G. ANALÍTICA
JUAN ORTIZ V. A los números ubicados en estas rectas Coordenadas. Además se les llama Coordenadas. observa que a la derecha las coordenadas son positivas y a la izquierda son negativas, de forma similar para arriba las coordenadas son S ISTEMA ISTEMA DE C OORDENADAS OORDENADAS positivas y para abajo son negativas. Cualquier punto P en en el plano cartesiano RECTANGULARES está representado mediante un Par Cartesiano, en Ordenado O simplemente Sistema Cartesiano, , donde el número es honor a su creador, el matemático René llamado Abscisa y el número , Descartes Descartes (1596-1650) cuyo nombre Ordenada, y se simboliza por P ( ) o latinizado era Renatus Cartesius. P = = ( ).
NOCIONES PRELIMINARES
;;
;;
;;
Todos tenemos la idea que el plano es un Por ejemplo: conjunto de puntos que forman un Los puntos A(–2;3) y B(1;–2) quedarán espacio de dos dimensiones, como la localizados de la siguiente manera: superficie de tu carpeta, una hoja de tu folleto, la pared de tu clase, etc. Estas dos Y dimensiones pueden representarse mediante dos rectas perpendiculares, las 3 A( A(–2;3) P ( ) Cartesiano: cuales forman al Plano Cartesiano: 2 r Y 1
;;
3
IIC
–3 –2 –1 O –1
IC
2
–2
1 –3 –2 –1 O –1
IIIC
–2
1
2
3
X
–3
1
2
3
X
JUAN ORTIZ V.
d y 1
;
A( A(
)
= = − + −
y 2
Se denomina así a aquel punto que biseca a un segmento de recta. Las coordenadas del punto medio M de un segmento AB , donde A( A( ) y B ( ) están dadas por la siguientes fórmula:
;
; ;
A( A(
)
;;
x 1 Para x Para x
)
)
x 2
X
Para y Para y
= − − = − − PROBLEMA APLICATIVO
;
A( A(
x 1
A(2;–1) y 1) y B (14;11), (14;11), En el segmento AB , A(2; se ubica un punto P de tal forma que . Hallar las coordenadas de P .
; =
B (
y 2
O
;
y 1 O
;
P (
;
B (
a b
P UNTO UNTO M EDIO EDIO (M)
y 1
La distancia entre dos puntos A( ) y B ( ) del cualesquiera A( Plano Cartesiano es aquel segmento de recta que une a ambos puntos y su A;B ) o AB viene longitud d o o d ( A; viene dada por la fórmula:
Dado un segmento AB segmento AB , donde A donde A(( ) y B ( ); las coordenadas de un punto cualquiera P ( ) se pueden calcular si se conoce las longitudes de los segmentos parciales que este genera en AB . Observa este poderoso método: Y
x 2
x 1
B (1; (1;–2)
DISTANCIA E NTRE NTRE DOS P UNTOS UNTOS (d)
)
X
O
;
; ; ;;
B (
y 2
Y
IVC
Observa que dichas rectas generan 4 regiones las cuales se denominan Cuadrantes ( Cuadrantes (IC IC,, IIC, IIC, IIIC y IIIC y IVC). IVC). La recta horizontal se llama Eje X o Eje de las Abscisas y Abscisas y la recta vertical, Eje Y o o Eje de las Ordenadas ; la intersección de ambas rectas O es el Origen de las Coordenadas. Coordenadas.
P UNTO UNTO C UALQUIERA UALQUIERA
Y
Donde r es es llamado Radio vector .
–3
G. ANALÍTICA
)
SOLUCIÓN: Graficando el problema:
M ) x 2
( + ; + )
X
; ;− ; −; // = − −−
Para x Para x :
G. ANALÍTICA Resolviendo:
JUAN ORTIZ V. DESARROLLO: Multiplica las diagonales principales y secundarias, suma los resultados y obtén N y M :
− == − = // = − −− ⟹ = ∴ ; Para y :
“ Hay varios métodos para hallar las
coordenadas de un punto cualquiera, pero este es mi favorito. ¿Qué te pareció? ”
ÁREA DE U N T RIÁNGULO
+ ∙∙ ‖ ‖ ∙∙ + ∙ ∙ = | −|
Finalmente reemplaza en:
* Sabemos que si M – N da un número negativo, el valor absoluto lo convierte en positivo.
;
PROBLEMA APLICATIVO El área de un triángulo ABC que tiene ); Hallar el área del un triángulo ABC , por vértices a los puntos: A( B ( ) y C ( ) viene dada por la siendo: , y . siguiente fórmula: SOLUCIÓN: B ( ) Graficando el problema:
; ; ;
; −;− ;− −; − A ; ; A ;− ; = ‖ ‖ − − ‖− −−‖ − − − C (
A(
)
)
Colocamos las coordenadas de los vértices en la determinante, multiplicamos las diagonales principales y secundarias y sumamos los resultados:
Las barras que encierran esta fórmula simbolizan un Valor Absoluto, mientras que las barras intermedias simbolizan una Determinante.
JUAN ORTIZ V. Finalmente:
= |−−| =
G. ANALÍTICA
B ARICENTRO (G)
Es el punto de concurrencia de las medianas de un triángulo. Es posible calcular las coordenadas del “ En si esta fórmula se aplica a todo Baricentro conociendo las coordenadas polígono (triángulo, cuadrilátero, de los vértices del triángulo: pentágono, etc.); pero cuando el B ( ) polígono tiene 4 ó más lados es obligatorio:”
;
Ubicar
sus vértices en el plano cartesiano. Unirlos para formar el polígono. Colocar las coordenadas de los vértices dentro de la determinante en forma ordenada y al final repite la primera. Y listo!!!. El desarrollo será similar al A( de un triángulo.
G a
;
C (
)
; ( + + ; + + )
“ Si te olvidas de estos pasos es preferible morir, pues tu repuesta será incorrecta.”
P UNTOS C OLINEALES
2a
)
I NCENTRO (I)
Es el punto de concurrencia de las bisectrices interiores de un triángulo. Si en la fórmula anterior el área del Las coordenadas del Incentro se calculan triángulo resulta ser igual a cero, usando la siguiente fórmula: entonces los “3 vértices” son colineales. B ( ) Sean los vértices del triángulo ABC : A( ); B ( ) y C ( ). Si:
; ; ; ‖ ‖ =
Entonces los puntos A, B y C serán colineales.
;
c
a
; ; b + + ; ++ + + ) (++ I
C (
A(
)
)
G. ANALÍTICA
JUAN ORTIZ V.
LUGARES GEOMÉTRICOS El término Lugar Geométrico (L.G.), o gráfica de una ecuación, se aplica al conjunto de todos los puntos en el plano que tienen alguna característica común. Por ejemplo:
B
CIRCUNFERENCIA: Es el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de un punto fijo llamado centro. PARÁBOLA: Es el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de un punto fijo llamado foco y una recta llamada directriz.
La ecuación final que contiene a las variables e , así como las constantes dadas en el problema, será la ecuación del lugar geométrico buscado.
; P (
2
3
;
;
Y B
3
Y
X
; + − + − = + − −+ =
P (
) es un punto cualquiera del L.G.
Si d (P ; A) =
Elevando al cuadrado y simplificando obtenemos la ecuación del L.G.
; entonces:
La cual es la ecuación de una Parábola:
;
y 2
A(2;3)
B (
2
O
; = −− ≠
y 1 1
2
X
3
-Ves discípulo, no pasa nada con este problema. -Profe, no entendí nada. -Y eso a mí que me importa.
O
A(
O
X
x 2
X
Y
; = =
(
)
X
P ENDIENTE (m) La pendiente o Coeficiente Angular de una recta no vertical se define como la Caso II: tangente de su ángulo de inclinación. Si una recta tiene su ángulo de Y inclinación agudo, su pendiente es positiva.
)
)
x 1
Caso I: Si una recta es Todos tenemos idea de que la recta es paralela al eje X una sucesión infinita de puntos que van su pendiente es en una misma dirección, pero para igual a cero. definir una recta en G. Analítica es necesario saber lo que es la pendiente.
1 2
)
LA LÍNEA RECTA
A(2;3)
1
Si no se conoce el ángulo de inclinación, pero si dos puntos de paso, la fórmula de la pendiente es:
Donde
)
2
O
=
1
En un plano cartesiano ubicamos el punto A( ) y el punto P ( ), que es un punto cualquiera del lugar. La distancia de P al eje Y es , pero como es aumentada en 2 se prolonga hasta B .
No te olvides de los siguientes pasos:
3
SOLUCIÓN
DEDUCCIÓN DE L A E CUACIÓN DE U N LUGAR G EOMÉTRICO Suponer un punto cualquiera P ( ) del lugar geométrico que satisface las condiciones dadas. Expresar analíticamente las condiciones dadas por medio de una ecuación con las variables e . Efectuar las transformaciones necesarias para simplificar la ecuación resultante.
P (
;
;
;
2
Un punto se mueve de tal manera que su distancia al punto A( ) es siempre igual a su distancia del eje Y aumentada en . Hallar la ecuación del lugar geométrico.
G. ANALÍTICA
Y
entendiste nada, no te preocupes, con este probl ema verás que es sencillo…” PROBLEMA APLICATIVO
JUAN ORTIZ V.
“ Si tienes ganas de llorar porque no
Y
>
X
G. ANALÍTICA Caso III: Si una recta es paralela al eje Y su pendiente no está definida.
Y
= ; =∞ (
Caso IV: Si el ángulo de inclinación de la recta obtuso, su pendiente es negativa.
JUAN ORTIZ V.
2. P ERPENDICULARES Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a –1.
) X
Y
<
Si X
⊥ ⟹ ∙ = − ;
Si te das cuenta, la pendiente de cada una es el negativo del recíproco de la pendiente de la otra.
3. OBLICUAS
Donde a y b son llamados Interceptos de la recta con los ejes X y Y El ángulo formado entre dos rectas no respectivamente. perpendiculares que se cortan entre si se calcula con la siguiente fórmula:
P OSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS 1. P ARALELAS Dos rectas no verticales son paralelas si sus pendientes son iguales.
Si
∥ ⟹ = ;
= + − ∙
En esta fórmula el valor absoluto se usa para obtener el ángulo agudo formado por dichas rectas.
JUAN ORTIZ V.
G. ANALÍTICA
DEFINICIÓN DE L A LÍNEA RECTA O simplemente Recta. Es el lugar geométrico de todos los puntos tales que tomados dos puntos diferentes cualesquiera del lugar, el valor de la pendiente permanece constante.
Y
( ; )
O
E CUACIÓN DE L A RECTA Toda recta se puede representar mediante una ecuación de dos variables, pero para eso verás las formas de hallar dicha ecuación, las cuales son:
F ORMA I E. P UNTO Y P ENDIENTE
= +
X
Donde (0;b) es el intercepto de la recta con el eje Y .
F ORMA III E CUACIÓN S IMÉTRICA
La recta cuyas intersecciones con los La ecuación de una recta no vertical ejes X e Y son a y b respectivamente, que pasa por el punto P ( ) y de tiene por ecuación: En ocasiones a esta forma se le pendiente es: denomina Ecuación Segmentaria.
P (
; ; − = −
Y
)
(0;b)
Donde las variables e son las coordenadas de un punto cualquiera ( ) perteneciente a la recta.
;
F ORMA II E. P ENDIENTE Y ORDENADA
La recta cuya pendiente es y cuya ordenada en el origen es b, tiene por Donde: ecuación:
O
(a;0)
+ = ≠ ≠ y
X
G. ANALÍTICA
JUAN ORTIZ V.
F ORMA IV E CUACIÓN G ENERAL Desarrollando las formas anteriores, podemos escribir la ecuación de una recta de la siguiente manera:
++ =
= |++| √ + DISTANCIA E NTRE DOS RECTAS P ARALELAS
Donde: La distancia d entre dos rectas paralelas - A y B son los Coeficientes de e respectivamente y no pueden ser nulas a es aquel segmento perpendicular trazado entre ambas rectas. la vez. -C se le llama Término Independiente. Además de esta ecuación se puede hallar el valor de la pendiente:
Donde:
= − ≠
DISTANCIA DE U N P UNTO A U NA RECTA
++ =
Si consideramos un punto P (a;b) y una recta . La distancia d del punto a dicha recta es aquel segmento perpendicular trazado desde P hasta la recta. P (a;b) d
++ =
++ = ++ =
d
Donde d se calcula con la fórmula:
= √| − +| E CUACIÓN DE L A B ISECTRIZ DE U N ÁNGULO Las bisectrices de los ángulos suplementarios formados por las rectas que se intersecan:
+++ = + =
1 : 2 :
Donde d se calcula con la fórmula:
Tienen por ecuaciones:
JUAN ORTIZ V.
G. ANALÍTICA
| + + | = |+ + | + + *
2. C OINCIDENTES Dos o más rectas son coincidentes si tienen un punto en común y la misma pendiente, en pocas palabras, son una misma recta. Por tanto todos los coeficientes son iguales. Sean
1 y
2 dos rectas coincidentes:
+++ = + = = ; = ; = 3. P ++ = + + = − + + + + + + = + + + − + + F D R ∴ −+ = C 1. P −+ = ++ = ++ = ++ = 1 :
2
2 :
Entonces:
1
Para que es Bisectriz del ángulo agudo, su ecuación será:
Para * que es Bisectriz del ángulo obtuso, su ecuación será:
ERPENDICULARES
Dada la recta 1 : , si se quiere hallar la ecuación de una recta 2 perpendicular a esta, los pasos son los siguientes:
AMILIA E ECTAS OPLANARES
ARALELAS
Si dos o más rectas son paralelas entre si, la única diferencia entre sus ecuaciones generales son los términos independientes.
Intercambia los coeficientes de e : 2 : Cambia de signo al coeficiente de : 2 : Finalmente el término independiente de 2 será diferente al de 1: 2 :
2 :
1 :
G. ANALÍTICA
JUAN ORTIZ V.
CIRCUNFERENCIA
F ORMA II E CUACIÓN C ANÓNICA
; = ; + =
Es el lugar geométrico de todos los Si el centro de la circunferencia está puntos del plano cuyas distancias a un en el origen, ; de la punto fijo son iguales. El punto fijo es el ecuación anterior quedará: Centro y la distancia constante, Radio.
E CUACIÓN DE L A C IRCUNFERENCIA
Y
Las formas de representar a una circunferencia mediante el Álgebra son las siguientes:
P ( ; )
JUAN ORTIZ V. G. ANALÍTICA Esta es la llamada Ecuación General de S EGUNDO: una circunferencia. Sin embargo despejando h, k y r de: Donde: -D y E son los coeficientes de e ; ; respectivamente. Se obtiene: -F es el término independiente.
OBSERVACIONES : P RIMERO:
Completando cuadrados se puede ir de la E. General a la E. Ordinaria y con ello comparando hallar el centro y el radio.
Dada la circunferencia:
Estas son las fórmulas para hallar al ojo el centro C (h;k ) y el radio r en una circunferencia.
Hallar su centro y radio.
PROBLEMA APLICATIVO
C (0;0)
F ORMA I E CUACIÓN ORDINARIA
r
O
PROBLEMA APLICATIVO X
O Ecuación Reducida. Si tenemos una circunferencia de centro C ( ) y radio r ( ):
; Y
>0
P ( ; ) k
F ORMA III E CUACIÓN G ENERAL Si desarrollamos los cuadrados de la ecuación ordinaria de la circunferencia:
r
Entonces se tiene:
O
h
X
Ordenando la ecuación:
Con la definición de circunferencia se deduce que su ecuación viene dada por:
Haciendo que: ;
Donde las variables e son las coordenadas de un punto P ( ; ) cualquiera en la circunferencia.
+ −+− =
En el problema anterior comparando las ecuaciones:
SOLUCIÓN
− + − = −+ + − + = + + − +− ++ − = − + − = = − = − = + − + + ++ = C ( ; )
= − = − = + − , = (− , − ) = + −
;
Finalmente se obtiene:
Primero ordenamos la ecuación:
− + + − = − + − + + + − = − − −−+ ++ + − − = = − + − = ∴=;−=− == Completamos cuadrados:
Comparando con la E. Ordinaria: Notamos que:
;
;
y
++ −++− = ++ = = − = = − ; = (−− ; − ) ; = (− ;− ) ∴ ; = ;− = = + − + −− − ∴=
Observamos que: ;
Hallando el centro:
Luego el radio:
;
G. ANALÍTICA
JUAN ORTIZ V.
T ERCERO:
C ASO 2:
Analizando la fórmula:
Recta tangente a la circunferencia de centro ( ) y radio r , donde el punto de tangencia es T ( ; ).
= + − + − > + − = = + − <
Y
Podemos sacar 3 conclusiones con respecto a la circunferencia: Si: , entonces es un número real y de igual manera la circunferencia es real . Si: , entonces y la circunferencia se reduce a un punto, el centro. Si: , entonces es un número imaginario y por tanto la circunferencia es imaginaria.
E CUACIÓN DE L A T ANGENTE A U NA C IRCUNFERENCIA C ASO 1:
;
;
La ecuación de
r
O
X
T
se halla con:
− − + − − =
Recta tangente de pendiente a la circunferencia de centro ( ) y radio r . Y
T:
1. Si el plano secante es perpendicular al eje del cono, la intersección es una Circunferencia. 2. Si el plano no es perpendicular al eje, pero corta a toda generatriz, la intersección es una Elipse. 3. Si el plano secante es paralelo a una generatriz y corta a todas las demás, la intersección es una Parábola. 4. Si el plano secante corta a dos ramas del cono y no pasa por el vértice, la intersección es una Hipérbola.
Eje
Circunferencia
Elipse
Generatriz
S ECCIÓN C ÓNICA
X
T
G. ANALÍTICA La curva que resulta depende de la inclinación del eje del cono con respecto al plano que lo corta.
r
O
La ecuación de
Sean: una recta, un ángulo y P un punto de . La superficie formada por todas las rectas que pasan por P y forman un ángulo con , recibe el nombre de Cono de Revolución de Dos Ramas o Mantos. La recta es el eje del cono y P su vértice, las rectas que pasan por P y lo forman son las generatrices del cono.
T
C ( ; )
SECCIONES CÓNICAS C ONO DE REVOLUCIÓN DE DOS R AMAS
T
T ( ; )
C ( ; )
JUAN ORTIZ V.
se halla con:
− = −±√+
Círculos en los campos de Inglaterra. Existen varias teorías sobre quienes pudieron hacerlos, pero nadie duda que su perfección sea incomparable.
O Simplemente Cónica. Se denomina así al conjunto de puntos que forman la intersección de un plano con un cono de revolución de dos ramas.
Parábola
Hipérbola
Cuando el plano pasa por el vértice de la superficie cónica se obtienen lugares geométricos excepcionales que recibe el nombre de Secciones Cónicas Degeneradas y pueden ser:
G. ANALÍTICA a) Un Punto, si el plano y la superficie cónica sólo tienen en común el vértice. b) Una Recta, si el plano es tangente a la superficie cónica, es decir, si el plano contiene a una generatriz. c) Dos Rectas, si el plano contiene a dos generatrices.
JUAN ORTIZ V.
= ;;
JUAN ORTIZ V. Dada la definición anterior se puede observar que:
===
D (Directriz)
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
Un Punto
Una Recta
Si Si Si Si
== >< <
; es una Circunferencia. ; la cónica es una Parábola. ; la cónica es una Elipse. ; la cónica es una Hipérbola.
Dos Rectas
E XCENTRICIDAD (e) Una sección cónica también se puede definir como el lugar geométrico trazado por un punto que se mueve de tal manera que sus distancias no dirigidas a un punto fijo (Foco) y a una recta fija (Directriz ) están en una relación constante (Excentricidad ). Luego si P es un punto de la cónica, F el foco, D la directriz y e la excentricidad:
A
Foco
Directriz
B
C
Y
k
A P p p
P ( ; )
B D
C
Es el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de un punto fijo (Foco) y una recta fija (Directriz ).
En una parábola cuyo eje es paralelo al eje X , con vértice V (h;k ) y parámetro p; su ecuación se halla con la fórmula:
Eje de Simetría
L
PARÁBOLA
1. P ARÁBOLA H ORIZONTAL
V : Vértice F : Foco AB : Cuerda CD: Cuerda Focal LR: Lado Recto FP : Radio Vector p: Parámetro
F (Foco)
E CUACIÓN DE L A P ARÁBOLA F ORMA I E CUACIÓN ORDINARIA
E LEMENTOS :
P ( ; )
G. ANALÍTICA
O
V ( ; ) Directriz
Y no te olvides de estas fórmulas:
= = ;; =
F
h
X
− = − :
R
F
p V (h;k )
OBSERVACIONES
* Las variables e son las coordenadas de un punto P ( ; ) cualquiera en la parábola.
>
*Si p es positivo ; entonces la parábola se abre hacia la derecha.
< 0
*Si p es negativo ; entonces la parábola se abre hacia la izquierda.
Y p O
X
Y p O
X
G. ANALÍTICA
JUAN ORTIZ V.
2. P ARÁBOLA V ERTICAL
F ORMA II
Considerando una parábola cuyo eje es E CUACIÓN C ANÓNICA paralelo al eje Y , con vértice V (h;k ) y Se da cuando el vértice de una parábola parámetro p; para hallar su ecuación se está en el origen de las coordenadas hace uso de la siguiente fórmula: y las ecuaciones anteriores quedan de la siguiente forma: Y
; = ;
1. P ARÁBOLA H ORIZONTAL
JUAN ORTIZ V.
p k O
P ( ; )
V (h;k ) h
V (0;0) O
X
− = − :
* Las variables e son las coordenadas de un punto P ( ; ) cualquiera en la parábola.
> <
*Si p es negativo ; entonces la parábola se abre hacia abajo.
p F
X
1. P ARÁBOLA H ORIZONTAL Desarrollando y ordenando la ecuación:
− = − + ++ = ≠
2. P ARÁBOLA V ERTICAL
p O
X
Y
F
O V (0;0) p
O
p
X
=
+ = E LEMENTOS : D1
D2
N
P
E A
L
Desarrollando y ordenando la ecuación:
Y
Y
Donde: A esta forma se le denomina Ecuación General de una Parábola con eje paralelo al eje X .
Es el lugar geométrico que forma un punto P al moverse en un plano de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (F 1 y F 2) llamados focos es siempre igual a una constante 2a. Por esta definición:
2. P ARÁBOLA V ERTICAL
=
OBSERVACIONES
*Si p es positivo ; entonces la parábola se abre hacia arriba.
P ( ; )
F
LA ELIPSE
F ORMA III E CUACIÓN G ENERAL
Se obtiene: Y
G. ANALÍTICA
P ( ; ) X
− = − + ++ = ≠
Se obtiene:
Donde: A esta forma se le denomina Ecuación General de una Parábola con eje paralelo al eje Y .
F
V 1 F 1
C
B
F 2 V 2
G
1. C : Centro 2. V 1 y V 2: Vértices 3. F 1 y F 2: Focos 4. F: Eje Focal 5. N: Eje Normal 6. D1 y D2: Directrices 7. LR: Lado Recto 8. AB : Cuerda focal 9. EG : Diámetro 10.F 1P y F 2P : Radio Vectores
R
G. ANALÍTICA
JUAN ORTIZ V. 7. La Distancia entre las Directrices (D) mide:
RELACIONES F UNDAMENTALES :
=
D B 1
JUAN ORTIZ V.
G. ANALÍTICA
2. E LIPSE V ERTICAL
Y
En una elipse de centro C (h;k ) y cuyo eje focal es paralelo al eje Y , su ecuación se halla usando la siguiente fórmula: b
Y
a
L a
a c
V 1 F 1
c
a
E CUACIONES DE LA E LIPSE
b F 2 V 2
b
a
P ( ; )
R B 2
1. E LIPSE H ORIZONTAL
= = = = + = ,, = < < − + − = =
1. Eje Mayor:
2. El Eje Menor
3. El Segmento Focal
4. La Relación entre a, b y c es:
En una elipse de centro C (h;k ) y cuyo eje focal es paralelo al eje X , su ecuación se halla usando la siguiente fórmula:
O
b
k
a C (h;k )
b
P ( ; )
5. La Excentricidad (e) es:
O
h
X
De donde se deduce que:
6. El Lado Recto (LR) mide:
Donde: -a: Semieje Mayor -b: Semieje Menor - e son las coordenadas de un punto P cualquiera de la elipse.
F ORMA II E CUACIÓN C ANÓNICA Se da cuando el centro de una elipse está en el origen de las coordenadas y las ecuaciones anteriores quedan de la siguiente forma:
)
+ =
X
Donde: -a: Semieje Mayor -b: Semieje Menor - e son las coordenadas de un punto P cualquiera de la elipse.
Y
a b
b O C (0;0) a
X
P ( ; )
; = ;
F ORMA III E CUACIÓN G ENERAL
1. E LIPSE H ORIZONTAL
1. E LIPSE H ORIZONTAL
+ =
X
2. E LIPSE V ERTICAL
− + − =
Y
a
h
;
P (
b C (h;k )
b
k
F ORMA I E CUACIÓN ORDINARIA
a O C (0;0) b
Desarrollando y ordenando la ecuación:
− + − =
G. ANALÍTICA Se obtiene:
JUAN ORTIZ V.
+ + ++ = ≠ 2. E V − + − = + + ++ = ≠ Donde: , pero tienen el mismo signo.
LIPSE ERTICAL
Desarrollando y ordenando la ecuación:
LA HIPÉRBOLA Es el lugar geométrico que forma un punto P al moverse en un plano de tal manera que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos F 1 y F 2, llamados focos, es siempre igual a una constante 2a. P 1
Y
JUAN ORTIZ V. 1. N: Eje Normal 2. F: Eje focal 3. C : Centro 4. V 1 y V 2: Vértices 5. F 1 y F 2: Focos 6. F 2P 2 y F 2P 1: Radio Vectores 7. DE : Cuerda Focal 8. LR: Lado Recto 9. AB : Diámetro 10. 1 y 2: Directrices 11. 1 y 2: Asíntotas
F 1
O
P 3
F 1
Por definición: P 1F 1 – P 1F 2 =2a Nota que las ecuaciones generales son P 2F 1 – P 2F 2 =2a iguales; por tanto si nos dan la ecuación P 3F 1 – P 3F 2 =2a general de una elipse estamos obligados a completar cuadrados para saber si es horizontal o vertical. E LEMENTOS :
ÁREA DE UNA E LIPSE
b a
a
=
L
V 1
1
1
R D 6. El Lado Recto (LR) mide:
=
c
b
c
V 1 a
b
a V 2
P 2 L
P 1 A
F
E
= = = = + = ,, = >
7. La Distancia entre las Directrices (D) mide:
=
F 2
V 2 B
R
2. El Eje Conjugado
A SÍNTOTAS
3. El Segmento Focal
Se denominan así a las rectas que pasan por las diagonales del Rectángulo Fundamental de una hipérbola.
4. La Relación entre a, b y c es:
2
D
V 1 C
F 2
1. El Eje Transverso
2
F 2
V 2 B 2
B 2
N
F 1 b
F 1
2
B 2
B 2
F 2 X
OBSERVACIÓN :
1
P 2
Donde: , pero tienen el mismo signo.
El área una elipse es igual al producto de con dos de sus semiejes.
P ( ; )
RELACIONES :
Se obtiene:
G. ANALÍTICA
1
2
B
5. La Excentricidad (e) es:
De donde se deduce que:
B 1
C
b F 1
V 1 a A
b B 2
a V 2 D
F 2
G. ANALÍTICA JUAN ORTIZ V. Este gráfico muestra el Rectángulo 2. H IPÉRBOLA V ERTICAL Fundamental ABCD, donde: y En una hipérbola de centro C (h;k ) y cuyo Luego las rectas 1 y 2 son las eje transverso es paralelo al eje Y , su llamadas Asíntotas de la hipérbola. ecuación se halla usando la siguiente fórmula:
= = = = E CUACIONES DE LA H IPÉRBOLA
Y
1. H IPÉRBOLA H ORIZONTAL
k
a b b C (h;k ) a
O
h
O
b
X
− − − =
a
b
h
− − − =
X
Donde: -a: Semieje Transverso -b: Semieje Conjugado - e son las coordenadas de un punto P cualquiera de la hipérbola.
1. H IPÉRBOLA H ORIZONTAL Desarrollando y ordenando la ecuación: b
a
; = ;
X
b
− − − =
Se obtiene:
− + ++ = ≠ 2. H V − − − = Donde: , pero tienen el mismo signo.
IPÉRBOLA ERTICAL
Desarrollando y ordenando la ecuación:
2. H IPÉRBOLA V ERTICAL Y
Se obtiene:
P ( ; ) a b C (0;0)
b a
X
− + ++ = ≠ Donde: , pero tienen el mismo signo.
OBSERVACIÓN :
F ORMA II E CUACIÓN C ANÓNICA
Donde: Se da cuando el centro de la hipérbola -a: Semieje Transverso está en el origen de las coordenadas -b: Semieje Conjugado ; luego las ecuaciones - e son las coordenadas de un punto P anteriores quedan de la siguiente forma: cualquiera de la hipérbola.
P ( ; )
− =
P ( ; ) a C (h;k )
1. H IPÉRBOLA H ORIZONTAL F ORMA III E CUACIÓN G ENERAL Y
a C (0;0)
En una hipérbola de centro C (h;k ) y cuyo eje transverso es paralelo al eje X , su ecuación se halla usando la siguiente fórmula:
k
G. ANALÍTICA
P ( ; )
F ORMA I E CUACIÓN ORDINARIA
Y
JUAN ORTIZ V.
− =
Nota que la ecuación general de una hipérbola horizontal y vertical son iguales; por lo tanto si nos dan como dato la ecuación general de una hipérbola estamos obligados a completar cuadrados para saber si es horizontal o vertical.
G. ANALÍTICA
H IPÉRBOLA E QUILÁTERA
JUAN ORTIZ V. Si la ecuación de la hipérbola horizontal es:
− = − =
O Hipérbola Rectangular . Se llama así cuando la longitud del eje transverso es igual a la longitud del Entonces la ecuación de la hipérbola eje conjugado, es decir, cuando su conjugada a esta será: rectángulo elemental es un Cuadrado. Luego las asíntotas son perpendiculares y .
= 1
2
C
B a a
F 1
a
a
Debe notarse que dos hipérbolas conjugadas son concéntricas, tienen en común un par de asíntotas y todos sus focos están en una circunferencia de radio c .
F 2 D
A
Donde: ABCD es un Cuadrado. Tito se encuentra en la puerta de su casa, cuyas coordenadas son (1;1) y desea ir a pescar a un rio cuya orilla está sobre la recta de ecuación: . Dos hipérbolas son conjugadas cuando el Determinar un punto sobre la orilla de eje transverso de una es idéntico al eje modo que recorra la menor distancia. conjugado de la otra. (Ordinario 2000_I Fase) Y A) (1;6) B) (2;4) C) (3;2) 1 2 D) (7/2;1) E) (0;8) F 2
H IPÉRBOLAS C ONJUGADAS
b F 1
a
b F 1
a
F 2
X
2 + −8 = 0
3;−2 −2 −6−3
Una recta con pendiente –2/3 y que pasa por el punto , también pasa por el punto P : (Ordinario 2002_I Fase)
−3
A) (6;0) D) ( ;6)
B) (2;
)
C) (4; ) E) ( ;4)
JUAN ORTIZ V.
G. ANALÍTICA recta perpendicular a dicho segmento y que pase por su otro extremo . Uno de los focos de la elipse mostrada: (Ceprunsa 2004_I Fase) ; es el punto: (Ordinario 2002_I Fase) A) B) A) (0; ) B) ( ; ) C) (0; ) C) D) ( ;0) E) ( ;0) D) E)
+ 4 − 16 = 0 √ 3−4√ 3 −4√ 3 0 2√ 2√ 3 3 23 − 9+4−20−14+32= 0 = 0 √ 8 √ √ 1105 =+3−7/3 −1 +18 = 0
+4 −24+69==00 728 −9+14 −5 ==00 714−2−69 −2+39 = 0 2 −6 = 7 3 − = 2 −3
La parábola forma con la recta una Sean las rectas: cuerda. Hallar su longitud. y 2 : . 1 : (Ordinario 2002_II Fase) ¿Cuál de las afirmaciones es verdadera? (Ceprunsa 2004_I Fase) A) 15 B) C) A) Se intersecan en el punto (7;2). D) 10 E) B) Se intersecan en el punto ( ;7). C) Se intersecan en el origen. D) Son perpendiculares. Hallar el valor de “a” . Si las rectas: E) Son paralelas. y 1 : son paralelas. 2 : (Ordinario 2003_I Fase) La suma de las longitudes de los ejes A) 5/4 B) 3/4 C) 2/3 mayor y menor de la elipse: ; es: D) 1/4 E) 1/2 (Ceprunsa 2004_I Fase)
4 + − 4 +4 +4 = 0
A) 3/2 B) 5/2 C) 3 La suma de las coordenadas de un punto D) 5/4 E) 2 en el eje X que está a 3 unidades del punto medio del segmento de recta que une y es: cuya pendiente es pasa (Ordinario 2003_I Fase) La recta por el punto ( ) y también por los puntos ( )y( ). A) B) C) Hallar . D) E) (Ceprunsa 2004_I Fase)
5;2 −5;−6 −2 −3; 2 √ √ 32 −√ 5 −3−4 82;−23 −1; −10 −1−8 −5;1 2;−1
A) 6 Si es un extremo de un D) 3 segmento de recta y es su punto medio. Hallar la ecuación de una
B)
C) E)
G. ANALÍTICA
JUAN ORTIZ V. mediana en el punto E . La suma algebraica de las coordenadas del punto La suma de las coordenadas del centro E es: de la circunferencia: (Ordinario 2004_I Fase) ; es: (Ceprunsa 2004_I Fase) A) 2/7 B) 3/4 C) 2/5 D) 1/5 E) 4/3 A) 16 B) 11 C) D) 1 E)
+ + 10 −12 +45 = 0
−4−2
−− −5;4 −−1;= −1/2 −1/2 30
Una recta cuya pendiente es pasa por los puntos: P ( ), A( )y Dos de los vértices de un triángulo son B( ). Entonces el valor de ( ) es: A( ) y B( ). El tercer vértice C (Ceprunsa 2004_II Fase) está sobre el eje Y , y su baricentro sobre el eje X . Hallar las coordenadas de C . A) B) C) (Ordinario 2004_I Fase) D) 4/3 E)
2;−3 −5;1 0;3 0;−3
A) ( ) D) (0;2)
B) (
)
0;0;−−26
C) ( E) (
;−1 −2
) )
3 + +3 = 0 2 +−8 = 0 1;−2 4;4 4 + 9 = 36 33 ++ −13+13 == 00 33++−11+10 == 00 3 + +11 = 0 = 2 − 4 +7 −− 4 +52,5+ = 0 −10;−13 −2;3
Determinar la ecuación de la recta L que es paralela a la recta y que pasa por la intersección de las rectas En la ecuación de la elipse: y L, pasando esta ; la suma de las L : última por los puntos ( ) y ( ). longitudes de sus lados rectos es: (Ceprunsa 2004_II Fase) (Ordinario 2004_I Fase) C) 15/2 A) E) 11/6 B) C) D) E) La suma de las coordenadas del vértice de la parábola: ; es: (Ceprunsa 2004_II Fase) Determinar el valor de “k” para que la , forme con los ejes A) 3 B) 9 C) 1 recta D) 6 E) 3 coordenados un triángulo rectángulo de área igual a . (Ordinario 2004_II Fase) A) 13/5 D) 16/3
B) 19/4
En un triángulo ABC de vértices: A) 7 ), B( ) y C (2;1) se traza D) 3 una mediana desde el vértice C , luego se baja una perpendicular desde B a la
A(
B) 6
C) 12 E) 10
JUAN ORTIZ V. En
3 − 2 − 6 −4+ 1 = 0 , la siguiente ecuación:
G. ANALÍTICA C) Una hipérbola con centro ( 2/3;1/3). D) Una elipse con centro ( 2/3;1/3). E) Una circunferencia de radio 2u.
−−
Representa:
(Ordinario 2005_I Fase)
A) Una circunferencia B) Una parábola C) Un conjunto vacio D) Un par de rectas E) Una hipérbola
= −2 +3 = 3 −5 +5 10/79/5 −11/8 11/6
Hallar el valor de “m” de manera que las rectas: ; sean perpendiculares. (Ceprunsa 2005_II Fase) A) D)
B)
C) 10/9 E)
La pendiente de la recta es 3/2. ¿Cuál es la pendiente de todas las rectas Hallar la ecuación de la circunferencia que sea tangente a dos ejes coordenados, perpendiculares a ? (Ceprunsa 2005_I Fase) de radio igual a 8u. y cuyo centro esta en el primer cuadrante. (Ceprunsa 2005_II Fase) A) B) C) 2/3 D) E) A) B) C) Los puntos P y Q dividen al segmento AB D) en tres partes iguales. Si P está más cerca E) de A; ¿Cuál es la coordenada de P , siendo y ? (Ordinario 2005_I Fase) Dada la ecuación de la elipse: . Calcular el A) B) 2/5 C) 1/5 punto medio entre sus vértices. D) E) (Ceprunsa 2005_II Fase)
−1/3 −2/3
−1
1/3 ++ −− 1616 +16 −16 +64 = 0 +128 = 0 ++ +− 1616 −16 −64 = 0 +24 +64−64 ==00 + − 24 −16 −2/5 −7/5 + 4 − 6 −8 −3 = 0 0−1/5 4/5 −3; − 1 3; − 1 1; 3 −3; 1 3 ; 1 9 − 9 + 12 +6 +3 = 0 ℎ; + + 6 −4 = 0 − − A) D)
La ecuación:
B)
C) E)
Representa:
(Ordinario 2005_I Fase)
A) Una circunferencia con centro en ( 2/3;1/3). B) Dos rectas que se cortan en ( 2/3;1/3).
Al hallar el centro de la circunferencia cuya ecuación es: ;. Podemos afirmar que: (Ceprunsa 2005_II Fase)
G. ANALÍTICA A) C) E)
JUAN ORTIZ V. E) 3
−2ℎ2ℎ2ℎ −3+3+3===−11 0 2ℎ2ℎ −3+3 == 00 −3 2 ;1 1; + 4 −8 +36 = 0 2;−2;−44 1;3 3;−1;−22 −3 −1 −3 + +4 = 5 −3;6 7;9;00 −7;0 1;5;00 == 106 == −12 −10 = 9 7−;3 + −2; 5 − 12 − + 4−16 = 0 − = 0 −4−3 −1 2;0;20 1;1 4;3;34 −−1= 0+ −1 = 8 2 + −31;=40 3;2. −1;1;0;10−1−3;5;53;−33 1;0;10 3;4;34 −2 1 2 B) D)
D)
Una recta de pendiente 4 que pasa por el punto , también pasa por . Determinar las coordenadas del vértice ¿Cuál es el valor de ? de la parábola: . (Ceprunsa 2006_I Fase) (Ordinario 2005_II Fase) A) 3 B) C) 7 A) B) C) D) E) 0 D) E) La recta que pasa por el centro de la Hallar la ecuación de la parábola con circunferencia vértice en el origen, cuyo eje es el eje de y que tiene pendiente 1, corta al eje X en: las abscisas y que pasa por . (Ceprunsa 2006_I Fase) (Ordinario 2005_II Fase) A) B) C) D) E) A) B) C) D) E) Se tienen los puntos y . Si están situados en el Una parábola tiene por ecuación: plano cartesiano y en la misma recta ¿Cuánto suman las . Encuentre el horizontal; punto de intersección del eje focal de la coordenadas del punto Q? (Ceprunsa 2006_I Fase) parábola con la recta cuya ecuación general es: . B) C) 3 (Ordinario 2005_II Fase) A) D) E) 2 A) B) C) D) E) La circunferencia:
Determinar el valor de “a” para que la recta cuya ecuación es: , sea paralela a la recta que pasa por y A) (Ordinario 2005_II Fase) C) E) A) B) C)
; corta a la recta en los puntos: (Ceprunsa 2006_I Fase)
y
y
y
B) D)
y y
JUAN ORTIZ V.
G. ANALÍTICA (Ceprunsa 2006_II Fase)
+ − 8 +6 = 0
La circunferencia de la ecuación: , es una relación binaria en R. Sobre esta relación se afirma que: I. Su gráfica corta a los ejes en 4 puntos. II. Su dominio es el intervalo . III. Su rango es el intervalo . IV. es la ecuación de una recta que pasa por su centro. (Ordinario 2006_I Fase)
A) VFV D) FVF
B) VVF
C) FFF E) FVV
[8;−21;] 9] +3 −2 +8 = 0 [ − + −1 = 0 + 1− −5 = 0 40 3 1 24 −2 1/3 −1;4 1;−1 6;1 4 + 9 = 36 4;1;84 2;6 4;4;56 5 + 5 = 1 −3;4 1;−8;14 −7;7 0;1;97 = + = + + = + ==−1 ⁄ 2 2 2 √ √ 3 √ = 1 A) D)
B)
C) A) E) 2 D)
Tres de los vértices de un paralelogramo son los puntos: , y . El cuarto vértice que se encuentra en el primer cuadrante es: (Ordinario 2006_I Fase) A) D)
B)
C) E)
¿Cuál de los siguientes puntos no pertenece a la circunferencia de centro y radio 5u? (Ordinario 2006_I Fase) A) D)
B)
Hallar “k” para que las rectas: 1 : 2 : Sean perpendiculares. (Ordinario 2006_II Fase)
C) E)
B)
C) E) 2/3
¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I. La gráfica de la ecuación: , es una elipse.
II. Una elipse es el conjunto de todos aquellos puntos tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos diferentes siempre es constante, mayor que la distancia entre los puntos fijos. III. La gráfica de la ecuación:
Es una circunferencia.
(Ordinario 2006_II Fase)
A) I y II D) Sólo I
B) Todas
C) I y IIII E) II y III
El diámetro de la circunferencia Si: 1 : , 2 : ; son , es: perpendiculares. Indicar la verdad (V) o (Ceprunsa 2006_III Fase) falsedad (F) de: A) 1 B) C) D) 2 E) -
G. ANALÍTICA
JUAN ORTIZ V.
1;5 +1 2 −⊥ +3−3;−5 =30 1;2;00 −1/2 −2
2;2 5;−2 6;0
y . La recta 1 pasa por el punto y Dados los puntos . Sea 2 : ; Hallar el punto P en el eje de las abscisas de modo que el ángulo MPN sea recto. hallar , si 1 2. (Ordinario 2006_III Fase) (Ceprunsa 2006_III Fase) A) D)
B) 4
C) 1/3 A) E) 2/3 D)
B)
C) E) B y C
+ −5 = 1 −4 9 25 = 4 7;95 4;1;15 7;10;104 4;0;04 +− −+ 55 += 0 = 0 4; 13;5 5;13 −+ −− 54 ==00 + − 5 = 0 2; − 3 ++ ++ == 00 0;0;−−1/21/3 1;1/2 1;2;−−33 − = 0 − = 0 − 1 − 18 = 0 + = −4/3 −7/3 (0;− ) 4−6 1/4 23 2 −6 = 7 3 − = 2
La ecuación de la circunferencia que Dada la elipse, sus focos son: pasa por el vértice y los puntos extremos del lado recto de la parábola ; es: (Ceprunsa 2007_II Fase) (Ordinario 2006_III Fase) A) B) C) D) E)
A) C) E)
Dadas las ecuaciones de las rectas: 1 : 2 : I. Si 1 es paralela a 2, entonces: . II. Si 1 es perpendicular a 2, entonces: . III. La intersección de 1 con el eje Y es el punto:
B) VFV
B) D)
y y
La parábola cuyo eje esta en el eje Y , su vértice en el origen y que pasa por el punto , tiene su foco en: (Ceprunsa 2007_II Fase) A) D)
B)
C) E)
El valor de r para que la recta sea paralela a la recta , es: (Ceprunsa 2007_I Fase)
Señale la secuencia correcta de A) verdaderas (V) y falsas (F). D) (Ordinario 2006_III Fase) A) FVF D) VVF
y y y
B)
C) E)
C) FFV E) VVV Sean las rectas: ; . ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
JUAN ORTIZ V. (Ordinario 2007_I Fase) D) Todas
−7;7;27
A) Se intersecan en el punto B) Se intersecan en el punto C) Se intersecan en el origen. D) Son perpendiculares. E) Son paralelas.
.
.
G. ANALÍTICA E)
3 4;−2
Determine la ecuación general de la recta que pasa por el punto , donde es perpendicular a la recta
3 −4 +11 = 0. = + 3 3 − = 10 43 +4−3 −4−22==00 43 +3+4+20 +22 == 00 ≠∈ ℤ3 = 3 >≤ 03 3 +4 −10 = 0 + 4 + = 4 ;4 ;1 − 9 = 0 −4 − 0−4 −1 −3−2 + 6 + − 2 +6 = 0 3 − 9 = 27 −3/4 1 ; 1 5;−2 5;−2 ∉ 2;−1 5;−3/4 1 2
(Ceprunsa 2008_I Fase)
Si: 1 : ; 2 : . A) No son paralelas, podemos afirmar que: B) (Ceprunsa 2007_III Fase) C) D) A) B) C) E) D) E)
Evaluar si las siguientes proposiciones Si la distancia entre los puntos son verdaderas (V) o falsas (F). y es 5u. Entonces uno de los es la ecuación de una valores de es: elipse. (Ceprunsa 2007_III Fase) es la ecuación de una hipérbola. A) B) C) es la D) E) ecuación de una circunferencia. es la ecuación de una elipse. (Ordinario 2008_I Fase) Una recta de pendiente pasa por el punto . Con respecto a y A) VFVF B) VFVV C) VVFF ; ¿Cuántas de las afirmaciones son D) VVFV E) FVFV verdaderas? I. es un punto de que dista 5u de A. II. es un punto de que dista ¿Cuál de las siguientes afirmaciones son verdaderas? 5u de A. , III. es un punto del plano que I. Dada la recta y un punto fijo se define una parábola como el dista 5u de . conjunto de todos aquellos puntos IV. es un punto del plano que cuya distancia al punto fijo F es igual dista 5u de . a su distancia a la recta . (Ordinario 2007_III Fase) II. Una elipse es el conjunto de todos aquellos puntos tales que la suma de A) Ninguna B) C)
G. ANALÍTICA todas sus distancias a dos puntos fijos diferentes siempre es constante y mayor que la distancia entre los puntos fijos. III. Una hipérbola es el conjunto de todos aquellos puntos cuya distancia a un punto fijo es constante. (Ordinario 2008_I Fase) A) I y II D) I, II y III
B) I y III
JUAN ORTIZ V. C) E)
4;1;67 −4;5 4;3;−−51 6;1 −1;4 1;−1 A) D)
B)
Tres de los vértices de un paralelogramo son los puntos , y . Si la ordenada del vértice D es 6; ¿Cuál es su abscisa? (Ceprunsa 2008_II Fase) C) II y III E) III A) 7 B) 5 C) 4 D) E) 2
3
2;−3
Determinar la ordenada en el origen de la recta que pasa por el punto y . Si es perpendicular a la recta de ecuación Se tiene la elipse E los focos de son los vértices de una . (Ordinario 2008_I Fase) hipérbola H y los vértices de E son los focos de H . ¿Cuántas afirmaciones al A) B) 11 C) 5 respecto son verdaderas? Las asíntotas de H son las rectas D) E) 4 . El centro de H es La ecuación de H es . Un automóvil avanza en línea recta El eje conjugado de H es el eje Y . cuya trayectoria se describe por (Ceprunsa 2008_III Fase) . Otro vehículo tiene como trayectoria a . ¿En A) 2 B) Ninguna C) 3 qué coordenada se encuentran ambos D) Todas E) 1 vehículos? (Ceprunsa 2008_II Fase)
4 + −5 = 0 −5−11
3 − +2 = 0 +2 −5 = 0 A) (1/7;17/7) C) (2/7;15/7) E) (4/7;14/7)
:9 + 25 = 225 4 = 0 0;0 3 ± 16 − 9 = 0
−2 − 4+3= 0= 0 √ 84 √ √ 8801
es B) (3/7;15/7) La cuerda de la parábola un segmento de la recta . D) (5/7;13/7) Determinar la longitud de del segmento. (Ceprunsa 2009_I Fase)
√ √ 8832
A) B) C) El punto medio de un segmento de recta D) E) es . Si uno de sus extremos es el punto ; ¿Cuáles son las coordenadas del otro extremo? (Ceprunsa 2008_II Fase) Indicar la veracidad (V) y la falsedad (F) de las siguientes proposiciones:
−1;42;3
JUAN ORTIZ V. G. ANALÍTICA La recta tangente a la circunferencia en el punto P y el diámetro que contiene a La ecuación de la parábola con eje focal dicho punto, son ortogonales. y La excentricidad de la elipse es mayor paralelo al eje Y, de vértice que pasa por el punto . que 1. (Ceprunsa 2009_II Fase) La ecuación de la elipse con centro en el origen y eje focal en X esta dado por: A) B) C) (Ceprunsa 2009_I Fase) D) E) A) VFV B) FFV C) VFF D) VVF E) FVF
2;2 −2;3 −16 −3+3 −2−2+2 === 4−16 +3 −2+2 == 8−8−3 −3 0;4 −− 8 −+168+16= 0 = 0 ++ 168== 00 − 8+16 = 0
+ = 1
Hallar la ecuación general de la parábola cuyas coordenadas de su foco son Una recta de pendiente pasa por el y el eje X es su directriz. punto y también por los puntos (Ordinario 2009_II Fase) y . Hallar . (Ceprunsa 2009_I Fase) A) B) A) B) 9 C) 11 C) D) E) 10 D) E)
−2 2; 7 ;3 6; 3 + −10−11 1;1 3 − +2 = 0 3,1,25 1,3 −2;−1 −1;−1;12 −1;5
Un cuadrado tiene uno de sus lados en la recta y un vértice en Calcular el área del polígono limitado . Hallar su área. por el eje de las abscisas y los gráficos (Ordinario 2009_I Fase) de las siguientes funciones: , y . A) B) C) (Ordinario 2009_II Fase) D) E)
= +2 = 9 ℎ = +5 1,1,46 36 21 27
Sea una recta que pasa por el punto y que tiene por pendiente 3/2. Entonces dicha recta también pasa por el punto: (Ceprunsa 2009_II Fase) A) D)
B)
C) E)
2;2;53
A) D)
19/2
B)
C) E)
18
