Fungsi Komposisi Dan Fungsi Invers

Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers

Bab

III

141


Sumber: Dokumen Penerbit

Motivasi

Pernahkah kalian membayangkan tombol-tombol ( tuts) komputer dan tampilan pada layar saat kalian mengetik karakter per karakter? Coba perhatikan, ketika pada tombol tertulis huruf ”a”, setelah diketik pada layar juga muncul huruf ”a”. Demikian juga saat pada tombol diketik huruf ”k”, pada layar juga muncul huruf ”k”. Jika kalian pikirkan, tentunya ada hubungan (relasi) antara sistem pada tombol dan tampilan pada layar. Kasus ini termasuk aplikasi fungsi dalam kehidupan sehari-hari yang sering dijumpai.

Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari bab ini, diharapkan kalian dapat 1. menentukan aturan fungsi fungsi dari komposisi beberapa fungsi; fungsi; 2. menjelaskan nilai fungsi fungsi komposisi komposisi terhadap komponen pembentukny pembentuknya; a; 3. menyebutkan komponen fungsi komposisi komposisi jika aturan aturan komposisinya komposisinya diketahui; diketahui; 4. menjelaskan kondisi agar suatu fungsi mempunyai invers; 5. mene menentuk ntukan an aturan fungsi fungsi invers invers dari suatu fungsi; fungsi; 6. menggambarkan grafik fungsi fungsi invers dari grafik fungsi asalnya. asalnya.

142

Mmt Aplikasi SMA 2 IPS

Peta Konsep

Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers mempelajari

Aljabar Fungsi terdiri atas

Penjumlahan

Pengurangan

Perkalian

Pembagian

Syarat Dua Fungsi yang Dapat Dikomposisikan Menjadi Fungsi Komposisi

Fungsi Komposisi membahas

Pengertian dan Aturan Komposisi Fungsi Nilai Komposisi Fungsi Sifat-Sifat Komposisi Fungsi

Menentukan Suatu Fungsi jika Fungsi Komposisi dan Fungsi yang Lain Diketahui

Fungsi Invers membahas

membahas

Pengertian Invers Suatu Fungsi Syarat Invers Fungsi Menjadi Fungsi Invers

domain fung fu ngsi si bi bije jekt ktif if fung fu ngsi si id iden enti tita tass fun fu ngsi in inver erss

Menentukan Fungsi Invers dari Fungsi Komposisi Memahami f g) –1 = ( f g –1 f –1 o

Menentukan Rumus (Aturan) Fungsi Invers Menggambar Grafik Fungsi Invers

Kata Kunci • • • •

Fungsi Invers dari Fungsi Komposisi

• kodomain • peta • range

o

Menggunakan Sifat Fungsi Komposisi untuk Memecahkan Suatu Permasalahan


143

Di SMP, kalian telah memahami pengertian fungsi, daerah asal, daerah kawan, dan daerah hasil. Demikian juga di SMA kelas X. Pada bagian ini, kita lanjutkan pembahasan dengan mempelajari aljabar fungsi, fungsi komposisi, fungsi invers, dan fungsi invers inver s dari fungsi komposisi. Sebelum mempelajari bab ini, coba kerjakan soal-soal berikut.

Uji Prasyarat 1.

x) dan g( x x) adalah fungsi-fungsi Misalkan f ( x fungsi-f ungsi aljabar. Tentukan Tentukan hasil operasi berikut. a. f ( x x) = 2 x + 5; g( x) = x2 – 6 x + 7 f ( x x) + g( x x) = .... x) =2 x2 – 6 x – 1; g( x x) = x3 b. f ( x f ( x x) – g( x x) = ....

c. 2.

Kerjakan di buku tugas

f ( x x) =

1 x

x) = ; g( x

x) + g( x x) = Jika f ( x

1 x

2

1 2

x < 2 x < 8

x) = dan f ( x

1 x + 2

, tentukan

rumus g( x x). Setelah kalian mampu menjawab soal-soal di atas, mari lanjutkan ke materi berikut.

A. Alj Aljab abar ar Sua Suatu tu Fun Fungs gsii Dalam bilangan real, kita sudah mengenal beberapa operasi aljabar, antara lain penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan perpangkatan. Operasi aljabar tersebut dapat juga diterapkan x) dan g( x x). Operasi dalam fungsi. Misalkan diketahui dua fungsi f ( x aljabar pada kedua fungsi tersebut adalah sebagai berikut. a. b. c. d.

x) dan g( x x) dinyatakan dengan Penjum Pen umla lah han fu fun ngsi f ( x ( f f + g)( x x) = f ( x x) + g( x x). x) dinyatakan dengan Selisih fu fungsi f ( x) dan g( x f – g)( x x) = f ( x x) – g( x x). ( f x) dan g( x x) dinyatakan dengan Perkalian fungsi f ( x f × g)( x x) = f ( x x) × g( x x). ( f x), untuk g( x x) & 0 dinyatakan Pembagian fu fungsi f ( x) dan g( x dengan f (x) £ f ¥ ² ´ ( x ) = . ¤ g¦ g( x )

144


Tugas


Eksplorasi

Tentu kalian telah mengenal daerah asal, daerah kawan, dan daerah hasil. Apa nama lain dari daerah asal, daerah kawan, dan daerah hasil? Jelaskan masing-masing daerah tersebut. Apa yang dimaksud dengan daerah asal alami? Berikan contohnya.

Contoh: 1.

x) = x + 2 dan g( x x) = 2 x – 1, untuk x Diketahui f ( x berikut ini. f + g)( x x) f × g)( x x) a. ( f c. ( f

b.

f – g)( x x) ( f

d.

D

R. Tentukan fungsi-fungsi

£ f ¥ ( x ² ´ x) ¤ g¦

Penyelesaian: f + g)( x x) = f ( x x) + g( x x) = ( x x + 2) + (2 x – 1) = 3 x + 1 a. ( f f – g)( x x) = f ( x) – g( x x) = ( x x + 2) – (2 x – 1) = – x + 3 b. ( f f × g)( x x) = f ( x x) × g( x) = ( x x + 2) × (2 x – 1) = 2 x2 + 3 x – 2 c. ( f

d. 2.

x + 2 f ( x ) £ f ¥ x) = = , untuk 2 x – 1 ² ´ ( x ¤ g¦ 2 x < 1 g( x )

&

0

Didefi Dide fini nisi sika kan n fu fung ngsi si f dan g sebagai himpunan pasangan berurutan sebagai berikut. f = {(1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 1)} g = {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2)} Tentukan f + g, f – g, dan f × g. Penyelesaian: f + g > 1 A 3 + 5; 2 A 4 + 4; 3 A 5 + 3; 4 A 1 + 2 Jadi, f + g = {(1, 8), (2, 8), (3, 8), (4, 3)}. f – g > 1 A 3 – 5; 2 A 4 – 4; 3 A 5 – 3; 4 A 1 – 2 Jadi, f – g = {(1, –2), (2, 0), (3, 2), (4, –1)}. f × g > 1 A 3 × 5; 2 A 4 × 4; 3 A 5 × 3; 4 A 1 × 2 Jadi, f × g = {(1, 15), (2, 16), (3, 15), (4, 2)}.

Problem Solving x) = 1 – x2 dan ( f – g)( x x) = 4 x + 2 x2. Tentukan g( x x). Diketahui f ( x

Penyelesaian: f – g)( x x) = f ( x x) – g( x x) 2 2  4 x + 2 x = (1 – x ) – g( x x) 2 x) = (1 – x ) – (4 x + 2 x2)  g( x x) = 1 – 4 x – 3 x2  g( x



Soal Terbuka 1.

x) = 2 x + 7 dan g( x x) = x + 1. Tentukan fungsi h Diketahui f ( x x) = ( f f × g)( x x) – g( x x). yang dirumuskan dengan h( x

2.

M is is al al ka ka n d ik ik et et ah ah ui ui f ( x ) = x < 2

(

)

2

x < 9 ( x < 3)

1 2

x < 9


Ten enttuka kan n ru rumus da dari f + g, f – g, g – f , dan f × g untuk f dan g pada R dengan ketentuan sebagai berikut. x) = 2 x + 3; g( x x) = 3 – 5 x a. f ( x b. c. d.

2.

dan ( f + g )( x ) =

. Tentukan g( x x).

Uji Kompetensi 1 1.

145

f ( x x) =

1 x

+

1

, untuk x

f ( x x) = 2; g( x x) =

3

&

x) = –1; g( x

, untuk x

x < 1 f ( x x) = ( x x – 2); g( x x) = 2 x – 4 f

dan domainnya agar

2 x < 4

, untuk x

&

2

1

f

merupakan suatu fungsi. g g a. f ( x x) = 2 – 3 x; g( x x) = 3 + 5 x x) = x; g( x x) = x2 – x b. f ( x x) = 2 x; g( x x) = 8 x – 6 x2 c. f ( x x) = x2 – 1; g( x x) = x + 1 d. f ( x x) = 2 x – 5 dan g( x) = x + 7 dengan f dan g fungsi-fungsi pada bilangan real, 3. Jika f ( x tentukan a. rumus f + g, f – g, dan f × g; f + g)(5), ( f f – g)(2), dan ( f × g)(–1). b. ( f 4. Diketahui f : R A R dan g : R A R ( R = himpunan bilangan real) dengan aturan f ( x) = x3 – 1 dan g( x x) = x2 – 1. Tentukan

5.

Tentukan

&

5 x

f

a.

rumus

b.

domain

c.

nilai ²

, kemudian sederhanakan;

g f g

agar

f g

merupakan suatu fungsi;

£ f ¥ (3) dan £ f ¥ (–4). ² ´ ´ ¤ g¦ ¤ g¦

Fungsi f , g, dan h didefinisikan sebagai himpunan pasangan berurutan seperti berikut. f = {(3, 3), (4, 4), (1, 1), (2, 2)} g = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)} h = {(2, 1), (3, 2), (4, 3), (1, 4)}

146


Tentukan

6.

a.

f + g, f + h, dan g + h;

c.

b.

f – g, f – h, dan g – h;

d.

f f g , , dan ; g h h f × g, f × h, dan g

×

h.

Diketahui fu fungsi f dan g didefinisik didefinisikan an sebagai himpunan pasangan berurutan seperti berikut. f = {(1, 6), (2, 12), (3, 24), (4, 32)} g = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)} Tentukan fungsi-fungsi berikut ini. a. f + g d. g – f b. f × g e. f – g c.

f

f.

g

g f

7.

x) = x2 + 3 dan ( f × g)( x x) = 2 x4+6 x2, tentukan rumus fungsi g. Jika f ( x

8.

x) = Misalkan f ( x

1 x

3

£ f ¥ 2 x) = 5 , tentukan g( x x). ´ ( x ¤ g¦ x

dan ²

B. Fu Fung ngsi si Ko Komp mpos osis isii Kalian tentu tahu bahwa kertas dibuat dari kayu. Misalkan Misa lkan mesin A adalah mesin pengolah kayu menjadi pulp, sedangkan B adalah mesin pengolah pulp menjadi kertas. Jika diilustrasikan dengan bagan, tampak sebagai berikut. Kayu Pulp

Proses I Proses II

Pulp

(pada mesin A)

Kert Ke rtas as (p (pad adaa mesi mesin n B)

Misalkan mesin C adalah mesin yang mampu mengolah kayu langsung menjadi kertas, tentu dalam mesin C terjadi proses I dan II. Kayu

Proses I

Pulp

Proses II

Kertas

Mesin C Jadi, pada mesin C terjadi komposisi antara proses I dan proses II. Analog dengan ilustrasi di atas, tentu kalian akan dapat memahami komposisi fungsi.

1. Pen Penger gertia tian n dan dan Atu Aturan ran Fun Fungsi gsi Kom Kompos posisi isi Jika f adalah suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B, sedangkan g adalah fungsi dari himpunan B ke himpunan C , fungsi dari himpunan A ke himpunan B, kemudian dilanjutkan

147


A

B

C

f a

g b

c g º f

Gambar 3.1

Diskusi Berpikir Kritis Menurutmu, apakah setiap fungsi aljabar dapat dikomposisikan? Jika tidak, syarat apa yang harus dipenuhi? Berikan contoh kasus fungsifungsi yang tidak dapat dikomposisikan.

fungsi dari himpunan B ke himpunan C dinamakan fungsi komposisi dari f dan g yang dilambangkan dengan g º f (dibaca g bundaran f ). ). Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar di samping. Diketahui himpunan A, B, dan C seperti pada gambar di samping. Jika a D A, b D B, c D C , f (a) = b, dan f (b) = c f (a)) = c. Secara umum, fungsi komposisi maka (gº f )( )(a) = g( f didefinisikan sebagai berikut. Misalkan fungsi f : A A B ditentukan oleh aturan f (a) = b, sedangkan fungsi g : B A C ditentukan oleh aturan g(b) = c. Fungsi komposisi g dan f , ditulis g º f adalah sebuah fungsi yang ditentukan dengan aturan ( g º f )( )(a) = g( f f (a)).

Fungsi g º f adalah komposisi fungsi g dan f yang pengerjaannya dilakukan pada fungsi f terlebih dahulu, kemudian dilanjutkan fungsi g.

Contoh: 1.

Diketa Dike tahu huii fung fungsi si-f -fun ungs gsii f dan g dalam diagram panah sebagai berikut. Tentukan (g º f )(1), )(1), (g º f)(2), dan (g º f )(3). )(3). Penyelesaian: Dari gambar di samping, tampak bahwa f (1)) (g º f )(1) )(1) = g( f (1)) = g(m) = 12; f (2)) (g º f )(2) )(2) = g( f (2)) = g(m) = 12; f (3)) (g º f )(3) )(3) = g( f (3)) = g(k ) = 10.

2.

A

f

B k

1 2 3

g

l

C

10 11

m

12

Gambar 3.2

x) = 3 x – 2 Diketa Dike tahu huii fu fung ngsi si-f -fun ungs gsii f dan g pada bilangan real ditentukan oleh aturan f ( x x) = 2 x. Tentukan komposisi fungsi berikut ini. dan g( x a. (g º f )( )( x x) f º g)( x x) b. ( f c. Apakah f º g = g º f ?

Penyelesaian: x) = g( f ( x x)) = g(3 x – 2) = 2(3 x – 2) = 6 x – 4 a. (g º f )( )( x f º g)( x x) = f (g( x x)) = f (2 b. ( f (2 x) = 3(2 x) – 2 = 6 x – 2 x) = 6 x – 4, sedangkan ( f º g)( x x) = 6 x – 2 maka g º f & f º g. c. Karena (g º f )( )( x

148


2. Ni Nila laii Fu Fung ngsi si Ko Komp mpos osis isii Nilai dari suatu fungsi komposisi dapat ditentukan dengan menggunakan dua cara, yaitu a. den dengan gan lan langsu gsung ng meng mengope operas rasika ikan n fungs fungsi-fu i-fungs ngsii terseb tersebut ut secara berurutan; b. deng dengan an menen menentuk tukan an rumu rumuss kompo komposisi sisi fung fungsi si terle terlebih bih dah dahulu, ulu, kemudian menyubstitusikan nilai-nilai pada domainnya ke dalam rumus komposisi itu.

Contoh: 1.

Dike Di keta tahu huii fu fung ngsi si-f -fun ungs gsii f dan g pada himpunan bilangan real yang didefinisikan dengan f ( x x) = 4 x dan g( x x) =

2 3

x – 2. Tentukan nilai ( f º g)(2) dengan dua cara di atas.

Penyelesaian: a. Cara 1: ( f f º g)(2) = f (g(2))

b.

Cara 2: ( f f º g)( x x) = f (g( x))

£2 ¥ = f ¤ ( 2 ) < 2¦ 3

2 = f ( x – 2) 3

£ 2¥ = f ¤ < ¦ 3

2 = 4( x – 2) 3

2 = 4(– ) 3

=

= –

8

f º g)(2) = ( f

3

8 x – 8 3 8 3

= – 2.

(2) – 8

8 3

Diketahui fu fungsi f dan g dinyatakan sebagai himpunan pasangan berurutan berikut. f = {(1, 3), (2, 6), (3, 9)} g = {(3, 4), (6, 7), (9, 10)} Tentukan g º f dan (g º f )(2). )(2). Penyelesaian: Perhatikan gambar berikut. A

f

g

B

C

1

3

4

2

6

7

3

9

10

Gambar 3.3

Pada gambar di samping, tampak bahwa g º f = {(1, 4), (2, 7), (3, 10)}; • • (g º f )(2) )(2) = 7.


149

3. Si Sifa fatt-Si Sifa fatt Kompo Komposi sisi si Fung Fungsi si Untuk dapat mengetahui sifat-sifat dari komposisi fungsi, lakukan kegiatan berikut.

Kegiatan


Tujuan: Memahami sifat-sifat yang berlaku pada komposisi fungsi. Permasalahan: Sifat-sifat apakah yang berlaku pada komposisi fungsi? Langkah-Langkah: Jawablah soal-soal berikut. 1. Misalkan fungsi f dan g pada himpunan bilangan real x) = 3 x + 2 dan g( x x) = x – 3. Tentukan didefinisikan didefinisik an oleh f ( x x); a. (g º f )( )( x f º g)( x x); b. ( f c. Apakah g º f = f º g?

2.

Misalk Misa lkan an fu fung ngsi si-f -fun ungs gsii f , g, dan h pada bilangan real x) = x2, g( x) = 2 x – 2, dan h( x x) = 3 x. didefinisikan didefinisika n oleh f ( x f º g)( x x), (( f f º g) º h)( x x), (g º h)( x x), dan a. Tentukan ( f f º (g º h))( x x). ( f b. Apakah (( f f º g) º h)( x x) = ( f f º (g º h))( x x)?

3.

Misalkan f dan I adalah fungsi pada himpunan bilangan x) = x. real yang didefinisik didefinisikan an f ( x) = x2 + 3 x – 4 dan I ( x a. Tentukan ( f f º I )( )( x x) dan ( I I º f )( )( x x). x) = ( I I º f )( x)? b. Apakah ( f º I )( )( x )( x

Kesimpulan: Dari langkah-langkah di atas, dapat ditemukan sifat-sifat komposisi fungsi.

Dari kegiatan kegia tan di atas, diperoleh beberapa sifat sifat komposisi fungsi sebagai berikut. Tes Mandiri Kerjakan di buku tugas NFungsi f f :: R A R . Diketahui f ( x ) x ) = 2 – 3 dan g ( x = x 2 + 2 x – 3. x ) = x x – Nilai dari (f ( f º g )(2) )(2) = .... a. 0 d. 8 b. 1 e. 11 c. 7

Soal Ebtanas SMA, 1990

Sifat-sifat komposisi fungsi a. Ko Komp mpos osis isii fu fung ngsi si pa pada da um umum umny nyaa tidak bersifat komutatif : f º g)( x x) & (g º f )( x). ( f )( x b. Ko Komp mpos osis isii fungs fungsii bersi bersifa fatt asosi asosiat atif if:: f º g) º h)( x x) = ( f f º (g º h))( x x). (( f x) = x sehingga c. Ter erda dapa patt fung fungsi si ide ident ntit itas as I ( x ( f f º I )( )( x x) = ( I I º f )( )( x x) = f ( x x).

150


4. Sya Syarat rat agar agar Dua Dua Fungsi Fungsi Dapa Dapatt Dikomp Dikomposi osisik sikan an Tidak setiap dua fungsi dapat dikomposisikan menjadi fungsi komposisi. Untuk mengetahui syarat agar komposisi dua buah fungsi merupakan sebuah fungsi komposisi, perhatikan gambar berikut. f g A B C Dari gambar di samping, yaitu f : A A B dan a1 b1 c1 g : B A C tampak bahwa f (a1) = b1 dan g(b1) = c1 sehingga (g º f )( )(a1) = c1; a2 c2 b2 f (a2) = b1 dan g(b1) = c1 sehingga (g º f )( )(a2) = c1; a3 f (a3) = b3 dan g(b3) = c3 sehingga (g º f )( )(a3) = c3; c3 b3 a4 f (a4) = b3 dan g(b3) = c3 sehingga (g º f )( )(a4) = c3; a5 f (a5) = b4 dan g(b4) = c4 sehingga (g º f )( )(a5) = c4. c4 b4 Dengan demikian, disimpulkan bahwa (g º f ): ): A A C merupakan sebuah fungsi atau Gambar 3.4 fungsi komposisi. f A Dari gambar tersebut, terlihat bahwa C B g g adalah fungsi dengan domain himpunan D B, sedangkan f adalah fungsi dengan a1 b1 c1 daerah kawan himpunan B. Range f adalah {b1, b3, b4} sehingga range f merupakan a2 b2 c2 himpunan bagian dari himpunan B . a3 c3 b3 Dengan kata lain, range f merupakan himpunan bagian dari domain g. Sekarang, Gambar 3.5 perhatikan fungsi f dan g yang didefinisikan seperti Gambar 3.5. Tes Mandiri Pada gambar tersebut, fungsi f : A A B dan fungsi g: D A C Kerjakan di buku tugas dengan D  B. Jika dibuat komposisi fungsi g º f , komposisi Jika f : R A R, fungsi tersebut bukan merupakan sebuah fungsi karena f (a3) = b3 dengan f –2 f (( x x ) = 2 x x – bukan anggota domain g sehingga b3 oleh g tidak dipetakan. Jika dan g g :: R A R, kita perhatikan, ternyata domain g merupakan himpunan bagian dengan g ( x ) = x 2 – 1 x ) = x dari range f . Oleh karena itu, dapat diambil kesimpulan sebagai maka (f (f º g )( )( x + x + 1) = .... 2 a. 2 x – 4 berikut. 2 Fungsi g dapat dikomposisikan dengan fungsi f sehingga komposisi fungsi g º f merupakan sebuah fungsi apabila range f merupakan himpunan bagian dari domain g atau dapat ditulis R f  Dg.

5. Kom Kompos posisi isi dar darii Dua Dua Fung Fungsi si atau atau Leb Lebih ih Suatu fungsi komposisi dapat tersusun atas dua fungsi atau lebih. Jika komposisi fungsi terdiri atas 3 fungsi atau lebih, pengerjaannya harus dilakukan secara berurutan atau tidak boleh terbalik (ingat: komposisi fungsi pada umumnya bersifat komutatif). Perhatikan contoh berikut.

b. c. d. e.

2 x 2 x 2 2 x 2 2 x 2

–5 + 4 x –2 x – – 4 x +1 x + –2

Soal UMPTN, Kemampuan Dasar 1996


151

Contoh: x) = x2, g( x x) = 5 x + 3, Diketahui fungsi f , g, dan h pada bilangan real dan didefinisikan f ( x x) = x + 1 . Tentukan komposisi fungsi berikut ini. dan h( x f º g)( x x) a. ( f x) b. (g º f º h)( x

Penyelesaian: f º g)( x x) = f (g( x x)) = f (5 a. ( f (5 x + 3) = (5 x + 3)2 = 25 x2 + 30 x + 9

b.

(g º f º h)( x x) = (g º f )( )(h( x x)) = (g º f )( )( x + 1 ) f ( x + 1 )) = g( f x + 1) = g(( x + 1 )2) = g( x = 5( xx + 1) + 3 = 5 x + 8

Tes Mandiri Kerjakan di buku tugas Dari fungsi f : R A R diketahui bahwa = x + + 3 dan f ( x x ) = x (f º g )( )( x = x 2 + 6 x + 7, x ) = x x + maka g ( x ) x ) = .... a. x 2 + 6 x –4 x – b. x 2 + 3 x –2 x – 2 c. x – 6 x +4 x + d. x 2 + 6 x +4 x + 2 e. x – 3 x +2 x +

6. Menent Menentuka ukan n Fungsi Fungsi Peny Penyusu usun n dari dari Fungsi Fungsi Komposisi Jika suatu fungsi f diketahui dan fungsi komposisi f º g atau g º f juga diketahui maka fungsi g dapat ditentukan. Demikian juga jika yang diketahui fungsi g dan fungsi komposisi f º g atau g º f , fungsi f dapat ditentukan. Untuk memahami cara menentukan sebuah fungsi jika diketahui fungsi komposisi dan fungsi yang lain, perhatikan contoh-contoh berikut.


Contoh: x) = 4 – 2 x dan g( x x) = x + 6. Tentukan fungsi f ( x x). Diketahui fungsi ( f º g)( x

Penyelesaian: f º g)( x x) = 4 – 2 x ( f x)) = 4 – 2 x  f (g( x x + 6) = 4 – 2 x  f ( x Misalkan x + 6 = y maka x = y – 6. Akibatnya, f ( y y) = 4 – 2( y – 6) = 4 – 2 y + 12 = 16 – 2 y x) = 16 – 2 x. Jadi, f ( x

152


Problem Solving x) = 4 x – 1 dan ( f º g )( x x) = 2 x2 – x + 3. Tentukan fungsi g( x x). Diketahui fungsi f ( x

Penyelesaian: ( f f º g)( x x) =  f (g( x x)) =  4g( x x) – 1 =  4g( x x) =

 g( x x)

2 x2 – x + 3 2 x2 – x + 3 2 x2 – x + 3 2 x2 – x + 4 1 = (2 x2 – x + 4) 4

1 1 Jadi, g( x) = x2 – x + 1. 2 4

Soal Terbuka 1.

2.


Fungsi f , g, dan h terdefinisi pada bilangan real, dengan f ( x x) = x) = 5 x + 2. Tentukan rumus fungsi h( x x) jika 1 – 3 x dan g( x diketahui komposisi fungsi sebagai berikut. f º g º h)( x x) = 15 – 30 x a. ( f x) = –45 x – 17 b. (g º h º f )( )( x c. (h º g º f )( )( x x) = 15 x2 – 65 f º g º h)( x x) = 30 x + 13 d. ( f x) = Diketahui fu fungsi f : R A R dan g : R A R. Jika f ( x x) = x – 2, tentukan g( x x2 – 1). )( x x < 5 dan (g º f )( x) = x + 1 dan ( f º g)( x x) = 3 x2 + 4. Diketahui f ( x x). Tentukan rumus fungsi g( x

Uji Kompetensi 2 Diketahui fu fungsi f : A A B dan g : B A C yang ditentukan dengan aturan seperti pada diagram di samping. a. N y a t a k a n f un un g s i f da dan n g dalam himpunan pasangan berurutan. b. Ten entu tuk kan nila laii ( g º f )( )( a ), ( g º f )( )( b), dan (g º f )( )( c). 2. Diketahui fu fungsi f dan g yang ditentukan sebagai himpunan pasangan berurutan berikut. f = {(1, 3), (2, 2), (3, 1), (4, 4)} g = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)} 1.

Kerjakan di buku tugas A a

f

B

g

C

1

p

2

q

3

r

4

s

b c

Gambar 3.6


3.

4. 5.

6.

153

f º g)(2), dan ( f º g)(4). a. Tentukan (g º f )(1), )(1), (g º f )(3), )(3), ( f b. Nyatakan f º g dan g º f dalam himpunan pasangan berurutan. Jika f dan g fungsi-fungsi pada bilangan real, tentukan rumus f º g dan g º f berikut. x) = 2 x – 1; g( x) = x2 + x a. f ( x x) = x + x2; g( x x) = x + 1 b. f ( x x) = 2 x + 3; g( x) = x2 – x + 1 c. f ( x d. f ( x x) = x2 + 1; g( x x) = 3 x – 1 x) = –3 x; g( x x) = x3 – 3 x e. f ( x x) = x2; g( x x) = 2 x2 + 1 f. f ( x x) = 2 x2 + 3 x dan (g º f )( x) = 2 x2 + 23 x + 35. Jika fungsi f dan g pada Diketahui g( x )( x x). bilangan real, tentukan rumus fungsi f ( x Fun gsi f dan g didefinisikan pada bilangan real, dengan g ( x ) = x – 2 dan komposisi fungsi ( f º g )( x ) = 2 x 2 – 8 x – 11. x). a. Ten entu tuka kan n ru rumu muss fu fung ngsi si f ( x f º g)(3). b. Tentukan ni nilai ( f c. Tentukan ni nilai a jika diketahui ( f º g)(a) = 5. Fungsi f , g, dan h pada bilangan real ditentukan dengan aturan f ( x x) = x + 3, g( x x) = 2 x x) = x2. Tentukan berikut ini. – 1, dan h( x f º g º h)( x x) a. ( f x) b. (h º g º f )( )( x f º g º h)(3) c. ( f d. (h º g º f )(3) )(3)

7.

Didef Did efin inis isik ikan an fu fungsi f ( x x) = x – 1 dan g( x x) = x . Tentukan Tentukan domain dari f dan g agar kedua fungsi tersebut dapat dikomposisikan menjadi f º g dan g º f .

8.

x) = 2 x + 5 dan g( x x) = Diketahui f ( x

x < 1 x + 4

. Jika ( f º g)(a) = 5, tentukan nilai a.

C. Fu Fung ngsi si In Inve vers rs 1. Pe Peng ngert ertia ian n Inver Invers s Suat Suatu u Fung Fungsi si Misalkan f adalah suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B yang dinyatakan dalam bentuk pasangan berurutan {(a, b) | a D A, b D B}. Suatu relasi dari himpunan B ke himpunan A yang anggota-anggotanya adalah pasangan berurutan ( b, a) dengan b D B, a D A dinamakan invers (kebalikan) fungsi f . Invers dari f dinyatakan dengan f –1. Dengan kata lain, invers suatu fungsi f didefinisikan sebagai berikut. Jika fungsi f : A A B dinyatakan dengan pasangan berurutan f = {(a, b) | a D A, b D B} maka invers dari fungsi f adalah f –1 : B A A yang ditentukan dengan pasangan berurutan f –1 = {(b, a) | b D B, a D A}.

154


Contoh: A

Diketahui A = {1, 2, 3, 4} dan B = { p, q, r}. Fungsi f : A A B dinyatakan dengan diagram panah seperti Gambar 3.7. Tentukan invers fungsi f dan selidiki apakah invers dari f merupakan fungsi.

B

f

1

p

2

q

3

Penyelesaian: Invers fungsi f atau f –1 dapat digambarkan seperti tampak pada Gambar 3.8. Pada gambar tersebut terlihat bahwa f –1 bukan merupakan suatu fungsi sebab terdapat anggota himpunan B, yaitu p yang mempunyai dua kawan pada himpunan A.

r

4 Gambar 3.7 B

f –1

A

1

p q

2 3 4

r

Gambar 3.8

2. Syarat Syarat agar agar Invers Invers Sua Suatu tu Fun Fungsi gsi Mer Merupa upakan kan Fungsi (Fungsi Invers) Perhatikan gambar berikut. A

f

B

B

f –1

A

1

p

p

1

2

q

q

2

3

r

r

3

4

s

s

4

(a)

(b) Gambar 3.9

Misalkan himpunan A = {1, 2, 3, 4} dan B = { p, q, r, s}. Suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B dinyatakan dengan diagram panah seperti pada Gambar 3.9 (a). Invers fungsi f atau f –1 dari himpunan B ke himpunan A dinyatakan dengan diagram panah pada Gambar 3.9 (b). Perhatikan bahwa domain dari f –1 merupakan kodomain f . Berdasarkan pengertian fungsi, f –1 merupakan suatu fungsi apabila setiap anggota himpunan B harus terkawankan dengan tepat satu anggota himpunan A. Hal ini hanya terjadi apabila fungsi f : A A B merupakan fungsi yang berkorespondensi satu-satu. Jadi, syarat agar invers suatu fungsi merupakan fungsi (fungsi invers) dapat dirumuskan sebagai berikut.

Tes Mandiri Kerjakan di buku tugas Nilai fungsi invers f –1(2) dari f ( x x ) =

3 x + 4

,

2 x < 1

x &

1 2

adalah .... 6

a. 6 b. 3

d.

1 3

7

2 e.

7

c. 2

Invers suatu fungsi f atau f –1 merupakan sebuah fungsi jika fungsi f merupakan korespondensi satu-satu. Fungsi yang berkorespondensi satu-satu disebut fungsi bijektif.



155

3. Men Menent entuka ukan n Rumus Rumus (Atu (Aturan ran)) Invers Invers Fu Fungs ngsii A

B f

x= f –1( y y)

y = f ( x x)

f –1 Gambar 3.10

Misalkan f adalah fungsi bijektif dari himpunan A ke himpunan B. Jika x D A, y D B, dan y adalah peta dari x oleh fungsi f , maka fungsi f dapat dirumuskan f ( x x) = y. Jika f –1 adalah invers dari fungsi f , y) = x. maka x adalah peta dari y oleh fungsi f –1 dan ditulis f –1( y Dengan demikian, untuk menentukan rumus dari f –1, dapat dilakukan langkah-langkah sebagai berikut. x). a. Misalkan y = f ( x x sebagai fungsi y). b. Nyatakan x dalam y ( x y). c. Gantilah x dengan f –1( y y) dengan x untuk mendapatkan f –1( x x). d. Gantilah y pada f –1( y Agar kalian lebih memahami langkah-langkah menentukan invers fungsi di atas, perhatikan contoh-contoh berikut.

Contoh: 1.

Carilah Carila h rumu rumuss invers invers dari dari fung fungsisi-fun fungsi gsi ber beriku ikut. t. x) = 3 x + 2 a. f ( x b.

f ( x x) =

3 x + 2 4 x < 1

, untuk x

&

1 4

Penyelesaian:

a.

y = f ( x x)  y = 3 x + 2  x = y < 2 3 y < 2  f –1( y y) = 3 x < 2  f –1( x x) = 3 –1

x) = Jadi, f ( x

x < 2

3

b.

y = f ( x x)

 y = 3 x + 2 4 x < 1  4 xy – y = 3 x + 2  4 xy – 3 x = y + 2  (4 y – 3) x x = y + 2  x = y + 2 4 y < 3 .

 f –1( y) =

y + 2 4 y < 3

x) = Jadi, f –1( x

2.

 f –1( x x) =

x + 2 4 x < 3

.

x) = x + 3. Sebuah fungsi f pada bilangan real ditentukan dengan rumus f ( x –1 –1 a. Tentukan f ( x x). c. Tentukan ( f f º f )( )( x x). –1 x). b. Tentukan ( f º f )( x Apa yang dapat disimpulkan dari jawaban b dan c?

Penyelesaian: x) = x + 3 a. f ( x Misalkan y = f ( x x)  y = x + 3  x = y – 3  f –1( y y) = y – 3 –1 x) = x – 3. Jadi, f ( x

x + 2

4 x < 3

156


f º f –1)( x x) = f ( f f –1( x)) ( f x – 3) = f ( x = ( x x – 3) + 3 = x –1 f º f )( x) = f –1( f f ( x x)) c. ( f )( x –1 x + 3) = f ( x x + 3) – 3 = ( x = x Dari jawaban b dan c, diperoleh kesimpulan sebagai berikut.

b.

Jika f –1 adalah invers dari fungsi f , berlaku f º f –1)( x x) = ( f f –1 º f )( x) = x = I ( x x). ( f )( x Fungsi I ( x) = x disebut fungsi identitas

Diskusi

Berpikir Kritis

Invers suatu fungsi f merupakan sebuah fungsi jika fungsi f merupakan korespondensi satu-satu. Jelaskan mengapa harus demikian?

4. Men Mengga ggamba mbarr Gra Grafik fik Fu Fungs ngsii Inv Invers ers Sebelum lebih lanjut mempelajari bagaimana cara menggamb menggambar ar grafik fungsi invers, coba kalian pelajari pelajari cara menentukan domain domai n dan kodomain fungsi invers terlebih dahulu. Mengapa domain dan kodomain harus kalian kuasai terlebih dahulu? Menggambar suatu fungsi tentu erat hubungannya dengan domain dan kodomainnya. Menentukan Domain dan Kodomain Fungsi Invers

Kalian telah mengetahui bahwa invers fungsi f merupakan sebuah fungsi apabila fungsi f bijektif. Fungsi bijektif adalah fungsi yang sekaligus merupakan fungsi surjektif dan fungsi injektif. Fungsi surjektif merupakan suatu fungsi yang memiliki daerah hasil dan kodomain sama. Adapun fungsi injektif merupakan suatu fungsi dengan setiap anggota domain yang berbeda mempunyai peta yang berbeda. Dengan memerhatikan syarat tersebut, domain dan kodomain suatu fungsi agar mempunyai fungsi invers dapat ditentukan.


157

Contoh: 1.

x) = Diketahui fu fungsi f ditentukan dengan rumus f ( x

2

x + 1

.

a.

x). Carilah ru rumus f –1( x

b.

Tent entuk ukan an do domai main n dan dan kod kodom omain ain fun fungs gsii f agar f ( x) mempunyai fungsi invers.

Penyelesaian:

a.

x)  y = Misalkan y = f ( x

2

x + 1  xy + y = 2  xy = 2 – y

 x = 2 < y y

2
y

Jadi, invers fungsi f ( x x) = b.

1)

2 x + 1

adalah f –1( x x) =

2
x

.

Deng De ngan an m mem emer erha hati tika kan n defi defini nisi si seb sebua uah h fung fungsi si mak makaa doma domain in dar darii fung fungsi si 2 f ( x) = adalah semua bilangan real yang membuat penyebutnya tidak x + 1 2 nol atau x + 1 & 0. Jadi, domain f ( x) = adalah x & –1 untuk x D R. x + 1 R = himpunan bilangan real.) ( R

x) = 2) Da Dari ri ja jawa waba ban n a, di dipe pero role leh h f –1( x

2
sehingga domain f –1( x) adalah

x semua bilangan real yang membuat penyebutnya tidak bernilai nol atau D f –1 = { x | x & 0, x D R}. Selanjutnya, karena domain dari f –1 adalah kodomain dari f , maka agar mempunyai fungsi invers, kodomain fungsi f adalah semua x bilangan real dengan x & 0. 3) Jadi, do domain f adalah D f = { x | x & –1, x D R} dan kodomain f adalah K f = { x | x & 0, x D R}.

2.

x) = x2 + 1. Diketahui f ( x a. Ten entu tuka kan n do doma main in da dari ri fu fung ngsi si f agar fungsi f ( x) mempunyai fungsi invers.

b.

x). Tentukan rumus f –1( x

Penyelesaian:

a.

x) = x2 + 1 adalah D f = { x | x D R}. Domai ain n al alam amii fu fun ngsi f ( x Fungsi f bukan fungsi bijektif karena terdapat nilai x yang berbeda mempunyai peta yang sama seperti terlihat pada Gambar 3.11. Misalkan untuk x = 1 dan x = –1, nilai f (1) (1) = 2 dan f (–1) (–1) = 2.

158


Y

x) Karena f ( x) = x2 + 1 bukan fungsi bijektif maka f ( x tidak mempunyai fungsi invers. Fungsi f ( x) dapat diusahakan mempunyai fungsi invers dengan cara membatasi domain alaminya. Misalkan domain alaminya dipecah menjadi dua bagian seperti pada Gambar 3.12 sehingga f ( x ) masing-masing adalah fungsi bijektif.

5 4 3 2 1 -3

-2 -1 O -1

1

2

X

3

Gambar 3.11 Y

Y

6

6

5

Fungsi f ( x x) = x2 + 1

4

D f = { x | x < 0, x D R}

3

2 1

1 -2 -1 O -1

D f = { x | x > 0, x D R}

3

2

-3

Fungsi f ( x x) = x2 + 1

5 4

1

2

X

3

-3

-2 -1 O -1

(a)

1

2

X

3

(b) Gambar 3.12

b.

x). Misalkan y = f ( x y = x2 + 1  x2 = y – 1

Y

 x = y < 1 atau x = – y < 1

1

 f –1( y y) = y < 1 atau f –1( y y) = – y < 1 1) Untuk D f = { x | x ) 0, x D R}, dipilih

O

tanda negatif. y) = – y < 1 . Oleh karena itu, f –1( y

Jadi, rumus fungsi invers dari f adalah f –1( x x) = – x < 1 . 2)

Untuk D f = { x | x * 0, x tanda positif. y) = Oleh karena itu, f –1( y

D

1

2

3

4

-1

5

X

f –1( x x) =

x < 1

-2 (a) Y 3

R}, dipilih 2

y < 1 .

x) adalah Jadi, rumus fungsi invers dari f ( x f –1( x x) = x < 1 . Adapun grafik fungsi tersebut tampak pada Gambar 3.13.

f –1( x x) =

1

O

1

2

3

(b) Gambar 3.13

4

5

x < 1 X


159

Setelah kalian benar-benar memahami bagaimana menentukan domain dan kodomain fungsi invers, sekarang akan kita pelajari bagaimana mengambarkan grafik fungsi invers dari grafik fungsi asalnya. Misalkan diberikan fungsi f : A A B yang merupakan fungsi bijektif. Invers fungsi f , ditulis f –1 : B A A merupakan suatu fungsi. Dari pengertian invers suatu fungsi yang telah kalian pahami jika fungsi f : A A B dinyatakan dengan pasangan berurutan f = {(a, b) | a D A, b D B} maka invers dari fungsi f adalah f –1 : B A A yang ditentukan dengan persamaan pasangan berurutan f –1 = {(b, a) | b D B, a D A}. Dari pengertian tersebut, tentunya kalian dapat memahami bagaimana menggambarkan grafik fungsi invers dari grafik fungsi asalnya. Misalkan kalian menunjuk titik ( a, b) pada grafik fungsi f , kalian akan dapat menggambar titik ( b, a) pada fungsi f –1.

Contoh: 1.

2.

Diberikan fun fungsi f : A A B sebagai himpunan pasangan berurutan, dengan f = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)}. Gambarlah grafik fungsi f –1 dari grafik fungsi f . Penyelesaian: Terlebih dahulu digambar grafik fungsi f . Selanjutnya, dari setiap titik dalam grafik fungsi f , dapat digambar titik-titik dalam fungsi f –1, yaitu f –1 = {(2, 1), (3, 2), (4, 3), (5, 4)}. x) = 2 x + 1, untuk 0 ) x ) 4. GambarDiberikan fu fungsi f ( x lah grafik fungsi f –1 dari grafik fungsi f .

Y

5 4 3 2 1 O

1

2

3

4

5

X

Gambar 3.14

Penyelesaian: Y Terlebih dahulu digambar Y grafik fungsi f . Telah kalian 1 9 f ( x x) 9 y = x + 1 ketahui bahwa grafik fungsi x + 2 x = 2 f ( x) = 2 x + 1 berupa garis ) x = ( ) f x lurus. Misalkan diambil x = 0 f –1( x x) ( 4 f 4 maka f (0) (0) = 1 dan x = 4 maka ) 1 ) 1 x - 1 1 ( x - 1 1 ( f (4) ( 4) = 9. Grafik fungsi f = ) 2 ) 1 x 1 ) = 2 1 x ) 1 – 1 ( f - ( f diperoleh dengan menghu4 9 X O 1 4 9 X bungkan titik (0, 1) dan (4, 9). O 1 (b) (a) Selanjutnya, dari titik-titik Gambar 3.15 (0, 1) dan (4, 9) dalam grafik fungsi f dapat digambar titik-titik titik- titik (1, 0) dan (9, 4) Dengan menghubungkan titik (1, 0) x) = dan (9, 4) diperoleh grafik fungsi g( x

1 2

x –1). Ternyata fungsi g = f –1. Jika ( x

digambarkan, tampak seperti Gambar 3.15 (a).

160


Coba kalian perhatikan kembali contoh tersebut. Apa yang dapat kalian katakan tentang grafik fungsi f dan grafik fungsi f –1? Tentu kalian dapat mengatakan sebagai berikut. Grafik fungsi f dan grafik fungsi f –1 simetris terhadap garis y = x. Hal ini dapat kalian perhatikan pada Gambar 3.15 (b). Perhatikan contoh berikut.

Contoh: x) = 2 x, untuk –1 ) x ) 3. Gambarlah Diberikan fungsi f ( x grafik fungsi f –1 dari grafik fungsi f .

Penyelesaian: Terlebih dahulu digambar gr afik fungsi f ( x) = 2 x, untuk –1 ) x ) 3. Selanjutnya, dengan ketentuan bahwa grafik fungsi f dan grafik fungsi f –1 simetris terhadap garis y = x dapat digambar grafik fungsi f –1 seperti di samping. Misalkan y = f ( x x) maka x y=2  log y = log 2 x  log y = x log 2

 x =

Y

8

f ( x x) y = x

4 3 2

f –1( x x)

1 O

1 2 3 4 Gambar 3.16

log y log 2

 x = 2log y  f –1( y y) = 2log y Jadi, f –1( x) = 2log x. f –1) –1 = f , maka fungsi invers dari f –1( x x) = 2log x adalah f ( x x) = 2 x. Karena ( f

Soal Terbuka 1.

2.


Diketahui fu fungsi f dan g pada himpunan bilangan real dengan f ( x) = 3 x + 1 dan g( x) = 5 – 6 x. a. Tentukan f –1, g –1, g –1 º f –1, dan f –1 º g –1. f –1 º g –1)(2). b. Tentukan (g –1 º f –1)(5) dan ( f R = himpunan bilangan Gam Ga mba barl rlah ah gr graf afik ik fu fung ngsi si f : R A R ( R x) = x2 + 2. real) yang ditentukan oleh f ( x a. Apakah fu fungsi f tersebut mempunyai fungsi invers? Apa sebabnya? b. Ten entu tuka kan n do dom mai ain n un untu tuk k f sehingga ada fungsi invers f –1. c. Ten enttuk ukaan in inver erss un untu tuk k f –1 dan gambarlah grafiknya.

8 X


Uji Kompetensi 3 1.

2.

3.

4.

5.


Ten entu tuka kan n inv inver erss fun fungs gsii f yang terdefinisi pada bilangan real berikut. a.

f ( x x) = 3 x – 2

d.

b.

f ( x x) = x – 4

e.

c.

f ( x x) =

a.

f ( x x) =

b.

f ( x x) =

f ( x x) =

4 x < 2

x + 1 f ( x x) = 2 x – 3

5

x) = 5 x < 3 f. f ( x 3 < 2x Diketahui P = { x | x > 0, x D R} dan f , g, dan h adalah fungsi-fungsi pada P yang x) = x + 1, g( x x) = x, dan h( x x) = 2 x2. ditentukan dengan aturan f ( x a. Ten entu tuka kan n rumu rumuss untu untuk k fung fungsi si inv inver erss f –1, g –1, dan h –1. b. Tentukan nilai f –1(2), g –1(5), dan h –1(4). x) = x dan g( x x) = 2 x + 3. Fungsi f dan g pada bilangan real ditentukan dengan aturan f ( x 3. a. Tul ulis isla lah h rumu rumuss unt untuk uk fun fungs gsii inve invers rs f dan g. –1 –1 b. Carilah rumus g º f , f º g , dan (g º f ) –1. c. Ny Nyat atak akan an hu hubu bung ngan an an anta tara ra f –1 º g –1 dan (g º f ) –1. x) = x3 – 1 dan g( x x) = 4 x – 3. Diketahui fungsi f da dan n g pada bilangan real positif, dengan f ( x Tentukan berikut ini. f –1 º g –1)( x x) a. f –1(7) c. ( f –1 –1 –1 f º g )(3) b. g (9) d. ( f Ten entu tuka kan n inv inver erss fun fungs gsii f berikut, kemudian tentukan domain dan kodomain f agar f –1 merupakan fungsi invers.

2 x + 5 3 x + 2

x < 4

f ( x x) = –

d.

f ( x x) = 3

e.

f ( x x) =

x –2 2

x < 4

2 x

x) = x < 1 f. f ( x x < 2 Tentu entukan kan domai domain n dan kodo kodomain mainnya nya ag agar ar fun fungsi gsi yang yang dinyat dinyatakan akan denga dengan n grafik grafik berikut ini mempunyai fungsi invers.

c.

6.

161

Y

Y

Y

4

2 X

X O

O

2 3

3

f ( x x)

(b) Gambar 3.17

X

3

O 9 4

(a)

f ( x x)

(c)

162

7.

8.


Gambar Gamb arla lah h gra grafi fik k fun fungs gsii f –1 dari grafik fungsi f jika diberikan fungsi-fungsi berikut. x) = 4, untuk –2 ) x ) 6 x) = 2 x2 – 1, untuk 0 ) x ) 3 a. f ( x d. f ( x x) = 3 x – 1, untuk –1 ) x ) 8 x) = 2 – x2, untuk 0 ) x ) 4 b. f ( x e. f ( x x) = 1 – x, untuk –6 ) x ) 2 c. f ( x f. f ( x) = 3 x, untuk 0 ) x ) 3 x) = log x dan gambar grafik fungsi inversnya. Ten entu tuka kan n fun fungs gsii inv inver erss da dari ri fu fung ngsi si f ( x

D. Fungsi Fungsi Invers Invers dari dari Fungsi Fungsi Komposis Komposisii (Pengayaan) Fungsi invers dari fungsi komposisi dapat didefinisikan sebagai berikut.

Tes Mandiri Kerjakan di buku tugas

Jika h merupakan fungsi komposisi dari fungsi f dan g (ditulis h = g º f ), ), invers dari fungsi h merupakan fungsi invers dari fungsi komposisi f dan g yang ditulis h –1 = (g º f ) –1. Misalnya f dan g adalah fungsi-fungsi pada bilangan real dan g º f adalah komposisi fungsi f dan g. Salah satu cara untuk menentukan nilai (g º f ) –1 adalah dengan langkah-langkah berikut. Langkah 1 : Men Menen entuk tukan an terl terlebi ebih h dahu dahulu lu fun fungsi gsi ko komp mposi osisi si g º f . Langkah 2 : Dar Darii hasil hasil fungs fungsii kompo komposis sisii itu, itu, kemudi kemudian an diten ditentuk tukan an fungsi inversnya.

N Jika f f (( x x )) =

x + 1

2

dan g ( x = x – 1 maka x ) = x (g º f )( x ) f )( x ) adalah .... a. x d. 2 x –1 x – b. x –1 e. x 2 + 1 x – c. x +1 x +

Soal UMPTN, Kemampuan Dasar, 1997

Contoh: Diketahui fungsi-fungsi f dan g pada bilangan real yang didefinisikan f ( x x) = 3 x + 2 dan g( x x) = 2 x. Tentukan f º g)( x x); a. ( f –1 f º g) ( x x). b. ( f Penyelesaian: a. ( f f º g)( x x) = f (g( x x)) = f (2 (2 x) = 3(2 x) + 2 = 6 x + 2. f º g)( x x)  y = 6 x + 2 b. Misalkan y = ( f  6 x = y – 2  x = y < 2 6

 ( f f º g) –1( y y) =

y < 2

6

x < 2  ( f f º g) –1( x x) = 6 x) adalah ( f º g) –1( x x) = Jadi, fungsi invers dari ( f º g)( x

x < 2

6

.


163

1. Memahami (f º g ) –1 = g –1 º f –1 (g o f ) –1 g o f B

A

C g

f x

f ( x x)

g( f f ( x x)) g –1

f –1 f –1 o g –1

Perhatikan gambar di samping. Jika f dan g adalah fungsi-fungsi bijektif dengan f : A A B dan g : B A C maka g º f adalah fungsi komposisi yang memetakan A ke C . Invers dari fungsi komposisi g º f atau (g º f ) –1 pada gambar tersebut dapat dinyatakan sebagai komposisi antara g –1 dan f –1, yaitu f –1 º g –1. Dengan demikian, diperoleh

Gambar 3.18

(g º f ) –1 ( x x) = ( f f –1 º g –1)( x x)

x) = (g –1 º f –1)( x x). Dengan cara yang sama, dapat kita peroleh ( f º g) –1( x Oleh karena itu, secara umum dapat kita simpulkan sebagai berikut.

Jika f –1 dan g –1 adalah invers dari fungsi-fungsi f dan g, berlaku x) = ( f f –1 º g –1)( x x); (g º f ) –1( x f º g) –1( x x) = (g –1 º f –1)( x x). ( f

Contoh: R = himpunan bilangan real) didefinisikan Diketahui fungsi f : R A R dan g : R A R ( R x) = 4 x – 6 dan g( x x) = x + 3. Tentukan fungsi berikut ini. oleh f ( x x) a. f –1( x –1 b. g ( x) c. ( f f º g) –1( x x)

Penyelesaian: x). Misalkan y = f ( x a. y = 4 x – 6  4 x = y – 6

b.

 x = y + 6

 x = y – 3

y + 6  f –1( y y) =

 g –1( y y) = y – 3

4

4

x) = Jadi, f –1( x

c.

y = g( x x)  y = x + 3

Cara 1: f º g)( x x) = ( f = = =

x + 6

4

.

f (g( x)) f ( x x + 3) 4( x x + 3) – 6 4 x + 6

x) = x – 3. Jadi, g –1( x

164


Misalkan y = ( f f º g)( x x)  y = 4 x + 6  4 x = y – 6  x = y < 6 4 y < 6  ( f f º g) –1( y y) = 4 x 6  ( f f º g) –1( x x) = 4 <

Cara 2: f º g) –1( x x) = (g –1 º f –1)( x x) ( f = g –1( f f –1( x x))

£ x

= g –1 ¤ =

x+6

4

+

4

6¥

¦

–3 =

x<6

4

2. Pen Penggu ggunaa naan n Sifa Sifatt Fun Fungsi gsi Kom Kompos posisi isi Di antara penerapan invers fungsi komposisi adalah menentukan rumus sebuah fungsi apabila diketahui sebuah fungsi lainnya dan komposisi kedua fungsi itu. Untuk itu, kita ingat kembali sifat komposisi sebuah fungsi dengan fungsi inversnya, antara lain ( f f º f –1)( x x) = ( f f –1 º f )( )( x x) = I ( x x) = x. Misalkan f dan g adalah fungsi pada bilangan real yang dapat dikomposisikan dan g –1 adalah invers dari fungsi g. Berdasarkan sifat di atas, dapat diperoleh f ( x x) = I ( f f ( x x)) = (g –1 º g)( f f ( x x)) –1 = ((g º g) º f )( )( x x) –1 x) = (g º g º f )( )( x Karena pada komposisi fungsi berlaku sifat asosiatif maka f ( x x) = (g –1 º (g º f ))( x). ))( x Di samping itu, f ( x x) = I ( f f ( x x)) = f (( ((g º g –1)( x x)) –1 f º (g º g ))( x x) = ( f –1 f º g º g )( x x) = ( f Karena pada komposisi fungsi berlaku sifat asosiatif maka f ( x x) = (( f f º g) º g –1)( x x). Jadi, berdasarkan uraian di atas, dapat kita simpulkan sebagai berikut. x) maka Apabi Apa bila la dik ikeeta tah hui g( x) dan (g º f )( )( x –1 f ( x x) = (g º (g º f ))( x). ))( x x) maka 2. Ap Apaabi bila la dik ikeeta tah hui g( x) dan ( f º g)( x f ( x x) = (( f f º g) º g –1)( x x).

1.

Tes Mandiri Kerjakan di buku tugas Jika (f (f º g )( )( x x ) = 4 x 2 + 8 x – 3 dan g ( x x ) = 2 x + 4 –1 maka f ( x x ) = .... a. x +9 x + b. 2 +

x

c. x 2 – 4 x –3 x – d. 2 + e. 2 +

x + 1 x +

7

Soal UMPTN, Kemampuan Dasar, 2001

Tes Mandiri Kerjakan di buku tugas Jika f f (( x ) x ) =

1

dan

x

–1 g ( x x ) = 2 x x – maka (f (f º g ) –1 ( x x ) = .... a.

2 x < 1

d.

x +

x

b. c.

x

2 x < 1 x + 1

2 x

e.

1

2 x < 1 2 x

2 x Soal UMPTN, Kemampuan Dasar 1998


165

Contoh: Diketahui fungsi f dan g terdefinisi pada bilangan real dengan g( x) = x + 5. Tentukan f ( x) jika diketahui x) = 3 x2 + 7 x; f º g)( x x) = 3 x – 5. a. (g º f )( )( x b. ( f 5. Penyelesaian: Agar rumus di atas dapat digunakan, kita perlu menentukan invers fungsi g, yaitu g –1. x) = y. Misalkan g( x y = x + 5  x = y – 5  g –1( y y) = y – 5 –1 x) = x – 5. Jadi, g ( x x) = ( f f º g) º g –1)( x x) b. f ( x x) = (g –1 º (g º f ))( x) a. f ( x ))( x f º g)(g –1( x x)) = ( f = g –1 ((g º f )( )( x x) f º g)( x x – 5) = ( f = g –1(3 x2 + 7 x) = 3( x x – 5) – 5 = 3 x2 + 7 x + 5 = 3 x – 20

Pada pembahasan fungsi komposisi, komposisi, kita telah belajar cara menentukan sebuah fungsi jika fungsi komposisi dan fungsi yang lain diketahui. Coba kerjakan kembali soal-soal di atas dengan cara yang telah kita pelajari sebelumnya. Bagaimana kesimpulanmu, cara mana yang lebih praktis digunakan?

Uji Kompetensi 4


1.

x) = 2 x + 5 dan Fungsi f dan g terdefinisi pada R (himpunan bilangan real) dengan f ( x g( x x) = x – 2. a. Tentukan f –1( x x) dan g –1( x x). –1 x) dan (g º f ) –1( x x). b. Tentukan ( f º g) ( x –1 –1 –1 x) dan (g º f –1)( x x). c. Tentukan ( f º g )( x d. Ke Kesi simp mpul ulan an apa apa yan yang g kali kalian an per perol oleh eh??

2.

a.

J i k a f u n g s i f pada R didefinisikan oleh f ( x ) = –1 –1

b.

( f ) ( x )? Apa kesimpulanmu? kesimpulanmu? Tentukan fu fungsi f pada R jika diketahui 1) f –1( x) = 2 x – 1; x) = 2 – 10 x; 2) f –1( x 3)

f –1( x x) = 3 –

4)

f –1( x x) =

2 x ; 3

x < 2 x + 1

, untuk x

&

–1.

3 x < 2 , 3

tentukan f –1 ( x ) dan

166


ax + b

d

x) = Jika f ( x

4.

Gunakan Gunaka n rumus rumus pada jawab jawaban an soal soal nomor nomor 3 untuk untuk menen menentuka tukan n invers invers fungsi fungsi-fun -fungsi gsi berikut.

5.

a.

f ( x x) =

b.

f ( x x) =

c.

f ( x x) =

e.

g( x x) =

cx + d

, dengan x

x). < , tentukan rumus f –1( x

3.

&

c

x < 3

2 x + 1 2 x < 1 x < 1 x + 2

d.

f ( x x) =

e.

f ( x x) =

f.

f ( x x) =

2 < 3x 3 x

x x + 3

3 x

x < 3 4 x < 5 Tentukan fu fungsi f yang didefinisikan pada himpunan bilangan real jika diketahui x) = 3 x dan (g º f )( x) = 3 – 4 x; a. g( x )( x x) = 2 x + 1 dan ( f º g)( x x) = 2 x + 5; b. g( x x) = 5 – x dan ( f º g)( x x) = x2 – 9 x + 12; c. g( x x) = 2 x + 5 dan ( f º g)( x x) = 8 x2 + 40 x + 54; d. g( x

2 x

x) = dan ( f º g)( x

2

x

2

+

4

.


Soal Terbuka

Tentukan rumus fungsi f yang didefinisikan pada himpunan bilangan real sedemikian rupa sehingga x – 2) = x – x2; x + 1) = x2 + 4 x + 3; a. f ( x e. f ( x x + 4) = x2 –3 x – 4; b. f (2 (2 – 2 x) = 3 x – 5 x2; f. f ( x c. d.

2 x + 3 £ x + 1¥ = ; x < 2 2 ¦ £ x < 1¥ 3 < x f ¤ = ; x + 1¦ x f ¤

g.

f ( x x – 2) =

h.

f ( x x + 3) =

x + 3 x < 8

;

x + 7 x

2

+

16

.

Refleksi Masih adakah materi yang belum kalian kuasai? Jika ada, diskusikan dengan teman-teman kalian. Menurut kalian, apa-

kah manfaat dari belajar fungsi komposisi dan fungsi invers jika dikaitkan dengan kehidupan sehari-hari?


167

Rangkuman x) dan g( x x) adalah sebagai berikut. Operas Oper asii al alja jaba barr pa pada da fu fung ngsi si f ( x x) = f ( x x) + g( x x) a. Penjumlahan: ( f + g)( x b. Pengurangan: ( f f – g)( x x) = f ( x x) – g( x x) f × g)( x x) = f ( x x) × g( x x) c. Perkalian: ( f

1.

d.

£ f ¥ f ( x ) x) = x) , untuk g( x ´ ( x ¤ g¦ g( x )

Pembagian: ²

&

0.

Komposisi fu fungsi g º f adalah suatu fungsi yang mengerjakan f terlebih dahulu, kemudian dilanjutkan g, dengan syarat f surjektif. 3. Si Sifa fatt-si sifa fatt kom kompo posi sisi si fu fung ngsi si:: a. pa pada da um umum umny nyaa ti tida dak k ko komu muta tati tif; f; b. asosiatif; x) = x. c. te terd rdap apat at fu fung ngsi si id iden enti tita tass I ( x f : A A B yang dinyatakan oleh 4. Jik ikaa fu fungsi bij ijek ekttif f f = {(a, b) | a D A dan b D B} maka fungsi f –1 : B A A yang dinyatakan oleh f –1 = {(b, a) | b D B dan a D A} disebut invers fungsi f . 5. Pa Pada da fu fung ngsi si ko komp mpos osis isii g dan f , berlaku –1 –1 –1 f º g) = g º f ; a. ( f b. (g º f ) –1 = f –1 º g –1. 2.

Latihan Ulangan Harian III

I. Pi Pili lihl hlah ah ja jawa waba ban n yan yang g tep tepat at.. 1.

2

Jika f ( x) = x + 4 dan g( y) =

2 y

maka

2.

2

oleh f ( x) = x + 5 x dan g( x) =

(g º f )( )(t ) = .... a. b. c. d. e.

t

2 + 2 t t

d.

2 + t t

e.

2 3.

t + 2

2 2

+

4

2

x

maka

( f º g)(1) adalah .... a. 14 b. 13 c. 12

4 + 4 t

t

Jika f : R A R dan g : R A R ditentukan

1 12 1 13

x) = x + 1 dan ( f º g)( x) = Diketahui f ( x 2 3 x + 4. Rumus g( x x) yang benar adalah .... x) = 3 x + 4 d. g( x x) = 3( x x2 + 1) a. g( x x) = 3 x + 3 e. g( x x) = 3( x2 + 3) b. g( x x) = 3 x2 + 4 c. g( x

168


4.

Diketahu Diketa huii fung fungsi si f dan dan g dite ditentu ntukan kan ole oleh h f ( x x) = 3 x2 + x – 7 dan g( x x) = 2 x + 1. Rumus x) = .... fungsi ( f º g)( x 2 a. 3 x + 3 x – 6 b. 6 x2 + 2 x – 13 c. 12 x2 + 6 x – 5 d. 12 x2 + 14 x – 3 e. 12 x2 + 2 x – 3

5.

F u n g s i g : R A R ditentukan oleh g( x) = x2 – 3 x + 1 dan fungsi f : R A R x) = 2 x2 – 6 x – 1. Fungsi sehingga ( f º g)( x f ( x x) = .... a. 2 x + 3 d. 2 x – 2 b. 2 x – 1 e. 2 x – 3 c. 2 x + 1

6. Diketahui fungsi f : R A R dan g : R A R 2

x) = 2 x – 2 dan dirumuskan dengan f ( x 1 g( x x) = x + 2. Rumus ( f º g)( x x) = .... 2

a. b. c. d. e. 7.

x2 + 1

1 2 x + 6 2 1 2 x + 2 x + 6 2 1 2 x + 4 x + 6 2 1 2 x + 8 x + 6 2

Jika f : R A R dan g : R A R ditentukan 1 x) = 2 x2 + 5 x dan g( x x) = oleh f ( x maka x f º g)(2) = .... ( f a. 4

b.

3

c.

2

d. e.

1 2

x) = Diketa Dike tahu huii fu fung ngsi si ko komp mpos osis isii ( f º g)( x x2 – 6 x + 3 dan g( x x) = x – 1. Rumus fungsi f ( x x) = .... a. x2 – 4 x – 2 d. x2 – 4 x + 2 b. x2 – 6 x – 2 e. x2 – 6 x + 2 c. x2 – 3 x – 2 x) = 4 x2 + 4 x dan g( x) = x2 – 1 9. Jika (g º f )( )( x maka f ( x – 2) adalah .... a. 2 x + 1 b. 2 x – 1 c. 2 x – 3 d. 2 x + 3 e. 2 x – 5 10.. Di 10 Dike keta tahu huii fungs fungsii f : R A R, dengan

8.

f ( x) =

x + 1

&

2 x < 4 adalah f –1( x) = .... a. b.

4 x + 1 , x

&

2 x < 1 , x

&

2 x < 1

c. d. e.

x < 1 , x 2 x + 4

4 x + 1 x < 1

2 x + 4 x < 1

, x ,x

2. Invers fungsi f

1 2

4 x + 1 &

&

&

<1 4

–2 1 1 1 3 5 x ) +

11. In Inve vers rs dar darii f ( x) = (1 < f –1( x) = .... 5

a.

( x < 2) 3 5

b.

1 – ( x < 2) 3 5

c. d.

1 + ( x < 2) 3 (1 < ( x <

1 5 3 2) )

(1 + ( x <

1 5 3 2) )

1 3

, x

e.

2 adalah


12. Fungsi f : R A R dan g : R A R di1

x) x < 1 dan g( x 2 = 2 x + 4. Nilai dari (g º f ) –1(10) = .... a. 4 b. 8 c. 9 d. 12 e. 16

rumuskan dengan f ( x x) =

x) = 3 – 5 x 13.. Jika 13 Jika di dike keta tahu huii f ( x) = 2 x dan g( x –1 maka (g º f ) ( x x) = ....

a. b. c. d. e.

3 11 6 11 1 10 1 10

6 11

(6 + x )

(6 < x )

d.

4

x +1

e.

3

x +1

a.

(6 + x )

b.

(6 < x )

c.

15.. Inve 15 Invers rs fu fung ngsi si f ( x) = x2 – 20 x + 100 adalah .... x) = ( x x + 10)2 a. f –1( x b. f –1( x x) = x + 10 c.

f –1( x x) =

d. e.

f –1( x x) = 2 x + 10 f –1( x x) = ( x x – 10)2

16. Jika f ( x) = 0 –1 –2

x) = x dan g( x x) = x2 + 1 maka 18. Jika f ( x x) = .... (g º f º f )( )( x a. x + 1 b. x2 + 1 c. x+1

3 x + 4 2 x < 1

, x

&

1 2

ada-

lah ....

14. Ji ka f ( x ) = 5 x dan g ( x ) = x2 + 3, untuk x & 0 maka f –1 ( g ( x2) – 3) = .... a. 5log ( x4 + 3) b. 5log ( x4 + 3) c. 5log ( x4 – 3) d. 4 5log x e. 2 5log x

a. b. c.

x) = – x + 3 maka 17.. Jika 17 Jika di dike keta tahu huii f ( x f ( x x2) + ( f f ( x x))2 – 2 f ( x x) = .... 2 a. 2 x – 6 x + 4 d. –4 x + 6 b. 6 x + 4 e. 2 x2 – 4 x – 6 c. 2 x2 + 4 x + 6

x) = 19.. In 19 Inve vers rs fu fung ngsi si f ( x

(3 + x )

169

x

+

4 x < 1 2 x + 1

x+4

2 x < 3

, x &

3 x < 4 , x & 2 x + 1

d. e.

2 x < 3

x + 4

x+4

2 x + 3

3 2

<

, x & < , x & <

1 2 1 4 3 2

x) = .... 20. Jika f : x A 52 x maka f –1( x a. 5log 2 x d. 2 xlog 5 x b. 5log x e. 2log 5 x c. 5log x x) = x 2 < 1 dan g( x x) = 21. Jika f ( x

10

9 < x 2

1 2

a.

–3 ) x ) 4

b.

1 ) x < 4 atau –3 ) x < 0

c.

–1 ) x ) 1

d.

–3 ) x ) –1 atau 3 ) x < 4

e.

–3 ) x ) 0 atau 3 ) x ) 4

2

x < 4 x

x) adalah .... maka domain ( f + g)( x

maka f –1(1) = .... d. e.

2 x < 1 , x & <4 3 3 x + 4

170


22. Perhat Perhatika ikan n pasa pasanga ngan n fung fungsi si f da dan n g berikut. (1) f = {(1, 5), (2, 6), (3, 6), (4, 7)} dan g = {(5, 9), (6, 8), (7, 9)} (2) f = {(1, 5), (2, 5), (3, 6), (4, 6)} dan g = {(7, 9), (8, 10)} (3) f = {(1, 5), (2, 6), (3, 6), (4, 6)} dan g = {(5, 9), (6, 10), (7, 11)} (4) f = {(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5)} dan

f º f )( x) = f ( f f ( x x)) = x + 2 (1) ( f )( x f º f –1)( x x) = f ( f f –1( x x)) = x (2) ( f –1 –1 x) = g (g( x x)) = x (3) (g º g)( x 1 (4) ( f f g)( x x) = f (g( x x)) = x + 1 o

Dari pernyataan pernyataan di atas yang betul betul adalah .... a. (1), (2), dan (3) b. (1) dan (3) c. (2) dan (4) d. (4) e. semuanya betul

g = {(6, 9), (8, 10)}

Fungsi g º f terdefinisi pada pasangan .... a. (1), (2), dan (3) b. (1) dan (3) c. (2) dan (4) d. (4) e. semua benar

25. Jika f ( x) =

, dengan x & 3 maka 3 < x x) adalah f –1( x x) = .... invers dari f ( x

x) = x2, (g º f )( x) = x2 + 6 x + 9, 23.. Di 23 Dik keta tah hui g( x )( x f (–5) x) = (–5) = 2, dan h( x

4 x < 8 .

a.

Nilai (h –1 º g –1 º f –1)(–11) adalah .... a. 2 b. 3 c. 4 d. 6 e. 8 –1

b. c. d.

–1

24. Jika f dan g berturut-turut invers fungsi f dan fungsi g, dengan f ( x) = x + 1 dan g( x x) =

1

x

x + 2

e.

, x & 0 maka

3 < x x + 2 x+2

3 < x

, x = –2 , x & 3

3 x < 2 x < 1 x<2 x < 3

x , x & 1

, x & 3

3 x < 2 x + 1

, x & –1

II. Jawab Jawablah lah pertan pertanyaan-p yaan-pertan ertanyaan yaan beriku berikutt dengan dengan benar benar.. 1.

Diketa Dike tahu huii fungs fungsii-fu fung ngsi si ber berik ikut ut f ( x) = 2 3 x + 1, g ( x) = 4 x , dan h ( x) = 5 – 2 x. Tentukan ( f º g )( x ), ( h º f )( )( x ), dan ( g º h º f )( )( x ).

2.

x) = – x dan f ( x x) = Fungsi ( f º g)( x

x 1 < x

Diketahui fungsi f : R A R da dan n g : R A R, dengan R himpunan bilangan real. Jika f ( x x) = 3 x – 10 dan g( x x) = 4 x + 2k , tentukan x) = ( f f º g)( x x). nilai k agar (g º f )( )( x

Tent entuk ukan an inv invers ers fun fungsi gsi-fu -fung ngsi si ber beriku ikut. t. x) = 2 x – 7 a. f ( x 2 x + 3 x) = b. f ( x 3 x < 2 c.

.

x). Tentukan rumus fungsi g( x

3.

4.

5.

f ( x x) = x2 – 10 x + 25

Diketahui f : R A R, g : R A R, dengan R = himpunan bilangan real. Jika f ( x) = x + 2, dan g(x) = x2 + 5, tentukan ( g º f ) –1 dan ( f º g) –1, kemudian gambarlah grafiknya.

Fungsi Komposisi Dan Fungsi Invers

Recommend Documents