EVALUACION T.10.pdf

GUÍA DIDÁCTICA

UNIDAD

10

Medidas. Teorem eorema a de Pitá Pitágoras goras 2

O S E

CONTENIDO

1 Programación* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

2 Su Suge gerrenc encias ias di didác dáctic ticas as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

3 Actividades de ref refuerzo uerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

4 Actividades de ampliación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

5 Propuesta de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

6 Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

*Esta programación programación y la concreción curricular de tu Comunidad Autónoma Autónoma podrás encontrarlas encontrarlas en el CD Programación y en www.smconectados.com.

Programación de aula Unidad

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Medidas. Teorema de Pitágoras

La medida es uno de los temas en los que el alumno puede descender al plano concreto, pues está presente en casi toda nuestra actividad diaria, nos pasamos la vida cuantificando a través de la medida, trabajamos en el sistema decimal, en el ámbito de las medidas de volumen, superficies, longitudes, sistema monetario, etc. El hombre siempre ha tenido necesidad de medir para su actividad cotidiana; por tanto, ha tenido que crear las unidades de medida. En 1799 se estableció en París el Sistema Métrico –es el antecesor de nuestro actual Sistema Internacional de unidades, el SI– mediante el depósito de dos patrones de platino iridiado que representaban el metro y el kilogramo. El SI fue adoptado en España el 8 de noviembre de 1967. Se repasa en este tema el sistema sexagesimal, sistema posicional aditivo, cuya creación se asigna a la civilización de los sumerios. Los alumnos trabajarán en este sistema para medir ángulos, base de la geometría, y también para medir el tiempo. Todo el mundo usa un reloj desde edad muy temprana; por tanto, tienen una idea bastante clara de sus subdivisiones y múltiplos, lo usan a diario; solo tienen que practicar por escrito las reglas para efectuar las operaciones necesarias. También se trata en esta unidad el sistema monetario de la zona euro, que es el que tiene España desde el 1 de enero de 2002. En el teorema de Pitágoras, que ya han manejado en cursos anteriores, deben comprender al menos alguna de sus múltiples demostraciones geométricas. Resulta interesante que trabajen buscando números enteros que verifiquen la relación pitagórica.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

OBJETIVOS 1.

COMPETENCIAS BÁSICAS

Estimar y calcular longitudes con una precisión acorde con la situación planteada y comprender los procesos de medida, expresando el cálculo en la unidad de medida más adecuada.

1.1

Establecer medidas aproximadas por exceso y por defecto, indicando la cota del error.

1.2

Calcular el error absoluto de una medida.

Conocer y manejar el sistema monetario del euro y otras unidades monetarias.

2.1

Conocer el euro.

• Matemática

2.2

Aplicar correctamente el cambio de divisas.

• Interacción con el mundo físico

Conocer los distintos órdenes de unidades del sistema sexagesimal para medir tiempos y ángulos.

3.1

Convertir una medida de tiempo y de ángulo de forma incompleja a comple ja, y viceversa.

• Lingüística 2.

3.

3.2

4.

Conocer el teorema de Pitágoras y sus aplicaciones.

Sumar, restar, multiplicar y dividir por un número entero medidas de tiempo y ángulos.

4.1

Comprobar el teorema de Pitágoras.

4.2

Identificar triángulos.

4.3

Calcular distancias desconocidas.

• Social y ciudadana • Tratamiento de la información y competencia digital • Aprender a aprender • Autonomía e iniciativa personal

CONTENIDOS • Estimación de una medida • Errores de medida y acotación

• Teorema de Pitágoras. Interpretación y demostración.

• El euro • Cambio de divisas

2

• Conversión de medidas de tiempo y de ángulos de la forma incompleja a compleja, y viceversa • Clasificación de triángulos según sus ángulos

• Sistema sexagesimal. Medida del tiempo y de ángulos

• Cálculo de distancias desconocidas a través del teorema de Pitágoras

• Operaciones con medidas del sistema sexagesimal: suma, resta y multiplicación y división por un número natural

• Aplicación del teorema de Pitágoras a la resolución de problemas

Unidad 10


Programación de aula

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS 1.

Conocimientos previos

Una de las aplicaciones del teorema de Pitágoras es el cálculo de medidas desconocidas en figuras planas, por ello es preciso que los alumnos reconozcan los elementos de las principales figuras planas, así como la fórmula para el cálculo de sus áreas. También es importante que controlen el cambio de unidades, pues deberán aplicarlo en la resolución de problemas. 2.

Previsión de dificultades

Aunque el teorema de Pitágoras ya se estudió en el curso pasado, encontraremos dificultades en su comprensión, ya que implica que relacionen una variable de longitud con una variable de superficie. En la unidad se demuestra el teorema de Pitágoras aplicando por primera vez razonamientos geométricos; los alumnos también mostrarán dificultades, ya que es la primera vez que se enfrentan a una demostración en geometría. 3.

Vinculación con otras áreas

En todas las disciplinas y situaciones reales siempre surge la necesidad de medir y cuantificar la realidad, ya sea de forma aproximada o exacta, con la unidad de medida adecuada. Se puede recomendar la observación, en laboratorios de otras materias, de instrumental para medir como calibres, balanzas, pipetas graduadas, etc. 4.

Esquema general de la unidad

La unidad comienza resaltando la importancia de la exactitud en la medida del tiempo en diferentes disciplinas deportivas. En los epígrafes primero y segundo se hace una descripción de aparatos o herramientas de medida y de su utilidad en la vida cotidiana, para que comprendan cómo todo aparato de medida tiene utilidad dentro de un rango de valores que puede tomar, y cómo siempre existen algunas medidas que tendremos que aproximar haciendo subdivisiones de la unidad de medida que el aparato evalúe. El curso pasado, los alumnos han trabajado con unidades de medida para la longitud, la superficie y el volumen en el SI; por tanto, tienen conocimiento de ellas. Conocen el sistema decimal, pero es conveniente que se repase la escala, para comprender gráficamente el cálculo de aproximaciones y la cota de error. MEDIDAS A continuación se repasa el euro y se recuerda cómo hallar la equivalencia entre unidades monetarias distintas, utilizando el cambio Estimación y errores de divisas. Se repasa de nuevo el sistema sexagesimal para medir ángulos y tiempo. Debemos profundizar en el paso de forma compleja a El euro Sistema sexagesimal incompleja en este sistema, así como en las reglas a seguir en sus operaciones: suma de dos expresiones en el sistema sexagesimal, Tiempo Cambio de divisas diferencia de dos expresiones en el sistema sexagesimal, producÁngulos to de una expresión en el sistema sexagesimal por un número entero, división de una expresión en el sistema sexagesimal entre un número entero. TEOREMA DE PITÁGORAS Por último, se vuelve a tratar de nuevo el teorema de Pitágoras, visto en cursos anteriores, dando una demostración geométrica. Cálculo de distancias 5.

Temporalización

Se propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en ocho sesiones: 1.ª Desarrolla tus competencias. Medidas directas. Errores 2.ª Euro y otras unidades monetarias 3.ª y 4.ª Sistema sexagesimal. Operaciones 5.ª Teorema de Pitágoras. Identificar triángulos con el teorema de Pitágoras 6.ª Aplicaciones del teorema de Pitágoras 7.ª Actividades de repaso y consolidación 8.ª Trabajo de las competencias mediante la doble página final de la unidad En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de los que se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades. Por supuesto, el contexto de la clase es también un factor determinante para fijar el número de sesiones necesarias para desarrollar la unidad.


Unidad 10

3


CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia lingüística Esta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es básica para el aprovechamiento de la misma. En particular, los problemas con enunciado contextualizado y las actividades competenciales finales desarrollan de forma más específica los descriptores recogidos en las subcompetencias de comunicación oral y comunicación escrita.

Competencia matemática Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas las subcompetencias y descriptores. Al estar dedicada la unidad a las unidades de medida de tiempo y ángulos y al introducirse por primera vez demostraciones geométricas, se trabajan principalmente las subcompetencias razonamiento y argumentación y uso de elementos y herramientas matemáticos.

Competencia para la interacción con el mundo físico Con la utilización de las unidades para cuantificar la realidad se trabaja a lo largo de toda la unidad esta subcompetencia. Con la interpretación de datos de una tabla para poder responder preguntas concretas se desarrolla de una forma específica el descriptor realizar predicciones con los datos que se poseen, obtener conclusiones basadas en pruebas y contrastar las soluciones obtenidas de la subcompetencia aplicación del método científico en diferentes contextos.

Competencia social y ciudadana Con las referencias históricas que aparecen en “Sabías que” sobre las matemáticas en Mesopotamia y en la sección de “El teorema de Pitágoras” de las páginas finales de “Pon a prueba tus competencias” se trabaja la subcompetencia desarrollo personal y social. Del mismo modo, las actividades de debate y argumentación también permiten desarrollar esta subcompetencia.

Competencia para el tratamiento de la información y competencia digital La unidad contiene variadas referencias a la utilización de medios tecnológicos para la búsqueda de información y la resolución de actividades interactivas. Se trabaja la subcompetencia de obtención, transformación y comunicación de la información.

Competencia para aprender a aprender Al tener que decidir la unidad de medida que se va a emplear en cada situación concreta y al comprender diferentes demostraciones del teorema de Pitágoras, se trabaja de una manera concreta la subcompetencia construcción del conocimiento .

Competencia para la autonomía e iniciativa personal Las actividades de reflexión sobre el empleo del tiempo libre de “¿Cuántas horas de televisión?” permiten trabajar la subcompetencia desarrollo de la autonomía personal.

Otras competencias de carácter transversal Aprender a pensar El proyecto educativo de SM considera importante reforzar el desarrollo de la capacidad de reflexión y el sentido crítico del alumno. La unidad presenta oportunidades en las que las actividades exigen al alumno este ejercicio reflexivo y crítico. En esta unidad se propone un tema de debate en internet en la actividad de Aprende a pensar sobre Las horas de televisión en la que, además de la competencia social y ciudadana, citada explícitamente en la tabla de la página siguiente, se trabajan las competencias y subcompetencias: • Lingüística: Comunicación escrita • Tratamiento de la información y competencia digital: Uso de las herramientas tecnológicas y uso ético y responsable de la información y las herramientas tecnológicas. • Aprender a aprender: Manejo de estrategias para desarrollar las propias capacidades y generar conocimiento. • Autonomía e iniciativa personal: Desarrollo de la autonomía personal En las sugerencias didácticas de los epígrafes y de las actividades se proponen algunos temas de reflexión y debate en relación con las actividades señaladas.

4

Unidad 10



TRATAMIENTO ESPECÍFICO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS EN LA UNIDAD A lo largo de la unidad se pueden trabajar diversas competencias básicas que prescribe el currículo. Para esta unidad sugerimos realizar un trabajo más intensivo con algunas de ellas, para las que se han seleccionado descriptores competenciales específicos y actividades concretas de las propuestas en la unidad.

COMPETENCIA

DESCRIPTOR

DESEMPEÑO

3. nivel de concreción

4.º nivel de concreción

SUBCOMPETENCIA

1. nivel de concreción 2.º nivel de concreción er

er

Argumentar con espíritu crítico y constructivo, así como saber aceptar las críticas de los demás. Comunicación oral

Lingüística

Matemática

Interacción con el mundo físico

Escuchar textos orales como fuente de conocimiento y entretenimiento.

Comunicación escrita

Argumentar con espíritu crítico y constructivo.

Razonamiento y argumentación

Poner en práctica procesos de razonamiento que llevan a la solución de los problemas o a la obtención de la información.

Resolución de problemas. Relacionar y aplicar el conocimiento matemático a la realidad

Seleccionar las técnicas adecuadas para calcular resultados, y representar e interpretar la realidad a partir de la información disponible.

Aplicación del método científico en diferentes contextos

Realizar predicciones con los datos que se poseen, obtener conclusiones basadas en pruebas y contrastar las soluciones obtenidas.

– Expone un informe a sus compañeros, escucha y opina sobre los demás.

Pon a prueba tus competencias: Aprende a pensar, 6 – Escucha las explicaciones de los compañeros.

Pon a prueba tus competencias: Aplica y construye, 1 – Elabora un pequeño informe.

Pon a prueba tus competencias: Aprende a pensar, 6 – Analiza y comprende demostraciones del teorema de Pitágoras.

Pon a prueba tus competencias: Aplica y construye, 1 – Recoge y analiza datos sobre su tiempo de ocio.

Pon a prueba tus competencias: Aprende a pensar, 4 y 5 – Calcula los tiempos indicados.

Desarrolla tus competencias, III y IV – Interpreta los datos de una gráfica para realizar cálculos.

Pon a prueba tus competencias: Aprende a pensar, 1 a 3 – Conoce la historia de las matemáticas.

Social y ciudadana

Desarrollo personal y social

Conocer y comprender la realidad histórica y social del mundo y su carácter evolutivo. Ser capaz de expresar las propias ideas y convicciones respetando las convicciones de los demás.

Sabías que… Pon a prueba tus competencias: Aplica y construye – Debate sobre el uso de su tiempo libre.

Pon a prueba tus competencias: Aprende a pensar, 7 – Busca en internet para complementar la información.

Tratamiento de la información y competencia digital

Obtención, transformación y comunicación de la información

Buscar y seleccionar información con distintas técnicas según la fuente o el soporte, valorando su fiabilidad.

Aprender a aprender

Autonomía e iniciativa personal

Desarrollo de la autonomía personal

– Visita la página librosvivos.net para realizar distintas actividades.

Actividades 13, 21 y 35 Desarrollar el pensamiento crítico y analítico.

Construcción del conocimiento

En la red

Admitir diversidad de respuestas posibles ante un mismo problema y encontrar diferentes enfoques metodológicos para solventarlo. Potenciar el conocimiento profundo, ajustado y realista de uno mismo.

– Analiza las unidades empleadas en cada situación.

Desarrolla tus competencias, I y II – Aprende diferentes demostraciones del teorema de Pitágoras.

Pon a prueba tus competencias: Aplica y construye, 1 – Toma conciencia del empleo de su tiempo libre.

Pon a prueba tus competencias: Aprende a pensar, 4 a 6


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EDUCACIÓN EN VALORES Tanto los contenidos de la unidad como las actividades para el trabajo específico de las competencias que se citan en la tabla de la página anterior nos permiten desarrollar algunos aspectos relacionados con la educación en valores: • Educación para el desarrollo: Sabías que… • Educación para el consumo: actividades 10, 40, 41, 42 y 72. • Educación ciudadana: El euro y otras unidades monetarias.

ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD Hay que recordar que los ejercicios resueltos y propuestos en el libro de texto están clasificados por un código de colores según su dificultad: verde, nivel básico; naranja, nivel medio, y rojo, de alguna dificultad. De esta forma, el profesor podrá adaptar el contenido de la unidad bien a las características particulares de la clase, bien a las específicas de cada grupo de alumnos dentro de la misma. Además, en este proyecto se incluyen los siguientes materiales, que complementan los ofrecidos en el libro del alumno: • Actividades de refuerzo. Una página fotocopiable con ejercicios para consolidar lo aprendido. • Actividades de ampliación. Una página fotocopiable con ejercicios para complementar y ampliar lo tratado en cada unidad del libro. • Propuesta de evaluación. Una prueba que cubre los contenidos de la unidad y sirve para comprobar el grado de asimilación y comprensión de los conceptos y procedimientos tratados. • Cuaderno de evaluación de competencias. En él se propone una prueba por bloque de contenidos que sirve para evaluar la adquisición por parte del alumno de la capacidad para aplicar los contenidos matemáticos tratados a situaciones en contextos reales, en conjunción con el resto de competencias básicas.

MATERIALES DIDÁCTICOS Repaso de contenidos de cursos anteriores

• Cuaderno de Matemáticas. 1.º de ESO. N.º 6. “Medida” – Unidad II. Perímetros y áreas de figuras planas Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso s o c i f á r g o i l b i B

SM

• Cuaderno de refuerzo de Matemáticas. 2.º de ESO. “Aprende y aprueba”. – Unidad 7. Teoremas de Tales y Pitágoras. Semejanza • Cuaderno de Matemáticas. 2.º de ESO. N.º 1: “Geometría y medida en el plano” • Cuaderno de Matemáticas para la vida. 2.º de ESO – “Viaja y cambia” y “La nave que olvidó las unidades”.

Otros

CERASOLI, ANNA: Míster cuadrado. Un recorrido sorprendente por el mundo de la geometría. Maeva, Madrid, 2009. El capítulo 3, “Snoopy pitagórico”, está dedicado al teorema de Pitágoras. NELSEN, ROGER B.: Demostraciones sin palabras. Proyecto Sur, Granada, 2001.

SM t e n r e t n I

www.smconectados.com www.librosvivos.net

Páginas con rompecabezas y puzles pitagóricos: www.e-sm.net/2esomatprd16 Otros

www.e-sm.net/2esomatprd17

Unidad didáctica con actividades sobre el sistema sexagesimal: www.e-sm.net/2esomatprd18 s e l s a o i r r t e O t a m

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• Vídeo “Pitágoras, más que un teorema”, del programa Universo matemático • Instrumentos de medida


Sugerencias didácticas Desarrolla tus competencias Tanto la imagen como el texto indican que en ocasiones las medidas del tiempo tienen que ser más precisas y es necesario contar con instrumentos de medida que sean capaces de medir hasta las milésimas de segundos. I. y II. Podríamos realizar estas actividades en común con toda la clase. Los alumnos irían aportando sus ideas al respecto, siempre de forma argumentada, para llegar entre todos a la conclusión correcta. III. En esta actividad conviene que los alumnos hagan por un lado la multiplicación (1 min 54 s) · 49, y luego, por otro lado, la multiplicación 101 · 49, para calcular el número de milésimas. Una vez obtenido el número de milésimas, deberán expresarlo en segundos, teniendo en cuenta que deben dividir entre 1000 y sumarlo a la cantidad anterior para obtener el tiempo total. IV. En esta actividad, los alumnos tienen que efectuar la división del tiempo total entre las 49 vueltas, pero debemos aclararles que conviene que hagan la división sin tener en cuenta las milésimas de segundo.

1. Medidas directas y estimación de medidas • Una vez que hayamos introducido el concepto de medida directa, podemos sugerir que los alumnos pregunten en su casa qué instrumentos de medida conocen en su familia y que expliquen en clase cómo funcionan y qué miden. Seguro que nos sugieren instrumentos como el calendario, el reloj, el termómetro, etc. • Los hábitos de consumo están muy en boga hoy día, los podemos observar en la clase con ejemplos como: – Se puede sugerir que estimen la cantidad de líquido que beben al día, contando el número de vasos, considerando que un vaso tiene 200 mililitros. – Pueden calcular la cantidad de fruta que toman al día, contando el número de piezas, y estimando que una pieza pesa 175 gramos. • Después se pueden comentar en clase las medidas de productos de uso cotidiano, como las latas de refresco, los detergentes, las bolsas de snacks, y que consideren si son las adecuadas. ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

1y2

Medio

3y4

2. Errores. Precisión de la medida • En este apartado es importante no solo que observen la cota de error, sino que también establezcan un estudio comparativo de medidas con el mismo error absoluto, y determinen cuál es la más precisa, pues en la práctica la pretensión última de una medida es su precisión. • Para comprender el error deben hacer siempre la representación gráfica de la aproximación por defecto y por exceso con la escala adecuada a cada medida.

• Una actividad cotidiana donde siempre se hacen estimaciones es en los precios, que se redondean a unidades monetarias. Estos ejemplos les son muy familiares, pues no se sabe por qué, pero con dinero suelen hacer muy fácilmente sus cálculos mentales de aproximación. ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

6, 36 y 37

Medio

7, 8 y 38

Alto

39

3. El euro y otras unidades monetarias • En el curso pasado ya se trató el euro y el cambio de divisas. En este curso se vuelve a repasar, desarrollando más detenidamente en qué consiste el cambio de divisa. • En el margen figura un mapa con los Estados miembros de la Unión Europea que pertenecen a la zona euro en el momento de la impresión de este libro. Podemos pedir a los alumnos que averigüen los países miembros de la Unión Europea, si hay algún país nuevo que haya entrado en la zona euro, y que indiquen qué países de la Unión no tienen el euro como moneda. • En el texto se indican las unidades monetarias de ocho países. Los alumnos pueden buscar el cambio de divisa en el enlace que viene al margen y averiguar la equivalencia de 10 euros con cada una de esas monedas. • Los alumnos tienen que ser conscientes de la importancia de averiguar el cambio de divisa cuando vayan a visitar un país con moneda diferente al euro, pero que aplicar la conversión en todo momento resulta complicado, por lo que les conviene establecer una proporción que sea fácil de aplicar; por ejemplo, con el cambio de divisa del euro entre el dólar el 22 de junio, estableceríamos que 5 dólares equivalen aproximadamente a 4 euros. ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

40

Medio

10, 41 y 42

4. Sistema sexagesimal. Medida del tiempo y de los ángulos • Debemos hacer notar a los alumnos que en la medida del tiempo, el sistema sexagesimal solo hace referencia a los segundos, minutos y horas. • En el margen aparece una llamada a los años bisiestos. Conviene que les expliquemos a los alumnos que el motivo de que haya habitualmente un año bisiesto cada cuatro años es porque la Tierra no tarda exactamente 365 días en dar la vuelta alrededor del Sol, sino 1 que tarda 365 días y . 4 • Sería interesante que los alumnos buscasen información sobre el origen del calendario. Medidas. Teorema de Pitágoras

Unidad 10

7

Sugerencias didácticas

• Es recomendable recordar el uso del transportador para la medida de ángulos. • Para realizar la actividad 12, los alumnos deberán buscar previamente cuáles han sido los años bisiestos de la década con ayuda de internet. ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

11, 43 y 44

Medio

12, 76 y 84

5. Operaciones con medidas en el sistema sexagesimal • Los alumnos no tendrán problemas a la hora de pasar de forma compleja a incompleja y viceversa cuando la medida es entera. En el caso de paso de incompleja a compleja conviene que hagamos algún ejemplo cuando la medida de partida no es entera. Por ejemplo: 435,3 min = 435 min + 0,3 min 1) 435 min 60 15 min

435 min = 7 h 15 min

7h

2) 0,3 min → 0,3 ⋅ 60 = 18 s 3) 435,3 min = 7 h 15 min 18 s • Conviene que nos detengamos en el caso de la división, ya que es donde suelen cometer más fallos. Además debemos tener cuidado a la hora de poner los ejemplos para que los segundos del cociente sean una cifra entera. • La referencia del margen en el “Sabías que…” puede utilizarse para ahondar en los orígenes del sistema sexagesimal. Además podemos aprovechar para pedir a los alumnos que elaboren una lista con los avances matemáticos de los mesopotámicos. ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

14 a 17 y 45 a 50

Medio

18 a 20, 51 a 58 y 72 a 75

Alto

59, 81 y 82

6. Teorema de Pitágoras • En el curso pasado solo se enunció el teorema de Pitágoras. En este curso se da una de las múltiples demostraciones gráficas de dicho teorema. • Se puede recomendar como trabajo de clase comprobar el teorema de Pitágoras gráficamente por un método distinto al que aparece en el libro, con las orientaciones que encontrarán en el enlace que viene en el margen y utilizando cartulinas. • Es importante que los alumnos no memoricen la fórmula del teorema de Pitágoras con las letras, ya que si en algún problema llaman a la hipotenusa c en vez de a, aplicarán mal el teorema. ACTIVIDADES POR NIVEL

8

Básico

22 a 25, 60 y 61

Medio

26 y 62

Unidad 10


7. Identificar triángulos con el teorema de Pitágoras • Al comenzar el epígrafe debemos realizar un breve repaso de la clasificación de triángulos atendiendo a sus ángulos, para después pasar a ver la caracterización de los mismos mediante la relación existente entre las medidas de sus lados. • A la hora de clasificar un triángulo conviene que primero hallen el cuadrado de la medida del lado mayor, en un segundo paso hallarán los cuadrados de las medidas de los otros lados y en un tercer paso sumarán los valores obtenidos en el paso anterior. Finalmente compararán los valores obtenidos en los pasos 1 y 3. ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

29 y 30

Medio

63

8. Aplicaciones del teorema de Pitágoras • Es importante hacer notar a los alumnos que para calcular medidas indirectas con ayuda del teorema de Pitágoras tenemos que formar siempre un triángulo rectángulo con dos de los lados conocidos. • Conviene hacer un breve repaso sobre los elementos de las diferentes figuras planas conocidas por los alumnos y recordar las fórmulas de las áreas. • A la hora de resolver los problemas, conviene que los alumnos se acostumbren a realizar un dibujo esquemático que represente la situación, anotando en él los datos que da el problema. ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

31

Medio

32 a 34, 64 a 70, 77 y 78

Alto

71, 79, 83 y 85 a 89

Organiza tus ideas • El esquema se divide en cuatro bloques: medidas directas y estimación, el euro, el sistema sexagesimal con sus operaciones y el teorema de Pitágoras. • Podemos pedir a los alumnos que completen el apartado dedicado a medidas con ejemplos de instrumentos de medida y de estimaciones que utilizamos a diario, como el palmo, asociado a 20 centímetros; un paso, asociado a un metro… • En el apartado del sistema sexagesimal sería conveniente que pusieran ejemplos de paso de compleja a incomple ja y viceversa. • Conviene completar la parte dedicada a las operaciones con el sistema sexagesimal con la frase “minutos y segundos deben ser cantidades inferiores a 60”. • Para finalizar, sería conveniente que completaran lo referente al recíproco del teorema de Pitágoras con un ejemplo de cada tipo de triángulo.

Sugerencias didácticas

Actividades de ampliación Con estas actividades desarrollamos las competencias de aprender a aprender y de autonomía e iniciativa personal. Los alumnos deberán aplicar los contenidos del tema, decidiendo cuáles son los más apropiados para resolver cada una de las actividades. Asimismo, deberán elaborar sus propias estrategias para resolverlos, dado que no son problemas guiados ni se ajustan a patrones preestablecidos que ya conozcan, lo que puede resultarles muy estimulante, aunque al comienzo les asuste un poco.

Pon a prueba tus competencias APRENDE A PENSAR. ¿CUÁNTAS HORAS DE TELEVISIÓN? Para responder a las tres primeras preguntas, los alumnos deben interpretar correctamente los datos que aporta la gráfica. Debemos advertirles que todas ellas hacen referencia a los dos tipos de medios.

ticos en Mesopotamia y pedir a los alumnos que investiguen lo que los babilonios sabían acerca del teorema de Pitágoras. Para la presentación de las diferentes demostraciones del teorema de Pitágoras podemos dividir la clase en grupos y que cada grupo elija una y la trabajen en conjunto para luego explicarla al resto de compañeros. Antes de practicar lo propuesto en la segunda pregunta conviene que los alumnos piensen previamente en ternas pitagóricas, para que les sea más fácil aplicar el método.

REFLEXIONA Y CALCULA. ¡VAYA TELE! Con las imágenes que acompañan al texto y a la última pregunta, los alumnos podrán comprender cómo va desarrollándose de la tecnología. Muchos de ellos sabrán que las pulgadas se utilizan en los países anglosajones y que una pulgada equivale a 2,54 centímetros, por lo que no tendrán necesidad de buscar información extra para contestar a las dos primeras preguntas.

Las tres siguientes preguntas van encaminadas a que los alumnos hagan una reflexión individual sobre el empleo de su tiempo libre, y decidan si es el adecuado o no.

Las preguntas 3 y 4 giran en torno a las dimensiones de un televisor relacionándolas con la medida de su diagonal. Para responder a todas ellas, los alumnos tendrán que aplicar el teorema de Pitágoras.

Por último, en la pregunta 7 se trabaja la competencia aprender a pensar proponiendo que debatan en la red las reflexiones y conclusiones extraídas en el informe que elaboraron en la pregunta anterior.

En la pregunta 5 les recomendaremos que hallen la diagonal en centímetros y que luego expresen la medida obtenida en pulgadas, para que tengan que hacer menos cálculos.

APLICA Y CONSTRUYE. EL TEOREMA DE PITÁGORAS Podemos enlazar esta actividad con lo que proponíamos en el epígrafe 5 sobre la búsqueda de los logros matemá-

Una vez que hayan respondido a la pregunta 7, les pediremos que busquen en internet para ver si existe alguna pantalla mayor que haya quitado el récord a la que aparece en la imagen.

En la página 16 presentamos una matriz de evaluación que el profesor puede utilizar para evaluar el grado de consecución de las competencias básicas trabajadas a lo largo de esta unidad. Además, en www.smconectados.com puede descargar una aplicación informática que le facilitará esta tarea.


Unidad 10

9

Actividades de refuerzo Unidad

10


ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Al finalizar la unidad es importante que los alumnos hayan conseguido: • Realizar aproximaciones y calcular errores. • Manejar el sistema sexagesimal. • Utilizar el teorema de Pitágoras en problemas de medida. Para aquellos alumnos que presenten más dificultades en comprender la demostración geométrica del teorema de Pitágoras, en las páginas de Matemáquinas se trabaja esta demostración con GeoGebra de forma muy sencilla. Con la quinta actividad se pretende que los alumnos puedan resolver problemas de enunciado largo, en los que se relaten datos necesarios para su resolución de una manera continua e interrelacionada, para que ellos tengan que seguir el hilo del problema y no desconecten a partir de la primera línea. Esto se puede practicar con ejercicios sencillos como este, el tema de medidas es muy apropiado para este modelo de práctica.

ACTIVIDAD DE GRUPO Tiempo empleado en llegar al centro educativo

Se puede proponer a los alumnos que midan el tiempo que tardan en llegar al colegio. Para ello sería conveniente entregarles, o ayudarles a preparar, una tabla donde en filas se especifiquen los días de la semana (lunes, martes…), y en columnas, “Hora de salida de casa”, “Hora de llegada al colegio”, “Tiempo empleado en el trayecto”. Cada alumno anotará los datos pedidos durante una semana y luego calculará “el tiempo que emplea por término medio en llegar al colegio”. Se les puede sugerir que realicen el mismo trabajo de vuelta del colegio a casa a aquellos alumnos que vuelvan directos, de modo que puedan evaluar posibles causas de retraso, como el tráfico.

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1.

Valor exacto

Valor medido

Error absoluto

1,84 m

1,80 m

0,04

10,36 m

10,4 m

0,04

6.

a) b) c) d)

Las dos medidas tienen la misma precisión. 2.

337,84 €

Hora de llegada al colegio: 8.28 Hora de llegada a casa: 15.25 1h 15 min – 28 min = 47 min x 2 = (800 + 900)2 – (800 + 700)2 = 1700 2 – 15002 x

=

7.

17002 15002 −

=

640000

=

800 m

Se comprueba si se cumple el teorema de Pitágoras: c2 = a2 + b2

3.

6 h 25 min 13 s = 23 113 s

4.

2573" = 42' 53"

5.

a) b) c) d)

ˆ = 98° 40' 15" + 46° 50' 15" Â +B ˆ = 180 − ( Â + B ˆ ) = 34° 29' C

=

a) c2 = 225; a2 + b2 = 144 + 81 = 225 El triángulo es rectángulo. b) c2 = 49; a2 + b2 = 36 + 25 = 61 El triángulo no es rectángulo. Como c2 < a2 + b2, será acutángulo.

145° 31'

2 Â = 2 ⋅ (98° 40' 15") = 197° 20' 30" ˆ B 3

8. =

(46° 50' 15") : 3 = 15° 36' 55"

c2 = a2 + b2 ⇒ 42 = h 2 + 1,52 h

=

16 2,25 −

=

3,71 m

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de refuerzo.

10

Unidad 10


Más recursos en tu carpeta

ACTIVIDADES de REFUERZO Unidad 1.

10


En la siguiente tabla se reflejan los valores reales y los aproximados hechos en una medición. Calcula su error absoluto e indica qué medida es más precisa. Valor exacto

Valor medido

1,84 m

1,80 m

10,36 m

10,4 m

Error absoluto

2.

Si el 1 de mayo de 2011, un euro equivalía a 1,48 dólares, ¿cuántos euros pagarás por un ordenador que cuesta 500 dólares?

3.

Transforma esta expresión de tiempo escrita en forma compleja en forma incompleja en segundos: 6 horas 25 minutos y 13 segundos

4.

Escribe la siguiente expresión angular en forma compleja: 2573".

5.

ˆ = 98° 40' 15'' y Si A

6.

ˆ B

= 46° 50' 45'' , calcula, dejando los resultados en forma compleja:

ˆ a) Â + B

ˆ c) C

b) 2 Â

d)

A

ˆ B 3

Pedro sale de su casa a las 8.00 para ir al colegio, y tarda 6 min en llegar al quiosco, donde se detiene 10 min para comentar los resultados de fútbol y comprar dos chicles. Luego tarda 12 min hasta su centro. Sale del colegio a las 14.10 y hoy va a comer a casa de su amiga Ana. En 20 min llegan al parque y se quedan jugando al fútbol 45 min. Como tienen hambre, salen deprisa y en 10 min llegan a casa de Ana. En el gráfico tienes el recorrido y las distancias. Obsérvalo con detenimiento y contesta a las siguientes preguntas.

B

C

Casa de Pedro Colegio

Quiosco

800 m

900 m 800 m

xm 700 m

Casa de Ana

a) ¿A qué hora llegó al colegio? b) ¿A qué hora llegó a comer? c) ¿Podrías decir cuál es la diferencia del tiempo empleado entre la vuelta y la ida al colegio? d) Observa en el dibujo que la calle que hay entre las casas de Pedro y de Ana es perpendicular a la que une la casa de Ana con el colegio. Calcula su longitud utilizando el teorema de Pitágoras. 7.

8.

Comprueba si los lados a, b y c de los triángulos de los siguientes apartados pertenecen a un triángulo rectángulo: a)

a = 12 cm, b = 9 cm, y c = 15 cm

b)

a = 6 cm, b = 5 cm, y c = 7 cm

¿Hasta qué altura llegará una escalera de 4 metros de larga que se apoya contra una pared y está separada de ella 1,5 metros?


Unidad 10

e l b a i p o c o t o f a n i g á P

11

Actividades de ampliación Unidad

10


ORIENTACIONES METODOLÓGICAS

El manejo del sistema sexagesimal y la aplicación del teorema de Pitágoras son dos bases muy importantes para que en el futuro los alumnos inicien el estudio de la trigonometría. Las actividades propuestas son aplicaciones directas de los contenidos de la unidad en la realidad, lo que les ayudará a ver la importancia que tiene el manejo de otros sistemas de unidades y del teorema de Pitágoras. Para algunas actividades sería conveniente enseñar el uso de la calculadora científica, para trabajar con ángulos en el sistema sexagesimal.

ACTIVIDAD DE GRUPO Persecución alrededor del mundo

Se puede trabajar con los alumnos el concepto de las coordenadas terrestres, si bien esta actividad puede elaborarse también desde el área de Naturales o desde la de Sociales (Geografía). Para ello será necesario un mapamundi en el que figuren los paralelos y los meridianos, aunque también se puede jugar en un espacio más reducido, restringiéndose a África, a España o a su propia comunidad autónoma o incluso provincia. Lo primero que habrá que hacer será explicarles brevemente qué es la latitud (Norte o Sur) y la longitud (Este u Oeste), y el porqué de dichas divisiones. El enlace www.e-sm.net/2esomatprd19 puede servir de ayuda. A continuación, hacemos un par de grupos y cada uno traza una ruta de tres o cuatro etapas alrededor del mundo, par tiendo del mismo punto y calculando las coordenadas geográficas tanto del desplazamiento como del punto de destino. El paso siguiente es seguir la pista del grupo contrario. Uno de los equipos comunica el desplazamiento producido desde el punto de partida y el otro equipo debe dar las nuevas coordenadas del lugar donde se encuentran. Si las dan correctamente, pasan a la siguiente etapa; si eso no ocurre, pasa el turno al otro equipo. Un simulacro de etapa se juega en la primera actividad de ampliación.

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. a) La nave se encuentra en la península arábiga. Su destino es un punto en la costa de Groenlandia cuyas coorde-

nadas son 61º 15' Norte y 44º 35' Oeste. La hora de llegada será a las 15 h 16 min 2 s. Si el punto de partida está en el interior de la península arábiga y tarda 9 h 40 min 55 s en llegar, la nave debe ser un avión y no un barco.

b) c)

2. a) 3 h 49 min 54 s

3.

5

( 6

x −0.00

b)

)+ 31(24.00− ) = x

x ⇒ x = 16

1 h 5 min 27 s

horas (4 de la tarde).

ˆ = 90° ⇒ E ˆ = 40° 4. El lado que está sobre el diámetro es la hipotenusa del triángulo rectángulo: Â + E ˆ = 40° Los dos triángulos que se forman, POQ y QOR, son isósceles, por lo que: Â = Bˆ = 50° y Dˆ = E ˆ = 180° − E ˆ −D ˆ = 100° Por último: Cˆ = 180° − Â − Bˆ = 80° y F 5. Sa = 35,1 cm2, Sb = 62,4 cm2, Sc = 97,5 cm2. Cumplen la relación: 35,1 + 62,4 = 97,5.

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de ampliación.

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Unidad 10


Más recursos en tu carpeta

ACTIVIDADES de AMPLIACIÓN Unidad 1.

10


El comandante de una nave se encuentra a las 5 horas 35 minutos y 7 segundos en un punto situado en las coordenadas 25º 30' Norte y 45º 45' Este.

Longitud Oeste

Longitud Este

Recibe la orden de desplazarse 35º 45' hacia el norte y 90º 20' hacia el oeste. S

a) Ubica en el mapa su posición actual. ¿Cuál será su nueva ubicación?

S S S

b) ¿A qué hora llegó si el viaje lo realizó en 9 horas 40 minutos y 55 segundos?

S S

c) ¿De qué tipo de nave se trata? 2.

a) En el reloj son las tres en punto. A partir de este momento, ¿a qué hora por primera vez la aguja del minutero formará un ángulo de 180° con la aguja horaria?

12

3

b) En el reloj son las doce en punto. ¿A qué hora volverán a coincidir las agujas del minutero y la horaria?

12

3

3.

Ana y Pedro se encuentran y se saludan. “¡Hola, buenas tardes!, ¿qué hora es?”, pregunta Ana, y Pedro responde: “Suma los cinco sextos del tiempo que hay entre la medianoche y ahora a la tercera parte del tiempo que hay entre ahora y la próxima medianoche, y sabrás qué hora es”.

Ana se queda un poco perpleja y se arrepiente de preguntar la hora. Podrías ayudarla tú y decirle qué hora es. 4.

ˆ B, ˆ C, ˆ D, ˆ E ˆ y F. ˆ En el semicírculo de la figura se han inscrito los ángulos A, Q B

D

E

F

R

C O

A P

Si Â = 50°, calcula cuánto miden los otros ángulos. 5.

En un triángulo rectángulo, sus catetos, a y b, miden, respectivamente, 9 y 12 cm. Sobre cada lado del triángulo se construyen tres triángulos equiláteros.

Calcula sus áreas y observa qué relación existe entre ellas. (Redondea tus cálculos a décimas).

e l b a i p o c o t o f a n i g á P


Unidad 10

13

PROPUESTA de EVALUACIÓN Unidad


10

APELLIDOS:

NOMBRE:

FECHA:

1.

CURSO:

GRUPO:

En la siguiente tabla se reflejan las aproximaciones de tres medidas. Completa la tabla. Aproximación por defecto

Aproximación por exceso

13 l

14 l

Cota de error

14,5 cm

E <

1 mm

E <

2 cm

0,12 m 2.

En la siguiente tabla se reflejan los valores reales, los aproximados o los errores de una medición. Calcula el valor que falte e indica qué medida es más precisa. Valor medido

Valor exacto

9,74 m

9,78 m

9,61 m

9,58 m

Error absoluto

9,36 m

0,04 m

3.

Si un dólar equivale a 0,67 euros y a 0,61 libras esterlinas, ¿cuál es el precio en dólares de un televisor que cuesta 450 euros? ¿Y en libras esterlinas?

4.

En una prueba de relevos gana el equipo que tarda menos tiempo en realizarla. Los dos equipos A y B han quedado 1.º y 2.º, y han terminado en los tiempos que se indican en la tabla. Calcula el tiempo total computado por cada uno de ellos e indica el ganador y la diferencia de tiempo entre el primero y el segundo.

e l b a i p o c o t o f

Tiempo (equipo A)

Tiempo (equipo B)

1.er relevo

1 h 30 min 50 s

1 h 45 s

2.º relevo Tiempo total

3825 s

1 h 20 min

5.

Un ciclista ha tardado en dar una vuelta a un circuito 1 h 15 min 6 s. Si mantiene la misma velocidad, calcula qué tiempo invertirá en dar cinco vueltas.

6.

Queremos dividir un círculo en 7 sectores circulares iguales. ¿Cuánto medirá cada ángulo central?

7.

Clasifica según sus ángulos los siguientes triángulos de los que se conocen sus lados.

8.

a)

a

=

8 cm, b

b)

a

=

11 cm, b

=

14 cm, y c

=

=

60 cm, y c

16 cm

=

a

d)

a

=

=

7 cm, b

=

20 cm, b

24 cm, y c

=

=

29 cm, y c

26 cm

=

21 cm

Tres ciudades A, B y C están comunicadas entre sí por tres carreteras que forman un triángulo equilátero. Si la distancia más corta desde B hasta la carretera que une A y C es de 30 km, ¿cuál es la longitud de dichas carreteras?

C

30 km

a n i g á P

14

61 cm

c)

A

Unidad 10


B

Propuesta de evaluación Unidad

10


SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN 1.

Aproximación por defecto

Aproximación por exceso

Cota de error

13 l

14 l

e<1l

14,5 cm

14,6 cm

e < 1 mm

0,10 m

0,12 m

e < 2 cm

2.

Valor medido

Valor exacto

Error absoluto

9,74 m

9,78 m

0,04 m

9,61 m

9,58 m

0,03 m

9,36 m

9,40 m o 9,32 m

0,04 m

La medida de 9,61 m es más precisa al ser el error absoluto menor. 3.

450 € = 671,64 $ 671,64 $ = 409,70 £

4.

Tiempo (equipo A)

Tiempo (equipo B)

1 h 30 min 50 s +

1 h 3 min 45 s 2 h 34 min 35 s

1h +

45 s

1 h 20 min 2 h 20 min 45 s

Ha ganado el equipo B, pues ha tardado 13 min 50 s menos que el equipo A. 5.

Tarda 6 h 15 min 30 s.

6.

El sector circular medirá 51° 25' 43".

7.

a) 162 = 256, 142 + 82 = 260 ⇒ 256 < 260. Es un triángulo acutángulo. b) 612 = 3721, 602 + 112 = 3721 ⇒ 3721 = 3721. Es un triángulo rectángulo. c) 262 = 676, 242 + 72 = 625 ⇒ 676 > 625. Es un triángulo obtusángulo. d) 292 = 841, 212 + 202 = 841 ⇒ 841 = 841. Es un triángulo rectángulo. 2

8.

2

x

 x  =   + 302 ⇒ x = 34,641. La carretera mide 34 km 641 m.  2 


Unidad 10

15

SOLUCIONARIO

2

O S E

EVALUACION T.10.pdf

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