 • 90

90 • 100

His tograma de Fr eqüênc ia Relativ a 0,3 0,25

fi

0,2 0,15 0,1 0,05 0 30 • 40

40 • 50

50 • 60

60 • 70

70 • 80

80 • 90

90 • 100

Inter v alos de Clas s es

c) 60 • 70. d) 19 alunos. e) x1 = 35. 2.4 a) Amplitude: r = 190 – 151 = 39. b) Nº de intervalos: k • 1 + 3,22 * log100 • 8. c) Tamanho do intervalo: h • 39 / 8 • 5. d) e e) Classe

Intervalos

Fi

fi

%

Fac

fac

%ac

xi

1

151 • 156

4

0,04

4

4

0,04

4

153,5

2

156 • 161

4

0,04

4

8

0,08

8

158,5

3

161 • 166

11

0,11

11

19

0,19

19

163,5

4

166 • 171

33

0,33

33

52

0,52

52

168,5

5

171 • 176

17

0,17

17

69

0,69

69

173,5

6

176 • 181

17

0,17

17

86

0,86

86

178,5

7

181 • 186

9

0,09

9

95

0,95

95

183,5

8

186 • 191

5

0,05

5

100

1,00

100

188,5

100

1

100

Ó

f)

His tograma de Fr eqüênc ia A bs oluta 35 30

Fi

25 20 15 10 5 0 151 • 156

156 • 161

161 • 166

166 • 171

171 • 176

176 • 181

181 • 186

186 • 191

Inter v alos de Clas s es

His tograma de Fr eqüênc ia Relativ a 0,35 0,3 0,25 fi

0,2 0,15 0,1 0,05 0 151 • 156

156 • 161

161 • 166

166 • 171

171 • 176

176 • 181

181 • 186

186 • 191

Inter v alos de Clas s es

g) A menor altura é 1,51 m, enquanto a maior altura atinge 1,90m. Entre 1,66 e 1,70m, encontram-se 33% do total. A quantidade de pessoas altas é maior do que a proporção de pessoas com estaturas mais baixas – 48% = 17% + 17% + 9% + 5% têm alturas superiores a 1,70 m, enquanto 19% = 11% + 4% + 4% possuem alturas inferiores a 1,65m. 2.5 -

SÉRIE II 2.6 xmedia = Ónotas / nº de notas = 35,5 / 7 = 5,07 ou seja, aluno APROVADO. 2.7 xmedia = Ódefeitos / nº de computadores = (15 * 0 + ... + 6 * 6) / 100 = 2,21. 2.8 a) xmedia = (Óxi * Fi) / n = (3 * 2 + ...+ 12 * 3) / 22 = 6,82. b) xmedia = (Óxi * Fi) / n = (10 * 5 + ... + 13 * 6) / 29 = 11,59. c) xmedia = (Óxi * Fi) / n = (2 * 3 + ... + 6 * 3) / 28 = 4. d) xmedia = (Óxi * fi) = (7 * 1/16 + ... + 11 * 5/16) = 9,03. e) xmedia = (Óxi * Fi) / n = (85 * 5 + ... + 90 * 5) / 24 = 87,88. f)

xmedia = (Óxi * Fi) / n = (5 * 18 + ... + 17 * 12) / 175 = $ 1061,00.

2.9 Média aritmética dos dados não agrupados = Ó obs ervações / n = 3230 / 50 = 64,60. Média aritmética dos dados agrupados= (Óxi * Fi) / n = (4 * 35 + ... + 3 * 95) / 50 = 65. Diferença: 64,60 – 65 = – 0,4. 2.10 Média aritmética dos dados não agrupados = Ó obs ervações / n = 17138 / 100 = 171,38. Média aritmética dos dados agrupados= (Ó xi * Fi) / n = (4 *153,5 + ... + 5 * 188,5) / 100 = 171,85. Diferença: 171,38 – 171,85 = – 0,47 m. 2.11 -

SÉRIE III 2.12 I) xmediana (n ímpar ) = 4. II) xmediana (n par) = 5. III) xmediana (n ímpar) = 8. IV) xmediana (n par) = 87. 2.13 I) xmediana (n par ) = 4. II) xmediana (n ímpar) = 77. III) xmediana (n par) = 13. IV) xmediana (n ímpar) = 235. 2.14 I) n / 2 = 29 / 2 = 14,5 xmediana = lMd + [(n / 2 – Óf) * h] / FMd = 5 + [(14,5 – 8) * 2] / 8 = 6,63. II) n / 2 = 93 / 2 = 46,5 xmediana = lMd + [(n / 2 – Óf) * h] / FMd = 28 + [(46,5 – 43) * 3] / 30 = 28,35. 2.15 I) Maior número de observações iguais, Mo = 7. II) Maior número de observações iguais, Mo = 43. 2.16 I) Maior número de observações iguais, Mo = 80. II) Maior número de observações iguais, Mo = 3,5. 2.17 I) Maior número de observações iguais 13 • 16 Mo = lMo + [Ä1 / (Ä1 + Ä2)] * h = 13 + [5 / (5 + 5)] * 3 = 14,5. II) Maior número de observações iguais 20 • 30 Mo = lMo + [Ä1 / (Ä1 + Ä2)] * h = 20 + [5 / (5 + 3)] * 10 = 26,25. 2.18

I) i * n / 10 = 6 * 35 / 10 = 21 Di = lDi + [(i * n / 10 – Óf) * h] / FDi = 8 + [(21 – 15) * 2] / 15 = 8,08, ou seja, 60% dos valores da amostra estão abaixo do valor 8,08. i * n / 100 = 65 * 35 / 100 = 22,75 Pi = lPi + [(i * n / 100 – Óf) * h] / FPi = 8 + [(22,75 – 15) * 2] / 15 = 9,03, ou seja, 65% dos valores da amostra estão abaixo do valor 9,03. i * n / 4 = 35 / 4 = 8,70 Qi = lQi + [(i * n / 4 – Óf) * h] / FQi = 6 + [(8,70 – 4) * 2] / 11 = 6,86, ou seja, 25% dos valores da amostra estão abaixo do valor 6,86. II) i * n / 10 = 2 * 24 / 10 = 4,8 Di = lDi + [(i * n / 10 – Óf) * h] / FDi = 30 + [(4,8 – 3) * 10] / 5 = 33,60, ou seja, 20% dos valores da amostra estão abaixo do valor 33,60. i * n / 100 = 43 * 24 / 100 = 10,32 Pi = lPi + [(i * n / 100 – Óf) * h] / FPi = 40 + [(10,32 – 8) * 10] / 10 = 42,32, ou seja, 43% dos valores da amostra estão abaixo do valor 42,32. i * n / 4 = 3 * 24 / 4 = 18 Qi = lQi + [(i * n / 4 – Óf) * h] / FQi = 40 + [(18 – 8) * 10] / 10 = 50,00, ou seja, 75% dos valores da amostra estão abaixo do valor 50,00. 2.19 a) xmedia = (Óxi * Fi) / n = (0 * 20 + ...+ 4 * 3) / 53 = 1,17 acidentes por dia. b) xmediana (n ímpar ) = 1. c) Maior número de observações iguais, Mo = 0. d) P% = (10 + 5 + 3) / 53 = 34%. 2.20 a) Xi

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Fi

1

1

5

6

3

2

3

2

0

1

b) xmedia = (Óxi * Fi) / n = (1 * 1 + ...+ 10 * 1) / 24 = 4,83. xmediana (n par ) = 4. Maior número de observações iguais, Mo = 4. 2.21 a) xmedia = (Óxi . Fi) / n = (12 * 15 + ...+ 40 * 5) / 163 = 22,99 anos. b) n / 2 = 163 / 2 = 81,50, ou seja, no intervalo 18 • 22 Xmediana = lXmed + [(n / 2 – Óf) * h] / FXmrd = 18 + [(81,50 – 43) * 4] / 40 = 21,85 anos. c) Maior número de observações iguais 18 • 22 Mo = lMo + [Ä1 / (Ä1 + Ä2)] * h = 18 + [12 / (12 + 10)] * 4 = 20,18 anos é a idade mais freqüente da amostra. d) i * n / 10 = 3 * 163 / 10 = 48,90 Di = lDi + [(i * n / 10 – Óf) * h] / FDi = 18 + [(48,90 – 43) * 4] / 40 = 18,59, ou seja, 30% das pessoas deste grupo têm idade inferior a 18,59.

e) i * n / 4 = 163 / 4 = 40,75 Qi = lQi + [(i * n / 4 – Óf) * h] / FQi = 14 + [(40,75 – 15) * 4] / 28 = 17,58. f)

i * n / 100 = 80 * 163 / 100 = 130,40 Pi = lPi + [(i * n / 100 – Óf) * h] / FPi = 26 + [(130,40 – 113) * 4] / 20 = 29,48, ou seja, 20% das pessoas deste grupo têm idade superior a 29,48.

2.22 a) Amplitude: r = 98 – 33 = 65. b) Nº de intervalos: k• 1 + 3,22 * log50 • 7. c) Tamanho do intervalo: h • 65 / 7 • 10. d) e)

f)

g)

e

h)

Classe

Intervalos

Fi

fi

XI

1

30 • 40

4

0,08

35

4

2

40 • 50

6

0,12

45

10

3

50 • 60

8

0,16

55

18

4

60 • 70

12

0,24

65

30

5

70 • 80

9

0,18

75

39

6

80 • 90

7

0,14

85

46

7

90 • 100

4

0,08

95

50

50

1

Ó

Fac

i) His to g r a ma d e Fr e q ü ê n c ia A b s o lu ta 14 12

Fi

10 8 6 4 2 0 30 • 40

40 • 50

50 • 60

60 • 70

70 • 80

80 • 90

90 • 100

In te r v a lo s d e Cla s s e s

j)

xmedia = (Óxi . Fi) / n = (35 * 4 + ...+ 95 * 4) / 50 = 65,60.

l)

Maior número de observações iguais 60 • 70 Mo = lMo + [Ä1 / (Ä1 + Ä2)] * h = 60 + [4 / (4 + 3)] * 10 = 65,71.

m) n / 2 = 50 / 2 = 25, ou seja, no intervalo 60 • 70 Xmediana = lXmed + [(n / 2 – Óf) * h] / FXmrd = 60 + [(25 – 18) * 10] / 12 = 65,38, ou seja, 50% das notas deste grupo estão abaixo de 65,38. n) i * n / 4 = 50 / 4 = 12,50

Qi = lQi + [(i * n / 4 – Óf) * h] / FQi = 50 + [(12,50 – 10) * 10] / 8 = 53,125, ou seja, 25% dos alunos deste grupo tiraram notas inferiores a 53,125. o) i * n / 100 = 55 * 50 / 100 = 27,50 Pi = lPi + [(i * n / 100 – Óf) * h] / FPi = 60 + [(27,50 – 18) * 10] / 12 = 67,92, ou seja, 45% dos alunos deste grupo tiraram notas superiores a 53,125.

SÉRIE IV 2.23 a) Amplitude: r = 12 – 2 = 10. 2

2

2

b) S = 1 / (n – 1) * [Óxi – (Óxi) / n] = 1 / (7 – 1) * [347 – (1849) / 7] = 13,81. 2 1/2

c) S = (S )

= (13,81)

1/2

= 3,72.

2.24 xi2 * Fi

Intervalos

Fi

xi

2• 4

3

3

9

27

4• 6

5

5

25

125

6• 8

8

7

56

392

8 • 10

6

9

54

486

10 • 12

3

11

Ó

25

2

2

xi * Fi

33

363

177

1393

2

2

S = 1 / (n – 1) * [Ó(xi * Fi) – (Óxi * Fi) / n] = 1 / (25 – 1) * [1393 – (177) / 25] = 5,83. 2.25 Intervalos

Fi

xi

xi * Fi

xi2 * Fi

40 • 45

4

42,5

170

7225

45 • 50

10

47,5

475

22562,5

50 • 55

15

52,5

787,5

41343,75

55 • 60

8

57,5

460

26450

60 • 65

5

62,5

312,5

19531,25

65 • 70

3

67,5

202,5

13668,75

Ó

45

2407,5

130781,25

a) xmedia = (Óxi . Fi) / n = 2407,5 / 45 = 53,5 kg. 2

2

2

2

b) S = 1 / (n – 1) * [Ó(xi * Fi) – (Óxi * Fi) / n] = 1 / (45 – 1) * [130781,25 – (2407,5) / 45] = 45 kg. c) CV = (S / xmedia) * 100 = (6,71 / 53,5) * 100 = 12,54%. d) Maior número de observações iguais 50 • 55 Mo = lMo + [Ä1 / (Ä1 + Ä2)] * h = 50 + [5 / (5 + 7)] * 5 = 52,08 kg AS = (xmedia – Mo) / S = (53,5 – 52,08) / 6,71 = 0,21, portanto, a distribuição não é simétrica. 2.26 xmedia = (Óxi . Fi) / n = (2 * 2 + ... + 10 * 2) / 7 = 6. CV = (S / xmedia) * 100 = (3,02 / 6) * 100 = 50,33%, portanto, a amostra tem elevada dispersão. 2.27

CVA = (SA / xmediaA) * 100 = (40 / 150) * 100 = 26,67% CVB = (SB / xmediaB) * 100 = (50 / 200) * 100 = 25,00% CVC = (SC / xmediaC) * 100 = (60 / 300) * 100 = 20,00% a) A tem desvio padrão de 40, portanto, é a caixa com menor variação absoluta na pressão de ruptura. b) A tem o coeficiente de variação de 26,67%, portanto, é a caixa com maior variação relativa na pressão de ruptura. 2.28 a) Amplitude: r = 44 – 14 = 30 Nº de intervalos: k• 1 + 3,22 * log30 • 6 Tamanho do intervalo: h • 30 / 6 • 5 Classe

Intervalos

Fi

1

14 • 19

4

2

19 • 24

6

3

24 • 29

5

4

29 • 34

4

5

34 • 39

2

6

39 • 44

9

Ó

30

b)

Fi

His to g r a ma d e Fr e q ü ê n c ia A b s o lu ta 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 14 • 19

19 • 24

24 • 29

29 • 34

34 • 39

39 • 44

In te r v a lo s d a s Cla s s e s

c) xmedia = (Óxi . Fi) / n = (16,5 * 4 + .. + 41,5 * 9) / 30 = 900 / 30 = 30 anos. 2 2 2 2 S = 1 / (n – 1) * [Ó(xi * Fi) – (Óxi * Fi) / n] = 1 / (30 – 1) * [29507,5 – (900) / 30] = 86,47 2 1/2 1/2 S = (S ) = (86,47) = 9,30. 2.29 a) xmedia = 45 s 2 1/2 1/2 S = (S ) = (400) = 20 s CV1 = (S / xmedia) * 100 = (20 / 45) * 100 = 44,50%. b) xmedia = (Óxi . Fi) / n = (20 * 10 + ... + 80 * 5) / 60 = 2700 / 60 = 45 s.

2

2

2

2

c) S = 1 / (n – 1) * [Ó(xi * Fi) – (Óxi * Fi) / n] = 1 / (60 – 1) * [135000 – (2700) / 60] = 228,81s 2 1/2 1/2 S = (S ) = (228,81) = 15,13 s.

2

d) xmedia = (Óxi . Fi) / n = (40 * 45 + 60 * 45) / 100 = 45 s. e) CV2 = (S / xmedia) * 100 = (15,13 / 45) * 100 = 34,00%, portanto, a equipe 2 apresentou resultados mais homogêneos, uma vez que tem CV (34%) menor que a equipe 1 (44%) . f)

Equipe 2.

2.30 a) Amplitude: r = 16 – 1 = 15 Nº de intervalos: k• 6 Tamanho do intervalo: h • 3 Classe

Intervalos

Fi

1

1• 4

14

2

4• 7

14

3

7 • 10

11

4

10 • 13

8

5

13 • 16

11

6

16 • 19

2

Ó

60

b) His to g r a ma d e Fr e q ü ê n c ia A b s o lu ta 16 14 12 Fi

10 8 6 4 2 0 1 • 4

4 • 7

7 • 10

10 • 13

13 • 16

16 • 19

In te r v a lo s d e Cla s s e s

c) xmedia = (Óxi . Fi) / n = (14 * 2,5 + ... + 2 * 17,5) / 60 = 8,20. d) n / 2 = 60 / 2 = 30, ou seja, no intervalo 7 • 10 Xmediana = lXmed + [(n / 2 – Óf) * h] / FX = 7 + [(30 – 28) * 3] / 11 = 7,55, ou seja, metade das rendas estão abaixo de $ 7550. e) i * n / 4 = 3 * 60 / 4 = 45 Qi = lQi + [(i * n / 4 – Óf) * h] / FQi = 10 + [(45 – 39) * 3] / 8 = 12,25, ou seja, 75% das rendas estão abaixo de $ 12250. f)

i * n / 10 = 4 * 60 / 10 = 24 Di = lDi + [(i * n / 10 – Óf) * h] / FDi = 4 + [(24 – 14) * 3] / 14 = 6,14, ou seja, 40% das rendas estão abaixo de $ 6140.

g) i * n / 100 = 47 * 60 / 100 = 28,20 Pi = lPi + [(i * n / 100 – Óf) * h] / FPi = 7 + [(28,20 – 28) * 3] / 11 = 7,05, ou seja, 47% das rendas estão abaixo de $ 7055. h) i * n / 4 = 60 / 4 = 15 Qi = lQi + [(i * n / 4 – Óf) * h] / FQi = 4 + [(15 – 14) * 3] / 14 = 4,21. 2

2

2

2

i)

S = 1 / (n – 1) * [Ó(xi * Fi) – (Óxi * Fi) / n] = 1 / (60 – 1) * [5289 – (492) / 60] = 21,26.

j)

S = (S )

l)

CV = (S / xmedia) * 100 = (4,61 / 8,20) * 100 = 56,00%.

2 1/2

= (21,26)

1/2

= 4,61.

m) Maior número de observações iguais 1 • 4 Mo = lMo + [Ä1 / (Ä1 + Ä2)] * h = 1 + [14 / (14 + 0)] * 3 = 4 AS = (xmedia – Mo) / S = (8,20 – 4) / 4,61 = 0,91, portanto, a distribuição não é simétrica. n) O intervalo xmedia – S a xmedia + S, ou seja, $ 3590 e $ 12810 contém aproximadamente 60% das rendas. 2.31 -

SÉRIE IV 2.32 1. b, por definição de média. 2. b, uma vez que o maior número de observações iguais é 60. 3. c, por definição de mediana. 4. d, uma vez que a média leva em conta todos estes desvios, a soma deles deve ser zero. 5. b, uma vez que 70 é a média das observações além de separar em dois grupos com a mesma quantidade. 6. a, por definição de moda. 7. d, uma vez que n = 100, a mediana será 50 (10 + 25 + 15), ou seja, 7. 8. b, uma vez que numa amostra de n = 5, a mediana é o 3º item, deixando dois de cada lado. 9. d, por definição de medidas de assimetria. 10. a, por definição de coeficiente de variância. 11. a, por definição de variância. 12. d, por definição de desvio padrão. 13. d, uma vez que n = 6, a mediana será [(n / 2) + (n / 2 +1)] / 2, ou seja, 45. 14. a, uma vez que a curva a é mais alargada horizontalmente, tem desvio padrão maior. 15. d, uma vez que apesar de A ter maior dispersão absoluta, ao se calcularem os coeficientes de variância de ambas as turmas, chega-se ao mesmo valor: 50%. 16. d, uma vez que a variância é o quadrado do desvio padrão. 17. b, por definição de mediana. 18. a, uma vez que n = 20, o 1º quartil será a média entre o 5º e o 6º item, ou seja, 5. 19. b, uma vez que CV = (S / Xmedia) * 100, Estatística é 20% e História é 25%. 20. b, por definição. 21. d, uma vez que Xmedia = (Óxi . Fi) / n = (2 * 2500 + ... + 3 * 22000) / 10 = 10500. 22. c, por definição. 23. d, uma vez que Mo = lMo + [Ä1 / (Ä1 + Ä2)] * h = 50 + [15 / (15 + 10)] * 10 = 56. 24. b, uma vez que Xmedia = (Óxi . Fi) / n = (5 * 175 + ... + 3 * 475) / 10 = 3130 / 10 = 313. 25. c, uma vez que P45 = 40 + [(409,50 – 210) * 10] / 250 = 47,98. 26. c, uma vez que D5 = 6 + [(15 – 12) * 2] / 10 = 6,60.

27. a, uma vez que Xmedia = (Óxi . Fi) / n = (3 * 1 + ... + 15 * 5) / 8 = 96 / 8 = 12. 2

2

28. d, uma vez que S = 1 / (5 – 1) * [73600 – (600) / 5] = 400, ou seja, S = 20. 2

2

29. a, uma vez que S = (1 / 5) * [108 – (22) / 5] = 2,24. 30. b, por definição de média.

Soluções e Respostas Capítulo 3 – Probabilidades SÉRIE I 3.1 e) S = {1C, 2C, 3C, 4C, 5C, 6C, 1K, 2K, 3K, 4K, 5K, 6K}, onde C = cara e K = coroa. f)

g)

A = {K2, K4, K6} B = {C1, C3, C5} C = {3C, 6C, 3K, 6K}. a. b. c. d.

Bcompl. = S – B = {C2, C4, C6, K1, K2, K3, K4, K5, K6} A U B = A + B = {K2, K4, K6, C1, C3, C5} B • C = {3C} (A U B)compl. = (Acompl • Bcompl) = {K1, K3, K5, C2, C4, C6}.

h) Apenas A e B são mutuamente exclusivos uma vez que A • B = Ø. 3.2 a)

P(Acompl) = 1 – P(A) = 1 – ½ = ½.

b)

P(Bcompl) = 1 – P(B) = 1 – ¼ = ¾.

c)

P(A • B) = 0, uma vez que A e B s ão mutuamente exclusivos.

d)

P(A U B) = P(A) + P(B) = ½ + ¼ = ¾.

e)

P(Acompl • B

compl)

= 1 – [P(A • B)] = 1.

3.3 a)

P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A • B) = ½ + 1/3 – ¼ = 7/12.

b)

P(Acompl U Bcompl) = P(A • B)

c)

P(Acompl • B

compl)

compl

= 1 – P(A • B) = 1 – ¼ = ¾.

= P(A U B) compl = 1 – P(A U B) = 1 – 7/12 = 5/12.

3.4 a)

Seja A = {(x1)/ x1 = par}, P(A) = 3/6 = ½.

b)

Seja A = {(x1)/ x1 = rei}, P(A) = 4/52 = 1/13.

c)

Seja A = {(x1, x2, x3)/ x1 = x2 = x3 = K}, P(Acompl) = 1 – A = 1 – (½ . ½ . ½) = 7/8.

d)

Seja A = {(x1, ..., xn)/ x1 = ... = xn = K}, P(Acompl) = 1 – A = 1 – (½) = (2 – 1)/2 .

e)

P(ambas copas, sem reposição) = P(1ª copas) * P(2ª copas) = 13/52 * 12/51 = 1/17.

n

n

n

f)

P(1 copas e 1 ouros sem reposição) = P(copas) * P(ouros) + P(ouros) * P(copas) = 13/52 * 13/51 + 13/52 + 13/51 = 13/102 ou, P(F) =

13 1

*

13 1

52 2 = (13/1 * 13/1) / (52 * 51/ 2 * 1) = 13/102.

3.5 a)

Seja A = {(x1)/ x1 / 5}, P(A) = 10/50 = 1/5.

b)

Seja A = {(x1)/ x1 = _3}, P(A) = 5/50 = 1/10.

c)

Seja A = {(x1)/ x1 = primo}, P(A) = 15/50 = 3/10.

d)

Seja A = {(x1)/ x1 / 6} = 8 e B = {(x1)/ x1 / 8} = 6, P(A U B) = P(A) + P(A) – P(A • B) = 8/50 + 6/50 – 2/50 = 12/50 = 6/25.

3.6 Seja A = {(x1)/ x1 = rei} = 4 e B = {(x1)/ x1 = 1 carta de copas} = 13 P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A • B) = 4/52 + 13/52 – 1/52 = 16/52 = 4/13. 3.7 a)

Seja A = {(x1, x2)/ x1 + x2 < 4}, P(A) = 3/36 = 1/12.

b)

Seja A = {(x1, x2)/ x1 + x2 = 9}, P(A) = 4/36 = 1/9.

c)

Seja A = {(x1, x2)/ x1 > x2}, P(A) = 15/36 = 5/12.

3.8 Seja A = {(x1, x2)/ x1 + x2 = 10}, P(A) = 8/90 = 4/45. 3.9 a)

Seja A = {(x1)/ x1 = defeitos graves}, P(Acompl) = 1 – P(A) = 1 – 1/8 = 7/8.

b)

Seja A = {(x1)/ x1 = boas}, P(A) = 10/16 = 5/8.

c)

Seja A = {(x1)/ x1 = com defeitos}, P(Acompl) = 1 – P(A) = 1 – ¼ = ¾.

3.10 a)

P(ambas perfeitas, sem reposição) = P(1ª perfeita) * P(2ª perfeita) = 10/16 * 9/15 = 3/8.

b)

P(ao menos uma é perfeita) = P[(P1 • P 2) U (P1 • D 2) U (D1 • P 2)] = P(P1) * P(P2/P1) + P(P1) * P(D2/P1) + P(D1) * P(P2/D1) = 10/16 * 9/15 + 10/16 * 6/15 + 6/16 * 10/15 = 7/8.

c)

P(nenhuma com defeito grave) = P(sem d.g.) * P(sem d.g.) = 14/16 * 13/15 = 91/120.

d)

P(nenhuma perfeita) = P(imperfeitas) * P(imperfeitas) = 6/16 * 5/15 = 1/8.

3.11 P(pretas) = P(1ª preta) * P(2ª preta) * P(3ª preta) = 6/11 * 5/10 * 4/9 = 4/33.

a) b)

P(uma branca) = P(B1) * P(P2) * P(P3) + P(P1) * P(B2) * P(P3) + P(P1) * P(P2) * P(B3) ou 3 * P(B1, P2, P3) = 5/11 * 6/10 * 5/9 + 6/11 * 5/10 * 5/9 + 6/11 * 5/10 * 5/9 = 5/11.

c)

P(ao menos uma é preta) = 1 – P(brancas) = 1 – P(B1) * P(B2/B1) * P(B3/B2/B1) = 1 – 5/11 * 4/10 * 3/9 = 1 – 2/33 = 31/33.

3.12 O número total de resultados possíveis = C12,7 O número de resultados favoráveis: C5,3 (3 do 4º ano) * C4,2 (2 do 2º ano) * C3,2 (2 do 3º ano) P(A) = (C5,3 * C4,2 * C3,2) / C12,7 = (5/3 * ... * 3/1) * (4/2 * 3/1) * (3/2 * 2/1) / (12/7 * ... * 6/1) = 5/22. 3.13 O número total de resultados possíveis = CN,n O número de resultados favoráveis: CNv,nv (nv de vermelhas) * CNa,na (na de azuis) * CNp,np (np de pretas) P(A) = (CNv,nv * CNa,na * CNp,np) / CN,n P(A) =

Nv nv

*

Na na

*

Np np

N n .

3.14 a)

P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A • B) = ½ + 1/3 – ¼ = 7/12.

b)

P(A/B) = P(A • B) / P(B) = ¼ / 1/3 = ¾.

c)

P(B/A) = P(A • B) / P(A) = ¼ / ½ = ½.

d)

P[(A U B)/B] = P[(A U B) • B] / P(B) = P(B) / P(B) = 1.

3.15 P(Acompl/Bcompl) = P(Acompl • B compl) / P(Bcompl) = [P(A U B) compl] / [1 – P(B)] = 5/12 / 2/3 = 5/8. P(Bcompl/Acompl) = P(Bcompl • A compl) / P(Acompl) = [P(B U A) compl] / [1 – P(A)] = 5/12 / ½ = 5/6. 3.16 Seja A = {(x1)/ x1}, P(A) = 365/365 2 Seja B = {(x1, x2)/ x1 • x 2}, P(B) = 365/365 * (365 – 1)/365 = 365* (365 – 1)/365 Assim, de maneira geral o item xn terá probabilidade de [(365 – n + 1)/365], Portanto, seja R = {(x1, x2, ..., xr )/ x1 • x 2 • ... • x r}, r P(R) = 365/365 * [(365 – 1)/365] * ... * [(365 – r +1)/365] = 365 * 364 * ... * (365 – r + 1)/365 .

3.17 P(acertarem) = P(1º acertar) * P(2º acertar) * P(3º acertar) = 2/3 * 4/5 * 7/10 = 28/75.

a) b)

P(apenas um acertar) = P(A1, E2, E3) + P(E1, A2, E3) + P(E1, E2, A3) = 2/3 * 1/5 * 3/10 + 1/3 * 4/5 * 3/10 + 1/3 * 1/5 * 7/10 = 25/150 = 1/6.

c)

P(errarem) = P(1ª errar) * P(2ª errar) * P(3ª errar) = 1/3 * 1/5 * 3/10 = 1/50.

3.18 Seja P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = p, P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A • B) : P(Corrente LR ) = P(F 1, F2) + P(F3, F4) – P(F1, F2 • F 3, F4) 2 4 P(F1, F2) = P(F3, F4) = p * p = p e P(F1, F2 • F 3, F4) = p * p * p * p = p 2 4 2 4 P(Corrente LR) = 2 * p – p = 2p – p . 3.19 P(duas da mesma cor) = P(B1, B2) + P(V1, V2) + P(P1, P2) = 5/12 * 5/18 + 4/12 * 6/18 + 3/12 * 7/18 = 35/108. 3.20 Seja A = {(x1, x2)/ x1 + x2 = R$ 1,50}, P(A) = P(U1, C2) + P(C1, U2) = 5/9 * 4/8 + 4/9 * 5/8 = 5/9. 3.21 Seja A = {(x1, x2, x3)/ x1, x2, x3 = 2 pretas e 1 vermelha} com reposição, P(A) = P(P1, P2, V3) + P(P1, V2, P3) + P(V1, P2, P3) = 3 * 5/10 * 5/10 * 3/10 = 9/40. 3.22 Seja A = {(x1)/ x1 = 1 branca}, P(A) = 2/3. Seja B = {(x2)/ x2 = 1 branca}, P(B) = P(Brancanova) / P(Totalnova) = (1 + 2/3)/4 = 5/12. 3.23 Seja T = {(s1)/ s1 = 1 branca}, P(T) = x / (x + y). Seja U1 = {(s2)/ s2 = 1 branca}, P(U1) = P(Brancanova) / P(Totalnova) = {z + [x / (x + y)]} / (z + v + 1) P(U2) = P(B1, B2) + P(V1, B2) = [x / (x + y)] * [(z + 1) / (z + v + 1)] + [y / (x + y)] * [z / (z + v + 1)]. 3.24 Seja A = {(x1, x2, x3, x4)/ x1 = P, x2 = P, x3 = V, x4 = V} com reposição + 5 bolas da cor, P(A) = P(P1, P2, V3, V4) = 10/15 * (10 + 5)/(15 + 5) * 5/(15 + 10) * (5 + 5)/(15 + 15) = 1/30 Seja A = {(x1, x2, x3, x4)/ x1 = P, x2 = V, x3 = P, x4 = V} com reposição + 5 bolas da cor, P(A) = P(P1, V2, P3, V4) = 10/15 * 5/(15 + 5) * (10 + 5)/(15 + 10) * (5 + 5)/(15 + 15) = 1/30 Seja A = {(x1, x2)/ x1 = P, x2 = P} com reposição + 5 bolas da cor, P(A) = P(P1, P2) = 1 * (10 + 5)/(15 + 5) = ¾.

3.25 a)

P(duas perfeitas) = P(P1, P2) = 5/8 * 3/5 = 3/8.

b)

P(uma defeituosa) = P(D1, P2) + P(P1, D2) = 3/8 * 3/5 + 5/8 * 2/5 = 19/40.

c)

P(defeituosa vir de A) = P(D1, P2) / P(uma defeituosa) = (3/8 * 3/5) / (19/40) = 9/19.

3.26 a)

P(só H viver) = P(M vivercompl) * P(H viver) = ¼ * 3/5 = 3/20.

b)

P(só M viver) = P(H vivercompl) * P(M viver) = 2/5 * ¾ = 3/10.

c)

P(ambos viverem) = P(H viver) * P(M viver) = 3/5 * ¾ = 9/20.

3.27 Seja A = {(x1, x2)/ x1 = B sabendo que x2 = B}, P(A) = P(B1, B2) / [P(B1, B2) + P(P1, B2)] = (½ * 2/3) / [(½ * 2/3) + (½ * ½)] = (1/3) / (1/3 * ½) = 4/7. 3.28 a)

Seja A = {(x1, x2)/ x1 = x2 = mesma cor}, P(A) = P(P1, P2) + P(V1, V2) = ½ * 3/6 + ½ * 4/6 = 1/4 + 1/3 = 7/12.

b)

Seja A = {(x1, x2)/ x1 = V sabendo que x2 = P}, P(A) = P(V1, P2) / [P(V1, P2) + P(P1, P2)] = (½ * 2/6) / (½ * 2/6 + ½ * 3/6) = (1/6) / (5/12) = 2/5.

3.29 a)

Seja A = {(x1, x2)/ x1 = B ou V, x2 = V}, P(A) = P(B1, V2) + P(V1, V2) = 3/8 * (5 + 2)/(8 + 2 – 1) + 5/8 * (5 – 1)/(8 + 2 – 1) = 41/72.

b)

Seja A = {(x1, x2)/ x1 = x2 = B ou V}, P(A) = P(B1, B2) + P(V1, V2) = 3/8 * (3 – 1)/(8 + 2 – 1) + 5/8 * (5 – 1)/(8 + 2 – 1) = 13/36.

3.30 a)

Seja A = {(x1, x2)/ x1 = V sabendo que x2 = V}, P(A) = P(V1, V2) / [P(B1, V2) + P(V1, V2)] = (20/72) / (41/72) = 20/41.

b)

Seja A = {(x1, x2)/ x1 = B sabendo que x1 = x2 = mesma cor}, P(A) = P(B1, B2) / [P(B1, B2) + P(V1, V2)] = (6/72) / (13/36) = 3/13.

3.31 a)

Seja A = {(x1, x2)/ x1 = urna 1 ou 2, x2 = V}, P(A) = P(U11, V2) + P(U21, V2) = [(½) * x/(x + y)] + [(½) * z/(z + v)] = ½ * x/(x + y) + z/(z + v).

b)

Seja A = {(x1, x2)/ x1 = B ou V, x2 = V}, P(A) = P(B1, V2) + P(V1, V2) = y/(x + y) * z/(z + v + 1) + x/(x +y) * (z + 1)/(z + v + 1) = (y * z)/(x + y)(z + v + 1) + [(x * z) + (x)]/(x + y)(z + v + 1) = (yz + xz + x)/(x + y)(z + v + 1).

3.32 Seja A = {(s1, ..., sx + y) / s1, ..., sx = B, sx + 1, ..., sx + y = P}, P(A) = P(X1, ..., Xx, Yx + 1, …, Yx + y) = x/(x + y) * (x – 1)/(x + y – 1) * … * y/y * (y – 1)/ (y – 1)/ = (x! y!) / (x + y)! 3.33 Seja, A = {(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)} B = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} C = {(4,6), (5,5), (6,4)} D = {(2,1), (3,1), (4,1), (5,1), (6,1), (3,2), (4,2), (5,2), (6,2), (4,3), (5,3), (6,3), (5,4), (6,4), (6,5)} E = {(2,1), (4,2), (6,3)} a)

P(A/B) = P(A • B) / P(B) = 1/6.

b)

P(C/D) = P(C • D) / P(D) = 1/15.

c)

P(D/E) = P(D • E ) / P(E ) = 3/3 = 1.

d)

P(A/C) = P(A • C) / P(C) = 0.

e)

P(C/E) = P(C • E ) / P(E ) = 0.

f)

P(C/A) = P(C • A) / P(A) = 0.

g)

P(A/D) = P(A • D) / P(D) = 2/15.

h)

P(B/C) = P(B • C) / P(C) = 1/3.

i)

P(A/E) = P(A • E ) / P(E ) = 0.

j)

P(B/E) = P(B • E ) / P(E ) = 0.

l)

P(A/B • C) = [P(A • B) / P(B)] • P(C) = 0.

m)

P[(A • B) / (C • D)] = [P(A • B) • P(C • D)] / [P(C • D)] = 0.

3.34 Seja A = {(x1, x2)/ x1 = caixa 1 ou 2 sabendo que x2 = P}, P(A) = P(C11, P2) / [P(C11, P2) + P(C21, P2)] = (1/2 * 7/10) / [(1/2 * 7/10) + (1/2 * 5/6)] = (7/20) / (46/60) = 21/46 P(Acompl) = 1 – P(A) = 1 – 21/46 = 25/46. 3.35 Seja A = {(x1, x2)/ x1 = B sabendo que x2 = D},

P(A) = P(B/D) = [P(B • D) / P(D)] = {[P(B) * P(D/B)] / [P(A) * P(D/A) + P(B) * P(D/B) + P(C) * P(D/C)]} = (1/6 * 3/5) / [(3/4 * 1/20) + (1/6 * 3/5) + (1/10 * 3/10)] = (1/10) / (67/400) = 40/67. 3.36 Seja A = {(x1, x2)/ x1 = M sabendo que x2 = 1,80}, P(A) = P(M1, A2) / [P(M1, A2) + P(H1, A2)] = (4/10 * 2/100) / [(4/10 * 2/100) + (6/10 * 5/100)] = (1/125) / (19/500) = 4/19. 3.37 Seja A = {(x1, x2)/ x1 = B sabendo que x2 = D}, P(A) = P(B1, D2) / [P(A1, D2) + P(B1, D2) + P(C1, D2)] = (5/10 * 5/100) / [(4/10 * 3/100) + (5/10 * 5/100) + (1/10 * 2/100)] = (1/40) / (39/1000) = 25/39. 3.38 Seja A = {(x1, x2)/ x1 = T sabendo que x2 = Y positivo}, P(A) = P(T1, Y2) / [P(T1, Y2) + P(NT1, Y2)] = (1/10 * 80/100) / [(1/10 * 80/100) + (9/10 * 30/100)] = (2/25) / (7/20) = 8/35. 3.39 a)

P(só caras) = P(C1, C2, C3) = ½ * ½ * ½ = 1/8.

b)

P(2 C, 1 K) = 3 * P(C1, C2, K3) = 3 * ½ * ½ * ½ = 3/8.

c)

P(1 C) = 3 * P(C1, K2, K3) = 3 * ½ * ½ * ½ = 3/8.

d)

7/8.

e)

P(ao menos 1 K) = 3 * P(K1, C2, C3) + 3 * P(K1, K2, C3) + P(K1, K2, K3) = 7 * ½ * ½ * ½ = P(só coroa) = P(K1, K2, K3) = ½ * ½ * ½ = 1/8.

3.40 a)

Seja A = {(x1, x2)/ x1 = x2}, P(A) = 6/36 = 1/6.

b)

Seja A = {(x1, x2)/ x1 = x2}, P(Acompl) = 1 – P(A) = 1 – 1/6 = 5/6.

c)

Seja A = {(x1, x2)/ x1 < x2}, P(A) = 15/36 = 5/12.

d)

Seja A = {(x1, x2)/ x1 + x2 = par}, P(A) = 18/36 = ½.

e)

Seja A = {(x1, x2)/ x1 + x2 = 7, sabendo que x1 • x 2}, P(A) = 6/(36 – 6) = 1/5.

f)

Seja A = {(x1, x2)/ x1 + x2 = 6, sabendo que x1 = x2}, P(A) = (5 – 4)/(36 – 30) = 1/6.

g)

Seja A = {(x1, x2)/ x1 + x2 = 14}, P(A) = 0.

3.41

Seja A = {(x1, x2)/ x1 = x2 = Errar}, P(Acompl) = 1 – P(E1, E2) = 1 – (2/5 * 3/7) = 29/35. 3.42 Seja A = {(x1)/ x1 = 5 ou par}, P(A) = P(5) + P(par) = 1/6 + 3/6 = 4/6 = 2/3. 3.43 a) Seja A = {(x1)/ x1 = H}, P(A) = 10/15 = 2/3. b) Seja A = {(x1)/ x1 = A}, P(A) = 7/15. c) Seja A = {(x1)/ x1 = M} ou B = {(x1)/ x1 = Me}, P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A • B) = 8/15 + 5/15 – 3/15 = 2/3. d) Seja A = {(x1)/ x1 = H, sabendo que x1 = A}, P(A) = 5/(15 – 8) = 5/7. e) Seja A = {(x1)/ x1 = Me, sabendo que x1 = Mu}, P(A) = 3/(15 – 10) = 3/5. 3.44 a)

Seja X = {3, 6, 9, 12, 15, 18} e Y = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}, X e Y serão independentes se e somente se P(X • Y) = P(X) * P(Y) P(X • Y) = 3/20, P(X) = 6/20, P(Y) = 10/20 P(X) * P(Y) = 6/20 * 10/20 = 3/20 = P(X • Y), portanto, X e Y s ão independentes.

b)

Seja M = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} e N = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19}, M e N serão independentes se e somente se P(M • N) = P(M) * P(N) P(M • N) = 7/20, P(M) = 9/20, P(N) = 10/20 P(M) * P(N) = 9/20 * 10/20 = 9/40 • P(M • N), portanto, M e N n ão são independentes.

3.45 a)

Seja A = {(x1)/ x1 = H}, P(A) = 60/100 = 60%.

b)

Seja A = {(x1)/ x1 = M e Y}, P(A) = 26/100 = 26%.

c)

Seja A = {(x1)/ x1 = Y}, P(A) = 65/100 = 65%.

d)

Seja A = {(x1)/ x1 = H e X}, P(A) = 21/100 = 21%.

e)

Seja A = {(x1)/ x1 = M, sabendo que x1 = X}, P(A) = 14/(100 – 65) = 40%.

f)

Seja A = {(x1)/ x1 = Y, sabendo que x1 = H}, P(A) = 39/(100 – 40) = 65%.

3.46 Sendo A e B independentes, temos que P(A • B) = P(A) * P(B) A e B também são mutuamente exclusivos, ou seja, P(A • B) = Ø Como P(Ø) = 0, então P(A • B) = 0 Voltando para a primeira igualdade, teremos que P(A) * P(B) = 0 Para que a igualdade seja verdadeira P(A) = 0 ou P(B) = 0.

3.47 Sendo A e B independentes, temos que P(A • B) = P(A) * P(B) Como P(A) • 0 e P(B) • 0, ent ão P(A) * P(B) • 0 e cons eqüentemente P(A • B) • 0 Portanto, P(A • B) • Ø, acarretando na não exclusividade dos eventos. 3.48 Sendo A e S independentes, temos que P(A • S ) = P(A) * P(S ) Como S é o espaço amostral, temos que P(S) = 1 Como A está contido em S, temos que P(A • S ) = P(A) Logo, substituindo os valores encontrados na primeira igualdade, temos que P(A) = P(A) * 1 Portanto, conclui-se que A e S são independentes. 3.49 Sendo A e Ø independentes, temos que P(A • Ø) = P(A) * P(Ø) Como P(Ø) = 0, temos que P(A • Ø) = P(Ø) = 0 Logo, substituindo os valores encontrados na primeira igualdade, temos que 0 = P(A) * 0 Portanto, conclui-se que A e Ø são independentes. 3.50 Sendo S e Ø independentes, temos que P(S • Ø) = P(S) * P(Ø) Como P(Ø) = 0, temos que P(S • Ø) = P(Ø) = 0 Como S é o espaço amostral, temos que P(S) = 1 Logo, substituindo os valores encontrados na primeira igualdade, temos que 0 = 1 * 0 Portanto, conclui-se que S e Ø são independentes. Soluções e Respostas Capítulo 4 – Distribuições de Probabilidades de Variáveis Aleatórias Discretas SÉRIE I 4.1 S = {cc, ck, kc, kk} X = número de coroas (k) = 0, 1, 2 Xi

0

1

2

P(Xi)

1/4

1/2

1/4

Dis tr ib u iç ã o d e Pr o b a b ilid a d e 1

P ( X i)

3 /4 1 /2 1 /4 0 0

1

2

Xi

4.2 i)

j)

S = {(1,1), (1,2), ..., (6,5), (6,6)} = 36 casos X = soma dos pontos = 2, 3, ..., 12 Xi

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

P(Xi)

1/36

2/36

3/36

4/36

5/36

6/36

5/36

4/36

3/36

2/36

1/36

P(3 • X • 10) = 1 – [P(2) + P(11) + P(12)] = 1 – 4/36 = 32/36 = 8/9.

k) P(X > 7) = P(8) + ... + P(12) = 5/36 + ... + 1/36 = 15/36 = 5/12. l)

P(X • 5) = P(2) + ... + P(5) = 1/36 + ... + 4/36 = 10/36 = 5/18.

m) P(X • 6) = P(X • 5) + P(6) = 10/36 + 5/36 = 15/36 = 5/12. n) P(X • 3) = 1 – P(2) = 1 – 1/36 = 35/36. o) F(4) = P(2) + ... + P(4) = 1/36 + ... + 3/36 = 6/36 = 1/6. p) F(8) = P(2) + ... + P(8) = 1/36 + ... + 5/36 = 26/36 = 13/18. q) F(15) = 1. r)

F(1) = 0.

l)

F(5,5) = P(X • 5) = 5/18.

m)

F(12) = 1.

4.3 a)

ÓP(X i) = 1 P(1) + P(3) + P (5) + P (7) = 1 k + k/3 + k/5 + k/7 = 176k/105 = 1, portanto, k = 105/176.

b)

P(2 • X • 6) = P(3) + P(5) = 105/176 * 1/3 + 105/176 * 1/5= 56/176 = 7/22.

c)

F(5) = 1 – P(7) = 1 – 105/176 * 1/7 = 161/176.

4.4 S = {vv, vn, nv, nn}, com v = vende e n = não vende Y = número de clientes que assinam venda (v) = 0, 1, 2 P(0) = P(N,N) = 80/100 * 80/100 = 64/100 = 0,64 P(1) = P(V,N) + P(N, V) = 20/100 * 80/100 + 80/100 * 20/100 = 32/100 = 0,32 P(2) = P(V,V) = 4/100 = 0,04. Yi

0

1

2

P(Yi)

0,64

0,32

0,04

SÉRIE II 4.5 a)

ÓP(X i) = 1 P(3) = 1 – [P(1) + P (2) + P (5) + P (8)] = 1 – [0,20 + 0,25 + 0,30 + 0,10] = 0,15.

b)

F(5) = 1 – P(8) = 1 – 0,10 = 0,90.

c)

ì

d)

(x)

= Óxi * P(x i) = 1 * 0,20 + … + 8 * 0,10 = 3,45. 2

2

2

2

ó(x) = Ó xi * P(x i) – ì (x) = (1 * 0,20 + ... + 64 * 0,10) – (3,45) = 16,45 – 11,9025 = 4,5475 2 1/2 1/2 ó(x) = (ó(x) ) = (4,5475) = 2,1325.

4.6 1–1

a)

P(1) = (0,8) * (0,2) = 0,8 2–1 P(2) = (0,8) * (0,2) = 0,16 3–1 P(3) = (0,8) * (0,2) = 0,032 4–1 P(4) = (0,8) * (0,2) = 0,0064 5–1 P(5) = (0,8) * (0,2) = 0,00128.

b)

F(X • 5) = P(1) + ... + P(5) = 0,8 + ... + 0,00128 = 0,99968, ou s eja, a s oma das probabilidades atinge 0,99968, logo, as probabilidades para valores maiores do que 5 são próximas a zero (ou mais exatamente 0,00032).

4.7 a) b)

F(2) = P(0) + …+ P(2) = 0,55 + … + 0,10 = 0,90. P(1 • X • 4) = 1 – [P(0) + P (5)] = 1 – (0,55 + 0,02) = 1 – 0,57 = 0,43 P(X > 1) = 1 – [P(0) + P(1)] = 1 – (0,55 + 0,25) = 1 – 0,80 = 0,20. ì

c) d)

(x)

= Óxi * P(x i) = 0 * 0,55 + … + 5 * 0,02 = 0,83 chamadas por minuto. 2

2

2

2

ó(x) = Ó xi * P(x i) – ì (x) = (0 * 0,55 + … + 25 * 0,02) – (0,83) = 2,15 – 0,6889 = 1,4611 2 1/2 1/2 ó(x) = (ó(x) ) = (1,4611) = 1,20876 CV = ì (x)/ó(x) = 1,20876/0,83 = 1,456337 = 145,6%.

4.8 a)

S = {(0-0), (0-1), ..., (5-6), (6,6)} = 28 casos Z = pontos numa peça de dominó = 0, 1, ..., 12. Zi

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

P(Zi)

1/28

1/28

2/28

2/28

3/28

3/28

4/28

3/28

3/28

2/28

2/28

1/28

1/28

Dis tr ib u iç ã o d e Pr o b a b ilid a d e 1 /4 1 /5

P ( Z i)

3 /2 0 1 /1 0 1 /2 0 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Zi

b)

P(2 • Z • 6) = P(2) + ... + P(6) = 2/28 + … + 4/28 = 14/28 = ½.

c)

F(8) = 1 – [P(9) + ... + P(12)] = 1 – (2/28 + … + 1/28 = 1 – 6/28 = 22/28 = 11/14.

d)

ì

(x)

= Óxi * P(x i) = 0 * 1/28 + … + 12 * 1/28 = 6.

4.9 a)

b)

c)

S = {(R, R, R), (R, R, M), ..., (M, M, R), (M, M, M)} = 8 casos X = número de rapazes = 0, 1, 2, 3 P(0) = P(M, M, M) = 4/9 * 3/8 * 2/7 = 1/21 P(1) = P(R, M, M) = 3 * 5/9 * 4/8 * 3/7 = 5/14 P(2) = P(R, R, M) = 3 * 5/9 * 4/8 * 4/7 = 10/21 P(3) = P(R, M, M) = 5/9 * 4/8 * 3/7 = 5/42. Xi

0

1

2

3

P(Xi)

1/21

5/14

10/21

5/42

I. II. III. IV. V. VI. VII.

P(X • 2) = 1 – P(3) = 1 – 5/42 = 37/42 P(X • 0) = P(0) = 1/21 P(1 < X • 3) = P(2) + P(3) = 10/21 + 5/42 = 25/42 P(2 < X < 3) = 0 P(X > 2) = P(3) = 5/42 P(X > – 1) = 1 P(X < 5) = 1.

F(2,5) = 1 – P(3) = 1 – 5/42 = 37/42 F(3) = 1 F(0,5) = P(0) = 1/21 F(3,5) = 1 F(2) = F(2,5) = 37/42 F(1) = P(0) + P(1) = 1/21 + 5/14 = 17/42 F(6) = 1 F(– 0,5 ) = 0.

4.10 S = {(I, I), (I, N), (N, I), (N, N)} = 4 casos, com I = IBM e N = não IBM

X = é IBM = 0, 1, 2 P(0) = P(N, N) = 30/100 * 30/100 = 9/100 P(1) = P(I, N) + P(N, I) = 2 * 70/100 * 30/100 = 21/50 P(2) = P(I, I) = 70/100 * 70/100 = 49/100 Xi

0

1

2

P(Xi)

0,09

0,42

0,49

ì (x) = Óxi * P(x i) = 0 * 0,09 + … + 2 * 0,49 = 1,4 2 2 2 2 ó(x) = Ó xi * P(x i) – ì (x) = (0 * 0,09 + … + 4 * 0,49) – (1,4) = 2,38 – 1,96 = 0,42 2 1/2 1/2 ó(x) = (ó(x) ) = (0,42) = 0,65.

SÉRIE III 4.11 P(X = x) =

x

10 – x

10 * (½) * (½) x

=

10

10 * (½) , com x = ser cara x 10

a)

P(x = 6) = [(10 * ... * 5)/(6 * ... *1)] * (½) = 105/512.

b)

P(x • 2) = 1 – [P(0) + P(1)] = 1 – [(½) + 10 * (½) ] = 1 – 11/1024 = 1013/1024.

c)

P(x = 10) = (½) = 1/1024.

d)

P(x • 1) = 1 – P(0) = 1 – 1/1024 = 1023/1024.

e)

P(x • 5) = 1 – P(5) = 1 – [(10 * ... * 6)/(5 * ... *1)] * (½) = 1 – 63/256 = 193/256.

10

10

10

10

4.12 P(X = x) =

6 x

x

6–x

* (½) * (½)

=

6 x

6

* (½) , com x = filhos homens

6

P(x = 4) = [(6 * ... * 3)/(4 * ... * 1)] * (½) = 15/64. 4.13 P(X = x) =

4 x

x

4–x

* (½) * (½)

=

6 x

4

* (½) , com x = ter menino

4

a)

P(x = 4) = (½) = 1/16, famílias com nenhuma menina = 1/16 * 320 = 20.

b)

P(x = 3) = [(4 * ... * 2)/(3 * ... *1)] * (½) = 1/4, famílias com 3 meninos = 1/4 * 320 = 80.

c)

P(x = 4) = (½) = 1/16, famílias com 4 meninos = 1/16 * 320 = 20.

4

4

4.14 P(X = x) =

n x

x

* (1/6) * (5/6)

n–x

, com x = ser face 3 do dado.

n

P(x • 1) = 1 – P(0) = 1 – (5/6) . 4.15 P(X = x) =

5 x

x

* (2/3) * (1/3)

5–x

, com x = vitória 3

2

a)

P(x = 3) = [(5 * ... * 3)/(3 * ... *1)] * (2/3) * (1/3) = 80/243.

b)

P(x • 1) = 1 – P(0) = (1/3) = 1 – 1/243 = 242/243.

c)

5

4

1

5

P(x • 3) = (3) + P(4) + P(5) = 80/243 + [(5 * ... * 2)/(4 * ... *1)] * (2/3) * (1/3) + (2/3) = 80/243 + 80/243 + 32/243 = 192/243 = 64/81.

4.16 P(X = x) =

x

6 x

* (1/3) * (2/3)

6–x

, com x = acertar o alvo 2

4

a)

P(x = 2) = [(6 * 5)/(2 * 1)] * (1/3) * (2/3) = 80/243.

b)

P(x = 0) = (2/3) = 64/729.

6

4.17 x

P(X = x) =

100 * (1/2) * (1/2) x

P(x = 70) = 100 70

100

* (½)

100 – x

=

100 * (1/2) x

100

, com x = acertar o teste

.

4.18 Se F(5) = P(0) + ... + P(5) = 1, portanto, n = 5.

a) b)

0

(n – 0)

P(y = 0) = p * q Se p + q = 1, p = 2/3.

(n – 0)

=q

5

, portanto, q = 1/243, q = (1/243)

c)

ì

d)

ó(y) = n * p * q = 5 * 2/3 * 1/3 = 10/9.

e)

P(y • 1) = 1 – P(0) = 1 – 1/243 = 242/243.

f)

P(2 • y • 4) = F (4) – F (1) = 211/243 – 11/243 = 200/243.

(y)

1/5

= 1/3

= n * p = 5 * 2/3 = 10/3. 2

4.19 P(X = x) =

x

100 * (0,05) * (0,95) x 100 – x

= (0,95)

100 – x

, com x = ser defeituosa

100

a)

P(0) = (0,95)

b)

P(3) =

c)

P(x < 99) = 1 – [P(100) + P(99)] = 1 – (0,05)

3

3

.

100 * (0,05) * (0,95)

97

100

99

– 100 * (0,05) * (0,95).

SÉRIE IV 4.20 x

-ì

5

-3

P(x = 5) = [(ì * e ) / x!] = [(3 * e ) / 5!] = [(243 * 0,0498) / 120] = 0,1008.

a)

-5,5

1

-5,5

2

-5,5

b)

P(x • 2) = P(0) + P(1) + P(2) = {e 0,0225 + 0,1240 = 0,0886.

c)

P(x • 4) = 1 – [P(0) + P(1) + P(2) + P(3)] = 1 – {e + (7,5 * e ) + [(7,5 * e 3 -7,5 [(7,5 * e ) / 3!]} = 1 – (0,00055 + ... + 0,0387) = 1 – 0,0588 = 0,9412.

+ (5,5 * e

) + [(5,5 * e

-7,5

x

-ì

8

1

-7,5

) / 2!]} = 0,0041 + 2

-7,5

) / 2!] +

-4

P(x = 8) = [(ì * e ) / x!] = [(4 * e ) / 8!] = [(65536 * 0,0183) / 40320] = 0,0297.

d) 4.21

ì = λ * t = 0,02 * 100 = 2 a)

-2

1

-2

2

-2

P(x • 3) = 1 – [P(0) + P(1) + P(2)] = 1 – {e + (2 * e ) + [(2 * e ) / 2!]} = 1 – (0,1353 + 0,2707 + 0,2707) = 1 – 0,6767 = 0,3233. x

-ì

5

-2

b)

P(x = 5) = [(ì * e ) / x!] = [(2 * e ) / 5!] = 0,0361.

c)

P(x = 5) = e = 0,1353.

d)

P(x < 2) = [P(0) + P(1)] = e + (2 * e ) = 0,1353 + 0,2707 = 0,4060.

-2

-2

1

-2

4.22 ì = λ * t = 0,03 * 230 = 6,9 10 -6,9 P(x = 10) = [(6,9 * e ) / 10!] = 0,0679. 4.23 a)

Para 5000 km, ì = n * p, 1 = 5000 * p, p = 0,0002, Para 3000 km, ì = n * p = 3000 * 0,0002 = 0,6 -0,6 -0,6 P(x • 1) = P(0) + P(1) = e + (0,6 * e ) = 0,5488 + 0,3293 = 0,8781.

b)

Para 5000 km, ì = n * p, 1 = 5000 * p, p = 0,0002, Para 8000 km, ì = n * p = 8000 * 0,0002 = 1,6 -1,6 P(x = 0) = e = 0,2019.

4.24 x

b)

-ì

4

-3

P(x = 4) = [(ì * e ) / x!] = [(3 * e ) / 4!] = 0,1681.

a)

-3

1

4.25 a)

-3

2

-3

P(x • 3) = 1 – [P(0) + P(1) + P(2)] = 1 – {e + (3 * e ) + [(3 * e ) / 2!]} = 1 – (0,0498 + 0,1494 + 0,2241) = 1 – 0,4233 = 0,5767.

x

-ì

3

-3

P(x = 3) = [(ì * e ) / x!] = [(3 * e ) / 3!] = 0,2241.

b)

Para 1 hora, ì = λ * t, 3 = λ * 1, λ = 3, Para 1,5 hora, ì = λ * t = 3 * 1,5 = 4,5 -4,5 3 -4,5 P(x • 4) = 1 – [P(0) + P(1) + P(2) + P(3)] = 1 – {e + ... + [(4,5 * e ) / 3!]} = 1 – (0,0111 + ... + 0,1687) = 1 – 0,3423 = 0,6577.

4.26 2

Para 1 cm , ì = λ * t, 1 = λ * 1, λ = 1, 2 Para 4 cm , ì = λ * t = 1 * 4 = 4 x -ì 3 -4 P(x = 3) = [(ì * e ) / x!] = [(4 * e ) / 3!] = 0,1954. 4.27 -ì

x

2

-2

P(x = 2) = [(ì * e ) / x!] = [(2 * e ) / 2!] = 0,2707.

a)

-ì

x

3

-2

P(x = 3) = [(ì * e ) / x!] = [(2 * e ) / 3!] = 0,1804. 4.28 Para 50000, ì = n * p, 2 = 50000 * p, p = 0,00004, Para 100000, ì = n * p = 100000 * 0,00004 = 4 -ì

a) P(x = 0) = e

-4

= e = 0,01832. -ì

-4

b) P(x = 1) = ì * e = 4 * e = 0,0733. -ì

x

2

-4

c) P(x = 2) = [(ì * e ) / x!] = [(4 * e ) / 2!] = 0,14656. d) P(x • 2) = 1 – [P(0) + P(1)] = 1 – (0,01832 + 0,07328) = 1 – 0,9160 = 0,9084. 4.29 ì = 400/500 = 0,8 -ì

-0,8

a)

P(x = 0) = e

=e

b)

P(x = 2) = [(ì * e ) / x!] = [(0,8 * e

x

-ì

= 0,4493. 2

-0,8

) / 2!] = 0,1438.

4.30 a)

Para 1 hora, ì = λ * t, 5 = λ * 1, λ = 5, Para 24 minutos , ì = λ * t = 5 * 0,4 = 2 x -ì 2 -2 P(x = 2) = [(ì * e ) / x!] = [(2 * e ) / 2!] = 0,2707.

b)

Para 1 hora, ì = n * p, 5 = 1 * p, p = 5, Para 18 minutos , ì = n * p = 0,3 * 5 = 1,5 -1,5 1 -1,5 2 -1,5 P(x • 3) = 1 – [P(0) + P(1) + P(2)] = 1 – {e + (1,5 * e ) + [(1,5 * e ) / 2!]} = 1 – (0,2231 + 0,3347 + 0,2510) = 1 – 0,8088 = 0,1912.

4.31

a)

Para 1 hora, ì = λ * t, 3 = λ * 1, λ = 3, Para 20 minutos , ì = λ * t = 3 * 0,333 = 1 x -ì 3 -1 P(x = 3) = [(ì * e ) / x!] = [(1 * e ) / 3!] = 0,0613.

b)

Para 1 hora, ì = λ * t, 3 = λ * 1, λ = 3, Para 30 minutos , ì = λ * t = 3 * 0,5 = 1,5 -1,5 1 -1,5 2 -1,5 P(x • 2) = P(0) + P(1) + P(2) = {e + (1,5 * e ) + [(1,5 * e ) / 2!]} = 0,2231 + 0,3347 + 0,2510 = 0,8088.

4.32 Para 100000, ì = n * p, 3 = 100000 * p, p = 0,00003, Para 200000, ì = n * p = 200000 * 0,00003 = 6 -6 1 -6 2 -6 P(x • 2) = P(0) + P(1) + P(2) = {e + (6 * e ) + [(6 * e ) / 2!]} = 0,0025 + 0,0149 + 0,0446 = 0,0620. 4.33 Para 1 minuto, ì = λ * t, 40 = λ * 1, λ = 40, Para 6 s egundos , ì = λ * t = 40 * 0,1 = 4 x -ì 2 -4 P(x = 2) = [(ì * e ) / x!] = [(4 * e ) / 2!] = 0,14656. 4.34 Para 1 minuto, ì = λ * t, 1,7 = λ * 1, λ = 1,7, Para 2 minutos , ì = λ * t = 1,7 * 2 = 3,4 x -ì 2 -3,4 P(x = 2) = [(ì * e ) / x!] = [(3,4 * e ) / 2!] = 0,1929. 4.35 -2

3

-2

P(x > 3) = 1 – [P(0) + P(1) + P(2) + P(3)] = 1 – {e + ... + [(2 * e ) / 3!]} = 1 – (0,1353 + ... + 0,1804) = 1 – 0,8571 = 0,1429. 4.36 Para 1 peça, ì = λ * t, 2,2 = λ * 1, λ = 2,2, Para 2 peças, ì = λ * t = 2,2 * 2 = 4,4 -4,4 -4,4 P(x • 2) = 1 – [P(0) + P(1)] = 1 – [e + (4,4 * e )] = 1 – (0,0123 + 0,0540) = 1 – 0,0663 = 0,9337.

Soluções e Respostas Capítulo 5 – Distribuições de Probabilidades de Variáveis Aleatórias Contínuas SÉRIE I 5.1 d) P(0 • z • 1,44) = 0,4251 ou 42,51% . e) P(–0,85 < z < 0) = P(0 < z < 0,85) = 0,3023. f)

P(–1,48 < z < 2,05) = P(z < 1,48) + P(z < 2,05) = 0,4306 + 0,4798 = 0,9104.

g) P(0,72 < z < 1,89) = P(z < 1,89) – P(z < 0,72) = 0,4706 – 0,2642 = 0,2064. h) P(z • 1,08) = 0,5 – P(z < 1,08) = 0,5 – 0,3599 = 0,1401. i)

P(z • –0,66) = 0,5 + P(z < 0,66) = 0,5 + 0,2454 = 0,7454.

j)

P(|z| • 0,5) = 2 * P(z < 0,5) = 2 * 0,1915 = 0,3830.

5.2 a)

[(a – ì )/ó < z < (b – ì )/ó] = [(700 – 850)/45 < z < (1000 – 850)/45] P(700 < x < 1000) = P(–3,33 < z < 3,33) = 2 * P(z < 3,33) = 0,9991, ou seja, 1.

b)

[z > (a – ì )/ó] = [z > (800 – 850)/45] P(x > 800) = P(z > –1,11) = 0,5 + P(z < 1,11) = 0,5 + 0,3665 = 0,8665.

c)

[z < (a – ì )/ó] = [z < (750 – 850)/45] P(x < 750) = P(z < –2,22) = 0,5 – P(z < 2,22) = 0,5 – 0,4868 = 0,0132.

d)

[z = (a – ì )/ó] = [z = (1000 – 850)/45] P(x = 1000) = P(z = 3,33) = 0,5 – P(z = 3,33) = 0,5 – 0,49957 = 0,0004, ou seja, 0.

5.3 a)

[(a – ì )/ó < z < (b – ì )/ó] = [(60 – 65,3)/5,5 < z < (70 – 65,3)/5,5] P(60 < x < 70) = P(–0,96 < z < 0,85) = P(z < 0,96) + P(z < 0,85) = 0,3315 + 0,3023 = 0,6338 ou 380 estudantes.

b)

[z > (a – ì )/ó] = [z > (63,2 – 65,3)/5,5] P(x > 63,2) = P(z > –0,38) = 0,5 + P(z < 0,38) = 0,5 + 0,1480 = 0,6480 ou 389 estudantes.

5.4 P(z > ?) = 0,1500, P(z < ?) = 0,5 – 0,1500 = 0,3500, portanto, z = 1,04 z = (a – ì )/ó, 1,04 = [(a – 73)/15], a = 88,5 P(z < – ?) = P(z > ?) = 0,1200, P(z < ?) = 0,5 – 0,1200 = 0,3800, portanto, z = –1,175 z = (b – ì )/ó, –1,175 = [(b – 73)/15], b = 55. 5.5

a)

[z > (a – ì )/ó] = [z > (46 – 48)/2] P(x > 46000) = P(z > –1,00) = 0,5 + P(z < 1,00) = 0,5 + 0,3413 = 0,8413.

b)

[(a – ì )/ó < z < (b – ì )/ó] = [(45 – 48)/2 < z < (50 – 48)/2] P(45000 < x < 50000) = P(–1,5 < z < 1,00) = P(z < 1,5) + P(z < 1,00) = 0,4332 + 0,3413 = 0,7745.

5.6 a)

[z < (a – ì )/ó] = [z < (–3 – 12)/5] P(x < –3) = P(z < –3,00) = 0,5 – P(z < 3,00) = 0,5 – 0,49865 = 0,00135.

b)

[(a – ì )/ó < z < (b – ì )/ó] = [(–1 – 12)/5 < z < (15 – 12)/5] P(–1 < x < 15) = P(–2,60 < z < 0,60) = P(z < 2,60) + P(z < 0,60) = 0,4953 + 0,2257 = 0,7210.

5.7 a)

[(a – ì )/ó < z < (b – ì )/ó] = [(150 – 180)/25 < z < (178 – 180)/25] P(150 < x < 178) = P(–1,20 < z < –0,08) = P(z < 1,20) – P(z < 0,08) = 0,3849 – 0,0319 = 0,3530.

b)

P(z < ?) = 0,48, portanto, z = 2,05 z = (a – ì )/ó, 2,05 = [(a – 180)/25], a = 231,25 z = (b – ì )/ó, –2,05 = [(b – 180)/25], b = 128,75, portanto, 96% dos salários estão entre $ 128, 75 e 231,25.

5.8 2

2

X1 • N (10 g; 0,25 g ) e X2 • N (150 g; 64 g ) 2 2 2 120 * X1 + X2 = T ou N (1200 g; 30 g ) + N (150 g; 64 g ) = N (1350 g; 94 g ) 0,5 [z > (a – ì )/ó] = [z > (1370 – 1350)/(94) ] P(t > 1370) = P(z > 2,06) = 0,5 – P(z < 2,06) = 0,5 – 0,4803 = 0,0197. 5.9 2

2

a)

X1 • N (70 kg; 400 kg ) e X2 • N (12 kg; 25 kg ) 2 2 2 4 * X1 + 4 * X2 = T ou N (280 kg; 1600 kg ) + N (48 kg; 100 kg ) = N (328 kg; 1700 kg ) 0,5 [z > (a – ì )/ó] = [z > (350 – 328)/(1700) ] = 0,53 P(t > 350) = P(z > 0,53) = 0,5 – P(z < 0,53) = 0,5 – 0,2019 = 0,2981.

b)

z > (b – ì )/ó = [(400 – 328)/(1700) , z > (400 – 328)/(1700) = 1,74 P(t > 400) = P(z > 1,74) = 0,5 – P(z < 1,74) = 0,5 – 0,4591 = 0,0409.

0,5

0,5

5.10 P(z < –?) = P(z < ?) = 0,5 – 0,12 = 0,38, portanto, z = –1,18 ... z = (a – ì )/ó, –1,18 = (19 – ì )/ó, ó = (19 – ì )/1,18 P(z < ?) = 0,5 – 0,28 = 0,22, portanto, z = 0,58 ... z = (b – ì )/ó, 0,58 = (34 – ì )/ó, ó = (34 – ì )/0,58 –(19 – ì )/1,18 = (34 – ì )/0,58 ... –11,02 + 0,58ì = 40,12 – 1,18ì ... 1,76ì = 51,14 ... ì = 29,06 2 e 0,58 = (34 – ì )/ó ... 0,58 = (34 – 29,06)/ó ... ó = 8,52, ó = 72,64.

5.11 X1 • N (10; 9), X 2 • N (–2; 4) e X 3 • N (5; 25) X1 + X2 + X3 = T ou N (10; 9) + N (–2; 4) + N (5; 25)= N (13; 38). 5.12 a)

[(a – ì )/ó < z < (b – ì )/ó] = [(0,20 – 0,25)/0,02 < z < (0,28 – 0,25)0,02] P(0,20 < x < 0,28) = P(–2,5 < z < 1,5) = P(z < 2,5) + P(z < 1,5) = 0,4938 + 0,4332 = 0,9270, portanto, 1 – 0,9270 = 0,0730 é a porcentagem de defeituosos.

b)

P(z < –?) = 0,5 – 0,12 = 0,38, portanto, z = –1,17 ... z = (a – ì )/ó ... –1,17 = (? – 0,25)/0,02 ... ? = 0,2266 polegadas.

5.13 z > (a – ì )/ó = z > (45 – 45)/3, P(x > 45) = P(z > 0) = 0,5 z > (b – ì )/ó = z > (45 – 40)/6, P(x > 45) = P(z > 0,83) = 0,5 – 0,2967 = 0,2033 Deve ser preferido o equipamento 1, uma vez que sua probabilidade de funcionar por mais de 45 horas é maior que a probabilidade do equipamento 2. 5.14 P(z < –?) = 0,10 ... P(z < ?) = 0,40, portanto, z = –1,28 z = (a – ì )/ó ... –1,28 = [(400 – ì )/20] ... ì = 425,6 g. 5.15 a)

[(a – ì )/ó < z < (b – ì )/ó] = {[(ì – ó) – ì ]/ó
b)

[(a – ì )/ó < z < (b – ì )/ó] = {[(ì – 2ó) – ì ]/ó
c)

[(a – ì )/ó < z < (b – ì )/ó] = {[(ì – 3ó) – ì ]/ó
d)

[(a – ì )/ó < z < (b – ì )/ó] = {[(ì – 1,5ó) – ì ]/ó
e)

[(a – ì )/ó < z < (b – ì )/ó] = {[(ì – 3,5ó) – ì ]/ó
5.16 b)

O intervalo compreendido entre o valor da média menos dois desvios padrão e o valor da média mais dois desvios padrão contém aproximadamente 95% das observações.

c)

O intervalo compreendido entre o valor da média menos três desvios padrão e o valor da média mais três desvios padrão contém aproximadamente 99,7% das observações.

d)

O intervalo compreendido entre o valor da média menos um e meio desvios padrão e o valor da média mais um e meio desvios padrão contém aproximadamente 87% das observações.

e)

O intervalo compreendido entre o valor da média menos três e meio desvios padrão e o valor da média mais três e meio desvios padrão contém aproximadamente 100% das observações.

5.17 a)

P(x < –?) = 0,05, P(x < ?) = 0,5 – 0,05 = 0,45 P(z < ?) = 0,45, portanto, z = –1,645 ... z = (a – ì )/ó ... –1,64 = (? – 18)/8 ... ? = 4,88.

b)

P(x > ?) = 0,15, P(x < ?) = 0,5 – 0,15 = 0,35 P(z < ?) = 0,35, portanto, z = 1,04 ... z = (a – ì )/ó ... 1,04 = (? – 20)/10 ... ? = 30,4.

c)

P(x < –?) = 0,10, P(x < ?) = 0,5 – 0,10 = 0,40 P(z < ?) = 0,40, portanto, z = –1,28 ... z = (a – ì )/ó ... –1,28 = (? – 30)/7 ... ? = 21,04.

d)

P(x > ?) = 0,30, P(x < ?) = 0,5 – 0,30 = 0,20 P(z < ?) = 0,20, portanto, z = 0,52 ... z = (a – ì )/ó ... 0,52 = (? – 120)/9 ... ? = 124,68.

e)

P(x < –?) = 0,25, P(x < ?) = 0,5 – 0,25 = 0,25 P(z < ?) = 0,25, portanto, z = –0,67 ... z = (a – ì )/ó ... –0,67 = (? – 5)/3 ... ? = 2,99.

f)

P(x > ?) = 0,25, P(x < ?) = 0,5 – 0,25 = 0,25 P(z < ?) = 0,25, portanto, z = 0,67 ... z = (a – ì )/ó ... 0,67 = (? – 78)/11 ... ? = 85,37.

g)

P(x < ?) = 0,5 P(z < ?) = 0,5, portanto, z = 0 ... ? = ì = 30.

5.18 a)

P(Z < –Zo) = 0,05, P(Z < Zo) = 0,5 – 0,05 = 0,45, portanto, z = –1,64.

b)

P(Z < –Zo) = 0,12, P(Z < Zo) = 0,5 – 0,12 = 0,38, portanto, z = –1,17.

c)

P(Z < –Zo) = 0,35, P(Z < Zo) = 0,5 – 0,35 = 0,15, portanto, z = –0,39.

d)

P(Z < Zo) = 0,50, portanto, z = 0.

e)

P(Z < Zo) = 0,60, P(Z < Zo) = 0,60 – 0,5 = 0,10, portanto, z = 0,25.

f)

P(Z < Zo) = 0,75, P(Z < Zo) = 0,75 – 0,5 = 0,25, portanto, z = 0,67.

g)

P(Z < Zo) = 0,90, P(Z < Zo) = 0,90 – 0,5 = 0,40, portanto, z = 1,28.

h)

P(Z > Zo) = 0,72, P(Z < –Zo) = 0,28, P(Z < Zo) = 0,5 – 0,28 = 0,22, portanto, z = –0,58.

i)

P(Z > Zo) = 0,65, P(Z < –Zo) = 0,35, P(Z < Zo) = 0,5 – 0,35 = 0,15, portanto, z = –0,39.

j)

P(Z > Zo) = 0,38, P(Z < Zo) = 0,5 – 0,38 = 0,12, portanto, z = 0,31.

l)

P(Z > Zo) = 0,08, P(Z < Zo) = 0,5 – 0,08 = 0,42, portanto, z = 1,41.

5.19 X • N (65; 100) P(z > a) = 0,15, P(z < a) = 0,5 – 0,15 = 0,35, portanto, z = 1,04, z = (a – ì )/ó ... 1,04 = (a – 65)/10 ... a = 75,4; P(z > b) = 0,15 + 0,20, P(z < b) = 0,5 – 0,35 = 0,15, portanto, z = 0,39, z = (b – ì )/ó ... 0,39 = (b – 65)/10 ... b = 68,9; P(z > –c) = 0,65, P(z < c) = 0,65 – 0,5 = 0,15, portanto, z = –0,39, z = (c – ì )/ó ... –0,39 = (c – 65)/10 ... c = 61,10; P(z > –d) = 0,90, P(z < c) = 0,90 – 0,5 = 0,40, portanto, z = –1,28, z = (d – ì )/ó ... –1,28 = (d – 65)/10 ... d = 52,20; Portanto, E D C B 0

52,20

61,10

68,90

A

75,40

100

5.20 2

X • N (50 ohms ; 40 ohms ), P(a < x < b) = 0,99 e |a| = |b| P(z < b) = 0,99/2 = 0,4950, portanto z = 2,575 z = (b – ì )/ó ... 2,575 = (b – 50)/6,32 ... 16,27 = (b – 50) ... b = 16,27 + 50 (limite superior) e –z = (a – ì )/ó ... –2,575 = (a – 50)/6,32 ... –16,27 = (a – 50) ... a = 16,27 – 50 (limite inferior). 5.21 X • N (70; 100) P(z > a) = 0,15, P(z < a) = 0,5 – 0,15 = 0,35, portanto, z = 1,04, z = (a – ì )/ó ... 1,04 = (a – 70)/10 ... a = 80,4; P(z > b) = 0,15 + 0,20, P(z < b) = 0,5 – 0,35 = 0,15, portanto, z = 0,39, z = (b – ì )/ó ... 0,39 = (b – 70)/10 ... b = 73,9; P(z > –c) = 0,65, P(z < c) = 0,65 – 0,5 = 0,15, portanto, z = –0,39, z = (c – ì )/ó ... –0,39 = (c – 70)/10 ... c = 66,10; P(z > –d) = 0,90, P(z < c) = 0,90 – 0,5 = 0,40, portanto, z = –1,28, z = (d – ì )/ó ... –1,28 = (d – 70)/10 ... d = 57,20; Portanto, E D C B 0

57,20

66,10

73,90

A 80,40

100

5.22 2

X • N (1,5 ano; 0,09 ano ) z < (a – ì )/ó = z < (1 – 1,5)/0,3 = z < –1,67, P(x < 1 ano) = P(z < –1,67) = 0,5 – P(z < 1,67) = 0,5 – 0,4525 = 0,0475, ou, 570 máquinas.. 5.23 P(x < 20), z < (a – ì )/ó = z < (20 – 18)/5, P(z < 0,40) = 0,5 + 0,1554 = 0,6554 P(x < 20), z < (b – ì )/ó = z < (20 – 20)/2, P(z < 0) = 0,50 Deve ser escolhido o trajeto A, uma vez que sua probabilidade é maior que a probabilidade do trajeto B.

5.24 2

X • N (104 ano; 225 ano ) P(x < 98), z < (a – ì )/ó = z < (98 – 104)/15, P(z < –0,4) = 0,5 – P(z < 0,4) = 0,5 – 0,1554 = 0,3446, ou 1378,5 empregados tem QI abaixo de 98 P(x > 110), z > (b – ì )/ó = z < (110 – 104)/15, P(z > 0,4) = 0,5 – P(z < 0,4) = 0,5 – 0,1554 = 0,3446, ou 1378,5 empregados tem QI acima de 110, assim, Total de adaptados = Total de empregados – Total de não capacitados – Total de supercapacitados = 4000 – 1378,5 – 1378,5 = 1243. 5.25 a)

P(x > 200), z > (a – ì )/ó = z > (200 – 250)/20, P(z > –2,5) = 0,5 + P(z < 2,5) = 0,5 + 0,4938 = 0,9938.

b)

X = N(250, 20), portanto, Y = N(1000, 80) P(y > 1150), z > (a – ì )/ó = z > (1150 – 1000)/80, P(z > 1,875) = 0,5 – P(z < 1,875) = 0,5 – 0,4672 = 0,0328.

5.26 X • N (2; 0,0001), P(2,03 < x < 2,03) = ? [(a – ì )/ó < z < (b – ì )/ó] = {[(ì – 3ó) – ì ]/ó
P(x > 50), z > (a – ì )/ó = z > (50 – 45)/8, P(z > 0,63) = 0,5 – P(z < 0,63) = 0,5 – 0,2357 = 0,2643.

b)

P(z < ?) = 0,40, portanto, z = 1,28 z = (a – ì )/ó, 1,28 = [(a – 45)/8], a = 55 min e 15 segundos.

5.28 X1 • N (94; 2,98) * 22 = N (2068; 65,56) X2 • N (42; 1,21) * 14 = N (588; 16,94) e X3 • N (3,35; 0,04) * 120 = N (402,0; 4,8) 22 * X1 + 14 * X2 + 120 * X3 = T = N (3058; 87,3). Peso Total = Caminhão Vazio + Motorista + Produtos, Produtos = 3040 0,5 P(x < 3040) = ?, z < (a – ì )/ó = z < (3040 – 3058)/(87,3) , P(z < –1,92) = 0,5 – P(z < 1,92) = 0,5 – 0,4726 = 0,0274 Probabilidade de ser multado = 1,00 – 0,0274 = 0,9726 = 97%. 5.29 a) b)

P(x < 80) = 0,5. P(x > 120) = ?, z > (a – ì )/ó = z > (120 – 80)/20, P(z > 2) = 0,5 – P(z < 2) = 0,5 – 0,4772 = 0,0228.

c)

P(x < 60) = ?, z < (a – ì )/ó = z < (60 – 80)/20, P(z < –1) = 0,5 – P(z < 1) = 0,5 – 0,3413 = 0,1587 ou 32 candidatos.

5.30 P(y > 22) = ?, z > (a – ì )/ó = z > (22 – 16)/4, P(z > 1,5) = 0,5 – P(z < 1,5) = 0,5 – 0,4332 = 0,0668. P(y < 15) = ?, z < (a – ì )/ó = z < (15 – 16)/4, P(z < –0,25) = 0,5 – P(z < 0,25) = 0,5 – 0,0987 = 0,4013. 5.31 a)

P(x < 700) = ?, z < (a – ì )/ó = z < (700 – 800)/90, P(z < –1,11) = 0,5 – P(z < 1,11) = 0,5 – 0,3665 = 0,1335.

b)

P(780 < x < 820) = ?, [(a – ì )/ó < z < (b – ì )/ó] = (780 – 800)/90 < z < (820 – 800)/90 = –0,22 < z < 0,22, P(–0,22 < z < 0,22) = 2 * P(z < 0,22) = 2 * 0,0871 = 0,1742.

c)

P(Peixe acima, Peixe abaixo) + P(Peixe abaixo, Peixe acima) = 0,5.

5.32 X1 • N (2; 0,01), X 2 • N (1; 0,00600625), X 3 • N (0,5; 0,00399424) e X 4 • N (1,5; 0,01100401) X1 + X2 + X3 + X4 = N (5; 0,0310045) P(4,9 < x < 5,1) = ?, [(a – ì )/ó < z < (b – ì )/ó] = (4,9 – 5)/ 0,18 < z < (5,1 – 5)/ 0,18 = –0,56 < z < 0,56, P(–0,56 < z < 0,56) = 2 * P(z < 0,56) = 2 * 0,2123 = 0,4246.

SÉRIE II 5.33 P(t < 1000) = 1 – e

a) b)

– t / 1000

=1–e

–1

= 1 – 0,3679 = 0,6321.

ì = 1/ë, ì = 1/ (1/1000), portanto, ì = 1000 – t / 1000 –1 P(t > 1000) = e = e = 0,3679. ó = 1/ë, ó = 1/ (1/1000), ó = 1000 horas .

c) 5.34 a)

ì = ët, 0,25 = ë * 1, ë = 0,25 –ë t –0,25 * (1) –0,25 P(t < 1) = 1 – e =1–e =1–e = 1 – 0,7788 = 0,2212.

b)

P(10 < t < 12) = e 0,0323.

–ë t1

–e

–ë t2

=e

–0,25 * 10

–e

–0,25 * 12

=e

–2,5

c)

P(t = 4) = 0, uma vez que a área de um ponto é igual a zero.

d)

P(t > 3) = e

–ë t

=e

–0,25 * (3)

=e

–0,75

–e

–3

= 0,0821 – 0,0498 =

= 0,4724.

5.35 a)

ì = 1 / ë, 4 = 1 / ë, ë = 0,25 –ë t –0,25 * (4) –1 P(t > 4) = e =e = e = 0,3679. –ë t

=1–e

–0,25 * (5)

=1–e

–1,25

b)

P(t < 5) = 1 – e

= 1 – 0,2865 = 0,7135.

c)

P(t = 4) = 0, uma vez que a área de um ponto é igual a zero.

5.36 ì = 1 / ë, 100 = 1 / ë, ë = 0,01, portanto, P(t > 200) = e

–0,01 * 200

=e

–2

= 0,1353.

SÉRIE III 5.37 ö = 23, portanto, 2 Média: ì (x 23) = 23, 2 2 2 0,5 Variância: ó (x 23) = 2 * 23 = 46 e Desvio padrão: ó (x 23) = (46) = 6,78, 3º Quartil: ö = 23 e á = 0,25, Q3 = 27,141. 5.38 ö = 8 e á = 0,10, as s im, X

2 sup

= 13,36 e ö = 8 e á = 0,90, as s im, X

2 inf

= 3,49.

5.39 ö = 23, portanto, Média: ì (t23) = 0 e Moda: Mo = 0, 2 0,5 Variância: ó (t23) = 23 / (23 – 2) = 1,095 e Desvio padrão: ó (t23) = (1,095) = 1,0465, 3º Quartil: ö = 23 e á = 0,25, Q3 = 0,6853 e, por simetria, 1º Quartil: Q1 = – 0,6853. 5.40 a: ö = 20 e á = 0,10, a = – 1,3253 e b: ö = 20 e á = 0,025, b = 2,0860. 5.41 ö1 = 8 e ö2 = 10, portanto, Média: ì = ö2 /(ö2 – 2), ì = 10 / 8 = 1,25 2 2 2 Variância: ó = [2 * ö 2 * (ö1 + ö2 – 2)] / [ö1 * (ö2 – 4) * (ö2 – 2) ] = (2 * 100 * 16)/(8 * 6 * 64) = 0,5 1,042 e Desvio padrão: ó = (1,042) = 1,021 P95 = F5% (8, 10) = 3,07, logo, P95 = 3,07 e P5 = F95% (8, 10) = 1 / [F5% (10, 8)] = 1 / 3,35 = 0,2985, logo, P5 = 0,2985. 5.42 a) P(Z < –Zo) = 0,25, P(Z < Zo) = 0,5 – 0,25 = 0,25, portanto, z = –0,67, z = (a – ì )/ó, –0,67 = [(a – 100)/7], a = 95,31. b) P(Z > Zo) = 0,65, P(Z < –Zo) = 0,35, P(Z < Zo) = 0,5 – 0,35 = 0,15, portanto, z = –0,39. c) P(Z < Zo) = 0,80, P(Z < Zo) = 0,80 – 0,5 = 0,30, portanto, z = 0,84. d) P(–1,57 • z • 2,42) = P(z < 1,57) + P(z < 2,42) = 0,4418 + 0,4922 = 0,9340. e) P(Z < Zo) = 0,40, portanto, z = 1,28, z = (a – ì )/ó, 1,28 = [(a – 2000)/45], a = $ 2057,60. f)

1º Quartil: ö = 30 e á = 0,75, Q1 = 24,478. 2

2

2

2

g) X : ö = 15 e á = 0,90, X = 8,55. h) X : ö = 15 e á = 0,10, X = 22,31. i)

2

ó (x

2 23)

= 50, portanto, ö = 25, D9: ö = 25 e á = 0,10, D9 = 34,381.

j)

2

2

áinf: x inf = 13,8 e ö = 26, áinf = 0,975 e ásup: x sup = 38,9 e ö = 26, ásup = 0,05, portanto 2 2 2 P(13,8 • x 26 • 38,9) = P(x 26 • 13,8) – P(x 26 • 38,9) = 0,975 – 0,05 = 0,925.

l)

3º Quartil: ö = 5 e á = 0,25, Q3 = 0,7267.

m)

á: ö = 8 e t = 2,3060, á = 0,025.

n)

á: ö = 14 e t = 2,9768, á = 0,005, portanto, ácompl = 1 – 0,005 = 0,995.

o) p) q)

á1: ö = 22 e t = - 1,3212, á1 = 0,10 e á2: ö = 22 e t = 2,8188, á2 = 0,005, P(-1,3212 • t 22 • 2,8188) = P(t 22 • –1,3212) – P(t 22 • 2,8188) = 0,90 – 0,005 = 0,895. 95º Percentil: ö = 27 e á = 0,05, P 95 = 1,7033. á1: ö = 30 e t = 0,68276, á1 = 0,25 e á2: ö = 30 e t = 2,7500, á2 = 0,005, P(–0,68276 • t 30 • 2,7500) = P(t 22 • –0,68276) – P(t 22 • 2,7500) = 0,75 – 0,005 = 0,745.

r)

P5 = F95% (8, 7) = 1 / [F5% (7, 8)] = 1 / 3,50 = 0,2857, logo, P5 = 0,2857.

s)

P95 = F5% (7, 8) = 3,50, logo, P95 = 3,50.

t) u)

Psup = Fsup (1, 8) = 5,32, logo, Sup = 0,05 e Pinf = 1 / Finf (8, 1) = 0,00418, logo, Inf = 0,95 P(0,00418 • F (1, 8) • 5,32) = P(F (1, 8) • 0,00418) – P(F (1, 8) • 5,32) = 0,95 – 0,05 = 0,90. Pinf = 1 / Finf (4, 6) = 0,22075, Finf (4, 6) = 0,05, logo, Inf = 0,05.

Soluções e Respostas Capítulo 6 – Distribuições Amostrais SÉRIE I 6.1 k) Média da População: ì = Óxi / N = 14 / 4 = 3,5. l)

2

2

Desvio Padrão da População: ó = [Ó(xi – ì ) ] / N = 5 / 4 = 1,25 e ó = 1,1180.

m) Amostras = {(2, 2); (2, 3); (2, 4); (2, 5); (3, 2); (3, 3); (3, 4); (3, 5); (4, 2); (4, 3); (4, 4); (4, 5); (5, 2); (5, 3); (5, 4); (5, 5)} Média da distribuição amostral das médias: ì (xmedia) = (xmedia da amostra 1 + ... + xmedia mostra n) / Nº de amostras = (2 + 2,5 + 3 + 3,5 + 2,5 + 3 + 3,5 + 4 + 3 + 3,5 + 4 + 4,5 + 3,5 + 4 + 4,5 + 5) / 16 = 56 / 16 = 3,5. 2

n) Desvio Padrão da distribuição amostral das médias: ó (xmedia) = [Ó(xmedia de cada amostra – 2 2 2 2 2 2 2 2 ì (xmedia) ] / Nº de amostras = [(– 1,5) + (– 1) + (– 0,5) + (0) + (– 1) + (– 0,5) + (0) + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (0,5) + (– 0,5) + (0) + (0,5) + (1) + (0) + (0,5) + (1) + (1,5) ] / 16 = 10 / 16 = 0,625 e ó(xmedia) = 0,7906. Fica constatado que: ì (xmedia) = ì , uma vez que 3,5 = 3,5 e 0,5 0,5 ó(xmedia) = ó / (n) , uma vez que 0,7906 = 1,1180 / (2) . 6.2 a)

Média da População: ì = Óxi / N = 14 / 4 = 3,5.

b)

Desvio Padrão da População: ó = [Ó(xi – ì ) ] / N = 5 / 4 = 1,25 e ó = 1,1180.

2

2

c)

Amostras = {(2, 3); (2, 4); (2, 5); (3, 2); (3, 4); (3, 5); (4, 2); (4, 3); (4, 5); (5, 2); (5, 3); (5, 4)} Média da distribuição amostral das médias: ì (xmedia) = (xmedia da amostra 1 + ... + xmedia mostra n) / Nº de amostras = (2,5 + 3 + 3,5 + 2,5 + 3,5 + 4 + 3 + 3,5 + 4,5 + 3,5 + 4 + 4,5) / 12 = 42 / 12 = 3,5.

d)

Desvio Padrão da distribuição amostral das médias: ó (xmedia) = [Ó(xmedia de cada amostra – 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ì (xmedia) ] / Nº de amostras = [(– 1) + (– 0,5) + (0) + (– 1) + (0) + (0,5) + (– 0,5) + (0) + 2 2 2 2 (1) + (0) + (0,5) + (1) ] / 12 = 10 / 12 = 0,4167 e ó(xmedia) = 0,6455.

2

Fica constatado que: ì (xmedia) = ì , uma vez que 3,5 = 3,5 e 0,5 0,5 0,5 0,5 ó(xmedia) = [ó(x) / (n) ] * [(N – n)/(N – 1)] , uma vez que 0,6455 = [1,1180 / (2) ] * (2/3) . 6.3 2

Média Amostral: xmedia; Variância Amostral: S ; Freqüência Relativa: f; Diferença entre duas Médias: (xmedia1 – xmedia2); Diferença entre duas Freqüência Relativas: (f1 – f2). 6.4

a) p = probabilidade de uma peça boa = 2/4 = ½ n Como neste primeiro caso temos reposição das peças, o número de amostras é igual a N 2 = 4 = 16 amostras: {(B1, B1); (B1, B2); (B1, D1); (B1, D2); (B2, B1); (B2, B2); (B2, D1); (B2, D2); (D1, B1); (D1, B2); (D1, D1); (D1, D2); (D2, B1); (D2, B2); (D2, D1); (D2, D2)} Para cada uma das amostras, devemos calcular o f, ou seja, o número de casos favoráveis ao evento retirar pelo menos uma peça boa sobre o número total de casos da amostra. Multiplicando cada um destes f pela probabilidade da amos tra ocorrer (1/16), teremos ì (f). Portanto, ì (f) = 1/16 * 2/2 + 1/16 * 2/2 + 1/16 * ½ + 1/16 * ½ + 1/16 * 2/2 + 1/16 * 2/2 + 1/16 * ½ + 1/16 * ½ + 1/16 * ½ + 1/16 * ½ + 1/16 * 0/2 + 1/16 * 0/2 + 1/16 * ½ + 1/16 * ½ + 1/16 * 0/2 + 1/16 * 0/2 = 4 * (1/16 * 2/2) + 8 * (1/16 * ½) + 4 * (1/16 * 0) = ½ Como p = ½ e as amostras são de tamanho 2 e com reposição, temos: [(p * q) / n] = [(½ * ½) / 2] = 1/8 2 2 2 Para encontrar ó (f), devemos encontrar a E[f ] e s ubtrair ì (f) . 2 2 2 2 2 2 2 E[f ] = Ó f * p(f) = (2/2) * 1/16 + (2/2) * 1/16 + (½) * 1/16 + (½) * 1/16 + (2/2) * 1/16 + 2 2 2 2 2 2 2 (2/2) * 1/16 + (½) * 1/16 + (½) * 1/16 + (½) * 1/16 + (½) * 1/16 + (0/2) * 1/16 + (0/2) * 2 2 2 2 2 2 1/16 + (½) * 1/16 + (½) * 1/16 + (0/2) * 1/16 + (0/2) * 1/16 = 4 * [(2/2) * 1/16] + 8 * [(½) * 1/16] + 4 * [0 * 1/16] = 3/8 2 2 2 2 ó (f) = E[f ] – ì (f) = 3/8 – (1/2) = 1/8 Portanto, fica constatado que: ì (f) = p, uma vez que 0,5 = 0,5 e 2 ó (f) = [(p * q) / n], uma vez que 0,125 = 0,125. b) p = probabilidade de uma peça boa = 2/4 = ½ Como neste segundo caso não temos reposição das peças, o número de amostras é igual a = N = 4 = 6 amostras: {(B1, B2); (B1, D1); (B1, D2); (B2, D1); (B2, D2); (D1, D2)} n 2 Novamente, para cada uma das amostras, devemos calcular o f, ou seja, o número de casos favoráveis ao evento retirar pelo menos uma peça boa sobre o número total de casos da amostra. Multiplicando cada um destes f pela probabilidade da amostra ocorrer (1/6), teremos ì (f). Portanto, ì (f) = 1/6 * 2/2 + 1/6 * ½ + 1/6 * ½ + 1/6 * ½ + 1/6 * ½ + 1/6 * 0/2 = (1/6 * 2/2) + 4 * (1/6 * ½) + (1/16 * 0) = ½ Como p = ½ e as amostras são de tamanho 2 e sem reposição, temos: [(p * q) / n] * [(N – n) / (N – 1)] = [(½ * ½) / 2] * [(4 – 2) / (4 – 1)] = 1/8 * 2/3 = 1/12 2 2 2 Novamente, para encontrar ó (f), devemos encontrar E[f ] e s ubtrair ì (f) . 2 2 2 2 2 2 2 2 E[f ] = Ó f * p(f) = (2/2) * 1/6 + (½) * 1/6 + (½) * 1/6 + (½) * 1/6 + (½) * 1/6 + (0/2) * 1/6 2 2 = [(2/2) * 1/6] + 4 * [(½) * 1/6] + [0 * 1/6] = 1/3 2 2 2 2 ó (f) = E[f ] – ì (f) = 1/3 – (1/2) = 1/12 Portanto, fica constatado que: ì (f) = p, uma vez que 0,5 = 0,5 e 2 ó (f) = [(p * q) / n], uma vez que 1/12 = 1/12. 6.5 xmedia = Óxi / n = (5 + 6 + ... + 4) / 30 = 104 / 30 = 3,48, * utilizando o estimador, x = N * xmedia , x = 15000 * 104 /30 = 52000. 6.6 xmedia = (Óxi * Fi) / n = (42 * 23 + ... + 3 * 1) / 50 = 1471 / 50 = 29,42,

*

utilizando o estimador, x = N * xmedia , x = 676 * 29,42 = 19888 assinaturas. 6.7 -

Soluções e Respostas Capítulo 7 – Inferência Estatística: Estimativas por Ponto e Intervalos de Confiança SÉRIE I 7.1 n = 25, xmedia = 5,2 mm, ó = 1,2 mm Para (1 – á) * 100 = 90% , á/2 = 5% , portanto z = 1,64; aplicando a fórmula: 0,5 0,5 P {xmedia – [z * ó/(n) ] • ì • x media + [z * ó/(n) ]} temos, P [5,2 – (1,64 * 1,2 / 5) • ì • 5,2 + (1,64 * 1,2 / 5)] = P (4,81 • ì • 5,59), portanto, o intervalo [4,81; 5,59] contém a média populacional com 90% de confiança. Para (1 – á) * 100 = 95% , á/2 = 2,5% , portanto z = 1,96, que aplicando a fórmula: 0,5 0,5 P {xmedia – [z * ó/(n) ] • ì • x media + [z * ó/(n) ]} temos, P [5,2 – (1,96 * 1,2 / 5) • ì • 5,2 + (1,96 * 1,2 / 5)] = P (4,73 • ì • 5,67), portanto, o intervalo [4,73; 5,67] contém a média populacional com 95% de confiança. Para (1 – á) * 100 = 99% , á/2 = 0,5% , portanto z = 2,56, que aplicando a fórmula: 0,5 0,5 P {xmedia – [z * ó/(n) ] • ì • x media + [z * ó/(n) ]} temos, P [5,2 – (2,56 * 1,2 / 5) • ì • 5,2 + (2,56 * 1,2 / 5)] = P (4,58 • ì • 5,82), portanto, o intervalo [4,58; 5,82] contém a média populacional com 99% de confiança. 7.2 n = 6, xmedia = 26,883, ó = 1,4 Para (1 – á) * 100 = 95% , á/2 = 0,025, portanto z = 1,96, que aplicando a fórmula: 0,5 0,5 P {xmedia – [z * ó/(n) ] • ì • x media + [z * ó/(n) ]} temos, P [26,88 – (1,96 * 1,4 / 2,45) • ì • 26,88 + (1,96 * 1,4 / 2,45)] = P (25,76 • ì • 28,00), portanto, o intervalo [25,76; 28,00] contém a média populacional com 95% de confiança. Para (1 – á) * 100 = 90% , á/2 = 0,05, portanto z = 1,64, que aplicando a fórmula: 0,5 0,5 P {xmedia – [z * ó/(n) ] • ì • x media + [z * ó/(n) ]} temos, P [26,88 – (1,64 * 1,4 / 2,45) • ì • 26,88 + (1,64 * 1,4 / 2,45)] = P (25,94 • ì • 27,82), portanto, o intervalo [25,94; 27,82] contém a média populacional com 90% de confiança. 7.3 n = 100, xmedia = 175 cm, ó = 15 cm Para (1 – á) * 100 = 95% , á/2 = 2,5% , portanto z = 1,96, que aplicando a fórmula: 0,5 0,5 P {xmedia – [z * ó/(n) ] • ì • x media + [z * ó/(n) ]} temos, P [175 – (1,96 * 15 / 10) • ì • 175 + (1,96 * 15 / 10)] = P (172,06 • ì • 177,94), portanto, o intervalo [172,06 cm; 177,94 cm] contém a verdadeira altura média dos alunos com 95% de confiança. 7.4 n = 10, xmedia = 110, S = 10 Para (1 – á) * 100 = 90% e graus de liberdade = 9, portanto t = 1,83, que aplicando a fórmula: 0,5 0,5 P {xmedia – [t * S/(n) ] • ì • x media + [t * S/(n) ]} temos, P [110 – (1,83 * 10 / 3,16) • ì • 110 + (1,83 * 10 / 3,16)] = P (104,21 • ì • 115,79), portanto, o intervalo [104,21; 115,79] contém a média populacional com 90% de confiança. Para (1 – á) * 100 = 95% e graus de liberdade = 9, portanto t = 2,26, que aplicando a fórmula:

0,5

0,5

P {xmedia – [t * S/(n) ] • ì • x media + [t * S/(n) ]} temos, P [110 – (2,26 * 10 / 3,16) • ì • 110 + (2,26 * 10 / 3,16)] = P (102,85 • ì • 117,15), portanto, o intervalo [102,85; 117,15] contém a média populacional com 95% de confiança. Admite-se a hipótese de que a distribuição de probabilidade da população é normal. 7.5 n = 16, xmedia = 10,875, S = 2,63 Para (1 – á) * 100 = 95% e graus de liberdade = 15, portanto t = 2,1315, que aplicando a fórmula: 0,5 0,5 P {xmedia – [t * S/(n) ] • ì • x media + [t * S/(n) ]} temos, P [10,875 – (2,1315 * 2,63 / 4) • ì • 10,875 + (2,1315 * 2,63 / 4)] = P (9,474 • ì • 12,276), portanto, o intervalo [9,474; 12,276] contém a média populacional com 95% de confiança. Para (1 – á) * 100 = 80% e graus de liberdade = 15, portanto t = 1,3406, que aplicando a fórmula: 0,5 0,5 P {xmedia – [t * S/(n) ] • ì • x media + [t * S/(n) ]} temos, P [10,875 – (1,3406 * 2,63 / 4) • ì • 10,875 + (1,3406 * 2,63 / 4)] = P (9,994 • ì • 11,756), portanto, o intervalo [9,994; 11,756] contém a média populacional com 80% de confiança. A amplitude do primeiro intervalo é de 2,80, enquanto a amplitude do segundo é de 1,77. A preferência poderia ser pelo segundo intervalo, mas sua probabilidade de erro é de 20%, enquanto que a probabilidade do primeiro é de apenas 5%. Logo, a opção de escolha pelo primeiro é a mais indicada. 7.6 n = 30, xmedia = 296,63 kg, S = 22,23 kg Para (1 – á) * 100 = 95% e graus de liberdade = 29, portanto t = 2,05, que aplicando a fórmula: 0,5 0,5 P {xmedia – [t * S/(n) ] • ì • x media + [t * S/(n) ]} temos, P [296,63 – (2,05 * 22,23 / 5,48) • ì • 296,63 + (2,05 * 22,23 / 5,48)] = P (287,31 • ì • 305,95), portanto, a amostra satisfaz a especificação pois o intervalo [287,31 kg; 305,95 kg] contém o peso médio da população (300 kg) com 95% de confiança. 7.7 2

2

o) xmedia = Óxi / n = 394 / 30 = 13,13 e S = [Ó(xi – xmedia) ] / (n – 1) = 2,05. p) Para (1 – á) * 100 = 95% e graus de liberdade = 29, portanto t = 2,05, que aplicando a 0,5 0,5 fórmula: P {xmedia – [t * S/(n) ] • ì • x media + [t * S/(n) ]} temos, P [13,13 – (2,05 * 1,43 / 5,48) • ì • 13,13 + (2,05 * 1,43 / 5,48)] = P (12,60 • ì • 13,66), portanto, o intervalo [12,60; 13,66] contém a média populacional com 94,5% de confiança. 7.8 2

2

n = 4, xmedia = 29,2 s, S = 5,76 s , S = 2,4 Para (1 – á) * 100 = 90% e graus de liberdade = 3, portanto t = 2,35, que aplicando a fórmula: 0,5 0,5 P {xmedia – [t * S/(n) ] • ì • x media + [t * S/(n) ]} temos, P [29,2 – (2,35 * 2,4 / 2) • ì • 29,2 + (2,35 * 2,4 / 2)] = P (26,38 • ì • 32,02), portanto, o intervalo [26,38 s; 32,02 s] contém a média populacional com 90% de confiança. 7.9

a)

n = 12, xmedia = 10,42 e S = 4,98 Para (1 – á) * 100 = 95% e graus de liberdade = 11, portanto t = 2,2, que aplicando a 0,5 0,5 fórmula: P {xmedia – [t * S/(n) ] • ì • x media + [t * S/(n) ]} temos, P [10,42 – (2,2 * 4,98 / 3,46) • ì • 10,42 + (2,2 * 4,98 / 3,46)] = P (7,25 • ì • 13,59), portanto, o intervalo [7,25; 13,59] contém a média populacional com 95% de confiança.

b)

n = 55, xmedia = 23,37 e S = 4,38 Para (1 – á) * 100 = 95% e graus de liberdade = 54, portanto t = 2,0049, que aplicando a 0,5 0,5 fórmula: P {xmedia – [t * S/(n) ] • ì • x media + [t * S/(n) ]} temos, P [23,37 – (2 * 4,38 / 7,42) • ì • 23,37 + (2 * 4,38 / 7,42)] = P (22,19 • ì • 24,55), portanto, o intervalo [22,19 • ì • 24,55] cont ém a média populacional com 95% de confiança.

c)

n = 15, xmedia = 10,33 e S = 4,24. Para (1 – á) * 100 = 95% e graus de liberdade = 14, portanto t = 2,1448, que aplicando a 0,5 0,5 fórmula: P {xmedia – [t * S/(n) ] • ì • x media + [t * S/(n) ]} temos, P [10,33 – (2,15 * 4,24 / 3,87) • ì • 10,33 + (2,15 * 4,24 / 3,87)] = P (7,97 • ì • 12,69), portanto, o intervalo [7,97; 12,69] contém a média populacional com 95% de confiança.

7.10 2

a)

n = 6, S = 0,72 2 2 Para (1 – á) * 100 = 90% e graus de liberdade = 5, portanto x inf = 1,145 e x sup = 11,071, 2 2 2 2 2 que aplicando a fórmula: P {[(n – 1) * S ] / x sup • ó • [(n – 1) * S ] / x inf} temos, 2 2 P [(5 * 0,72) / 11,1 • ó • (5 * 0,72) / 1,15] = P (0,32 • ó • 3,13), portanto, o intervalo [0,32; 3,13] contém a variância populacional com 90% de confiança.

b)

n = 15, S = 3,81 2 2 Para (1 – á) * 100 = 90% e graus de liberdade = 14, portanto x inf = 6,571 e x sup = 23,685, 2 2 2 2 2 que aplicando a fórmula: P {[(n – 1) * S ] / x sup • ó • [(n – 1) * S ] / x inf} temos, 2 2 P [(14 * 3,81) / 23,685 • ó • (14 * 3,81) / 6,57] = P (2,25 • ó • 8,12), portanto, o intervalo [2,25; 8,12] contém a variância populacional com 90% de confiança.

2

7.11 2

n = 10, S = 2,25 2 2 Para (1 – á) * 100 = 80% e graus de liberdade = 9, portanto x inf = 4,168 e x sup = 14,684, que 2 2 2 2 2 aplicando a fórmula: P {[(n – 1) * S ] / x sup • ó • [(n – 1) * S ] / x inf} temos, 2 2 P [(9 * 2,25) / 14,684 • ó • (9 * 2,25) / 4,168] = P (1,38 • ó • 4,86), portanto, o intervalo [1,38; 4,86] contém a variância populacional com 80% de confiança. Admite-se a hipótese de que a distribuição de probabilidade da população é normal. 7.12 Relembrando a fórmula de variância e aplicando os valores, temos 2 2 2 2 S = 1 / (n – 1) * [Ó(xi ) – (Óxi) / n] = 1 / (15 – 1) * [27,3 – (8,7) / 15] = 1,59 e n = 15, 2 2 Para (1 – á) * 100 = 95% e graus de liberdade = 14, portanto x inf = 5,629 e x sup = 26,12, que 2 2 2 2 2 aplicando a fórmula: P {[(n – 1) * S ] / x sup • ó • [(n – 1) * S ] / x inf} temos, 2 2 P [(14 * 1,59) / 26,12 • ó • (14 * 1,59) / 5,629] = P (0,85 • ó • 3,95), portanto, o intervalo [0,85; 3,95] contém a variância populacional com 95% de confiança. 7.13 2

n = 30, S = 494,17

2

2

Para (1 – á) * 100 = 99% e graus de liberdade = 29, portanto x inf = 13,121 e x sup = 52,336, que 2 2 0,5 2 2 2 0,5 aplicando a fórmula: P {([(n – 1) * S ] / x sup) • ó • ([(n – 1) * S ] / x inf) } temos, 0,5 0,5 P {[(29 * 494,17) / 52,336] • ó • [(29 * 494,17) / 13,121] } = P (16,55 • ó • 33,05), portanto, o intervalo [16,55; 33,05] contém o desvio-padrão populacional com 99% de confiança. 7.14 Relembrando a fórmula de variância e aplicando os valores, temos 2 2 2 2 S = 1 / (n – 1) * [Ó(xi ) – (Óxi) / n] = 1 / (30 – 1) * [23436,80 – (700,8) / 30] = 243,66 e n = 30, 2 2 Para (1 – á) * 100 = 90% e graus de liberdade = 29, portanto x inf = 17,708 e x sup = 42,557, que 2 2 2 2 2 aplicando a fórmula: P {[(n – 1) * S ] / x sup • ó • [(n – 1) * S ] / x inf} temos, 2 2 P [(29 * 243,66) / 42,557 • ó • (29 * 243,66) / 17,708] = P (166,04 • ó • 399,04), portanto, o intervalo [166,04; 399,04] contém a variância populacional com 90% de confiança. 7.15 n = 100, f = 0,93 Para (1 – á) * 100 = 95% , á/2 = 0,025, portanto z = 1,96, que aplicando a fórmula: 0,5 0,5 P {f – [z * (f * (1 – f) / n) ] • p• f + [z * (f(1 – f) / n) ]} temos, 0,5 0,5 P {0,93 – [1,96 * (0,93 * 0,07 / 100) ] • p • 0,93 + [1,96 * (0,93 * 0,07 / 100) ]} = P (0,88 • p • 0,98), portanto, o intervalo [16,55; 33,05] contém a proporção populacional com 95% de confiança. 7.16 n = 400, f = 0,25 Para (1 – á) * 100 = 98% , á/2 = 0,01, portanto z = 2,33, que aplicando a fórmula: 0,5 0,5 P {f – [z * (f * (1 – f) / n) ] • p• f + [z * (f(1 – f) / n) ]} temos, 0,5 0,5 P {0,25 – [2,33 * (0,25 * 0,75 / 400) ] • p • 0,25 + [2,33 * (0,25 * 0,75 / 400) ]} = P (0,20 • p• 0,30), portanto, o intervalo [0,20; 0,30] contém a proporção populacional com 98% de confiança. 7.17 n = 50, f = 0,60 Para (1 – á) * 100 = 96% , á/2 = 0,02, portanto z = 2,05, que aplicando a fórmula: 0,5 0,5 P {f – [z * (f * (1 – f) / n) ] • p• f + [z * (f(1 – f) / n) ]} temos, 0,5 0,5 P {0,60 – [2,05 * (0,60 * 0,40 / 50) ] • p • 0,60 + [2,05 * (0,60 * 0,40 / 50) ]} = P (0,46 • p • 0,74), portanto, pode-se dizer, ao nível de 96%, que a moeda é honesta, pois o intervalo de confiança para a proporção de caras [0,46; 0,74] contém p = 50%. 7.18 n = 120, f = 0,2083 Para (1 – á) * 100 = 99% , á/2 = 0,005, portanto z = 2,575, que aplicando a fórmula: 0,5 0,5 P {f – [z * (f * (1 – f) / n) ] • p• f + [z * (f(1 – f) / n) ]} temos, 0,5 P {0,2083 – [2,575 * (0,2083 * 0,7917 / 120) ] • p • 0,2083 – [2,575 * (0,2083 * 0,7917 / 0,5 120) ]} = P (0,1128 • p • 0,3038), portanto, pode-s e dizer, ao nível de 99% , que o dado é honesto, pois o intervalo de confiança para a proporção de cincos [0,11; 0,30] contém p = 17%. 7.19

n = 300, f = 0,60 Para (1 – á) * 100 = 90% , á/2 = 0,05, portanto z = 1,645, que aplicando a fórmula: 0,5 0,5 P {f – [z * (f * (1 – f) / n) ] • p• f + [z * (f(1 – f) / n) ]} temos, 0,5 0,5 P {0,60 – [1,645 * (0,60 * 0,40 / 300) ] • p • 0,60 – [1,645 * (0,60 * 0,40 / 300) ]} = P (0,553 • p • 0,647), portanto, o intervalo [0,553; 0,647] contém a proporç ão populacional de favoráveis à fluoração com 90% de confiança. Para (1 – á) * 100 = 95% , á/2 = 0,025, portanto z = 1,96, que aplicando a fórmula: 0,5 0,5 P {f – [z * (f * (1 – f) / n) ] • p• f + [z * (f(1 – f) / n) ]} temos, 0,5 0,5 P {0,60 – [1,96 * (0,60 * 0,40 / 300) ] • p • 0,60 – [1,96 * (0,60 * 0,40 / 300) ]} = P (0,545 • p • 0,655), portanto, o intervalo [0,545; 0,655] contém a proporç ão populacional de favoráveis à fluoração com 95% de confiança.

Soluções e Respostas Capítulo 8 – Amostragem SÉRIE I 8.1 c) ó = 7000, d = 2000, (1 – á) * 100 = 95,5% , ou s eja: z = 2, aplicando a fórmula: 2 2 2 2 2 n = {(z * ó * N) / [d * (N – 1) + z * ó ]} = [4 * 49000000 * 100 / (4000000 * 99 + 4 * 49000000)] 8 6 = 196 * 10 / 592 * 10 = 33. d)

n = 33 e N = 100, portanto, a = 100 / 33 = 3 e a amostra será composta pelos elementos correspondentes a: 1, 4, 7,10, ..., 100, ou seja, a amostra será: 29, 12, 34, 30, 24, 31, 20, 4, 14, 18, 31, 18, 26, 5, 30, 29, 32, 21, 16, 22, 32, 13, 23, 21, 32, 30, 14, 22, 19, 7, 26, 30, 17, 9.

e)

Amplitude: r = 34 – 4 = 30 Nº de intervalos: k• 1 + 3,22 * log34 • 1 + 3,22 * 1,53 • 6 Tamanho do intervalo: h • 30 / 6 • 5 Classe

Intervalos

Fi

1

4• 9

3

2

9 • 14

3

3

14 • 19

6

4

19 • 24

7

5

24 • 29

3

6

29 • 34

12

Somas

f)

34

xmedia = (Óxi * Fi) / n = (6,5 * 3 + ...+ 31,5 * 12) / 34 = 22,38, ou seja, $ 2238. 2

2

2

2

g)

S = 1 / (n – 1) * [Ó(xi * Fi) – (Óxi * Fi) / n] = 1 / (34 – 1) * [19406,5 – (761) / 34] = 71,93, portanto S = 8,48, ou seja, $ 848.

h)

ì = Óxi / n = (29 + ...+ 9) / 100 = 19,62, ou seja, $ 1962, |ì – xmedia | = | 1962 – 2238 | = $ 276 que é menor que $ 2000, portanto, | ì – xmedia | • d foi verificado.

8.2 8.3 8.4 pest = qest = 0,5, d = 0,05, (1 – á) * 100 = 95,5% , ou s eja: z = 2, aplicando a fórmula: 2 2 n = z * pest * qest / d = 4 * 0,25 / 0,0025 = 400.

8.5 pest = qest = 0,5, d = 0,05, N = 200000, (1 – á) * 100 = 95,5% , ou s eja: z = 2, aplicando a 2 2 2 fórmula: n = {(z * pest * qest * N) / [d * (N – 1) + z * pest * qest]} , temos, [4 * 0,25 * 200000 / 0,0025 * (199999) + 4 * 0,25)] = 200000 / 499,9975 = 399. Comparando-se os resultados de 8.4 e 8.5, verifica-se que o cálculo do tamanho amostral para uma população de 200000 dá, aproximadamente, o mesmo resultado, se considerarmos a população infinita. 8.6 8.7 pest = qest = 0,5, d = 0,03, (1 – á) * 100 = 95,5% , ou s eja: z = 2, aplicando a fórmula: 2 2 n = z * pest * qest / d = 4 * 0,25 / 0,0009 = 1111, ou seja, uma amostra de 1111 semáforos. 8.8 ó = 10, d = 3, (1 – á) * 100 = 95,5% , ou s eja: z = 2, aplicando a fórmula: 2 2 n = (z * ó / d) = (2 * 10 / 3) = 44. 8.9 a)

O fato de cada criança receber um questionário não garante aleatoriedade ao processo uma vez que famílias que não tem filhos ou crianças que faltaram, por exemplo, não participam da amostra.

b)

Apesar de o centro da cidade grande apresentar grande número de pessoas ao meio dia, o processo não pode ser considerado aleatório, pois não garante que todas as pessoas participem da amostra.

c)

Apesar da escolha ser aleatória, os 10 membros não representam todos os 26 estados.

8.10 ó = 3, d = 1, (1 – á) * 100 = 95,5% , ou s eja: z = 2, aplicando a fórmula: 2 2 n = (z * ó / d) = (2 * 3 / 1) = 36. 8.11 pest = qest = 0,5, d = 0,03, N = 10000, (1 – á) * 100 = 99% , ou s eja: z = 2,57, aplicando a 2 2 2 fórmula: n = {(z * pest * qest * N) / [d * (N – 1) + z * pest * qest]} , temos, [6,60 * 0,25 * 10000 / 0,0009 * (9999) + 6,60 * 0,25)] = 16500 / 10,65 = 1550. 8.12 pest = 0,4, qest = 0,6, d = 0,025, N = 5000, (1 – á) * 100 = 95,5% , ou s eja: z = 2,, aplicando a 2 2 2 fórmula: n = {(z * pest * qest * N) / [d * (N – 1) + z * pest * qest]} , temos, [4 * 0,24 * 5000 / 0,000625 * (4999) + 4 * 0,24)] = 4800 / 4,08 = 1175.

8.13 pest = 0,8, qest = 0,2, d = 0,01, (1 – á) * 100 = 98% , ou s eja: z = 2,33, aplicando a fórmula: 2 2 n = z * pest * qest / d = 5,43 * 0,16 / 0,0001 = 8686. 8.14 -

Soluções e Respostas Capítulo 9 – Inferência Estatística SÉRIE I 9.1 9.2 Quando um professor decide aprovar um aluno, poderá estar cometendo um Erro tipo II – aceitar H0 sendo H0 falsa – no caso, aprovar o aluno quando deveria reprová-lo. Por outro lado, quando um professor decide reprovar o aluno, poderá estar cometendo um Erro tipo I – rejeitar H0 sendo H0 verdadeira – no caso, reprovar o aluno quando deveria aprová-lo. 9.3 Poderá ocorrer o Erro tipo II, caso o gerente contrate o profissional. Isto é: contrata e o profissional revela-se sem qualidades – aceitar H0 falsa. Por outro lado, quando o gerente dispensa (não contrata) determinado profissional, poderá estar cometendo o Erro tipo I – rejeitar H0 verdadeira. Isto é: não contrata e o profissional revela-se com qualidades, em outro emprego assemelhado. 9.4 2

H0: ì = 50 contra H 1: ì > 50, ó = 25, n = 25 e á = 10% , portanto, na tabela normal, Z á = 1,28 0,5 Utilizando a fórmula, Zá = (xc – ì ) / [ó / (n) ] temos: 1,28 = (xmediac – 50) / (5/5), portanto, xmediac = 51,28 e assim, a regra de decisão para H0 será: Rejeitar H0 quando Xmedia > 51,28 e Aceitar H0 quando Xmedia • 51,28 Para ì = 50,4, P(ß/ì = 50,4) = P(X media < 51,28/ì 0,3106 + 0,5 = 0,8106, Para ì = 50,8, P(ß/ì = 50,8) = P(X media < 51,28/ì Para ì = 51,2, P(ß/ì = 51,2) = P(X media < 51,28/ì Para ì = 51,6, P(ß/ì = 51,6) = P(X media < 51,28/ì Para ì = 52,0, P(ß/ì = 52,0) = P(X media < 51,28/ì Para ì = 52,4, P(ß/ì = 52,4) = P(X media < 51,28/ì Para ì = 52,8, P(ß/ì = 52,8) = P(X media < 51,28/ì Para ì = 53,2, P(ß/ì = 53,2) = P(X media < 51,28/ì Para ì = 53,6, P(ß/ì = 53,6) = P(X media < 51,28/ì Para ì = 54,0, P(ß/ì = 54,0) = P(X media < 51,28/ì ì =ì

0

ß(%)

= 50,4) = P[z < (51,28 – 50,4) / (5/5) = 0,88] = = 50,8) = P[z = 51,2) = P[z = 51,6) = P[z = 52,0) = P[z = 52,4) = P[z = 52,8) = P[z = 53,2) = P[z = 53,6) = P[z = 54,0) = P[z

< 0,48] = 0,1844 + 0,5 = 0,6844, < 0,08] = 0,0319 + 0,5 = 0,5319, < -0,32] = 0,5 – 0,1255 = 0,3745, < -0,72] = 0,5 – 0,2642 = 0,2358, < -1,12] = 0,5 – 0,3686 = 0,1314, < -1,52] = 0,5 – 0,4357 = 0,0643, < -1,92] = 0,5 – 0,4726 = 0,0274, < -2,32] = 0,5 – 0,4898 = 0,0102, < -2,72] = 0,5 – 0,4966 = 0,0034,

50,4

50,8

51,2

51,6

52,0

52,4

52,8

53,2

53,6

54,0

81,06

68,44

53,19

37,45

23,58

13,14

6,43

2,74

1,02

0,34

Cu r v a Ca r a te r ís tic a e O p e r a ç ã o 100 90

ß (% )

80 70 60 50 40 30 20 10 0 50

5 0 ,4

5 0 ,8

5 1 ,2

5 1 ,6

52 • = •

5 2 ,4

5 2 ,8

5 3 ,2

5 3 ,6

54

0

9.5 H0: ì = 15 contra H 1: ì • 15, ó = 2, n = 9 e á = 5% , portanto, na tabela normal, – Zá/2 = – 1,96 e Zá/2 = 1,96 0,5 Utilizando a fórmula, Zá/2 = (xc – ì ) / [ó / (n) ] temos: 1,96 = (xm c sup – 15) / (2/3), xm c sup = 16,31 e – 1,96 = (xm c inf – 15) / (2/3), xm c inf = 13,69, assim, a regra de decisão para H0 será: Rejeitar H0 quando Xmedia < 13,69 e Aceitar H0 quando Xmedia • 13,69 até 15 e Rejeitar H0 quando Xmedia > 16,31 e Aceitar H0 quando Xmedia • 16,31 até 15 Para ì = 15,5, P(ß/ì = 15,5) = P(X media < 16,31/ì = 15,5) = P[z < (16,31 – 15,5) / 2/3 = 1,21] = 0,5 + 0,3869 = 0,8869, Para ì = 16,0, P(ß/ì = 16,0) = P(X media < 16,31/ì = 16,0) = P[z < 0,47] = 0,5 + 0,1808 = 0,6808 Para ì = 16,5, P(ß/ì = 16,5) = P(X media < 16,31/ì = 16,5) = P[z < –0,28] = 0,5 – 0,1103 = 0,3897 Para ì = 17,0, P(ß/ì = 17,0) = P(X media < 16,31/ì = 17,0) = P[z < –1,03] = 0,5 – 0,3485 = 0,1515 Para ì = 17,5, P(ß/ì = 17,5) = P(X media < 16,31/ì = 17,5) = P[z < –1,78] = 0,5 – 0,4625 = 0,0375 Para ì = 18,0, P(ß/ì = 18,0) = P(X media < 16,31/ì = 18,0) = P[z < –2,53] = 0,5 – 0,4943 = 0,0057 Como a distribuição é normal e existe simetria, as probabilidades de valores eqüidistantes de H0: ì = 15 s erão iguais. Por exemplo, P(ß/ì = 15,5) = P(ß/ì = 14,5) e as s im por diante. ì =ì

12,5

13

13,5

14

14,5

15

15,5

16

16,5

17

0,57

3,75

15,15

38,97

68,08

88,69

95

88,69

68,08

38,97

15,15

3,75

0,57

(1 - ß)% 99,43

96,25

84,85

61,03

31,92

11,31

5

11,31

31,92

61,03

84,85

96,25

99,43

0

ß(%)

12

17,5

18

Curv a de For ç a

(1 - ß )%

100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 12

12,5

13

13,5

14

14,5

15

15,5

16

16,5

17

17,5

18

• = •o

9.6 i)

H0: ì = 25 contra H 1: ì • 25, ó = 2, n = 16 e á = 5% , portanto, na tabela normal, – Zá/2 = – 1,96 e Zá/2 = 1,96 0,5 Utilizando a fórmula, Zá/2 = (xc – ì ) / [ó / (n) ] temos: – 1,96 = (xm c2 – 25) / (2/4), xm c2 = 24,02 e 1,96 = (xm c1 – 25) / (2/4), xm c1 = 25,98, assim, a regra de decisão para H0 será: Rejeitar H0 quando Xmedia > 25,98 e Aceitar H0 quando Xmedia • 25,98 até 25 e Rejeitar H0 quando Xmedia < 24,02 e Aceitar H0 quando Xmedia • 24,02 até 25.

j)

P(ß/ì = 25,4) = P(X media < 25,98/ì = 25,4) = P[z < (25,98 – 25,4) / ½ = 1,16] = 0,5 + 0,3770 = 0,8770, P(ß/ì = 25,8) = P(X media < 25,98/ì = 25,8) = P[z < 0,36] = 0,5 + 0,1406 = 0,6406, P(ß/ì = 26,2) = P(X media < 25,98/ì = 26,2) = P[z < – 0,44] = 0,5 – 0,1700 = 0,3300, P(ß/ì = 26,6) = P(X media < 25,98/ì = 26,6) = P[z < – 1,24] = 0,5 – 0,3925 = 0,1075, P(ß/ì = 27,0) = P(X media < 25,98/ì = 27,0) = P[z < – 2,04] = 0,5 – 0,4793 = 0,0207, Como a distribuição é normal e existe simetria, as probabilidades de valores eqüidistantes de H0: ì = 25 s erão iguais. Por exemplo, P(ß/ì = 25,4) = P(ß/ì = 24,6) e as s im por diante. ì =ì

23

23,4

23,8

24,2

24,6

25

25,4

25,8

26,2

26,6

2,07

10,75

33,00

64,06

87,70

95

87,70

64,06

33,00

10,75

2,07

(1 - ß)% 97,93

89,25

67

35,94

12,3

5

12,3

35,94

67

89,25

97,93

0

ß(%)

27

(1 - ß )%

Curv a de For ç a 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 22,6

23

23,4

23,8

24,2

24,6

25 • = •o

25,4

25,8

26,2

26,6

27

27,4

k)

H0: ì = 25 contra H 1: ì • 25, ó = 2, n = 36 e á = 5% , portanto, na tabela normal, – Zá/2 = – 1,96 e Zá/2 = 1,96 0,5 Utilizando a fórmula, Zá/2 = (xc – ì ) / [ó / (n) ] temos: 1,96 = (xm c2 – 25) / (2/6), xm c2 = 25,65 e – 1,96 = (xm c1 – 25) / (2/6), xm c1 = – 24,35, assim, a regra de decisão para H0 será: Rejeitar H0 quando Xmedia > 25,65 e Aceitar H0 quando Xmedia • 25,65 até 25 e Rejeitar H0 quando Xmedia < 24,35 e Aceitar H0 quando Xmedia • 24,35 até 25 P(ß/ì = 25,4) = P(X media < 25,65/ì = 0,7764, P(ß/ì = 25,8) = P(X media < 25,65/ì P(ß/ì = 26,2) = P(X media < 25,65/ì P(ß/ì = 26,6) = P(X media < 25,65/ì P(ß/ì = 27,0) = P(X media < 25,65/ì

= 25,4) = P[z < (25,65 – 25,4) / 1/3 = 0,76] = 0,5 + 0,2764 = 25,8) = P[z = 26,2) = P[z = 26,6) = P[z = 27,0) = P[z

<– <– <– <–

0,45] = 0,5 – 1,67] = 0,5 – 2,88] = 0,5 – 4,09] = 0,5 –

0,1736 = 0,3264, 0,4525 = 0,0475, 0,4980 = 0,0020, 0,5000 = 0,0000,

Como a distribuição é normal e existe simetria, as probabilidades de valores eqüidistantes de H0: ì = 25 s erão iguais. Por exemplo, P(ß/ì = 25,4) = P(ß/ì = 24,6) e as s im por diante. ì =ì

23

23,4

23,8

24,2

24,6

25

25,4

25,8

26,2

26,6

27

ß(%)

0,00

0,20

4,75

32,64

77,64

95

77,64

32,64

4,75

0,20

0,00

(1 - ß)%

100

99,80

95,25

67,36

22,36

5

22,36

67,36

95,25

99,80

100

0

(1 - ß )%

Curv a de For ç a 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 22,6

23

23,4

23,8

24,2

24,6

25

25,4

25,8

26,2

26,6

27

27,4

• = •o

l)

Como já se sabe, o aumento do tamanho de uma amostra acarreta uma redução simultânea de erros. Isso pode ser claramente observado quando comparamos os gráficos. O gráfico com n = 36 tem um curva “U” mais estreita e com crescimento maior, ou seja, atinge valores de erros próximos a zero mais rapidamente que o gráfico com n = 16.

9.7 2

H0: p= 0,5 contra H1: p > 0,5, ó = 25, n = 100 e á = 5% , portanto, na tabela normal, Z á = 1,64 0,5 Utilizando a fórmula, Zá = (xc – p) / [(p * q) / n] temos: 1,64 = (xc – 0,50) / (0,05), portanto, xmediac = 0,5820 e assim, a regra de decisão para H0 será: Rejeitar H0 quando Xmedia > 0,5820 e Aceitar H0 quando Xmedia • 0,5820 Para p = 0,55, P(ß/p = 0,55) = P(X media < 0,582/ì = 0,55) = P(z < 0,64) = 0,2389 + 0,5 = 0,7389, Para p = 0,60, P(ß/p = 0,60) = P(X media < 0,582/ì = 0,60) = P(z < -0,36) = 0,5 – 0,1406 = 0,3594, Para p = 0,65, P(ß/p = 0,65) = P(X media < 0,582/ì = 0,65) = P(z < -1,36) = 0,5 – 0,4131 = 0,0869, Para p = 0,70, P(ß/p = 0,70) = P(X media < 0,582/ì = 0,70) = P(z < -2,36) = 0,5 – 0,4909 = 0,0091, Para p = 0,75, P(ß/p = 0,75) = P(X media < 0,582/ì = 0,75) = P(z < -3,36) = 0,5 – 0,4996 = 0,0004,

p = p0

0,55

0,60

0,65

0,70

0,75

ß(%)

73,89

35,64

8,69

0,91

0,04

Cu r v a Ca r a te r ís tic a e O p e r a ç ã o

ß (% )

100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0 ,5

0 ,5 5

0 ,6

0 ,6 5 • = •

0 ,7

0 ,7 5

0 ,8

0

9.8 H0: ì = 1,70 contra H 1: ì < 1,70, ó = 0,2, n = 36 e á = 8% , portanto, na tabela normal, – Zá = – 1,41 0,5 Utilizando a fórmula, – Zá = (xc – ì ) / [ó / (n) ] temos: – 1,41 = (xm c – 1,70) / (0,2 / 6), xm c = 1,653 assim, a regra de decisão para H0 será: Rejeitar H0 quando Xmedia > 1,653 e Aceitar H0 quando Xmedia • 1,653; P(ß/ì = 1,65) = P(X media < 1,653/ì = 1,65) = P[z < (1,653 – 1,65) / (0,2 / 6)] = P[z < – 0,09] = 0,5 – 0,0359 = 0,4641 ou 46,41%.

SÉRIE II 9.9 2

H0: ì = 16 contra H 1: ì • 16, N(13,5; 4,4 ), n = 25 (24 graus ) e á = 5% , portanto, na tabela t Student, – tá/2 = – 2,0639 e tá/2 = 2,0639 0,5 0,5 tcal = {(xmedia – ì o)/[S/(n) ]} = {(13,5 – 16) / [4,4 / (25) ]} = – 2,8409 Como tcal < – tá/2, rejeita-se H0: ì = 16 com um nível de significância de 5%. 9.10 Primeiramente, calculando a média e a variância da amostra, temos: xmedia = Óxi / n = (10 + ... + 15) / 15 = 12,2 2 2 2 2 S = 1 / (n – 1) * [Óxi – (Óxi) / n] = 1 / (15 – 1) * [2269 – (183) / 15] = 2,6 e S = 1,61 2

H0: ì = 12,5 contra H 1: ì • 12,5, N(12,2; 1,61 ), n = 15 (14 graus ) e á = 5% , portanto, na tabela t Student, – tá/2 = – 2,145 e tá/2 = 2,145 0,5 0,5 tcal = {(xmedia – ì o)/[S/(n) ]} = (12,2 – 12,5) / [1,61 / (15) ] = – 0,72 Como – tá/2 • t cal • t á/2, não se pode rejeitar H0: ì = 12,5 com um nível de significância de 5% 2

H0: ì = 12,5 contra H 1: ì > 12,5, N(12,2; 1,61 ), n = 15 (14 graus ) e á = 5% , portanto, na tabela t Student, tá = 1,7613 0,5 0,5 tcal = {(xmedia – ì o)/[S/(n) ]} = (12,2 – 12,5) / [1,61 / (15) ] = – 0, 72 Como tcal • t á, não se pode rejeitar H0: ì = 12,5 com um nível de significância de 5% 2

H0: ì = 12,5 contra H 1: ì < 12,5, N(12,2; 1,61 ), n = 15 (14 graus ) e á = 5% , portanto, na tabela t Student, – tá = – 1,7613 0,5 0,5 tcal = {(xmedia – ì o)/[S/(n) ]} = (12,2 – 12,5) / [1,61 / (15) ] = – 0, 72 Como tcal • – t á, não se pode rejeitar H0: ì = 12,5 com um nível de significância de 5%. 9.11 Primeiramente, calculando a média e a variância da amostra, temos: xmedia = (Óxi . Fi) / n = (7,5 * 3 + ... + 27,5 * 2) / 21 = 16,55 2 2 2 2 S = 1 / (n – 1) * [Ó(xi * Fi) – (Óxi * Fi) / n] = 1 / (21 – 1) * [6431,25 – (347,5) / 21] = 34,05 e S = 5,84 2

H0: ì = 20 contra H 1: ì • 20, N(16,55; 5,84 ), n = 21 (20 graus ) e á = 2,5% ou 2% (aproximadamente), portanto, na tabela t Student, – tá/2 = – 2,5280 e tá/2 = 2,5280 0,5 0,5 tcal = {(xmedia – ì o)/[S/(n) ]} = (16,55 – 20) / [5,84 / (21) ] = – 2,71 Como tcal < – tá/2, rejeita-se H0: ì = 20 com um nível de significância de 2,5%. 9.12 q) Primeiramente, calculando a média da amostra, temos: xmedia = Óxi / n = (41 + ... + 50) / 20 = 49,35 Quando temos a variância da população, utilizam-se a tabela normal e o Zcal para o teste de significância. 2 H0: ì = 50 contra H 1: ì • 50, N(49,35; 2 ), n = 20 e á = 5% , portanto, na tabela normal, – Zá/2 = – 1,96 e Zá/2 = 1,96 0,5 0,5 0,5 Zcal = {(xmedia – ì o)/[ó/(n) ]} = (49,35 – 50) / [(2) / (20) ] = – 2,06 Como – Zá/2 • Z cal • Z á/2, não se pode rejeitar H0: ì = 50 com um nível de significância de 5%. r)

Primeiramente, calculando a variância da amostra, temos:

2

2

2

2

S = 1 / (n – 1) * [Óxi – (Óxi) / n] = 1 / (20 – 1) * [48849 – (987) / 20] = 7,40 e S = 2,72 Neste caso, como não temos o valor da variância da população, calculamos a variância da amostra e devido à perda de um grau de liberdade, utilizamos a tabela t Student e o tcal. 2 H0: ì = 50 contra H 1: ì • 50, N(49,35; 2,72 ), n = 20 (19 graus ) e á = 5% , portanto, na tabela t Student, – tá/2 = – 2,0930 e tá/2 = 2,0930 0,5 0,5 tcal = (xmedia – ì o)/[S/(n) ] = (49,35 – 50) / [2,72 / (20) ] = – 1,068 Como – tá/2 • t cal • t á/2, não se pode rejeitar H0: ì = 50 com um nível de significância de 5%. 9.13 Primeiramente, calculando a média e a variância da amostra, temos: xmedia = Óxi / n = (25 + ... + 31) / 15 = 31,80 2 2 2 2 S = 1 / (n – 1) * [Óxi – (Óxi) / n] = 1 / (15 – 1) * [15449 – (477) / 15] = 20,02 e S = 4,48 2

H0: ì = 30 contra H 1: ì • 30, N(31,80; 4,48 ), n = 15 (14 graus ) e á = 10% , portanto, na tabela t Student, – tá/2 = – 1,7613 e tá/2 = 1,7613 0,5 0,5 tcal = {(xmedia – ì o)/[S/(n) ]} = (31,80 – 30) / [4,48 / (15) ] = 1,556 Como – tá/2 • t cal • t á/2, não se pode rejeitar H0: ì = 30 com um nível de significância de 10%. 9.14 a)

xmedia = Óxi / n = (12,4 + ... + 12,7) / 8 = 12,325 2 2 2 2 S = 1 / (n – 1) * [Óxi – (Óxi) / n] = 1 / (8 – 1) * [1215,76 – (98,6) / 8] = 0,0736.

b)

H0: ó = 1,00 contra H1: ó < 1,00, S = 0,0736, n = 8 (7 graus ) e á = 5% , portanto, na 2 2 tabela qui quadrado, Xinf = 2,167 e com á = 10% , portanto, X inf = 2,833 2 2 2 Xcal = {[(n – 1) * S ] / óo } = (7 * 0,0736) / 1 = 0,49 2 2 2 Como em ambos casos Xcal < Xinf , rejeita-se H0: ó = 1,00 com níveis de significância de 5% e 10%.

2

2

2

A hipótese admitida é de que a população tem distribuição normal.

c) 9.15

Primeiramente, calculando a média e a variância da amostra, temos: xmedia = (Óxi . Fi) / n = (7,5 * 3 + ... + 27,5 * 1) / 20 = 16,00 2 2 2 2 S = 1 / (n – 1) * [Ó(xi * Fi) – (Óxi * Fi) / n] = 1 / (20 – 1) * [5675 – (320) / 20] = 29,21 2

2

2

H0: ó = 10,0 contra H1: ó • 10,0, S = 29,21, n = 20 (19 graus ) e á = 20% , portanto, na tabela 2 2 qui quadrado, Xinf = 11,651 e Xsup = 27,204 2 2 2 Xcal = {[(n – 1) * S ] / óo } = (19 * 29,21) / 10 = 55,50 2 2 2 Como Xcal > Xsup , rejeita-se H0: ó = 10,0 com nível de significância de 20%. 9.16 Primeiramente, calculando a média e a variância da amostra, temos: xmedia = Óxi / n = 8,7 / 15 = 0,58 2 2 2 2 S = 1 / (n – 1) * [Óxi – (Óxi) / n] = 1 / (15 – 1) * [27,3 – (8,7) / 15] = 1,59 2

2

2

H0: ó = 4,0 contra H1: ó • 4,0, S = 1,59, n = 15 (14 graus ) e á = 1% , portanto, na tabela qui 2 2 quadrado, Xinf = 4,075 e Xsup = 31,319 2 2 2 Xcal = {[(n – 1) * S ] / óo } = (14 * 1,59) / 4 = 5,57 2 2 2 2 Como Xinf • X cal • X sup , não se pode rejeitar H0: ó = 4,0 com nível de significância de 1%.

9.17 H0: p = 0,50 contra H1: p • 0,50, n = 500, f = 0,52 e á = 5% , portanto, na tabela normal, – Zá/2 = – 1,96 e Zá/2 = 1,96 0,5 0,5 Zcal = {(f – po) / [[po * (1 – po)] / n] } = {(0,52 – 0,5) / [(0,5 * 0,5) / 500] } = 0,89 Como – Zá/2 • Z cal • Z á/2, não se pode rejeitar H0: p = 0,50 com nível de significância de 5%. 9.18 a)

H0: p = 0,80 contra H1: p • 0,80, n = 140, f = 0,79 e á = 4% , portanto, na tabela normal, – Zá/2 = – 2,05 e Zá/2 = 2,05 0,5 0,5 Zcal = {(f – po) / [[po * (1 – po)] / n] } = {(0,79 – 0,8) / [(0,8 * 0,2) / 140] } = – 0,30 Como – Zá/2 • Z cal • Z á/2, não se pode rejeitar H0: p = 0,80 com nível de significância de 4%.

b)

H0: p = 0,70 contra H1: p • 0,70, n = 140, f = 0,64 e á = 2% , portanto, na tabela normal, – Zá/2 = – 2,33 e Zá/2 = 2,33 0,5 0,5 Zcal = {(f – po) / [[po * (1 – po)] / n] } = {(0,64 – 0,7) / [(0,7 * 0,3) / 140] } = – 1,55 Como – Zá/2 • Z cal • Z á/2, não se pode rejeitar H0: p = 0,70 com nível de significância de 2%.

c)

H0: p = 0,40 contra H1: p • 0,40, n = 50, f = 0,68 e á = 1% , portanto, na tabela normal, – Zá/2 = – 2,57 e Zá/2 = 2,57 0,5 0,5 Zcal = {(f – po) / [[po * (1 – po)] / n] } = {(0,68 – 0,4) / [(0,4 * 0,6) / 50] } = 4,04 Como Zcal > Zá/2, rejeita-se H0: p = 0,40 com nível de significância de 1%.

9.19 H0: p = 0,50 contra H1: p • 0,50, n = 100, f = 0,60 e á = 5% , portanto, na tabela normal, – Zá/2 = – 1,96 e Zá/2 = 1,96 0,5 0,5 Zcal = {(f – po) / [[po * (1 – po)] / n] } = {(0,60 – 0,50) / [(0,50 * 0,50) / 100] } = 2,00 Como Zcal > Zá/2, rejeita-se H0: p = 0,50, ou seja, que a moeda é honesta com nível de significância de 5%. 9.20 H0: p = 0,50 contra H1: p • 0,50, n = 500, f = 0,60 e á = 4% , portanto, na tabela normal, – Zá/2 = – 2,05 e Zá/2 = 2,05 0,5 0,5 Zcal = {(f – po) / [[po * (1 – po)] / n] } = {(0,60 – 0,50) / [(0,50 * 0,50) / 500] } = 4,47 Como Zcal > Zá/2, rejeita-se H0: p = 0,50 com nível de significância de 5%. 9.21 H0: p = 0,40 contra H1: p > 0,40, n = 90, f = 0,44 e á = 5% , portanto, na tabela normal, Z á = 1,64 0,5 0,5 Zcal = {(f – po) / [[po * (1 – po)] / n] } = {(0,44 – 0,40) / [(0,40 * 0,60) / 90] } = 0,85 Como Zcal • Z á, não se pode rejeitar H0: p = 0,40 com nível de significância de 5%. 9.22 2

2

2

2

2

2

H0: ó1 = ó2 contra H1: ó1 • ó2 , S1 = 43,2, S2 = 29,5, á = 10% , portanto, na tabela F , com ö1 = n1 – 1 = 40 e ö2 = n2 – 1 = 30, Fsup = 1,79 e Finf = 1 / F(30,40) = 0,57 2 2 Fcal = S1 / S2 = 43,2 / 29,50 = 1,46 2 2 Como Finf • F cal • F sup, não se pode rejeitar H0: ó1 = ó2 com nível de significância de 10%.

9.23 Tomando A e B, temos: 2 2 2 2 SA = 1 / (n – 1) * [Óxi – (Óxi) / n] = 1 / (5 – 1) * [3811 – (137) / 5] = 14,30 2 2 2 2 SB = 1 / (n – 1) * [Óxi – (Óxi) / n] = 1 / (5 – 1) * [3777 – (133) / 5] = 59,80 2 2 2 2 2 2 H0: óA = óB contra H1: óA • óB , SA = 14,30, SB = 59,80 e á = 10% , portanto, na tabela F , com ö1 = n1 – 1 = 4 e ö2 = n2 – 1 = 4, Fsup = 6,39 e Finf = 1 / F(4, 4) = 0,16 2 2 Fcal = S1 / S2 = 14,30 / 59,80 = 0,24 2 2 Como Finf • F cal • F sup, não se pode rejeitar H0: óA = óB com nível de significância de 10%. 9.24 Primeiramente, calculando as variâncias das amostras, temos: 2 2 2 2 SA = 1 / (n – 1) * [Óxi – (Óxi) / n] = 1 / (6 – 1) * [890 – (64) / 6] = 41,47 2 2 2 2 SB = 1 / (n – 1) * [Óxi – (Óxi) / n] = 1 / (6 – 1) * [2198 – (98) / 5] = 119,47 Tomando as marcas A e B: 2 2 2 2 2 2 H0: óA = óB contra H1: óA • óB , SA = 41,47, SB = 119,47 e á = 10% , portanto, na tabela F , com ö1 = n1 – 1 = 5 e ö2 = n2 – 1 = 5, Fsup = 5,05 e Finf = 1 / F(5, 5) = 0,20 2 2 Fcal = S1 / S2 = 41,47 / 119,47 = 0,347 2 2 Como Finf • F cal • F sup, não se pode rejeitar H0: óA = óB com nível de significância de 10%. 9.25 2

2

H0: µ1 = µ2 contra H1: µ 1 • µ 2, n1 = 60, xmedia 1 = 5,71, ó1 = 43, n2 = 35, xmedia 2 = 4,12, ó2 = 28 e á = 4% , portanto, na tabela normal, – Zá/2 = – 2,05 e Zá/2 = 2,05 2 2 0,5 0,5 Zcal = {(xmedia 1 – xmedia 2) / [(ó1 / n1) + (ó2 / n2)] } = {(5,71 – 4,12) / [(43 / 60) + (28 / 35)] } = 1,29 Como – Zá/2 • Z cal • Z á/2, não se pode rejeitar H0: µ1 = µ2 com nível de significância de 4%. 9.26 Primeiramente, calculando as médias das amostras, temos: xmedia A = Óxi / n = (14 + ... + 12) / 6 = 64 / 6 = 10,67 xmedia B = Óxi / n = (45 + ... + 10) / 6 = 98 / 6 = 16,34 2 2 Do exercício 9.24, temos: SA = 41,47 e SB = 119,47 2

2

H0: µA = µB contra H1: µ A • µ B, nA = 6, xmedia A = 10,67, SA = 41,47, nB = 6, xmedia B = 16,34, SB = 119,47 e á = 5% , portanto, na tabela t S tudent, com ö = (6 + 6 – 2) = 10, – tá/2 = – 2,2281 e tá/2 = 2,2281 2 2 0,5 0,5 Sc = {[(n1 – 1) * S1 + (n2 – 1) * S2 ] / (n1 + n2 – 2)} = {[5 * 41,47 + 5 * 119,47] / 10} = 8,97 0,5 0,5 tcal = {[(xmedia 1 – xmedia 2)] / Sc * [(n1 + n2) / (n1 * n2)] } = {[(10,67 – 16,34)] / 8,97 * [12 / 36] } = – 1,1 Como – tá/2 • t cal • t á/2, não se pode rejeitar H0: µ1 = µ2 com nível de significância de 5%. 9.27 a)

Tomando A e B, temos: Primeiramente, calculando as médias das populações, temos: xmedia A = Óxi / n = (22 + ... + 27) / 5 = 137 / 5 = 27,4 xmedia B = Óxi / n = (22 + ... + 40) / 5 = 133 / 5 = 26,6 2 2 Do exercício 9.23, temos: SA = 14,3 e SB = 59,8

2

2

H0: µA = µB contra H1: µ A • µ B, nA = 5, xmedia A = 27,4, SA = 14,3, nB = 5, xmedia B = 26,6, SB = 59,8 e á = 5% , portanto, na tabela t S tudent, com ö = (5 + 5 – 2) = 8, – tá/2 = – 2,3060 e tá/2 = 2,3060 2 2 0,5 Sc = {[(n1 – 1) * S1 + (n2 – 1) * S2 ] / (n1 + n2 – 2)} = {[(5 – 1) * 14,3 + (5 – 1) * 59,8] / (5 + 0,5 5 – 2)} = 6,09 0,5 0,5 tcal = {[(xmedia 1 – xmedia 2)] / Sc * [(n1 + n2) / (n1 * n2)] } = {[(27,4 – 26,6)] / 6,09 * [10 / 25] } = 0,21 Como – tá/2 • t cal • t á/2, não se pode rejeitar H0: µ1 = µ2 com nível de significância de 5%. b)

Tomando C e D, temos: Primeiramente, calculando as médias e as variâncias amostrais, temos: xmedia C = Óxi / n = (42 + ... + 25) / 5 = 151 / 5 = 30,2 e 2 2 2 2 SC = 1 / (n – 1) * [Óxi – (Óxi) / n] = 1 / (5 – 1) * [4749 – (151) / 5] = 47,2 xmedia D = Óxi / n = (21 + ... + 28) / 5 = 106 / 5 = 21,2 e 2 2 2 2 SD = 1 / (n – 1) * [Óxi – (Óxi) / n] = 1 / (5 – 1) * [2316 – (106) / 5] = 17,2 2

2

H0: µC = µD contra H1: µ C • µ D, nC = 5, xmedia C = 30,2, SC = 47,2, nD = 5, xmedia D = 21,2, SD = 17,2 e á = 10% , portanto, na tabela t S tudent, com ö = (5 + 5 – 2) = 8, – tá/2 = – 1,8595 e tá/2 = 1,8595 2 2 0,5 Sc = {[(n1 – 1) * S1 + (n2 – 1) * S2 ] / (n1 + n2 – 2)} = {[(5 – 1) * 47,2 + (5 – 1) * 17,2] / (5 + 0,5 5 – 2)} = 5,67 0,5 0,5 tcal = {[(xmedia 1 – xmedia 2)] / Sc * [(n1 + n2) / (n1 * n2)] } = {[(30,2 – 21,2)] / 5,67 * [10 / 25] } = 2,51 Como tcal > tá/2, rejeita-se H0: µ1 = µ2 com nível de significância de 5%. 9.28 Primeiramente, calculando as médias e as variâncias das amostras, temos: xmedia M = (Óxi . Fi) / n = (17,5 * 8 + ... + 77,5 * 3) / 45 = 41,50 2 2 2 2 SM = 1 / (n – 1) * [Ó(xi * Fi) – (Óxi * Fi) / n] = 1 / 44 * [90731,25 – (1867,5) / 45] = 300,68 xmedia F = (Óxi . Fi) / n = (17,5 * 7 + ... + 77,5 * 4) / 39 = 42,88 2 2 2 2 SF = 1 / (n – 1) * [Ó(xi * Fi) – (Óxi * Fi) / n] = 1 / 38 * [84843,75 – (1672,5) / 39] = 345,24 2

H0: µM – µF = 5 contra H1: µM – µF • 5, n M = 45, xmedia M = 41,50, SM = 300,68, nF = 39, xmedia F = 2 42,88, SF = 345,24, e á = 10% , portanto, na tabela t S tudent, com ö = (45 + 39 – 2) = 82, – tá/2 = – 1,6636 e tá/2 = 1,6636 2 2 0,5 Sc = {[(n1 – 1) * S1 + (n2 – 1) * S2 ] / (n1 + n2 – 2)} = {[(45 – 1) * 300,68 + (39 – 1) * 345,24] / 0,5 (45 + 39 – 2)} = 17,93 0,5 tcal = {[(xmedia 1 – xmedia 2) – d] / Sc * [(n1 + n2) / (n1 * n2)] } = {[(41,50 – 42,88) – 5] / 17,93 * [(45 + 0,5 39) / (45 * 39)] } = – 1,63 Como – tá/2 • t cal • t á/2, não se pode rejeitar H0: µM – µF = 5 com um nível de significância de 10%. 9.29 H0: psp = prj contra H1: psp • p rj, nsp = 300, fsp = 0,25, nrj = 400, frj = 0,30 e á = 5% , portanto, na tabela normal, – Zá/2 = – 1,96 e Zá/2 = 1,96 pcom = (x1 + x2) / (n1 + n2) = (75 + 120) / (300 + 400) = 0,28 0,5 Zcal = {(f1 – f2) / [pcom * (1 – pcom) * (1 / n1 + 1 / n2)] } = {(0,25 – 0,30) / [0,28 * (1 – 0,28) * (1 / 0,5 300 + 1 / 400)] } = – 1,46 Como – Zá/2 • Z cal • Z á/2, não se pode rejeitar H0: psp = prj com nível de significância de 5%. 9.30

H0: p1 = p2 contra H1: p1 • p 2, n1 = 1000, f1 = 0,05, n2 = 1000, f2 = 0,20 e á = 5% , portanto, na tabela normal, – Zá/2 = – 1,96 e Zá/2 = 1,96 pcom = (x1 + x2) / (n1 + n2) = (50 + 200) / (1000 + 1000) = 0,125 0,5 Zcal = {(f1 – f2) / [pcom * (1 – pcom) * (1 / n1 + 1 / n2)] } = {(0,05 – 0,20) / [0,125 * (1 – 0,125) * (2 / 0,5 1000)] } = – 10,14 Como Zcal < – Zá/2, rejeita-se H0: p1 = p2 com nível de significância de 5%. 9.31 H0: pX = pY contra H1: pX • p Y, nX = 200, fX = 0,60, nY = 500, fY = 0,48 e á = 10% , portanto, na tabela normal, – Zá/2 = – 1,64 e Zá/2 = 1,64 pcom = (x1 + x2) / (n1 + n2) = (120 + 240) / (200 + 500) = 0,5143 0,5 Zcal = {(f1 – f2) / [pcom * (1 – pcom) * (1 / n1 + 1 / n2)] } = {(0,60 – 0,48) / [0,5143 * (1 – 0,5143) * (1 0,5 / 200 + 1/ 500)] } = 2,86 Como Zcal > Zá/2, rejeita-se H0: pX = pY com nível de significância de 10%.

Soluções e Respostas Capítulo 10 – Análise da Variância: Anova SÉRIE I 10.1 s) Primeiramente, contando o número de elementos e calculando a soma, a média e a variância das amostras, temos: xm1 = Óxi / n = (26 + ... + 28) / 6 = 159 / 6 = 26,50 2 2 2 2 S1 = 1 / (n – 1) * [Óxi – (Óxi) / n] = 1 / (6 – 1) * [25281 – (159) / 6] = 3,50 xm2 = Óxi / n = (17 + ... + 21) / 4 = 80 / 4 = 20,00 2 2 2 2 S2 = 1 / (n – 1) * [Óxi – (Óxi) / n] = 1 / (4 – 1) * [1614 – (80) / 4] = 4,67 xm3 = Óxi / n = (36 + ... + 29) / 4 = 129 / 4 = 32,25 2 2 2 2 S3 = 1 / (n – 1) * [Óxi – (Óxi) / n] = 1 / (4 – 1) * [4184 – (129) / 4] = 8,92 xm4 = Óxi / n = (20 + ... + 23) / 6 = 121 / 6 = 20,17 2 2 2 2 S4 = 1 / (n – 1) * [Óxi – (Óxi) / n] = 1 / (6 – 1) * [2467 – (121) / 6] = 5,37

t)

GRUPO

CONTAGEM

SOMA

MÉDIA

VARIÂNCIA

Coluna 1

6

159

26,50

3,50

Coluna 2

4

80

20,00

4,67

Coluna 3

4

129

32,25

8,92

Coluna 4

6

121

20,17

5,37

xtotal = Óxi / n = (26 + ... + 23) / 20 = / 20 = 24,45. 2

2

u) C = [(Ói Ój xij) / n] = (489) / 20 = 11956,05 2 2 2 Qt = (Ói Ój xij) – C = (26 + ... + 23 ) – 11956,05 = 12499 – 11956,05 = 542,95. 2

2

2

v) Qe = Ói * [(Ój xij) / n] – C = [(159) / 6] + ... + [(121) / 6] – 11956,05 = 12413,92 – 11956,05 = 475,87. w) Qr = Qt – Qe = 542,95 – 475,87 = 85,08. 2

x) Se = [Qe / (k – 1)] = 475,87 / 3 = 152,62 2 Sr = [Qr / (n – k)] = 85,08 / 16 = 5,32 2 2 Fcal = [Se / Sr ] = 152,62 / 5,32 = 28,70 e á = 5% , portanto, na tabela F , com ö1 e ö2 = 3 e 16, Ftab(3, 16) = 3,24 Como Fcal > Ftab, rejeita-se H0: µ1 = µ2 = µ3 = µ4 com nível de significância de 5%, concluindo-se que há diferença entre as médias. VARIAÇÃO

SOMA DOS 2S

Entre Tratamentos

475,87

Residual

85,08

Total

542,95

n – 1 = 20 – 1 = 19

2

G.L.

2

S MÉDIOS

TESTE F

F CRÍTICO

k–1=4–1=3

152,62

28,70

3,24

n – k = 20 – 4 = 16

5,32

0,5

y) Éxm1 – xm2É > {S r * (k – 1) * (1/n1 + 1/n2) * Fá[(k – 1), (n – k)]} 0,5 É26,50 – 20,00 É e [5,32 * 3 * 0,42 * F (3, 16)] , ou seja, 6,50 > 4,66, portanto, µ1 • µ 2 0,5 É26,50 – 32,25 É e [5,32 * 3 * 0,42 * F (3, 16)] , ou seja, 5,75 > 4,66, portanto, µ1 • µ 3 0,5 É26,50 – 20,17 É e [5,32 * 3 * 0,33 * F (3, 16)] , ou seja, 6,33 > 4,13, portanto, µ1 • µ 4 0,5 É20,00 – 32,25 É e [5,32 * 3 * 0,50 * F (3, 16)] , ou seja, 12,25 > 5,08, portanto, µ2 • µ 3 0,5 É20,00 – 20,17 É e [5,32 * 3 * 0,42 * F (3, 16)] , ou seja, 0,17 < 4,66, portanto, µ2 = µ4 0,5 É32,25 – 20,17 É e [5,32 * 3 * 0,42 * F (3, 16)] , ou seja, 12,08 > 4,66, portanto, µ3 • µ 4.

10.2 Primeiramente, contando o número de elementos e calculando a soma, a média e a variância das amostras, temos: xmA = Óxi / n = (53 + ... + 55) / 6 = 333 / 6 = 55,50 2 2 2 2 SA = 1 / (n – 1) * [Óxi – (Óxi) / n] = 1 / (6 – 1) * [18535 – (333) / 6] = 10,70 xmB = Óxi / n = (52 + ... + 54) / 6 = 326 / 6 = 54,33 2 2 2 2 SB = 1 / (n – 1) * [Óxi – (Óxi) / n] = 1 / (6 – 1) * [17788 – (326) / 6] = 15,07 xmC = Óxi / n = (51 + ... + 50) / 6 = 320 / 6 = 53,33 2 2 2 2 SC = 1 / (n – 1) * [Óxi – (Óxi) / n] = 1 / (6 – 1) * [17100 – (320) / 6] = 6,67 xmD = Óxi / n = (49 + ... + 51) / 6 = 309 / 6 = 51,50 2 2 2 2 SD = 1 / (n – 1) * [Óxi – (Óxi) / n] = 1 / (6 – 1) * [15931 – (309) / 6] = 3,50 GRUPO

CONTAGEM

SOMA

MÉDIA

VARIÂNCIA

A

6

333

55,50

10,70

B

6

326

54,33

15,07

C

6

320

53,33

6,67

D

6

309

51,50

3,50

2

2

C = [(Ói Ój xij) / n] = (1288) / 24 = 69122,67 2 2 2 Qt = (Ói Ój xij) – C = (53 + ... + 51 ) – 69122,67 = 69354 – 69122,67 = 231,33 2 2 2 Qe = Ói * [(Ój xij) / n] – C = [(333) / 6] + ... + [(309) / 6] – 69122,67 = 69174,33 – 69122,67 = 51,67 Qr = Qt – Qe = 231,33 – 51,67 = 179,67 2 Se = [Qe / (k – 1)] = 51,67 / 3 = 17,22 2 Sr = [Qr / (n – k)] = 179,67 / 20 = 8,98 2 2 Fcal = [Se / Sr ] = 17,22 / 8,98 = 1,92 e á = 5% , portanto, na tabela F , com ö1 e ö2 = 3 e 20, Ftab(3, 20) = 3,10 Como Fcal < Ftab, não se pode rejeitar H0: µA = µB = µC = µD com nível de significância de 5%, concluindo-se que não há diferença entre as médias. VARIAÇÃO

SOMA DOS 2S

G.L.

2

S MÉDIOS

TESTE F

F CRÍTICO

1,92

3,10

Entre Tratamentos

51,67

k–1=4–1=3

17,22

Residual

179,67

n – k = 24 – 4 = 20

8,98

Total

231,33

n – 1 = 24 – 1 = 23

10.3 Primeiramente, contando o número de elementos e calculando a soma, a média e a variância das amostras, temos: xmA = Óxi / n = (3,6 + ... + 3,2) / 6 = 20,2 / 6 = 3,37 2 2 2 2 SA = 1 / (n – 1) * [Óxi – (Óxi) / n] = 1 / (6 – 1) * [68,36 – (20,2) / 6] = 0,07 xmB = Óxi / n = (3,3 + ... + 3,4) / 6 = 20,2 / 6 = 3,37 2 2 2 2 SB = 1 / (n – 1) * [Óxi – (Óxi) / n] = 1 / (6 – 1) * [68,06 – (20,2) / 6] = 0,01 xmC = Óxi / n = (3,5 + ... + 3,2) / 6 = 20,1 / 6 = 3,35 2 2 2 2 SC = 1 / (n – 1) * [Óxi – (Óxi) / n] = 1 / (6 – 1) * [67,39 – (20,1) / 6] = 0,01 xmD = Óxi / n = (3,5 + ... + 3,8) / 6 = 20,3 / 6 = 3,38 2 2 2 2 SD = 1 / (n – 1) * [Óxi – (Óxi) / n] = 1 / (6 – 1) * [69,03 – (20,3) / 6] = 0,07 xmE = Óxi / n = (3,7 + ... + 3,4) / 6 = 21,2 / 6 = 3,53 2 2 2 2 SE = 1 / (n – 1) * [Óxi – (Óxi) / n] = 1 / (6 – 1) * [74,98 – (21,2) / 6] = 0,01 GRUPO

CONTAGEM

SOMA

MÉDIA

VARIÂNCIA

Mistura A

6

20,2

3,37

0,07

Mistura B

6

20,2

3,37

0,01

Mistura C

6

20,1

3,35

0,01

Mistura D

6

20,3

3,38

0,07

Mistura E

6

21,2

3,53

0,01

2

2

C = [(Ói Ój xij) / n] = (102) / 30 = 346,80 2 2 2 Qt = (Ói Ój xij) – C = (3,6 + ... + 3,4 ) – 346,80 = 347,82 – 346,80 = 1,02 2 2 2 Qe = Ói * [(Ój xij) / n] – C = [(20,2) / 6] + ... + [(21,2) / 6] – 346,80 = 346,94 – 346,80 = 0,14 Qr = Qt – Qe = 1,02 – 0,14 = 0,88 2 Se = [Qe / (k – 1)] = 0,14 / 4 = 0,03 2 Sr = [Qr / (n – k)] = 0,88 / 25 = 0,04 2 2 Fcal = [Se / Sr ] = 0,03 / 0,04 = 0,97 e á = 5% , portanto, na tabela F , com ö1 e ö2 = 4 e 25, Ftab(4, 25) = 2,76 Como Fcal < Ftab, não se pode rejeitar H0: µA = µB = µC = µD = µE com nível de significância de 5%, concluindo-se que não há diferença entre as médias. VARIAÇÃO

SOMA DOS 2S

Entre Tratamentos

0,14

Residual

0,88

Total

1,02

n – 1 = 30 – 1 = 29

G.L.

2

S MÉDIOS

TESTE F

F CRÍTICO

k–1=5–1=4

0,03

0,97

2,76

n – k = 30 – 5 = 25

0,04

10.4 Primeiramente, contando o número de elementos e calculando a soma, a média e a variância das amostras, temos: xm1 = Óxi / n = (40 + 59 + 42) / 3 = 141 / 3 = 47,00 2 2 2 2 S1 = 1 / (n – 1) * [Óxi – (Óxi) / n] = 1 / (3 – 1) * [6845 – (141) / 3] = 109,00 xm2 = Óxi / n = (39 + 55 + 51) / 3 = 145 / 3 = 48,33 2 2 2 2 S2 = 1 / (n – 1) * [Óxi – (Óxi) / n] = 1 / (3 – 1) * [7147 – (145) / 3] = 69,33 xm3 = Óxi / n = (47 + 55 + 45) / 3 = 147 / 3 = 49,00 2 2 2 2 S3 = 1 / (n – 1) * [Óxi – (Óxi) / n] = 1 / (3 – 1) * [7259 – (147) / 3] = 28,00 xm4 = Óxi / n = (45 + 50 + 40) / 3 = 135 / 3 = 45,00 2 2 2 2 S4 = 1 / (n – 1) * [Óxi – (Óxi) / n] = 1 / (3 – 1) * [6125 – (135) / 3] = 25,00 xm5 = Óxi / n = (52 + 52 + 41) / 3 = 145 / 3 = 48,33 2 2 2 2 S5 = 1 / (n – 1) * [Óxi – (Óxi) / n] = 1 / (3 – 1) * [7089 – (145) / 3] = 40,33 xmA = Óxi / n = (40 + ... + 52) / 5 = 223 / 5 = 44,60 2 2 2 2 SA = 1 / (n – 1) * [Óxi – (Óxi) / n] = 1 / (5 – 1) * [10059 – (223) / 5] = 28,30 xmB = Óxi / n = (59 + ... + 52) / 5 = 271 / 5 = 54,20 2 2 2 2 SB = 1 / (n – 1) * [Óxi – (Óxi) / n] = 1 / (5 – 1) * [14735 – (271) / 5] = 11,70 xmC = Óxi / n = (42 + ... + 41) / 5 = 219 / 5 = 43,80 2 2 2 2 SC = 1 / (n – 1) * [Óxi – (Óxi) / n] = 1 / (5 – 1) * [9671 – (219) / 5] = 19,70 GRUPO

CONTAGEM

SOMA

MÉDIA

VARIÂNCIA

Operário 1

3

141

47,00

109,00

Operário 2

3

145

48,33

69,33

Operário 3

3

147

49,00

28,00

Operário 4

3

135

45,00

25,00

Operário 5

3

145

48,33

40,33

Máquina A

5

223

44,60

28,30

Máquina B

5

271

54,20

11,70

Máquina C

5

219

43,80

19,70

2

2

C = [(Ói Ój xij) / n] = (713) / 15 = 33891,27 2 2 2 Qt = (Ói Ój xij) – C = (40 + ... + 41 ) – 33891,27 = 34465 – 33891,27 = 573,73

2

2

2

Qel = Ój * [(Ój xij) / k] – C = [(141) / 3] + ... + [(145) / 3] – 33891,27 = 33921,67 – 33891,27 = 30,40 2 2 2 Qec = Ói * [(Ój xij) / L] – C = [(223) / 5] + ... + [(219) / 5] – 33891,27 = 34226,20 – 33891,27 = 334,93 Qr = Qt – Qec – Qel = 573,73 – 334,93 – 30,40 = 208,40 2 Sel = [Qel / (L – 1)] = 30,40 / 4 = 7,60 2 Sec = [Qec / (k – 1)] = 334,93 / 2 = 167,47 2 Sr = [Qr / (n – L – k + 1)] = 208,40 / 8 = 26,05 L 2 2 F cal = [Sel / Sr ] = 7,60 / 26,05 = 0,29 e á = 5% , portanto, na tabela F , com ö1 e ö2 = 4 e 8, L F tab(4, 8) = 3,84 L L Como F cal < F tab, não se pode rejeitar H0: µ1 = µ2 = µ3 = µ4 = µ5 com nível de significância de 5%, concluindo-se que não há diferença entre os operários c 2 2 F cal = [Sec / Sr ] = 167,47 / 26,05 = 6,43 e á = 5% , portanto, na tabela F , com ö1 e ö2 = 2 e 8, c F tab(2, 8) = 4,46 c c Como F cal l > F tab, rejeita-se H0: µA = µB = µC com nível de significância de 5%, concluindo-se que há diferença entre as máquinas. VARIAÇÃO

SOMA DOS 2S

G.L.

2

S MÉDIOS

TESTE F

F CRÍTICO

Linhas

30,40

L–1=5–1=4

7,60

0,29

3,84

Colunas

334,93

k–1=3–1=2

167,47

6,43

4,46

Residual

208,40

15 – 5 – 3 + 1 = 8

26,05

Total

573,73

n – 1 = 15 – 1 = 14

10.5 Primeiramente, contando o número de elementos e calculando a soma, a média e a variância das amostras, temos: xmA = Óxi / n = (15 + ... + 14) / 4 = 51 / 4 = 12,75 2 2 2 2 SA = 1 / (n – 1) * [Óxi – (Óxi) / n] = 1 / (4 – 1) * [665 – (51) / 4] = 4,92 xmB = Óxi / n = (19 + ... + 11) / 4 = 57 / 4 = 14,25 2 2 2 2 SB = 1 / (n – 1) * [Óxi – (Óxi) / n] = 1 / (4 – 1) * [851 – (57) / 4] = 12,92 xmC = Óxi / n = (18 + ... + 12) / 4 = 59 / 4 = 14,75 2 2 2 2 SC = 1 / (n – 1) * [Óxi – (Óxi) / n] = 1 / (4 – 1) * [889 – (59) / 4] = 6,25 xmD = Óxi / n = (16 + ... + 16) / 4 = 55 / 4 = 13,75 2 2 2 2 SD = 1 / (n – 1) * [Óxi – (Óxi) / n] = 1 / (4 – 1) * [777 – (55) / 4] = 6,92 xmE = Óxi / n = (17 + ... + 14) / 4 = 58 / 4 = 14,50 2 2 2 2 SE = 1 / (n – 1) * [Óxi – (Óxi) / n] = 1 / (4 – 1) * [862 – (58) / 4] = 7,00 xm1 = Óxi / n = (15 + ... + 17) / 5 = 85 / 5 = 17,00 2 2 2 2 S1 = 1 / (n – 1) * [Óxi – (Óxi) / n] = 1 / (5 – 1) * [1455 – (85) / 5] = 2,50 xm2 = Óxi / n = (12 + ... + 16) / 5 = 68 / 5 = 13,60 2 2 2 2 S2 = 1 / (n – 1) * [Óxi – (Óxi) / n] = 1 / (5 – 1) * [942 – (68) / 5] = 4,30 xm3 = Óxi / n = (10 + ... + 11) / 5 = 60 / 5 = 12,00 2 2 2 2 S3 = 1 / (n – 1) * [Óxi – (Óxi) / n] = 1 / (5 – 1) * [734 – (60) / 5] = 3,50 xm4 = Óxi / n = (14 + ... + 14) / 5 = 67 / 5 = 13,40 2 2 2 2 S4 = 1 / (n – 1) * [Óxi – (Óxi) / n] = 1 / (5 – 1) * [913 – (67) / 5] = 3,80 GRUPO

CONTAGEM

SOMA

MÉDIA

VARIÂNCIA

Bloco A

4

51

12,75

4,92

Bloco B

4

57

14,25

12,92

Bloco C

4

59

14,75

6,25

Bloco D

4

55

13,75

6,92

Bloco E

4

58

14,50

7,00

Café 1

5

85

17,00

2,50

Café 2

5

68

13,60

4,30

Café 3

5

60

12,00

3,50

Café 4

5

67

13,40

3,80

2

2

C = [(Ói Ój xij) / n] = (280) / 20 = 3920 2 2 2 Qt = (Ói Ój xij) – C = (15 + ... + 14 ) – 3920 = 4044 – 3920 = 124,00 2 2 2 Qel = Ój * [(Ój xij) / k] – C = [() / 4] + ... + [() / 4] – 3920 = 3930 – 3920 = 10,00 2 2 2 Qec = Ói * [(Ój xij) / L] – C = [() / 5] + ... + [() / 5] – 3920 = 3987,60 – 3920 = 67,60 Qr = Qt – Qec – Qel = 124 – 10 – 67,60 = 46,40 2 Sel = [Qel / (L – 1)] = 10 / 4 = 2,5 2 Sec = [Qec / (k – 1)] = 67,60 / 3 = 22,53 2 Sr = [Qr / (n – L – k + 1)] = 16,40 / 12 = 3,87 L 2 2 F cal = [Sel / Sr ] = 2,5 / 3,87 = 0,65 e á = 5% , portanto, na tabela F , com ö1 e ö2 = 4 e 12, L F tab(4, 12) = 3,26 L L Como F cal < F tab, não se pode rejeitar H0: µA = µB = µC = µD = µE com nível de significância de 5%, concluindo-se que não há diferença entre os solos c 2 2 F cal = [Sec / Sr ] = 22,53 / 3,87 = 5,83 e á = 5% , portanto, na tabela F , com ö1 e ö2 = 3 e 12, c F tab(3, 12) = 3,49 c c Como F cal l > F tab, rejeita-se H0: µ1 = µ2 = µ3 = µ4 com nível de significância de 5%, concluindose que há diferença entre os tipos de café. VARIAÇÃO

SOMA DOS 2S

G.L.

2

S MÉDIOS

TESTE F

F CRÍTICO

Linhas

10,00

L–1=5–1=4

2,50

0,65

3,26

Colunas

67,60

K–1=4–1=3

22,53

5,83

3,49

Residual

46,40

20 – 5 – 4 + 1 = 12

3,87

Total

124,00

n – 1 = 20 – 1 = 19

10.6 Primeiramente, contando o número de elementos e calculando a soma, a média e a variância das amostras, temos: xmFAR = Óxi / n = (78 + ... + 125) / 12 = 1227 / 12 = 102,25 2 2 2 2 SFAR = 1 / (n – 1) * [Óxi – (Óxi) / n] = 1 / (12 – 1) * [130095 – (1227) / 12] = 421,30 xmDRO = Óxi / n = (78 + ... + 128) / 12 = 1250 / 12 = 104,17 2 2 2 2 SDRO = 1 / (n – 1) * [Óxi – (Óxi) / n] = 1 / (12 – 1) * [134800 – (1250) / 12] = 417,42 xmOUT = Óxi / n = (80 + ... + 129) / 12 = 1266 / 12 = 105,50 2 2 2 2 SOUT = 1 / (n – 1) * [Óxi – (Óxi) / n] = 1 / (12 – 1) * [138408 – (1266) / 12] = 440,45 xmP1 = Ó xi / n = (78 + ... + 81) / 12 = 936 / 12 = 78,00 2 2 2 2 SP1 = 1 / (n – 1) * [Óxi – (Óxi) / n] = 1 / (12 – 1) * [73048 – (936) / 12] = 3,64 xmP2 = Ó xi / n = (108 + ... + 111) / 12 = 1299 / 12 = 108,25 2 2 2 2 SP2 = 1 / (n – 1) * [Óxi – (Óxi) / n] = 1 / (12 – 1) * [140671 – (1299) / 12] = 4,93 xmP3 = Ó xi / n = (124 + ... + 129) / 12 = 1508 / 12 = 125,67 2 2 2 2 SP3 = 1 / (n – 1) * [Óxi – (Óxi) / n] = 1 / (12 – 1) * [189584 – (1508) / 12] = 125,67 GRUPO

CONTAGEM

SOMA

MÉDIA

VARIÂNCIA

Farmácia

12

1227

102,25

421,30

Drogaria

12

1250

104,17

417,42

Outro

12

1266

105,50

440,45

P1 = 54

12

936

78,00

3,64

P2 = 49

12

1299

108,25

7,93

P3 = 44

12

1508

125,67

125,67

2

2

C = [(Ói Ój Ól xijl) / n] = (3743) / 36 = 389168,03 2 2 2 Qt = (Ói Ój Ól xijl) – C = (78 + ... + 129 ) – C = 403303,00 – 389168,03 = 14134,97

2

2

2

Qel = Ói * [(Ój Ól xijl) / RK] – C = [(1227) / 12] + ... + [(1266) / 12] – C = 389232,08 – 389168,03 = 64,06 2 2 2 Qec = Ój * [(Ói Ól xijl) / RL] – C = [(936) / 12] + ... + [(1508) / 12] – C = 403130,08 – 389168,03 = 13962,06 2 2 2 2 2 2 Qr = Ói Ój Ól xijl – Ói Ój * [(Óe xijl) / R] = [(78) + ... + (129) ] – [(305) / 4 + ... + (513) / 4] = 403303 – 403207,30 = 95,80 Qi = Qt – Qec – Qel – Qr = 14134,97 – 13962,06 – 64,06 – 95,80 = 13,11 2 Sel = [Qel / (L – 1)] = 64,06 / 2 = 32,03 2 Sec = [Qec / (k – 1)] = 13962,06 / 2 = 6981,03 2 Si = [Qi / (k – 1)(L – 1)] = 13,11 / 4 = 3,28 2 Sr = [Qr / L * K * (R – 1)] = 95,80 / (3 * 3 * 3) = 3,55 L

2

2

c

2

2

a)

F cal = [Sel / Sr ] = 32,03 / 3,55 = 9,03 e á = 5% , portanto, na tabela F , com ö1 e ö2 = 2 L e 27, F tab(2, 27) = 3,35 L L Como F cal > F tab, rejeita-se H0: µFAR = µDRO = µOUT com nível de significância de 5%, concluindo-se que a distribuição interfere nas quantidades.

b)

F cal = [Sec / Sr ] = 6981,03 / 3,55 = 1966,49 e á = 5% , portanto, na tabela F , com ö1 e c ö2 = 2 e 27, F tab(2, 27) = 3,35 c c Como F cal > F tab, rejeita-se H0: µP1 = µP2 = µP3 com nível de significância de 5%, concluindo-se que o preço interfere nas quantidades.

c)

F cal = [Si / Sr ] = 3,28 / 3,55 = 0,92 e á = 5% , portanto, na tabela F , com ö1 e ö2 = 4 e i 27, F tab(4, 27) = 2,73 i i Como F cal < F tab, não se pode rejeitar H0 com nível de significância de 5%, concluindo-se que não há efeito devido à interação.

i

VARIAÇÃO

2

2

SOMA DOS 2S

G.L.

2

S MÉDIOS

TESTE F

F CRÍTICO

Linhas

64,06

L–1=3–1=2

32,03

9,03

3,35

Colunas

13962,06

k–1=3–1=2

6981,03

1966,49

3,35

Interação

13,11

(k – 1)(L – 1) = 4

3,28

0,92

2,73

Residual

95,80

LK (R – 1) = 27

3,55

Total

14134,97

KLR – 1 = 35

10.7 Primeiramente, contando o número de elementos e calculando a soma, a média e a variância das amostras, temos: xmX = Óxi / n = (516 + ... + 506) / 12 = 6134 / 12 = 511,17 2 2 2 2 SX = 1 / (n – 1) * [Óxi – (Óxi) / n] = 1 / (12 – 1) * [3135674 – (6134) / 12] = 16,15 xmY = Óxi / n = (529 + ... + 508) / 12 = 6157 / 12 = 513,08 2 2 2 2 SY = 1 / (n – 1) * [Óxi – (Óxi) / n] = 1 / (12 – 1) * [3159467 – (6157) / 12] = 37,54 xmZ = Óxi / n = (518 + ... + 506) / 12 = 6146 / 12 = 512,17 2 2 2 2 SZ = 1 / (n – 1) * [Óxi – (Óxi) / n] = 1 / (12 – 1) * [3148120 – (6146) / 12] = 31,24 xm1 = Óxi / n = (516 + ... + 518) / 9 = 4664 / 9 = 518,22 2 2 2 2 S1 = 1 / (n – 1) * [Óxi – (Óxi) / n] = 1 / (9 – 1) * [2417160 – (4664) / 9] = 21,44 xm2 = Óxi / n = (517 + ... + 516) / 9 = 4625 / 9 = 513,89 2 2 2 2 S2 = 1 / (n – 1) * [Óxi – (Óxi) / n] = 1 / (9 – 1) * [2376787 – (4625) / 9] = 6,36 xm3 = Óxi / n = (512 + ... + 509) / 9 = 4588 / 9 = 509,78 2 2 2 2 S3 = 1 / (n – 1) * [Óxi – (Óxi) / n] = 1 / (9 – 1) * [2338904 – (4588) / 9] = 5,44 xm4 = Óxi / n = (506 + ... + 506) / 9 = 4560 / 9 = 506,67 2 2 2 2 S4 = 1 / (n – 1) * [Óxi – (Óxi) / n] = 1 / (9 – 1) * [2310410 – (4560) / 9] = 1,25 GRUPO

CONTAGEM

SOMA

MÉDIA

VARIÂNCIA

Técnico X

12

6134

511,17

16,15

Técnico Y

12

6157

513,08

37,54

Técnico Z

12

6146

512,17

31,24

Bloco 1

9

4664

518,22

21,44

Bloco 2

9

4625

513,89

6,36

Bloco 3

9

4588

509,78

5,44

Bloco 4

9

4560

506,67

1,25

2

2

C = [(Ói Ój Ól xijl) / n] = (18437) / 36 = 9442307,69 2 2 2 Qt = (Ói Ój Ól xijl) – C = (516 + ... + 506 ) – C = 9443261,00 – 9442307,69 = 956,31 2 2 2 2 Qel = Ói * [(Ój Ól xijl) / RK] – C = [(6134) / 12] + [(6157) / 12] + [(6146) / 12] – C = 9442326,75 – 9442307,69 = 22,06 2 2 2 Qec = Ój * [(Ói Ól xijl) / RL] – C = [(4664) / 9] + ... + [(4560) / 9] – C = 9442985 – 9442307,69 = 680,31 2 2 2 2 2 2 Qr = Ói Ój Ól xijl – Ói Ój * [(Óe xijl) / R] = (516) + ... + (506) – [(1543) / 3 + ... + (1519) / 3] = 9443261 – 9443130,30 = 130,67 Qi = Qt – Qec – Qel – Qr = 956,31 – 680,31 – 22,06 – 130,67 = 123,28 2 Sel = [Qel / (L – 1)] = 22,06 / 2 = 11,03 2 Sec = [Qec / (k – 1)] = 680,31 / 3 = 226,77 2 Si = [Qi / (k – 1)(L – 1)] = 123,28 / 6 = 20,55 2 Sr = [Qr / L * K * (R – 1)] = 130,67 / (3 * 4 * 2) = 5,44 c

2

2

L

2

2

a)

F cal = [Sec / Sr ] = 226,77 / 5,44 = 41,65 e á = 5% , portanto, na tabela F , com ö1 e ö2 = c 3 e 24, F tab(3, 24) = 3,01 c c Como F cal > F tab, rejeita-se H0: µ1 = µ2 = µ3 = µ4 com nível de significância de 5%, concluindo-se que as durezas médias dos blocos não são constantes.

b)

F cal = [Sel / Sr ] = 11,03 / 5,44 = 2,03 e á = 5% , portanto, na tabela F , com ö1 e ö2 = 2 L e 24, F tab(2, 24) = 3,40 L L Como F cal < F tab, não se pode se rejeitar H0: µX = µY = µZ com nível de significância de 5%, concluindo-se que as determinações dos técnicos são iguais.

c)

F cal = [Si / Sr ] = 20,55 / 5,44 = 3,77 e á = 5% , portanto, na tabela F , com ö1 e ö2 = 6 e i 24, F tab(6, 24) = 2,51 i i Como F cal > F tab, rejeita-se H0 com nível de significância de 5%, concluindo-se que há interação entre técnicos e blocos.

i

VARIAÇÃO

2

2

SOMA DOS 2S

G.L.

2

S MÉDIOS

TESTE F

F CRÍTICO

Linhas

22,06

L–1=3–1=2

11,03

11,03

3,40

Colunas

680,31

k–1=4–1=3

226,77

41,65

3,01

Interação

123,28

(k – 1)(L – 1) = 6

20,55

20,55

2,51

Residual

130,67

LK (R – 1) = 24

5,44

Total

956,31

KLR – 1 = 35

10.8 Qr = Qt – Qmaq – Qope = 5832 – 904 – 2334 = 2594 2 Smaq = [Qmaq / (k – 1)] = 904 / 5 = 180,80 2 Sope = [Qope / (b – 1)] = 2334 / 9 = 259,33 2 Sr = [Qr / (n – k – b + 1)] = 2594 / 45 = 57,64 maq 2 2 F cal = [Smaq / Sr ] = 180,80 / 57,64 = 3,14 e á = 5% , portanto, na tabela F , com ö1 e ö2 = 5 e maq maq 45, F tab(5, 45) • F tab(5, 40) = 2,45 maq maq Como F cal > F tab, rejeita-se H0: µ1 = µ2 = µ3 = µ4 = µ5 = µ6 com nível de significância de 5%, concluindo-se que há diferença entre as máquinas ope 2 2 F cal = [Sope / Sr ] = 259,33 / 57,64 = 4,50 e á = 5% , portanto, na tabela F , com ö1 e ö2 = 9 e ope ope 45, F tab(9, 45) • F tab(9, 40) = 2,12

ope

ope

Como F cal > F tab, rejeita-se H0: µ1 = ... = µ10 com nível de significância de 5%, concluindose que há diferença entre os operários. VARIAÇÃO

SOMA DOS 2S

G.L.

2

S MÉDIOS

TESTE F

F CRÍTICO

Linhas

30,40

k–1=6–1=5

180,80

3,14

2,45

Colunas

334,93

b – 1 = 10 – 1 = 9

259,33

4,50

2,12

Residual

208,40

60 - 6 - 10 + 1 = 45

57,64

Total

573,73

n – 1 = 15 – 1 = 14

10.9 Primeiramente, veremos o Teste de Scheffé para as colunas, usando a seguinte equação: 2 0,5 ÉxmX – xmYÉ > {S r * [2 * (K – 1) / RL] * Fá[(K – 1), (KL * (R – 1)} 0,5 É511,17 – 513,08 É e [5,44 * (2 * 3) / 9 * Fá(3, 24)] , ou seja, 1,91 < 3,30, portanto, µX = µ Y 0,5 É511,17 – 512,17 É e [5,44 * (2 * 3) / 9 * Fá(3, 24)] = 1,00 < 3,30, portanto, µX = µZ 0,5 É513,08 – 512,17 É e [5,44 * (2 * 3) / 9 * Fá(3, 24)] = 0,91 < 3,30, portanto, µY = µZ Agora, o Teste de Scheffé para as linhas, usando a seguinte equação: 2 0,5 Éxm1 – xm2É > {S r * [2 * (L – 1) / RK] * Fá[(L – 1), (KL * (R – 1)} 0,5 É518,22 – 513,89 É e [5,44 * (2 * 2) / 12 * Fá(2, 24)] , ou seja, 4,33 > 2,48, portanto, µ1 • µ 2 0,5 É518,22 – 509,78 É e [5,44 * (2 * 2) / 12 * Fá(2, 24)] , ou seja, 8,44 > 2,48, portanto, µ1 • µ 3 0,5 É518,22 – 506,67 É e [5,44 * (2 * 2) / 12 * Fá(2, 24)] , ou seja, 11,55 > 2,48, portanto, µ1 • µ 4 0,5 É513,89 – 509,78 É e [5,44 * (2 * 2) / 12 * Fá(2, 24)] , ou seja, 4,11 > 2,48, portanto, µ2 • µ 3 0,5 É513,89 – 506,67 É e [5,44 * (2 * 2) / 12 * Fá(2, 24)] , ou seja, 7,22 > 2,48, portanto, µ2 • µ 4 0,5 É509,78 – 506,67 É e [5,44 * (2 * 2) / 12 * Fá(2, 24)] , ou seja, 3,11 > 2,48, portanto, µ3 • µ 4.

Soluções e Respostas Capítulo 11 – Teste Qui-Quadrado e Outras Provas Não-Paramétricas SÉRIE I 11.1 H0: Moeda é honesta (200 lances, 100 caras e 100 coroas) e H1: Moeda não é honesta 2 á = 10% e k = 2, portanto, ö = k – 1 = 1, na tabela qui quadrado, X tab = 2,706 EVENTOS

CARA

COROA

Observado

110

90

Esperado

100

100

2

2

2

2

X cal = Ói (Foi – Fei) / Fei = [(110 – 100) / 100] + [(90 – 100) / 100] = 2,00 2 2 Como X cal < X tab, não se pode rejeitar H0: Moeda honesta, com nível de significância de 10%. 11.2 H0: Dado é honesto (180 lances, 30 cada face) e H1: Dado é viciado 2 á = 5% e k = 6, portanto, ö = k – 1 = 5, na tabela qui quadrado, X tab = 11,071 EVENTOS

1

2

3

4

5

6

Observado

31

28

35

26

29

31

Esperado

30

30

30

30

30

30

2

2

2

2

X cal = Ói (Foi – Fei) / Fei = [(31 – 30) / 30] + ... + [(31 – 30) / 30] = 48 / 30 = 1,60 2 2 Como X cal < X tab, não se pode rejeitar H0: Dado honesto, com nível de significância de 5%. 11.3 H0: Dados são honestos (240 lances) e H1: Dados são viciados 2 á = 1% e k = 2, portanto, ö = k – 1 = 1, na tabela qui quadrado, X tab = 6,635 SOMA

2

3

4

1/36

2/36

3/36

Observado Probabilidade Esperado

5

6

7

4/36

5/36

6/36

17

8

9

10

11

12

5/36

4/36

3/36

2/36

1/36

42

6,67 13,33 20,00 26,67 33,33 40,00 33,33 26,67 20,00 13,33 6,67

2

2

2

2

X cal = Ói (Foi – Fei) / Fei = [(17 – 20) / 20] + [(42 – 40) / 40] = 0,45 + 0,10 = 0,56 2 2 Como X cal < X tab, não se pode rejeitar H0: Dado são honestos, com nível de significância de 1%. 11.4 H0: CPFs são aleatórios (40 CPFs) e H1: CPFs não são aleatórios 2 á = 5% e k = 10, portanto, ö = k – 1 = 9, na tabela qui quadrado, X tab = 16,919 ALGARISMO

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

Observado

4

4

4

4

2

4

5

3

5

4

Esperado

4

2

4

4

2

4

4

4

4

2

4

4

4

2

X cal = Ói (Foi – Fei) / Fei = [(4 – 4) / 4] + ... + [(4 – 4) / 4] = 7 / 4 = 1,75 2 2 Como X cal < X tab, não se pode rejeitar H0: CPFs são aleatórios, com nível de significância de 5%. 11.5 H0: distribuições de sangue iguais (770 total) e H1: distribuições são diferentes 2 á = 2,5% e k = 4, portanto, ö = k – 1 = 3, na tabela qui quadrado, X tab = 9,348 SANGUE

1

2

3

4

TOTAL

Observado

180

360

130

100

770

0,18

0,48

0,20

0,14

1

138,6 369,6

154

107,8

770

Probabilidade Esperado 2

2

2

2

X cal = Ói (Foi – Fei) / Fei = [(180 – 138,6) / 138,6] + ... + [(100 – 107,8) / 107,8] = 12,37 + 0,25 + 3,74 + 0,56 = 16,92 2 2 Como X cal > X tab, rejeita-se H0: distribuições de sangue iguais, com nível de significância de 2,5%. 11.6 H0: distribuições de livros iguais (625 total) e H1: distribuições são diferentes 2 á = 1,00% e k = 5, portanto, ö = k – 1 = 4, na tabela qui quadrado, X tab = 13,277 DIA

SEG

TER

QUA

QUI

SEX

TOTAL 625

Observado

110

135

120

146

114

Probabilidade

0,2

0,2

0,2

0,2

0,2

1

Esperado

125

125

125

125

125

625

2

2

2

2

X cal = Ói (Foi – Fei) / Fei = [(125 – 110) / 125] + ... + [(125 – 114) / 125] = 1,80 + 0,80 + 0,20 + 3,53 + 0,97 = 7,30 2 2 Como X cal < X tab, não se pode rejeitar H0: distribuições de livros iguais para todos os dias, com nível de significância de 5%.

SÉRIE II 11.7 H0: Não há relação entre as duas variáveis e H1: Há relação entre as duas variáveis 2 á = 5% , L = 3 e C = 3, portanto, ö = (L – 1) * (C – 1) = 4, na tabela qui quadrado, X tab = 9,488 Calculando a tabela de freqüências através da fórmula: Feij = [(Ói) * (Ój) / (n)], por exemplo, FeAA = [(50,00) * (40,00) / (150)] = 13,33, temos: FREQÜÊNCIAS

N. ALTA

N. MÉDIA

N. BAIXA

TOTAL

S. ALTO

13,33

18,67

8,00

40

S. MÉDIO

26,67

37,33

16,00

80

S. BAIXO

10,00

14,00

6,00

30

TOTAL

50

70

30

2

2

2

2

X cal = Ói Ój (Foij – Feij) / Feij = [(18,00 – 13,33) / 13,33] + ... + [(9,00 – 6,00) / 6,00] = 6,11 2 2 Como X cal < X tab, não se pode rejeitar H0: Não há relação entre as duas variáveis, com nível de significância de 5%. 11.8 H0: Resultados são homogêneos e H1: Resultados não são homogêneos 2 á = 5% , L = 2 e C = 2, portanto, ö = (L – 1) * (C – 1) = 1, na tabela qui quadrado, X tab = 3,841 Entre parênteses na tabela temos as freqüências esperadas, calculadas através da fórmula: Feij = [(Ói) * (Ój) / (n)], por exemplo, Fe11 = [(56,00) * (30,00) / (100)] = 16,80. C/ DOENÇA

S/ DOENÇA

TOTAL 56

VACINADOS

A = 14 (16,80)

B = 42 (39,2)

N/ VACINADOS

C = 16 (13,20)

D = 28 (30,8)

44

TOTAL

30

70

100

2

Calcularemos o X cal convencional e também com a correção de Yates: 2 2 2 2 X cal conv = Ói Ój (Foij – Feij) / Feij = [(14 – 16,80) / 16,80] + ... + [(28 – 30,80) / 30,80] = 1,52 2 2 X cal yates = [N * (É AD – BC É – N/2) ] / [(A + B) (C + D) (A + C) (B + C)] = [100 * (É 392 – 672 É – 2 100/2) ] / (56 * 44 * 30 * 70) = 1,02 2 2 Em ambos casos, como X cal < X tab, não se pode rejeitar H0: Resultados são homogêneos, com nível de significância de 5%. 11.9 H0: Não há associação entre variáveis e H1: Há associação entre variáveis 2 á = 1% , L = 2 e C = 4, portanto, ö = (L – 1) * (C – 1) = 3, na tabela qui quadrado, X tab = 11,345 Calculando a tabela de freqüências através da fórmula: Feij = [(Ói) * (Ój) / (n)], por exemplo, Fe1A = [(124,00) * (72,00) / (400)] = 23,32, temos: FREQÜÊNCIAS

A

B

C

D

TOTAL

1

23,32

37,20

33,48

31,00

124,00

2

49,68

82,80

74,52

69,00

276,00

TOTAL

72,00

120,00

108,00

100,00

2

2

2

2

X cal = Ói Ój (Foij – Feij) / Feij = [(28,00 – 23,32) / 23,32] + ... + [(24,00 – 31,00) / 31,00] = 5,81 2 2 Como X cal < X tab, não se pode rejeitar H0: Não há associação entre variáveis, com nível de significância de 1%.

11.10 H0: Dados independentes e H1: Dados dependentes 2 á = 5% , L = 3 e C = 3, portanto, ö = (L – 1) * (C – 1) = 4, na tabela qui quadrado, X tab = 9,488 Calculando a tabela de freqüências através da fórmula: Feij = [(Ói) * (Ój) / (n)], por exemplo, FeAE = [(165,00) * (100,00) / (500)] = 33,00, temos: FREQÜÊNCIAS

ESQUERDA

CENTRO

DIREITA

TOTAL

APROVAM

33,00

66,00

66,00

165,00

NÃO APROVAM

37,00

74,00

74,00

185,00

SEM OPINIÃO

31,00

60,00

60,00

150,00

TOTAL

100,00

200,00

200,00

2

2

2

2

X cal = Ói Ój (Foij – Feij) / Feij = [(35,00 – 33,00) / 33,00] + ... + [(60,00 – 60,00) / 60,00] = 16,83 2 2 Como X cal > X tab, rejeita-se H0: Dados independentes com nível de significância de 5%, concluindo-se que a opinião e o partido tem dependência. 11.11 a) PAR

ANTES DEPOIS SINAL

Di

POSTO

PAR

ANTES DEPOIS SINAL

Di

POSTO

1

55

50

–

5

21,5º

16

48

50

+

2

8,5º

2

63

65

+

2

8,5º

17

49

51

+

2

8,5º

3

78

78

=

0

--

18

90

81

–

9

26º

4

81

79

–

2

8,5º

19

93

85

–

8

24,5º

5

68

70

+

2

8,5º

20

90

90

=

0

--

6

58

57

–

1

2º

21

56

58

+

2

8,5º

7

60

58

–

2

8,5º

22

66

64

–

2

8,5º

8

60

62

+

2

8,5º

23

67

68

+

1

2º

9

75

70

–

5

21,5º

24

73

70

–

3

15,5º

10

85

81

–

4

18,5º

25

74

70

–

4

18,5º

11

90

80

–

10

27,5º

26

48

53

+

5

21,5º

12

50

60

+

10

27,5º

27

68

65

–

3

15,5º

13

58

55

–

3

15,5º

28

72

70

–

2

8,5º

14

83

75

–

8

24,5º

29

86

83

–

3

15,5º

15

47

52

+

5

21,5º

30

80

81

+

1

2º

Teste dos Sinais H0: Dieta não alterou peso (p = 0,5) e H1: Dieta alterou pesos (p • 0,5) á = 2,5% , portanto, na tabela normal, – Zá/2 = – 2,24 e Zá/2 = 2,24 Sinais “+” (acréscimo de peso) = 11 Sinais “–“ (decréscimo de peso) = 17 Sinais “0“ (sem alteração no peso) = 2 n = n – empates = 28 0,5 0,5 Zcal = [(y – np) / (npq) ] = (11 – 28 * 0,5) / (28 * 0,5 * 0,5) = – 1,13 Como – Zá/2 • Z cal • Z á/2, não se pode rejeitar H0: Dieta não alterou peso, com nível de significância de 2,5%. Teste de Wilcoxon H0: Dieta não alterou peso e H1: Dieta alterou pesos á = 2,5% , portanto, na tabela normal, – Zá/2 = – 2,24 e Zá/2 = 2,24

Soma dos Postos com Sinal “+” = 125,5 Soma dos Postos com Sinal “–“ = 280,5 Portanto, T (menor soma dos postos de mesmo sinal) = 125,5 nval = n – empates = 30 – 2 = 28 µT = nval * (nval + 1) / 4 = 28 * (28 + 1) / 4 = 203 0,5 0,5 óT = [nval * (nval + 1) * (2 * nval + 1) / 24] = [28 * 29 * 57 / 24] = 43,91 Zcal = (T – µT) / óT = (125,5 – 203) / 43,91 = – 1,76 Como – Zá/2 • Z cal • Z á/2, não se pode rejeitar H0: Dieta não alterou peso, com nível de significância de 2,5%. b) PAR

ANTES DEPOIS SINAL

Di

POSTO

PAR

ANTES DEPOIS SINAL

Di

POSTO

1

8,7

9,3

+

0,6

11,5º

13

4,8

5,5

+

0,7

14,5º

2

9,8

9,2

–

0,6

11,5º

14

6,7

6,8

+

0,1

1,5º

3

10

9,5

–

0,5

8º

15

8,3

8,5

+

0,2

3,5º

4

9,6

9,6

=

0

--

16

9,5

9

–

0,5

8º

5

8,5

8,8

+

0,3

5º

17

10,5

10

–

0,5

8º

6

5,8

6,5

+

0,7

14,5º

18

12,5

13

+

0,5

8º

7

6,3

7

+

0,7

14,5º

19

12,5

12

–

0,5

8º

8

12,5

11,5

–

1

18º

20

9

10

+

1

18º

9

8,8

8,9

+

0,1

1,5º

21

14

12

–

2

22,5º

10

7,3

8

+

0,7

14,5º

22

13

11

–

2

22,5º

11

12,5

11

–

1,5

21º

23

9,5

10,5

+

1

18º

12

13,8

14

+

0,2

3,5º

24

8

9,3

+

1,3

20º

Apesar da amostra ser composta por 24 elementos, utilizaremos a distribuição normal. Teste dos Sinais H0: Aditivo não alterou consumo (p = 0,5) e H1: Aditivo alterou consumo (p • 0,5) á = 2,5% , portanto, na tabela normal, – Zá/2 = – 2,24 e Zá/2 = 2,24 Sinais “+” (acréscimo no consumo) = 14 Sinais “–“ (decréscimo no consumo) = 9 Sinais “0“ (sem alteração no consumo) = 1 0,5 0,5 Zcal = [(y – np) / (npq) ] = (14 – 23 * 0,5) / (23 * 0,5 * 0,5) = 1,04 Como – Zá/2 • Z cal • Z á/2, não se pode rejeitar H0: Aditivo não alterou consumo, com nível de significância de 2,5%. Teste de Wilcoxon H0: Aditivo não alterou consumo e H1: Aditivo alterou consumo á = 2,5% , portanto, na tabela normal, – Zá/2 = – 2,24 e Zá/2 = 2,24 nval = n – empates = 24 – 1 = 23 Soma dos Postos com Sinal “+” = 148,5 Soma dos Postos com Sinal “–“ = 127,5 Portanto, T (menor soma dos postos de mesmo sinal) = 127,50 µT = nval * (nval + 1) / 4 = 23 * (23 + 1) / 4 = 138,00 0,5 0,5 óT = [nval * (nval + 1) * (2 * nval + 1) / 24] = [23 * 24 * 47 / 24] = 32,88 Zcal = (T – µT) / óT = (127,50 – 138,00) / 32,88 = – 0,32 Como – Zá/2 • Z cal • Z á/2, não se pode rejeitar H0: Aditivo não alterou consumo, com nível de significância de 2,5%. 11.12 H0: Não há diferença entre X e Y e H1: Há diferença á = 1,0 % , portanto, na tabela normal, – Zá/2 = – 2,57 e Zá/2 = 2,57

X = n2

COLOCAÇÃO

Y = n1

COLOCAÇÃO

63

11º

90

23º

65

12,5º

50

7,5º

70

14,5º

60

10º

48

6º

70

14,5º

50

7,5º

40

3º

81

17,5º

38

2º

88

21º

89

22º

99

24º

47

4,5º

35

1º

51

9º

47

4,5º

65

12,5º

75

16º

87

20º

85

19º

81

17,5º

R2

172

R1

128

U1 = n1 * n2 + [n1 * (n1 + 1)] / 2 – R1 = 11 * 13 + (11 * 12 / 2) – 128 = 81 µ(U) = (n1 * n2) / 2 = 11 * 13 / 2 = 71,50 0,5 0,5 ó(U) = [n1 * n2 * (n1 + n2 + 1) / 12] = [11 * 13 * 25 / 12] = 17,26 Zcal = [µ – µ(U)] / ó(U) = (81,00 – 71,50) / 17,26 = 0,55 Como Zcal < Zá/2, não se pode rejeitar H0: Não há diferença entre X e Y, com nível de significância de 1,0%. 11.13 H0: Não há diferença entre as medianas de X e Y e H1: Há diferença 2 á = 1,00 % , ö = 1, na tabela qui quadrado, X tab = 6,635 Com os dados e a tabela do exercício 11.12, temos Md = 65; entre parênteses na tabela temos as freqüências esperadas, calculadas através da fórmula: Feij = [(Ói) * (Ój) / (n)], por exemplo, Fe11 = [(13,00) * (11,00) / (24)] = 5,96 X

Y

TOTAL

Z > 65

A = 7 (5,96)

B = 4 (5,04)

11

Z • 65

C = 6 (7,04)

D = 7 (5,96)

13

TOTAL

13

11

24

2

Calcularemos o X cal convencional e também com a correção de Yates: 2 2 2 2 X cal conv = Ói Ój (Foij – Feij) / Feij = [(7 – 5,96) / 5,96] + ... + [(7 – 5,96) / 5,96] = 0,73 2 2 X cal yates = [N * (É AD – BC É – N/2) ] / [(A + B) (C + D) (A + C) (B + C)] = [24 * (É 49 – 24 É – 2 24/2) ] / (11 * 13 * 13 * 11) = 0,20 2 2 Em ambos casos, como X cal < X tab, não se pode rejeitar H0: Não há diferença entre as medianas de X e Y, com nível de significância de 1,00 %, portanto, o mesmo resultado que o teste de Mann-Whitney. 11.14 H0: Não há diferença entre as médias de A e B e H1: Há diferença á = 5% , portanto, na tabela normal, – Zá/2 = – 1,96 e Zá/2 = 1,96 A = n2

COLOCAÇÃO

B = n1

COLOCAÇÃO

26560

11º

33400

26º

21900

1º

29600

21º

28800

19º

25500

8º

27700

12,5º

27900

16,5º

31800

24º

24500

4,5º

24500

4,5º

23800

2º

27800

14,5º

27800

14,5º

30600

23º

30100

22º

25600

9º

28860

20º

24600

6º

27700

12,5º

25400

7º

24450

3º

35500

28º

32300

25º

26300

10º

34300

27º

27900

16,5º

28400

18º

R2

204

R1

202

U1 = n1 * n2 + [n1 * (n1 + 1)] / 2 – R1 = 13 * 15 + (13 * 14 / 2) – 202 = 84 µ(U) = (n1 * n2) / 2 = 13 * 15 / 2 = 97,50 0,5 0,5 ó(U) = [n1 * n2 * (n1 + n2 + 1) / 12] = [13 * 15 * 29 / 12] = 21,71 Zcal = [µ – µ(U)] / ó(U) = (84,00 – 97,50) / 21,71 = – 0,622 Como Zcal < Zá/2, não se pode rejeitar H0: Não há diferença entre as médias de A e B, com nível de significância de 5%. 11.15 H0: Não há diferença entre as médias das marcas e H1: Há diferença 2 á = 5% , ö = k – 1 = 3, na tabela qui quadrado, X tab = 7,815 A

POSTO

B

POSTO

C

POSTO

D

704

7º

752

12º

873

20º

690

5º

604

2º

709

8º

666

3º

850

18º

1038

31º

717

9º

1021

30º

824

17º

881

21º

921

24º

992

29º

856

19º

924

25º

761

13º

816

16º

915

22º

672

4º

991

28º

918

23º

734

11º

723

10º

805

15º

978

26º

799

14º

591

1º

981

27º

1203

32º

700

6º

RA

101

RB

136

Rc

179

RD

112

2

POSTO

2

2

H = 12 / [n * (n + 1)] * Ói [(Ri) / ni] – 3 * (n + 1) = 12 / [32 * (32 + 1)] * [(101) / 8 + (136) / 8 + 2 2 (179) / 8 + (112) / 8] – 3 * (33) = 0,011 * 9160,25 – 99 • 4,30 2 Como H < X tab, não se pode rejeitar H0: Não há diferença entre as médias, com nível de significância de 5%. 11.16 H0: Não há diferença entre as médias das vendas e H1: Há diferença 2 á = 2,5% , ö = k – 1 = 2, na tabela qui quadrado, X tab = 7,378 A

POSTO

B

POSTO

C

POSTO

3,2

11º

6,2

20º

5

16º

4,8

14º

1,3

2º

4

12º

5

16º

1,7

3,5º

3

10º

2,7

9º

2

6,5º

2

6,5º 3,5º

1,8

5º

5

16º

1,7

6

19º

2,3

8º

1

1º

7

21º

4,5

13º

RC

62

5,5

18º

RA

113

RB

56 2

2

2

H = 12 / [n * (n + 1)] * Ói [(Ri) / ni] – 3 * (n + 1) = 12 / [21 * (21 + 1)] * [(113) / 8 + (56) / 6 + 2 (62) / 7] – 3 * (22) = 0,260 * 2667,93 – 66 • 3,37 2 Como H < X tab, não se pode rejeitar H0: Não há diferença entre as médias das vendas, com nível de significância de 2,5%.

Soluções e Respostas Capítulo 12 – Correlação Entre Variáveis SÉRIE I 12.1 c) Sxy = Ó(XY) – [Ó(X) * Ó(Y) / n] = 837 – (169 * 327 / 64) = – 26,484 2 2 2 Sxx = Ó(X ) – [Ó(X) / n] = 1450 – (169) / 64 = 1003,734 2 2 2 Syy = Ó(Y ) – [Ó(Y) / n] = 2304 – (327) / 64 = 633,234 0,5 0,5 rxy = Sxy / (Sxx * Syy) = – 26,484 / (1003,734 * 633,234) = – 0,033 ou r = – 3,3%. d) H0: ñ = 0, ou s eja, inexis tência de correlação linear entre as variáveis e H1: ñ • 0 á = 2,5% • 2,0% , com ö = n – 2 = 62, na tabela t S tudent, – t á/2 = – 2,3880 e tá/2 = 2,3880 0,5 2 0,5 0,5 2 0,5 tcal = [r * (n – 2) ] / (1 – r ) = [(0,033 * (62) ] / [1 – (0,033) ] = – 0,2599 Como – tá/2 • t cal • t á/2, não se pode rejeitar H0: ñ = 0, ou s eja, inexis tência de correlação linear entre as variáveis com um nível de significância de 2,5%. 12.2 2

2

Ó(X) = 889, Ó(Y) = 4261, Ó(X ) = 26671, Ó(Y ) = 609049 e Ó(XY) = 127035 Sxy = Ó(XY) – [Ó(X) * Ó(Y) / n] = 127035 – (889 * 4261 / 30) = 767,37 2 2 2 Sxx = Ó(X ) – [Ó(X) / n] = 26671 – (889) / 30 = 326,97 2 2 2 Syy = Ó(Y ) – [Ó(Y) / n] = 609049 – (4261) / 30 = 3844,97 0,5 0,5 rxy = Sxy / (Sxx * Syy) = 767,37 / (326,97 * 3844,97) = 0,684 ou r = 68,4% H0: ñ = 0, ou s eja, inexis tência de correlação linear entre as variáveis e H1: ñ • 0 á = 5,0% , com ö = n – 2 = 28, na tabela t S tudent, – tá/2 = – 2,0484 e tá/2 = 2,0484 0,5 2 0,5 0,5 2 0,5 tcal = [r * (n – 2) ] / (1 – r ) = [(0,684 * (28) ] / [1 – (0,684) ] = 4,966 Como tcal > tá/2, rejeita-se H0: ñ = 0, portanto, exis te correlação linear entre as variáveis com um nível de significância de 5%.

SÉRIE II 12.3 a) HORAS

SCORE

CLAS H

CLAS S

Di

(Di)2

10

6

45

1

13 (A)

-12

144

8

11

48

2

14 (B)

-12

144

6

34

35

3

9 (C)

-6

36

EMP.

2

36

42

4

12 (D)

-8

64

13

43

36

5

10 (E)

-5

25

1

49

39

6

11 (F)

-5

25

14

57

49

7

15 (G)

-8

64

11

63

29

8

7 (H)

1

1

5

72

22

9

5 (I)

4

16

12

79

21

10

4 (J)

6

36

15

82

31

11

8 (K)

3

9

4

91

25

12

6 (L)

6

36

3

127

10

13

2 (M)

11

121

7

155

15

14

3 (N)

11

121

9

192

7

15

1 (O)

14

196 1038

2

3

3

rs = 1 – {6 * [Ó(di )] / (n – n)} = 1 – [6 * 84631 / (15 – 15)] = – 0,8536. b)

Comparando-se A com B até O, temos que A é menor em dois casos, portanto, dois valores positivos e menor em doze casos, portanto, doze valores negativos. Realizando isso para todas as letras, temos: S = (2 – 12) + (1 – 12) + (4 – 8) + (1 – 10) + (2 – 8) + (1 – 8) + (0 – 8) + (1 – 6) + (2 – 4) + (2 – 3) + (0 – 4) + (0 – 3) + (1 – 1) + (0 – 1) = – 71,00 Tau = (2 * S) / [n * (n – 1)] = 2 * (– 71,00) / (15 * 14) = – 0,6761.

c)

H0: não há correlação entre as classificações de Horas e Scores e H1: há correlação á = 5,0% , com ö = n – 2 = 13, na tabela t S tudent, – tá/2 = – 2,1604 e tá/2 = 2,1604 0,5 2 0,5 0,5 2 0,5 tcal = [r * (n – 2) ] / (1 – r ) = [(– 0,85 * (13) ] / [1 – (– 0,85) ] = – 5,82 Como tcal < – tá/2, rejeita-se H0, portanto, existe correlação entre as classificações de Horas e Scores segundo Spearman, com um nível de significância de 5%. H0: não há correlação entre as classificações de Horas e Scores e H1: há correlação á = 5,0% , na tabela normal, – Zá/2 = – 1,96 e Zá/2 = 1,96 0,5 0,5 Zcal = Tau / {[2 * (2 * n + 5)] / [9 * n * (n – 1)]} = – 0,676 / [(2 * 35) / (9 * 15 * 14)] = – 3,51 Como Zcal < – Zá/2, rejeita-se H0, portanto, existe correlação entre as classificações de Horas e Scores segundo Kendall, com um nível de significância de 5%.

12.4 MODELO

CIDADE

ESTRADA

CLAS C

CLAS E

1

7,4

8,68

1

1 (A)

2

8,15

9,44

2

2 (B)

10

8,5

9,5

3

3 (C)

3

8,68

9,6

4

4 (D)

4

8,9

10,4

5

5 (E)

5

9,75

11,4

6

8 (F)

6

10,4

10,4

7

6 (G)

12

10,5

10,9

8

7 (H)

9

10,7

12,2

9

10 (I)

7

10,9

12,9

10

11 (J)

11

11

13

11

12 (K)

8

11,6

11,8

12

9 (L)

Comparando-se A com B até L, temos que A é menor em todos os casos, portanto, 11 valores positivos e nenhuma vez é menor, portanto, nenhum valore negativo. Realizando isso para todas as letras, temos: S = (11 – 0) + (10 – 0) + (9 – 0) + (8 – 0) + (7 – 0) + (4 – 2) + (5 – 0) + (4 – 0) + (2 – 1) + (1 – 1) + (0 – 1) = 56 Tau = (2 * S) / [n * (n – 1)] = 2 * (56) / (12 * 11) = 0,8484 H0: não há correlação entre as classificações e H1: há correlação á = 2,5% , na tabela normal, – Zá/2 = – 2,24 e Zá/2 = 2,24 0,5 0,5 Zcal = Tau / {[2 * (2 * n + 5)] / [9 * n * (n – 1)]} = 0,8484 / [(2 * 29) / (9 * 12 * 11)] = 3,84 Como Zcal > Zá/2, rejeita-se H0, portanto, existe correlação entre as variáveis segundo Kendall, com um nível de significância de 2,5%. 12.5 EMPRESA

CLAS X

CLAS Y

CLAS Z

CLAS V

Rj

6

1

2

1

3

7

2

2

5

3

6

16

12

3

4

2

1

10

9

4

3

6

2

15

4

5

6

5

5

21

8

6

12

11

10

39

10

7

1

4

8

20

11

8

8

7

9

32

1

9

7

8

4

28

7

10

11

12

7

40

3

11

10

9

12

42

5

12

9

10

11

42 312

Rmedio = Ó(R j) / n = 312 / 12 = 26 2 2 2 B = Ój (Rj - Rmedio) = (7 – 26) + ... + (42 – 26) = 1816 2 3 2 3 W = B / [1/12 * k * (n – n)] = 1816 / [1/12 * 4 * (12 – 12)] = 0,7937 H0: não há correlação entre as classificações de Horas e Scores e H1: há correlação 2 á = 5% e n = 12, portanto, ö = n – 1 = 11, na tabela qui quadrado, X tab = 16,675 2 X cal = k * (n – 1) * W = 4 * 11 * 0,79 = 34,76 2 2 Como X cal > X tab, rejeita-se H0, portanto, existe correlação entre os especialistas, com um nível de significância de 5%.

Soluções e Respostas Capítulo 13 – Regressão Linear Simples SÉRIE I 13.1 e) Sxy = ÓXY – [ÓX * Ó Y / n] = 26 – (5 * 11) / 5 = 15,00. f)

2

2

2

Sxx = Ó(X ) – [Ó(X) / n] = 15 – (5) / 5 = 10,00.

g) xm = Óxi / n = (– 1 + ... + 3) / 5 = 1,00. h) b = Sxy / Sxx = 15,00 / 10,00 = 1,50. i) ym = Ó yi / n = (– 1 + ... + 5) / 5 = 2,20 a = ym – b * xm = 2,20 – (1,5 * 1,00) = 0,70. 13.2 a) Diagrama de Dis pers ão 7 6 Valores de Y

5 4 y = 3,34 + 0,58x

3 2 1 0 -6

-4

-2

0

2

V alores de X

b)

13.3 a)

2

2

2

Sxx = Ó(X ) – [Ó(X) / n] = 70 – (0) / 7 = 70,00 Sxy = ÓXY – [ÓX * Ó Y / n] = 40,3 – (0 * 23,4) / 7 = 40,30 xm = Óxi / n = (– 5 + ... + 5) / 7 = 0,00 ym = Ó yi / n = (0,8 + ... + 6,2) / 7 = 3,343 b = Sxy / Sxx = 40,30 / 70,00 = 0,576 a = ym – b * xm = 3,343 – (0,576 * 0,00) = 3,343 Portanto, a reta será dada pela equação: y = 3,343 + 0,576 * x.

4

6

Dia g r a ma d e Dis p e r s ã o 1 8 ,0 0 0 1 6 ,0 0 0 V a lo r e s d e Y

1 4 ,0 0 0 1 2 ,0 0 0 1 0 ,0 0 0 8 ,0 0 0 6 ,0 0 0

y = 5 ,9 7 7 2 + 7 4 ,0 6 8 x

4 ,0 0 0 2 ,0 0 0 0 ,0 0 0 0 ,0 0 0

0 ,0 2 0

0 ,0 4 0

0 ,0 6 0

0 ,0 8 0

V a lo r e s d e X

2

2

2

b)

Sxx = Ó(X ) – [Ó(X) / n] = 0,062 – (0,958) / 20 = 0,016 Sxy = ÓXY – [ÓX * Ó Y / n] = 10,292 – (0,958 * 190,500) / 20 = 1,167 xm = Óxi / n = (0,003 + ... + 0,028) / 20 = 0,048 ym = Ó yi / n = (5,6 + ... + 5,9) / 20 = 9,525 b = Sxy / Sxx = 1,167 / 0,016 = 74,068 a = ym – b * xm = 9,525 – (74,068 * 0,048) = 5,977 Portanto, a reta será dada pela equação: y = 5,977 + 74,068 * x.

c)

y = 5,977 + 74,068 * x com x = 0,070, y = 5,977 + 74,068 * 0,070 = 11,162.

13.4 2

2

2

Sxx = Ó(X ) – [Ó(X) / n] = 1664 – (152) / 45 = 1150,578 Sxy = ÓXY – [ÓX * Ó Y / n] = 5886 – (152 * 1426) / 45 = 1069,289 xm = Óxi / n = (1 + ... + 15) / 45 = 3,378 ym = Ó yi / n = (18 + ... + 54) / 45 = 31,689 b = Sxy / Sxx = 1069,289 / 1150,578 = 0,929 a = ym – b * xm = 31,689 – (0,929 * 3,378) = 28,550 Portanto, a reta será dada pela equação: y = 28,550 + 0,929 * x.

0 ,1 0 0

SÉRIE II 13.5 2

a)

S = VR / (n – 2) = 2,2 / 8 = 0,275.

b)

S = (S )

2 0,5

= (0,275)

0,5

= 0,524.

13.6 a)

Com dados do exercício 13.2, temos: Sxy = 40,30 e b = 0,576 2 2 2 Syy = Ó(Y ) – [Ó(Y) / n] = 103,24 – (23,4) / 7 = 25,02 VR = Syy – (b * Sxy) = 25,02 – (0,576 * 40,30) = 1,816.

b)

S = VR / (n – 2) = 1,816 / 5 = 0,603 2 0,5 0,5 S = (S ) = (0,603) = 0,363.

2

13.7 Observando as tabelas temos facilmente: VR (Variação Residual) = Soma dos Quadrados dos Resíduos (2ª tabela) = 0,000982 2 S = VR / (n – 2) = 0,000982 / 13 = 0,000075 a = Coeficiente da Intersecção (3ª tabela) = 0,005195 b = Coeficiente da variável X1 (3ª tabela) = 0,002247.

SÉRIE III 13.8 a)

H0: â = 0 contra H 1: â • 0, n = 7 (5 graus ) e á = 5% , portanto, na tabela t Student, – tá/2 = – 2,5706 e tá/2 = 2,5706 0,5 0,5 0,5 tcal = b / [S / (Sxx) ] = 0,7 / [(0,36) / (10) ] = 3,6893 Como tcal > tá/2, rejeita-se H0: â = 0, concluindo-s e, com ris co de 5% , que há regressão.

b)

H0: â = 0 contra H 1: â > 0, n = 5 (3 graus ) e á = 10% , portanto, na tabela t Student, tá = 1,6377 0,5 0,5 0,5 tcal = b / [S / (Sxx) ] = 1,5 / [(0,10) / (10) ] = 15,00 Como tcal > tá, rejeita-se H0: â > 0, concluindo-s e, com ris co de 10% , que há regressão.

c)

H0: â = 0 contra H 1: â < 0, n = 7 (5 graus ) e á = 1% , portanto, na tabela t Student, – tá = – 3,3649 0,5 0,5 0,5 tcal = b / [S / (Sxx) ] = – 0,11 / [(3,88) / (21,752) ] = – 0,260 Como tcal > – tá/2, não se pode rejeitar H0: â < 0, concluindo-s e, com ris co de 1% , que não há regressão.

13.9 a)

Com dados dos exercícios 13.2 e 13.6, temos: H0: â = 0 contra H 1: â • 0, n = 7 (5 graus ) e á = 5% , portanto, na tabela t Student, – tá/2 = – 2,5706 e tá/2 = 2,5706 0,5 0,5 tcal = b / [S / (Sxx) ] = 0,576 / [0,603 / (70) ] = 7,99 Como tcal > tá/2, rejeita-se H0: â = 0, concluindo-s e, com ris co de 5% , que há regressão. H0: â = 0 contra H 1: â • 0 e á = 5% , portanto, na tabela F , com ö 1 e ö2 = 1 e 5, Ftab(1, 5) = 6,61 Se = VE / 1 = b * Sxy = 0,576 * 40,30 = 23,201 Sr = VR / (n – 1) = (1,816 / 5) = 0,363 Fcal = [Se / Sr] = 23,201 / 0,363 = 63,885 Como Fcal > Ftab, rejeita-se H0: â = 0, concluindo-s e, com ris co de 5% , que há regressão.

b)

n = 7 (5 graus ) e á = 10% , portanto, na tabela t Student, – tá/2 = – 2,0150 e tá/2 = 2,0150 0,5 0,5 0,5 P (b – (tá/2) * [S / (Sxx) ] • â • b + (t á/2) * [S / (Sxx) ]) = P (0,576 – (2,0150) * [0,363 / (70) ] 0,5 • â • 0,576 + (2,0150) * [0,363 / (70) ]) = P (0,391 • â • 0,761) = 90% .

13.10 Observando as tabelas temos facilmente: n = 15 (13 graus ) e á = 5% , uma vez que os valores do intervalo s ão 5% de superiores e 5% de inferiores, portanto, na tabela t Student, – tá/2 = – 2,1604 e tá/2 = 2,1604 tcal = Estatística t da variável X1 (3ª tabela) = 5,856711 Como tcal > tá/2, rejeita-se H0: â = 0, concluindo-s e, com ris co de 5% , que há regressão; Observando os graus de liberdade da regressão (1) e do resíduo (13) e com á = 5% , temos na tabela F com ö1 e ö2 = 1 e 13, Ftab(1, 13) = 4,67 Fcal = Estatística F da regressão (2ª tabela) = 34,301067 Como Fcal > Ftab, rejeita-se H0: â = 0, concluindo-s e, com ris co de 5% , que há regressão. O IC pode ser construído observando os dois valores referentes a 95% inferiores e 95% superiores da variável X1 (3ª tabela). Assim, P (0,001418• â • 0,003076) = 95% .

SÉRIE IV 13.11 a)

VR = Syy – (b * Sxy) = 59,21 – (3,4 * 16,22) = 4,062 2 S = VR / (n – 2) = 4,062 / 18 = 0,226

b)

• (x = 2,5) = 2,1 + 3,4 * (2,5) = 10,60, assim, 2 0,5 0,5 • (x = 2,5) ± (tá/2) * S * [1/n + (x – xmedia) / Sxx] = 10,60 ± (2,1009) * (0,226) * [1/20 + (2,5 – 2 0,5 2,5) / 4,77] = 10,60 ± 0,225, portanto, o intervalo [10,37; 10,83] contém o valor médio de y, quando x = 2,5, com 95% de confiança.

c)

• (x = 2,0) = 2,1 + 3,4 * (2,0) = 8,90, assim, 2 0,5 0,5 • (x = 2,0) ± (tá/2) * S * [1/n + (x – xmedia) / Sxx] = 8,90 ± (2,1009) * (0,226) * [1/20 + (2,0 – 2 0,5 2,5) / 4,77] = 8,90 ± 0,322, portanto, o intervalo [8,58; 9,22] contém o valor médio de y, quando x = 2,0, com 95% de confiança.

d)

• (x = 3,0) = 2,1 + 3,4 * (3,0) = 12,30, assim, 2 0,5 0,5 • (x = 3,0) ± (tá/2) * S * [1/n + (x – xmedia) / Sxx] = 12,30 ± (2,1009) * (0,226) * [1/20 + (3,0 – 2 0,5 2,5) / 4,77] = 12,30 ± 0,322, portanto, o intervalo [11,98; 12,62] contém o valor médio de y, quando x = 3,0, com 95% de confiança.

e)

Quando os valores de x se distanciam de xmedia, a diferença entre estas variáveis deixa 2 de ser zero e aumenta na fórmula (x – xmedia) / Sxx, conseqüentemente, as amplitudes dos intervalos aumentam.

f)

• (x = 3,0) = 2,1 + 3,4 * (3,0) = 12,30, assim, 2 0,5 0,5 • (x = 3,0) ± (tá/2) * S * [1 + 1/n + (x – xmedia) / Sxx] = 12,30 ± (2,1009) * (0,226) * [1 + 1/20 + 2 0,5 (3,0 – 2,5) / 4,77] = 12,30 ± 1,057, portanto, o intervalo [11,24; 13,36] contém o valor y, quando x = 3,0, com 95% de confiança.

g)

Para um mesmo valor de x, no caso x = 3, é menor a amplitude do IC para o valor médio de y do que o IC para o valor de y.

SÉRIE V 13.12 2

2

2

a)

Sxx = Ó(X ) – [Ó(X) / n] = 593175 – (1885) / 8 = 149021,875 Sxy = ÓXY – [ÓX * Ó Y / n] = 126920 – (464 * 1885) / 8 = 17590 xm = Óxi / n = (36 + ... + 69) / 8 = 58 ym = Ó yi / n = (50 + ... + 335) / 8 = 235,625 b = Sxy / Sxx = 17590 / 149021,875 = 0,118 a = ym – b * xm = 235,625 – (0,118 * 58) = 30,188 Portanto, a reta será dada pela equação: y = 30,188 + 0,118 * x.

b)

Preço do pneu do Rio para a cidade B = $ 160,00 Preço do pneu de São Paulo para a cidade B: y = 30,188 + 0,118 * (250) = $ 59,70 Assim, deve ser vendido o pneu de São Paulo, uma vez que é mais barato e tem um preço mais competitivo.

13.13 2

2

2

Sxx = Ó(X ) – [Ó(X) / n] = 3690 – (120) / 5 = 810 Sxy = ÓXY – [ÓX * Ó Y / n] = 2494,5 – (120 * 90,7) / 5 = 317,7 xm = Óxi / n = (6 + ... + 42) / 5 = 24 ym = Ó yi / n = (9,7 + ... + 26) / 5 = 18,14 b = Sxy / Sxx = 317,7 / 810 = 0,392 a = ym – b * xm = 18,14 – (0,392 * 24) = 8,727 Portanto, a reta será dada pela equação: y = 8,727 + 0,392 * x Para uma máquina de 3 anos e meio, temos: y = 8,727 + 0,392 * 3,5 = 10,10, ou seja, um custo de 10,10. 13.14 2

2

2

a)

Sxx = Ó(X ) – [Ó(X) / n] = 254434 – (1136) / 9 = 111045,556 Sxy = ÓXY – [ÓX * Ó Y / n] = 44910 – (1136 * 271) / 9 = 107003,778 xm = Óxi / n = (16 + ... + 378) / 9 = 126,22 ym = Ó yi / n = (14 + ... + 50) / 9 = 30,11 b = Sxy / Sxx = 10703,778 / 111045,556 = 0,096 a = ym – b * xm = 235,625 – (0,096 * 126,22) = 17,944 Portanto, a reta será dada pela função: y = 17,944 + 0,096 * x.

b)

Para determinarmos a função potência y = a * x , devemos efetuar a transformação: log Y = log a + b * log X, ou, D = á + b * C, onde: D = log Y, á = log a e C = log X Com os logaritmos dos dados originais, teremos a seguinte tabela:

b

D = log Y

C = log X

1,146

1,204

1,204

1,477

1,279

1,544

1,477

1,845

1,491

1,954

1,519

2,079

1,544

2,204

1,633

2,375

1,699

2,577

2

2

2

Scc = Ó(C ) – [Ó(C) / n] = 34,703 – (17,260) / 9 = 1,602 Scd = Ó CD – [ÓC * ÓD / n] = 25,592 – (17,260 * 12,993) / 9 = 0,675 cm = Óci / n = (1,204 + ... + 2,577) / 9 = 1,918 dm = Ódi / n = (1,146 + ... + 1,699) / 9 = 1,444 b = Scd / Scc = 0,675 / 1,602 = 0,421 á = dm – b * cm = 1,444 – (0,421 * 1,918) = 0,636 Portanto, a reta será dada pela equação: d = 0,636 + 0,421 * c Porém, como á = log a, logo, log a = 0,636, a = 4,322, corres pondendo à função potencial: 0,421 y = 4,322 * x . c)

Para a função linear: Primeiramente devemos calcular S: 0,5 0,5 S = [(Syy – (b * Sxy)) / (n – 2)] = [(1176,889 – (0,096 * 107003,778)) / 7] = 4,554 H0: â = 0 contra H 1: â • 0, n = 9 (7 graus ) e á = 1,00% , portanto, na tabela t Student, – tá/2 = – 3,4995 e tá/2 = 3,4995 0,5 0,5 tcal = b / [S / (Sxx) ] = 0,096 / [4,554 / (111045,556) ] = 7,054 Como tcal > tá/2, rejeita-se H0: â = 0, concluindo-s e, com ris co de 1% , que há regressão. Para a função potência: Primeiramente devemos calcular S: 0,5 0,5 S = [Syy – (b * Sxy) / (n – 2)] = [0,293 – (0,421 * 0,675) / (7)] = 0,036 H0: â = 0 contra H 1: â • 0, n = 9 (7 graus ) e á = 1,00% , portanto, na tabela t Student, – tá/2 = – 3,4995 e tá/2 = 3,4995 0,5 0,5 tcal = b / [S / (Sxx) ] = 0,421 / [0,036 / (1,602) ] = 14,790 Como tcal > tá/2, rejeita-se H0: â = 0, concluindo-s e, com ris co de 1% , que há regressão.

d)

Para a função linear: R = (b * Sxy) / Syy = (0,096 * 107003,778) / 1176,889 = 0,877 2 Para a função potência: R = (b * Sxy) / Syy = (0,421 * 0,675) / 0,293 = 0,969.

e)

Como o indicador R é um indicador de qualidade de ajustamento, ou seja, um número 2 que representa o poder explicativo da função, a escolha sempre deve ser o maior R possível. Assim, a função potência deve ser a escolhida porque apresenta este indicador maior e, portanto, mais próximo a um.

2

2

13.15 a)

Para facilitar os cálculos, vamos subtrair a cada um dos anos da amostra o valor 1957; 2 2 2 Sxx = Ó(X ) – [Ó(X) / n] = 1785 – (153) / 17 = 408 5 4 5 Sxy = ÓXY – [ÓX * Ó Y / n] = 555 * 10 – (153 * 455 * 10 ) / 17 = 145 * 10 xm = Óxi / n = (1 + ... + 17) / 17 = 9 3 ym = Ó yi / n = (30542 + ... + 729135) / 17 = 268 * 10 5 b = Sxy / Sxx = 145 * 10 / 408 = 35735,583 3 a = ym – b * xm = 268 * 10 – (35735,583 * 9) = – 54051,074 Portanto, a reta será dada pela função: y = – 54051,074 + 35735,583 * x.

b)

Para determinarmos a função exponencial y = a * b , devemos efetuar a transformação: log Y = log a + X * log b, ou, D = á + â * x, onde: D = log Y, á = log a e â = log b Com os logaritmos dos dados originais, teremos a seguinte tabela:

x

D = log Y

X

D = log Y

X

4,485

1,0

5,351

10,0

4,785

2,0

5,353

11,0

4,983

3,0

5,445

12,0

5,124

4,0

5,543

13,0

5,163

5,0

5,619

14,0

5,281

6,0

5,713

15,0

5,241

7,0

5,785

16,0

5,264

8,0

5,863

17,0

5,268

9,0 2

2

2

Sxx = Ó(X ) – [Ó(X) / n] = 1785 – (153) / 17 = 408 Sxd = ÓXD – [ÓX * ÓD / n] = 839,590 – (153 * 90,266) / 17 = 27,197 xm = Óxi / n = (1 + ... + 17) / 17 = 9 dm = Ódi / n = (4,485 + ... + 5,863) / 17 = 5,310 â = Sxd / Sxx = 27,197 / 408 = 0,067 á = dm – â * xm = 5,310 – (0,067 * 9) = 4,710 Portanto, a reta será dada pela equação: d = 4,710 + 0,067 * x Porém, como â = log b, logo, log b = 0,067, b = 1,166 e á = log a, logo, log a = 4,710, a = x 51267,144, correspondendo à função exponencial: y = 51267,144 + 1,166 . 2

9

c)

Para a função linear: R = (b * Sxy) / Syy = (35735,583 * 408) / 613 * 10 = 0,849 2 Para a função exponencial: R = (â * Sxy) / Syy = (0,067 * 408) / 1,994 = 0,909.

d)

Como o indicador R é um indicador de qualidade de ajustamento, ou seja, um número 2 que representa o poder explicativo da função, a escolha sempre deve ser o maior R possível. Assim, a função exponencial, deve ser a escolhida porque apresenta este indicador maior e, portanto, mais próximo a um.

2

13.16 2

2

2

a)

Sxx = Ó(X ) – [Ó(X) / n] = 24562 – (494) / 12 = 4225,67 Sxy = ÓXY – [ÓX * Ó Y / n] = 390,30 – (494 * 10,64) / 12 = – 47,71 xm = Óxi / n = (8 + ... + 38,5) / 12 = 41,17 ym = Ó yi / n = (1,26 + ... + 0,7) / 12 = 0,88 b = Sxy / Sxx = 4225,67 / (– 47,71) = – 0,011 a = ym – b * xm = 0,88 – (– 0,011 * 41,17) = 1,351 Portanto, a reta será dada pela função: y = 1,351 – 0,011 * x.

b)

H0: â = 0 contra H 1: â • 0, n = 12 (10 graus ) e á = 5% , portanto, na tabela t Student, – tá/2 = – 2,2281 e tá/2 = 2,2281 0,5 0,5 S = [(Syy – (b * Sxy)) / (n – 2)] = [(0,613 – (– 0,011 * – 47,71)) / 10] = 0,086 0,5 0,5 tcal = b / [S / (Sxx) ] = – 0,011 / [0,086 / (4225,67) ] = – 8,503 Como tcal < – tá/2, rejeita-se H0: â = 0, concluindo-s e, com ris co de 5% , que há regressão.

c)

n = 12 (11 graus ) e á = 10% , portanto, na tabela t Student, – tá/2 = – 1,7959 e tá/2 = 1,7959 0,5 0,5 P (b – (tá/2) * [S / (Sxx) ] • â • b + (t á/2) * [S / (Sxx) ]) = P (– 0,011 – (1,7959) * [0,086 / 0,5 0,5 (4225,67) ] • â • – 0,011 + (1,7959) * [0,086 / (4225,67) ]) = P (– 0,014 • â • – 0,009) = 90%

d)

• (x = 12) = 1,351 – 0,011 * (12) = 1,219, assim, 2 0,5 • (x = 12) ± (tá/2) * S * [1/n + (x – xmedia) / Sxx] = 1,219 ± (2,2010) * (0,086) * [1/12 + (12 – 2 0,5 41,17) / 4225,67] = 1,219 ± 0,101, portanto, o intervalo [1,118; 1,320] contém o valor médio de y, quando x = 12, com 95% de confiança.

e)

• (x = 36) = 1,351 – 0,011 * (36) = 0,955, assim, 2 0,5 • (x = 36) ± (tá/2) * S * [1/n + (x – xmedia) / Sxx] = 0,955 ± (2,2010) * (0,086) * [1/12 + (36 – 2 0,5 41,17) / 4225,67] = 0,955 ± 0,057, portanto, o intervalo [0,898; 1,012] contém o valor médio de y, quando x = 3 anos, com 95% de confiança.

f)

2

R = (b * Sxy) / Syy = (– 0,011) * (– 47,71) / 0,613 • 0,881

13.17 2

2

2

a)

Sxx = Ó(X ) – [Ó(X) / n] = 5500 – (150) / 5 = 1000 Sxy = ÓXY – [ÓX * Ó Y / n] = 54600 – (150 * 1500) / 5 = 9600 xm = Óxi / n = (10 + ... + 50) / 5 = 30 ym = Ó yi / n = (100 + ... + 490) / 5 = 300 b = Sxy / Sxx = 9600 / (1000) = 9,6 a = ym – b * xm = 300 – (9,6 * 30) = 12 Portanto, a reta será dada pela função: y = 12 + 9,6 * x.

b)

H0: â = 0 contra H 1: â • 0, n = 5 (3 graus ) e á = 1% , portanto, na tabela t Student, – tá/2 = – 5,8409 e tá/2 = 5,8409 0,5 0,5 S = [(Syy – (b * Sxy)) / (n – 2)] = [(94000 – (9,6 * 9600)) / 3] = 24,766 0,5 0,5 tcal = b / [S / (Sxx) ] = 9,6 / [24,766 / (1000) ] = 12,258 Como tcal > tá/2, rejeita-se H0: â = 0, concluindo-s e, com ris co de 1% , que há regressão.

c)

n = 5 (3 graus ) e á = 5% , portanto, na tabela t Student, – tá/2 = – 3,1824 e tá/2 = 3,1824 0,5 0,5 P (b – (tá/2) * [S / (Sxx) ] • â • b + (t á/2) * [S / (Sxx) ]) = P (9,6 – (3,1824) * [24,766 / 0,5 0,5 (1000) ] • â • 9,6 + (3,1824) * [24,766 / (1000) ]) = P (7,108 • â • 12,092) = 95% .

13.18 2

2

2

2

2

Sxx = Ó(X ) – [Ó(X) / n] = 1,986 – (4,754) / 12 = 0,103 Sxy = ÓXY – [ÓX * Ó Y / n] = 45740,475 – (4,754 * 15077,000) / 12 = 150,804 xm = Óxi / n = (0,296 + ... + 0,405) / 12 = 0,396 ym = Ó yi / n = (7737 + ... + 9059) / 12 = 9589,750 b = Sxy / Sxx = 150,804 / 0,103 = 1466,309 a = ym – b * xm = 9589,750 – (1466,309 * 0,396) = 9008,847 Portanto, a reta será dada pela função: y = 9008,847 + 1466,309 * x. H0: â = 0 contra H 1: â • 0, n = 12 (10 graus ) e á = 5% , portanto, na tabela t Student, – tá/2 = – 2,2281 e tá/2 = 2,2281 0,5 0,5 S = [(Syy – (b * Sxy)) / (n – 2)] = [(34070548,250 – (1466,309 * 150,804)) / 10] = 1839,821 0,5 0,5 tcal = b / [S / (Sxx) ] = 1466,309 / [1839,821 / (0,103) ] = 0,256 Como – tá/2 • t cal • t á/2, não se pode rejeitar H0: â = 0, concluindo-s e, com ris co de 5% , que não há regressão. 2 R = (b * Sxy) / Syy = (1466,309) * (150,804) / 34070548,250 = 0,0065. 13.19 2

Sxx = Ó(X ) – [Ó(X) / n] = 15192 – (388) / 11 = 1506,182 Sxy = ÓXY – [ÓX * Ó Y / n] = 27,597 – (3,880 * 72,060) / 11 = 2,179 xm = Óxi / n = (57 + ... + 33) / 11 = 35,273 ym = Ó yi / n = (12,54 + ... + 1,86) / 11 = 6,551 b = Sxy / Sxx = 2,179 / 1506,182 = 0,145 a = ym – b * xm = 6,551 – (0,145 * 35,273) = 1,448 Portanto, a reta será dada pela função: y = 1,448 + 0,145 * x. H0: â = 0 contra H 1: â • 0, n = 11 (9 graus ) e á = 5% , portanto, na tabela t Student, – tá/2 = – 2,2622 e tá/2 = 2,2622 0,5 0,5 S = [(Syy – (b * Sxy)) / (n – 2)] = [(621,824 – (0,145 * 2,179)) / 9] = 3,625 0,5 0,5 tcal = b / [S / (Sxx) ] = 0,145 / [3,625 / (1506,182) ] = 1,549 Como – tá/2 • t cal • t á/2, não se pode rejeitar H0: â = 0, concluindo-s e, com ris co de 5% , que não há regressão. 2 R = (b * Sxy) / Syy = (0,145 * 2,179) / 621,824 = 0,211.

13.20 a)

Para determinarmos a função inversa y = a + b * (1 / p), devemos efetuar a transformação: y = a + b * x, onde: x = 1 / p, 2 2 2 Sxx = Ó(X ) – [Ó(X) / n] = 0,199 – (1,261) / 8 = 0,0003 Sxy = ÓXY – [ÓX * Ó Y / n] = 10,928 – (1,261 * 68,910) / 8 = 0,064 xm = Óxi / n = (0,167 + ... + 0,149) / 8 = 0,158 ym = Ó yi / n = (11,20 + ... + 6,88) / 8 = 8,614 b = Sxy / Sxx = 0,064 / 0,0003 = 243,228 a = ym – b * xm = 8,614 – (243,228 * 0,158) = – 29,732 Portanto, a reta será dada pela equação: y = – 29,732 + 243,228 * (1 / p).

b)

O ajustamento pode ser considerado adequado uma vez que o R da função atinge um poder explicativo de 97,4% (ver próximo item).

c)

2

2

R = (b * Sxy) / Syy = (243,228 * 0,064) / 16,034 = 0,974.

Soluções e Respostas Capítulo 14 – Regressão Linear Múltipla SÉRIE I 14.1 Sy1 = Ó YX1 – [ÓY * ÓX1 / n] = 211 – (36 * 36) / 6 = – 5 Sy2 = Ó YX2 – [ÓY * ÓX2 / n] = 101 – (36 * 14) / 6 = 17 2 2 2 S11 = Ó(X1 ) – [Ó(X1) / n] = 232 – (36) / 6 = 16 S12 = ÓX1X2 – [ÓX1X2 / n] = 75 – (36 * 14) / 6 = – 9 2 2 2 S22 = Ó(X2 ) – [Ó(X2) / n] = 52 – (14) / 6 = 19,33 x1m = Óxi / n = (8 + ... + 7) / 6 = 6 x2m = Óxi / n = (0 + ... + 5) / 6 = 2,33 ym = Ó yi / n = (2 + ... + 9) / 6 = 6 Sy1 = b1 * S11 + b2 * S12 Sy2 = b1 * S21 + b2 * S22

ou

– 5 = b1 * 16 + b2 * (– 9) 17 = b1 * (– 9) + b2 * 19,33

Desenvolvendo o sistema, chegamos a duas equações gerais para as variáveis: b2 = ((Sy1 * S21) – (S11 * Sy2)) / ((S12 * S21) – (S11 * S22)) b1 = – (((b2 * S12) – Sy1) / S11) Resolvendo as equações chegamos aos seguintes valores: b1 = 0,247 b2 = 0,994 a = ym – b1 * x1m – b2 * x2m = 6 – (0,247 * 6) – (0,994 * 2,33) = 2,200 Portanto, a reta será dada pela função: y = 2,200 + 0,247 * x1 + 0,247 * x2. 14.2 a)

Sy1 = Ó YX1 – [ÓY * ÓX1 / n] = 2230 – (210 * 90) / 9 = 130 Sy2 = Ó YX2 – [ÓY * ÓX2 / n] = 1602 – (210 * 63) / 9 = 312 2 2 2 S11 = Ó(X1 ) – [Ó(X1) / n] = 1050 – (90) / 9 = 150 S12 = ÓX1X2 – [ÓX1X2 / n] = 630 – (90 * 63) / 7 = 0 2 2 2 S22 = Ó(X2 ) – [Ó(X2) / n] = 567 – (63) / 9 = 126 x1m = Óxi / n = (5 + ... + 15) / 9 = 10 x2m = Óxi / n = (3 + ... + 12) / 9 = 7 ym = Ó yi / n = (16 + ... + 32) / 9 = 23,33 Sy1 = b1 * S11 + b2 * S12 Sy2 = b1 * S21 + b2 * S22

ou

130 = b1 * 150 + b2 * 0 312 = b1 * (0) + b2 * 126

Resolvendo as equações chegamos aos seguintes valores: b1 = 0,867 b2 = 1,048 a = ym – b1 * x1m – b2 * x2m = 23,33 – (0,867 * 10) – (1,048 * 7) = 7,333 Portanto, a reta será dada pela função: y = 7,333 + 0,867 * x1 + 1,048 * x2. b)

Utilizando a função encontrada em a), teremos: y = 7,333 + 0,867 * x1 + 1,048 * x2 = 7,333 + 0,867 * (12,5) + 1,048 * (4) = 22,357.

SÉRIE II 14.3 a) Sy1 = Ó YX1 – [ÓY * ÓX1 / n] = 3649,145 – (1269,515 * 19,417) / 19 = 2351,768 Sy2 = Ó YX2 – [ÓY * ÓX2 / n] = 465,860 – (1269,515 * 5,299) / 19 = 111,799 2 2 2 S11 = Ó(X1 ) – [Ó(X1) / n] = 69,167 – (19,417) / 19 = 49,323 S12 = ÓX1X2 – [ÓX1X2 / n] = 8,210 – (19,417 * 5,299) / 19 = 2,795 2 2 2 S22 = Ó(X2 ) – [Ó(X2) / n] = 2,287 – (5,299) / 19 = 0,809 x1m = Óxi / n = (0,599 + ... + 0,808) / 19 = 1,022 x2m = Óxi / n = (0,247 + ... + 0,334) / 19 = 0,279 ym = Ó yi / n = (38,490 + ... + 73,447) / 19 = 66,817 Sy1 = b1 * S11 + b2 * S12 Sy2 = b1 * S21 + b2 * S22

ou

2351,768 = b1 * 49,323 + b2 * 2,795 111,799 = b1 * 2,795 + b2 * 0,809

b2 = ((Sy1 * S21) – (S11 * Sy2)) / ((S12 * S21) – (S11 * S22)) b1 = – (((b2 * S12) – Sy1) / S11) Resolvendo as duas equações acima, chegamos aos seguintes valores: b1 = 49,550 b2 = – 32,998 a = ym – b1 * x1m – b2 * x2m = 66,817 – (49,550 * 1,022) – (– 32,998 * 0,279) = 25,382 Portanto, a reta será dada pela função: y = 25,382 + 49,550 * x1 – 32,998 * x2. b) H0: â1 = â2 = 0 contra H1: â1 • 0 e â2 • 0, com á = 2,5% , portanto, na tabela F , com ö1 = 2 e ö2 = n – 3 = 16, Ftab = 4,69 VE = (b1 * Sy1 + b2 * Sy2) = 49,550 * 2351,768 – 32,998 * 111,799 = 112842,052 2 2 2 VT = Syy = Ó(Y ) – [Ó(Y) / n] = 202054,403 – (66,817) / 19 = 117229,740 VR = VT – VE = 117229,740 – 112842,052 = 4387,688 Fcal = (VE / 2) / [VR / (n – 3)] = (112842,052 / 2) / (4387,688 / 16) = 205,743 Como Fcal > Ftab, rejeita-se H0: â1 = â2 = 0, concluindo-se, com risco de 2,5%, que há regressão linear entre a variável Y e as variáveis X1 e X2. 2

c) R = VE / VT = 112842,052 / 117229,740 = 0,963. 14.4 a)

Sy1 = Ó YX1 – [ÓY * ÓX1 / n] = 342895 – (3549 * 984) / 10 = – 6326,600 Sy2 = Ó YX2 – [ÓY * ÓX2 / n] = 95066 – (3549 * 254) / 10 = 4921,400 2 2 2 S11 = Ó(X1 ) – [Ó(X1) / n] = 97856 – (984) / 10 = 1030,400 S12 = ÓX1X2 – [ÓX1X2 / n] = 25018 – (984 * 254) / 10 = 24,400 2 2 2 S22 = Ó(X2 ) – [Ó(X2) / n] = 7076 – (254) / 10 = 624,400 x1m = Óxi / n = (101 + ... + 82) / 10 = 98,400 x2m = Óxi / n = (10 + ... + 34) / 10 = 25,400 ym = Ó yi / n = (220 + ... + 560) / 10 = 354,900 Sy1 = b1 * S11 + b2 * S12 Sy2 = b1 * S21 + b2 * S22

ou

– 6326,600 = b1 * 1030,400 + b2 * 24,400 4921,400 = b1 * 24,400 + b2 * 624,400

b2 = ((Sy1 * S21) – (S11 * Sy2)) / ((S12 * S21) – (S11 * S22)) b1 = – (((b2 * S12) – Sy1) / S11) Resolvendo as duas equações acima, chegamos aos seguintes valores: b1 = – 6,332 b2 = 8,129 H0: â1 = â2 = 0 contra H1: â1 • 0 e â2 • 0, com á = 5% , portanto, na tabela F , com ö1 = 2 e ö2 = n – 3 = 7, Ftab = 4,74 VE = (b1 * Sy1 + b2 * Sy2) = (– 6,332) * (– 6326,600) + 8,129 * 4921,400 = 80070,217

2

2

2

VT = Syy = Ó(Y ) – [Ó(Y) / n] = 1349099 – (3549) / 10 = 89558,900 VR = VT – VE = 89558,900 – 80070,217 = 9488,683 Fcal = (VE / 2) / [VR / (n – 3)] = (89558,900 / 2) / (9488,683 / 7) = 29,535 Como Fcal > Ftab, rejeita-se H0: â1 = â2 = 0, concluindo-se, com risco de 5%, que há regressão linear entre a variável Y e as variáveis X1 e X2. 2

R = VE / VT = 80070,217 / 89558,900 = 0,894.

b) 14.5 a)

b

c

Para determinarmos a função potência múltipla y = a * x1 * x2 , devemos efetuar a transformação para uma equação linear: log Y = log a + b * log X1 + c * log X2 Como os valores dados das 3 variáveis são logaritmos, podemos utilizar o sistema: Sy1 = b * S11 + c * S12 Sy2 = b * S21 + c * S22

ou

2,5174 = b * 1,1172 + c * 0,7442 4,0507 = b * 0,7442 + c * 2,4762

c = ((Sy1 * S21) – (S11 * Sy2)) / ((S12 * S21) – (S11 * S22)) b = – (((b2 * S12) – Sy1) / S11) Resolvendo as duas equações acima, chegamos aos seguintes valores: b = 1,4549 c = 1,1986 log a = log Ym – b * log X1m – c * log X2m = 1,8216 – 1,4549 * 1,1548 – 1,1986 * 3,3808 = – 3,911, portanto, a = 0,0001228 1,4549 1,1986 Assim, a função ajustada será dada por: y = 0,0001228 * x1 * x2 . b)

VE = (b * Sy1 + c * Sy2) = 1,4549 * 2,5174 + 1,1986 * 4,0507 = 8,5177 VT = Syy = 9,4850 VR = VT – VE = 9,4850 – 8,5177 = 0,9673 2 R = VE / VT = 8,5177 / 9,4850 = 0,898.

c)

H0: â1 = â2 = 0 contra H1: â1 • 0 e â2 • 0, com á = 5% , portanto, na tabela F , com ö1 = 2 e ö2 = n – 3 = 23, Ftab = 3,42 VR = VT – VE = 9,4850 – 8,5177 = 0,9673 Fcal = (VE / 2) / [VR / (n – 3)] = (8,5177 / 2) / (0,9673 / 23) = 101,2649 Como Fcal > Ftab, rejeita-se H0: â1 = â2 = 0, concluindo-se, com risco de 5%, que há regressão entre a variável Y e as variáveis X1 e X2.

14.6 Sy1 = Ó YX1 – [ÓY * ÓX1 / n] = 421 – (74 * 45) / 9 = 51,000 Sy2 = Ó YX2 – [ÓY * ÓX2 / n] = 2771 – (74 * 285) / 9 = 427,667 2 2 2 S11 = Ó(X1 ) – [Ó(X1) / n] = 285 – (45) / 9 = 60,000 S12 = ÓX1X2 – [ÓX1X2 / n] = 2025 – (45 * 285) / 9 = 600,000 2 2 2 S22 = Ó(X2 ) – [Ó(X2) / n] = 15333 – (285) / 9 = 6308,000 x1m = Óxi / n = (1 + ... + 9) / 9 = 5,000 x2m = Óxi / n = (1 + ... + 81) / 9 = 31,667 ym = Ó yi / n = (2 + ... + 9) / 9 = 8,222 Sy1 = b1 * S11 + b2 * S12 Sy2 = b1 * S21 + b2 * S22

ou

51,000 = b1 * 60,000 + b2 * 600,000 427,667 = b1 * 600,000 + b2 * 6308,000

b2 = ((Sy1 * S21) – (S11 * Sy2)) / ((S12 * S21) – (S11 * S22)) b1 = – (((b2 * S12) – Sy1) / S11) Resolvendo as duas equações acima, chegamos aos seguintes valores:

b1 = 3,523 b2 = – 0,267 a = ym – b1 * x1m – b2 * x2m = 8,222 – (3,523 * 5,000) – (– 0,267 * 31,667) = – 0,929 2 Portanto, a parábola será dada pela função: y = – 0,929 + 3,523 * x – 0,267 * x . 14.7 2

2

2

a)

Sxx = Ó(X ) – [Ó(X) / n] = 285 – (45) / 10 = 82,5 Sxy = ÓXY – [ÓX * Ó Y / n] = 307,300 – (45 * 63,700) / 10 = 20,650 xm = Óxi / n = (0 + ... + 9) / 10 = 4,500 ym = Ó yi / n = (9,1 + ... + 10,2) / 10 = 6,370 b = Sxy / Sxx = 20,650 / 82,5 = 0,250 a = ym – b * xm = 6,370 – (0,250 * 4,500) = 5,244 Portanto, a reta será dada pela equação: y = 5,244 + 0,250 * x.

b)

VE = b * Sxy = 0,250 * 20,650 = 5,169 2 2 2 VT = Syy = Ó(Y ) – [Ó(Y) / n] = 463,330 – (63,7) / 10 = 57,561 2 R = VE / VT = 5,169 / 57,561 = 0,090.

c)

Sy1 = Ó YX1 – [ÓY * ÓX1 / n] = 307,300 – (63,700 * 45) / 10 = 20,650 Sy2 = Ó YX2 – [ÓY * ÓX2 / n] = 2153,300 – (63,700 * 285) / 10 = 337,850 2 2 2 S11 = Ó(X1 ) – [Ó(X1) / n] = 285 – (45) / 10 = 82,500 S12 = ÓX1X2 – [ÓX1X2 / n] = 2025 – (45 * 285) / 10 = 724,500 2 2 2 S22 = Ó(X2 ) – [Ó(X2) / n] = 15333 – (285) / 10 = 7210,500 x1m = Óxi / n = (0 + ... + 9) / 10 = 4,500 x2m = Óxi / n = (0 + ... + 81) / 10 = 28,500 ym = Ó yi / n = (9,1 + ... + 10,2) / 10 = 6,370 Sy1 = b1 * S11 + b2 * S12 Sy2 = b1 * S21 + b2 * S22

ou

20,650 = b1 * 82,500 + b2 * 724,500 337,850 = b1 * 724,500 + b2 * 7210,500

b2 = ((Sy1 * S21) – (S11 * Sy2)) / ((S12 * S21) – (S11 * S22)) b1 = – (((b2 * S12) – Sy1) / S11) Resolvendo as duas equações acima, chegamos aos seguintes valores: b1 = – 2,341 b2 = 0,288 a = ym – b1 * x1m – b2 * x2m = 6,370 – (– 2,341 * 4,500) – (0,288 * 28,500) = 8,698 2 Portanto, a parábola será dada pela função: y = 8,698 – 2,341 * x + 0,288 * x . d)

VE = (b1 * Sy1 + b2 * Sy2) = (– 2,341) * 20,650 – 0,288 * 337,850 = 48,926 2 2 2 VT = Syy = Ó(Y ) – [Ó(Y) / n] = 463,330 – (6,370) / 10 = 57,561 2 R = VE / VT = 48,926 / 57,561 = 0,850

e)

Como o indicador R é um indicador de qualidade de ajustamento, ou seja, um número 2 que representa o poder explicativo da função, a escolha sempre deve ser o maior R possível. Assim, a função parábola deve ser a escolhida porque apresenta este indicador maior.

2

14.8 H0: â1 = â2 = 0 contra H1: â1 • 0 e â2 • 0, com á = 5% , portanto, na tabela F , com ö1 = 2 e ö2 = n – 3 = 250, Ftab • 3,92 2 Como R = VE / VT = 0,780, portanto, VR / VT = 0,220 e VT / VR = 1 / 0,220 = 4,545 Fcal = (VE / 2) / [VR / (n – 3)] = (VE / VR) * (250 / 2) = [(VT – VR) / VR] * 125 = [(VT / VR – VR / VR)] * 125 = [(4,545 – 1,000)] * 125 = 443,182

Como Fcal > Ftab, rejeita-se H0: â1 = â2 = 0, concluindo-se, com risco de 5%, que há regressão entre a variável Y e as variáveis X1 e X2. 14.9 a)

H0: â1 = â2 = â3 = â4 = â5 = â6 = 0 contra H1: â1 • 0, â2 • 0, â3 • 0, â4 • 0, â5 • 0 e â6 • 0, com á = 10% , portanto, na tabela F , com ö1 = 6 e ö2 = n – 7 = 104, Ftab • 2,17 2 Como R = VE / VT = 0,860, portanto, VR / VT = 0,140 e VT / VR = 1 / 0,140 = 7,149 Fcal = (VE / 6) / [VR / (n – 7)] = (VE / VR) * (104 / 6) = [(VT – VR) / VR] * 17,333 = [(VT / VR – VR / VR)] * 17,333 = [(7,149 – 1,000)] * 17,333 = 106,581 Como Fcal > Ftab, rejeita-se H0: â1 = â2 = â3 = â4 = â5 = â6 = 0, concluindo-se, com risco de 10%, que há regressão entre a variável Y e as variáveis X1, X2, X3, X4, X5 e X6.

b)

á = 10% , portanto, na tabela t S tudent, com ö1 = 111 – 6 = 105, – tá/2 • – 1,6588 e t á/2 • 1,6588 0,5 0,5 P (b – (tá/2) * [S / (Sxx) ] • â • b + (t á/2) * [S / (Sxx) ]) = P {[– 725 – (1,6588) * (120,8)] • â • [– 725 + (1,6588) * (120,8)]} = P (– 925,38 • â • – 524,62) = 90% ou – 725 ± 200,38.

c)

â5 é o efeito incremental no preço de venda em decorrência da casa ser financiada ou não. Caso a casa tenha sido financiada, o valor de X5 é 1 e em conseqüência, o preço de venda decaíra 1,45 enquanto que se a casa não foi financiada, o valor de X5 é 0 e o preço de venda não é afetado.

d)

H0: â6 = 0 contra H1: â6 • 0, com á = 5% , portanto, na tabela t S tudent, com ö1 = 111 – 6 = 105, – tá/2 • – 1,6588 e t á/2 • 1,6588 tcal = bi / Sbi = 0,43 / 0,25 = 1,72 Como tcal > tá/2, rejeita-se H0: â6 = 0, concluindo-se, com risco de 10%, que há regressão entre a variável Y e a variável X6.

14.10 a)

Sy1 = Ó YX1 – [ÓY * ÓX1 / n] = 23914 – (172 * 1152) / 10 = 4099,600 Sy2 = Ó YX2 – [ÓY * ÓX2 / n] = 3453728 – (172 * 145894) / 10 = 944351,200 2 2 2 S11 = Ó(X1 ) – [Ó(X1) / n] = 145894 – (1152) / 10 = 13183,600 S12 = ÓX1X2 – [ÓX1X2 / n] = 19730778 – (1152 * 145894) / 10 = 2923789,200 2 2 2 S22 = Ó(X2 ) – [Ó(X2) / n] = 2790088786 – (145894) / 10 = 661582862,400 x1m = Óxi / n = (125 + ... + 50) / 10 = 115,200 x2m = Óxi / n = (15625 + ... + 2500) / 10 = 14589,400 ym = Ó yi / n = (18 + ... + 2) / 10 = 17,200 Sy1 = b1 * S11 + b2 * S12 Sy2 = b1 * S21 + b2 * S22

ou

4099,600 = b1 * 13183,600 + b2 * 2923789,200 944351,200 = b1 * 2923789,200 + b2 * 661582862,400

b2 = ((Sy1 * S21) – (S11 * Sy2)) / ((S12 * S21) – (S11 * S22)) b1 = – (((b2 * S12) – Sy1) / S11) Resolvendo as duas equações acima, chegamos aos seguintes valores: b1 = – 0,282 b2 = 0,003 a = ym – b1 * x1m – b2 * x2m = 17,200 – (– 0,282 * 115,200) – (0,003 * 14589,400) = 10,659 2 Portanto, a parábola será dada pela função: y = 10,659 – 0,282 * x + 0,003 * x . b)

VE = (b1 * Sy1 + b2 * Sy2) = (– 0,282) * 4099,600 + 0,003 * 944351,200 = 1368,775 2 2 2 VT = Syy = Ó(Y ) – [Ó(Y) / n] = 4472 – (172) / 10 = 1513,600 VR = VT – VE = 1513,600 – 1368,775 = 144,825 2 Rajus = 1 – (VR / VT) * [(n – 1) / (n – p)] = 1 – (144,825 / 1513,600) * (9 / 7)] = 0,877.

SÉRIE III 14.11 Considerando X1 = 36 e X2 = 0 na equação do exemplo 14.7, temos: ln (L) = – 6,92923 + (0,13925) * (36) + (2,77118) * (0) = – 1,91623 – 1,91623 Logo, L = e = 0,14716 Então a probabilidade de mudança será de: P = L / (1 + L) = 0,14716 / 1,14716 = 0,12823 ou 12,82%. 14.12 Considerando X1 = 18 e X2 = 0 na equação do exemplo 14.7, temos: ln (L) = – 6,92923 + (0,13925) * (18) + (2,77118) * (0) = – 4,42273 – 4,42273 Logo, L = e = 0,012 Então a probabilidade de mudança será de: P = L / (1 + L) = 0,012 / 1,012 = 0,0119 ou 1,19%.