Struktur balok yang ditumpu oleh dua tumpuan dapat menahan momen yang yang diti ditimb mbul ulka kan n oleh oleh beba bebann-be beba ban n yang yang beke bekerja rja pada pada stru strukt ktur ur terseb tersebut, ut, ini berart berartii sebagi sebagian an dari dari penem penempan pangny gnyaa dimuat dimuatii dengan dengan tekanan dan tarikan. Semakin panjang bentangan dari struktur balok ters terseb ebut ut maka maka mome momen n yang yang didu diduku kung ng oleh oleh balok balok sema semaki kin n besa besar, r, demikian halnya semakin besar jarak antara sumbu balok dengan garis momen maka semakin besar momen yang timbul, sedangkan momen yang didukung oleh bagian/elemen balok tersebut tidak sama besar. Hal ini yang mengakibatkan struktur balok tidak efektif untuk bentangan yang panjang. Disamping itu tidak semua jenis bahan yang digunakan untuk struktur bangunan mampu menahan beban yang besar, misalnya beton, batu atau batu bata yang cukup getas. Untuk mengatasi momen yang besar ini maka diusahakan supaya garis momen momen terseb tersebut ut mende mendekat katii sumbu sumbu balok balok yang yang berart berartii mome momen n yang yang timbul semakin kecil, dengan pengertian diperlukan suatu struktur yang mampu untuk mendukung beban yang bekerja pada suatu bentangan yang besar tetapi tidak menimbulkan momen yang besar atau dengan kata lain, membuat struktur yang mampu mendistribusikan beban yang bekerja menjadi beban aksial dan beban geser pada struktur tersebut (mungkin ada momen tetapi sangat kecil). Struktur balok yang mampu untuk untuk menye menyebar barkan kan beban beban terseb tersebut ut yaitu yaitu menja menjadika dikan n garis garis tekan tekan mende mendekat katii sumbu sumbu balok balok dengan dengan memb membuat uat sumbu sumbu balok balok berben berbentuk tuk pelengkung atau sebuah pelengkung parabola.
II-1
Pelengkung parabola, jika dibebani secara merata penuh, tidak akan menahan momen, asalkan reaksi perletakannya mampu menghalangi translasi/pergeseran ke semua arah (baik vertical maupun horizontal). Oleh karena itu kedua tumpuan tersebut berupa perletakan sendi yang masing-ma masing-masing sing akan menghas menghasilkan ilkan dua komponen, komponen, yaitu yaitu R V V dan R H, sehingga semuanya ada empat komponen reaksi. Persamaan statis/kesetimbangan yang ada hanya ada tiga,yaitu ∑ M = 0, ∑ V = 0, ∑ H = 0, karena karena itu struktu strukturr tersebut tersebut merup merupaka akan n statis statis tidak tertentu. Dengan memberi memberi sendi pada pelengkung di antara kedua tumpuannya dengan syarat momen di tempat sendi tersebut adalah nol. Dengan demikian diperoleh satu buah persamaan tambahan yang dapat digu diguna naka kan n untu untukk meng menghit hitun ung g besa besarn rnya ya empa empatt komp kompon onen en reak reaksi si perletakan perletakan tadi. Pelengkung Pelengkung yang demikian demikian disebut disebut , dimana sendi yang ketiga biasanya ditempatkan pada puncak pelengkung.
Analisis Analisis
struktur struktur pada pelengkung pelengkung tiga sendi dengan dengan bentuk bentuk
geometrinya simetris tetapi pembebanannya tidak harus simetris, dapat dihitung/ dihitung/ diselesaika diselesaikan n dengan dengan langkah-lang langkah-langkah kah perhitunga perhitungan n sebagai sebagai pedoman pedoman analisis analisis struktur struktur pelengkung pelengkung tiga sendi sendi yang simetris sebagai berikut : Pelengkung Pelengkung tiga sendi A – S – B seperti seperti pada pada gamba gambarr II – 1(a) yang mempunyai mempunyai tumpuan tumpuan sama sama tingginya, tingginya, dengan panjang panjang bentang bentang A-B sama dengan L , puncak ketinggian sama dengan h , mendapat beban P dengan jarak a dari tumpuan A.
II-2
Dengan Dengan persama persamaan an kesetim kesetimbanga bangan n : ∑ M B = 0 akan akan dipero diperoleh leh R AV dan dengan dengan persamaa persamaan n
∑ M A = 0
akan didapatkan didapatkan R BV BV sebagai
berikut : ● ∑ MB = 0 —› ( R AV ) ( L ) – ( P ) ( L – a ) = 0 P ( L – a ) R AV = -------------L
● ∑ M A = 0 —› (- R BV BV ) ( L ) – ( P ) ( a ) = 0 P a R BV BV = -----------L
Gambar II – 1 Reaksi Reaksi vertikal vertikal R AV dan R BV, BV, adalah sama seperti pada persamaan struktur struktur balok sederhana sederhana A–B. Perhitungan Perhitungan momen momen pada pelengkung pelengkung tiga sendi sama dengan perhitungan momen pada balok sederhana.
II-3
Momen di C adalah : MC = R AV (x) ± R AH (y) tanda ± tergantung dari arah momen akibat R AH AH Untuk mencari mencari koordinat koordinat pada pada pelengkung pelengkung tiga sendi sendi yang berjarak berjarak x meter dari tumpuan, tumpuan, digunakan persamaan dasar parabola : 4 h (x) ( L – a ) y = --------------------L²
Dimana : y : tinggi titik yang ditinjau dari tumpuan h : tinggi puncak parabola dari tumpuan
x : jarak mendatar dari tumpuan terdekat L : jarak mendatar dari dua buah tumpuannya
Untuk menghitung gaya geser dan gaya normal di setiap titik pada pelengkung tiga sendi, diperlukan kemiringan/garis singgung pada titik tersebut. Gaya vertical V diuraikan menjadi menjadi gaya yang yang tegak lurus garis singgung di titik tersebut tersebut atau atau gaya geser (SF V) dan gaya yang sejajar dengan garis singgung atau gaya normal (NF V), demikian pula gaya horizontal horizontal H diuraikan diuraikan menjadi menjadi gaya geser (SFH) dan gaya normal (NFH) seperti terlihat pada Gambar II – 1(b) Uraian gaya vertikal V : NF V sin θ = ------ —› NF V = V sin θ V …….. (1) SF V cos θ = -------- --V
—› SF V = V cos θ
Uraian gaya horizontal H :
II-4
SFH sin θ = -------- --- —› SFH = H sin θ H NFH ……… (2) cos θ = --------- -- —› NFH = H cos θ H Dari Dari urai uraian an persam persamaan aan (1) dan (2), (2), gaya gaya geser geser pada pada titik titik ( x,y x,y ) adalah : SFx = SF V – SFH SFx = V cos θ – H sin θ sedangkan gaya normal pada titik ( x,y ) adalah adalah : NFx = NF V + NFH NFx = V sin θ + H cos θ
Contoh (1) : Diketahui pelengkung tiga sendi A-S-B dengan beban dan ukuran ukuran seper seperti ti pada
Gambar Gambar II – 2(a). Hitung Hitung reaks reaksii
tumpuan, gaya gaya geser, gaya gaya normal dan momen di titik x (9,6).
● Misalkan reaksi tumpuan di A dan B mempunyai arah seperti pada gambar II – 2(a) ∑ MB = 0 —› R AV (36) + R AH (0) – (4)(18)(27) = 0 36 R AV + 0 – 1944 = 0 R AV = 54 T ( ↑ )
II-5
∑ M A = 0 —› - R BV BV (36) + R BH BH (0) + (4)(18)(9) = 0 - 36 R BV BV + 0 + 648 = 0 R BV BV = 18 T ( ↑ ) Kontrol terhadap ∑ V = 0 R AV + R BV BV – (4)(18) = 0 54 +18 – 72 = 0 …………….ok !
Gambar II – 2
Tinjau kesetimbangan bagian kiri, yaitu bagian AS ∑ MS kiri = 0 —› R AV (18) - R AH (8) – (4)(18)(9) = 0 (54)(18) – 8 R AH – 648 = 0 324 – 8 R AH = 0 —› R AH = 40,5 T (—›)
II-6
Tinjau kesetimbangan bagian kanan, yaitu bagian BS ∑ MS kanan = 0 —› - R BV BV (18) + R BH BH (8) = 0 - (18)(18) + 8 R BH BH = 0 - 324 + 8R BH BH = 0 —› R BH BH = 40,5 T (‹—) Kontrol terhadap ∑ H = 0 R AH + R BH BH
= 0
40,5 – 40,5 = 0 …………….ok ! Titik koordinat koordinat pada pelengkun pelengkung g tiga sendi yang yang berjarak berjarak x m dari tumpua tumpuan n dapat dapat dicari dicari dengan dengan mengg mengguna unakan kan persam persamaan aan dasar dasar parabola ; 4 h (x) ( L – x ) y = --------------------------------- -------L²
Untuk Untuk h = 8 m dan L = 36 m, maka maka persam persamaan aan parabo parabola la menjadi, 4 (8)(x) ( 36 – x ) 32(x)(36 – x) 2 y = --------------------- = ---------------- = ---- ( 36x – x² ) (36)² 1296 81
Untuk titik x = 9 m, maka nilai y : Y = d y d x
2 81
=
{ (36)(9) – (9)² } = 6 m 2 81
(36 – 2x)
II-7
〈
tg θ =
d y d x 4 9
〉 x=9 =
2 81
{ (36 – 2(9) } =
—› θ = arctg
4 9
2 81
(18) =
4 9
= 23,9625o —› sin θ = 0,4061 cos θ = 0,9138
Pada titik x (9,6), maka gaya vertikal, vertikal, gaya horizontal, horizontal, gaya geser, geser, gaya normal dan momen momen adalah sebagai berikut : ◊ Gaya vertikal dan horizontal ( Vx dan Hx ) Vx = R AV – (4)(x) (4)(x) = 54 – (4)(9) (4)(9) = 18 T ( ↑ ) Hx = R AH = 40 T ( ‹— ) ◊ Gaya geser ( SFx ) SFx = V cos θ – H sin θ = (18)(0,9138) – (40,5)(0,4061) = 0,00135 ≈ 0 T ◊ Gaya normal ( NFx )
:
NFx = V sin θ + H cos θ = (18)(0,4061) + (40,5)(0,9138) = 44,3186 T ( tekan ) ◊ Momen ( Mx ) : Mx = (54)(9) – (40,5)(6) – (4)(9)(4,5) = 81 Tm
II-8
Pada pelaksanaan di lapangan, sering dihadapi persoalan struktur yang terjadi, terjadi, bahwa suatu suatu struktur struktur pelengkng pelengkng tiga sendi yang kedua kedua buah tumpua tumpuanny nnyaa merupa merupakan kan sendi sendi yang yang tidak tidak terlet terletak ak pada pada level level atau atau ketinggian yang sama, atau dengan istilah panjang batang lengkungnya tidak sama. Pelengkung yang demikian disebut dengan pelengkung tiga sendi yang tidak simetris. Untuk menyelesaikan pelengkung tiga sendi yang tidak simetris, tidak dapat langsung digunakan persamaan parabola yang ada, tetapi dengan syarat, yaitu memperpanjang panjang lengkung yang pendek sehingga menja menjadi di peleng pelengkun kung g tiga tiga sendi sendi simetri simetriss (secar (secaraa fiktif) fiktif),, sepert sepertii pada pada contoh berikut :
Contoh Contoh (2) :
Diketahui Diketahui sebuah sebuah pelengkung pelengkung tiga sendi sendi A-S-B dengan dengan beba beban n dan dan ukur ukuran an sepe sepert rtii pada pada Ga Gam mbar bar II – 3(a) 3(a).. Hitunglah reaksi-reaksi tumpuan serta gaya geser, gaya normal dan momen pada titik x .
II-9
Gambar II - 3
: ∑ MB = 0 —› R AV (60) - R AH (9) – (1)(40)(40) = 0 60 R AV – 9 R AH = 1600 ……………...... (1) ∑ MS kiri = 0 —› R AV (40) – R AH (12) - (1)(40)(20) = 0 40 R AV – 12 R AH = 800 ……………....
(2)
Dari persamaan (1) dan (2), maka : (1) . . . . . . . . . 60 R AV – 9 R AH = 1600 (2) x 1,5 . . . . . 60 R AV – 18 R AH = 1200
------------------------------- – 9 R AH = 400 R AH = 44,44 T ( —› )
II-10
R AV = 33,33 T ( ↑ ) ∑ V = 0 R AV – (1)(40) + R BV BV = 0 R BV BV = 40 – 33,33 = 6,67 T ( ↑ ) ∑ H = 0 R BH BH + R AH = 0 —› R BH BH = 44,44 T ( ‹— ) Dengan menggunakan menggunakan persamaan persamaan parabola parabola dasar, untuk untuk h = 12 m, y = 9 m dan x = 60 m, maka panjang panjang bentang bentang pelengkug pelengkug yang simetris simetris dapat dihitung sebagai sebagai berikut ( Gambar Gambar II – 3b ) 4 h (x) ( L – x ) y = ------------------------------- ----------
4(12)(60)( L – 60 ) ——› 9 = ----------------------------------- --------------
L²
9 L² = 2880 ( L – 60 )
L²
—› L² = 320 L – 19200
L² – 320 L + 19200 = 0
– (–320) ± √ (–320)² (–320)² – (4)(1)(1920 (4)(1)(19200) 0) L 1&2 -------------------------------------------------1&2 = 2 L 1 = 240 m —› tidak mungkin (tidak memenuhi ) L 2 2 = 80 m ( memenuhi )
Untuk h = 12 m dan L = 80 m, maka maka persam persamaan aan parabo parabola la dasar berubah menjadi : (4)(12)(x)( 80 – x ) y = --------------------------------- -------------80² 3840(x) – 48(x²) y = ------------------------------- ---------6400
48(x)(80 – x) ——› y = ------------------------------- -------6400 ——› y = 0,6 x – 0,0075 x²
II-11
∂y/∂x = 0,6 – 0,015 x Untuk x = 20 m, lihat Gambar II – 3(b) maka, nilai y adalah: y = 0,6 x – 0,0075 x² y = (0,6)(20) – 0,0075 (20)² = 9 m ——› titik X (20 , 9) Nilai ∂y/∂x atau garis singgung singgung pada pada titik X (20 , 9) adalah : ∂y/∂x = 0,6 – 0,015 (20) ∂y/∂x = 0,3 atau tg θ = 0,3 ——› θ = 16̊ 41´́ sin θ = 0,2873 cos θ = 0,9578 Besarnya gaya vertikal V dan gaya horizontal H pada titik X dapat dihitung : V = 33,33 – (1)(20) (1)(20) = 13,33 T ( ↑ ) H = 44,44 T ( ‹— ) Setelah Setelah gaya vertikal vertikal dan gaya gaya horizontal horizontal pada titik titik X (20 , 9) dapat ditentukan, maka gaya geser, gaya normal dan momen pada titik tersebut dapat dicari. ¤ Gaya Geser (SF X ) X
SFX = V cos θ – H sin θ = (13,33)(0,9578) – (44,44)(0,2873) = 0 T
¤ Gaya Normal (NF X X ) NFX = V sin θ + H cos θ = (13,33)(0,2873) + (44,44)(0,9578) = 46,40 T ¤ Momen Lentur (M X X )
II-12
MX = R AV (20) – R AH (9) - (0,5)(q)(20)² = (13,33)(20) – (44,44)(9) – (0,5)(1)(20)² = 66,67 Tm Contoh Contoh (3) : Struktur Struktur pelengkung pelengkung tiga sendi A-S-B dan pembebana pembebanan n sepe sepert rtii terl terlih ihat at pada pada gam gambar bar II – 4.
Hitu Hitung ng reaks reaksii
tumpuan, gaya geser, gaya normal dan momen pada titik X yang berjarak 5 m di sebelah kiri dari tumpuan B.
● ∑ MB = 0 —› R AV (10) + R AH (5) – (5)(4) = 0 10 R AV + 5 R AH = 20 …………………… (1) ∑ M A = 0 —› (5)(1) – R BV BV (10) – R BH BH (5) = 0 10 R BV BV + 5 R BH BH = 5 ……………………
(2)
∑ MS kanan = 0 —› (5)(2) – R BV BV (L/2) – R BH BH (6) = 0
Gambar II – 4
II-13
Untuk Untuk menghit menghitung ung panjang panjang bentan bentang g
L, dengan dengan persam persamaa aan n
parabola dasar pada titik (10 , 5) 4 h (x) ( L – x ) y = ------------------------------- ----------
4(6)(10)( L – 10 ) ——› 5 = ----------------------------------- --------------
L²
L²
5 L² = 240 L – 2400 )
L 1&2 1&2 =
——› 5L² – 240 L + 2400 = 0
– (–240) ± √ (–240)² (–240)² – (4)(5)(2400) (4)(5)(2400) -------------------------------------------------(2)(5)
L 1 = 14,20 m, —› memenuhi L 2 33,79 m, tidak mungkin (tidak memenuhi ) 2 =
Persamaan ∑ MS kanan = 0 dapat dituliskan menjadi ∑ MS kanan = 0 —› (5)(2) – R BV BV (L/2) – R BH BH (6) = 0 10 – R BV BV (7,1) – R BH BH (6) = 0 7,1 R BV BV + 6 R BH BH = 10 ………………….
(3)
Dari persamaan (2) dan (3), maka (2) x 6 . . . . . . . . .
60 R BV BV + 30 R BH BH = 30
(3) x 5 . . . . . . . . . 35,5 R BV BV + 30 R AH = 50
--------------------------------- – 24,5 R BV BV = - 20 R BV BV = - 0,81 T ( ↓ ) (2)
. . . . . . . . . . . 10 R BV BV + 5 R BH BH = 5 5 R BH BH = 5 + 10 (0,81) = 13,16 R BH BH = 2,63 T (—›)
∑ V = 0 R AV + R BV BV = 0 R AV + (- 0,81) = 0 ——› R AV = 0,81 T ( ↑ )
II-14
∑ H = 0 R AH + R BH BH – 5 = 0 R AH + 2,63 – 5 = 0 ——› R AH = 2,37 T (—›) Untuk h = 6 m dan L = 14,2 m, maka persamaa persamaan n parabola parabola dasar berubah menjadi : (4)(6)(x)(14,2 – x ) y = --------------------------------- --------------(14,2)² 340(x) – 24(x²) y = ------------------------------- ---------201,64
24(x)(14,2 – x) ——› y = ------------------------------ --------201,64 ——› y = 1,69 x – 0,12 x²
∂y/∂x = 1,69 – 0,24 x Untuk x = 5 m, lihat Gambar VI – 4 maka nilai y adalah : y = 1,69 x – 0,12 x² y = (1,69)(5) – 0,12 (5)² = 5,45 m ——› titik X (5 , 5,45)
Nilai ∂y/∂x atau garis singgung singgung pada pada titik X (5 , 5,45) adalah : ∂y/∂x = 1,69 – 0,24 x = 1,69 – (0,24)(5) = 0,49 ∂y/∂x = 0,49 atau tg θ = 0,49 ——› θ = 26 ̊ 6´́ sin θ = 0,44 cos θ = 0,89 Besarnya gaya vertikal V dan gaya horizontal H pada titik X dapat dihitung : V = 0,81 T ( ↑ ) H = 2,37 T ( —› )
II-15
Setelah gaya vertikal dan gaya horizontal pada titik X dapat ditentukan, maka gaya geser, gaya normal dan momen pada titik tersebut dapat dicari. ¤ Gaya Geser (SF X X ) SFX = V cos θ – H sin θ = (0,81)(0,89) – (- 2,37)(0,44) = 1,7637 T ¤ Gaya Normal (NF X X ) NFX = V sin θ + H cos θ = (0.81)(0,44) + (- 2,37)(0,89) = - 1,7529 T ¤ Momen Lentur (M X X ) MX = R AV (20) – R AH (9) - (0,5)(q)(20)² = (- 0,81)(5) + (2,63)(5,45) – (5)(1,45) = 3,0335 Tm
II-16
