GEOMETRÍA ANALÍTICA
P5(X5,Y5)
P4(X4,Y4)
X1
SISTEMAS DE COORDENADAS RECTANGULARES 1.CONCEPTOS BÁSICOS:
A
X : eje de las absisas Y : eje de las oordenadas O : origen de coordenadas (0,0) P(X1,Y1) coordenadas del punto P
R : radio vector r =
x1
2
+
x 22
3. COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO:
X2 1 X3 2 X4 X5
Y2 Y3 Y4 Y5
X1
A
2. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS: D = ( x 1 − x 2 ) 2 + ( y1 − y 2 ) 2
=
Y1
Y1
= 1 ∑ productos(
)∑ productos(
2
)
7. PENDIENTE DE UNA RECTA: m = tan θ =
− Y1 X 2 − X1 Y2
●
A(a,b)
M(
a + c b + d , ) 2 2
B(c,d)
inclinación de la recta rec ta P 1 P2 θ: inclinación 8. PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD: L2
4. COOR COORDE DENA NADA DAS S DE UN PUNTO UNTO QUE DIVIDE A UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA: r =
P1 P PP2
P1(X1,Y1)
●
COORDENADAS BARICENTRO:
9. ANGULO ENTRE DOS RECTAS:
= −m1 tan θ = 1 + m1 ∗ m1 m2
X1 + X 2 + X 3 , Y1 + Y2 + Y3 3 3
6. ÁREA DE UN POLIGONO: P2(X2,Y2) P3(X3,Y3)
L2
θ
L1
D EL
G(X, Y) =
P1(X1,Y1)
L1
P2(X2,Y2) Si L1 // L2 →m1 = m2 Si L1 ⊥ L2 →m1 - m2 =-1
Punto de división P(X,Y) X + rX 2 , Y1 + rY2 P ( X, Y ) = 1 1 r 1 r + +
5.
L2
L1
EJERCICIOS RESUELTOS 1. Si :A(2,1), B(-4,4), C(-2,-5) evaluar: M
=
a) 9 d) 7
AB ∗ 5 + AC ∗ 13 + 8BC ∗
b)11 e) N.A.
c)4
5 17
2. Uno de los extremos de un segmento rectilíneo del longitud 5 es el punto P(3:2). Si la abcisa de un extremo es 6. Hallar su ordenada. a) -6 b)2 c)AyB d)Faltan datos e) N.A.
puntos: A(-2,1) ^ B(9,7) considerándola inicial y la otra pasa por los puntos C(3,9) ^ D(-2,M).Hallar “M”: a) -2 b)2 c)28 d) -6 e)-8
3. En la figura hallar coordenadas del punto “p”.
8. Dados A(1,2) B(a,-4) C(7,2) D(3,a). Hallar “a” Si : AB ⊥ CD a) 7/5 b)8/5 c)29/5 d)10/3 e) 11/5
P2 (5,6) 2x ● P 3x
EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Calcular la distancia entre los
P1(2,3)
17 24 19 , 24 b) 19 , 24 c) a) , 7 7 5 5 5 5 19 24 19 , 21 d) , e) 5 5 11 11
4. Hallar el área del triangulo cuyos vértices son los puntos A(1,3) B(5,2) C(-2,1) a) -11 b)14,5 c)11,5 d)25/3 e) 21/2 5. Los vértices de un triángulo son (2,7) (5,1) y (x,3) en sentido horario. Hallar “x” si el área del triangulo es 18u2 a) 3 b)-3 c)2 d)-2 e) 1 6. Hallar el área del cuadrilátero vértices son: A(-3,1) B(5,-1) C(4,3) D(-4,-2) a) 28u2 b)30u2 c)26u2 d) 14u e) 56u2 7. Dos rectas se cortan formando un ángulo de 45°, una pasa por los
puntos: A(2,5) B(7,1) a) 41 b) 39 c) d) 37 e) 29
29
2. Si la distancia del punto (x,-2) al (1,2) es 5. Hallar “x” a) 2 b)-4 c)-2 d)4 e) a y b son correctos 3. El triangulo ABC es: A(3,3) B(-3,-3) C (−3 3 ,3 3 ) a)Escaleno b)Equilátero c)Isósceles d)Obtusángulo e)Oblicuángulo
4. La ordenada de un punto es 8 y su distancia al punto B(5,-2) es 2 41 . Hallar la abcisa del punto. a) 13 b)-3 c)3 d)-13 e) a y b son correctos
5. Hallar las coordenadas del punto medio del segmento de extremos A(-2,3) B (6,-3) a)(0,2) b)(2,0) c)(-2,0) d)(0,-2) e)(2,2)
6.
Hallar las coordenadas del punto medio del segmento P1 P2 en la P1 P2 = −3 .Si: razón PP2 P1 (-4,2) y P2 (4,6) a) (2,2) b)(4,4) c)(6,6) d) (8,8) e) (-8,-8)
7. Uno de los puntos extremos de un segmento es el punto (7,8) y su punto medio es (4,3).Hallar el otro extremo. a)(1,15) b)(1,13) c)(-1,-13) d)(-1,-13) e)N.A.
13. Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos (1,6) y (5,-2)
EJERCICIOS 14. Dos de los vértices de un triángulo equilátero son los puntos A(-1,1) B (3,1). Hallar las coordenadas del tercer vértice. a) (1,1 +3 2 ) b) (−1, 1 −3 2 )
(1,1
c)
(
1, −1 −3
−
3
+
2 ) d)
2)
e)A y C son correctos.
8. Hallar las coordenadas del centro
15. Una recta pasa por los puntos A(-
de gravedad de la lámina triangular de peso homogéneo. a)(-4,-4) b)(-3,-3) c)(4,-3) d)(4,4 ) e) N.A.
2,-3) B(4,1)si un punto de la abcisa 10 pertenece a la recta. ¿Cuál es su ordenada? a)5 b)4 c)5,5 d)4,5 e)6
9. Hallar el área del triangulo de vértices A(0,0) B(-2,3) C(4,2) a)8u2 b)10 u2 c)9 u2 d)6u2 e)7u2
10. Hallar el área del triangulo de vértices: A(1,6) B(-3,-4) C(2,-2) a)12u2 b)21u2 c)19u2 d)17u2 e)24u2
16. Los ángulos interiores del triangulo de vértices (3,2), (5,4) y (1,-2) miden: a)30°,60°,90° b)37°,53°,90° c)45°,45°,90° d)50°,50°,80° e)40°,40°,100°
11. Hallar el área del pentágono de
17. Hallar los puntos de trisección del
vértices: A(1,5) B(-2,4) C(2,-3) D(3,-1) E(5,1) a)10u2 b)20 u2 c)40 u2 d)35u2 e)42u2
segmento cuyos extremos son los puntos A(-5,3) y B(4,21) a) P(-2,9),Q(1,15) b) P(-1,8),Q(2,15) c) P(-2,10).Q(1,15) d)P(-2,9),Q(1,14) e)P(-2,9),Q(-1,-14)
12. Una recta de pendiente -2 pasa por el punto P(2,7) y por los puntos A(x,3) B(6,y). Hallar d(A,B) a) 5 b) 2 5 c) 3 5 d) 4 5 e)5
18. Un punto P esta en la recta a través de A(-3,5) y B(-1,2) de tal forma
L1 : A1X + B1Y + C 1 = 0 L2 : A2X + B2Y + C 2 = O, entonces:
que AP = 4 (AB). Hallar las coordenadas de P a)(-5,-7) b)(-5,7) c)(5,-7) d)(5,7) e)N.A.
1)
2)
Conociendo un punto de paso pendiente "m" de la recta y
L1 + L2 ⇔
(x1, y1) y la
−y 1 =m x −x 1
A
1
B
B
2
A
B
1
2
=
B
A
1
7.
2
=
1
ECUACIÓN DE LA RECTA 1.
L1 // L2 ⇔
A
2
Forma normal de la ecuación de un recta.
L1 N 2.
Ecuación simétrica de la recta
x a
+
y b
p
=1
w X cos W + y Sen W – P = 0
Donde: a es la intersección con el eje x
b es la intersección con el eje y 3.
Conociendo "m" y la intersección en el eje " y " ( O , b)
DISTANCIA DIRIGIDA DE LA RECTA L : Ax +By+ C = 0 ; al punto p1 (x1,y1) P1(X1, Y1)
Y = mx +b 4.
P(x,y)
L
Forma general de la ecuación de una recta. Ax + By + C = 0
m 5.
a b
Distancia de un punto a una recta L = A x + By + C = 0 P1( x1 ; y1 ) D (L, P1) =
6.
=
Ax1
+ By1 + C
A2
+ By
1
A 2
+C
+B
2
PROBLEMAS
Forma general de la ecuación de una recta. Ax + By +C = 0
NOTA: Dadas dos rectas
1
±
+ B2
Donde su pendiente es : m
d =
Ax
= − A B
19. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A ( 7,8) y es paralela a la recta que pasa por C (-2, 2) y D (3,-4) a) x+ 5y – 82 =0 b) x+5y – 82 =0 c) 6x + 5y – 82 =0 d) x + 5y + 82 = 0 e) x – 5y + 82 = 0 20. Obtenga valor de "n" tal que sean perpendiculares las rectas cuyas ecuaciones son:
L1 : 3nx + 8y = 5 ; L2 : 6y – 4n x = -1 a) ± 1 b) ±2 c) ±4 d) ±3 e) ±5 21. Hallar la ecuación de la recta. Si : m = 4 y P ( 2, -3) es un punto de ella. a) y + 4x – 11 = 0 b) y – 2x + 11 = 0 c) y – 4x + 11 = 0 d) 2y – x + 11 = 0 e) y + 4x + 12 = 0 22. Hallar la ecuación de la recta de pendiente 3 y pasa por el punto (-4, -1). a) y – 3x – 11 = 0 b) y + x – 11 = 0 c) 2y – 3x – 11 = 0 d) y + x + 11 = 0 e) y – 2x – 11 = 0
1
c) m
=
e) m
=−
d) m
6
=
1 7
1
7 29. Hallar la ecuación del recta que pase por el punto P (-6,-3) y tiene un ángulo de inclinación de 45: a) 2x +y + 1 =0 b)x- y – 3 = 0 c) 2x – y – 3 = 0 d)x + y + 3 = 0 e) 2x + 2y + 1 =0 30. Hallar la ecuación de la mediatríz del segmento A (- 3, 2), B(1, 6). 23. Hallar la ecuación de la recta que pasa por a) x + y – 3 = 0 b) x – y – 1 = 0 c) x + y – 2 = 0 d) 2x + y – 3 = 0 los puntos : (3,1) y(-5,4) e) x + y – 1 = 0 a) x + y – 17 = 0 b) x – y – 16 = 0 31. Una recta es tangente a un círculo de centro c) 3x + 8y – 17 =0 d) x + 8y – 17 =0 en el origen y radio 3. Si el punto de e) 3x – 8y – 17 =0 24. Hallar la ecuación de la recta, si la tangencia es P (2, 5 ), Hállese la intersección x es –3 y la intersección y es 4. ecuación de la tangente en la normal. a) 2x – y – 11 = 0 b) x + 3y + 12 = 0 −5 − = 2 x + y 3 0 c) 4x . 3y + 12 = 0 d) 4x + 3y + 12 = 0 a) 3 3 e) 2x + y + 11 = 0 −4 1 25. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el x y − 3 = 0 + b) punto (1,4) y es paralela a la recta: 2x – 5y + 3 3 7 =0 2 − 2 y − 3 = 0 a) 4y + 2x – 16 = 0 b) y + x + 18 = 0 x + c) 3 3 c) 5y – 2x – 16 =0 d) y – 2y + 16 = 0 e) 5y – 2x – 18 =0 1 1 + x y + 3 = 0 d) 26. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el 3 3 punto (-2, 3) y es perpendicular a la recta: 2 1 2x – y - 2 = 0 x − + 3 = 0 e) a) x + 2y – 2 = 0 b) x + 2y – 4 = 0 3 3 c) x + 2y + 2 = 0 d) x + y + 4 = 0 32. Hallar " K " para que las rectas: e) x – 2y – 4 = 0 Kx + (k – 1)y – 18 = 0 4x + 3y + 7 = 0, sean paralelas 27. Hallar la ecuación de la recta de pendiente – a)3 b)2 c) 6 d)5 e) 4 2 y la intersección x es 4. a) 2x + y – 8 =0 b) x + 4y – 8 =0 33. Hallar la ecuación de la recta que pasa por c) x + 2y – 8 = 0 d) x + y – 8 = 0 (1,7) y dista 5 unidades del origen. e) 2x – y – 8 = 0 a) 3x – 4y + 25 = 0 ó 4x + 3y – 25 = 0 28. Hallar la pendiente de la recta que pasa por b) 2x + 4y + 25 = 0 ó 4x + 2y – 25 = 0 los puntos. c) 3x + 4y + 25 = 0 ó 3x + 4y – 20 = 0 d) x + y + 25 = 0 ó x – y – 25 = 0 1 , 1 y − 5 , 2 e) x – 3y + 20 = 0 ó x + 3y – 20 = 0 3 2 6 3 a) m
=
−1 6
b) m
=−
1 4
34. Hallar la ecuación de la recta cuyos puntos equidistan todos de las dos rectas paralelas: 12x – 5y + 3 = 0 ; 12x – 5y – 6 = 0 a) 16x– 2y+ 1 = 0 b) 24x – 10y – 3 = 0
c) 18x + y + 2 = 0 d)18x + 6y – 2 = 0 e) 24x + 8y – 3 = 0 35. Una recta pasa por los puntos A (-3, - 1) y B (2, - 6). Hallar la ecuación en su forma simétrica. a)
x
+
y
= 1 b)
−4 −4 x y + =1 c) 3 −3 x y + =1 e)
d)
x 4
+
x
−2
y
=1 −4 y + =1 2
4 4 36. Hallar "n" para que la recta: n 2x + (n+1) y+ 3 = 0 Sea perpendicular a la recta: 1± 7 2± 7 a) n = b) n = 3 3 1± 6 4± 6 c) n = d) n = 3 3 2± 6 e) n = 3 37. Hallar el valor de "M" para que la recta: Mx + (M -1) y – 18 = 0, sea paralela a la recta: 4x + 3y + 7 = 0 a) 4 b) 3 c) 2 d)1 e) 5 38. Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es –4, y que pasa por el punto de intersección de las rectas: L1 = 2x + y – 8 = 0 ;L 2 = 3x – 2y + 9 = 0 a) x + 2y + 10 = 0 b) 4x . y + 10 = 0 c) x – y + 10 = 0 d) 2x + y – 10 = 0 e) 4x + y – 10 = 0 39. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento A (-3, 2) y B (1,6). a) x + 2y + 1 = 0 b) x + y – 3 = 0 c) 2x – y + 3 = 0 d)x – y – 3 = 0 e) 2x + y – 3 = 0 40. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (1,5) y tiene pendiente 2. a) 3x – 2y + 2 = 0 b) x – y + 3 = 0 c) 2x – y + 3 = 0 d) 2x + y + 3 = 0 e) x + y + 2 = 0 41. Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto A(- 6, -3) y tiene un ángulo de inclinación de 45 o. a) 2x + y + 3 = 0 b) x – y + 3 = 0 c) x – y – 3 = 0 d)2x – y – 3 = 0 e) x + y + 1 = 0
42. Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es –3 y cuya intersección con el eje Y es –2a) x + 2y + 1 = 0 b) 2x + y + 1 = 0 c) 3x – y + 2 = 0 d) x + y + 2 = 0 e) 3x + y + 2 = 0 43. Halle la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (4,2) y B(-5, 7). a) x + 9y – 37 = 0 b) 5x + 9y – 38 = 0 c) x – 9 y – 38 = 0 d) 4x + 8y – 38 = 0 e) 5x – 9y – 38 = 0 44. Los vértices de un cuadrilátero son A (0, 0), B(2,4), C(6,7) y D(8,0). Halle las ecuaciones de sus lados. a) AB: X – Y = 0 BC:3X+4Y+10 = 0;CD:X + 2Y – 56 = 0 AD: ecuación del eje Y. b) AB : 2x – y = 0 BC:3x–4y+10= 0;CD: 7x + 2y – 56 = 0 AD: ecuación del eje x c) AB: 2x – y = 0 BC : 3x + 4y – 10 = 0;CD:x + 2y– 56= 0 AD: Ecuación del eje X d) AB: 2x + y = 0 BC:3x – 4y + 10=0;CD : 5x + y – 50 = 0 AD: ecuación del eje Y. 45. Los segmentos que una recta determina sobre los ejes X e Y son 2 y –3 respectivamente. Hallar su ecuación. a) 3x – 2y – 6 = 0 b) 3x + 2y + 6 = 0 c) x + 2y – 6 = 0 d) 2x – 2y – 6 = 0 e) 3x – y + 6 = 0 46. Una recta pasa, por los puntos A(-3, -1) y B (2, -6) Halle su ecuación en la forma simétrica. a)
x
− y = −1 b)
−4 4 x y + = 1 d) c)
x
x
+
y
=1 −4 −4 + y = 2 e) x − y = 2
4 4 4 4 −4 4 47. Una recta de pendiente –2 pasa por el punto A (-1, 4). Halle su ecuación en la forma simétrica. a)
x 2
x
+
y 2
y
=2
b)
x 1
+ x
y 2
=1 y
y
−
=2
d)
− −
= 2 e) −
y
=2 1 2 2 2 2 2 48. Halle la ecuación de la mediatriz del segmento A(-3,2), B(1,6). c)
a) X + y –3 = 0 b) X – y + 3 = 0 c) X – 2y + 1 = 0 d)X + y + 1 = 0 e) X – y – 3 = 0 49. Una recta pasa por el punto A(7,8) y es paralela a la recta que pasa por C(-2, 2) y D (3, - 4). Hallar su ecuación. a) x - 5y – 82 = 0 b) 6x – 5y + 82 = 0 c) 6x – y – 81 = 0 d)x + 5y + 81 = 0 e) 6x + 5y – 82 = 0
Hallar la ecuación de la circunferencia de centro: C(4,3) y radio: 5. Solución
LA CIRCUNFERENCIA 1. ECUACIÓN ORDINARIA
C(4,3)
y P (x ; y)
r C (h ; k)
k
h
x
Centro : C( h ; K) Radio : r Por distancia entre dos puntos: CP
(x −h )2 +( y − )2
=
k
Además: CP = r Se deduce que : r2 = ( x − h) 2 + ( y − k ) 2 ∴
(x
h
−
)
2
(y
+
)
k
−
2
r
=
2
ECUACIÓN ORDINARIA Nota:
r = 5 ∧ (h = 4 ; k =3) Reemplazando: (x-4)2 + (y -3)2 = 52
(x-4)2 + (y -3)2 = 25
NOTA: Conociendo la ecuación se puede deducir su centro y radio (cuando esté en su forma ordinaria). 1. ( x - a)2 + ( x- b)2 = c2 centro: (a ; b) r=c 2. ( x +m)2 + ( x+ n)2 = p2 centro: (-m; -n) r=p 3. ( x + a) 2 + ( x- b) 2 = d2
Si C ( h , k) está en el origen de coordenadas ⇒ C ( 0 , 0) “Centro”
y
(x – 0)2 + (y – 0)2 = r2 Ecuación canónica:
r (0,0) x
Ejemplo:
x2 + y2 = r2
centro: (-a ; b) r=d
2. ECUACIÓN GENERAL: Se sabe que la ecuación ordinaria de la circunferencia es:
(x – h)2 + (y - k)2 = r2 Desarrollando y acomodando: x2 +y2 +(-2h)x +(-2k)y +(h 2+ k2-r2)=0.....(1) Haciendo un cambio de variables: D = -2h E = -2k
F = h2+ k2-r2
1.Hallar la ecuación de la circunferencia de centro C(4,-3) y radio r = 5.
Volviendo a reemplazar en (1) ECUACIÓN x2+ y2+ D x +E y +F = 0 GENERAL: Se deduce que:
Solución: Como: (x - h) 2 + (y - k) 2 = r2 ( x - 4)2 + ( y -( -3))2 = 52 ( x - 4)2 + (y + 3) 2 = 25 Efectuando:
D E Su centro sería: − 2 , − 2 Su radio:
r
1 =
D
2
+
E
2
−
x2+ y2- 8x + 6y = 0
4F
2
2. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro (-5,-12) y radio: r =3 ¡AJÁ! Si:
⇒ Existe
la circunferencia
Solución:
(x + 5)2 + (y + 12)2 = 32 D2 + E2 - 4F > 0
Efectuando:
Ejemplo: Expresar en su forma ordinaria, la ecuación de la circunferencia: x2 + y2 + 4x +6y = 23
x2+ y2+ 10x +24y +160 = 0 3. Hallar el centro y el radio de la circunferencia:
x2 + y2 - 6x - 8y + 9 = 0 Solución: Completando cuadrados: (x2 + 4x + 4)+(y 2 +6y + 9) = 23 + 4+ 9 (x +2)2 + (y + 3) 2 = 36 (x +2)2 + (y + 3) 2 = 62 Donde su centro es: (-2;-3) radio: 6 NOTA: Dada la ecuación de la circunferencia en su forma “general”; completando cuadrados (formando binomios) se le puede llevar a su forma “ordinaria” y por ende hallar su radio y centro. Ejemplos:
Solución: Se busca “completar cuadrados” o sea buscar binomios al cuadrado: (x2 – 6x + 9) + (y 2 – 8y + 16) - 16 = 0 (x – 3)2 + (y - 4)2 = 16 (x – 3)2 + (y - 4)2 = 42 Ya tiene forma:
(x - h)2 + (y - k)2 = r2 ∴ C(3,4), r =4
4. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos: A(2,8) , B(7,3) y C(-2,0) Solución: Por la fórmula general:
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 …………………( α) Reemplazando c/u de los puntos: •
•
22 + 82 + D(2) + E(8) + F = 0 2D + 8E + F = – 68 ……………………(1) 72 + 32 + D(7) + E(3) + F = 0 7D + 3E + F = –58 ………………………(2)
(–2)2 + 02 + D(–2) + E(0) + F = 0 –2D + F = –4 …………………………… (3) Al resolver: D = –4 E = –6 F = –12 •
Reemplazando en (α): x2 + y2 – 4x – 6y – 12 = 0 ∴
El radio sería: r = 9 (x –(–2))2 + (y – 5)2 = 92 (x
2
+
)
2
13
(3,–1)
( x −1) 2 + ( y − 2) 2 = ( )
2
(y
+
2
−
)
2
13
)
2
13
=
6. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro (–2, 5) y es tangente a la recta x = 7. Solución:
x=7 C(–2,5)
81
=
(1,2)
(–2,4)
(1 + 2) 2 + ( 2 − 4) 2
→r =
13
Luego: 2 ( x + 2) 2 + ( y − 4) 2 = 13 ∴ ( x + 2) 2 + ( y − 4) 2 = 13
r
1
2
r
r =
(1,2)
−
)
P(1, 2)
Solución: * r = ( 3 −1) 2 + ( −1 − 2) 2 → r =
(x
5
−
7. Hallar la ecuación de la circunferencia con centro C(–2, 4) y que pasa por la intersección de las rectas: L1 : 4x – 7y + 10 = 0 L2 : 3x + 2y – 7 = 0 Solución: Calculando el punto de intersección al resolver: 4x – 7y = –10 x = 1 3x + 2y = 7 y=2
5. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro: (1, 2) y pasa por el centro (3 , – 1)
∴
(y
+
Nota: Circunferencia de centro (h, k) y radio “r”. Ecuación: (x – h)2 + (y – k)2 = r 2
Nota: Distancia entre dos puntos conociendo sus coordenadas: A (x1 , y1 ) y B (x2 , y2). AB =
PROBLEMAS 1. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C(–4; –1) y es tangente a la recta: 3x + 2y – 12 = 0 a) b) c) d) e)
( x + 4)2 + (y + 1) 2 = 52 ( x + 4)2 + (y + 1) 2 = 50 ( x + 2)2 + (y + 1) 2 = 52 ( x + 4)2 + (y - 1) 2 = 52 ( x – 4)2 + (y + 1) 2 = 52}
2. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A ( 7 ; –5) y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas: 7x – 9y – 10 = 0 y 2x – 5y + 2 = 0. a) b) c) d) e)
(x + 4)2 + (y –1) 2 = 58 (x –4)2 + (y –2)2 = 58 (x –1)2 + (y –2)2 = 50 (x –1)2 + (y –4)2 = 58 (x –4)2 + (y + 2) 2 = 58
3. Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica a la circunferencia, x 2 + y 2 – 6x + 10y – 2 = 0; cuyo radio es un tercio del radio de esta circunferencia. a) b) c) d) e)
(x –3)2 + (y – 5)2 = 4 (x –3)2 + (y –5)2 = 2 (x –3)2 + (y + 5) 2 = 4 (x + 3)2 + (y –5)2 = 4 (x –5)2 + (y + 3) 2 = 4
4. La recta x – y + 3 = 0 es tangente a la circunferencia: x2 – 2x + y2 = 7 en el punto P (a ; b). Hallar a y b. a) a = – 2 , b = 4 b) a = –2 , b = 4 c) a = –1 , b = 3 d) a = –2 , b = 1 e) a = –1 , b = 2 5. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (1, –4), (5, 2) y (4, –1). a) b) c) d) e)
(x + 3)2 + (y – 1)2 = 65 (x + 3)2 + (y – 3)2 = 62 (x + 3)2 + (y – 3)2 = 65 (x – 3)2 + (y – 3)2 = 65 (x + 3)2 + (y + 3) 2 = 65
6. Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en (–2, 5) y pasa por el punto (3, –1) a) b) c) d) e)
(x + 2)2 + (y – 5)2 = 61 (x + 5)2 + (y – 2)2 = 61 (x - 2)2 + (y – 5)2 = 61 (x + 2)2 + (y + 5) 2 = 60 (x + 2)2 + (y – 5)2 = 60
7. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A(7, –5) y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas: L1 : 7x – 9y –10 = 0 L2 : 2x – 5y + 2 = 0 a) b) c) d) e)
(x – 4)2 + (y + 2) 2 = 58 (x – 4)2 + (y – 4)2 = 58 (x – 4)2 + (y – 2)2 = 58 (x + 4)2 + (y – 2)2 = 58 (x – 4)2 + (y – 6)2 = 58
8. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A(7, –5) y es
tangente a la recta: x – y + 4 = 0, en el punto B(3, 1) a) b) c) d) e)
(x – 5)2 + (y + 3) 2 = 8 (x + 5)2 + (y – 3)2 = 8 (x – 7)2 + (y – 3) 2 = 8 (x – 5)2 + (y + 6) 2 = 8 (x – 5)2 + (y – 3) 2 = 8
9. Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia: x2 + y2 + 2x – 2y – 39 = 0, en el punto P (4, 5). a) b) c) d) e)
5x + 4y – 34 = 0 5x + 4y + 40 = 0 5x + 4y – 40 = 0 5x – 2y – 40 = 0 5x + 2y – 40 = 0
10. Hallar la ecuación de la circunferencia con centro C (– 2, 5) y radio r = 61 a) b) c) d) e)
x2 + y2 + 4x + 10y + 32 = 0 x2 – y2 – 4x + 10y – 32 = 0 x2 – y2 + 4x + 10y – 32 = 0 x2 + y2 + 4x – 10y – 32 = 0 x2 + y2 – 2x + 3y – 32 = 0
11. Hallar la ecuación de la circunferencia con centro C(5,–3) y radio r = 8 . a) b) c) d) e)
(x + 5)2 + (y – 3)2 = 2 (x – 5)2 + ( y + 3) 2 = 8 (x – 5)2 + ( y – 3)2 = 8 x2 + y 2 = 3 x2 – y 2 = 4
2
12. Dada la circunferencia: (x 2 2 – 3) + (y + 4) = 36. hallar su centro y su radio. a) (–3, 4), r = 36
b) c) d) e)
(3, –4), r = 6 (–3, 4), r = 6 (3, –2), r = 3 (3 , 2), r = –3
13. Hallar el centro de la circunferencia: x2 + y2 + 4x + 6y – 23 = 0 a) (2, 1) b) (–2, 1) c) (2, –3) d) (–2, –3) e) (3, –2) 14. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos: A (1,–4), B(5 , 2), C(4,–1) a) b) c) d) e)
(x –3)2 + (y + 3) 2 = 52 (x + 3)2 +( y -3) 2 = 65 (x – 3)2 - (y – 3) 2 = 52 (x – 3)2 + (y + 3) 2 = 65 (x + 2)2 + (y – 4)2 = 52
15. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A(5 , 9) y es tangente a la recta: x + 2y – 3 = 0 a) (x –3)2 + ( y – 4)2 = 20 b) (x + 3)2 + ( y – 4) 2 = 20 c) (x –3)2 + ( y – 5)2 = 15 d) (x + 3)2 + ( y – 2) 2 = 15 e) (x –3)2 + ( y – 5)2 = 20 16. Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en C(–2, 4) y pasa por la intersección de las rectas: L1 : 4x – 7y + 10 = 0 ; L 2 : 3x + 2y – 7 = 0 a) b) c) d) e)
(x + 2)2 + ( y – 4) 2 = 13 (x + 2)2 + ( y – 4) 2 = 18 (x + 2)2 + ( y + 4)2 = 18 (x – 2)2 + ( y – 4)2 = 13 (x + 1)2 + ( y – 2)2 = 18
17. Hallar “n”, de modo que la mayor distancia del punto P (1 , 2) a la circunferencia: x2 + y2 + 6x – 10 y – n = 0 Sea 12 unidades. a) 15 d) 18
b) 12 e) 16
a) b) c) d) e)
c) 8
18. Hallar “M” si la recta: 2x + 3y + M = 0, es tangente a la circunferencia: x2 + y2 + 6x + 4y = 0. a) 1 ∨ 4 d) 1 ∨ –4
b) 1 ∨ – 25 e) –1 ∨ 25
2x – 3y + 10 = 0 x – 2y + 10 = 0 3x - 2y – 5 = 0 3x + 2y – 5 = 0 2x – 3y – 15 = 0
21. Hallar la ecuación de la circunferencia. Si: y
c) –1 ∨ –25
19. Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia: X2 + y2 + 2x – 2y – 39 = 0 En el punto: P(4 , 5) a) b) c) d) e)
L2
L1
C x L3
8x – 2y = 20 5x + 4y = 40 8x + 2y = 20 5x + 3y = 40 5x – 4y = 20
L1 : 4x – 3y – 65 = 0 L2 : 7x – 24y + 55 = 0 L3 : 3x + 4y –5 = 0
20. Si “P” es punto medio. Hallar la ecuación de la cuerda AB.
a) b) c) d) e)
B P(–2,4)
A
(x – 10)2 + y2 = 25 (x + 10)2 + y2 = 36 (x –10)2 + y2 = 36 (x –20)2 + y2 = 49 (x + 20)2 + y2 = 49
x2 + y2 = 50
ECUACIÓN DE LA ELIPSE B1
d
1. Elementos V1
d F2
F1
V2
C
d´
B2
d´
Puntos F1, F2 → focos V1 ,V 1→ vértices C → centro
F 1 F 2 = eje focal = 2c V 1 V 2 = eje mayor =2a B 1 B 2 = eje menor = 2b d´ d = directriz
Segmentos 2. Ecuación Ordinaria con centro en el origen C (0,0) y con eje mayor paralelo al eje x x2 a2
+
y2 b 2
=
;
1
C2 = A 2 – B 2
;
A>B
3. Ecuación Ordinaria con centro en el Origen C (0,0) y con eje mayor paralelo al eje Y. x2 b 2
+
y2 a2
=
1
4. Ecuación de la elipse con centro en (h, K), con eje mayor paralelo al eje X. ( x − h)2 a
2
+
( y − k ) 2 b
2
=1
5. Notas: Longitud del lado recto =
2 b a
2
Excentricidad:
PROBLEMAS
e=
c a
1. Hallar la ecuación de la elipse con centro en el origen de coordenada, foco sobre el eje “ x ” y pasa por los puntos P( -3, 2 a) b) c) d) e)
3
) y Q (4, 4
5 3
)
4x2 + 9y2 = 144 4x2 – 9y 2 =144 4x2 – 7y 2=144 4x2 + 7y = 144 x2 + 9y2 = 144
2. Hallar la ecuación de la elipse que tiene su centro en el origen, uno de sus vértices es el punto. 14 ( O, 7) y pasa por M 5 , 3 a) x2/ 7 + y2/ 47 =1 b) x2 / 9 + y2/ 49 = 1 c) x2/ 9 – y2/49 = 1 d) x2/ 7 – y2/47 = 1 e) x2/9 + y2/ 47 = 1 3. Una elipse tiene su centro en el origen y su eje mayor coincide con eje x. Hallar su ecuación sabiendo que pasa por lo puntos A= (
)
(
6 ;−1 y B 2;
a) b) c) d) e)
2
)
2 x2+ 4y2 = 16 4x2 +8y2 = 32 4x2 – 8 y 2 =32 2x2- 8y2= 16 4x2 – 4y 2 = 32
4. Hallar la ecuación de la elipse que pasa por el punto
N
7 2
;3
,tiene su centro
en el origen, su eje menor coincide con el eje x y la longitud de su eje mayor es el doble de la de su eje menor. a) x2/ 2 + y2/8 = 1
b) x2/2 –y2/6 =1 c) x2/4 +y2/16 =1 d) x2/2 – y2/16 = 1 e) x2/4- y2 / 8 =1 5. Hallar el arco del polígono cuyas vértices son los extremos de los lados rectos de la cónica: 25x2 +9y2 – 150x + 72y +144 = 0 a) 144 /3 b) 142/3 c) 144/5 d) 142/4 e) 142/4 6. Hallar la ecuación de la elipse cuyos vértices son los puntos (4.0) y (-4.0), y cuyos focos son los puntos (3.0) y (-3,0) a) x2/16 + y2 / 7 = 1 b) x2/8+ y2 / 7 = 1 c) x2/16 - y2 / 7 = 1 d) x2/8- y2 / 7 = 1 e) x2/7 - x2 / 8 = 0 7. Los vértices de una elipses son los puntos (0, ±6) y sus focos son los puntos (0, ±4). Hallar su ecuación . a) x2/10 + y2 / 18 = 1 b) x2/18 - y2 / 10 = 1 c) x2/20 - y2 / 10 = 1 d) x2/20 + y2 / 36 = 1 e) x2/20 + y2 / 18 = 1 8. Hallar la ecuación de la elipse cuyos focos son los puntos ( ± 2,0), y su excentricidad es igual a 2/3. a) x2/9 + y2 / 5 = 1 b) x2/5 - y2 / 9 = 1 c) x2/7+ y2 / 3 = 1
d) x2/7 - y2 / 3 = 1 e) x2/9 + y2 / 5 = 2 9. Los focos de una elipse son los puntos ( ±3, 0), y la longitud de uno cualquiera de sus lados rectos es igual a 9. Hallar la ecuación de la elipse. a) -x2/36 + y2 / 27 = 1 b) x2/18 + y2 / 27 = 1 c) x2/36 - y2 / 27 = 1 d) x2/9 + y2 / 23 = 1 e) x2/18 - y2 / 9 = 1 10. Hallar la ecuación y la excentricidad de la elipse que tiene su centro en el origen, un de sus vértices es el punto (0,7) y pasa por el punto p ( 5 ,14 / 3 ) a) x2/ 7 + y2/ 47 = 1 ; b) x2/9 +y2 /49 =1 ;
e
=2
e
2 5
=
7 10
7 2 5
c) x 2/9 + y2/ 49 = 1 ;
e
d) x2/7 +y2/49 =1
e
=
2 7
e) x2/9 + y2/48 =1
e
=
2 7
=
7
7
10
11. Una elipse tiene su centro en el origen y su eje mayor coincide con el eje x. Hallar su ecuación sabiendo que pasa por los puntos p( 6,−1) y Q (2,
2
).
a) x2/ 4 – y2/2 = 1 b) x2/8 + y2 /6 = 1 c) x2/2 + y2/3 = 1 d) x2/4 + y2/8 =1 e) x2/4 + y2/4 =1 12. Hallar la ecuación de la elipse que pasa por el punto
(
P
7 / 2,3
) , se tiene su
centro en el origen, su eje menor coincide con el eje x y la longitud de su eje mayor es el doble de la de su eje menor. a) x2/3 + y2/9 = 1 b) x2/16 + y2/8 =1 c) x2/4 + y2/16 = 1 d) x2/2 - y2/8 = 1 e) x2/4 - y2/16 = 1 13. Demostrar que la longitud del eje menor de una elipse es media proporcional entre las longitudes de su eje mayor y su lado recto. Respuesta :................................... 14. Demostrar que la longitud del semieje menor de una elipse es media proporcional entre los dos segmentos de eje mayor determinado por uno de los focos. Respuesta :................................... 15. Demostrar que si dos elipses tienen la misma excentricidad, las longitudes de sus semiejes mayor y menor son proporcionales. Respuesta :................................... 16. Si p1(x1, y1) es un punto cualquiera de la elipse E : b 2 x2 + a 2 y2 = a 2 b2, demuéstrese que sus radios vectores son a + ex1 y a- ex1. establecer el significado de la suma de estas longitudes. Respuesta :.................................. Cusco,12/07/2013
