MODEL LOG LINEAR 3 DIMENSI Struktur Tabel 3 Dimensi Struktur tabel kontingensi kontingensi tiga dimensi berukuran r x c x l digunakan untuk tiga variabel dengan: r = banyaknya kategori variabel baris (row) o c = banyak kategori variabel kolom (column) o l = banyaknya kategori dari variabel layer o Tabel Tabel kontingensi kontingensi tiga dimensi klasifkasi IJK dari variabel XYZ memiliki beberaa otensial tie indeenden! "iasumsikan eluang π ijk ¿
sel #
berdistribusi multinomial dengan
c
ni++¿ ++ ¿ n
=
∑ ∑ ∑ π
=1.
ijk
i
j
k
l
n ∑ ∑ = =
ijk
j 1 k 1
n
++ ¿ =¿ i ++¿ π ¿ r
n+ j+ ¿ n
l
∑ ∑n = =
ijk
=
i 1 k 1
n
+ j + ¿ =¿ π ¿ r
π ++ k =
n++ k n
c
∑∑ n =
i = 1 j= 1
ijk
n
$rekuensi %araan dari tia sel dinyatakan: mijk =nπ ijk
&stimasi 'rekuensi %araannya: i ++ ¿
n+ j+¿ n++ n
k
2
n¿ + j+ ¿ n π ++ ++ k = ¿ ++ ¿ n π ¿ i ++¿ mijk =n π ijk =n π ¿ ^
^
^
^
^
Modelling Strategy (er (erdasa dasark rkan an %ubu %ubung ngan anny nya) a) ter terdaa daatt * mode modell log log lini linier er yang yang mungkin untuk model + dimensi) yaitu: ,! Complete independence: independence: #-)()./ 0! Jointly 0! Jointly independence: independence: #-()./1 #-.)(/1#(.)-/ +! Conditional independence: independence: #-()(./1#-.)(./1#-()-./
2! Homogeneous Association: Association: #-()-.)(./ 3! Saturated: Saturated: #-(./ 1 Model Inde!enden"e Samel multinomial diasumsikan berukuran n yang disusun dalam tabel kontingensi tiga dimensi dikatakan dikatakan indeenden secara statistik 4ika: = 55 ! 5 5 ! 55 = untuk semua i) 4) dan k! "alam skala logaritma) dierole%: log = = log 55 5 log 5 5 5 log 55 dimana = = ! 55 = 55 ) 5 5 = 5 5 ) 55 = = 55
++ ¿ i ++¿
m+ j+¿ m++ n
k
2
m¿ m+ j+¿ m++ k × ↔ m ijk = ¿ n n mi ++¿ ++ ¿ ׿ n mijk n
=¿
maka dierole%: i ++¿ ++ ¿
m+ j+ ¿ m++
k
2
n m¿
¿ ¿
+ j + ¿ + log m++ k −2 logn i ++¿ ++ ¿ + log m ¿ ¿ logm ijk = log ¿ Jika variabel baris dilambangkan dengan dengan X) variabel kolom kolom dilambangkan dengan Y dan variabel layer6kontrol dengan Z) maka 'ungsi 'rekuensi 'rekuensi %araan untuk model loglinier indeenden untuk tabel tiga dimensi adala%: X Y Z log = = 5 λi + λ j + λ k r
μ=
"engan asumsi:
c
l
log m ∑ ∑ ∑ = = = i 1 j 1 k 1
rcl
∑ λ =∑ λ =∑ λ X i
i
Y
j
j
!!!#,/
k
Z k
=0
ijk
dengan
Saat
X
λi > 0,
itu berarti setia kombinasi Y dan Z dierole%
logaritma 'rekuensi %araan ada level ke7i dari X lebi% besar dariada nilai rata7rata logaritma 'rekuensi %araan yang men4elaskan semua level dari X! # Model $onditionally Inde!enden"e "ari bab sebelumnya) bisa diketa%ui ba%8a X dan Y indeenden bersyarat #conditionally independent / ada level k dari Z saat semua tabel arsial indeenden dan Z teta #kontrol variabel/) yaitu: π ij∨k = P ( X =i , Y = j ∨ Z =k )
"istribusi bersama dari X dan Y ada level k dari variabel Z dinotasikan sebagai: π ij∨k =
π ijk π ++ k
untuk semua i dan 4! Secara lebi% umum) X dan Y meruakan variabel indeenden dengan syarat diketa%ui Z #conditionally independent given Z /) yaitu 4ika kedua variabel tersebut indeenden bersyarat ada setia level dari variabel Z atau ekuivalen dengan π ijk =
π i+k π + jk π ++ k
untuk semua i) 4) dan k! 9aka) model log linier indeenden bersyarat dari X dan Y adala% log mijk =¿
X
Y
Z
XZ
YZ
5 λi + λ j + λ k + λik + λ jk
!!!#0/
dengan asumsi X
Y
Z
XZ
XZ
YZ
YZ
λ I = λJ = λ K = λiK = λ Ik = λ jK = λJk = 0
iotesis dengan model #XY)YZ/ menyatakan ba%8a ada setia level variabel Z) tidak terdaat interaksi antara variabel X dan Y # XY
λij = 0 ¿ ! Interaksi antara variabel X dan Z adala% sama ada XZ
XYZ
setia variabel Y # λik ≠ 0, λijk
=0¿ .
"emikian %alnya dengan YZ
XYZ
variabel Y dan Z ada tia level variabel X # λ jk ≠ 0, λijk 3 Model %ointly Inde!enden"e
;ariabel Y dikatakan joint indeenden dari X dan Z saat
=0 ¿.
+ j +¿ π ijk = π i+ k π ¿ al ini sama sa4a seerti %ubungan dua dimensi indeenden antara Y dan variabel yang berasal dari IK kombinasi level dari gabungan variabel X dan Z! 9odel log liniernya adala%: log m ijk =¿
X
5 λi
+ λ jY + λ k Z + λik XZ
"engan cara yang sama) X 4uga bisa meruakan variabel indeenden bersama dari Y dan Z) atau Z bisa meruakan variabel indeenden bersama dari X dan Y! Jika dua variabel joint bebas ter%ada variabel ketiga) yang disimbolkan dengan #XY) Z/) atau #XZ) Y/ atau #YZ) X/ maka ij +¿ π ++ k π ijk = π ¿
untuk #XY) Z/! 9odel log linier untuk %iotesis ini: log m ijk =¿
X
Y
Z
XY
Z
XY
5 λi + λ j + λ k + λij
!!!#+/
dengan asumsi: X
Y
XY
λ I = λJ = λ K = λ Ij = λiJ =0 XY
tidak %anya menun4ukkan
%ubungan arsial antara variabel X dan Y sa4a) namun 4uga menun4ukkan adanya syarat ketidakbebasan #deenden/ antara variabel X dan Y dan adanya indeendensi antara variabel X dan Z) mauun antara variabel Y dan Z! Jika semua
XY
λij = 0 maka variabel X dan Y indeenden dan
modelnya men4adi #X)Y)Z/!
ada setia level variabel Z # λij
XYZ
≠ 0, λ ijk
=0 ¿ ! -kan tetai) antara
variabel X dan Y mauun antara variabel Y dan Z tidak terdaat XZ YZ %ubungan # λik = λ jk =0 ¿ !
"ua versi lain dari %iotesis ini) yaitu variabel Y bebas ter%ada joint variabel X dan Z yang disimbolkan #XZ) Y/ dan variabel X bebas ter%ada 4oint variabel Y dan Z #YZ) X/! 9odel log linier untuk masing7masing %iotesis tersebut adala%: log m ijk =¿
5 λi + λ j + λ k + λik
log m ijk =¿
5 λi
X
Y
Z
XZ
X
+ λ jY + λ k Z + λ jk YZ
Tabel ingkasan 9odel Indeenden
Model
&entuk 'robabilitas untuk
Syarat Asosiasi dalam Model Log Linier 7
π ijk
+ j +¿ π ++ k i ++¿ π ¿
#,/
Inter!retasi
;ariabel7 variabel saling indeenden
π ¿
+ j+¿
#+/
XZ
π i+k π ¿
#0/
Y indeenden dari distribusi bersama X dan Z X dan Y indeenden dengan syarat diketa%ui Z
λik
π (¿ ¿ i + k π + jk )/ π ++ k
XZ
λik
+ λ jk YZ
¿
( Asosiasi )omogen *)omogeneous Asosiation+ Setia log linier yang suda% di4elaskan di atas memiliki tiga) dua) dan satu asang variabel indeenden bersyarat! Setia asang variabelnya terdaat interaksi) dan interaksi tersebut tidak diengaru%i ole% level variabel ketiga! iotesisnya disimbolkan dengan #XY) YZ) XZ/! 9odel log linier untuk %iotesis ini adala%: log m ijk =¿
X
+ λ jY + λ k Z + λij XY + λ jk YZ + λik XZ
5 λi
Jika dieksonensialkan kedua sisi: π ijk =ψ ij ϕ jk ω ik
dengan asumsi: X
Y
Z
XY
XY
XZ
XZ
YZ
YZ
λ I = λJ = λ K = λ Ij = λiJ = λ iK = λ Ik = λ jK = λ Jk =0
iotesis ini menyatakan ba%8a interaksi di setia asang variabel adala% identik ada setia level variabel ketiga! (entuk %ubungan arsial terli%at ada tia asang variabel dan tidak terdaat asangan variabel yang indeenden) serta tidak daat dinyatakan dengan menggunakan konse kebebasan mauun kebebasan bersyarat , Model Lengka! *Saturated Model+ 9odel log linier untuk tabel tiga dimensi: log mijk =¿
X
Y
Z
XY
YZ
XZ
XYZ
5 λi + λ j + λ k + λij + λ jk + λik + λijk
"engan dummy variabel)
XYZ
λijk
!!!#2/
adala% koefsien dari i dummy
variabel untuk X) 4 dummy variabel untuk Y) dan k dummy variabel untuk Z! 9aka arameter nonredundannya adala%
1 + ( I −1 )+ ( J −1 ) + ( K −1 )+ ( I −1 ) ( J −1 ) + ( I −1 ) ( K −1 ) + ( J −1 ) ( K −1 ) + ( I − 1 ) ( J − 1 ) ( K −1 )= IJK
atau sama dengan 4umla% sel dalam tabel! 9odel #2/ di atas meruakan model lengka #saturated model/ dimana subscript ganda menun4ukkan asosiasi arsial) sedangkan subscript triple menun4ukkan tiga 'aktor interaksi!
In-erensia dan Estimasi 'arameter Model Log Linear 1 Metode Estimasi
Direct Maximum Likelihood
9etode estimasi arameter ada dua yaitu direct maximum likeliood #"9>/ dan iterati'! "9> ada rinsinya memaksimalkan 'ungsi likeli%ood) %asil estimasi tergantung ada statistik cuku #su?cient statistics/! Tidak semua 'ungsi bisa langsung diestimasi secara direct ole% karena itu dilakukan iterati'! Iterati' bisa dilakukan dengan roorsional6iterati! proportional "tting dan metode @e8ton7ason!
k
i
j
k
(entuk umum model loglinear ersamaan diatas: X Y Z XY XY YZ XYZ XYZ L( µ ) = nλ + ∑ ni ++ λi + ∑ n+ j + λ j + ∑ n++k λk + ∑∑ nij + λij + ∑∑ ni + k λik + ∑∑ n+ jk λ jk + ∑∑∑ nijk λijk − ∑∑∑ exp(λ + ...+ λ ijk ) i
j
k
i
j
i
k
j
k
i
j
k
i
j
k
"istribusi
X {λ i } {λ j } saling indeenden #X)Y)Z/) statistik cuku nya koefsien dari ) )
{λ k Z }
{ni++ } {n+ j + } {n++ k } yaitu ) ) dan ! Model
Statistik $uku! Minimal
#X)Y)Z/
{ni ++ } {n+ j + } {n++ k } ) ) {nij + } {n++ k } ) {nij + } {n+ jk } ) {nij + } {ni + k } {n+ jk } ) )
#XY)Z/ #XY)YZ/ #XY)XZ)YZ/
"aat terli%at ba%8a statistic cuku minimal meruakan marginal distribusi dimana #X)Y)Z/ menggunakan single7'actr marginal distribusi sedangkan #XY)XZ)YZ/ menggunakan tabel marginal dua ara% b/ &stimasi ikeli%ood "iketa%ui bentuk kernel log like%ood didaat berdasarkan 4oint
=
k
i
j
k
∑ ni (∑ xij β j ) − ∑ exp(∑ xij β j ) i
j
i
j
∑ ni xij
β j Ble% karena statistic cuku dari
i
adala% koefsien nya sendiri
)
maka ∂ ∂β j
[∑ exp(∑ xij β j )] = xij exp(∑ xij β j ) = xij µ i i
j
j
) ∂ L ( µ ) ∂β j
=
∑ ni xij − ∑ µ i xij i
i
) 4=,)0)C)
model #XZ)YZ/) log7likeli%ood model tersebut dari log linear tersebut ∂ L XZ ik
∂λ
= ni + k − µ i + k
∂ L
YZ
∂λ jk
= n+ jk − µ + jk
dan maka didaat %asil dari ersamaan likeli%ood :
! "erivative
ni + k = µ i +k
n+ jk = µ + jk
c/ "irect 9aximum >ikeli%ood dan Iterati' .alculation Antuk menyelesaikan ersamaan likeli%ood) kita misalkan dengan menganalisis model #XZ)YZ/! "ari emba%asan sebelumnya diketa%ui ba%8a 4oint robabilitinya yaitu: π i +k π + jk π ijk = π ++ k untuk semua i)4) dan k (erdasarkan ersamaan likeli%ood diketa%ui ba%8a 9> estimasi yaitu µ i +k = ni + k
) karena maximum likeli%ood mengsetimasi dari arameter dari 'ungsi adala% 'ungsi sama dari 9> mengestimasi arameter lainnya) maka ˆ jk µˆ i + k µ ni + k n jk ˆ ijk = µ = ˆ ++ k n++ k µ Solusi diatas sesuai dengan model dan data ada statsistik cuku! (erikut beberaa solusi 9aksimum >ikeli%ood: Model #X)Y)Z/
#XY)Z/
#XY)XZ/
'robabilisti" .orm π ijk = π i ++π + j +π ++ k
π ijk = π ij +π ++ k
π ijk =
π ij + π i + k π i ++
.itted /alue /
µ ijk =
ni ++ n+ j + n++k n
2
nij + n++ k / µ ijk = n /
µ ijk =
nij + ni+ k ni ++
#XY)XZ)YZ/
π ijk = Ψ ij Φ jk ω ik
Iterati' met%ods
#XYZ/
@o restriction
µ ijk = nijk
ˆ ijk µ
9odel7model diatas memunyai 'ormula exlisit untuk
) dan cara
mengestimasinya secara langsung #direct/D! (anyak model loglinear yang tidak bisa diestimasi secara langsung) untuk menyelesaikannya dengan metode iterati'!
secara langsung yaitu model #XY)XZ)YZ/! &stimasi langsung tidak bisa dilakukan untuk unsaturated model yang mengandung semuanya dua 'aktor asosiasi! # Metode Iterati- Jika model log linier tidak langsung meng%asilkan estimasi maka algoritma
iterati'
seerti
@e8ton7a%son
daat
digunakan
untuk
memeca%kan ersamaan likeli%oodnya! Selain metode @e8ton7a%son) ada ula metode iterati' yang menya4ikan metode yang lebi% simel namun memiliki keterbatasan yaitu metode iterati! proportional "tting# a! 9etode @e8ton7a%son 9 untuk ersamaan nonlinier daat dierole% menggunakan rosedur iterati' @e8ton7a%son diasumsikan mengikuti baik distribusi binomial atau
9etode
ini
menggunakan
'ungsi
>ikeli%ood
yang
menggambarkan eluang dari data engamatan yang akan diamati melalui suatu range atau selang dari nilai arameter!
Eambar ,! Ilustrasi angka% selan4utnya adala% memili% nilai yang lebi% tinggi dariada nilai FG) yang dinotasikan ole% F, ada Eambar ,! "engan nilai >ikeli%ood dilambangkan dengan $&! >angka% ini terus dilakukan %ingga 'ungsi >ikeli%ood tidak lagi bertamba% yang menandakan ba%8a nilai konvergen! &stimasi ak%ir yaitu F H idaatkan ada titik dimana likeli%ood ada nilai maksimumnya yaitu $'! $ungsi yang ditun4ukkan ole% Eambar ,! cuku seder%ana) namun rosedur estimasi secara umum daat dialikasikan dengan 'ungsi likeli%ood yang lebi% komleks! b! Iterrative
μi ^
untuk model loglinier! (erikut adala%
langka%7langka%nya secara umum:
i/
"imulai dengan
{ μ(i0) }
yang memenu%i model yang tidak lagi
komleks 4ika dibandingkan dengan model yang suda% cocok! (0 )
Sebagai conto%) # μi ii/
= ,!G/ adala% model yang memadai!
"engan mengalikan dengan 'aktor yang sesuai) sesuaikan
{ μ(i0) }
yang ber%asil cocok dengan nilai ada tia marginal table ada satu iii/
set statistik minimal yang cuku >an4utkan langka%7langka% sebelumnya
%ingga
erbedaan
maksimum antara statistik yang cuku dan nilai ada model yang cocok mendekati nilai nol! "igambarkan ba%8a model yang digunakan adala% model #XY) XZ) YZ/ memiliki statistik cuku # ni45 /) # n i5k/) # n 54k/!
¿ 0) μijk = μ(ijk ¿ ( 1)
"engan men4umla%kan kedua sisi dari ersamaan ada k menun4ukkan ij +¿
ba%8a
( )
ij +¿ 1 =n ¿ untuk semua i dan 4! >angka% selan4utnya adala% μ ¿
amati dan cocokkan nilai yang sesuai dengan marginal tabel XY! Setela% langka% kedua) semua
(2 )
μi+k =ni+ k ) namun marginal tabel XY
men4adi tidak sama lagi! Setela% langka% ketiga) seluru%
(3 )
μ+ jk =n + jk )
namun marginal tabel XY dan XZ tidak lagi sesuai!
baru dimulai kembali dengan menyocokkan marginal tabel XY dengan
μ ij +¿( ) 3
menggunakan
nij +¿
dan seterusnya! ¿ ( 3) μijk = μ ijk ¿ (4 )
μij +¿( ) 0
menggunakan 'aktor enyesuaian yang sama
nij + ¿
¿ ¿ ¿
untuk level k
yang berbeda dari Z! Jadi) odds ratio dari berbagai level ada Z memunyai rasio bernilai ,) dan ola %ommogeneous association berlan4ut ada setia langka%! Saat
engulangan
terus
berlan4ut)
nilai
statistik
E 0
yang
membandingkan 4umla% nilai ada sel ada nilai yang cocok yag terus dierbarui men4adi monontone decreasing) dan rosesnya %arus menu4u satu titik! -lgoritma I<$ meng%asilkan enduga model linier dengan meng%asilkan serangkaian dari nilai yang cocok yang memusat ada solusi dimana %al ini memenu%i model dan sesuai dengan statistik cuku! 9etode ini cocok 8alauun dengan model yang langsung memunyai nilai estimasi secara langsung! Secara umum model tersebut %anya akan memiliki engulangan satu kali sa4a!
3 .itting Log Linier Model 9odel ftting log linier yang baik mamu men4elaskan %ubungan sebenarnya diantara kumulan variabel kateogrik yang ada dengan cara yang singkat atau arsimonus! Sala% satu cara untuk menentukan model ft yang terbaik adala% membandingkan simangan dari beberaa model
untuk menentukan model manaka% yang aling cocok!
di
antara
untuk engu4ian %iotesisnya secara statistik model
terli%at
kurang
signifkan
dan
lema%!
Sebaliknya) dengan samel yang sedikit kenyataannya akan men4adi lebi% rumit dari yang dierkirakan ada model yang aling seder%ana yang ditemukan dengan membandingkan simangan dari model7model yang ada! Se%ingga sangant enting untuk memeriksa kecocokan model dan residuallnya untuk menentukan model yang benar7benar ft! A4i yang daat digunakan untuk membandingkan simangan ada %irarki model log linier untuk menentukan ftting model terbaik adala% u4i ikeli%ood atio Test! O − E ¿
2
¿ ¿ A4i ikeli%ood atio Test
:
G
2
O E
=2 ∑ Olog ( )
iotesis nol dan alternati' untuk kedua tes tersebut daat dirumuskan men4adi G: model >og >inier yang digunakan cocok dengan keadaan sebenarnya ,: model >og >inier yang digunakan tidak cocok dengan keadaan sebenarnya -abila 2
2
X hi!ng "#nG hi!ng
%asil
eng%itungan
dari
lebi% kecil dibandingkan
kedua 2
X #$%l
u4i
di
atas
yaitu
maka daat diambil
kesimulan ba%8a model >og >inear yang digunakan sesuai dengan keadaan sebenarnya! asil yang signifkan memberikan arti ba%8a model tidak cocok) sedangkan %asil yang tidak signifkan memberikan arti ba%8a model cocok dengan keadaaan sebenarnya! A4i
kecocokan
model
secara
keseluru%an
didasarkan
ada
erbedaan menyeluru% antara nilai engamatan dengan nilai %araan #dirediksi dari model/ dan 4uga menilai kecocokan dari model dengan menganalisis residualnya) dimana menggambarkan secara lingku yang
lebi% kecil erbedaan antara nilai engamatan dengan nilai %araan! esidual
yang
tela%
disesuaikan
akan
membantu
eneliti
untuk
men4elaskan mengaa suatu model tertentu tidak cocok! esidual daat digunakan untuk meun4ukkan sel mana ada tabel yang berkontribusi ter%ada ketidakcocokan model) dan 4uga membantu eneliti untuk menentukan model alternati' yang lebi% cocok!
Summary o- Loglinear Model
Eambar ,: ingkasan urutan dari model log linear tabel kotingensi tiga ara% berdasarkan komleksitas "alam konsetualisasi ini) model kurang komleks bersarang di dalam model yang lebi% komleks) karena setia model seder%ana adala% kasus k%usus dari model yang lebi% komleks di mana beberaa arameter dieliminasi #dibatasi men4adi nol/! Setela% model yang aling seder%ana diili% untuk men4elaskan ola asosiasi di satu set data) kemudian bagian level tertinggi #arameter/ dari model diinterretasikan! (agian yang lebi% renda% diinterretasikan %anya 4ika variabel yang ada dalam arameter ini tidak terkandung dalam level yang lebi% tinggi! Secara umum) interretasi arameter tergantung ada tingkat kerumitannya: tingkat
terenda%# %anya mengandung satu variabel/ ada model log7linear meruakan
main
eectL
dan
mereresentasikan
conditional
odds1
interaksi dua ara% mereresentasikan rasio conditional odds1 dan interaksi tiga ara% mereresentasikan rasio dari rasio conditional odds!
MODEL LOG LINEAR DIMENSI 0ANG LE&I) TINGGI 9odel log linear untuk dimensi yang lebi% tinggi #multidimennsi/ meruakan erluasan dari model log linear tabel + ara%! (ertamba%nya 4umla% dimensi) maka memunculkan beberaa komlikasi! "iantaranya : o
o
9eningkatnya 4umla% asosiasi yang mungkin dan ketentuan interaksi) se%ingga emili%an model 4au% lebi% sulit! (ertamba%nya 4umla% sel7sel!
Model Log Linear Em!at Dimensi 9odel log linear untuk dimensi yang lebi% tinggi daat di gambarkan melalui tabel kontingensi 2 dimensi) yang memuat 2 variabel utama yaitu M) X) Y) dan Z! 9odel log linear dari tabel kontingensi 2 dimensi daat dili%at baik secara teoritis mauun %ierarki! Secara teoritis) model log linear emat dimensi daat ditun4ukan ada diagram di ba8a% ini!
Keenam gambar diatas memberikan gambaran secara teoritis terkait model log linear yang mungkin dibentuk dari keemat variabel M) X) Y dan Z! Earis7garis yang meng%ubungkan antar variabel ada gambar menun4ukan kedua variabel tersebut berasosiasi! 9odel teoritis log linear terlengka ada emat dimensi %arus memuat N asangan asosiasi) dimana ditun4ukan ada gambar -! Sementara gambar ( %anya menganudng 3 asangan variabel yang berasosiasi! Eambar . dan " mengandung 2 asangan variabel denga ola %ubungan yang berbeda! Serta gambar & dan $ yang mengandung + asangan variabel dengan ola %ubungan yang berbeda! Secara %irearki) model log linear emat dimensi terdiri dari keseluru%an atau sebagian %imunan semua interaksi variabel yang terdiri dari N interaksi 0 variabel) 2 interaksi + variabel dan satu interaksi 2 variabel! Se%ingga terdaat 0+ model %irearki yang dimungkinkan dibuat untuk keerluan analisis model log linear emat dimensi! 9odel log linear 4uga daat dibedakan men4adi + model) yaitu ,! 9odel >engka Indeenden 6 9utual Indeendence 9odel 9utual Indeendence meruakan model log linear yang aling seder%ana dari tabel kontingensi 2 dimensi untuk semua variabel!
X
Y
Z
log mijkl = μ + λi + λ j + λ k + λl
0! 9odel >oglinear Komleks 9odel log linear yang komleks
ada tabel kontingensi emat
dimensi memuat N kemungkinan dari interaksi 0 variabel kemungkinan dari interaksi + variabel variabel
[ λ
&XYZ ijkl
]
[ λ ] &XY ijk
[ λ ] &X ij
) 2
) dan , interaksi 2
!
X
Y
Z
&X
log m ijkl = μ + λi + λ j + λ k + λl + λ ij
&Z XY XZ YZ &XY &XZ XYZ &YZ & + λ &Y ik + λil + λ jk + λ jl + λ kl + λ ijk + λijl + λ jkl + λ ikl + λijkl
+! 9odel Tana Interaksi + $aktor atau lebi%
9odel tana interaksi + 'aktor atau lebi% memunya bentuk model loglinear yang %anya terdiri dari model seder%ana dan interaksi 0 variabel!
X
Y
Z
&X
log m ijkl = μ + λi + λ j + λ k + λl + λ ij
&Z X Y X Z YZ + λ &Y ik + λil + λ j k + λ jl + λkl
Antuk model ini) interretasi lebi% seder%ana dibanding model komleks! a 'rosedur Analisis Model Log Linear Em!at Dimensi "alam menganalisis model log linear emat dimensi) terdaat beberaa rosedur yang daat digunakan) antara lain : ,! A4i Eoodness o' $it A4i Eoodness o' $it ada tabel kontingensi emat dimensi daat menggunakan 0 statistik u4i) yaitu A4i .%i7Suare dan >ikeli%ood asio Suare! A4i .%i Suare digunakan untuk mengeta%ui aaka% model sesuai dengan keadaan sebenarnya atau tidak! iotesis yang digunakan : iotesis : o : model loglinear sesuai dengan keadaan sebenarnya , : model loglinear tidak sesuai dengan keadaan sebenarnya umus A4i Statistik .%i Suare : 2
X =
∑
( Oijkl − Eijkl )2 Eijkl
i, j,k,l
-abila
2
2
X hi!ng ' X #$%l dan 7value O tara' signi'ikansi P=3Q maka
diangga model log linear yang digunakan sesuai keadaan yang sebenarnya! Selain u4i .%i Suare) u4i lain yang 4uga daat digunakan dalam mengu4i %iotesis iala% >ikeli%ood rasio Suare! umus A4i Statistik >ikeli%ood asio Suare : 2
G =2
∑ ∑∑∑O i
j
k
l
ijkl log
( ) Oijkl
Eijkl
Keterangan : O ijkl
= observasi ada variabel ke i) 4) k) l
Eijkl
= 'rekuensi %araan
"era4at bebas untuk model yang memuat semua bentuk interaksi dalam tabel kontingensi 2 dimensi ditun4ukan dengan rumus : d'=i4kl7R,7#i7,/5#47,/5#k7,/5#l7,/5#i7,/#47,/5#i7,/#k7,/5#i7,/#l7,/5#47,/ #k7,/5#47,/#l7,/5#k7,/#l7,/5#i7,/#47,/#k7,/5#i7,/#47,/#l7,/5#i7,/#k7,/#l7 ,/5#47,/#k7,/#l7,/
"era4at bebas sesuai dengan model loglinear yang daat dibentuk dari tabel kontingensi 2 dimensi lebi% lengkanya daat dili%at ada tabel di ba8a% ini! @o
9odel >og >inear
"era4at (ebas
,
#M) X) Y) Z/
+ijkl,i,j,k,l-./
0
#MX) Y) Z/
+ijkl,ij,k,l-0/
+
#MX) YZ/
+(ij,&)(kl,&)/
2
#MX) XY) Z/
+j(ikl,i,k-&)(l-&)/
3
#MX) XY) YZ/
+ijkl,ij,jk,kl-j-k/
N
#MX) MY) MZ/
#MXY) Z/
+(ijk,&)(l,&)/
U
#MXY) YZ/
+k(ij,&)(l,&)/
*
#MXY) XYZ/
+jk(i,&)(l,&)/
,G
#MXY) MXZ) XYZ) MYZ/
,,
#MXY) MXZ) XYZ/
,0
#MXZ) MYZ) XYZ/
,+
#MXY) MXZ) YZ/
+ij(kl,l,k)/
,2
#MXZ) XYZ) MY/
+jl(ik,k,i)/
,3
#MXZ) MY) XY) YZ/
+ijkl,ijl,ij,jk,kl-j-k-1/
,N
#MXY) MZ) XZ) YZ/
+ijkl,ijk,il,jl,kl-i-k-l-./
,
#MXY) XZ) YZ/
+ijkl,ijk,jl,kl-j-k-0/
,U
#MXZ) MY) XY/
,*
#MX) MY) XY) XZ) YZ) MZ/
0G
#MX) MY) XY) XZ) YZ/
+ijkl,ij,ik,jk,jl,kl-0j-0k-l-i,0/
0,
#MX) MY) XY) YZ/
+ijkl,ij,ik,jk,kl-i-0k-j,&/
00
#MX) MY) XY) Z/
0+
#MXYZ/
+i(jkl,j,k,l-0)/
(l,&)(k,&)(i,&)(j,&) +ijkl,ijk,ijl,jkl-i-j-k-&/
+l(k,&)(j,&)(i,&)/
+ijkl,ijl,ij,jk/
+ijkl,ij,ik,jk,jl,kl,il-0j-0k-0l-0i,./
+ijkl,ij,ik,jk-i-k,&/ %
,! 9enentukan Statistik .uku 9inimal dan 'ungsi >ikeli%ood Statistic cuku minimal untuk model7model log linear meruakan koefsien dari masing7masing arameternya! Koefsien dari masing7masing arameternya dierole% dari engumulan atau en4umla%an batas marginal dari masing7masing arameternya! Sementara 'ungsi likeli%ood dierole% dari %asil derivati' >#m/ ter%ada masing7masing arameter disama dengankan nol! .ara mencari statisti cuku minimal dengan mengasumsikan sebua% model samel seder%ana
( nijkl )
untuk klasifkasi
silang dari variabel7variabel random oisson #M) X) Y) Z/ yang indeenden mijkl
dengan nilai %araan
!
$ungsi keadatan robabilitas bersama
∏∏ ∏ ∏ i
j
k
l
μijkl
exp
( μijkl )n
( nijkl )
adala%
ijkl
nijkl ) nijkl
dengan arameter
dan
∏ ∏ ∏ ∏ #"#l#h i
j
k
l
%asil kali seluru% sel
dalam tabel!
∑∑∑ n j
k
ijkl
log ( μijkl )−¿
l
∑ ∑ ∑ ∑ μ i
* ( m )=
∑¿
j
k
ijkl
l
i
"ari model log linear komleks ) maka bentuk likeli%ood dari ersamaan diatas men4adi
* ( m )=¿
¿ ¿
X Y Z &X &Y &Z XY XZ YZ &XY &XZ XYZ &YZ &XYZ (¿ ¿ ¿ μ + λ& ) i + λ j + λ k + λ l + λij + λ ik + λil + λ jk + λ jl + λkl + λijk + λijl + λ jkl + λikl + λijkl exp ¿ ∑¿ l
∑¿ ∑¿ k
∑∑ n
ijk + ¿
j
j
+ ∑ ∑ ∑ nij +l λ
&XY ijk
λ
k
&YZ &XYZ +∑ ∑ ∑ n jk +l λ XYZ −∑ ¿ jkl + ∑ ∑ ∑ nik + l λ ikl + ∑ ∑ ∑ ∑ nijkl λijkl
&XZ ijl
i
j
l
∑ n+
k
l
i
λ +
∑∑ n
k
l
∑ ∑ n++ λ +∑ ¿ ∑ n + +¿ λ +∑ ∑ n ++ λ +∑ ¿ ∑ n ++¿ λ +∑ ¿ n++ + ¿ λ + ∑ n+++ λ + ∑ ¿ n+ ++¿ λ + ∑ ¿ n +++ ¿ λ + ∑ ¿ n μ +∑ ¿
jk +¿
k
j XY jk
XZ + j + l jl
j
λ +
l
&Y ik
i k
i
k
i
ij
l
il
j
k
l
i
j
i Z l l
Y k
l
j
l &Z
l &X ij
j
k
kl
k
i
YZ kl
i
X j
k
i
& i
j
i
"imana V meruakan arameter7arameter dalam model yang men4elaskan reson dari masing7masing variabel) dan koefsien dari masing7masing arameter meruakan statistic cuku minimalnya! Sementara %asil derivative >#m/ ter%ada masing7masing arameter yang tela% disama dengankan G meng%asilkan 'ungsi likeli%ood sebagai berikut!
++++¿ n= m ¿
n+ j+l= m+ j+l ^
^
+ jk +¿ + jk +¿=m¿ ^
n¿ i +++¿ i +++¿=m¿ n¿
ni++ l =m i++ l
ni+ kl= mi + kl
+ j ++¿ + j ++¿=m ¿
ij ++¿ ij ++¿=m ¿ n¿
ijk + ¿ ijk +¿= m¿ n¿
^
^
^
^
n¿
^
^
i
++ k +¿ ++ k +¿=m ¿
n++ kl =m++ kl
nij +l =mij + l
i + k +¿ i + k +¿=m ¿ n¿
n+ jkl=m+ jkl
^
^
^
n¿ n+++ l=m+++ l ^
^
^
+
log mijk = µ + λi
,
-
+,
,-
+ λ j + λk + λij
+-
(XYZ)
+ λ jk + λik +
+,-
λijk
LOGLII!"# $O%!L& 'O# #!!*%I$!&IO"L "L!
I!#,#!"IO $O%!L -. (XYZ) Logli/ie0 mo1el/3 313l345 +
log mijk = µ + λi *
,
-
+ λ j + λk
6e7ig3 830i39le 7e0:e9;7 :3li/g 9e93: ;/7;k :em;3 i j 13/ k 5
π ijk
=
i ++ ¿ π ¿
+ j +¿ π ¿
π ++ k
*
&e7i3p p3:3/g 130i 830i39le 7e0:e9;7 me0;p3k3/
*
i/1epe/1e/7 X*Y m30gi/3l 3::o
2. (XZY) 373; (YZ X) 373; (XYZ) Logli/ie0 mo1el/3 313l345 +
log mijk = µ + λi * *
,
-
+-
+ λ j + λk + λik
ik3 1;3 830i39le pe073m3 9e93: 7e04313p 830i39le ke7ig3 "m9il
m3k3 m30gi/3l o11: 03:io 130i m30gi/3l X*Z 313l34 i1e/7ik 1e/g3/ o11: 03:io 130i p30:i3l X* Z. >. (XYYZ) 373; (XYXZ) 373; (XZYZ) Logli/ie0 mo1el/3 313l34 5 +
log mijk = µ + λi
,
-
+,
+ λ j + λk + λij
,-
+ λ jk
*
"m9il
*
313l34
?. (XY YZ XZ) Logli/ie0 mo1el/3 313l34 5 +
log mijk = µ + λi * *
,
-
+,
+ λ j + λk + λij
,-
+-
+ λ jk + λik
,313 mo1el i/i 1i:e9;7 no three-factor interaction. $30gi/3l o11: 03:io 9i:3 9e09e13 130i p307i3l o11: 03:io.
@. (XYZ) Logli/ie0 mo1el/3 313l34 5 +
,
-
+,
log mijk = µ + λi + λ j + λk + λij
,-
+-
+,-
+ λ jk + λik + λijk
*
$o1el 7e0:e9;7 mem;/gki/ ;/7;k > 830i3:i. $3:i/g m3:i/g p3:3/g3/ 830i39le
* *
mem;/gki/k3/ 7e0j31i/3
∑ λ =0 + i
i
+
313 i :3mp3i - li/ie0 i/1epe/1e/7 λi p303me7e0.
1 $onto 2asus Materi A Tabel mengenai klasifkasi karakteristik dari luka akibat sen4ata ai: Lokasi 2eadian $edera
'enyebab $edera
Ruma 2orban
(unu% diri Kecelakaan
A!aka Luka .atal4 0a Tidak 23 0G ,3 0*
Ruma Teman atau 2erabat
(unu% diri
,+
,0
,2
0
Lainnya
Kecelakaan (unu% diri Kecelakaan
,U ,,
,, 0*
