Programa de Estudios Generales Departamento Académico de Ciencias y Humanidades
Matemática Básica Período académico 2013-1
Unidad Nº 3 Las cónicas Al terminar de resolver los ejercicios y problemas propuestos en esta unidad, estará en capacidad de: 1. Determinar y graficar la ecuación de la circunferencia en sus diferentes formas. 2. Determinar y graficar la ecuación de la parábola en sus diferentes formas, e identificar sus elementos. 3. Determinar y graficar la ecuación de la elipse en su forma canónica, e identificar sus elementos y área. 4. Determinar y graficar la ecuación de la hipérbola en su forma canónica, e identificar sus elementos.
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Imagen tomada de: http://www.universum.unam.mx/eq_mate_07.html
Unidad Nº3
MATEMÁTICA MATEMÁTICA BÁSICA
Ciclo 2013-1
RESUMEN TEÓRICO DEFINICIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo del
r
mismo plano llamado centro. centro.
d (P; O) = r
ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA A
DD’
: Diámetro
CC’
: Cuerda
D r A’
C
Q
Q
: Centro de la Circunferencia
r
: Radio de la Circunferencia
D’ C’
: Arco de circunferencia
AA’
ECUACIÓN CARTESIANA DE LA CIRCUNFERENCIA a)
Forma ordinaria
x h2 y k2 r 2 Siendo C (h; k) su centro y r la r la longitud de su radio.
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b)
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Forma Canónica (Centro en el origen de coordenadas y radio de longitud r )
x2
c)
y2
r 2
Forma general: (x – h)2 + (y – k)2 = r2 x2 – 2xh + h2 + y2 – 2yk + k2 = r2 x2 + y2 + (–2h)x + (–2k)y + (h2+ k2 – r2) = 0
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 I)
ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA. Definición y elementos. Ecuación cartesiana de la circunferencia en sus formas ordinaria, canónica y general.
GRUPO 1 1. Grafique las siguientes ecuaciones, indicando su radio en caso sea una circunferencia. a) x2 + y2 = 4
b) 4x2 + 4y2 – 20 = 0
c) x2 + y2 + 5 = 0
d) x2 + y2 = 0.
2. Halle las ecuaciones ordinaria y general de cada una de las circunferencias que cumplen en cada caso las condiciones dadas: a) Centro en A(3; 4) y radio 3 u. b) Centro en el punto P(4; –1) y que pasa por el punto A( –1; 3). c) Centro en Q(–4; 3) y es tangente al eje de ordenadas. d) Centro en P(–4; –1) y es tangente a la recta L: 3x + 2y – 12 = 0.
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3. ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones determinan una circunferencia? En cada caso afirmativo, halle el centro, el radio y las coordenadas de los puntos de máxima y mínima abscisa así como de los puntos de máxima y mínima ordenada, de cada una de ellas: a) x2 + y2 – 6x + 4y – 12 = 0
b) 2x2 + 2y2 + 16x – 8y = 10
c) x2 + y2 – 4x + 6y + 15 = 0
d) x2 + y2 – 10x + 8y + 41 = 0
e) x2 + y2 + 6x – 2y + 1 = 0
e) x2 + y2 – 2x – 6y – 15 = 0
4. Determine las ecuaciones ordinaria y general de cada una de las circunferencias que cumple las condiciones siguientes: a) Diámetro AB donde A(5; 11) y B(–3; 5). b) Tangente a los dos ejes y pasa por P(1; 2). c) Concéntrica con C1: x2 + y2 – 8x + 6y – 5 = 0 y pasa por P(1; 2). d) Pasa por los puntos A(1; 0), B(0; 2) y C( –3; 0). e) Pasa por los puntos A(1; –4) y B(5; 2) y tiene su centro en la recta representada por la ecuación L: x – 2y + 9 = 0. 5. El centro de una circunferencia es la intersección de las rectas L1: 3x + 4y + 6 = 0 y L2: x - 3y - 11 = 0 Además la circunferencia es tangente a la recta L 3: 3x – 4y + 7 = 0. a) Halle las coordenadas del centro y la longitud del radio de la circunferencia. b) Determine la ecuación general de la circunferencia. 6. La ecuación de una circunferencia es C: 4x2 + 4y2 – 16x + 20y + 24 = 0. Halle la ecuación general de la circunferencia concéntrica con C que es tangente a la recta L: 5x – 12y = 1. 7. ¿Cuál es la ecuación general de la circunferencia que pasa por los puntos A(–1, –4) y B(2; –1) si se sabe además que su centro pertenece a la recta L: 4x + 7y + 5 = 0? 8. ¿Cuáles son los puntos de intersección de la recta de ecuación L: x + y – 3 = 0 y la circunferencia C: x2 + y2 + 23x + 17y – 62 = 0? 9. Indique los puntos de intersección de las circunferencias representadas por las ecuaciones: C1: x2 + y2 – 2x + 4y = 0 y C2: x2 + y2 + 2x + 6y = 0. 4
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10. Determine la ecuación general de la circunferencia que pasa por los puntos de intersección de las circunferencias
C1: x2 + y2 – 4x – 2y – 20 = 0
y
C2: x2 + y2 – 8x – 6y + 12 = 0 y también por el punto P(–5; –1). 11. El ingreso a un túnel tiene forma de semicircunferencia ¿Cuál es la altura máxima del túnel, si a dos metros de su extremo la altura es 8 metros? 12. El Instituto Geofísico del Perú en su sede de Lima, detectó un sismo con origen en la ciudad de Pisco, a 248 km Este y 186 km Sur de la ciudad de Lima, con un radio de 300 km a la redonda. ¿Cuál es la ecuación matemática que describe el contorno del área afectada? ¿Afectó este sismo a la ciudad de Lima?
TAREA 1 13. Determine las ecuaciones ordinaria y general de cada una de las circunferencias que cumple las condiciones siguientes: a) Centro en B(5; 1) y radio 10 u. b) Diámetro PQ donde P(4; –1) y Q(10; –5). c) Pasa por los puntos P(0; 2), Q( –3; 0) y R(1; 1). d) Tangente a los dos ejes y pasa por Q(–2; 3). e) Concéntrica con C1: x2 + y2 + x – 3y – 4 = 0 y tangente al eje Y. 14. En las siguientes ecuaciones utilizando el método de completar cuadrados, identifique si se trata de una circunferencia o de un caso degenerado de circunferencia. a) x2 + y2 + 8x – 6y – 24 = 0
b) 2x2 + 2y2 – 8x + 4y – 22 = 0
c) x2 + y2 + 6x – 4y + 9 = 0
d) x2 + y2 – 6x + 10y + 34 = 0
15. Determine el valor de “k” para que la ecuación x2 + y2 – 8x + 10y + k = 0, represente una circunferencia de radio 6 u. 5
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16. Dada la circunferencia C: x2 + y 2 + 2x – 2y – 39 = 0. Determine la ecuación general de la recta tangente a dicha circunferencia en el punto P(4; 5). 17. Halle la ecuación de la recta que contiene al diámetro de la circunferencia de ecuación x2 + y2 + 4x – 6y – 17 = 0
y que es perpendicular a la recta L de
ecuación 5x + 2y – 13 = 0. 18. Halle el punto de tangencia de la recta L: x + 2y = 10 con la circunferencia C cuya ecuación es x2 + y2 – 2x – 4y = 0. 19. Calcule el área del triángulo cuyos vértices son el centro de la circunferencia C: x 2 + y2 – 4x + 2y – 8 = 0, y los puntos de intersección de la recta L de ecuación x + 5y – 10 = 0, con la circunferencia C. 20. Dadas las circunferencias C1: x2 + y2 + 7x – 10y + 31 = 0 y C2: x2 + y2 – x – 6y + 3 = 0 Halle la ecuación general de la circunferencia C 3 que pasa por las intersecciones de C1 y C2 y tiene su centro sobre la recta L: x – y – 2 = 0. 21. Una circunferencia de radio 5 es tangente a la recta – – en el punto . Indique su ecuación general (Dos soluciones) 22. Sea el punto medio de la cuerda
AB
de la circunferencia cuya ecuación
es x2 + y2 – 4x – 12y + 20 = 0. Determine las coordenadas de y .
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RESUMEN TEÓRICO II) ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA. Definición y elementos. Ecuación cartesiana de la parábola con eje focal coincidente o paralelo a uno de los ejes coordenados, en sus formas canónica, ordinaria y general DEFINICIÓN DE PARÁBOLA Es el conjunto de puntos del plano que equidistan de un punto fijo F llamado foco y de una recta fija Ld llamada directriz (el foco no pertenece a la directriz y ambos están en el mismo plano de la parábola).
Si P(x; y) es un punto de la parábola, entonces se cumple : d(P; F) = d(P; Ld)
ELEMENTOS Ld: Directriz EF
F: Foco EF: Eje focal perpendicular a Ld V: Vértice, punto medio de DF LR: Lado recto: Cuerda focal perpendicular al eje focal. Asumiendo que
p
d( V; F ) , se
determina que la longitud del lado
. recto es
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FORMA CANÓNICA DE LA ECUACIÓN DE UNA PARÁBOLA Se presenta cuando el vértice es el origen de coordenadas V (0; 0) y el eje focal coincide con uno de los ejes coordenados. CASO 1: Cuando el eje focal coincide con el eje de abscisas, la ecuación de la parábola es
CASO 2: Cuando el eje focal coincide con el eje de ordenadas, la ecuación de la parábola es
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FORMA ORDINARIA DE LA ECUACIÓN DE UNA PARÁBOLA Se presenta cuando el eje focal es paralelo a un eje de coordenadas y su vértice es el punto V(h; k). CASO 1: Cuando el eje focal es paralelo al eje de abscisas, su ecuación ordinaria es.
CASO 2: Cuando el eje focal es paralelo al eje de ordenadas, su ecuación ordinaria es
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FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE UNA PARÁBOLA CASO 1: Si el eje focal de la parábola es paralelo al eje de abscisas, su ecuación general es
y2 + Dx + Ey + F = 0 Donde {D, E, F} , con D ≠ 0
Nota: Si D = 0, la ecuación se reduce a y2 + Ey + F = 0 , que es un caso degenerado, que representa: dos rectas, una recta, o ningún lugar geométrico; dependiendo de sus raíces. CASO 2: Si el eje focal de la parábola es paralelo al eje de ordenadas, su ecuación general es
x2 + Dx + Ey + F = 0 Donde {D, E, F} , con E ≠ 0
Nota: Si E = 0, la ecuación se reduce a x 2 + D x + F = 0, que es un caso degenerado, que representa: dos rectas, una recta, o ningún lugar geométrico; dependiendo de sus raíces.
GRUPO 2 23. Grafique en cada caso la parábola correspondiente a la ecuación e indique su foco, los extremos del lado recto, así como la longitud del lado recto, las ecuaciones del eje de simetría y de la recta directriz. a) y2 = 4x
c) y2 = –8x
e) y2 – 2x = 0
b) x2 = –6y
d) x2 = 12y
f) x2 + 4y = 0
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24. En cada uno de los siguientes ejercicios, el vértice de la parábola está en el origen de coordenadas. Presente su ecuación y bosqueje el gráfico respectivo, si se sabe que: a) Su eje focal es el eje de abscisas y pasa por el punto P (3; –6). b) Es simétrica respecto del eje de ordenadas y pasa por el punto P ( –4; 6). c) Su directriz es la recta de ecuación Ld: x – 2 = 0. d) El foco pertenece al eje de ordenadas y p = –4 25. Grafique en cada caso la parábola correspondiente e indique su vértice, foco, los extremos del lado recto, así como la longitud del lado recto, las ecuaciones del eje de simetría y de la recta directriz. a) (x – 2)2 = –4(y + 1)
d) (x + 3)2 = 6(y –1)
b) (y + 2)2 = 8(x – 1)
e) (y – 1)2 = –2(x + 3)
c) (y – 3)2 = 12x
f) (x + 2)2 = –4y
26. Halle la ecuación y bosqueje el gráfico de cada una de las siguientes parábolas que verifican, en cada caso, las condiciones dadas. a) Foco en F( 4; 2) y directriz Ld: y – 6 = 0. b) Vértice en V(–1; 3) y foco en F(3; 3). c) El vértice pertenece a la recta L: 4x + 3y – 15 = 0, eje focal vertical y foco en F(3; –2) 27. Cada una de las siguientes ecuaciones representa una parábola o un caso degenerado de parábola. Si se trata de una parábola grafíquela indicando el foco y el vértice, las ecuaciones de la directriz y del eje focal así como la longitud del lado recto. Escriba la ecuación en la forma ordinaria. Y si es un caso degenerado, grafique la curva que le corresponde, en el caso que sea posible. a) y2 – 4y + 4x + 8 = 0
e) x2 – 2x – 15 = 0
b) x2 + 6x + y + 7 = 0
f) y2 – y – 12 = 0
c) y2 + 2x – 2y + 5 = 0
g) x2 + 3x = 0
d) x2 – 2x – 2y – 3 = 0
h) x2 – 4x + 7 = 0
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28. Encuentre la ecuación en forma general de la parábola de eje focal horizontal, cuyo vértice pertenece a la recta L: 4x + 3y – 1 = 0, sabiendo además que su foco es el punto F(–1; 3). Bosqueje su gráfica. 29. El eje focal de una parábola es paralelo al eje X, su foco es el centro de la circunferencia C: x2 + y2 + 2x – 4y + 1 = 0 y su vértice es el punto de máxima abscisa de dicha circunferencia. Halle la ecuación de la parábola. 30. Una cuerda de la parábola y2 – 4x = 0 es un segmento de la recta L: x – 2y + 3 = 0. Halle la longitud de dicha cuerda. 31. El eje focal de una parábola pasa por el centro de la circunferencia: x2 + y2 – 16x – 8y + 55 = 0 La recta con ecuación x = 4, corta a la circunferencia en dos puntos que son los extremos del lado recto de la parábola. Si el vértice de la parábola está a la izquierda del foco, halle la ecuación de la parábola. 32. Una parábola de eje vertical tiene 16 cm de ancho a una distancia de 6 cm del vértice. ¿Qué ancho tiene a la altura del foco? 33. Para regar un Jardín se ha instalado un aspersor de agua. El chorro de agua que sale del aspersor describe una trayectoria parabólica cuya altura máxima es 1,5 metros y alcanza una distancia de 8 metros como se muestra en la figura:
1,5 8 metros
a) Trace un sistema de coordenadas con el origen de coordenadas en el punto Q y el punto de máxima altura de la trayectoria en el eje de ordenadas. Encuentre la ecuación de la parábola. b) Determine la longitud del lado recto de dicha trayectoria parabólica.
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TAREA 2 34. Grafique en cada caso la parábola correspondiente e indique su foco, los extremos del lado recto así como la longitud del lado recto, las ecuaciones del eje de simetría y de la recta directriz correspondientes a cada uno de los siguientes casos: a) y2 = 8x
h) (y + 3)2 = 6(x – 2)
b) x2 = –4y
i) (y – 3)2 = –12(x + 1)
c) x2 + 8y = 0
i) y2 – 4x + 6y + 13 = 0
d) y2 – 6x = 0
j) x2 + 10x + 8y – 9 = 0
g) (x – 5)2 = –8(y + 2)
k) 2x2 + 4x – 2y
35. Determine las ecuaciones de las parábolas que tienen: a) Como directriz x = –3 y como foco F(3; 0). b) Como directriz y + 4 = 0 y como vértice V(0; 0). c) Como directriz y = –5 y como foco F(0; 5). d) Como directriz x = 2 y como foco F(–2; 0). 36. Determine la ecuación y bosqueje el gráfico de cada una de las parábolas que satisfacen las condiciones siguientes: a) Vértice en el origen y directriz y = 1. b) Vértice (2; 3) y foco (0; 3). c) Vértice (2; 1) y foco (2; –4). d) Foco (4; –3) y directriz y = 1. 37. Encontrar la ecuación de la parábola que satisface las condiciones dadas: a) Foco en F(3; 0) y vértice en V(2; 0). b) Foco en F(0; 0) y vértice en V(–1; 0). c) Foco en F(2; 3) y directriz: x = 6. d) Vértice en V(–1; 4), eje focal vertical, y pasa por el punto (2; 2). e) Vértice en V(4; 4), eje focal horizontal, y pasa por el punto (2, 2). f) Eje focal vertical y pasa por los puntos A(–8; 5), B(4; 8) y C(16; –7)
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38. Determine la posición relativa de la recta L: x + y – 5 = 0 respecto de la parábola de ecuación y2 = 16x. 39. Los puntos L(5; 8), R(5; –4) y H(–1; 2) son respectivamente, los extremos del lado recto y el punto de intersección del eje y la directriz de una parábola. Determine: a) El vértice y la ecuación de su directriz. b) La ecuación de la parábola. 40. Determine la ecuación de la parábola que tiene por directriz la recta: y= 0 y por foco el punto (2; 4). 41. Halle la ecuación de la parábola de eje vertical y que pasa por los puntos: A(6; 1), B(–2; 3) y C(16; 6). 42. La recta L: y = –2 corta a la circunferencia C: x 2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0 en dos puntos los cuales son los extremos del lado recto de una parábola P. Si el vértice de la parábola está por encima del foco, halle su ecuación, las coordenadas del foco y la ecuación de su directriz. 43. Determine la ecuación de una parábola de eje focal vertical, preséntela en su forma general, si se sabe que su vértice es el punto V (3; 1) y su foco está en la recta L: 3x – 4y + 7 = 0. Además, determine las coordenadas de los extremos de su lado recto, así como la ecuación de su recta directriz. 44. Un arco tiene forma de una parábola con eje focal vertical. Su punto más alto está 16m sobre la base cuya longitud es 32m. Halle la longitud L de una cuerda horizontal que se encuentra a 12m sobre la base.
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RESUMEN TEÓRICO III) ECUACIÓN DE LA ELIPSE. Definición y elementos. Ecuación cartesiana de la elipse en su forma canónica. DEFINICIÓN DE ELIPSE La elipse es el conjunto de puntos del plano, de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos del mismo plano, llamados focos permanece constante y es igual a Si P(x; y) es un punto de la elipse, entonces se cumple :
P(x;y)
d(P; F1) + d(P; F 2) =2a
F 1 F 2
Donde: “a”
es
una
constante
positiva, tal que 2a > d(F1; F2)
ELEMENTOS 1. Focos: F1 y F2 2. Eje Focal: (EF) es la recta que pasa por los focos. 3. Vértices: V1 y V2, d(V1 ;V2) = 2a 4. Centro: Q, es el punto medio entre F 1 y F2. 5. Eje normal: (EN) es la recta que pasa por Q y es perpendicular al eje focal. 6. Covértices : B1 y B2 que son los puntos
en
que
el
eje
normal
intercepta a la elipse.
11. Cuerda focal: Es la cuerda que
7. Eje mayor : d(V1; V2) = 2a
pasa por uno de los focos.
8. Eje menor : d(B1; B2) = 2b
12. Lado recto: LR y L’ R’.
9. Distancia focal: d(F1; F2) = 2c
13. Radio vector: Es el segmento que
10. Cuerda: Es el segmento que une dos
une cualquier punto de la elipse
puntos cualesquiera de la elipse.
con uno de los focos. (PF2; PF1).
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Además:
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a = d (Q; V): Longitud del semieje mayor b = d (Q; B): Longitud del semieje menor c = d (Q; F): Semidistancia focal.
Donde se cumple que
a > b y a > c.
FÓRMULAS i)
a2 = b2 + c2 (relación pitagórica entre los parámetros a, b y c).
ii)
La longitud del lado recto (L. L. R.) es:
iii)
Área de una elipse: A = .a.b
L.L.R.
2b
2
a
FORMA CANÓNICA DE LA ECUACIÓN DE LA ELIPSE Se presenta cuando el centro es el origen de coordenadas Q(0; 0) y el eje focal es coincidente con un eje de coordenadas. CASO 1: Si el eje focal es coincidente con el eje X, la ecuación de la elipse es Y L2
V2
F2
B1
Q
x2 a2
L1
F1
V1
B1(0; b) B2
R 1
16
1
X
V1(a;0) R 2
y2 b2
F1(c; 0)
V2( –a; 0) B2(0; –b) F2( –c; 0)
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CASO 2: Si el eje focal es coincidente con el eje Y, la ecuación de la elipse es Y
x2 b2
y2 a2
V1
1
V1(0; a)
V2(0; –a)
B1(b; 0)
B2( –b; 0)
F1(0; c)
R 1
F1
Q
B2
F2(0; –c)
L1
R 2
F2
B1
X
L2
V2
GRUPO 3 45. Grafique en cada caso la elipse correspondiente e indique las coordenadas de los focos, vértices y covértices, la longitud del lado recto, las coordenadas de los extremos de los lados rectos, las ecuaciones del eje focal y eje normal, así como el área de la elipse: a) 4x2 + 9y2 = 36
d) 16x2 + 9y2 = 144
b) 25x2 + 4y2 = 100
e) 16x2 + y2 = 64
c) 2x2 + 3y2 = 18
f) 4x2 + 9y2 = 36
46. En cada caso, el centro de la elipse está en el origen de coordenadas y su eje focal coincide con uno de los ejes coordenados. Presente su ecuación y bosqueje el gráfico respectivo, indicando sus elementos y área, si se sabe que: a) Pasa por los puntos P(0; 5) y Q (–4; 0). b) Es tangente a las rectas L1: x – 4 = 0 y L 2: y + 8 = 0. c) Vértices en (–5/2; 0) y (5/2; 0) y un foco en (3/2; 0).
d) Vértices en (2; 0) y (–2; 0) y pasa por el punto (–1; ).
e) Vértices en (0; 5) y (0; –5) y pasa por el punto (2; – ).
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47. La distancia focal de una elipse es 4u. Un punto de la elipse dista de sus focos 2u y 6u respectivamente. Indique la ecuación canónica de dicha elipse si su eje mayor está en el eje de abscisas. 48. Halle las coordenadas del punto medio de la cuerda que intercepta la recta L: x + 2y – 1 = 0 con la elipse de ecuación E: x 2 + 2y2 = 3. 49. Los focos de una elipse son los puntos (3; 0) y ( –3; 0) y la longitud de cualquiera de sus lados rectos es 9u. Halle la ecuación de la elipse. 50. Halle la ecuación de la elipse con centro en el origen de coordenadas si uno de sus vértices esta en el punto (0; 7) y pasa por M= ( ; 14/3). 51. Halle la ecuación de la elipse que pasa por el punto N = ( /2; 3), tiene su centro en el origen de coordenadas, su eje menor coincide con el eje X y la longitud de su eje mayor es el doble de la longitud de su eje menor. 52. En la elipse
¿Cuál es la longitud de la cuerda paralela al eje menor
que divide al semieje mayor en dos partes iguales? 53. El cometa Halley tiene una orbita elíptica con diámetros mayor y menor respectivos de 36,18 UA y 9,12 UA (1 UA es una unidad astronómica: la distancia media de la tierra al sol) ¿Cuál es el máximo acercamiento al Sol, suponiendo que está en uno de los focos de la elipse? 54. Una ventana arriba de una entrada se construye en la forma de una semielipse tal como muestra la figura.
h
20
25 pulg
La ventana mide 20 pulgadas en su punto mas alto y tiene 80 pulgadas de ancho. Encuentre la altura h de la ventana a 25 pulgadas del centro de la base.
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TAREA 3 55. Encuentre las coordenadas de los focos y la longitud del eje mayor de la elipse definida por la ecuación: x2 + 4y2 – 4 = 0. 56. Determine las coordenadas de los focos y la longitud de los ejes de la elipse de ecuación: 3x2 + 2y2 = 6 57. Determine la ecuación de una elipse con vértices V1(5; 0) y V2 (–5; 0) y focos F1 (2; 0) y F 2(–2; 0). Trace la gráfica correspondiente. 58. Determine la ecuación de la elipse que tiene su centro en el punto Q(0; 0) y cuyos focos son los puntos F 1(3; 0) y F2(–3; 0), además el punto de intersección de la gráfica con el eje X es el punto (5; 0). 59. Escriba la ecuación canónica de la elipse, de eje focal vertical, que pasa por el punto (2; 1) y cuyo eje menor mide 4u. 60. Halle la ecuación de la elipse de centro en el origen de coordenadas, eje mayor horizontal y que pasa por los puntos P(4; 3) y Q(6; 2). 61. Una elipse tiene su centro en el origen de coordenadas Q(0; 0) y su eje mayor coincide con el eje X. Determine la ecuación de la elipse sabiendo que pasa por los puntos A ( ; –1) y B(2; ). 62. La máxima distancia de la tierra al sol es 94,56 millones de millas y su distancia mínima es 91,45 millones de millas. ¿Cuáles son las longitudes de los diámetros mayor y menor de la trayectoria elíptica de la tierra?
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Ciclo 2013-1
RESUMEN TEÓRICO IV) ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA. Definición y elementos. Ecuación cartesiana de la hipérbola en su forma canónica.
DEFINICIÓN DE HIPÉRBOLA Una hipérbola es el conjunto de puntos del plano, de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del mismo plano (llamados focos de la hipérbola) es siempre una constante positiva igual a , menor que la distancia entre los focos. Si P(x; y) es un punto de la P(x; y)
hipérbola, entonces se cumple :
d (P; F1) – d(P; F2) = 2a F2
F1
Donde: “a”
es
una
constante
positiva, tal que 2a < d(F1; F2)
ELEMENTOS:
1) Focos
: F1 F2
2) Eje Focal
: Ef
3) Vértices
: V1 V2
4) Centro
: Q
5) Eje Normal
: En
6) Asíntotas
: L1
7) Eje Transverso
: V1V2
8) Eje Conjugado
: B1B2
9)
Radio vector o Radio focal: PF1 PF2 donde P es un punto de la hipérbola.
10)
Cuerda Focal: Cuerda que pasa por el foco.
11)
Lados rectos : LR
LR '
'
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L2
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En la ecuación de una hipérbola se presentan las siguientes constantes positivas:
a =
d (Q; V)
: Longitud del semieje transverso.
b =
d (Q; B)
: Longitud del semieje conjugado.
d (Q; F)
: Semidistancia focal.
c
=
Fórmulas: i) ii)
c2 = a2 + b2 , donde ( c > a , c > b). L.L.R. =
Longitud del lado recto:
.
FORMA CANÓNICA DE LA ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA Se presenta cuando el centro es el origen de coordenadas Q(0; 0) y el eje focal es coincidente con un eje de coordenadas. CASO 1: Si el eje focal es coincidente con el eje X, la ecuación de la hipérbola es
x2 a2
y2 b2
1
Ecuaciones de las asíntotas:
y
b x a
CASO 2: Si el eje focal es coincidente con el eje Y, la ecuación de la hipérbola es
y2 a2
x2 b2
1
Ecuaciones de las asíntotas:
y
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a x b
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GRUPO 4 63. Grafique en cada caso la hipérbola correspondiente e indique las coordenadas de sus focos, vértices y extremos del eje conjugado, la longitud del lado recto, las coordenadas de los extremos de los lados rectos, las ecuaciones de las asíntotas así como las ecuaciones del eje focal y del eje normal. a) 9x2 – 16y2 = 144
d) 16x2 – 9y2 = 144
b) 16y2 – 9x2 = 144
e) 16x2 – y2 = 64
c) 16y2 – 9y2 = 576
f) 4y2 – 9x2 = 36
64. El centro de una hipérbola está en el origen, un foco en el punto (0; 5) y un extremo del eje transverso en el punto (0; 3). Determine la ecuación de la hipérbola. 65. Determine la ecuación canónica de una hipérbola, de eje focal vertical, cuya distancia focal es 34u, sabiendo que la distancia de un foco al vértice más próximo es 2u. 66. Indique la ecuación canónica de una hipérbola, cuyo eje focal es el eje de abscisas, sabiendo que un foco dista de los vértices de la hipérbola 50u y 2u 67. Una hipérbola H, con centro en el origen de coordenadas, tiene uno de sus focos en (6; 0) y uno de sus vértices en ( –3; 0). Encuentre la ecuación de H. 68. Halle la ecuación de la hipérbola cuyo centro está ubicado en el punto O(0; 0), uno de sus focos en (–5; 0) y cuya longitud del eje conjugado es 8 unidades. 69. El eje transverso de una hipérbola mide 12u y la hipérbola pasa por el punto
. Halle su ecuación si su centro es el origen de coordenadas y su eje focal es horizontal.
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70. Determine la ecuación canónica de una hipérbola, cuyo eje focal es el eje de abscisas que pasa por los puntos P(4; ) y Q(2 ; 2). 71. El eje conjugado de una hipérbola mide 8u y las ecuaciones de sus asíntotas son: y
2 x . Indique la ecuación de la hipérbola si su eje normal es el eje de 3
abscisas. 72. Determine la ecuación canónica de una hipérbola, cuyo eje focal es el eje de ordenadas, sabiendo que pasa por el punto P(2; ) y que además = .
TAREA 4 73. Hallar las coordenadas de los vértices y de los focos así como las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola 9x2 – 16y2 = 144. 74. Dada la hipérbola cuya ecuación viene dada por 7y2 – 9x2 = 63. Determine coordenadas de los focos, de los vértices y las ecuaciones de las asíntotas. Trazar la gráfica. 75. En cada uno de los siguientes ejercicios, el centro de la hipérbola es el origen de coordenadas y sus focos pertenecen al eje de ordenadas. Determine su ecuación y bosqueje el gráfico respectivo, sabiendo además que: a) Las longitudes de sus ejes son: 2a = 8 y 2b= 10. b) La distancia entre los focos es 10u y 2b = 6 3 4
c) Las ecuaciones de las rectas que contienen a las asíntotas son: y x , y la distancia entre los focos es 20. d) Es tangente a L: y + 4 = 0 y c = 5. e) Una de sus asíntotas es 5x–2y = 0 y pasa por el punto (1; 5). 76. Los focos y los vértices de una hipérbola son los puntos: (5; 0), (–5; 0), (4; 0) y
– , respectivamente. Determine la ecuación de la hipérbola, dibuje su gráfica e indique la ecuación de sus asíntotas.
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77. Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F(0; 5), de vértice A(0; 3) y de centro C(0; 0). 78. Una hipérbola cuyo centro es el origen, tiene sus focos sobre la recta y = 0. Además la distancia entre los focos es 10 unidades y la distancia entre sus vértices es 8 unidades. Indique su ecuación, trace su gráfica y determine las coordenadas de sus vértices, focos y las ecuaciones de sus asíntotas. 79. Halle la ecuación de una hipérbola si sus vértices son V1(3; 0) y V2(–3; 0) y una de sus asíntotas es L: x – 2y = 0. 80. Determina la posición relativa de la recta x + y – 1 =0 con respecto a la hipérbola x2 – 2y2 = 1.
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