PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE FACULTAD DE MATEMATICAS DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
MLM1300. Geometr´ıa Sexto conjunto de problemas Geometr´ıa anal´ıtica. Circunferencia Segundo semestre 2001
Nombre: .........................................................................Secci´ on N
◦
: ......
1. Hallar la ecuaci´ on de la circunferencia: (i) cuyo centro es el punto (−1, 2) y que pasa por el punto (2, 6), (ii) que pasa por los puntos (1, 1), (1, −1) y (2, 0). 2. Hallar la ecuaci´ on de la circunferencia que teniendo su centro en la recta de ecuaci´on 2x + y = 0 es tangente a las rectas de ecuaciones: 4x − 3y + 1 = 0
4x − 3y − 30 = 0 .
,
3. Hallar la ecuaci´ on de la circunferencia que pasa por el punto (0, 8), es tangente a la recta de ecuaci´ on 3x−4y = 0 y tiene su centro en la recta de ecuaci´on 4x−7y+40 = 0. 4. Hallar la ecuaci´ on de la circunferencia que es tangente a las rectas de ecuaciones: 3x − 4y + 11 = 0
,
3x + 4y − 5 = 0 ,
y tiene radio 2. 5. Hallar la ecuaci´ on de la circunferencia que pasa por el punto (3, 4) y que es tangente a las rectas de ecuaciones: x+y−9=0
,
7x − y + 33 = 0 .
6. Hallar la ecuaciones de las circunferencias que son tangentes a las rectas de ecuaciones: 4x − 3y − 10 = 0 , 3x − 4y − 5 = 0 , 3x − 4y − 15 = 0 . 7. Dado el tri´ angulo de v´ertices (−2, 0), (10, 0) y (0, 4), hallar la ecuaci´on de la circunferencia que pasa por los tres puntos medios y verificar que a ella tambi´en pertenecen los pies de las alturas y los puntos que dimidian los tres trazos que unen al ortocentro con los tres v´ertices. 8. Hallar la ecuaci´ on del di´ ametro de la circunferencia de ecuaci´on: x2 + y 2 + 4x − 6y − 17 = 0 , que es perpendicular a la recta de ecuaci´on 5x + 2y − 13 = 0.
1
9. Hallar la ecuaci´ on de la cuerda de la circunferencia de ecuaci´on: (x − 3)2 + (y − 7)2 = 169 , cuyo punto medio es el punto M
17 3 , . 2 2
10. Hallar la ecuaci´ on de la circunferencia que pasa por los puntos (−7, −5), (8, 4), (6, −4). 11. Determinar la posici´ on relativa entre la recta y la circunferencia dadas por las ecuaciones: (i) 2x − y − 3 = 0 , x2 + y 2 − 3x + 2y − 3 = 0 , (ii) x − 2y − 1 = 0 , x2 + y 2 − 8x + 2y + 12 = 0 , (iii) x − y + 1 = 0 , x2 + y 2 − 1 = 0 . 12. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes trazadas desde el punto (1, 6) a la circunferencia de ecuaci´ on: x2 + y 2 + 2x − 19 = 0 . 13. Hallar la ecuaci´ on de la recta tangente a la circunferencia de ecuaci´on: x2 + y 2 − 2x − 6y − 3 = 0 , en el punto (−1, 6). 14. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la circunferencia de ecuaci´on: x2 + y 2 + 2x + y − que tienen pendiente igual a −
47 =0, 4
3 . 2
15. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la circunferencia de ecuaci´on: x2 + y 2 − 2x + 4y = 0 , y que son perpendiculares a la recta de ecuaci´on x − 2y + 9 = 0. 16. Demostrar que las rectas tangentes comunes a las circunferencias de ecuaciones: x2 + y 2 + 2x = 0 ,
x2 + y 2 − 6x = 0 ,
forman un tri´ angulo equil´ atero. 17. Hallar la ecuaci´ on de la circunferencia que pasa por el punto (−8, 5) y por la intersecci´ on de las circunferencias de ecuaciones: x2 + y 2 − 8x − 6y + 17 = 0
x2 + y 2 − 18x − 4y + 67 = 0 .
,
18. Hallar la ecuaci´ on de la circunferencia que tiene su centro sobre la recta de ecuaci´on 2x + y − 14 = 0 y que pasa por las intersecciones de las circunferencias de ecuaciones: x2 + y 2 − 8x − 4y + 11 = 0
2
,
x2 + y 2 − 4x + 4y − 8 = 0 .
19. Hallar la ecuaci´ on de la circunferencia que pasa por las intersecciones de las circunferencias de ecuaciones: x2 + y 2 − 6x + 4 = 0
,
x2 + y 2 − 2 = 0 ,
y que es tangente a la recta de ecuaci´on x + 3y − 14 = 0. 20. Desde el punto (−4, 4) se han trazado rectas tangentes a la circunferencia de ecuaci´on: x2 + y 2 − 6x + 2y + 5 = 0 , calcular la longitud de la cuerda que une los puntos de contacto. 21. Demostrar que las circunferencias de ecuaciones: x2 + y 2 + 2x − 3y +
19 =0 , 2
x2 + y 2 − 4x + 5y − 2 = 0 ,
son ortogonales. 22. Hallar la ecuaci´ on de la circunferencia que es ortogonal a las circunferencias de ecuaciones: x2 + y 2 + 2x + 17y + 4 = 0 , x2 + y 2 + 7x + 6y + 11 = 0 , x2 + y 2 − x + 22y + 3 = 0 . 23. Determinar el lugar geom´etrico de los puntos tales que su distancia al punto (4, 2) es igual al doble de su distancia al punto (−1, 3). 24. Determinar el lugar geom´etrico de los puntos tales que el cuadrado de su distancia al punto (1, 2) es igual al doble de su distancia a la recta de ecuaci´on 3x + 4y − 1 = 0. 25. Determinar el lugar geom´etrico de los puntos tales que la suma de los cuadrados de sus distancias a las rectas de ecuaciones: 3x − y + 4 = 0
,
x + 3y − 7 = 0 ,
sea igual a 2. 26. La circunferencia de ecuaci´ on: x2 + y 2 − 2dx − f 2 = 0 , se corta por la recta de ecuaci´ on x = c seg´ un los puntos P y P 0 . Demostrar que el producto de las distancias desde los puntos (0, ±f ) a la recta tangente en P (o P 0 ) es igual a c2 . 27. Sean A, B puntos fijos de una circunferencia de ecuaci´on x2 + y 2 = 1 y sea CD un di´ ametro variable de ´esta. Probar que el lugar geom´etrico del punto de intersecci´on ←→
←→
P de las rectas AC y BD es una circunferencia. 28. Demostrar que el lugar geom´etrico de un punto que se mueve de modo que el cuadrado de su distancia a la base de un tri´angulo is´osceles es igual al ´area del rect´angulo cuyos lados son las distancias desde el punto a los lados del tri´angulo, es una circunferencia que pasa por los extremos de la base. 29. Demostrar que el lugar geom´etrico de un punto que se mueve de modo que la suma de los cuadrados de sus distancias a los cuatro lados de un cuadrado es constante, es una circunferencia con centro en el centro del cuadrado.
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30. Demostrar que el lugar geom´etrico de un punto que se mueve de modo que el cuadrado de su distancia a un punto dado es proporcional a su distancia a una recta fija, es una circunferencia con centro en la perpendicular a la recta fija trazada por el punto dado. 31. Demostrar que el lugar geom´etrico de los puntos medios de las cuerdas de una circunferencia dada que pasan por un punto fijo es la circunferencia que tiene por di´ametro al trazo que une el centro de la circunferencia dada con el punto fijo. 32. Dados dos puntos A y B y una circunferencia, se traza por el punto B una secante variable que corta a la circunferencia en los puntos C y D. Demostrar que el lugar ←→
geom´etrico del tri´ angulo ACD es una recta perpendicular a la recta AB. 33. Dada la circunferencia de ecuaci´on: x2 + y 2 − 2ax − 3a2 = 0 , se traza por el origen circunferencias cuyo per´ımetro queda dimidiado por la circunferencia dada. Demostrar que el lugar geom´etrico de los centros de estas circunferencias es la circunferencia de ecuaci´ on: a 2 7 x− + y 2 = a2 . 2 4 34. Se prolonga el di´ ametro AB de una circunferencia en una longitud BC = AB y ←→
por el punto C se levanta la perpendicular a la recta AC. Desde un punto D de esta perpendicular se trazan las rectas tangentes a la circunferencia, que junto con la recta tangente a ella en el punto A forman el tri´angulo DEF . Demostrar que el centro de gravedad del tri´ angulo es fijo. 35. Dados dos puntos y una circunferencia, demostrar que las distancias desde cada uno de dichos puntos a la recta polar del otro son directamente proporcionales a las distancias desde esos mismos puntos al centro de la circunferencia. 36. Demostrar que si dos circunferencias de ecuaciones C = 0 y C0 = 0 tienen radios r y r0 respectivamente, entonces las circunferencias de ecuaciones: 1 1 C + 0 C0 = 0 , r r
1 1 C − 0 C0 = 0 , r r
son ortogonales. 37. Demostrar que una circunferencia es de radio cero si y s´olo si es ortogonal consigo misma.
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