Trabajo de Geometria Analitica

Geometría Analítica y Algebra Lineal

INDICE

1.

RESUMEN.... RESUMEN........ ......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ............. .............. ...... 3

2.

Introducc Introduccin... in........ .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... .......... .......... ................! ...........!

3.

"roblem# "roblem#tica. tica...... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ............. ............ .... $

!.

%b&eti'o( %b&eti'o()..... ).......... ......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ............. ................... ..................... .................. ........* *

4.1 General........................................ ........................................................... ....................................... ...................................... ............................ .......... * 4.2 Específicos ........................................ ............................................................ ........................................................... ....................................... * $.

+u(ti,caci +u(ti,cacin.... n......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... ...........* ......*

*.

Marco -erico................................ erico.................................................... ........................................ ............................................ ........................ 

6.1 Ecuaciones Paramétricas:.................................................................................. 6.2 Cónicas......................................................................................................1/ 6.3 Superficies........................................ ............................................................ ....................................... ...................................... ................... 12 7.

C!C"#S$!ES..........................................................................................23

%. &i'lio(rafía......................................................................................................23

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1. RES RESUME UMEN N !uestro !uestro pro)ecto pro)ecto *e in+esti(ació in+esti(ación n tiene tiene como o',eti o',eti+o +o (eneral (eneral o'tener o'tener las ecuac ecuacio iones nes *e las las superf superfic icie iess -ue -ue se empl emplea earan ran en la const constru rucc cció ión n *e estructuras. *em/s se 0allara el /rea *e las superficies ) el +olumen -ue ocupara ca*a estructura. Para su realiación aplicaremos los conocimientos necesarios *el curso *e (eom (eomet etrí ría a anal analít ític ica a *el *el cual cual nos nos enfo enfoca camo moss en el tema tema *e supe superf rfic icie iess cua*r/ticas cua*r/ticas para *eterminar *eterminar los o',eti+os o',eti+os plantea*os en el pro)ecto. pro)ecto. *em/s ser/ necesario necesario usar recursos recursos -ue nos faciliten faciliten o'tener los c/lculos c/lculos *e ca*a pro'lema plantea*o.

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2. Introducción

e -ué manera se pue*e emplear las superficies cua*ricas en el *iseo ) construcción *e estructuras5 son ampliamente usa*as en la ciencia ) la in(eniería. "a par/'ola se emplea tanto como para *escri'ir tra)ectorias *e c0orros *e a(ua en una fuente ) el 'otar *e una pelota o pue*en ser incorpora*as en estructuras como un tnel museo etc. 8uc0os *e los *iseos *e 0o) en *ía no e9istirían si al(uien en al(una parte no 0u'iera aplica*o este tipo *e superficies para su *iseo. En el si(uiente pro)ecto nos enfocaremos en el *iseo *e estructuras a partir *e superficies como la par/'ola ) el para'oloi*e 0iper'ólico -ue nos ser/n til en la o'tención *e *i+ersos *atos.

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3. Problemática

. El tnel punta olímpica es consi*era*o el tnel m/s alto *el mun*o )a -ue se encuentra a 4 73 m.s.n.m ) comunica a los po'la*os *e Car0ua C0acas ) San "uis en un recorri*o *e 1;;
&.  raí *el 'oom *e la construcción en nuestro país se 'usca *isear nue+as ) mo*ernas estructuras. Con tal *e cumplir con este propósito se *iseara una estructura con relación a las superficies cu/*ricas *on*e *eterminaremos el aérea ) +olumen *e *ic0a estructura.

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4. b!eti"o#$ 4.1 General

eterminar las ecuaciones *e las superficies -ue se emplearan en la construcción *e las *os estructuras. *em/s el /rea *e las superficies ) el +olumen -ue ocupara ca*a estructura.

4.2 Específicos

eterminar las +aria'les necesarias para 0allar el pro'lema plantea*o. >ealiar los (r/ficos -ue a)u*en a esta'lecer los e,es coor*ena*os en ca*a caso. >ealiar el mane,o *e la teoría en la o'tención *e *atos.

%. &u#ti'cación Esta in+esti(ación es importante por-ue nos a)u*a a +isualiar los aspectos resaltantes a tomar en cuenta cuan*o se *isea *i+ersas estructuras. En esta oportuni*a* nos enfocamos en las formas *e las estructuras *on*e po*emos sealar lo importante -ue es tener las estrate(ias ) el conocimiento necesario para *eterminar la forma en la -ue se +a a construir. El tema *e superficies es *e (ran a)u*a para realiar los *i+ersos tra'a,os como el *iseo *e nue+as ) mo*ernas estructuras.

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(. Marco Teórico 6.1 Ecuaciones Paramétricas:

>eci'en este nom're a-uellas ecuaciones en -ue las +aria'les? 9? ) ? )? ca*a una separa*amente est/n e9presa*as en función *e la misma tercera +aria'le. Se(n esto *esi(nan*o por la letra  la tercera +aria'le comnmente llama*a +aria'le paramétrica estas ecuaciones se representan en la si(uiente forma (eneral: @A B @  A B Es mu) importante aclarar -ue ca*a *os ecuaciones paramétricas representan una sola cur+a perfectamente referi*a a un sistema *e e,es cartesianos como se pue*e +er en el si(uiente e,emplo:

>EC: Partien*o *e la ecuación Dectorial  

 *esarrollan*o la i(ual*a* se tiene )   

 4 5 14 251425  4 5 114 225

$(ualan*o componente a componente se tiene la ecuación paramétrica *e la recta en el plano: @ 1F1 @ 2F2

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LA PAA!"LA:

"a par/'ola es el lu(ar (eométrico *e to*os los puntos cu)as *istancias a una recta fi,a llama*a *irectri ) a un punto fi,o llama*o foco son i(uales entre si. Se sa'e -ue para este tipo *e cur+a la ecuación es: 2@2  "a cual es la ecuación *e una par/'ola 0oriontal con +értice en el ori(en. ϕ es el /n(ulo *e inclinación *e la tan(ente a la par/'ola en el punto P como se muestra en la fi(ura a*,unta. am'ién se sa'e -ue el +alor *e la pen*iente m *e una recta tan(ente a una par/'ola si se conoce el punto *e tan(encia es:

26

Sustitu)en*o

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"#gina 


>eemplaan*o *atos e la primera ecuación tenemos: =  =22

#$#%&'EE&#$A :

e la fi(ura tenemos: Consi*eran*o a P un punto cual-uiera *e la cur+a ) a? como el ra*io *e la circunferencia.

espe,an*o: {= = 

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7 8/429

"#gina :


6.2 #ónicas

#na cónica es el lu(ar (eométrico *e los puntos *el plano A9 )B -ue satisfacen una ecuación completa *e se(un*o (ra*o: 2F2F F FF  @;

La (ipér)ola #omo *ección #ónica

"a circunferencia la elipse la par/'ola o la 0ipér'ola son cur+as planas *e to*os conoci*as. Estas cur+as aparecían )a en la (eometría (rie(a ) fueron *enomina*as secciones cónicas )a -ue los (rie(os *e la época *e Platón consi*era'an -ue tales cur+as proce*ían *e la intersección *e un cono con un plano.

La Elipse #omo

*ección #ónica

Cuan*o los matem/ticos *e los si(los HD$ ) HD$$ estu*iaron los tra'a,os (rie(os empearon a compro'ar la falta *e (enerali*a* *e los méto*os *e *emostración lo -ue lle+o a sustituir la +isión puramente (eométrica *e las secciones cónicas por otra -ue incorpora'a las nociones *e coor*ena*as ) *istancia. Esto lle+o a la *efinición *e estas cur+as como lu(ares (eométricos *e puntos -ue +erifica'an ciertas propie*a*es en términos *e *istancia.

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"#gina ;


La Par+)ola #omo *ección #ónica

una par/'ola es la sección cónica resultante *e cortar un cono recto con un plano cu)o /n(ulo *e inclinación respecto al e,e *e re+olución *el cono sea i(ual al presenta*o por su (eneratri. El plano resultar/ por lo tanto paralelo a *ic0a recta. Se *efine tam'ién como el lu(ar (eométrico *e los puntos *e un plano -ue e-ui*istan *e una recta llama*a *irectri ) un punto e9terior a ella llama*o foco. En (eometría pro)ecti+a la par/'ola se *efine como la cur+a en+ol+ente *e las rectas -ue unen pares *e puntos 0omólo(os en una pro)ecti+i*a* seme,ante o seme,ana.

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6., *uperficies

Sa'emos -ue la ecuación *e una cónica es: 2F2F F FF  @; "a (rafica *e una ecuación *e se(un*o (ra*o en las tres +aria'les 9 ) )  2F 2F2F F F FF F ! F " @;

#ilin-ro:

Es una superficie (enera*a por una recta -ue se mue+e a lo lar(o *e una cur+a plana *e tal manera -ue siempre permanece paralela a la recta fi,a -ue no est/ conteni*a en el plano *e la cur+a *a*. "a recta -ue se mue+e se *enomina (eneratri *el cilin*ro ) la cur+a plana *a* se llama *irectri *el cilin*ro. Cual-uier posición *e una (eneratri reci'e el nom're *e re(la*ura *el cilin*ro. El estu*io se limitara a a-uello -ue ten(a una *irectri en uno *e los planos coor*ena*os ) re(la*uras perpen*iculares a ese plano. Si las re(la*uras *e un cilin*ro son perpen*iculares al plano *e la *irectri se *ice -ue el cilin*ro es perpen*icular al plano. Cu)as re(la*uras son paralelas al e,e *el cilin*ro. Eemplos:

#ilin-ro elíptico

Para la ecuación:

a /4

yb /

#ilin-ro para)ólico Ingeniería 0i'il

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Para la ecuación:

a /4

yb /

#ilin-ro (iper)ólico:

Para la ecuación 1 a /4

yb /

Elipsoi-e:

a /4 b /4c /

Una
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Plano coor*ena*o

traa

HA@;B

Elipse:

HIA@;B

Elipse: :

IAH@ ;B

Elipse:

(iper)oloi-e -e una /oa

"a (rafica *e una ecuación es *e la forma

1 a ; ' ;c ;

Se llama 0iper'oloi*e *e una 0o,a. En este caso un plano ! @ ;  paralelo al plano 9) corta la superficie en secciones trans+ersales elípticas Ao circulares si a@;B. "as ecuaciones *e estas elipses son:

a ; ' ;c ;

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"a elipse m/s pe-uea correspon*e a la -ue se traa en el plano 9):

Plano coor*ena*o

traa

HA@;B

Elipse:

HIA@;B

Jiper'ola: :

IAH@ ;B

Jiper'ola:

"araboloide) La gra,ca de una ecuacin e( de la
a

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Plano coor*ena*o

traa

HA@;B

Punto :A;.;B

HIA@;B

par/'ola: :

IAH@ ;B

par/'ola:

0. E*A"LL"

. #!E" P#! "$8P$C "a sección trans+ersal típica es *e forma semicircular con 7.2m *e anc0o ) 6.= m *e altura. "a lon(itu* *el tnel es *e 134m. 1. Ecuación *e la superficie semicircular *el tnel

•

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En el punto A3.6;B >eemplaan*o:

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•

En el punto &A;3.6B >eemplaan*o:

Entonces le ecuación ser/:

Parametrian*o la ecuación:

2. Krea superficial *e tnel

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3. Calculo *e el +olumen *e *esmonte -ue fue necesario e9traer en la e9ca+ación *el tnel •

Primero 0allamos /rea *e la sección semicircular *el tnel  @ /rea *e la re(ión rectan(ular F /rea *e la re(ión semicircular

•

"ue(o calculamos el +olumen

4. Dolumen *e concreto usa*o el concreto *e aplico por capas 0asta lle(ar a un espesor *e 1 m. El concreto -ue se uso es *el tipo lana*o.

$ma(en *e tnel punta olímpica mo*ela*o en autoca*

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"#gina 1


&. Encontrar las ecuaciones *e la estructura con relacion al para'oli*e 0iper'olico

I

C

&

F1LLL A9B & I : 

LLLLLA1B



M

E

Dista *e perfil:

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N

Dista *es*e el e,e I:

"#gina 1:

H


MM

H$ @9 cos> F)sen> $ @)cos> O9sen>

>eemplaan*o: 

I

I @ 92

•

F1

B F )2

F

En I': >*/

I' @ H2

B F )2

F

I'  ? ista -e perfil:

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ista -es-e el ee 3:

"#gina 1;


MM

•

En @c) >12/

@c @ H2

B F )2

F

@c  ?

MM Dista *e perfil

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Dista *es*e el e,e I

"#gina 2/


rea:  @

M @

@

 @

 @ @

@ A36.=;2B F A; 112%BOA; ;=B @ 3= 46 m Dolumen : D@

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@

"#gina 21


D@

@

D@

*)

D@

D@

D @

@ 17;= m3

$ma(en *e la estructura para'oloi*e 0iper'ólico mo*ela*o en autoca*

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). #"&#L%*$"&E* 





La( Berramienta( =ro=orcionada( =or la Geometría Analítica4 el 0#lculo4 y la Cí(ica4 contribuyen en (u a=licacin a la (olucin de =roblema( cotidiano( en la ingeniería. E6i(te una relacin entre la con,guracin geomDtrica de una e(tructura y (u ca=acidad =ara (o=ortar la( carga( a la cual (e encuentra (ometida4 de tal
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. !i)lio5rafía Btt=)HH.matematica(digitale(.comHBi=erboloide?de?una?Bo&aH Btt=)HHe(.iJi=edia.orgHiJiHKi=erboloide Eduardo E(=inoa Ramo( Geometría Analítica en R 35 +ame( Steart 0#lculo de 'aria( 'ariable(. -ra(cendente( tem=rana(5 Moi(D( l#aro  

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