´ NUMEROS COMPLEJOS: C Alejandro Lugon 21 de mayo de 2010 Resumen
Este es un peque˜ no no estudio de los n´umeros umeros complejos con el objetivo de poder usar las t´ ecnicas ecnicas de soluci´on de ecuaciones y sistemas diferenciales y en diferencias que usan u san el e l polinomio p olinomio caracter´ıstico ıstico asociado. asociad o.
1.
¿Como ´ omo aparecen los n´ umeros umeros complejos? Dada una ecuaci´on on de segundo grado: = 0 ax2 + bx + bx + c c =
si el discriminante: ∆ = b = b2
sab emos que tiene dos ra´ ra´ıces reales: − 4ac es ac es no negativo, sabemos √ − b ± b − 4ac r = 2
1,2
2a
Si el discriminante es negativo, la ecuaci´on on no tiene soluci´on on en el conjunto de los n´ umeros umeros reales . Esto nos lleva a pensar que podemos extender dicho conjunto para incorporar todas las soluciones posibles de una ecuaci´on on cuadr´atica. atica. Si pensamos que existe un “n´umero” umero” (no real) tal que su cuadrado es igual a 1 podremos realizar la extensi´ on. on. Llamemos i a dicho n´ umero umero imaginario, entonces sabemos que:
−
i =
√ −1
y que: i2 =
1
−1
2.
El espacio
C
´ A partir de esta definici´on construimos el conjunto de los N UMEROS COMPLEJOS: C
= a + b i a, b
{
| ∈ R}
para el cual definimos el concepto de igualdad: umeros complejos u = a + bi y v = c + di decimos que son IGUALDAD: Dados dos n´ iguales, u = v, si: a = c y b = d y dos operaciones b´asicas: umeros complejos u = a + bi y v = c + di definimos su suma u + v: SUMA: Dados dos n´ u + v = (a + c) + (b + d)i
PRODUCTO: Dados dos n´umeros complejos u = a + bi y v = c + di definimos su producto u v = u v = uv:
×
·
uv = (ac
− bd) + (ad + bc)i
Notemos que las definiciones est´an basadas en la suma y producto de los n´umeros reales y son coherentes con estas operaciones:
u + v = a + bi + c + di = a + c + bi + di = (a + c) + (b + d)i
2
y u v = (a + bi)(c + di)
·
= ac + adi + (bi)(c) + (bi)(di) = ac + adi + bci + (bd)(ii) = ac + adi + bci + (bd)( 1) = =
− ac + adi + bci + (bd)(−1) (ac − bd) + (ad + bc)i
Dado el n´ umero complejo z = a+bi, llamaremos parte real de z al valor a y escribimos: Re(z ) = Re(a + bi) = a igualmente llamamos parte imaginaria de z al valor b y escribimos: Im(z ) = I m(a + bi) = b Si un n´ umero complejo tiene parte real cero se dice que es imaginario puro, por otro lado si tiene parte imaginaria cero lo identificaremos con el n´umero real correspondiente y hablaremos de un real puro. Dos n´umeros complejos son iguales si tienen partes reales iguales y partes imaginarias iguales. Las operaciones suma y producto cumplen las propiedades:
Propiedades de la suma y producto de n´ umeros complejos 1. Asociatividad: x,y,z
∈ C:
∀
(x + y) + z = x + (y + z ) (xy)z = x(yz ) 2. Conmutatividad x, y
∀ ∈ C:
x + y = y + x xy = yx
3
3. Distributividad x,y,z
∈ C:
∀
x(y + z ) = xy + xz 4. Elemento Neutro 0 = 0 + 0i cumple: x
∀ ∈ C : x + 0 = x 1 = 1 + 0i cumple: ∀x ∈ C : x · 1 = x 5. Elementos Inversos
∀x = a + bi ∈ C, −x = −a + (−b)i = −a − bi cumple: x + (−x) = 0 a b ∀x = a + bi ∈ C, x = 0, x − = a + b − a + b i cumple: x(x− ) = 1 1
1
2
2
2
2
Todas estas propiedades se pueden demostrar a partir de las definiciones dadas y las propiedades de las operaciones en los n´umeros reales. La existencia de elementos inversos nos permiten definir las operaciones inversas; resta para la suma y divisi´on para el producto: umeros complejos u = a + bi y v = c + di definimos su resta o RESTA: Dados dos n´ diferencia u v: u v = u + ( v) = (a c) + (b d)i
−
−
−
−
−
´ Dados dos n´ DIVISION: umeros complejos u = a + bi y v = c + di = 0 definimos su divisi´ on o cociente u/v = uv :
u ac + bd bc ad = uv −1 = 2 + 2 i v c + d2 c + d2
−
Casos particulares interesantes de la divisi´on son: a + bi a b = + i c c c a + bi = b i
− ai
1 c = 2 c + di c + d2 1 = i
−i 4
− c
d i 2 + d2
3.
Conjugaci´ o n y M´ odulo Para trabajar en el espacio
C las
siguientes definiciones son muy ´utiles:
umero complejo z = a + bi definimos su conjugado como: CONJUGADO: Dado un n´ z = a
− bi
´ MODULO o NORMA: Dado un n´ umero complejo z = a + bi definimos su m´odulo (o norma) como: z = a2 + b2
√
||
As´ı podemos decir que todo n´ umero complejo tiene su conjugado, que dos complejos conjugados tienen la misma parte real y la parte imaginaria con el mismo valor absoluto pero signos diferentes. Notemos que un n´umero complejo es igual a su conjugado si y solo si es real puro, es decir tiene parte imaginaria cero. Para todos u, z C, son v´alidas las propiedades:
∈
1. u + z = u + z 2. uz = u z 3. Re(z ) =
z +z
2
4. Im(z ) = z −2 z 5. (z ) = z 6. z = 0
| | ⇐⇒ z = 0 7. |z | = |z | = |− z | √ 8. |z | = z · z 9. |zu | = |z ||u| 10. |z + u| ≤ |z | + |u| 11. |z | − |u| ≤ |z + u|
5
Todo lo establecido anteriormente nos permite pensar en el espacio de n´umeros complejos C como una extensi´o n del espacio de los n´umeros reales R. Es por esto que podemos trabajar en C en muchos sentidos de manera similar a como se trabaja en el conjunto de n´ umeros reales R y en muchos otros de manera muy diferente. Por ejemplo una caracter´ıstica de los reales que no se puede extender a los complejos es el concepto de orden: los n´ umeros reales pueden ser ordenados pero los complejos no. El sentido de extender los n´umeros reales es el de poder tener un “juego completo”de ra´ıces de polinomios. Al inicio vimos que pod´ıamos tener polinomios de grado dos con coeficientes reales que no ten´ıan ra´ıces reales. Al extender nuestro espacio a los complejos es f´acil ver que todo polinomio de grado dos tiene dos ra´ıces complejas. Por ejemplo: x2 + x + 1 = 0 no tiene ra´ıces reales, sin embargo si aplicamos la formula usual para las ra´ıces de polinomios de grado 2, obtendr´ıamos:
√ 3 √ − 1 ± 1 − 4(1)(1) −1 ± −3 −1 ± i = = = 2
x1,2
2(1)
2
2
2
dos ra´ıces, pero ahora en el espacio de los n´ umeros complejos. En la secci´on siguiente veremos un resultado muy importante y bastante m´as general al respecto.
´ El Teorema Fundamental del Algebra
4.
Hemos visto que en el espacio de n´umeros complejos C podemos encontrar dos ra´ıces 1 para cualquier polinomio de grado dos, ax2 +bx+c, con coeficientes reales, a, b, c R. No es dif´ıcil extender este resultado para polinomios con coeficientes complejos, la misma √ b± b −4ac − f´ormula, , es v´ alida. Lamentablemente para polinomios de mayor grado no 2a se dispone de f´ormulas cerradas que nos permitan calcular las ra´ıces. A pesar de esto sigue siendo v´alido que un polinomio de grado n, ni=0 ai xi , con coeficientes complejos, ai C para i = 1, . . . , n, tiene n ra´ıces en el espacio C. A este resultado se le conoce ´ como el Teorema Fundamental del Algebra. Existen algunas formulaciones equivalentes del mismo, pero esta es la m´as usual y la que nos interesa.
∈
2
∈
1
Tomando en cuenta la multiplicidad
6
Sin dar la prueba damos el teorema formalmente:
Teorema 1 (TFA) Dado un polinomio de grado n , p n(x) = ni=0 ai xi con coeficientes C para todo i = 1, . . . , n, existen n n´ C, i = 1, . . . , n, no umeros complejos ri ai
∈
necesariamente todos diferentes, tales que:
∈
n
(x − r ) = a (x − r )(x − r ) . . . (x − r ) p (x) = a n
n
i
1
n
2
n
i=1
Los r i son las ra´ıces del polinomio, es f´ acil ver que pn(ri ) = an (ri
− r )(r − r ) . . . (r − r ) . . . (r − r ) = 0 1
2
i
i
i
i
n
El n´ umero de veces que aparece una ra´ız en el desarrollo se llama multiplicidad. Una ra´ız simple tiene multiplicidad 1. Sean m1 , m2 . . . , mk las multiplicidades de las ra´ıces de un polinomio de grado n, el teorema nos indica que es verdad: k
m = n j
j =1
Aunque el teorema es v´alido para polinomios con coeficientes complejos, nosotros solo trataremos con polinomios con coeficientes reales. El teorema nos dice que en este caso particular tambi´en se tienen n ra´ıces en el espacio complejo. Un resultado interesante y ´util es que si el polinomio tiene coeficientes reales entonces las ra´ıces complejas se presentan en pares conjugados. Formalmente probaremos que si r C es tal que p n(r) = 0 entonces pn(r) = 0. Veamos primero que:
∈
n
a r a r a r a r
pn(r) =
i
i
i=0 n
=
i
i
i=0 n
=
i
i
i=0 n
=
i
i=0
= pn(r) 7
i
Donde la primera igualdad es por definici´on del polinomio, y las siguientes usan las propiedades de la conjugaci´on, incluyendo el hecho que el conjugado de un n´umero real es el mismo n´umero (ai = a i). Lo que hemos establecido es que pn (r) = p n (r) de esta forma si r es tal que pn(r) = 0 entonces pn(r) = p n (r) = 0 = 0 Observando que: (x
− r)(x − r)
= (x
− (α + βi))(x − (α − βi)) (x − α − βi)(x − α + βi)) (x − α) − (βi) (x − α) + β x − 2αx + (α + β )
=
2
=
2
=
2
2
2
=
2
2
podemos afirmar que todo polinomio de grado n se puede descomponer en un producto de polinomios de grado 1 y 2 con coeficientes reales 2 : n
−m
m
2
(x − r ) (x + b x + c ) p (x) = a n
n
2
i
i=1
j
j
j =1
para cierto m tal que 0 m n y n m par. En resumen, las ra´ıces de un polinomio de grado n pueden ser reales o complejos conjugados, siendo la suma de las multiplicidades de las ra´ıces igual a n. As´ı en particular un polinomio de grado 2 puede tener: dos ra´ıces reales diferentes, una ra´ız real repetida (multiplicidad 2) o ra´ıces complejas conjugadas. Un polinomio de grado 3 puede tener: tres ra´ıces reales diferentes, dos ra´ıces reales diferentes con multiplicidades 1 y 2, una ra´ız real con multiplicidad 3 o una ra´ız real y un par de ra´ıces complejas conjugadas.
≤ ≤
2
Si r > s:
s i=r
P i
−
=0
8
5.
Representaci´ o n de los n´ umeros complejos
As´ı como podemos representar al conjunto R como una recta, el espacio n´umeros complejos se puede representar por un plano:
C de
los
De esta manera a cada punto (a, b) del plano le asociamos el n´umero complejo a + bi y viceversa. Podemos pensar en el vector con punto inicial en el origen (0, 0) y punto final en (a, b), este vector se puede describir dando su m´odulo (longitud) R y argumento (angulo) θ:
Usando geometr´ıa b´asica podemos calcular: R =
√
a2 + b2
que corresponde al m´odulo. Para el ´angulo θ
∈ [0, 2π[ sabemos que:
cos(θ) =
9
a R
y que
b R De estas ecuaciones obtenemos otra forma de escribir un n´umero complejo no nulo: sin(θ) =
a + bi =
√
a2 + b2
a + a2 + b2
√
a
b = R + i R R
b i a2 + b2
√
= R (cos(θ) + i sin(θ)) Observemos que al cero le corresponde m´odulo R = 0 pero el argumento es indeterminado. Es decir que tanto el par (a, b) como el par (R, θ) describen un n´umero complejo particular. A la representaci´on (R, θ) se le conoce como representaci´on polar.
6.
Potencias y exponencial de un n´ umero complejo
En la soluci´on de ecuaciones diferenciales y ecuaciones en diferencias aparecen las potencias y exponenciales de las ra´ıces de cierto polinomio caracter´ıstico. En el caso que estas ra´ıces sean complejas se hace necesario trabajar con las potencias y exponenciales de n´ umeros complejos. Para poder trabajar en este sentido empezaremos por dar una tercera forma de escribir un n´umero complejo. Para esto necesitamos las expansiones en series de potencias de las funciones exponencial, seno y coseno:
∞ x = 1 + x + x + x + . . . 2 6 k! ∞ (−1) x = 1 − x + x − x + . . . 2k! 2 4! 6! ∞ (−1) x = x − x + x − x + . . . 2
k
x
e
=
3
k=0
cos(x) =
k
2k
2
4
6
k=0
sin(x) =
k
k=0
2k+1
2k! + 1
3
5
7
3!
5!
7!
Aceptando estas identidades como ciertas, no solo para x 10
∈ R sino tambi´en para
∈ C, podemos usarlas para calcular la exponencial de ix:
x
ix
e
=
∞ (ix) k=0
k
k!
(ix)2 (ix)3 (ix)4 (ix)5 = 1 + (ix) + + + + + . . . 2 3! 4! 5! 2
= 1 + ix +
−(x) + −i(x)
= 1 + ix
x 2 2
2
− −
3!
3
+
(x)4 i(x)5 + + . . . 4! 5!
x3 x 4 x5 + i + . . . i + 3! 4! 5!
x 2 x 4 x 6 = 1 + + + 2 4! 6! x 3 x 5 x 7 +i(x + + . . . ) 3! 5! 7!
−
−
−
···
−
= cos(x) + i sin(x)
Hemos obtenido, no muy formalmente, una identidad importante, llamada la Formula de Euler: eix = cos(x) + i sin(x) Podemos escribir entonces : a + bi = R (cos(θ) + i sin(θ)) = Re iθ Con esto es f´acil establecer: Para u = a + bi = R (cos(θ) + i sin(θ)) = Re iθ y v = c + di = S (cos(φ) + i sin(φ)) = Se iφ tenemos que: uv = Re iθ Se iφ = RSei(θ+φ) = RS (cos(θ + φ) + i sin(θ + φ)) u Reiθ R R = iφ = ei(θ−φ) = (cos(θ φ) + i sin(θ φ)) v Se S S Expresi´ o n a partir de la cual es f´acil calcular la potencia de un n´umero complejo,
−
11
−
expres´andolo de la forma anterior: (a + bi)t = (R (cos(θ) + i sin(θ)))t =
iθ t
Re
= Rt eiθt
= Rt (cos(θt) + i sin(θt)) y tambi´en calcular la exponencial: ea+bi = eaebi = ea (cos(b) + i sin(b))
7.
Ejercicios
1. Dados los n´ umeros complejos: x = a + bi
12
