UNIVERSIDAD TÉCNICA DE COTOPAXI
UNIDAD ACADÉMICA DE CIENCIAS DE LA INGENIERÍA Y APLICADAS CARRERA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
NOMBRE DE LA ASIGNATURA: INGENIERIA ECONOMICA TEMA: INTERES SIMPLE ALUMNO: TOAPANTA BARREIRO EDDY GERALDO
CICLO ACADÉMICO: QUINTO“B”
FECHA DE PRESENTACIÓN: 24 DE NOVIEMBRE DEL 2016
LATACUNGA- ECUADOR
INTRODUCCION Beneficio que se obtiene de una inversión de una empresa que vende o bien puede ser financiera o de capital cuando los intereses (los cuales pueden ser altos o bajos, dependiendo del problema planteado) producidos durante cada periodo de tiempo que dura la inversión se deben únicamente al capital inicial, ya que los beneficios o intereses se retiran al vencimiento de cada uno de los periodos. Los periodos de tiempo pueden ser años, trimestres, meses, semanas, días o cualquier duración. O sea el interés se aplica a la cantidad inicial, los intereses no se agregan al capital productivo. El interés simple es normalmente utilizado para problemas de proporcionalidad al igual que el interés compuesto ya que se utiliza para hacer cantidades exactas y proporcionales lo cual es de gran utilidad para gráficas ya sea de barras lineales ETC. DESARROLLO El interés es la diferencia que existe entre un monto o capital final y el importe original que lo produjo El interés es el importe que se cobra al final de cada período señala
I CAPITAL INICIAL
CAPITAL FINAL C
LAPSO DE TIEMPO El precio que se paga por un capital depende de los siguientes factores: 1.
Del beneficio económico o social a obtener con la utilización de dicho capital.
2.
Del tiempo de la operación, a mayor tiempo mayor interés.
3.
De la seguridad sobre él buen fin de la inversión, y del respaldo de la persona que solicita el crédito, a mayor riesgo mayor tasa de interés y viceversa.
4.
De la situación del mercado de dinero. Una mayor demanda sobre la oferta presionará a un incremento de la tasa de interés, o a elegir entre aquellos demandantes de capital que presenten un menor riesgo potencial.
5. De otras variables de carácter económico, político, social, etc. I = función (capital, tasa, tiempo, riesgo, etc.) El Interés:
Es la cantidad que paga por el uso de dinero ajeno
EL capital:
Puede estar dado en moneda nacional o moneda extranjera.
La tasa:
de interés simple se suele expresar en tanto por ciento (%) y trabajar en las fórmulas financieras en tanto por uno.
El Tanto por uno:
Es el rendimiento que produce una unidad de moneda
El Monto:
Es la suma del capital mas los intereses ganados
El tiempo:
Está referido al plazo total de la operación.
El riesgo:
Es la medida de la incertidumbre de que el deudor honre al acreedor su compromiso al vencimiento del plazo pactado, el precio del riesgo se incluye en el costo del dinero.
1. Cálculo del interés simple En una operación de interés simple el capital que genera los intereses permanece constante durante el tiempo de vigencia de la transacción. Simbología I=
Interés
P=
Principal, capital o stock inicial de efectivo, valor presente.
S=
Monto, capital o stock final de efectivo, valor futuro.,
n=
Número de períodos de tiempo (días, meses, trimestres, semestres, etc).
i=
Tasa de interés simple por unidad de tiempo, expresado en tanto por uno.
Formula general
I = P( i n ) (1)
Ejemplo: para calcular el interés simple consideremos un préstamo de S/. 10 000 cobrando una tasa de interés simple del 21% anual. 1. En el primer año el interés generado por el capital será: I = 10 000 x 0,21 x 1= 2 100 2. Al final del segundo año el total de intereses generado por el capital inicial será. I = 10 000 x 0,21 x 2 = 4 200:
Por lo tanto:
Al final del n - ésimo año el total de intereses generado por el capital inicial será :
Interés = 10 000 x 0,21 x n De la fórmula (1) deducimos: I P=
I ( 2)
in
i=
I (3)
n =
Pn
(4) Pi
Ejemplo 1. El Banco Latino otorga a la empresa FUNDICROMO S.A, un préstamo de S/. 22 000 para devolverlo dentro de 3 años, cobrando una tasa de interés simple del 36% anual. ¿Cuál, será el interés que pagará al vencimiento del plazo? Solución Datos:
Fórmula
I =?
I = Pin
P = 22 000
I = 22 000 x 0,36 x 3 = S/. 23 760
n = 3 años;
i = 0, 36
Si la tasa y el tiempo de la operación están referidas a diferentes unidades de tiempo, por ejemplo tasa anual y tiempo en días, entonces debemos homogenizar ambas variables para expresarlas en años meses ó días respectivamente. Ejemplo 2. ¿Calcular el interés acumulado en 120 días por un depósito de ahorro de S/. 7 000 percibiendo una tasa de interés simple del 12,5% anual? Solución a)
Homogenizando i y n a días (Tasa y tiempo diarios) I = 7 000 x 0,125/360 x 120 = S/. 291,6666666 = 291,67
b) Homogenizando i y n a años (Tasa y tiempos anuales) I = 7 000 x 0,125 x 120/360 = S/. 291,6666666 = 291,67 Ejemplo 3. El señor Marcos Ruiz deposita S/.18 000 en una institución financiera ganando una tasa de interés simple del 3% mensual. ¿Qué interés habrá acumulado en cinco meses? Solución I = 18 000 x 0,03 x 5 = 2 700 1.1 Períodos dé tiempo comprendido entre dos fechas Teniendo en cuenta el sistema legal vigente, si una persona deposita y retira de su cuenta en un banco una determinada cantidad de dinero en el mismo día, no habrá ganado interés alguno. Para percibir interés es necesario que el dinero haya permanecido en la institución financiera como mínimo un día, transcurrido entre dos fechas consecutivas, la primera de las cuales se excluye y la última se incluye, operación conocida como el "Método de los días terminales”.
Ejemplo 4.- ¿Cuántos días de interés se habrán acumulado entre el 15 de Mayo y el 9 de Agosto del mismo año, fechas de depósito y cancelación de un importe ahorrado en un banco?. Solución Mes
Días Días transcurridos en el mes
Mayo15
16
31 -15 = 16 días
Junio30
30
30 días
Julio31
31
31 días
9
9 días
Agosto9
86
Total 86 días
1.2 Año bancario según BCRP De acuerdo a lo normado por el Banco Central de Reserva del Perú, el año bancario es un período de 360 días. Vea el siguiente cuadro: Término
Período en días
Año
360
Semestre
180
Cuatrimestre 120 Trimestre
90
Bimestre
60
Mes
30
Quincena
15
Días
1
Número de unidades de tiempo en un año bancario Unidad Año
Número 1
Semestre
2
Cuatrimestre
3
Trimestre
4
Bimestre
6
Mes
12
Quincena
24
Días
360
Ejemplo: 5 Dado la tasa anual de interés simple del 24% anual ¿Cuál será la tasa para el período comprendido entre el 1 de enero de 2002 y el 1 de enero de 2003? Solución Entre las fechas referidas han transcurrido 365 días. Por regla de tres simple: 24%
---------------------------------------- 360 días
X%
---------------------------------------
365 días
X = 24,33333333 % Ejemplo 6.- El interés simple de un capital inicial de S/. 130 000 colocado durante un año a una tasa del 18% anual puede calcularse alternativamente con diferentes tiempos y tasas proporcionales. Solución Años
I = 130 000 x 0,18
Semestres
x1
I = 130 000 x 0,9
= 23 400 x2
Cuatrimestres I = 130 000 x 0,06
x3
Trimestres .
= 23 400
I = 130 000 x 0,045 x 4
Bimestres
I = 130 000 x 0,03
Meses
I = 130 000 x 0,015
Quincenas Días
= 23 400
= 23 400
x6
= 23 400
x 12
= 23 400
I = 130 000 x 0,0075 x 24
= 23 400
I = 130 000 x 0,0005 x 360 = 23 400
1.3 Inclusión y exclusión de días cuando se producen variaciones de tasas Cuando existen variaciones de tasas los intereses deben calcularse por tramos: Ejemplo:El 21 de agosto, cuando la tasa de interés simple mensual fue 3,5%, un comerciante depositó en su cuenta de ahorros S/. 13 000 y los retiró el 22 de agosto, fecha en que la tasa subió a 5%. ¿Qué tasa de interés debe ganar el depósito?
i = 3,5%
0 21 08
i = 5%
1 22 08
2 23 08
En el gráfico observamos que del 21 al 22 de agosto la persona ganó un día de interés a la tasa del 3,5%. La percepción de la tasa del 5% corresponderá a los depósitos efectuados a partir del día 22 de agosto.
Ejemplo 7.- Calcule el interés simple de un capital de S/. 15 000 colocado en una institución financiera desde el 3 de marzo al 15 de mayo del mismo año, a una tasa del 2,5% mensual. Solución: Datos
Fórmula:
I = ?
I = Pin
P = 15 000
I = 15 000 x 0,025 x 73/30
i = 0,025
I = S/. 912,4999998 = 912,50
n = 73 días Ejemplo 8.- ¿Qué capital colocado a una tasa anual del 36% producirá un interés simple de S/. 6 600 en el período comprendido entre el 18 de abril y 2 de julio? Solución Datos
Fórmula:
P=?
P = I / (in)
I = 6 600
P = 6 600 / ( 0,36 x 75 / 360 )
i = 0,36
P = 88 000,00117 = 88 000
n = 75 días Ejemplo 9. ¿Cuál será la tasa mensual de interés simple a cargar en el financiamiento a 75 días sobre un artículo cuyo precio de contado es de S/. 12 000 y al crédito sin cuota inicial será de S/. 13 200? Solución Datos
Fórmula
i=?
i = I / (Pn)
I = 1 200
i = 1 200 / (12 000 x 75/30)
P = 12 000
i = 0,04 x 100 = 4%
n = 75 días Ejemplo 10. ¿En cuánto tiempo podrá duplicarse un capital a una tasa de interés simple del 7,5% mensual? Solución Datos
Fórmula
n=?
n = I / (Pi)
I = S/.5,00
n = 5 / ( 5 x 0,075 )
P= 5
n = 13,33333333 meses
i = 0,075
1.4. Variaciones en la tasa de interés Cuando en el mercado se producen variaciones de tasas la fórmula (1) debe modificarse para incluir dichas variaciones durante los períodos de tiempo de vigencia de la tasa: l = P [ i1 n1 + i2 n2 + i3 n3 + i4 n4 + ..........+ im nm ] ( 5) m I = P ∑ ik nk
(5)
K=1 La fórmula ( 5 ) calcula el interés simple con variaciones de tasa. Ejemplo 11: Calcular: a)
El interés simple de un depósito de ahorro de S/. 85 000 colocado en el Banco Comercial del 6 de julio al 30 de setiembre del mismo año ganando una tasa anual de interés simple del 24%. La tasa anual bajó al 18 % a partir del 16 de julio y al 12 % a partir del 16 de setiembre;
b)
Con la misma información calcule nuevamente el interés, considerando que el banco abona los intereses en la libreta de ahorros cada fin de mes
Solución a) Interés simple del 6 de julio al 30 de setiembre. Variación de tasas A partir de
I
6 de julio 16 de julio
24% i1
16 de setiembre 30 de setiembre
Días
18%
n1
12% i2
n2
i3
n3
Acumulado 10
10
62
72
14
86
Cálculo del interés simple del 6 de julio al 30 de setiembre I = 85 000 [(0,24 x 10 / 360) + (0,18 x 62 / 360) + (0,12 x 14 / 360)] I = 85 000 [0,042333331]; I = 3 598,333135 = 3 598,33 b)
Interés simple del 6 de julio al 30 de setiembre con abono de interés cada fin de
mes: Cuando los intereses simples se abonan mensualmente como lo hacen los bancos para los depósitos de ahorros, éstos se capitalizan y sobre los nuevos capitales se calculan nuevamente los intereses simples. Julio
I = 85 000 [ 0,24 x 10 / 360 + 0,18 x 15 / 360 ] = 1 204,166581
Agosto
I = 86 204,16658 [ 0,18 x 31 / 360 ] = 1 336,164581
Setiembre I = 87540,33116 [ 0,18 x 16 / 360 + 0,12 x 14 / 360 ] = 1 108,844135 Total interés l = 1 204,166521+ 1 336,164581 + 1 108,844135 = 3 649,175297 Variación de tasas A partir de
I
Días
24%
10
18%
15
18%
31
18%
16
12%
14
6 de julio 16 de julio 31 de julio 31 de agosto 16 de setiembre 30 de setiembre
Total
86
1.5 Variaciones en el principal (numerales) Cuando el saldo de una cuenta corriente, de ahorro, etc. cambia constantemente debido a los movimientos que se generan en torno a ella (cargos y abonos), el cálculo del interés simple se efectúa usando numerales. Numeral es el producto de cada nuevo saldo de una cuenta y el número de días de permanencia de ese saldo sin movimiento. A una fecha determinada (fin de mes, trimestre, semestre, etc.) La siguiente fórmula es utilizada para resolver este tipo de problemas: I = i [ P1 n1 + P2 n2 + P3 n3 + P4n4 + ... Pm.nm. ] Cada sumando de la expresión entre corchetes es un numeral. Ejemplo 12:Un comerciante abre una libreta de ahorros el 1 de abril con S/. 1 100 y efectúa a partir de esa fecha durante todo el mes de junio las operaciones detalladas en el cuadro siguiente. ¿Qué interés habrá acumulado al 1 de mayo, si la tasa mensual de interés simple fue del 3%? Depósitos
Retiros
1 abril
1 100
4 de abril
6 abril
200
18 de abril 300
10 abril
100
23 abril
60
26 abril
480
28 abril
100
27 de abril
150
630
Solución Datos I=? P1
= 1 100
n1= 3
P6= 1 010
P2
=
950
n2= 2
P7= 1 490
n7= 1
P3
= 1 150
n3= 4
P8= 860
n8= 1
n4= 8
P9= 960
n9= 3
P4
= 1 250
P5
=
950
n6= 3
n5= 5
Fórmula I = i [ P1 n1 + P2 n2 + P3 n3 + P4n4 + ... Pm. nm. ] m I = i ∑ PK n k K=1 I = 0,03 / 30 [ (1 100 x 3) + (950 x 2 ) + (1 150 x 4) + (1 250 x 8) + (950 x 5) + (1 010 x 3) +( 1490 x1) + (860 x 1) + (960 x 3) I = 0,03 / 30 [ (32 810)] I = 0,001 ( 32 810 ) = 32,81 b. Cálculo del interés simple a través de numerales Dia
D/R
Importe
Movimiento Debe
Haber
Saldo acreedor
Días
Numerales acreedores
01.04
D
1 1000
0,0
1 100
1 100
3
3 300
04.04
R
150
150
0,0
950
2
1 900
06.04
D
200
0,0
200
1 150
4
4 600
10.04
D
100
0,0
100
1 250
8
10 000
18.04
R
300
300
0,0
950
5
4 750
23.04
D
60
0,0
60
1 010
3
3 030
26.04
D
480
0,0
480
1 490
1
1 490
27.04
R
630
630
0,0
860
1
860
28.04
D
100
0,0
100
960
3
2 880
30
32 810
01.05
Totales Multiplicador fijo:
01.05
I
32,81
0,03 / 30 x 32 810 = 32,81 0,0
992,81
D = depósito; R = retiro; I = interés Procedimiento bancario de cálculo del interés simple a través de numerales 1) Registramos los depósitos o retiros de ahorros, abonando en la columna Movimiento y establecemos los saldos acreedores de acuerdo a las fechas en que se hayan efectuado estos movimientos. 2) Registramos los días de permanencia de la cuenta con el último movimiento. Por ejemplo, el saldo inicial acreedor de S/.1 100 ha permanecido tres días con dicho importe desde el 1 al 3 de abril. 3) Calculamos los numerales: multiplicando los saldos acreedores P K por los días nK que la cuenta ha permanecido con ese saldo y obtenemos la sumatoria de las operaciones acumuladas durante el mes que es de S/. 32 810 la misma que viene a representar los numerales que servirán para el cálculo del interés. 4) Se halla el interés del mes, multiplicando la tasa diaria por la sumatoria de los numerales acreedores Interés = (0,03 / 30) (32 810) = 32,81 El importe de S/. 32,81 es el interés ganado por el ahorrista durante el mes de abril y está disponible a partir del primer día útil del mes siguiente. 1.6 Numerales con variaciones de tasas Cuando existen variaciones de tasas, el cálculo del interés simple a través de numerales debe efectuarse por tramos durante los períodos de tiempo que la tasa tuvo vigencia. Ejemplo 13. El 1 de setiembre cuando la tasa mensual era de 3%, una persona abrió una libreta de ahorros con S/. 2 000 y a partir de esa fecha efectuó los siguientes depósitos: S/. 500, 300, y 400 el 6, 9 y 20 de setiembre; asimismo retiró: S/. 600 y 200 el 6 y 25 del
mismo mes. Si la tasa bajó al 2% a partir del 16 de setiembre y la entidad financiera abona los intereses simples en la cuenta de ahorros el primer día del mes siguiente, ¿cuál es el importe, disponible del cliente el 1 de octubre? Solución Cálculo de interés simple con variación de tasas a través de numerales D Día
Movimiento
acreedor
R Importe I
Saldo
Debe
Haber
Numerales
Tasas
Días acreedores
diarias
Interés
01.09
D
2 000
0
2 000
2 000
5
10 000
0,00100
10,00
06.09
D
500
0
500
2 500
0
0
0,00100
0,00
06.09
R
600
600
0
1 900
3
5 700
0,00100
5,70
09.09
D
300
0
300
2 200
7
15 400
0,00100
15,40
16.09
C
0
0
0
2 200
4
8 800
0,00066
5,87
20.09
D
400
0
400
2 600
5
13 000
0,00066
8,67
25.09
R
200
200
0
2 400
6
14 400
0,00066
9,60
01.10
Totales
01.10
I
55,24 0,0
30
55,24
55,24 2 455,24
D = Depósito; R = Retiro; I = Interés; C = Cambio de tasa 2. STOCK FINAL O VALOR FUTURO El Valor futuro constituye la suma del capital inicial mas el interés producido. Fórmulas S=P+I
(7)
S = P + Pin
S = P (1 + in) ( 8 )
En esta fórmula la tasa de interés y el tiempo se refieren a una misma unidad de tiempo y (1 + in) es el factor simple de capitalización a Interés simple. De la ecuación (8) despejarnos i y n: S/P -1 i=
S/P - 1 (9)
n
n =
( 10 ) i
Ejemplo 14. ¿Qué monto habrá acumulado una persona en una cuenta de ahorros, del 02 al 29 de agosto a una tasa de interés simple del 3% mensual, si el depósito inicial fue de S/ 25 000?
Solución, Datos:
Fórmula
S=?
S = P(1 +in)
P = 25 000
S = 25 000 (1 + 0,03 x 27 / 30)
i = 0,03
S = 25 000 (1,027)
n = 27/ 30
S = 25 675
Ejemplo 15: Una automóvil cuyo precio de contado es de $. 16 000 dólares fue adquirida con una cuota inicial de $. 12 000 dólares y el saldo financiado con una letra a 45 días por el importe de $. 6 000 dólares. ¿Cuál fue la tasa mensual de interés simple cargada? Solución: El precio de contado fue de $. 16 000 y se paga una cuota inicial de
$ 12
000, entonces el financiamiento neto P es $. 4 000,sobre el cual se exige un monto de $. 6 000. Datos:
Fórmula
i =? P = 4 000 S = 6 000
S/P -1 i=
n = 45/30
6 000 / 4 000 - 1 i =
n i=
45 / 30
0,333333333 x 100 = 33,3333%
Ejemplo 16.- ¿En qué tiempo se podrá triplicar un capital a una tasa anual de interés simple del 48%? Solución Datos
Fórmula
n =?
S/P - 1
S =3
n =
P=1
i
i = 0,48 n = 3 / 1 - 1 / 0,48 = 4,166666666 años 2.1
Monto con variaciones de tasa
Cuando se producen variaciones de tasa, aplicarnos la siguiente fórmula:
S = P [ 1 + ( i1 n1 + i 2 n2 + i3 n3 + ... + im nm ) ]
(11)
Ejemplo 17: Un préstamo de S/. 20 000 fue pactado para ser devuelto dentro de 8 meses conjuntamente con los intereses simples generados por el capital original y calculados con la tasa de inflación mensual más un punto adicional. Al final del plazo la inflación fue del
1.5% y 2,5% para el primer y segundo mes y del 1,2% para los últimos 2 meses. Calcule el monto de esa operación. Solución Datos
Fórmula
S=?
S = P [ 1 + ( i1 n1 + i 2 n2 + i3 n3 ) ]
P = 20 000
S = 20 000 [1 + (0,025 x 1 + 0,035 x 1 + 0,022 x 2) ]
i1 = 0,025
n1 = 1
S = 20 000 [1 + 0,104]
I2 = 0,035
n2 = 1
S = 22 080
i3 = 0,022
n3 = 2
3. Capital inicial, valor presente El valor presente P, de un capital con vencimiento en una fecha futura, es aquel principal o capital inicial que a una tasa dada alcanzará en el período de tiempo contado hasta la fecha de vencimiento, un importe igual a su valor futuro. Se obtiene despejando ( P ) en la fórmula. ( 8 ) 1 P=S
( 12 ) 1 + in
En esta fórmula la tasa de interés y el tiempo están expresadas en la misma unidad de tiempo y 1 / ( 1 + in ) es el factor simple de actualización a interés simple. Ejemplo 18: Calcular el capital que impuesto a una tasa de interés simple mensual del 2.5% durante 120 días, ha producido un monto de S/. 970 Solución
Fórmula 1
P =? i = 0,025
P=S 1 + in
n = 120/30 S= S/.970
1 P = 970 1 + (0,025 x 120 / 30
P = 970 (0,909090909) = 881,8181818 4. Ecuaciones de valor equivalente a interés simple Dos o más capitales ubicados en diferentes momentos de tiempo son equivalentes cuando sus valores presentes calculados con una misma tasa de interés, son iguales.
Ejemplo 19.- Determinar si los importes de S/. 540 y 570 al final de los meses 4 y 7 respectivamente son equivalentes en el presente. Utilice una tasa de interés simple anual del 24%. Solución Datos:
Fórmula
P=?
P= S/[1+(in)
S1 = 540
P = 540 / [1 + (0,02 x 4)] = 500
S2 = 570
P = 570 / [1 + (0,02 x 7)] = 500
n1 = 4 n2 = 7 i = 0,24 / 12 = 0,02 S1 y S2 son equivalentes en el momento 0 porque sus valores futuros descontados a la tasa de interés simple del 24% anual originan un mismo valor presente de S/. 500. Para el cálculo de equivalencias de capitales a interés simple es necesario fijar una fecha focal (fecha de evaluación) y plantear una ecuación de equivalencia donde se pongan en igualdad las condiciones originales y las nuevas condiciones. Ejemplo 20.- El señor Silva tomó en préstamo S/.5 000 para devolverlos dentro de 180 días pagando una tasa de interés simple mensual del 2,5%. Si durante dicho período paga S/. 2 000 el día 35 y 1 000 el día 98, ¿cuánto deberá pagar el día 180 para cancelar su deuda: a) procesando los abonos el mismo día; b) tomando como fecha focal el día. 180? a) Procesando los abonos el mismo día del pago Datos:
Fórmula:
S35 = 2 000 S98 = 1 000
n = 35 n = 98
S180 = ? P
S = P [ 1 + (in)]
n =180
= 5 000
Día
Valor futuro
Abono
Saldo
35
S35 = 5 000.00 [1 + 0,025 x 35/30] = 5 145,83
2 000,00 3 145,83
98
S98 = 3 145,83 [1 + 0,025 x 63/30] = 3 310,99
1 000,00 2 310,99
180
S180 = 2 310,99 [1 + 0,025 x 82 / 30] = 2 468,91
2 468,91
Total
5 468,91
0,00
b) Ecuación de valor equivalente tomando como fecha focal el día 180 --------------------------------------------------------------------P = 5 000 I-----------------I------------------I-------------------------------I 0
35
98
2 000
180
1 000
X
-------------------------------------------------------------------------------------35 d
63 d
82 d
Establecernos una ecuación de valor equivalente en el día 180, capitalizando la deuda original e igualándola con la suma de los pagos parciales, capitalizados y el importe X a calcular es. Datos: S= ? P = 5 000
n = 180
P1 = 2 000
n1 = 180 – 35 = 145
P2 = 1 000
n2 = 180 – 98 = 82
i = 0,025; Fórmula Deducida P(1 +in) = P [ 1 + ( i1 n1 ) + P [ 1 + ( i1 n1 ) ] + X 5 000[1+0,025 x 180 / 30] =2000 [1+0,025 x 145 / 30] +1 000 [1+ 0,025 x 82 / 30 ] + X 5750 = 3 309,99 + X;
X = 2 440,00
Total de pagos efectuados: 2 000 + 1000 + 2 440 = 5 440 Puede notarse la diferencia entre : - El método a: que arroja un pago total de S/. 5 468,91 - y el método b: que arroja el importe de S/. 5 440. Ejemplo 21. En la fecha, la empresa el Sol S.A. tiene 3 deudas con el Banco Latino por S/. 5 000, 8 000 y 9 000 las cuales vencen dentro de 20, 45 y 60 días respectivamente. Si la empresa negocia con su banco efectuar un pago único de S/. 22 000 ¿en qué fecha debe efectuarlo considerando una tasa anual de interés simple del 24%?.
Solución Para el desarrollo del presente problema es necesario efectuar la equivalencia en la fecha del último vencimiento. Con los presentes datos la equivalencia se efectuará en el día 60. P = 5 000
40 d
I------------------------I-----------------------I----------------------------I 0
20
45
60
8 000
9 000 15 d
P [ 1 + ( i1 n1 )] + P[ 1 + ( i2 n2 ) ] + P = S [ 1 + ( i n ) x n] 5 000 [1+ 0,24 x 40 / 360 ] + 8 000 [1+ 0,24 x 15 / 360 ] + 9 000 = 22 000 [1+ 0,24 / 360 x n] 22 213,33 = 22 000 + 14,666666 n n = 14,54 n1 - n2 = 60 –14,54 = 45,46 Con el pago de S/. 22 000 la deuda total quedará cancelada 15 días antes del día 60.
Problemas desarrollados de interés simple 1.
Calcule el interés simple que produce un capital de S/. 122 000 colocado a una tasa anual del 36% durante el período comprendido entre el 13 de abril y 27 de julio del mismo año. Solución. Datos I = ? P = 122 000 i = 0,36 n = 105 días Fórmula I = Pin a) Cálculo de los días abril = 17; mayo = 31; junio = 30; julio = 27 Total 105 días b) Cálculo del interés I = 122 000 x 0,36 x 105 / 360 = 12 809,99998
2.
Con los datos del problema número 1 calcule el interés simple aplicando una tasa mensual del 3%. Solución Fórmula I = Pin a) Interés trabajando en meses I = 122 000 x 0,03 x 105 / 30 = 12 810 b) Interés trabajando en días I = 122 000 x 0,03 / 30 x 105 = 12 810
3.
¿Qué capital colocado al 32,4% anual, ha producido SI. 15 000 de interés simple al término de 75 semanas? Solución Datos:
Fórmula
P= ?
P = I / in
i = 0,324
P = 15 000 / (0,324 x 525 / 360)
I = 15 000
P = 31 746,03181
n= 75 x 7 = 525 días 4.
¿Qué capital habrá producido un interés simple de S/. 31 000 al 18% semestral en 90 trimestres? Solución Datos:
Fórmula
P=?
P = I / in
I = 31 000
P = 31 000 / (0,18 x 90 / 2)
i = 0,18
P = 3 827,160493
n = 90 / 2 = 45 semestres 5.
¿Cuál es la tasa anual de interés simple aplicada para que un capital de S/. 78 000 colocado a 5 años, 6 meses y 27 días haya ganado S/.230 000 de interés? Solución Datos
Fórmula
i =?
i = I / Pn
P = 78 000
i = 230 000 / ( 78 000 x 2 007 / 360)
n = 2 007 días
i = 0,528918017
I = 230 000
i = 52,89180177%
6.
Un capital de S/. 37 000 ha producido S/. 6 900 de interés del 5 de marzo al 20 de junio del mismo año. Determinar la tasa mensual de interés simple. Solución Datos
Fórmula
i =?
i = I / Pn
P = 37 000
i = 6 900 / (37 000 x 107 / 30)
I = 6 900
i = 0,05228593
n = 107 días 7.
i = 5,228593081%
Un capital de S/. 50 000 se ha incrementado en 18 % por razón de interés simple al 36% anual. Halle el tiempo en días. Solución Datos
fórmula
n =?
n = I / Pi
P = 50 000
n = 9 000 / [50 000 (0,36 / 360)]
I = 9 000
n = 180 días
i = 0,36 8.
Un capital de S/.36 000 ha producido S/.3 000 de interés simple al 12,5% anual Determine el tiempo de la operación. Solución
9.
Datos
Fórmula
n=?
n = I / Pi
P = 36 000
n = 3 000 / (36 000 x 0,125 / 360)
I = 3 000
n = 240 días
i = 0,125 / 360
n = 0,666666666 años.
Calcule el interés simple de una inversión de S/. 15 000 colocada a 12 meses, si en el primer semestre la tasa anual fue del 12% y durante el segundo semestre fue del 10%. Solución Datos
Fórmula
I=?
I = P [ i1n1 + i2 n2 ]
P =15 000
I = 15 000 [ 0,12 / 2 + 0,1 / 2]
i1 = 0,12
-------
n1 = 6 meses
i2 = 0,10
-------
n2 = 6 meses
I = 1 650
10. El 8 de abril cuando la tasa mensual era del 3% una empresa invirtió un capital de S/.2 000, el cual retiró el 4 de agosto del mismo año. Calcule el interés simple si durante dicho período las tasas mensuales cambiaron al 2,5% el 6 de mayo y al 2% el 16 de julio respectivamente. Solución 3%
2,5%
2%
I------------------------I----------------------------------------------I----------------------I 8/4
6/5 28d
16/7 71d
4/8 19d n = 118 días
Variación de tasas A partir de
I
Días
8 de abril 6 de mayo
3,0%
28
2,5%
71
2,0%
19
16 de julio 4 de agosto
---118 Datos:
Fórmula
I =?
I = P [ i1n1 + i2 n2 + i3 n3 ]
P = 2 000
I = 2 000 [(0,03 x 28 / 30) + (0,025 x 71 / 30) + (0,02 x 19 / 30)]
i1 = 0,03
n1 = 28
I = 2 000 x 0,099833331
i2 = 0,025
n2 = 71
I = 199,67
i3 = 0,02
n3 = 19
11. El 20 de abril el saldo de una cuenta de ahorros fue de S/. 11 500. Efectúe la liquidación de dicha cuenta al 31 de mayo del mismo año, aplicando una tasa anual de interés simple del 18% . Solución Datos
Fórmula
S=?
S = P(1 + in)
P = 11 500
S = 11 500[1 + (0,18 x 41 / 360)]
n = 41 / 360
S = 11 735,75
i = 0,18 12.
¿Por qué importe se deberá aceptar un pagaré que vence el 10 de junio, si lo
descontamos el 10 de abril pagando una tasa anual de interés simple del 18% y necesitamos disponer de S/. 6 500 en la fecha del descuento? Solución Datos
Fórmula
S=?
S = P(1 + in)
P = 6 500
S = 6 500(1 + 0,18 x 61 / 360)
n = 61 / 360
S = 6 698,25
i = 0,18 13. ¿Por qué importe debe extenderse un pagaré a 60 días para obtener un efectivo de S/. 12 000 descontándolo racionalmente a una tasa anual de interés simple del 24%? La empresa financiera además carga S/.12.00 de gastos, S/. 6.00 de portes y efectúa una retención del 7,5% sobre el préstamo líquido. Efectúe la liquidación correspondiente Solución Adaptando la fórmula ( 8 ) para incluir la tasa de retención í' y los gastos G tenemos: Datos
Fórmula
S= ?
S = P[1 + ( in + i' )] + G
P
= 12 000
i
= 0,24
n
= 60 /360
í'
= 0,075; G = 18
S = 12 000 [ 1 + 0,24 x 60 / 360 + 0,075 ] + 18 S = 13 398
14. Cierto capital y sus intereses simples hacen un total de S/. 22 000, habiendo estado impuesto desde el 5 de marzo al 20 de abril a una tasa trimestral del 7,5%. ¿Cuál fue: el interés y el capital que lo ha producido? Solución
a) El interés:
Datos
Fórmula
I; P= ?
I=S-P
S
= 22 000
I = 22 000 - 21 187,80
I
= 0,075
I = 812.2
n
= 46 / 90
b) El capital Fórmula
S
22 000 P=
=
[ 1 + (in)]
P = 21 187,80
[ 1 + ( 0,075 x 46 / 90 )]
15. Determinar el interés simple incluido en el monto de S/. 10 000, obtenido el 2 de junio sobre un capital colocado el 1 de mayo a una tasa anual del 36%. Solución I =? S = 10 000 n = 32 / 360 i = 0,36 I=S-P
(1) S
P =
(2) [ 1 + ( i n )]
Reemplazando (2 ) en (1) tenemos:
I = S [ 1 - 1 / (1 + i n ) ]
1 I = 10 000
1-
= 310,08 1 + (0,36 x 32/ 360 )
16. Un artefacto electrodoméstico tiene un precio de contado de S/. 1 800. Pero puede adquirirse a crédito con una cuota. inicial de S/.800 y una letra de
S/. 1 200 a 45 días,
¿cuál es la tasa de interés simple mensual cargada en este financiamiento? Solución Datos
Fórmula i =?
S/P-1
P = 1 800 – 800 =1 000
i=
n = 1,5
n
S = 1 200 i=
1 200 / 1 000 - 1 = 0,1333333333% 1,5
17. ¿En qué tiempo un capital de S/. 1 000 se habrá convertido en un monto de S/. 1 100 a una tasa mensual del 5% de interés simple? Solución Datos
Fórmula
n=? P = 1 000
S/P-1 n=
S = 1 100
i
i = 0,05
1 100 / 1 000 - 1 n=
= 2; n = 2 meses 0,05
18. Calcular el monto simple que habrá producido un capital de S/. 5 000 colocado durante 5 meses. La tasa mensual fue del 3% durante los dos primeros meses y del 3,5% durante los 3 meses restantes. Solución Datos
Fórmula
S=?
S = P [ 1 + ( i1 n2+ i1 n2 ) ]
P = 5 000
S = 5 000 [1 + (0,03 x 2 + 0,035 x 3 )]
i1 = 0,03
n1 = 2
S = 5 000 ( 1,165 )
i2 = 0,035
n2 = 3
S = 5 825
i2 = 0,035
n2 = 3
19. Dos letras de cambio de S/. 8 000 y S/. 9 000 c /u con vencimiento a 60 y 90 días respectivamente, son descontadas a una tasa mensual del 3%. Calcule el valor presente de ambas letras a interés simple. Solución Datos
Fórmula
P =? i = 0,03
S1
S1 = 8 000
P=
S2 = 9 000
S2 + 1 + i n1
1 + i n2
n1 = 2 n2 = 3
8 000
9 000
P=
+ 1 + 0,03 x 2
1 + 0,03 x 3
P = 7 547,17 + 8 256,88;
P = 15 804,05
20. Actualmente tengo una deuda de S/. 4 000 la cual vencerá dentro de 3 meses y acuerdo con mi acreedor cancelarla hoy, actualizando el monto con las siguientes tasas. mensuales de interés simple: 2% para el primer mes y 2,5% para los dos últimos meses. Halle el importe a cancelar. Solución Datos
Fórmula
P=? S = 4 000
S P=
i1 = 0,02
1 + ( i1 n1 + i2 n2 )
n1= 1 i2 = 0,025 n2= 0,02
4 000 P=
P = 3 738,32 1 + ( 0,02 x 1 + 0,025 x 2 )
21. En el proceso de adquisición de un torno, la Empresa SIMA S.A. recibe de sus proveedores las siguientes propuestas:
Proveedor
Cuota inicial
Cuotas mensuales 1ra
2da
A
6 500
3 000
3 000
B
7 500
2 500
2 500
¿Cuál es la mejor oferta evaluando cada una a valor presente y asumiendo que el costo del dinero es del 2% de interés simple mensual? Solución Proveedor A Datos
Fórmula
P = 6 500 S1 = 3 000 S2 = 3 000
S1
S2
A = P+
+
1 + i1 n1
1 + i2 n2
i1 = 0,02 i2 = 0,02 n1 = 1
3 000
3 000
A = 6 500 +
n2 = 2
+ 1 + 0,02 x 1
= 12 325,79 1 + 0,02 x 2
Proveedor B Datos
Fórmula
P = 7 500
S1
S1 = 2 500
B=P+
S2 = 2 500
1 + i1 n1
S2 + 1 + i2 n2
i1 = 0,02 i2 = 0,02 n1 = 1 n2 = 2
2 500 B = 7 500 +
2 5 000 +
1 + 0,02 x 1
= 12 354,83 1 + 0,02 x 2
CONCLUSIONES a) El interés simple es un tipo de interés que siempre se calcula sobre el capital
inicial sin la capitalización de los intereses, de suerte que los intereses generados no se incluyen en el cálculo futuro de los intereses, permaneciendo el capital fijo. b) El interés simple generado o pagado por el capital invertido será igual en todos los periodos de la inversión mientras la tasa de interés y el plazo no cambien. c) Se denomina interés simple al interés que se aplica siempre sobre el capital inicial, debido a que los intereses generados no se capitalizan. d) El interés simple es de poco o nulo uso en el sector financiero formal, pues este opera bajo el interés compuesto. El interés simple es utilizado por el sistema financiero informal, por los prestamistas particulares y prenderías. e) El interés simple, por no capitalizar intereses resulta siempre menor al interés compuesto, puesto que la base para su cálculo permanece constante en el tiempo, a diferencia del interés compuesto.
BIBLIOGRAFÍA Aguirre, H. M. (2012). Matematicas Financieras (5 Ed.). Mexico: Cengaje Learning Editores Sa. Bueno, M. C. (2011). Fundamentos Y Practicas De Las Matematicas Financieras. Madrid: Dykinson. Carmona, J. G. (2012). Matematicas Financieras Con Formulas Calculadora Financiera Y Excel. (A. A. Quintero, Ed.) Bogota, Colombia: Eco Ediciones. Carrasco, R. D. (2010). Productos Financieros Básicos Y Su Cálculo. España, España: Club Universitario. Castelo, S. C., Hernandez, A. S., & Hernandez, L. V. (2010). Matematicas Aplicadas A Las Ciencias Sociales L.1 Bachicllerato. España, España: Juan Antonio Olmedo Gonzalez. Escribano, G. (2011). Gestion Financiera (3ra Edicion Ed.). Madrid, España: Paraninfo. Leonor Cabeza De Vergara, J. C. (2014). Matematicas Financieras (5ta Edicion Ed.). Barranquilla, Colombia: Universidad Del Norte.
